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UNIVERSIDADE TCNICA DE LISBOA

INSTITUTO SUPERIOR TCNICO

Departamento de Engenharia Electrotcnica e de Computadores / Seco de Energia

FUNDAMENTOS DOS SISTEMAS

DE ENERGIA ELCTRICA

Jos Pedro Sucena Paiva

Prof. Catedrtico

NDICE

1 Conceitos Bsicos 5

1.1 Energia e Potncia. Diagrama de Carga. 5

1.2 Potncia em Sistemas de Energia Elctrica 7

1.2.1 Potncia Activa e Reactiva 7 1.2.2 Potncia Complexa e Aparente 10

1.3 Sistema Elctrico Trifsico 12

1.3.1 Tenso e Corrente 12 1.3.2 Potncia Activa e Reactiva 15 1.3.3 Carga Ligada em Tringulo 16

1.4 Representao do Sistema de Energia 17

1.5 Valores por Unidade 17

1.5.1 Sistemas Monofsicos 18 1.5.2 Sistemas Trifsicos 19

1.6 Transmisso de Energia 20

1.6.1 Em Corrente Alternada 20 1.6.2 Em Corrente Contnua 23

1.7 Caracterizao das Cargas 24

1.7.1 Tipologia 24 1.7.2 Elasticidades 25 1.7.3 Elasticidade em Relao Tenso 26 1.7.4 Elasticidade em Relao Frequncia 29

2 Mquinas Rotativas e Transformador 31

2.1 Mquina Sncrona 31

2.1.1 Introduo 31 2.1.2 Princpio de Funcionamento 32 2.1.3 Modelo Matemtico 36 2.1.4 Caractersticas em Vazio e em Curto-Circuito 39 2.1.5 Caractersticas em Carga 41 2.1.6 Potncia Activa e Reactiva 41 2.1.7 Efeito da Salincia 43 2.1.8 Modos de Operao 46 2.1.9 Estabilidade da Marcha Sncrona 49

2.2 Transformador 52

2.2.1 Introduo 52

Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva ii

2.2.2 Princpio de Funcionamento 52 2.2.3 Corrente de Magnetizao 54 2.2.4 Esquema Equivalente 56 2.2.5 Transformador com Trs Enrolamentos 59 2.2.6 Autotransformador 60 2.2.7 Transformador Trifsico 61 2.2.8 Transformador com Regulao de Tenso 66

2.3 Mquina Assncrona 68

2.3.1 Introduo 68 2.3.2 Princpio de Funcionamento 69 2.3.3 Modelo Matemtico 70 2.3.4 Potncia e Binrio 71 2.3.5 Funcionamento como Gerador 74

3 Linha Elctrica de Energia 77

3.1 Introduo 77

3.2 Resistncia e Condutncia Transversal 78

3.3 Reactncia 80

3.3.1 Linha Monofsica 80 3.3.2 Linha com n Condutores 84 3.3.3 Linha Trifsica 87 3.3.4 Linha Trifsica com Dois Condutores em Feixe 90

3.4 Admitncia Transversal 91

3.4.1 Linha Monofsica 92 3.4.2 Linha com n Condutores 93 3.4.3 Influncia da Terra 94 3.4.4 Linha Trifsica 97 3.4.5 Linha Trifsica com Dois Condutores em Feixe 99 3.4.6 Cabo Subterrneo 100

3.5 Modelo da Linha em Regime Estacionrio 101

3.5.1 Modelo Exacto 101 3.5.2 Esquema Equivalente em p 105 3.5.3 Esquema Equivalente em p Nominal 106 3.5.4 Modelo da Linha Curta 107

3.6 Linha Terminada pela Impedncia de Onda 109

3.7 Capacidade de Transporte 112

3.7.1 Limite Trmico 112 3.7.2 Limite de Estabilidade Esttica 113

J. Sucena Paiva ndice iii

3.7.3 Limite de Estabilidade de Tenso 116

4 Correntes de Curto-Circuito 121

4.1 Introduo 121

4.2 Corrente e Potncia de Curto-Circuito 122

4.2.1 Teorema da Sobreposio 123 4.2.2 Teorema de Thvenin 124

4.3 Curto-Circuito de um Gerador Sncrono 125

4.4 Modelos dos Elementos da Rede 129

4.4.1 Gerador 129 4.4.2 Transformador e Linha 129 4.4.3 Cargas 130

4.5 Clculo das Correntes de Curto-Circuito Simtrico 130

4.5.1 Reduo da Rede 130 4.5.2 Impedncia Equivalente a Montante 131 4.5.3 Matriz das Impedncias Nodais 132

CAPTULO 1

CONCEITOS BSICOS

Neste captulo apresentam-se alguns conceitos bsicos necessrios modelao e an-

lise de Sistemas de Energia Elctrica (SEE), admitindo-se que o leitor j est familiariza-

do com os fundamentos da teoria dos circuitos e das redes elctricas.

Os conceitos fundamentais de energia e potncia so ilustrados com recurso a um dia-

grama de carga do sistema elctrico portugus. Em sistemas de corrente alternada, a

potncia tem de ser qualificada, definido-se as diversas modalidades: activa, reactiva,

complexa e aparente.

Dado que a energia elctrica produzida, transportada e distribuda em corrente alternada

trifsica, este tipo de sistema elctrico abordado de seguida.

Refere-se o uso do esquema monofsico equivalente e do esquema unifilar para repre-

sentar o sistema trifsico simtrico, e classificam-se as redes elctricas segundo a ten-

so, a funo e a estrutura topolgica.

O uso do sistema por unidade para exprimir as grandezas elctricas de forma adimensio-

nal hoje universal, pelas vantagens que a prtica evidenciou. Trata-se assim de um tpi-

co que o engenheiro de sistemas de energia deve dominar perfeitamente, e que ser

utilizado ao longo de todo este livro.

Numa rede sncrona em corrente alternada, a transmisso de energia condicionada por

diversos factores, os quais so identificados e analisados. A ttulo comparativo, aborda-se

tambm a transferncia de energia em corrente contnua.

So ainda tipificadas as cargas ligadas rede, e formulados os modelos matemticos

pertinentes.

1.1 Energia e Potncia. Diagrama de Carga.

Um Sistema de Energia Elctrica fornece energia aos consumidores que a utilizam, as-

segurando o nvel de potncia que estes requerem para alimentar o conjunto dos equipa-

Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 6

mentos ligados a carga do sistema. A energia e a potncia so contabilizados separa-

damente na factura de electricidade, j que os custos associados a uma e outra so dife-

rentes.

A relao bsica entre energia e potncia exprime-se matematicamente por:

tdEd

P = (1.1)

onde E denota a energia, P a potncia e t o tempo.

Sendo a potncia a derivada da energia em ordem ao tempo, tem-se inversamente:

tdPE = (1.2)

Em unidades do Sistema Internacional, a energia exprime-se em Joule (J) e a potncia

em Watt (W). Estas unidades correspondem a quantidades muito pequenas, face s que

esto em jogo nos sistemas de energia elctrica, pelo que se usam de preferncia os

respectivos mltiplos.

Assim, para a potncia usam-se Kilowatt (1kW=103 W), Megawatt (1 MW=106 W), Gi-

gawatt (1 GW=109 W) e Terawatt (1 TW=1012 W).

Para a energia, a unidade utilizada na prtica Watt.hora (1 Wh=3 600 J) e os seus ml-

tiplos: kWh, MWh, GWh e TWh.

A carga de um SEE varia significativamente ao longo do dia, acompanhando a actividade

humana. Na Figura 1.1 apresenta-se o diagrama de carga do Sistema Elctrico nacional

visto de rede de transporte, no dia 5/1/2000, em que se verificou uma potncia mxima

(ponta) de 6287 MW, s 19.00 horas, e um consumo de energia de 117 GWh (rea som-

breada).

Para um diagrama de carga, define-se utilizao diria da ponta como a relao entre a

energia e a potncia mxima; e factor de carga dirio como a relao entre a potncia

mdia e a potncia mxima. Estas grandezas tambm podem ser definidas para outros

perodos de tempo, por exemplo, o ano: utilizao anual da ponta e factor de carga anual.

J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 7

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

MW

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24Horas

4feira 5/1/2000

E=117 GWh

Pmax=6287 MW

Figura 1.1 Diagrama de carga visto da rede de transporte, 5/1/2000.

1.2 Potncia em Sistemas de Energia Elctrica

Os sistemas de energia elctrica actualmente existentes funcionam, na sua quase totali-

dade, em corrente alternada com uma frequncia de 50 Hz na Europa de 60 Hz nos

EUA1 existindo contudo casos especiais em que se utiliza a corrente contnua.

1.2.1 Potncia Activa e Reactiva

Considere-se um sistema monofsico de corrente alternada representado na Figura 1.2,

constitudo por um gerador e uma carga. Admite-se que o gerador aplica uma tenso v

carga, representada por uma impedncia constante Z.

Ze ~+

-

i

v

Figura 1.2 Sistema monofsico em corrente alternada.

1 Em alguns pases nomeadamente o Japo coexistem as duas frequncias.


Admita-se que os valores instantneos da tenso v e da corrente i so sinusoidais, com

valores eficazes V e I, respectivamente, e frequncia angular w:

tsenVv 2 w= (1.3)

)t(senIi 2 fw -= (1.4)

f2pw = (1.5)

onde f a frequncia, e f o ngulo de desfasagem entre a tenso e a corrente, conside-

rado positivo quando a carga indutiva.

A potncia instantnea p transferida do gerador para a carga o produto da tenso v pela

corrente i:

( )

( )fwffww

--=-==

tcosIVcosIVtsentsenIV2ivp

2 (1.6)

Estas grandezas esto representadas na Figura 1.3a.

A equao anterior pode ser transformada em:

( ) 444 3444 214444 34444 2121 p

tsensenIVp

tcos1cosIVp 22 wfwf --= (1.7)

A representao grfica de p e das componentes p1 e p2 consta da Figura 1.3b.


Figura 1.3 Tenso, corrente e potncia num circuito monofsico.

A componente p1 oscila em torno do valor mdio fcosIV com frequncia angular 2w,

nunca mudando de sinal. A componente p2 oscila com idntica frequncia, possui um va-

lor mdio nulo e um valor mximo fsenIV .

Definam-se agora as grandezas:

Potncia activa

fcosIVP = (1.8)

Potncia reactiva

fsenIVQ = (1.9)

Ento, a equao (2.7) escreve-se:

( ) tsenQtcos1Pp 22 ww --= (1.10)

A grandeza fcos designa-se por factor de potncia.

