Fernando Arag~ao TEOREMA DA FORMA ASSINTOTICA SOB … · Leandro Pinto Rodrigues Pimentel Glauco Valle da Silva Coelho Ana Patr cia Carvalho Gon˘calves. Resumo A proposta da disserta˘c~ao

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Departamento de metodos estatısticos

Curso de Estatıstica

Fernando Aragao

TEOREMA DA FORMA ASSINTOTICA SOB O MODELO

DE CRESCIMENTO CONCAVO

Rio de Janeiro

2014

Fernando Aragao



apresentada ao Curso de Estatıstica da UFRJ,

como requisito para a obtencao parcial do grau de

em Estatıstica.

Orientador: Leandro Pinto Rodrigues Pimentel

Rio de Janeiro

2014

Aragao, Fernando

TEOREMA DA FORMA ASSINTOTICA SOB O MODELO DE

CRESCIMENTO CONCAVO / Fernando Aragao - 2014

.p

. I.Tıtulo.

CDU

Fernando Aragao



apresentada ao Curso de Estatıstica da UFRJ,

como requisito para a obtencao parcial do grau de

em Estatıstica.

Aprovado em 14 de abril de 2014

BANCA EXAMINADORA

Leandro Pinto Rodrigues Pimentel

Glauco Valle da Silva Coelho

Ana Patrıcia Carvalho Goncalves

Resumo

A proposta da dissertacao e tratar do Teorema da Forma Assintotica, que e

uma aplicacao do Teorema Ergodico Subaditivo a um modelo de percolacao de ultima

passagem.

Primeiramente sera feito o enunciado e demonstracao do teorema ergodico

subaditivo de Liggett, que e uma forma melhorada do teorema subaditivo de Kingman,

em seguida um exemplo que satisfaz as condicoes de Liggett, mas nao satisfaz as condicoes

de Kingman.

Apos feita a demonstracao do Teorema da Forma Assintotica, bem como pro-

priedades da funcao limite, sao estudadas condicoes para continuidade e finitude da funcao

limite.

Por fim, apresenta-se formas explıcitas do teorema da forma assintotica, bem

como um Teorema Central do Limite para a funcao G.

Palavras-chaves: Subaditividade, ergodico, formula de ultima passagem, ho-

mogeneidade, superaditividade, concavidade, continuidade.

Agradecimentos

Ao meu Deus excelso e sublime, pois sem Ele, nada do que foi feito se faria;

A minha mae que me ensinou princıpios e o valor da verdade;

A meus parentes e amigos, conforto e incentivo em todas as horas;

A meu orientador Leandro, paciente e a quem devo grande evolucao;

Aos professores Glauco Valle e Ana Patrıcia cujos apontamentos ajudaram a

melhorar este trabalho;

A CAPES e ao programa de pos-graduacao em Estatıstica da UFRJ por esta

oportunidade singular em minha carreira;

A meus companheiros de mestrado Viviana, Natalia, Barcellos, Eduardo e

Rafael Jorge, superando desafios juntos;

Aos meus amigos, professores e colegas que participaram por muito ou por

pouco desta minha caminhada vitoriosa;

Novamente ao meu Deus, princıpio e fim de todas estas coisas.

“Nao a nos, SENHOR, nao a nos, mas

ao teu nome da gloria, por amor da tua

benignidade e da tua verdade”. Salmos

115:1

Sumario

1 Um melhor Teorema Ergodico Subaditivo 5

1.1 O Resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 A Prova do Teorema 1.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Ligget, 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Modelo de Crescimento Concavo 16

2.1 Construcao do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Formula de ultima passagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Condicao para B(t) ser cadeia de Markov . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Teorema da Forma Assintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Continuidade na fronteira e Finitude de ψ 27

3.1 Outras propriedades de ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Continuidade na Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Extensao a distribuicoes ilimitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Algumas formas explıcitas de ψ 36

4.1 Teorema central do limite para G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Disposicoes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Referencias Bibliograficas 38

5

1 Um melhor Teorema Ergodico Subaditivo

1.1 O Resultado

Comecaremos por apresentar o teorema ergodico subaditivo sob as hipoteses

de Kingman.

Teorema 1.1.1. (Teorema ergodico de Kingman) Seja Xm,n : 0 ≤ m < n, m, n ∈

Z uma colecao de variaveis aleatorias. Suponha que:

Xl,n ≤ Xl,m +Xm,n, 0 ≤ l < m < n; (1.1)

a distribuicao de Xm+1,n+1, 0 ≤ m < n e a mesma que Xm,n, 0 ≤ m < n; (1.2)

Se para cada n, E|X0,n| <∞ e EX0,n ≥ −cn para alguma constante c. (1.3)

Pode-se, entao, concluir que:

γ = limn→∞

1

nEX0,n = inf

n

1

nEX0,n; (1.4)

X = limn→∞

X0,n

nexiste quase certamente e em L1; (1.5)

EX = γ. (1.6)

A prova deste resultado foi dada por Kingman. No entanto, ha casos em que

ocorre ergodicidade, mas nao satisfazem as hipoteses (1.1) e (1.2) de Kingman. O teorema

ergodico de Liggett consiste em uma generalizacao do teorema de Kingman. Vejamos

agora as definicoes de sequencia estacionaria e ergodico:

Definicao 1.1.1. Diremos que a sequencia de variaveis aleatorias Xn, n ≥ 0 e esta-

cionaria se, para todo k, a sequencia transladada Xn+k, n ≥ 0 tem a mesma distribuicao,

isto e, para cada m, (X0, ..., Xm) =d (Xk, ..., Xk+m).

1.1 O Resultado 6

Definicao 1.1.2. Assuma que ϕ e uma transformacao tal que P (ϕ−1A) = P (A) em

(ΠR,F, P ). Um conjunto A ∈ F e dito invariante se ϕ−1A = A. Defina I como a classe

de eventos invariantes. Uma transformacao ϕ sobre (ΠR,F, P ) e ergodica se I e tal que

para todo A ∈ I, P (A) ∈ 0, 1.

Faremos agora as suposicoes que mostraremos que podem substituir as su-

posicoes (1.1) e (1.2) e contemplar alguns casos a mais do que o teorema de Kingman.

Substituiremos (1.1) e (1.2) pelas seguintes suposicoes:

X0,n ≤ X0,m +Xm,n, 0 < m < n; (1.7)

distribuicao de Xm+1,m+k+1, k ≥ 1 e a mesma que Xm,m+k, k ≥ 1, com m ≥ 0; (1.8)

para cada k ≥ 1, Xnk,(n+1)k, n ≥ 1 e processo estacionario. (1.9)

Teorema 1.1.2. (Teorema ergodico de Liggett) Suponha que (1.7), (1.8), (1.9) e

(1.3) estao satisfeitas. Entao decorrem (1.4), (1.5) e (1.6). Alem disso, se o processo

estacionario em (1.9) for ergodico, entao X = γ.

Vejamos no exemplo a seguir uma aplicacao do teorema 1.1.2 que implica a lei

forte dos grandes numeros:

Exemplo 1.1.1. Seja (Xn)n∈N uma sequencia de variaveis aleatorias independentes e

identicamente distribuıdas (iid), tal que E|X1| <∞. Defina Sm,n =∑n

j=mXj. A condicao

(1.3) segue imediatamente das variaveis aleatorias serem iid e E|X1| < ∞. A condicao

(1.7) segue do fato∑n

j=1Xj =∑m

j=1 Xj +∑n

j=m+1Xj. A condicao (1.8) segue do fato∑m+k+1j=m+1 Xj =d

∑m+kj=m Xj, pois as Xj sao iid. A condicao (1.9) segue de

∑nkj=1Xj =d∑(n+1)k

j=k Xj. Pelo teorema 1.1.2:

limn→∞

1

nES1,n = EX1, pois cada Xj tem a mesma distribuicao;

S = limn→∞

S1,n

nexiste quase certamente e em L1;

ES = EX1.

1.2 A Prova do Teorema 1.1.2 7

Notemos que as tres condicoes propostas por Liggett sao mais fracas do que

as duas primeiras condicoes propostas por Kingman.

A condicao (1.7) e mais fraca do que a condicao (1.1), pois esta exige a suba-

ditividade atualizada a cada l, enquanto (1.7) exige apenas a subaditividade comecando

pela variavel aleatoria de ındice 0.

As condicoes (1.8) e (1.9) sao mais fracas do que a condicao (1.2), pois esta

depende da atualizacao de m e n, enquanto (1.8) e (1.9), a partir de um m fixo, depende

apenas da atualizacao de k. Pode-se ainda substituir (1.3) por EX+0,1 < ∞ donde segue

γ = −∞ em (1.4) e nao exige convergencia em L1 em (1.5).

Vejamos um exemplo de sequencia convergente sob a hipotese de subaditivi-

dade:

Segue na proxima secao a prova do teorema ergodico de Liggett e na secao

subsequente um exemplo em que o teorema e valido, mas com a falha das hipoteses (1.1)

e (1.2) de Kingman.

1.2 A Prova do Teorema 1.1.2

A prova a seguir foi feita originalmente em [5]. Seja Xn = X0,n, γn = EXn,

X = lim supn→∞1nXn e X = lim infn→∞

1nXn. Faremos a prova do teorema 1.1.2 em

quatro partes:

γ = lim1

nγn = inf

1

nγn ∈ (−∞,∞); (1.10)

EX ≤ γ e se o processo estacionario em (1.9) e ergodico, entao X ≤ γ; (1.11)

EX ≥ γ; (1.12)

limE|Xn

n−X| = 0, em que X e valor comum de X e X. (1.13)

Prova de (1.10)

Por (1.7) e (1.8) temos:

γm+n ≤ γm + γn. (1.14)


Defina γ = infn≥11nγn que e finito por (1.3). Fixe um m ≥ 1 e escreva n = km+ l. Logo,

por (1.14):

γn = γkm+l ≤ γkm + γl ≤ kγm + γl ⇒

γn ≤ kγm + γl.

