University of IoanninaUniversity of IoanninaDepartment of Materials Science & EngineeringComputational Materials Science

Κβαντική Θεωρία της ΎληςΚβαντική Θεωρία της Ύλης

∆ιδάσκων: Λευτέρης ΛοιδωρίκηςΠ1, 7146, elidorik@cc.uoi.grcmsl.materials.uoi.gr/elidorik

άσεις

3 ∆ιαστά

ανική σε

Κβαντομηχανική σε

αντομηχα Κβαντομηχανική σε

δ ά

Ύλης:

Κβα τρεις διαστάσεις

ρία της Ύ

τική Θεω

ρΚβαντ

Εξίσωση Schrödinger σε 3D

άσεις

• Σε μία διάσταση ),( tx )(xUU

3 ∆ιαστά

txitUtx

),()()(),(22

),( )(

ανική σε

titxxU

xm

),(),()(),(2 2

αντομηχα

• Σε τρείς διαστάσεις

Ύλης:

Κβα

),( tr )(rUU

ρία της Ύ

ttitUt

m

),(),()(),(

22

2 rrrr

τική Θεω

ρ

2222 ),(),(),()( tttt

rrrr

Κβαντ 222),(

zyxt

r

Τελεστές

άσεις

3 ∆ιαστά

• Το διάνυσμα “ανάδελτα” kji ˆˆˆzyx

ανική σε

• Λαπλασιανή 2

2

2

2

2

22

αντομηχα 222 zyx

ˆˆˆ

Ύλης:

Κβα • Τελεστής της ορμής ip̂

kjip ˆˆˆˆzyx

i

ρία της Ύ

xix

p̂

yiy

p̂

ziz

p̂

τική Θεω

ρ

• Τελεστής της Χαμιλτονιανήςˆ 222

Κβαντ )(

2)(

2ˆˆ

222

rrpH Um

Um

Σωματίδιο σε τριδιάστατο κουτίάσ

εις • Έστω το δυναμικό

3 ∆ιαστά

αλλού

,,00),,()(

LzyxzyxUrU

ανική σε

• Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger

αντομηχα

)()(2

22

rr Em

Ύλης:

Κβα

– εαν γράψουμε αναλυτικά όλες τις καρτεσιανές συνιστώσες

2m

ρία της Ύ

),,(),,(2

),,(2

),,(2 2

22

2

22

2

22

zyxEz

zyxmy

zyxmx

zyxm

τική Θεω

ρ

– ο τελεστής της Χαμιλτονιανής

y

y ˆˆˆˆˆˆˆ222 ppp η κίνηση σε κάθε άξονα είναι

ξά ί

Κβαντ

mmmzyx

zyx 222pppKKKH ανεξάρτητη απο την κίνηση

στους άλλους δύο άξονες

Χωρισμός μεταβλητών

άσεις • θέτουμε )()()(),,( zyxzyx zyx

3 ∆ιαστά

– αντικατάσταση στην εξίσωση Schrödinger

)()()()()()()()()(

)()()( 2222

Ezyx zyx

ανική σε

δ ύ ά ( )

)()()()()()()()()(

)()()(2 222 zyxEyx

zzx

yy

zyxm zyxyx

zzx

yzy

x

αντομηχα – διαιρούμε τα πάντα με την ψ(x,y,z)

Ezyx zyx

2

22

2

22

2

22 )()(

12

)()(

12

)()(

12

Ύλης:

Κβα

– αυτό γράφεται σαν τρεις ξεχωριστές εξισώσεις

zzmyymxxm zyx 222 )(2)(2)(2

22

ρία της Ύ

xx

x

Exx

xm

2

22 )()(

12

)()(

2 2

22

xExx

m xxx

EEEE zyx

0)(0)0( L

τική Θεω

ρ

yy

y

Eyy

ym

2

22 )()(

12

)(

)(2 2

22

yEyy

m yyy

0)( ,0)0( Lxx

0)( ,0)0( Lyy

Κβαντ

zz

z

Ezz

zm

2

22 )()(

12

)()(

2 2

22

zEzz

m zzz

0)( ,0)0( Lzz

Λύση τριδιάστατου φρέατος

άσεις • Εφαρμόζουμε την μονοδιάστατη λύση ξεχωριστά για κάθε άξονα

3 ∆ιαστά

)()(2 2

22

xExx

m xxx

Lxn

Lx x

x sin2)( 2

222

2mLnE x

x

ανική σε

)()(

2 2

22

yEyy

m yyy

Lyn

Ly y

y

sin2)(

2

222

2mLn

E yy

αντομηχα 2 ym LL 2mL

)()(22

zEzz

znz z sin2)(222nE z

Ύλης:

Κβα )(

2 2 zEzm zz

LL

zz sin)( 22mLEz

ρία της Ύ

– συνολική κυματοσυνάρτηση

Lzn

Lyn

Lxn

Lzyx zyx sinsinsin2),,(

23

τική Θεω

ρ

22222

Κβαντ – ενέργεια 222

22 zyx nnnmL

E

Θεμελιώδης κατάσταση

άσεις

• Για την περιγραφή χρειαζόμαστε τρεις κβαντικούς αριθμούς

3 ∆ιαστά

• ποιά είναι η θεμελιώδης κατάσταση;

zyx nnn , ,

ανική σε

• ποιά είναι η θεμελιώδης κατάσταση;

– οι κβαντικοί αριθμοί παιρνουν την ελάχιστη δυνατή τιμή

αντομηχα

1 ,1 ,1 zyx nnnΎλης:

Κβα

– ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης

22

22222 3E

ρία της Ύ 2

2222 22 mL

nnnmL

E zyx

τική Θεω

ρ

– κυματοσυνάρτηση θεμελιώδους κατάστασης

23

2

zyx

Κβαντ

111

2sinsinsin2),,(

Lz

Ly

Lx

Lzyx

1η διεγερμένη κατάστασηάσ

εις • Η 1η διεγερμένη εμφανίζεται για τον αμέσως επόμενο μικρότερο συνδιασμό

των κβαντικών αριθμών

3 ∆ιαστά 1 ,1 ,2 zyx nnn

1 ,2 ,1 zyx nnn

ανική σε

y

2 ,1 ,1 zyx nnn

αντομηχα – η ενέργεια είναι η ίδια και στις τρεις περιπτώσεις

2

22222

2

22 6nnnE zyx

Ύλης:

Κβα

– αλλά έχουμε τρεις διαφορετικές κυματοσυναρτήσεις

22 22 mLmL zyx

3

ρία της Ύ

Lz

Ly

Lx

L sinsin2sin2

3

23

211οταν διαφορετικές κυματοσυναρτήσεις έχουν την ίδια ενέργεια ονομάζονται

λ έ

τική Θεω

ρ

Lz

Ly

Lx

L sin2sinsin2 2

3

121

«εκφυλισμένες»

η πρώτη διεγερμένη στάθμη του

Κβαντ

Lz

Ly

Lx

L 2sinsinsin2 2

3

112

η ρ η γ ρμ η μητριδιάστατου φρέατος είναι τριπλά

εκφυλισμένη

Καταστάσεις τριδιάστατου φρέατος

άσεις

3 ∆ιαστά

• Στις τρεις διαστάσεις οι ενέργειες δεν αυξάνουν πλέον τετραγωνικά

ανική σε

αντομηχα

Ύλης:

Κβα

ρία της Ύ

τική Θεω

ρΚβαντ

Παράδειγμα 7.3

άσεις • Κβάντωση σε ορθογώνιο κουτί: έστω σωματίδιο σε κουτί με διαστάσεις Lx, Ly ,Lz

– ποιές είναι οι ενεργειακές ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις;

3 ∆ιαστά ποιές είναι οι ενεργειακές ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις;

222

στο μονοδιάστατο

22222 nnn

στο τριδιάστατο ορθογώνιο

ανική σε

2

222

2mLnE

2222 z

z

y

y

x

x

Ln

Ln

Ln

mE

αντομηχα

zyx znynxnzyx sinsinsin8)(21

Ύλης:

Κβα

zyxzyx LLLLLL

zyx sinsinsin),,(

ρία της Ύ

zyx znynxnzyx sinsinsin8)(

21

τική Θεω

ρ

zyx LLLV

zyx sinsinsin),,(

Κβαντ

Παράδειγμα 7.3

άσεις • Κβάντωση σε ορθογώνιο κουτί: έστω σωματίδιο σε κουτί με διαστάσεις Lx, Ly ,Lz

– ποιες είναι οι 5 πρώτες στάθμες εάν L =L L =2L L =2L

3 ∆ιαστά ποιες είναι οι 5 πρώτες στάθμες εάν Lx L, Ly 2L, Lz 2L

4444

2

222

2

22zyx nnn

mLE

2

22

8mL θέτουμε

ανική σε

4442mL 8mL

6111 E

αντομηχα 111

18211 E 9121 E 9112 EA/A ενέργεια 

E/ε εκφυλισμός

1 6 111Ύλης:

Κβα

14131 E 14113 E38311 E

1 6 1112 9 121, 1123 12 1224 14 131 113

ρία της Ύ

12122 E 21212 E 21221 E

4 14 131, 1135 18 2116 21 212, 2217 22 133

τική Θεω

ρ

22133 E 46313 E 46331 E

7 22 1338 24 2229 38 311

Κβαντ

24222 E10 46 313, 331

Παράδειγμαάσ

εις • Έστω σωματίδιο στο εξής δυναμικό

3 ∆ιαστά

αλλού

00),,()(

LxzyxUrU

ανική σε

– περιορισμένο στην χ διεύθυνση, ελέυθερο στις y, z– ποιά η κυματοσυνάρτηση και οι ενεργειακές ιδιοτιμές;