A potncia activa P o valor mdio da potncia instantnea e corresponde por conseguin-

te potncia que efectivamente transferida. A potncia reactiva Q o valor mximo da

componente da potncia que oscila entre o gerador e carga, cujo valor mdio nulo, re-

sultante da variao da energia magntica ou elctrica armazenada nos elementos induti-

vos ou capacitivos, respectivamente, da impedncia de carga.

A unidade de potncia , como j referido, o Watt=Volt.Ampere. Na prtica dos SEE, no

entanto, distinguem-se as unidades de potncia activa e de potncia reactiva. Para a pri-

meira, reserva-se o Watt (W) e seus mltiplos (kW, MW, GW, TW); para a segunda usa-

se o Volt.Ampere reactivo (VAr) e seus mltiplos (kVAr, MVAr, GVAr, TVAr).

Regressando s equaes (1.8) e (1.9) e notando que f pode variar de +p/2 (carga induti-

va pura) a p/2 (carga capacitiva pura) verifica-se que, enquanto P sempre positivo, Q

pode ser positivo ou negativo. Ser positivo se a carga for indutiva (f>0), negativo se a

carga for capacitiva (f


1.2.2 Potncia Complexa e Aparente

Usando a notao simblica, a tenso e a corrente escrevem-se (admitindo argumentos

arbitrrio d e b para a tenso e corrente, respectivamente)2:

djeV=V (1.11)

bjeI=I (1.12)

O diagrama de fasores correspondente est representado na Figura 1.4.

d f

b

V

I

Im

Re

Figura 1.4 Diagrama de fasores para a tenso e a corrente.

A potncia complexa S definida pelo produto do fasor tenso pelo conjugado do fasor

corrente

*= IVS (1.13)

Substituindo as equaes (1.11) e (1.12) em (1.13) obtm-se:

ff

fbdbd

senIVjcosIVeIVeIVeIeV j)(jjj

+==== --S (1.14)

Atendendo definio de potncia activa e reactiva, tem-se:

QjP +=S (1.15)

A potncia complexa S , assim, uma grandeza complexa cuja parte real a potncia ac-

tiva P e cuja parte imaginria a potncia reactiva Q.

2 Os fasores (grandezas complexas) so representados em tipo carregado; os respectivos mdulos (bem

como outras grandezas reais) em tipo normal.


O mdulo da potncia complexa a potncia aparente, ou seja, o produto dos mdulos da

tenso e da corrente:

IVQP =+= 22S (1.16)

A potncia aparente exprime-se em VA (Volt.Ampere) e nos seus mltiplos kVA, MVA,

GVA e TVA.

O factor de potncia j atrs referido corresponde ao quociente entre a potncia activa e a

potncia aparente.

Se relacionarmos a tenso e a corrente por meio da impedncia de carga Z (ou admitn-

cia Y=1/Z), obtemos expresses alternativas para a potncia complexa.

Com efeito:

IZ V = (1.17)

VYI = (1.18)

Substituindo na equao (1.13):

2V*** == YVYVS (1.19)

2IZIIZS == * (1.20)

Admitindo que a carga constituda por uma resistncia R em paralelo com uma reactn-

cia X, por aplicao da equao (1.19) os valores das potncias activa e reactiva consu-

midas so:

R

VP

2

= (1.21)

X

VQ

2

= (1.22)

Admitindo que a carga um condensador com capacidade C, usando a equao (2.19)

obtemos:

2VCQ w-= (1.23)

Se a carga for constituda por uma resistncia R em srie com uma reactncia X, a apli-

cao da equao (1.120) conduz aos valores das potncia activa e reactiva consumidas:


2IRP = (1.24)

2IXQ = (1.25)

Se, ao invs, forem conhecidas as potncia activa e reactiva de carga para um dado valor

da tenso ou da corrente, as equaes (1.19) e 1.20) permitem calcular o valor da admi-

tncia ou impedncia correspondente, respectivamente:

22 VQjP

V-

==*S

Y (1.26)

22 I

QjPI

+==

SZ (1.27)

1.3 Sistema Elctrico Trifsico

1.3.1 Tenso e Corrente

A energia elctrica produzida, transportada e distribuda em sistemas elctricos trifsi-

cos. As mquinas trifsicas geradores e transformadores fazem um melhor uso dos

materiais cobre e ferro o que reduz as dimenses e o peso, conduzindo a uma rela-

o custo/potncia menor. As linhas elctricas trifsicas de alta ou mdia tenso so

constitudas apenas por trs condutores, no sendo necessrio o neutro, uma vez que o

retorno da corrente numa fase assegurado pelas outras. Daqui resulta uma economia

significativa, se compararmos uma linha trifsica com trs linhas monofsicas, transferin-

do a mesma potncia.

Como vimos na seco anterior, a potncia elctrica num sistema monofsico tem natu-

reza oscilante, o que no sucede em sistemas trifsicos, como se mostrar frente. Esta

caracterstica, se no tem inconvenientes em muitas aplicaes, como sejam aquecedo-

res, aparelhos de iluminao ou equipamento electrnico, indesejvel em motores elc-

tricos que constituem a parcela mais significativa da carga ligada rede por conduzir

a um binrio motor tambm oscilante.

Um gerador trifsico com os enrolamentos ligados em estrela Figura 1.5a produz trs

foras electromotrizes (tenses em vazio) com frequncia angular f2pw = , iguais em

mdulo e desfasadas de 2p/3 (=120) Figura 1.5b na qual as trs fases so designa-


das por a, b e c (a fase a, dita de referncia, possui argumento nulo). O diagrama de faso-

res correspondente est representado na Figura 1.5c.

Ea

Ec

Eb

120o120o

120o

ca

ea

b

a~ +-

~ +-

~ +-c

n

ec

eb

wt

eb ecea

2p

b

wt

Figura 1.5 Gerador trifsico: a) Esquema equivalente; b) Variao no tempo das f.e.m.; c) Diagrama de fasores.

A sequncia de fases tal que a fase b est em atraso em relao fase a e a fase c em

atraso em relao fase b. Esta sequncia importante em algumas aplicaes: num

motor elctrico, ela determina o sentido de rotao.

Na Figura 1.6 representa-se um sistema de corrente alternada trifsica constitudo por um

gerador e uma carga simtrica, representada por uma impedncia igual em cada uma

das fases. Admitiu-se que, como normal, o ponto neutro n est ligado terra.

Z

Z

Z

ea

b

a~ +-

~ +-

~ +-c

n

ec

eb

ic

ia

ib

vavbvc

Figura 1.6 Sistema trifsico simtrico.

As trs tenses simples ou fase-neutro so:


)t(senVv

)t(senVv

tsenVv

322

322

2

c

b

a

pw

pw

w

+=

-=

=

(1.28)

onde V o valor eficaz . Em notao simblica:

32

32

0

p

p

j

j

j

eV

eV

eV

=

=

=-

c

b

a

V

V

V

(1.29)

Num sistema trifsico, o valor nominal definido para as tenses fase-fase (ou tenses

entre fases ou tenses compostas,) representadas na Figura 1.7:

acca

cbbc

baab

VVVVVV

VVV

-=-=

-=

(1.30)

Ic

Vab

Vb

Vc

Va

Vbc

f

Ia

Vca

Ib

30o

f

f

Figura 1.7 Fasores de tenso (simples e composta) num sistema trifsico simtrico.

O valor eficaz VL das tenses fase-fase :

V

VVVVV cabcabL3

6cos2

=

==== p (1.31)

Sendo a carga simtrica, as correntes nas trs fases escrevem-se:

)(sen

)(sen

)(sen

322

322

2

fpw

fpw

fw

-+=

--=

-=

tIi

tIi

tIi

c

b

a

(1.32)


A soma das correntes nas trs fases nula, logo no necessrio um condutor ligando o

neutro do gerador com o da carga. Os dois neutros esto ao potencial da terra, quer no

gerador quer na carga, ainda que porventura no estejam fisicamente ligados a ela.

Num sistema trifsico simtrico, todas as tenses simples podem ser medidas em rela-

o a um neutro, que tem o mesmo potencial zero ao longo de todo o sistema.


A potncia transferida do gerador para a carga ser:

ccbbaa ivivivp ++= (1.33)

Substituindo as equaes (1.28) e (1.32) na equao (1.33), aps alguma manipulao,

vem:

fcosIV3p = (1.34)

A potncia trifsica instantnea portanto constante e igual a trs vezes a potncia activa

por fase. Em termos da tenso entre fases equao (1.31) a potncia activa trifsica

escreve-se:

fcos3 IVP L= (1.35)

Em face deste resultado poder-se-ia supor que a potncia reactiva irrelevante num sis-

tema trifsico, o que no o caso. Em cada uma das fases, a potncia do tipo descrito

pela equao (1.10) sendo nula a soma das respectivas componentes oscilatrias, tal

como se verifica para as correntes.

A potncia reactiva trifsica definida como a soma algbrica das potncias reactivas em

cada fase, ou seja:

f

f

senIV

senIVQ

L3

3

=

= (1.36)

As potncias complexa e aparente para sistemas trifsicos so calculadas, respectiva-

mente, por:

QjP

IVjIV cc+=

+=

= *

ff sen3cos3

3 IVS

(1.37)


223S QPIVL +== (1.38)

1.3.3 Carga Ligada em Tringulo

A carga trifsica representada na Figura 1.6 est ligada em estrela, ou seja, a tenso apli-

cada a cada impedncia de carga Z a tenso fase-neutro. Outra forma de ligar a carga

em tringulo, como se mostra na Figura 1.8 (o gerador no est representado), situao

em que cada impedncia de carga ZD est sujeita tenso entre fases.

ia

ic

vbc

ibvca

Iabvab

Ica

Ibc ZD

ZD

ZD

a

b

c

Figura 1.8 Carga ligada em tringulo.

As correntes Iab e Ica so:

DZ

VI abab = (1.39)

DZ

VI caca = (1.40)

A corrente na linha Ia , por conseguinte:

DD Z

VZ

VVI acaaba

3=-= (1.41)

Admitindo ZD=Z, a amplitude da corrente Ia trs vezes maior que na ligao da carga em

estrela, e o ngulo de desfasagem idntico.

A potncia absorvida pela carga ligada em tringulo ento trs vezes maior que a cor-

respondente ligao em estrela, para o mesmo valor da impedncia de carga.


