Fizik i Ders Notlari

BÖLÜM-1Ölçme

Bu bölüm kapsamında aşağıdaki başlıklar üzerinde durulacaktır:

Bir fiziksel niceliğin ölçülmesiğ ç

Birimler, birim sistemleri

Mekanikte temel birimler

Birim dönüşümleri

Ölçümlerdeki duyarlılık

(1-1)DR. M

USTAFA POLAT ve DR. LEYLA YILDIRIM

Fizikte nicelikleri ölçmek için birtakım deneyler yapar ve ölçülen

Ölçme: miktar belirleme işlemidir.

Fizikte, nicelikleri ölçmek için birtakım deneyler yapar ve ölçülennicelikler arasında bir bağ kurmaya çalışırız. Bu bağlar genelliklematematiksel eşitlikler yoluyla ifade edilirmatematiksel eşitlikler yoluyla ifade edilir.

Buna en iyi örnek Ohm Yasası’ dır Bu yasanın özü bir iletkenin ikiBuna en iyi örnek Ohm Yasası dır. Bu yasanın özü, bir iletkenin ikiucu arasına uygulanan potansiyel fark ile iletken üzerinden akanelektrik akımının ölçülmesi esasına dayanır.elektrik akımının ölçülmesi esasına dayanır.

Uygulanan potansiyel fark (V) ile elektrik akımı (I) arasındaki ilişkiçizgiseldir ve aşağıdaki matematiksel form ile verilir

ConstantVRI

sabitI

Bu eşitlik “Ohm Yasası” olarak bilinir

(1-2)

Bu eşitlik Ohm Yasası olarak bilinir.

Eşitlikteki R, iletkenin “direnci” dir.DR. M


Birimler: Fiziksel bir büyüklüğü tam olarak tanımlayabilmek için obüyüklüğün nasıl ölçüleceğini bir kurala bağlamak ve bir birim ile ifadeetmek gerekir. Böylece büyüklükleri bir standarda bağlamış oluruz.

Temel Büyüklükler: Büyüklüklerin tümü birbirinden bağımsız değildir.Bazı büyüklükler temel büyüklük diğerleri ise bu temel büyüklüklerdenBazı büyüklükler temel büyüklük, diğerleri ise bu temel büyüklüklerdentüretilmiş büyüklüklerdir.

Temel büyüklükler için bir standart saptanır ve diğer büyüklüklertemel büyüklükler cinsinden birimlendirilir.

Temel büyüklüklerin belirlenmesi amacı ile, 1875 yılında kurulan ve

halen Paris’te bulunan Uluslararası Ağırlık ve Ölçmeler Bürosu

(IBWM = International Bureau of Weights and Measurements) 1971(IBWM International Bureau of Weights and Measurements) 1971

yılında bir toplantı yapmış ve Tablo 1’de verilmiş olan 7 büyüklüğü temel

bü üklük l k i tibüyüklük olarak seçmiştir.

(1-3)DR. M


Bu 7 büyüklük uluslararası birim sistemini

(The International Systems of Units = SI) oluşturur.

Büyüklük Adı Sembolü

Tablo 1. SI temel büyüklükleri

Büyüklük Adı Sembolü

Uzunluk Metre m

Kütle Kilogram kgKütle Kilogram kg

Zaman Saniye s

El kt ik k A AElektrik akımı Amper A

Sıcaklık Kelvin K

dd k l lMadde miktarı Mol mol

Işık şiddeti Kandela Cd

Mekanikte sadece üç tane niceliğe ihtiyaç duyulur.

Bunlar uzunluk, zaman ve kütledir.(1-4)

DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Metre:

Başlangıçta metre, kuzey kutbu ile ekvator arasındaki mesafenin on-milyonda biri olarak tanımlanmıştır (1792)mesafenin on milyonda biri olarak tanımlanmıştır (1792).

; (1 m R 6370 km)AB 7 ; (1 m

1R 6370 k

0m)Dünya

P tik d l d ötü ü d h tPratik nedenlerden ötürü daha sonra metre,platin-iridyumdan yapılmış standart bir ölçüm çubuğuüzerindeki iki çizgi arasındaki mesafe olaraküzerindeki iki çizgi arasındaki mesafe olaraktanımlanmıştır.

1983’ ten beri metre, 1/299792458 s’ lik zamanaralığında ışığın boşlukta aldığı yol olaraktanımlanmıştır. Bu yeni tanımın sebebi, ışık hızının çokhassas bir şekilde ölçülebiliyor olmasıdır

(1-5)

hassas bir şekilde ölçülebiliyor olmasıdır.DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Saniye:

Başlangıçta saniye, Dünya’nın kendi ekseni etrafındaki tam bir dönüşsüresinin (24x60x60)’ ta biri olarak aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.

11 saniye24 60 60

B t d ki bl kildBu tanımdaki problem, şekildegösterildiği gibi, bir günlüksürenin sabit olmayışıdırsürenin sabit olmayışıdır.

Bu nedenle 1967’ den beri saniye, Cessium-133 elementinin yaydığı b lli bi d l b d ki ğ 9192631770 tit i i i i ü

(1-6)

belli bir dalga-boyundaki ışığın 9192631770 titreşimi için geçen süre olarak tanımlanmaktadır.


DR. LEYLA YILDIRIM

Kilogram:

SI birim sisteminde kütle standardı olan bir platin-iridyum silindir aşağıdap y ş ğverilmiştir.

