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FibonaccizahlenAuftreten in der Biologie
Bodo Werner
Department MathematikUniversitat Hamburg
Bodo Werner Absolventenfeier
Fibonacci IGeschichte
Leonardo da Pisa, genannt FIBONACCI (etwa 1170-1250)Liber Abbici (1202): Indisch-arabische Ziffern
Bodo Werner Absolventenfeier
Fibonacci II
Wieviel Nachkommen hat ein einzelnes Kaninchenpaar nacheinem Jahr, wenn es nach einem Monat geschlechtsreif wirdund jeden Monat ein Paar zur Welt bringt?
Bodo Werner Absolventenfeier
Die Folge
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..........
Wie geht es weiter?45, 89, 123,...Folge (Fn)
F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ......
Bildungsgesetz:
Fn = Fn−1 + Fn−2, F0 = 0, F1 = 1.
Formel von J. P. M. BINET (1786-1856)
Fn =1√5
((12
+12
√5)n−
(12− 1
2
√5)n)
, n = 0, 1, 2, ....
Bodo Werner Absolventenfeier
Die Folge
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..........
Wie geht es weiter?45, 89, 123,...Folge (Fn)
F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ......
Bildungsgesetz:
Fn = Fn−1 + Fn−2, F0 = 0, F1 = 1.
Formel von J. P. M. BINET (1786-1856)
Fn =1√5
((12
+12
√5)n−
(12− 1
2
√5)n)
, n = 0, 1, 2, ....
Bodo Werner Absolventenfeier
Die Folge
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..........
Wie geht es weiter?45, 89, 123,...Folge (Fn)
F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ......
Bildungsgesetz:
Fn = Fn−1 + Fn−2, F0 = 0, F1 = 1.
Formel von J. P. M. BINET (1786-1856)
Fn =1√5
((12
+12
√5)n−
(12− 1
2
√5)n)
, n = 0, 1, 2, ....
Bodo Werner Absolventenfeier
Die Folge
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..........
Wie geht es weiter?45, 89, 123,...Folge (Fn)
F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ......
Bildungsgesetz:
Fn = Fn−1 + Fn−2, F0 = 0, F1 = 1.
Formel von J. P. M. BINET (1786-1856)
Fn =1√5
((12
+12
√5)n−
(12− 1
2
√5)n)
, n = 0, 1, 2, ....
Bodo Werner Absolventenfeier
Die Folge
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..........
Wie geht es weiter?45, 89, 123,...Folge (Fn)
F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ......
Bildungsgesetz:
Fn = Fn−1 + Fn−2, F0 = 0, F1 = 1.
Formel von J. P. M. BINET (1786-1856)
Fn =1√5
((12
+12
√5)n−
(12− 1
2
√5)n)
, n = 0, 1, 2, ....
Bodo Werner Absolventenfeier
Kaninchenvermehrung A III
An(Jn) := Anzahl der Alt- (Jung-)kaninchenpaare im n-tenMonat
Jn = An−1, An = An−1 + Jn−1
An = An−1 + An−2.
144 Kaninchen nach einem Jahr!
Bodo Werner Absolventenfeier
Pflanzenwachstum A
Achillea ptarmica — Sumpf-SchafgarbeErkennen Sie das Bildungsgesetz?
Bodo Werner Absolventenfeier
X-Chromosom-Vererbung
Wieviele Ahnen in der 6.ten Vorgeneration haben Einfluss aufdas X-Chromosom eines Mannes?Eine Frau hat 2 X-Chromosome, die sie von Vater und Muttererbt, ein Mann nur eines. Dies stammt von der Mutter.
Antwort: 13 von 64Wie bei den Kaninchen. Aber Zeit lauft ruckwarts.
Bodo Werner Absolventenfeier
X-Chromosom-Vererbung
Wieviele Ahnen in der 6.ten Vorgeneration haben Einfluss aufdas X-Chromosom eines Mannes?Eine Frau hat 2 X-Chromosome, die sie von Vater und Muttererbt, ein Mann nur eines. Dies stammt von der Mutter.
Antwort: 13 von 64Wie bei den Kaninchen. Aber Zeit lauft ruckwarts.
Bodo Werner Absolventenfeier
Dame–Halma I
Kann man durch sukzessives Ziehen auf die letzte Liniegelangen?
Bodo Werner Absolventenfeier
Goldener Schnitt – Fortsetzung
Kleine Goldene Schnittzahl
ϕ =12
(√5− 1
)= 0.6180339887....
