FILTER BUTTERWORTH& CHEBYSHEVKELOMPOK I

M Rifky Muzaki 4211411002Rafi Wido P. 4211411007Riska T D 421141100Tri Susanti 4211411054Lutfi cynk clalu 4211411061

Pengolahan Data Digital

PENDAHULUAN

Filter merupakan suatu alat yang memiliki fungsi untukmelewatkan frekuensi tertentu

Filter analog berarti filter yang melewatkan sinyal analog danpengolahan sinyalnya juga dilakukan secara analog

Filter analog banyak digunakan dalam sistem komunikasi,misalnya pada up-down converter, untuk merancang duplekser,filter sinyal audio, filter RF, filter SSB, dsb

Applying Cross-Cutting Relationships

• jenis filter pengolahan sinyal yang dirancanguntuk memiliki sebuah flat respon frekuensi yangmemungkinkan dalam passband sehingga disebutjuga maximally flat magnitude filter.

• Respon frekuensi dari filter butterworth adalahmaksimal datar (tidak memiliki riak) di passband danFilter Butterworth memiliki pelemahan yang cukup tajam pada frekuensi Stopband. Butterworth filter memberikan optimasi pada daerah passband. Bila dilihat pada logaritma bode plot, respon lereng off linier menuju tak terhingga negatif.

FILTER-BUTTERWORTH

Filter Analog Butterworth diperoleh dengan cara mencari fungsi alih dari rangkaian LPF analog orde-1

Gambar a. Filter analog LPF orde-1dengan RC

• Berdasarkan bentuk respon frekuensi terhadap gain:1. Filter Bessel (Maximally Flat Time Delay)2. Filter Cauer (Eliptic)3. Filter Butterworth (maximally flat)4. Filter Chebyshev (Tchebycheff)

FUNGSI ALIH DARI RANGKAIAN ANALOG TERSEBUT DINYATAKAN DALAM PERSAMAAN :

Besarnya frekuensi cutt-off, wc=1/RC Perjanjian simbol untuk frekuensi analog yang digunakan adalah , jadi simbol w diganti dengan , sehingga :

MAGNITUDE DARI PERSAMAAN DI ATAS :

Persamaan diubah ke bentuk Laplace s=j atau = s/j, sehingga dapat ditulis menjadi persamaan :

• BUTTERWORTH MENGEMUKAKAN SUATU FORMULA UNTUK MENENTUKAN NILAI POLE-POLE ORDE KE-N DARI FUNGSI ALIH FILTER DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN :

Dimana N adalah orde filter

Untuk menentukan nilai polenya , persamaan di atas dibuat sama dengan 0 :

Untuk : Catatan : s = pole

m = integer N = orde

Secara umum filter analog yg sering digunakan adalah filter Butterworth, filter Chebyshev, dan filter Elliptic.

Formulasi untuk filter order ke-N

N

cjs

sHsHsH2

2

)(1

1)()()(

Suatu filter LPF dengan = 1 rad/dtk dikenal sebagai filter ternormalisasi (prototype). Untuk ,memperoleh filter yg diinginkan fungsi alih LPF prototype dilakukan transformasi frekuensi analog to analog.

c

C

• Pole-pole dari Hn(s) dan Hn(-s) dapat ditentukan dengan cara :Untuk N ganjil ->->->Untuk N genap ->->->

k= 0,1,2,….2N-1

Contoh soal :Tentukan fungsi alih H(s) untuk filter butterworth ternormalisasi orde ke-1.Jawab :

NkSk /1

N

k

NSk

21

Untuk orde-1 N=1 gunakan persamaan N ganjil :Pole-pole nya : dengan

k=0,1,2,…2N-1Karena N=1 jadi k= 0 dan 1 Pole ke-0 : Pole ke-1 :

NkSk /1

011/010 S

11/111S

Note : pole yang berada di kanan bersifat tidak stabil, dan yang berada di daerah kiri bersifat stabil. Sehingga untuk mencari fungsi alih digunakan pole yang berada di daerah kiri (-1)Jadi fungsi alih :

1

1

))1((

1)(,

)(

1)( 1

ss

sHjadiss

sHk

Persamaan untuk mencari fungsi alih filter Butterworth:

factorpolynomialsBsB

sH nn

n )()(

1)(

Contoh : tentukan fungsi alih filter butterworth untuk orde kedua !

