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トラヒックエンジニアリング(2回実施予定)
第10章
Science and Technology
平日と休日のトラヒックの時間変動の例 (ビジネスエリア)
図10.1
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(1)アーラン(erl)C=1時間当たりの呼発生数h=平均保留時間a=ch(erl)つまり、1回線が運ぶことができる最大呼量は1erlである。(2)ポアソン呼(poison call)① 呼の発生がたがいに独立である。すなわち、呼の発生はその時点以
前の呼の発生とは無関係である(呼生起の独立性、マルコフ性)。
② 観測時間Δtの間に呼が発生する確率は一定である。すなわち、呼の発生確率に時刻依存性はない(呼生起の定常性)。
③ 観測時間Δtを小さくとると複数の呼が生起することはない。すなわち、複数の呼がほとんど同時に発生する確率は無視できるほど小さい(呼生起の希少性)。
呼量とトラヒックモデル3
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トラヒックモデル
呼源
m ・・・ 2 1
サーバー1
・・・・
3呼呼 呼 呼 呼
呼
呼
呼
呼
待合室
呼生起間隔分布 待合室数 サーバー数保留時間分布
サーバー2
サーバーc
図10.2
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トラヒックモデル5
即時系 輻輳状態の時に接続をあきらめる
待時系 輻輳状態の時に空くまで待つシステム
ケンドール表現 A / B / S(m)
(m)
A B
サーバー数
生起間隔分布 保留時間分布待ち呼数の上限
S サーバー数
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電話の保留時間
図10.3
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電話の保留時間累積分布
図10.4
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ランダム呼とポアソン分布(1/4)8
微少時間Δt時刻t0と(t0+Δt)の間に一つの呼が生起する確率
p1(Δt)はp1(Δt)=λΔt (1)
λは正の常数 λ:生起率
任意の時間t時間にk個の呼が生起する確率pk(t)
時間間隔tを微少時間Δtごとに等分し、n組に区分した。t時間中に全然呼の生起しない確率p0(t)は
p0(t)=[p0(Δt)]n (2)
(n組)Δt Δt
t
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ランダム呼とポアソン分布(2/4)9
Δtにはせいぜい一つの呼のみ発生するのでΔ 1 Δ 1 ∆
この関係を(2)の式にあてはめると1 ∆
n=t/Δtを代入して
1 (3)
(3)式で → ∞とすると
lim→
1 (4)
をn個の区分のうち任意のk個にだけ一つずつ呼が生起する確率と考えると
Δ ∆ (5)
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ランダム呼とポアソン分布(3/4)10
(4)式のtをΔtとおきかえ、(5)の式の1部に代入すると
∆ ∆ · ∆
1 ∆!
∆! ⋯⋯
≒ 1 Δ (6)∆ 1 Δt 1
1 1 Δt ! ⋯⋯
≒ Δt (7)したがって、(5)式に(6),(7)式を代入し、Δt→0, n→∞とすると
⋯⋯!
≒ ! (8)
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ランダム呼とポアソン分布(4/4)11
(8)式はポワソン生起と呼び、教科書の(10.5)式である。
t時間内にk個の呼が生起する確率がポアソン分布とするとき、長さtの時間間隔内で生起する呼数の平均値は
!
!
(9)
1k
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待ち時間を短くするのはどちらか?12
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リトルの公式13
“観測: 、 ⇒ がわかる” すごい式
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リトルの公式
リトルの公式の使用例14
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M/M/1待ち行列システム15
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M/M/1待ち行列システム(続き)16
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M/M/1待ち行列システムの状態遷移図17
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M/M/1待ち行列システムの状態遷移(1/3)
18
下図
下図
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M/M/1待ち行列システムの状態遷移(2/3)
19
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M/M/1待ち行列システムの状態遷移(3/3)
20
λΔt)
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待ち行列システム内客数の定常確率(1/4)
21
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待ち行列システム内客数の定常確率(2/4)
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(電子回路のキルヒホッフの法則?)
1
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待ち行列システム内客数の定常確率(3/4)
23
(この算出を演習にすることが多い)
1
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待ち行列システム内客数の定常確率(4/4)
24
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システム内の平均客数25
(これを演習にすることが多い)
1
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平均システム内滞在時間26
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M/M/1モデルの平均待ち時間
図10.7
(17)式の
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出線数と出線使用率
図10.8
これを大群化効果という
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単独高速サーバー(処理時間1/μ)と5台の並列低速サーバー(処理時間1/5μ)の待ち時間特性
図10.9
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待ち時間を短くするのはどちらか?30