25. 2. 2007 1

FI-05 Mechanika – dynamika II

25. 2. 2007 2

Hlavní body

• Blíže k realitě : soustava hmotných bodů a dokonale tuhé těleso• První a druhá impulsová věta

• Hmotný střed

• Moment setrvačnosti a Steinerova věta

• Rozklad silového působení na translační a rotační u dokonale tuhého tělesa

25. 2. 2007 3

Soustava hmotných bodů I

• Dosud jsme se zabývali mechanikou hmotného bodu. Tato abstrakce se hodila pro pohodlnou definici základních veličin mechaniky, ale při splnění příslušných předpokladů ji lze použít i k řešení skutečných problémů.

• Obecný sytém lze chápat jako soustavu hmotných bodů, které spolu interagují.

25. 2. 2007 4

První věta impulsová I

• Na i-tý hmotný bod působí výslednice sil, kterou můžeme rozdělit na výslednici vnitřních sil, pocházejících z iterakce s hmotnými body, které jsou součástí systému a výslednici sil vnějších. Podle 2. Nz.:

Ei

Iii

i FFFdt

pd

25. 2. 2007 5

První věta impulsová II

• Celková hybnost systému je vektorový součet všech hybností:

• Potom platí:

E

i

Ei

i

Ei

Ii FFFF

dt

Pd

)(

i

ipP

25. 2. 2007 6

První věta impulsová III

• Časová změna celkové hybnosti je rovna výslednici vnějších sil.

• Důsledkem platnosti zákona akce a reakce je totiž součet všech vnitřních sil přes celý systém roven nule :

0,

,,,

,,

jijiji

jiijji

i

Ii FFFFF

25. 2. 2007 7

Druhá věta impulsová I

• Obdobně můžeme uvažovat o otáčivém účinku síly na i-tý hmotný bod vzhledem k libovolnému pevnému bodu O:

Ei

Ii

Ei

Iiii

i TTFFrTdt

bd

)(

25. 2. 2007 8

Druhá věta impulsová II

• Celkový moment hybnost systému je vektorový součet všech momentů hybností uvažovaných k témuž pevnému bodu O:

• Při sčítání přes celý systém opět využíváme důsledku zákona akce a reakce.

i

iiii

i vmrbB

25. 2. 2007 9

Druhá věta impulsová III

• Časová změna celkového momentu hybnosti je rovna výslednici momentů vnějších sil, vzhledem k pevnému bodu O:

E

i

Ei

i i

Ei

Ii TTTT

dt

Bd

25. 2. 2007 10

Důsledky impulsových vět• Je-li výslednice vnějších sil, působících na

systém nulová, zachovává se celková hybnost systému.

• Je-li výslednice momentů vnějších sil, působících na systém nulová, zachovává se celkový moment hybnosti systému.

• Vnější síly mají obecně translační i rotační účinek. Je důležité, jak působí vzhledem k hmotnému středu.

25. 2. 2007 11

Příklad – ráz těles I

• Centrální ráz – hmotné body jsou kuličky, na které nepůsobí žádné vnější síly.• Před srážkou se (proti sobě) pohybují dvě kuličky mi, rychlostmi vi. • Po srážce mají rychlosti ui.• Podle I.VI se vždy zachovává celková hybnost:

• Ráz se odehrává mezi dvěma mantinely - dokonale nepružný u1 = u2 = u:

• Dokonale pružný – zachovává se i celková kinetická energie :

21

2211212211 mm

vmvmuumumvmvm

22112211 umumvmvm

222

211

222

211 umumvmvm

25. 2. 2007 12

Ráz těles II

po vydělení rovnic

dojdeme k řešení

)()(

)()(

222111

22

222

21

211

vumuvm

vumuvm

2211 vuuv

)()(2

21

121221 mm

vmmvmu

25. 2. 2007 13

Hmotný střed I• Celou soustavu lze reprezentovat těžištěm, přesněji

hmotným středem , ve kterém je soustředěna celá hmotnost soustavy

• Získáme ho integrací rovnice :

• Definice těžiště platí i ve složkách :

, ,

i

imm

i

iivmvm

i

iimt rmr 1

tr

i

iimt xmx 1 i

iimt ymy 1 i

iimt zmz 1

crmcrri

iimt

1

25. 2. 2007 14

Hmotný střed II

• Hmotný střed:• Nezávisí na volbě souřadné soustavy. Ale její

vhodná volba může značně usnadnit výpočet.