1.4 Representao do Sistema de Energia

Devido simetria existente nas trs fases num sistema trifsico equilibrado, suficiente

determinar a tenso, a corrente e a potncia na fase de referncia. Nas outras duas fases

afectam-se as grandezas elctricas (tenses e correntes) por uma desfasagem de 120.

assim suficiente o uso de um esquema monofsico equivalente no qual se representa

uma fase e o neutro para analisar o sistema.

O esquema (ou diagrama) unifilar constitui uma representao ainda mais simples do sis-

tema de energia elctrica. Ainda que a rede seja trifsica (excepto nos troos finais em

baixa tenso, que podem ser monofsicos ou trifsicos), usa-se apenas um trao para

representar os respectivos elementos donde a designao de esquema unifilar. Omite-

se a representao do neutro por no conter informao relevante, pelo menos para o

clculo em regime estacionrio.

No esquema unifilar usam-se smbolos normalizados: o gerador representado por um

crculo contendo um til (que indica corrente alternada3); o smbolo do transformador

constitudo por dois crculos parcialmente sobrepostos, que correspondem aos dois enro-

lamentos; uma linha representada simplesmente por uma recta entre dois barramentos;

o smbolo de carga uma seta que indicia o fornecimento de energia aos consumidores

ligados a um barramento.

1.5 Valores por Unidade

Na anlise dos SEE, em vez de quantificar as grandezas elctricas (impedncias, admi-

tncias, correntes, tenses e potncias) nas respectivas unidades, prefervel exprimi-las

como fraces (designadas valores p.u.) de valores de referncia (designados valores de

base), tais como valores nominais ou de plena carga.

O uso de valores p.u. possui vantagens significativas, nomeadamente:

Os SEE contm numerosos transformadores, que complicam apreciavelmente a an-

lise. Os valores p.u. permitem eliminar do modelo do transformador a parte referente

relao de transformao (ou seja, o transformador ideal);

3 Para corrente contnua, usa-se o sinal de igual (=).


A existncia de transformadores implica a partio do SEE em reas com diferentes

nveis de tenso. Uma tenso expressa em por unidade por exemplo 0,95 p.u. ou

1,08 p.u. indica imediatamente que ela est 5% abaixo ou 8% acima do valor nomi-

nal (tomado como referncia), que 1,0 p.u.;

Os parmetros caractersticos dos componentes do SEE, que variam substancial-

mente em dimenso, expressos em p.u., caem dentro de determinadas gamas de va-

lores, que se podem identificar como normais, o que facilita a deteco de erros;

O uso do factor 3 em sistemas trifsicos consideravelmente reduzido;

Os valores p.u. situam-se frequentemente em torno da unidade, valor prximo do p-

timo para o clculo digital e para a apresentao de dados.

O valor p.u. de uma grandeza obtm-se pela frmula bsica:

basedevalor

grandezadavalor.u.pvalor = (1.42)

O valor da grandeza pode ser uma quantidade expressa em unidades do Sistema Inter-

nacional, um fasor ou nmero complexo referente a um circuito de corrente alternada ou

um valor instantneo.

O valor de base um nmero real, escolhido de forma a obter as vantagens do sistema

p.u.. O valor p.u. uma quantidade adimensional, um fasor ou nmero complexo, ou um

valor instantneo.

O valor de base pode ser de dois tipos:

Base postulada;

Base derivada.

1.5.1 Sistemas Monofsicos

Num sistema monofsico, postula-se:

Base de tenso (kV) bV

Base de potncia (MVA) bS

Os valores de base derivados so:

Base de corrente (kA)


b

bb V

SI = (1.43)

Base de impedncia (W)

bb

b SV

IV

Z2

bb == (1.44)

Base de admitncia (S)

2

bb VS

VI

Y bbb == (1.45)

Em valores p.u., obtm-se ento:

bV

puV

V = (1.46)

bII

I =pu (1.47)

*=== pupubbb

pu IVSIV

IVSS

* (1.48)

2

b

b

bpu V

SZ

ZZ

Z == (1.49)

b

2b

bpu S

VY

YY

Y == (1.50)

Por vezes necessrio converter uma impedncia ou uma admitncia expressa em p.u.

numa dada base (designada por ) para outra base (designada por ). Atendendo s equa-

es (1.49) e (1.50), fcil verificar que:

2

2

b

b

b

bpupu V

VSS

= ZZ (1.51)

2

2

b

b

b

bpupu V

VSS

= YY (1.52)


1.5.2 Sistemas Trifsicos

Para sistemas trifsicos, toma-se para base a potncia aparente trifsica Sb e a tenso

entre fases Vb. A relao entre a potncia aparente, a tenso e a corrente de base :

bbb IVS 3= (1.53)

Donde resulta para a corrente de base:

b

bb

V

SI

3= (1.54)

A impedncia de base dada pela equao:

b

b

b

b

b

b

bb S

V

V

SV

I

VZ

2

333

=== (1.55)

que idntica equao (1.41).

A tenso e corrente em p.u. exprimem-se por:

b

pu VV

V3= (1.56)

b

pu II

I = (1.57)

Note-se que a tenso Vpu tem o mesmo ngulo de fase que a tenso fase-neutro V.

A potncia complexa , por seu lado:

***

==== pupubbbbb

puIVIVS

IVIVIVS

S3

3333 (1.58)

Note-se que, usando valores p.u. esta equao coincide com a que se aplica a um siste-

ma monofsico. Quanto impedncia e admitncia tambm se mantm as equaes

(1.49) e (1.50).


1.6 Transmisso de Energia

1.6.1 Em Corrente Alternada

Considere-se o circuito da Figura 1.9, que representa o esquema monofsico equivalente

de uma linha de transmisso de energia ligada entre os ns 1 e 2 a qual numa primeira

aproximao se modela por um elemento indutivo com reactncia X.

S12

I

S21

jX

V1

1 2

V2

Figura 1.9 Transmisso de energia atravs de um elemento indutivo.

Pretende-se estabelecer a relao entre as potncias activa e reactiva que transitam na

linha e as tenses nos ns entre os quais ela est ligada.

A corrente que percorre a linha, definida como positiva quando flui do barramento 1 para o

2, dada por:

Xj

21 VVI-

= (1.59)

A potncia complexa na emisso S12, convencionalmente positiva no sentido 12, ser:

Xj

VXj -

-=

--

==**

**VVVV

VIVS 212

1211112 (1.60)

Uma vez que:

111djeV=V (1.61)

222djeV=V (1.62)

resulta:

d

dd

j

j

eVV

eVV

21

)(2121

21

=

= -*VV (1.63)


onde 21 ddd -= o ngulo de desfasagem entre as tenses no n 1 (emissor) e no n 2

(receptor).

Substituindo a equao (1.63) na equao (1.60), obtm-se:

XVVV

jX

VVX

jVVVj

dd

dd

cossen

)sen(cos

212

121

212

112

-+=

+-=S

(1.64)

As potncias activa e reactiva na emisso so ento dadas por:

dsen2112 XVV

P = (1.65)

XVVV

Qdcos21

21

12-

= (1.66)

De forma anloga se deduzem as potncias activa e reactiva na recepo, convencio-

nalmente positivas no sentido 21, obtendo-se:

dsen2121 XVV

P -= (1.67)

XVVV

Qdcos21

22

21-

= (1.68)

Somando as equaes (1.65) e (1.66) com (1.67) e (1.68), respectivamente, obtm-se:

02112 =+= PPPL (1.69)

X

VVVVQQQL

dcos2 212

22

12112

-+=+= (1.70)

PL e QL so respectivamente as perdas de potncia activa e reactiva na linha. Dado que

desprezamos a resistncia, as perdas de potncia activa so nulas. As perdas de potn-

cia reactiva no correspondem na realidade a perdas energticas, dada a natureza deste

tipo de potncia. Contudo, o balano de potncia reactiva tem de ser fechado, tal como o

de activa.

A equao (1.65) indica que o sentido do trnsito de potncia activa essencialmente de-

terminado pelo ngulo de desfasagem d entre as tenses nos barramentos de emisso e


de recepo: se d>0, ou seja, se a tenso na emisso estiver em avano em relao

tenso na recepo, o trnsito no sentido 12; se dV2, o trnsito de potncia reactiva no sentido 12; se

V1


1.6.2 Em Corrente Contnua

A corrente contnua tem aplicao em casos especficos, nomeadamente, o transporte a

longa distncia e a interligao assncrona de redes (que podem mesmo ter frequncias

diferentes).

Uma linha em corrente contnua, em regime estacionrio, simplesmente caracterizada

pela sua resistncia R no tendo aplicao os conceitos de reactncia e de potncia re-

activa. Ento, se as tenses nos extremos emissor e receptor forem V1 e V2, respectiva-

mente, a corrente na linha dada por:

R

VVI 21

-= (1.77)

As potncias nos dois extremos so:

R

VVVIVP 21

21

112-

== (1.78)

R

VVVIVP 21

22

221-

=-= (1.79)

Somando P12 e P21, obtm-se as perdas:

22

212112

)(IR

RVV

PPPL =-

=+= (1.80)

O valor mdio da potncia transitada dado por:

RVVPP

Pmed 22

22

212112 -=

-= (1.81)

Constata-se desta equao que o trnsito de potncia (activa) regulvel atravs da ten-

so nos extremos da linha, ao invs do que sucede em corrente alternada. Assim, se

V1>V2, o trnsito de potncia no sentido 12; se V1


1.7 Caracterizao das Cargas

1.7.1 Tipologia

Denomina-se carga um equipamento ou conjunto de equipamentos ligado rede, que ab-

sorve energia elctrica.

As cargas tpicas tm carcter indutivo, e so especificadas pelas potncias activa PC e

reactiva QC ou pela potncia activa PC e factor de potncia cos f (em alternativa, pode

usar-se a tan f):

2C

2C

C

QP

Pcos

+=f (1.82)

C

C

PQ

tan =f (1.83)

As cargas agrupam-se em quatro grandes tipos:

Motores;

Iluminao;

Aquecimento e refrigerao;

Aparelhos electrnicos.

A carga servida por um SEE influenciada por um grande nmero de factores, que se

podem classificar em dois grandes grupos: factores temporais e factores climticos.

Os primeiros relacionam-se com a periodicidade diria, semanal e sazonal, perodos de

frias e ainda com as tendncias de crescimento (ou diminuio) anual. Os segundos

incluem a temperatura, a humidade, a visibilidade e a velocidade do vento. Para alm des-

tes, existem factores aleatrios, devidos prpria natureza estatstica das cargas, a

acontecimentos especiais e avarias inesperadas.

