目的

ナイキストフィルタおよびルートナイキストフィルタは，ディジタル変調方式におけるベースバンドでの帯

域制限フィルタとして重要な役割を果たしています．ナイキストフィルタの特性は周波数領域で定義されるこ

とが多いのですが，ナイキストフィルタを フィルタとして構成するためにはナイキストフィルタのイン

パルス応答が必要となります．本ドキュメントは周波数領域での特性を逆フーリエ変換することによりインパ

ルス応答を求める過程の詳細を明らかにすることを目的とします．

ナイキストフィルタの周波数応答

ナイキストフィルタの周波数応答 は式 および式 で定義されます．

はロールオフ率で， はカットオフ周波数で です．

図 ナイキストフィルタの周波数応答

の時

の時

ナイキストフィルタの時間応答

ナイキストフィルタの時間応答（インパルス応答） を求めるため，周波数応答を逆フーリエ変換します．

の時

ここで を下記のように表し，見通しを良くします．

を求める

の積分区間が から であることに注目します． で， で

すから， かつ です．積分区間で となりますので，式 で

とおいて式 が得られます．

ここで とおき，オイラーの公式 を式 に適用することにより式

を得ます．

ここで式 を計算するために有用な定理を２つ導きます．

定理

ここで とおき，定理 を式 に適用することにより式 を得ます．

定理

式 に定理 を適用することにより式 を得ます．

式 で ， ， とおき，式 を得ます．

以上により が求められました．ただし， です．

を求める

以上により が求められました．

を求める

の積分区間が から であることに注目します． で， ですか

ら， かつ です．積分区間で となりますので，式 で とおい

て式 が得られます．

ここで とおき，オイラーの公式 を式 に適用することにより式

を得ます．

ここで式 を計算するために有用な定理を１つ導きます．

ここで とおき，定理 を式 に適用することにより式 を得ます．

定理

式 に定理 を適用することにより式 を得ます．

式 で ， ， とおき，式 を得ます．

以上により が求められました．ただし， です．

を求める

式 と以上までの結果から を求めます．

以上により の時の が求まりました．

の時

式 は， で としたものとして計算できるから

以上により の時の が求まりました．

結果

の時

周波数応答

インパルス応答

の時

周波数応答

インパルス応答