B ili di i kü l i 1 kil l k k b l dil i P i ’ kiBu silindirin kütlesi 1 kilogram olarak kabul edilmiş ve Paris’ tekiUluslararası Kütle Ölçüm Bürosu’ nda tutulmaktadır. Hassas kopyalarıda başka ülkelere gönderilmiştir

(1-7)

da başka ülkelere gönderilmiştir.DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Birimdönüştürme:

Çoğu zaman fiziksel niceliklerin birimlerini değiştirmeye ihtiyaç duyarız Bunu

Birim dönüştürme:

Çoğu zaman fiziksel niceliklerin birimlerini değiştirmeye ihtiyaç duyarız. Bunuyapmak için, iki birim arasındaki dönüşüm faktörünü bilmemiz gerekir.

karayolu hız limiti olan 65 mil/saat' i m/s cinsinden ifade ediniz. Örnek: y1 mil = 1609 m ve 1 saat = 3600 s

Bu durumda,

mil 1609 m m65 65x 29 saat 3600 s s

saat 3600 s s

(1-8)

bulunur. Bu hız limitini km/sa cinsinden bulunuz.DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Ölçümlerdeki Duyarlılık :

Belli bir nicelik, örneğin bir cismin uzunluğu , değişik duyarlılıklarda belirlenebilir.LDuyarlılık ölçüm yöntemine ve ölçüm aletine bağlıdır.

En küçük ölçeği 1 mm olan bir cetvel ile ölçüm yapıyorsak uzunluğunuL = 1.234

En küçük ölçeği 1 mm olan bir cetvel ile ölçüm yapıyorsak uzunluğunu,m şeklinde vermek gerekir.

Yani nl ğ dört anlamlı sa ı ile erilmelid r

i

L

LL

Yani uzunluğu dört anlamlı sayı ile verilmelid r i .L

Cetvel üzerindeki en küçük ölçek 1 mm olduğundanCetvel üzerindeki en küçük ölçek 1 mm olduğundan, ' yi m biçiminde vermek anlamsız o = 1.2 lacakt6 .34 ır LL

= 1.234Diğer taraftan, duyarlılığı 0.1 mm olan verniyeli kumpas kullanıyorsak,

m şeklinde verilebilir ve bu durumda beş anlamlı sayı ile ifade edi r6 li .L

Hesaplanan nicelikteki anlamlı sayı, hesaplamalarda kullanılan niceliklerin anlamlı

ş ş y

(1-9)sayılarından fazla olamaz.DR. M


Sabit hızıyla hareket eden bir araç = 123 m' lik yolu = 7 89 s' de alıyor

Örnek: vd t = 123 m' lik yolu = 7.89 s' de alıyor. Aracın hızını bulunuz.d t

123 mAracın hızı : = = 15.5= m/8 s7 89

93536 dvt

i if d k i i d k k k ll k l l d ildi

7.89 st

' yi ifade etmek için dokuz rakam kullanmak anlamlı değildir. Çünkü, ' nin hesaplanmasında kullanılan ve nicelikleri v

v d tsadece üç anlamlı sayı ile verilmiştir.

Dolayısıyla ' de üç anlamlı sayı içerecek şekilde verilmelidir: v

= 15.6 s.m/v

(1-10)DR. M


Birimlerin alt ve üst katları: Bazı büyüklükler aynı birim ile ifade edildiği haldesayısal değerleri birbirinden çok farklı olabilir. Örneğin, bir atomun yarıçapı ileDü ’ t l k if d dili k l d ğ l i k f kl d

Faktör İsim Sembol Günlük dildeki adı

Dünya’ nın yarıçapı metre olarak ifade edilir, ancak sayısal değerleri çok farklıdır.Bu nedenle SI birimlerin alt ve üst katlarını gösteren işaretler kullanılır.

Faktör İsim Sembol Günlük dildeki adı1024 Yotta Y 1 septilyon1021 Zetta Z 1 sekstilyon1018 Exa E 1 kentilyon1018 Exa E 1 kentilyon1015 Peta P 1 katrilyon1012 Tera T 1 trilyon109 Giga G 1 milyar109 Giga G 1 milyar106 Mega M 1 milyon103 Kilo k bin102 H t h ü102 Hecto h yüz101 Deka da on10-1 Deci d onda bir10 2 C ti ü d bi10-2 Centi c yüzde bir10-3 Milli m binde bir10-6 Micro m milyonda bir10 9 N il d bi10-9 Nano n milyarda bir10-12 Pico p trilyonda bir10-15 Femto f katrilyonda bir10 18 Att k til d bi10-18 Atto a kentilyonda bir10-21 Zepto z sekstilyonda bir10-24 Yocto y septilyonda bir (1-11)


DR. LEYLA YILDIRIM

Bazı Ölçme AletleriBazı Ölçme Aletleri

(1-12)DR. M


CetvelCetvel

(1-13)DR. M


Verniyeli Kumpasy p

(1-14)DR. M


Mikrometre

(1-15)DR. M


BÖLÜM-2V ktö lVektörler

Fizikte sadece büyüklükleri ile tanımlanan niceliklere “skaler”

Büyüklük yanında ayrıca yön bilgisi içeren veya gerektiren diğer fiziksel

ynicelikler diyoruz. Sıcaklık, kütle, enerji bunlardan bazılarıdır.