So correntemente utilizados modelos para a previso do valor da carga em cada barra-

mento da rede, bem como da carga total, quer num horizonte de curto quer de mdio ou

longo prazo.


1.7.2 Elasticidades

Um aspecto importante, que caracteriza as cargas, a sua dependncia em relao

tenso e frequncia:

)f,V(gQ

)f,V(fP

C

C

=

= (1.84)

Para pequenas variaes da tenso e da frequncia em torno de um valor de referncia:

fff

VVVo

o

D

D

+=

+= (1.85)

resulta:

C

oCC

Co

CC

QQQ

PPP

D

D

+=

+= (1.86)

onde:

f

fQ

VVQ

Q

ff

PV

VP

P

CCC

CCC

DDD

DDD

+

+

(1.87)

ou ainda:

ooC

oC

ooC

oC

oC

C

ooC

oC

ooC

oC

oC

C

ff

Qf

fQ

VV

QV

VQ

QQ

ff

Pf

fP

VV

PV

VP

PP

DDD

DDD

+

+

(1.88)

Definem-se as elasticidades das potncias activa e reactiva em relao tenso e fre-

quncia (grandezas adimensionais):

Elasticidade da potncia activa em relao tenso

o

C

oC

v PV

VP

=e (1.89)

Elasticidade da potncia reactiva em relao tenso


oC

oC

v QV

VQ

=h (1.90)

Elasticidade da potncia activa em relao frequncia

o

C

oC

f Pf

fP

=e (1.91)

Elasticidade da potncia reactiva em relao frequncia

oC

oC

f Qf

fQ

=h (1.92)

Fazendo uso destas grandezas e tomando para valores de referncia da tenso e da cor-

rente os valores nominais as equaes (1.88) transformam-se em:

pufpuvoC

C

pufpuvoC

C

fVQQ

fVPP

DhDhD

DeDeD

+

+

(1.93)

1.7.3 Elasticidade em Relao Tenso

Esta a grandeza mais importante, uma vez que em redes interligadas com elevada po-

tncia girante, a frequncia regulada dentro de limites muito estreitos.

Um modelo frequentemente adoptado exprime as potncias activa e reactiva como uma

potncia da tenso:

PkPC VCP = (1.94)

QkQC VCQ = (1.95)

Da equao (1.94), derivando em ordem a V:

o

oC

P

o

koP

Pko

PPV

C

VP

k

VVC

kVCkVP PP

o

=

==

-1

(1.96)

donde, por substituio na equao (1.89):


Pv k=e (1.97)

Para a potncia reactiva, podemos deduzir uma expresso anloga:

Qv k=h (1.98)

Carga Modelada por Impedncia Constante

Para uma carga passiva, modelada por uma admitncia constante, ligada a um barra-

mento com tenso V, a potncia absorvida calcula-se por:

2C VQjP**** ===+= CCCCC YVYVIVS (1.99)

As potncias activa e reactiva de carga so especificadas para o valor da tenso nominal

(igual a 1,0 p.u.). Ento, a admitncia equivalente, em valores p.u. calcula-se por:

CC QjP -==*CC SY (1.100)

Da equao (1.99), atendendo a que CC BjG +=CY , retira-se:

2CC VGP = (1.101)

2CC VBQ -= (1.102)

Estas equaes revelam que PC e QC variam com o quadrado da tenso. Das equaes

(1.97) e (1.98) conclui-se ento que:

2

2

=

=

v

v

h

e (1.103)

Para uma carga modelada por impedncia constante, as elasticidades em relao ten-

so so iguais a 2.

Carga Modelada por Corrente Constante

Para uma carga modelada por uma corrente com amplitude IC e desfasagem em relao

tenso fC constantes, retirada de um barramento com tenso V, a potncia absorvida

calcula-se por:

CjCCC eIVQjPf=+=CS (1.104)


O ngulo fC considera-se positivo quando a corrente est em atraso relativamente ten-

so.

Admitindo, como normal, que as potncias activa e reactiva so especificadas para o

valor nominal da tenso (V=1,0 p.u.), os valores de IC e fC so calculados por:

2C2

CC QPI += (1.105)

=

C

CC P

Qtanaf (1.106)

Para valores variveis da tenso, as potncias activa e reactiva de carga so ento dadas

por:

CCC cosIVP f= (1.107)

CCC senIVQ f= (1.108)

Estas equaes revelam que PC e QC variam linearmente com a amplitude da tenso,

uma vez que IC e fC so constantes. Das equaes (1.97) e (1.98) conclui-se ento que:

1

1

=

=

v

v

h

e (1.109)

Para uma carga modelada por corrente constante, as elasticidades em relao tenso

so unitrias.

Carga Modelada por Potncia Constante

Nesta hiptese, as potncias so constantes, no variando com a tenso, logo:

0

0

=

=

v

v

h

e (1.110)

Para uma carga modelada por potncia constante, as elasticidades em relao tenso

so nulas.

Carga Composta

A carga ligada a cada barramento do sistema elctrico composta por parcelas com

elasticidades diferentes, podendo com generalidade ser descrita pela equaes:


=i

PCvi

iVCP e (1.111)

=i

QCvi

iVCQ h (1.112)

O nmero de termos do somatrio e o valor das constantes podem ser determinados a

partir de modelos fsicos das cargas ou por dados experimentais.

Na prtica, usam-se muitas vezes valores mdios aproximados, obtidos empiricamente

para uma carga tpica4, considerando-se unitrio o nmero de termos do somatrio:

31

01

,

,

v

v

=

=

h

e (1.113)

1.7.4 Elasticidade em Relao Frequncia

Para uma carga modelada por uma impedncia constante, possvel calcular analitica-

mente a elasticidade em relao frequncia. Das equaes (1.101) e (1.102), tendo

presente que:

2C

2C

cC XR

RG

+= (1.114)

2C

2C

cC XR

XB

+-= (1.115)

LfLX 2C pw == (1.116)

e usando as equaes (1.91) e (1.92), obtm-se:

CCC

Cf senXR

Xfe 2

22

2

22 -=+

-= (1.117)

C2

2C

2C

2C

2C

f senXRXR

21 fh -=+-

= (1.118)

Note-se que a elasticidade da potncia activa em relao frequncia tem sempre um

valor negativo para cargas deste tipo. Contudo, para uma carga tpica, devido ao peso dos

4 Para uma carga tpica determinante o peso dos motores de induo, cuja elasticidade da potncia acti-

va em relao tenso praticamente nula.


motores de induo, a elasticidade em relao frequncia positiva, uma vez que a sua

velocidade e, por conseguinte, a potncia fornecida, proporcional quela. Um valor emp-

rico habitualmente utilizado :

0,1=fe (1.119)

A elasticidade da potncia reactiva em relao frequncia no tem interesse prtico, no

se indicando, por conseguinte, um valor tpico.

CAPTULO 2

MQUINAS ROTATIVAS E

TRANSFORMADOR

Neste captulo trataremos da mquina sncrona, universalmente utilizada como gerador

(podendo tambm ser usada como motor), do transformador, que permite alterar o nvel

de tenso ao longo da rede, e ainda da mquina assncrona, de uso generalizado como

motor (e limitado como gerador).

Estabeleceremos os princpios de funcionamento e os modelos matemticos simplifica-

dos destes componentes, aplicveis anlise do sistema elctrico em regime estacion-

rio.

2.1 Mquina Sncrona

2.1.1 Introduo

A quase totalidade da energia elctrica produzida por geradores sncronos ou alternado-

res trifsicos, que assim se constituem como os elementosmatriz dos Sistemas de

Energia Elctrica.

A mquina sncrona um equipamento complexo e verstil, baseado na lei da induo

electromagntica, devida a Faraday. A designao sncrona resulta de este tipo de mqui-

na rotativa, em regime estacionrio, funcionar com velocidade e frequncia constantes,

em sincronismo com todas as outras ligadas mesma rede.

Um gerador recebe energia mecnica da mquina motriz turbina hidrulica, de vapor ou

de gs para potncias elevadas, motor trmico alternativo, turbina de gs ou turbina elica

para potncias mais baixas e entrega energia elctrica rede qual est ligado, com

um rendimento energtico muito elevado. A mquina sncrona pode no entanto tambm

funcionar como motor absorvendo energia elctrica da rede e fornecendo energia me-


cnica a uma carga ligada ao seu veio. Neste modo de funcionamento, a mquina recebe

a designao de motor sncrono.

Numa instalao elctrica de produo designada usualmente por central elctrica

existem um ou mais geradores sncronos em paralelo, cuja potncia unitria pode atingir

as centenas ou mesmo o milhar de MVA. A designao usual radica na filosofia de

produo centralizada, de grande escala, que tradicionalmente caracteriza o SEE. Note-

se contudo que em anos recentes se tem expandido a produo em escala mais reduzi-

da, e prxima dos centros de consumo, usando a cogerao produo combinada de

energia elctrica e trmica e as energias renovveis.

2.1.2 Princpio de Funcionamento

Uma mquina sncrona constituda por uma massa metlica fixa estator na qual est

instalado o enrolamento induzido e por uma massa metlica rotativa rotor no qual est

bobinado o enrolamento indutor ou de excitao. Na Figura 2.1 representa-se esquemati-

camente uma seco transversal de uma mquina trifsica com um par de plos.

N

S

c b

a

cb

a

Figura 2.1 Mquina sncrona trifsica elementar.

O enrolamento indutor percorrido por uma corrente contnua, fornecida por uma fonte

auxiliar a qual d origem a um fluxo magntico, que se fecha atravs do entreferro e do

estator. Devido forma construtiva da mquina, a distribuio espacial da induo mag-

ntica aproximadamente sinusoidal, como se mostra na Figura 2.2a. Uma vez que o

rotor, accionado pela mquina motriz, roda com velocidade constante, cria-se no entrefer-

ro um fluxo magntico girante.

J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 35

2pp0 q

ba

t

B e

Figura 2.2 a) Distribuio espacial do fluxo magntico; b) Tenso induzida.

O enrolamento do estator constitudo por bobinas, alojadas em cavas, que cobrem toda

a sua superfcie interior. A bobina pertencente a uma fase colocada em cavas diame-

tralmente opostas, sendo os condutores longitudinais paralelos ao veio da mquina. De

acordo com a lei de Faraday, o fluxo magntico girante induz uma tenso nessa bobina,

representada na Figura 2.2b, a qual dar origem a uma corrente num circuito exterior liga-

do entre os respectivos terminais. Dado que est sujeito a um fluxo magntico varivel, o

estator constitudo por lminas de ferro, por forma a reduzir as perdas por correntes de

Foucault.

