コンタクトモードAFMにおけるPTCに基づく表面形状オブザーバの提案と

双方向型学習制御への適用

白石貴行∗，藤本博志（横浜国立大学）

Proposal of PTC based STO and Application to Dual-Diection Learning Controlfor Contact-mode Atomic Force Microscope

Takayuki Shiraishi∗, Hiroshi Fujimoto (Yokohama National University)

Abstract

Atomic force microscope (AFM) is equipment which can measure nanoscale surface topography of the sample. Al-

though the general measurement method of AFM uses a control input, the observer based measurement is proposed in

our research group. If the plant is a secondary system, since unstable zero problem did not occur, the observer using a

discrete inverse model had been proposed. However, when the zero of the plant is close to -1 which is the stability limit,

the estimated surface topography shows very oscillated response. In order to solve this problem, the multirate surface

topography observer is proposed in this paper. Some simulations and experimental results show that the effectiveness

of the proposed method.

キーワード：原子間力顕微鏡，ナノスケールサーボ制御，コンタクトモード，表面形状オブザーバ(nanoscale-servo control, atomic force microscope, contact-mode, surface topography observer )

1. はじめに原子間力顕微鏡 (AFM)は，ナノスケールの表面形状を測

定できる装置である。本研究グループにおいて，従来の測定方式であった制御入力を画像出力とする方法ではなく，オブザーバによる計測を提案している (1) (2)。文献 (3)では，制御対象が 2次系の場合に極零相殺に基づく表面形状オブザーバの構成を提案していた。この場合，離散化した制御対象の零点が安定限界に近い場合，推定される表面形状は振動的な応答を示す。この問題を解決するために，PTCに基づく表面形状オブザーバを提案する。また，フィードバック制御のみであった AFMにおいても，フィードフォワードを併用した2 自由度制御系を用いた手法が提案されている (5) (6)。本稿では，本研究グループで既に提案している表面形状学習オブザーバ (4) (7) の構成に，今回提案する PTCに基づく表面形状オブザーバを用いた。提案手法が有効であることをシミュレーションおよび実験結果により示す。

2. コンタクトモードAFMの計測原理本稿で用いたコンタクトモード AFMの制御構成を図 1に

示す。本実験装置は日本電子 (株) JPSM-5200を改造したものであり，制御部は DSP(サンプリング時間 Ts =30 [µs] )を用いたディジタル制御である。図中の H ，S はそれぞれホールダとサンプラである。一般的な AFMでは，表面形状を制御入力 uを用いて画像

化していることを説明する。カンチレバが一定の力で試料表面を押す。走査が開始すると表面形状 dにより，たわみ量が変化（カンチレバ先端が変位）するので，これを出力 yとしてフィードバックによりセットポイント rに定位させる。このときの Zスキャナへの制御入力 uは表面形状 dに追従するように与えられる。dから uまでの特性は補感度関数 T (s)

そのものであり，制御対象を P (s)，フィードバック制御器

図 1 コンタクトモード AFM の構成

を Cfb(s)とすると式 (1)となる。

T (s) = −u

d=

Cfb(s)P (s)

1 + Cfb(s)P (s)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1)

コンタクトモードの力学モデル (4) より，制御対象は 2次系である。サーボアナライザにより得られた制御対象の周波数応答を図 2の実線に示す。また，同図の制御対象 P [z]を2次系でフィッティングしたノミナルプラント Pn[z]を次式に示す。

Pn[z] =1.855z + 1.728

z2 − 0.7764z + 0.8158· · · · · · · · · · · · · · · · · · (2)

Pn[z]は連続系の制御対象 Pn(s)を零次ホールドで離散化することで求めている。図 2の破線に Pn[z]を示す。〈2・1〉 フィードバック制御器の設計 フィードバック制御器は式 (4)のフィードバック制御器 Cfb(s)を用いた。

Cfb(s) = 0.01 × Tpis + 1

Tpis× Cnotch(s) · · · · · · · · · · · (3)

Tpi = 1/(2π × 600)

ここで，Cnotch(s)は制御対象の位相安定化のための多段ノッチフィルタである。次式に Cnotch(s)を示す。

Gain of Plant P [z] Phase of Plant P [z]

図 2 制御対象の周波数応答

Gain of P [z]Cfb[z] Phase of P [z]Cfb[z]

