University of IoanninaUniversity of IoanninaDepartment of Materials Science & EngineeringComputational Materials Science

Κβαντική Θεωρία της ΎληςΚβαντική Θεωρία της Ύλης

∆ιδάσκων: Λευτέρης ΛοιδωρίκηςΠ1, 7146, elidorik@cc.uoi.grcmsl.materials.uoi.gr/elidorik

ατα

λικά

Κύμ

Υλικά κύματα

Ύλης:

Ύλ Υλικά κύματα

ωρία της Ύ

ντική Θεω

Κβαν

Τα όρια της θεωρίας Bohr

ατα

• Η θεωρία Bohr εξήγησε τα φάσματα των ατόμων, αλλά είχε περιορισμούς:– δεν προέβλεπε τις εντάσεις των φασματικών γραμμών– δεν προέβλεπε αρκετά καλά τα φάσματα πολυηλεκτρονικών ατόμων

λικά

Κύμ

δεν προέβλεπε αρκετά καλά τα φάσματα πολυηλεκτρονικών ατόμων– δεν έδινε καμιά εξίσωση για χρονική εξέλιξη ατομικών συστημάτων– δεν έδινε ένα γενικό σχήμα «κβάντωσης» και για άλλα συστήματα

Ύλης:

Ύλ

• Υπερτόνιζε την σωματιδιακή φύση της ύληςδεν ερμήνευε τον κυματοσωματιδιακό δυϊσμό του φωτός

ωρία της Ύ – δεν ερμήνευε τον κυματοσωματιδιακό δυϊσμό του φωτός

ντική Θεω • Εάν το φως έχει δυτή φύση, μήπως έχει και η ύλη;

Κβαν

Οδηγούντα κύματα de Broglie• Louis de Broglie (1923)

– «όλες οι μορφές της ύλης έχουν και σωματιδιακές και

ατα

«όλες οι μορφές της ύλης έχουν και σωματιδιακές και κυματικές ιδιότητες»

ό έ ό

λικά

Κύμ • Δανειζόμενος σχέσεις απο τα φωτόνια

Ehf hpchc το μήκος κύματος

του οδηγούμενου

Ύλης:

Ύλ

pcE ppc

του οδηγούμενου κύματος

ωρία της Ύ

– όπου η ορμή του σωματιδίου: mp ντική Θεω

Κβαν

Κβάντωση στροφορμής

• Στο μοντέλο Bohr η στροφορμή είναι κβαντισμένη αναπαράσταση της n=3 κατάστασης

ατα

κβαντισμένη

nrm

αναπαράσταση της n 3 κατάστασης

λικά

Κύμ • Αυτό προκύπτει και απο την θεωρία de Broglie:

– οι ατομικές τροχιές είναι κβαντισμένες έτσι ώστε δ ύ ύ λ ί

Ύλης:

Ύλ τα οδηγούμενα κύματα των ηλεκτρονίων να

σχηματίζουν στάσιμα κύματα

ωρία της Ύ

• στάσιμα κύματα ακέραιος αρισθμός μηκών κύματος de Broglie χωρούν στην τροχιά

hh

ντική Θεω nr 2

22 hnrm

phnr

Κβαν

έ ά ώ ί ύ

nrm • Η ιδέα της κβάντωσης τροχιών δεν είναι πολύ

διαφορετική απο αυτή μιας παλλόμενης χορδής

Παράδειγμα 4.2• Υπολογίστε το μήκος κύματος de Broglie για ηλεκτρόνιο που επιταχύνεται

σε διαφορά δυναμικού 50 V.

ατα

σε διαφορά δυναμικού 50 V.

– κινητική ενέργεια ηλεκτρονίου

λικά

Κύμ eVm 2

21

Ύλης:

Ύλ

– ορμή ηλεκτρονίου

meVm 2

ωρία της Ύ

– μήκος κύματος de Broglie

meVm 2

ντική Θεω

meVh

ph

2

Κβαν meVp 2

1740sJ 1063.6 34

nm 174.0V) C)(50 10kg)(1.602 1011.9(2 19-31

Πείραμα Davisson-Germer:περίθλαση ηλεκτρονίων απο κρύσταλλο

ατα

λικά

Κύμ

Ύλης:

Ύλ

ωρία της Ύ

ντική Θεω

Κβαν

Πειραματική απόδειξη κυματικής υφής

• Πείραμα Davisson-Germer (1927)έδ λ ί λή έ (54 V)

ατα

– σκέδαση ηλεκτρονίων χαμηλής ενέργειας (54 eV) απο κρυσταλικό νικέλιο (d=0.215 nm)

– χαμηλή ενέργεια επιφανειακή σκέδαση

λικά

Κύμ nd sin

1650))( i 502150( oπειραματικόΎλης:

Ύλ nm 165.0)nm)(sin50 215.0( o

nm1670hh

πειραματικό

de Broglie

ωρία της Ύ

κτρό

νιαnm 167.0

2

meVpde Broglie

ντική Θεω

μενα

ηλεκ

Κβαν

σκεδαζόμ

γωνία

σ

Περίθλαση ενεργητικών ηλεκρονίων

• Σε μεγάλες ενέργειες ηλεκτρονίωνύ β θ ά ύ λλ ήθ έδ B gg

ατα

– εισχωρούν βαθιά στον κρύσταλλο συνήθης σκέδαση Bragg

nd sin2

λικά

Κύμ – πολύ πιο οξείες γραμμές περίθλασης

Ύλης:

Ύλ

ωρία της Ύ

ντική Θεω

Κβαν

περίθλαση ηλεκτρονίων 50 keV από κράμα Cu3Au

περίθλαση ηλεκτρονίων από μονoκρύσταλο NaCl

Παράδειγμα 4.3• Μπορούν θερμικά νετρόνια να υποστούν περίθλαση σε κρυστάλλους;

– θερμικά σωματίδια είναι αυτά που έχουν ενέργεια 3kT/2

ατα

θερμικά σωματίδια είναι αυτά που έχουν ενέργεια 3kT/2– τι μήκος κύματος de Broglie έχουν τα θερμικά νετρόνια;

λικά

Κύμ

kTmn 23

21 2 kTmmp nnn 3

kTmh

n3

Ύλης:

Ύλ

nm1450sJ 1063.6 34

ωρία της Ύ nm 145.0

K) J/K)(300 10kg)(1.381 10675.1(3 23-27

ντική Θεω

το μήκος κύματος de Broglie των θερμικών νετρονίων είναι της τάξης έθ λλ ώ ά Ά θ ύ ίθλ

Κβαν μεγέθους των κρυσταλλικών αποστάσεων. Άρα θα υποστούν περίθλαση

Παράδειγμα 4.3• Τα νετρόνια που δημιουργούνται σε πυρηνικούς αντιδραστήρες είναι

μεγάλων ενεργειών και ακατάλληλα για πειράματα περίθλασης.

ατα

μεγάλων ενεργειών και ακατάλληλα για πειράματα περίθλασης. – Συνήθως επιβραδύνονται απο μια στήλη γραφίτη ώστε να καταλήξουν σε

θερμικές ενέργειες Για να καταφέρουμε μια «μονοχρωματική» δέσμη νετρονίων (όλα δηλαδή με

λικά

Κύμ – Για να καταφέρουμε μια «μονοχρωματική» δέσμη νετρονίων (όλα δηλαδή με

το ίδιο μήκος κύματος de Broglie) χρησιμοποιείται η παρακάτω διάταξη (γωνία μεταξύ σχισμών 10ο )ποιά ταχύτητα περιστροφής της διάταξης απαιτείται ώστε να περνάνε μόνο

Ύλης:

Ύλ – ποιά ταχύτητα περιστροφής της διάταξης απαιτείται ώστε να περνάνε μόνο

νετρόνια με μήκος κύματος de Broglie 0.1 nm;

h

ωρία της Ύ

m

/3960sJ1063.6 34

ντική Θεω m/s 3960

m) kg)(10 10675.1( 10-27

m50

Κβαν

s 000126.0m/s 3960m 5.0

t

s 004536.010360

tT o

o

Hz 2201

Tf

Οδηγούντα κυματοπακέτα

• Ξαναγυνάμε στα οδηγούντα κύματα de Broglieπεριγράφονται απο κυματοομάδες: πολλές συχνότητες μαζί ώστε να

ατα

– περιγράφονται απο κυματοομάδες: πολλές συχνότητες μαζί ώστε να δημιουργείται περιορισμένο κύμα στον χώρο

– αυτό το κύμα «οδηγεί» το σωματίδιο στον χώρο δ ύ ώ δ ό ό ά έ ύ ί δ ύ

λικά

Κύμ – ας δούμε πρώτα τις ιδιότητες ενός άπειρου εκτεταμένου κύματος: επίπεδα κύματα

Ύλης:

Ύλ

00 / mhωρία της Ύ

ντική Θεω

Κβαν

0 g

Επίπεδα κύματα• Στην γενική του μορφή, ένα επίπεδο κύμα δίνεται

tx 22 λ: χωρική περίοδος

ατα

TtxA

22cos Τ: χρονική περίοδος

1 Tf

λικά

Κύμ

• Η ταχύτητα διάδοσης της φάσηςγια σημείο σταθερής φάσης

t4

Ύλης:

Ύλ – για σημείο σταθερής φάσης

t3txttxx 22)(2)(2

ωρία της Ύ

t2

TT

)()(

xtx

ντική Θεω

t1Tt

xTtx

p

0

Κβαν x

k /2

Tk

/2/2

tkxA cos kfp /

Πρόσθεση δύο επίπεδων κυμάτων• Δύο κύματα με μικρή διαφορά στο μήκος κύματος: διακρότημα

