トポロジカル欠陥のダイナミクスと量子乱流hongo/workshop/noneq-workshop-2017/slides/Noneq... · トポロジカル欠陥のダイナミクスと量子乱流発表内容

トポロジカル欠陥のダイナミクスと量子乱流

小林未知数京都大学大学院理学研究科

2017年12月6日　理研シンポジウム「非平衡物理の最前線–素粒子・宇宙から物性まで–」


発表内容

● イントロダクション：量子流体と量子渦

● 発達量子乱流におけるエネルギースペクトル

● 量子流体のヘリシティ

● 非可換量子乱流

● 量子乱流転移（少しだけ）

● まとめ


発表内容






● まとめ


量子流体と超流動

量子流体 : 量子効果がマクロなスケールで現れる流体

ボース系 : 超流動4Heフェルミ系 : 超流動3He 超伝導中性子星

超流動冷却原子気体超伝導

冷却原子気体

量子流体の振る舞い（基礎方程式）を理解し、様々な量子流体現象を説明することが1つの目標（他の物理系との関連）


量子流体の基礎方程式

量子流体を担うもの：巨視的波動関数

多体シュレディンガー方程式（波動関数 : ª(x1, ⋯ ,xN, t)）

U(1) 対称性の自発的破れと巨視的波動関数 Ã(x, t)



古典場における非線形シュレディンガー方程式 (Gross-Piteavskii方程式)



量子流体では流れは渦なしr£v=0となる



非線形シュレディンガー方程式のエネルギー

流体方程式


量子流体と渦なし流

量子流体では流れは渦なしr£v=0となる

障害物や壁などの存在下において渦（あるいは音波）の生成による流れの減衰がない


波動関数のトポロジカル欠陥：量子渦

密度場 : ½= jÃj2　　速度場 : v=(~/M)Arg(Ã)

½

Arg(Ã)

{¼

¼vk

v?

量子渦 : トポロジカル欠陥


量子流体の散逸と量子渦

障害物による量子渦の生成とカルマン渦列

量子渦はある有限大きさの流れ場以上でなければ生成されない

v/cs = 2.4 v/cs = 2.6 v/cs = 3.0

K. Sasaki, N. Suzuki, and H. Saito, PRL 104, 150404 (2010)


量子渦による流体記述の破綻

量子渦直上で破綻する（量子圧力項）

量子流体の流体的な振る舞いを議論するときには、速度場v（位相変化に対するGoldstoneモード）と渦の自由度の両方を考えなければならない。

流体中の回転的な流れはすべて量子渦によって担われる


量子圧力項の影響

● 流体力学的運動エネルギー (½v2) 保存の破れ● 流体力学的ヘリシティ (v×∇´v) 保存の破れ● Kelvinの循環定理の破れ● Kelvinの渦定理の破れ● 循環が量子化される● 量子渦が再結合する


