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Dispensa Fenomeni di Trasporto Biologico, Università di Pisa, Ingegneria Biomedica
1 27/09/2021
Fenomeni di Trasporto Biologico.
Dispensa del corso della professoressa Arti Ahluwalia
Università di Pisa, Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica
Pagina del corso:
http://www.centropiaggio.unipi.it/course/fenomeni-di-trasporto-biologico.html
A cura di Alessandro Velletri, Elena Bartolini, Camilla Baselli, sotto la supervisione del docente.
Si prega di fare presente eventuali errori al docente.
(CC BY-NC-SA)
(può essere copiato e adattato riconoscendo gli autori, non per scopi di lucro)
Dispensa Fenomeni di Trasporto Biologico, Università di Pisa, Ingegneria Biomedica
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Indice
1. Introduzione .............................................................................................................. 4
Concetti Base ................................................................................................................ 5 1.1.1 Flux, Flow e Flusso ............................................................................................................................ 5 1.1.2 Euler e Lagrange ............................................................................................................................... 6
Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente ........................................ 6 1.2.1 Vettori e Tensori ............................................................................................................................... 6 1.2.2 Gradiente e divergenza ..................................................................................................................... 7 1.2.3 Il Laplaciano, ..................................................................................................................................... 8 1.2.4 Velocità, accelerazione e flusso volumetrico .................................................................................... 9 1.2.5 Material Derivative o derivata materiale ........................................................................................ 10
2 Equazione di conservazione di massa, continuità ...................................................... 11
Stazionarietà: equilibrio – conservazione. .................................................................... 11 2.1.1 Equazione di conservazione: ........................................................................................................... 12 2.1.2 Il sistema vascolare rispetta la legge di continuità. ........................................................................ 13
3 Fluidi: Fluidodinamica e reologia.............................................................................. 14
Idrostatica ................................................................................................................... 14 3.1.1 Pressione sanguina ......................................................................................................................... 15
Viscosità ..................................................................................................................... 17 3.2.1 Introduzione ................................................................................................................................... 17 3.2.2 Piatti paralleli .................................................................................................................................. 18
Accenno alla reologia .................................................................................................. 19 3.3.1 Unità di misura della viscosità ........................................................................................................ 21
Linee di Flusso ............................................................................................................. 22
Derivazione legge di Poiseuille. .................................................................................... 22
Numero di Reynolds (Re). ............................................................................................ 26 3.6.1 Lo strato limite ................................................................................................................................ 28
Equazione di Bernoulli ................................................................................................. 29 3.7.1 Pressione statica e cinetica ............................................................................................................. 30 3.7.2 Stenosi, separazione del flusso e aneurisma .................................................................................. 31
Il volo, la scia e flusso vorticoso ................................................................................... 32 3.8.1 Flusso sviluppato ............................................................................................................................ 33
Equazione di Navier Stokes. ......................................................................................... 35 3.9.1 Equazione di idrostatica e di Bernoulli da Navier-Stokes. .............................................................. 38 3.9.2 Equazione di Poiseuille con Navier Stokes. ..................................................................................... 38 3.9.3 Derivazione dell’equazione di Couette. .......................................................................................... 40 3.9.4 Flusso in un canale rettangolare ..................................................................................................... 42 3.9.5 Adimensionalizzazione di Navier Stokes e il numero di Reynolds .................................................. 44
4 Tensione superficiale ............................................................................................... 46
Introduzione ............................................................................................................... 46 4.1.1 Numero di Bond .............................................................................................................................. 46 4.1.2 Misurare ....................................................................................................................................... 47 4.1.3 Angolo di contatto e bilancio della tensione superficiale. .............................................................. 47 4.1.4 Equazione di Young-Dupree. .......................................................................................................... 48
Capillarità e gocce da una pipetta ................................................................................ 49 4.2.1 Legge di Laplace per le gocce .......................................................................................................... 50
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5 Flusso di massa ........................................................................................................ 52
Introduzione e 1° legge di Fick ..................................................................................... 52
Seconda legge di Fick ................................................................................................... 53 5.2.1 La forma integrale della legge di Fick.............................................................................................. 54
Ordine di reazione ....................................................................................................... 55 5.3.1 Equazione di Michaelis-Menten ..................................................................................................... 57
Tempo di diffusione e l’equazione di Stokes-Einstein .................................................... 58 5.4.1 Concentrazioni soluto e solvente ................................................................................................... 59 5.4.2 Concentrazione del sale nel mare e dell’acqua nel mare nel sale .................................................. 59
Diffusione e convezione .............................................................................................. 60 5.5.1 Il numero di Peclet .......................................................................................................................... 60
Diffusione libera di elettroliti ....................................................................................... 62
Trasporto attraverso la membrana cellulare ................................................................ 62 5.7.1 Coefficiente di Partizione ................................................................................................................ 63
Esempi di trasporto di massa ....................................................................................... 65 5.8.1 Applicazione della forma integrale della Legge di Fick: il modello quasi-stazionario ..................... 65 5.8.2 Punto sorgente [Approfondimento] ............................................................................................... 67 5.8.3 Consumo di un nutriente ................................................................................................................ 68
Osmosi ........................................................................................................................ 69
6 Trasporto di energia ................................................................................................ 71
Introduzione ............................................................................................................... 71 6.1.1 Accenno alla regolazione termica negli esseri viventi .................................................................... 71
Meccanismi di trasporto di calore ................................................................................ 72 6.2.1 Conduzione ..................................................................................................................................... 72 6.2.2 Irradiazione. .................................................................................................................................... 73 6.2.3 Convezione. .................................................................................................................................... 73 6.2.4 Cambio di stato, evaporazione per sudorazione. ........................................................................... 74
La Heat equation ......................................................................................................... 74 6.3.1 Equazione caratteristica: derivazione della Heat Equation. ........................................................... 75 6.3.2 Moto forzato ................................................................................................................................... 76 6.3.3 La Bioheat equation ........................................................................................................................ 77 6.3.4 Resistenza termica .......................................................................................................................... 78 6.3.5 Numero di Biot ................................................................................................................................ 79
Esempi di trasferimento di calore ................................................................................ 81 6.4.1 Temperatura dell’uomo senza scambio di energia ......................................................................... 81 6.4.2 Trasferimento di calore da un oggetto caldo ad uno freddo .......................................................... 82 6.4.3 Esempio di raffreddamento di un oggetto immerso in un ambiente freddo ................................. 82
Trasporto di calore nell’uomo ...................................................................................... 83 6.5.1 Riassunto calore perso da un uomo nudo ...................................................................................... 85
7 Uomo standard e riassunto dei 3 trasporti ............................................................... 86
Uomo standard. .......................................................................................................... 86
Riassunto .................................................................................................................... 87
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FIGURA 1-1: MOTO BROWNIANO
1. Introduzione I processi che studieremo in questo corso saranno tutti in condizioni di quasi equilibrio (vedremo che
ciò ci permetterà di semplificare parecchi problemi). Inoltre consideriamo i sistemi come fluidi o solidi
continui (non fatti di particelle o quantità discrete), per cui siamo in regime della meccanica del
continuo.
NB: parliamo di equilibrio e stazionarietà. (Equilibrio somma vettoriale delle forze totali=0;
Stazionario= nessuna variazione in tempo).
In questo corso ci soffermeremo in particolar modo sul trasporto di: Moto , Massa e Energia.
Moto: osserveremo il trasporto di fluidi, di un materiale dovuto ad una spinta di moto;
massa×velocita’ (vasi, circolazione e fiumi). Sarà il primo che tratteremo.
Massa: ad esempio come diffonderà il profumo in una stanza, la concentrazione iniziale verrà
distribuita tramite trasporto in tutta la stanza fino a raggiungere un equilibrio nella concentrazione.
Energia: parleremo fondamentalmente del trasporto di calore, poiché le altre energie non vengono
trasportate direttamente ma convertite in altre forme (l’energia potenziale si trasforma in energia cinetica).
Suddivideremo inoltre il trasporto di massa in due tipi:
Trasporto passivo (detto anche Moto diffusivo) e Trasporto forzato (detto anche Moto forzato,
convettivo o advezione).
Un esempio di moto passivo è quello del profumo descritto precedentemente, dove le molecole di
profumo, ognuna con una propria energia intrinseca K×T 1 si muovono nell’aria secondo un moto
Browniano. Maggiore sarà la temperatura e più velocemente diffonderanno: si diffondono in maniera
casuale e grazie a Einstein e Brown sappiamo che si diffondono secondo la legge: ∆𝑟2 ∝ 𝑡 ∆𝑟 ∝ √𝑡
La distanza percorsa è proporzionale al tempo di osservazione, più tempo passa più vi è possibilità di
spostamento. Invece nel caso di moto convettivo, avrò una velocità �̅� di spinta.
1 K e’ la costante di Boltzmann. K=1.38e-23 J/Kelvin. Il prodotto K×T e’ l’energia per molecola. Da notare che la costante di gas, R=K/(no. Avogadro) ed è espressa in J/(mole.Kelvin).
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Concetti Base
1.1.1 Flux, Flow e Flusso
Ogni tipo di trasferimento (o moto) genererà un FLUSSO.
In italiano utilizziamo un unico termine per indicare quello che in inglese viene distinto tra FLUX e
FLOW.
Flux verrà usato per descrivere qualcosa che attraversa un’area superficiale in un
tempo t, con Φ che indica massa, energia o quantità di moto a seconda del caso.
2Flux
m s
=
Flow verrà usato per intendere il flusso volumetrico (inteso come l’acqua in un condotto o il sangue nelle arterie) è espresso in molti casi come:
3m
Flows
=
Per esempio, il flusso volumetrico del sangue nell’aorta e 5 L/min o 8.5x10-5 m3/s.
Il trasporto è causato da delle differenze che si creano nello spazio, identificate come GRADIENTI. In
particolare, i trasporti che studiamo sono dovuti a una variazione di concentrazione, velocità o
temperatura tra due punti. Maggiore è la quantità di quello che si trasporta, maggiore sarà il flusso.
Avremo quindi il trasporto di:
Massa: dovuto a differenza di concentrazione (C).
Energia: dovuto a differenza di temperatura (T).
Moto: dovuto a differenza di velocità (V).
Quindi il flusso di queste 3 entità, inteso come “flux” sarà:
Φ= entità trasportata FLUSSO GRADIENTE (forza motrice)
Equazione costitutiva
Nome Eq. costitutiva
MASSA: M
2
M
m s − 𝜕𝐶𝜕𝑥
cJ D
x
= −
FICK
ENERGIA: Q (termica)
2
Joule
m s − 𝜕𝑇𝜕𝑥
TQ k
x
= −
FOURIER
MOTO: M*v
2
Mv
m s − 𝜕𝑉𝜕𝑥
v
x = −
NEWTON
NB: Stiamo considerando sistemi unidirezionali.
FIGURA 1.2 - FLUX
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1.1.2 Euler e Lagrange
Esistono due metodi per studiare questi sistemi:
Euleriano: osserviamo un sistema da fermi mentre le
particelle (o l’energia o altro) scorrono.
E’ come se un uomo guardasse un porzione di fiume da fermo mentre scorre ed osserva cosa vi entra ed esce.
Prendendo quindi un blocchetto infinitesimo osserviamo
il trasporto da fuori a dentro; regime quasi stazionario e
volume costante.
NB: Useremo questo sistema nei nostri studi in questo corso.
Lagrangiano: invece di fissare la stessa porzione di fiume da fermi, rincorriamo lo stesso punto
seguendo il torrente. Si tratta quindi di seguire il sistema nel suo “percorso”, fissando una molecola
nello spazio. Computazionalmente e’ più difficile.
Nozioni fondamentali: vettori, tensori, divergenza e gradente
1.2.1 Vettori e Tensori
[Video lezione consigliata di Dan Fleisch “What's a Tensor?”
https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw].
Scalare: non ha direzione, non ha verso, ha solo ampiezza.
Vettore: è caratterizzato da ampiezza, direzione e verso (ci posiziona nello spazio).
Tensore: è un’entità matematica che generalizza il concetto di vettore, funzioni e prodotti scalari.; il
tensore indica anche il piano di riferimento. Ad esempio un tensore di 2°grado sarà Fyy, il primo pedice
indica la direzione perpendicolare al piano di riferimento mentre il secondo la direzione di F.
Ipotizzando di avere un cubo (Fig.1.4), osserviamo quali forze agiscono su tutte le facce del cubo,
riassumibili nella matrice dei tensori di sforzo:
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
NB: le colonne sono riferite alla direzione della forza. Le righe
indicano il perpendicolare al piano.
Nello studio del trasporto, utilizziamo la matrice dei tensori
per gli sforzi. I tensori sulla diagonale principale [ xx , yy
, zz ] sono pressioni e sforzi di tensione o
FIGURA 1-3: VOLUME OSSERVATO SECONDO UN SISTEMA
EULERIANO
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compressione, mentre i restanti sono sforzi di taglio. Da notare che la pressione è uno sforzo che
agisce perpendicolare a un piano con direzione verso il piano (cioè la pressione è sempre
compressiva).
Sia lo sforzo che la pressione presentano le stesse dimensioni di una forza per unità di area,
solitamente espressa in [𝑷𝒂] = [𝑵][𝒎]𝟐
Pressione: E’ una forza applicata perpendicolarmente all’area di interesse ed e’ sempre diretta verso il piano. Siccome la direzione e il piano sono definite, viene considerata uno scalare.
Gli sforzi sono classificabili come:
Sforzo di taglio: Avviene lungo una superficie e lo troveremo
spesso scritto come 𝑭𝒕𝒂𝒈𝒍𝒊𝒐𝑨 = 𝝉
Sforzo di trazione: E’ perpendicolare alla superficie. La forza è diretta verso l’esterno.
Sforzo di compressione: E’ perpendicolare alla superficie. La forza è diretta verso l’interno.
1.2.2 Gradiente e divergenza
• Gradiente (GRAD) di uno scalare:
Il gradiente di una funzione scalare è la sua derivata nello spazio, quindi è un vettore che rappresenta
l’ampiezza e la direzione in cui la funzione ha la massima derivata (ovvero delle variazioni maggiori).
Usiamo l’operatore nabla "∇" (in inglese Del) per il gradiente.
f i j k fx y z
= + +
Per esempio, il gradiente di pressione è
, ,p p p p p p
p i j kx y z x y z
= + + =
NB: il gradiente di un vettore è invece un tensore (es. v ).
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• Divergenza (DIV) di un vettore
La divergenza è la somma delle derivate, nello spazio, di un vettore o un tensore. La divergenza di un
vettore e’ uno scalare. La divergenza di un tensore e’ un vettore.
In particolare, la divergenza di un vettore è un campo scalare e rappresenta l’uscita del campo dal
punto (es. campo di velocità). In altre parole, è una misura della quantità di campo che esce
(divergenza positiva +) o entra (divergenza negativa -) da un punto per unità di tempo.
yx zvv v
vx y z
= + +
In forma matriciale: , ,x
yx zy
z
vvv v
vx y z x y z
v
= + +
(scalare)
, ,
, ,
zx zy zz
xx xy xz
yx
yx
yzx
yy yz
xy yxx z zx y zy zz
x y z
x y z x y z x y z
= • =
+ + + + + +
(vettore: si raccolgono i termini con direzione comune)
1.2.3 Il Laplaciano,
Laplaciano 2 (in Inglese “Del squared”). La 2 può essere definita come la divergenza del
gradiente, ovvero come somma della seconda derivata nello spazio.
Più difficile da spiegare in termini fisici, è una misura di quanto è diversa la funzione tra un punto e
l’altro (cioè la seconda derivata!)
Per uno scalare s:
2 2 22
2 2 2.
s s ss s
x y z
= = + +
Per un vettore (es. �̅� ) invece la 2 deve essere definita in ogni direzione.
2 2 22
2 2 2x x x
x x
v v vv v
x y z
= = + +
2 2 2
2
2 2 2
2 2 22
2 2 2
y y y
y y
z z z
z z
v v vv v
x y z
v v vv v
x y z
= = + +
= = + +
Infine il prodotto scalare (o meglio “dot product”) tra un vettore e il gradiente di uno scalare (vettore)
è scritto:
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.x y z
s s sv s v v v
x y z
= + +
(scalare)
Da notare che il “dot product” tra un vettore e il gradiente di un vettore (tensore) è un vettore.
Per esempio, v v è un vettore.
Il Laplaciano ha diverse espressioni per i vari sistemi di riferimento.
Analizziamo ad esempio 2 , con scalare.
In un sistema cartesiano:
2 2 22
2 2 2x y z
= + +
In coordinate sferiche:
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1sin
sin sinr
r r r r r
= + +
In questo caso consideriamo solitamente variazioni lungo il raggio, è importante ricordare solo
2 2
2
1r
r r r
= poiché raramente consideriamo variazioni angolari.
In coordinate cilindriche:
2 22
2 2 2
1 1r
r r r r z = + +
In coordinate cilindriche raramente consideriamo variazioni in θ.
1.2.4 Velocità, accelerazione e flusso volumetrico
• Definizione formale di velocità
La velocità è un vettore che dipende da spazio e tempo ( , , z, t)v f x y=
I vettori rossi rappresentano la velocità di ogni punto, mentre quello nero
rappresenta il vettore normale alla superficie.
La velocità media di particelle che attraversano un’area è la media di tutte le
componenti della velocità normale alla superficie, e si scrive così:
1Vmedia
A
v ndAA
= spesso il vettore di velocita’ e’ perpendicolare alla
superficie, per cui: 1
Vmedia
A
vdAA
=
• Flusso volumetrico
Esprimiamo il flusso volumetrico in funzione della velocità media:
VflussoVolumetrico media
A
Q A v ndA= = , cosicché:
3
2m mQ vA m
s s= = =
FIGURA 1.5: VELOCITA;
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Il flusso di massa verrà espresso come * tempo
media
A
massaJ v ndA V
area A
= = =
• Accelerazione
Sapendo che la velocità è funzione di spazio e tempo:
( , , , )v v x y z t= , x y z
dx dy dzv iv jv kv i j k
dt dt dt= + + = + +
La differenziale della velocità è:
Eq. (1)
L’accelerazione è la variazione di velocità sia nello spazio che nel tempo.
In regime Euleriano, se mi fisso su un unico volumetto, devo trattare le variazioni nello spazio
separatamente ma nel Lagrangiano no.
Esprimeremo l’accelerazione dividendo l’Eq. (1) per dt
dv v dx v dy v dz v
dt x dt y dt z dt t
= + + +
.x y z
dv v v v v vv v v v v
dt x y z t t
= + + + = +
v
t
è un termine di accelerazione locale di tipo newtoniano. Invece il termine v v si usa solo per
i fluidi: è un’accelerazione che avviene nello spazio quando cambia lo spazio nel campo di velocità, ad
esempio quando cambiano le sezioni e le forme di tubi.
1.2.5 Material Derivative o derivata materiale
La derivata materiale è la derivata nel tempo di una funzione caratteristica di una particella di fluido
sottoposto ad una velocità. E’ nota anche come derivata Lagrangiana o derivata sostanziale (derivata
nel tempo di una funzione mentre viene seguita una particella di fluido).
Rappresenta la variazione nel tempo di una certa proprietà di una particella fluida che si muove con
una velocità �̅�. Bisogna, quindi, tener conto che la funzione cambia sia nello spazio che nel tempo. Il
"material derivative” collega la descrizione Lagrangiana con quella Euleriana.
(La funzione può essere velocità, densità, temperatura ecc.)
L E
Dv
Dt t
= +
v v v vdv dx dy dz dt
x y z t
= + + +
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NB: Per cui l’accelerazione è la derivata materiale della velocità. L’accelerazione infatti può essere anche scritta come:
dva
dt
dv v Dvv v
dt t Dt
=
= + =
2 Equazione di conservazione di massa, continuità
Stazionarietà: equilibrio – conservazione.
Un sistema stazionario rimane invariante nel tempo pur non essendo completamente fermo (nello
spazio può cambiare).
Un movimento non stazionario è caratterizzato da un’accelerazione mentre i sistemi stazionari sono chiusi e conservativi.
Per quanto riguarda il concetto di conservazione, analizziamo i sistemi cosiddetti conservativi.
Osservando il blocchetto infinitesimale, volume fisso, (Fig.2.1), prestiamo attenzione a ciò che entra e
ciò che esce. Se notiamo un aumento della massa nel tempo vuol dire che è entrato qualcosa e nulla
(o non abbastanza) è uscito. Lo stesso vale per la diminuzione, poco o nulla sarà entrato e qualcosa
sarà uscito.
Potremmo immaginare che dentro a questa “black box” ci sia un sistema chimico che “ipoteticamente” produce massa o la consuma (ipotetico perché sappiamo che la massa non può
essere creata o distrutta). Terremo conto di questo, aggiungendo un termine ipotetico, che comunque
è pari a zero. 𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = = 𝐹𝑙𝑢𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑖𝑛 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑛𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 ∗ 𝐴𝑟𝑒𝑎 − 𝑓𝑙𝑢𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑖𝑛 𝑢𝑠𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 ∗ 𝐴𝑟𝑒𝑎 ± 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑛𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 Questa è di per sé un’equazione di conservazione. Da notare che l’ultimo termine deve essere=0 perché la massa non può essere prodotta o distrutta.
Dimensionalmente avremo: 𝑚𝑡 = [𝐾𝑔][𝑠]
La variazione di flusso è [𝐾𝑔][𝑚]2[𝑠], quindi per avere un riscontro dimensionale dobbiamo moltiplicare per
l’area [𝑚]2 ottenendo [𝐾𝑔][𝑠] , ovvero flusso per superficie in ingresso e in uscita.
Perciò, a meno del termine di produzione, possiamo rappresentare l’aumento di massa per unità di
tempo con: 𝒅𝑲𝒈𝒅𝒕 = 𝑲𝒈𝒎𝟐𝒔 𝒎𝟐|𝒊𝒏 − 𝑲𝒈𝒎𝟐𝒔 𝒎𝟐|𝒐𝒖𝒕
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2.1.1 Equazione di conservazione:
Consideriamo ora che 𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒, dove ρ indica la densità ed il volume è costante poiché siamo
in regime Euleriano.