Como n→∞, nk→ m entao

lim supn→∞

1

nγn ≤

1

mγm.

Fazendo m arbitrario temos 1mγm → γ. Daı

γ ≤ lim infn→∞

1

nγn ≤ lim sup

n→∞

1

nγn ≤ γ.

Concluindo assim (1.10).

Prova de (1.11)

k ≥ 1 e use (1.7) repetidamente para obter:

Xkn ≤n∑j=1

Xk(j−1),kj. (1.15)

Pelo teorema ergodico de Birkhoff (veja [2], pag.283) e (1.9) temos que

1

n

n∑j=1

Xk(j−1),kj (1.16)

converge quase certamente a uma variavel aleatoria com media γk. Daı e por (1.15),

EXkn

n≤ γk, que implica:

E

(lim supn→∞

Xkn

kn

)≤ 1

kγk. (1.17)

Usando novamente (1.7) temos Xkn+j ≤ Xkn + Xkn,kn+j. Por (1.8) a distribuicao de

Xkn,kn+j depende apenas de j. Por (1.3), para cada j, E|Xkn| <∞ e, portanto, E|Xkn,kn+j| <

∞. Daı, pelo criterio de integrabilidade (veja [3], pag.117),

E|Xkn,kn+j| <∞⇔∑n≥1

P (|Xkn,kn+j| > n) <∞⇒ ∀ε > 0,∑n≥1

P

(|Xkn,kn+j|

n> ε

)<∞.

Pelo lema de Borel-Cantelli, vale |Xkn,kn+j |n

> ε um numero finito de vezes e, portanto,

limn→∞Xkn,kn+j

n= 0 quase certamente, para cada j.

Seja m = kn+ j. Daı, knm→ 1, quando m→∞

⇒ Xm

m≤ Xkn

m+Xkn,kn+j

m⇒ Xm

m≤ kn

m

Xkn

kn+ k

Xkn,kn+j

km


⇒ E

(lim supn→∞

Xm

m

)≤ E

(lim supn→∞

Xkn

kn

)≤ γk

k⇒ EX ≤ γk

k.

Portanto, quando k →∞ temos EX ≤ γ. Se o processo estacionario em (1.9) e ergodico,

entao o limite quase certo de (1.16) e γk e X ≤ γ.

Prova de (1.12)

Seja Un uma variavel aleatoria que e independente de todas as Xl,m e que e

uniformemente distribuıda em 1, 2, ..., n e seja

Y nk = Xk+Un −Xk+Un−1

Lema 1.2.1. EY nk = 1

n(γk+n − γk)

Demonstracao.

P (Un = l) =1

n⇒ EY n

k = E [Xk+Un −Xk+Un−1]

= EE [Xk+Un −Xk+Un−1|Un] =n∑l=1

E [Xk+Un −Xk+Un−1|Un = l]P (Un = l)

=1

n

n∑l=1

E [Xk+l −Xk+l−1] =1

nE [Xk+n −Xk] =

1

n(γk+n − γk) . (1.18)

Alem disso, por (1.7) e (1.8) temos:

E(Y nk )+ =

1

n

n∑l=1

E [Xk+l −Xk+l−1]+ ≤ 1

n

n∑l=1

E [Xk+l−1,k+l]+

= E

[1

n

n∑l=1

Xl−1,l

]+

≤ EX+1 , por (1.9) e f+ = f + f−. (1.19)

De (1.18), (1.19) e (1.10)

supnE|Y n

k | <∞, (1.20)

limEY nk = γ, para cada k ≥ 1. (1.21)

Antes de prosseguir, vejamos as seguintes definicoes e a metade direta do Te-

orema de Prokhorov. Para maiores detalhes, veja [1], cap.6:


Definicao 1.2.1. Uma famılia de probabilidades Γ ⊂ P e rıgida, se para todo ε existe

um compacto K tal que P (K) > 1− ε, para todo P em Γ.

Definicao 1.2.2. Se as medidas de probabilidade P n e P satisfazem∫fdP = limn→∞

∫fdP n

para qualquer f finito dimensional, contınua e limitada em R∞ dizemos que P n converge

fracamente a P e denotamos por P n ⇒ P .

Definicao 1.2.3. Uma famılia de probabilidades Γ ⊂ P e relativamente compacta se toda

sequencia de elementos de Γ contem uma subsequencia que converge fracamente.

Teorema 1.2.1. (Teorema de Prokhorov - direto) Se Γ e rıgida, entao e relativa-

mente compacta.

Por (1.20):

supnE|Y nk | < ∞ ⇒ ∀M > 0 : P (|Y n

k | > M) ≤ E|Y nk |/M ≤ E|X1|/M,∀n ⇒

∀ε > E|X1|/M,P (|Y nk | < M) > 1− ε,∀n .

Daı, por definicao de rigidez, temos que a famılia de probabilidades P (Y nk ≤ a)

e rıgida, e pelo teorema de Prokhorov, tambem e relativamente compacta. Conclui-se,

entao, que existe uma subsequencia ni tal que a distribuicao de Y nik , k ≥ 1 converge a

distribuicao de alguma colecao Yk, k ≥ 1.

Lema 1.2.2.

Ef(Y1, Y2, ...) = limi→∞

1

ni

ni∑l=1

Ef(Xl+1 −Xl, Xl+2 −Xl+1, ...). (1.22)

Demonstracao. Defina∫fdP = Ef(Y1, Y2, ...) e

∫fdP n = Ef(Y n

1 , Yn

2 , ...)

Ef(Y n1 , Y

n2 , ...) = E [Ef(Y n

1 , Yn

2 , ...)|Un] = E [Ef(Y n1 , Y

n2 , ...)|Un = l]

=n∑l=1

Ef [f(Y n1 , Y

n2 , ...)|Un = l]P (Un = l)

=1

n

n∑l=1

Ef(Xl+1 −Xl, Xl+2 −Xl+1, ...)⇒ limi→∞

∫fdP ni =

= limi→∞

1

ni

ni∑l=1

Ef(Xl+1 −Xl, Xl+2 −Xl+1, ...).

Como ja vimos que existe uma subsequencia ni tal que a distribuicao de Y nik , k ≥ 1

converge a distribuicao de alguma colecao Y nk , k ≥ 1, segue (1.22).

Para os dois lemas seguintes, utilizaremos o seguinte teorema,


Teorema 1.2.2. Se Ef(X) = Ef(Y ) para cada f contınua, limitada e finito dimensional,

entao X =d Y .

A prova desse teorema pode ser vista em [1], pag.9.

Lema 1.2.3. Yk, k ≥ 1 e estacionario.

Demonstracao. Pelo teorema 1.2.2, e suficiente mostrar queEf(Y1, Y2, ...) = Ef(Y1+k, Y2+k, ...).

Por um lado temos do lema 1.2.2,

Ef(Y1, Y2, ...) = limi→∞

1

ni

ni∑l=1

Ef(Xl+1 −Xl, Xl+2 −Xl+1, ...).

Por outro lado, fazendo um calculo analogo ao feito na prova do lema 1.2.2, teremos:

Ef(Y1+k, Y2+k, ...) = limi→∞

1

ni

ni∑l=1

Ef(Xk+l+1 −Xk+l, Xk+l+2 −Xk+l+1, ...).

Mas, por (1.8), (Xl, Xl+1, Xl+2, ...) =d (Xk+l, Xk+l+1, Xk+l+2, ...)

⇒ Ef(Y1, Y2, ...) = Ef(Y1+k, Y2+k, ...).

Agora, teremos por (1.7) e (1.8) Y n1 = XUn+1 −Xn ≤ XUn,Un+1 =d X1.

Lema 1.2.4. XUn,Un+1 =d X1

Demonstracao. Pelo teorema 1.2.2, basta mostrar Ef (XUn,Un+1) = Ef (X1).

Ef(XUn,Un+1) = E [Ef(XUn,Un+1|Un)]

=n∑l=1

Ef(XUn,Un+1|Un = l)P (Un = l) =1

n

n∑l=1

Ef(Xl,l+1)

=(1.8) Ef(X1).

Definicao 1.2.4. Se P (X ≤ a) ≤ P (Y ≤ a), para todo a ∈ R, dizemos que X e

estocasticamente maior que Y .

Do lema 1.2.4 e de (1.3), temos:

Y n1 ≤d X1 ⇒ E

[Y M

1 IY n1 > M

]≤ E [X1IX1 > M] → 0, pois E|X1| < ∞ ⇒ ∀ε >

0,∃M > 0 : supM E [Y n1 IY n

1 > M] < ε, em que a notacao ’≤d’ significa monotonicidade

estocastica conjunta. Logo, por definicao, (Y n1 )+, k ≥ 1 e uniformemente integravel.

Pelo Lema de Fatou,∫fdP ≥ lim supn

∫fndP

n, e por (1.21):

EY1 ≥ lim supn→∞

EY n1 = γ


Pelo teorema ergodico de Birkhoff: Y = lim 1n

∑nk=1 Yk existe quase certamente e EY =

EY1 ≥ γ. Resta provar queX e estocasticamente maior que Y . Para mostrar a referida de-

sigualdade estocastica, basta mostrar que (Y1, Y1 +Y2, Y1 +Y2 +Y3, ...) ≤d (X1, X2, X3, ...).

