FIABILITATEA SISTEMELOR

Nedelcu Tudor Serban Grupa 8401

STATISTICA DEFECTĂRILORCALCULUL INDICATORILOR DE FIABILITATE

Calitatea produselor şi serviciilor este indicatorul de bază al unei industrii sau economii. Fiabilitatea fiind alături de alţi de indicatori o componentă a calităţii, trebuie să fie în atenţia tuturor factorilor care determină bunul mers al societăţii.

Deşi ca noţiune este foarte veche - a apărut odată cu tehnica - fiabilitatea ca teorie s-a constituit în ultimele decenii şi este într-o continuă dezvoltare. Concept vechi şi disciplină nouă, teoria fiabilităţii este o ştiinţă interdisciplinară care se referă la un cerc larg de probleme privind toate etapele de existenţă a produselor (proiectare, fabricare, transport, montare, exploatare, dezafectare, etc.)

Termenul de "fiabilitate" vine din franceză, "fiabilité" unde caracterizează securitatea funcţionării, măsura probabilităţii de funcţionare în condiţii prescrise. Are corespondent în limba engleză "reliability" (reliable = demn de încredere = sigur = pe care te poţi bizui = trainic = solid), şi de asemenea în limba rusă "nadiojnosti" (soliditate, siguranţă, securitate).

Bazele fiabilităţii unui produs se pun în perioada de elaborare (proiectare) când i se stabileşte structura şi se dimensionează elementele sale. Fiabilitatea se asigură în procesul de fabricaţie prin alegerea corectă a proceselor şi utilajelor tehnologice, prin respectarea regimurilor şi condiţiilor de fabricaţie, prin control riguros pe faze a calităţii materiilor prime şi materialelor fabricate.

Fiabilitatea se menţine prin utilizarea unor metode adecvate de conservare, transport, punere în funcţiune şi exploatare.

Teoria fiabilităţii a apărut în momentul în care s-a dovedit că metoda ciclică (proiectare - realizare - încercare - reproiectare …) nu mai corespunde datorită sistemului accelerat de dezvoltare a ştiinţei şi tehnicii şi deci a uzurii morale rapide a produselor.

Fiabilitatea are ca obiect:

- studiul defecţiunilor (cauze, procese de apariţie şi dezvoltare, metode de combatere);

- aprecierea cantitativă a comportării produselor în timp, ca funcţie de factorii de influenţare interni şi externi;

2

- stabilirea metodelor şi modelelor de calcul şi de prognoză a fiabilităţii, pe baza încercărilor specifice şi a urmăririi comportării în exploatare a produselor;

- stabilirea metodelor constructive tehnologice şi de exploatare pentru menţinerea şi creşterea fiabilităţii sistemelor, dispozitivelor şi elementelor componente;

- stabilirea metodelor de selectare şi prelucrare a datelor privind fiabilitatea produselor;

- determinarea valorilor optime pentru indicatorii de fiabilitate.

Defectul reprezintă evenimentul fundamental în teoria fiabilităţii. Defectul reprezintă efectul procesului. Prin defectare se întelege procesul de încetare a funcţiei impuse unui element.

Circumstanţele legate de proiectarea, fabricarea sau de utilizarea elementului care au condus la defectarea acestuia reprezintă cauza defectării.

Efectul prin care este observată o defectare reprezintă modul de manifestare a defectării.

Procesul fizic, chimic sau de altă natură care a condus la o defectare reprezintă mecanismul de defectare.

Defectările pot avea diverse cauze: accidentale, uzura(îmbătrânire), suprasolicitare etc.