Osserviamo quel che entra ed esce dalla faccia Δy Δz, (A=∆𝑦 ∗ ∆𝑧), con Vin e Vout in direzione x (con x
positivo andando da sinistra a destra).
Avremo:
( ) ( )x xin x out x x
mx y z v y z v y z
t t
+
= = −
Semplificando e dividendo per x y z :
( ) ( )x xin x out x xv v
t x
+−
=
Nel limite di piccole variazioni le ∆ diventano d, per cui: 𝜕𝜌𝜕𝑡 = − 𝜕(𝜌𝑉𝑥)𝜕𝑥
NB: il segno “-“ è dovuto al fatto che abbiamo sottratto il flusso di uscita (a x+dx) a quello in ingresso
(a x).
Quanto detto è estendibile in tutte le dimensioni, perciò l’equazione di continuità o equazione di
conservazione di massa verrà espressa tramite l’operatore nabla come:
( ) ( )v v vt
= − = − +
In genere consideriamo di essere in condizioni isotermiche e in presenza di fluidi incomprimibili.
Dunque, trovandoci in un sistema euleriano (volume costante), la densità 𝜌 non varia, perciò neanche
la massa. Quindi per 𝜌 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 potremo estrapolarlo dalla parentesi a destra ed ovviamente dire
che la derivata di una costante è zero 0d
dt
= e quindi che la divergenza della velocità è zero
0v =
Ciò significa che la somma delle velocità che entrano e escono in un punto devono essere uguali a 0
(in=out). Ciò perché non possiamo avere né sorgenti di massa, visto che non si crea dal nulla, né
consumi di massa dal nulla (“buchi neri”).
NB: Non possiamo avere maggiore velocità in ingresso rispetto a quella in uscita.
Per esempio, considerando un sistema bidimensionale (per semplicità), l’equazione di continuità per
un fluido incomprimibile è:
0yx
y x
vvv
x y
v v
y x
= + =
= −
La derivata di velocità lungo x deve essere compensata dalla derivata lungo y.
E’ utile esprimere l’equazione di continuità usando la derivata materiale della densità.
FIGURA 2.1: VOLUMETTO FISSO
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Dv v v v v
Dt t
= + = − − = −
(Ovviamente è zero per un fluido incomprimibile, la cui densità non cambia).
Osserviamo ora un esempio di sistema chiuso, il sistema vascolare.
Esso presenta un flusso ed è caratterizzato da un volume costante, poiché quel che entra corrisponde
a quel che esce, a meno di condizioni patologiche (es. emorragia).
NB: E’ importante anche che non ci siano accumuli.
massa che entra per secondo = massa che esce per secondo
in out
massa massa
s s=
Converrà sempre esprimere la massa come
densità×volume cosicché in out
Vol Vol
s s
=
3 3
in out
m m
s s =
e scomponendolo, così da evidenziare un termine di velocità otterremo: 2 2
in out
m mm m
s s = e
potremo scrivere:
in outArea Velocità Area Velocità =
Per le considerazioni successive prenderemo in caso un tratto di vaso (Figura 2.3).
Abbiamo due ingressi con Vin , Vout , A’ e A’’ . Se ρ e’ costante, i flussi in ingresso ed in uscita dovranno
eguagliarsi, cosicché: in outJ J= e in outQ Q= . Ciò significa che in in out outV A V A= e che, essendo A’<A’’
, di conseguenza Vin > Vout.
2.1.2 Il sistema vascolare rispetta la legge di continuità.
Il percorso della circolazione segue uno schema come in Figura 2.4: le arterie si diramano formando
arteriole e infine i capillari. I 5L/min in uscita dall’aorta rientreranno tramite la vena cava (non vero in
caso di emorragie o aneurismi). Possiamo dire che il flusso in uscita dall’aorta corrisponde alla sommatoria del flusso nei capillari.
1
n
aorta capillare
capillare
Q Q=
=
FIGURA 2.2 - SEZIONE VASO
FIGURA 2.3: CONTINUITÀ DEL FLUSSO PER UN SISTEMA
INCOMPRIMIBILE
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Da questa relazione possiamo ricavare una stima del numero di capillari. Sapendo infatti che il
diametro dei globuli rossi è di circa 8µm e che nei capillari essi procedono in fila, strisciando contro le
pareti, anche i capillari avranno un diametro di 68 8 10 m m −= . La lunghezza media di un
capillare è di 1mm e per percorrerlo un globulo rosso impiega 1 secondo.
3110
mm mV
s s
−= =
1
3 33 6 2
9
5min
5 1010 (4 10 )
60
10
n
aorta capillare
capillare
c
c
capillari
Q Q
LVAn
m mn
s s
n
=
−− −
=
=
=
3 Fluidi: Fluidodinamica e reologia
Idrostatica
In questo ambito della fisica i fluidi si trovano in condizioni di staticità, ovvero in cui non c’è
movimento: 0dV
dt= .Essendo il flusso di moto un flusso dovuto al gradiente di velocità, avremo:
0mV
At=
Osserveremo come esempio un bicchiere contenente un liquido con densità che non si muove
(condizione di stazionarietà e velocità =0).
Abbiamo un semplice bilancio di forze in direzione
verticale:
Forza di gravità: mg
Forza di pressione: P e P+dP
NB: Ricordarsi di moltiplicare le pressioni per l’area su cui agiscono e di sostituire per praticità m V= , o
anche meglio m Adz= .
Scriviamo l’equazione per il bilancio di forze in direzione verticale:
FIGURA 3-1: PRESSIONE IDROSTATICA
FIGURA 2-4: SISTEMA VASCOLARE
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( )mg P dP A PA+ + = → Adzg PA dPA PA + + = → dzg dP = −
Integrando avremo:
22
1
1
Pz
zP
g dz dP = − → 1 2 2 1( )P P g z z− = −
Potremo concludere che 1 2P P .
NB: P1 è la pressione agente in basso e P2 quella più in alto, rispettivamente in z1 e z2, quindi la pressione
diminuisce all’aumentare dell’altezza.
Proviamo a calcolare la pressione in un bicchiere d’acqua usando la formula P gh= . Ragionare in
m*k*s e ricordare che
2 31000H O
Kg
m =
29.8
mg
s=
210 10h cm m−= =
2
3 21000 *9.8 *10
Kg mP m
m s
−= = Moltiplico e divido per m
298 *
Kg m
ms m= = 21 1 * /N Kg m s=
298
NPa
m= =
3.1.1 Pressione sanguina
Spesso in campo medico, si utilizza come unità di misura per la pressione i millimetri di mercurio
[mmHg]. La pressione sanguigna in un uomo standard è definita da:
• Pressione sistolica 120 mmHg
• Pressione diastolica 80 mmHg
Mediamente quindi e’ 100 mmHg. Da notare che si riferisce ad una pressione relativa alla pressione
atmosferica (760 mmHg oppure 101292 Pa).
Relazione tra pressione atmosferica e densità
Osservazioni: La pressione atmosferica è quella che abbiamo in una colonna alta quanto l’atmosfera (circa 12 km). Non possiamo stimarla con la nostra formula di idrostatica perché la densità dell’aria cambia con l’altezza. Per ricavare un’equazione che descrive come varia la pressione con l’altezza sopra il livello del mare dovremmo sapere come ρ varia con la pressione. Consideriamo quindi la Legge
dei Gas: PV=nRT. Assumendo un peso molecolare medio dell’atmosfera=(g/mol):
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0
3
( / )
0
00
( / ) ( / )
( / )
1 ( / )( / ) ln
o
z P g mol gz
RT
P
n moling mol g mol
V m
nP RT
V
Pg mol gdz dP
RT
dP g mol gz Pg mol gdz P P e
RT P RT P
−
=
=
= −
= − → = − → =
a pressione a livello del mare è 760 mmHg, che è analoga alla pressione in una colonna di 760 mm con
del mercurio; è stato scelto il mercurio perché è un elemento molto denso:
313600 13.6mercurio
Kg
m = volte più denso dell’acqua. Per sapere a quanti Pascal corrisponde,
sfrutteremo la formula P gh= .
5
3 213600 *9.8 *0.760 101292 10
Kg mP m Pa Pa
m s= =
NB: 760 mmHg105Pa→ 1mmHg=133Pa.
Osserviamo ora la pressione nel cuore (Figura 3.2):
La pressione nell’aorta, che sta alla nostra sinistra, oscilla fra 120 e 80 mmHg, considereremo quella
media di 100 mmHg (pressione arteriosa).
La pressione nella vena cava, alla nostra destra, è di circa 0 mmHg (pressione venosa).
Calcolare la pressione nella testa e nei piedi di un uomo standard.
Altezza uomo standard: 170 cm, altezza donna standard: 164 cm.
Ipotizzeremo che l’uomo sia in piedi, poiché se fosse supino non potremmo utilizzare la formula
P gh= ,essendo l’altezza dei punti del sistema di nostro interessa circa la stessa.
Sappiamo che la densità del sangue è simile a quella dell’acqua
31021blood
kg
m = ed è più alta perché contiene del ferro nei globuli rossi,
ma noi approssimiamo comunque a 1000 kg.m3. Quello che dovremo fare sarà schematizzare l’uomo come un tubo alto 170cm pieno di sangue.
FIGURA 3-3: UOMO STANDARD
FIGURA 3-2: PRESSIONE NEL CUORE
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Pressione testa:
Considero il cuore come elemento 1, quindi:
P1=100mmHg; z1=0m (prendendo il cuore come punto di riferimento), trasformandolo in Pascal
P1=13100Pa.
P2= Ptesta=?; z2=50cm; 213100 1000*9.8*(0.5 0)P− = −
2 8200 63 testa
P P Pa mmHg= =
Pressione piedi:
Considero il cuore come elemento 1, quindi:
P1=100 mmHg; z1=1,2m (prendendo i piedi come punto di riferimento) ;
P2= Ppiedi=?; z2=0cm; 213100 1000*9.8*(0 1.20)P− = −
2 24860 189.77 piedi
P P Pa mmHg= =
I risultati corrispondono a quanto ci saremmo aspettati: la pressione ai piedi è maggiore perché è più
lontana dal cuore e il sangue deve risalire lungo il corpo. Quando si ha la pressione bassa, infatti, gira
la testa perché non vi è una spinta sufficiente per far fluire il corretto ammontare di sangue verso le
parti alte del corpo.
Viscosità
3.2.1 Introduzione
La viscosità è la resistenza di un fluido a muoversi/fluire. Solo i fluidi
hanno viscosità e la esprimiamo con (miu) µ.
Supponiamo di avere un cilindro vuoto (Fig. 3.4) al cui interno è
posto un altro cilindro pieno collegato ad una manovella. Se pongo
un solido nell’intercapedine tra i due cilindri, la forza da applicare per muovere il cilindro interno è proporzionale all’angolo: 𝐹 ∝ 𝜃.
Se invece di un solido utilizzassi un liquido viscoso, le molecole si
appoggerebbero alla parete, perché le molecole nei liquidi tendono
ad appiccicarsi alle superfici. Questa, infatti, è una proprietà dei
fluidi viscosi definita “no-slip”. Se ora proviamo a ruotare il cilindro interno, notiamo che la forza non
è proporzionale all’angolo ma alla velocità angolare; quindi nei fluidi avremo una relazione del tipo: 𝐹 ∝ 𝜃/𝑡
Quindi la differenza tra solido e fluido è, non solo nella dispersione e legami delle molecole, ma anche
dovuta ai diversi attriti.
Possiamo brevemente riassumere le proprietà e le differenze tra liquidi, solidi, gas e tra solidi e
fluidi.
Dall’esempio in Fig. 3.4 infatti possiamo dedurre che i fluidi resistono alla velocità di deformazione
mentre i soldi alla quantità di deformazione. Infatti, un solido resiste a deformazione, mentre un fluido
resiste a scorrimento. Altra differenza: i fluidi non hanno una forma propria.
FIGURA 3-4: CILINDRO
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Un’altra differenza è che le molecole dei fluidi si attaccano alle superfici e non scivolano. Questa
proprietà’ e’ nota come “no-slip”.
I fluidi, che dividiamo tra liquidi e gas, presentano ulteriori differenze:
Nei gas le molecole sono abbastanza distanti da non interagire troppo tra loro, mentre nei liquidi,
come l’acqua, ho una forte interazione data dai legami a idrogeno. Anche nei polisaccaridi vi è un
fenomeno analogo tra le lunghe catene intrecciate.
La differenza tra un liquido e un gas e’ che il primo prende la forma del contenitore, ma non il volume,
cioè in condizioni di “quasi” equilibrio, il liquido è incomprimibile e inespandibile.
3.2.2 Piatti paralleli
Osserviamo ora il caso di due superfici (due piatti)
parallele tra loro, separate da un liquido (Fig. 3.5). Il piatto
superiore è fermo, mentre il piatto inferiore si muoverà
con velocità V. Data la condizione di no-slip, le molecole
vicino al piatto inferiore saranno attaccate ad esso e,
come lui, si muoveranno con una velocità V, mentre quelle
vicino al piatto superiore avranno velocità nulla, essendo
il piatto superiore fermo.
In regime stazionario, mantenendo il movimento del piatto inferiore costante V=cost, vedremo che le
molecole adiacenti al piano inferiore, in movimento, interagiranno con quelle soprastanti e
trasmetteranno il moto con piccole perdite.
All’equilibrio avremo un profilo di velocità lineare (Fig. 3.6), dove, appunto, sopra la velocità sarà nulla e sotto costante. Siccome il fluido è appiccicoso, perché’ il piatto si muova con una velocità V,
dobbiamo applicare una forza per vincere l’attrito. La forza applicata dipenderà dall’area del piatto e dalla velocità con cui il piatto viene spostato. È inoltre inversamente proporzionale alla distanza tra i piatti perché più il piatto inferiore è lontano, meno si sente l’attrito.
Analiticamente si ha: 𝐹 ∝ 𝐴𝑉𝑌 . La forza che applico mi dice quanto veloce scorre il fluido. Anche l’area è importante, perché maggiore é l’area di contatto con le molecole, maggiore é la forza necessaria. La
Y è l’altezza del piatto: è inversamente proporzionale alla forza, perché più lontano é il piatto fermo e
meno sento le molecole ferme.
Normalmente scriviamo l’equazione così, esprimendo la forza per unità di area in funzione del
gradiente di velocità: 𝐹𝐴 ∝ 𝑉𝑌.
Entra in gioco la costante di proporzionalità, ovvero la viscosità:𝐹𝐴 = µ 𝑉𝑌 , da cui trarremo la
conclusione che per una viscosità maggiore, necessiteremo di una forza maggiore. È importante
notare che la velocità nel caso da noi analizzato sviluppa lungo x, quindi sarà più corretto scrivere: 𝐹𝐴 = µ 𝑉𝑥𝑌
FIGURA 3-5: EVOLUZIONE DEL PROFILO DI VELOCITÀ
FIGURA 3-6 PROFILO DI VELOCITA’
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Inoltre la relazione precedente 𝐹𝐴 ∝ µ 𝑉𝑥𝑌 potrà essere riscritta come: 𝜏 = µ 𝑉𝑥𝑌
Ragionando in termini infinitesimali avremo l’equazione costitutiva (LEGGE DI NEWTON):
𝜏 = −µ 𝑑 𝑉𝑥𝑑 𝑌
Si noti che è stato inserito il segno meno poiché il trasporto è opposto al gradiente di velocità, ovvero
il trasporto di moto va nel verso in cui la V è minore.
NB: Tutti i fluidi che seguono questa legge sono chiamati Fluidi Newtoniani.
Ricordiamo che 𝜏 è lo sforzo di taglio, µ è la viscosità e 𝑑 𝑉𝑥𝑑 𝑌 il gradiente di velocità.
Se invertissimo i due piatti, ponendo quindi in movimento quello superiore mentre quello inferiore
rimane fermo, avremmo pur sempre un meno perché di nuovo la differenza di velocità e il flusso della
quantità di moto sono diretti in verso opposto. (Il gradiente sarà sempre negativo anche nei casi di
trasporto di energia e massa che vedremo in seguito).
A regime abbiamo una distribuzione come in Figura 3.7
(frecce rosse), dovuta anche alla condizione di NO-SLIP che
è il fenomeno per cui le molecole del fluido sono appiccicate
alla parete così che Vliquido alla parete =Vparete.
Lo stesso vale tra uno strato e un altro di molecole: in
questo caso però è più corretto dire che quel che viene
trasferito è il moto e non la velocità.
Accenno alla reologia
La reologia e’ quel ramo della scienza che studia la meccanica dei fluidi non-ideali.
Iniziamo definendo i fluidi ideali: non esistono ma possiamo considerare i fluidi ideali quelli che non
sentono attriti e quindi si muovono insieme alla stessa velocità. Un fluido ideale è: i) incomprimibile,
ii) irrotazionale, iii) inviscido.
Rivediamo il caso delle superfici parallele, una ferma ed una con velocità V, con dentro un liquido (Fig.
3.7). Avevamo osservato la formazione di strati detti lamine che hanno tra loro velocità diverse, ma
che all’interno formano uno strato che ha la stessa velocità. Definiamo lo sforzo di taglio, in questo
caso, come xdV
dy = − .
Con il concetto di tensore è possibile esprimere questa formula come xyx
dV
dy = − . Dove i pedici “yx”
indicano il piano perpendicolare e la direzione di applicazione su cui lo sforzo è applicato. Volessimo
lo sforzo lungo z perpendicolare al piano x scriveremmo z
xz
dV
dx = − .
FIGURA 3-7: FLUSSO LAMINARE
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Facendo il grafico del gradiente di velocità con lo sforzo di taglio avremo una retta. La pendenza è
negativa e ci dice quanto è viscoso il liquido, ovvero quanto attrito vi è tra le molecole dello stesso.
Dal grafico accanto possiamo notare che 1 2 3 . A parità di
sforzo yx , il liquido meno viscoso ha un gradiente maggiore perché
è più facile da “spingere”. Mentre quello con attrito maggiore ha un
gradiente inferiore essendo più appiccicoso.
Annoteremo il gradiente di velocità come .
dV
dy = − così che per semplicità avremo = .
I fluidi la cui viscosità non varia con la velocità o meglio, il gradiente di velocità, vengono detti fluidi
Newtoniani.
I fluidi dove al diminuire dello sforzo di taglio aumenta la resistenza allo scorrimento, (ovvero
aumentando lo sforzo il fluido scorre meglio) vengono definiti come pseudo plastici o shear-thinning.
Un fluido tipicamente shear-thinning, oltre al sangue, di cui parleremo dopo, è la pittura. Inizialmente
resistente, sottoposta all’effetto delle setole dei pennelli diventa più facile da muovere cosicché possa
essere stesa sulle superfici dove poi asciugherà velocemente. A livello molecolare succede che le
catene inizialmente intrigate, iniziano a districarsi una volta iniziato a mescolare. Altro esempio sono
le sabbie mobili e il ketchup.
Il comportamento opposto è tipico dei fluidi dilatanti o shear-thickening. Aumentando lo sforzo di
taglio (più lo muovo), aumenta la viscosità e quindi sarà più difficile muoverlo. Tipico esempio è
l’amido di mais.
Ci sono poi materiali fluidi, come la maionese, che iniziano a muoversi superato uno sforzo di taglio
critico: vengono così definiti i fluidi di tipo Bingham, che seguono la legge critico = + .
Mentre ognuno dei fluidi presenta un’equazione diversa, potremmo scrivere un’equazione generale: n = dove n vale:
Il sangue è un fluido di tipo Cassoniano: è una via di mezzo tra un Bingham (infatti presenta un critico
) e un fluido shear-thinning.
L’equazione costitutiva per un fluido di Casson è critico
= + e per un shear-thinning è
1
2 = (si tratta di equazioni empiriche).
Tipo fluido Esponente associato a μ (n)
Fluidi ideali 0
Fluidi newtoniani 1
Thinning n<1
Thickening n>1
FIGURA 3-8: GRAFICO SFORZO DI TAGLIO E
GRADIENTE DI VELOCITÀ
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Riepilogo equazioni costitutive:
Fluidi newtoniani: =
Fluidi Pseudoplastici o Shear-Thinning : 1n =
Fluidi Dilatanti o Shear-Thickening:1n =
Fluidi di Bingham: critico = +
Fluidi di Casson:critico
= +
FIGURA 3-9: GRAFICI SFORZO, GRADIENTE DI VELOCITÀ PER LE VARIE CATEGORIE DI FLUIDO
Nel corpo umano i fluidi di nostro interesse sono non-lineari, cioe’ non-Newtoniani. Per esempio:
liquido sinoviale, lacrime, sangue, succhi gastrici, saliva, muco, linfa ecc.
3.3.1 Unità di misura della viscosità
Poniamo momentaneamente la nostra attenzione sui fluidi Newtoniani.
Essi rispondono alla legge dV
dx = − in maniera lineare, non hanno comportamenti anomali e sono
liquidi con basso peso molecolare. Non si presentano shear- thinning o shear-thickening.
Dimensionalmente [ ]
[ ][ ]
FPa
P = = , mentre ∇𝑉 =
2m
s
. Da queste due informazioni ricaviamo che
*Pa s = valido nel sistema MKS. Viene spesso misurata anche in Poise, o meglio centiPoise (cp),
valido nel vecchio sistema CGS.
Considerando che: 2
310H O Pa s −= e 2
1H O
cp =
31 10cp Pa s−=
Dati utili:
6
3
10
4 4 10
1
Air
Blood
Glicerolo
Pa s
cp Pa s
Pa s
−
−
=
= =
=
NB: Al variare della temperatura varia anche la viscosità: nei liquidi, a temperature più elevate, la
viscosità diminuisce e si facilita lo scorrimento delle molecole, perché le catene sono più mobili. Ciò
non vale per i gas, perché all’aumentare della temperatura aumenta anche la viscosità, grazie al fatto
che le molecole hanno più probabilità di interagire tra di loro..
