1 Anlaml hane says

Bir fiziksel verinin hassasl her zaman mutlak hatasyla verilmez, hatas anlaml hanesays ile anlalr.

Bir saynn anlaml hane says soldaki sfrlar gznne almadan sfrn saysdr, r-nein:

rnek

Say Anlaml hane says1.2345 50.0012345 50.001234500 72.00051 67.8100 50.180 3

Baz zellikleri:

Toplama ve karmada, ondalk basamak says en az olan korunur.

rnek

3.45 + 3.1 = 6.55 = 6.6

9.11 + 4.3 = 13.41 = 13.4

9.12 5.4317 = 3.6883 = 3.69

arpma ve blmede, anlaml hane says en az olan korunur.

rnek

3.4567 2.7 = 9.33309 = 9.316.67 0.00012 = 0.0018804 = 0.0019

8.0/3.0 = 2.666666 . . . = 2.7

Saymakta kullanlan doal saylarn anlaml hane says sonsuzdur.

rnek

Bir kitabn ktlesi 285.6 g ise 3 kitabn ktlesi nedir.3 285.6 = 856.8 g

1

rnek 1.1

Bir halnn boyutlar,

a) a = (5.2 0.1) m ve b = (8.3 0.2) m olarak veriliyor. Halnn yzlmn hatapayyla hesaplayn.

b) Boyutlar sadece a = 5.2 m ve b = 8.3 m olarak veriliyor. Yine yzlm hesapla-yn.

zm: a) nce, halnn yzlm hesaplanr:

A = ab = 5.2 8.3 = 43.16 m2

Yzlm bir arpm gerektii iin, bal hata forml kullannr:

A

A=

a

a+

b

bA

43.16=

0.1

5.2+

0.2

8.3= 0.043

A = 43.2 0.043 = 1.87 2 m2

Yzlmn hatasnn tek haneye indirildi nk en ve boyun hata paylar tekhaneli idi. Buna gre

AA = (43 2) m2

olarak yazlabilir.

b) En ve boyun anlaml hane says 2 dir. Buna gre, ikisinin arpmnda sadece 2anlaml hane korunur.

A = ab = 5.2 8.3 = 43.16 43 m2

J

rnek 1.2

Bir otomobilin hz 34 mph (mil/saat) olarak veriliyor. Hz km/h ve m/s cinsindenhesaplayn. (1 mil = 1609 m).

zm: Hz iki anlaml hane ile verilmitir. O halde sonularda 2 anlaml hanetutulacaktr. 1 mil = 1.609 km alinrsa,

34 mph = 34 1.609 km/h = 54.706 km/h = 55 km/h

2

Benzer ekilde, 1 h = 60 dakika ve 1 dakika = 60 s alnrsa

34 mph = 34 1.609 100060 60 m/s = 15.196 m/s 15 m/s

J

rnek 1.3

Ktlenin enerjiye dnm Einsteinnin forml ile hesaplanr:

E = mc2

Burada c = 2.997925108 m/s k hz, E enerji olup SI sisteminde birimin joule (J)dir.

(1 J = 1 kg m2/s2). 1.0 g maddenin enerjisini hesaplayn.

zm: m = 1.0 g maddenin, sadaki sfr da hesaba katarsak, anlaml hane says2 dir. O halde sonucu 2 anlaml hane ile vermek gerekir. Bunu bildikten sonra, khzn 3 haneye yuvarlamak yeterli olur:

E = mc2 =(1 103 kg) (3.00 108)2 J

E = 9.0 1015 J

J

2 Vektrler

rnek 2.1

~F ve ~G vektrleri bileenleri ile verilmitir:

Fx = 3 Gx = 5Fy = 4 Gy = 12

Bu vektrlerin iddetlerini ve ynlerini bulun.

zm:

F =F 2x + F

2y =

32 + (4)2 = 5

tan F =FyFx

=43

F = arctan

(4

3

)= 53.13 = 53

3

Benzer olarak,

G =G2x +G

2y =

(5)2 + (12)2 = 13

tan G =GyGx

=125 =

12

5

G = arctan

(12

5

)= 67 180 = 113

J

rnek 2.2

~A = 3 4+ 7k, ~B = 2 3k ve ~C = 8 vektrleri veriliyor.

a) Her bir vektrn bileenleri yazn.

b) ~A+ ~B toplamn ve ~B ~C farkn hesaplayn.

c) 3 ~A 8 ~B + 9~C ifadesini hesaplayn.

zm: a) , ve k birim vektrler nndeki katsaylar srasyla x, y ve z bileenleriolur.

Ax = 3 Ay = 4 Az = 7Bx = 2 By = 0 Bz = 3Cx = 0 Cy = 8 Cz = 0

b)

~A+ ~B =(

3 4+ 7k)

+(

2 3k)

= 5 4+ 4k~B ~C =

(~B = 2 3k

) (8) = 2 8 3k

c)

3 ~A 8 ~B + 9~C = 3(

3 4+ 7k) 8

(2 3k

)+ 9 (8)

= 9 12+ 21k 16+ 24k + 72= 7+ 60+ 45k

Matlab veya Octave examplea=[3,-4,7];b=[2,0,-3];c=[0,8,0];

4

3*a-8*b+9*c

J

rnek 2.3

x

y

30

53

25

~A

~B

~C~D

10

6

83

ekilde, boylar ve alar belirtilmi olan ~A, ~B, ~C, ~D vektrlerin bileenlerini hesap-laynz.

zm:

Ax = A cos (90 30) = 10 cos 60 = 5Ay = A sin (90 30) = 10 sin 60 = 8.7Bx = B cos (90+ 53) = 6 cos 143 = 4.8By = B sin (90+ 53) = 6 sin 143 = 3.6

Cx = C cos (180+ 25) = 8 cos 205 = 7.3Cy = C sin (180+ 25) = 8 sin 205 = 3.4Dx = 0

Dy = 3

J

5

rnek 2.4

ekilde tipik olarak erkekler iin (m) ve kadnlar iin (f) anatomi orantlar verilmitir.~d1m ve ~d1f vektrleri ile taban ile gbek arasndaki uzunluu gsterir, ve byklkolarak 104 cm ve 84 cm verilir. ~d2m ve ~d2f vektrleri ise gbek ile parmaklar arasndauzanr ve bykl olarak 100 cm ve 86 cm olarak verilir. ~d3 = ~d1+ ~d2 her iki cinsiyetbulunuz.

zm:Erkek:

~d3 = ~d1 + ~d2

= 104+ 100 sin 23+ 100 cos 23

= 104+ 39+ 92 = 39+ 196 [cm]

|~d3| =

392 + 1962 200 cm = arctan

196

39 79

Bayan:

~d3 = ~d1 + ~d2

= 84+ 86 sin 28+ 86 cos 28

= 84+ 40+ 76 = 40+ 160 [cm]

|~d3| =

402 + 1602 165 cm = arctan

160

40 76

olarak bulunur. J

rnek 2.5

~p = 3 8 ~q = 8+ 7k

6

a) ~p ~q skaler arpmn bulunuz.

b) Bu iki vektr arasndaki ay tayin ediniz.

zm: a)

~p ~q = (3 8) (

8+ 7k)

= 3 8 + (8) 7 = 24 56 = 32

b)

p =

32 + (8)2 = 9 + 64 =

73 8.54

q =

82 + 72 =

113 10.63

cos =~p ~qpq

=32

73

113=328249

0.35

= arccos328249

110.63

J

rnek 2.6

~A = Ax+ 12 ~B = 4+ 5

Bu iki vektrn dik olmas iin, bilinmeyen Ax koordinat ne olmaldr?

zm: ki vektrlerin dik olabilmesi skaler arpm sfr olmaldr.

~A ~B = AxBx +AyBy = 0Ax 4 + 12 5 = 0

4Ax = 60 Ax = 60/4 = 15

J

rnek 2.7

~D = 3 5, ve ~E = 7 3k vektrlerin vektr arpmnn bileenlerini bulunuz.

7

zm:

~a~b = |a||b| sin(~a,~b)u

~F = ~D ~E = (3 5)(

7 3k)

= 3 7 3 3 k 5 7 + 5 3 k= 21 0 9 () 35

(k)

+ 15 = 15+ 9+ 35k

Matlab veya Gnu Octave ile zm

>> a=[3,-5,0]a =

3 -5 0

>> b=[0,7,-3]b =

0 7 -3

>> cross(a,b)ans =

15 9 21

J

rnek 2.8

Bir uak, hava limanndan kalkarak ekilde gsterilen yolu almaktadr. nce, 30.0kuzey dou ynnde 175 km uzakta bulunan A ehrine uar. Sonra 20.0 kuzeybatynnde 153 km uzaktaki B ehrine, son olarak, batya doru 195 km uzakdaki Cehrine uar. Balang noktasna gre C ehrinin yerini bulunuz.

8

zm: ekilde gsterilen koordinat sistemini semek uygundur. Burada x eksenidouya ve y ekseni kuzeye yneliktir. tane ardk yer deitirtmeyi a, b ve e vek-trleriyle gsterelim. lk a yer deitirmesi 175 km lik bir bykle ve

ax = a cos (30) = (175 km) (0.866) = 152 km

ay = a sin (30) = (175 km) (0.500) = 87.5 km

bileenlerine sahiptir. Bykl 153 km olan ikinci b yer deitirmesinin bileenleri,

bx = b cos (110) = (153 km) (0.342) = 52.3 kmby = b sin (110) = (153 km) ((0.940) = 144 km

olur. Son olarak, bykl 195 km olan nc e yer deitirmesi

cx = c cos (180) = (195 km) (1) = 195 kmcy = c sin (180) = 0 km

bileenlerine sahiptir. Buna gre, balang noktasndan C ehrine izilen R konumvektrnn bileenleri

Rx = ax + bx + cx = (152 52.3 195) km= 95.3 km

Ry = ay + by + cy = (87.5 + 144 + 0) km

= 231.5 km

dir. Birim vektr gsteriminde, R = (95.3i+ 231.5j) km dir. Yani C ehrine balan-g noktasndan itibaren nce batya doru gidilen 95.3 kmyi takiben, kuzeye doru231.5 kmlik bir seyahat ile ulalabilir. J

rnek 2.9

vektr, ekilde grld gibi ynelmilerdir. Burada |A| = 20 birim, |B| = 40birim ve |C| = 30 birim. (a) bileke vektrn x ve y bileenlerini (birim vektr gste-

9

rimiyle), (b) Bileke vektrn byklk ve ynn bulunuz.

zm: ekile baklrsa

(a)

Rx = Ax +Bx + Cx = 0 + 40.0 cos 45.0+ 30.0 cos 45.0 = 49.5

Ry = Ay +By + Cy = 20.0 + 40.0 sin 45.0 30.0 sin 45.0 = 27.1R = Rx+Ry = 49.5+ 27.1

(b)

R =R2x +R

2y =

49.52 + 27.12 = 56.4

= arctanRyRx

= arctan27.1

49.5= 28.7

J

rnek 2.10

Bir sinek odann bir duvarnda duruyor. Duvarn sol alt kesi, iki boyutlu Kartezyenkoordinat sisteminin orijini olarak seilmitir. Sinek, koordinatlar (2; 1) m olan birnoktada duruyorsa, odann kesinden ne kadar uzaktadr?

zm:

uzaklik =x2 + y2 =

(2.00 m)2 + (1.00 m)2 =

5.00 m2 = 2.24 m

J

10

rnek 2.11

Bir tilki avcs maarada mahsur kalyor. Dar kacak yolu bulmak iin 10 m yryp90 saa dnyor ve 5 m yryor. Tekrar 90 saa dnp 7 m yryor. Avcnn baladnoktadan itibaren yer deitirmesi ne kadardr?

zm: Balangc x ynnde olsun, buna gre

R = 10 m+ 5 m () + 7 m () = 3 m 5 m =

32 + 52 m = 5.83 m

yn ise

= arctan

(5

3

)= 59

balang hareketinden sada. J

rnek 2.12

Bir vektr R = 2+ +3k ile verilmektedir. (a) x, y ve z bileenlerinin byklklerini,(b) Rnin bykln ve (c) R ile x, y ve z eksenleri arasndaki alar bulunuz.

zm: (a) Rx = 2, Ry = 1, Rz = 3

(b) |R| =R2x +R

2y +R

2z =

4 + 1 + 9 =

14 = 3.74

(c)

cos x =Rx|R| = x = arccos

(Rx|R|)

= 57.7 + x ekseninden

cos y =Ry|R| = y = arccos

(Ry|R|)

= 74.5 + y ekseninden

cos z =Rz|R| = z = arccos

(Rz|R|)

= 36.7 + z ekseninden

J

rnek 2.13

ki vektr ~F1 + ~F2 = 11 + 5k ve ~F1 ~F2 = 5+ 11+ 9k olacak ekilde veriliyor.

a) ~F1 ve ~F2 vektrlerini

b) ~F1 ile ~F1 + ~F2 vektrleri arasndaki ay

c) ~F1 ~F2 bulunuz.