141.1

1

)(

1)(

22

2

sssBsH

Spesifikasi yang diperlukan untuk perancangan LPF adalah frek kritis Ω₁ dan Ω₂ serta penguatan K₁ dan K₂ (dB).Besarnya orde (N) dari suatu filter dapat dicari dengan persamaan :

2

1

10/2

10/

log2

110110

log1

K

K

N

Hasil N yang diperoleh pada persamaan di atas bukan berupa bilangan bulat, oleh karena itu nilai N yang diperoleh perlu dibulatkan terlebih dahulu (diuji). Jika nilai Ωc yang diperoleh masih berada dlm batas frek yg memenuhi spesifikasi rancangan (Δ10%), maka nilai N tersebut dapat kita gunakan .

JURUSAN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2012

Untuk itu perancang dapat mengambil kesimpulan terhadap adanya frekuensi tersebut, apakah sudah memenuhi keinginannya, b

dB. la belum nilai orde N dapat ditingkatkan lagi. Semakin tinggi orde N, Seemakin curam frekuensi cut off.

Jika nilai Ωc yang diperoleh masih dalam rentang frekuensi yang memenuhi spesifikasi rancangan (∆10%), maka nilai N tersebut dapat dipilih dalam menentukan fungsi alih H(s). Catatan Besarnya Ωc akibat pembulatan yang dihitung, terdapat selisih bila dihitung dengan nilai N yang memakai persamaan (N).

Berikut adalah persamaan penguji nilai N:

NKc 2/110/

1

110 1

NKc 2/110/

2

110 2

Contoh : Rancang suatu filter butterworth LPF dengan spesifikasi :Ω₁ =20 rad/sec pada K₁=-2dBΩ₂ =30 rad/sec pada K₂=-10dBPenyelesaian :a.Hitung orde filter :

43709.3

3020

log2

110110

log 1

2.0

mjddibulatkanN

b. Lakukan tes untuk pembulatan nilai N, dengan persamaan Ωc :

sec/2868.21110

20

110210/22/110/

1

1

radNKc

Nilai Ωc yang didapat msh dlm

range yg diinginkan

c. Fungsi alih LPF ternormalisasi (Ωc=1rad/sec) orde ke 4:

)1848.1)(17654.0(

1)(

224

sssssH

d. Lakukan transformasi analog ke analog (lihat tabel), untuk mncari nilai LPF yg diinginkan dengan Ωc=21.2868 rad/sec.transformasinya :

3868.21

sss

c

Jadi fungsi alihnya menjadi :

)1)3868.21

848(.1)3868.21

)((1)3868.21

(7654.0)3868.21

((

1)(

224

sssssH

)394.457517.39)(394.4573686.16(

10209210.0)(

22

6

4

ssss

xsH

Perancangan Low Pass Filter IIR Butterworth

)30002sin()1002sin()( tttx

Diinginkan sebuah filter digital yang akan melewatkan pita frekuensi dengan respons frekuensi rata, turun sampai dengan – 3 dB dari 0~1000 Hz. Pada frekuensi 2000 Hz diinginkan sinyal diredam minimum 10 dB. Filter tersebut direncanakan bekerja bekerja pada frekuensi sampling 10 kHz. Diberikan sinyal input :

Penyelesaian :Pada soal diketahui bahwa frekuensi sampling, fs = 10 kHz, maka perioda sampling adalah, Ts = 10-4 detik. Respons magnitudo dari filter digital yang diinginkan dalam soal dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 1. Respons magnitudo filter digital yang dirancang

Dimana,

Bila dilakukan transformasi ke bentuk filter analog , maka gambar 1 dapat dinyatakan seperti gambar di bawah:

dBK

radff s

3

2,010000/)10002(/)12(

1

1

dBK

radff

10

4,010000/)20002(/)2(

2

222

Gambar 2. Respons magnitudo filter analog yang dirancang

Dimana 6498

2

2,0tan20000

2tan

2 11

sT

145312

4,0tan20000

2tan

2 22

sT

Dan bila dilakukan transformasi ternormalisasi, maka gambar 3 dapat dinyatakan sebagai berikut:

236,26498

14531

1

2

r

Orde filter low-pass Butterworth analog dapat ditemukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

)236,2

1log(2

)]110/)110log[(

)1

log(2

)]110/)110log[(n

13,0

r

10/K10/K21

Dengan melakukan pembulatan ke atas, maka diperoleh nilai n = 2 dan dari table polynomials Butterworth didapat :