Mas como consequencia de (1.7), (1.8) e (1.22):

Ef(Y1, Y1 + Y2, Y1 + Y2 + Y3, ...) = limi→∞

1

ni

ni∑l=1

Ef(Xl+1 −Xl, Xl+2 −Xl, Xl+3 −Xl, ...) ≤

limi→∞

1

ni

ni∑l=1

Ef(Xl,l+1, Xl,l+2, Xl,l+3, ...) = Ef(X1, X2, X3, ...),

para qualquer f finito dimensional, crescente, contınua e limitada em R∞.

Prova de (1.13)

Lema 1.2.5. Por (1.11) e (1.12) concluımos que X = X = X. Daı, EX = γ.

Demonstracao. De resultados da Analise temos X ≥ X ⇒ EX ≥ EX ⇒(1.11)+(1.12)

EX = EX ⇒ E[X −X

]= 0. Como X −X ≥ 0 e E

[X −X

]= 0 temos, por teorema

de teoria das probabilidades X = X.

Por (1.15) com k = 1 : Xn ≤∑n

j=1X(j−1),j ⇒ Xn

n≤∑n

j=1

X(j−1),j

n→

Y n1 (Teorema ergodico de Birkhoff)⇒ E (Xn/n) ≤ E (Y n

1 ) ⇒ 1nX+n , n ≥ 1 e unifor-

memente integravel.

Lema 1.2.6. limn→∞E|Xn/n−X| = 0

Demonstracao. E suficiente mostrar que limn→∞E[Xn/n − X] = 0 e limn→∞E[Xn/n −

X]+ = 0, pois |z| = 2z+ − z. Utilizaremos a seguinte proposicao:

Proposicao 1.2.1. Se (Xn/n)+n≥1 e uniformemente integravel e Xn/n→ X quase certa-

mente ⇒ EXn/n→ EX.

Veja a prova em [2], cap.1. Daı e imediato que limn→∞E[Xn/n − X]+ = 0.

Alem disso, |Xn/n −X| = 2(Xn/n −X)+ − (Xn/n −X) ≤ 2(Xn/n −X)+. Daı, temos

(Xn/n−X)+ ≤ (Xn/n)+ + (−X)+ ⇒ E(Xn/n−X)+ ≤ E(Xn/n)+ + E(−X)+ <∞⇒

(Xn/n−X)+ e uniformente integravel⇒ ∃M > 0 : E(Xn/n−XIM > 0) < ε,∀ε. Logo

limn→∞E[Xn/n−X]+ = 0. Como limn→∞E[Xn/n−X] = limn→∞E[Xn/n−X]+ = 0⇒

limn→∞E|Xn/n−X| = 0.

Tendo assim mostrado (1.10), (1.11), (1.12) e (1.13), finalizamos a demons-

tracao do teorema ergodico de Liggett.

1.3 Aplicacoes 13

Figura 1.1: cada linha cheia sao os elos entre os pontos de I

1.3 Aplicacoes

1.3.1 Ligget, 1985

O exemplo a seguir satisfaz o teorema que propomos, mas nao satisfaz as

condicoes (1.1) e (1.2). Seja I = (m,n) ∈ Z2 : n ≥ 0 e m + n e par. Um caminho em

I e a sequencia (m1, n1), ..., (mk, nk) tal que para cada i, ni+1 = ni + 1 e mi+1 = mi ± 1;

alem disso, os elos entre (mi, ni) e (mi+1, ni+1) estao abertos ou fechados independente-

mente com probabilidade p e (1− p), respectivamente. Um caminho e dito ativo se todos

sucessivos elos estao em um caminho aberto.

Para todo n ≥ 0, seja

Xn = maxm : ∃ um caminho ativo de (l, 0) para (m,n) para algum l ≤ 0.

Para 0 ≤ m < n, seja

Xm,n = maxk : ∃ um caminho ativo de (l′,m) para (k, n) para algum l′ ≤

Xm −Xm.

Seja Xn = m e Xm = r. Note-se que r e maior ou igual do que a 1 coordenada

do caminho determinado por Xn quando passa por m, pois caso contrario, r nao seria o

maximo tal que existe um caminho ativo de (l, 0) ate (m,n). Seja agora k = Xm +Xm,n.

Como k e o maximo tal que existe um caminho ativo de (l′,m) ate (k, n), k ≥ m, pois

1.3 Aplicacoes 14

Figura 1.2: Uma realizacao que mostra a subaditividade do processo

m ja determina um caminho ate n. Como maxm : ∃ um caminho ativo de (l, 0) para

(m,n) para algum l ≤ 0 ≤ maxk : ∃ um caminho ativo de (l,m) pra (k, n) para algum

l ≤ Xm temos satisfeito (1.7) (ver figura 1.2).

Para mostrar (1.8), notemos que:

Observacao 1.3.1. Xm,m+k e uma funcao de (ω, T ), em que ω sao os elos do caminho ativo

do nıvel m ate m+ k e T e o grafo em que esta ω.

Daı, Xm+1,m+k+1 = Xm,m+k(ω′, T ′) em que ω′ =d ω e T ′ e o T transportado

1 nıvel acima. Portanto Xm+1,m+k+1, k ≥ 1 =d Xm,m+k, k ≥ 1. Para finalizar,

como para cada k ≥ 1, Xnk,(n+1)k, n ≥ 1 sao iid temos, por definicao, uma sequencia

estacionaria.

Agora construiremos um caso particular deste exemplo que contraria as hipoteses

(1.1) e (1.2) de Kingman. Sejam X1, X2, X1,2, X1,3, X2,3 com as seguintes configuracoes:

ha caminhos ativos em I de (0, 0) a (1, 1), de (−4, 0) a (−2, 2), de (−1, 1) a (0, 2), de

(−1, 1) a (1, 3) e de (−4, 2) a (−3, 3), com os demais possıveis caminhos inativos (ver

figura 1.3). Logo:

• X1 = maxm : ∃(0, 0)→ (m = 1, 1) = 1

• X2 = maxm : ∃(−4, 0)→ (m = −2, 2) = −2

• X1,2 = maxk : ∃(−1, 1)→ (k = 0, 2) −X1 = 0− 1 = −1

1.3 Aplicacoes 15

Figura 1.3: configuracoes de X1, X2, X1,2, X1,3, X2,3

• X1,3 = maxk : ∃(−1, 1)→ (k = 1, 3) −X1 = 1− 1 = 0

• X2,3 = maxk : ∃(−4, 2)→ (k = −3, 3) −X2 = −3− (−2) = −1

Em que “→ ” denotamos como caminho ativo de uma coordenada a outra.

Daı verifica-se, por exemplo, que X1,3 > X1,2 + X2,3, contrariando a hipotese

(1.1). Para verificar que (1.2) tambem falha, basta ver que (1.7) e (1.2) implicam (1.1),

e como ja temos (1.7) satisfeita, temos que a falha de (1.1) implica a falha de (1.2) de

Kingman.

16

2 Modelo de Crescimento Concavo

2.1 Construcao do modelo

O modelo consiste em uma sequencia de variaveis aleatorias nao negativas

Yi,j : (i, j) ∈ N2, em que Yi,j representa o tempo em que o sıtio (i, j) e ocupado apos

a ocupacao dos vizinhos a esquerda ou a baixo, no primeiro quadrante, representado por

N2.

Como regra geral, considere todos os sıtios (i, 0) e (0, j) ocupados no tempo 0

e seja o sıtio (1, 1) ocupado por uma partıcula no tempo 1 com a seguinte caracterıstica:

move-se para o sıtio (1, 2) ou (2, 1) no tempo 2, de modo que a ocupacao dos sıtios e

realizada acrescentando 1 a coordenada.

Para ilustrar, temos que antes de Y1,1 o quadrante esta vazio e o primeiro sıtio

ocupado e (1, 1). Em seguida, pode-se ocupar os sıtios (1, 2) ou (2, 1). O tempo para

ocupar (1, 2) e Y1,1 + Y1,2 e para ocupar (2, 1) e Y1,1 + Y2,1.

Defina por B(t) o aglomerado de sıtios ocupados ate o tempo t. Daı:

B(0) = ∅,∀0 ≤ t < Y1,1;

B(Y1,1) = (1, 1);

B(Y1,1 + Y1,2) = (1, 1), (1, 2) ou B(Y1,1 + Y2,1) = (1, 1), (2, 1).

Uma vez que o sıtio e ocupado, ele assim permanece de modo que a evolucao

para todo (i, j) apenas acrescenta sıtios ao conjunto. Isso faz com que o modelo seja

totalmente assimetrico.

Defina agora G(m,n) o tempo quando (m,n) e ocupado. Pode-se expressar

G(m,n) como:

G(m,n) = maxG(m− 1, n), G(m,n− 1)+ Ym,n, (m,n) ∈ N2, (2.1)

G(m,n) = 0,m = 0 ou n = 0. (2.2)

2.2 Formula de ultima passagem 17

Figura 2.1: extraıdo de [10], pag.2

2.2 Formula de ultima passagem

Fazendo iteracoes passo-atras em (2.1) ate (1, 1), chegamos a formula de ultima

passagem para G:

G(m,n) = maxπ∈Π(m,n)

∑(i,j)∈π

Yi,j, (m,n) ∈ N2, (2.3)

em que Π(m,n) e a colecao de caminhos orientados π de (1, 1) ate (m,n), e π e dado por

π = (1, 1) = (i1, j1), (i2, j2), ..., (im+n−1, jm+n−1) = (m,n) em que (is, js)− (is−1, js−1) =

(1, 0) ou (0, 1), para s = 1, 2, ...,m+ n− 1.

