FENOMENOS DE TRANSPORTE - frro.utn.edu.ar · FENOMENOS DE TRANSPORTE NOTAS DE CÁTEDRA: ... Cátedra de Fenómenos de Transporte Ing. Jorge E. Robin ... sobre la superficie sólida

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL ROSARIO

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA QUIMICA FENOMENOS DE TRANSPORTE

NOTAS DE CÁTEDRA: “UNIDAD TEMÁTICA 4” TRANSPORTE EN INTERFASE

BALANCES MACROSCÓPICOS ISOTÉRMICOS

Revisión: Octubre 2008

Fenómenos de Transporte – Unidad Temática 4 Revisión: Octubre 2008

“La presente es una recopilación de diversas notas y apuntes de cátedra dispersas que

fueron elaboradas o redactadas en los últimos años. Se agradece especialmente la

colaboración de los alumnos cursantes en 2008: Argüelles,Juan; Lopez, Carlos; Lopez,

Yanina; Navarro, Mauro; Pirani, Paula; Tejerina, Néstor; Bodo, Germán; Corrente,

Pablo; Piccinelli, Ariel; Zanzo, Juan Carlos; Regner, Leandro para su compilación y

organización, que con la coordinación del Auxiliar Juan M. Dominguez permite disponer

de esta versión revisada. Se advierte que estas notas son solo una guía para el

estudio, debiendo consultarse la bibliografía recomendada en cada tema para lograr un

conocimiento pleno de los mismos.”

Cátedra de Fenómenos de Transporte Ing. Jorge E. Robin

Ing. Marcela N. Kaminsky Juan M. Dominguez

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4.A. TRANSPORTE EN INTERFASE

Las soluciones analíticas a los problemas de flujo laminar en geometrías sencillas pueden

ser halladas, al igual que si se conocen las relaciones empíricas entre la densidad de flujo de

cantidad de movimiento y los gradientes de velocidad de tiempo ajustado para el flujo

turbulento.

Para flujo en conducciones se pretende obtener la relación entre caída de presión y el

caudal; para circulación alrededor de objetos sumergidos lo que interesa es la relación entre la

velocidad de aproximación del fluido y la fuerza resistente.

En muchos casos de ambos tipos no se conoce (ni se puede calcular) la distribución de

velocidades por lo que la solución analítica no es posible.

Para obtener la respuesta se utilizan datos experimentales junto con el análisis

dimensional construyendo gráficos y “correlaciones” que permiten estimar el comportamiento

del flujo en sistemas geométricamente semejantes.

4.A.1. FLUJO EN CONDUCTOS CILINDRICOS Para el flujo estacionario de un fluido de densidad constante que circula por un conducto

rectilíneo de sección uniforme, sobre la superficie sólida ejerce una fuerza Fk que depende del

comportamiento cinético y que tiene la misma dirección que la velocidad media <v> en el

conducto.

Esta fuerza cinética se puede expresar arbitrariamente como,

vFk A K f= ⋅ ⋅

Siendo;

Fk : la fuerza cinética ejercida sobre el sólido

A : un área característica mojada por el fluido

Kv : una energía cinética característica por unidad de volumen

f : un número adimensional, el “factor de fricción”

Para un conducto cilíndrico de diámetro D, en la longitud L, el factor de fricción se puede definir por

las siguientes, r

z

Fk

<v>

p0 2A DL RLπ π= =

21

2v zK vρ= L

212 zFk DL v fπ ρ=

pL

D

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Aplicando un balance de fuerzas al fluido entre h0 y hL, considerando flujo totalmente

desarrollado (dirección “z”), 2 2

0 0( ) ( )4 4L LD DFk p p g h hπ πρ= − + −

y para P p ghρ= +

2

0( )4LDFk P P π

= −

Igualando las ecuaciones de Fk; 2

20

1( )4 2L zDP P DL v fπ π ρ− =

obteniendo, 02

( ) 12

L

z

P P DfLvρ

−= ó ( )

2

0

2 zL

f L vP P

Dρ

− =

que permite calcular f de datos experimentales, siendo la expresión la ya conocida Ecuación

de FANNING.