Büyüklük yanında ayrıca yön bilgisi içeren veya gerektiren diğer fizikselniceliklere ise “vektörel” nicelikler diyoruz. Yer-değiştirme, hız, ivme, kuvvetbunlardan bazılarıdır.

Bu bölüm kapsamında, aşağıdaki konulara değineceğiz:

Vektörleri geometrik toplama ve çıkarma işlemiVektörleri bileşenlerine ayırmaBirim vektör notasyonuBileşenler yardımıyla toplama ve çıkarmaBir vektörün bir skaler ile çarpılmasıİki vektörün skaler (dot veya nokta) çarpımı

(2-1)İki vektörün vektörel (cross) çarpımıDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Bir vektörün üç elemanı vardır.

Uygulama Noktası (başlangıç noktası): Vektörel büyüklüğünuygulandığı noktaya uygulama ya da başlangıç noktası denir.

k d ki k l k k dYukarıdaki vektörün uygulama noktası O noktasıdır.

Vektörün sayısal değerine o vektörün büyüklüğü denir.Büyüklüğü: y ğ y ğŞekilde verilen vektörünün büy

yüklüğ

ğü ' dir.a a AB

Vektörel büyüklüğün yönü, doğru parçasının ucuna konulanokun yönündedir. Şekildeki vekötürnün yönü O' dan ' ya yöneliktirYönü:

a Aokun yönündedir. Şekildeki vekötürnün yönü O dan ya yöneliktirveya doğu yönündedir.

a A

(2-2)DR. M


A noktasından B noktasına hareket eden bir cismin yer-değiştirmeA noktasından B noktasına hareket eden bir cismin yer değiştirmevektörü A noktasından B noktasına çizilen bir okla gösterilir.

Ok n nl ğ er değiştirmenin bü üklüğü ile orantılıdırOkun uzunluğu yer-değiştirmenin büyüklüğü ile orantılıdır.

Okun yönü ise yer-değiştirmenin yönü ile ilgilidir.

Şekilde A dan B ye, A' den B' ne ve A'' nden B'' ne çizilenvektörlerin büyüklükleri ve yönleri aynıdır.

Vektörler, büyüklükleri ve doğrultuları değiştirilmedenistenildiği gibi kaydırılabilir.

Kitaplarda vektörler sembolik olarak iki şekilde gösterilir:

a

a(niceliğin üzerine bir ok çizilir)

( i lik k l )a (nicelik koyu yazılır)

(2-3)a aVektörün büyüklüğü de veya biçiminde sembolize edilir.DR. M


Vektör işlemleri

• Vektörlerin Eşitliği• Vektörlerin Eşitliği

• Bir Vektörün Negatifi

• Vektörün Taşınması

• Vektörlerin Toplanması

• Vektörlerin ÇıkarılmasıVektörlerin Çıkarılması

• Vektörün Bileşenlerine Ayrılması

• Vektörün Büyüklüğünün Bulunması

V ktö ü bi k l t ğ b l• Vektörün bir eksenle yaptığı açının bulunması

• Vektörlerin bileşenleri cinsinden toplanmasış pdevam

(2-4)DR. M


Vektör işlemleri

• Vektörlerin Çarpılması:

1. Bir Vektörün Bir Skaler ile Çarpılması

2. İki Vektörün Skaler (dot veya nokta çarpım) Çarpılması

3 İki Vektörün Vektörel Çarpılması3. İki Vektörün Vektörel Çarpılması

• Vektörlerin Skalere Bölünmesi

VEKTÖR VEKTÖRE BÖLÜNMEZ !!!• VEKTÖR VEKTÖRE BÖLÜNMEZ !!!

(2-5)DR. M


Vektörlerde Geometrik Toplama :

s a b

ktö ü ü b l kt ktö ü üb vektörünün başlangıç noktası vektörünün

ucuna gelecek şekilde vektörü kaydırılır.

b a

b

vektörünün başlangıç noktasından vektörününk i il k k d

a b

İ

uç noktasına çizilen vektör vektörüdür.s

2 2 2

İki vektör arasındaki açı olmak üzere, vektörünün büyüklüğü, = + +2 cosa b

ss ab

(2-6)ile verilir (kosinüs teoremi). DR. M


Vektörlerde Geometrik Toplama :

A

B

A

R=A+B=?

A

R=A+BR=A+B=?

B

A CC D

R=A+B+C+D

A B CD R=A+B+C+D=? B

R A+B+C+DA

(2-7)DR. M


Vektörel toplama işleminin"değişme özeVektörel top

lliği"lama işleminin

vardır:

a b b a

vektörünün negatifi (- ),b b

vektörü ile aynı büyüklükte fakat ters yöndedir.b

fakat ters yöndedir.

(2-8)DR. M


oKuzeye doğru yönelmiş 20 km' lik bir vektör ile 60 Örnek : y ğ y şkuzey-batıya doğru yönelmiş 35 km' lik vektörün bileşkesini bulunuz.

oİki vektör arasındaki açı 60 ' dir. Kosinüs teoremine göre bileşke vektörün büyüklüğü,

2 2

2 2

+ +2 coss a b ab

2 2 o 20 + 35 +2 20 35 cos 60

= 48 2 km

= 48.2 km

i i 35b sin sin 35 sin sin sin(120 ) 0.62948.2

bb s s

(2-9)

o 38.9 DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Vektörlerde Geometrik Çıkarma:

d a b

biçiminde yazılabilird a b a b biçiminde yazılabilir. d a b a b

vektörü bulunur ve vektörüile toplanır.

vektöründen b b a

p

N V k ö l i bil l i l l k k kNot: Vektörleri bileşenleri vasıtasıyla toplamak veya çıkarmakmümkündür. Uygulamada bu yöntem çok daha kullanışlı ve kolaydır.