αντομηχα

• η κίνηση σε κάθε άξονα παραμένει ανεξάρτητη – ισχύει ο διαχωρισμός μεταβλητών

Ύλης:

Κβα ισχύει ο διαχωρισμός μεταβλητών

)()()(),,( zyxzyx zyx

ρία της Ύ

Lxn

Lxx

sin2)( yiky

yy e)( zikz

zz e)(

τική Θεω

ρ

zikyikxn

i2)(

21

kknE zy2222222

Κβαντ zikyik zy

LLzyx

eesin),,( mmmL

E zy

222 2

Κεντρικά δυναμικά (π.χ. υδρογόνο)

άσεις

• Το δυναμικό εξαρτάται μόνο απο την απόσταση (όχι την διέυθυνση)

3 ∆ιαστά

)(),,( rUzyxU -q

ανική σε

• Η δύναμη είναι πάντα κατά μήκος της ακτίνας

F ˆ)( FUr

F

αντομηχα

– η γραμμική ορμή συνεχώς μεταβάλλεται

rF ˆ)( FrU

F

Ύλης:

Κβα

Η ή δύ ί δέ+q

FFp dtd /

ρία της Ύ • Η ροπή της δύναμης είναι μηδέν

0 Frτ Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό: • διατήρηση ενέργειας

τική Θεω

ρ

– η στροφορμή είναι αμετάβλητη

0/ τL dtd

• διατήρηση ενέργειας• διατήρηση της στροφορμής

ενέργεια και στροφορμή:

Κβαντ 0/ τL dtd ενέργεια και στροφορμή:

υποψήφιες ποσότητες πρός κβάντωση

Σφαιρικές συντεταγμένες

άσεις

• Μετατροπή απο καρτεσιανές

3 ∆ιαστά ρ ή ρ ς

σε σφαιρικές

,,,, rzyx

ανική σε

zyxr

1

222

αντομηχα

xyrz

1

1

tancos

Ύλης:

Κβα

• Μετατροπή απο σφαιρικές σε καρτεσιανές

ρία της Ύ σε καρτεσιανές

i zyxr ,,,,

Εξίσωση Schrodinger για κεντρικό δυναμικό σε σφαιρικές συντεταγμένες

2

τική Θεω

ρ

sinsincossin

ryrx

222

)()()()(2

2 rrr ErUm

Κβαντ cosrz

2

2

22

2

22

22

sin1

tan112

rrrr

Χωρισμός μεταβλητών

άσεις

• Εξίσωση Schrödinger σε σφαιρικές συντεταγμένες

3 ∆ιαστά

)()()()(2

22

rrr ErUm

ανική σε

222

2 1112

2m

αντομηχα

22222 sintan rrrrΎλης:

Κβα

Χ ό βλ ώ

ακτινικό γωνιακό

ρία της Ύ • Χωρισμός μεταβλητών

),()(),,( YrRr

τική Θεω

ρ

– βασική πράξη που πρέπει να υπολογίσουμε:

Κβαντ ?),()()( 22 YrRr

Χωρισμός μεταβλητώνάσ

εις

),()(i

1t

112)( 2

2

22

2

22

22

YrRr

3 ∆ιαστά

sintan 22222 rrrr

)(11)()()(2)( 222

YrRYrRrR

ανική σε

),(sintan

)(),()()(22222

Y

rY

rrr

αντομηχα ),( Y

)()(2)(2 rRrRrR

Ύλης:

Κβα

• Η εξίσωση Schrödinger τώρα γράφεται ως:

),()(),()(2)()( 222 Y

rrRY

rrR

rrrR

r

ρία της Ύ • Η εξίσωση Schrödinger τώρα γράφεται ως:

),()(),()()(),(2

)(),()(2)(2 2

2

2

22

YrERYrRrUYrRYrRrR

τική Θεω

ρ ),()(),()()(),(2

),(2 22

mrrrrm

2 222 λ ακτινική

Κβαντ )()()(

2)(2

2 2

2

2

22

rERrRrUmrλrR

rrrm

ακτινική

εξίσωσηSchrödinger

Γωνιακή εξίσωση ιδιοτιμών

άσεις

11 22

3 ∆ιαστά

Η γωνιακή κυματοσυνάρτηση Υ μπορεί να χωριστεί επιπλέον σε

),(),(sin

1tan

1222

YY

ανική σε

• Η γωνιακή κυματοσυνάρτηση Υ, μπορεί να χωριστεί επιπλέον σε ξεχωριστές συναρτήσεις για θ και φ:

αντομηχα )()(),( Y

22

Ύλης:

Κβα

)()()(sin

)()()(tan

1)()(2

2

22

2

ρία της Ύ

– διαιρούμε με την Υ(θ,φ)

22 )(11)(11)(1

τική Θεω

ρ

2

2

22

2 )()(

1sin

1)()(

1tan

1)()(

1

Κβαντ 2m

Γωνιακή εξίσωση ιδιοτιμών για την Φ(φ)

άσεις

• Η εξίσωση για την Φ(φ)

3 ∆ιαστά

imm e)()()( 2

2

2

ανική σε

• Η συνάρτηση Φ(φ) περιγράφει στροφές πάνω στο επίπεδο x, y

)()(2

αντομηχα Η συνάρτηση Φ(φ) περιγράφει στροφές πάνω στο επίπεδο x, y

– δηλαδή, πως στρίβει η προβολή του διανύσματος r πάνω στο x, y επίπεδο

Ύλης:

Κβα • Η Φ(φ) θα πρέπει να είναι μονοσήμαντη

2,...1,,01eee)()2( 2)2( mmiimim

ρία της Ύ

• Όπως θα δούμε, ο m είναι ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός ml

2,... 1, ,01eee)()2( m

τική Θεω

ρ Όπως θα δούμε, ο m είναι ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός ml

2,... 1, ,0 lm

Κβαντ

Γωνιακή εξίσωση ιδιοτιμών

άσεις

• Η εξίσωση για την Θ(θ)

3 ∆ιαστά ξ η γ η ( )

22 )(11)(1 lm

ανική σε

22 sin)(tan)(

αντομηχα

)()(sin

cot 2

2

2

2

lm

Ύλης:

Κβα

• Η εξίσωση αυτή ονομάζεται «συναφής εξίσωση Legendre». Αποδεικνύεται έ λύ ό ύ ό ά θή

ρία της Ύ οτι έχει λύση μόνο εαν ισχύουν συγχρόνως οι παρακάτω συνθήκες:

lll 2,... ,1 ,0 ),1(

τική Θεω

ρ

lmlm ll 1,... ,0 ,||,,,),(

Κβαντ • το l είναι ο τροχιακός κβαντικός αριθμός

Σφαιρικές αρμονικέςάσ

εις • Συμβολίζουμε την γωνιακή κυματοσυνάρτηση ως:

3 ∆ιαστά

l

lll

l immlmml

mlY e)()()(),( ,,

ανική σε

• με ιδιοτιμές:– κβαντικός τροχιακός αριθμός: l = 0, 1, 2, ...

ό β ό θ ό 0 1 l

αντομηχα – μαγνητικός κβαντικός αριθμός: ml = 0, 1, …,l

Ύλης:

Κβα

210

0 Y

iY esin23

211

1

ρία της Ύ 2 22

τική Θεω

ρ

cos3210

1 Y )1cos3(51 202 Y

Κβαντ 21 )(

42

Διατήρηση στροφορμής κεντρικής δύναμης

άσεις • Η δύναμη κατευθύνεται στο κέντρο των αξόνων

άλλ λ ά δ ά θέ

3 ∆ιαστά – παράλληλη πάντα στο διάνυσμα της θέσης

– η ροπή της δύναμης είναι μηδέν

ανική σε

• η στροφορμή παραμένει αμετάβλητη στον χρόνο

dL

αντομηχα ή

dtd prLFrL 0

Ύλης:

Κβα

• Οι κβαντικοί αριθμοί l και ml σχετίζονται με την περιστροφή → στροφορμή

– πως εκφράζεται η διατήρηση της στροφορμής στο μικρόκοσμο;

ρία της Ύ πως εκφράζεται η διατήρηση της στροφορμής στο μικρόκοσμο;

– ποιοί είναι οι κατάλληλοι τελεστές των οποίων η ψ είναι ιδιοσυνάρτηση

τική Θεω

ρ

rrL σταθεράˆ?

?

x rrL σταθεράˆ?

?

x

Κβαντ rrL σταθεράˆ ?