No contexto do tempo de ultima passagem o crescimento do aglomerado de

pontos ate o tempo t se define por

B(t) = (m,n) ∈ N2 : G(m,n) ≤ t. (2.4)

Ou de modo mais geral, podemos considerar a ultima passagem entre 2 pontos (k, l) e

(m,n) em N2 tal que k ≤ m e l ≤ n:

G((k, l), (m,n)) = maxπ∈Π((k,l),(m,n))

∑(i,j)∈π

Yi,j, (2.5)

em que Π((k, l), (m,n)) e a colecao de caminhos orientados π = (k, l) = (i1, j1), (i2, j2), ...

..., (im+n−k−l+1, jm+n−k−l+1) = (m,n) tal que (is, js)− (is−1, js−1) = (1, 0) ou (0, 1), para

s = 1, 2, ...,m+n−k− l+ 1. O tempo G definido anteriormente e agora G((1, 1), (m,n)),

mas seguiremos com a notacao G(m,n) para este caso.

Proposicao 2.2.1. G e superaditivo, isto e,

G(k, l) +G((k + 1, l + 1), (k +m, k + n)) ≤ G(k +m, l + n).


Demonstracao. Defina G(π) =∑

(i,j)∈π Yi,j, em que π ∈ Π(m,n). Daı, seja G(π(m,n))

tal que π(m,n) ∈ Π(m,n) e um caminho que maximiza G(m,n). Logo G(π(m,n)) =

G(m,n). Seja tambem π1 = π(k, l) ∈ Π(k, l), π2 = π((k + 1, l + 1), (k + m, l + n)) ∈

Π((k + 1, l + 1), (k +m, l + n)) e π = π1‖(k + 1, l)→ (k + 1, l + 1)‖π2 ⇒

G(π) = G(π1) + Yk+1,l +G(π2)⇒

G(k, l) +G((k + 1, l + 1), (k +m, k + n)) ≤ G(π) ≤ G(k +m, l + n).

2.2.1 Condicao para B(t) ser cadeia de Markov

Quando os pesos Yi,j tem distribuicao geometrica, o crescimento do aglomerado

B(t) torna-se uma cadeia de Markov no espaco de estados de aglomerados finitos em N2.

Para um parametro fixo 0 < p < 1, sejam Yi,j variaveis aleatorias independen-

tes com distribuicao comum dada por

P (Yi,j = k) = p(1− p)k, k ∈ N. (2.6)

Como antes, defina G(m,n) como em (2.3) e o aglomerado B(t) como em

(2.4). Como os tempos de ultima passagem sao inteiros, pode-se pensar em B(t) como

um processo a tempo discreto de ındice t ∈ Z+. A cada Yi,j ≥ 1, B(0) = ∅ e para

t ≥ 1, B(t) e subconjunto do quadrado [0, t]× [0, t] e, em particular, e um conjunto finito.

Este processo B(t) esta definido em um enumeravel espaco de estados

Γ = U ⊆ N2 : #U <∞, (i, j) ∈ U ⇒ U ⊃ 1, ..., i × 1, ..., j, (2.7)

que contem B(0) = ∅.

Seja U ∈ Γ. Um sıtio (m,n) /∈ U e um crescimento de canto ou local de

crescimento para U se 1, ...,m × 1, ..., n ⊆ U ∪ (m,n), isto e, se ambos os vizinhos

a esquerda ou abaixo de (m,n) pertencem a U , (m,n) pode ser unido a U formando um

novo elemento de Γ,U ∪(m,n).

Proposicao 2.2.2. O processo B(t) e uma cadeia de Markov em um espaco de estados Γ

com o estado inicial B(0) = ∅ e com probabilidade de transicao dada como se segue: dado


B(t), B(t+1) e obtido acrescentando a B(t) sıtios de crescimento de canto independentes

com probabilidade p.

Demonstracao. Sejam x e y para denotar pontos em N2. Fixe U ∈ Γ e U ′ o conjunto cres-

cimento de U . Seja U ′ = L∪M uma particao arbitraria de U ′, tal que L∩M = ∅, podendo

um deles ser vazio. Mostraremos que para os conjuntos arbitrarios U1, U2, ..., Ut−1 ∈ Γ tal

que PB(1) = U1, ..., B(t) = U > 0, nos temos a propriedade de Markov

P [B(t+ 1) = U ∪ L|B(1) = U1, ..., B(t− 1) = Ut−1, B(t) = U ] = p#L(1− p)#M . (2.8)

Existe inteiros s(y) ≤ t para y ∈ U tal que

B(1) = U1, ..., B(t− 1) = Ut−1, B(t) = U = G(y) = s(y), y ∈ U,G(x) > t, x ∈ U ′

Sejam os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) a base canonica. Para x ∈ U ′ e seja S(x) =

maxG(x − e1), G(x − e2) : G(x) = S(x) + Yx. Por (2.2), S(x) e limitado se max(x −

e1), (x− e2) /∈ N2. Note que as variaveis S(x) : x ∈ U ′ sao funcoes de G(y) : y ∈ U.

Desenvolvendo a probabilidade condicional em (2.8) teremos uma razao de probabilidades

com o seguinte numerador:

PB(1) = U1, ..., B(t− 1) = Ut−1, B(t) = U,B(t+ 1) = U ∪ L =

PG(y) = s(y), y ∈ U,G(x) = t+ 1, x ∈ L e G(x) > t+ 1, x ∈M =

PG(y) = s(y), y ∈ U, Yx = t+ 1− S(x), x ∈ L e Yx > t+ 1− S(x), x ∈M = ∗

Pela independencia entre Yx : x ∈ U ′ e G(y) : y ∈ U

∗ = E

[∏y∈U

1G(y) = s(y).∏x∈L

p(1− p)t−S(x).∏x∈M

(1− p)t+1−S(x)

]

= p#L(1− p)#ME

[∏y∈U

1G(y) = s(y).∏x∈U ′

(1− p)t−S(x)

]= p#L(1− p)#MPG(y) = s(y), y ∈ U e Yx > t− S(x), x ∈ U ′

= p#L(1− p)#MPB(1) = U1, ..., B(t) = U

⇒(2.8).

Observacao 2.2.1. A proposicao dada e fundamental para a explicitacao da forma as-

sintotica, cuja existencia sera discutida na secao seguinte.

2.3 Teorema da Forma Assintotica 20

2.3 Teorema da Forma Assintotica

Sobre a formula de ultima passagem G definida na secao anterior a partir de

agora sera enunciado e posteriormente provado um teorema que garante a convergencia

de G atraves do teorema ergodico de Liggett.

Nosso objetivo e estudar o comportamento de G(m,n) para valores muito

grandes de m e n e veremos que ψ(x, y) = limN→∞N−1G(bNxc , bNyc) existe quase

certamente para todo (x, y) ∈ R2+. A esta ψ(x, y) chamaremos de forma assintotica e

verificaremos suas diversas propriedades.

Observacao 2.3.1. O enunciado e prova do teorema sera feito em 2 dimensoes, mas note

que todas as propriedades sao invariantes para d dimensoes.

Teorema 2.3.1. (Teorema 2.1, de [10], pag.7) Seja sequencia de variaveis aleatorias

independentes e identicamente distribuıdas Yi,j : (i, j) ∈ N2, satisfazendo 0 ≤ Yi,j <∞,

entao existe ψ : (0,∞)2 → [0,∞] nao decrescente em ambos os argumentos tal que

N−1G(bNxc , bNyc) q.c.−→ ψ(x, y), (2.9)

sendo ψ =∞ ou ψ <∞ em todo (0,∞)2. ψ e superaditiva, concava, contınua, homogenea

e simetrica em (0,∞)2.

As propriedades enunciadas para ψ sao expressas, para (x1, y1), (x2, y2) ∈

(0,∞)2, 0 < s < 1 e c > 0, por:

Superaditividade

ψ(x1, y1) + ψ(x2, y2) ≤ ψ(x1 + x2, y1 + y2); (2.10)

concavidade

sψ(x1, y1) + (1− s)ψ(x2, y2) ≤ ψ(s(x1, y1) + (1− s)(x2, y2)); (2.11)

homogeneidade

ψ(cx1, cy1) = cψ(x1, y1); (2.12)

e simetria

ψ(x1, y1) = ψ(y1, x1). (2.13)


A prova deste teorema sera feita em diversas etapas:

A. Se existe um ponto (a, b) ∈ N2 tal que ψ(a, b) =∞, o limite e infinito para todo ponto

e as propriedades de ψ antes enunciadas sao trivialmente satisfeitas.

B. Sob a hipotese ψ(1, 1) <∞, entao

1. Existencia de ψ(x, y) <∞ e propriedades para (x, y) ∈ N2;

2. Extensao para (x, y) ∈ Q2+;

3. Extensao para (x, y) ∈ R2+.

Observacao 2.3.2. No proximo capıtulo veremos outras propriedades de ψ, alem de condicoes

para que seja contınua na fronteira e finita. A continuidade mencionada no enunciado do

teorema, e continuidade interior.

Demonstracao. Para provar a parte A, necessitaremos mostrar (2.12) e o limite (2.9) para

(x, y) ∈ N2.

Seja (x, y) ∈ N2, 0 ≤ m < n e defina Zm,n = G((mx+ 1,my + 1), (nx, ny)).

Lema 2.3.1. A sequencia de variaveis aleatorias Zm,n, 0 ≤ m < n satisfaz a supe-

raditividade e as condicoes (1.8) e (1.9) do teorema ergodico de Liggett. A sequencia

Zm,n, 0 ≤ m < n e ergodica e existe a constante ψ(x, y) ∈ R2+, (x, y) ∈ N2 tal que

n−1Z0,n → ψ(x, y).

