KIT – The Research University in the Helmholtz Association

Institute of Photonics and Quantum Electronics (IPQ), Department of Electrical Engineering and Information Technology (ETIT)

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Christoph Füllner

Felder und WellenÜbung 12

WS 2018/2019

2 23.01.2019 Institute of Photonics

and Quantum Electronics

Anmerkungen zu Übung 11

Die Lösungen sind hochgeladen, enthalten allerdings minimale Fehler.

Aufschrieb von Übung 11:

Auf Seite 17 muss die Wellenzahl im Exponenten der komplexen

Exponentialfunktion für die durchgelassene Welle natürlich 𝑘1 und nicht 𝑘0lauten.

Musterlösung von Übung 11:

Die Grafik auf Seite 4 wird aufgrund einer fehlerhaften Lateχ-Kompilierung

nicht korrekt angezeigt. Es handelt sich um die gleiche Grafik wie auf dem

Aufgabenblatt.

3 23.01.2019 Institute of Photonics

and Quantum Electronics

Agenda der „Wellen“-Übungen

M. Sc. Christoph Füllner – Felder und Wellen (FuW)

Übung Aufgabe Thematik

Übung 11

(14.01.)

Aufgabe 26 Wellengleichung im Vakuum

Aufgabe 27 Grenzflächenübergang:

Dielektrikum – Dielektrikum, senkrechter Einfall

Übung 12

(21.01.)

Aufgabe 28 Wellenbeschreibung in Kugelkoordinaten

Aufgabe 29 Grenzflächenübergang:

Dielektrikum – Leiter, senkrechter Einfall

Übung 13

(28.01.)

Aufgabe 30 Grenzflächenübergang:

Dielektrikum – Dielektrikum, Einfall mit 𝛼 ≠ 90°

Aufgabe 31 Idealer Hohlleiter (Wellenleiter)auch hier spielen Grenzflächenbetrachtungen eine Rolle

Übung 14

(04.02.)

Aufgabe 32 Grenzflächenübergang:

Dielektrikum – Dielektrikum, Einfall mit 𝛼 ≠ 90°

Aufgabe 33 Hertzscher Dipol

4 23.01.2019 Institute of Photonics

and Quantum Electronics

Kugelkoordinaten

Die FuW-Formelsammlung gibt die allgemeinste Form des Flächenelements in

Kugelkoordinaten an.

Normalenvektor des

Flächenelements zeigt in

Richtung des Radius

Integration über θ, φ

Abhängig vom gewählten

Radius ergibt sich eine

Kugeloberfläche

Normalenvektor des

Flächenelements zeigt in

Richtung von φ

Integration über r, θ

Abhängig vom gewählten

Winkel φ ergibt sich ein

halber Kugelquerschnitt

(für begrenztes r)

Normalenvektor des

Flächenelements zeigt in

Richtung von θ

Integration über r, φ

Abhängig vom gewählten

Winkel θ ergibt sich die

Kugelgrundfläche oder der

Mantel eines Doppelkegels

d Ԧ𝑓 = 𝑟2sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜑 Ԧ𝑒𝑟 d Ԧ𝑓 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 Ԧ𝑒𝜑 d Ԧ𝑓 = 𝑟sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜑 Ԧ𝑒𝜃

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and Quantum Electronics

Übersicht über Wellengleichungen

M. Sc. Christoph Füllner – Felder und Wellen (FuW)

Name Allgemeine Gleichung Für harmonische Wellen

Allgemeine

Wellen-

gleichung

Δ𝐸 −1

𝑐2𝜕2𝐸

𝜕𝑡2= 0

Helmholtzgleichung

Δ𝐸 + 𝑘2𝐸 = 0

im Vakuum gilt: 𝑐 = 𝑐0, 𝑘 = 𝑘0, 𝜀𝑟 = 1, 𝜇𝑟 = 1, 𝜌 = 0, 𝜅 = 0,Ԧ𝑗 = 0

Wellen-

gleichung im

leitfähigen

Material

(Telegraphen-

gleichung,

Leitungs-

gleichung)