11

zm: a)

~F1 + ~F2 = 11 + 5k~F1 ~F2 = 5+ 11+ 9k(

~F1 + ~F2

)+(~F1 ~F2

)=(

11 + 5k)

+(

5+ 11+ 9k)

2 ~F1 = 16+ 10+ 14k

~F1 = 8+ 5+ 7k

~F2 =(

11 + 5k) ~F1

=(

11 + 5k)(

8+ 5+ 7k)

~F2 = 3 6 2k

b)

~F1 (~F1 + ~F2

)=(

8+ 5+ 7k)(

11 + 5k)

= 8 11 + 5 (1) + 7 5~F1

(~F1 + ~F2

)= 118

~F1 (~F1 + ~F2

)= ~F1 ~F1 + ~F2 cos( ~F1, ~F1 + ~F2)

= ~F1 ~F1 + ~F2 cos ~F1 = 82 + 52 + 72 = 138 11.75 ~F1 + ~F2 = 112 + (1)2 + 52 = 147 = 49 3 = 73

cos =

~F1 (~F1 + ~F2

) ~F1 ~F1 + ~F2 =

118138 73

= arccos

(11820286

) 34

c)

~F1 ~F2 =

k

8 5 7

3 6 2

= (1)1+1

5 76 2 + (1)1+2

8 73 2 + (1)1+3

8 53 6 k

= (5 (2) (6) 7) (8 (2) 3 7) + (8 (6) 3 5) k~F1 ~F2 = 32+ 37 63k

J

12

3 Hareket

rnek 3.1

Bir parack t = 0da v0 = 60 m/s hz ile hareket etmektedir. t = 0 ve t = 15 sarasnda hz dzgn olarak sfra gitmektedir. Bu 15 slik aralkta ortalama ivme nedir?Cevabnzda ki negatif iaretin anlam nedir?

zm:

a =vs vbts tb =

0 60.0 m/s15.0 s 0 = 4.00 m/s

2

J

rnek 3.2

Bir jet, uak gemisine 68 ms hzla 2 sde iniyor. (a) jet, 2 s sonra duruyorsa, ivmesinedir? (b) Uak yavalarken yer deitirmesi nedir?

zm: (a) x ekseni jetin hareket ynnde olsun. Soruyu dikkatlice okuyunca, ilkhznn 68 m/s ve son hzn sfr olduunu gryoruz. Ayrca jet yavalarken nekadar yol ald da verilmemitir. vmeyi bulmak iin bu eitlii kullanabiliriz:

v = v0 + at

a =v v0t

=0 68

2

m

s2= 34 m

s2

(b)

x = x0 + v0t+1

2at2

x = x x0 = v0t+ 12at2 =

(68 2 0.5 34 22) m

x = (136 68) m = 68 m

J

rnek 3.3

Dzgn bir yol boyunca durgun halden harekete geen bir kamyon 20 m/s lik hzaulaana kadar 2 m/s2lik bir ivme ile hareket ediyor. Kamyon, bu hzla 20 s hareketettikten sonra 5 s de duracak ekilde fren yapyor. (a) Kamyonun toplam hareketsresini, (b) Bu hareket iin kamyonun ortalama hzn bulunuz.

13

zm: (a)

t =vs vba

=20 m/s 0 m/s

2 m/s2= 10.0 s

ttoplam = t+ tnormal + tdurdurma = 10 s+ 20 s+ 5 s = 35 s

(b) (0, 10) s aralnda

x1 = vt =

(0 + 20.0

2

)(10.0) = 100 m

veya

x1 =1

2at2 =

1

2 2 102 m = 100 m

sonraki 20 s iin

x2 = vst+1

2at2 = (20.0) (20.0) m+ 0 = 400 m

sonraki 5 s iin

x3 = vt =

(20 + 0

2

)(5) m = 50 m

veya

v3s = vs a3t a3 = vs v3st

=20 0

5m/s2 = 4 m/s2

x3 = vst 12a3t

2 = 20 5 12 4 52 m = (100 50) m = 50 m

toplam aralk x = x1 + x2 + x3 = (100 + 400 + 50) m = 550 m ve ortalama hz

v =x

t=

550

35m/s = 15.7 m/s

J

rnek 3.4

Bir jet, uak gemisine 68 ms hzla 2 sde iniyor. (a) jet, 2 s sonra duruyorsa, ivmesinedir? (b) Uak yavalarken yer deitirmesi nedir?

zm: (a) x ekseni jetin hareket ynnde olsun. Soruyu dikkatlice okuyunca, ilkhznn 68 m/s ve son hzn sfr olduunu gryoruz. Ayrca jet yavalarken nekadar yol ald da verilmemitir. vmeyi bulmak iin bu eitlii kullanabiliriz:

v = v0 + at

a =v v0t

=0 68

2

m

s2= 34 m

s2

14

(b)

x = x0 + v0t+1

2at2

x = x x0 = v0t+ 12at2 =

(68 2 0.5 34 22) m

x = (136 68) m = 68 m

J

rnek 3.5

45 m/slik sabit hzla giden bir araba, bir ilan tahtas arkasna saklanan trafik polisinigeiyor. Bundan 1 s sonra trafik polisi 3 m/s2 lik sabit bir ivme ile arabay kovalamayabalyor. Trafik polisi arabay ne kadar zamanda yakalar?

zm: Soruda szle ifade edilen problem aadaki ekilde gsterilmitir.

Ayrca bunlar verilmitir:

vx araba = 45 m/s

ax araba = 0 m/s2

ax polis = 3 m/s2

Dikkatlice okuyunca bunun bir sabit-ivmeli soru olduunu anlyoruz. Trafik polisi1 slik gecikme ile takibe baladndan, arabann hzna ulamas iin 15 slik sre ge-ecektir. Bu zaman zarfnda araba hareketine devam ettiinden, cevabmzn 15 sdenbyk olmasn bekliyoruz. lk olarak her biri iin konumu zamana gre gsteren ba-ntlar yazmalyz. lan tahtasnn olduu noktay orijin ve trafik polisinin hareketegetii zaman da tB = 0 seelim. O ana kadar otomobil zaten 45 m yol almtr,nk vx = 45 m/s sabit hzla 1 s hareket etmitir. Dolays ile otomobilin balangkonumunu 45 m almalyz. Otomobilin hareketi ivmesiz olduundan, herhangi bir tan iin otomobilin konumunu

xaraba = xB + vx arabat = 45 m+ (45 m/s) t

eklinde yazabiliriz. Elde ettiimiz denklemi kontrol etmek iin t = 0 alalm, gerekten

15

de arabann balang konumu iin xaraba = xB = 45 m deerini buluruz. Sonularn-zn doruluu asndan bu ekilde snr deerlerine bakmak olduka faydaldr.

Trafik polisi t = 0 annda durgun halden harekete balar ve 3.00m/s2 lik bir ivmeile hzlanr. Bu yzden herhangi bir t anindaki konumu

xpolis = xi + vxit+1

2axt

2

xpolis = 0 + 0t+1

2axt

2 =

(3

2m/s2

)t2

eitlii ile verilir.

Trafik polisi, otomobili her ikisinin de konumunun ayn olduu C noktasndayakalar:

xpolis = xaraba(3

2m/s2

)t2 = 45 m+ (45m/s) t

Buradan ikinci mertebeden bir denklen elde edilir:

1.5t2 45t 45 = 0

Bu denklemin kkleri

t1,2 =45452 + 4 1.5 45

2 1.5 =452295

3=

45 47.913

ve pozitif kk t = 30.97 s 31 s dir.31 sde trafik polisin 1440 m lik yol aldna dikkat edin. (Bu mesafe, arabann

sabit hz kullanlarak da hesaplanabilir: (45 m/s)(31 + 1) s = 1440 m) J

rnek 3.6

Bir barda, mteri, yeniden doldurulmak zere bo bir bira bardan tezgah zerindekaydrr. Barmen bir an dalar ve bardak tezgahn kenarndan kayarak tabandan 1.4 muzakta demeye arpar. Tezgahn ykseklii 0.86 m ise, (a) bardak tezgah hangi hz-la terk eder? (b) Tam demeye arpmadan nce bardan hznn dorultusu nedir?

zm: (a) vx0 bardak yatay hz ise, ivmesi olmad iin t = xvx0 =(1.4 m)vx0

olur.Ayn zamanda 0.86 m aa doru 9.8 m/s2 ivmesiyle der. o halde

y = y0 + vy0t+1

2ayt

2

kullanarak

0 = 0.86 m 12

(9.8 m/s2

)((1.4 m)vx0

)2eitliinden vx0 =

(4.9 m/s2)(1.96 m2)

0.86 m = 3.34 m/s

16

(b) Hzn dik bileeni

vy = vy0 + ayt = (9.8 m/s2

)( 1.4 m3.34 m/s

)= 4.11 m/s

olduundan, demeye arpmadan nce bardan hznn dorultusu

= arctan

(vyvx

)= arctan

(4.113.34

)= 50.9

J

rnek 3.7

Bir top mermisi yatayn 55 yukarsna doru 300 m/silk hzla atelenmektedir. Mermiatelendikten 42 s sonra dan yamacnda patlamaktadr. Merminin patlad yerde,ateleme noktasna gre, x ve y koordinatlar nedir?

zm:

x = vx0t = v0 cos 0t

x = (300 m/s) (cos 55.0) (42.0 s)

x = 7.23 103 my = vy0t 1

2gt2 = v0 sin 0t 1

2gt2

y = (300 m/s) (sin 55) (42 s) 12

(9.8 m/s2

)(42 s)2 = 1.68 103 m

J

rnek 3.8

Bir binann tepesinden yukar doru dey olarak 20m/s ilk hzla bir ta atlmtr.Ta derken ykseklii 50m olan binann atsn ekilde gsterildii gibi syrarak

geer. Tan atld A noktasnda tA = 0 seerek,

a) tan maksimum ykseklie ulat zaman,

b) Maksimum ykseklii,

c) Tan atld noktaya geri dn zamann,

d) tan bu andaki hzn ve

e) t = 5 sdeki tan hzn ve konumunu bulunuz.

