Physik für PharmazeutenPhysik für Pharmazeuten

SCHWINGUNGEN – WELLEN Schwingungen – Resonanz

Wellen

elektrischer Schwingkreis – elektromagnetische Wellen

Schwingungen 5 1 SchwingungenWellen 5.1  Schwingungen

• Federpendel• FederpendelAuslenkung x, Masse m, Federkonstante kHBewegungsgleichung:

2

2

d ( )( )H

x tm k x t= −Bewegungsgleichung: 

Ansatz über Kräfte auf MasseTrägheitskraft = rücktreibende Kraft( ) sin( )x t x tω ϕ+

2( )

d Ht

Kreisfrequenz 

Schwingungsfrequenz    f=ω0/2π

0 0 0( ) sin( )x t x tω ϕ= +

0 Hk mω =Sc gu gs eque f ω0/ πPeriodendauer T=1/f

Amplitude  x0• Energie

Gesamtenergie = kinetische Energie + potentielle Energie = konstant2k x

2

proportional Quadrat der Auslenkung0

0, 2H

ges

k xE =

SchwingungenWellen

• gedämpfte Schwingung• gedämpfte Schwingungz.B. Reibungskraft (proportional v=dx/dt)

2d ( ) d ( )( )

x t x tm k x t

2( )

d dHm k x tt t

γ= − −

0 0( ) sin( )tx t x e tδ ω ϕ− ′= +

Abklingkoeffizient...δ, ‐zeit.......τA=1/ δ=2m/γFrequenz verschoben:  2

0 01 ( 2 )mω ω γ ω′ = −Energie nimmt exponentiell ab mit Abklingzeit τE=m/γ

/0( ) EtE t E e τ−=

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SchwingungenWellen

• Erzwungene Schwingung• Erzwungene Schwingungperiodische äußere Kraft 

ω << ω0: Masse folgt immer der Antriebskraft0( ) cos( )F t F tω=

ω  ω0:  Masse folgt immer der Antriebskraft

ω >> ω0:  Massenträgheit überwiegt, 

( ) ( )/ Hx t F t k=

Reibung und Rückstellkraft spielen keine Rolle

ω ≈ ω0:   Masse nimmt dauernd Energie auf,

2( ) ( )/( )x t F t mω= −ω ω0: asse t daue d e g e au ,nur Reibung begrenzt Amplitude

00

Fx = Resonanz,

Masse schwingt mit frequenzabhängiger

( )0 22 2 2 2 2

0

xm ω ω γ ω− +

max. Amplitude bei2 20 2Rω ω δ= −

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Masse schwingt mit frequenzabhängigerPhase relativ zu Antrieb ( ) ( )2 2

0tan ( )mϕ γ ω ω ω= −

SchwingungenWellen

• Überlagerung von Schwingungen• Überlagerung von SchwingungenAddition der Schwingungen (Addition von Sinusschwingungen)

"Schwebung"

1 2( ) ( ) ( )

( ) i (( ) /2) i (( ) /2)

x t x t x t

t t

= ++ +

• Gekoppelte SchwingungenB P d l E i ht P d l 1 f 2

0,1 0,2 1 2 1 2( )sin(( ) /2)sin(( ) /2)x x t tω ω ω ω= + + −

z.B. Pendel: Energie geht von Pendel 1 auf 2

2 unterschiedliche "Schwingungsmoden" (Freiheitsgrade)

Molekülschwingungen (C02)

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SchwingungenWellen

• Grund Oberschwingung• Grund‐, Oberschwingungtransversale oder longitudinale Auslenkung gekoppelter Massen

SaiteOrgelpfeife

transversal:transversal:Saite, Wasseroberfläche,Balken

longitudinal:Schall in Luft, Druckwellen in Wasser, etc.

festes Ende: Knoten (keine Auslenkung)( g)

offenes Ende: Bauch (max. Auslenkung)

"Randbedingungen"

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Schwingungen 5 2 WellenWellen 5.2  Wellen