Defectările se pot clasifica după diferite criterii:a) În raport cu cauzele defectărilor:

- defectare datorată utilizării necorespunzătoare- defectare inerentă- defectare primară- defectare secundară- defectare datorită uzurii

b) După viteza de apariţie a defectărilor:- defectare bruscă- defectare progresivă

c) ÎIn raport cu nivelul de defectare:- defectare partială- defectare totală- defectare intermitentă

d) În raport cu viteza de apariţie şi nivelul de defectare:- defectare catastrofală

3

- defectare prin degradaree) În raport cu criteriul admis:

- defectare relevantă(se analizează)- defectare nerelevantă(nu se analizează)

f) În raport cu efectele defectărilor:- defectare critică- defectare majoră- defectare minoră

g) În raport cu cauzele şi momentul de apariţie al defectărilor:- defectare infantilă- defectare de îmbătrânire- defectare accidentală

Studiul fiabilităţii elementelor, sistemelor, etc. necesită o definire precisă a ceea ce se înţelege prin defectare. În acest scop este necesar să fie definite anumite criterii obictive si clare privind stările de defectare ale elementelor si sistemelor.

Abordarea calitativă Fiabilitatea este capacitatea (aptitudinea) entităţii considerate (sistem,

componentă, produs) de a îndeplini cerinţele de funcţionare nominale (funcţia specificată), în condiţii de mediu şi solicitare în funcţionare definite şi într-o perioadă de timp prestabilită.

În funcţie de condiţii, poate fi caracterizată şi prin diverşi indicatori: - capacitatea de a nu se defecta; - durata de viaţă; - capacitatea de a fi restabilit (repus în funcţiune după defectare, de

exemplu prin reparare). Analiza calitativă a fiabilităţii furnizează informaţii referitoare la felul

în care se reflectă, în funcţionarea entităţii analizate, diferitele moduri de defectare ale elementelor sale componente.

Etapele analizei calitative de fiabilitate sunt: - analiza modurilor de defectare şi a efectelor defectărilor prin care

se identifică defectele şi se evaluează consecinţele acestora asupra funcţionării entităţii analizate;

- organizarea şi reprezentarea grafică a informaţiilor rezultate din analiza precedentă sub forma unei scheme logice (diagramă bloc sau arbore de defectare.

Abordarea cantitativă

4

Fiabilitatea este probabilitatea ca sistemul să-şi îndeplinească funcţiunile pentru care a fost conceput şi realizat, cu o anumită performanţă şi fără defecţiuni, într-un anumit interval de timp şi în condiţii date, cu un nivel de încredere impus.

Abordarea cantitativă a fiabilităţii are ca obiectiv cuantificarea, sub forma unor indicatori numerici, a nivelului de fiabilitate a entităţilor stabilite pentru:

- compararea a două sau mai multe soluţii din punctul de vedere al performanţelor dorite;

- demonstrarea încadrării valorilor indicatorilor de fiabilitate în anumite limite impuse, în punctele de interfaţă cu alte entităţi (instalaţii, linii electrice);

- depistarea unor verigi slabe în cadrul entităţilor analizate; - preliminarea unor indicatori de garanţie incluşi în oferte şi

contracte.

Metode de calcul a indicatorilor de fiabilitate si performabilitate

Metodele de calcul a fiabilităţii structurale preliminate a sistemelor au drept date de intrare indicatorii de fiabilitate ai elementelor şi structura sistemului exprimată sub una din formele analizate în capitolele anterioare.

Ele pot fi clasificate după criteriul modelului de bază astfel: - metode bazate pe spaţiul stărilor; - metode de simulare; - metode specifice sistemelor complexe.

Evident, metodele bazate pe funcţia de structură se referă la sisteme binare formate din elemente binare.

Metodele bazate pe spaţiul stărilor pot modela sistemele binare sau multivalente formate din elemente binare sau multivalente.

Metode bazate pe funcţia de structură

Sunt aplicabile la sistemele binare formate din elemente binare independente, nereparabile sau reparabile, la care se cunosc funcţiile de structură şi de fiabilitate, precum şi fiabilitatea elementelor exprimată sub formă de funcţie de supravieţuire la elementele reparabile sau disponibilitatea la elementele reparabile.

