UNIVERSIDADE TCNICA DE LISBOA
INSTITUTO SUPERIOR TCNICO
Departamento de Engenharia Electrotcnica e de Computadores / Seco de Energia
FUNDAMENTOS DOS SISTEMAS
DE ENERGIA ELCTRICA
Jos Pedro Sucena Paiva
Prof. Catedrtico
NDICE
1 Conceitos Bsicos 5
1.1 Energia e Potncia. Diagrama de Carga. 5
1.2 Potncia em Sistemas de Energia Elctrica 7
1.2.1 Potncia Activa e Reactiva 7 1.2.2 Potncia Complexa e Aparente 10
1.3 Sistema Elctrico Trifsico 12
1.3.1 Tenso e Corrente 12 1.3.2 Potncia Activa e Reactiva 15 1.3.3 Carga Ligada em Tringulo 16
1.4 Representao do Sistema de Energia 17
1.5 Valores por Unidade 17
1.5.1 Sistemas Monofsicos 18 1.5.2 Sistemas Trifsicos 19
1.6 Transmisso de Energia 20
1.6.1 Em Corrente Alternada 20 1.6.2 Em Corrente Contnua 23
1.7 Caracterizao das Cargas 24
1.7.1 Tipologia 24 1.7.2 Elasticidades 25 1.7.3 Elasticidade em Relao Tenso 26 1.7.4 Elasticidade em Relao Frequncia 29
2 Mquinas Rotativas e Transformador 31
2.1 Mquina Sncrona 31
2.1.1 Introduo 31 2.1.2 Princpio de Funcionamento 32 2.1.3 Modelo Matemtico 36 2.1.4 Caractersticas em Vazio e em Curto-Circuito 39 2.1.5 Caractersticas em Carga 41 2.1.6 Potncia Activa e Reactiva 41 2.1.7 Efeito da Salincia 43 2.1.8 Modos de Operao 46 2.1.9 Estabilidade da Marcha Sncrona 49
2.2 Transformador 52
2.2.1 Introduo 52
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva ii
2.2.2 Princpio de Funcionamento 52 2.2.3 Corrente de Magnetizao 54 2.2.4 Esquema Equivalente 56 2.2.5 Transformador com Trs Enrolamentos 59 2.2.6 Autotransformador 60 2.2.7 Transformador Trifsico 61 2.2.8 Transformador com Regulao de Tenso 66
2.3 Mquina Assncrona 68
2.3.1 Introduo 68 2.3.2 Princpio de Funcionamento 69 2.3.3 Modelo Matemtico 70 2.3.4 Potncia e Binrio 71 2.3.5 Funcionamento como Gerador 74
3 Linha Elctrica de Energia 77
3.1 Introduo 77
3.2 Resistncia e Condutncia Transversal 78
3.3 Reactncia 80
3.3.1 Linha Monofsica 80 3.3.2 Linha com n Condutores 84 3.3.3 Linha Trifsica 87 3.3.4 Linha Trifsica com Dois Condutores em Feixe 90
3.4 Admitncia Transversal 91
3.4.1 Linha Monofsica 92 3.4.2 Linha com n Condutores 93 3.4.3 Influncia da Terra 94 3.4.4 Linha Trifsica 97 3.4.5 Linha Trifsica com Dois Condutores em Feixe 99 3.4.6 Cabo Subterrneo 100
3.5 Modelo da Linha em Regime Estacionrio 101
3.5.1 Modelo Exacto 101 3.5.2 Esquema Equivalente em p 105 3.5.3 Esquema Equivalente em p Nominal 106 3.5.4 Modelo da Linha Curta 107
3.6 Linha Terminada pela Impedncia de Onda 109
3.7 Capacidade de Transporte 112
3.7.1 Limite Trmico 112 3.7.2 Limite de Estabilidade Esttica 113
J. Sucena Paiva ndice iii
3.7.3 Limite de Estabilidade de Tenso 116
4 Correntes de Curto-Circuito 121
4.1 Introduo 121
4.2 Corrente e Potncia de Curto-Circuito 122
4.2.1 Teorema da Sobreposio 123 4.2.2 Teorema de Thvenin 124
4.3 Curto-Circuito de um Gerador Sncrono 125
4.4 Modelos dos Elementos da Rede 129
4.4.1 Gerador 129 4.4.2 Transformador e Linha 129 4.4.3 Cargas 130
4.5 Clculo das Correntes de Curto-Circuito Simtrico 130
4.5.1 Reduo da Rede 130 4.5.2 Impedncia Equivalente a Montante 131 4.5.3 Matriz das Impedncias Nodais 132
CAPTULO 1
CONCEITOS BSICOS
Neste captulo apresentam-se alguns conceitos bsicos necessrios modelao e an-
lise de Sistemas de Energia Elctrica (SEE), admitindo-se que o leitor j est familiariza-
do com os fundamentos da teoria dos circuitos e das redes elctricas.
Os conceitos fundamentais de energia e potncia so ilustrados com recurso a um dia-
grama de carga do sistema elctrico portugus. Em sistemas de corrente alternada, a
potncia tem de ser qualificada, definido-se as diversas modalidades: activa, reactiva,
complexa e aparente.
Dado que a energia elctrica produzida, transportada e distribuda em corrente alternada
trifsica, este tipo de sistema elctrico abordado de seguida.
Refere-se o uso do esquema monofsico equivalente e do esquema unifilar para repre-
sentar o sistema trifsico simtrico, e classificam-se as redes elctricas segundo a ten-
so, a funo e a estrutura topolgica.
O uso do sistema por unidade para exprimir as grandezas elctricas de forma adimensio-
nal hoje universal, pelas vantagens que a prtica evidenciou. Trata-se assim de um tpi-
co que o engenheiro de sistemas de energia deve dominar perfeitamente, e que ser
utilizado ao longo de todo este livro.
Numa rede sncrona em corrente alternada, a transmisso de energia condicionada por
diversos factores, os quais so identificados e analisados. A ttulo comparativo, aborda-se
tambm a transferncia de energia em corrente contnua.
So ainda tipificadas as cargas ligadas rede, e formulados os modelos matemticos
pertinentes.
1.1 Energia e Potncia. Diagrama de Carga.
Um Sistema de Energia Elctrica fornece energia aos consumidores que a utilizam, as-
segurando o nvel de potncia que estes requerem para alimentar o conjunto dos equipa-
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 6
mentos ligados a carga do sistema. A energia e a potncia so contabilizados separa-
damente na factura de electricidade, j que os custos associados a uma e outra so dife-
rentes.
A relao bsica entre energia e potncia exprime-se matematicamente por:
tdEd
P = (1.1)
onde E denota a energia, P a potncia e t o tempo.
Sendo a potncia a derivada da energia em ordem ao tempo, tem-se inversamente:
tdPE = (1.2)
Em unidades do Sistema Internacional, a energia exprime-se em Joule (J) e a potncia
em Watt (W). Estas unidades correspondem a quantidades muito pequenas, face s que
esto em jogo nos sistemas de energia elctrica, pelo que se usam de preferncia os
respectivos mltiplos.
Assim, para a potncia usam-se Kilowatt (1kW=103 W), Megawatt (1 MW=106 W), Gi-
gawatt (1 GW=109 W) e Terawatt (1 TW=1012 W).
Para a energia, a unidade utilizada na prtica Watt.hora (1 Wh=3 600 J) e os seus ml-
tiplos: kWh, MWh, GWh e TWh.
A carga de um SEE varia significativamente ao longo do dia, acompanhando a actividade
humana. Na Figura 1.1 apresenta-se o diagrama de carga do Sistema Elctrico nacional
visto de rede de transporte, no dia 5/1/2000, em que se verificou uma potncia mxima
(ponta) de 6287 MW, s 19.00 horas, e um consumo de energia de 117 GWh (rea som-
breada).
Para um diagrama de carga, define-se utilizao diria da ponta como a relao entre a
energia e a potncia mxima; e factor de carga dirio como a relao entre a potncia
mdia e a potncia mxima. Estas grandezas tambm podem ser definidas para outros
perodos de tempo, por exemplo, o ano: utilizao anual da ponta e factor de carga anual.
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 7
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
MW
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24Horas
4feira 5/1/2000
E=117 GWh
Pmax=6287 MW
Figura 1.1 Diagrama de carga visto da rede de transporte, 5/1/2000.
1.2 Potncia em Sistemas de Energia Elctrica
Os sistemas de energia elctrica actualmente existentes funcionam, na sua quase totali-
dade, em corrente alternada com uma frequncia de 50 Hz na Europa de 60 Hz nos
EUA1 existindo contudo casos especiais em que se utiliza a corrente contnua.
1.2.1 Potncia Activa e Reactiva
Considere-se um sistema monofsico de corrente alternada representado na Figura 1.2,
constitudo por um gerador e uma carga. Admite-se que o gerador aplica uma tenso v
carga, representada por uma impedncia constante Z.
Ze ~+
-
i
v
Figura 1.2 Sistema monofsico em corrente alternada.
1 Em alguns pases nomeadamente o Japo coexistem as duas frequncias.
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 8
Admita-se que os valores instantneos da tenso v e da corrente i so sinusoidais, com
valores eficazes V e I, respectivamente, e frequncia angular w:
tsenVv 2 w= (1.3)
)t(senIi 2 fw -= (1.4)
f2pw = (1.5)
onde f a frequncia, e f o ngulo de desfasagem entre a tenso e a corrente, conside-
rado positivo quando a carga indutiva.
A potncia instantnea p transferida do gerador para a carga o produto da tenso v pela
corrente i:
( )
( )fwffww
--=-==
tcosIVcosIVtsentsenIV2ivp
2 (1.6)
Estas grandezas esto representadas na Figura 1.3a.
A equao anterior pode ser transformada em:
( ) 444 3444 214444 34444 2121 p
tsensenIVp
tcos1cosIVp 22 wfwf --= (1.7)
A representao grfica de p e das componentes p1 e p2 consta da Figura 1.3b.
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 9
Figura 1.3 Tenso, corrente e potncia num circuito monofsico.
A componente p1 oscila em torno do valor mdio fcosIV com frequncia angular 2w,
nunca mudando de sinal. A componente p2 oscila com idntica frequncia, possui um va-
lor mdio nulo e um valor mximo fsenIV .
Definam-se agora as grandezas:
Potncia activa
fcosIVP = (1.8)
Potncia reactiva
fsenIVQ = (1.9)
Ento, a equao (2.7) escreve-se:
( ) tsenQtcos1Pp 22 ww --= (1.10)
A grandeza fcos designa-se por factor de potncia.