CORRELACIONES PARA f Para el flujo estacionario, incompresible, isotérmico y desarrollado de un fluido en una

tubería lisa, la fuerza ejercida sobre las paredes, tanto en régimen laminar como turbulento

será,

suprz pared

Fk dAτ= ∫

siendo,

zrz pared

r R

vr

τ µ=

∂= −

∂

dA Rd dzϕ=

2

sup 0 0

L

A dA Rd dπ

zϕ= =∫ ∫ ∫

por lo tanto, 2

0 0

( )L

z

r R

vFk Rd dzr

π

µ ϕ=

∂= −

∂∫ ∫

y de la ecuación de definición de f ;

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2

0 0

2

( )

12

Lz

r R

z

v Rd dzr

fDL v

π

µ ϕ

π ρ

=

∂−

∂=∫ ∫

Definiendo las variables adimensionales,

* ;zzD

= * ;rrD

= * ;zz

z

vvv

= 0* ;z

p ppvρ−

= Re ;D vρ

µ=

y reemplazando,

2

10 0 *2

2

*( )

*

12

LD

z z

r

z

v vRd dDz

Drf

DL v

π

µ ϕ

π ρ

=

∂−

∂=

∫ ∫ *

4 2

**

10 0 *2

2

( )

12

Dz

zr

z

vv RD d dzr

fDL v

π

µ ϕ

π ρ

=

∂−∂

=

∫ ∫ *

4 2

10 0 *2

*1 1 ( )Re *

Dz

r

vDf dL r

π

ϕπ =

∂= −

∂∫ ∫ *dz

Como para flujo desarrollado el perfil de velocidades es independiente de la posición axial

(z) y por la geometría cilíndrica también lo es del ángulo (φ) el gradiente de velocidad

adimensional en la pared dependerá solamente del Re.

Esto significa que no se introducen nuevas variables, y que el factor de fricción (f) será,

(Re)f f=

En caso que el perfil de velocidades no sea completamente desarrollado, puede interesar

la distancia desde la embocadura, y en ese caso, * ( *)*

zv f zr

∂=

∂quedando,

(Re, )Lf fD

=

No obstante, si la longitud de entrada es pequeña respecto a L, no se considera la

dependencia con L/D y se utiliza la forma aproximada de (Re)f f= .

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Flujo Laminar

La ecuación de Fanning se puede combinar con la de Hagen-Poiseuille cuando Re <

2100, obteniéndose que

16Re

f =

Flujo Turbulento En este caso se observa que la caída de presión depende del estado de la superficie de

interfase. Para superficies limpias y pulidas, como porcelana, vidrio o plásticos se observa que

para un caudal determinado la caída de presión necesaria es menor que para otros materiales

como fundiciones, aceros, cemento, etc.

Los primeros se llaman “tubos lisos”, y algunas expresiones son,

0.25

0.0791Re

f = Fórmula de Blasius (válida para 2100 < Re < 100.000)

También se han propuesto,

Ecuación de Von Karman 0.20.046Ref −=

101 4log Re 0.40ff= − Ecuación de Nikuradse-Prandtl (3000 < Re < 100.000)

Para tubos “rugosos”, es decir, aquellos en que el estado de la pared opone una

resistencia adicional al flujo, se define un parámetro adimensional llamado “rugosidad relativa”

(ξ/D) que es la relación entre la altura de la protuberancia o irregularidad frente al diámetro del

tubo.

Algunas formas irregulares se muestran, y depende del material, el método de

construcción del tubo, la antigüedad en servicio, etc.

ξ ξ

ξ ξ

En general, (Re, , )Lf fD D

ξ=

Algunas expresiones clásicas son;

1 4.06log 3.36

ξ= +

Rf

Ecuación de Von Karman

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1 4.00log 2.28

ξ= +

Df

Ecuación de Nikuradse

válida para 1 0.01

Re fDξ

> . Esta fórmula es válida para flujo completamente desarrollado,

donde f se hace constante.

Otra es;

1 /4.0log 2.28 4.0log(1 4.67 )Re

D Df f

ξξ

= + − +

que es la Ecuación de Colebrook válida para Re >3000, y que tiene en cuenta la variación de f

con Re, siendo una de las más aproximadas a los resultados experimentales.