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Linee di Flusso
Riprendiamo ora il modello dei piatti mobili, ricordiamo che ci troviamo in condizione di No-slip e che
vi è la creazione di un flusso laminare. Ogni particella segue il suo percorso e non interseca quello delle
molecole adiacenti. Possiamo realizzare dei diagrammi dove vengono rappresentate le linee di flusso,
linee tangenti alla velocità delle particelle.
Per definizione le particelle non possono attraversare le linee di flusso e le linee non possono
intersecarsi (altrimenti una particella avrebbe 2 velocità).
Non siamo in presenza di un flusso turbolento2, è rispettata la legge di continuità, quindi ciò che
entra corrisponde a quel che esce dal sistema.
( )Vt
= −
Nel caso di un fluido incomprimibile Qin=Qout, che, come abbiamo visto, ci permette
di concludere che VinAin= VoutAout.
In un vaso in cui la sezione si riduce potremo
affermare che Vin<Vout. Questo perché le
particelle non possono attraversare le linee.
Quindi nei tratti in cui le linee sono più dense la
velocità aumenta.
Derivazione legge di Poiseuille.
Deriviamo l’equazione di Poiseuille.
Ci permetterà di ricavare facilmente il flusso in un
cilindro fatte delle dovute premesse:
• Flusso stazionario, la velocità non cambia nel
tempo ma può cambiare nello spazio.
(Considerando il sistema in coordinate cilindriche vi è
una simmetria in , quindi le variabili sono z e r).
• Simmetria radiale, cioè simmetria intorno a
r=0.
• Condizione di No-Slip, la velocità alle pareti è 0.
• Tubo infinitamente lungo, fermo e rigido e ipotesi fatte lontane dai bordi.
La stazionarietà implica che il flusso non varia nel tempo.
• Flusso di tipo laminare (cioè non è turbolento).
2Non tratteremo flussi turbolenti, ma è importante definirli: Sono flussi caotici, non laminari (anche se non c’e un’accelerazione, il flusso può essere turbolento). Cioè, le particelle cambiano velocità a caso, non sono vincolate all’attrito con le particelle adiacenti. Un flusso turbolento può essere stazionario se mediato su tempo e spazio (cioè non localmente ma globalmente). Si distingue sostanzialmente dal flusso laminare perché le particelle non hanno un moto facilmente rappresentabile con linee di flusso e essendo caotico e’ difficile da modellare.
FIGURA 3-10: VIN<VOUT
FIGURA 3-11- FLUSSO IN UN CILINDRO
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23 27/09/2021
• costdV
dr = −= → . Cioè, fluido Newtoniano.
Tenendo conto di queste condizioni, notiamo che non c’è un’accelerazione.
Possiamo fare un bilancio di forze.
Consideriamo un cilindretto al centro di un cilindro (Fig.3.11), le cui dimensioni saranno dz e dr.
Tenendo conto solo delle forze agenti lungo l’asse z e ignorando la forza di gravità, avremo da un lato
P e dall’altro P+dP, con verso opposto (perche’ son entrambe dirette verso la superficie. La terza forza
da considerare è l’attrito, supponendo che il cilindretto si muova verso destra esso sentirà le altre
molecole ai lati che devono scivolare fra di loro rispetto al cilindretto. Avremo, quindi, uno sforzo di
taglio che si oppone al movimento e che coincide con la forza di attrito.
2 2( ) 2
forze forze
P r P dP r dz r
→=
= + +
Le pressioni vanno moltiplicate per l’area del cilindro (faccia piana). L’attrito è uno sforzo di taglio
agente sulla superficie del cilindro.
2P r 2
P r= 2dP r+ 2dz r +
2
2
dPr dz
dP r
dz
− =
= −
Abbiamo definito l’equazione di Stokes, che esprime un bilancio di forze di un fluido che si muove in
condizioni stazionarie, indipendente dall’equazione costitutiva del fluido.
Considerando il fluido come Newtoniano, come premesso, z
dV
dr = −
− zdV
dr = −
2
dP r
dz
2
dV dP r
dr dz = .
Il valore dP
dz è una variazione di pressione lungo z ed è costante, perché, essendo in condizioni di
stazionarietà e di flusso laminare, il gradiente di pressione non varia, altrimenti avrei spinte diverse e
quindi un’accelerazione. La pressione, invece, varia, non può essere uguale nei due punti, ma varia in
maniera costante.
Basti pensare ad un rubinetto da cui scorre dell’acqua, se ruotiamo la manopola varierà la pressione e il flusso oscillerà. Perché cambiando la pressione varia anche la velocità.
Considerando quindi questo valore come costante, potrò separare le variabili ed integrare. Serviranno
le condizioni al contorno: per il No-Slip la velocità v=0 alle pareti (in r=R).
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2
, @ , 02
1
2 2
dP rdV dr r R v
dz
dP rV c
dz
= = =
= +
210
2 2
dP Rc
dz = +
21
2 2
dP Rc
dz = −
2 21( ) ( )
4
dPV r r R
dz = − . Questa è l’equazione che ci permette di capire come varia la velocità
lungo il raggio.
Possiamo scriverla anche come 2 21
( ) ( )4
dPV r R r
dz = − − , non è negativa poiché la derivata della
pressione lungo z è negativa.
Infatti se volessimo spingere un fluido, dovremmo applicare più pressione iniziale e quindi la
variazione risulterebbe negativa, poiché la pressione diminuirà all’aumentare di z.
Vogliamo individuare come varia la velocità rispetto ad r, plottiamo quindi V(r) (Figura 3.12):
L’andamento è di tipo parabolico:
alle pareti la velocità è 0, mentre al
centro la velocità è massima.
2max
1
4
dPV R
dz = −
Il profilo di velocità avrà un andamento parabolico come in Figura 3.12-13.
Ricaviamo ora il flusso volumetrico Q:
VflussoVolumetrico media
A
Q A n VdA= = (integriamo su una sezione circolare poiché
la velocità non è uguale in tutti i punti).
Non considereremo il vettore normale, poiché l’area è già normale al vettore flusso.
2 2 3 2
0 0
1 2( )2 ( )
4 4
R RdP dP
Q r R rdr r R r drdz dz
= − = − =
4 44( )
2 4 2 8
dP R R dPR
dz dz
= − = −
FIGURA 3-13 - PROFILO VELOCITÀ IN UN
CILINDRO RIGIDO
FIGURA 3-12: PROFILO PARABOLICO
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4
8
dPQ R
dz
= −
Equazione di Poiseuille.
L’equazione di Poiseuille 4
8
dPQ R
dz
= − esprime il flusso in un condotto cilindrico con le suddette
condizioni iniziali. L’unità di misura è Volume/Tempo (E’ molto usata per fluidi biologici).
La viscosità è al denominatore perché esprime la resistenza o difficoltà allo scorrere del fluido, infatti
se è grande Q sarà piccolo. Il raggio influisce con un fattore elevato alla quarta.
Dipenderà anche dal gradiente di pressione applicato: maggiore è la spinta, maggiore è il volume in
uscita.
dP
dzè difficilmente misurabile; combinando l’equazione di Stokes e quella di Poiseuille possiamo
ricavare un’espressione dello sforzo di taglio alla parete (wall di un tubo.
Eq. Poiseuille :4
8
dPQ R
dz
= −
Eq. Stokes :2
dP r
dz = −
4
3
2
8
4
wall
wall
dP R
dz
dP Q
dz R
Q
R
= −
= −
=
Questa formula serve per stimare il comportamento del sangue nei vasi. Si sottolinea stimare poiché
le formule ricavate sono state trovate grazie a delle ipotesi sul fluido e sul vaso che non sono rispettate
dal sangue poiché il sangue non è un fluido Newtoniano, ma di tipo Casson. Inoltre, il flusso non è
stazionario perché oscilla rispetto al tipo di vaso percorso. Può però essere semplificato come
stazionario per tempi di osservazione lunghi, poiché vi è uniformità nel tempo.
Il flusso nei vasi, ad esempio nell’aorta, non è laminare e i vasi non sono rigidi né infinitamente lunghi,
però l’equazione di Poiseuille è una buona prima approssimazione.
Proviamo a stimare lo sforzo di taglio alla parete dell’aorta:
3 35*105
min 60
L mQ
s
−
= = ; 34 4 10
Bloodcp Pa s −= = ; Raorta=1.5cm; Diametro=3cm;
3 6
3 2 3
34 4*4*10 10
(1.5*1
5*10 80
60 0 ) 60wall
Q
R
− − −
−= = =63.375* 10 −
Pa
0.1257 0.13wall Pa Pa =
(Questo è lo sforzo di taglio massimo nell’aorta. Solitamente diminusice nei vasi piu’ piccoli.
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VELOCITA’ MEDIA
La velocità media sarà:
42
2
1 8
8media
A
dPR
Q dP RdzV vdA
A A R dz
−= = = = −
Numero di Reynolds (Re).
Il numero di Reynolds è un valore adimensionale che esprime il rapporto fra le diverse forze in gioco
in un sistema: nello specifico le suddette forze sono le forze inerziali e quelle viscose.
Forze Inerziali Unità di VolumeRe
Forze Viscose Unità di Volume
=
Esprime dunque quanto prevale l’inerzia sull’attrito, ovvero esprime la difficoltà di fermare l’oggetto rispetto a farlo scorrere.
La forza inerziale si esprime come F=m×a che per unità di volume diventa:m a
Vol
Sappiamo che m
Vol= , ovvero è la densità, ed esprimendo l’accelerazione come
2v
L (velocità al
quadrato fratto lunghezza).
2
inerziali
dv m dv vv vF v v
dx Vol dx L L = → = =
La forza viscosa invece è A che per unità di volume diventa 2
L3
L.
Sapendo che dV
dx = − ed esprimendo
dV
dx come
v
L , ovvero l’espressione generale, otterremo
cos 2vis e
vF
L= .
Essendo il numero di Reynolds il rapporto fra le due, sarà vero che:
RevL
=
La velocità dell’oggetto è v, è la densità del fluido, la viscosità dello stesso e L è la lunghezza
caratteristica. Per convenzione, quando studiamo il flusso all’interno di un tubo, L è il diametro,
mentre per un solido che muove in un fluido, L è la lunghezza dell’oggetto lungo la direzione di flusso.
Il numero di Re ci permette di capire quale delle due forze è predominante in un sistema, inoltre serve
per capire se si avrà un flusso laminare, in cui le forse viscose sono importanti, oppure un flusso
lontano da un solido (es. bordi di un cilindro, o un oggetto) in cui il profilo parabolico è trascurabile o
un flusso turbolento in cui l’attrito è trascurabile. Più grande è il numero di Reynolds maggiore è
l’inerzia, più è piccolo Reynolds minore è l’inerzia. Non è necessario il valore preciso de Re, ma solo
l’ordine di grandezza. Se abbiamo due sistemi con lo stesso numero di Reynolds, allora essi hanno una
somiglianza dinamica.
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Re<2000: siamo abbastanza sicuri di avere un flusso laminare: vi è la predominanza degli effetti viscosi.
Re>5000: abbiamo un flusso turbolento; l’attrito è quasi trascurabile, si muove tutto più o meno alla
stessa velocità ed è difficile prevedere il comportamento nel mezzo; vi è la predominanza degli effetti
inerziali.
2000<Re<5000: siamo in una zona di transizione in cui sono presenti entrambi i fenomeni.
Questo parametro ci permette di determinare se è possibile applicare le leggi viste prima; così da
capire in che modo si muove un sistema conoscendone densità, viscosità, lunghezza e velocità. Se la
fluidodinamica di 2 sistemi è uguale, essi hanno lo stesso numero di Reynolds. Viceversa, se due
sistemi hanno lo stesso Re, il carattere del flusso dei due sistemi e’ uguale (es. linee di flusso hanno lo
stesso andamento). Questo ci permette di costruire dei modelli di aeroplani e testarli nelle gallerie,
tenendo fermo l’aeroplano e muovendo l’aria intorno. In inglese si dice che i due sistemi hanno
‘dynamic similarity’.
Questo numero è importante perché ci permette anche di capire l’andamento di un corpo quando si
muove in un determinato mezzo. Ad esempio è più facile nuotare in una piscina con acqua rispetto a
una con olio.
In Figura 3.14 consideriamo ad esempio un pesce che nuota: dovrà spostare, e quindi spingere, l’acqua davanti a se’; deve quindi superare la densità dell’acqua che è la forza d’inerzia detta in questo caso pressure drag.
L’altro fenomeno che si presenta è quello dell’attrito, poiché vi è un rallentamento dovuto all’attrito del pesce con l’acqua, detto friction drag.
Il numero di Reynolds è ovviamente una stima,
anche perché spesso la lunghezza
caratteristica non tiene conto della geometria
dell’oggetto. Infatti se abbiamo due oggetti
con la stessa lunghezza ed uno di essi che si
muove come in Fig. 3.15, esso avrà un’inerzia maggiore (dovrà spostare più fluido) e meno
attrito rispetto al caso della Fig. 3.16 in cui ci
sarà maggiore attrito e minore inerzia.
Spesso il numero di Reynolds sarà espresso come
ReVL
= , dove è la viscosità cinematica che corrisponde a
= . Se la viscosità dinamica
nel sistema (c.g.s.) è misurata in Poise e descrive l’attrito, la viscosità cinematica nel sistema (c.g.s.)
è misurata in Stokes.
FIGURA 3-14: - EFFETTI DI PRESSURE DRAG E FRICTION DRAG SU UN
PESCE CHE NUOTA.
FIGURA 3-15 : MENO ATTRITO, PIU’ PRESSURE DRAG
FIGURA 3-16: PIU’ ATTRITO, MENO IL
PRESSURE DRAG
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La viscosità dinamica definisce il grado di attrito interno del fluido, mentre quella cinematica può
essere considerata come “l’appiccicosità” e la resistenza al moto del fluido. Inoltre essa tiene conto
anche del peso del corpo di fluido.
Possiamo confrontare il Re per diversi sistemi biologici. Da notare che animali grandi hanno Re alto
mentre quelli piccoli hanno Re basso.
3.6.1 Lo strato limite
Quando parliamo dell’effetto di attrito di un fluido, parliamo dello strato limite. Lo stato limite e’ uno
strato vicino all’oggetto che si muove grazie al No-Slip. Ad esempio nel caso di un pesce che muove
nel mare, le particelle si muovono come il pesce a cui sono attaccate. Il moto viene trasferito in modo
laminare: diminuisce progressivamente finché si arriva in una zona di mare in cui non è più percepibile
l’effetto del moto del pesce (Figura 3.17A).
FIGURA 3-17:STRATO LIMITE. A) PESCE CHE NUOTA. B) CILINDRO CON FLUIDO CHE SCORRE ALL’INTERNO.
In un condotto dove scorre un fluido lo strato limite è la zona adiacente alla parete; se il condotto è
stretto l’attrito si sentirà ovunque, se è largo si sentirà solo ai bordi e non al centro.
Per calcolarlo bisogna prima definirlo: possiamo deciderlo in maniera arbitraria a secondo della
toleranza. Per esempio in Figura 3.17B, è quella zona in cui la velocità è minore di una certa frazione
(es il 10%) di quella del centro mnetre per il pesce e; questa definizione risulta però confusa, perciò
utilizzeremo Reynolds.
Il numero di Reynolds esprimerà la zona in cui vi è una maggioranza di forze viscose, mentre al centro
vi è una maggioranza di forze inerziali.
Ricordiamo che le forze viscose sono cos 2vis e
vF
L= e quelle inerziali
2
inerziali
vF
L
= .
Indichiamo allora con la zona limite e consideriamo che le forze viscose sono una frazione (o
multiplo) delle forze inerziali, esprimendo ciò con il parametro k.
2
2
v vk
L
= .
Esprimiamo in funzione di Reynolds: 2
2
Lv
k v
=
Animale, velocita’ Re
Balena nuota a 10 m/s 300 000 000
Uomo 70 kg nuota a 1 m/s 1 730 000
Falco vola a 30 m/s 1125000
Ape vola a 6 m/s 30
Batterio nuota a 0.01 m/s 0.00001
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Occorrerà moltiplicare e dividere per L, cosicché: 2
2
2 Re
L L Lv
L kk v
= =
Potremo dire quindi che Re
L : perciò quando Re diminuisce, lo strato limite ( ) aumenta.
Equazione di Bernoulli
Per analizzare le zone dove l’attrito non è importante, come in grandi masse di fluidi (es. il mare) o
lontani dalle pareti (condotti grandi), parliamo di fluidi ideali, detti meglio, fluidi inviscidi, dove non vi
sono effetti viscosi ( 𝜇 → 0) e quindi ogni singola particella non influisce sul comportamento delle
altre.
Il comportamento fluidodinamico di un fluido inviscido, che sia anche stazionario, è rappresentato
dall’equazione di Bernoulli.
Tracciamo le linee di flusso che indicano il moto: come già visto le particelle sono tangenti e non
possono attraversare le altre linee.
Dal momento in cui consideriamo un fluido stazionario e laminare non vi saranno variazioni di velocità
rispetto al tempo, ma, considerando che il flusso e’ in direzione s, vi saranno componenti di
accelerazione nello spazio:
dva
dt= s
dvv
ds+
L’equazione di Bernoulli esprime un bilancio di forze in questo sistema,
riconducibili a F=ma.
Consideriamo un sistema con un flusso in
una certa direzione: esprimiamo il bilancio
di forze su un volumetto di fluido (Figura
3.19A). Per scomporre le forze sarà utile
considerare i vettori come in Figura 3.19B.
Il
bilancio di forze sarà: dv
F ma mvds
= = , vedremo variazioni di velocità lungo s e
l’effetto della gravità e delle pressioni che agiscono sui lati del volume.
La forza risultante della pressione è: [ ( )]P P dP A− + , dunque dPA− .
FIGURA 3-18: LINEE DI FLUSSO IN CONDOTTO LARGO CON FLUIDO
FIGURA 3-19: A) VOLUMETTO DI FLUIDO, B) COMPONENTI ORIZZONTALI E VERTICALI DI S. N E’ LA NORMALE A S
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Il componente della gravità lungo s sarà invece: sinmg − (vedi Fig.3.19B).
sindv
mv dPA mgds
= − −
Essendo il volume costante potremo esprimere m Volume Ads = = , inoltre sindy
ds =
(Fig.30B).
A dsdv
vds
dP A= − A− dsdy
gds
vdv dP gdy = − −
0vdv dP gdy + + = sarà l’equazione differenziale di Bernoulli.
0vdv dP gdy + + = Integrandola otterremo che:
2
costante2
vP gy + + =
Equazione di Bernoulli.
Considerato che rho è una costante, può essere assimilata nel termine costante al secondo membro,
l’equazione sarà: 2
costante2
v Pgy
+ + = .
3.7.1 Pressione statica e cinetica
Sappiamo che il primo membro è una Forza per Area (F/A), moltiplicando e dividendo per L avremo:
F L Energia
Area L Volume = .
Sarà allora corretto vedere l’equazione di Bernoulli come segue:
.Cinetica .Pressione .Potenzialecostante
E E E
Volume Volume Volume+ + =
ciò ci permette di evincere che in un fluido inviscido non si hanno perdite dovute all’attrito. Esso è visto in termini di energia.
Possiamo osservare la formula anche in termini di Pressione:
Pressione Cinetica+Pressione Statica+Pressione Idrostatica=costante
Se ho un fluido in un condotto e metto un manometro per misurare la pressione otterrò dei risultati
diversi a seconda del modo in cui è posizionato il sensore (cioè il manometro), osserveremo i casi 1 e
2 come in Figura 3.20 (A).
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Nel caso 1 viene misurata sia la pressione P sia la pressione cinetica 2
2v , poiché, per come è
posizionato, esso “cattura” anche lo scorrere del fluido (il fluido si ferma, v=0 e tutta l’energia per volume viene convertito in una pressione statica). Nel caso 2 esso misura solo la pressione statica del
fluido P. Osservando l’altezza del fluido nelle colonne nei rispettivi casi possiamo affermare che la pressione misurata in 1 è maggiore di quella in 2.
Questo principio viene
sfruttato nel tubo di
Pitot (figura3.20 (B)), che ci permette di conoscere la velocità del fluido conoscendo la differenza
dell’altezza.
Nella configurazione 1 abbiamo che 2
2 1
1
2v P P = − ; 2 1( )
2P P
v−
=
Nel caso di pressione idrostatica ritroveremo la legge trovata in precedenza, poiché l’equazione di Bernoulli si trasforma con v=0 in costanteP gy+ = .
3.7.2 Stenosi, separazione del flusso e aneurisma
Dall’equazione di Bernoulli possiamo trarre tutta una serie di considerazioni notevoli. Considerando
un tubo soggetto a restringimento come in Figura 3.21, potremo dire che:
• La parte centrale non risente di particolari fenomeni;
• Le considerazioni in nero in figura, dove viene specificato che la velocità al centro della
sezione, dove il tubo si restringe, è maggiore che nella parte 1 e 3, dove si ha una sezione più
ampia, derivano dalla legge di continuità e da quella di Bernoulli.
• Trascuriamo il contributo gh perché non vi sono variazioni in altezza.
Per Bernoulli avremo: 2 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 1
2 2 2v P v P v P + = + = +
Osserviamo i primi due termini (area 1 e 2), per la legge di conservazione si ha che:
1 1 2 2Av A v= Sostituiamo v2
2 211 1 1 2
2
1 1( )
2 2
Av P v P
A + = +
2 212 1 1 1
2
1[ ( ) ]
2
AP P v v
A= + − P2 dipende dal rapporto tra A1 e A2.
FIGURA 3-20: - A. TUBO CON SENSORI DI PRESSIONE, B. TUBO DI PITOT
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Possiamo quindi dire che è la parete che crea problemi, poiché le considerazioni fatte sono per i fluidi
inviscidi, che sono ideali. Al centro si possono considerare ideali perché non vi è un disturbo causato
dall’attrito (ovvero, e’ minimo) e le molecole muovono per l;inerzia.