Demonstracao. Superaditividade, (1.8), (1.9) e ergodicidade

A superaditividade e imediata da proposicao 2.1.1. Para (1.8), seja m1,m2 ∈

Z+ arbitrarios. Sem perda de generalidade, considere m2 = m1 + r. Entao a colecao de

variaveis aleatorias

Zm2,m2+k, k ∈ N = G((m1x+ rx+ 1,m1y + ry + 1), (m1x+ rx+ kx,m1y + ry + ky)), k ∈ N

e uma translacao da colecao de variaveis aleatorias Zm1,m1+k, k ∈ N = G((m1x +

1,m1y + 1), (m1x+ kx,m1y + ky)), k ∈ N rx sıtios a direita, ry sıtios acima. Como Yi,j

sao iid e a colecao de caminhos orientados Π((m1x+ 1,m1y+ 1), (m1x+ kx,m1y+ ky)) e

Π((m2x+1,m2y+1), (m2x+kx,m2y+ky)) sao isomorfos (o segundo e uma translacao do

primeiro), segue que Zm1,m1+k, k ∈ N =d Zm2,m2+k, k ∈ N,∀m1,m2 ∈ Z+, e portanto,

(1.8) esta satisfeito.


Para (1.9), seja um n arbitrario em Z+. Pela construcao de G, Znk+l,nk+k+l =

G((nkx+x+ l, nky+y+ l), (nkx+kx+ lx, nky+ky+ ly)) e uma translacao de Znk,nk+k =

G((nkx + 1, nky + 1), (nkx + kx, nky + ky)), lx sıtios a direita e ly sıtios acima. Como

Yi,j sao iid e a colecao de caminhos orientados Π((nkx+ x+ l, nky + y + l), (nkx+ kx+

lx, nky+ ky+ ly)) e Π((nkx+ 1, nky+ 1), (nkx+ kx, nky+ ky)) sao isomorfos, segue que

Znk+l,nk+k+l =d Znk,nk+k,∀l ≥ 1. Portanto, segue que, para k ≥ 1, Znk,(n+1)k, n ≥ 1 tem

distribuicao invariante ao longo de n, ou seja, e um processo estacionario.

A ergodicidade decorre do fato que, se l > n, entao Zm,n e Zl,p sao indepen-

dentes. Neste caso tambem teremos um analogo a lei 0-1 de Kolmogorov (ver [2], pag.68

e 281), implicando ergodicidade.

Convergencia

Seja K ∈ N e defina Z(K)m,n = Zm,n∧K(n−m), que e superaditivo. Entao, defi-

nindo Xm,n = −Z(K)m,n, satisfaz (1.7), (1.8), (1.9) e (1.3) do teorema ergodico subaditivo, in-

cluindo a ergodicidade do processo estacionario. Daı, ∃ψ(K)(x, y) : n−1Z(K)0,n → ψ(K)(x, y),

quase certamente. Como consideramos K suficientemente grande em N contavel, existe

um evento Ω0 =⋂K∈N Ω(K) em que a convergencia segue para todo K ∈ N. Seja

ψ(x, y) = supK ψ(K)(x, y). Deseja-se verificar n−1Z0,n → ψ(x, y) sobre Ω0.

Como Z0,n ≥ Z(K)0,n ,∀K ∈ N , fazendo n → ∞ ao longo de uma subsequencia

adequada e fazendo K ∞ teremos

lim infn→∞

n−1Z0,n ≥ ψ(K)(x, y),∀K ⇒ lim infn→∞

n−1Z0,n ≥ supKψ(K)(x, y) = ψ(x, y).

Se ψ(x, y) =∞, ja temos o limite desejado. Suponha entao que ψ(x, y) <∞.

Se lim supn→∞ n−1Z0,n > ψ(x, y), tome ε > 0 e uma subsequencia nj tal que n−1

j Z0,nj>

ψ(x, y) + ε. Tome K > ψ(x, y) + ε. Entao, por um lado temos

n−1j Z

(K)0,nj

= (n−1j Z0,nj

) ∧K > ψ(x, y) + ε,∀j.

Mas por outro lado n−1j Z

(K)0,nj→ ψ(K)(x, y) ≤ ψ(x, y). Desta contradicao segue que

lim supn→∞ n−1Z0,n ≤ ψ(x, y), (x, y) ∈ N2.

Do lema 2.3.1, temos que ∃ψ : N2 → [0,∞] tal que

N−1G(Nx,Ny)q.c.−→ ψ(x, y),∀(x, y) ∈ N2. (2.14)


Prova da homogeneidade (2.12) em N2: Seja c ∈ N. Entao ψ(cx, cy) =

limN→∞N−1G(Ncx,Ncy). Defina M = Nc, daı

limN→∞

N−1G(Mx,My) = c limN→∞

(Nc)−1G(Mx,My) = c limM→∞

M−1G(Mx,My) = cψ(x, y).

Agora podemos mostrar o caso ψ =∞, pelo seguinte lema:

Lema 2.3.2. Se existe um ponto (a, b) ∈ N2 tal que ψ(a, b) =∞, o limite e infinito para

todo ponto e as propriedades de ψ enunciadas sao trivialmente satisfeitas.

Demonstracao. Seja ψ(a, b) =∞ para algum (a, b) ∈ N2. Tome k ∈ N : kx > a e ky > b.

Daı, pelas propriedades (2.12) e do limite (2.14) temos

ψ(x, y) = k−1ψ(kx, ky) = limN→∞

(kN)−1G(Nkx,Nky) ≥

limN→∞

(kN)−1G(Na,Nb) = k−1ψ(a, b) =∞.

Agora estenderemos para o caso mais geral em que (x, y) ∈ (0,∞)2. Tome k ∈ N : x, y >

1/k. Defina N = Mk + r,M ∈ Z+, r ∈ 0, 1, ..., k − 1. Logo, bNxc ≥ bN/kc = M e de

modo analogo para y. Portanto,

lim infN→∞

N−1G(bNxc , bNyc) ≥ lim infN→∞

N−1G(M,M) = k−ψ(1, 1) =∞,

o que completa a prova do caso ψ =∞.

Prova da superaditividade (2.10) em N2: Da superaditividade de G e

multiplicando e dividindo por N temos

N−1G(Nx1, Ny1) +N−1G((Nx1 + 1, Ny1 + 1), (Nx1 +Nx2, Ny1 +Ny2)) (2.15)

≤ N−1G(Nx1 +Nx2, Ny1 +Ny2).

O primeiro e o ultimo termo convergem, quando N → ∞, por (2.14), para ψ(x1, y1) e

ψ(x1 + x2, y1 + y2), respectivamente. Para verificar a convergencia do termo do meio,

basta verificar que

G((Nx1 + 1, Ny1 + 1), (Nx1 +Nx2, Ny1 +Ny2)) =d G(Nx2, Ny2)

como ja foi mostrado. Daı e como o termo do lado direito da equacao converge a ψ(x2, y2)

quase certamente, o termo da esquerda converge em distribuicao a ψ(x2, y2), que e um

valor constante para (x2, y2) fixo. Daı, existe uma subsequencia de N−1G((Nx1 +1, Ny1 +


1), (Nx1 + Nx2, Ny1 + Ny2)) que converge para ψ(x2, y2), quase certamente. Portanto,

tomando o limite em (2.15) ao longo da subsequencia, concluımos a superaditividade

(2.10) em que (x1, y1), (x2, y2) ∈ N2.

Extensao para (x, y) ∈ Q2+

Assuma ψ < ∞ em N2 e facamos uma extensao das propriedades de ψ em

pontos racionais. Para algum racional (x, y) ∈ (0,∞)2, defina

ψ(x, y) = k−1ψ(kx, ky), k ∈ Z+ : (kx, ky) ∈ N2. (2.16)

Sejam k1, k2 ∈ N quaisquer, e suponha

k−11 ψ(k1x, k1y) > k−1

2 ψ(k2x, k2y)⇒ k2ψ(k1x, k1y) > k1ψ(k2x, k2y)⇒

ψ(k2k1x, k2k1y) > k1ψ(k2x, k2y)⇒ k1ψ(k2x, k2y) > k1ψ(k2x, k2y).

Da contradicao acima temos que esta definicao independe da escolha de k pela homoge-

neidade estabelecida para inteiros.

A seguir, mostraremos o limite ψ para argumentos racionais: Mantenha a

escolha de k e defina N = Mk + r,M ∈ Z+, r ∈ 0, 1, ..., k − 1 ⇒

Mkx ≤ bMkx+ rxc = bNxc ≤Mkx+ rx < (M + 1)kx,

com desenvolvimento analogo para y temos da monotonicidade da formula de ultima

passagem para inteiros

G(Mkx,Mky) ≤ G(bNxc , bNyc) ≤ G((M + 1)kx, (M + 1)ky)⇒kM

N

G(Mkx,Mky)

kM≤ G(bNxc , bNyc)

N≤ G((M + 1)kx, (M + 1)ky)

(M + 1)k

(M + 1)k

N⇒

k−1ψ(kx, ky) ≤ lim infN→∞

N−1G(bNxc , bNyc) ≤ lim supN→∞

N−1G(bNxc , bNyc) ≤ k−1ψ(kx, ky).

Portanto, o limite (2.14) esta bem definido para racionais positivos.

Prova da homogeneidade (2.12) em Q2+: Sejam k1, k2 ∈ N tais que

k1(x, y) ∈ N2 e k2c ∈ N. Entao

ψ(cx, cy) = (k1k2)−1ψ(k1k2cx, k1k2cy) = (k1k2)−1(k2c)ψ(k1x, k1y) =

ck−11 ψ(k1x, k1y) = cψ(x, y).