A potncia activa P o valor mdio da potncia instantnea e corresponde por conseguin-
te potncia que efectivamente transferida. A potncia reactiva Q o valor mximo da
componente da potncia que oscila entre o gerador e carga, cujo valor mdio nulo, re-
sultante da variao da energia magntica ou elctrica armazenada nos elementos induti-
vos ou capacitivos, respectivamente, da impedncia de carga.
A unidade de potncia , como j referido, o Watt=Volt.Ampere. Na prtica dos SEE, no
entanto, distinguem-se as unidades de potncia activa e de potncia reactiva. Para a pri-
meira, reserva-se o Watt (W) e seus mltiplos (kW, MW, GW, TW); para a segunda usa-
se o Volt.Ampere reactivo (VAr) e seus mltiplos (kVAr, MVAr, GVAr, TVAr).
Regressando s equaes (1.8) e (1.9) e notando que f pode variar de +p/2 (carga induti-
va pura) a p/2 (carga capacitiva pura) verifica-se que, enquanto P sempre positivo, Q
pode ser positivo ou negativo. Ser positivo se a carga for indutiva (f>0), negativo se a
carga for capacitiva (f
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 10
1.2.2 Potncia Complexa e Aparente
Usando a notao simblica, a tenso e a corrente escrevem-se (admitindo argumentos
arbitrrio d e b para a tenso e corrente, respectivamente)2:
djeV=V (1.11)
bjeI=I (1.12)
O diagrama de fasores correspondente est representado na Figura 1.4.
d f
b
V
I
Im
Re
Figura 1.4 Diagrama de fasores para a tenso e a corrente.
A potncia complexa S definida pelo produto do fasor tenso pelo conjugado do fasor
corrente
*= IVS (1.13)
Substituindo as equaes (1.11) e (1.12) em (1.13) obtm-se:
ff
fbdbd
senIVjcosIVeIVeIVeIeV j)(jjj
+==== --S (1.14)
Atendendo definio de potncia activa e reactiva, tem-se:
QjP +=S (1.15)
A potncia complexa S , assim, uma grandeza complexa cuja parte real a potncia ac-
tiva P e cuja parte imaginria a potncia reactiva Q.
2 Os fasores (grandezas complexas) so representados em tipo carregado; os respectivos mdulos (bem
como outras grandezas reais) em tipo normal.
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 11
O mdulo da potncia complexa a potncia aparente, ou seja, o produto dos mdulos da
tenso e da corrente:
IVQP =+= 22S (1.16)
A potncia aparente exprime-se em VA (Volt.Ampere) e nos seus mltiplos kVA, MVA,
GVA e TVA.
O factor de potncia j atrs referido corresponde ao quociente entre a potncia activa e a
potncia aparente.
Se relacionarmos a tenso e a corrente por meio da impedncia de carga Z (ou admitn-
cia Y=1/Z), obtemos expresses alternativas para a potncia complexa.
Com efeito:
IZ V = (1.17)
VYI = (1.18)
Substituindo na equao (1.13):
2V*** == YVYVS (1.19)
2IZIIZS == * (1.20)
Admitindo que a carga constituda por uma resistncia R em paralelo com uma reactn-
cia X, por aplicao da equao (1.19) os valores das potncias activa e reactiva consu-
midas so:
R
VP
2
= (1.21)
X
VQ
2
= (1.22)
Admitindo que a carga um condensador com capacidade C, usando a equao (2.19)
obtemos:
2VCQ w-= (1.23)
Se a carga for constituda por uma resistncia R em srie com uma reactncia X, a apli-
cao da equao (1.120) conduz aos valores das potncia activa e reactiva consumidas:
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 12
2IRP = (1.24)
2IXQ = (1.25)
Se, ao invs, forem conhecidas as potncia activa e reactiva de carga para um dado valor
da tenso ou da corrente, as equaes (1.19) e 1.20) permitem calcular o valor da admi-
tncia ou impedncia correspondente, respectivamente:
22 VQjP
V-
==*S
Y (1.26)
22 I
QjPI
+==
SZ (1.27)
1.3 Sistema Elctrico Trifsico
1.3.1 Tenso e Corrente
A energia elctrica produzida, transportada e distribuda em sistemas elctricos trifsi-
cos. As mquinas trifsicas geradores e transformadores fazem um melhor uso dos
materiais cobre e ferro o que reduz as dimenses e o peso, conduzindo a uma rela-
o custo/potncia menor. As linhas elctricas trifsicas de alta ou mdia tenso so
constitudas apenas por trs condutores, no sendo necessrio o neutro, uma vez que o
retorno da corrente numa fase assegurado pelas outras. Daqui resulta uma economia
significativa, se compararmos uma linha trifsica com trs linhas monofsicas, transferin-
do a mesma potncia.
Como vimos na seco anterior, a potncia elctrica num sistema monofsico tem natu-
reza oscilante, o que no sucede em sistemas trifsicos, como se mostrar frente. Esta
caracterstica, se no tem inconvenientes em muitas aplicaes, como sejam aquecedo-
res, aparelhos de iluminao ou equipamento electrnico, indesejvel em motores elc-
tricos que constituem a parcela mais significativa da carga ligada rede por conduzir
a um binrio motor tambm oscilante.
Um gerador trifsico com os enrolamentos ligados em estrela Figura 1.5a produz trs
foras electromotrizes (tenses em vazio) com frequncia angular f2pw = , iguais em
mdulo e desfasadas de 2p/3 (=120) Figura 1.5b na qual as trs fases so designa-
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 13
das por a, b e c (a fase a, dita de referncia, possui argumento nulo). O diagrama de faso-
res correspondente est representado na Figura 1.5c.
Ea
Ec
Eb
120o120o
120o
ca
ea
b
a~ +-
~ +-
~ +-c
n
ec
eb
wt
eb ecea
2p
b
wt
Figura 1.5 Gerador trifsico: a) Esquema equivalente; b) Variao no tempo das f.e.m.; c) Diagrama de fasores.
A sequncia de fases tal que a fase b est em atraso em relao fase a e a fase c em
atraso em relao fase b. Esta sequncia importante em algumas aplicaes: num
motor elctrico, ela determina o sentido de rotao.
Na Figura 1.6 representa-se um sistema de corrente alternada trifsica constitudo por um
gerador e uma carga simtrica, representada por uma impedncia igual em cada uma
das fases. Admitiu-se que, como normal, o ponto neutro n est ligado terra.
Z
Z
Z
ea
b
a~ +-
~ +-
~ +-c
n
ec
eb
ic
ia
ib
vavbvc
Figura 1.6 Sistema trifsico simtrico.
As trs tenses simples ou fase-neutro so:
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 14
)t(senVv
)t(senVv
tsenVv
322
322
2
c
b
a
pw
pw
w
+=
-=
=
(1.28)
onde V o valor eficaz . Em notao simblica:
32
32
0
p
p
j
j
j
eV
eV
eV
=
=
=-
c
b
a
V
V
V
(1.29)
Num sistema trifsico, o valor nominal definido para as tenses fase-fase (ou tenses
entre fases ou tenses compostas,) representadas na Figura 1.7:
acca
cbbc
baab
VVVVVV
VVV
-=-=
-=
(1.30)
Ic
Vab
Vb
Vc
Va
Vbc
f
Ia
Vca
Ib
30o
f
f
Figura 1.7 Fasores de tenso (simples e composta) num sistema trifsico simtrico.
O valor eficaz VL das tenses fase-fase :
V
VVVVV cabcabL3
6cos2
=
==== p (1.31)
Sendo a carga simtrica, as correntes nas trs fases escrevem-se:
)(sen
)(sen
)(sen
322
322
2
fpw
fpw
fw
-+=
--=
-=
tIi
tIi
tIi
c
b
a
(1.32)
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 15
A soma das correntes nas trs fases nula, logo no necessrio um condutor ligando o
neutro do gerador com o da carga. Os dois neutros esto ao potencial da terra, quer no
gerador quer na carga, ainda que porventura no estejam fisicamente ligados a ela.
Num sistema trifsico simtrico, todas as tenses simples podem ser medidas em rela-
o a um neutro, que tem o mesmo potencial zero ao longo de todo o sistema.
1.3.2 Potncia Activa e Reactiva
A potncia transferida do gerador para a carga ser:
ccbbaa ivivivp ++= (1.33)
Substituindo as equaes (1.28) e (1.32) na equao (1.33), aps alguma manipulao,
vem:
fcosIV3p = (1.34)
A potncia trifsica instantnea portanto constante e igual a trs vezes a potncia activa
por fase. Em termos da tenso entre fases equao (1.31) a potncia activa trifsica
escreve-se:
fcos3 IVP L= (1.35)
Em face deste resultado poder-se-ia supor que a potncia reactiva irrelevante num sis-
tema trifsico, o que no o caso. Em cada uma das fases, a potncia do tipo descrito
pela equao (1.10) sendo nula a soma das respectivas componentes oscilatrias, tal
como se verifica para as correntes.
A potncia reactiva trifsica definida como a soma algbrica das potncias reactivas em
cada fase, ou seja:
f
f
senIV
senIVQ
L3
3
=
= (1.36)
As potncias complexa e aparente para sistemas trifsicos so calculadas, respectiva-
mente, por:
QjP
IVjIV cc+=
+=
= *
ff sen3cos3
3 IVS
(1.37)
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 16
223S QPIVL +== (1.38)
1.3.3 Carga Ligada em Tringulo
A carga trifsica representada na Figura 1.6 est ligada em estrela, ou seja, a tenso apli-
cada a cada impedncia de carga Z a tenso fase-neutro. Outra forma de ligar a carga
em tringulo, como se mostra na Figura 1.8 (o gerador no est representado), situao
em que cada impedncia de carga ZD est sujeita tenso entre fases.
ia
ic
vbc
ibvca
Iabvab
Ica
Ibc ZD
ZD
ZD
a
b
c
Figura 1.8 Carga ligada em tringulo.
As correntes Iab e Ica so:
DZ
VI abab = (1.39)
DZ
VI caca = (1.40)
A corrente na linha Ia , por conseguinte:
DD Z
VZ
VVI acaaba
3=-= (1.41)
Admitindo ZD=Z, a amplitude da corrente Ia trs vezes maior que na ligao da carga em
estrela, e o ngulo de desfasagem idntico.
A potncia absorvida pela carga ligada em tringulo ento trs vezes maior que a cor-
respondente ligao em estrela, para o mesmo valor da impedncia de carga.