(2-10)DR. M


Vektörlerde Geometrik Çıkarma:

A-B B

A

R=A-B=?AR=A-B

BB

B

A B C R=A-B+C=? A

R=A-B+CB

A B R A B C ? AC

-B

(2-11)DR. M


i k bi k d ki bil i k kVektörün bileşenleri ve bir eksenle yaptığı açı:Bir vektörün bir eksen yönündeki bileşeni, vektörün o eksen üzerindeki izdüşümüdür. Örneğin , vektörünün eksenixa a x -ğüzerindeki izdüşümüdür. Vektörün bileşeni, başlangıç ve uçnoktalarından ekseni

x

xax ne çizilen dikmeler arasımesafedirnoktalarından eksenix - ne çizilen dikmeler arası mesafedir.

vektörünün - ve -bileşenleri a x y

eşitlikleri ile verilir.

cos sin .vex ya a a a

eşitlikleri ile verilir.

ve bileşenleri biliniyorsa, vektörün büyüklüğü x ya a

ve sırasıyla ve ekseni ile yaptığı açı bulunabilir. x y

dik üçgeninden:ABC

2 2 ta

di

n t

k üçgeninden:

an ; ve y xx y x y

ABCa a

a a a

(2-12)olarak bulunur.

y yx ya aDR. M


Herhangi bir doğrultuda büyüklüğü "1" olan vektöre " " denirbirim vektörBirim vektörler :Herhangi bir doğrultuda, büyüklüğü 1 olan vektöre denir. birim vektör

Birimsizdir ve sadece sadece yön göstermekamacıyla kullanılır.

ve eksenleri yönündeki birim vektörlerx y z -, ve eksenleri yönündeki birim vektörler,

sırasıyla, , ve ile gösterilirlerˆ ˆ î j .k

x y z

Tüm vektörler birim vektörler cinsinden yazılabilir.

Şekildeki vektörle ˆr ˆ ˆ î: ; j i j x y x ya a a b b b

ve yönündeki birim vektörler:

; ile verilirˆ â b

a b

a = b =

; ile verilir.

Bu durumda ve vektörleri,a b

a = b =a b

,

; biçiminde de yazılabiliˆˆ r. a aa b bb

(2-13)DR. M


Bileşenleri Yardımıyla Vektörlerin Toplanması:

ˆ î ja a a i j

?ˆ î jx ya a a

r a bb b b

i jx yb b b

ˆ î jx x y yr a b a b

Bileşenleri Yardımıyla Vektörlerin Çıkarılması:

jx x y y

Bileşenleri Yardımıyla Vektörlerin Çıkarılması:

ˆ î jx ya a a

j?ˆ î j

x y

x y

d a bb b b

ˆ ˆx y ˆ î jx x y yd a b a b

(2-14)DR. M


Bir cisim üç ardışık yer-değiştirme yapıyor. Bunlar sırasıyla,Örnek :

1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ15i 30j 12k cm, 23i j 5k cm ve 13i 15j cm

ld ğ ö t l d ği ti ktö ü ü bil l i i14d = + + d = d = +

olduğuna göre, toplam yer-değiştirme vektörünün bileşenlerini vebüyüklüğünü bulunuz.

1 2 3ˆ ˆ ˆ15 23 13 i 30 14 15 j 12 5 kR d d d + + +

ˆ ˆ ˆ = 25i 31j 7k cm+ +

x y z25 cm ; 31 cm ; 7 cmR R R x y z; ;

2 2 22 2 2x y z+ + 25 31 7 40.4 cmR R R R

(2-15)DR. M


Örnek: A şehri B şehrinin 46 km batı ve 35 km güneyinde yeralmaktadır Bu iki şehir arasındaki en kısa mesafenin büyüklüğünüalmaktadır. Bu iki şehir arasındaki en kısa mesafenin büyüklüğünüve yönünü bulunuz.

ˆ ˆ46 km

ˆ ˆ 46 – 35R i j

BB2 2(46 km) (35 km)R 35

R = 57.8 kmkm

R = ?R = ?

35 km AA35 kmtan46 km

= 37.30

(2-16)DR. M


Örnek: Bir erkek çocuğu bir kıza, şekildeki gibi, 240 N’ luk bir kuvvetuygulamaktadır. Kızın kolu yatayla 28 açı yaptığına göre bu kuvvetinbileşenlerini bulunuz.

FF = 240 N= 240 N

280

FF FFyyFFyy

FFxx

Fx = -|(240 N) cos 280| = - 240*0.88= -212 N Birim vektörler cinsindenx |( ) |

Fy = +|(240 N) sin 280| =240*0.47= +113 N ˆ ˆ 212 113 F N i N j

y |( ) |

(2-17)DR. M


Örnek: Bir kaplumbağa aşağıda verilen ardışık üç yerdeğiştirme vebu yer değiştirmelerin yatayla yaptığı açı verilmiştir. Kaplumbağanıny ğ ş y y y p ğ ç ş p ğtoplam yer değiştirme vektörü R’ nin büyüklüğünü ve yönünübulunuz.