17

zm: (a) Ta, A dan B ye giderken hz 20 m/slik bir deiime uramaldr.

nk, B de durur. Serbest dmede, yer ekiminden kaynaklanan hz deiimiher saniye yaklak 10 m/s olduuna gre, tan B noktasna ulama sresi2 sdir (Byle problemler iin ekil izmek ok yararldr.). Tan maksimumykseklie ulama zaman tByi hesaplamak vyB = vyA+aytyi eitlii kullanrz.Burada vyB = 0 dr. Ayrca balang zaman ve saat tA = 0 almaya balyor:

20 m/s+(9.80 m/s2) t = 0

t = tB =20 m/s

9.80 m/s2= 2.04 s

(b) Hareket srasnca ortalama hz 10 m/s (0 m/s ile 20 m/s deerlerinin ortalamas)

18

ve toplam hareket sresi yaklak 2 s olduundan, tan 20 m gitmesini bekleriz.

ymaks = yB = vyAt+1

2ayt

2

Eitlie bulduumuz sreyi koyarsak, tan atld noktadan (yi = yA = 0)itibaren llen maksimum ykseklii hesaplarz:

yB = (20 m/s) (2.04 s) +1

2

(9.80 m/s2) (2.04 s)2 = 20.4 m(c) Tan B den C ye kadar olan hareketi, A dan B ye kadar olan hareketinin

tam tersidir. O halde A dan C ye kadar geen sre A dan B ye kadar ge-en zamann iki katdr. Ta tekrar atld noktaya geldiinde ( C noktas) ykoordinat yine sfrdr. ys = yC = 0 veyi = yA = 0, Buna gre

yC yA = vyAt+ 12ayt

2

0 = 20t 4.9t2

elde ederiz. Bu ikinci dereceden bir denklemdir ve t = tC iin iki zm vardr.Eitlii arpanlarna ayrrsak,

t (20 4.9t) = 0

olur. zmlerden biri t = 0 olup, bu, tan harekete balad andr. Dierit = 4.08 sdir, ve aradmz zmdr Bu sonucun t deerinin iki kat olduunadikkat edin.

(d) A ve C noktasnda hzlarn zt ynl olmas dnda her ey ayndr. (c) kkndabulunan t deerini kullanarak

vyC = vyA + ayt = 20 m/s+ (9.80 m/ss) (4.08 s) = 20 m/s

olarak bulunur. Ta, atld noktaya geri geldiinde hz byklke ayn, yncezt olduundan hareket simetriktir.

(e) Bu k n, tan B noktasndan ilk hzsz olarak D noktasna serbest dme-sini inceleyelim. Bu hareket iin geen sre yaklalk 3 s olduundan, Yerekimiivmesi, hz 30 m/s deerine kadar deitirebilecektir. t = tD tB alnarak

vyD = vyB + ayt = 0 m/s+ (9.80 m/ss) (5 s 2.04 s) = 29 m/s

olarak bulunur.

Zaman araln doru seerek, hareketi A dan D ye kadar da inceleyebilirdik,bu durumda t = tD tA = 5 s alnacakt ve sonuta

vyD = vyA + ayt = 20 m/s+ (9.80 m/ss) (5 s) = 29 m/s

bulunacakt.

19

Kinematik denklemlerinin ne kadar kullanl olduunu gstermek iin, tD =

5 sde tan konumunu, C ve D noktalar arasndaki yerdeiimi hesaplanarakbulabiliriz. Bu durumda zaman t = tD tC alarak

yD = yC + vyCt+1

2at2

= 0 m+ (20 m/s) (5 s 4.08 s) + 12

(9.80 m/s2) (5 s 4.08 s)2= 22.5 m

bulunur.

J

rnek 3.9

Bir top ekilde grld gibi 160 metre derinlikte bir uurumun 192 metre gerisindenyatayla 37 lik a yapacak ekilde V0 hzyla frlatlyor. Bu atla top, tam uurumunkenarndan geiyor.

a) V0 ilk hzn,

b) Uurumun dibinde topun dt noktann uurum kenarna olan yatay x uzaklnbulunuz (g = 9.8 m/s2).

zm: a) s = 192 m, = 37, cos 0.8, sin 0.6, g 9.8 m/s2

20

v0 = v0x + v0y

v0x = v0 cos

v0y = v0 sin

t =s

v0x=

s

v0 cos

y = v0yt 12gt2 = v0 sin t 1

2gt2

0 = v0 sin sv0 cos

12g

(s

v0 cos

)2sin =

sg

2v20 cos

v0 =

sg

2 sin cos=

192 9.8

2 0.6 0.8m

s

=

192 9.8 100

2 6 8 m/s =

192 98096

m/s =

2 980 m/s =

1960 m/s

v0 = 14

10 m/s 44.3 m/s

b)

Yntem 1 Maksimum yksekliinden faydalanarak:

ymax = xmaxsin

cos 1

2

gx2maxv20 sin

2

=

(192

2

6

8 1

2

9.8 (1922 )2(14

10)2 ( 810)2

)m

= (72 36) mymax = 36 m

htoplam = h+ ymax = (160 + 36) m = 196 m

htoplam =gt2

2

t =

2htoplam

g=

(2 1969.8

)s =

40 s = 2

10 s

x+s

2= v0 cost

x = v0 cost s2

=

(14

10 1010 2

10 1922

)m

x = (224 96) m = 128 m

21

Yntem 2 ukurda d incelenmesi:

y = v0 sin t+ 12gt2

160 = 14

10 (0.6) t+1

2 9.8t2

4.9t2 + 8.4

10t 160 = 0

=

(8.4

10)2 4 4.9 (160)

=

705.6 + 3136 =

3841.6 = 61.981

t1,2 =8.410 61.981

2 4.9 s, t > 0 s

t =8.410 + 61.981

9.8s = 3.6141 s 3.6 s

x = v0xt = v0 cos tx = 14

10 8

10 3.6141 m

x = 128 m

J

rnek 3.10

elik bir bilye bir binann atsndan ekilde grld gibi aaya serbest brakl-yor. 120 cm boyunda bir pencerenin nnde duran bir gzlemci bilyenin pencereninnnden 0.125 saniyede getiini gzlyor. Bilye harekete devam ederek yere arpyorve tam esnek olarak zplayp 2 saniye sonra tekrar pencerenin alt tarafnda grl-yor. Binann h ykseklii nedir? (Not: Tam esnek arpmada bilyenin zplama hznnbykl arpmadan hemen nceki hznn byklne eittir) (~g = 9.8 m/s2).

22

zm: Ana formler:

~v (t) = ~v0 + ~at

~y (t) = ~y0 + ~v0t+1

2~at2

Verilere gre,

v1 = gt1 h1 =1

2gt21

v2 = v1 + gt2 h2 = v1t2 +1

2gt22 t2 = 0.125 s =

1

8s h2 = 1.2 m =

6

5m

v3 = v2 + gt3 h3 = v2t3 +1

2gt23 t3 = 2 s

Buna gre

v1 =h2t2 1

2gt2 =

(6/5

1/8 1

2 98

10 1

8

)m/s =

(48

5 49

80

)m/s =

719

80m/s

v1 =719

80m/s = 8.9875 m/s

t1 =v1g

=719

80 10

98s =

719

784s = 0.91709 s

h1 =1

2 98

10(

719

784

)2m =

4047

982m = 4.1212 m

v2 =

(719

80+

98

10 1

8

)m/s =

817

80m/s = 10.213 m/s

h3 =

(817

80 2 + 1

2 98

10 22)m =

1601

40m 40 m

h = h1 + h2 + h3 =

(4047

982+

6

5+

1601

40

)m

h =1179

26m 45.35 m

olarak bulunur. Kontrol etmek istersek, toplam t = t1+t2+t3 ile serbest dmesindekizamana karlatralm:

t = t1 + t2 + t3 =

(719

784+

1

8+ 2

)s =

1601

784s 3.0421 s

t =

2h

g=

2 117926

9810

s =

5895

637s 4481

1473s 3.0421 s

Her iki durumda sonu ayndr.(Hesaplamalar GNU Octave program yardmyla yaplmtr.) J

rnek 3.11

23

Dnyann evresindeki ayn yrngesi, yaklak olarak, 3.84108 m yarapl dairedir.Ayn, dnyann etrafnda bir devrini tamamlamas 27.3 gn alr. (a) Ayn ortalamayrnge hzn (b) merkezcil ivmesini bulunuz.

zm: (a)

v =x

t=

2pi(3.84 108 m)

[(27.3 gun) (24 saat/gun) (3600 s/saat)]= 1.02 103 m/s

(b)

ar =v2

r=

(1.02 103 m/s)2

3.84 108 m = 2.72 103 m/s2

J

rnek 3.12

0.5 m yarapnda bir tekerlek, dakikada 200 devirlik sabit bir hzda dnmektedir.Tekerlein trna ierisine gml kk (en d kenar zerinde) bir ta parasnnhzn ve ivmesini bulunuz. (Yol gsterme: Bir devirde, ta daire evresindeki 2piryoluna eit bir uzaklkta yol alr.)

zm: r = 0.5m;

vt =2pir

T=

2pi (0.5 m)

(60 s) / (200 devir)= 10.47 m/s 10.5 m/s

ar =v2

r=

(10.47 m/s)2

0.5 m= 219 m/s2

ivme yn ne? J

rnek 3.13

Bir tren, bir viraj dnerken hz 15 s iinde 90 km/saat den 50 km/saat e dr-mektedir. Virajn yarap 150 m dir. Trenin hz 50 km/saate ulat anda ivmeyihesaplaynz.

zm: zmde, trenin yavalamaya devam ettiini varsaylmtr.

ar =v2

r= 1.29 m/s2

at =v

t=

(40 km/h) (103 m/km) (1 h/3600 s)15.0 s

= 0.741 m/s2

a =a2r + a

2t =

(1.29m/s2)2 + (0.741 m/s2)2 = 1.48 m/s2

24

yn ierie doru; a ise:

= arctan

(atar

)= 29.9

J

rnek 3.14

Bir beysbol topu, (10+ 15) m/slik ilk hzla frlatlmaktadr. Top, izdii yolun enst noktasna ulat zaman (a) hz ne olur? (b) ivmesi nedir?

Hava direncini ihmal ediniz.

zm: ekilden grld gibi en st noktasna

y

x

~v = (10+ 15)

(a) ulat zaman hz ~vhmax = (10) olarak bulunur, nk dik olan bileeni 0 deerialmaktadr.

(b) ~a = g, nk maksimum ykseklii noktasndan sonra hz artmaktadr.

J

4 Kuvvetler

rnek 4.1

1 kg ktleli bir cisim ekilde grld gibi, kuzeydouya doru yatayla 30 lik ayapacak ekilde 10 m/slik ivme ile hareket ediyor. Ktleye etki F2, kuvveti 5 N b-

25

yklndedir ve kuzeye ynelmitir. F1 kuvvetinin ynn ve bykln bulunuz.

zm:

2i=1

~Fi = ~F1 + ~F2 = m~a

~a = 10.0 sin 30.0+ 10.0 cos 30.0

= 10.0 0.5+ 10

3

2 = 5+ 5

3 [m/s2]

~F2 = 5 [N ]

~F1 = m~a ~F2 = 1.00 [kg](

5+ 5

3 [m/s2]) 5 [N ]

= 5+ 5(

3 1) [N ]

F1 =

52 + 52

(3 1

)2 6.20 [N ] = arctan

5(

3 1)5

= 36.2

olarak bulunur. J

rnek 4.2

Bir im bime makinesi zerinde uygulanan yere paralel net d kuvvet (itme eksisrtnme) 51 N (ekil). Bime makinesinin ktlesi 24 kg ise onun ivmesi nedir?