Prova da superaditividade (2.10) em Q2+: Sejam k1, k2 ∈ N tais que

k1k2(xi, yi) ∈ N2, i = 1, 2. Entao

ψ(x1, y1) + ψ(x2, y2) = (k1k2)−1ψ(k1k2x1, k1k2y1) + (k1k2)−1ψ(k1k2x2, k1k2y2) ≤

(k1k2)−1ψ(k1k2(x1 + x2), k1k2(y1 + y2)) = ψ(x1 + x2, y1 + y2).


Extensao para (x, y) ∈ R2+

A extensao final do limite (2.14) para (x, y) ∈ (0,∞)2 e defina

A(x, y) = 0 < u ≤ x, 0 < v ≤ y, u, v ∈ Q,

ψ(x, y) = supA(x,y) ψ(u, v). (2.17)

Para (x, y) racional, a identidade (2.17) segue da monotonicidade de ψ(x, y),

que admite as ja referidas propriedades.

Prova da homogeneidade (2.12) em R2+: Seja (x, y) ∈ R2

+ nao nulo e o

racional c > 0. Defina u1 = cu e v1 = cv. Utilizando a equacao (2.17) temos:

cψ(x, y) = c supA(x,y)

ψ(u, v) = supA(x,y)

cψ(u, v) = supA(x,y)

ψ(cu, cv) = supA(cx,cy)

ψ(u1, v1) = ψ(cx, cy).

A extensao ao caso c > 0 ∈ R, basta tomar c1 e c2 tais que c1 < c < c2. Pela

monotonicidade, c1ψ(x, y) = ψ(c1x, c1y) ≤ ψ(cx, cy) ≤ ψ(c2x, c2y) = c2ψ(x, y). Fazendo

c1 c e c2 c teremos a homogeneidade para ψ em R2+.

Prova da superaditividade (2.10) em R2+: Segue imediatamente da de-

finicao (2.17) pois:

ψ(x1 + x2, y1 + y2) ≥ ψ(u1 + u2, v1 + v2) ≥ ψ(u1, v1) + ψ(u2, v2)⇒sup(u1,v1)

ψ(x1 + x2, y1 + y2) ≥ ψ(x1, y1) + ψ(u2, v2)⇒sup(u2,v2)

ψ(x1 + x2, y1 + y2) ≥ ψ(x1, y1) + ψ(x2, y2),

uma vez que a superaditividade para ui, vi ∈ Q+, i = 1, 2 ja foi mostrada.

Concavidade (2.11) de ψ em R2+: Segue da combinacao da homogeneidade

com a superaditividade. Seja s tal que 0 < s < 1 e (x1, y1), (x2, y2) ∈ R2+, entao

sψ(x1, y1) + (1− s)ψ(x2, y2) =(2.12) ψ(sx1, sy1) + ψ((1− s)x2, (1− s)y2)

≤(2.10) ψ(sx1 + (1− s)x2, sy1 + (1− s)y2). (2.18)

Continuidade interior de ψ em R2+: Segue de imediato do resultado abaixo,

cuja demonstracao pode ser vista em Rockafellar, Convex Analysis - capıtulo 10 :

Uma funcao convexa finita em todo aberto Rn e necessariamente contınua.


Naturalmente uma funcao contınua preserva a continuidade quando multipli-

cada por −1, portanto, como ψ e concava, −ψ e convexa e satisfaz o resultado.

Generalizando o limite (2.14) para (x, y) ∈ R2+, tome os racionais (x1, y1) e

(x2, y2) tais que 0 < x1 < x < x2 e 0 < y1 < y < y2. Entao, da monotonicidade de G:

G(bNx1c , bNy1c) ≤ G(bNxc , bNyc) ≤ G(bNx2c , bNy2c).

Passando o limite, temos:

ψ(x1, y1) ≤ lim infn→∞

N−1G(bNxc , bNyc) ≤ lim supn→∞

N−1G(bNxc , bNyc) ≤ ψ(x2, y2).

Faca entao, (x1, y1) → (x, y) e (x2, y2) → (x, y) e, da continuidade de ψ, temos o limite

(2.14) bem definido para todos os pontos de (0,∞)2.

Simetria (2.13) de ψ em R2+: Segue da distribuicao simetrica G(m,n) =d

G(n,m). Seja (x, y) ∈ (0,∞)2, entaoN−1G(bNxc , bNyc) =d N−1G(bNyc , bNxc). Passando-

se o limite com N →∞

N−1G(bNxc , bNyc) q.c.→ ψ(x, y);

N−1G(bNxc , bNyc) =d N−1G(bNyc , bNxc)⇒ N−1G(bNyc , bNxc) d→ ψ(x, y) = cte.⇒

N−1G(bNyc , bNxc) P→ ψ(x, y)⇒ ∃j : NjG(bNjyc , bNjxc)q.c.→ ψ(x, y).

Como, por outro lado, N−1G(bNyc , bNxc) q.c.→ ψ(y, x), concluımos ψ(x, y) = ψ(y, x) quase

certamente.

Assim, concluımos a prova do teorema 2.3.1.

27

3 Continuidade na fronteira e Finitude de ψ

3.1 Outras propriedades de ψ

Proposicao 3.1.1. Para a funcao ψ vale a desigualdade

ψ(x+ h, y) ≥ ψ(x, y) + hE(Y1,1), h > 0.

Demonstracao. Para mostrar a desigualdade ψ(x + h, y) ≥ ψ(x, y) + hE(Y1,1), h > 0

utilizaremos a superaditividade de G e a lei forte dos grandes numeros:

G(bNx+Nhc , bNyc) ≥ G(bNxc , bNyc) +G((bNxc+ 1, bNyc), (bNx+Nhc , bNyc))

defina o segundo termo a direita da desigualdade como G2. Daı:

G2 =

bNx+Nhc,bNyc∑i=bNxc+1

Yi,bNyc ⇒

EG2 =

bNx+Nhc,bNyc∑i=bNxc+1

EYi,bNyc =iid bNhcEY1,1.

Portanto, do limite (2.14) e da lei forte dos grandes numeros, segue a desigualdade ψ(x+

h, y) ≥ ψ(x, y) + hE(Y1,1), h > 0.

Para termos a finitude de ψ, sera dada a seguinte proposicao,

Teorema 3.1.1. (Teorema 2.3 de [6]) Se

∫∞0P (Yi,j > t)1/2dt <∞ (3.1)

entao ψ(x, y) <∞ e e contınua em todo R2+ (incluindo a fronteira).

Enunciaremos lemas dos quais, sob a hipotese (3.1), garante-se a continuidade

de ψ tambem na fronteira. Note que na secao anterior, obtivemos a continuidade interior

de ψ a partir da propriedade concavidade em todo R2+. Veremos que a abordagem desta

secao e um pouco mais forte.

3.2 Continuidade na Fronteira 28

3.2 Continuidade na Fronteira

O lema a seguir sera necessario para a parte central da prova da continuidade.

Os resultados que se seguem podem ser encontrados em [6] para o caso de dimensao d.

Lema 3.2.1. (desigualdade de concentracao) Seja Yi, 1 ≤ i ≤ k, uma colecao de

variaveis aleatorias independentes tais que 0 ≤ Yi ≤ L,∀i quase certamente. Seja C o

conjunto das partes de 1, 2, ..., k, tal que maxC∈C |C| ≤ R e defina Z = maxC∈C∑

i∈C Yi.

Entao, para todo u > 0,

P (|Z − EZ| ≥ u) ≤ exp

(− u2

16RL2+ 64

). (3.2)

Demonstracao. Seja M uma mediana da variavel aleatoria Z, e seja s > 0. Aplicaremos

o seguinte teorema:

Teorema 3.2.1. (Teorema 8.1.1 de [11]) Seja Z uma variavel aleatoria tal que Z =

supα∈F∑

i≤N αiXi, e M e a mediana de Z, entao para todo s > 0 temos

P (|Z −M | ≥ s) ≤ 4 exp

(− s2

4σ2

). (3.3)

Definiremos σ2 = RL2. Quando temos

|EZ −M | ≤ E|Z −M | =∫ ∞

0

P (|Z −M | ≥ s)ds

≤∫ ∞

0

4 exp

(− s2

4RL2

)ds =

∫ ∞0

4 exp(−x2)√

4RL2dx = 8L√R

∫ ∞0

exp(−x2)dx ≤ 16L√R.

Se u ≥ 32L√R, podemos combinar com (3.3) e teremos

|Z − EZ| ≤ |Z −M − EZ +M | ≤ |Z − EZ|+ |M − EZ| ⇒

P (|Z − EZ| ≥ u) ≤ P (|Z −M |+ |EZ −M | ≥ u) ≤ P (|Z −M | ≥ u− 16L√R)

≤ P (|Z −M | ≥ u/2) ≤ 4 exp

(−(u/2)2

4RL2

)= 4 exp

(− u2

16RL2

)< exp

(− u2

16RL2+ 64

).

Se u < 32L√R, entao (3.2) esta trivialmente satisfeito, desde que a direita da inequacao

seja pelo menos 1.

Aplicaremos a desigualdade de concentracao para obter a continuidade de ψ

com as seguintes proposicoes:


Proposicao 3.2.1. Suponha que P (|Yi,j| ≤ L) = 1, para algum L finito. Seja R > 0 e

ε > 0. Existe δ > 0 tal que (x, y) ∈ R2+ com ‖(x, y)‖ ≤ R e x = 0 ou y = 0, entao,

|ψ((x, y) + hek)− ψ(x, y)| < ε,∀0 ≤ h ≤ δ, k = 1, 2. (3.4)

Demonstracao. Sem perda de generalidade, seja k = 1. Queremos concluir, em outras

palavras, que ψ(h, y)→ ψ(0, y), quando h ↓ 0, uniformemente em (x, y) : |(x, y)| ≤ R.