図 3 開ループ周波数応答

図 4 極零相殺に基づく表面形状オブザーバ

Cnotch(s) =

3∏r=1

s2 + Qrωrs + ω2r

s2 + QrArωrs + ω2r· · · · · · · · · · · · · (4)

Q1 A1 ω1

Q2 A2 ω2

Q3 A3 ω3

=

0.30 0.04 43982.29

0.10 0.20 78539.81

0.10 0.35 5654.867

それぞれ ωr：ノッチ中心周波数 [rad/s]，Qr：ノッチの深さを決めるパラメータ，Ar：ノッチの幅を決めるパラメータである。なお，あらかじめプリワープ処理を施している。オープンループ周波数特性 P [z]Cfb[z]を図 3に示す。

3. 表面形状オブザーバ〈3・1〉 極零相殺に基づく STO 連続系の制御対象

P (s) を零次ホールドで離散化したパルス伝達関数を P [z]

とする。一般に零次ホールドで離散化すると，3次以上の制御対象では不安定零点を持つことが知られている (8)。本稿では制御対象を 2次モデルとしているので，制御対象は安定零点のみ持つ。表面形状を零次ホールドしたものを d[k] とする。このとき出力 y[k]は

y[k] = P [z](u[k] + d[k]) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (5)

となる。上式を変形して表面形状 d[k]を求める。

d[k] = P [z]−1y[k] − u[k] · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (6)

P [z]−1 をプロパーにするために z−1 を両辺に掛けると

d[k − 1] = z−1P [z]−1y[k] − z−1u[k] · · · · · · · · · · · · · · (7)

図 5 PTC に基づく STO

よって，逆モデルを用いた STO (4) として

dpzc[k] = (zP [z])−1y[k] − z−1u[k] = d[k − 1] · · · · · (8)

を用いるとノミナルプラント Pn(s) に対し 1 サンプル遅れの表面形状 d[k − 1]が推定できる。本稿では，これを極零相殺に基づく表面形状オブザーバ (PZC-STO)と呼ぶこととする。P [z]の零点を調べると，−0.928である。これは離散系の安定限界である −1に近い。この零点が逆モデルの極となるため，式 (8)の右辺第 1項 (zP [z])−1 は安定ではあるものの，かなり振動的な応答を示すことになる。〈3・2〉 PTC に基づく STO(提案法) 完全追従制御

(PTC)はナノスケールサーボ分野において広く適用されている手法で，ノミナルプラント P [z]に対しサンプル点上において指令値との追従誤差を零にできる制御手法である。この PTCで用いている逆モデルを用いて STOを構成する。連続時間系の制御対象を可制御標準形で実現した状態方程

式を式 (9)(10)とする。ここで x(t) = [ x1(t) x2(t) ]：状態変数，u(t)：制御入力，d(t)：表面形状，y(t) = x1(t)：出力である。

x(t)= Acx(t) + bc(u(t) + d(t))　 · · · · · · · · · · · · · · (9)

y(t)= ccx(t) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (10)

マルチレートで制御対象の離散化を行う。PTCに基づくSTOのブロック図を図 5に示す。ここで，H M：マルチレートホールダである。それぞれの制御周期の関係は，Tu = Ty，Tr = nTu の関係である。短いサンプリング周期 Tu で離散化した状態方程式を次式とする。

x[k + 1] = Asx[k] + bs(u[k] + d[k]) · · · · · · · · · · · · (11)

y [k] = csx[k]　 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (12)

ただし，x[k] = x(kTu)である。また，

As = eAcTu , bs =

∫ Tu

0

eAcτ bcdτ · · · · · · · · · · · · (13)

とする。制御対象の次数 n = 2であることから 2サンプル目について式 (11)(12)を考え，時刻 t = iTr = kTu とすると次式が得られる。

x [i + 1] = Ax[i] + B(u[i] + d[i]) · · · · · · · · · · · · · · (14)

A= A2s, B = [Asbs, bs]

式 (14)で表される制御対象の離散時間状態方程式から

u[i] + d[i] = B−1(I − z−1r A)x[i + 1] · · · · · · · · · · · (15)

(a)PZC-STO dpzc (b) PTC-STO dptc(Ideal) (c) PTC-STO dptc(central difference)

