13. 5. 2003 1

FII–5 Mikroskopický pohled na elektrický proud. Základy řešení

stejnosměrných obvodů

13. 5. 2003 2

Hlavní body

• Měrný odpor a vodivost.

• Vodiče, polovodiče a izolátory

• Rychlost pohybujících se nábojů.

• Ohmův zákon v diferenciální formě

• Teplotní závislost rezistivity

• Seriové a paralelní zapojení rezistorů

• Obvody a Kirchhoffovy zákony

13. 5. 2003 3

Měrný odpor a vodivost I

• Mějme ohmický vodič, tedy takový, jaký splňuje Ohmův zákon:

U = RI

• Rezistance R závisí na geometrii a na vlastnostech materiálu vodiče. Mějme vodič délky l a průřezu S, definujeme měrný odpor (rezistivitu) a její reciprokou hodnotu, měrnou vodivost :

S

l

S

lR

1

13. 5. 2003 4

Měrný odpor a vodivost II

• Měrný odpor je schopnost látek vzdorovat průtoku elektrického proudu. Při stejném tvaru je k dosažení určitého proudu u látek s velkou rezistivitou potřeba větší napětí.

• Jednotkou rezistivity v SI je 1 m.

• Měrná vodivost je naopak schopnost vést proud.

• Jednotkou měrné vodivosti v SI je 1 -1m-1.

• Jednotka vodivosti je siemens 1 Si = 1 -1.

13. 5. 2003 5

Volné nosiče nábojů I

• Obecně jsou volnými nosiči náboje nabité částice nebo pseudočástice, které se mohou ve vodičích volně pohybovat.

• Mohou jimi být elektrony, díry a různé ionty.

• Vodivostní vlastnosti látek závisí na tom, jak volně se nosiče mohou pohybovat, což hluboce souvisí se strukturou příslušné látky.

13. 5. 2003 6

Volné nosiče nábojů II

• V pevných vodičích, sdílí každý atom své nejslaběji vázané (valenční) elektrony s ostatními atomy.

• V nulovém elektrickém poli se elektrony pohybují chaoticky velkými rychlostmi náhodnými směry a často se sráží s atomy. Připomíná to chaotický pohyb molekul plynu, což vede k ne úplně přesnému názvu elektronový plyn.

13. 5. 2003 7

Volné nosiče nábojů III

• V nenulovém poli mají elektrony též jistou relativně malou driftovou rychlost v opačném směru než je směr pole.

• Srážky jsou hlavním mechanismem zodpovědným za rezistivitu (kovů při normální teplotě) a samozřejmě také za ztráty výkonu ve vodičích.

13. 5. 2003 8

Diferenciální tvar Ohmova z. I

• Uvažujme opět vodič o délce l a průřezu S s nosiči náboje jednoho typu. Při jistém napětí protéká konstantní proud, který závisí na jejich:• hustotě n, tedy počtu v jednotce objemu

• náboji q

• driftové rychlosti vd

13. 5. 2003 9

Diferenciální tvar Ohmova z. II

• V úseku délky x vodiče je náboj Q :

Q = n qx S

• Objem, který proteče určitou plochou za jednotku času je Sx/t = vd S , takže proud I je :

I = Q/t = n q vd S = j S

• Kde j je takzvaná hustota proudu. S použitím Ohmova zákona a definice vodivosti :

I = j S = U/R = El S/l j = E

13. 5. 2003 10

Diferenciální tvar Ohmova z. III

j = E• To je Ohmův zákon v diferenciálním tvaru. • Na rozdíl od Ohmova zákona ve tvaru

integrálním obsahuje pouze mikroskopické a negeometrické veličiny.

• To je počáteční bod teorií, které studují vodivost.

• Obecně platí ve vektorové podobě: Ej

13. 5. 2003 11

Diferenciální tvar Ohmova z. IV

• Znamená, že velikost hustoty proudu závisí na schopnosti látky vést proud a intenzitě elektrického pole a náboje se (efektivně) pohybují podél elektrických siločar.

• Pro hlubší porozumění je třeba mít alespoň hrubou představu a velikostech parametrů, které se v Ohmově zákoně vyskytují.

13. 5. 2003 12

Příklad I

• Mějme proud 10 A, protékající měděným vodičem o průřezu 3 10-6 m2.

Jaká je hustota proudu a driftová rychlost nosičů náboje, přispívá-li každý atom jedním volným elektronem?• atomová váha mědi je 63.5 g/mol.

• hustota mědi je = 8.95 g/cm3.

13. 5. 2003 13

Příklad II

• V 1 m3 je 8.95 106/63.5 = 1.4 105 mol.

• Každý atom přispívá jedním volným elektronem. Hustota nosičů náboje tedy je : n = 8.48 1028 elektronů/m3.