R(t) = P[Tf > t] = 1 – F(t)

5

unde Tf este timpul de funcţionare neîntreruptă în condiţii date care constau în solicitările interne sau externe (date de mediul exterior), datorate mentenanţelor, etc. Intervalul de timp defineşte perioada de viaţă normată (proiectată).

Calculul fiabilităţii sistemelor formate din elemente nereparabile

Elementele nereparabile sunt caracterizate de indicatorul Tf – timpul de funcţionare până la defectare, exprimat sub formă de variabilă aleatoare prin:

a) Funcţia de fiabilitateR(t) = 1 – F(t)

b) Funcţia de nonfiabilitate (de repartiţie) F(t) = P(Tf ≤ t)

c) Funcţia de frecvanta (densitatea de distribuţie)

d) Rata de defectare

e) Media timpului de funcţionare

Pentru calculul indicatorilor de fiabilitate ai unui sistem este necesar să se cunoască, pe lângă indicatorii de fiabilitate ai elementelor componente, şi structura sistemului.

Pentru aplicarea acestei categorii de metode, structura sistemului se exprimă sub formă de funcţie de structură sau funcţie de fiabilitate. Funcţia de fiabilitate are forma generală

unde:-Rs(t) este probabilitatea de funcţionare a sistemului la momentul t; - Ri(t) este probabilitatea de funcţionare a elementului i la

momentul t.

Cazul sistemelor serie

6

Prin definiţie, la sistemele serie formate din n elemente independente

sau, sub altă formă

Pe baza celor arătate, se prezintă relaţiile de legătură între ceilalţi indicatori ai sistemului serie în funcţie de cei ai elementelor sale componente.

În cazul sistemelor serie, distribuţia timpului de funcţionare îşi conservă exponenţialitatea, intensitatea de defectare a sistemului fiind egală cu suma intensităţilor de defectare a elementelor.

Exemplu

7

Fie un sistem format din m = 50 de subsisteme identice, fiecare având probabilitatea de supravieţuire la t = 22 ani (2·105 h) egală cu Ri(22) = 0.985.

Să se calculeze: a) Probabilitatea de supravieţuire a sistemului Rs(22) b) Media timpului de funcţionare a sistemului M[Tf] c) Intensitatea de defectare a unui element (λe) al subsistemului

dacă acesta este format din n = 60 de elemente identice d) Ce valoare trebuie să aibă λe astfel încât Rs(22) să fie 0.85?

Rezolvare:

a) Rs = Rim = 0.98550 = 0.46969

λs = - (lnR)/t = - ln 0.46969 = 3.77841·10-6 [h-1] b) M[Tf] = 1 / λs = 1 / (3.7781·10-6 [h-1]) = 264661.59 [h] ≈ 30 ani c) λe = λs / (m·n) = 3.7781·10-6 / 50·60 = 1.25937·10-9 [h-1] d) λs = m·n·λe

’ = - ln Rs / t λe

’ = - lnRs / (m·n·t) = ln 0.85 / (50·60·2·105) = 2.70865·10-10 [h-1]

Cazul sistemelor paralel

Sistemele paralel ies din funcţiune dacă se defectează toate elementele.

Dacă se notează: Qs(t) = 1 – Rs(t) = Fs(t)

atunci

deci

Cazul sistemelor decompozabile serie-paralel

Pe baza relaţiilor anterioare, de la sistemele serie şi paralel, putem deduce relaţii generalizate pentru sistemele decompozabile serie-paralel.

8

Pentru sistemul decompozabil serie, format din “m” subsisteme (grupuri de defectare) înseriate fiecare având ni, i = 1, 2, …, nm elemente, relaţia de calcul a fiabilităţii sistemului este

unde Rji(t) este probabilitatea de funcţionare a elementului i din subsistemul (grupul de defectare) j.