図 6 それぞれの STO の時間応答（シミュレーション）

の逆モデルが得られる。式 (11)の制御対象が可制御であれば，行列Bは必ずフルランクであり，正則性が保証される。また (15)式より，逆システムの極は全て z 平面の原点にあることから安定である。ここでは表面形状 d[i]を求めたいので，式 (15)より

d[i] = B−1(I − z−1r A)x[i + 1] − u[i] · · · · · · · · · · · (16)

が求まる。未来の値 x[i + 1]は取得できないため，1サンプル (Tr)遅れた表面形状 d [i − 1]を推定する。

d[i − 1] = B−1(I − z−1r A)x[i] − u[i − 1]· · · · · · · (17)

となる。上式で必要となるのは x[i] = [ x1[k] x2[k] ]である。x1[k]は y[k]と等しいが，本稿では x2[k]は直接検出できない。そこで，式 (9)は可制御標準形で実現され，x2(t) = x1(t)

の関係であるから，次式の中心差分を用いて 1サンプル (Tu)

遅れの x2[k − 1]を求める。

x2[k − 1] ∼=y[k] − y[k − 2]

2Tu· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (18)

式 (18)，および y[k − 1]より 1サンプル (Tu)遅れの状態量x[k − 1]が求まる。これを踏まえて式 (17)を短いサンプリング時間 Tu で書き直すと，次式を得る。

dptc[k − 3] = B−1(I − z−1r A)x[k − 1] − u[k − 3] (19)

式 (19)より得られたオブザーバは安定な逆システムであり，かつ短いサンプリング時間 Tu 毎に 3サンプル遅れた表面形状 d[k − 3]が推定可能である。注意点として，式 (19)の左辺はスカラーであるが，右辺第一項は式 (17)からわかるようにベクトルとなっている。つまり，式 (19)右辺第一項はTr = 2Tu 毎に計算され，これがマルチレートホールダを経由することで，Tu 毎の表面形状 d[k]が得られる。また，本稿で扱った表面形状 d[k]は，零次ホールドされた

表面形状である。現実の表面形状 d(t)は零次ホールドは経由しない。よって推定される d[k]は，d(t)を零次ホールドに経由したものとなっていることを記す。

4. 極零相殺形と提案法の比較 (開ループ推定)

シミュレーション結果を図 6に示す。入力端外乱 d(t)を与えたものである。それぞれ (a)PZC-STO，(b)制御対象の状態変数が直接検出できるとした場合の PTC-STO，(c) x2[k]

を中心差分で近似した PTC-STO である。同図において破

図 7 PTC-STO を用いた場合の DD-STLO

図 8 サンプルの表面形状 (実験結果)

線部を境にして出力端に微小な観測ノイズを印加し続けている。また，比較しやすくするために表面形状 d(t)と推定した表面形状 d[k]の位相を合わせている。

(a)をみると，ノイズが印加されるまでは dpzc がサンプルTu 点上で表面形状 d[k]と一致している。しかしながら観測ノイズ印加後の応答は振動的になる。これに対し，理想状態である (b)では，ノイズ印加までは (a)と同じく表面形状d[k]と一致する。現実には (c)を用いることになるが，ノイズが入っていない状態でも僅かに誤差を生じるが，ノイズに対して (a)のように振動的な応答ではない。これらに対応する実験結果を図 10(a) に示す。同図より，

PZC-STOが振動的な応答であるのに対し，PTC-STOでは振動的になることなく推定できている。なお，この実験結果は同時に計測したものである。

5. 実験結果と考察

STO を用いると観測の精度は向上するが，フィードバック特性は従来法と同一であることから Z スキャナの表面形状追従性は改善されない。そこで，STOで推定した表面形状 d[k] をフィードフォワードする表面形状学習オブザーバ(STLO)を提案している (7) (4)。それぞれの STOを双方向型の STLO(DD-STLO)へ適用する。制御ブロック図を図 1の破線内に示す。本稿で用いた実験装置のカンチレバ先端の走