26

zm: Fnet ve m, belirtildiine gre ivmesi Newtonun ikinci yasas dorudan he-saplanabilir: Fnet = ma. vmesinin bykl a = Fnet/m eitliinden

a =Fnetm

=51 N

24 kg= 2.1 m/s2

olarak bulunur. J

rnek 4.3

zel irket SpaceX tarafndan ina edilmi ve iletilen Falcon 9 frlatma arac, m =5.1 105 kg arlna sahiptir. Frlatnda, frlatma arac zerine etkileyen iki kuvvet-leri vardr: yukar itme Ft = 5.9 106 K ve aa yerekimi kuvveti Fg = 5.0 106 N .Falcon 9un ivesini bulun.

zm: Evella, koordinat sistemi seelim: pozitif yn yukarya doru olsun. Bunagre yerekim kuvveti negatif olacaktr. Newtonun ikinci kanuna gre

a =Ftoplamm

=Ft Fgm

=

(5.9 106 N) (5.0 106 N)

5.1 105 kg = 1.6 m/s2

J

rnek 4.4

2000 kg ktleli bir otobs 0 ile 25 m/s hza (otoyol hz) 34 sde ular. vmesi sabitvarsaym altnda, otobse etkileyen toplam kuvvet nedir?

zm: Newtonun ikinci kanuna gre, Ftoplam = ma ve a = v/t eitliklerikullanarak

Ftoplam =mv

t=

(2000 kg) (25 m/s 0 m/s)34 s

= 1.5 kN

J

rnek 4.5

27

nsanl uzay uular ncesinde, yksek hz altnda insana fizyolojik etkilerini testetmek iin roketlerin simlasyonu kullanmtr. Kullanlan aralar, bir ya da iki rayzerine monte edilmi ve hareketlendirmek iin bir ka roket kullanmtr. ekildegsterilen drt roket ile ile itilen sistemi iin T kuvvetinin bykln bulun. Sisteminbalang ivmesi 49 m/s2, sistemin ktlesinin 2100 kg ve hareketi kar srtnmekuvvetinin 650 N olarak da verilir.

zm: Dikey ivmesi olmadndan, dikey kuvvetler birbirini iptal ettiini varsa-yalm. Bu durumda sadece yatay kuvvetler olacak, ve basit tek boyutlu bir sorun ilezlebilir. Yn, art veya eksi iaretleri ile gsterilir, pozitif yn saa doru olarakseelim (ekildeki serbestcisim diyagramna (free body diagram) bakn).

Buna gre,Ftoplam = 4T f = ma

T =ma+ f

4=

(2100 kg)(49 m/s2

) 650 N4

= 2.6 104 NJ

rnek 4.6

ekildeki verilen sistem iin her ktlenin ivmesini bulunuz. Sistem srtnmesiz vektlelerin bamsz hareket ettikleri kabul ediniz.

28

zm: blok1

Fx = T1 = m1ablok2

Fx = T1 + T2 = m2ablok3

Fx = T2 +m3g = m3a

m3g = (m1 +m2 +m3) a

a =m3

m1 +m2 +m3g

a =3

1 + 2 + 39.81 m/s2 = 4.9 m/s2

J

rnek 4.7

Bir araba dz yolda ileri hzlanyor. Tekerleklerinin yola (yere) zerine kuvvet sabit3 kN olup arabay ileri iter. Otomobilin ktlesi 1000 kg ise arabann 20 m/s hzdan50 m/s hza ulamas iin gerekli zaman hesaplayn.

zm: a = v/t ve a = F/m eitliklerinden

t =v

a=mv

F=

(1000 kg) (50 m/s 20 m/s)3000 N

= 10 s

J

rnek 4.8

29

Bir fizik profesr, derste gstermek amacyla ekilde gsterildii gibi laboratuvariter. Onun airlii 65 kg, arabann 12 kg, ve cihazlarn 7 kg. Profesr, zemine nazaran150 N kuvvet oluturuyorsa, laboratuvarn ivmesini hesaplayn. Harekete kar tmkuvvetlerin (araba tekerleklerin srtnmesi, hava direnci gibi) bykl 24 N dur.

zm: vme sistemin bir btnlk olarak olacandan, profesr, araba, ve dersgereleri (cihazlar) sistemler ayrt edilebilir (ekilde System 1).

Profesr, geriye doru Ffoot = 150 N kuvvetle iter. n Newton kanuna gre,Sistem 1e nazaran zemin de ileriye doru Ffloor = 150 N bir etki kuvveti oluturur.

Hareket yatay olduu iin, dikey kuvvetlerin olmadn kabul edilecek. Buna greproblem is tek boyutlu.

ekilde de gsterildii gibi f harekete kar, dolaysyla bu kuvvet Ffloor kuvvetezttr.

Dikkat edin ki, Fprof veya Ffoot i kuvvetler olduu iin ileme alnmad. Ayrca,Ffoot de alnmad, nk bu kuvvet zemine etkilenir, sisteme deil.

Buna gre ikinci Newton konuna gre,

a =Fnetm

=Ffloorf

m=

(150 24) N(65 + 12 + 70) kg

=126 N

84 kg= 1.5 m/s2

J

rnek 4.9

Bir nceki problemde profesrn arabaya uyguland kuvvetini hesaplayn.

30

zm: Bize ilgilendiren ekilde gsterilen System 2dir. Profesrn itii yn pozitifolsun. Newton ikinci yasasna gre

a =Fnetm

ve System 2denFnet = Fprof f

Fnet = ma = ((12 + 7) N)(1.5 m/s2

)= 29 N

Fprof = Fnet + f = 29 N + 24 N = 53 N

olarak bulunur.

Dikkat edin ki, profesrn hzlandrmas iin epey bir kuvvet gerekir. J

rnek 4.10

Ykseklii h = 2 m ve = 45 ayla olan bir eilimden cisim kayar. Kaymamas iinen byk as = 30 ise cisimin kayma eilimi zerinde kayma zaman bulunuz.

zm: Cisim 30de duruyorsa, srtnme kuvveti eilime paralel olan kuvvetiyledengelenir:

mg sin = mg cos = sincos

= tan = 0.577

45de cisim ivmelenir ve

ma = mg sin mg cos a = 2.93 ms2

Bu durumda gereken zaman geen yol denkleminden bulabiliriz:

s =h

sin=at2

2 t =

2h

a sin= 1.39 s

olarak bulunur. J

rnek 4.11

Ak ve yan kanatlar olmayan bir kamyonda m = 1200 kglk bir sandk var. Kut

31

ile kamyon arasndaki srtnme katsays = 0.3 ise sandn kamyondan dmemesiiin kamyonun en byk ivmesi nedir?

zm: Sandn hareketsiz kalabilmesi iin, zerine etkileyen toplam kuvvet sr-

tnme kuvvetinden kk olmal, yani ma < Fs a < Fsm

. Snrdaki deerler iin

a =mg

m= g = 2.94ms2

J

rnek 4.12

ekilde gsterilen A bloku ile eimli yzey arasnda statik ve kinetik srtnme katsa-ylar s = 0.25 ve k = 0.20 dir. Kabloda oluan ekme kuvvetini ve her bir blokunivmesini bulunuz. (mA = 60 kg, mB = 20 kg)

zm: B cisminin statik denge haliF = 0, 2T +mBg = 0

T =mBg

2=

20

2 9, 81 N = 98.1 N

A cisminin statik denge haliFx = 0, T + Fs +mAg sin = 0 (1)Fy = 0, N mAg cos = 0N = mAg cos = 60 9.81 cos 30 N = 509.74 NFs = sN = 0.25 509.74 N = 127.44 N

(1) denklemden

T?= Fs +mAg sin

98.1?= 127.44 + 60 9.81 sin 30 = 421.74 N

32

98.1N < 421.74N olmas nedeniyle A cismi aa doru x+ ynnde hareket edecektir.Bu nedenle srtnme kuvvetin yn x olmaldr. O halde, A cismi iin

Fx = mAaA, T Fs +mAg sin = mAaA (2)Fy = 0, N = mAg cos = 509.74 N

Fs = kN = 0.2 509.74 = 101.95 N

B cismi iin F = mBaB, 2T +mBg = mBaB (3)

A ve B cisimleri arasndaki kinematik iliki (ynlere dikkat ederek)

x = 2s

aA =d2x

dt2= 2d

2s

dt2= 2aB

(3) denkleminden

T =mB2

(g aB) = 202

(9.81 aB) = 98.1 10aB

(2) denkleminden

(98.1 10aB) 101.95 + 60 9.81 sin 30 = 60mA98.1 + 10aB + 192.35 = 60 (2aB)

aB = 0.725 ms2aA = 2aB = 1.45 ms2

T = 98.1 10 (0.725) = 105.35 N

olarak bulunur. J

rnek 4.13

Masada 30 kglik kutu bulunmakta. ekilde gsterildii gibi iple 10 kglik bir kutumakara zerinde balanmtr. Masadaki kutuyu hareket ettirebilmek iin 10 kgdan

33

daha ar olmas gerekir. Bu durumda s statik srtnme katsays nedir?

zm: ekilden grld gibi

fs = sn = sm1g = m2g

s =m2m1

=10

30 0.33

olarak bulunur.

J

rnek 4.14

A noktasndan M = 5 kg ktleli bir cisim v0 = 4 m/s hzyla eik yzey boyuncaitilir (ekilde gsterildii gibi). Elastik yaya dtnde, yay b = 20 cmye kadarsktrr, ve geldii yzeye geriye dner. Bu eik dzey boyunca sabit srtnme kuvvetiFs = 8 N alinarak k yay sabitini ve a geri yksekliini belirtiniz. (g = 10 m/s2, =37, a = 4.8 m)

34

zm: Balang enerji srtnme kuvveti ve yayn sktrmasna harcanr. Bu du-rumda

Mv202

+Mg (a+ b) sin = Fs (a+ b) +kb2

25 42

2+ 5 10 (4.8 + 0.2) sin 37 = 8 (4.8 + 0.2) + k 0.2

2

2

40 + 150 = 40 +1

50k

k = 7500 N/m

Yayn uzamas annda, yayn enerji a + b yolunu gemek iin srtnme kuvvetine vegeri kalan cismin potansiyel enerjisine geer. O halde,

kb2

2= Mg

(a + b

)sin + Fs

(a + b

)a + b =

kb2

2 (Mg sin + Fs)

a = b+ kb2

2 (Mg sin + Fs)= 0.2 + 7500 0.2

2

2 (5 10 sin 37+ 8)a = 3.75 m

olarak bulunur. J

rnek 4.15

ekildeki verilen sistem iin her ktlenin ivmesini bulunuz. Sistem srtnmesiz vektlelerin bamsz hareket ettikleri kabul ediniz.

35

zm: blok1

Fx = T1 = m1ablok2

Fx = T1 + T2 = m2ablok3

Fx = T2 +m3g = m3a

m3g = (m1 +m2 +m3) a

a =m3

m1 +m2 +m3g

a =3

1 + 2 + 39.81 m/s2 = 4.9 m/s2

J

rnek 4.16

ekildeki ~P kuvvetinin bykl 100 N , iplerdeki T gerilmeler 130 N , m1 = 20 kg,m2 = 50 kg dr. 20 kg lk bloa etkiyen srtnme kuvveti, 50 kg lk blok zerine uygu-lanan srtnme kuvvetinin iki kat olduuna gre bloklar zerindeki toplam srtnmekuvvetini bulunuz. (~g = 10 m/s2)

36

zm:

~P = 100 N ~T = 130 N m1 = 20 kg m2 = 50 kg

= 53 = 30 f1 = 2f2 ~g = 10 m/s2

Sistemin hareket yn ~P nin ters ynnde varsayalm (dikkat edin T nin deeri Pdeerinden daha byk olduundan hareket P nin ynnde olmadna gsterir).

m1 sisteme etkileyen kuvvetler

T m1g sin+ f1 = m1a

37

m2 sisteme etkileyen kuvvetler

T P cos f2 = m2a

olacandan, taraf tarafa blersek

T m1g sin+ f1T P cos f2 =

m1m2

m2 (T m1g sin+ f1) = m1 (T P cos f2)m2 (T m1g sin) +m2f1 = m1 (T P cos)m1f2

m2 (T m1g sin)m1 (T P cos) = m2f1 m1f2m2 (T m1g sin)m1 (T P cos) = 2m2f2 m1f2m2 (T m1g sin)m1 (T P cos) = (2m2 +m1) f2

f2 =m2

2m2 +m1(m1g sin T ) + m1

2m2 +m1(T P cos)

=

(50

2 50 + 20 (20 10 sin 53 130) +20

2 50 + 20 (130 100 cos 30))N

=

(5

12(

200 810 130

)+

2

12

(130 50

3))

N

f2 =

(5 30

12+

65

3 25

3

3

)N

f2 = 19.733 N, yuvarlamalar sin 53 0.8 uygulandindaf2 = 19.619 N , yuvarlamalar yaplmadan

f1 = 2f2 = (2 19.619) N = 39.238 N

J

rnek 4.17

ekilde grld gibi 2 kg ktleli bir cisim, xy-dzleminde F1 = 5 N ve F2 = 4 Nbyklndeki sabit iki kuvvetin etkisi altnda hareket etmektedir. t = 0 anndacisim 0 noktasnda olup hz vilk = 2+ (m/s)dir.

a) Paracn ivmesini ve 2 s sonraki konumunu birim vektrler cinsinden bulunuz.

b) 2 s sonra paracn konum vektr ile hz vektr arasndaki ay hesaplaynz.