Pentru sistemul decompozabil paralel format din “m” subsisteme (căi minimale) legate în paralel, fiecare având n i, i = 1, 2, …, nm elemente, relaţia similară celei anterioare este

Metode de calcul a indicatorilor de fiabilitate bazate pe spaţiul stărilor

Există două categorii: - metode combinaţionale; - metode bazate pe procese Markov.

Metodele combinaţionale pornesc de la faptul că fiecare stare a unui sistem cu spaţiul stărilor discret este o combinaţie de stări a elementelor sale. Sistematizarea stărilor sistemului în funcţie de stările elementelor sale se face exprimând structura sistemului sub formă de tabel de adevăr.

9

Din această subcategorie fac parte următoarele: - metoda binomială; - metoda polinomială.

Metoda binomială

Este cea mai veche metodă de calcul a fiabilităţii sistemelor, propusă prima dată de Giuseppe Calabrese în 1947.

Metoda este aplicabilă sistemelor binare sau multivalente formate din elemente binare, independente şi reparabile.

Datele de intrare necesare sunt: - disponibilităţile momentane ale elementelor, pi; - structura sistemului sub formă de tabel de adevăr. Pentru sistemele binare, datele de ieşire sunt:

- disponibilitatea momentană a sistemului; - media timpului total de funcţionare într-un interval T dat, M[Tf]; - media timpului total de defectare într-un interval T dat, M[Td],

ultimele două rezultând din prima folosind relaţiile cunoscute mai sus.

Aplicarea metodei presupune parcurgerea următoarelor etape: I. Datele de intrare II. Întocmirea tabelului de adevăr III. Calculul probabilităţilor stărilor sistemului IV. Calculul performanţei sistemului în fiecare stare V. Gruparea stărilor sistemului VI. Calculul probabilităţilor grupelor de stări VII. Calculul indicatorilor de fiabilitate (performabilitate) a sistemului

În cele ce urmează se detaliază aceste etape.

I. Datele de intrare Datele de intrare pentru elementele binare sunt disponibilităţile

elementelor, pi cu i ∈ mes unde mes este mulţimea elementelor sistemului. În cazul sistemelor multivalente formate din elemente binare se

introduce noţiunea de performanţă a fiecărui element, notată cu Πi, în starea de funcţionare a acestuia. Performanţa este un parametru sau un vector de parametri care caracterizează starea de succes (funcţionare) a elementului respectiv. Performanţa Πi poate fi un debit, o putere, productivitate sau orice altă mărime ca rezistenţa ohmică, inductanţa, capacitatea, etc. Structura

10

sistemului, relaţia lui cu elementele componente se exprimă sub formă de tabel de adevăr.

II. Întocmirea tabelului de adevăr Tabelul de adevăr are:

- un număr de coloane egal cu numărul de elemente al sistemului plus o coloană corespunzătoare sistemului

- un număr de linii egal cu numărul stărilor sistemului după cum urmează:

- mulţimea stărilor cu toate elementele în funcţiune - mulţimea stărilor cu un element defect - mulţimea stărilor cu două elemente defecte

…………………- mulţimea stărilor cu i elemente defecte

………………….- mulţimea stărilor cu n-1 elemente defecte - mulţimea stărilor cu n elemente defecte

Numărul total de stări în care se poate afla sistemul este dat de relaţia:

Elementele tabelului de adevăr vor fi: - pentru sistemul binar format din elemente binare un simbol pentru

starea de succes care poate fi f = funcţionare, s = succes sau 1 iar pentru cea de refuz d = defect, r = refuz sau 0;

- pentru sistemul multivalent format din elemente binare, tabelul va conţine valori ale performanţelor elementelor respectiv sistemului.