(a)conventional u (b)PZC-STO dpzc (c)PTC-STO dptc (d)STLO with PTC-STO dptc

図 9 3D 画像 (走査速度 732[µm/s]，12.3[s/image]）

(a)dptc and dpzc (b)error e without STLO (c) error e with STLO

図 10 PZC-STO と PTC-STO の比較 および学習制御有無による追従誤差の違い（実験結果）

査経路は，X方向に一往復した後に，Y方向に微小ステップすることで面走査を行っている。X方向における一往復の経路は同一とする。DD-STLOでは，往路で推定した din[k]を復路でメモリナンバーを折返すように dout[k]として与える。つまり，そのままメモリナンバーを折返すと，実際の表面形状に対し，PZC-STOの場合だと 1サンプル (Tu)，PTC-

STOだと 3サンプル (Tu)だけ早いタイミングでフィードフォワードを印加してしまう。そこで PZC-STO，PTC-STOでは，それぞれ 1 サンプル，3 サンプルだけ dPTC を遅らせる。PTC-STOを用いた STLOでのタイムチャートを図 7に示す。図 8(a) に従来法で十分に時間をかけて計測した基準と

なるサンプルの 3Dイメージを示す（走査速度 7.32[µm/s]，1230[s/image]）。このサンプルを走査速度 732[µm/s]で計測したときの実験結果を図 9に示す。それぞれ (a)従来法の制御入力，(b)PZC-PTC：推定のみ，(c)PTC-STO：推定のみ，(d)PTC-STOを用いた DD-STLOである。 dptc は振動的であるため，そのままでは STLOに用いることはできない。使用するためには，図 4に示したようにノイズカットのQフィルタを用いる必要がある。フィードバック制御のみの追従誤差を図 10(b)に，STLO

の場合を図 10(c)示す。図 10(b)は図 9の (a)～(c)に相当し，追従誤差は大きいままである。これに対して (c)DD-STLO

ではフィードフォワードにより追従誤差が低減している。また，図 9の (b)(c)の凹部に見られるスパイク状の形状も消失している。この形状は，高速走査時にカンチレバ先端が試料表面から離れてしまう（計測できていない）ことが原因と考えられる。DD-STLOでは走査時の追従性が向上し，カンチレバが安定して表面形状と接触できるので，正しい高精度で表面形状を推定できる。提案手法は次数の制限がないこと，オブザーバの極が全て

安定となる利点がある。しかしながら，本稿では検出できな

い状態量を中心差分により近似的に求めている。また，零次ホールドされた表面形状を推定している。この 2点について改良が必要である。謝　　　辞本稿の一部は文部科学省科学研究費補助金 (課題番号

“ 18686036”)によって行われたことを付記する。

参考文献（1） 藤本博志, 青木建吾 : “原子間力顕微鏡におけるナノスケー

ルサーボ技術の新展開”, 平成 18 年電気学会産業応用部門全国大会, vol.2, pp. 127-132 (2006).

（2） 白石貴行, 藤本博志 : “タッピングモード AFMにおける表面形状オブザーバの提案”, 平成 19 年電気学会産業計測制御研究会, IIC-07-119, pp. 17-22 (2007).

（3） 大島隆史, 藤本博志 :“簡易同定法に基づくコンタクトモード AFMの表面形状学習オブザーバ”, 平成 20年電気学会産業計測制御研究会, IIC-08-107，pp. 37-42，2008

（4） 大島隆史, 藤本博志 : “コンタクトモード AFM における表面形状学習型オブザーバの提案”, 平成 19 年電気学会産業計測制御研究会, IIC-07-117, pp. 7-12 (2007).

（5） G. Schitter, A. Stemmer and F. Allgower : “Robust

two-degree of-freedom control of an atomic force mi-

croscope”, Asian Journal of Control, 6, 2, pp. 156-163

(2004).

（6） T. Uchihashi, N. Kodera, H. Itoh, H. Yamashita and

T. Ando : “Feed-Forward Compensation for High-Speed

Atomic Force Microscopy Imaging of Biomolecules”,

JJAP, vol. 45, No. 3B, pp. 1904-1908 (2006).

（7） 白石貴行，藤本博志 : “振幅変調型ダイナミックモード原子間力顕微鏡における前列走査型および双方向型表面形状学習オブザーバの提案”, 第 8回計測自動制御学会制御部門大会，SY004/04/08/0000-07412 (2008).

（8） K. J. Astrom and J. Sternby : “Zeros of sampled

stetem”, Automatica, vol. 20, no.1, pp. 31-38 (1984).