En todos los casos, experimentalmente se ha graficado el valor de f en función de Re

para la región laminar y turbulenta, en coordenadas logarítmicas, obteniendo un gráfico muy

difundido que se conoce como “diagrama de Moody” (ver figura en hoja en hoja siguiente).

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4.A.2. FLUJO EN CONDUCTOS NO CIRCULARES

Se define un “radio hidráulico” como la razón entre la superficie de flujo real y el perímetro

mojado,

Área FlujoRh = Perímetro Mojado

Como para un tubo de diámetro D, 2

44

DDRh

D

π

π= =

se define,

4Re zRh vρ

µ⋅ ⋅

=

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4.A.2. FLUJO EN CONDUCTOS NO CIRCULARES

Se define un “radio hidráulico” como la razón entre la superficie de flujo real y el perímetro

mojado,

Área FlujoRh = Perímetro Mojado

Como para un tubo de diámetro D, 2

44

DDRh

D

π

π= =

se define,

4Re zRh vρ

µ⋅ ⋅

=

y la ecuación de Fanning se puede escribir,

02

( ) 2L

z

P P Rhfv Lρ

− ⋅ ⋅= ó

2

0 2z

L

f v LP P

Rhρ

− =⋅

Métodos de Cálculo:

Para tuberías puede ser necesario determinar la caída de presión en un sistema, el

caudal a circular para un -∆P dado, o el diámetro necesario con un caudal y caída de presión

definidos.

Como ; exceptuando el caso del cálculo de -∆P, en los otros habrá que usar

métodos de tanteo iterativos o por resolución gráfica (del diagrama de Moody).

(Re)f f=

En los casos de solución numérica (no gráfica) se recomienda la ecuación de Colebrook

como la más aproximada a los resultados experimentales en todo el campo de aplicación (flujo

no-desarrollado o totalmente conseguido el perfil).

4.A.3. FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS SUMERGIDOS En este caso las líneas de corriente sufren una deformación alrededor del objeto, de tal

forma que el vector velocidad del fluido a gran distancia del mismo forma distintos ángulos con

distintos puntos de la superficie de éste.

El rozamiento entre fluidos y sólidos es originado pos dos tipos de fuerzas:

1- Fuerzas tangenciales originadas por el esfuerzo cortante de la superficie (fricción de

superficie).

2- Fuerzas normales a la superficie originadas por la presión (fricción de forma).

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Los componentes en la dirección del flujo originan el rozamiento que es la suma de la

fricción de superficie y la de forma, a diferencia, del flujo en conductos donde sólo existía

fricción de superficie, porque las fuerzas de presión en la superficie del conducto no tenían

componentes en la dirección del flujo (perpendiculares en todos los puntos).

Fuerzas sobre el sólido Componentes de la resistencia al flujo en dirección al movimiento

Para el caso de una esfera que cae en el seno de un fluido por acción gravitatoria la

fuerza resultante de caída es igual a la diferencia entre el peso y el empuje. A esta fuerza

resultante se le opone una fuerza resistente (Fk) originada por el rozamiento. A medida que la

velocidad de caída aumenta, ésta también lo hace de forma que en un instante dado la

resultante es nula y la velocidad se hace constante. Esta se conoce como “velocidad limite de

sedimentación”.

La deformación que origina el sólido en las líneas de corriente perturba el flujo a gran

distancia por lo cual la velocidad se considera cuando no hay otras superficies sólidas en las

cercanías y en general para el movimiento relativo sólido-fluido se llama “velocidad de

aproximación” ( ). v ∞

Definiendo la fuerza resistente de igual forma que antes se puede escribir:

caract vFk f A K= ⋅ ⋅

donde el área característica es la proyección del sólido sobre un plano perpendicular al

movimiento del fluido no perturbado, que en el caso de esferas es el área de un círculo, de

forma de escribir:

2A Rπ= 212vK vρ ∞=

( )2 212

Fk R v fπ ρ ∞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1)

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Cuando se alcanza la velocidad límite de sedimentación tendremos:

343 sPeso R gπ ρ= 34

3Empuje R gπ ρ=

Peso – Empuje = Fk

34 ( )3 sFk R gπ ρ ρ= − (2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene el coeficiente de frotamiento, también

llamado coeficiente de resistencia (cf) o coeficiente de arrastre (cd):

2

4 ( )3

sDgfv

ρ ρρ∞

−=

Este coeficiente representa las pérdidas por fricción de superficie y de forma siguiente la

misma ley general que el coeficiente de fricción de Fanning, es decir que básicamente

representa lo mismo, lo cual se comprueba representándolo en función del número de

Reynolds definido por la siguiente ecuación;

Rev DN ρµ∞=

Stokes, obtuvo una expresión de la fuerza resistente para velocidades muy bajas

representadas en la ecuación:

6Fk Rvπµ ∞=

e igualando ésta con la ecuación de definición (1) se obtiene:

24Re

f = (3)

Que se cumple exactamente para Reynolds menores de 0,1; para Reynolds mayores la

variación de f con el Reynolds se ha determinado experimentalmente destacándose de que no

hay discontinuidad en la curva hasta valores de Reynolds muy elevados aproximadamente

mayores a 105.

Hacemos notar que el coeficiente de arrastre de la ecuación (3) puede estar representado

por una constante numérica distinta, que depende de la definición de Fk que se adopte.

12Re

f =

En la región que va de Reynolds 500 a 200.000 la fuerza resistente es aproximadamente

proporcional al cuadrado de la velocidad de aproximación obteniendo valores . 0.44f ≅

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La caída brusca en la cercanía de Reynolds 200.000 se debe a la formación de un

conjunto dinámico homogéneo entre la partícula y la estela que lo acompaña.

Para el caso de sólidos distintos de las esferas se define un coeficiente de corrección

denominado “esfericidad” que representa la relación:

Área sup. esfera de igual volumenÁrea sup. partícula

ϕ =

Ley de Stokes Ley Intermedia Ley de Newton

3/5

18,5Re

f ≅

Asíntota Ley de Stokes 24Re

f =

Fact

or d

e fr

icci

ón f

Número de Reynolds

Página 12 de 24


4.B. BALANCES MACROSCÓPICOS ISOTÉRMICOS

Dado que la resolución de las ecuaciones generales para los balances de materia

(ecuación de continuidad) y de cantidad de movimiento (ecuación de movimiento) son

comúnmente difíciles de alcanzar (excepto sistemas sencillos), en la práctica ingenieril se

prefiere utilizar estos balances a sistemas “macroscópicos”, con entrada y salida de fluidos, en

los cuales se omiten aquellos términos de las mismas ecuaciones que resultan despreciables

en un problema dado.

4.B.1. BALANCE DE MATERIA

Calor (Q)Sección (2)

Sección (1)

Sistema

Trabajo

En el sistema de la figura existe una entrada de fluido en la seccion (1) y una salida en

(2); ademas puede existir transmisión de calor (tomada como positiva si ingresa) y además

puede realizar trabajo (tomado como positivo si produce trabajo externo), y además tendremos

en cuenta que;

a) En las secciones (1) y (2) la velocidad alisada de tiempo ajustado temporalmente es

paralela a las paredes del conducto.

b) Todas las propiedades fisicas (µ, ρ) no varian en la seccion transversal S1 y S2.

De aquí:

1 1 1 2 2tdm v S v S

dρ ρ

θ 2= < > − < > (1)

Donde:

mt es la masa total del fluido contenida en el sistema ( ) t vm dρ= ∫ v

iv< > : es el promedio de velocidades medias alisadas temporalmente.

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Teniendo en cuenta que:

w vρ S= < >

2w w w1∆ = −

tdm wdθ

= −∆

Balance macroscópico general de materia (2)

Para estado estacionario, la masa de fluido no se acumula en el sistema, luego:

0tdmdθ

=

0w∆ =

Balance de materia para estado estacionario (3)

1 2w w=

Es menester aclarar que la velocidad tal como aparece en las ecuaciones anteriores

depende de la naturaleza del flujo, de forma que se debe evaluar el perfil de velocidad en las

secciones transversales y obtener la velocidad media por las relaciones de flujo potencial,

laminar o turbulento, o aproximarla.