量子圧力項の影響



再結合


流れ場と量子渦を用いた有効力学の構築

● 密度波と量子渦の相互作用● 量子渦の再結合の効果

» : 渦芯サイズ

R. L. Jerrard and D. Smets. arXiv:1606.05103


流れ場と量子渦を用いた有効力学の構築R. L. Jerrard and D. Smets. arXiv:1606.05103

異なる半径を持つ2つの渦輪の「カエル飛び」運動

z1 { z2

(r12

{ r 2

2 )/2


古典場による記述の破綻

● 高密度で破綻（局所近似の破綻）⇒固化● 音速を超えるエネルギースケール、あるいは有限温度下で破綻

（平均場近似の破綻）⇒流体に働く散逸効果

どのように取り込むべきか、完全な理論的枠組みはまだない

● 粘性項の導入● 二流体模型● 確率論的流体方程式への拡張

あるいはこれらの複合


流体方程式と運動のスケール（絶対零度）

運動のスケール

l : 渦間距離» : 渦芯サイズ

流体記述領域流体記述の破綻（流体記述+量子渦）

古典場記述の破綻

量子圧力項が効かないと思われる

量子圧力項が重要（循環の量子化、渦の再結合）

流体記述に対する散逸の効果

古典流体にどれくらい近い？


発表内容




● ヘリシティと量子乱流


● まとめ


量子渦と量子乱流

量子乱流 : 量子流体で実現される乱流状態量子渦の複雑な時間空間構造によって実現される

超流動ヘリウム非線形シュレディンガー方程式 +

現象論的散逸


非線形シュレディンガー方程式を用いた量子乱流のシミュレーション

nmax=2 の場合


定常量子乱流の流体エネルギースペクトル

渦間距離

渦芯

渦間距離よりも大きなスケールで、Kolmogorov則 (E(k)_k {5/3) が見える

M. Kobayashi and M. Ueda, arXiv:1606.07190

エネルギーのカスケード


量子流体と量子圧力

大きなスケールの流体現象の統計的性質にはあまり影響を与えないらしい

● Kolmogorov則のみに関したとしても、流体現象の統計的性質を変えない理由については、現在のところあまり良く分かっていない

● （例えば）量子流体の方程式から直接Kolmogorov則を導出するような理論な仕事が必要（かもしれない）

● Ý Euler方程式（あるいはNavier-Stokes方程式）ではある程度うまくいっているが、非線形シュレディンガー方程式に対する計算は殆ど無い（流体+渦糸模型ならば、多少はある）。





流体運動そのものは？⇒かなり違う





流体運動そのものは？⇒かなり違う


発表内容






● まとめ


流体力学におけるヘリシティ

流体力学では速度場と渦度場の内積としてヘリシティが定義される

渦まわりの回転

吸い込み

pが順圧ならHは保存量


● 「中心線ヘリシティ」として有限量のヘリシティが定義できる

量子流体におけるヘリシティ

渦の位置x=x0でvが発散するので、従来のヘリシティの定義はできない

量子流体のヘリシティに関する2つの流派

● 量子流体でヘリシティは定義できない（常にゼロになる）


量子流体における中心線ヘリシティ

中心線ヘリシティは量子渦に局在する

v=ve+veとすると、発散するのはvだけ

vkv?


中心線ヘリシティの意味

位相の巻きつき

位相のひねり

古典流体量子流体

コルクスクリュー型流れ量子渦に沿った位相の勾配


中心線ヘリシティの意味

中心線ヘリシティÞ 渦に沿った位相ひねり + 渦のねじれ

系に閉じた渦輪しかない場合

● 位相ひねりNtwistZ : topological part● 渦のねじれTtorsionR : non-topological part


渦輪の位相ひねり

シンプルな渦輪の位相ひねりは不可

writhe

link knot

渦の再結合の種


渦輪の位相ひねりと中心線ヘリシティ

writhe link knot

Vortex networks in thermal equilibrium and quench dynamics of U(1)-symmetry broken systems