Os enrolamentos das trs fases esto espacialmente desfasados de 120 para que, com

a rotao uniforme do rotor, sejam produzidas tenses induzidas desfasadas de 120 no

tempo, constituindo um sistema trifsico simtrico.

Para uma mquina com um par de plos, a frequncia da tenso induzida em ciclos por

segundo (Hz) iguala a velocidade do rotor em rotaes por segundo. Assim para a fre-

quncia de 50 Hz, a velocidade de rotao ser 3000 r.p.m. (rotaes por minuto)5.

A mquina sncrona pode ter um nmero mais elevado de pares de plos. Na Figura 2.3

mostra-se uma mquina com 4 plos, na qual cada fase consiste de um par de enrola-

mentos ocupando quatro cavas na superfcie do estator 11aa e 22 aa .

5 Para 60 Hz, seria de 3600 r.p.m.


a2

N

a1

b1

c1

N

SS '1a'2a

Figura 2.3 Mquina sncrona com 4 plos.

Em cada instante, so induzidas tenses iguais nos dois enrolamentos de cada fase, as

quais se somam, uma vez que aqueles esto ligados em srie.

Nesta situao, a distribuio espacial da induo magntica a que se representa na

Figura 2.4, havendo dois ciclos completos ao longo da periferia do estator. Em conse-

quncia, a frequncia da tenso induzida duas vezes a velocidade em rotaes por se-

gundo.

2p

p

0 q

a1

B

a1 a22p

a2

4pqm

Figura 2.4 Distribuio espacial da induo magntica para uma mquina de 4 plos. (qm rad. mecnicos;q rad. elctricos).

Em mquinas com mais de um par de plos, exprimem-se os ngulos em graus elctri-

cos em vez de graus mecnicos. Um par de plos corresponde a 2p radianos elctricos,

donde:

mpqq = (2.1)

onde q o ngulo elctrico, qm o ngulo mecnico e p o nmero de pares de plos.

A frequncia da tenso induzida ento, no caso geral, dada por:

60n

pf = (2.2)

onde f a frequncia em Hz e n a velocidade em r.p.m.


A frequncia angular w da tenso relaciona-se por seu lado com a velocidade angular do

rotor wr ambas expressas em rad/s pela expresso:

rpww = (2.3)

Os rotores representados nas Figura 2.1 e Figura 2.3 so de plos salientes, sendo o en-

rolamento de excitao constitudo por bobinas enroladas em torno das peas polares.

Esta forma construtiva usada para velocidade de rotao relativamente baixas, que o

caso de geradores movidos por turbinas hidrulicas. Estas mquinas rodam com uma

velocidade baixa 150 a 300 r.p.m. o que torna necessrio um nmero de pares de p-

los elevado 20 a 10, respectivamente.

Sendo a mquina motriz uma turbina de vapor ou de gs, rodando a velocidades elevadas

3000 ou 1500 r.p.m. a fora centrfuga resultante exclui o uso de plos salientes. Usa-

se ento um rotor cilndrico, de ao macio, com dois ou quatro plos, com um enrola-

mento semelhante ao do estator, instalado em cavas talhadas na respectiva superfcie,

como se mostra na Figura 2.5.

N

S

c b

a

cb

a

Figura 2.5 Mquina sncrona de rotor cilndrico com 2 plos.

Enquanto os geradores de rotor cilndrico turbogeradores so mquinas de eixo hori-

zontal, esbeltas e longilneas, os geradores de plos salientes so em geral mquinas de

eixo vertical, com maior dimetro e menor comprimento axial. Neste ltimo caso, a turbina

est colocada por baixo do gerador, sendo o peso descarregado numa chumaceira de

impulso.

Alm dos enrolamentos j referidos a mquina sncrona ainda possui excepto para po-

tncias muito baixas um enrolamento amortecedor que consiste numa gaiola em curto-

circuito, semelhante ao enrolamento do rotor da mquina assncrona. Num gerador de

plos salientes, o amortecedor est embebido nas faces das peas polares; num turbo-

gerador instala-se nas cavas que albergam o enrolamento de excitao.


Em regime estacionrio, o amortecedor no desempenha qualquer funo, uma vez que

no percorrido por corrente. Em regime transitrio, no qual a velocidade do rotor difere

da de sincronismo, as correntes que nele so induzidas do lugar a um amortecimento

que contribui para a estabilidade da marcha sncrona.

2.1.3 Modelo Matemtico

Sendo sinusoidal a distribuio espacial da induo magntica B ao longo do entreferro,

tem-se, com referncia Figura 2.6:

acosBB max= (2.4)

onde Bmax o valor mximo medido no centro da cabea do plo e a o ngulo medido em

radianos elctricos a partir do eixo magntico do rotor.

N

S

eixo magnticodo rotor

q=wta

eixo magntico dafase a do estator

a

a

r

Figura 2.6 Mquina sncrona bipolar com bobina estatrica de N espiras.

O fluxo magntico por plo o integral da induo magntica ao longo da rea polar:

rB2drcosB max2

2max ll == - aaF

p

p (2.5)

onde l o comprimento axial do estator e r o seu raio no entreferro.

Para uma mquina com p pares de plos:

p

rB2 max l=F (2.6)

porque a rea polar 1/p vezes a de uma mquina bipolar com o mesmo dimetro e

comprimento.


O fluxo ligado com a fase a do estator l, admitindo que o enrolamento do estator tem N

espiras, dado por:

qFl cosN= (2.7)

onde q o ngulo do eixo magntico do rotor, medido a partir do eixo magntico do enro-

lamento da fase a do estator.

Quando o rotor roda com a velocidade angular wr, tem-se:

ttp r wwq == (2.8)

logo:

tcosN wFl = (2.9)

Pela lei de Faraday, a tenso induzida na fase a o simtrico da derivada do fluxo ligado

em ordem ao tempo:

( )2tcosN

tsenNtd

de

pwFw

wFwl

-=

=-= (2.10)

A tenso induzida designada fora electromotriz (f.e.m.) sinusoidal com frequncia

angular w e valor eficaz:

2

NE

Fw= (2.11)

Trata-se da f.e.m. fase-neutro. O correspondente valor entre fases obtm-se multiplican-

do por 3 . Sendo tanto o fluxo como a f.e.m. grandezas sinusoidais, podemos represen-

t-las por fasores, como se pode observar na Figura 2.7, na qual se definiram os eixos

directo d e de quadratura q, desfasados de 90 elctricos.

eixo q E

eixo d

l


Figura 2.7 Representao por fasores do fluxo e da f.e.m.

Estando o gerador em carga, alimentando um circuito exterior trifsico simtrico, o enro-

lamento estatrico percorrido por um sistema de correntes trifsicas simtricas. Ora,

um sistema de correntes iguais em mdulo e desfasadas temporalmente de 120, circu-

lando em trs enrolamentos desfasados espacialmente de 120, do lugar a um campo

magntico girante no entreferro velocidade de sincronismo, o qual se adiciona ao campo

devido corrente de excitao. Este fenmeno designado reaco do induzido.

O fluxo resultante da reaco do induzido, visto do enrolamento aa, uma combinao

dos trs fluxos individuais devidos s correntes no estator ia, ib e ic, podendo exprimir-se

por:

cba

cacbabar

iMiMiL

iMiMiL

++=

++=l (2.12)

onde L e M=Mab=Mac so respectivamente, as indutncias prpria e mtua (iguais devido

simetria da mquina). Em regime trifsico simtrico a soma das trs correntes no esta-

tor nula:

0iii cba =++ (2.13)

donde resulta:

( ) ar iML -=l (2.14)

A tenso induzida devida a este fluxo magntico :

( )tdid

MLtd

de arr --=-=

l (2.15)

A tenso aos terminais do gerador em carga obtm-se somando a f.e.m. devida ao indu-

tor com a queda de tenso devida reaco do induzido:

( )tdid

MLeeev ar --=+= (2.16)

Dado que se trata de grandezas sinusoidais, podemos represent-las por fasores (para

simplificar a notao, deixou-se cair o ndice a da corrente na fase de referncia):

( )IE

IEV

sXjMLj

-=--= w

(2.17)


A grandeza Xs recebe o nome de reactncia sncrona. Note-se que nesta grandeza est

includa a reactncia de disperso do enrolamento do estator, a qual no foi considerada

na anlise anterior.

A mquina sncrona em regime estacionrio (trifsico simtrico) pode ento ser represen-

tada pelo esquema monofsico equivalente da Figura 2.8a uma f.e.m. em srie com a

reactncia sncrona ao qual corresponde o diagrama de fasores da Figura 2.8b.

I

b

E

V

D ~

+

-

a

E V

I jXs

jXs I d

f

Figura 2.8 Gerador sncrono: a) Esquema monofsico equivalente; b) Diagrama de fasores.

A reactncia sncrona normalmente expressa em p.u., referida aos valores nominais da

potncia aparente Sn (MVA) e da tenso Vn (kV) da mquina. O respectivo valor expresso

em W pode obter-se por:

n

2n

puss SV

XX = (2.18)

Desprezou-se a resistncia dos enrolamentos cujo valor pequeno face reactncia

e admitiu-se que a corrente I est desfasada em atraso do ngulo f relativamente ten-

so aos terminais V. O ngulo d entre a tenso V e a f.e.m. E designa-se por ngulo de

potncia.

2.1.4 Caractersticas em Vazio e em Curto-Circuito

A caracterstica em vazio a curva da f.e.m. (tenso em vazio) em funo da corrente de

excitao, estando a mquina a rodar velocidade nominal (de sincronismo), movida pela

mquina de accionamento.


A caracterstica em curto-circuito, por seu lado, a curva da corrente no estator em fun-

o da corrente de excitao, com a mquina rodando velocidade sncrona e os enro-

lamentos do estator em curto-circuito.

Na Figura 2.9 apresentam-se formas tpicas destas caractersticas, que se podem deter-

minar experimentalmente. A caracterstica em vazio exibe uma zona linear (cuja tangente

a recta de entreferro), para valores relativamente baixos da corrente de excitao. Aps

esta zona, quando o fluxo magntico excede um determinado valor limite, manifesta-se a

no-linearidade resultante da saturao do ferro.

A caracterstica em curto-circuito linear, uma vez que, tendo o fluxo magntico um valor

muito baixo nesta situao, no se manifesta o fenmeno da saturao.