38

zm: a)

~a =

~Fm

~F =

Fx+

Fy Fx = F1x + F2x

= 5 cos 37+ 0 4 NFy = F1y + F2y

= 5 sin 37+ 4 1 N~F = 4+ (N)

~a =4+ (N)

2 (kg)

~a = 2+1

2(m/s2

)

39

~rson (t) ~rilk (t) = ~vilkt+ 12~at2, ~rilk (t) = 0

~rson (2) = (2+ ) 2 + 12

(2+

1

2

) 22

~rson (2) = 8+ 3 (m)

b)

~vson (t) = ~vilk (t) + ~at = (2+ ) +

(2+

1

2

)t

~vson (2) = (2+ ) +

(2+

1

2

)2 = 6+ 2 (m/s)

~r ~v = rv cos = arccos(~r ~vrv

) = arccos

((8+ 3) (6+ 2)

82 + 32

62 + 22

) = arccos

(54

73

40

) arccos

(54

54

)= 0

J

rnek 4.18

ekilde grlen sistemde m1 ve m3 ktlelerinin bulunduklar yzey ile aralarndakikinetik srtnme katsays 0.5dir. Makara arlklarn ve iplerdeki srtnmeleri ihmalederek;

a) pteki gerilme kuvvetini,

b) Her bir cismin ivmesini bulunuz.

(m1 = 2 kg,m2 = 8 kg,m3 = 4 kg; g = 10 m/s2)

40

zm: 1. Fx = T fk1 = m1a1Fy = n1 m1g = 0n1 = m1g

fk1 = kn1 = 0.5 2 10 Nfk1 = 10 N

Fx = 0Fy = m2g 2T = m2a2

41

Fx = T fk3 = m3a3Fy = n3 m3g = 0n3 = m3g

fk3 = kn3 = 0.5 4 10 Nfk3 = 20 N

a1 =T fk1m1

=T 10

2

a2 =m2g 2T

m2=

80 2T8

a3 =T fk3m3

=T 20

4

m1 ve m3 ald toplam yol x1 + x3 ise, m2 ktlesinin ald yolx1 + x3

2dir.

x =1

2at2 olduundan a2 =

a1 + a32

olur.

2

(80 2T

8

)=

1

2

(T 10

2+T 20

4

)T ye gre zlrse: T = 24 N olarak bulunur.

42

2.

a1 =T 10

2=

24 102

= 7 m/s2

a2 =80 2T

8=

80 2 288

= 4 m/s2

a3 =T 20

4=

24 204

= 1 m/s2

olarak bulunur.

J

rnek 4.19

ekilde grlen A, B ve C bloklarnn arlklar 20 N , 10 N ve 30 N dur. A ve Bbloklar arasndaki statik srtnme katsays s ve yatay dzlemle A blou arasndakikinetik srtnme katsays k dr. C blokla eik dzlem arasnda srtnme yokturve makara srtnmesiz kabul edilmektedir. Sistem durgun haldeyken serbest brakl-dnda A ve B bloklarnn birlikte hareket ettii gzleniyor.

a) Sistem serbest brakld andan itibaren her bir blokun serbest cisim diyagramniziniz.

b) B blokunun kaymamas iin maksimum ivmeyi g ve s cinsinden ifade ediniz.

c) Eer k = 0, 4 olursa, B blokunun kaymamas ve A ile Bnin birlikte hareket etmesiiin A ile B arasndaki minimum s ne olmaldr.

zm: a) ekile bakarak

43

serbest cisim diyagram olarak izebilir.

b) B bloku iin; ~F = m~a

fs,max = mBamax

sn = mBamax

smBg = mBamax

amax = sg

c)

aA = aB = aC = a, g = 10 m/s2

T fs fk = mAafs = mBa

mCg sin 37 T = mCa

Son iki denklemi taraf tarafa toplarsak

mCg sin 37 fk = (mA +mB +mC) afk = kn = k (mA +mB) g = 0.4 (30 N) = 12 N

30 sin 37 12 = (20/10 + 10/10 + 30/10) a a = 1 m/s2

fs = sn = mBa s,min = mBamBg

=a

g= 0.1

eer s 0.1 ise A ili B beraber hareket eder.J

5 Dnme hareketi

rnek 5.1

Bir tekerlek, 3.5 rad/slik sabit asal ivme ile dnyor. t = 0 da tekerlein asal hz2 rad/s ise,

a) 2 s de teker ne kadarlk a dner?

b) 2 s de teker ne ka defa dner?

c) t = 2 s sonra asal hz nedir?

44

zm: a)

s i = +it+ 12t2

= 2 2 + 12 3.5 22

= 11 rad = 11 rad 57.3/rad = 630

b)11

2pi=

630

360= 1.75 devir

c)s = i + t = 2 + 3.5 2 = 9 rad/s

J

rnek 5.2

Cisim yatay olarak 20 m/s hzyla atlmtr. 2 s sonra yolun yarap bulunuz. Havadirenci ihmal ediniz.

zm: 2 s sonra cisim ~v hzyla, ve as ile, balang ~v0 hzna gre hareketedecektir. Bu durumda ~g ivmesi iki bileene ayrlabilir: teetsel (~at) ve normal (radyal,~ar). vmenin normal bileeni

ar =v2

R= g cos (4)

ve buradacos =

vxv

=v0v

(5)

Hzn deeri

v =v20 + g

2t2 (6)

45

imdi (4), (5) ve (6) gz nnde bulundurarak

R =

(v20 + g

2t2) 32

gv0= 112.088 m

J

rnek 5.3

12 m/s sabit hzla giden bir arabada yolda 35 m yarapl bir knt zerine geer (e-kilde gsterildii gibi). knt ortasnda bulunduunda arabadaki 67 kglik bir kiininarl ne olur.

zm: Fy = N mg = mar = mv

2

r

N = m

(g v

2

r

)= 67

(9.81 12

2

35

)N = 380 N

Burada ar merkezcil ivmesi. J

rnek 5.4

Tamamen buzla kapl (srtnmesiz), 50 m yarapl bir viraji 13.4 m/s hzla gemekiin, yolun eim as ka derece olmaldr?

zm:

46

Fr = N sin =

mv2

RFy = N cos mg = 0 N cos = mg

tan =v2

gR=

13.42

9.8 50 = 0.3664

= arctan 0.3664 = 20.1

J

rnek 5.5

Dairesel disk eklindeki yatay bir tabla (platform), srtnmesiz, dey bir mil etra-fnda yatay dzlemde dnmektedir. (aadaki ekil). TablaM = 100 kglik bir ktleyeve R = 2 m lik bir yarapa sahiptir. m = 60 kg ktleli bir renci, dnen tablannkenarndan merkezine doru yavaa yrmektedir. renci, dnen tablann kenarn-dayken sistemin asal hz 2 rad/s ise, rencinin merkezden r = 0.5m uzaklktaki birnoktaya ulatndaki asal hz ne olur?

47

zm: Dnen tablann eylemsizlik momentini Ip ile rencinin eylemsizlik momen-tini Io ile gsterelim. renciyi m noktasal ktle ile temsil edersek, sistemin dnmeeksenine gre balang eylemsizlik momentini

Ii = Ip + Io =1

2MR2 +mR2

yazabiliriz. renci r < R konumuna kadar yrdnde, sistemin eylemsizlik mo-menti

Is = Ips + Ios =1

2MR2 +mr2

deerine der. Ipsu hesaplarken hal daha byk olan R yarapn kullanyoruz.nk platformun yarap dnme srasnda deimemektedir. Dnen tabla ve -renciden oluan sistem zerine dnme eksenine gre etki eden d dnme momentiolmadndan, asal momentumun korunumu yasasn bu sisteme uygulayabiliriz:

Iii = Iss(1

2MR2 +mR2

)i =

(1

2MR2 +mr2

)s

s =

12MR2 +mR2(1

2MR2 +mr2

is =

(200 + 240

200 + 15

)(2) = 4.1 rad/s

olarak bulunur. Asal hz neden art? J

6 Moment

rnek 6.1

ki cismin esnek arpmasndan sonra hzlarn bulunuz. arpmadan nceki durumm1 = 0.500 kg,m2 = 3.50 kg, v1 = 4.00 m/s, ve v2 = 0 m/s olarak verilir.

zm: Momentum koruma yasasndan

p1b + p2b = p1s + p2s

Enerji koruma yasasndanEk1b + Ek2b = Ek1s+Ek2s

48

faydalanarak aranan hzlar hesaplanr.

m1v1b +m2v2b = m1v1s +m2v2s

0.5 4 + 3.5 0 = 0.5v1s + 3.5v2s1

2v1s +

7

2v2s = 2 v1s + 7v2s = 4

m1v21b

2+m2v

22b

2=m1v

21s

2+m2v

22s

20.5 42

2+ 0 =

0.5 v21s2

+3.5 v22s

2

v21s + 7v22s = 16

v1s = 4 7v2s(4 7v2s)2 + 7v22s = 16

16 56v2s + 49v22s + 7v22s = 1656v22s 56v2s = 0v2s (v2s 1) = 0

v2s 6= 0 nk esnek arpma sz konusudur, o halde v2s = 1 m/s ve v1s = 4 7 =3 m/s olarak bulunur.Esnek olmad durum iin dev olarak znz.

m1vb = (m1 +m2) vs

benzer kinetik enerji iin de yazlabilir. J

rnek 6.2

3 m/slik hzla yol alan 2 kg kteli bir disk, ekilde gsterildii gibi, hemen hemen sr-tnmesiz buz zerinde duran 1 kg ktleli bir ubua arpyor. arpma esnek kabulediyoruz. Diskin teleme hzn, ubuun teleme hzn ve ubuun arpmadan son-raki dnme hzn bulunuz. ubuun kendi ktle merkezine gre eylemsizlik momenti1.33 kgm2 dir.

zm: Disk ve ubuk yaltlm bir sistem oluturduundan; toplam enerji, doru-sal momentum ve asal momentumun korunduunu kabul edebiliriz. bilinmeyen

49

bulunduundan, eitlik gereklidir. lk eitlik dorusal momentunun korunumundan:

pi = ps

mdvdi = mdvdf +mcvs

2 3 = 2 vdf + 1 vs6 2vdf = vs

imdi, balang noktas olarak diskin merkezinin ilk konumunu seerek, asal mo-mentumun korunumu yasasn uygulayalm. Buz dzlemine dik eksen boyunca diskinasal momentumu bileeninin eksi iaretli olduunu biliyoruz (sa-el kural Ldninbuza doru yneldiini gsterir). Bu- na gre:

Li = Ls

rmdvdi = rmdvdf + I2 2 3 = 2 2vdf + 1.3312 = 4vdf + 1.33

9 + 3vdf =

Son olarak, arpmann esnek olduunu hatrlamamz, kinetik enerjinin korunduunugrmemizi salar. Bu durumda ise kinetik enerji, teleme ve dnme ekillerinde olu-maktadr:

Ki = Kf

1

2mdv

2di =

1

2mdv

2df +

1

2mcv

2s +

1

2I2

1

2 2 32 = 1

2 2v2df +

1

2 1 v2s +

1

2 1.33 2

18 = 2v2df + v2s + 1.33

2

54 = 6v2df + 3v2s + 4

2

54 = 6v2df + 3 (6 2vdf )2 + 4 (9 + 3vdf )254 = 6v2df + 3

(36 24vdf + 4v2df

)+ 4

(81 54vdf + 9v2df

)0 = 54v2df 288vdf + 378

vdf = 2.3 m/s

vs = 1.3 m/s

= 2 rad/s

olarak bulunur. J

rnek 6.3

ki m1 ve m2 ktlesi, eylemsizlik momenti I olan iki zde makara zerinden geenhafif bir iple birbirine baldr (ekildeki gibi). Her ktlenin ivmesi ile T1, T2, ve T3gerilmelerini bulunuz. (p ve makaralar arasnda hibir kaymann olmadn varsay-

50

nz).

zm: m1 iin aa yn pozitif, m2 iin yukar yn pozitif seelim. Byle birseim, her iki ktlenin ivmesini a gibi tek bir deikenle temsil etmeye imkan verir.Ayrca byle bir seim, pozitif ivmeyi, pozitif asal ivmeye (saatin tersi yn) balamaolana da salar. Newtonun ikinci hareket kanununu, her blok iin yazalm. Serbestcisim diyagram ekilde gsterilmitir.

m1g T1 = m1aT3 m2g = m2a

Harekete makaralarn etkisini de dahil etmeliyiz. Makaralar iin serbest cisim diyag-ram ekilde gsterilmitir. Sadaki makara iin eksene gre net tork (T2 T3)R iken,soldaki makara iin (T1 T2)Rdir. Her makara iin,

= I bantsn kullanarak

ve her makara iin asal ivmenin ayn olduunu gz nne alarak

(T2 T3)R = I(T1 T2)R = I

51

(T1 T3)R = 2IT3 T1 + (m1 m2) g = (m1 +m2) a

[(m1 m2) g (m1 +m2) a]R = 2I = 2I aR

a =(m1 m2) g

m1 +m2 + 2I

R2

olarak bulunur. J

rnek 6.4

m1 ktleli bir kre ile m2 ktleli bir blok, ekilde grld gibi, R yarapl bir maka-radan geen ince bir iple birbirine baldr. Makarann, kendi eksenine gre eylemsizlikmomenti Idr. Blok, srtnmesiz bir yatay dzlem zerinde kaymaktadr. Asal mo-mentum ve tork kavramlarn kullanarak, bu iki cismin dorusal ivmesi iin bir ifadeelde ediniz.

zm: lk olarak, iki ktle ve makaradan oluan sistemin asal momentumunuhesaplayalm. Makarann 0 merkezinden geen dnme mili boyunca uzanan bir eksenegre asal momentumunu hesaplayacaz. Kre ve blok ortak v hzna sahip olduklaranda, krenin asal momentumu m1vR, blokunki m2vR dir. Ayn anda, makarannasal momentumu ise I = Iv/R dir. Buna gre, sistemin toplam asal momentumu:

L = m1vR+m2vR+ Iv

R

imdi de, makarann dnme miline (eksen) gre sistem zerine etki eden toplam dtorku hesaplayalm. Makara zerine, etrafnda dnd mil tarafndan uygulanan kuv-vetin sfr moment koluna sahip olmas yznden, bu kuvvet sistemin torkuna katkdabulunmaz. Yine, bloka, onu tayan yzey tarafndan uygulanan yzeye dik kuvvet, buktlenin m2g arl tarafndan dengelenir. Dolaysyla, bu kuvvet de sistemin dnmemomentine katkda bulunmaz. Sadece kreye etki eden m1g ekim kuvveti, makaranndnme miline gre m1gR byklne eit byklkte bir tork oluturur. Burada R,dnme miline gre, kuvvetin moment koludur. (Bu durumda, ipteki gerilmenin m1gye eit olmadna dikkat ediniz.) Bu, O noktasna gre toplam d torkdur, yani,

52

dis = m1gR olur. Bu sonucu, ve net tork ile asal momentum eitlii kullanarak

net =dL

dt

m1gR =d

dt

[(m1 +m2)Rv + I

v

R

]m1gR = (m1 +m2)R

dv

dt+I

R

dv

dt

dv/dt = a olduundana =

m1g

(m1 +m2) + I/R2

bulunur. Makarann dnme miline gre net torku hesaplarken, ipteki gerilme kuvvet-lerini katmadk. Bunun sebebi, gerilme kuvvetlerinin, incelenen sistemin i kuvvetleriolmalardr. Sadece d kuvvetlerin torklar, asal momentumun deiimine katkdabulunur.

J

7 , g ve enerji

rnek 7.1

Bir cisime sabit ivmesi a = 10 cm/s2 kazandrmak iin sabit F = 1 N kuvvet uygu-lanr. Cisim balangta durgun ise, hareket ettikten t = 5 s sonra kinetik enerjisinibulunuz.

zm:

Ek =mv2

2=F

a (v0 + at)

2

2=F

a a

2t2

2=Fat2

2

Ek =(1 N) (10 1100 ms2) (5 s)2

2= 1.25 Nm = 1.25 J

olarak bulunur. J

rnek 7.2

Bir adam, zemini temizlenmek iin, ekilde gsterdii gibi, sprgeyi F = 50.0 Nkuvvetle, zemine gre 30.0 a ile eker. Elektrikli sprge, temizlemek iin saa doru3.00 m ekilmise, yaplan i nedir?

53

zm: Sprgeye etkileyen kuvvetler ekilde gsterildii gibidir. Buna gre yaplani

W = Fr cos = (50.0 N) (3.00 m) (cos 30.0) 129.90 Nm = 129.9 Jolarak hesaplanr. J

rnek 7.3

Ktlesi 7 kg olan motorsuz oyuncak bir araba, srtnmesiz yatay bir dzlem zerinde4 m/s ilk hz ile gitmektedir. Araba daha sonra ilk hz ile ayn ynde, bykl 10 Nolan bir kuvvet tarafndan 3 m itilmitir. enerji teoremini kullanarak arabann sonhzn bulunuz.

zm:

Wnet =i

Wi = WF +Wf +Wn +Wg = Ek = Ks Ki

Wf = Wn = Wg = 0 J

WF = ~F ~x = Fx cos = 10 3 cos 0 J = 30 J

Burada

54

WF Kuvvet yznden yaplan iWf Srtnme kuvvetinde dolay yaplan iWn Normal (dik) kuvvetinden dolay yaplan iWg Yerekim kuvvetinden dolay yaplan iEk Kinetik enerjisiniKs,Ki son ve ilk kinetik enerji

ilk (balang) kinetik enerji

Ki =1

2mv2i =

1

2 7 42 J = 56 J

WF = Ks Ki Ks = WF +Ki = (30 + 56) J = 86 J

Ks =1

2mv2s vs =

2Ksm

=

2 86

7m/s = 4.96 m/s

J

rnek 7.4

Ktlesi 15 kg olan bir blok, yatay przl bir yzey zerinde, yatayla 20 lik adaetki eden 70 N luk sabit bir kuvvetle ekilmektedir. Blok 5 m yer deitirmekte olupyzeyle blok arasndaki kinetik srtnme katsays 0.3tr. (g = 9.8 m/s2)

a) 70 N luk kuvvetin yapt ii bulunuz,

b) srtnme kuvvetinin yapt ii bulunuz,

c) dik kuvvetlerin yapt ii bulunuz,

d) yerekim kuvvetinin yapt ii bulunuz.

e) Blok zerine yaplan net ii bulunuz.

zm:

Wnet =i

Wi = WF +Wf +Wn +Wg = Ek = Ks Ki

55

~F = Fx+ Fy = F cos 20+ F sin 20

WF = ~F ~x = (Fx+ Fy ) (x) = FxxWF = 70 cos 20 5 J 329 J

a)b)

Wf = ~fk ~x = fkx = (n) x~Fy = 0 , Fy = F sin 20+ nmg = 0n = mg F sin 20 = (15 9.8 70 sin 20) N 123 N

Wf = 0.3 123 5 J = 184.5 J

c)

Wn = ~Fn ~x = (Fy + n) x = 0 J

d)

Wg = (m~g) ~x = mg x = 0 J

e)

Wnet = WF +Wf +Wn +Wg

= (329 184.5 + 0 + 0) J = 144.5 J

J

rnek 7.5

Balangta durgun olan 40 kglk bir kutu, uygulanan sabit 130 N luk yatay bir kuv-vetle przl, yatay bir deme boyunca 5 m uzakla itilmektedir. Kutu ile demearasndaki kinetik srtnme katsays 0.3 ise, (g = 10 m/s2)

a) uygulanan kuvvetin yapt ii,

b) srtnme yznden kaybolan enerjiyi,

c) normal kuvvetin yapt ii,

d) yerekimi kuvvetinin yapt ii,

e) kutunun kinetik enerjisindeki deiimi,

f) kutunun son hzn bulunuz.

56

zm: Fy = nmg = 0n = mg = 40 10 N = 400 Nfk = n = 0.3 400 N

= 120 N

WF = ~F ~d = Fd cos = 130 5 cos 0 J = 650 J

a)b) Wf = fkd cos 180 = 120 5 (1) J = 600 J

c) Wn = nd cos 90 = 400 5 0 J = 0 J

d) Wg = mgd cos 270 = 400 5 0 J = 0 J

e) Wnet = WF +Wf +Wn +Wg = 50 J K = Wnet = 50 J

f) K = Ks Ki, Ki = 0 Jvs =

2Ksm

=

2 50

40m/s = 1.58 m/s

J

rnek 7.6

8.9 N arlkl bir cisim, ekilde gsterildii gibi, A noktasndan 1.2 m yarapl olanbir dairesel ray zerinden braklr. Cisim ray boyunca kayar ve B noktasna 3.6 m/shzla eriir. B noktasndan yatay olarak C noktasna kadar kayar ve durur. B ve Cnoktalar arasndaki mesafe 2.7 m dir.

a) dz olan yzeydeki srtnme katsays nedir?

b) A ile B noktalar arasnda srtnme kuvvetinin harcad i hesaplaynz.

57

zm: a)

1

2mv2B =

1

2mv2C + Fd

1

2mv2B =

1

2mv2C +mad

v2B = 2ad a =v2B2d

ma = Fs = mg = ag

=v2B2gd

=3.62

2 9.81 2.7 = 0.245

b)

mgr =mv2B

2+AFs enerji koruma kanunu

AFs = mgr mv2B

2= mg

(r v

2B

2g

)= 8.9

(1.2 3.6

2

2 9.81)J

AFs = 4.8 J

J

rnek 7.7

Bir asansrn ktlesi boken 600 kgdr. Asansrn 30 hp gcndeki motoru sabithzla, yukar doru 20 myi 16sde kabilmeyi salamaktadr. Ortalama yolcu ktle-sinin 70 kg olduunu varsayarak, asansrn tayabilecei maksimum yolcu saysnhesaplaynz. Srtnmeyi ihmal ediniz. (1 hp (beygir-gc) = 746 watt)

58

zm:

P =W

tW = Wg = mgy = mgh

P =mgh

tm =

P t

gh=

30 746 1610 20 kg = 1790.4 kg

m = ma +my my = mma = 1790.4 600 kg = 1190.4 kgny =

mym

=1190.4

70 17 yolcu tayabilir.