• Je v průsečíku prvků symetrie. S ohledem na to volíme souřadnou soustavu.

• U těles s rotační symetrií lze využít Pappova teorému : dráha těžiště x plocha = objem.

25. 2. 2007 15

Hmotný střed III

• Uvažujme nový počátek v těžišti • Potom :• Této rovnosti lze využít k důkazu

důležitých vlastností těžiště : rotace systému kolem libovolné osy, procházející těžištěm a pohyb posuvný neboli translační tohoto těžiště v prostoru jsou pohyby na sobě nezávislé.

0 tt

iti

iii

iii rmrmrmrmsm

tii rrs

25. 2. 2007 16

Hmotný střed IV

• Druhá věta impulsová tedy platí nejen vztáhneme-li ji k libovolnému pevnému bodu, ale také k těžišti systému, které se může dokonce obecně pohybovat. Je to ale jediný pohyblivý bod vzhledem k němuž tato věta platí.

25. 2. 2007 17

Dokonale tuhé těleso I

• Rozložení vnějšího účinku na translační a rotační závisí na dodatečných podmínkách.

• Některé systémy lze považovat za dokonale tuhé. Znamená to, že žádným působením se nemohou měnit vzdálenosti mezi hmotnými body. Takový systém tedy není možné deformovat.

25. 2. 2007 18

Dokonale tuhé těleso II

• Ani translační ani rotační silové působení na dokonale tuhé těleso se nezmění když:• do libovolného bodu umístíme dvě síly stejně

velké, ale opačně orientované.

• libovolnou sílu posuneme kamkoli po přímce jejího působení.

na libovolnou přímku umístíme dvě síly stejně velké, ale opačně orientované.

25. 2. 2007 19

Dokonale tuhé těleso III

• Účinek síly, která působí v přímce procházející těžištěm, je čistě translační

• Účinek dvojice stejných, opačně orientovaných sil, působících v libovolných paralelních přímkách, je čistě rotační.

25. 2. 2007 20

Dokonale tuhé těleso IVSteinerova věta I

• U tuhých těles je výhodné popsat rozložení hmotnosti pomocí momentu setrvačnosti :

J = mi r2i

• Z vlastnosti těžistě plyne Steinerova věta :

• kde Ja je moment setrvačnosti vůči ose, vzdálené a od těžiště a Jt je m.s. vůči ose procházející těžištěm, která je s ní paralelní

2maJJ ta

25. 2. 2007 21

*Dokonale tuhé těleso VSteinerova věta II

• Polohový vektor i-tého bodu lze vyjádřit pomocí jeho polohového vektoru v těžišťové soustavě :

• Tedy :

Prostřední člen je z vlastnosti těžiště roven nule.

iti srr

iii

iiit

iit

iititi

iii

smsmrmr

srsrmrm

22

2

2

))((

25. 2. 2007 22

Dokonale tuhé těleso VISteinerova věta III

• Je patrné, že ze všech paralelních os je moment setrvačnosti nejmenší vůči ose procházející těžištěm.

• Je-li výslednice všech momentů sil, které působí na DTT nulová, rotuje těleso rovnoměrně (s konstantní ) kolem osy, procházející těžištěm nebo je v klidu.

25. 2. 2007 23

Dokonale tuhé těleso VIIStatika

• Je-li výslednice všech sil, působících na DTT so nulová, pohybuje se těleso rovnoměrně nebo je v klidu.

• Hledáním podmínek, za kterých zůstávají tělesa v klidu se zabývá statika. Obecně musí být vykompenzovány všechny síly a všechny momenty sil, a to každá jejich složka.

25. 2. 2007 24

Dokonale tuhé těleso VIIIKinetická energie

• Lze ukázat, že celková kinetická energie dokonale tuhého tělesa se obecně skládá z translační a rotační složky:

2212

21 JmvEk

25. 2. 2007 25

Dokonale tuhé těleso IXhmotnost ~ moment setrvačnosti

• Ve vztazích pro rotační pohyb vystupuje moment setrvačnosti na místech, kde v analogických vztazích pro pohyb translační vystupuje hmotnost:

22

22

JE

mvE

JTamF

Jbvmp

kk