C 0 5

B = 2 1 m

C = 0.5 mRA = 5 m, 00

A 5

B = 2.1 m200B = 2.1 m, 200

C = 0 5 m 900A = 5 mC 0.5 m, 90

cos 200= 0 94 sin 200= 0 34

Vektör f X-bileşeni (i) Y-bileşeni (j)

cos 200= 0.94 sin 200= 0.34

ş ( ) ş (j)

A=5 m 00 + 5 m 0

B 2 1 200 (2 1 ) 200 (2 1 ) i 200B=2.1m 200 +(2.1 m) cos 200 +(2.1 m) sin 200

C=0.5 m 900 0 + 0.5 m

Rx = Ax+Bx+Cx Ry = Ay+By+Cy (2-18)DR. M


Örnek devam: Verilen üç vektörün toplamını bulunuz.ç pA = 5 m,00; B = 2.1 m, 200; C = 0.5 m, 900.

x-bileşeni (i) y-bileşeni (j)

A + 5 00 m A 0Ax = + 5.00 m Ay = 0

Bx = +1.97 m By = +0.718 mx 9 y 0 8

Cx = 0 Cy = + 0.50 m

AA = 5.00 = 5.00 i i + 0 + 0 jj

BB = 1.97 = 1.97 ii + 0.718 + 0.718 jj

CC 00 ii + 0 50+ 0 50 jjCC = 0 = 0 i i + 0.50+ 0.50 jj

RR 6 976 97 ii + 1 22+ 1 22 jjRR == 6.97 6.97 ii + 1.22 + 1.22 jj

(2-19)DR. M


Bi V k ö ü Bi Sk l l ÇBir Vektörün Bir Skalerle Çarpımı :

bir skaler nicelik ve ' da bir vektör olmak üzere,

bunların çarpımı ile verilen yeni bir vektördür

s a

b sa

bunların çarpımı ile verilen yeni bir vektördür. b sa

B i k ö ü bü üklüğü il ili| |bBu yeni vektörün büyüklüğü ile verilir.

0 ise, vektörü ile aynı yöndedir.

= | |

s b a

b s a

0 ise, vektörü ile ters yöndedi .rs b a

: F maÖrnek

(2-20)DR. M


İki Vektörün Skaler Çarpımı :

İki ktö ü k l "d t l k d bili ikt "

Ç p

İki vektörün skaler ça "dot veyrpımı, çarpım olarak da bilina no a ir.kt "

ve vektörlerinin skaler çarpımı if= cos adesi ile verilira a bb ab

ve vektörlerinin skaler çarpımı if cos adesi ile verilir. a a bb ab

Örnek: İş

W F x

(2-21)DR. M


Bileşenleri Cinsinden Skaler Çarpım :

Bileşenleri Cinsinden Skaler Çarpım :

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = i j k i j kx y z x y za b a a a b b b

ˆ ˆ î j k olduğundan,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î i j j k k 1

i i j j k k 1ˆ ˆ ˆ î j j i 0

bulunura b a b a b a b

ˆ ˆ ˆ î k k i 0ˆ ˆ ˆ

bulunur.

ˆj k k j

x x y y z za b a b a b a b

j k k j 0

(2-22)DR. M


ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2i 3j k ve 4i 2j k vektörleri arasındakiA= + + B = + Örnek :

j jaçıyı bulunuz.

Bu soruda, iki vektör arasındaki açıyı bulmak için vektörlerin iki farklı yolla skaler çarpım işleminden yararlanacağız. İki sonucu birleştirerek açıya geçeceğizbirleştirerek açıya geçeceğiz.

2 2 2 2 2 2cos = (2) (3) (1) ( 4) (2) ( 1) cos

= 14 21 cos

A B AB θ θ

θ

I. Yol :

= 14 21 cosθ

(2)( 4) (3)(2) (1)( 1) 3A B A B A B A BII Y l

x x y y z z (2)( 4) (3)(2) (1)( 1) 3A B A B A B A BII. Yol :

o3 3cos = 0.175 = 10014 21 294

A Bθ θAB

(2-23)

14 21 294AB DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

ve vektörlerinin büyüklükleri aynı ve 5 birimdir.A BÖrnek :

ˆ6 olduğuna göre, bu iki vektör arasındaki açıyı bulunuz.A+ B = i

2 2

2 2

2 2 2

Kosinüs teoremine göre: + 2 cos ' dır.

6 5 5 2 5 5 cos

A B A + B + A B

+ +

6 5 5 2 5 5 cos+ +

2 2 2

Buna göre,(6 0) (5) (5) 14 o(6.0) (5) (5) 14cos 0.28 106.3 bulunur.

2(5)(5) 50

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6i 8j ; 8i 3j ve 26i 19j vektörleri veriliyor.A B + C + Örnek :

0 eşitliğini sağlayan ve sayılarını hesaplayınız.aA+bB+C = a b

ˆ ˆ(6 8 26)i ( 8 3 19)j 0A+bB+C b+ + b

(6 8 26)i ( 8 3 19)j 0aA+bB+C a b+ + a b

6 8 265 7 b l

a bb

(2-24)

5 ve 7 bulunur.8 3 19

a ba b


DR. LEYLA YILDIRIM

Vektörel Çarpma: ve vektörleri arasındaki vektörel çarpma işlemi, a b c a b

Vektörel Çarpma:

ile verilen yeni bir vektör oluşturur. vektörünün büyüklüğü

ile verilir vsi e ile vektörlerinin oluştur uğn d u

c

c a a bb

ş ğ

sağ-el-kudüzleme diktir. Yönü " " ile belirleralı nir:

Vektörel çarpım, çarpım olarak da bi"cross" linir.