Para a operao prxima da tenso nominal em que se manifesta a saturao assu-

me-se que a mquina equivalente a uma outra sem saturao, caracterizada por uma

recta de magnetizao, passando pelo origem e pelo ponto correspondente tenso no-

minal (1,0 p.u.), tal como se mostra na Figura 2.9.

Da equao (2.17), sendo nula a tenso aos terminais V, obtm-se para a reactncia sn-

crona saturada (em p.u.):

cccc

s IIE

X1== (2.19)

O valor da reactncia sncrona no saturada, superior ao da reactncia no saturada pode

calcular-se pelo inverso da corrente de curto-circuito correspondente corrente de exci-

tao que conduz tenso nominal em vazio, usando a recta de entreferro:

cc

nss I

X

= 1 (2.20)


1,0

Icc

Recta do entreferro

F.e.m.(pu)

Corrente de excitao (p.u.)

Caracterstica em curto-circuito

Caracterstica em vazio

Corrente de curto circuito (p.u.)

Icc

Figura 2.9 Caractersticas em vazio e em curto-circuito de uma mquina sncrona.

2.1.5 Caractersticas em Carga

Estando a mquina sncrona a rodar velocidade de sincronismo (que se mantm cons-

tante) e excitada de forma a apresentar em vazio a sua tenso nominal, admita-se que a

corrente de carga vai aumentando a partir de zero at atingir o seu valor nominal, com um

factor de potncia constante.

Do diagrama de fasores da Figura 2.8, podemos retirar as equaes:

fd cosIXsenE s= (2.21)

fd senIXVcosE s+= (2.22)

Resolvendo em ordem a V e eliminando o ngulo d, obtm-se:

ff senIXcosIXEV s222

s2 --= (2.23)

Supondo constante a corrente de excitao, a f.e.m. E tambm o , logo a tenso aos

terminais V vai experimentar uma variao. Se se pretender manter constante a tenso

aos terminais, ento h que actuar sobre a corrente de excitao.


Tomando a tenso aos terminais V como referncia, podemos calcular a potncia com-

plexa fornecida pelo gerador por:


ff jj0jGG eIVeIeVQjP ===+=*IVSG (2.24)

donde se retiram os valores das potncia activa e reactiva:

fcosIVPG = (2.25)

fsenIVQG = (2.26)

Substituindo as equaes (2.21) e (2.22) nas equaes (2.25) e (2.26) respectivamente,

obtm-se:

dsenXVE

Ps

G = (2.27)

( )VcosEXV

Qs

G -= d (2.28)

As duas equaes acima revelam importantes caractersticas do gerador sncrono. A pri-

meira diz-nos que o valor mximo terico (na prtica limitado a cerca de metade) da po-

tncia activa que a mquina pode fornecer ocorre para d=p/2 e dado pela expresso:

s

max XVE

P = (2.29)

Sendo o gerador um conversor mecano-elctrico, a potncia activa fornecida (aparte as

perdas) igual potncia mecnica entregue pela mquina motriz: o ngulo de potncia d

o que resulta da aplicao da equao (2.27).

A potncia reactiva depende da diferena:

VcosE -= dD (2.30)

Admitindo constante a tenso aos terminais V, a potncia reactiva controlvel atravs da

corrente de excitao, que determina a f.e.m. E. A excitao normal definida para 0=D ,

ou seja:

VcosE =d (2.31)

Se a corrente de excitao for aumentada, resulta:

VcosE >d (2.32)


Nesta condies, a mquina fica sobreexcitada e fornece potncia reactiva. Em

contrapartida, se a mquina estiver subexcitada, absorve potncia reactiva, uma vez que:

VcosE


A desfasagem da corrente em relao f.e.m. (f+d na Figura 2.8b) afecta por conseguin-

te o fluxo magntico devido reaco do induzido, o qual pode ser decomposto em duas

componentes, conforme aparente na Figura 2.11.

Bd

Bq

a

eixo q

aB2

eixo d

B1

Figura 2.11 Decomposio do fluxo magntico em duas componentes.

Definem-se assim duas reactncias sncronas Xd e Xq, segundo os eixos d e q, respecti-

vamente. Decompondo igualmente a corrente I em duas componentes Id e Iq:

qd III += (2.34)

A tenso aos terminais V igual f.e.m. E, adicionada das quedas de tenso dIdjX- e

qIqjX- :

qd IIEV qd XjXj --= (2.35)

Esta equao est traduzida graficamente no diagrama de fasores da Figura 2.12.

d

Referncia

Iq Vq Eqd

j(Xd-Xq)Id

Eq

jXqI jXqIq

jXdIdV

Vd

IdI

df

Figura 2.12 Diagrama de fasores para uma mquina de plos salientes.

A equao (2.35) pode rescrever-se:


( )

( ) ddd

IIE

I-IIEV

qdq

qd

XXjjX

XjXj

---=

=--= (2.36)

Definindo o fasor qdE por:

IVEqd qXj+= (2.37)

obtm-se:

dqd IEE )Xj(X qd -+= (2.38)

Uma vez que dI)Xj(X qd - colinear com E, o mesmo sucede a qdE . Ento, em mdu-

lo:

dqdqd I)X(XEE -+= (2.39)

Tomando a tenso aos terminais V como referncia, o argumento d da f.e.m. E coincide

com o de qdE .

Da Figura 2.12 obtm-se:

dcosVIXE dd =- (2.40)

dsenVIX qq = (2.41)

e tambm:

( )df += cosIIq (2.42)

( )df += senIId (2.43)

Multiplicando a equao (2.42) por dcos e a equao (2.43) por dsen , e somando-as;

multiplicando a equao (2.42) por dsen e a equao (2.43) por dcos , e subtraindo-as,

obtm-se:

ddf senIcosIcosI dq += (2.44)

ddf senIcosIsenI qd -= (2.45)

Substituindo estas ltimas equaes nas equaes (2.25) e (2.26) e fazendo uso das

equaes (2.40) e (2.41) obtm-se as potncias activa e reactiva geradas:


dd 2senX1

X1

2V

senX

EVP

dq

2

dG

-+= (2.46)

+-=

q

2

d

22

dG X

senX

cosVcos

XEV

Qdd

d (2.47)

O primeiro termo destas equaes dominante; o segundo devido ao efeito da salin-

cia. Se se desprezar o efeito desta, obtm-se:

dsenX

EVP

sG = (2.48)

( )VcosEXV

Qs

G -= d (2.49)

onde sX a reactncia sncrona (que se pode tomar aproximadamente como a mdia

aritmtica de dX e qX ). Estas equaes coincidem com as derivadas anteriormente na

Seco 2.1.6.

No Quadro 2.1 apresentam-se valores tpicos de dX e qX para diversos tipos de mqui-

nas sncronas, expressos em p.u. na base da potncia aparente nominal das mesmas.

Quadro 2.1 Valores Tpicos das Reactncias das Mquinas Sncronas (p.u.).

Rotor Cilndrico 2 plos Rotor Cilndrico

4 plos Plos Salientes

Xd

0,85 1,45 1,00 1,45 0,6 1,5

Xq

0,92 1,42 0,92 1,42 0,4 0,8

2.1.8 Modos de Operao

O gerador sncrono pode alimentar uma carga isolada ou, mais usualmente, estar inte-

grado numa rede qual esto ligados outros geradores, rodando em sincronismo.

Na primeira situao que ocorre raramente6 o gerador tem, por si s, que manter

aproximadamente constante a frequncia e a tenso aos terminais, por meio da aco de

reguladores de velocidade e de tenso, respectivamente.

6 o caso, por exemplo, de um gerador de socorro, quando falta a alimentao da rede.


Quando uma carga ligada ao gerador suposto em vazio, rodando velocidade nominal

e apresentando a tenso nominal aos seus terminais a corrente no estator d lugar a

um binrio resistente T (negativo), o qual impe uma desacelerao do rotor, de acordo

com a equao:

td

dIT r

w= (2.50)

onde I o momento de inrcia do grupo gerador (incluindo a mquina de accionamento) e

wr a velocidade angular do rotor.

Uma vez que a frequncia proporcional velocidade do rotor, a frequncia vai baixar,

efeito que tem de ser corrigido atravs do aumento do binrio fornecido pela mquina mo-

triz, ou seja da potncia mecnica PM, que est relacionada com aquele pela equao:

rM TP w= (2.51)

A ligao da carga origina tambm uma queda de tenso aprecivel, devida reactncia

sncrona da mquina, a qual tem de ser compensada por um aumento da corrente de ex-

citao, que eleva o valor da f.e.m.

A potncia activa e reactiva fornecida pelo gerador dever ser igual pedida pela carga,

adicionada das perdas nos circuitos de ligao.

No caso de o gerador estar integrado numa rede sncrona, antes de ser ligado pelo res-

pectivo disjuntor, tem de ser sincronizado por meio de um dispositivo designado sincro-

nizador o qual assegura as seguintes condies:

A frequncia do gerador e da rede so iguais;

A sequncia de fases do gerador coincide com a da tenso da rede;

A f.e.m. do gerador e a tenso da rede tm a mesma amplitude e fase.

Uma vez o gerador ligado rede, h que coloc-lo em carga, isto , a fornecer potncia.

Para tal, actua-se sobre a vlvula de admisso da mquina de accionamento, manobra

que requer um servomotor hidrulico devido elevada fora necessria.

Se a potncia do gerador for muito menor que a potncia girante da rede potncia total

das mquinas em servio como habitualmente o caso, a frequncia do conjunto no

ser significativamente afectada pelo facto de aquele ser colocado em carga. Na verdade,

a regulao de frequncia uma tarefa executada pelo conjunto dos geradores em para-

lelo, podendo contudo ser atribuda prioritariamente a alguns dentre eles.


Note-se que a mquina sncrona pode tambm funcionar como motor, recebendo energia

elctrica da rede e fornecendo energia mecnica a uma carga, como , por exemplo o

caso das centrais hidroelctricas com bombagem. Neste tipo de centrais, a gua pode

ser bombada de uma cota mais baixa para outra mais elevada nos perodos de vazio,

para ser turbinada nos perodos de ponta. Esta operao tem interesse tcnico e econ-

mico, pois a energia tem um valor consideravelmente superior nas horas de ponta. Nos

perodos em que se procede bombagem, o gerador funciona como motor.

Usada especificamente como motor, a mquina sncrona tem uma limitao importante:

necessita de uma mquina auxiliar para a levar do repouso at sincronizao com a

rede que a alimenta.