Entao seja h > 0 e n ∈ N. Um caminho orientado de (0, 0) ate (bnhc , bnyc)

contem exatamente bnhc passos a mais na primeira coordenada, podendo entao ser de-

composto na uniao disjunta de caminhos de (r,mr) a (r,mr+1), r = 1, 2, ..., bnhc, em que

mr ∈ Z+,∀r, e

1 = m1 ≤ m2 ≤ ... ≤ mbnhc+1 = bnyc . (3.5)

Redefinimos, entao, a formula de ultima passagem como

G(bnhc , bnyc) = maxm1,...,mbnhc+1

bnhc∑r=1

G((r,mr), (r,mr+1)) +

bnhc∑r=1

Yr,mr+1

. (3.6)

Para ilustrar esse rearranjo de G, utilizaremos como exemplo G(5, 4) como

apresentado na figura 2.1:

G(5, 4) = Y1,1 + Y2,1 + Y3,1 + Y3,2 + Y3,3 + Y4,3 + Y5,3 + Y5,4,

em que, em termos de r e mr teremos, (1,m1) = (1,m2) = (1, 1), (2,m2) = (2,m3) =

(2, 1), (3,m3) = (3, 1), (3,m4) = (3, 3), (4,m4) = (4,m5) = (4, 3), (5,m5) = (5, 3), (5,m6) =

(5, 4). Logo, utilizando a formula (3.6) temos

G(5, 4) = maxm1,...,m6

5∑r=1

G((r,mr), (r,mr+1)) +5∑r=1

Yr,mr+1

,

em que

5∑r=1

G((r,mr), (r,mr+1)) = G((1, 1), (1, 1)) +G((2, 1), (2, 1)) +G((3, 1), (3, 3))

+ G((4, 3), (4, 3)) +G((5, 3), (5, 4)) = 0 + 0 + Y3,1 + Y3,2 + 0 + Y5,3,

5∑r=1

Yr,mr+1 = Y1,1 + Y2,1 + Y3,3 + Y4,3 + Y5,4.

O numero de escolhas para mr e(bnyc+bnhcbnhc

).


Lema 3.2.2. A combinacao pode ser aproximada por exp[nφ(h, y)+o(n)], em que φ(h, y) =(h log y+h

h+ y log y+h

y

).

Demonstracao. (bnyc+bnhcbnhc

)=

(bnyc+ bnhc)!bnyc! bnhc!

que, aplicando a formula de Stirling (n! ≈ (1/e)n√

2πn), temos((bnyc+bnhc)

e

)bnyc+bnhc√2π(bnyc+ bnhc)(

bnyce

)bnyc√2π bnyc

(bnhce

)bnhc√2π bnhc

= I(h, y)× II(h, y)× III(h, y), em que

I(h, y) =

(bnyc+ bnhcbnyc

)bnyc,

II(h, y) =

(bnyc+ bnhcbnhc

)bnhc,

III(h, y) =

√2π(bnyc+ bnhc)√2π bnyc

√2π bnhc

.

Ao aplicarmos explog(.) em I(h, y)× II(h, y)× III(h, y),

exp

bnyc log

bnyc+ bnhcbnyc

+ bnhc logbnyc+ bnhcbnhc

+ log


√2π bnhc

=

exp

n

(y log

y + h

y+ h log

y + h

h

)+ o(n)

,

em que

o(n) = log


√2π bnhc

, eo(n)

n→ 0.

Agora tomemos, dentro do maximo, a esperanca sobre o lado direito de (3.6).

Teremos, para mr fixo,

E

bnhc∑r=1

G((r,mr), (r,mr+1)) +

bnhc∑r=1

Yr,mr+1

= E

bnhc∑r=1

G((1,mr), (1,mr+1)) + bnhcEY

≤ EG((1,m1), (1,mbnhc+1)) + nhL (pela superaditividade) (3.7)

= EG(0, bnyc) + nhL

≤ n[ψ(0, y) + hL],


(por definicao de ψ e novamente pela superaditividade). Como a esperanca foi tomada

sobre o maximo, entao n[ψ(0, y) + hL] e cota superior para todo valor esperado de (3.6).

Ainda mantendo mr fixo, note que a quantidade dentro da esperanca sobre o lado

esquerdo de (3.7) pode ser escrita como o maximo da soma de varios conjuntos de Yi,j;

cada conjunto tem tamanho ‖(bnhc , bnyc)‖ ≤ n ‖(h, y)‖ e, pela condicao dada, Yi,j ≤ L.

Assim, ao aplicarmos a desigualdade de concentracao, teremos

P

bnhc∑r=1

G((r,mr), (r,mr+1)) +

bnhc∑r=1

Yr,mr+1 ≥ n(ψ(0, y) + hL+ ε)

≤P

bnhc∑r=1

G((r,mr), (r,mr+1)) +

bnhc∑r=1

Yr,mr+1 desviar da media mais de nε

≤ exp

(− (nε)2

64n ‖(h, y)‖L2+ 64

).

Agora, tomando a sobre todos os mr possıveis, teremos do resultado acima

P G(bnhc , bnyc) ≥ n(ψ(0, y) + hL+ ε)

≤ exp[nφ(h, y) + o(n)] exp

(− nε2

64 ‖(h, y)‖L2+ 64

),

em que o lado direito da desigualdade segue da estimativa do numero de escolhas possıveis

de caminhos ate (bnhc , bnyc) cada uma com cota superior dada pela desigualdade de

concentracao. Note, ainda, que podemos garantir que a soma das probabilidades e finita

se ε > 8L√‖(h, y)‖φ(h, y).

Daı e aplicando o lema de Borel-Cantelli,∑n≥1

P G(bnhc , bnyc) ≥ n(ψ(0, y) + hL+ ε) <∞

⇒ P ∃n0 : ∀n ≥ n0, G(bnhc , bnyc) ≤ n(ψ(0, y) + hL+ ε) = 1

⇒ ψ(h, y)− ψ(0, y) ≤ hL+ 8L√‖(h, y)‖φ(h, y),

quase certamente. A desigualdade acima tende a 0, uniformemente em ‖(x, y)‖ ≤ R,

quando h ↓ 0.

Por outro lado, pela superaditividade, temos

ψ(h, y)− ψ(0, y) ≥ ψ(h, 0) = hψ(1, 0) = hEY ≥ −hL,

que novamente tende a 0 quando h ↓ 0, uniformemente, para todo (x, y).

Corolario 3.2.1. Suponha P (Yi,j < L) = 1, para algum L finito. Entao ψ e contınua em

todo R2+.

3.3 Extensao a distribuicoes ilimitadas 32

Demonstracao. Seja ε > 0 e (x, y) ∈ R2+. Sem perda de generalidade, suponha que (x, y)

tem a coordenada y nula.

Defina a funcao ψ1 ∈ R2+ por ψ1(u) = ψ(u, 0).

Como ψ e concava em R2+, ψ1 e concava em R+, que implica ser contınua no

interior de R+.

Escolha entao δ′ > 0 pequeno o bastante para que, se |h| < δ′, entao

|ψ1(x+ h)− ψ1(x)| < ε,

donde

|ψ(x+ h, y)− ψ(x, y)| < ε. (3.8)

Escolha algum R > ‖(x, y)‖+ δ′. Vamos fixar δ > 0 pequeno o bastante para

que possamos aplicar a conclusao da proposicao 3.2.1 (para nossos L, R e ε escolhidos),

e tambem pequeno o bastante para que ‖(x, y)‖+ δ′ + δ < R.

Tome algum (h1, h2) ∈ R2+ com ‖(h1, h2)‖ ≤ min(δ′, δ) e com (x+h1, y+h2) ∈

R2+. Entao certamente |h1| < δ′ e 0 ≤ h2 ≤ δ.

Podemos aplicar a proposicao 3.2.1 para y = 0. Defina (x, y)(j) = (x + h, 0).

Entao temos∥∥(x, y)(j)

∥∥ < R (pela escolha de R) e y(j) = 0 (pois y = 0), entao todas as

condicoes requeridas da proposicao 3.2.1 se aplicam.

Usando (3.8), obtemos

|ψ(x+ h1, y + h2)− ψ(x, y)| = |ψ(x+ h1, y + h2) + ψ(x+ h1, y)− ψ(x, y)− ψ(x+ h1, y)| ≤

|ψ(x+ h1, y)− ψ(x, y)|+ |ψ(x+ h1, y + h2)− ψ(x+ h1, y)| < 2ε.

Como ε e arbitrario, temos que ψ e contınua em (x, y), como querıamos de-

monstrar.

3.3 Extensao a distribuicoes ilimitadas

Diremos que ξ e um animal de tamanho k se for um subconjunto conexo de Z2

que inclui a origem. Considere Yi,j com distribuicao F ilimitada. Seja A(k) um conjunto


de animais de tamanho k, e defina

N(k) = maxξ∈A(k)

∑(i,j)∈ξ

Yi,j

o peso maximo do animal de tamanho k.

