セル・オートマトン(Cellular Automaton, CA)

• 簡単なセル間の局所的相互作用（ローカルルール）から複雑な現象を表現する手法CA is a discrete model studied in computability theory, mathematics, physics, complexity science, theoretical biology and microstructure modeling.

近傍セル (neighborhood cell)

注目セル

解析領域 (Object domain)

セルオートマトンに関わる用語

• セル (Cell)– 時間と空間を離散化する．(Space is discretized into

cells.)

• 近傍セル (Neighborhood cells)– 隣り合うセルのどこまでを関連づけるか．(Adjacent

cells)

• 状態変数 (State variable)– 各セルの上で定義される変数 (Varialbes to be

updated)

• ローカル・ルール (Local rules)– 近傍セルからの状態を元に，セルの状態変数を更新する規則 (Rules to update state variable)

代表的な近傍セルの定義Neighborhood cells

123

4

5 6 7

80

Moore近傍Moor Neighborhood

Von Neumann近傍Von Neumann neighborhood

123

4

5 6 7

80

J. Von Neumann, 1946

– 有限オートマトン理論 (Finite automaton theory)

A. W. Burks, 1950s 60s

– Neumann理論のまとめ (Collection of

Neumann’s work)

J. H. Conway, 1970

– ライフゲーム (Life game)

S. Wolfram, 1980

– NS方程式とCAの関連を証明 (NS vs CA)

セル・オートマトンの研究の流れ

セル・オートマトンとマルチ・エージェントシステムCellular Automata and Muti-Agent System

• セル・オートマトンモデル(CA)は，もともと理学的なところに起源がある．(CA is popular in Science field.)

• マルチ・エージェントシステム(MAS)は，どちらかといえば情報工学的なところからでている．(MAS is in information engineering or AI.)

• そこで・・・– 微分方程式で記述できる問題ではCA, 微分方程式が与えられていない現象に適用するときにはMAS. (When the phenomenon is governed by differential equation, CA. Otherwise, MAS.)

1次元セルオートマトン1-dimensional CA

• 各タイムステップにおける空間を横１列に配置したセルで表現し，これを縦方向に並べて時間発展を表現する．(Cells are lined up in a row at each time step.)

• 注目セルに対する最近傍セルは両隣のセルとなる．(Adjacent cells are neighborhood cells.)

1次元セルオートマトンの用語

• 近傍セル(Neighborhood cells)

• 境界条件 (Boundary (End-point) condition)

ウルフラムの1次元セルオートマトン

• 1次元に配置されたセルを考え，各セルは状態量として0または1をとるものとする．注目セルとその両隣セルの状態から，ローカル･ルールによって注目セルの次の状態を決定する．

Walfram’s 1D-CA

• Cells are in lined up in a row.

• State variables are 0 or 1.

• Two adjacent cells are neighborhood cells.

状態量 (State variable)

• セルは，状態として0または1をとる．(State is 0 or 1.)

• tにおける3セルの状態の組み合わせは8通り，t+1における状態は2通り，組み合わせは256通りとなる．(Total number of combinations is 256.)

4つのクラス

• クラス1 (Class 1)–セル全体が同じで変化しない状態

• クラス2 –最終的に周期的な変化する状態

• クラス3 –セル全体がランダムな変化を続ける状態

• クラス4

–規則的なパターンとランダムなパターンが共存する複雑な状態

Wolfram classes

• Class I: Homogeneous – Everything eventually dies or lives. Some initial transient

behavior usually precedes this final state.

• Class II: Periodic – Perhaps after some initial transients, the pattern repeats itself

exactly, in space (horizontally), in time (vertically), or both.

• Class III: Chaotic – Patterns grow in a chaotic fashion: short-lived islands of order

and sensitivity to initial conditions. Here are two examples.

• Class IV: Complex – Patterns grow in a complicated way, with both local stable

behavior (acting as memory) and long-range correlations (acting to transmit data).

ルール90セルオートマトンRule 90 CA

𝑠−1𝑡 , 𝑠0

𝑡 , 𝑠1𝑡 111 110 101 100 011 010 001 000

𝑠0𝑡+1 0 1 0 1 1 0 1 0

t=0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0t=1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0t=2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0t=3 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0t=4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0t=5 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1

シェルピンスキーのギャスケットSierpinski gasket

• 自己相似的な無数の三角形からなるフラクタル図形の1種である．(Sierpinski gasket is a fractal shape with the overall shape of an equilateral triangle.)

2次元セルオートマトン2D CA

• 2次元セルオートマトンではセルを縦横2次元に配置する．各セルの状態量は，時間ステップごとにローカル･ルールで更新する．Cells are placed in two-dimensional space. State variables are updated at each time step.

2次元セルオートマトンの用語

• 近傍セル

注目セル

近傍セル

注目セル

近傍セル

Von Neuman近傍 Moor近傍

ライフゲーム

• 1970年にイギリスの数学

者コンウェイによって考案された．

• 生命の誕生、進化、淘汰などのプロセスを簡易的なモデルで再現したシミュレーションモデルである．

モデル

• シミュレーション領域は正方形セルの集合として定義される．(Space is covered with cells.)

• 各セルの隣接8セルが近傍セルとして利用される．(Moor近傍, Moor neighborhood)

• セルの状態量としては，「生」と「死」の2つの状態をとる．(State is death or alive.)

注目セル

近傍セル

ローカルルール

1. 誕生注目セルが死んでいるとき，その近傍セルのうち3つが生きていれば，次の世代に注目セルは誕生する．

2. 生存注目セルが生きているとき，その近傍セルのうち2 or 3が生きていれば，注目セルは次の世代でも生存する．

3. 過疎注目セルが生きているとき，その近傍セルのうち生きているセルが1つ以下ならば、過疎により注目セルは死滅する．

4. 過密注目セルが生きているとき，その近傍セルのうち生きているセルが4つ以上ならば、過密により注目セルは死滅する．

Local Rules

1. Any live cell with fewer than two live neighbors dies, as if caused by under-population.

2. Any live cell with two or three live neighbors lives on to the next generation.

3. Any live cell with more than three live neighbors dies, as if by overcrowding.

4. Any dead cell with exactly three live neighbors becomes a live cell, as if by reproduction.

代表的なパターンTypical patterns

• ブリンカー (Blinker)

• 池 (Pond)

• 時計 (Watch)

迷路(Maze)