4.B.2. BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

El principio de la cantidad de movimiento (deducido de la 2° Ley de Newton) expresa que

“la suma de todas las fuerzas externas que actúa sobre una masa de fluido es igual a la

rapidez de variación de la cantidad de movimiento respecto al tiempo”.

t vd vdVdMF

d d

ρ

θ θ= = ∫

uurur

(4)

Mt: Cantidad de movimiento total

F: Fuerzas externas

Y donde las fuerzas externas pueden ser:

1) Fuerzas normales a las fronteras (tales como fuerzas de presión).

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2) Fuerzas paralelas a las fronteras (tales como esfuerzos tangenciales).

3) Fuerzas de campo (tales como campos magnéticos o gravitacionales).

De esta forma:

5) (2 2

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2T

TdM v S v S p S p S F m gρ ρ= < > − < > + − − +

uuur

dθ

Donde:

2i iv Sρ < > i : es la velocidad de cantidad de movimiento debido al movimiento global

del fluido en la entrada y salida.

i ip S : son las fuerzas de presión en los extremos del sistema.

: Fuerzas del fluido sobre el sólido (viscosidad, presión, rozamiento, son salidas o

disipaciones de cantidad de movimiento, de aquí negativas).

F

: Acción gravitatoria, peso del fluido contenido en el sistema. Tm g

La anterior es una ecuación vectorial (vectores , , ,T iM S F guuur uur ur ur

), donde la dirección y sentido

de Si corresponden a la velocidad alisada en dicha sección. Introduciendo los vectores:

1 1 1w vρ= < > 1Suur

2 2 2 2w vρ S= < >uur

La ecuación anterior quedara:

2

Tt

dM v w pS F m gv

⎡ ⎤< >∆ + − +⎢ ⎥

< >⎢ ⎥⎣ ⎦dθ= −

Balance macroscópico general de la cantidad de movimiento (6)

Para el estado estacionario, la cantidad de movimiento no se acumula en el sistema y se

obtiene:

2

tvF w pSv

⎡ ⎤< >= −∆ + +⎢ ⎥

< >⎢ ⎥⎣ ⎦m g

Balance de cantidad de movimiento para estado estacionario (7)

Generalmente, en el flujo turbulento (perfil de velocidad plano) se sustituye 2v

v< >< >

por

esto v< > , ya que el error cometido oscila entre el 2% y el 5%.

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Este resultado es útil para calcular las fuerzas que actúan sobre piezas o aparatos tales

como paletas de turbinas y curvas de tuberías; también es útil, junto con otros balances

macroscópicos para describir el funcionamiento de eyectores de vapor de agua y otros

aparatos en los que hay mezcla de corrientes de fluidos.

4.B.3. BALANCE DE ENERGÍA MECÁNICA

Plantearemos este caso para sistemas en estado estacionario, es decir que, cumplan las

siguientes condiciones:

a) El fluido que ingresa tenga propiedades y velocidades invariables en el tiempo.

b) Igual para el egreso aunque estas puedan ser distintas en el ingreso.

c) Las propiedades físicas del fluido dentro del sistema son constantes en el tiempo.

d) La masa contenida es constante (entradas = salidas).

e) El calor suministrado y trabajo entregado por el sistema son constantes.

El principio de conservación de la energía indica que para la energía total que ingresa

debe ser igual a la energía total que sale; para el análisis se omite considerar efectos

eléctricos, magnéticos o químicos.

En el sistema tendremos en cuenta:

A. Energía transportada por el fluido.

B. Energía transferida entre el fluido y los alrededores del sistema.

A. Entre estas tenemos:

A.1.- Energía interna (U) que es una propiedad del fluido.

A.2.- Energía potencial externa (Φ ) debida a la posición del fluido respecto a un plano

de referencia.

A.3.- Energía cinética externa (K) asociada al movimiento del fluido.

A.4.- La energía de presión (pV) transportada por el fluido al introducirse al sistema.

B. En estas incluimos:

B.1.- El calor absorbido por el sistema (Q’), que puede o no variar la temperatura del

fluido. Debe pasar las fronteras del sistema.