Nel caso fra area 2 e 3 la P3>P2, perciò vi è un inversione di flusso, questo fenomeno di separazione
del flusso crea dei vortici in uscita dalla sezione 2 (in Figura 3.21). La separazione del flusso avviene
ogni talvolta che il gradiente di pressione si forma in opposizione al flusso. Nel caso di una stenosi,
questo può solo portare ad un peggioramento in quanto, la zona luminale a valle della stenosi viene
soggetta a bassi sforzi e ulteriore deposizione di lipidi. Questa tendenza all’ulteriore restringimento può portare all’occlusione del vaso.
Soffermandoci sulla sezione 2 -3 notiamo che vi è un allargamento e non un restringimento come nel
caso 1-2. Questa situazione corrisponde a quel che accade in presenza di un aneurisma, quando la
parete è debole tende a cedere allargandosi. Notiamo che la velocità si riduce e la pressione aumenta,
quindi questo aumento di pressione può portare il vaso a scoppiare perché raggiunge un valore limite,
oltre il quale si ha rottura del vaso.
Questo principio delle sezioni viene sfruttato nel tubo di Venturi.
Inseriamo tre manometri in un tubo come quello in Figura 3.22, registreremo tre altezze e quindi tre
pressioni diverse. In corrispondenza di 1 e 3 saranno più alte rispetto a 2 poiché P1>P2 e P3>P2, quindi
h1>h2 e h2<h3.
Questo fenomeno, grazie alla differenza di
pressione, viene sfruttato per creare il
vuoto (cioè una pressione negativa) in un
condotto.
Il volo, la scia e flusso vorticoso
Quando un corpo solido si muove in un fluido, spinge il fluido in avanti creando una zona di pressione
elevata (relativa alle altre aree), mentre dietro lascia una zona di pressione bassa (Fig. 3.23). Nel caso
di un solido che ha la forma di un’ala, è molto marcata la diminuzione di pressione nella parte
superiore, che dà luogo ad una netta spinta verso l’alto (detta la ‘portanza’). Questa diminuzione è
dovuta al fatto che le linee di flusso sono costrette ad avvicinarsi, per cui la velocità aumenta e, grazie
a Bernoulli, la pressione, rispetto alla zona sotto l’oggetto,diminuisce.
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FIGURA 3-21: PORTANZA. PER DYNAMIC SIMILARITY LE PRESSIONI SVILUPPATE SONO LE STESSE SIA CHE SI MUOVE IL FLUIDO CHE IL
SOLIDO.
La scia invece e’ causata quando un oggetto con forma aperta dietro, come in Fig. 3.24, si muove in
un fluido con una certa velocità (elevata). Qui la sfera nella zona anteriore spinge il fluido aumentando
la pressione mentre dietro si crea una zona con pressione più bassa grazie al ‘vuoto’ lasciato dall’oggetto. In questa zona si formano dei vortici. La pressione più bassa viene sfruttata in natura da
gruppi di animali in volo, nuoto o in bici per ridurre il lavoro. Allo stesso tempo la pressione bassa
dietro rallenta il moto dell’oggetto in avanti.
FIGURA 3-22: VORTICI DIETRO UNA SFERA IN CUI IL FLUSSO SI MUOVE DA SINISTRA A DESTRA
Inoltre, risulta una separazione del flusso (le molecole del fluido che sentono l’attrito con il solido tendono a tornare indietro), effetto che diventa sempre più marcato con aumento di Re. Infatti, se la
velocità è molto elevata questo effetto causa l’apparizione di vortici, che rallentano il moto
dell’oggetto solido (per questo le macchine veloci hanno gli alettoni posteriori- riducono questo
effetto).
3.8.1 Flusso sviluppato
Nell’aorta il flusso è turbolento e non laminare. Inoltre è un flusso non sviluppato, ovvero che non
riesce ad avere un andamento Poiseuilliano perché le particelle vicino alla parete non sono ancora
rallentate dall’attrito con essa.
Nell’apertura dell’aorta il sangue esce alla stessa velocità su tutta la sezione: man mano che il fluido
avanza, le particelle centrali avanzano per inerzia poiché non sentono la forza viscosa che
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percepiscono quelle vicine alla parete e che rallentano (per la condizione No-Slip). Le Figura 3.25 e
3.26 illustrano come si sviluppa il profilo lungo un tubo fino a raggiungere un flusso sviluppato.
FIGURA 3-23:SVILUPPO DI UN FLUSSO
FIGURA 3-24:PROFILO DI VELOCITA A VARI PUNTI LUNGO IL TUBO IN CORRISPONDENZA ALLE LINEE ROSSE IN FIGURA 3.25. (ALL’INIZIO IL SOFTWARE
NON E’ IN GRADO DI CALCOLARE PRECISAMENTE IL PROFILO)
Questo fenomeno aumenta sempre più e iniziano a rallentare anche gli altri strati. Aumenta sempre
più lo spessore dello strato limite: quando corrisponderà al diametro del tubo, il fluido sarà
completamente sviluppato, cioè parabolico. La lunghezza, misurata dall’imbocco, in cui il fluido risulta completamente sviluppato è detta lunghezza di imbocco. Se il Re<5000, parliamo di flusso
sviluppato completamente Poiseuilliano.
Possiamo ricavare la lunghezza di imbocco facendo un bilancio fra le forze inerziali centrali e le forze
viscose alla parete.
cos 2vis e
vF
L= ;
2
inerziali
vF
L
= . Consideriamo come già fatto in precedenza le forze viscose come una
percentuale di quelle inerziali, 2
2
v vk
L
= . Sappiamo che la lunghezza di imbocco sarà dove
R = quindi 2
RL k v
= . Sarà proporzionale al numero di Reynolds a meno di una costante K
ReL K R= . Per un flusso non turbolento usiamo 0.01ReL r= .
Nell’aorta L è circa 1m e ciò significa che il flusso non è mai sviluppato poiché l’aorta è lunga 20-30
cm. Se il flusso e’ turbolento la lunghezza d’imbocco diminuisce.
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Equazione di Navier Stokes.
L’equazione di Navier Stokes è la ”mother equation” per il trasporto di moto. Da questa equazione
possiamo derivare tutte le altre equazioni che abbiamo già visto.
Essa esprime la conservazione di moto.
Consideriamo un fluido incomprimibile in regime Euleriano e definiamo il vettore dello sforzo, ovvero
lo sforzo agente in un punto particolare: F n = dove n è la normale in quel punto.
FIGURA 3-25: A) SFORZI SUL CUBO. B) VOLUME CHIUSO CON COMPONENTE NORMALE DEGLI SFORZI AGENTI SULLA SUPERFICIE
Applichiamo la legge di Gauss per esprimere la forza totale agente su un volume chiuso (Figura 3.27B):
( ) ( )A Vol
n dA dVol = . Scritto cosi e’ chiaro che la divergenza dello sforzo e’ uguale alla
somma delle forze agente su un volume. Infatti:
, ,
xx xy xz
yx yy yz
yx
zx zy zz
xy yy zy yzxz zxx z zx
x y
x y x z xz
z
y y z
=
+ + + +
+ +
Consideriamo adesso gli sforzi solamente agenti in direzione x (primo termine in rosso del vettore
sopra): questo prodotto scalare equivale alla sommatoria delle forze risultanti in direzione x sul
volume:
xForze
Vol =
Quindi, la risultante di forze (la somma in ampiezza e direzione) che risultano dagli sforzi di taglio
agente su un volume di fluido e’ un vettore:
F =
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
=
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Con Navier Stokes esprimiamo la velocità di accumulo di moto in un volume fisso come la differenza
tra i flussi di moto in ingressoarea e i flussi di motoarea in uscita:
( )accumulo moto mvma
t t
= =
, quindi Forza F.
Sappiamo che l’accelerazione è: x y z
v v v va v v v
t x y z
= + + +
dv v Dva v v
dt t Dt
= = + =
Descriviamo un sistema tridimensionale per ricavare l’equazione di Navier-Stokes. Le forze che
agiscono sul fluido sono pressioni e sforzi di taglio. Aggiungiamo anche una forza esterna (body force,
BF F = ) per completezza. Un esempio è la gravità, o la spinta dall’ esterno.
In generale il bilancio di forze è
forza data dalla pressione+ forza data dagli sforzi di taglioDv
m mg FDt
= + + B
Che dividendo per il volume diventa:
BFDv
g PDt Vol
= + − −
Conviene analizzare i contributi singolarmente: partiamo dalle pressioni (sempre Pin-Pout) nelle 3 direzioni.
( )| |x xx
x
d mv Pma P P x y z
dt x
= = − +
( )| |
( )| |
y yyy
z zzz
d mv Pma P P y x z
dt y
d mv Pma P P z x y
dt z
= = − +
= = − +
Abbiamo espresso la risultante delle pressioni, che abbiamo moltiplicato per le aree, per ottenere le
forze. Sappiamo che la massa è m x y z= , con x y z volume.
( )accumulo di moto per unita' di tempo =flusso di moto flusso di moto
in out
d mvA A F
dt
− +
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37 27/09/2021
Otteniamo dunque:
xx
yy
zz
Dv Pma x y z x y z
Dt x
Dv Pma x y z x y z
Dt y
Dv Pma x y z x y z
Dt z
= = −
= = −
= = −
Dividendo per il volume e ponendo x , y e z 0→ , perché infinitesimi, otterremo:
y x zP P PDv
i j k PDt y x z
= − − − = −
Gradiente di pressione.
Studiamo adesso gli sforzi di taglio considerando per ora solo forze in direzione x ma agente su tutti i
piani:
La somma di sforzi di taglio lungo x sarà:
yx yxzx zxzx zx yx yx
z x y y x z Volz y z y
− + + − + = − −
:
xy zy
yzxz
ForzeVol
yx z
zx y
→ − −
→ − − = −
Unendo i due risultati trovati per pressioni e sforzi di taglio otterremo la forma base di Navier Stokes:
BFDv
gDt Vol
= + + dove P = − −
Per fluidi Newtoniani: d
dx
v = − con tensore e v vettore. Vedendo il tutto in termini più
generici y
xyv
dx
dv = − = − applicato perpendicolarmente a x ma verso y. Quindi:
2( ) ( )v v v = − = − = − ( essendo μ costante lo portiamo fuori dalla derivata)
L’equazione di Navier-Stokes per un fluido Newtoniano sarà:
2DvP g v
Dt = − + +
Si tratta di un’espressione di bilancio di tutte le forze in un fluido Newtoniano. Insieme con l’equazione di continuità ( 0v = ) fornisce una descrizione completa del moto di un fluido nello spazio e nel
tempo con ρ e μ noti: le uniche variabili sono la velocità e la pressione (2 equazioni, 2 variabili).
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NB: Solitamente BF
Vol non viene considerato e per un fluido inviscido, essendo μ=0, si avrà:
Dvg P
Dt = −
Questa equazione e’ nota come l’equazione di Euler.
3.9.1 Equazione di idrostatica e di Bernoulli da Navier-Stokes.
Equazione idrostatica
2DVP g V
Dt = − + +
Nel caso di un fluido in cui la velocita’ e zero, abbiamo solo: 0 P g= − + . Se consideriamo un
sistema in cui la gravita’ agisce in direzione z solo e in giu’ (quindi negativo), anche la P deve agire lungo z.
0 z z
P dPg g
z dz
dz g dP
= − − → = −
= −
(nella sola direzione z)
Abbiamo ricavato l’EQUAZIONE IDROSTATICA
Equazione di Bernoulli
Per ridurre l’equazione di Euler all’equazione di Bernoulli si considera che il flusso ha una sola
direzione e dato che non ho accelerazioni nel tempo:
Dvg P
Dt = − → x x
dv Pv g
dx x
= − +
Moltiplicando per dx, cambiando il segno di g perche’ e’ verso giu’ e integrando otterremo
l’equazione di Bernoulli: 2
cost2
x
vvdv dP g dx gx P
= − − → + + =
3.9.2 Equazione di Poiseuille con Navier Stokes.
Eseguiamo un bilancio di forze in condizioni stazionarie in un tubo cilindrico di lunghezza infinita con
pareti rigide (no-slip, v=0 @r=R), orizzontale e in coordinate cilindriche con simmetria radiale. Il fluido
è Newtoniano, e non ci sono variazione della sezione per cui la derivata materiale della velocità è zero:
0DV
P gDt
= = − + −
2VP = ; 0v =
Questa equazione, insieme con l’equazione di continuità per un fluido incomprimibile ( 0v = ),
definiscono il sistema.
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Utilizziamo coordinate cilindriche. ( )1 1
0 r zvrv v
vr r z r
= = + +
. Dato che il tubo e’
infinitamente lungo con sezione costante, in condizioni stazionarie non possiamo avere variazione di
velocità in z. Perciò, il secondo termine (come tutti i termini in cui v varia con z nelle equazione
successive), e’ zero. Inoltre, la condizione di simmetria implica che non ci sono variazioni o componenti
di velocità o pressione in . L’equazione di continuità insieme alla condizione di no slip si porta quindi
alla conclusione che vr=0: ( )1
0 0 0r rr r
rv r vv v
r r r
= + = =
Consideriamo adesso il Laplaciano della velocità e gradiente di pressione in tutte le direzioni. Anche
qui quasi tutto va a zero.
Quindi, la pressione varierà soltanto lungo z ( pr
non puo’ essere altro che zero), perciò l’unica
componente sarà P
z
che è costante perche’ gli altri termini dipendono da r, cosicché:
1 zdVdP d
rdz r dr dr
=
. (alle fine della velocità consideriamo le variazioni lungo r con componente
z)3.
Integreremo sfruttando le condizioni a contorno di no-slip e simmetria.
0
1) r=R 0
2) v | | cioè 0
z
zr r
r
v
vv
r+ −
=
→ =
= =
3 NB, tutto e’ piu’ semplice se diciamo che non ci sono variazioni in e sappiamo anche che l’unica componente della velocità è z
v e la pressione varia solo lungo z in modo lineare (altrimenti porterebbe
a non stazionarietà) come in Sezione 3.5!
FIGURA 3-26: CILINDRO DI RIFERIMENTO
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40 27/09/2021
Il sistema è simmetrico intorno a r=0, non posso dunque
avere una differenza di v intorno a r=0.
Integrando: 2
zdVdP r
dr d rdz dr
dP r
dz
=
2r
= 1
zdV
cdr
+
C1=0 per la condizione di simmetria. Integriamo ancora per dr:
2
2
2 2
2 2
1
2 2
4 4
z
z
dP rV c
dz
dP r dP RV c c
dz dz
= +
= + → =
2 21( )
4z
dPV r R
dz = − Equazione già trovata precedentemente con il bilancio delle forze.
3.9.3 Derivazione dell’equazione di Couette.
Consideriamo:
• Stazionarietà e flusso laminare;
• Fluido Newtoniano;
• Piatti paralleli e orizzontali infinitamente lunghi e larghi: questo permette di definire la
simmetria in z.
Dell’equazione generica: 2DVP g V
Dt = − + + con 0v = (liquido incomprimibile)
FIGURA 3-27: CILINDRO CON SIMMETRIA IN R IMPLICA NESSUNA VARIAZIONE IN O DERIVATE RISPETTO A R INTORNO A R=0.
FIGURA 3-28: COUETTE, FLUSSO TRA DUE PIATTI PARALLELI
INFINITAMENTE LUNGHI E LARGHI DI CUI UNO E’ MOBILE, MENTRE
L’ALTRO E’ FERMO.
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41 27/09/2021
xx
v
t →
xx
vv
x
+
x
y
vv
y
+
x
z
vv
z
+
2
2xvP
x x
= − +
2 2
2 2x xv v
y z
+ + x
g
+
y
y
v
t
→
y
x
vv
x
+
y
y
vv
y
+
y
z
vv
z
+
2
2
yvP
y x
= − +
2
2
yv
y
+
2
2
yv
z
+
yg + 2 2 2
2 2 2z z z z z z z
z x y z z
v v v v v v vPv v v g
t x y z z x y z
→ + + + = − + + + +
o Dato che non abbiamo variazioni lungo z (per simmetria), non consideriamo l’ultima equazione;
o Dato che il sistema è stazionario, possiamo togliere i termini con variazioni nel tempo;
o Dato che i piatti sono paralleli e orizzontali siamo in assenza di gravità, possiamo togliere i
termini con g;
o Per stazionarietà e perché i piatti sono paralleli, non variazioni di sezione lungo x, perciò non
varia la velocità in x.
o Avendo 0 0 0 costy yx z
y
v vv vv v
x y z y
= → + + = → = → =
e siccome a y=0, v=0;
allora sappiamo che 0y
v =
Quindi rimarrà: 2
20xvP
x y
− + =
costanteP
x
− =
NB: P varia solo in x e xv in y. Per questo motivo entrambi termini devono essere costanti. Infatti,
dato che siamo in condizioni di stazionarietà, il gradiente di pressione lungo x è costante, ciò vuol dire
che da P1 a P2 ho una variazione lineare, una spinta uniforme che varia linearmente nello spazio.
Per questo motivo, le derivate parziali possono adesso essere scritte come derivate assolute: 2
20x
d vdP
dx dy
− + =
2
2 1
1
2
x
x
dVdP d
dx dy dy
dP yV c c y
dx
=
= + +
Per risolvere sfrutteremo le condizioni a contorno: 1) y=0 ; V=0
2) y=h ; V=Vp
Per la prima condizione 2 0c = . Per la seconda condizione:
2
1 1
V
2 2
p
p
dP h dP hV c h c
dx h dx = + → = −
Con dovute sostituzioni avremo: ( )21 y( ) V
2x p
PV y y hy
x h = − +
.
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42 27/09/2021
Potremmo esprimere il profilo di velocità in modo adimensionale.
( )
2
2
22
( ) 1
V 2 V
( );
V 2 V
x
p p
x
p p
V y dP y y y
dx h h h
V yy h dP
h dx
= − +
= = → = − +
Il numero adimensionale che caratterizza il sistema è2
2 Vp
h dP
dx
.
3.9.4 Flusso in un canale rettangolare
Procederemo ora con la derivazione classica dell’equazione di flusso in un canale rettangolare orizzontale infinitamente lungo tramite Navier-Stokes.
Le condizioni di partenza sono che il flusso deve essere stazionario, laminare e Newtoniano. Le pareti
del condotto devono essere rigide affinché si verifichino le condizioni di No-Slip e il canale
infinitamente lungo. I due piatti devono essere orizzontali e paralleli. Non ci sono variazione di forze
di gravità e forze esterne e supponiamo anche che h<<w, quindi il canale è stretto. Per questo motivo
possiamo trascurare le variazioni di velocità in direzione x.
Dall’equazione generale di Navier-Stokes:
FIGURA 3-30: CANALE RETTANGOLARE
INFINITAMENTE LUNGO E MOLTO STRETTO
La Figura 3.31 mostra come le linee di
flusso vengono distorte dalla retta gialla
(dp/dx=0) quando viene applicato un
gradiente di pressione. E’ importante notare che l’impostazione di un gradiente di pressione (dp/dx) non altera la
condizione di no slip (V=Vp @y=h e V=0
@y=0), e che per un gradiente di pressione
positivo (linee verde e viola) abbiamo una
separazione del flusso.
FIGURA 3-29: COUETTE PER DIVERSI DP/DX MOSTRANDO LA SEPARAZIONE DEL FLUSSO
PER DP/DX>>0
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43 27/09/2021
2DVP g V
Dt = − + + .
xx
v
t →
xx
vv
x
+
x x
y z
v vv v
y z
+ +
2
2x
vP
x x
= − +
2 2
2 2x x
v v
y z
+ +
y
y
v
t
→
y
x
vv
x
+
y y
y z
v vv v
y z
+ +
2
2
yvP
y x
= − +
2 2
2 2
y yv v
y z
+ +
o Non abbiamo variazioni in z perché’ w>>h;
o Dato il canale infinitamente lungo e parallelo, non abbiamo variazioni di velocità in x.
o Dato che il sistema è stazionario, non abbiamo variazioni nel tempo.
o Per l’equazione di continuità, xv
x
0 costantey
y
vv
y
+ = → =
.
Quindi rimarrà:
2
2
0
0x
P
y
vP
x y
=
− + =
Da queste equazioni risulta che P varia solo in x e vx varia solo in y; le derivate diventano totali e
entrambi i membri dell’equazione sono constanti, cioe’ il gradiente di pressione lungo x e’ costante.2
2xd vdP
dx dy=
Ricordiamo che il gradiente di pressione è costante anche perché la spinta è costante essendo in
regime stazionario. Per ricavare Vx(y) e Q dobbiamo sfruttare le condizioni al contorno. Per
semplificare i calcoli poniamo y=0 del il nostro sistema di riferimento al centro del canale. L’altezza del canale e’ H come in Figura 3.33.
Condizioni al contorno:
ad v=0 e ad y=0 02
H dvy
dy= → → = (simmetria)
xdvdP d
dx dy dy
=
1x
dvdPy c
dx dy= + Per la condizione di simmetria c1=0
2 2
2 2
22
2 8
1( )
2 4
x
x
dP y dP Hc c
dx dx
dP Hv y y
d
v
x
= + → =
= −
La velocità ha sempre un andamento parabolico che dipende da y, per come abbiamo schematizzato
FIGURA 3-31: - SEZIONE RETTANGOLARE DI ALTEZZA H
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44 27/09/2021
il sistema sarà massima al centro quando y=0. Vx sembra essere negativa, ma in realtà ricordiamo
che dP
dx è negativa, altrimenti il fluido non si muoverebbe in quella direzione.
Dal momento che abbiamo assunto H<<w la variazione vx sarà maggiore lungo y rispetto a x infatti la
variazione è molto più repentina lungo y, perciò: x xV V
y x
. Per questo motivo e’ possibile
assumere che la velocita’ varia solo lungo y.
Tale assunzione è valida nel caso in cui H è almeno 10 volte più piccolo di W.