2 rrL σταθεράˆ ?

y

Τελεστές στροφορμής

άσεις • Η κλασική στροφορμή είναι prL

3 ∆ιαστά

• Για τον κβαντικό τελεστή θέτουμε τους αντίστοιχους τελεστές

ανική σε

zyx

ii kjip ˆˆˆˆ zyx kjir ˆˆˆ

αντομηχα – σε σφαιρικές συντεταγμένες γίνεται:

ixLcossinˆ

Ύλης:

Κβα

i

x

L sincosˆ

tan

ρία της Ύ

i

iy

L

L

ˆ

tancos

το «φ» κομμάτι του 2 με ιδιοτιμές ml

τική Θεω

ρ

izL

22 11το γωνιακό κομμάτι του 2, με ιδιοτιμές l(l+1)

Κβαντ

22222

sin1

tan1ˆ

L

με ιδιοτιμές l(l+1)

Ιδιοτιμές τελεστών στροφορμής

άσεις • Η προβολή της στροφορμής στον z άξονα

)()(

)()(ˆ)(ˆ

ll mm iY

LL

3 ∆ιαστά

)()()()(e

)()()(),( ,,

l

l

l

l

ll

l

mim

mlmmlzmlz

Yi

iY

LL

ανική σε

),()()()( ,,

l

lll

mllmlmlml Ymmi

)()(ˆ ll mm YmY Lαντομηχα

• Το τετράγωνο της στροφορμής

),(),( lllz YmY L

Ύλης:

Κβα

)()(sin

1tan

1),(ˆ,2

2

22

222

ll

lmml

mlY

L

ρία της Ύ

),()1()()(sintan

1 2,2

2

2

22

l

ll

mlmml

l Yllm

τική Θεω

ρ

Οι άλλες δύο προβολές της στροφορμής δεν ικανοποιούν εξίσωση ιδιοτιμών

),()1(),(ˆ 22 ll ml

ml YllY L

Κβαντ • Οι άλλες δύο προβολές της στροφορμής δεν ικανοποιούν εξίσωση ιδιοτιμών

),(αριθμός),(ˆ ll ml

mlx YY L ),(αριθμός),(ˆ ll m

lmlx YY L

Ιδιοτιμές τελεστών στροφορμήςάσ

εις • Σαφή μεγέθη

– η προβολή της στροφορμής στον z άξονα

3 ∆ιαστά

),(),(ˆ ll mll

mlz YmY L lz mL

ανική σε

– το τετράγωνο της στροφορμής

μαγνητικός κβαντικός αριθμός: ml = 0, 1, …,l

αντομηχα

ρ γ ς ρ φ ρμ ς

),()1(),(ˆ 22 ll ml

ml YllY L )1( llL

τροχιακός κβαντικός αριθμός: l = 0 1 2 l=0 s

Ύλης:

Κβα

• Ασαφή μεγέθη

τροχιακός κβαντικός αριθμός: l 0, 1, 2, ...καθορίζει τα γνωστά τροχιακά: l=1 p

l=2 d

ρία της Ύ • Ασαφή μεγέθη

– οι προβολές της στροφορμής στον χ και y άξονα– δεν είναι δυνατόν να γνωρίζουμε πάνω απο μια συνιστώσες της ορμής με

ίβ ή δ ί ή

τική Θεω

ρ

ακρίβεια αρχή απροσδιοριστία στην ορμή

• Ενέργεια στροφορμής2

Κβαντ

,2,1,0όπου

2)1(

2 2

2

2

2

lmrll

mrL

Αρχή απροσδιοριστίας της στροφορμής

άσεις

• Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε συγχρόνως δύο συνιστώσες στροφορμής||LL

3 ∆ιαστά – δεν μπορεί να γίνει υπάρχει δηλαδή πάντα γωνία με τον άξονα z||LzL

mmmL lllz

ανική σε

• κβάντωση κατεύθυνσης

)1(

arccos)1()1(

coslllllllllz

L

αντομηχα • κβάντωση κατεύθυνσης

Ύλης:

Κβα

ρία της Ύ

τική Θεω

ρΚβαντ

Παράδειγμα 7.4

άσεις • Πέτρα μάζας 1 kg κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας 1 m, με περίοδο 1 s.

Ποιά τιμή του τροχιακού κβαντικού αριθμού l περιγράφει αυτήν την κίνηση;

3 ∆ιαστά μή ρ ρ μ ρ γρ φ ή η η η;

– ταχύτητα περιστροφής

ανική σε

m/s 28.6s1

m) 1)(14159.3(22

Tr

αντομηχα

– στροφορμή

s 1T

Ύλης:

Κβα /smkg 6.28m) m/s)(1 kg)(6.28 1( 2 rmL

ρία της Ύ – κβαντική μορφή

lllL )1(

τική Θεω

ρ

– τροχιακός κβαντικός αριθμός

342/smkg6.28 L

Κβαντ 34

234 1096.5/smkg 10055.1

/smkg 6.28

Ll

Παράδειγμα 7.5

άσεις

• Συμφωνεί η κβάντωση της στροφορμής κατά Bohr με τους κανόνες βά όλ β ή

3 ∆ιαστά κβάντωσης που μόλις βρήκαμε;