渦輪の位相ひねりと中心線ヘリシティ

● 中心線ヘリシティは厳密には保存しない（特に再結合前後）が、ほぼ保存する（量子圧力の影響が小さい）

● 再結合の前後で中心線ヘリシティの位相ひねりと渦のねじりの寄与が入れ替わる。


中心線ヘリシティと時間の向き

注：逆再生ではない

位相ひねり：減る渦のねじり：増える



注：逆再生ではない

位相ひねり：増える渦のねじり：減る

ダイナミクス（およびヘリシティ）は時間反転対称





P. Clark di Leoni, et al., arXiv:1705.03525



位相ひねりは平衡状態に向かって急激に減少する　⇒位相ひねりを減らす再結合が圧倒的に多い　　⇒非平衡度を表す指標？

渦のknotやlinkは平衡状態に向かってほどけてゆく　（ひもは放っておくと絡まらない：マーフィーの法則と逆）

P. Clark di Leoni, et al., arXiv:1705.03525

時間反転になっていない理由は分かっていない


発表内容






● まとめ


ヘリシティの変化：再結合を阻止する

内部自由度を導入する

状態はスピン空間で「形」を持つ


可能な渦状態の例

¼ 2p/3

1/2 spin vortex 1/3 vortex

spin circulation : 1/2 mass circulation : 1/3spin circulation : 1/3


7種類のお互いに非可換な渦


非可換な渦の衝突

非可換な渦は衝突しても再結合せず、渦のトポロジーは変わらない中心線ヘリシティの位相ひねり⇔渦のねじりの入れ替えが起こらない


渦の絡み目とトポロジカルチャージ

B A

A ABA {1

ABA {1 AB {1ABA {1

B

ABA {1

A

AB {1ABA {1

AB {1A {1B

非可換

B

B

A

A

可換渦

非可換渦では絡み目がほどけない


非可換渦による乱流

可換渦の乱流（従来の乱流）非可換渦の乱流

渦が絡まって動きにくいところがある


非可換渦による乱流

可換渦の乱流（従来の乱流）非可換渦の乱流

渦の大規模な「網」構造が生まれる（マーフィーの法則に近づく）


非可換量子乱流のエネルギースペクトル

可換渦の場合 E(k)k {5/3

Þエネルギーおよびヘリシティカスケード

非可換渦の場合 E(k)k {7/3

Þヘリシティのみのカスケード

エネルギーカスケード

ヘリシティカスケード



非可換量子乱流のエネルギースペクトル

可換渦の場合べき構造なし

非可換渦の場合 E(k)k {5/3

Þエネルギー逆カスケード

エネルギー逆カスケード

渦の空間トポロジー（中心線ヘリシティの位相ひねり）を不変にすると、エネルギーが大きなスケールへと流れる⇒ミクロな乱流ゆらぎがマクロなスケールへ増幅される




発表内容






● まとめ


乱流から渦なし流れへの転移

外力の強さ（粘性流体ならレイノルズ数）

渦なし流れ乱流状態発達乱流

乱流から渦なし流れへの転移 (X) 渦が流れによって生成されるか? (O) 流れの中で渦が生き残れるか?

エネルギーやヘリシティのカスケード

有限温度系に対する現象論的散逸を導入した非線形シュレディンガー方程式（一様流れ場中）


流れ下における乱流状態integration of vortex density in y-z plane


流れ下における乱流状態integration of vortex density in y-z plane


乱流から渦なし流れへの転移integration of vortex density in y-z plane

エネルギーやヘリシティとは異なるもので乱流→渦なし流れの非平衡相転移現象が議論可能？


まとめ

粘性流体とは異なる新しい流体モデルとしての量子流体

● 流れ（位相変化に対するNGモード）は渦なし→超流動● 循環の量子化および量子渦⇒渦なし流れとは別の自由度● 流体の運動（量子圧力）を二分するスケールの存在：渦間距離● 量子流体で定義される中心線ヘリシティ

● 量子乱流でもKolmogorov則とエネルギーのカスケードが見える● 中心線ヘリシティの位相ひねり部分は量子流体の非平衡度を特徴づける

（位相ひねりを減らす再結合が圧倒的に多い）● 量子乱流で再結合を禁止するとエネルギーが逆にカスケードする● 乱流→渦なし流れへの非平衡相転移（詳しくは明日の竹内氏の発表）


まとめ

● 量子流体は大域的U(1)対称性が破れる非相対論的な場の理論：他の場の理論（Goldstone模型、相対論的ボソン系、液晶のLandau-de Gennes模型）との関連は？同様の非平衡現象は期待できるか？

● 流れ場と渦の自由度として量子流体の有効理論を構築できるか？● 量子圧力と粘性流体の粘性との間にアナロジーはあるか？● 中心線ヘリシティの位相ひねり部分が時間反転対称になっていないように見え

るという結果に意味があるか？● 量子流体の散逸のミクロな理論からの導出は可能か？


Ground state phase diagram

Biaxial NematicFerromagnetic

Uniaxial Nematic

87Rb BEC

Cyclic


Ground state phase diagram

Biaxial NematicFerromagnetic

Uniaxial Nematic Cyclic

Netron star (cooper pairs)

Lower temperatures


Expected application for helicity and energy cascades

Neutron star : P-wave cooper paring state (spin-1, orbital-1)

Neutron star : 3P2-stateÞ A is traceless and symmetric (different from superfluid 3He)


Space-dependent topological charge

Path d gives charge ABA{1 for vortex B


Collision of Vortices

(only Abelian)

B

A

A

ABA-1

B

A B

B-1AB

B

A

AB

A

ABA-1

B

A

A

ABA-1

BA-1


Collision of same vorticesA

A

A

A

A

A A

A

A

A

A2

A

AA

A

A

A

1

○

×

×

reconnection

Energetically unfavorable


Collision of different Abelian vorticesB

A

A

ABA-1

B

A B

B-1AB

B

A

AB

A

ABA-1

B

A

A

ABA-1

BA-1

×

×○

Passing

Energetically unfavorable


Collision of non-Abelian vortices

Topologically forbidden

B

A

A

ABA-1

B

A B

B-1AB

B

A

AB

A

ABA-1

B

A

A

ABA-1

BA-1

× ○

○

rung


Spherical harmonic expression

Y2,2 Y2,1 Y2,0 Y2,{1 Y2,{2

{ ¼ ¼

cyclic state

0-2p/3

2p/3

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