Ricaviamo adesso il flusso A
Q VdA=
2 2 2 2 3
0
3
1 1 1 4( ) ( ) ( )
2 2 2 3
1
12
w H H H
x
H H H
dP dP dPQ V y dydz w y H dy w y H dy w H
dx dx dx
dP wL
dx
− − −
= = − = − = − =
= −
Il flusso sarà fortemente dipendente da 3
Q H w nel caso di geometria rettangolare, così come in
un condotto cilindrico sarà 4
Q R (4
8
P RQ
L
= ). In questo caso potremo dire che è l’altezza che
domina le forze di attrito.
3.9.5 Adimensionalizzazione di Navier Stokes e il numero di Reynolds
2DvP g v
Dt = − + +
Adimensionalizziamo guardando solo una direzione. Ci interessano in particolare i termini che
descrivono l’accelerazione in condizioni stazionari e la viscosita’.
dv d dvv
dx dx dx =
equazione base.
Per adimensionalizzare devo trasformare v e x in variabili adimensionali. Possiamo dire che la velocita’ caratteristica del sistema e’ u e la lunghezza caratteristica e’ L.
FIGURA 3-32: IN ROSSO VARIAZIONE LUNGO Y, IN NERO VARIAZIONE LUNGO X
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45 27/09/2021
2
2
,
, ,
Equazione adimensionale
x v
L u
x L v u dx d L dv ud
dv d d dv dv d u
dx d dx d dx d L
d u d d uu
d L d L d L
uL d d
d d
= =
= = → = =
= → =
=
→ =
Il parametro adimensionale che caratterizza il sistema (in parentesi) e’ il numero di Reynolds.
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46 27/09/2021
4 Tensione superficiale
Introduzione
La tensione superficiale è quella forza che rende la superficie di un liquido come una pellicola elastica
tesa. La tensione agisce tangenzialmente alla superficie. Le forze che tengono unite le molecole simili
tra di loro sono le forze coesive, in inglese “like likes like” ovvero che “a chi si somiglia piace stare
insieme”. Ad esempio, nel caso dell’acqua le molecole sono fortemente attratte fra loro e tendono a
non separarsi grazie ai legami ad idrogeno fra esse.
Dimensionalmente, esprimeremo la tensione superficiale come una forza su lunghezza o un’energia
per area: 2
N J
m m = =
Le due unità di misura sono uguali, infatti, moltiplicando e dividendo per metro si ottiene
[ ]F m lavoro J = e al denominatore 2m m m = . Queste due unità sono entrambe valide perché
si hanno due definizioni di tensione superficiale:
Forza superficiale di un liquido per unità di lunghezza =Energia o lavoro necessario per creare un’unità d’area di superficie liquido.
Il liquido con maggior tensione superficiale è il mercurio infatti =487 mN/m (milliNewton su metro),
segue l’acqua pura con un valore di =72 mN/m a temperatura ambiente.
Ricordiamo che, anche se non viene sempre specificato, la tensione superficiale è riferita ad uno
specifico mezzo. Questo perché ad esempio se ho aria secca o aria umida la tensione superficiale
risulta diversa, nello specifico risulta maggiore con l’aria umida, perché è ricca di particelle di acqua.
NB: I due valori di γ sopra citati si riferiscono alle tensioni superficiali rispetto ad aria secca a 20°C.
4.1.1 Numero di Bond
Come già detto, si dice tensione superficiale perché si manifesta solo in superficie e non all’interno. Poiché all’interno le varie forze si bilanciano, mentre fuori vi è uno sbilanciamento di forze che attrae le molecole verso l’interno creando una tensione. I liquidi tendono a minimizzare l’energia superficiale. Questo è il motivo per cui, in assenza di altre forze dominanti, le gocce sono sferiche,
poiché le e questa è la forma che ha minore superficie rispetto al volume.
Le forze di tensione superficiale sono importanti in sistemi in cui le dimensioni caratteristiche sono
piccole, e le forze di tensione superficiale predominano sulle forze di gravità. Per mettere in
relazione l’entità delle due forze si utilizza un numero adimensionale detto numero di Bond.
3
2
Forza di gravità
Bond=Forza di tensione superficiale
m g L g
L glunghezza L L
lunghezza
= = =
Se il numero di Bond è maggiore di 1 allora la forza di gravità è maggiore della tensione superficiale e
le gocce tendono a essere meno sferiche e più allungate.
L’inverso del numero di Bond è il numero di Jesus. Perché, ad esempio, gli insetti che riescono a
camminare sull’acqua hanno un valore della forza di gravità (dovuto ad una massa molto piccola)
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47 27/09/2021
inferiori a quelli della tensione superficiale, che in termini matematici si traduce con Bo<1 e Jesus>1
poiché 1
JesusBond
= . Se Bo>1, l’insetto affonda; se Bo<1, l’insetto galleggia.
4.1.2 Misurare
La tensione superficiale può essere calcolata
sperimentalmente nel seguente modo: Prendo un filo
metallico immerso in acqua a cui collego un trasduttore di
forza. Tirando il filo di pochissimo, le molecole d’acqua rimarranno attaccate creando un velo d’acqua che verrà a creare una nuova area d’acqua: E F x= con x spessore
in mm.
Sappiamo che la forza sarà proporzionale alla lunghezza del filo e la costante di proporzionalità sarà la
nostra tensione superficiale.
: F F=
E=
L L
L x A
→ =
Il piatto di Wilhelmy
Un altro modo per misurare la tensione superficiale è attraverso una lamina
(o piatto di Wilhelmy) in un fluido collegata ad un trasduttore. Facciamo un
bilancio di forze:
0 F forza di Archimede
2( )cos forza che misura il trasduttore
F= =perimetro totale del piatto
2 cos
A P A
A P
misurata
F F F
L D F F
ll
+ + = =
+ = − +
→
4.1.3 Angolo di contatto e bilancio della tensione superficiale.
L’angolo di contatto descrive l’angolo che si forma tra una superficie e un liquido (Fig. 4.3). E’ sempre misurato nel liquido o tangenziale alla superfice del liquido. Quando una goccia di acqua viene posta
su una superficie di teflon, adotta una forma rotonda, mentre su
una superficie di vetro pulito la forma è più piatta. Il vetro è
idrofilico, cioè attrae le molecole di acqua (c’è un’adesione tra le
molecole di vetro e acqua), mentre il teflon è idrofobico. Se invece
il vetro è sporco, ad esempio di residui di grasso, l’area di adesione sarebbe notevolmente ridotta rendendola poco aderente
(idrofobicità). Nei due casi quel che cambia è l’angolo di contatto .
FIGURA 4-1:TRASDUTTORE CON ELEMENTO
METALLICO PARZIALMENTE IMMERSO IN ACQUA
FIGURA 4.3:GOCCIA DI ACQUA SU
VETRO (NON MOLTO PULITO)
FIGURA 4-2: PIATTO DI WILHELMY
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48 27/09/2021
FIGURA 4-4: ANGOLO DI CONTATTO PER UNA GOCCIA DI ACQUA SU UN MATERIALE IDROFOBICO E IDROFILICO
L’angolo è definito come l’angolo tra la superficie e la linea tangente alla goccia.
Le forze tra due materiali diversi sono dette di adesione.
Se l’angolo di contatto è compreso nell’intervallo [0°-90°] la superficie è bagnabile(idrofila) e la forza
di adesione è maggiore di quella di coesione, mentre, se è compreso tra 90° e 180° la superficie non è
bagnabile (idrofoba) e le forze di adesione sono minori di quelle di coesione.
Quando parliamo di tensione superficiale ci riferiamo alla relazione tra fluido e ambiente. A volte si
sfrutta l’esperimento di un materiale immerso in acqua sotto cui viene soffiata una bollicina d’aria.
FIGURA 4-5 - MATERIALI IMMERSI IN ARIA CON BOLLA DI ACQUA E IN ACQUA CON BOLLA D’ARIA
Anche qui abbiamo delle tensioni superficiali ma l’ambiente è diverso. Se osservo una goccia su due
materiali diversi, come teflon (idrofobico) e vetro pulito (idrofilo), noto che la goccia assume forme
diverse.
4.1.4 Equazione di Young-Dupree.
Rifacendo l’esperimento in acqua come spiegato precedentemente noteremo delle forme diverse. Nel
caso del vetro, che è molto affine all’acqua, la bolla si compatterà per permettere un maggior contatto
di acqua con il vetro.
Preferiamo misurare in acqua, perché sul materiale la goccia tende ad evaporare. Prendendo il caso
della goccia su vetro di prima facciamo il bilancio di forze di tensione superficiale (dirette sempre dal
punto di contatto e tangente alla la superficie), ottenendo: cos
cos
GA WG WA
WG GA WA
= +
= −
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49 27/09/2021
L’angolo di contatto viene utilizzato per caratterizzare la bagnabilità dei materiali. È importante usare
gocce piccole, in cui le forze predominanti sono quelle di tensione superficiale.
Capillarità e gocce da una pipetta
Quando un capillare viene inserito in acqua, l’acqua sale nel tubicino per tensione superficiale,
soprattutto se il tubo è idrofilo, poiché l’acqua preferisce stare a contatto con il tubo piuttosto che
con l’aria. Quindi sono le forze adesive tra vetro e acqua che fanno salire il liquido.
Ciò succede finché la forza peso dell’acqua dentro il tubicino è uguale alla forza di tensione
superficiale.
Nel caso del mercurio, che non aderisce alle superfici avremo un comportamento inverso, perché
è molto elevata e mercurio e’ molto denso (=13600 kg/m3). Osserviamo l’equilibrio del caso
dell’acqua:
Se vogliamo ricavare la pressione, sfruttiamo l’equazione di idrostatica.
P gh g = =4 cos
d g
4cos
d
=
Di solito viene considerato un angolo θ pari a zero, per cui: 4
Pd
=
Si evince che l’altezza è inversamente proporzionale al diametro, perciò è influente poiché la
quantità di fluido è piccola.
Esercizio:
Consideriamo un capillare e facciamo i calcoli riportati sopra nel caso in cui
3
mN d=300μm; γ=72 ; =1000
m
Kg
m
FIGURA 4-7: -A CAPILLARE PARZIALMENTE IMMERSO IN ACQUA, B) - CAPILLARE PARZIALMENTE IMMERSO IN MERCURIO
2
: : Lcos dcos4
g
dF mg h g F
h
= =
2d
4g = d cos
4 cos4 cos
.LD
hdg N Bond
= =
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3
6
3
6
4 72 100.098 9.8
300 10 9.8 1000
4 72 10960 7.33
300 10
h m cm
P Pa mmHg
−
−
−
−
= = =
= = =
Osserviamo il fenomeno di una goccia che esce dal contagocce di una pipetta, ad esempio per le
medicine. Infatti alcune medicine vengono dosate a gocce proprio perché la grandezza non è casuale
ma è sempre la stessa, poiché dipende dalla tensione superficiale. Nel momento in cui si forma la
goccia essa rimane coesa alla pipetta finché la forza di gravità bilancia la tensione superficiale, poi
cade.
Forza gravità:
3
34
3 2 6goccia gocciam g gV g g
= = =
Forza tensione superficiale: cos cosL d =
Il parametro L indica il contatto, ovvero la circonferenza del tubo: d .
Nel momento in cui la goccia si stacca =0.
g 3
6 =
3 6
d
d
g
=
Nella realtà la goccia è leggermente più piccola del valore teorico perché quando cade rimangono
alcune molecole attaccate al tubo: aggiungeremo quindi un fattore di correzione anche detto Fudge
Factor: 80%reale teorica =
4.2.1 Legge di Laplace per le gocce
Nel caso delle gocce la tensione superficiale è bilanciata dalla pressione interna, questo accade solo
per piccolissime quantità di fluido.
Ipotizziamo di sezionare a metà una goccia ed effettuiamo il bilancio di forze:
γe i
AP L P A
+ =2
r γ2e
P r+i
P = 2r
2γ
2γ
i eP P
r
Pr
− =
=
L’equazione di Laplace mette in relazione la pressione interna e il raggio di una
goccia. Più piccolo è il raggio, maggiore sarà la pressione interna. Inoltre, per
formare una sfera più piccola ci vuole una maggiore pressione (Pi).
FIGURA 4-9–SEZIONE DI
UN GOCCIA
FIGURA 4-8: GOCCIA DA UNA PIPETTA
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51 27/09/2021
Embolia gassosa:
Ciò è di rilevante importanza negli alveoli, poiché, quando si espandono, aumentano il volume e la
pressione si riduce. Più piccolo è l’alveolo, più forza sarà necessaria perché dipende da r. Questo
processo è regolato da un surfattante a base di fosfolipidi, che riduce la tensione superficiale per
rendere possibile la respirazione. La concentrazione di surfattante presente è inversamente
proporzionale alla grandezza del singolo alveolo, così il basso valore di γ è compensato dal raggio
piccolo. I neonati prematuri necessitano di ausilio esterno per respirare poiché soffrono di mancanza
di surfattante e non hanno una forza sufficiente per fare espandere gli alveoli (sindrome di stress
respiratorio neonatale).
'''
3 4 2 1 ''
22
2 3
1 4 ''
' ''1 4
' ''1 4
1 1( ) ( ) 2
'
essendo nella stessa bolla
1 12
'
se P e avremo un embolo simmetrico
se P > > e avremo un embolo asimmetr
RR
P P P PR R
P P
P PR R
P R R
P R R
− − − = −
=
− = −
• = =
• ico
FIGURA 4-10: EMBOLI
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5 Flusso di massa
Introduzione e 1° legge di Fick
Le considerazioni sul trasporto di massa derivano dall’equazione di continuità. Essenzialmente, la conservazione di massa si riferisce alla massa totale di un sistema, mentre, i fenomeni di trasporto di
massa considerano una specie particolare. Quelli che trattiamo noi sono solo validi per specie diluite.
Il flusso di massa è un vettore già definito in termini di velocità e densità (Sezione 1.2.4). Per quanto
riguarda una specie molecolare, il flusso totale della specie B sarà la somma di massa di ogni molecola
B ×velocità diviso il volume medio per molecola, cioè:
1 1
* tempo
= = = = N
BB media B B i
iA
massaj v ndA V m v
area A vol N
Il flusso è di massa (della specie), espressa come 2/ ( )massa m s . La velocità della molecola dipende
dal suo moto, ed è la somma della velocità ‘libera’ (Browniano) ed eventualmente anche di quella
forzata, dovuta per esempio a un gradiente di pressione (moto convettivo). Aggiungeremo un termine
specifico per la parte convettiva nella Sezione 5.5.
La velocità media è la somma vettoriale di tutte le velocità diviso il numero di molecole B.
1 = → =N
Bmedia i B B Bmedia
i
V v j VN
A questo punto possiamo scrivere il flusso massico totale di un sistema che contiene più specie:
... ... = + + + = + + +A B C A Amedia C Cmedia B Bmediaj j j j V V V
cioè:
( )Flusso di massa= Flusso di massa molecolare
Spesso faremo riferimento a molecole o moli. Per esprimere in moli usiamo il peso molecolare:
moli=massa (in g)/Peso molecolare
Sarà quindi sufficiente dividere per il peso molecolare per ottenere la conversione.
/ / / ... ...
...
= + + + = + + +
= + + +
A BA mol A B mol B C molC Amedia Cmedia Cmedia
mol A mol B mol
A Amedia B Bmedia C Cmedia
CJ j P j P j P V V V
P P P C
C V C V C V
Allora J maiuscolo è il flusso espresso come moli per unità di area e tempo.
Il flusso di molare ‘libero’ è un fenomeno di trasporto regolato dalla legge di Fick, nello specifico dalla
prima legge di Fick, che esprime l’equazione costitutiva per una specie diluita, con concentrazione C.
CJ D D C
x
= − = −
Con J indichiamo il flusso molare, ed e’ un vettore, D è una costante di diffusione e C è il gradiente
di concentrazione della specie in considerazione (scritto così abbiamo supposto D costante). Il segno
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53 27/09/2021
negativo della formula fa riferimento al gradiente, poiché il flusso andrà da zone con maggiore
concentrazione a zone con minore concentrazione.
1 2
1 2
c cC
x x x
−=
−
Il moto delle molecole è di tipo Browniano, ovvero avremo una diffusione non forzata di tipo
randomico. In presenza di una differenza di concentrazione nello spazio, le molecole si diffondono per
massimizzare l’entropia, che è sinonimo di disordine. All’inizio le molecole sono tutte concentrate in
una zona, poi diffondono massimizzando l’entropia, mescolandosi.
Seconda legge di Fick
Immaginiamo adesso un sistema con volume fisso, in condizioni stazionarie, in cui vale la legge di
conservazione di massa e in cui la concentrazione della specie C varia. Significa che la massa totale del
sistema è costante, ma la concentrazione di C può variare (cambia il numero di molecole).
A parole, la velocità di aumento di moli di C
(moli/tempo) è’ uguale al numero di moli di C che entrano per secondo meno il numero di moli di C
che escono per secondo. Considerando solo direzione x:
Aumento di molecole C
per unità di tempo +
= −
in outx x x
J A J A
Dal momento che, dal punto di vista molecolare, potremmo avere una reazione chimica in cui C viene
trasformato cosicché la concentrazione di quella data molecola vari, si aggiunge una variabile di
produzione (+P) ed una di riduzione dovuta a reazioni di consumo (-R).
Molecole prodotte (o ridotte)
s, e lo aggiungeremo all’espressione sopra.
Ricordiamo però che vi deve essere un bilancio di massa totale.
La concentrazione è definita come: n°moli
Concentrazione= xA
. Noi vogliamo osservare l’aumento di
concentrazione nel tempo.
n°moliAumento Concentrazione nel tempo=
x A t x A+
− =
in outx x x
J A J A.
Dividendo per x A esprimeremo l’equilibrio non più come un aumento o diminuzione di molecole ma di concentrazione. In questo caso stiamo trascurando le eventuali +P e –R.
x
−=
xin xoutJ JdC
dt
FIGURA 5-1: VOLUME FISSO SOTTOPOSTO A FLUSSO DI
MOLECOLE IN INGRESSO E USCITA IN DIREZIONE X.
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Per 0x → ovvero volume e distanza infinitesima, otterremo la seconda legge di Fick: C J
t x
= −
Ricordiamo ancora una volta che la legge di conservazione (continuita’) vale solo per la massa e non
per specie molecolari in un sistema multicomponente.
Combinando la 1° legge di Fick si ottiene la 2° legge di Fick per una specie con D constante.
2
2
2( ) ( )
C C CD D
t x x x
CJ D C D C
t
= − − =
= − = − − =
(se D varia nello spazio bisogna aggiungere un termine)
NB: Se siamo in condizioni stazionarie / 0 =C t e il Laplaciano della concentrazione è zero. In
questo caso, in coordinate Cartesiane unidimensionali (in solo x) sia il flusso che il gradiente sono
costanti.
2
20 costante
C C C CD D D J
t x x x x
= − − = = → − = =
In coordinate sferiche (simmetriche) la condizione di stazionarietà implica un flusso proporzionale a 1/r2:
2 2
2
20 costante
C D CD C r
t r r r
C Cr
t r
= =
= → =
Generalizzando e introducendo i termini di consumo e produzione:
2CD C P R
t
= + −
5.2.1 La forma integrale della legge di Fick
Per esprimere la forma integrale ci sono due modi:
1. Considero un volume fisso con concentrazione che cambia punto a punto: ci sono flussi che
entrano ed escono dalla superficie. Ad ogni punto definiamo
numero di molecole che passano per quel punto al secondoJ ndA =
moli tot che entrano per Gauss
A Vol
J ndA JdVols
= − = −
Nel caso particolare in cui:
• Flusso sempre normale alla superficie
• Flusso costante
Possiamo scrivere che:
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moli tot che entrano
moli moli tot che entranosiccome C=
Vol A
JAs
dCdVol JdA
Vol s dt
= −
= = −
dCVol JA
dt→ = −
2. Prendiamo l’equazione di Fick C t J = − e integriamola sul volume:
olume olume
Vol Vol
CdV JdV
t
= −
e ricordando la legge di Gauss
V A
dV dA = , esprimeremo il nostro integrale sul volume chiuso come uno di superficie:
olumeJdV J dA JA− → − = − .
Il flusso è perpendicolare alla superficie
Se consideriamo un flusso costante, anche / C t è costante:
olume
Vol
CdV JdA
t
= −
, per cui olume
CV JA
t
= −
= − olumeVdCJ
dt A
Quindi un flusso costante che esce da un volume chiuso comporta una
diminuzione con rate costante di concentrazione nel volume. Non
avremmo potuto fare questa assunzione senza l’ipotesi che J fosse costante nell’area. Quest’espressione viene ad esempio usata in ambito fisiologico, per calcolare la variazione in un dato ambiente di concentrazioni.
Ordine di reazione
Come abbiamo già osservato la concentrazione scalare, dipende dalle due leggi di Fick e crea un
gradiente di flusso (un vettore) in un volume Euleriano. Teniamo ora in considerazione i termini che
indicano le reazioni chimiche di produzione e reazione.
2CD C P R
t
= + −
Se consideriamo solo la parte di reazione (o consumo):
dCR
dt= −
FIGURA 5-2: CONCETTO DI FLUSSO
COSTANTE DA UN VOLUME FISSO
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Se ho una reazione A B→ la velocità della reazione è dc concentrazione
dt s= .
Perciò .B .Aconc conc
s s= − ; Velocità con cui aumenta B = Velocità con cui diminuisce A .
Quando la velocità della reazione è costante nel tempo e indipendente dalla concentrazione, allora si
tratterà di una reazione di ordine 0 : 0 3
moli
dA dBA K
dt dt m s
− = = (velocità costante).
Ciò vuol dire che l’aumento della concentrazione sarà lineare nel
tempo
B Kt = +
dove è una costante di integrazione. Ipotizzando che a t=0, B=0,
avremo che la costante di integrazione 0 = .
FIGURA 5-3: REAZIONE DI ORDINE ZERO
Quando la velocità dipende dalla concentrazione di una delle specie, 1 1 dA dt K A K s− = → ,
allora si è in presenza di una reazione di primo ordine .