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 17
1.4 Representao do Sistema de Energia
Devido simetria existente nas trs fases num sistema trifsico equilibrado, suficiente
determinar a tenso, a corrente e a potncia na fase de referncia. Nas outras duas fases
afectam-se as grandezas elctricas (tenses e correntes) por uma desfasagem de 120.
assim suficiente o uso de um esquema monofsico equivalente no qual se representa
uma fase e o neutro para analisar o sistema.
O esquema (ou diagrama) unifilar constitui uma representao ainda mais simples do sis-
tema de energia elctrica. Ainda que a rede seja trifsica (excepto nos troos finais em
baixa tenso, que podem ser monofsicos ou trifsicos), usa-se apenas um trao para
representar os respectivos elementos donde a designao de esquema unifilar. Omite-
se a representao do neutro por no conter informao relevante, pelo menos para o
clculo em regime estacionrio.
No esquema unifilar usam-se smbolos normalizados: o gerador representado por um
crculo contendo um til (que indica corrente alternada3); o smbolo do transformador
constitudo por dois crculos parcialmente sobrepostos, que correspondem aos dois enro-
lamentos; uma linha representada simplesmente por uma recta entre dois barramentos;
o smbolo de carga uma seta que indicia o fornecimento de energia aos consumidores
ligados a um barramento.
1.5 Valores por Unidade
Na anlise dos SEE, em vez de quantificar as grandezas elctricas (impedncias, admi-
tncias, correntes, tenses e potncias) nas respectivas unidades, prefervel exprimi-las
como fraces (designadas valores p.u.) de valores de referncia (designados valores de
base), tais como valores nominais ou de plena carga.
O uso de valores p.u. possui vantagens significativas, nomeadamente:
Os SEE contm numerosos transformadores, que complicam apreciavelmente a an-
lise. Os valores p.u. permitem eliminar do modelo do transformador a parte referente
relao de transformao (ou seja, o transformador ideal);
3 Para corrente contnua, usa-se o sinal de igual (=).
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 18
A existncia de transformadores implica a partio do SEE em reas com diferentes
nveis de tenso. Uma tenso expressa em por unidade por exemplo 0,95 p.u. ou
1,08 p.u. indica imediatamente que ela est 5% abaixo ou 8% acima do valor nomi-
nal (tomado como referncia), que 1,0 p.u.;
Os parmetros caractersticos dos componentes do SEE, que variam substancial-
mente em dimenso, expressos em p.u., caem dentro de determinadas gamas de va-
lores, que se podem identificar como normais, o que facilita a deteco de erros;
O uso do factor 3 em sistemas trifsicos consideravelmente reduzido;
Os valores p.u. situam-se frequentemente em torno da unidade, valor prximo do p-
timo para o clculo digital e para a apresentao de dados.
O valor p.u. de uma grandeza obtm-se pela frmula bsica:
basedevalor
grandezadavalor.u.pvalor = (1.42)
O valor da grandeza pode ser uma quantidade expressa em unidades do Sistema Inter-
nacional, um fasor ou nmero complexo referente a um circuito de corrente alternada ou
um valor instantneo.
O valor de base um nmero real, escolhido de forma a obter as vantagens do sistema
p.u.. O valor p.u. uma quantidade adimensional, um fasor ou nmero complexo, ou um
valor instantneo.
O valor de base pode ser de dois tipos:
Base postulada;
Base derivada.
1.5.1 Sistemas Monofsicos
Num sistema monofsico, postula-se:
Base de tenso (kV) bV
Base de potncia (MVA) bS
Os valores de base derivados so:
Base de corrente (kA)
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 19
b
bb V
SI = (1.43)
Base de impedncia (W)
bb
b SV
IV
Z2
bb == (1.44)
Base de admitncia (S)
2
bb VS
VI
Y bbb == (1.45)
Em valores p.u., obtm-se ento:
bV
puV
V = (1.46)
bII
I =pu (1.47)
*=== pupubbb
pu IVSIV
IVSS
* (1.48)
2
b
b
bpu V
SZ
ZZ
Z == (1.49)
b
2b
bpu S
VY
YY
Y == (1.50)
Por vezes necessrio converter uma impedncia ou uma admitncia expressa em p.u.
numa dada base (designada por ) para outra base (designada por ). Atendendo s equa-
es (1.49) e (1.50), fcil verificar que:
2
2
b
b
b
bpupu V
VSS
= ZZ (1.51)
2
2
b
b
b
bpupu V
VSS
= YY (1.52)
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 20
1.5.2 Sistemas Trifsicos
Para sistemas trifsicos, toma-se para base a potncia aparente trifsica Sb e a tenso
entre fases Vb. A relao entre a potncia aparente, a tenso e a corrente de base :
bbb IVS 3= (1.53)
Donde resulta para a corrente de base:
b
bb
V
SI
3= (1.54)
A impedncia de base dada pela equao:
b
b
b
b
b
b
bb S
V
V
SV
I
VZ
2
333
=== (1.55)
que idntica equao (1.41).
A tenso e corrente em p.u. exprimem-se por:
b
pu VV
V3= (1.56)
b
pu II
I = (1.57)
Note-se que a tenso Vpu tem o mesmo ngulo de fase que a tenso fase-neutro V.
A potncia complexa , por seu lado:
***
==== pupubbbbb
puIVIVS
IVIVIVS
S3
3333 (1.58)
Note-se que, usando valores p.u. esta equao coincide com a que se aplica a um siste-
ma monofsico. Quanto impedncia e admitncia tambm se mantm as equaes
(1.49) e (1.50).
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 21
1.6 Transmisso de Energia
1.6.1 Em Corrente Alternada
Considere-se o circuito da Figura 1.9, que representa o esquema monofsico equivalente
de uma linha de transmisso de energia ligada entre os ns 1 e 2 a qual numa primeira
aproximao se modela por um elemento indutivo com reactncia X.
S12
I
S21
jX
V1
1 2
V2
Figura 1.9 Transmisso de energia atravs de um elemento indutivo.
Pretende-se estabelecer a relao entre as potncias activa e reactiva que transitam na
linha e as tenses nos ns entre os quais ela est ligada.
A corrente que percorre a linha, definida como positiva quando flui do barramento 1 para o
2, dada por:
Xj
21 VVI-
= (1.59)
A potncia complexa na emisso S12, convencionalmente positiva no sentido 12, ser:
Xj
VXj -
-=
--
==**
**VVVV
VIVS 212
1211112 (1.60)
Uma vez que:
111djeV=V (1.61)
222djeV=V (1.62)
resulta:
d
dd
j
j
eVV
eVV
21
)(2121
21
=
= -*VV (1.63)
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 22
onde 21 ddd -= o ngulo de desfasagem entre as tenses no n 1 (emissor) e no n 2
(receptor).
Substituindo a equao (1.63) na equao (1.60), obtm-se:
XVVV
jX
VVX
jVVVj
dd
dd
cossen
)sen(cos
212
121
212
112
-+=
+-=S
(1.64)
As potncias activa e reactiva na emisso so ento dadas por:
dsen2112 XVV
P = (1.65)
XVVV
Qdcos21
21
12-
= (1.66)
De forma anloga se deduzem as potncias activa e reactiva na recepo, convencio-
nalmente positivas no sentido 21, obtendo-se:
dsen2121 XVV
P -= (1.67)
XVVV
Qdcos21
22
21-
= (1.68)
Somando as equaes (1.65) e (1.66) com (1.67) e (1.68), respectivamente, obtm-se:
02112 =+= PPPL (1.69)
X
VVVVQQQL
dcos2 212
22
12112
-+=+= (1.70)
PL e QL so respectivamente as perdas de potncia activa e reactiva na linha. Dado que
desprezamos a resistncia, as perdas de potncia activa so nulas. As perdas de potn-
cia reactiva no correspondem na realidade a perdas energticas, dada a natureza deste
tipo de potncia. Contudo, o balano de potncia reactiva tem de ser fechado, tal como o
de activa.
A equao (1.65) indica que o sentido do trnsito de potncia activa essencialmente de-
terminado pelo ngulo de desfasagem d entre as tenses nos barramentos de emisso e
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 23
de recepo: se d>0, ou seja, se a tenso na emisso estiver em avano em relao
tenso na recepo, o trnsito no sentido 12; se dV2, o trnsito de potncia reactiva no sentido 12; se
V1
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 24
1.6.2 Em Corrente Contnua
A corrente contnua tem aplicao em casos especficos, nomeadamente, o transporte a
longa distncia e a interligao assncrona de redes (que podem mesmo ter frequncias
diferentes).
Uma linha em corrente contnua, em regime estacionrio, simplesmente caracterizada
pela sua resistncia R no tendo aplicao os conceitos de reactncia e de potncia re-
activa. Ento, se as tenses nos extremos emissor e receptor forem V1 e V2, respectiva-
mente, a corrente na linha dada por:
R
VVI 21
-= (1.77)
As potncias nos dois extremos so:
R
VVVIVP 21
21
112-
== (1.78)
R
VVVIVP 21
22
221-
=-= (1.79)
Somando P12 e P21, obtm-se as perdas:
22
212112
)(IR
RVV
PPPL =-
=+= (1.80)
O valor mdio da potncia transitada dado por:
RVVPP
Pmed 22
22
212112 -=
-= (1.81)
Constata-se desta equao que o trnsito de potncia (activa) regulvel atravs da ten-
so nos extremos da linha, ao invs do que sucede em corrente alternada. Assim, se
V1>V2, o trnsito de potncia no sentido 12; se V1
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 25
1.7 Caracterizao das Cargas
1.7.1 Tipologia
Denomina-se carga um equipamento ou conjunto de equipamentos ligado rede, que ab-
sorve energia elctrica.
As cargas tpicas tm carcter indutivo, e so especificadas pelas potncias activa PC e
reactiva QC ou pela potncia activa PC e factor de potncia cos f (em alternativa, pode
usar-se a tan f):
2C
2C
C
QP
Pcos
+=f (1.82)
C
C
PQ
tan =f (1.83)
As cargas agrupam-se em quatro grandes tipos:
Motores;
Iluminao;
Aquecimento e refrigerao;
Aparelhos electrnicos.
A carga servida por um SEE influenciada por um grande nmero de factores, que se
podem classificar em dois grandes grupos: factores temporais e factores climticos.
Os primeiros relacionam-se com a periodicidade diria, semanal e sazonal, perodos de
frias e ainda com as tendncias de crescimento (ou diminuio) anual. Os segundos
incluem a temperatura, a humidade, a visibilidade e a velocidade do vento. Para alm des-
tes, existem factores aleatrios, devidos prpria natureza estatstica das cargas, a
acontecimentos especiais e avarias inesperadas.
So correntemente utilizados modelos para a previso do valor da carga em cada barra-
mento da rede, bem como da carga total, quer num horizonte de curto quer de mdio ou
longo prazo.