. ve vektörlerinin başlangıç noktalarını birleştiriniz.i a b

Sağ el kuralı:. ve vektörlerinin başlangıç noktalarını birleştiriniz.. vektörünü parmak uçlarınız onun yönünü gösterecek

kild ğ i i t

i a bii a

şekilde sağ avuç içine yatırınız.

. vektörünü küçük açı yönünde 'iii a b nin üzerine süpürünüz.

(2-25). Baş parmağınız vektörünün yönünü verir.iv cDR. M


Sağ el kuralı:

(2-26)DR. M


x 1 iVektörel çarpımın özellikleri: c a b

b

1. sin

2. ve birbirine paralel veya antiparalel ise 0'dır.

c ab

a b c

p y p

3. vektörü ve 'nin bulunduğu düzleme diktir.

c ac a b

ğ4.

5.

c b

c

( x ) vektörel çarpımda değişme özelliği yoktur.b a

(2-27)

5. c ( x ) vektörel çarpımda değişme özelliği yoktur.b aDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Bileşenleri Cinsinden Vektörel Çarpma :

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î j k i j kx y z x y za b a a a b b b

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î i j j k k 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î j k j i k

i j k ; j i k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆk i j ; i k j

olduğundan

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆj k i ; k j i

ˆ ˆ i j ky z z y z x x z x y y xa b a b a b a b a b a b a b

i j k

, aşağıdaki determinant yolu ile de belirlenebilir. a bNot :

i j k

; a a ax y zb b bx y z

a b a b b a Not :

(2-28)

b b bx y zDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2i 3j k, 4i 2j k ve 5i 2j vektörleri verilsin.A= + + B = + C Örnek :

) ? , ) ( + ) olduğunu gösteriniz.a A B = b C A B C A+C B

ˆ ˆ î j kˆ ˆ ˆ) 2 3 1 = 5i 2j+16ka A B

4 2 1

ˆ ˆ î j kˆ) ( ) 5 2 0 = 21kb C A+ B

) ( ) 5 2 0 21k

2 5 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

b C A+ B

i j k i j kˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ5 2 0 = 2i 5j+19k ve 5 2 0 = 2i + 5j+ 2k C A C B

2 3 1 4 2 1

(2-29) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= 2i 5j+19k 2i + 5j+ 2k 21k ( + )C A C B C A B


DR. LEYLA YILDIRIM

(2-30)DR. M


(2-31)DR. M


(2-32)DR. M


0

(2-33)

cos = 0DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

BÖLÜM-3Bir Doğru Boyunca Hareket

B bölü d i i l i bi d ğ b h k ti i i l ğiBu bölümde, cisimlerin bir doğru boyunca hareketini inceleyeceğiz.Aşağıdaki fiziksel nicelikleri ayrıntılı bir şekilde tanımlayacağız.

Konum ve Yer-değiştirme Ortalama Hız Ortalama Sürat Anlık Hız O A İ

Sabit ivmeli hareket için herhangi bir andaki hızı ve konumu

Ortalama ve Anlık İvme

Sabit ivmeli hareket için, herhangi bir andaki hızı ve konumuveren bağıntıları türeteceğiz.Ayrıca, yer yüzeyine yakın noktalarda yerçekimi etkisi altında cisimlerinhareketini inceleyeceğiz.

(3-1)Son olarak da, ivmenin sabit olmadığı durumlarda, cismin hareketini eğrialtındaki alanın hesaplanması yöntemiyle inceleyeceğiz.DR. M


Ki tik i i l i h k ti i i l k iği bi lt d l dKinematik, cisimlerin hareketini inceleyen mekaniğin bir alt dalıdır.Bir cismin konumu zamanla değişiyorsa o cisim hareketlidir deriz.

Hareketli cisimlerin noktasal parçacıklardan oluştuğunu ve hepsinin deaynı şekilde hareket ettiğini kabul edeceğiz.y ş ğ ğ

Bu bölümde, harekete neyin sebep olduğuyla ilgilenmeyeceğiz.

x-ekseni boyunca hareket eden bir cisim düşünelim.Herhangi bir t anında, orijine göre cismin konumu x(t) iletanımlanır. x-ekseninin hangi tarafında bulunduğuna göre,cismin koordinatı negatif veya pozitif olabilir.

KONUM: Bir cismin yerinin bir referansa görebelirlenmesidir.

Bir cismin “konum vektörü”, bulunduğu koordinatsisteminin orijininden cismin bulunduğu noktaya çizilen

ktö dü

(3-2)

vektördür.DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Not: Yer-değiştirme ile gidilen toplam yol aynı şey değildir !!

B

A

(3-3)DR. M


B Yol=100 m

50 mYer değiştirme

A

ÖÖrnek: x1 5 m konumundan pozitif yönde x2 200 m konumunagiden ve oradan tekrar başlangıçtaki konumuna dönen bir cisimdü ü lidüşünelim.