Questa reazione dipende da quanto reagente abbiamo a disposizione; la concentrazione aumenta in
maniera esponenziale.
dAA
dt ;
1 con -k= costante
dAkA
dt t= −
integro ln cost ktdAkdt A kt A e
A
−= − → = − + → =
FIGURA 5-4: REAZIONE DI 1° ORDINE
Una reazione di secondo ordine dipenderà da due concentrazioni: dAK A B
dt=
Esistono anche reazioni di ordine superiore.
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5.3.1 Equazione di Michaelis-Menten
La maggior parte delle reazioni biomediche segue però
la legge di Michaelis-Menten.
max
max
max
se C<<K Ordine 1
se C>>K Ordine 0
m
m
m
m
v CdC
dt K C
vdCA
dt K
dCv
dt
=+
• =
• =
Km e’ la costante di Michaelis Menten per la reazione e corrisponde alla concentrazione quando la
velocita’ (vmax/2)e meta della velocita massima (vmax).
→ Derivazione dell’equazione di Michaelis-Menten
Consideriamo una generica reazione catalizzata da enzimi: 𝐸 + 𝑆 ⇆ 𝐸𝑆 ⇆ 𝐸 + 𝑃
In cui E rappresenta la concentrazione dell’enzima, S la concentrazione di substrato e P la concentrazione di prodotto. Secondo questo meccanismo, la reazione enzimatica prevede una prima
reazione di associazione tra E e S a formare il complesso ES, seguita da una seconda reazione in cui il
complesso si dissocia rilasciando l’enzima libero e il prodotto.
Sotto l’ipotesi di quasi equilibrio, il complesso enzima substrato è considerato in equilibrio con l’enzima libero e il substrato: tale situazione di equilibrio non è disturbata dalla formazione del prodotto. Questo vuol dire che la velocità di formazione del prodotto a partire dal complesso è più
piccola rispetto alla velocita con cui il complesso si scinde a formare E e S. Possiamo pertanto scrivere
considerare la seconda reazione come irreversibile e riscrivere la reazione come: 𝐸 + 𝑆 ⇆ 𝐸𝑆 ⟶ 𝐸 + 𝑃
Ogni reazione è caratterizzata da: A) una costante specifica della velocità diretta (da E+S a ES) Kf, B)
una costante specifica della velocità inversa (da ES a E+S) Kr e C) la costante specifica della reazione
catalitica KCAT.
Date tali costanti, possiamo scrivere le equazioni differenziali che descrivono la dinamica di enzima,
substrato, complesso e prodotto: 𝑑𝐸𝑑𝑡 = −𝐾𝑓 𝐸 𝑆 + 𝐾𝑟 𝐸𝑆 + 𝐾𝐶𝐴𝑇 𝐸𝑆 𝑑𝑆𝑑𝑡 = −𝐾𝑓 𝐸 𝑆 + 𝐾𝑟 𝐸𝑆 𝑑𝐸𝑆𝑑𝑡 = −𝐾𝑓 𝐸 𝑆 − 𝐾𝑟 𝐸𝑆 − 𝐾𝐶𝐴𝑇 𝐸𝑆 𝑑𝑃𝑑𝑡 = 𝐾𝐶𝐴𝑇 𝐸𝑆
FIGURA 5-5: REAZIONE MICHAELIS MENTEN
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All’istante iniziale la concentrazione di enzima E0 = E + ES (cioè l’enzima è in parte libero, in parte associato al complesso).
In condizioni di equilibrio termico, la velocita di produzione di complesso è uguale alla velocità di
scissione del complesso in enzima libero e substrato: 𝐾𝑓 𝐸 𝑆 = 𝑘𝑟 𝐸𝑆 𝐾𝑓 (𝐸0 − 𝐸𝑆) 𝑆 = 𝑘𝑟 𝐸𝑆
Da cui derivo 𝐸𝑆 = 𝐸0 𝑆𝑆 + 𝑘𝑟𝑘𝑓
A questo punto, definendo la costante di dissociazione per il complesso enzima-substrato KM,
otteniamo 𝐸𝑆 = 𝐸0 𝑆𝑆 + 𝑘𝑀
Possiamo quindi calcolare la velocità di formazione del prodotto 𝑣 = 𝑑𝑃𝑑𝑡 = 𝑘𝐶𝐴𝑇 𝐸𝑆 = 𝑘𝐶𝐴𝑇 𝐸0 𝑆𝑆 + 𝑘𝑀 = 𝑉𝑀𝐴𝑋 𝑆𝑆 + 𝑘𝑀
Tempo di diffusione e l’equazione di Stokes-Einstein
Osserviamo D, la costante di diffusione: ricordiamo intanto che per passare da moli a molecole bisogna
dividere per il numero di Avogadro, però conviene sempre ragionare in moli. Le unità di misura di D
sono m2/s.
Il coefficiente di diffusione è specificato per ogni mezzo. La costante di diffusione di ossigeno
molecolare nell’aria a 20°C e’. Se un materiale diffonde in un mezzo diverso, la D sarà ovviamente
diversa.
Ad esempio, l’acqua è più densa dell’aria:
2
9 2 in acqua 3 10OD m s
−= → 1000 volte più piccolo
Indichiamo anche il tempo caratteristico di diffusione: 2 2distanza L
tD D
= =
La D può essere stimata dall’equazione di Stokes-Einstein che considera la diffusione di una molecola
sferica con raggio r. Dato che la maggior parte delle molecole non sono sferiche, consideriamo un
raggio equivalente, noto come il raggio di Stokes o, quando si tratta di diffusione in acqua ‘raggio idrodinamico’.
K= costante di Boltzmann 1.38054×10-23J
K; T= temperatura in Kelvin;
KT= energia termica, = viscosità del mezzo.
Ad esempio, ossigeno nell’acqua a 37° C ha un Stokes radius di circa 121 pm.
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239 2
12 3
1.38 10 3101.88 10 m/s
6 6 121 10 10
−−
− −
= = =
KT
Dr
5.4.1 Concentrazioni soluto e solvente
In un bicchiere di acqua con un cucchiaio di sale in un lato, anche senza mescolare, avremo un flusso
di acqua verso il sale e un flusso di sale nel resto del bicchiere, per cui il flusso massico totale sarà zero.
Però, di solito, ci riferiamo al flusso di una specie sola (sempre quella meno concentrata), che
ovviamente non deve essere nullo.
Consideriamo un beaker d’acqua e inseriamo un colorante o
inchiostro: le molecole si muoveranno finché tutta la
bacinella sarà colorata.
2dCD C
dt= =0
Il flusso in acqua sarà: 21 H O/coloreJ
CD
x
=
D è la costante di diffusione dell’acqua nell’inchiostro, è uguale per le due specie poiché, la costante
di diffusione di A in B è uguale a quella di B in A. Infatti avremo un flusso d’acqua di inchiostro che
bilancia J1.
2 22 colore/H O H O/coloreJ
= − =
acquacoloreCC
D Dx x
5.4.2 Concentrazione del sale nel mare e dell’acqua nel mare nel sale
Calcoliamo la concentrazione d’acqua in un litro d’acqua in moli.
21 di H 1L O Kg→ Il peso molecolare dell’acqua è: 2H 18O
PM =
2H
100055.5
18O
M moliC
L L
= =
2
3H 3
55.5 10O
moliC
m
=
Calcoliamo la concentrazione di sale nel mare sapendo che salt 0.6MC = . Quindi in un beaker C
del sale va da 0.6 a 0 M tra due punti estremi, nel caso dell’acqua da 55.5 a 55.5-0.6=54.9 M tra gli
stessi due punti. Per questo ci interessa la variazione di concentrazione del soluto, perché è più facile
da misurare/percepire. Quando parliamo di trasporto di massa è sempre riferito a flusso del soluto,
anche se abbiamo anche il flusso del solvente nella direzione inversa.
FIGURA 5-6: FLUSSO DI INCHIOSTRO E DI ACQUA
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Diffusione e convezione
Quando le molecole si muovono in maniera randomica, esse sono regolate dal fenomeno della
diffusione. La diffusione libera massimizza l’entropia; possiamo però forzare il moto di alcune
molecole imponendo una forza esterna come un campo di moto: è questo il caso della convezione o
piu’ correttamente advezione4. Consideriamo un modello con entrambi i fenomeni.
Intanto ricordiamo che il flusso di massa per una specie molecolare in generale è dato da:
= =
media media
mol
J V CVP
(Per ricordare che e’ un vettore, v e’ scritto come V . J Può essere diviso in due parti:
1) Flusso diffusivo = − DJ D C
2) Flusso convettivo ( ) ( ) 3
moli Velocità concentrazione = VC
CJ
m s
=
Ricaviamo la seconda legge di Fick considerando entrambi i flussi e supponendo D constante.
( ) ( )VCC D
CJ J J D C
t
= − = − + = − −
2(V C+C V)+DC
Ct
= −
Dato che trattiamo sempre fluidi incomprimibili, la divergenza della velocità è zero:
2D V C R/PC
Ct
= −
oppure
2D R/PDC
CDt
=
5.5.1 Il numero di Peclet
Analizziamo ora il profilo di concentrazione in condizioni stazionarie, in coordinate cartesiane
unidirezionali considerando sia la diffusione libera che la convezione:
2
2 xx
C J d C C C vCv D v C
t x x x x x x
= − = − − + = − +
Consideriamo un sistema in cui il flusso diffusivo e convettivo si oppongono. Il flusso convettivo è in
direzione x.
@ x=0; C=0;
@ x=L; C=C ;L
Verifichiamo:
4 Viene usato quasi sempre il termine convezione, che e’ piu’ correttamente associato con calore. Advezione, sarebbe il movimento di molecole causato da una velocita; imposta esterna.
FIGURA 5-7: SISTEMA DI RIFERIMENTO
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2
20xVC C
x D x
− =
2 0 0x x
V V
D D → − = → − =
0; ;xV
D → = =
C(x) Ae xV
xD B= + . Applicando la prima condizione al contorno:
0 A=-B
C( ) e (e 1)x xV V
L LD D
A B
x A A A
+ = → = − = −
C =A(e 1)
C
(e 1)
C C C( ) e e 1
(e 1) (e 1) (e 1)
x
x
x x
x x x
VL
DL
L
VL
D
V Vx x
L L LD DV V V
L L LD D D
A
C x
−
=−
= − = −
− − −
L’equazione si può scrivere in una forma adimensionale e più compatta indicando il numero di Peclet.
Adimensionalizzazione:
0
0 0
0
0 0
2 2
2 2
,
, ,
x C
L C
x L C C dx d L dC d C
CdC d d dC dC d
dx d dx d dx d L
C Cd d dv D
d L d L d L
d d Lv d dvL D
d d D d d
= =
= = → = =
= → =
=
→ = = =
2
tdiffusionex
convezione
x
LV DPe L
LD t
V
= = = cosicché: ( ) 1
1
Pex
L
Pe
L
C x e
C e
−=
−.
Il numero di Peclet indica quale dei due tipi di moto prevale:
o Se Pe<1 il tempo di diffusione è minore del tempo di convezione, perciò prevale il moto
diffusivo, e le molecole tendono a spostarsi verso x=0.
o Se Pe 0→ abbiamo un andamento lineare perché c’è solo la diffusione.
Mano a mano che aumenta Pe, la diffusione diventa sempre meno importante. Nel limite di
Pe→abbiamo una discontinuità perché, data l’elevata velocità, tutte le molecole sono spinte verso x=L.
FIGURA 5-8 - NUMERO DI PECLET
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Diffusione libera di elettroliti
L’equazione di Fick è il più semplice dei fenomeni di trasporto. Esso è, infatti, un processo passivo che avviene contro gradiente di concentrazione, nell’ipotesi che soluto non sia un elettrolita, cioè non presenti cariche ioniche quando in soluzione.
La diffusione libera di elettroliti è infatti più complessa di quella dei non elettroliti. Le due differenze
piu importanti sono:
a) i soluti carichi sono soggetti a forze elettriche, quindi la forza motrice del trasporto non sarà il
potenziale chimico, quindi la differenza di concentrazione, ma il potenziale elettrochimico, cioe’ il flusso di ioni sotto l’influenza sia del gradiente di concentrazione sia di un campo elettrico.
b) una soluzione stabile di elettroliti contiene almeno un anione e un catione (uno ione positivo e
uno negativo), quindi ci sono sempre almeno due specie di soluti.
L’equazione che descrive i fenomeni di elettrodiffusione e’ nota come Equazione di Nernst-Planck: 𝜕𝑐𝜕𝑡 = −∇ ∙ 𝐽 = −∇ ∙ (J𝐷 + J𝐶 + J𝐸) = −∇ ∙ [D∇c − v̅c + 𝐷𝑧𝑒𝑘𝐵𝑇 𝑐 (∇𝜑 + 𝜕𝐴𝜕𝑡 )]
In cui JE e’ il flusso dovuto al campo elettrico o magnetico. Questa volta la specie chimica ha una
carica elettrica, quindi e’ un ione, z e’ la carica dello ione, e e’ la carica elementare, T e’ la temperatura, kB e’ lacostante di Boltzman, v il vettore della la velocita’ del fluido, 𝜑 il potenziale
elettrico e A il vettore di potenziale magnetico. Nel caso di assenza di termini convettivi ( v = 0) e in
condizioni elettrostatiche, l’equazione che si ottiene è: 𝜕𝑐𝜕𝑡 = −∇ [D∇c + 𝐷𝑧𝑒𝑘𝐵𝑇 𝑐 (∇𝜑)]
Si noti che, nel caso in cui la specie chimica non presenti cariche libere, l’equazione di Nernst-Planck
coincide con l’equazione di Fick.
Trasporto attraverso la membrana cellulare
La membrana cellulare à composta da un doppio strato di lipidi (fosfolipidi), con teste idrofile e code
idrofobe, intervallato da proteine di membrana tra cui le acquaporine, i recettori a canale e le pompe
ioniche. Possiamo distinguere diverse modalità di trasporto:
i. Trasporto passivo. Il passaggio di sostanze attraverso la membrana cellulare è
essenzialmente regolato dalla diffusione attraverso la parete lipidica grazie a gradienti di
concentrazione. Riescono a passare con facilità solo molecole piccole piuttosto
idrofobiche e di piccole dimensioni, come ossigeno, anidride carbonica e steroidi.
ii. Trasporto facilitato. Le sostanze idrofiliche non possono passare la parete doppio lipidica
perché tendono ad essere insolubili nella zona centrale della membrana. Per facilitare il
trasporto di molecole idrofiliche esistono vari tipi di proteine di membrana, ad esempio
le acquaporine che modulano il passaggio di acqua. La famiglia di trasportatori di
molecole di glucosio sono le GLUT (di cui quello sensibile all’insulina è il GLUT4).
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iii. Trasporto attivo. Alcune specie, tra cui i più noti Na+ e K+ , vengono trasportate contro un
gradiente di concentrazione. La cellula utilizza le sue risorse energetiche (ATP) per
mantenere una concentrazione di K citoplasmica maggiore di quella extra-cellulare.
5.7.1 Coefficiente di Partizione
Come accennato, anche il livello di solubilità di una molecola condiziona la
facilità di trasporto. Se ad esempio versiamo del sale in olio e in acqua,
sappiamo che il sale è molto solubile in acqua perché è polare, perciò la
concentrazione di sale sarà diversa nei due ambienti e quindi (Fig. 5.10)
Analogo discorso può essere fatto in aria e in acqua per quanto riguarda
l’ossigeno.
La differenza di concentrazione fra due ambienti può essere
determinata tramite il coefficiente di partizione:
A
AB
B
C
C = Costante (perché devo avere equilibrio) e adimensionale.
Questo coefficiente dipende da:
• Tipi di Molecole;
• La natura della due fasi;
• La temperatura.
Nel caso dell’ossigeno che si scioglie nell’aria e nell’acqua abbiamo una costante molto simile: costante di Henry, H. In questo caso la concentrazione di gas nell’aria viene espressa come una pressione parziale. E’ quindi l’equivalente di perché’ concettualmente è la concentrazione di un gas diviso la concentrazione del gas in un altro mezzo. H viene espressa in diversi modi e con differenti
unita’ di misura. Bisogna stare attenti a come viene definito e che unita’ vengono usate.
FIGURA 5.10: SISTEMA CON UNA
FASE D'ACQUA E UNA D'OLIO.
2
2
2
2
2
2
(O nell'aria) * ;Oppure H=mmHg
[ ]
[ ] ;Oppure H=
(O nell'aria) * mmHg
p
H O
H O
p
P L atm LH
CO mol mol
CO mol molH
P L atm L
=
=
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Ipotizziamo ora di voler misurare la concentrazione all’interno della membrana fosfolipidica, ma possiamo misurare solo la concentrazione dentro e fuori. Inoltre, consideriamo che lo spessore della
membrana sia molto piccolo, per cui i rispettivi volumi citoplasmici ed extracellulari siano molto grandi
con concentrazione costante nello spazio. In condizioni stazionarie, la differenza di concentrazione
attraverso la membrana è costante per cui il gradiente è lineare.
La membrana cellulare confinerà con acqua, perciò la concentrazione nella membrana nelle zone
adiacenti al liquido saranno:
21 21 MC
M MA MAC C C = =
21 MC C C poiché c’è il passaggio da diversi ambienti.
Per la condizione di stazionarietà 2
20
dC CD
dt x
= =
, per cui il gradiente è una retta.
1 1M AMC C= ; 2 2M AMC C= ; C
J Dx
= −
Anche J
D− è costante visto che
dC
dx è costante cost
dC J
dx D→ = − = .
Dovendo ricavare 1 2( ) ( ,C , )C x f C= , è possibile ricavare la concentrazione in ogni punto della
membrana, conoscendo la concentrazione fuori e dentro la membrana e il coefficiente di partizione,
ovvero l’andamento di CM in funzione della lunghezza della membrana.
( ) (costante di integrazione) J
C x x KD
= − + 1
2
x=0 C=
C=
AM
AM
C
x L C
→= →
Condizioni al contorno
1 1C ( ) CAM AM
JK C x x
D = → = − +
Dato JC
Dx
= −
2 1
2 1 1 21 1
( )
( ) ( )( ) C C
AM
AM AMAM AM
C CJ C
D x L
C C x C C xC x
L L
−− = =
− −
= + = −
FIGURA 5-9 - ANDAMENTO DELLA
CONCENTRAZIONE IN UNA MEMBRANA
CELLULARE
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( )1 2C C D DJ C
L L
− = =
Dove D
L
è costante ed è chiamata permeabilità della membrana ; vale la seguente regola:
MA
AM
DD
L L
=
La permeabilità è misurata in m/s, stessa unità di misura della velocità, infatti esprime quanto è
efficace la membrana per trasportare una certa molecola. Cambia tantissimo da molecola a molecola
e da cellula a cellula ed è una proprietà non-costitutiva, perché dipende dallo spessore della
membrana, dal coefficiente di diffusione e dal coefficiente di partizione (caratteristiche fisiche/qualità
della membrana). (Vedere anche Sezione 6.3.4)
Esempi di trasporto di massa
5.8.1 Applicazione della forma integrale della Legge di Fick: il modello quasi-stazionario
Consideriamo l’esempio di due compartimenti separati da una membrana cellulare, con C1> C2. Dato
che la membrana è molto sottile, non è possibile misurare la concentrazione nella membrana.
Vorremmo sapere come varia la concentrazione nei due compartimenti, considerando che nella
membrana il gradiente di concentrazione (e quindi il flusso) rimanga costante. Possiamo fare questa
assunzione di quasi-stazionarietà perché, essendo molto sottile, il tempo di diffusione nella membrana
è molto minore del tempo di variazione delle concentrazioni nei volumi. Ciò significa che posso
considerare condizioni stazionarie nella membrana con un flusso costante pari a:
( )1 2 J= ( ) ( )D
C t C tL
−
Facciamo delle assunzioni:
• i 2 volumi sono uguali (V1=V2).
• Sapendo che il sistema è chiuso, potremo dire che il numero di molecole è costante.
• Come già detto, siccome il sistema è quasi stazionario, C1 e C2 cambiano nel tempo, ma non
nello spazio.
Vogliamo trovare un’equazione di conservazione, essendo il sistema chiuso:
1 1 2 2t m mN V C V C V C= + + Per la sottigliezza della membrana e per la condizione di quasi
stazionarietà, sia il tempo trascorso nella membrana che il numoero di molecole nella membrana ad
ogni istante sono trascurabili e quindi l’ultimo termine è trascurabile.
FIGURA 5-12: VARIAZIONE DI CONCENTRAZIONE
IN UN SISTEMA DI 2 VOLUMI SEPARATI DA UNA
MEMBRANA SOTTILE
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1 2 1 2
10
( ) Vt
t
N C C V V V
N C V
= + = =
=
La condizione iniziale è:
2 1 01
1 1 2 2 01 1
2 01 1
@ t=0, C 0,
( ) ( ) (t. iniziale)
C ( ) ( )
t
C C
N V C t V C t C V
t C C t
= =
= + =
= −
1 2
1 22 1
0 0 conservazione
( ( ) ( ))
tdN dC dC
dt dt dt
dC dC DV V JA C t C t A
dt dt L
= = + = →
− = = = − −
JA olume
CV
t
= −
e ricombinando tutti i risultati in funzione di C1(t):
( )11 01 1
( )( ) ( )olumeVC t D
C t C C tt A L
− = − +
( )11 01
( )2 ( )olumeVC t DC t C
t A L
− = −
( )1
1 01
( )
2 ( ) olume
C t D At
C t C L V
= −
−
Integrando ( )
0
1
1 01 0
( )
2 ( )
C t
olumeC
C t D At
C t C L V
= −
−
2
011( ) 1 ;
2 2olume
D At
L V olumeC LVC t e
D A
− = + =
(Figura 5.13)
Il rapporto olume
AV non si divide per non confonderlo con la lunghezza caratteristica dei volumi. L è la
lunghezza della membrana.
Il modello è valido solo se il tempo di diffusione nella membrana è molto minore del tempo
caratteristico del sistema (esponente dell’equazione sopra).