• Driftová rychlost vd :

vd = I/Snq =

10/(8.48 1028 1.6 10-19 3 10-6) = 2.46 10-4 m/s

13. 5. 2003 14

Mikroskopický obrázek

• Vidíme, že driftová rychlost je velmi malá. Vzdálenost jednoho metru by elektron překonal za 68 minut! Pro srovnání je rychlost chaotického pohybu elektronů řádově 106 m/s.

• Takže v látce existují proudy řádově 1012 A, tečou ale náhodnými směry a navzájem se kompenzují, a relativně malé proudy způsobené elektrickým polem.

• Je to, jako v případě nabíjení vodičů, případ velmi malé nerovnováhy.

13. 5. 2003 15

Otázka

• Driftová rychlost nosičů náboje je řádově 10-4 m/s.

Jak je možné, že se žárovka v místnosti rozsvítí po zapnutí vypínače prakticky okamžitě?

13. 5. 2003 16

Odpověď

• Sepnutím vypínače, připojíme napětí na konce vodiče, čímž vytvoříme elektrické pole poděl něj. To uvede do pohybu nosiče náboje. Protože elektrické pole se vytvoří rychlostí světla c = 3 108 m/s, nosiče náboje se dají do pohybu (prakticky) současně.

13. 5. 2003 17

*Klasický model I

• Zkusme vysvětlit driftovou rychlost základnějšími parametry. Předpokládejme, že v průběhu jistého průměrného času mezi srážkami jsou nosiče urychlovány elektrickým polem. A každá nepružná srážka je zastaví.

• Použijeme vztah známý z elektrostatiky :

vd = qE/m

13. 5. 2003 18

*Klasický model II

• Dosadíme do vztahu pro hustotu proudu :

j = n q vd = n q2 E/m

• Obdržíme měrnou vodivost a odpor :

= n q2 /m

= 1/ = m/nq2

13. 5. 2003 19

*Klasický model III

• Zdá se, že jsme nahradili jedny parametry druhými

• V posledních vztazích ale vystupuje jediný neznámý parametr průměrný čas mezi sražkami, který může být dán do souvislosti se střední rychlostí, závislou na teplotě, kterou předpovídají dobře zavedené teorie, podobné těm, které vysvětlují podobné vlastnosti plynů.

• Tento model předpovídá závislost měrné vodivosi na teplotě, ale ne na elektrickém poli.

13. 5. 2003 20

Teplotní závislost měrného odporu I

• Ve většině případů je teplotní chování blízké lineárnímu .

• Definujeme změnu měrného odporu vzhledem k jisté referenční teplotě t0 (0 nebo 20° C):

= (t) – (t0)

• Relativní změna měrného odporu je přímo úměrná změně teploty :

)1)(()(

)()(

0

00

ttt

tttt

13. 5. 2003 21

Teplotní závislost měrného odporu II

[K-1] je lineární teplotní koeficient. • Je určen teplotní závislostí n a vd. • Může být i záporný, např. u polovodičů (ale ty mají

chování exponencíální).

• V případě většího roszahu teplot nebo vyšší požadované přesnosti musíme přidat další (kvadratický) člen :

/(t0) = t + (t)2 + … (t) = (t0)(1 + t + (t)2 + …)

13. 5. 2003 22

Hlavní body

• Rezistory zapojené sériově a paralelně

• Sítě rezistorů

• Obecná topologie obvodů

• Kirchhoffovy zákony – fyzikální význam

• Použití Kirchhoffových zákonů

• Princip superpozice

• Metoda obvodových proudů

13. 5. 2003 23

Seriové zapojení rezistorů

• Rezistory, zapojenými seriově, prochází stejný společný proud.

• Současně napětí na všech dohromady musí být součet napětí na rezistorech jednotlivých.

• Seriové zapojení tedy můžeme nahradit jedním rezistorem, pro jehož rezistanci platí :

R = R1 + R2 + …

13. 5. 2003 24

Paralelní zapojení rezistorů

• Jsou-li rezistory zapojeny paralelně, je na každém stejné společné napětí.

• Současně se celkový proud dělí mezi ně a je tedy součtem proudů jednotlivými rezistory.

• Paralelní zapojení tedy můžeme nahradit jedním rezistorem, pro jehož rezistanci platí

1/R = 1/R1 + 1/R2 + …

13. 5. 2003 25

Obecná síť rezistorů

• Nejprve nahradíme seriově zapojené rezistory, potom paralelně.