Cisim toplam olarak 390 m yol aldığı halde,

yer-değiştirmesi Δx 0’ dır.y ğ ş

(3-4)DR. M


Yer-değiştirme Vektörü: Bir cisim x1 konumundan x2 konumunahareket etmişse, konumundaki değişim yer-değiştirme ile tanımlanır.hareket etmişse, konumundaki değişim yer değiştirme ile tanımlanır.

x x x

yer değiştirme son konum ilk kon1

um2x x x

Ö ği ilk k 5 k 12 l bi i i

SI sisteminde birimi (m)

Örneğin, ilk konumu x1 5 m ve son konumu x2 12 m olan bir cismin yer-değiştirmesi Δx 12–5 7 m olacaktır. Δx’ in pozitif olması, yer-değiştirmenin +x yönünde olduğunu gösterir.ğ ş y ğ g

Cisim x1 5 m konumundan x2 1 m konumuna hareket etseydi, yer-d ği ti Δ 1 5 4 l d Δ ’ i tif ldeğiştirme Δx 1–5 – 4 m olurdu. Δx’ in negatif olması, yer-değiştirmenin –x yönünde olduğunu gösterir.

Yer-değiştirme, hem büyüklüğü hem de yönü olan vektörel bir niceliktir.

T k b tt ki h k ti i l diği i b bölü d d ği ti ö ü

(3-5)

Tek boyuttaki hareketi incelediğimiz bu bölümde, yer-değiştirme yönüolarakΔx’ in işaretini kullanacağız.


DR. LEYLA YILDIRIM

Konum-zaman Grafiği ve Ortalama Hız:

Bir cismin hareketini tanımlamanın bir yolu, cismin konumunu zamanabağlı olarak çizmektir.ğ ç

Herhangi bir t1 anı ile t2 anı arasında, canlının x1 konumundan x2 konumuna nek d h l ittiği k d “ t l h ” bi bi fiki kti

Konum-zaman grafiğinde (t1, x1) noktasından (t2, x2) noktasına çizilen doğrunun

kadar hızlı gittiği konusunda “ortalama hız” bize bir fikir verecektir.

g ğ ( 1, 1) ( 2, 2) ç ğeğimi, cismin t1 ve t2 aralığındaki vort hızına eşittir.

2 1ort

2 1

x x xvt t t

ortalama hız

2 1t t t

(3-6)DR. M


Hareket ve konum zaman grafiğiHareket ve konum-zaman grafiği

x

t

Cismin hareketini tanımlayınız.Ci i d

Duran bir cismin konum-zamana grafiği.Cisim duruyor.

(3-7)DR. M


Hareket ve konum zaman grafiğiHareket ve konum-zaman grafiği

x

tt

Ci i h k ti i t lCismin hareketini tanımlayınız.Cisim +x yönünde sabit hızla gidiyor.

Değişen bir hızla hareket eden bir canlının konum-zaman grafiğigrafiği

(3-8)DR. M


Hareket ve konum zaman grafiği

x (m)

Hareket ve konum zaman grafiği

x (m)

x B

t

x

At t

Bir cismin konum-zaman grafiği grafikte verilmiştir. Bu cismin

/ortv x t g e ve ş . u c sortalama hızı hesaplayınız.

v = x/ t=2 0/6 0=1/3 m/svort = x/ t=2.0/6.0=1/3 m/s

(3-9)DR. M


Örnek: Şekilde bir cismin t = 1 s ve t = 4 s anlarındaki konumlarıÖrnek: Şekilde bir cismin t1 = 1 s ve t2 = 4 s anlarındaki konumlarıx1 = 4 m ve x2 = 2 m’dir.

Cismin ortalama hızını bulalımCismin ortalama hızını bulalım.

2 1ort

2 ( 4) 6 m 2 m/s4 1 3 s

x xvt t

2 1 4 1 3 st t

(3-10)DR. M


Ortalama Sürat (vsürat_ort): sürat_orttoplam yolv

t

Ortalama sürat,Δt zaman aralığında alınan “toplam yol” cinsinden tarif edilir.Ortalam sürat ortalama hızın büyüklüğü değildir.

t

Şekildeki otomobilin veA FÖrnek :

Ortalam sürat ortalama hızın büyüklüğü değildir.

Şekildeki otomobilin, ve noktaları arasındaki, ortalama hızınıve süratini hesaplayınız ( = 0 veA

A F

t

Örnek :

ve süratini hesaplayınız ( 0 ve = 30 m ; = 50 s ve = 53 m).

A

A F F

tx t x

53 30ort

53 3050 0

F A

F A

x xvt t

83 1.66 m/s50

sürat_ort22+52+53

50 50AB BD DFx x xv

(3-11)

127 2.54 m/s50


DR. LEYLA YILDIRIM

-ekseni boyunca hareket eden bir cisminxÖrnek :konum-zaman grafiği yanda verilmiştir. Cismin 0 2 s ; 0 4 s ; 0 7 s ; 0 8 s aralıklarında ortalama hızını bulunuz. 0 8 s aralığında cismin hız-zaman graf iğini çiziniz.

Konum-zaman grafiğinden;

ğ g ğ ç

ort(0-2) ort(0-4)10 0 5 05 m/s ; 1.25 m/s2 0 4 0

v v

ort(0-7) ort(0-8)5 0 0 00.714 m/s ; 0

7 0 8 0v v

(0-2) (2-4)10 0 5 10 5 m/s ; 2.5 m/s2 0 4 2

dxv v vdt

(4-5) (5-7)

2 0 4 25 5 5 5 0 ; 5 m/s5 4 7 5

dt

v v

(3-12)(7-8)

0 ( 5) 5 m/s8 7

v

DR. M


Anlık Hız:

O t l h bi i i l ğ dOrtalama hız, bir cismin t1 ve t2 zaman aralığındane kadar hızlı olduğu bilgisini içerir. Herhangi birt anında cismin ne kadar hızlı olduğu bilgisi “anlıkt anında cismin ne kadar hızlı olduğu bilgisi anlıkhız” tanımıyla verilir.