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 26
1.7.2 Elasticidades
Um aspecto importante, que caracteriza as cargas, a sua dependncia em relao
tenso e frequncia:
)f,V(gQ
)f,V(fP
C
C
=
= (1.84)
Para pequenas variaes da tenso e da frequncia em torno de um valor de referncia:
fff
VVVo
o
D
D
+=
+= (1.85)
resulta:
C
oCC
Co
CC
QQQ
PPP
D
D
+=
+= (1.86)
onde:
f
fQ
VVQ
Q
ff
PV
VP
P
CCC
CCC
DDD
DDD
+
+
(1.87)
ou ainda:
ooC
oC
ooC
oC
oC
C
ooC
oC
ooC
oC
oC
C
ff
Qf
fQ
VV
QV
VQ
ff
Pf
fP
VV
PV
VP
PP
DDD
DDD
+
+
(1.88)
Definem-se as elasticidades das potncias activa e reactiva em relao tenso e fre-
quncia (grandezas adimensionais):
Elasticidade da potncia activa em relao tenso
o
C
oC
v PV
VP
=e (1.89)
Elasticidade da potncia reactiva em relao tenso
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 27
oC
oC
v QV
VQ
=h (1.90)
Elasticidade da potncia activa em relao frequncia
o
C
oC
f Pf
fP
=e (1.91)
Elasticidade da potncia reactiva em relao frequncia
oC
oC
f Qf
fQ
=h (1.92)
Fazendo uso destas grandezas e tomando para valores de referncia da tenso e da cor-
rente os valores nominais as equaes (1.88) transformam-se em:
pufpuvoC
C
pufpuvoC
C
fVQQ
fVPP
DhDhD
DeDeD
+
+
(1.93)
1.7.3 Elasticidade em Relao Tenso
Esta a grandeza mais importante, uma vez que em redes interligadas com elevada po-
tncia girante, a frequncia regulada dentro de limites muito estreitos.
Um modelo frequentemente adoptado exprime as potncias activa e reactiva como uma
potncia da tenso:
PkPC VCP = (1.94)
QkQC VCQ = (1.95)
Da equao (1.94), derivando em ordem a V:
o
oC
P
o
koP
Pko
PPV
C
VP
k
VVC
kVCkVP PP
o
=
==
-1
(1.96)
donde, por substituio na equao (1.89):
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 28
Pv k=e (1.97)
Para a potncia reactiva, podemos deduzir uma expresso anloga:
Qv k=h (1.98)
Carga Modelada por Impedncia Constante
Para uma carga passiva, modelada por uma admitncia constante, ligada a um barra-
mento com tenso V, a potncia absorvida calcula-se por:
2C VQjP**** ===+= CCCCC YVYVIVS (1.99)
As potncias activa e reactiva de carga so especificadas para o valor da tenso nominal
(igual a 1,0 p.u.). Ento, a admitncia equivalente, em valores p.u. calcula-se por:
CC QjP -==*CC SY (1.100)
Da equao (1.99), atendendo a que CC BjG +=CY , retira-se:
2CC VGP = (1.101)
2CC VBQ -= (1.102)
Estas equaes revelam que PC e QC variam com o quadrado da tenso. Das equaes
(1.97) e (1.98) conclui-se ento que:
2
2
=
=
v
v
h
e (1.103)
Para uma carga modelada por impedncia constante, as elasticidades em relao ten-
so so iguais a 2.
Carga Modelada por Corrente Constante
Para uma carga modelada por uma corrente com amplitude IC e desfasagem em relao
tenso fC constantes, retirada de um barramento com tenso V, a potncia absorvida
calcula-se por:
CjCCC eIVQjPf=+=CS (1.104)
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 29
O ngulo fC considera-se positivo quando a corrente est em atraso relativamente ten-
so.
Admitindo, como normal, que as potncias activa e reactiva so especificadas para o
valor nominal da tenso (V=1,0 p.u.), os valores de IC e fC so calculados por:
2C2
CC QPI += (1.105)
=
C
CC P
Qtanaf (1.106)
Para valores variveis da tenso, as potncias activa e reactiva de carga so ento dadas
por:
CCC cosIVP f= (1.107)
CCC senIVQ f= (1.108)
Estas equaes revelam que PC e QC variam linearmente com a amplitude da tenso,
uma vez que IC e fC so constantes. Das equaes (1.97) e (1.98) conclui-se ento que:
1
1
=
=
v
v
h
e (1.109)
Para uma carga modelada por corrente constante, as elasticidades em relao tenso
so unitrias.
Carga Modelada por Potncia Constante
Nesta hiptese, as potncias so constantes, no variando com a tenso, logo:
0
0
=
=
v
v
h
e (1.110)
Para uma carga modelada por potncia constante, as elasticidades em relao tenso
so nulas.
Carga Composta
A carga ligada a cada barramento do sistema elctrico composta por parcelas com
elasticidades diferentes, podendo com generalidade ser descrita pela equaes:
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 30
=i
PCvi
iVCP e (1.111)
=i
QCvi
iVCQ h (1.112)
O nmero de termos do somatrio e o valor das constantes podem ser determinados a
partir de modelos fsicos das cargas ou por dados experimentais.
Na prtica, usam-se muitas vezes valores mdios aproximados, obtidos empiricamente
para uma carga tpica4, considerando-se unitrio o nmero de termos do somatrio:
31
01
,
,
v
v
=
=
h
e (1.113)
1.7.4 Elasticidade em Relao Frequncia
Para uma carga modelada por uma impedncia constante, possvel calcular analitica-
mente a elasticidade em relao frequncia. Das equaes (1.101) e (1.102), tendo
presente que:
2C
2C
cC XR
RG
+= (1.114)
2C
2C
cC XR
XB
+-= (1.115)
LfLX 2C pw == (1.116)
e usando as equaes (1.91) e (1.92), obtm-se:
CCC
Cf senXR
Xfe 2
22
2
22 -=+
-= (1.117)
C2
2C
2C
2C
2C
f senXRXR
21 fh -=+-
= (1.118)
Note-se que a elasticidade da potncia activa em relao frequncia tem sempre um
valor negativo para cargas deste tipo. Contudo, para uma carga tpica, devido ao peso dos
4 Para uma carga tpica determinante o peso dos motores de induo, cuja elasticidade da potncia acti-
va em relao tenso praticamente nula.
J. Sucena Paiva Conceitos Bsicos 31
motores de induo, a elasticidade em relao frequncia positiva, uma vez que a sua
velocidade e, por conseguinte, a potncia fornecida, proporcional quela. Um valor emp-
rico habitualmente utilizado :
0,1=fe (1.119)
A elasticidade da potncia reactiva em relao frequncia no tem interesse prtico, no
se indicando, por conseguinte, um valor tpico.
CAPTULO 2
MQUINAS ROTATIVAS E
TRANSFORMADOR
Neste captulo trataremos da mquina sncrona, universalmente utilizada como gerador
(podendo tambm ser usada como motor), do transformador, que permite alterar o nvel
de tenso ao longo da rede, e ainda da mquina assncrona, de uso generalizado como
motor (e limitado como gerador).
Estabeleceremos os princpios de funcionamento e os modelos matemticos simplifica-
dos destes componentes, aplicveis anlise do sistema elctrico em regime estacion-
rio.
2.1 Mquina Sncrona
2.1.1 Introduo
A quase totalidade da energia elctrica produzida por geradores sncronos ou alternado-
res trifsicos, que assim se constituem como os elementosmatriz dos Sistemas de
Energia Elctrica.
A mquina sncrona um equipamento complexo e verstil, baseado na lei da induo
electromagntica, devida a Faraday. A designao sncrona resulta de este tipo de mqui-
na rotativa, em regime estacionrio, funcionar com velocidade e frequncia constantes,
em sincronismo com todas as outras ligadas mesma rede.
Um gerador recebe energia mecnica da mquina motriz turbina hidrulica, de vapor ou
de gs para potncias elevadas, motor trmico alternativo, turbina de gs ou turbina elica
para potncias mais baixas e entrega energia elctrica rede qual est ligado, com
um rendimento energtico muito elevado. A mquina sncrona pode no entanto tambm
funcionar como motor absorvendo energia elctrica da rede e fornecendo energia me-
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 34
cnica a uma carga ligada ao seu veio. Neste modo de funcionamento, a mquina recebe
a designao de motor sncrono.
Numa instalao elctrica de produo designada usualmente por central elctrica
existem um ou mais geradores sncronos em paralelo, cuja potncia unitria pode atingir
as centenas ou mesmo o milhar de MVA. A designao usual radica na filosofia de
produo centralizada, de grande escala, que tradicionalmente caracteriza o SEE. Note-
se contudo que em anos recentes se tem expandido a produo em escala mais reduzi-
da, e prxima dos centros de consumo, usando a cogerao produo combinada de
energia elctrica e trmica e as energias renovveis.
2.1.2 Princpio de Funcionamento
Uma mquina sncrona constituda por uma massa metlica fixa estator na qual est
instalado o enrolamento induzido e por uma massa metlica rotativa rotor no qual est
bobinado o enrolamento indutor ou de excitao. Na Figura 2.1 representa-se esquemati-
camente uma seco transversal de uma mquina trifsica com um par de plos.
N
S
c b
a
cb
a
Figura 2.1 Mquina sncrona trifsica elementar.
O enrolamento indutor percorrido por uma corrente contnua, fornecida por uma fonte
auxiliar a qual d origem a um fluxo magntico, que se fecha atravs do entreferro e do
estator. Devido forma construtiva da mquina, a distribuio espacial da induo mag-
ntica aproximadamente sinusoidal, como se mostra na Figura 2.2a. Uma vez que o
rotor, accionado pela mquina motriz, roda com velocidade constante, cria-se no entrefer-
ro um fluxo magntico girante.
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 35
2pp0 q
ba
t
B e
Figura 2.2 a) Distribuio espacial do fluxo magntico; b) Tenso induzida.
O enrolamento do estator constitudo por bobinas, alojadas em cavas, que cobrem toda
a sua superfcie interior. A bobina pertencente a uma fase colocada em cavas diame-
tralmente opostas, sendo os condutores longitudinais paralelos ao veio da mquina. De
acordo com a lei de Faraday, o fluxo magntico girante induz uma tenso nessa bobina,
representada na Figura 2.2b, a qual dar origem a uma corrente num circuito exterior liga-
do entre os respectivos terminais. Dado que est sujeito a um fluxo magntico varivel, o
estator constitudo por lminas de ferro, por forma a reduzir as perdas por correntes de
Foucault.