• *Zapojení do trojúhelníku nahradíme zapojením do hvězdy :

r = rbrc/(rarb + rbrc + rcra)

• *Tento vztah vyplývá z cyklické záměny :

r + r = rc(ra + rb)/(rarb + rbrc + rcra)

13. 5. 2003 26

Obecná topologie obvodů

• Obvody se skládají z :• Větví – vodiče se zdroji a rezistory

• Uzlů – body, kde jsou propojeny alespoň tři větve.

• Smyček – všechny možné uzavřené cesty rozličnými větvemi a uzly, které se neprotínají.

13. 5. 2003 27

Řešení obvodů

• Úplné řešení obvodu znamená nalezení proudu v každé jeho větvi. Někdy nás ale zajímají jenom některé z nich.

• Při řešení obvodů je nutné najít nezávislé smyčky. Na to existují geometrické metody a možností je obvykle několik.

• Smyslem je nalézt dostatečný počet lineárně nezávislých rovnic pro proudy.

13. 5. 2003 28

Kirchhoffovy zákony I

• Fyzikálním základem pro řešení obvodů jsou Kirchhoffovy. Vyjadřují obecné vlastnosti, vyplývající ze zachování náboje a konzervativnosti stacionárního elektrického pole.

• V nejjednodušší formě platí jen pro stacionární pole a proudy. Mohou ale být jednoduše zobecněny pro určité typy polí časově proměnných.

13. 5. 2003 29

Kirchhoffovy zákony II

• První Kirchhoffův zákon, zákon pro uzly, říká, že součet proudů přitékajících do jistého uzlu se musí rovnat součtu proudů z tohoto uzlu vytékajících.

• Je to speciální případ zákona zachování náboje. Ten je obecněji je vyjádřen rovnicí kontituity náboje, která popisuje navíc směry a připouští nabíjení nebo vybíjení bodu.

13. 5. 2003 30

Kirchhoffovy zákony III

• Druhý Kirchhoffův zákon, zákon pro smyčky, říká, že součet napětí (rozdílů potenciálů) na každém prvku v každé uzavřené smyčce se musí rovnat nule.

• Zákon je založen na existenci potenciálu v obvodech stacionárního elektrického proudu (které je konzervativní) a zachování potenciální energie ve smyčce .

13. 5. 2003 31

Použití Kirchhoffových zákonů I

• Musíme sestavit soustavu nezávislých rovnic, jejichž počet bude roven počtu větví :• Nejprve si označíme všechny proudy a každému

přiřadíme určitý směr. Pokud se zmýlíme, vyjde nám proud na závěr záporný.

• Napíšeme rovnice, vyplývající z I. KZ pro všechny uzly až na poslední, v němž bychom dostali lineárně závislou rovnici.

• Napíšeme rovnici z II. KZ pro všechny nezávislé smyčky.

13. 5. 2003 32

Příklad I-1

• Obvod má 3 větve, 2 uzly a 3 smyčky, z nichž 2 jsou nezávislé.

• Protože zdroje jsou ve dvou větvích, nemůžeme problém jednoduše převést na serio-paralelní zapojení rezistorů.

13. 5. 2003 33

Příklad I-2

• Nazveme prudy a přiřadíme jim směr. Nechme všechny opouštět uzel a, takže alespoň jeden musí vyjít záporný.

• Označme polarity na rezistorech podle předpokládaných směrů proudů.

• Sestavme rovnici pro první uzel a :

I1 + I2 + I3 = 0.

13. 5. 2003 34

Příklad I-3

• Rovnice pro uzel b by vyšla stejná, takže další rovnice musíme najít ze smyček.

• Vyjdeme např. z bodu a větví 1 a vrátíme se větví 3 :

-U1 + R1I1 – R3I3 = 0

• Potom podobně z a větví 2 a nazpět 3:

U2 + R2I2 – R3I3 = 0

13. 5. 2003 35

Příklad I-4

• Při cestě kolem smyčky musíme zachovat určitý systém, například psát všechny výrazy na jednu stranu rovnice se znaménkem podle polarity napětí, ke kterému u příslušného prvku přijdeme nejprve.

• Řešíme : z první rovnice vyjádříme : -I3 = I1 + I2 a dosadíme do dalších dvou :

U1 = (R1 + R3)I1 + R3I2

-U2 = R3I1 + (R2 + R3)I2

13. 5. 2003 36

Příklad I-5

• Numericky máme :

25I1 + 20I2 = 10

20I1 + 30I2 = -6

• Můžeme postupovat několika způsoby a dostaneme : I1 = 1.2 A, I2 = -1 A, I3 = -0.2 A

• Vidíme, že proudy I2 a I3 mají opačný směr, než jsme původně předpokládli.