2
2 2olume olumeV L VL
LD D A A →
Ovvero, la lunghezza della membrana è molto minore della lunghezza dei volumi (le aree sono uguali).
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FIGURA 5-13: ANDAMENTO DELLE CONCENTRAZIONI
5.8.2 Punto sorgente [Approfondimento]
Uno dei modelli classici del trasporto di massa e’ la diffusione da un punto sorgente; riguarda infatti
l’andamento della concentrazione di una molecola nello spazio e nel tempo quando in un determinato punto a t=0 viene deposto una determinata quantità di moli Mo della molecola. Viene applicata la
conservazione di massa (o numero di moli).
Consideriamo un sistema adimensionale, in cui le variazioni sono solo in x e t.La concentrazione e’ in mol/m.
Le condizioni al contorno e di conservazione sono:
0
0
@ 0, 0 ( ,0) 0
@ 0, , ( , ) 0
( , ) 2 ( , )
t x C x
t x C t
C x t dx M C x t dx
+ +
−
= → = → =
= =
L’equazione e’ la solita…
2
2
C CD
t x
=
La soluzione e’: 2
4( , )4
x
o DtM
C x t eDt
−=
In coordinate sferiche, in condizione di simmetria, lo stesso ragionamento ci da:
2
43/2
( , )8( )
r
o DtM
C r t eDt
−=
In figura viene riportato l’andamento del profilo di concentrazione lungo x in funzione del tempo. Via
via che passa il tempo la sostanza diluisce nello spazio. Modelli di questo tipo vengono utilizzati per
predire la concentrazione di inquinanti e traccianti.
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FIGURA 5-10: ANDAMENTO DELLA CONCENTRAZIONE PER PUNTO SORGENTE IN COORDINATE CARTESIANE (X).
5.8.3 Consumo di un nutriente
Consideriamo come esempio di diffusione e reazione il consumo di glucosio all’interno di uno sferoide cellulare.
Per un sistema sferico il Laplaciano è
22 2
2 2 2 2
1 1 1sin
sin sin
C C CC r
r r r r r
= + +
Non considereremo gli ultimi due termini perché il sistema è simmetrico, e ci poniamo in condizioni
stazionarie. Infine, supponiamo un consumo di zero ordine.
2
2
C D Cr K
t r r r
= − siccome 0
dC
dt= la concentrazione varia solo in r.
2
2
D d dCK r
r dr dr
=
Le condizioni al contorno sono:
0@ , C=C
@ 0, 0
r R
dCr
dr
=
= =
FIGURA 5-11: SFEROIDE CELLULARE
Quest’ultimo è la condizione di simmetria. La condizione di simmetria è molto importante poiché non
avendo considerato variazioni in ed in , il glucosio deve diffondere simmetricamente ovunque,
per questo al centro il gradiente è nullo.
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2 2
2
dC Kd r r dr
dr D
r
=
3
1 1
22
2 2 0
2 20
, 0 per simmetria3
C=6 6
( ) ( )6
dC K rl l
dr D
Kr Kl l C R
D D
KC r C r R
D
= + =
+ → = −
= + −
Osmosi
Una forma particolare di trasporto di massa è l’osmosi, che consiste nel movimento di un solvente attraverso una membrana semipermeabile (con pori piccoli). Il solvente più noto è l’acqua, anche se l’osmosi avviene anche in altri fluidi.
L’esempio classico del fenomeno, viene illustrato con un tubo a U, in cui una membrana semipermeabile separa acqua pura da una soluzione acquosa (es NaCl, con concentrazione pari a
quella del mare, 0.6 M). All’equilibrio, la colonna di acqua salina (a destra in Figura 5.11) sale, perché le molecole di H20 attraversano la membrana dalla colonna a sinistra, poiché hanno un potenziale
chimico più elevato (spiegazione termodinamica). Si dice che le molecole vanno nel compartimento in
cui la concentrazione di H20 è minore. Questa spiegazione è scorretta, infatti lo spostamento, come
già detto, è dovuto a una maggiore potenza chimica di acqua e una maggiore pressione di molecole di
H20 sulla membrana rispetto a NaCl+H20. La presenza di un soluto nell’acqua diminuisce i legami tra le molecole, diminuendo così la potenza chimica del solvente puro. Questo spostamento genera anche
energia meccanica, che può essere utilizzato e trasformato. Raggiunto l’equilibrio, la differenza di
altezza corrisponde alla pressione osmotica: sarebbe la pressione che bisogna applicare alla colonna
destra per assicurare che H20 non passi da sinistra a destra. Anche se la pressione maggiore è quella
dell’acqua pura, si parla della pressione osmotica della soluzione NaCl+H20.
Importante notare che la pressione osmotica non dipende dal tipo di molecola, ma dal numero di moli.
La pressione osmotica, , è data dall’equazione di Vant-Hoff.
CRT =
FIGURA 5-12 – OSMOSI: RAGGIUNTO L’EQUILIBRIO LA COLONNA A DESTRA SALE
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R=8.31 J/mol.K, T in Kelvin, C = differenza di concentrazione di soluto tra i 2 compartimenti in
moli/m3.
Nel caso di sale a 0.6M, la concentrazione sarebbe 0.6 M per Na+ + 0.6 M per Cl-.
3
3(0.6 0.6) 10 310 8.31
.
mol JK
m mol K = + =3.09.106 Pa.
Quando si tratta di ambienti biologici (ad esempio cellula e spazio extracellulare) si possono
distinguere tre tipi di soluzione, in base alla concentrazione di soluto e quindi la pressione osmotica
rispetto ad una soluzione di riferimento. Il passaggio dell’acqua attraverso una membrana posta tra due ambienti dipenderà dal tipo di soluzione.
• SOLUZIONE ISOTONICA: La pressione osmotica fuori e dentro la cellula/organismo è la stessa
(soluzione fisiologica).
• SOLUZIONE IPERTONICA: La concentrazione di molecole esterna (o nella soluzione di
riferimento) è maggiore di quella interna, perciò la pressione osmotica dell’ambiente è
maggiore. Nel caso di una cellula, l’acqua esce dalla cellula e si “raggrinzisce”. • SOLUZIONE IPOTONICA: La concentrazione di molecole nell’ambiente o di riferimento è
minore. Per esempio quando la pressione osmotica esterna è minore rispetto a quella interna
di una cellula. L’acqua entra nella cellula e la membrana si “gonfia” (può arrivare anche a scoppiare). Questo per le cellule dei mammiferi.
NB: Le piante non hanno membrane mobili, bensì hanno una parete rigida ricca di cellulosa e non
possono cambiare forma. Quando la pianta è in ambiente secco l’acqua esce fuori, ma la cellula non cambia forma, diventa solo “flaccida” (si dice che si plasmorizza).
Nel nostro corpo l’osmosi è molto importante per mantenere l’omeostasi del corpo.
L’eccesso di pressione che porta ad un’eccessiva idratazione dei tessuti viene detto EDEMA (accumulo
di particelle nella parte terminale dei vasi perché l’acqua non ritorna).
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6 Trasporto di energia
Introduzione
Il trasporto di energia è fondamentalmente il trasporto di calore, poiché (in quasi tutti i casi) le altre
energie possono essere convertite ma non trasportate. Il trasporto di calore può essere libero
(irreversibile) o forzato (può anche essere reversibile, ma con un costo energetico). Il trasporto libero
di energia risulta in un aumento di entropia. Infatti troveremo diverse analogie tra il trasporto di massa
e quello di calore.
Utilizzeremo equazioni simili a quelle già viste; parleremo di certi parametri che esprimeremo così:
calore = J Joule
=calore/s =J/s= W Watts
Q
Q
=
2 2Q J m s W m= = , che sarebbe il termine per il flusso di calore, analogo ai flussi già visti e come loro
avrà la sua equazione costitutiva.
La velocità di accumulo di energia per unità di volume è:
3 3 3= calore = J = Q m s m s W m
Definiamo il calore specifico come la quantità di energia che serve per aumentare di 1 K un materiale
di 1 Kg. Per l’acqua c o cp =4200 J/(kg.K) a 20°C. Infatti dato che acqua come altri liquidi è
incomprimibile, il calore specifico e’ costante in condizioni isotermiche indipendente dalla pressione o volume.
NB. va bene anche °C perché in questo caso è un aumento di temperatura e non la temperatura
assoluta.
Q mcdT VcdT= = Questo è l’aumento di calore nel materiale (J).
vQ cdT= Indica invece l’aumento di calore per unità di volume (J/m3).
dTQ mc
dt= Aumento di calore per secondo (W)
Esistono quattro modi per il trasporto di calore: conduzione, irradiazione, cambio di stato
(evaporazione) e convezione. L’evaporazione è considerata una forma di trasporto di calore e,
nell’uomo, è un meccanismo di scambio energetico importante (la sudorazione). In questo capitolo il
trasporto del calore viene considerato dal punto di vista teorico e considerando lo scambio di energia
tra essere viventi e il loro ambiente.
6.1.1 Accenno alla regolazione termica negli esseri viventi
La termoregolazione è la capacità di un animale di regolare la temperatura. Esistono diversi tipi di
termoregolazione:
• Omeotermia: temperatura corporea costante che non dipende dall’ambiente, es. mammiferi
(sangue caldo). Gli animali appartenenti a questo gruppo devono continuamente generare
calore, consumando energia per permettere a proteine ed enzimi di lavorare sempre alla
temperatura ottimale. Sono sempre attivi/svegli.
• Pecilotermia: temperatura corporea costante ma variabile in diversi periodi che cambia con
l’ambiente (sangue freddo). A temperature basse sono meno attivi.
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• Eterotermia: Possono essere entrambi, hanno la capacità di passare da sangue caldo a sangue
freddo, es. animali che vanno in letargo (es. Orso).
Nel caso degli omeotermici, la temperatura del corpo, e soprattutto degli organi interni, deve essere
mantenuta costante (mammiferi a 37C), per garantire il funzionamento degli organi metabolici
interni (cervello, cuore, fegato); anche piccole variazioni possono compromettere le reazioni
enzimatiche. La temperatura viene regolata dall’ipotalamo che controlla (attraverso sensori) e
modula (attraverso il rilascio di segnali elettrici o di ormoni dalle ghiandole endocrine) le attività di
vasocostrizione (shutdown) e vasodilatazione ( che provoca un aumento della radiazione), i brividi
(contrazioni muscolari che scaldano), la sudorazione, la pelle d’oca (contrazioni della pelle che intrappolano aria, la quale fa da isolante) e la regolazione del metabolismo.
La pelle è l’organo più importante per il mantenimento della temperatura, infatti è un dissipatore di calore: è un organo molto esteso, ha un’area di 1.7m2, di cui quella utile per lo scambio vale 1.4m2. E’ un organo ricco di capillari, alimentati dalle arteriole, le quali regolano la quantità di sangue e in tal
modo anche la temperatura.
L’uomo è più sensibile al caldo che al freddo, infatti può sopravvivere con una temperatura corporea
media fino a 24°C, mentre, superati i 42°C va incontro a morte.
ISOTERME
Le isoterme sono linee di temperatura uguali e, nel caso in cui l’uomo si trova in ambiente caldo, sono superficiali (ha uno scambio termico molto efficacie: vasodilatazione). Quando, invece, è in ambiente
freddo, le isoterme a 37°C si trovano nella parte centrale, perché devono essere riscaldati gli organi
più interni, soprattutto cuore e cervello (vasocostrizione).
NB: In condizioni di riposo il corpo genera 86 J/s (metabolismo basale). I muscoli possono aumentare
la produzione di calore fino a 40 volte.
Meccanismi di trasporto di calore
6.2.1 Conduzione
La conduzione avviene grazie al contatto tra 2 oggetti. Il calore viene trasferito per vibrazioni
molecolari. L’equazione costitutiva per il trasporto del calore quando viene scambiato per conduzione
è:
Q k T= − (equazione di Fourier) dove k è il coefficiente di conducibilità termica del materiale e T sta
per la temperatura.
Il coefficiente di conducibilità termica2
( )
J J
kelvin
Q m Wk
T m s K msK mK
= = = =
Tipicamente i valori di k variano molto, dobbiamo ricordare quello dell’acqua (0.6 W/mK). Invece la
conducibilità termica del tessuto adiposo è 0.2 W/mK, quello del muscolo è circa 0.46 W/mK, mentre
quello per la pelle è circa 0.3 W/mK.
I metalli avranno k molto elevati (esempio il ferro, 1000 W/mK); mentre i gas hanno k molto bassi
(aria, k=0.01 W/mK).
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6.2.2 Irradiazione.
L’irradiazione è lo scambio di calore tramite l’emissione di fotoni. È diverso dalla conduzione per vari
motivi: la conduzione ha bisogno di un mezzo di propagazione, mentre la radiazione no. Inoltre, la
conduzione avviene per contatto tra le molecole ed è la conseguenza del trasferimento di energia
(meccanica) dalle vibrazioni molecolari termiche. Invece, nella radiazione queste vibrazioni vengono
trasformate in energia elettromagnetica, risultando in un rilassamento della molecola. L’equazione
per il trasferimento di energia per radiazione è data dalla legge di Stefan-Boltzmann, considerando
che la radiazione totale è la differenza tra il calore emesso e quello ricevuto dall’ambiente.
4 4( )c a
Q T T= − ε è l’emissività: il valore va da 0 a 1 e indica la frazione di energia trasferita in forma di radiazione.
Dipende dalla lunghezza d’onda e per corpi neri vale 1. σ è la costante di Stefan-Boltzmann pari a 5.67.10-8 W/(m2.K4).
La T è sempre espressa in Kelvin5.
Il corpo umano (nudo) è un quasi-perfetto emettitore di radiazione termica (cioè nelle lunghezze
d’onde infrarosse), con un valore di ε=0.97. Ciò implica che siamo dei corpi neri nell’infrarosso e
questo è dovuto al fatto che il corpo mantiene una temperatura costante di 37 ℃. I vestiti infatti
riducono l’emissione di infrarosso.
È interessante vedere la differenza tra un’immagine con camera infrarosso di un orso polare e un
uomo/donna: gli orsi polari hanno la stessa temperatura interna di 37 ℃ ma sono molto bene isolati
grazie allo strato di grasso e grazie ai peli. Nella figura 6.1 si nota anche le zone più calde della donna.
FIGURA 6-1: THERMOGRAFIA DI UN ORSO POLARE E UNA DONNA NUDA.
6.2.3 Convezione.
La convezione avviene solo nei fluidi e può essere libera/naturale o forzata. Quella libera è dovuta a
cambiamenti di densità di un fluido quando si riscalda o si raffredda. Può essere vista anche come una
forma di diffusione perché il fluido più caldo, che è meno denso, ha una minore concentrazione
rispetto al fluido freddo, più denso (e quindi più concentrato), il quale diffonde verso la zona meno
densa. Invece quella forzata è dovuta al moto del fluido, propulsata con una fonte di energia esterna
(o differenza di pressione ecc). Spesso però i due fenomeni avvengono insieme.
5 Il ℃ può essere usato solo quando la temperatura è una differenza (cioè ∆T)
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La convezione può essere descritta dalla legge empirica di raffreddamento di Newton ( )c a
Q h T T= − .
Il coefficiente di convezione h è molto variabile, perché dipende da vari fattori ambientali e dalla
natura dei materiali ed è quindi un numero empirico. Ci sono diversi testi classici che riportano i valori
di h per l’uomo in diverse posizioni e con diverse modalità di ventilazione. Le unità di misura di h sono
W/m2K.
Espressa come Q invece si ha: ( )c a
Q Ah T T= − .
Nel caso di un corpo nudo soggetto a convezione libera, h 2.46 W m-2K-1
Per un corpo nudo soggetto a convezione forzata, si può fare riferimento a valori sperimentali
disponibili in letteratura.
6.2.4 Cambio di stato, evaporazione per sudorazione.
Infine, in un essere vivente bisogna considerare anche il trasferimento di calore dal corpo dovuto al
cambio di stato. Quando avviene un trasferimento di questo tipo non viene percepito un cambio di
temperature nel corpo e per questo motivo viene chiamato “insensibile”. Al contrario, le altre forme
di trasferimento di calore, che sono accompagnate da una variazione di temperatura, sono “sensibili”.
; ;m
Q mL Q LA
= =
Dove L=calore latente, calore necessario per cambiare lo stato di 1Kg da liquido a gas o da solido a
liquido [J/kg]. Il calore latente è costante ad una certa temperatura T;
m dm dt= è la variazione di massa che nel tempo evapora [Kg/s];
A è l’area della superficie dove avviene il cambio di stato.
L per l’acqua a 37°C corrisponde a 2423000 J/kg o 2423 KJ/kg. Questo vuole dire che per trasformare
1 kg di acqua da liquido a vapore a 37°C ci vuole molta energia. E’ da notare che non è necessario
essere a 100 °C per cui avvenga una trasformata di fase da acqua liquido a vapore. Il valore di L per la
fusione di acqua (da solido a liquido) at 0°C e’ 334000 J/kg o 334 KJ/kg.
La Heat equation
Rispetto all’esempio del flusso di massa in cui si aveva il concetto del coefficiente di partizione, nel flusso di calore non esiste una grandezza analoga. Se abbiamo due materiali confinanti a due
temperature diverse a 0°C e 100°C, non vi è un immediato passaggio lineare di calore, però a regime
si crea un gradiente lineare. Quindi a regime si crea una continuità di flusso.
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Data questa continuità di flusso possiamo scrivere: 1 2
1 2
dT dTk k
dx dx=
Il calore è quindi sempre trasportato. Nel caso di trasporto per conduzione, nel punto di contatto la
temperatura è uguale (cioè abbiamo anche la continuità della temperatura).
Due oggetti che hanno lo stesso gradiente di temperatura ma k diverso avranno un flusso di calore
diverso. L’oggetto con il k alto (quindi una migliore conducibilità) avrà un flusso maggiore. (
Invece se prendiamo due materiali, uno isolante (es. silicone) e l’altro conduttore (es. acciaio) con la
stessa grandezza e temperatura ad un estremo, ciò che notiamo è che il silicone avrà un gradiente più
ripido rispetto all’acciaio. Infatti, un conduttore ideale ha un gradiente quasi orizzontale (Fig 6.2).
6.3.1 Equazione caratteristica: derivazione della Heat Equation.
Per derivare la Heat Equation, consideriamo il bilancio di energia in un volume fisso e la direzione x.
Il sistema in figura avrà un flusso di calore in ingresso ed un flusso di energia (calore) in uscita. Inoltre si possono avere fonti interne di energia nel sistema, ad esempio nell’uomo è il metabolismo basale. Si indica con genQ , ovvero la quantità di energia generata per secondo, J/s. Parte dell’energia del sistema viene spesso donata all’ambiente esterno come lavoro utile W, che per coerenza definiremo
come una potenza W . Un esempio è un uomo che solleva un peso: W=mgh. Quando invece viene
fatto un lavoro sul sistema (es. il peso viene spostato in alto), W è positivo.
Possiamo quindi scrivere l’equazione di conservazione tramite il seguente bilancio:
IN OUT GEN
Aumento di calore nel volume=Flusso A - Flusso A + Q - W
tempo
(Per convertire un flusso che è 2
J
m s
in J
s
basta moltiplicare per la superficie che attraversa).
Considerando solo i flussi:
( )x x x
TcVol Q Q A
t +
= −
Sapendo che Vol xA= avremo ( )x x xQ QT
ct x
+−=
Per 0x → :
FIGURA 6-2: SISTEMA EULERIANO CON FLUSSI DI ENERGIA, POTENZA GENERATA E LAVORO ESTERNO/TEMPO
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T Qc
t x
= −
Ricordando l’equazione costitutiva T
Q Kx
= −
T Tc K
t x x = − −
.
Dato che K è costante: 2
2
T Tc K
t x
=
. Le unità di misura di questa equazione sono calore/volume.
Infine, dividendo per c e generalizzando in tutte le direzioni:
Notiamo che è analogo agli altri trasporti. In particolare, /K c è noto come la diffusività termica,
ovvero esprime l’efficacia del trasporto di calore [m^2/s] e analogamente al trasporto di massa, il
tempo caratteristico di conduzione = 2 /L c K .
Per completezza possiamo scrivere anche Gen
Q W+ − per unità di tempo e volume. Ricordando che i
termini sono stati divisi per il volume e la densità e il calore specifico.
2 GendT K Q W
Tdt c V c V c
= + −
Q /volume si indica con 3
JQ
m s= (nel volume)
2T K Q WT
t c c c
= + −
Anche qui notiamo l’analogia all’equazione di Navier-Stokes e alla seconda legge di Fick.
Per completezza aggiungiamo i termini dovuti alla convezione libera e radiazione (V=volume).
2 4 4( ) ( )c c
T K Q W hA AT T T T T
t c c c V c V c
= + − − − − −
6.3.2 Moto forzato
Nel caso in cui in un sistema vi sia, oltre al flusso di calore per conduzione, un moto forzato di calore,
esso sarà analogo al comportamento per la convezione e la diffusione nel trasporto di massa (sezione
5.5). Nel complesso il flusso di energia sarà dato dal flusso di calore per conduzione e da un’energia
(anche termica) per unità di volume trasportata a velocitàV :
Q K T V= − +
Considerando solo variazioni in x, l’aumento di energia termica per unità di volume è quindi come
prima: ( )
, lim 0x x xQ QT Q
c xt x x
+− −= → =
. In tutte le direzioni: .
Tc Q
t
= −
2T KT
t c
=
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2. ( )Q K T V V − = − + .
Dato che la divergenza della velocità è zero, rimane solo il termine V nella parentesi.
Considerando solo l’energia termica per unità di volume:
c T = , perciò c T =
Per la variazione di temperatura nel tempo avremo quindi: 2T KT V T
t c
= −
Analogo al trasporto di massa 2 .
CD C V C
t
= −
(oppure 2DT KT
Dt c= )
6.3.3 La Bioheat equation
La bioheat equation comprende un termine aggiuntivo dovuto al riscaldamento di un tessuto grazie al
flusso sanguigno alla heat equation. E’ stata proposta da uno scienziato Americano, Pennes (1948).