No que respeita potncia reactiva, a mquina sncrona pode fornec-la ou consumi-la,

tal como j foi analisado na Seco 2.1.5. A tenso no barramento da central pode ser

regulada automaticamente por meio do regulador de tenso, situao em que a potncia

reactiva a fornecer ou consumir se torna uma varivel dependente. Em alternativa, o ge-

rador pode ser operado com potncia reactiva (ou factor de potncia) constante, o que

no assegura uma tenso constante. Em qualquer dos casos, o regulador de tenso

que de facto um regulador de tenso-potncia reactiva actua sobre a corrente de exci-

tao.

Das equaes (2.27) e (2.46) resulta que, se 0=d , a potncia activa nula. Tal no si-

gnifica contudo que o mesmo suceda quanto potncia reactiva, a qual pode ser positiva

ou negativa (ou nula). Este um modo de funcionamento possvel para uma mquina sn-

crona, que ento recebe a designao de compensador sncrono.

Um compensador sncrono permite uma variao contnua da potncia reactiva fornecida

(ou absorvida7 da) rede, atravs da actuao sobre a corrente de excitao a qual

pouco afecta a potncia activa. Este um poderoso meio de regulao de tenso, que

pode ser implementado com recurso a grupos geradores que, para o efeito, funcionam

como motores em vazio, consumindo apenas uma potncia activa igual s perdas. Em-

bora de uso muito limitado, a mquina sncrona tambm pode ser instalada para funcionar

exclusivamente como compensador sncrono.

Na Figura 2.13 apresentam-se os diagramas de fasores correspondentes aos seis modos

de funcionamento de uma mquina sncrona: gerador ou motor sobre ou subexcitado,

compensador sncrono ou reactncia sncrona, respectivamente.

7 Neste caso, pode designar-se por reactncia sncrona.


f

I

Vd

E IE

f d

V

Gerador sobreexcitadoPG >0 QG >0

Gerador subexcitadoPG >0 QG


V

+ E

jxL jxs

~

Figura 2.14 Mquina sncrona ligada a uma rede infinita.

Sendo a reactncia total Xs+XL, a potncia activa gerada, desprezando a salincia, dada

por (ver equao (2.27)):

dsenXX

VEP

LsG +

= (2.52)

onde V a amplitude da tenso da rede (suposta constante) e d o argumento da f.e.m. E,

definido em relao quela tenso.

Na Figura 2.15 representa-se a variao da potncia gerada com o argumento d. Quando

este positivo, a potncia positiva e a mquina funciona como gerador; quando nega-

tivo, a potncia negativa e a mquina funciona como motor. O valor mximo da potncia

ocorre para 2pd = (funcionamento como gerador) ou para 2pd -= (funcionamento

como motor).

Pmax

PG

d-p/2

-Pmax

p/2

Motor Gerador

Figura 2.15 Potncia activa em funo do argumento d .


A ligao elctrica do gerador com a rede assemelha-se a uma ligao mecnica elsti-

ca. Define-se a rigidez elctrica ou coeficiente de sincronismo pela derivada da potncia

gerada em ordem ao ngulo de potncia:

dd

cosXX

VEPC

Ls

Gs +

=

= (2.53)

Este coeficiente mximo quando a mquina est em vazio (d=0), diminuindo medida

que vai sendo carregada, em virtude do aumento de d. O valor mximo terico de d p/2

ponto em que a mquina perde o sincronismo com a rede no devendo na prtica

exceder 30-40.

Par uma mquina de plos salientes, considerando a salincia, a potncia activa dada

por (ver equao (2.46)):

444444 3444444 2144 344 21ba

senXXXX

Vsen

XXEV

PLdLqLd

G dd 211

2

2

+-

++

+= (2.54)

A curva correspondente a esta equao est representada na Figura 2.16. O valor do ar-

gumento dl im, que corresponde perda de sincronismo, pode obter-se por soluo da

equao:

0PG =

d

(2.55)

Verifica-se que dl im


Da equao (2.52) constata-se que, para a mesma potncia activa produzida, quanto

maior for a f.e.m. E, tanto menor o ngulo de potncia d. Da equao (2.53), conclui-se

que o coeficiente de sincronismo aumenta, o que significa que a estabilidade da marcha

sncrona vem aumentada. Quando a mquina est sobreexcitada, o funcionamento por

conseguinte mais estvel, e inversamente: uma mquina subexcitada menos estvel.

2.2 Transformador

2.2.1 Introduo

O transformador um dos componentes mais teis dos Sistemas de Energia Elctrica,

permitindo alterar a tenso de uma rede para o nvel mais adequado funo que desem-

penha.

A tenso produzida pelos geradores situa-se na gama da mdia tenso salvo os de po-

tncia muito baixa, que podem operar em baixa tenso porque esta a tenso que op-

timiza tcnica e economicamente o projecto destes equipamentos.

Assim, usual a instalao de transformadores sada das centrais, os quais elevam a

tenso para o nvel adequado ao transporte ou distribuio para a produo de baixa

potncia. Acresce que estes transformadores protegem os geradores contra as sobre-

tenses atmosfricas com origem na rede aos quais esto ligados.

A rede de transporte opera em muito alta tenso, conforme j anteriormente assinalado.

Esta tenso tem de ser reduzida para mdia tenso para efeitos de distribuio e para

baixa tenso a nvel da utilizao. O transformador pode ainda ser dotado de um comuta-

dor de tomadas, o que lhe permite ser utilizado como regulador de tenso.

O transformador uma mquina esttica, constitudo essencialmente por dois (ou trs)

enrolamentos de cobre, montados em torno de um ncleo de ferro. Este construdo em

chapa laminada, a fim de reduzir as perdas por histeresis e correntes de Foucault. O fluxo

de energia elctrica bidireccional, sendo designado por primrio o enrolamento que re-

cebe energia e secundrio o que a entrega.


2.2.2 Princpio de Funcionamento

Considere-se um transformador monofsico ideal (sem perdas nem disperso), repre-

sentado esquematicamente na Figura 2.17 (observe-se o sentido convencional das cor-

rentes correspondentes aos enrolamentos primrio e secundrio).

i1

v1 N2 v2

i2

N1

1 2

primrio secundrio

F

Figura 2.17 Transformador ideal.

A aplicao de uma tenso alternada v1 ao enrolamento primrio d lugar a um fluxo liga-

do l1, que com ela se relaciona pela lei de Faraday:

td

dv 11

l= (2.56)

O fluxo ligado l1 igual ao produto do nmero de espiras do enrolamento N1 pelo fluxo f

que circula no ncleo:

Fl 11 N= (2.57)

donde:

td

dNv

F11 = (2.58)

O fluxo F o mesmo para os dois enrolamentos, uma vez que no h disperso. A f.e.m.

induzida no enrolamento secundrio (tenso em vazio) v2 ento:

td

dN

tdd

vFl

22

2 == (2.59)

onde N2 o nmero de espiras do enrolamento secundrio.

Em regime alternado sinusoidal, o fluxo F e as tenses v1 e v2 tm a mesma frequncia

angular w . Usando a notao simblica:


FV 11 Njw= (2.60)

FV 22 Njw= (2.61)

Dividindo as duas ltimas equaes:

2

1

2

1

NN

VV ==

2

1

VV (2.62)

Uma vez que desprezmos as perdas, a potncia complexa igual nos dois lados do

transformador:

** = 2211 IVIV (2.63)

donde:

1

2

2

1

VV

II

=**

(2.64)

ou seja:

1

2

2

1

NN

II

==2

1

II

(2.65)

A relao de transformao m o quociente entre o nmero de espiras N1 do primrio

(enrolamento que recebe energia) e do secundrio N2 (enrolamento que cede energia):

2n

1n

2

1

VV

NN

m == kV/kV (2.66)

onde Vn1 a tenso nominal primria e Vn2 a tenso nominal secundria.

Tomando para tenses de base dos lados primrio e do secundrio, as respectivas ten-

ses nominais:

2n2b

1n1b

VV

VV

=

= (2.67)

a relao de transformao em p.u. :

,012

2

1

1

2

1 ===n

b

b

n

n

n

VV

VV

V

Vm

pu

pu p.u. (2.68)

Uma vez que a relao de transformao unitria, o transformador ideal pode ser igno-

rado no esquema equivalente da rede em que esteja integrado.


2.2.3 Corrente de Magnetizao

Para assegurar um boa ligao magntica entre os dois enrolamentos do transformador,

o fluxo magntico estabelecido num ncleo de ferro (circuito magntico), cuja permeabi-

lidade muito superior do ar. Na Figura 2.18 mostram-se dois tipos construtivos de

transformadores (monofsicos): o tipo core (a) e o tipo shell (b). No primeiro, o ncleo

um anel fechado, em torno do qual so montados os enrolamentos; no segundo, o ncleo

envolve os enrolamentos.

b

Ncleo

f

Enrolamentos

a

Ncleo

Enrolamentos

f

Figura 2.18 Tipos construtivos do transformador: a) Tipo core b) Tipo shell

O ncleo de ferro possui uma caracterstica BH no-linear (B e H so a induo ou den-

sidade de fluxo e o campo magnticos, respectivamente): a partir de um certo valor do

campo, manifesta-se a saturao. Acresce o fenmeno da histeresis, que resulta em que

as trajectrias BH so distintas para valores crescentes ou decrescentes do campo

magntico, conforme se representa na Figura 2.19.

B

H

Figura 2.19 Caracterstica magntica do ncleo do transformador.


O fluxo magntico alternado d lugar a perdas de energia no ncleo de ferro, devidas: (a)

histeresis e (b) a correntes de Foucault. As primeiras resultam da dissipao de energia

usada para orientar os domnios magnticos do material na direco do campo; as se-

gundas so devidas a perdas de Joule provocadas pelas correntes induzidas no ferro.

Para reduzir estas, o circuito magntico construdo em chapa de ferro laminada.

Devido no-linearidade acima referida a corrente em vazio do transformador no uma

sinuside perfeita, antes contm algumas harmnicas. A componente fundamental fre-

quncia nominal designada corrente de magnetizao representa-se na Figura 2.20,

na qual se observa que pode ser decomposta numa componente em fase com a tenso,

que resulta das perdas, e numa componente em quadratura.

V

Im

f

~v

im

+

-

Figura 2.20 Transformador em vazio.

A corrente de magnetizao da ordem de 2 a 5% da corrente nominal e as perdas em

vazio (perdas no ferro) da ordem de 0,1 a 0,5% da potncia nominal podem obter-se

por meio de um ensaio em vazio do transformador.