ϕ =1
1 + ϕ
ϕ =1
1 +1
ϕ
Bodo Werner Absolventenfeier
Goldener Schnitt – Fortsetzung
Kleine Goldene Schnittzahl
ϕ =12
(√5− 1
)= 0.6180339887....
ϕ =1
1 + ϕ
ϕ =1
1 +1
ϕ
Bodo Werner Absolventenfeier
Goldener Schnitt – Fortsetzung
Kleine Goldene Schnittzahl
ϕ =12
(√5− 1
)= 0.6180339887....
ϕ =1
1 + ϕ
ϕ =1
1 +1
ϕ
Bodo Werner Absolventenfeier
Goldener Schnitt — Kettenbruch
ϕ =1
1 +1
1 +1
ϕ
ϕ =1
1 +1
1 +1
1 + . . .+
1
1 +1
· · ·
Bodo Werner Absolventenfeier
Goldener Schnitt — Kettenbruch
ϕ =1
1 +1
1 +1
ϕ
ϕ =1
1 +1
1 +1
1 + . . .+
1
1 +1
· · ·
Bodo Werner Absolventenfeier
Allgemeiner Kettenbruch
x =1
a1 +1
a2 +1
a3 + . . .+
1
an + · · ·aj : Koeffizienten des Kettenbruchs
Bodo Werner Absolventenfeier
Fibonaccizahlen — Goldener Schnitt
Nach n Bruchstrichen abgebrochener Kettenbruch:Konvergenten
pn
qn=
1
1 +1
1 +1
1 + . . .+
1
1 +1
1
Bodo Werner Absolventenfeier
Fibonaccizahlen — Kettenbruch von ϕ
p2
q2=
12,
p3
q3=
23,
p4
q4=
35, ......
p5
q5=
1
1 +1
1 +1
1 +1
1 +1
1Rechnen Sie bitte!!!
=58
Bodo Werner Absolventenfeier
Fibonaccizahlen — Kettenbruch von ϕ
p2
q2=
12,
p3
q3=
23,
p4
q4=
35, ......
p5
q5=
1
1 +1
1 +1
1 +1
1 +1
1Rechnen Sie bitte!!!
=58
Bodo Werner Absolventenfeier
Fibonaccizahlen — Kettenbruch von ϕ
Alternative Berechnung
p5
q5=
1
1 + 35
=58
=F4
F5.
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Fibonaccizahlen — Kettenbruch von ϕ
Alternative Berechnung
p5
q5=
1
1 + 35
=58
=F4
F5.
Bodo Werner Absolventenfeier
Theorem
Fur die”Konvergenten“ von ϕ gilt
pn
qn=
Fn−1
Fn.
Beweis.
Fn−1
Fn=
1
1 +Fn−2Fn−1
Wir vergleichen:
ϕ = 0.6180339887....,F10
F11=
5589
= 0.617977528,
Bodo Werner Absolventenfeier
Fibonaccizahlen — Goldener Schnitt (Forts.)
Theorem
Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlenkonvergieren gegen die kleine Goldene Schnittzahl.
limn→∞
Fn−1
Fn= ϕ.
Bodo Werner Absolventenfeier
Fibonaccizahlen — Goldener Schnitt (Forts.)
Theorem
Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlenkonvergieren gegen die kleine Goldene Schnittzahl.
limn→∞
Fn−1
Fn= ϕ.
Bodo Werner Absolventenfeier
Irrationalitat der Goldenen Schnittzahl I
Eine rationale (positive) Zahl ist ein Bruch pq mit naturlichen
Zahlen p und q.Ein endlicher oder periodischer Dezimalbruch.Ein endlicher Kettenbruch.
Theorem
ϕ ist (die) irrational(ste Zahl).
Bodo Werner Absolventenfeier
Drehwinkel I
Drehwinkel ω (Gradmaß, Bogenmaß)ω = 1 entspricht 360 Grad oder 2πω = 1
2 entspricht 180 Grad oder π
ω = 34 entspricht 270 Grad oder 3
2πDer goldene Winkel ω = ϕ entspricht 222,5 Grad = ϕ · 360GradDie Kreislinie S1 ist die Menge aller Winkel.Drehungen stets gegen den Uhrzeigersinn (mathematischpositiv)
Bodo Werner Absolventenfeier
Dynamisches System
x0 = 0, x1 = Rϕ(x0) = ϕ, x2 = Rϕ(x1) = (ϕ + ϕ) mod 1, ...
xk+1 = Rϕ(xk ), k = 0, 1, 2, ....