– κβάντωση στροφορμής κατά Bohr

ανική σε

κβάντωση στροφορμής κατά Bohr

nL

αντομηχα

– κβάντωση στροφορμής κατά SchrödingerΎλης:

Κβα )1(|| llL

ρία της Ύ

– οι δύο τιμές είναι ασυμβίβαστες για μικρούς κβαντικούς αριθμούς. Η ελάχιστη στροφορμή είναι κατά Bohr και κατά Schrödinger

ώ ύ ό ά ώ ώ 2

τική Θεω

ρ

– προφανώς συμφωνούν στο όριο των μεγάλων κβαντικών αριθμών

Κβαντ

Παράδειγμα 7.6άσ

εις • Έστω ηλεκτρόνιο στην κατάσταση l=3. Υπολογίστε το μέτρο |L| της ολικής

στροφορμής, και τις επιτρεπόμενς τιμές των Lz και γωνίας θ μεταξύ του L

3 ∆ιαστά στροφορμής, και τις επιτρεπόμενς τιμές των Lz και γωνίας θ μεταξύ του L

και του άξονα z.

λ ή ή

ανική σε

– ολική στροφορμή

32)13(3|| L

αντομηχα

– επιτρεπτές τιμές του Lz

Ύλης:

Κβα

3 ,2 ,1 ,0 ,1 ,2 ,3 zL

ρία της Ύ – επιτρεπτές τιμές της γωνίας θ

3210123cos

τική Θεω

ρ

32 ,

32 ,

32 ,0 ,

32 ,

32,

32cos

Κβαντ oooo 90 ,73.22 ,0 ,74.54 ,30

Ακτινική εξίσωση

άσεις • Η ακτινική εξίσωση Schrödinger είχε γραφτεί

3 ∆ιαστά

)()()(2

)1()(22 2

2

2

22

rERrRrUmrllrR

rrrm

ανική σε

)(2

||)( 2

2

rUrU L

αντομηχα

– η παραπάνω είναι ισοδύναμη με την:

2 2mrΕστροφ Εδυναμικό

Ύλης:

Κβα η παραπάνω είναι ισοδύναμη με την:

)]([)]()[()]([2 2

22

rRrErRrrUrRrrm

ρία της Ύ

– Άρα για το ψευδοκύμα g(r)=rR(r) ισχύει η μονοδιάστατη Schrodinger

)()()()(22

EU

τική Θεω

ρ

• η λύση εξαρτάται απο δύο κβαντικούς αριθμούς:

)()()()(2 2 rEgrgrUrg

rm

Κβαντ

η η ξ ρ ς ρ μ ς– τον κύριο κβαντικό αριθμό n– τον ήδη γνωστός τροχιακό κβαντικόςαριθμόςl

Υδρογονοειδή άτομα

άσεις • Κεντρικό δυναμικό η γωνιακή κυματοσυνάρτηση και ιδιοτιμές της

στροφορμής παραμένουν ως έχουν

3 ∆ιαστά στροφορμής παραμένουν ως έχουν

• Για να βρούμε τις ενεργειακές ιδιοτιμές πρέπει να λύσουμε την ακτινική

ανική σε

εξίσωση Schrödinger– Η δυναμική ενέργεια είναι η ενέργεια Coulomb

eZk 2

αντομηχα

– στο κεντρικό δυναμικό λόγω στροφορμής αυτό μετατρέπεται σε

reZkrU

Ύλης:

Κβα

rkZe

mrllrU

mrLrU

2

2

2

2

2

2)1()(

2||)(

ρία της Ύ

– και η ακτινική Schrodinger είναι η μονοδιάστατη εξίσωση

)()()()(22 rgd

τική Θεω

ρ )()()()(2 2 rgErgrU

drrgd

m

Κβαντ

Υδρογονοειδή άτομα

άσεις

• Οι κβαντισμένες ενεργειακές ιδιοτιμές είναι ίδιες με αυτές του μοντέλου Bohr

3 ∆ιαστά • Οι κβαντισμένες ενεργειακές ιδιοτιμές είναι ίδιες με αυτές του μοντέλου Bohr

eV 6.132 2

2

2

22

ZZekE n

ανική σε

• Η ακτινική κυνατοσυνάρτηση εξαρτάται από δύο κβαντικούς αριθμούς:

2 220

nnan

αντομηχα – τον κύριο κβαντικό αριθμό n (n=1,2,3,… στιβάδα: K, L, M, … )

– τον τροχιακό κβαντικό αριθμό l (l=0,1, 2, … n-1. υποστοιβάδα: s, p, d, …)

– τροχιακά με ίδιο n και διαφορετικά l ml έχουν την ίδια ενέργεια εκφυλισμός

Ύλης:

Κβα τροχιακά με ίδιο n και διαφορετικά l, ml έχουν την ίδια ενέργεια εκφυλισμός

• Τους κανόνες κανονικοποίησης και την στατιστική ερμηνεία της

ρία της Ύ κυνατοσυνάρτησης ικανοποιεί το ψευδοκύμα g(r), δηλαδή η r·R(r)

– κανονικοποίηση

τική Θεω

ρ

llnnlnln drrrRrR

2,

0

*,

Κβαντ

Ακτινικές πιθανότητες και μέσες τιμέςάσ

εις

Ακτίνα Bohr2

3 ∆ιαστά 0

2

2

0 A529,0ekm

ae

n l

ανική σε

10 01.5r a1 0

2 0

αντομηχα

002 6ar 2 1

3 0

Ύλης:

Κβα

012 5ar

3 0

3 1

ρία της Ύ

003 5.13 ar 3 2

τική Θεω

ρ

013 5.12 ar

510 ar

Κβαντ 023 5.10 ar

Ολική κυματοσυνάρτηση

άσεις

lmr R r Y

3 ∆ιαστά , , ,, , ,l

ln l m n l lr R r Y

ανική σε

n ,3,2,1αριθμός κβαντικός Κύριος

αντομηχα

nl

1210αριθμός κβαντικός ροχιακός

Ύλης:

Κβα nl

αριθμός κβαντικός αγνητικός1,,2,1,0

ρία της Ύ lml ,,2,1,0

τική Θεω

ρ

eV 6.132 2

2

2

22

nZ

nZ

aekEn

Κβαντ 2 0

nna

Παράδειγμα 7.7

άσεις • Για την στάθμη n=2 του υδρογόνου, απαριθμίστε όλες τις καταστάσεις δίνοντας τον

φασματοσκοπικό τους συμβολισμό και τις ενέργειές τους

3 ∆ιαστά φασματοσκοπικό τους συμβολισμό και τις ενέργειές τους

– n=2, l=0, ml=0: 1 κατάσταση 2sn 2 l 1 m 1 0 1: 3 καταστάσεις 2p

ανική σε

– n=2, l=1, ml=-1, 0, 1: 3 καταστάσεις 2p

– ενέργειες eV -3.4eV 6.1322 n

E

αντομηχα

– συνολικός εκφυλισμός 4

ό έ ά ά ά ό

n

Ύλης:

Κβα • Πόσες δυνατές καταστάσεις υπάρχουν για την στάθμη n=3; Πόσες για την n=4;

– n=3, l=0, ml=0: 1 κατάσταση 3s– n=3, l=1, ml=-1, 0, 1: 3 καταστάσεις 3p

ρία της Ύ – n=3, l=2, ml=-2, -1, 0, 1, 2: 5 καταστάσεις 3d

– συνολικός εκφυλισμός 9 αριθμός καταστάσεωνΝ=n2

τική Θεω

ρ

– n=4, l=0, ml=0: 1 κατάσταση 3s– n=4, l=1, ml=-1, 0, 1: 3 καταστάσεις 3p– n=4, l=2, ml=-2, -1, 0, 1, 2: 5 καταστάσεις 3d

Κβαντ – n=4, l=2, ml=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3: 7 καταστάσεις 3d

– συνολικός εκφυλισμός 16

Θεμελιώδης κατάσταση

άσεις • Για άτομο με ένα ηλεκτρόνιο και ατομικό αριθμό Ζ

– η θεμελιώδης κατάσταση είναι η 1s (n=1, l=0, ml=0)

3 ∆ιαστά

– η ενέργειά της είναι – η συνολική κυματοσυνάρτηση

21 ZeV) 6.13( E

4/2/ 0/2/30 aZrZYR

ανική σε

– η πιθανότητα να βρεθεί σε κάποιο σημείο του χώρου r

4/2e/ 0//0

000,10,0,1

aZraZYR

αντομηχα

– η πιθανότητα να βρεθεί σε σφαιρικό φλοιό πάχους dr

4/|| |||| || )( 20,1

200

20,1

20,0,1 RYRP r

Ύλης:

Κβα η πιθανότητα να βρεθεί σε σφαιρικό φλοιό πάχους dr

dVdrrP 20,0,1 || )(

)(P 2

drrRdrr 220,1

220,0,1 || 4||

ρία της Ύ )(1 rPs 2

0,0,1

τική Θεω

ρ

drrgdrrP 2|)(|)(

Κβαντ

Στατιστική ερμηνείαάσ

εις

• Πυκνότητα πιθανότητας

3 ∆ιαστά

drrRrdrrP ln2

,2

ανική σε

• Κανονικοποίηση

αντομηχα

1||)(0

22,

0

drrrRdrrP ln

Ύλης:

Κβα • μέση απόσταση

23 drrRrdrrPrr

ρία της Ύ

• μέση τιμή οποιασδήποτε συνάρτησης της απόστασης

0

,0

drrRrdrrPrr ln

τική Θεω

ρ μέση τιμή οποιασδήποτε συνάρτησης της απόστασης

22)()( drrRrrfdrrPrff l

Κβαντ

0

,0

)()( drrRrrfdrrPrff ln

Παράδειγμα 7.8

άσεις

• Υπολογίστε την πιθανότητα το ηλεκτρόνιο να βρεθεί πέρα απο την πρώτη

3 ∆ιαστά γ η η η ρ ρ ρ η ρ η

ακτίνα του Bohr, στη θεμελιώδη κατάσταση του υδρογόνου.