Os enrolamentos das trs fases esto espacialmente desfasados de 120 para que, com
a rotao uniforme do rotor, sejam produzidas tenses induzidas desfasadas de 120 no
tempo, constituindo um sistema trifsico simtrico.
Para uma mquina com um par de plos, a frequncia da tenso induzida em ciclos por
segundo (Hz) iguala a velocidade do rotor em rotaes por segundo. Assim para a fre-
quncia de 50 Hz, a velocidade de rotao ser 3000 r.p.m. (rotaes por minuto)5.
A mquina sncrona pode ter um nmero mais elevado de pares de plos. Na Figura 2.3
mostra-se uma mquina com 4 plos, na qual cada fase consiste de um par de enrola-
mentos ocupando quatro cavas na superfcie do estator 11aa e 22 aa .
5 Para 60 Hz, seria de 3600 r.p.m.
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 36
a2
N
a1
b1
c1
N
SS '1a'2a
Figura 2.3 Mquina sncrona com 4 plos.
Em cada instante, so induzidas tenses iguais nos dois enrolamentos de cada fase, as
quais se somam, uma vez que aqueles esto ligados em srie.
Nesta situao, a distribuio espacial da induo magntica a que se representa na
Figura 2.4, havendo dois ciclos completos ao longo da periferia do estator. Em conse-
quncia, a frequncia da tenso induzida duas vezes a velocidade em rotaes por se-
gundo.
2p
p
0 q
a1
B
a1 a22p
a2
4pqm
Figura 2.4 Distribuio espacial da induo magntica para uma mquina de 4 plos. (qm rad. mecnicos;q rad. elctricos).
Em mquinas com mais de um par de plos, exprimem-se os ngulos em graus elctri-
cos em vez de graus mecnicos. Um par de plos corresponde a 2p radianos elctricos,
donde:
mpqq = (2.1)
onde q o ngulo elctrico, qm o ngulo mecnico e p o nmero de pares de plos.
A frequncia da tenso induzida ento, no caso geral, dada por:
60n
pf = (2.2)
onde f a frequncia em Hz e n a velocidade em r.p.m.
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 37
A frequncia angular w da tenso relaciona-se por seu lado com a velocidade angular do
rotor wr ambas expressas em rad/s pela expresso:
rpww = (2.3)
Os rotores representados nas Figura 2.1 e Figura 2.3 so de plos salientes, sendo o en-
rolamento de excitao constitudo por bobinas enroladas em torno das peas polares.
Esta forma construtiva usada para velocidade de rotao relativamente baixas, que o
caso de geradores movidos por turbinas hidrulicas. Estas mquinas rodam com uma
velocidade baixa 150 a 300 r.p.m. o que torna necessrio um nmero de pares de p-
los elevado 20 a 10, respectivamente.
Sendo a mquina motriz uma turbina de vapor ou de gs, rodando a velocidades elevadas
3000 ou 1500 r.p.m. a fora centrfuga resultante exclui o uso de plos salientes. Usa-
se ento um rotor cilndrico, de ao macio, com dois ou quatro plos, com um enrola-
mento semelhante ao do estator, instalado em cavas talhadas na respectiva superfcie,
como se mostra na Figura 2.5.
N
S
c b
a
cb
a
Figura 2.5 Mquina sncrona de rotor cilndrico com 2 plos.
Enquanto os geradores de rotor cilndrico turbogeradores so mquinas de eixo hori-
zontal, esbeltas e longilneas, os geradores de plos salientes so em geral mquinas de
eixo vertical, com maior dimetro e menor comprimento axial. Neste ltimo caso, a turbina
est colocada por baixo do gerador, sendo o peso descarregado numa chumaceira de
impulso.
Alm dos enrolamentos j referidos a mquina sncrona ainda possui excepto para po-
tncias muito baixas um enrolamento amortecedor que consiste numa gaiola em curto-
circuito, semelhante ao enrolamento do rotor da mquina assncrona. Num gerador de
plos salientes, o amortecedor est embebido nas faces das peas polares; num turbo-
gerador instala-se nas cavas que albergam o enrolamento de excitao.
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 38
Em regime estacionrio, o amortecedor no desempenha qualquer funo, uma vez que
no percorrido por corrente. Em regime transitrio, no qual a velocidade do rotor difere
da de sincronismo, as correntes que nele so induzidas do lugar a um amortecimento
que contribui para a estabilidade da marcha sncrona.
2.1.3 Modelo Matemtico
Sendo sinusoidal a distribuio espacial da induo magntica B ao longo do entreferro,
tem-se, com referncia Figura 2.6:
acosBB max= (2.4)
onde Bmax o valor mximo medido no centro da cabea do plo e a o ngulo medido em
radianos elctricos a partir do eixo magntico do rotor.
N
S
eixo magnticodo rotor
q=wta
eixo magntico dafase a do estator
a
a
r
Figura 2.6 Mquina sncrona bipolar com bobina estatrica de N espiras.
O fluxo magntico por plo o integral da induo magntica ao longo da rea polar:
rB2drcosB max2
2max ll == - aaF
p
p (2.5)
onde l o comprimento axial do estator e r o seu raio no entreferro.
Para uma mquina com p pares de plos:
p
rB2 max l=F (2.6)
porque a rea polar 1/p vezes a de uma mquina bipolar com o mesmo dimetro e
comprimento.
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 39
O fluxo ligado com a fase a do estator l, admitindo que o enrolamento do estator tem N
espiras, dado por:
qFl cosN= (2.7)
onde q o ngulo do eixo magntico do rotor, medido a partir do eixo magntico do enro-
lamento da fase a do estator.
Quando o rotor roda com a velocidade angular wr, tem-se:
ttp r wwq == (2.8)
logo:
tcosN wFl = (2.9)
Pela lei de Faraday, a tenso induzida na fase a o simtrico da derivada do fluxo ligado
em ordem ao tempo:
( )2tcosN
tsenNtd
de
pwFw
wFwl
-=
=-= (2.10)
A tenso induzida designada fora electromotriz (f.e.m.) sinusoidal com frequncia
angular w e valor eficaz:
2
NE
Fw= (2.11)
Trata-se da f.e.m. fase-neutro. O correspondente valor entre fases obtm-se multiplican-
do por 3 . Sendo tanto o fluxo como a f.e.m. grandezas sinusoidais, podemos represen-
t-las por fasores, como se pode observar na Figura 2.7, na qual se definiram os eixos
directo d e de quadratura q, desfasados de 90 elctricos.
eixo q E
eixo d
l
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 40
Figura 2.7 Representao por fasores do fluxo e da f.e.m.
Estando o gerador em carga, alimentando um circuito exterior trifsico simtrico, o enro-
lamento estatrico percorrido por um sistema de correntes trifsicas simtricas. Ora,
um sistema de correntes iguais em mdulo e desfasadas temporalmente de 120, circu-
lando em trs enrolamentos desfasados espacialmente de 120, do lugar a um campo
magntico girante no entreferro velocidade de sincronismo, o qual se adiciona ao campo
devido corrente de excitao. Este fenmeno designado reaco do induzido.
O fluxo resultante da reaco do induzido, visto do enrolamento aa, uma combinao
dos trs fluxos individuais devidos s correntes no estator ia, ib e ic, podendo exprimir-se
por:
cba
cacbabar
iMiMiL
iMiMiL
++=
++=l (2.12)
onde L e M=Mab=Mac so respectivamente, as indutncias prpria e mtua (iguais devido
simetria da mquina). Em regime trifsico simtrico a soma das trs correntes no esta-
tor nula:
0iii cba =++ (2.13)
donde resulta:
( ) ar iML -=l (2.14)
A tenso induzida devida a este fluxo magntico :
( )tdid
MLtd
de arr --=-=
l (2.15)
A tenso aos terminais do gerador em carga obtm-se somando a f.e.m. devida ao indu-
tor com a queda de tenso devida reaco do induzido:
( )tdid
MLeeev ar --=+= (2.16)
Dado que se trata de grandezas sinusoidais, podemos represent-las por fasores (para
simplificar a notao, deixou-se cair o ndice a da corrente na fase de referncia):
( )IE
IEV
sXjMLj
-=--= w
(2.17)
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 41
A grandeza Xs recebe o nome de reactncia sncrona. Note-se que nesta grandeza est
includa a reactncia de disperso do enrolamento do estator, a qual no foi considerada
na anlise anterior.
A mquina sncrona em regime estacionrio (trifsico simtrico) pode ento ser represen-
tada pelo esquema monofsico equivalente da Figura 2.8a uma f.e.m. em srie com a
reactncia sncrona ao qual corresponde o diagrama de fasores da Figura 2.8b.
I
b
E
V
D ~
+
-
a
E V
I jXs
jXs I d
f
Figura 2.8 Gerador sncrono: a) Esquema monofsico equivalente; b) Diagrama de fasores.
A reactncia sncrona normalmente expressa em p.u., referida aos valores nominais da
potncia aparente Sn (MVA) e da tenso Vn (kV) da mquina. O respectivo valor expresso
em W pode obter-se por:
n
2n
puss SV
XX = (2.18)
Desprezou-se a resistncia dos enrolamentos cujo valor pequeno face reactncia
e admitiu-se que a corrente I est desfasada em atraso do ngulo f relativamente ten-
so aos terminais V. O ngulo d entre a tenso V e a f.e.m. E designa-se por ngulo de
potncia.
2.1.4 Caractersticas em Vazio e em Curto-Circuito
A caracterstica em vazio a curva da f.e.m. (tenso em vazio) em funo da corrente de
excitao, estando a mquina a rodar velocidade nominal (de sincronismo), movida pela
mquina de accionamento.
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 42
A caracterstica em curto-circuito, por seu lado, a curva da corrente no estator em fun-
o da corrente de excitao, com a mquina rodando velocidade sncrona e os enro-
lamentos do estator em curto-circuito.
Na Figura 2.9 apresentam-se formas tpicas destas caractersticas, que se podem deter-
minar experimentalmente. A caracterstica em vazio exibe uma zona linear (cuja tangente
a recta de entreferro), para valores relativamente baixos da corrente de excitao. Aps
esta zona, quando o fluxo magntico excede um determinado valor limite, manifesta-se a
no-linearidade resultante da saturao do ferro.
A caracterstica em curto-circuito linear, uma vez que, tendo o fluxo magntico um valor
muito baixo nesta situao, no se manifesta o fenmeno da saturao.
Para a operao prxima da tenso nominal em que se manifesta a saturao assu-
me-se que a mquina equivalente a uma outra sem saturao, caracterizada por uma
recta de magnetizao, passando pelo origem e pelo ponto correspondente tenso no-
minal (1,0 p.u.), tal como se mostra na Figura 2.9.