2.2.4 Esquema Equivalente

Um primeiro esquema equivalente do transformador o que se representa na Figura

2.21.

jX2 I1

V1 Gm jBm E1

N1 N2

E2 V2

R2 R1 jX1 I2 I2 1 2


Figura 2.21 Esquema equivalente do transformador.

tenso V1 aplicada ao enrolamento primrio subtrada a queda de tenso R1 I1 devida

resistncia R1 dos condutores bem como a queda de tenso devida reactncia de

disperso X1, resultando a f.e.m. E1. A corrente I1 a soma da corrente de magnetizao

Im com a corrente 2I que transformada pela relao de transformao resultando na

corrente I2 no secundrio. As componentes em fase e em quadratura da corrente de

magnetizao circulam atravs da condutncia Gm e da susceptncia Bm, respectivamen-

te.

A f.e.m. no secundrio do transformador ideal E2=E1/m onde 21 NNm = a relao de

transformao. A tenso aos terminais do secundrio V2 obtm-se a partir de E2 sub-

traindo as quedas de tenso R2I2 e jX2I2 devidas resistncia e reactncia de disperso

do respectivo enrolamento.

Usando valores p.u., o transformador ideal desaparece, uma vez que a relao de trans-

formao m unitria. Chegamos assim ao esquema equivalente em T, representado na

Figura 2.22.

1R 1jX 2R 2jX

2V 1V mG mjB

I2

Im

I1 I1 1 2

Figura 2.22 Esquema equivalente em T do transformador.

No funcionamento normal, o fluxo no ncleo mantm-se substancialmente constante, pelo

que as admitncias do ramo transversal que modela a corrente de magnetizao se po-

dem considerar igualmente constantes.

Dado que a corrente de magnetizao pequena, o ramo transversal pode ser levado

para um dos extremos do esquema, conforme se representa na Figura 2.23, onde

21t RRR += e 21t XXX += .


I2

Im

V1 V2

I1 Rt jXt

Gm jBm

1 2

Figura 2.23 Esquema equivalente em L do transformador.

Na maioria das aplicaes em sistemas de energia, pode desprezar-se a corrente de

magnetizao, o que permite simplificar o modelo para o representado na Figura 2.24.

I2 I1

R t jX t

V 1 V 2

1 22

Figura 2.24 Esquema equivalente aproximado do transformador.

Recorde-se que as grandezas elctricas esto expressas em p.u., referidas potncia

aparente nominal do transformador e s tenses nominais do primrio e do secundrio,

consoante se refiram quele ou este enrolamento.

Uma vez que as correntes expressas em p.u. nos dois enrolamentos so iguais,

III == 21 , a relao entre as tenses primria e secundria exprime-se pela equao:

IZVV t+= 21 (2.69)

onde tt XjR +=tZ .

Atravs de um ensaio em curto-circuito do transformador pode medir-se a impedncia Zt.

razo pela qual normalmente designada impedncia de curto-circuito do transforma-

dor. Neste ensaio, representado na Figura 2.25, aplica-se um curto-circuito a um dos en-

rolamentos e alimenta-se o outro com uma tenso reduzida designada tenso de curto-

circuito que faz circular a corrente nominal em ambos os enrolamentos.


Vcc

In Zt=Zcc

Figura 2.25 Transformador em curto-circuito.

A tenso de curto-circuito ccV dada por:

ncccc IZV = (2.70)

Uma vez que 01,In = , tem-se:

cccc ZV = (2.71)

Em valores p.u., com a base postulada, a tenso e a impedncia de curto-circuito do

transformador exprimem-se pelo mesmo valor.

Para decompor a impedncia de curto-circuito nas suas componentes resistiva e reacti-

va, h que medir a potncia consumida, a partir da qual se calcula a resistncia. Uma vez

que se conhece j o mdulo da impedncia, o clculo da reactncia trivial. As perdas

em curto-circuito do transformador (perdas no cobre) situam-se tipicamente na gama 0,5

a 2,5% da potncia nominal.

2.2.5 Transformador com Trs Enrolamentos

Tratando-se de um transformador com trs enrolamentos instalados em torno do mesmo

ncleo, representa-se na Figura 2.26 o respectivo esquema equivalente, o qual inclui um

n fictcio interno ao transformador. No caso de se pretender representar a impedncia de

magnetizao, ela ligar-se-ia entre o n fictcio e o neutro.


V1V2

V3

N2

N3

N1V2

1

V3

2

3V1

I1

I2

Z1

Z2

I3Z3

Figura 2.26 Transformador com trs enrolamentos.

Neste caso, definem-se trs impedncias (ou tenses) de curto-circuito, relativas a igual

nmero de combinaes dois a dois, dos trs enrolamentos. Dado que a potncia aparen-

te nominal dos trs enrolamentos no a mesma (ainda que, em geral, dois deles te-

nham potncias nominais idnticas), a impedncia de curto-circuito referente a um par de

enrolamentos vem referida menor das potncias nominais. H assim que convert-las a

uma base de potncia comum.

As impedncias do esquema monofsico equivalente, admitindo uma relao X/R idntica

para os trs enrolamentos8, podem ser obtidas a partir dos trs ensaios de curto-circuito

primrio-secundrio, primrio-tercirio e secundrio-tercirio nos quais se medem

12Z , 13Z e 23Z , respectivamente, sendo:

+=+=

+=

3223

3113

2112

ZZZZZZ

ZZZ (2.72)

Daqui resulta:

2ZZZ

Z

2ZZZ

Z

2ZZZ

Z

1223133

1323122

2313121

-+=

-+=

-+=

(2.73)

Dado que a resistncia dos enrolamentos em geral muito menor que a reactncia, pode

modelar-se aproximadamente o transformador apenas pelas reactncias de curto-

circuito.


2.2.6 Autotransformador

Num autotransformador a ligao entre os dois enrolamentos elctrica e magntica. As-

sim, os enrolamentos no esto isolados electricamente conforme se ilustra na Figura

2.27.

V2

1V

I1

2I

V2

V1

N2

N1

I2

Figura 2.27 Autotransformador.

Sendo vlidas as relaes:

mNN

VV

2

1

2

1 == (2.74)

m1

NN

II

1

2

2

1 == (2.75)

a potncia aparente fornecida ao autotransformador :

( )

m1m

S

m1m

IVIVVIVS

1

11121111

+=

+=+==

(2.76)

e a potncia cedida por este :

( )

m1m

S

m1m

IVIIVIVS

2

22212222

+=

+=+==

(2.77)

Observa-se que a potncia nominal do autotransformador mais elevada que a corres-

pondente configurao com dois enrolamentos separados ( 21 SS = ). Uma vez que a

8 Em geral, despreza-se a resistncia.


corrente em cada enrolamento a mesma nas duas configuraes, as perdas so iguais,

donde resulta um aumento do rendimento energtico.

Esta vantagem, que resulta numa aprecivel reduo de custo, tanto maior quanto mais

prxima da unidade for a relao de transformao. Por esta razo, em geral usam-se

autotransformadores quando a relao de transformao inferior a 3:1.

Duas desvantagens do autotransformador so a ausncia de isolamento galvnico entre

os enrolamentos e uma corrente de curto-circuito mais elevada, uma vez que a impedn-

cia de curto-circuito menor. Para o auto transformador representado na Figura 2.27,

pode verificar-se que a impedncia de curto-circuito se reduz para ( ) ccZm11 + .

2.2.7 Transformador Trifsico

Em sistemas trifsicos, pode usar-se um conjunto de trs transformadores monofsicos

(muitas vezes designado banco de transformadores) ou um transformador trifsico, que

se representa na Figura 2.28.

afb c

f

Figura 2.28 Transformador trifsico (tipo core).

Uma vez que as tenses fase-neutro tm simetria trifsica, o mesmo sucede aos fluxos

magnticos no ncleo, cuja soma nula em qualquer instante. No por conseguinte ne-

cessrio um circuito magntico de retorno, semelhana do que sucede para a corrente

em sistemas trifsicos simtricos.

Comparando os dois arranjos, verifica-se que o transformador trifsico mais compacto

e requer menos ferro que o banco de trs transformadores sendo, por conseguinte, mais

barato. Em contrapartida, do ponto de vista da fiabilidade, o segundo esquema mais

econmico, uma vez que suficiente uma reserva de um transformador monofsico.

J vimos anteriormente que duas configuraes so possveis em sistemas trifsicos:

estrela (Y) e tringulo (D). Daqui resultam os quatro tipos de ligaes para os transforma-


dores trifsicos que se mostram na Figura 2.29: Y/Y, Y/D ,D/Y e D/D9. Nos enrolamentos

ligados em estrela o neutro pode ou no estar ligado terra; nos enrolamentos ligados em

tringulo, no existe um ponto neutro.

A relao de transformao de um transformador Y/Y ou D/D sempre um nmero real,

uma vez que as tenses primrias e secundrias em vazio esto em fase, tal como su-

cede num transformador monofsico. Note-se que os enrolamentos tm polaridade, assi-

nalada na Figura 2.29 com uma pequena bola preta, aspecto da maior importncia em

transformadores trifsicos.

9 Os enrolamentos podem ainda ser ligados em zig-zag, o que por vezes se usa em transformadores de

distribuio..


d

bc

b

a

c

a

a

c

b

b

c

a

a

b

c

c

b

n

a

a

b

c

n

a

c

b

n

a

c

b

n

Figura 2.29 Tipos de ligaes de transformadores trifsicos.


Em transformadores Y/D ou D/Y, contudo, existe uma desfasagem entre as tenses pri-

mria e secundria, razo pela qual a relao de transformao complexa. Considere-

se o transformador Y/D representado na Figura 2.30a, ao qual corresponde o diagrama de

fasores da Figura 2.30b.

Do diagrama de fasores observa-se que :

c2a

2ac

2 VVV -= (2.78)

Tomando a2V como referncia e a sequncia de fases normal a-b-c, temos:

120ea2c

2 VV = (2.79)

Substituindo esta equao na equao (2.78):

( )

30j

120j

e3

e1-=

-=a

2

a2

ac2

V

VV (2.80)

Sendo N1 e N2 o nmero de espiras dos enrolamentos primrio e secundrio, respecti-

vamente, tem-se:

je

NN

NN

30

2

1

2

1

3 -=

=

a2

ac2

a1

V

VV (2.81)

Conclumos assim que a tenso fase-neutro secundria est desfasada de 30 em avan-

o, em relao correspondente tenso primria.

Definindo a relao de transformao complexa por:

30j2

1 eNN

3 -=m (2.82)

a equao (2.81) pode escrever-se:

a2a

1 VmV = (2.83)

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