III. Calculul probabilităţilor sistemului Cunoscând probabilităţile de funcţionare pi şi de refuz qi pentru oricare

element i, i ∈ (1, 2, …, nes) se poate calcula probabilitatea oricărei stări a sistemului folosind teorema produsului de probabilităţi:

Probabilitatea producerii simultane a două sau mai multe evenimente independente este egală cu produsul probabilităţilor evenimentelor

Aplicată la categoriile de stări menţionate anterior, rezultă: - probabilitatea stării cu toate elementele în funcţiune

11

- probabilitatea stării cu elementul i defect

- probabilitatea stării cu două elemente, i şi k, defecte

- probabilitatea stării cu d elemente defecte şi f elemente, d + f = nes, în funcţiune

- probabilitatea stării cu toate elementele defecte

Aceste probabilităţi reprezintă termenii dezvoltării produsului binomial

de unde vine şi denumirea de metoda binomială. Pentru cazul particular în care elementele sistemului sunt identice, se

pot scrie relaţiile:

care reprezintă termenii dezvoltării binomului . nesqp)(+Cu aceste relaţii putem calcula probabilităţile absolute ale stărilor

sistemului în funcţie de probabilităţile de funcţionare (disponibilităţile) momentane ale elementelor componente.

IV. Calculul performanţei sistemului în fiecare stare Se face în funcţie de performanţele (valorile parametrilor funcţionali)

elementelor sistemului şi ale sistemului.

12

Operaţia poate fi făcută, evident, numai de către cei care cunosc funcţionarea tehnică a sistemului, principiile de bază ale acestuia, restricţiile privind funcţionarea precum şi relaţiile dintre elemente şi sistem, efectul funcţionării şi nefuncţionării fiecărui element asupra sistemului.

De exemplu, în cazul sistemelor la care performanţa se măsoară în debite sau puteri produse, transportate, transformate, respectiv în productivităţi, sunt valabile regulile:

- la sistemele serie:

unde Πs = performanţa sistemului, Πi = performanţa elementului i iar mess = mulţimea elementelor sistemului serie.

- la sistemele paralel

unde nesp este numărul de elemente a sistemului paralel. Reguli asemănătoare guvernează orice sistem existând legi de legătură

între parametrii elementelor componente şi cei ai sistemului, legi care materializează, de fapt, structura sistemului din punct de vedere al parametrului în cauză.

V. Gruparea stărilor sistemului Există două posibilităţi:

- sistem binar, caz în care stările sale se grupează în două submulţimi:

- mulţimea stărilor de funcţionare (succes) S; - mulţimea stărilor de defect (refuz) R. - sistem multivalent, caz în care stările se grupează în mai multe

submulţimi, după criteriul nivelului de performanţă a sistemului; din aceeaşi grupă vor face parte stările în care sistemul are acelaşi nivel de performanţă.

VI. Calculul probabilităţilor grupelor de stări Stările sistemului fiind incompatibile, probabilităţile grupelor de stări

se vor calcula cu teorema sumei de probabilităţi: Probabilitatea producerii oricăruia din două sau mai multe

evenimente incompatibile va fi egală cu suma probabilităţilor evenimentelor Ca urmare, se poate calcula probabilitatea de succes a sistemului binar

folosind relaţia

13

iar probabilitatea de refuz a sistemului cu relaţia

În cazul sistemelor multivalente, mulţimea stărilor acestora poate fi împărţită în mai multe submulţimi S1, S2, …, Si, …, Sm după criteriul de exemplu, al nivelului de performanţă al sistemului în grupa respectivă de stări.

Probabilitatea ca sistemul să se afle în una din grupurile de stări definite mai sus se calculează cu relaţia

unde mgss este mulţimea grupelor de stări a sistemului. Din aceasta relaţie rezultă probabilitatea ca sistemul să realizeze nivelul de performanţă corespunzător submulţimii respective de stări, toate aceste probabilităţi luate împreună reprezentând funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare discrete nivel de performanţă a sistemului.

VII. Calculul indicatorilor de fiabilitate (performabilitate) a sistemului

Pentru cazul sistemelor binare, în etapele anterioare s-au determinat probabilitatea Ps de succes a sistemului ca şi probabilitatea Qs de refuz.