Da equao (2.17), sendo nula a tenso aos terminais V, obtm-se para a reactncia sn-
crona saturada (em p.u.):
cccc
s IIE
X1== (2.19)
O valor da reactncia sncrona no saturada, superior ao da reactncia no saturada pode
calcular-se pelo inverso da corrente de curto-circuito correspondente corrente de exci-
tao que conduz tenso nominal em vazio, usando a recta de entreferro:
cc
nss I
X
= 1 (2.20)
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 43
1,0
Icc
Recta do entreferro
F.e.m.(pu)
Corrente de excitao (p.u.)
Caracterstica em curto-circuito
Caracterstica em vazio
Corrente de curto circuito (p.u.)
Icc
Figura 2.9 Caractersticas em vazio e em curto-circuito de uma mquina sncrona.
2.1.5 Caractersticas em Carga
Estando a mquina sncrona a rodar velocidade de sincronismo (que se mantm cons-
tante) e excitada de forma a apresentar em vazio a sua tenso nominal, admita-se que a
corrente de carga vai aumentando a partir de zero at atingir o seu valor nominal, com um
factor de potncia constante.
Do diagrama de fasores da Figura 2.8, podemos retirar as equaes:
fd cosIXsenE s= (2.21)
fd senIXVcosE s+= (2.22)
Resolvendo em ordem a V e eliminando o ngulo d, obtm-se:
ff senIXcosIXEV s222
s2 --= (2.23)
Supondo constante a corrente de excitao, a f.e.m. E tambm o , logo a tenso aos
terminais V vai experimentar uma variao. Se se pretender manter constante a tenso
aos terminais, ento h que actuar sobre a corrente de excitao.
2.1.6 Potncia Activa e Reactiva
Tomando a tenso aos terminais V como referncia, podemos calcular a potncia com-
plexa fornecida pelo gerador por:
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 44
ff jj0jGG eIVeIeVQjP ===+=*IVSG (2.24)
donde se retiram os valores das potncia activa e reactiva:
fcosIVPG = (2.25)
fsenIVQG = (2.26)
Substituindo as equaes (2.21) e (2.22) nas equaes (2.25) e (2.26) respectivamente,
obtm-se:
dsenXVE
Ps
G = (2.27)
( )VcosEXV
Qs
G -= d (2.28)
As duas equaes acima revelam importantes caractersticas do gerador sncrono. A pri-
meira diz-nos que o valor mximo terico (na prtica limitado a cerca de metade) da po-
tncia activa que a mquina pode fornecer ocorre para d=p/2 e dado pela expresso:
s
max XVE
P = (2.29)
Sendo o gerador um conversor mecano-elctrico, a potncia activa fornecida (aparte as
perdas) igual potncia mecnica entregue pela mquina motriz: o ngulo de potncia d
o que resulta da aplicao da equao (2.27).
A potncia reactiva depende da diferena:
VcosE -= dD (2.30)
Admitindo constante a tenso aos terminais V, a potncia reactiva controlvel atravs da
corrente de excitao, que determina a f.e.m. E. A excitao normal definida para 0=D ,
ou seja:
VcosE =d (2.31)
Se a corrente de excitao for aumentada, resulta:
VcosE >d (2.32)
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 45
Nesta condies, a mquina fica sobreexcitada e fornece potncia reactiva. Em
contrapartida, se a mquina estiver subexcitada, absorve potncia reactiva, uma vez que:
VcosE
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 46
A desfasagem da corrente em relao f.e.m. (f+d na Figura 2.8b) afecta por conseguin-
te o fluxo magntico devido reaco do induzido, o qual pode ser decomposto em duas
componentes, conforme aparente na Figura 2.11.
Bd
Bq
a
eixo q
aB2
eixo d
B1
Figura 2.11 Decomposio do fluxo magntico em duas componentes.
Definem-se assim duas reactncias sncronas Xd e Xq, segundo os eixos d e q, respecti-
vamente. Decompondo igualmente a corrente I em duas componentes Id e Iq:
qd III += (2.34)
A tenso aos terminais V igual f.e.m. E, adicionada das quedas de tenso dIdjX- e
qIqjX- :
qd IIEV qd XjXj --= (2.35)
Esta equao est traduzida graficamente no diagrama de fasores da Figura 2.12.
d
Referncia
Iq Vq Eqd
j(Xd-Xq)Id
Eq
jXqI jXqIq
jXdIdV
Vd
IdI
df
Figura 2.12 Diagrama de fasores para uma mquina de plos salientes.
A equao (2.35) pode rescrever-se:
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 47
( )
( ) ddd
IIE
I-IIEV
qdq
qd
XXjjX
XjXj
---=
=--= (2.36)
Definindo o fasor qdE por:
IVEqd qXj+= (2.37)
obtm-se:
dqd IEE )Xj(X qd -+= (2.38)
Uma vez que dI)Xj(X qd - colinear com E, o mesmo sucede a qdE . Ento, em mdu-
lo:
dqdqd I)X(XEE -+= (2.39)
Tomando a tenso aos terminais V como referncia, o argumento d da f.e.m. E coincide
com o de qdE .
Da Figura 2.12 obtm-se:
dcosVIXE dd =- (2.40)
dsenVIX qq = (2.41)
e tambm:
( )df += cosIIq (2.42)
( )df += senIId (2.43)
Multiplicando a equao (2.42) por dcos e a equao (2.43) por dsen , e somando-as;
multiplicando a equao (2.42) por dsen e a equao (2.43) por dcos , e subtraindo-as,
obtm-se:
ddf senIcosIcosI dq += (2.44)
ddf senIcosIsenI qd -= (2.45)
Substituindo estas ltimas equaes nas equaes (2.25) e (2.26) e fazendo uso das
equaes (2.40) e (2.41) obtm-se as potncias activa e reactiva geradas:
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 48
dd 2senX1
X1
2V
senX
EVP
dq
2
dG
-+= (2.46)
+-=
q
2
d
22
dG X
senX
cosVcos
XEV
Qdd
d (2.47)
O primeiro termo destas equaes dominante; o segundo devido ao efeito da salin-
cia. Se se desprezar o efeito desta, obtm-se:
dsenX
EVP
sG = (2.48)
( )VcosEXV
Qs
G -= d (2.49)
onde sX a reactncia sncrona (que se pode tomar aproximadamente como a mdia
aritmtica de dX e qX ). Estas equaes coincidem com as derivadas anteriormente na
Seco 2.1.6.
No Quadro 2.1 apresentam-se valores tpicos de dX e qX para diversos tipos de mqui-
nas sncronas, expressos em p.u. na base da potncia aparente nominal das mesmas.
Quadro 2.1 Valores Tpicos das Reactncias das Mquinas Sncronas (p.u.).
Rotor Cilndrico 2 plos Rotor Cilndrico
4 plos Plos Salientes
Xd
0,85 1,45 1,00 1,45 0,6 1,5
Xq
0,92 1,42 0,92 1,42 0,4 0,8
2.1.8 Modos de Operao
O gerador sncrono pode alimentar uma carga isolada ou, mais usualmente, estar inte-
grado numa rede qual esto ligados outros geradores, rodando em sincronismo.
Na primeira situao que ocorre raramente6 o gerador tem, por si s, que manter
aproximadamente constante a frequncia e a tenso aos terminais, por meio da aco de
reguladores de velocidade e de tenso, respectivamente.
6 o caso, por exemplo, de um gerador de socorro, quando falta a alimentao da rede.
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 49
Quando uma carga ligada ao gerador suposto em vazio, rodando velocidade nominal
e apresentando a tenso nominal aos seus terminais a corrente no estator d lugar a
um binrio resistente T (negativo), o qual impe uma desacelerao do rotor, de acordo
com a equao:
td
dIT r
w= (2.50)
onde I o momento de inrcia do grupo gerador (incluindo a mquina de accionamento) e
wr a velocidade angular do rotor.
Uma vez que a frequncia proporcional velocidade do rotor, a frequncia vai baixar,
efeito que tem de ser corrigido atravs do aumento do binrio fornecido pela mquina mo-
triz, ou seja da potncia mecnica PM, que est relacionada com aquele pela equao:
rM TP w= (2.51)
A ligao da carga origina tambm uma queda de tenso aprecivel, devida reactncia
sncrona da mquina, a qual tem de ser compensada por um aumento da corrente de ex-
citao, que eleva o valor da f.e.m.
A potncia activa e reactiva fornecida pelo gerador dever ser igual pedida pela carga,
adicionada das perdas nos circuitos de ligao.
No caso de o gerador estar integrado numa rede sncrona, antes de ser ligado pelo res-
pectivo disjuntor, tem de ser sincronizado por meio de um dispositivo designado sincro-
nizador o qual assegura as seguintes condies:
A frequncia do gerador e da rede so iguais;
A sequncia de fases do gerador coincide com a da tenso da rede;
A f.e.m. do gerador e a tenso da rede tm a mesma amplitude e fase.
Uma vez o gerador ligado rede, h que coloc-lo em carga, isto , a fornecer potncia.
Para tal, actua-se sobre a vlvula de admisso da mquina de accionamento, manobra
que requer um servomotor hidrulico devido elevada fora necessria.
Se a potncia do gerador for muito menor que a potncia girante da rede potncia total
das mquinas em servio como habitualmente o caso, a frequncia do conjunto no
ser significativamente afectada pelo facto de aquele ser colocado em carga. Na verdade,
a regulao de frequncia uma tarefa executada pelo conjunto dos geradores em para-
lelo, podendo contudo ser atribuda prioritariamente a alguns dentre eles.
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 50
Note-se que a mquina sncrona pode tambm funcionar como motor, recebendo energia
elctrica da rede e fornecendo energia mecnica a uma carga, como , por exemplo o
caso das centrais hidroelctricas com bombagem. Neste tipo de centrais, a gua pode
ser bombada de uma cota mais baixa para outra mais elevada nos perodos de vazio,
para ser turbinada nos perodos de ponta. Esta operao tem interesse tcnico e econ-
mico, pois a energia tem um valor consideravelmente superior nas horas de ponta. Nos
perodos em que se procede bombagem, o gerador funciona como motor.
Usada especificamente como motor, a mquina sncrona tem uma limitao importante:
necessita de uma mquina auxiliar para a levar do repouso at sincronizao com a
rede que a alimenta.