In questo caso il calore/secondo guadagnato dal tessuto è uguale a quello perso/secondo dal sangue
(vedi anche esempio 6.4.2).
2 ....
aumento di calore (flusso di calore ingresso - flusso di calore uscita)A
m
m ( )
t tgen
t t blood in blood outblood blood
t t blood bloodin bloodoutblood bl
Tc K T
t
s
dTc c T c T
dt
dTc c T T
dt
Q W
m m
m m
•• ••
• •
• •
= + − +
=
= −
= − = = cost per continuità di flussoood
Vol
t
FIGURA 6-3: BIOHEAT EQUATION PER UN
TESSUTO PERFUSO DA UN VASO
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( )
( )
bt t t b b bloodin bloodout
bb b bloodin bloodout
blood
t t t
VolTVol c c T T
t t
Volc T T
T t w Tt Vol c
= −
−= =
Dividendo per il volume del tessuto, Volt otteniamo la bioheat equation di Pennes in termine di w che
è la velocità di perfusione del tessuto (m3/s di sangue per m3 di tessuto perfuso). La velocità di
perfusione dipende da quanto è vascolarizzato il tessuto e quanto i vasi siano dilatati o costretti.
flusso di sangue Fattore di Vascolarizzazione
volume di tessutow =
( )t t b b bloodin bloodout
Tc c w T T
t
= −
t b
se ( )b b bloodin bloodout
t t
c w T TT
t c
−=
Mettendo tutti i termini utili per un sistema biologico (senza però considerare radiazione,
evaporazione ed altro) otteniamo (in W/m3):
2( )t t b b bloodin bloodout gen
T dTc c w T T K T Q W
t dt
= − + + −
6.3.4 Resistenza termica
Analizziamo la conduzione di calore in un sistema con due materiali diversi e supponiamo che questi
due materiali siano disposti in serie.
FIGURA 6-4: CONCETTO DI RESISTENZA TERMICA. DUE MATERIALI IN SERIE
Siamo in uno stato stazionario e il sistema è cartesiano:
2
20 cost
T d T dTK
t dx dx
= = =
Questo implica che abbiamo anche un flusso costante: costQ••
=
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Inoltre le temperature a contatto sono uguali:
1 2 1
1 2
1 1 0 2 1
1 2
1 1 1 0 2 2 1
1 2
2 1 1 2 1 0 1 2 1 2 1
1 2 1 1 2 2 1 0 1 2
2 1 01
@x=
continuità del flusso e della temperatura
( ) ( )
( )
L
L
L
L
T T
dT dTQ K K
dx dx
K T T K T TQ
K T K T K T K TQ
K T K T K T K T
T K K K T K T
K TT
••
••
••
=
= − = −
− −= − = −
− + − += =
− + = − +
− − = − −
= 1 2
2 1 1 2
2 1 0 1 22 1 20
2 2 1 1 2 2 1 1 2
1 2
0
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
( )
adesso sostituiamo
( )( )
dividiamo e moltiplichiamo per
( )
L
LL L
L
K T
K K
K T K TK K KQ T T T
K K K K
K K
T T T TQ
R R
K K K K
••
••
++
+= − − = − + +
− = = =
++ +
Dove K
è la resistenza termica: il denominatore è la somma delle resistenze termiche (R) dei due
materiali in serie.
In analogia con il trasporto di massa possiamo fare riferimento alla resistenza al passaggio di una
membrana. Infatti la resistenza diffusiva di diverse membrane poste in serie e’ data dalla somma delle resistenze individuali.
2 1
2 2 1 1
tot
C CJ
R
D D
= =
+ 2 1
2 2 1 1
totRD D
= +
6.3.5 Numero di Biot
Nel seguente esempio consideriamo un
materiale in cui una parte sta a 0°C, ad esempio
è in contatto con un blocco di ghiaccio, con cui
scambia calore per conduzione, e l’altra estremità è in contatto con vapore a 100°C, dove
il calore viene scambiato per convezione.
La K è la costante di conducibilità.
Dobbiamo dunque valutare l’andamento della temperatura nella zona L. FIGURA 6-5: TRASPORTO TRAMITE CONDUZIONE E CONVEZIONE
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80 27/09/2021
Inizialmente si ha T0 che è zero gradi per continuità (condizione di conduzione), alla fine abbiamo TL.
Se TL fosse una temperatura a conduzione sarebbe anche essa 100°C, ma siccome la trasmissione
avviene per convezione TL non sarà necessariamente 100°C. Infatti, in questo sistema l’incognita e’ TL.
Eguagliamo i flussi di conduzione e convezione:
cost = ( )L A
dTQ K h T T
dx= − = − (il flusso di calore va da destra a sinistra).
Consideriamo le condizioni stazionarie, quindi 0dT
dt= , ciò implica che il gradiente di temperatura sia
costante.
(F è una costante integrativa)
dxQ KdT
xQ KT F
= −
= − +
Le condizioni al contorno saranno che @ x=0; T=T0 perciò: 0 0F=KT ( T )xQ K T→ = − −
0KTQ
KT
x x= − + Questa è l’equazione del flusso di calore per la prima parte.
Ricaviamo adesso quella per la parte convettiva. Anch’essa presenta continuità di flusso poiché si
possono eguagliare i termini dei due fenomeni 0KT
Q ( )L A
KTh T T
x x= − + = −
Sfruttiamo l’altra condizione al contorno e troviamo un’equazione che dipenda solo da T0,L,TA,h,K.
@ x=L; T=TL
0
0
00
KT
1
LL A
L A
AAL
KThT hT
L L
KTKT h hT
L L
hLT TKT hT L KThLK hL
K
− = − + −
− + = +
++= =
+ +
Sostituendo nell’equazione di flusso avremo 0( )
1
Ah T T
QhL
K
−=
+
Questo è l’andamento del flusso di calore nella zona L. Il parametro hL
K è detto numero di Biot. Esso
è un numero adimensionale caratteristico del sistema. E’ il rapporto fra il tempo caratteristico della
conduzione e della convezione, oppure il rapporto tra la resistenza alla conduzione e la resistenza alla
convezione.
2conduzione
convezione
t /Biot=
t /cond
conv
RcL k
cL h R
= =
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81 27/09/2021
Tale rapporto ci permette di capire cosa prevale sul sistema. Perciò l’equazione precedente sarà
presentata nella forma: 0( )
1Ah T T
QBiot
−=
+ mentre
0
1A
L
T T BiotT
Biot
+=
+
Se il numero di Biot 1 (K alto) , si ha che convezionet tconduzione
. Lo scambio è quindi limitato dalla
convezione, il flusso di calore dipenderà da questa perché 0Biot → ed è come se rimanesse solo il
termine convettivo. Inoltre TL→T0. Significa che il blocco di materiale è un buon conduttore e
raggiunge la stessa temperatura interna per conduzione.
Se il numero di Biot 1 (K basso) e se 0T è trascurabile, il flusso di calore è dominato dal termine
conduttivo per il ragionamento inverso fatto sopra. Inoltre TL→TA, perché la convezione avviene più
velocemente rispetto alla conduzione. Questo significa che il blocco di materiale è un cattivo
conduttore.
Qui parliamo di 2 fenomeni che avvengono in serie (uno di seguito all’altro, non in contemporanea), a differenza dell’esempio fatto in Sezione 5.5. Infatti il tempo totale del processo di trasferimento del
calore viene determinato dal fenomeno che ha il tempo caratteristico più lungo (processo dominante).
Esempi di trasferimento di calore
6.4.1 Temperatura dell’uomo senza scambio di energia
Consideriamo ora un uomo (standard) in una stanza chiusa a 37°C, ciò
vuol dire che non può scambiare calore con l’ambiente perché non abbiamo una differenza di temperatura. L’aria della stanza è satura di acqua, il che inibisce anche l’evaporazione. Ciò vuol dire che l’equazione
di calore sarà: 2gen
p
QdTc K T
dt Vol = +
W
Vol−
Non fa lavoro e l’unico flusso di calore è dovuto a quello generato. Ciò
vuol dire che il calore che genera il suo metabolismo va ad aumentare la
sua temperatura interna.
86 metabolismo basalep
dT Jmc
dt s
=
23600 di solito però usiamo 4200p pH O
J Jc c
C Kg Kg
= =
860.0035 1.3 C all'ora
68 3600
dT C
dt s
= =
Quindi il solo metabolismo basale ci riscalda di 1.3°C all’ora. La temperatura mortale è di 43°C
(comunque risulta un danno cerebrale molto severo, mentre a 45°C la morte è certa), raggiunta dopo
4-5 ore. L’uomo è in grado di contrastare meglio il freddo (con la vasocostrizione e altri meccanismi),
piuttosto che il caldo (che compromette in maniera irreversibile le funzioni cellulari).
FIGURA 6-6 - UOMO STANDARD IN STANZA
CHIUSA
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6.4.2 Trasferimento di calore da un oggetto caldo ad uno freddo
Consideriamo ora una persona che ha freddo (Testerna=4°C). La curva isoterma di 37°C si restringerà al
“core” (parte interna dove sono presenti gli organi da mantenere a temperatura fisiologica),
consequenzialmente le zone esterne saranno più fredde, circa 24°C.
Consideriamo ora che per scaldarsi beva 100ml di tè a 85°C. Se assume questa bevanda, quanto sarà
la temperatura del corpo?
L’acqua si raffredda e il corpo si riscalda, potremo fare un’equazione dove diciamo che:
Calore perso dall'acqua= Calore guadagnato dall'uomo
macquaacqua pc ( )=m
uomoacqua f uomo pT T c− ( ) f uomoT T−
NB: Il calore specifico è circa lo stesso perché l’uomo è composto dal 70% di acqua.
( )m T -m T =m T -m T T m T m Ta a a f u f u iu f u a a a u ium m→ + = +
( )m T m T 70 36 0.1 80
35.96 3670 0.1
a a u uf
u a
T C Cm m
+ + = = =
+ +.
Perciò bere un bicchiere di tè non cambia nulla, è più una cosa psicologica.
6.4.3 Esempio di raffreddamento di un oggetto immerso in un ambiente freddo
Analizziamo adesso un modello in cui un oggetto con una certa massa viene messo in un ambiente
infinitamente grande e cede calore tramite convezione.
Consideriamo che all’interno dell’oggetto la temperatura non cambi localmente e quindi non vi siano
gradienti di temperatura interni. Esso può essere considerato un conduttore (K alta, Biot basso).
Consideriamo quindi questo caso nel nostro esercizio, per poter dire che la perdita è dovuta solo alla
convezione.
La quantità di calore al secondo sarà uguale alla quantità di calore acquisita dall’ambiente, che in termini di flusso sarà equivalente a scrivere: calore perso per secondo= flusso di calore
convettivoarea:
( ) m= Vp c
dTQ mc hA T T
dt= = − −
V ( )p
hA dTdt
c T t T
= −−
00V ( )
t T
p T
hA dTdt
c T t T
= −−
0
ln( ( ) )V T
T
p
hAt T t T
c = − −
0 0
ln V
− = −= − − − =
finale
p iniziale
T T TT ThAt
c T T T T T
FIGURA 6-7: TITANIC
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V
( )
−
= p
hAt
c
finale inizialeT T e
Caduta Variazione iniziale per
di temperatura un fattore esponenziale
=
−
= t
finale inizialeT T e
V=tempo caratteristico del sistema=
pc
hA
Possiamo avere una caduta molto lenta quando è
grande, ad esempio un sistema con un grande volume,
o una caduta veloce per piccoli.
Maggiore è la capacità termica, più è lento il
raffreddamento. Maggiore è h (termine convettivo), più è
veloce il raffreddamento.
Trasporto di calore nell’uomo
L’essere umano è omeotermo, a temperatura costante. La temperatura dell’uomo standard è circa 36-37°C. Abbiamo questa temperatura perché gli enzimi del nostro corpo funzionano meglio a 36.2°C.
Aumenti o diminuzioni della temperatura comportano disfunzioni metaboliche. Gli organi metabolici
principali sono cervello, cuore e fegato. Il cervello consuma elevate quantità di glucosio e non riposa
mai, così come il cuore. Il fegato riposa quando non mangiamo. La quantità di calore prodotta dal
corpo varia rispetto a quando facciamo attività fisica, dove produciamo addirittura 40 volte calore in
più che in condizioni basali (86 J/s).
Il calore generato va disperso, l’organo principale per lo scambio di calore e la regolazione è la pelle, che funge anche da schermo con l’esterno, proteggendoci da agenti patogeni. Ha dei recettori di
temperatura e presenta una fitta rete di capillari superficiale (capillari dermali) che gestiscono lo
scambio di calore. Questi capillari, comandati dai muscoli, possono essere ristretti per ridurre lo
scambio di sangue e di calore. Quando abbiamo caldo si allargano e lo scambio è facilitato.
La superficie è di 1.7 m2 ma di solito consideriamo 1.4 m2 perché alcune parti, come ascelle ed inguine,
non scambiano calore.
Nell’uomo vi sono delle zone isoterme descritte dalle curve isoterme (Figura 6.10). Quando diciamo
che la temperatura dell’uomo è di 37°C ci riferiamo alla temperatura interna al corpo, ovvero quella del “core” che comprende gli organi che devono fisiologicamente stare a quella temperatura. Alle
estremità, se fuori ci saranno ad esempio 0°C, avremo una temperatura di 20°C. Quando fa caldo, le
isoterme si espandono e quando fa freddo si restringono: ciò è dovuto alla vasocostrizione e
vasodilatazione (che è gestita dall’ipotalamo). Inoltre quando abbiamo freddo il nostro metabolismo
basale viene ridotto così da disperdere meno calore.
FIGURA 6-8 - CADUTA DI TEMPERATURA
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Un altro strumento per combattere il freddo di cui il nostro corpo è a
disposizione, è il così detto fenomeno della pelle d’oca. Ci permette di creare delle piccole “tasche” d’aria che intrappolano l’aria riducendo lo scambio di calore con l’aria fredda.
Un meccanismo per quando abbiamo caldo e bisogna perdere calore
è la sudorazione. Il calore per fare evaporare l’acqua è preso dal corpo (insensibile). Altri metodi sono
l’irradiazione e la conduzione.
L’uomo è definito come un corpo nero, un corpo in grado di assorbire ed emettere ogni lunghezza
d’onda nell’infrarosso (IR). L’emissività è indipendente dal colore della pelle ed è di 0.97 per lunghezze
d’onda IR da 0.7 a 100 μm . La melanina assorbe UV e non IR. Siamo buoni assorbitori dell’infrarosso perché siamo fatti di H2O, che è un ottimo assorbitore di I.R. infatti la terra si riscalda anche perché
l’atmosfera è ricca di acqua. L’altro motivo è che la lunghezza d’onda dell’infrarosso è di circa l’ordine dei micron μm , che è la stessa grandezza della micro rugosità del nostro corpo.
Per la perdita di calore sono fondamentali anche le perdite insensibili (cioè associate a un
cambiamento di fase). Una delle più importanti è la diffusione di acqua dal corpo attraverso la pelle.
Infatti, la pelle è da considerare anche una barriera di passaggio diffusivo di acqua dal corpo (70% H20)
all’ambiente (quasi 0% H20). L’altra perdita insensibile è coinvolta nella respirazione, ed è dovuta al
fatto che l’aria che inspiriamo è più asciutta di quella espirata. Quindi il corpo si raffredda quando
l’acqua nei polmoni si trasforma in vapore di acqua espirata.
Inoltre, durante la respirazione ci sono anche perdite insensibili. Quando inspiriamo l’aria fredda si mischia con quella nei polmoni e quando espiriamo l’aria uscente è calda. La differenza di temperatura
è presa dal nostro corpo. La perdita è in parte controllabile: chiudendo la bocca, respireremo con il
naso. Le vie nasali sono più lunghe e contengono peli quindi l’aria esterna non arriva fredda come è entrata.
Una stima delle perdite di calore di un uomo standard nudo e a riposo è presentata nei lucidi
(http://www.centropiaggio.unipi.it/course/fenomeni-di-trasporto-biologico), che sono da
accompagnare a queste dispense.
FIGURA 6-9 - ISOTERME UOMO
FIGURA 6-10 - PELLE D'OCA
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6.5.1 Riassunto calore perso da un uomo nudo
Si considera il caso di un uomo standard nudo a riposo in un ambiente di
29°C all’ombra. Non ci sono fonti di calore esterne.
La radiazione è regolata dalla formula ( )4 4r r s
Q A T T = − e ha un peso
di circa il 40% sul BMR ed è infatti la fonte principale di scambio per un
corpo nudo. I vestiti riducono sensibilmente questa perdita, come anche
i peli (che in anni di evoluzione in presenza di vestiti quasi non
possediamo più come specie).
La conduzione, calcolata al suolo come unico punto di contatto, consuma
il 6% del BMR cond d
dTQ k A
dt= − .
La convezione è regolata da ( )c c c s aQ k A T T= − che è causa di una perdita di calore di circa il 27%
L’evaporazione si dividerà in perdite per diffusione, sudorazione e respirazione.
La diffusione di acqua attraverso la pelle, dovuta alla differenza di concentrazione di acqua tra esterno
e interno del corpo, è una perdita insensibile.
Regolata da water
Q m H= la pelle traspira circa 350ml di acqua al giorno, H è il calore latente di
evaporazione dell’acqua a circa 30°C e ammonta a 2423KJ
HKg
= . In definitiva
350 24230009.8
1000 24 3600d
JQ
s
= =
ammonta a circa l’11% del BMR.
La sudorazione sarebbe regolata da 2423000s w
Q m= ma in questo esempio, relativo a un uomo a
riposo, non ci sono perdite di calore per evaporazione del sudore.
La respirazione si divide in sensibile, dovuta alla variazione di temperatura tra aria inspirata ed espirata
ed è la differenza di energia interna tra aria ispirata ed espirata.
( ) ( )se a a es is w w es is
Q m C T T m C T T= − + − . Considerando un ambiente quasi privo di acqua ( 0wm = )
da questa ricaviamo un consumo del 1.2% del BMR.
Infine il calore latente di evaporazione dovuto all’evaporazione di acqua dei polmoni nell’aria espirata sarà Q ( )
la w out inH W W= − , dove W indica la massa di acqua espirata ed inspirata per secondo e
sfrutta il 14% del BMR.
Per un corpo all’equilibrio, senza “input” di energia, che non aumenta di peso o temperatura, il calore perso deve essere uguale al metabolismo, infatti tutti i meccanismi di scambio sommati sono uguali a
circa 86 W.
FIGURA 6-11 - PERDITE DI CALORE IN
UOMO STANDARD A RIPOSO
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7 Uomo standard e riassunto dei 3 trasporti
Uomo standard.
I valori dei parametri fisiologici di ogni uomo si distribuiscono attorno al modello di “uomo standard”, ovvero il modello preso appunto come standard per le applicazioni scientifiche. Il modello in questione
è standardizzato sul modello americano che non tiene conto di differenze nelle varie etnie.
Ovviamente non considera le importanti differenze tra uomo e donna; esiste infatti un modello
parallelo di donna standard. La “Donna Standard” è meno utilizzato, per l’altezza considereremo 1.65
m ed un peso di 58 Kg (più grassa della donna italiana media).
Importanti parametri da ricordare sono:
Età 25 anni Altezza 1.73m Peso 70Kg Uscita cardiaca 5L/min Acqua 42Kg (70%) Grasso 12Kg Metabolismo basale 86J/s Respiri 12min Battito cardiaco 60 min Massa muscolare 30Kg Temperatura 37°C
Volume sangue 5L Pressione sanguigna 120-80mmHg Produzione CO2 208 ml/min Spazio morto 0.15 L Consumo di O2 260 ml/min Temperatura pelle 34°C Area superficiale 1.85m2 Tidal volume 0.5 Capacità totale polmone 6L Capacità vitale/alveolare 4.8L
Il metabolismo basale, BMR (basal metabolic rate), dell’uomo standard è un valore che indica il fabbisogno metabolico minimo, ovvero l’energia necessaria a far funzionare il corpo nelle sue attività
vitali in uno stato di riposo, come da tabella vediamo che il valore è circa 100 J/s, che si riferisce
all’energia sufficiente per mantenerci in vita in condizioni di riposo. I fattori che influenzano il BMR
sono vari, tra cui l’altezza, l’età, la febbre, lo stress e la composizione corporea. Uno dei maggior
consumatori di energia è il cervello (il solo atto di pensare e leggere questa dispensa brucia calorie!).
Indice di massa corporea, BMI (Body Mass Index).
Parametro che quantifica il peso per unità di superficie: è un concetto analogo alla densità superficiale.
Ci indica quanto più vicini siamo ad una sfera, poichè con peso ed altezza valutiamo quanto una
persona è “tonda”.
Possiamo approssimare l’uomo ad un cilindro per fare questo tipo di valutazione.
2 2 2
[ ]
[ ]
W Kg HA ABMI
H m H H
= = =
BMI<18 Troppo magro;
BMI>25 Grasso;
BMI>30 Obeso.
FIGURA 7-1: CONCETTO DEL BMI
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Riassunto
Flusso di Eq. Costitutiva
Conservazione
Massa 2
moli
m s
J D C= − 2DC
D CDt
=
Moto 2
mv
m s
V = − 2DVV
Dt
=
Energia 2
J
m s
Q K T= − 2
p
DT KT
Dt c=
Ricordiamo che le seconde derivate si trovano considerando il bilancio della conservazione in un
sistema.
Notiamo una notevole differenza fra il caso del moto perché la v ci dà un tensore mentre C e Tsono la derivata nello spazio di uno scalare e quindi vettori. Questo rende il trasporto di moto un po’ più complicato.
Le equazioni di conservazione e continuita’ per un fluido incomprimibile e Newtoniano sono:
2
.BFDv P
g vDt vol
−= + + +
2 4 4( ) ( )c c
DT K Q W hA AT T T T T
Dt c c c V c V c
= + − − − − −
2D R/PDC
CDt
=
0 0D
vDt
= =
The end