Orbit x0, x1, x2, ........
xk = (k ·ϕ) mod 1
Bodo Werner Absolventenfeier
Dynamisches System
x0 = 0, x1 = Rϕ(x0) = ϕ, x2 = Rϕ(x1) = (ϕ + ϕ) mod 1, ...
xk+1 = Rϕ(xk ), k = 0, 1, 2, ....
Orbit x0, x1, x2, ........
xk = (k ·ϕ) mod 1
Bodo Werner Absolventenfeier
Dynamisches System
x0 = 0, x1 = Rϕ(x0) = ϕ, x2 = Rϕ(x1) = (ϕ + ϕ) mod 1, ...
xk+1 = Rϕ(xk ), k = 0, 1, 2, ....
Orbit x0, x1, x2, ........
xk = (k ·ϕ) mod 1
Bodo Werner Absolventenfeier
Dynamisches System
x0 = 0, x1 = Rϕ(x0) = ϕ, x2 = Rϕ(x1) = (ϕ + ϕ) mod 1, ...
xk+1 = Rϕ(xk ), k = 0, 1, 2, ....
Orbit x0, x1, x2, ........
xk = (k ·ϕ) mod 1
Bodo Werner Absolventenfeier
Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine I
Meine Saatmaschine besteht aus einem drehbar gelagertenArm, der auf einem kreisformigen Beet immer dann Samenaussat, wenn sich der Arm um einen bestimmten Winkelgedreht hat. Man erhalt einen
”Samenorbit“.
Bodo Werner Absolventenfeier
Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine VI
Wie verteilen sich die Samen auf dem Kreisbeet? Wie sieht der
”Samenorbit“ aus?
Dieser Orbit liefert geometrische Informationen uber die reelleZahl des Drehwinkels, die i.W. die Kettenbruchentwicklungliefert!!
Bodo Werner Absolventenfeier
Orbit der goldenen Drehung I
Es folgen”screen shots“ eines Applets: Versetzen Sie sich bitte
in den”Ursamen“ mit der Nummer Null. Beobachten Sie,
welche neuen Nachbarn er dieser in welcher Zeit (roteNummer) bekommt. Diese Zahlen sind F-Zahlen! Es gibtabwechselnd einen linken und einen rechten neuen Nachbarn.Der Abstand zu seinem alten Nachbarn wird durch einen neuenNachbarn stets golden geteilt!
Bodo Werner Absolventenfeier
Orbit der goldenen Drehung IX
Die Zeit m − n zwischen zwei benachbarten Einschlagen xm
und xn irgendwo auf dem Beet ist stets eine Fibonaccizahl. Daserweist sich als der Grund dafur, dass die Anzahl der SpiralenF-Zahlen sind!!
Bodo Werner Absolventenfeier
Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 II
Es pirschen sich im 3er-Takt von links neue Nachbarn heran.
Bodo Werner Absolventenfeier
Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 V
Nach 16 Annaherungsversuchen gibt es einen Nachbarn mitder Nummer 50, dem sofort ein ein neuer rechter Nachbar folgt.
Bodo Werner Absolventenfeier
Zusammenfassung
Die goldene Drehung fuhrt zu einer optimalen Packung .Aber auch andere Winkel, z.B. 99,5 Grad,
0, 2764... =1
3 +1
1 +1
1 + . . .+
1
1 + · · ·mit asymptotischer Goldene-Schnittzahl-Entwicklung.
Bodo Werner Absolventenfeier
Goldene Drehung und radiales Wachstum I
xk+1 = Rϕ(xk ), rk+1 = .......
Jetzt nehmen wir das radiale Wachstum hinzu, ohne dieRotationsdynamik zu andern!Die Modellierung des radialen Wachstums ist relativunerheblich.
Bodo Werner Absolventenfeier
Goldene Drehung und radiales Wachstum II
Die ersten Samen sind am weitesten radial vorgedrungen.
Bodo Werner Absolventenfeier
Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) I
Es folgen Bilder von Applets, die fur sich sprechen.
Bodo Werner Absolventenfeier
Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XI
Wo sind die 13 roten Spiralen gebieben?
Bodo Werner Absolventenfeier
Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XX
Ein nur geringfugig kleinerer Winkel.
Bodo Werner Absolventenfeier
Schlussbemerkung
Das beschriebene mathematische Modell erklart dieauftretenden Spiralmuster. Aber es muss keineswegs
”richtig“
sein.Die Gene haben ja wohl kaum die Goldene-Schnittzahlgespeichert. Vielmehr wird dieser Divergenzwinkel dasErgebnis einer Dynamik in einem komplexeren Modell sein.
Bodo Werner Absolventenfeier