4/2e/1 0/2/30 araYR

ανική σε

– πιθανότητα

4/2e/1 000,10,0,1 aYR

αντομηχα πιθανότητα

0/2230

20,1

2 e4|| ar drra

drRrP

Ύλης:

Κβα 00 0 aa a

αλλαγή μεταβλητής 0/2 arz 2/0zar

ρία της Ύ

230 e4 dzzaP z

τική Θεω

ρ 2

30

e8

dzza

P

221

Κβαντ 2

2

2 e5e)22(21 zzzP

Παράδειγμα 7.8

άσεις • Για τη θεμελιώδη κατάσταση του υδρογόνου υπολογίστε την πιο πιθανή

απόσταση του ηλεκτρονίου απο τον πυρήνα και συγκρίνετε με την μέση

3 ∆ιαστά απόσταση του ηλεκτρονίου απο τον πυρήνα και συγκρίνετε με την μέση

απόσταση– πιο πιθανή απόσταση

ανική σε

0drdP 0e0||4

0/2220,1

230

arr

drdRr

adrd

αντομηχα 0

0e/2e2 00 /20

2/2 arar arr

Ύλης:

Κβα

0/1 0 ar 0max ar

ρία της Ύ

– η μέση απόσταση

drrPrr

/2323 0e4 drrdrrRr ar

30 e dzza z

τική Θεω

ρ 0

drrPrr 0

300

,0e drr

adrrRr ln

0

e4

dzz

δίνεται3

Κβαντ !e

0

ndzz zn 02

3 ar

Πρώτη διεγερμένη υδρογονοειδούς ατόμου

άσεις • Η πρώτη διεγερμένη είναι για n=2.

– αντιστοιχούν 4 καταστάσεις (τερταπλός εκφυλισμός): eV

46.13

2

2

ZE

3 ∆ιαστά

• 1 στην 2s (l=0, ml=0) • 3 στην 2p (l=1, ml=-1,0, 1)

12/3

ZZ

4

ανική σε

– η 2s κατάσταση

41e2

202/

00

000,20,0,2

aZr

aZr

aZYR

αντομηχα

– που μηδενίζεται η P2s(r); Zar /2 0Ύλης:

Κβα

ρία της Ύ

τική Θεω

ρΚβαντ

Πρώτη διεγερμένη υδρογονοειδούς ατόμουάσ

εις

cos4/3e3/2/ 02/2/30 aZraZraZYR cos)(r• οι 2p καταστάσεις

3 ∆ιαστά cos4/3e3/2/ 0011,20,1,2 aZraZYR

iaZraZraZYR esin8/3e3/2/ 02/

02/3

01

11,21,1,2

)(

ir esin2/)(

ανική σε

iaZraZraZYR esin8/3e3/2/ 02/0

2/30

111,21,1,2 ir esin2/)(

cossinrx

αντομηχα

cos2ee

ii

sin2

ee

i

ii

cossinsincossin

rzryrx

γνωρίζουμε όμως οτι

Ύλης:

Κβα cos

ρία της Ύ

τική Θεω

ρΚβαντ

0,1,2 zp

1,1,21,1,2 xp

1,1,21,1,2 yp

Πρόβλημα 7.19

άσεις • Το ακτινικό μέρος της κυματοσυνάρτησης για την υδρογονοειδή

κατάσταση 2p δίνεται απο την έκφραση

3 ∆ιαστά κατάσταση 2p δίνεται απο την έκφραση

02/2 e arp ArR

ανική σε

– ποιά είναι η μέση τιμή του r

drrPrr

2/25223 0e drrAdrrRr ar

562 e dzzaA z

αντομηχα

0

drrPrr 00

2 e drrAdrrRr p 0

0 e dzzaA

δίνεται

Ύλης:

Κβα !e

0

ndzz zn 60

2120 aAr

ρία της Ύ

– κανονικοποιούμε για να βρούμε το Α

τική Θεω

ρ

10

drrP 1e0

/42

0

2

22 0

drrAdrrRr arp 1e

0

450

2

dzzaA z

Κβαντ

24/1124 50

250

2 aAaA 05ar