Folosind aceste mărimi se pot determina alţi indicatori de fiabilitate: - M[α(t)] = Ps.T, media timpului total de funcţionare a sistemului în

perioada de referinţă T; - M[β(t)] = Qs.T, media timpului total de defect a sistemului în

perioada de referinţă T. Pentru cazul sistemelor multivalente, se cunoaşte din etapele

precedente funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare discrete Πs, performanţa sistemului.

Dintre indicatorii de performabilitate intrinseci sistemului, cel mai frecvent folosit este M(Π) = media performanţei dată de relaţia

unde “ddps” este domeniul de definiţie a performanţei sistemului care este mulţimea valorilor performanţei rezultată la gruparea stărilor.

Dintre indicatorii relaţionali pot fi calculaţi:

14

- probabilitatea ca performanţa să depăşească o anumită valoare impusă (cerută), reprezentată de o constantă Πc:

- probabilitatea ca valoarea performanţei să se găsească într-un interval mărginit de o valoare maximă ΠM şi una minimă Πm:

unde F[Π] = P[Πs ≤ Π] este funcţia de repartiţie a performanţei. Dacă performanţa este o putere, un debit, etc. pot fi calculaţi şi alţi

indicatori cum ar fi energia produsă sau nelivrată într-un interval de referinţă dat şi media timpului în care nu este realizat un anumit nivel de cerere, etc.

Metoda polinomială

Este destinată calculului performabilităţii sistemelor multivalente formate din elemente multivalente.

Se consideră un sistem format din nes elemente multivalente relevante pentru funcţionarea sa, fiecare caracterizat de o avariabilă aleatoare Πei, i ∈ mes. Domeniul de definiţie a variabilei aleatoare Πei este (1,……., nsei) unde nsei este numărul de stări a elementului i. Se poate scrie

Numărul nss de stări a sistemului se poate calcula cu relaţia

ceea ce înseamnă că este produsul numerelor de stări ale elementelor componente.

Numărul de stări al sistemului reprezintă numărul de combinaţii maxim între stările elementelor componente ale sale.

În rest, etapele care trebuie parcurse la aplicarea metodei polinomiale sunt cele din cazul sistemului multivalent format din elemente binare, diferenţa fiind la numărul de stări ale sistemului deci a numărului de linii din tabelul de adevăr.

Exemplu Fie un sistem binar format din 2 elemente binare independente serie,

de forma celui prezentat în figura. Sistemul este format dintr-un bloc

15

generator transformator care are pg = 0.98 şi pt = 0.99. Să se calculeze pentru o durată de referinţă de 10 ani:

Sistemul de tip serie considerat pentru analiza fiabilităţii

- Qs, probabilitatea lipsei de tensiune pe barele B ale blocului; - M[α(t)], media timpului total a prezenţei tensiunii pe barele blocului.

I. Datele de intrare sunt: pg = 0.98 qg = 0.02 pt = 0.99 qt = 0.01 II. Tabelul de adevăr, cu 3 coloane şi 22 = 4 linii, este de forma:

Nr. stare G T Bloc Probabilitate stareS1 f f f 0.9702S2 f d d 0.0098S3 d f d 0.0198S4 d d d 0.0002

III. Probabilităţile stărilor (teorema produsului) p1 = pg ⋅ pt = 0.98 ⋅ 0.99 = 0.9702 p2 = pg ⋅ qt = 0.98 ⋅ 0.01 = 0.0098 p3 = qg ⋅ pt = 0.02 ⋅ 0.99 = 0.0198 p4 = qg ⋅ qt = 0.01 ⋅ 0.02 = 0.0002 V. Gruparea stărilor S = [S1] R = [S2, S3, S4]

VI. Calculul probabilităţilor grupelor de stări Ps = p1 = 0.9702 Qs = p2 + p3 + p4 = 0.0298

VII. Calculul indicatorilor de fiabilitate a sistemului M[α(t)] = Ps ⋅ T = 0.9702 ⋅ 87600 = 84989.52 [h]

16