Considere a seguinte proposicao, cuja prova pode ser vista em [7]:

Proposicao 3.3.1. Existe c = c(2) <∞ tal que, para toda F satisfazendo (3.1):

1. ∀k > 1,

EN(k) ≤ ck

∫ ∞0

(1− F (s))1/2ds; (3.9)

2. com probabilidade 1,

lim supk→∞

N(k)

k≤ c

∫ ∞0

(1− F (s))1/2ds. (3.10)

Podemos deduzir entao o seguinte lema para o modelo de percolacao orientada:

Lema 3.3.1. Existe c = c(2) <∞ tal que, para toda F satisfazendo (3.1):

1. ∀(i, j) ∈ Z2+,

EG(m,n) ≤ c ‖(m,n)‖∫ ∞

0

(1− F (s))1/2ds; (3.11)

2. com probabilidade 1,

lim supn→∞

1

nmax

(m,n):‖(m,n)‖≤kG(m,n) ≤ c

∫ ∞0

(1− F (s))1/2ds; (3.12)

3. ∀(x, y) ∈ R2+,

‖(x, y)‖EY ≤ ψ(x, y) ≤ c ‖(x, y)‖∫ ∞

0

(1− F (s))1/2ds. (3.13)

Demonstracao. Note, primeiramente, que se (m,n) ∈ Z2+ e ‖(m,n)‖ = k, entao um

caminho π ∈ Π0((m,n)] e um animal de tamanho k; portanto, G(m,n) ≤ N(k), os

resultados (3.11) e (3.12) seguem imediatamente da proposicao 3.3.1.

Faca (m,n) = (bnxc , bnyc) em 1, dividindo por n e fazendo n → ∞ temos a

cota superior em (3.13).


Para a cota inferior em 3, seja (m,n) ∈ Z2+, e seja π um caminho em Π0((m,n)];

entao |π| = ‖(m,n)‖, e teremos

EG(m,n) = E maxπ∈Π0((m,n)]

∑m,n∈π

Yi,j ≥ E∑i,j∈π

Yi,j = ‖(m,n)‖EY.

Novamente, seja (m,n) = (bnxc , bnyc). Fazendo n → ∞ obtemos a cota

inferior em 3.

Agora introduziremos versoes truncadas de Yi,j.

Definicao 3.3.1. Para L > 0 e (m,n) ∈ Zd+, seja Y(L)i,j = minY (z), L. Assim, seja

G(L)(m,n), (m,n) ∈ Z2+ e ψ(L)((x, y)), (x, y) ∈ R2

+, definidas como as G e ψ conheci-

das, trocando apenas Yi,j por Y(L)i,j .

Lema 3.3.2. Suponha (3.1) e (3.2) satisfeitas. Entao para todo (x, y) ∈ R2+,

ψ(L)(x, y) ≤ ψ(x, y) ≤ ψ(L)(x, y) + c ‖(x, y)‖∫ ∞L

(1− F (s))1/2ds, (3.14)

em que c satisfaz o lema 3.3.1. Logo, para algum R > 0,

sup(x,y)∈R2

+:‖(x,y)‖≤R|ψ(x, y)− ψ(L)(x, y)| → 0, quando L→∞. (3.15)

Demonstracao. Note que 0 ≤ Yi,j − Y (L)i,j ≤ [Yi,j − L]+. Seja (x, y) ∈ R2

+, entao

ψ(x, y)− ψ(L)(x, y) = limn→∞

1

nEG(bnxc , bnyc)− lim

n→∞

1

nEG(L)(bnxc , bnyc)

= limn→∞

1

nE

supπ∈Π((0,0),(bnxc,bnyc))]

∑(i,j)∈π

Yi,j − supπ∈Π((0,0),(bnxc,bnyc))]

∑(i,j)∈π

Y(L)i,j

≤ lim

n→∞

1

nE sup

π∈Π((0,0),(bnxc,bnyc))]

∑(i,j)∈π

Yi,j −∑

(i,j)∈π

Y(L)i,j

= lim

n→∞

1

nE sup

π∈Π((0,0),(bnxc,bnyc))]

∑(i,j)∈π

[Yi,j − L]+

≤ c ‖(x, y)‖

∫ ∞L

(1− F (s))1/2ds;

em que a ultima desigualdade segue do lema 3.3.1. Como as variaveis [Y (z) − L]+, v ∈

Z2+ sao iid cuja funcao distribuicao e F (>L) definida como F (>L)(s) = 0, s ≤ L e

F (>L)(s) = F (s), s > L. Portanto, temos a cota superior em (3.14).

Agora, para finalizar a prova da proposicao 3.1.2:


Demonstracao. Pelo lema anterior, temos

|ψ(L)(x, y)− ψ(x, y)| ≤ c ‖(x, y)‖∫ ∞L

(1− F (s))1/2ds→ 0.

Seja K um compacto em R2+, tal que (x, y) ∈ K. Isso implica que ‖(x, y)‖ < R. Daı,

|ψ(L)(x, y)− ψK(x, y)| ≤ cR

∫ ∞L

(1− F (s))1/2ds

⇒ ψ(L) converge a ψK uniformemente em K ⇒ ψ e contınua em K.

36

4 Algumas formas explıcitas de ψ

Vimos nos capıtulos anteriores a existencia e propriedades da funcao ψ atraves

da definicao de G e do teorema ergodico de Liggett. Porem, nao tratamos de casos em

que a forma explıcita de ψ e conhecida.

Em modelos de percolacao de ultima passagem, ha estudos, para o caso de di-

mensao 2, que consideram o tempo de permanencia no sıtio tendo distribuicao geometrica

ou exponencial. Para ambos os casos, e possıvel encontrar a forma explıcita de ψ.

No fim da secao 2.2 consideramos Yi,j com distribuicao geometrica e mostramos

que o aglomerado de sıtios ocupado ate o tempo t, denominado B(t), e uma cadeia de

Markov. Ja e conhecida uma forma explıcita para o teorema da forma assintotica sob a

condicao de distribuicao geometrica:

P (Yi,j = k) = p(1− p)k, k ∈ Z+ (4.1)

ψ(x, y) = p−1((1− p)x+ (1− p)y + 2√

(1− p)xy) (4.2)

Uma demonstracao deste resultado pode ser vista na secao 2.2 de [10]. Para

o caso em que Yi,j tem distribuicao exponencial com media 1, temos a seguinte forma

assintotica:

P (Yi,j ≤ t) = 1− e−t, t ∈ R+ (4.3)

ψ(x, y) = (√x+√y)2 (4.4)

A demonstracao deste resultado pode ser vista em [9].

4.1 Teorema central do limite para G

Alem dessas formas explıcitas existe um resultado similar ao teorema central

do limite para convergencia fraca de G.

Denotaremos por F (s) a distribuicao acumulada da Tracy-Widom.

4.2 Disposicoes Finais 37

Seja Ai(x) e funcao Airy definida por

Ai(x) =1

2π

∫ ∞−∞

ei(t+is)3/3+ix(t+is)dt, em que s > 0 e arbitrario.

A funcao de distribuicao F (s) pode ser definida usando uma certa funcao Painleve II,

F (s) = exp[−∫ ∞s

(x− s)u(x)2dx],

em que u(x) e a unica solucao da equacao de Painleve II,

u′′

= 2u3 + xu,

com u(x) ≈ Ai(x), quando x→∞.

Aplicaremos o resultado dado em [4] para G considerando os sıtios com distri-

buicao geometrica e exponencial, respectivamente:

Seja P (Yi,j = k) = pqk, k ∈ Z+, q = 1− p e α ≥ 1, entao

limn→∞

n−1EGgeo(p)(n, bnαc) = p−1(1 +√qα)2 − 1 = ψgeo(p)(1, α),

limn→∞

P

[Ggeo(p)(n, bnαc)− nψgeo(p)(1, α)

ogeo(p)(1, α)n1/3≤ s

]= F (s), (4.5)

ogeo(p)(1, α) = p−1(α1/6q−1/6)(√q +√α)2/3(1 +

√qα)2/3. (4.6)

Seja P (Yi,j ≤ t) = 1− e−t, t ∈ R+ e α ≥ 1, entao

limn→∞

n−1EGexp(1)(n, bnαc) = (1 +√α)2,

limn→∞

P

[Gexp(1)(n, bnαc+ an)− n(1 +

√α)2 − dn

n−1/6(1 +√α)4/3α1/3

≤ s

]= F (s). (4.7)

an = O(n1/3), quando n→∞ e dn tal que dn − (1 + 1/√α)an quando n→∞.

Veja a demonstracao destes resultados em [4].

4.2 Disposicoes Finais

Embora se conheca as propriedades de ψ, o problema de se encontrar sua forma

assintotica explıcita ainda e objeto de estudo para pesquisas futuras, afinal, mesmo com

um resultado forte como a convergencia mostrada por Johansson, nao se conhecem formas

explıcitas de ψ alem das citadas neste capıtulo.

Referencias Bibliograficas

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2010.

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209, 437-476, 2000.

[5] LIGGETT, T.M., An improved subadditive ergodic theorem, Ann. Probab. 13, 1279-

1285, 1985.

[6] MARTIN, J.B., Limiting shape for directed percolation models, Ann. Probab. 32, no.

4, 2908-2937, 2004.

[7] MARTIN, J.B., Linear growth for greedy lattice animals, Stochastic Process Appl.

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[8] ROCKAFELLER, R.T., Convex Analysis, Princeton Mathematical Series, No. 28,

Princeton University Press, Princeton, N.J., 1970.

[9] ROST, H., Nonequilibrium behaviour of a many particle process: Density profile and

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[10] SEPPALAINEN, T., Lecture Notes on the Corner Growth Model, University of

Wisconsin-Madison, 2009.

[11] TALAGRAND, M., Concentration of measure and isoperimetric inequalities in pro-

duct spaces, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 81, 73-205, 1995.

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Fernando Arag~ao TEOREMA DA FORMA ASSINTOTICA SOB … · Leandro Pinto Rodrigues Pimentel Glauco Valle da Silva Coelho Ana Patr cia Carvalho Gon˘calves. Resumo A proposta da disserta˘c~ao