No que respeita potncia reactiva, a mquina sncrona pode fornec-la ou consumi-la,
tal como j foi analisado na Seco 2.1.5. A tenso no barramento da central pode ser
regulada automaticamente por meio do regulador de tenso, situao em que a potncia
reactiva a fornecer ou consumir se torna uma varivel dependente. Em alternativa, o ge-
rador pode ser operado com potncia reactiva (ou factor de potncia) constante, o que
no assegura uma tenso constante. Em qualquer dos casos, o regulador de tenso
que de facto um regulador de tenso-potncia reactiva actua sobre a corrente de exci-
tao.
Das equaes (2.27) e (2.46) resulta que, se 0=d , a potncia activa nula. Tal no si-
gnifica contudo que o mesmo suceda quanto potncia reactiva, a qual pode ser positiva
ou negativa (ou nula). Este um modo de funcionamento possvel para uma mquina sn-
crona, que ento recebe a designao de compensador sncrono.
Um compensador sncrono permite uma variao contnua da potncia reactiva fornecida
(ou absorvida7 da) rede, atravs da actuao sobre a corrente de excitao a qual
pouco afecta a potncia activa. Este um poderoso meio de regulao de tenso, que
pode ser implementado com recurso a grupos geradores que, para o efeito, funcionam
como motores em vazio, consumindo apenas uma potncia activa igual s perdas. Em-
bora de uso muito limitado, a mquina sncrona tambm pode ser instalada para funcionar
exclusivamente como compensador sncrono.
Na Figura 2.13 apresentam-se os diagramas de fasores correspondentes aos seis modos
de funcionamento de uma mquina sncrona: gerador ou motor sobre ou subexcitado,
compensador sncrono ou reactncia sncrona, respectivamente.
7 Neste caso, pode designar-se por reactncia sncrona.
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 51
f
I
Vd
E IE
f d
V
Gerador sobreexcitadoPG >0 QG >0
Gerador subexcitadoPG >0 QG
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 52
V
+ E
jxL jxs
~
Figura 2.14 Mquina sncrona ligada a uma rede infinita.
Sendo a reactncia total Xs+XL, a potncia activa gerada, desprezando a salincia, dada
por (ver equao (2.27)):
dsenXX
VEP
LsG +
= (2.52)
onde V a amplitude da tenso da rede (suposta constante) e d o argumento da f.e.m. E,
definido em relao quela tenso.
Na Figura 2.15 representa-se a variao da potncia gerada com o argumento d. Quando
este positivo, a potncia positiva e a mquina funciona como gerador; quando nega-
tivo, a potncia negativa e a mquina funciona como motor. O valor mximo da potncia
ocorre para 2pd = (funcionamento como gerador) ou para 2pd -= (funcionamento
como motor).
Pmax
PG
d-p/2
-Pmax
p/2
Motor Gerador
Figura 2.15 Potncia activa em funo do argumento d .
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 53
A ligao elctrica do gerador com a rede assemelha-se a uma ligao mecnica elsti-
ca. Define-se a rigidez elctrica ou coeficiente de sincronismo pela derivada da potncia
gerada em ordem ao ngulo de potncia:
dd
cosXX
VEPC
Ls
Gs +
=
= (2.53)
Este coeficiente mximo quando a mquina est em vazio (d=0), diminuindo medida
que vai sendo carregada, em virtude do aumento de d. O valor mximo terico de d p/2
ponto em que a mquina perde o sincronismo com a rede no devendo na prtica
exceder 30-40.
Par uma mquina de plos salientes, considerando a salincia, a potncia activa dada
por (ver equao (2.46)):
444444 3444444 2144 344 21ba
senXXXX
Vsen
XXEV
PLdLqLd
G dd 211
2
2
+-
++
+= (2.54)
A curva correspondente a esta equao est representada na Figura 2.16. O valor do ar-
gumento dl im, que corresponde perda de sincronismo, pode obter-se por soluo da
equao:
0PG =
d
(2.55)
Verifica-se que dl im
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 54
Da equao (2.52) constata-se que, para a mesma potncia activa produzida, quanto
maior for a f.e.m. E, tanto menor o ngulo de potncia d. Da equao (2.53), conclui-se
que o coeficiente de sincronismo aumenta, o que significa que a estabilidade da marcha
sncrona vem aumentada. Quando a mquina est sobreexcitada, o funcionamento por
conseguinte mais estvel, e inversamente: uma mquina subexcitada menos estvel.
2.2 Transformador
2.2.1 Introduo
O transformador um dos componentes mais teis dos Sistemas de Energia Elctrica,
permitindo alterar a tenso de uma rede para o nvel mais adequado funo que desem-
penha.
A tenso produzida pelos geradores situa-se na gama da mdia tenso salvo os de po-
tncia muito baixa, que podem operar em baixa tenso porque esta a tenso que op-
timiza tcnica e economicamente o projecto destes equipamentos.
Assim, usual a instalao de transformadores sada das centrais, os quais elevam a
tenso para o nvel adequado ao transporte ou distribuio para a produo de baixa
potncia. Acresce que estes transformadores protegem os geradores contra as sobre-
tenses atmosfricas com origem na rede aos quais esto ligados.
A rede de transporte opera em muito alta tenso, conforme j anteriormente assinalado.
Esta tenso tem de ser reduzida para mdia tenso para efeitos de distribuio e para
baixa tenso a nvel da utilizao. O transformador pode ainda ser dotado de um comuta-
dor de tomadas, o que lhe permite ser utilizado como regulador de tenso.
O transformador uma mquina esttica, constitudo essencialmente por dois (ou trs)
enrolamentos de cobre, montados em torno de um ncleo de ferro. Este construdo em
chapa laminada, a fim de reduzir as perdas por histeresis e correntes de Foucault. O fluxo
de energia elctrica bidireccional, sendo designado por primrio o enrolamento que re-
cebe energia e secundrio o que a entrega.
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 55
2.2.2 Princpio de Funcionamento
Considere-se um transformador monofsico ideal (sem perdas nem disperso), repre-
sentado esquematicamente na Figura 2.17 (observe-se o sentido convencional das cor-
rentes correspondentes aos enrolamentos primrio e secundrio).
i1
v1 N2 v2
i2
N1
1 2
primrio secundrio
F
Figura 2.17 Transformador ideal.
A aplicao de uma tenso alternada v1 ao enrolamento primrio d lugar a um fluxo liga-
do l1, que com ela se relaciona pela lei de Faraday:
td
dv 11
l= (2.56)
O fluxo ligado l1 igual ao produto do nmero de espiras do enrolamento N1 pelo fluxo f
que circula no ncleo:
Fl 11 N= (2.57)
donde:
td
dNv
F11 = (2.58)
O fluxo F o mesmo para os dois enrolamentos, uma vez que no h disperso. A f.e.m.
induzida no enrolamento secundrio (tenso em vazio) v2 ento:
td
dN
tdd
vFl
22
2 == (2.59)
onde N2 o nmero de espiras do enrolamento secundrio.
Em regime alternado sinusoidal, o fluxo F e as tenses v1 e v2 tm a mesma frequncia
angular w . Usando a notao simblica:
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 56
FV 11 Njw= (2.60)
FV 22 Njw= (2.61)
Dividindo as duas ltimas equaes:
2
1
2
1
NN
VV ==
2
1
VV (2.62)
Uma vez que desprezmos as perdas, a potncia complexa igual nos dois lados do
transformador:
** = 2211 IVIV (2.63)
donde:
1
2
2
1
VV
II
=**
(2.64)
ou seja:
1
2
2
1
NN
II
==2
1
II
(2.65)
A relao de transformao m o quociente entre o nmero de espiras N1 do primrio
(enrolamento que recebe energia) e do secundrio N2 (enrolamento que cede energia):
2n
1n
2
1
VV
NN
m == kV/kV (2.66)
onde Vn1 a tenso nominal primria e Vn2 a tenso nominal secundria.
Tomando para tenses de base dos lados primrio e do secundrio, as respectivas ten-
ses nominais:
2n2b
1n1b
VV
VV
=
= (2.67)
a relao de transformao em p.u. :
,012
2
1
1
2
1 ===n
b
b
n
n
n
VV
VV
V
Vm
pu
pu p.u. (2.68)
Uma vez que a relao de transformao unitria, o transformador ideal pode ser igno-
rado no esquema equivalente da rede em que esteja integrado.
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 57
2.2.3 Corrente de Magnetizao
Para assegurar um boa ligao magntica entre os dois enrolamentos do transformador,
o fluxo magntico estabelecido num ncleo de ferro (circuito magntico), cuja permeabi-
lidade muito superior do ar. Na Figura 2.18 mostram-se dois tipos construtivos de
transformadores (monofsicos): o tipo core (a) e o tipo shell (b). No primeiro, o ncleo
um anel fechado, em torno do qual so montados os enrolamentos; no segundo, o ncleo
envolve os enrolamentos.
b
Ncleo
f
Enrolamentos
a
Ncleo
Enrolamentos
f
Figura 2.18 Tipos construtivos do transformador: a) Tipo core b) Tipo shell
O ncleo de ferro possui uma caracterstica BH no-linear (B e H so a induo ou den-
sidade de fluxo e o campo magnticos, respectivamente): a partir de um certo valor do
campo, manifesta-se a saturao. Acresce o fenmeno da histeresis, que resulta em que
as trajectrias BH so distintas para valores crescentes ou decrescentes do campo
magntico, conforme se representa na Figura 2.19.
B
H
Figura 2.19 Caracterstica magntica do ncleo do transformador.
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 58
O fluxo magntico alternado d lugar a perdas de energia no ncleo de ferro, devidas: (a)
histeresis e (b) a correntes de Foucault. As primeiras resultam da dissipao de energia
usada para orientar os domnios magnticos do material na direco do campo; as se-
gundas so devidas a perdas de Joule provocadas pelas correntes induzidas no ferro.
Para reduzir estas, o circuito magntico construdo em chapa de ferro laminada.
Devido no-linearidade acima referida a corrente em vazio do transformador no uma
sinuside perfeita, antes contm algumas harmnicas. A componente fundamental fre-
quncia nominal designada corrente de magnetizao representa-se na Figura 2.20,
na qual se observa que pode ser decomposta numa componente em fase com a tenso,
que resulta das perdas, e numa componente em quadratura.
V
Im
f
~v
im
+
-
Figura 2.20 Transformador em vazio.
A corrente de magnetizao da ordem de 2 a 5% da corrente nominal e as perdas em
vazio (perdas no ferro) da ordem de 0,1 a 0,5% da potncia nominal podem obter-se
por meio de um ensaio em vazio do transformador.