B.2.- El trabajo (τ ) transferido del fluido al exterior por acción de algún equipo (por

ejemplo una turbina). Debe pasar las fronteras del sistema.

Por lo tanto, el balance de todas las energías incluidas en el sistema de flujo,

agrupando energía de entrada al sistema (subíndice 1) y las de salidas del sistema

(subíndice 2), de aplicación rigurosa en estado estacionario será:

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[ ] [ ]1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2´w U K pV Q w U K p V τ+ Φ + + + = +Φ + + + (8)

También se puede escribir referido a la unidad de masa del sistema ( ) $

1 1 2 2 21 21 1 2'U K p V Q U K p V τ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

+ Φ + + + = + Φ + + +∧

(9) O en forma de incrementos ( = salidas - entradas): ∆

( ) 'U K pV Q τ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

∆ + ∆Φ+ ∆ + ∆ = −∧

(10)

Para los fluidos reales, como resultado del flujo se genera una fricción que convierte la

energía mecánica irreversiblemente en energía calorífica, de tal forma que:

1) O bien, el calor real que atraviesa las fronteras del sistema será:

Q Q Ev∧ ∧ ∧

= + (11)

2) O bien, todo el trabajo realizado por el fluido no se transfiere íntegramente al exterior.

vEτ τ∧ ∧ ∧

= + (12)

Cualquiera de estas expresiones anteriores representa lo mismo, “las pérdidas por

fricción” (Ev ) irreversibles y conduce al mismo resultado. ∧

Por lo tanto, en la ecuación expresada, como incrementos:

U K pv Q Ev τ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧⎛ ⎞∆ + ∆Φ+ ∆ + ∆ = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∧

(13)

Donde:

: cantidad de calor (por unidad de masas) que realmente atraviesa la frontera. Q∧

τ∧

: Trabajo (por unidad de masa) que realmente atraviesan las fronteras.

: Pérdidas por fricción (por unidad de masa) irreversibles dentro del sistema. Ev∧

Del primer principio de la termodinámica:

2

1

v

v

U Q Q p d vτ

∧

∧

∧ ∧ ∧ ∧

∆ = − = − ⋅∫∧

(14)

Y teniendo en cuenta:

Página 17 de 24


2 2

11

v p

pv

pv pd v v d

∧

∧

∧ ∧ ∧⎛ ⎞∆ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

p∫ ∫ (15)

Se obtiene de la ecuación (14):

2

1

p

p

U Q v dp pv∧ ∧ ∧ ∧⎛ ⎞∆ = + − ∆⎜

⎝ ⎠∫ ⎟ (16)

Reemplazando en la ecuación (13) y simplificando:

2

1

p

vp

K v dp E τ∧ ∧ ∧ ∧

∆Φ+ ∆ + = − −∫∧

(17)

O también: 2

1

1p

vp

K dp E τρ

∧ ∧ ∧

∆Φ+ ∆ + + = −∫∧

Balance macroscópico de energía mecánica en estado estacionario (18)

Es de notar, que cualquiera de las ecuaciones 8, 9, 10, 13, 17 ó 18 representan la ley de

conservación de la energía, simplemente que estas últimas (17,18) se expresan en unidades

mecánicas.

Otras formas comunes del balance energía, introducen el término de entalpía:

K H Q τ∧ ∧ ∧ ∧

∆Φ+ ∆ + ∆ = −∧

(19)

Donde es la diferencia de entalpías, que como es un diferencial total depende sólo

de valores iniciales y finales del fluido, independientemente del camino seguido por el mismo.

H∧

∆

También se puede expresar en función de la energía libre de Gibbs, tal como:

ibbs vK G E τ∧ ∧ ∧ ∧

∆Φ+ ∆ + ∆ + = −∧

(20)

Donde para un sistema isotérmico:

2

1

1p

ibbs

p

G dρ

∧

∆ = p∫

Para fluidos ideales, sin fricción, que no intercambia trabajo mecánico con el medio

ambiente, los términos τ∧

y Ev son nulos, y queda el balance expresado como la ecuación de

Bernoulli:

∧

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2

1

1 0p

p

K dpρ

∧ ∧

∆Φ+ ∆ + =∫

Ecuación de Bernoulli (21)