J

rnek 7.8

~F = 4x + 3y (N)luk bir kuvvet, bir cisme etki ederek onu orijinden x = 5 mnoktasna hareket ettiriyor. Kuvvetin cisim zerine yapt ii bulunuz.

zm:

W =

xsxi

~F d~s = 50

(4x+ 3y) dx =

50

4xdx

=4

2x250

= 2x250

= 2 52 J = 50 J

J

rnek 7.9

Yatayla 33 a yapan bir yryen merdiven iki kat arasnda almaktadr. Hz 1.5m/solan merdiven ortalama ktlesi 75 kg olan en fazla 60 kii tayabilmektedir. Yryenmerdivenin almas iin motorun ne kadar g retmesi gerekir? (g = 9.8m/s2)

59

zm:

= 33

T mg sin = 0motorn retildii g,

P = Tv = mg sin v

= (60 kii)(

75kg

kii

)(9.8

m

s2

)(sin 33)

(1.5

m

s

)W

P 36028 W 36 kW

J

rnek 7.10

ekildeki 30 eimli ve srtnme katsays = 0.5 olan bir dzlemin alt ucundan mktleli bir blok 5 m/s hzla frlatiyor. Duruncaya kadar eik dzlem boyunca ne kadaryol alr?

60

zm: Enerji korunumu yasasna gre

Ek +Wf = Ep

mv202 mg cos 30 d = mgh = mgd sin 30

dg ( cos 30+ sin 30) =v202

d =v20

2g ( cos 30+ sin 30)

d =52

2 10(

1

2

3

2+

1

2

) m 1.34 m

olarak bulunur. J

rnek 7.11

ekilde gsterildii gibi, 3 kglk bir cisimle yzey arasndaki srtnme katsays 0.20dir. Ktleler durgun halden harekete baladnda, 5 kglk ktle 2 mlik bir deyuzakla indiinde hznn bykl nedir? (g = 10 m/s2)

zm: Ktleler L = 2 mlik yol aldnda srtnme kuvvetinin yapt i, Wf =km1gLdir. Ktlerin ilk hzlar sfrdr (K1 + K2 = 0) ve L kadar yol alndktansonra ortak hzlar vs olsun. Sistemin kinetik

61

enerjisindeki deiim, K =1

2(m1 +m2) v

2s dir. m2 ktlesi L kadar yol aldnda

potansiyel enerjideki deiim, U = m2gL dir.

Wf = E = K + U

km1gL = 12

(m1 +m2) v2s m2gL

vs =

2gL (m2 km1)

m1 +m2=

2 10 2 (5 0.20 3)

3 + 5m/s

vs =

176

8m/s =

22 m/s 4.7 m/s

J

rnek 7.12

ekilde gsterildii gibi 0.5 kg ktleli bir parack yatay bileeni 30 m/s olan vi ilkhzyla P noktasndan atlr. Parack, P noktasnn 20 m zerinde bir maksimumykseklie kar. Enerjinin korunumunu kullanarak,

a) vinin dey bileenini,

b) paracn P den Bye hareketi esnasnda zerine etki eden ktle-ekim kuvvetininyapt ii,

c) parack Bye ulatnda hz vektrnn yatay ve dey bileenlerini bulunuz.(g = 10m/s2)

62

zm:

~vi = vix+ viy

~vi ~vi = vivi cos 0 = v2ivi = |~vi| =

v2ix + v

2iy

v2i = v2ix + v

2iy

vix = 30 m/s

Tepe notasna C diyelim.PC arasna enerji korunumu uygulanrsa, yer ekimikuvveti korunumlu bir kuvvettir, bu nedenle

PC : E = 0EC EP = 0 EP = ECKP + UP = KC + EC

1

2mv2i + 0 =

1

2mv2i +mgh

1

2m(v2ix + v

2iy

)=

1

2m(v2Cx + v

2Cy

)+mgh

1

2mv2iy = mgh

viy =

2gh

nk tepe noktasnda hzn dik bileeninin deeri sfrdr.

~vC = vCx+ vCy = vCx

~vi = vCx, hzn sabit bileeni

viy =

2gh =

2 10 20 m/s = 20 m/s

a)b) WPB = mgyP mgyB = mg (yP yB) = 0.5 10 60 J = 300 J

63

c)

KPB = KB KP = WPB (i-enerji teoremi)1

2mv2B

1

2mv2P = WPB

1

2m(v2Bx + v

2By

) 12m(v2ix + v

2iy

)= WPB

1

2m(v2By v2iy

)= WPB

v2By =2WPB

m+ v2iy

vBy =

2WPB

m+ v2iy =

2 300

0.5+ 202 m/s

vBy =

1600 m/s = 40m/s

~vy = vBx+ vBy = (20+ 40) m/s

J

rnek 7.13

m ktleli bir blok, ktlesi M olan srtnmesiz eik dzlemin zerine konulmutur(yandaki ekil). Eik dzleme yatay dorultuda bir F kuvveti uygulanmaya balyor.Blokun eik dzleme gre hareket etmemesi iin kuvvetin deeri ne olmaldr?

zm:

Blok iin: Fx = N sin = mamxFy = N cosmg = mamy

64

Eik dzlem iin: Fx = F N sin = MaMxFy = 0, aMy = 0m/s

2, amx = aMx = a

ay = 0 m/s2, bloun ayn yerde kalmas gerekir

N cosmg = 0 N cos = mgN sin = ma

tan =a

g a = g tan

F N sin = MaF = ma+Ma

F = (m+M) g tan

J

rnek 7.14

40 kg ktleli bir ocuk, iki zincirle asl, 3 m uzunluklu bir salncakta sallanyor. Sa-lncak en alt noktada iken her bir zincirdeki gerilme 400 N ise,

a) ocuun en alt noktadaki hzn bulunuz.

b) En alt noktada salncan ocua uygulad kuvveti bulunuz.

(Salncan ktlesini ihmal ediniz.) g = 10 m/s2

zm: a)

M = 40 kg

R = 3 m

T = 400 NF = 2T Mg = M v

2

R

v =

(2T Mg) R

M=

(2 400 40 10) 3

40m/s

v =

30 m/s = 5.48 m/s

65

b)

nMg = F = M v2

R

n = M

(g +

v2

R

)n = 40

(10 +

30

3

)N = 40 20 N = 800 N

J

8 Kendi almalar

rnek 8.1

ekildeki ktlelerle zemin arasndaki kinetik srtnme katsays 0.5 olup ekildeki kuv-vetin etkisi altndadr.buna gre ipteki gerilme ka N dur.

zm: T = 22 N J

rnek 8.2

ekildeki sistem serbest braklyor. B ktlesi 2 m indiinde ktlelerin hzn bulunuz?

zm: v = 2

5 m/s J

rnek 8.3

37 derece eimli eik dzlemde aadan yukar doru 8 m/s hzla gnderilen 5 kgktleli cisim 2.5 m yol alp duruyor.kinetik srtnme katsays nedir?

66

zm: =17

10J

rnek 8.4

2 kg ktleli bir cisim eik dzlem zerinde yaya bal olup ekildeki konumdan serbestbraklyor.yayn kuvvet sabiti 8 N/m olup kinetik srtnme katsays 1/8 dir. Yay0.5m indiinde cismin hz ka m/s dir.

zm: v = 2 m/s J

rnek 8.5

ekildeki sistemde srtnmeler ihmal edilmekte olup serbest braklyor yatay dzlemzerindeki ktle kesikli izgilerle gsterilen konuma geldiinde

a) yerekimi kuvvetinin yapt i nedir?

b) 8 kg lk ktlenin bu konumda hz nedir?

zm: a) W = 25 J

b) v =5

7

6m/s

J

rnek 8.6

Cisim 10 kg ktleli olup srtnmeler ihmal ediliyor. Tepeden braklan cisim k =2000 N/m = 2 kN/m olan yay ka m sktrr.

67

zm: x = 0.8 m J

rnek 8.7

Yayn almam uzunluu,

2 m olup, A noktasna kadar gerilip serbest braklyor(ekil). B noktasnda yolun tepkisi ka N dur? Bilezik 10 kg dr.

zm: N = 3500 N J

rnek 8.8

3 kg lk bir ktle, 30lik srtnmesiz bir eik dzlemde durgun halden harekete balar.Bir d uzakl kadar kayarak ekilde gsterildii gibi ktlesi ihmal edilebilir gerilmemibir yaya deer ve 0.2m kadar kayarak, kuvvet sabiti k = 400N/m olan yay sktrarakbir anlk durur. Ktle ile yay arasndaki d uzakln bulunuz.

(g = 10m/s2

)

68

zm: d = 0.33 m J

rnek 8.9

Srtnmeli bir eik dzlem zerinde bulunan 2 kglk bir blok, ktlesi ihmal edilebilen100 N/mlik bir yaya balanmtr (ekil). Yay gerilmemi durumda iken, blok ilk hzszolarak braklr. Makara srtnmesizdir. Blok duruncaya kadar eik dzlemde aadoru 20 cm hareket ediyor. Blok ile dzlem arasndaki kinetik srtnme katsaysnbulunuz.

(g = 10 m/s2

)

zm: k = 0.125 J

rnek 8.10

69

Bir boncuk ekildeki yrngede sr-tnmesiz olarak kaymaktadr. Boncuk,h = 3.5R yksekliinden braklrsa Anoktasndaki srati ne olur? Ktlesi 5 gise zerine etkiyen dik kuvvetin byk-l nedir?

(g = 10 m/s2

)zm: n = 0.1 N J

70

rnek 8.11

60 kg ktleli bir kayak ekildeki A noktasndan ilk hzsz kayarak C noktasna ula-yor. (Hava direnci ve srtnmeler nemsizdir)

(g = 10 m/s2

)a) Kayaknn B noktasna ulat andaki hzn hesaplaynz.

b) Kayak C noktasna ulatna gre s mesafesini hesaplaynz.

zm: a) vB = 28.5 m/s

b) s = 120 m

J

rnek 8.12

Oyuncu topu topraa gre 40 ayla vurur. Topun balang hz 20 m/sdir. Birbaka oyuncu, topu vuran oyuncudan 30 m uzaklktadr, ve birinci oyuncunun topavurduu andan, topun decei yere doru komaya balar. Topu, yere dokunduuanda vurabilmek iin ikinci oyuncunun ortalama hz ne olmal?