ατα

txkAtxkA 221121 coscos

2 babab

λικά

Κύμ

2cos

2cos2coscos ba

k

ταχύτητα φάσης: kp /

ταχύτητα ομάδος: k /

Ύλης:

Ύλ txktxkA

cos22

cos2ταχύτητα ομάδος: kg /

ωρία της Ύ

ντική Θεω

οδεύον κύμα περιβάλλουσα

Κβαν οδεύον κύμα περιβάλλουσα

Κυματοομάδες

dkkxkAx cos)()(Ένα κυματοπακέτο περιλαμβάνει πολλά μήκη κύματος

ατα

)()(

Δχ

πολλά μήκη κύματος

λικά

Κύμ Δχ

Ψ(χ

)

Ύλης:

Ύλ

x

Ψ

ωρία της Ύ

)

ντική Θεω

ΔkΑ(k

Κβαν

k

γενικός κανόνας: 1 xk

Παράδειγμα με δύο κύματα

• Εαν θεωρήσουμε Δx το έυρος ενός διακροτήματος τότε

ατα

xkxxk

2cos)(

2cos το ίδιο ισχύει μεταξύ

συχνότητας και χρόνου

λικά

Κύμ

22

xkxk 2 t

Ύλης:

Ύλ 2

ωρία της Ύ

ντική Θεω

Κβαν

Αρχή της απροσδιοριστίας

W H i b g (1927)

ατα

• Werner Heisenberg (1927)– σε μια μέτρηση, η αβεβαιότητα στην θέση Δx και

η αβεβαιότητα στην ορμή Δp του σωματιδίου δεν

λικά

Κύμ

η η η ρμή p μμπορούν να ελατωθούν ανεξάρτητα η μια απο την άλλη. Το γινόμενό τους είναι πάντα:

Ύλης:

Ύλ

xp

ωρία της Ύ

kpxk

1 xp

ντική Θεω

Κβαν

Ένα παράδειγμα απροσδιοριστίας• ένα φωτόνιο σκεδάζεται προς τον φακό

– μέγιστη επιτρεπτή γωνία θ

ατα

μέγιστη επιτρεπτή γωνία θ– ορμή p=h/λ– λόγω διατήρησης ορμής στον x άξονα, η

απροσδιοριστία στην ορμή του ηλεκτρονίου

λικά

Κύμ απροσδιοριστία στην ορμή του ηλεκτρονίου

sin2 hp

Ύλης:

Ύλ

• το φωτόνιο συλλέγεται απο τον φακό– διακριτική ικανότητα φακού (και άρα

ωρία της Ύ

διακριτική ικανότητα θέσης ηλεκτρονίου)

x

ντική Θεω

ό β β ή

sin2x

Κβαν • γινόμενο αβεβαιοτήτων

hhxp

sin2 hxp

sin2

sin2

Αρχή της απροσδιοριστίας

ατα

• Δύο σχέσεις απροσδιοριστίας– θέσης – ορμής

λικά

Κύμ

xp

Ύλης:

Ύλ

– ενέργειας-χρόνου

ωρία της Ύ

tE

ντική Θεω

Κβαν

Παράδειγμα 4.6

• Η ταχύτητα ενός ηλεκτρονίου βρέθηκε ίση με 5000 m/s, με περιθώριο σφάλματος 0 003%

ατα

σφάλματος 0.003%. – ποιά η αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της θέσης;

λικά

Κύμ – ορμή ηλεκτρονίου

m/skg 1056.4m/s) kg)(5000 1011.9( 2731 mp

Ύλης:

Ύλ

– αβεβαιότητα στην ορμήωρία της Ύ

m/skg 1037.100003.0 31 pp

ντική Θεω – αβεβαιότητα στην θέση

m1077.0sJ 10055.1 331

34

x

Κβαν m 1077.0

m/skg 1037.1 31

px

Παράδειγμα 4.7

• Ένα διεγερμένο άτομο μπορεί οποιαδήποτε στιγμή να εκπέμψει ένα ό ί θ λ ώδ ά

ατα

φωτόνιο και να γυρίσει στην θεμελιώδη κατάσταση– κατά μέσο όρο το κάνει μετά απο χρόνο τ, χαρακτηριστικό για κάθε

διαφορετικό άτομο και στάθμη.