1s2s)s(B 2n

sehingga untuk Filter Low-Pass orde 2 ternormalisasi berlaku:

1s2s

1

)s(B

1)s(H

2n

lpf

ts / Dengan mengganti variable s dengan maka pada Filter Low-Pass analog hasil disain diperoleh:

16498

s2

6498

s

1

1s

2s

1

)s(B

1)s(H)s(H

2

1

2

1

n/sslpfLPF

1

Transfer function H(z) dari Filter Low-Pass digital yang direncanakan diperoleh dengan mengganti variable S dengan 2(1 – z-1)/(T(1 + z-1)), yaitu:

1z1

z1

6498

200002

z1

z1

6498

20000

1)s(H)z(H

1

12

1

1)z1(

)z1(

T

2sLPF

1

1

11

13528,4

1

14733,9

1)(

1

12

1

1

z

z

z

zzH

211121

21

)z1()z1)(z1(3528,4)z1(4733,9

)z1()z(H

21

21

z1205,6z9466,168261,14

zz21)z(H

Bentuk umum persamaan transfer function H(z) dapat ditulis sebagai berikut :

nn

22

110

nn

22

110

za...zazaa

zb...zbzbb

)z(A

)z(B)z(H

Suatu filter digital dapat juga dispesifikasikan dengan menggunakan persamaan beda standar yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut :

1 2

N

0k

N

1kkk )kn(ya)kn(xb)n(y

Dimana ak dan bk didapat dari persamaan umum transfer function H(z). Apabila a0 dibuat menjadi sama dengan satu (a0 = 1), maka persamaan transfer function H(z) dari Filter Low-Pass digital yang direncanakan menjadi :

21

21

z4128,0z1430,11

z0674,0z1349,00674,0)z(H

Sehingga persamaan beda y(n), dari Filter Low-Pass digital yang direncanakan menjadi:

y(n) = 0,0674 x(n) + 0,1349 x(n-1) + 0,0674 x(n-2) +1,1430 y(n-1) – 0,4128 y(n-2)

Realisasi rangkaian dari persamaan beda di atas dapat dilihat pada gambar :

2. Filter Chebyshev

Dapat dibagi menjadi 2 macam, yaitu :

Chebyshev type 1 : mempunyai kerutan (ripple) pada daerah frekuensi yang diloloskan (passband)

Chebyshev type 2 : mempunyai kerutan (ripple) pada daerah frekuensi yang diredam (stop band)

Filter Chebyshev-ITanggapan magnitude-kuadrat dari sebuah filter Chebyshev-I dinyatakan sebagai:

•Dengan N adalah orde filter• ∈ adalah parameter kontrol yang terkait dengan jumlah ripple passband• Ωp adalah frekuensi cut-off passband

Gambar disamping menunjukkan respon magnitudo filter chebychev-1 dengan frekuensi cut-off passband Ωp=1. untuk orde N yang lebih besar ripple passbandnya semakin banyak.

Ripple dalam dB :

21

1log20

ripple

Contoh : rancang filter LPF dengan prototype chebyshev :Ripple passband pada -2 dBFrekuensi cut -off pada 40 rad/secDaerah redaman sekitar 52 rad/secPenyelesaian :a) lihat tabel transformasi analog to analog.Ωr = Ωr’ + Ωu = 62/40 = 1.3b) Mencari orde filter n dan ε .

2)1(

1log10

)1(

1log20

1

1log20

2

2/1

22

ripple

Didapatkan ε = 0.76478

Mencari nilai A: 10101

log20)(

1log20 1

2/1

2

AAA

Untuk mencari orde n menggunakan persamaan :

5

1)3.1(3.1log(

1)01.13(01.13log

01.13)76478.0(

1100

2

2

2/1

2

n

g

Jadi fungsi alihnya adalah (lihat polynimial Chebyshev):

)08172.0459349.06934.0499.170646.0(

)()(

12345

01

12

23

34

455

sssss

K

bsbsbsbsbs

KsH

Lakukan transformasi analog to analog untuk memperoleh Ωc=40 rad / sec :

)984.6281292.14)(44.15233969.5)(73212.8(

10366.8

393114.040/35323.040/

1

)95215.040/134922.040/)(218303.040/(

08172.0

)()(

22

6

22

22

40/5

sssss

x

ss

xsss

sHsHssd

FILTER BUTTERWORTH&

CHEBYSHEV

TERIMA KASIH

Pengolahan Data Digital