13. 5. 2003 37

Použití Kirchhoffových zákonů II

• Pro praktické řešení obvodů nejsou Kirchhoffovy zákony příliš užitečné, protože je nutné sestavit a vyřešit stejný počet rovnic, jako je počet větví. Lze ale ukázat, že k úplněmu řešení obvodu postačí stejný počet rovnic, jako je nezávislých smyček, což je obecně méně.

13. 5. 2003 38

*Příklad II-1

• I v našem předchozím, jednoduchém příkladu jsme museli řešit systém tří rovnic, který je praktickou hranicí, kterou lze vyřešit relativně jednoduše ručně.

• Ukážeme, že pro nepatrně komplikovanější obvod by již počet rovnic byl příliš velký na ruční řešení.

13. 5. 2003 39

*Příklad II-2

• Nyní máme 6 větví, 4 uzly a mnoho smyček, z nichž jsou 3 nezávislé.

• Kirchhoffovy zákony nám poskytnou 3 nezávislé rovnice pro uzly a 3 pro smyčky.

• Máme tedy systém 6 rovnic o 6 neznámých. Řešení je principiálně možné, ale velmi obtížné.

13. 5. 2003 40

Princip superpozice

• Princip superpozice lze použít tak, že všechny zdoje pracují nezávisle.

• Pokaždé můžeme zkratovat všechny zdroje až na j-tý a najít proudy Iij v každé větvi.

• Opakujeme to pro všechny zdroje a nakonec pro proud určitou větví platí :

Ii = Ii1 + Ii2 + Ii3 + …

13. 5. 2003 41

Příklad I-6

• Vraťme se k našemu prvnímu příkladu.

• Ponechme první zdroj a zkatujme druhý.

• Získáme jednoduché serio-paralelní zapojení rezistorů, v němž snadno nalezneme proudy :

• I11= 6/7 A; I21= -4/7 A; I31= -2/7 A

13. 5. 2003 42

Příklad I-7

• Opakujeme totéž s druhým zdrojem :• I12= 12/35 A; I22= -3/7 A; I32= 3/35 A• Celkově dostaneme :• I1= 1.2 A; I2= -1 A; I32= -0.2 A• Výsledek je stejný jako předchozí.• Princip superpozice je užitečný, když

chceme například zjistit, co se stane když zdvojnásobíme napětí prvního zdroje.

13. 5. 2003 43

*Metoda obvodových proudů

• Existuje několik pokročilejších metod, které používají pouze nezbytný počet rovnic, potřebných k vyřešení daného obvodu.

• Nejelegantnější a nejjednodušší na použití i pamatování je metoda obvodových proudů.

• Je založena na myšlence, že obvodem tečou proudy v nezávislých smyčkách a proud v každé větvi je jejich superpozicí.

13. 5. 2003 44

*Příklad I-8

• V našem příkladě existují dva nezávislé obvodové proudy, např. I ve smyčce a(1)(3) a I ve smyčce a(2)(3).

• Proudy ve větvích mohou být považovány za jejich superpozici :

• I1= I

• I2= I

• I3= -I - I

13. 5. 2003 45

*Příklad I-9

• Napíšeme rovnice pro smyčky :

• (R1 + R3)I + R3I = U1

• R3I + (R2 + R3) I = -U2

• Po dosazení numerických hodnot máme :

I = 1.2 A a I = -1A, které dají opět stejné proudy proudy v obvodech :

I1 = 1.2 A, I2 = -1 A, I3 = -0.2 A

13. 5. 2003 46

*Příklad I-10

• Výsledek je stejný, ale řešili jsme soustavu pouze dvou rovnic o dvou neznámých.

• Výhoda je ještě lépe vidět na druhém příkladu.

13. 5. 2003 47

*Příklad II-3

• Proud I bude ve smyčce DBAD, I v DCBD a I v CBAC. Potom :

• I1 = I - I

• I2 = I - I

• I3 = I - I

• I4 = -I

• I5 = I

• I6 = I

13. 5. 2003 48

*Příklad II-4

• Smyčková rovnice v DBAD by byla :

• -U1 + R1(I - I) – U3 + R3(I - I) + R5I = 0

• (R1 + R3 + R5)I - R1I - R3I = U1 + U3

• Podobně ve smyčkách DCBD a CABC:

• -R1I + (R1 + R2 + R4)I - R2I = U4 - U1 – U2

• -R3I - R2I +(R2 + R3 + R6)I = U2 - U3

• Rovnice se sestavují poněkud obtížněji ale jsou jenom tři, takže je můžeme vyřešit ručně!

13. 5. 2003 49

*Příklad II-5

• Numericky máme :

• 12 –2 –5 I = 51

-2 14 –10 I = -16

• -5 –10 25 I = 25

• Řešením dostaneme I, I, I a s jejich pomocí nakonec vypočteme proudy v jednotlivých větvích I1 , I2 …