λικά

Κύμ – τι διεύρυνση προκαλείται στην συχνότητα εκπομπής λόγω αυτού όταν τ=10-8 s;

Ύλης:

Ύλ

tE

1 7

ωρία της Ύ

Hz 106.1s 1014159.32

1 78

ffh

ντική Θεω

Κβαν

Τι είναι η κυματοσυνάρτηση;

• Το κύμα που περιγράφει το σωματίδιοά

ατα

– κυματοσυνάρτηση Ψ(x)

• Δεν είναι μετρήσιμη

λικά

Κύμ • Δεν είναι μετρήσιμη

• Είναι εν γένει μιγαδική

Ύλης:

Ύλ • Είναι εν γένει μιγαδική

• Το τετράγωνο του μέτρου της αντιπροσωπεύει πιθανότητα

ωρία της Ύ • Το τετράγωνο του μέτρου της αντιπροσωπεύει πιθανότητα

)()(|)(| *2 xxx πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στην θέση x είναι ανάλογη του:

ντική Θεω

– είχε υπάρξει μεγάλη διαμάχη μεταξύ των φυσικών στα πρώτα χρόνια ως προς τι ακριβώς αντιπροσωπεύει

Κβαν ως προς τι ακριβώς αντιπροσωπεύει

• Το ηλεκτρόνιο (και κάθε μικρό σωματίδιο) συμπεριφέρεται είτε ως • Το ηλεκτρόνιο (και κάθε μικρό σωματίδιο) συμπεριφέρεται είτε ως σωματίδια είτε ως κύματα, ανάλογα με το είδος του πειράματος.

Περίθλαση από δύο σχισμές

2/sin Dελάχιστο όταν:

ατα ph /

λικά

Κύμ pDh 2/sin

Ύλης:

Ύλ

ωρία της Ύ

ντική Θεω

Κβαν

Περίθλαση από δύο σχισμές

ατα

λικά

Κύμ

Ύλης:

Ύλ

ωρία της Ύ

ντική Θεω

Κβαν

Περίθλαση από δύο σχισμέςατα

λικά

Κύμ 2

21 ||

Ύλης:

Ύλ

ωρία της Ύ

ντική Θεω

Κβαν

Περίθλαση από δύο σχισμές

• Το ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε μια κατάσταση υπέρθεσης, ασχέτως

ατα

απο ποιά σχισμή περνάει

21

λικά

Κύμ

Η θ ό ί θό ί

21

Ύλης:

Ύλ • Η πιθανότητα ανίχνευσης στην οθόνη είναι

221

2 ||||

ωρία της Ύ 21 ||||

cos||||2|||||| 212

22

12

ντική Θεω

Κβαν

Περίθλαση από δύο σχισμές• Μέτρηση σε διαφορετικές χρονικές στιγμές

ατα Η κυματοσυνάρτηση του

ηλεκτρονίου περνάει και

λικά

Κύμ ηλεκτρονίου περνάει και

απο τις δύο σχισμές!!

Ύλης:

Ύλ

ωρία της Ύ

ντική Θεω

Κβαν

Κατάσταση υπέρθεσης: η περίφημη «γάτα του Schrödinger»η περίφημη γάτα του Schrödinger

ατα

λικά

Κύμ

Ύλης:

Ύλ

ωρία της Ύ

ντική Θεω

Κβαν

ατα

λικά

Κύμ

Ύλης:

Ύλ

ωρία της Ύ

ντική Θεω

Κβαν

Προβλήματα

xpph /

ατα • 4.5: Ένα ηλεκτρόνιο και ένα πρωτόνιο έχουν το καθένα ενέργεια ίση με 50

keV. Ποιά είναι τα μήκη κύματος de Broglie; Για ένα φωτόνιο πόσο είναι;

λικά

Κύμ

• 4.8: Βρείτε το μήκος κύματος de Broglie μιας μπάλας μάζας 0.2 kg η οποία έχει ριχθεί απο κτήριο ύψους 50 m λίγο πρίν αυτή χτυπήσει στην γή

Ύλης:

Ύλ έχει ριχθεί απο κτήριο ύψους 50 m, λίγο πρίν αυτή χτυπήσει στην γή.

δείτε αυτό: http://htwins.net/scale/index.html

ωρία της Ύ

• 4.11: Από ποιά διαφορά δυναμικού θα πρέπει να επιταχυνθεί ένα ηλεκτρόνιο ώστε να αποκτήσει μήκος κύματος de Broglie 10-10 m;

ντική Θεω

• 4.14: Μια μπάλα μάζας 50 g κινείται με ταχύτητα 30 m/s. Αν η ταχύτητά της μετριέται με περιθώριο σφάλματος 0.1%, πόση είναι η ελάχιστη

Κβαν της μετριέται με περιθώριο σφάλματος 0.1%, πόση είναι η ελάχιστη

αβεβαιότητα για την θέση της μπάλα;

• 4.15: Ένα πρωτόνιο έχει κινητική ενέργεια 1 MeV. Αν η ορμή του μετριέται με αβεβαιότητα 5%, πόση είναι η ελάχιστη αβεβαιότητα της θέσης του;