Δ𝐸 −1

𝑐2𝜕2𝐸

𝜕𝑡2− 𝜇𝜅

𝜕𝐸

𝜕𝑡= 0 Δ𝐸 + 𝑘2𝐸 − 𝑗𝜔𝜇𝜅𝐸 = 0

Zusätzlicher Term, der spezifische Leitfähigkeit und Verluste

berücksichtigt

Herleitung aus 𝑟𝑜𝑡 𝐻 = Ԧ𝑗 +𝜕𝐷

𝜕𝑡, mit Ԧ𝑗 = 𝜅𝐸 ≠ 0, da das E-Feld der

Welle Ströme erzeugt

Gilt nur für Materialien mit kleiner Stoßzeit bzw. Ԧ𝑗 = 𝜅𝐸

Stromfluss bewirkt Wärmeverluste im ohmschen Widerstand und eine

Dämpfung der Welle

Idealer Leiter (𝜅 → ∞): unendlich schnelle Dämpfung, da die

Ladungsträger sich quasi instantan rearrangieren und das Feld

abschirmen elektromagnetische Welle dringt nicht in den Leiter ein

6 23.01.2019 Institute of Photonics

and Quantum Electronics

Übersicht über Wellengleichungen

M. Sc. Christoph Füllner – Felder und Wellen (FuW)

Name Allgemeine Gleichung Für harmonische Wellen

Wellen-

gleichung im

Dielektrikum

Δ𝐸 − 𝜀𝜇𝜕2𝐸

𝜕𝑡2= 0

Δ𝐸 + 𝑘2𝐸 = 0, bzw.

Δ𝐸 + 𝜀𝑟𝑘02𝐸 = 0

Einführung einer komplexen Permittivität 𝜀 bzw. Wellenzahl 𝑘 zur

Berücksichtigung schwingender Ladungsträger Realteil: Maß dafür, wie stark das Material zu Polarisationseffekten neigt,

d.h. vom E-Feld beeinflusst wird; maßgeblich für die Ausbreitungs-

geschwindigkeit der Welle im Material sowie Lichtbrechung und Streuung; in

der Regel frequenzabhängig („gewöhnliche“ Permittivität bzw. Wellenzahl)

Imaginärteil: repräsentiert Absorptions- / Dämpfungsverluste der Welle in

diesem Medium (neu)

Herleitung mit „Lorentz-Oszillator-Modell“ (Skript S. 304-311)

Permittivtät: 𝜀 = 𝜀0 𝜀𝑟,𝑅 − 𝑗𝜀𝑟,𝐼 Wellenzahl: 𝑘 = 𝑘𝑅 − 𝑗𝑘𝐼 = 𝜔 𝜇𝜀

Lösung der Gleichung: 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑅𝑧)𝑒−𝑘𝐼𝑧

Zusammenhang mit Telegraphengleichung:

𝜅 = 𝜔𝜀0𝜀𝑟,𝐼 ⇒ 𝑘 = 𝜔 𝜇𝜀0𝜀𝑟,𝑅 1 − 𝑗𝜅

𝜔𝜀0𝜀𝑟,𝑅

Gilt nur für Materialien mit

kleiner Stoßzeit bzw. Ԧ𝑗 = 𝜅𝐸

Dämpfungsterm

7 23.01.2019 Institute of Photonics

and Quantum Electronics

Übersicht über Wellengleichungen

M. Sc. Christoph Füllner – Felder und Wellen (FuW)

Name Allgemeine Gleichung Für harmonische Wellen

Wellen-

gleichung im

Dielektrikum

Δ𝐸 − 𝜀𝜇𝜕2𝐸

𝜕𝑡2= 0

Δ𝐸 + 𝑘2𝐸 = 0, bzw.

Δ𝐸 + 𝜀𝑟𝑘02𝐸 = 0

Einführung einer komplexen Permittivität 𝜀 bzw. Wellenzahl 𝑘 zur

Berücksichtigung schwingender Ladungsträger Realteil: Maß dafür, wie stark das Material zu Polarisationseffekten neigt,

d.h. vom E-Feld beeinflusst wird; maßgeblich für die Ausbreitungs-

geschwindigkeit der Welle im Material sowie Lichtbrechung und Streuung; in

der Regel frequenzabhängig („gewöhnliche“ Permittivität bzw. Wellenzahl)

Imaginärteil: repräsentiert Absorptions- / Dämpfungsverluste der Welle in

diesem Medium (neu)

Herleitung mit „Lorentz-Oszillator-Modell“ (Skript S. 304-311)

Permittivtät: 𝜀 = 𝜀0 𝜀𝑟,𝑅 − 𝑗𝜀𝑟,𝐼 Wellenzahl: 𝑘 = 𝑘𝑅 − 𝑗𝑘𝐼 = 𝜔 𝜇𝜀

Lösung der Gleichung: 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸0𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑅𝑧)𝑒−𝑘𝐼𝑧

Zusammenhang mit Telegraphengleichung:

𝜅 = 𝜔𝜀0𝜀𝑟,𝐼 ⇒ 𝑘 = 𝜔 𝜇𝜀0𝜀𝑟,𝑅 1 − 𝑗𝜅

𝜔𝜀0𝜀𝑟,𝑅

Gilt nur für Materialien mit

kleiner Stoßzeit bzw. Ԧ𝑗 = 𝜅𝐸

Dämpfungsterm