71

zm: vi = 3.87 m/s J

rnek 8.13

Kzak, kum ile dolu torbasyla, 500 kg toplam ktlesiyle, dondurulmu gl zerinde0.5 m hzyla hareket eder. 10 glik mermi 400m/s hzyla ve 30 ayla kum torbasnvurur ve iine kalr. Kurunun kum torbasn vurduktan sonra kzan hz ne kadardeiecek, ve hareket yn ne olur.

zm: v = 0.0069 m/s, = 0.450985 J

rnek 8.14

m1 ktleli bir cisim hareketsiz bir m2 ktleli cisme vurur. Birinci cismin hz 3 katdrebilmesi iin ktlerinm1/m2 oran ne olmal? Birinci cismin kinetik enerji 1500 Jise, vurutan sonra ikinci cismin kinetik enerjisini hesaplaynz.

zm: m1/m2 = 2, Ek2 = 1.333 kJ J

rnek 8.15

m1 = 15 kg ktleli bir cisim, = 60lik eimli bir dzlemin en st noktasndankaymaya balar. Dzlemin dier yandan bir tama arabas bulunur. Tama arabashareketsizdir, ve m2 = 90 kg ktlelidir. Eer dzlemin ykseklii h = 10 m ise, veeer den cismin ile tama arabas beraber hareket ederse, gittikleri hzn bulunuz.(Ortam srtnmesiz olarak alnz).

zm: v2 = 1 m/s J

rnek 8.16

4 t ktleli bir uak uabilmesi iin pistin sonunda 144 km/h hza ulamal. Pistinuzunlu 100 mdir. Hareket sabit ivmeli ise uan kalkmas (uabilmesi) iin motorun

72

gc ne olmal? Tekerlekler ile pist arasndaki srtnme katsays = 0.2dir.

zm: P = 1.59 106 W = 1.69 MW J

rnek 8.17

6 kglk bir blok, ekilde grld gibi srtnmesiz ray zerinde Adan serbest bra-klyor. Blok P noktasna geldii zaman merkezcil ve teetsel ivmesini bulunuz.

zm: ar = 30 m/s2, at = 10 m/s2 J

rnek 8.18

parack, y ekseni dorultusunda ktlesi ihmal edilebilir kat ubuklarla birbirinetutturulmutur (ekilde gsterildii gibi). Sistem x ekseni etrafnda 2 rad/s asal hzladnerse,

a) x eksenine gre eylemsizlik momentini ve toplam dnme kinetik enerjisini hesapla-ynz.

b) Her paracn izgisel hzn ve toplam kinetik enerjisini bulunuz.

zm: a) K = 184 J

b) v1 = 6 m/s, v2 = 4 m/s, v3 = 8 m/s,

73

K1 = 72 J, K2 = 16 J, K3 = 96 J

J

rnek 8.19

ekilde gsterilen makarann yarap R ve eylemsizlik momenti I dr. m ktlesinin birucu yay sabiti k olan bir yaya dier ucu makarann etrafnda sarl bir sicime baldr.Makara mili ve eik dzlem srtnmesizdir. Yay gerilmemi halden d kadar uzatacakekilde makara saatin tersi ynnde evrilir ve serbest braklrsa,

a) yay tekrar gerilmemi hale geldiinde makarann asal hzn,

b) bu durumda saysal deerlerle asal hz deerini bulunuz. (I = 1 kgm2, R = 0.3 m,k = 50 N/m,m = 0.5 kg,

d = 0.2 m, = 37,g = 10 m/s2)

zm: a) =kd2 + 2mgd sin

I +mR2

b) = 1.75 rad/s

J

rnek 8.20

ekildeki kresel kabuk, dey durumda bulunan bir ubuk zerinde srtnmesiz ola-rak dnmektedir. Kresel kabuun ekvatoru zerine sarlan hafif bir ip, bir makaradangeirildikten sonra deyde m cismine balanmtr. Sistem durgun durumdan hare-kete geiriliyor. Cisim h kadar dtkten sonra cismin kazand izgisel hz, verilenbyklkler cinsinden bulunuz. (Kresel kabuun ktle merkezinden geen eksene greeylemsizlik momenti I0 = 23MR

2 dir.)

74

zm: v = mghM

3+

I

2r2+m

2

J

rnek 8.21

ekildeki sistemde m1 = 0.8 kg, m2 = 1 kg ve m = 0.4 kg olup yay sabitik = 1000 N/mdir ve srtnme ihmal edilmitir. Yayn uzamasz olduu konumundanitibaren m2 ktlesini 10 cm aa ektikten sonra serbest brakrsak m2 ktlesinin ya-

yn uzamasz olduu konumdan geerken hz ne olur? (g = 10 m/s2; Imakara =1

2mr2)

zm: vs = 2 m/s J

rnek 8.22

m1 vem3 ktlesi,m2 ktleli ve eylemsizlik momenti I =1

2(m2r

2) olan bir makara ze-rinden geen hafif bir iple birbirine baldr. m1 ktlesi ile masa arasndaki srtnmeihmal edilmitir.

a) Sistemin ivmesini,

b) T1 ve T2 gerilmelerini bulunuz. (m1 = 0.15 kg, m2 = 0.10 kg,m3 = 0.10 kg, r = 0.10 m,

75

g = 10 m/s2)

zm: a) a =10

3m/s2

b) T1 =1

2N, T2 =

2

3N

J

rnek 8.23

ki blok, ekildeki gibi eylemsizlik momenti I ve yarap 0.25 m olan bir makara ze-rinden geen, ktlesi ihmal edilebilir bir ipin ularna baldr. Eik dzlem zerindekiblok, 2 m/s2lik sabit ivme ile yukar kmaktadr.

a) pteki T1 ve T2 gerilimlerini,

b) Makarann eylemsizlik momentini bulunuz. (Sistemdeki srtnmeleri nemsemeyi-niz, g = 10 m/s2)

zm: a) T1 = 120 N, T2 = 160 N

b) I = 1.25 kgm2

J

76

rnek 8.24

ekilde oldugu gibi sisteminde m ktleli makarann sistemin hareket baladktan sonrat = 2 s deki asal hzn bulunuz. m1 = 3 kg,m2 = 1 kg,m = 4 kg, = 30, =45, 1 = 0.2, 2 = 0.1 ve R = 30 cm. olarak verilmitir.

zm: = 2.2rad

sJ

rnek 8.25

ekilde gsterildii gibi, birbirine arlklar eit olan iki cisim R yarapl bir yarmkre iinde bulunmakta. Cisimler brakldnda arpma yapar ve beraber hareketeder. Cisimlerin birlikte ulaaca krenin en alt ksmndan yksekliini belirleyiniz.Cisimler ile kre arasndaki srtnmesi ihmal ediniz.

zm: h =R

4J

rnek 8.26

m ktleli, r yarapl ii dolu bir kre, R yarapl yarm kre eklinde bir ukuruniinde, balangta, deyle as yapacak ekilde tutuluyor (ekildeki gibi).

77

Kre, serbest brakldnda kaymadan yuvarlandna gre, krenin ukurun dibindeki

asal hzn belirleyiniz. ( Ikre =2

5mr2 )

zm: =

10

7

(R r) (1 cos ) gr2

J

rnek 8.27

Ktlesi m = 3 kg olan bir parack x = 3 m, y = 8 m noktasndan geerken hz~v = (5+ 6) m/s olarak verilmektedir. Paraca negatif x ynnde 7 N luk birkuvvet etki etkimektedir.

a) Paracn asal momentumu nedir?

b) Paraca etkiyen tork nedir?

c) Asal momentumun birim zamanda ne kadar deitiini bulunuz.

zm: a) ~L = 174k kgm2/s2

b) ~ = 56k Nm

c) ~ = 56k Nm

J

rnek 8.28

Yay sabiti 12.5 N/cm olan bir yay, ekilde grld gibi 2 kglk m1 bloku ile 20 cmsktrlyor. m1 bloku serbest brakldktan sonra durgun haldeki 3 kglk m2 blokunaarpyor.

a) ki blokun esnek arptn varsayarak, R = 0.5 m yarapl rayn, m2 blokuna Pnoktasnda hzn hesaplaynz.

b) Eer bloklar tam esnek olmayan arpma yaparlarsa, m2 bloku P noktasna ula-abilir mi? (Tm yzeyler srtnmesizdir.)

78

zm: a) vP = 2.4 m/s

b) ulaamaz.

J

rnek 8.29

h yksekliinden serbest olarak cisim dmekte. A noktasndaki hz vA = 29.43 m/s,ve B noktasnda hz vB = 49.05 m/s olduuna gre A ile B noktalar arasndakimesafe nedir? AB uzunluu geebilmek iin zaman nedir?

zm: h = 78.5 m, t = 2 s J

rnek 8.30

25 m/s hzyla ve yatay eksene gre 60 a ile cisim atlmtr. Ka saniye sonra cisimyatay eksene gre 45 a yapacaktr?

zm: t = 0.933 s J

rnek 8.31

ki cisim ayn anda ve yerden atlmtr. Her iki cismin balang hz ayndr ve 30 m/solarak verilir. Birinci cisim yukar doru, ikinci ise yatay eksene gre 45 atldna gre,2 s atldktan sonra bu iki cisim arasndaki mesafe nedir?

zm: r12 = 46 m J

79

rnek 8.32

Durgun m = 15 kg ktleli bir cisim patlar ve birbirine eit paracklara ayrlr.Bir para kuzeye doru, dieri douya doru frlatr. Bu iki parasnn hzlar eit ve20 m/s olarak bildiine gre nc parann hz ve yn bulunuz.

zm: v = 28.28 m/s, yn gneybats J

rnek 8.33

2.5 103 kg ktleli bir araba 25 eimli olan bir yolla aaya doru gider (inilir).30 m/s hzla giderken src frenlemeye balar. 150 m sonra durabilmek iin frenlemekuvvetinin (yol eilime paralel olan) deeri ne olur?

zm: FF = 17.025 103 N J

rnek 8.34

= 30 eimli olan dzlemde m = 500 kg ktleli bir cisim bulunur. Cisim ile zeminarasndaki srtnme katsays = 0.1 olarak verilir. Cisim aaya doru v0 = 2 m/sbalang hzyla itilirse t = 5 s sonra durmas iin cisim zerinde etkilenmesi gerekenkuvvetini bulunuz.

zm: F = 2227.5 N J

rnek 8.35

= 30 eimli bir dzlemde iki cisim yanyana bulunur. Birinci cismin m1 = 1 kg,ve ikinci cismin m2 = 2 kg ktlesi olarak verilir. m1 ktleli cisim ile dzlem arasn-daki srtnme katsays 1 = 0.25, m2 ktleli sistem ile dzlem arasndaki srtnmekatsays 2 = 0.1 olarak verilir.

a) m1 ile m2 cisimler arasndaki kuvveti bulunuz.

b) cisimler harekete geebilmeleri iin minimum eilim as bulunuz.

zm: a) F12 = 0.85 N

b) = 8.53

J

80

rnek 8.36

R = 0.8 m metre yarapl bir volan sabit 0 = 7.5 rad/s hzla dner. Volan dndrensistem durur, ancak volan t = 24 s sonra durur. Volann asal ve kenarnda teetselivmesi bulunuz.

zm: = 0.313 rad/s2, at = 0.25 m/s2 J

rnek 8.37

Yarap 7 cm olan dolu homojen silindir, kaymadan, 2 m yksek ve 37 eimli olan birdzlemden yuvarlayarak iner. nite silindirin asal hz bulunuz (eylemsizlik momenti

dolu silindir iinmR2

2olarak verilir).

zm: = 56.60 rad/s J

rnek 8.38

ki homojen silindir zerinde iple iki tane cisim aslmtr. Cisimlerin ktleleri m1 =2 kg ve m2 = 1 kg olarak verilir. Silindirlerin ktleleri ise, M1 = 1 kg ve M2 = 5 kgolarak verilir. Kaymas olmadn varsaym altnda sistemin ivmesi bulunuz. (I =mR2

2)

zm: a = 1.635 m/s2 J

81

rnek 8.39

v = 50 km/saat hzla giden bir tren viraja girer. Trende iple asl bir topak (boncuk) = 5 a yapyorsa virajin yarap bulunuz.

zm: r = 226.98 m 227 m J

rnek 8.40

2 kg ykleli bir cisim yerekime nazaran dey dzleminde bir nokta etrafnda dn-drlr. En yksek ile en dk noktalar arasndaki ipteki gerilim farkn bulunuz.

zm: F = 117.72 N J

rnek 8.41

Bir tavana 6 kg ktleli bir avize aslmtr. Avize kopmak iin 93.34 N kuvvet uygu-lanmas geriyorsa avizeyi kopmamak iin en byk sapabilecek a nedir?

zm: = 45 J

rnek 8.42

l = 0.5 m uzunluuna sahip olan bir ipin ucundaki m = 1 kg ktleli bir cisim deydzlemde sabit = 10 rad/s hzla dner. A, B, C ve D noktalardaki ipin gerilmekuvvetini hesaplaynz.

82

zm: FA = 59.81 N, FB = FD = 50 N, FC = 40.19 N J

83

Anlaml hane saysVektrlerHareketKuvvetlerDnme hareketiMoment, g ve enerjiKendi almalar