El término (energía cinética por unidad de masa), se representará por una expresión

del tipo:

K∧

∆

( )3

21 12 2

vK velocidadv

∧ ⟨ ⟩∆ = ∆ = ∆

⟨ ⟩

Como en la sección transversal de flujo la velocidad varía, en una sección transversal

(dS), tendremos un gasto:

i i id v dSω ρ= donde v Si i⊥

y cada unidad de masa de fluido que atraviesa (dS) tiene una energía cinética: 2

2iv

luego, el flujo de energía cinética por unidad de tiempo en el área (dSi) será:

( )2

' 312 2i

i i i i i ivdK v dS v dSρ ρ= = i

donde K’ es energía/tiempo.

Luego, en toda la sección transversal, (S) para un fluido incompresible la energía cinética

será:

' 3

sup

12 i iK vρ= ∫ dS

Y el gasto:

sup i iv dSω ρ= ∫

Luego, la energía cinética por unidad de masa:

3 3

's s

s

1 12 2i i i i

i i

v dS v dSKKv Sv dS

ρ

ω ρ

∧

= = =∫ ∫∫

Esta relación aparece a veces bajo la forma de un factor de corrección de la energía

cinética (α ), tal que:

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3

s3

i iv dS

v Sα = ∫

2

2

vK

α∧

= (22)

Para evaluar α debe conocerse la variación de velocidad local en la sección transversal.

Así, para flujo laminar, donde max.0,5 v v< >= ⋅

2ds rdrπ= ( )2 2

2yxv RR

rτ

= −µ

yxRvτ

< >=4µ

Se obtiene: 2α = y 2lamK v

∧

=< >

Para el flujo turbulento, donde el perfil de velocidad es casi plano;

1α ≅ 2

2turbulento

vK∧ < >

= (23)

El término : la energía potencial por unidad de masa, se representa por: ^

∆Φ

2 1(g h g h h∧

∆Φ = ∆ = − ) (24)

Para los casos habituales de aceleración gravitatoria (g) constante, siendo h1 y h2 las

alturas sobre un mismo nivel de referencia.

El termino∆ ω isotérmico: la energía de presión para el sistema isotérmico se evalúa

según sea la variación de la densidad con la presión. Para fluidos incompresibles, ( ρ =

constante)

2

1

2 11 1 (

p

p

dp p pρ ρ

= −∫ ) (25)

Para gases ideales: 2 2

1 1

2 1

1 1

1 ln lnp p

p p

2

1

p p pRT RTdp dpMp M p pρ ρ

= = =∫ ∫ (26)

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4.B.4. LAS PERDIDAS POR FRICCIÓN

Las pérdidas por energía mecánica por unidad de masas circulante debido a la fricción se

podrían calcular si se conocen todos los términos restantes de la ecuación de la energía

mecánica (18). No obstante lo común es estimar dichas pérdidas de acuerdo a las condiciones

de flujo conocidas. El desarrollo analítico dependerá de que el fluido circule por un conducto o

el fluido circule alrededor de un objeto sumergido.

a) Flujo en conductos: Para un fluido incompresible ( ρ =constante) que circula por un

conducto de sección circular transversal constante (S) en régimen estacionario originado en

fuerzas de presión y gravitatorias la ecuación del movimiento y de la energía se pueden escribir

de la siguiente forma:

1 2( )F p p S gLSρ= − + (Movimiento) (27)

1 2v

p pEρ

∧ −= + gL (Energía) (28)

Multiplicando la ecuación (28) por Sρ y restando miembro a miembro de la ecuación del

movimiento, se obtiene:

1 2( )v

p pE S S gL Sρ ρ ρρ

∧ −= +

0vE S Fρ∧

− = vFESρ

∧

= (29)

La fuerza F es la fuerza de fricción que existe solamente cuando hay flujo, por lo cual en

lo sucesivo la denominaremos fuerza cinética (Fk).

De los balances envolventes para el flujo en conducto se determinó que esta fuerza

dependía de las diferencias de presiones y de la sección transversal de flujo:

2( )k o LF P P Rπ= − (30)

Definiremos ahora a dicha fuerza como el producto de tres términos: un coeficiente de

frotamiento adimensional (f), un área característica de presión (A) y una energía cinética por

volumen de fluido (K), tal que:

. .kF f A Kv= (31)

El flujo en conducto cumple con las características ya definidas;

2 . .A R Lπ= (área de fricción)

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21 .