2.2.4 Esquema Equivalente
Um primeiro esquema equivalente do transformador o que se representa na Figura
2.21.
jX2 I1
V1 Gm jBm E1
N1 N2
E2 V2
R2 R1 jX1 I2 I2 1 2
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 59
Figura 2.21 Esquema equivalente do transformador.
tenso V1 aplicada ao enrolamento primrio subtrada a queda de tenso R1 I1 devida
resistncia R1 dos condutores bem como a queda de tenso devida reactncia de
disperso X1, resultando a f.e.m. E1. A corrente I1 a soma da corrente de magnetizao
Im com a corrente 2I que transformada pela relao de transformao resultando na
corrente I2 no secundrio. As componentes em fase e em quadratura da corrente de
magnetizao circulam atravs da condutncia Gm e da susceptncia Bm, respectivamen-
te.
A f.e.m. no secundrio do transformador ideal E2=E1/m onde 21 NNm = a relao de
transformao. A tenso aos terminais do secundrio V2 obtm-se a partir de E2 sub-
traindo as quedas de tenso R2I2 e jX2I2 devidas resistncia e reactncia de disperso
do respectivo enrolamento.
Usando valores p.u., o transformador ideal desaparece, uma vez que a relao de trans-
formao m unitria. Chegamos assim ao esquema equivalente em T, representado na
Figura 2.22.
1R 1jX 2R 2jX
2V 1V mG mjB
I2
Im
I1 I1 1 2
Figura 2.22 Esquema equivalente em T do transformador.
No funcionamento normal, o fluxo no ncleo mantm-se substancialmente constante, pelo
que as admitncias do ramo transversal que modela a corrente de magnetizao se po-
dem considerar igualmente constantes.
Dado que a corrente de magnetizao pequena, o ramo transversal pode ser levado
para um dos extremos do esquema, conforme se representa na Figura 2.23, onde
21t RRR += e 21t XXX += .
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 60
I2
Im
V1 V2
I1 Rt jXt
Gm jBm
1 2
Figura 2.23 Esquema equivalente em L do transformador.
Na maioria das aplicaes em sistemas de energia, pode desprezar-se a corrente de
magnetizao, o que permite simplificar o modelo para o representado na Figura 2.24.
I2 I1
R t jX t
V 1 V 2
1 22
Figura 2.24 Esquema equivalente aproximado do transformador.
Recorde-se que as grandezas elctricas esto expressas em p.u., referidas potncia
aparente nominal do transformador e s tenses nominais do primrio e do secundrio,
consoante se refiram quele ou este enrolamento.
Uma vez que as correntes expressas em p.u. nos dois enrolamentos so iguais,
III == 21 , a relao entre as tenses primria e secundria exprime-se pela equao:
IZVV t+= 21 (2.69)
onde tt XjR +=tZ .
Atravs de um ensaio em curto-circuito do transformador pode medir-se a impedncia Zt.
razo pela qual normalmente designada impedncia de curto-circuito do transforma-
dor. Neste ensaio, representado na Figura 2.25, aplica-se um curto-circuito a um dos en-
rolamentos e alimenta-se o outro com uma tenso reduzida designada tenso de curto-
circuito que faz circular a corrente nominal em ambos os enrolamentos.
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Vcc
In Zt=Zcc
Figura 2.25 Transformador em curto-circuito.
A tenso de curto-circuito ccV dada por:
ncccc IZV = (2.70)
Uma vez que 01,In = , tem-se:
cccc ZV = (2.71)
Em valores p.u., com a base postulada, a tenso e a impedncia de curto-circuito do
transformador exprimem-se pelo mesmo valor.
Para decompor a impedncia de curto-circuito nas suas componentes resistiva e reacti-
va, h que medir a potncia consumida, a partir da qual se calcula a resistncia. Uma vez
que se conhece j o mdulo da impedncia, o clculo da reactncia trivial. As perdas
em curto-circuito do transformador (perdas no cobre) situam-se tipicamente na gama 0,5
a 2,5% da potncia nominal.
2.2.5 Transformador com Trs Enrolamentos
Tratando-se de um transformador com trs enrolamentos instalados em torno do mesmo
ncleo, representa-se na Figura 2.26 o respectivo esquema equivalente, o qual inclui um
n fictcio interno ao transformador. No caso de se pretender representar a impedncia de
magnetizao, ela ligar-se-ia entre o n fictcio e o neutro.
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 62
V1V2
V3
N2
N3
N1V2
1
V3
2
3V1
I1
I2
Z1
Z2
I3Z3
Figura 2.26 Transformador com trs enrolamentos.
Neste caso, definem-se trs impedncias (ou tenses) de curto-circuito, relativas a igual
nmero de combinaes dois a dois, dos trs enrolamentos. Dado que a potncia aparen-
te nominal dos trs enrolamentos no a mesma (ainda que, em geral, dois deles te-
nham potncias nominais idnticas), a impedncia de curto-circuito referente a um par de
enrolamentos vem referida menor das potncias nominais. H assim que convert-las a
uma base de potncia comum.
As impedncias do esquema monofsico equivalente, admitindo uma relao X/R idntica
para os trs enrolamentos8, podem ser obtidas a partir dos trs ensaios de curto-circuito
primrio-secundrio, primrio-tercirio e secundrio-tercirio nos quais se medem
12Z , 13Z e 23Z , respectivamente, sendo:
+=+=
+=
3223
3113
2112
ZZZZZZ
ZZZ (2.72)
Daqui resulta:
2ZZZ
Z
2ZZZ
Z
2ZZZ
Z
1223133
1323122
2313121
-+=
-+=
-+=
(2.73)
Dado que a resistncia dos enrolamentos em geral muito menor que a reactncia, pode
modelar-se aproximadamente o transformador apenas pelas reactncias de curto-
circuito.
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 63
2.2.6 Autotransformador
Num autotransformador a ligao entre os dois enrolamentos elctrica e magntica. As-
sim, os enrolamentos no esto isolados electricamente conforme se ilustra na Figura
2.27.
V2
1V
I1
2I
V2
V1
N2
N1
I2
Figura 2.27 Autotransformador.
Sendo vlidas as relaes:
mNN
VV
2
1
2
1 == (2.74)
m1
NN
II
1
2
2
1 == (2.75)
a potncia aparente fornecida ao autotransformador :
( )
m1m
S
m1m
IVIVVIVS
1
11121111
+=
+=+==
(2.76)
e a potncia cedida por este :
( )
m1m
S
m1m
IVIIVIVS
2
22212222
+=
+=+==
(2.77)
Observa-se que a potncia nominal do autotransformador mais elevada que a corres-
pondente configurao com dois enrolamentos separados ( 21 SS = ). Uma vez que a
8 Em geral, despreza-se a resistncia.
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 64
corrente em cada enrolamento a mesma nas duas configuraes, as perdas so iguais,
donde resulta um aumento do rendimento energtico.
Esta vantagem, que resulta numa aprecivel reduo de custo, tanto maior quanto mais
prxima da unidade for a relao de transformao. Por esta razo, em geral usam-se
autotransformadores quando a relao de transformao inferior a 3:1.
Duas desvantagens do autotransformador so a ausncia de isolamento galvnico entre
os enrolamentos e uma corrente de curto-circuito mais elevada, uma vez que a impedn-
cia de curto-circuito menor. Para o auto transformador representado na Figura 2.27,
pode verificar-se que a impedncia de curto-circuito se reduz para ( ) ccZm11 + .
2.2.7 Transformador Trifsico
Em sistemas trifsicos, pode usar-se um conjunto de trs transformadores monofsicos
(muitas vezes designado banco de transformadores) ou um transformador trifsico, que
se representa na Figura 2.28.
afb c
f
Figura 2.28 Transformador trifsico (tipo core).
Uma vez que as tenses fase-neutro tm simetria trifsica, o mesmo sucede aos fluxos
magnticos no ncleo, cuja soma nula em qualquer instante. No por conseguinte ne-
cessrio um circuito magntico de retorno, semelhana do que sucede para a corrente
em sistemas trifsicos simtricos.
Comparando os dois arranjos, verifica-se que o transformador trifsico mais compacto
e requer menos ferro que o banco de trs transformadores sendo, por conseguinte, mais
barato. Em contrapartida, do ponto de vista da fiabilidade, o segundo esquema mais
econmico, uma vez que suficiente uma reserva de um transformador monofsico.
J vimos anteriormente que duas configuraes so possveis em sistemas trifsicos:
estrela (Y) e tringulo (D). Daqui resultam os quatro tipos de ligaes para os transforma-
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 65
dores trifsicos que se mostram na Figura 2.29: Y/Y, Y/D ,D/Y e D/D9. Nos enrolamentos
ligados em estrela o neutro pode ou no estar ligado terra; nos enrolamentos ligados em
tringulo, no existe um ponto neutro.
A relao de transformao de um transformador Y/Y ou D/D sempre um nmero real,
uma vez que as tenses primrias e secundrias em vazio esto em fase, tal como su-
cede num transformador monofsico. Note-se que os enrolamentos tm polaridade, assi-
nalada na Figura 2.29 com uma pequena bola preta, aspecto da maior importncia em
transformadores trifsicos.
9 Os enrolamentos podem ainda ser ligados em zig-zag, o que por vezes se usa em transformadores de
distribuio..
Fundamentos dos Sistemas de Energia Elctrica J. Sucena Paiva 66
d
bc
b
a
c
a
a
c
b
b
c
a
a
b
c
c
b
n
a
a
b
c
n
a
c
b
n
a
c
b
n
Figura 2.29 Tipos de ligaes de transformadores trifsicos.
J. Sucena Paiva Mquinas Rotativas e Transformador 67
Em transformadores Y/D ou D/Y, contudo, existe uma desfasagem entre as tenses pri-
mria e secundria, razo pela qual a relao de transformao complexa. Considere-
se o transformador Y/D representado na Figura 2.30a, ao qual corresponde o diagrama de
fasores da Figura 2.30b.
Do diagrama de fasores observa-se que :
c2a
2ac
2 VVV -= (2.78)
Tomando a2V como referncia e a sequncia de fases normal a-b-c, temos:
120ea2c
2 VV = (2.79)
Substituindo esta equao na equao (2.78):
( )
30j
120j
e3
e1-=
-=a
2
a2
ac2
V
VV (2.80)
Sendo N1 e N2 o nmero de espiras dos enrolamentos primrio e secundrio, respecti-
vamente, tem-se:
je
NN
NN
30
2
1
2
1
3 -=
=
a2
ac2
a1
V
VV (2.81)
Conclumos assim que a tenso fase-neutro secundria est desfasada de 30 em avan-
o, em relao correspondente tenso primria.
Definindo a relao de transformao complexa por:
30j2
1 eNN
3 -=m (2.82)
a equao (2.81) pode escrever-se:
a2a
1 VmV = (2.83)