• Ausbreitung von Auslenkungen:• Ausbreitung von Auslenkungen:während T=1/f breitet sich Wellen um eineWellenlänge aus:  Ausbreitungsgeschwindigkeit der Phasenlage: /T f cλ λ= =

0

2 2( , ) sinA x t A t x

π πτ λ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Wellenlänge...λ,     Wellenvektor...k=2π/λ

0 sin( )A t kxτ λ

ω⎝ ⎠

= −

e e ä ge...λ, e e e to ... π/λWellenfront:   Linien gleicher 

Phase

ÜÜberlagerung möglich

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Schwingungen Ausbreitung einer WelleWellen Ausbreitung einer Welle

• Interferenz:• Interferenz: Überlagerung von Wellen (Addition)

Verstärkung:  Wellen mit gleicher Phasenlage (ϕ=0)

Auslöschung:( , ) sin( ) sin( ) 2 sin( )A x t A t kx A t kx A t kxω ω ω= ⋅ − + ⋅ − = ⋅ −

Auslöschung: bei entgegengesetzter Auslenkung (ϕ=π)( , ) sin( ) sin( )

i ( ) i ( ) 0

A x t A t kx A t kx

A t k A t k

ω ω π= ⋅ − + ⋅ − +

• Prinzip von HuygensJ d i W ll t P kt i d

sin( ) sin( ) 0A t kx A t kxω ω= ⋅ − − ⋅ − =

Jeder von einer Welle erregte Punkt wird selbst zum Ausgangspunkt einer neuen Kreis‐/Kugelwelle. Überlagerung aller 

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Kugelwellen ergibt neue Wellenfront

SchwingungenWellen

Beispiel für HuygensschesPrinzip

R fl i• Reflexion• Einfallswinkel = Ausfallswinkel

• Brechung• Brechungsgesetz 2 2sin k cα

= =• Brechungsgesetz1 1sin k cβ

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SchwingungenWellen

• Beugung• BeugungSchall kann auch hinter Hindernis wahrgenommen werden (ohne Reflexion – Baum auf Wiese)Effekt hängt von Wellenlänge λ abBeugung an Kante:Beugung an Kante:  Eindringtiefe

Beugung an Spalt (Breite b):

D...Abstandx Dλ≈

abwechselnd helle, dunkle Bereichedunkel bei

B Gi (S l b d b)

λ λ λθ = ± ± ±min2

sin , ,..., ,...n

b b bBeugung an Gitter (Spaltbstand a>>b)Maxima bei

• wichtig u.a. in Optik bei Auflösungs‐maxsin

naλθ =

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wichtig u.a. in Optik bei Auflösungsvermögen  optischer Geräte

Schwingungen 5 3 Elektrischer SchwingkreisWellen 5.3.  Elektrischer Schwingkreis

• LC Schwingkreis• LC‐SchwingkreisWechsel zwischen Verformungsenergie – kinetischer Energie⇔ el. Energie des Kondensators – Energie des

magnetischen Feldes

• Schwingkreis Hertzscher Dipol• Schwingkreis – Hertzscher DipolÜbergang zu Antenne

Dipol:keine Abstrahlung in Achsenrichtung

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SchwingungenWellen

• Dipolstrahlung• Dipolstrahlung

Polarisation:

zusätzlich noch zirkulare Polarisation, bzw. jede Überlagerung

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j g gdieser beiden Schwingungsarten

SchwingungenWellen

• Abstrahlung• Abstrahlung elektromagnetischer Strahlung

Radiowellen, Fernsehsender,Radiowellen, Fernsehsender, Mikrowelle, Mobilfunk, (Infrarot‐) Wärmestrahlung, Licht UV‐Licht RöntgenLicht, UV‐Licht, Röntgen, γ‐Strahlung

sichtbares Spektrum

c

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8mit 2,997925 10 m sc

cλν

= = ⋅

Schwingungen AnhangWellen Anhang

Schallgeschwindigkeit

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