2vK ρ= ⟨v ⟩ (energía cinética/volumen)

Por lo tanto, podemos relacionar la ecuación (31) que no es una ley de la mecánica de

los fluidos, sino una definición de f, con la ecuación (30):

2 20

1.(2 . . ). . ( ). .2 Lf R L v P P Rπ ρ π⟨ ⟩ = − (33)

Obteniendo entonces f, en función de de la diferencia de presión, de las dimensiones de

conducto, de la densidad y velocidad del fluido:

02

( )2. . .

LP P DfL vρ−

=.

⟨ ⟩ (34)

2

02. . . .

Lf L vP P

Dρ ⟨ ⟩

− = (35)

Esta última da la pérdida de presión debida a la fricción del fluido y se conoce como

ecuación de Fanning, que ya se obtuvo. Alguna bibliografía utiliza un factor mayor, es decir el

aquí definido es cuatro veces más chico que aquel, pero presenta el mismo fenómeno y por lo

tanto, este coeficiente de fricción será también función del Reynolds y se podrá representar en

un gráfico (de f en función del Re) en coordenadas logarítmicas.

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A fin de generalizar la ecuación de Fanning para conductos de sección transversal no

circular se define un coeficiente llamado “radio hidráulico”, que representa la relación superficie

de flujo perímetro mojado, de tal forma que para conductos circulares se obtiene la siguiente

relación:

2.2 . 2 4H

S R RRP R

ππ

D= = = = (36)

Por lo tanto, la ecuación de Fanning quedará:

2

0. . .2.L

H

f L vP PRρ ⟨ ⟩

− = (37)

donde f queda definido para un número Re en función del radio hidráulico, tal que:

Re4 . .HR vN ρ

µ⟨ ⟩

= (38)

A fin de relacionar la ecuación (37) con la ecuación de las pérdidas por fricción (29) la

podemos expresar de la siguiente forma:

20 1 . .( )2

L

H

P P Lv fRρ

−= ⟨ ⟩ (39)

De la cual se obtiene que de las pérdidas de energía mecánica por unidad de masa de

fluido se pueden calcular del producto de la energía cinética del fluido por la siguiente

expresión:

21 . .( )2v

H

LE v fR

∧

= ⟨ ⟩ (40)

Teniendo en cuenta que el cociente de las fuerzas de fricción sobre la sección transversal

de flujo representan la pérdida por fricción. La ecuación (V.40) se puede expresar como el

producto de una energía cinética por unidad de masa, por un “parámetro de fricción”

representado por la siguiente ecuación:

21 .2vE v

∧

ve= ⟨ ⟩ (41)

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El parámetro de fricción depende si consideramos flujo en conductos rectos donde las

líneas de corriente son paralelas o si consideramos flujo en sistemas donde éstas se desvían

por la existencia de perturbaciones tales como curvas, derivaciones, válvulas, codos, o demás

accesorios. En el primer caso ev es fácilmente determinable si se conocen las dimensiones del

conducto, el número de Reynolds y la rugosidad relativa, de acuerdo a la expresión (41).

Para el caso de perturbaciones ev se podrá determinar en base a la geometría del

sistema (ver problema de ensanchamiento brusco) o en casos más complicados por valores

experimentales, los cuales se representan por nomogramas de longitudes equivalentes, donde

la pérdida por fricción en el accesorio se equipara a la pérdida que ocasiona una determinada

longitud de tubería recta.

De aquí entonces las pérdidas por fricción en un sistema resultarán de la suma de dos

términos generales; uno de ellos la sumatoria de las pérdidas en las longitudes rectas y otro la

sumatoria de las longitudes equivalentes en los accesorios.

El balance de energía mecánica se puede expresar entonces de la siguiente forma:

2

1

1 pérdidas por fricción en conductos +

pérdidas por fricción en accesorios =0

p

p

K dp τρ

∧ ∧ ∧

∆Φ+ ∆ + + +∑∫

∑

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