Anlık hız, ortalama hızın Δt →0durumundaki limitidir.

lim0

x dxvt dtt

0 t dtt

B d l k h i i kBu tanımdan anlık hız, cismin x konumununzamana göre birinci türevidir.

Yani, konum-zaman grafiğinin herhangi birandaki eğimidir.

(3-13)Anlık sürat anlık hızın büyüklüğüdür.DR. M


-ekseni boyunca hareket eden bir cismin konumu xÖrnek :2 ( ) 4 +2

ifadesine göre değişmektedir ( saniye, metre cinsindendir).x t t t

t x

ifadesine göre değişmektedir ( saniye, metre cinsindendir).

) 0 1 s ve 1 3 s aralıklarında cismin ortalama

t x

a hızını bulunuz) 0 1 s ve 1 3 s aralıklarında cismin ortalama a hızını bulunuz.

) 2 5 d ki h b lb ) 2.5 s anındaki hızını bulunuz.b t

ort(0-1)

4 2 0) 2 m/s

1 0a v

) ( ) 4 4 m/sdxb v t + t

dt

12 18 4 2 (2.5) 4 4(2.5) 6 m/sv + ort(1-3)

12 18 4 2 4 m/s

3 1v

( ) ( )

(3-14)DR. M


Ortalama İvme:t t l d ki t l it1 ve t2 anları arasındaki ortalama ivme:

22 1 /v v v 22 1ort

2 1

m/ sat t t

Anlık İvme:

Anlık ivme, ortalama ivmenin Δt→0durumundaki limitidir ve herhangi bir t anındahızın ne kadar hızlı değiştiğini gösterir

2

lim ;v dv dv d dx d xa a

hızın ne kadar hızlı değiştiğini gösterir.

20lim ;

ta a

t dt dt dt dt dt

B t d l k i i i hBu tanımdan anlık ivme, cismin hızının zamanagöre birinci türevidir. Yani, hız-zaman grafiğininherhangi bir andaki eğimidir.

(3-15)

g ğDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Sabit İvmeli Hareket :

0'da cismin hızı ve konumu olsunt v x 0 00 da cismin hızı ve konumu olsun.

( ) (E 1)v t t

t v x

dv d dt d dt dt t t

0

00 0

( ) (Eş-1)v

a dv adt dv adt a dt v t v atdt

x t tdxv dx vdt v at dt dx v dt a tdt 0

0 00 0

1x

v dx vdt v at dt dx v dt a tdtdt

20 0

1 ( ) (Eş-2)2

x t x v t at

2 20 0Bu iki eşitlikten yok edilirse: 2 (Eş-3) t v v a x x

(3-16)

DR. M


Konum ( ), hız ( ) ve ivmenin ( ) zamanla değişimleri :x t v t a t

Konum-zaman grafiği, düşeyi x x0’ da kesen birparaboldürparaboldür.

21t t 20 0 2

x x v t at

Hız-zaman grafiği, düşeyi v v0’ da kesen veeğimi ivmeye (a) eşit bir doğrudur.ğ y ( ) ş ğ

0v v at 0 v v at

Burada ivme (a) sabittir.

(3-17)DR. M


Sabit İvmeli Hareket Denklemleri :

01. v v at 0v v0

212 x x v t at

0v vat

0 02. 2

x x v t at

2 20 03. 2 ( )v v a x x

10 0

14. ( ) 2ortx x v t v v t

(3-18)DR. M


-ekseni boyunca ilerleyen bir sürücü, 10 s içinde hızını düzgünx t Örnek : y y ç golarak 10 m/s' den 30 m/s' ye çıkarıyor.

) Sürücünün ivmesini bulunuza ) Sürücünün ivmesini bulunuz.) Bu ivmelenme sürecinin ilk yarısında otomobil ne ka

ab dar yol alır?) Bu ivmelenme sürecinde otomobil ne kadar yol alır?c

2ort

30 10) 2 m/s10 0

a a

10 0

2 21 1) 10 (5) (2) (5) 75 mb x x x v t at ) 10 (5) (2) (5) 75 m2 2s i ib x x x v t at

1 1 2 21 1) 10 10 (2) (10) 200 m2 2s i ic x x x v t at

(3-19)DR. M


Durgun halden harekete başlayan bir cisminÖrnek : ivme-zaman grafiği yanda verilmiştir.

) 10 s ve 20 s anlarında cismin hızı nedir?a t t

) İlk 20 s içinde cisim ne kadar yol almıştır?b

220) 0 10 s 2 m/s 20 m/s

10-15 s aralığında 0 olduğundan hız sabittir ve 20 m/s' dir.a t a v v at v

a

215-20 s aralığında 3 m/s ve ilk hız 20 m/s' dir. ( ) ( ) /

a

2 2

2 2 (20) (0)) 0 10 s aralığında: 2 = =100 mb v v a x x x

0 20 ( 3) (5) 5 m/sv v at v

0 0 1) 0-10 s aralığında: 2 = =100 m2(2)

b v v a x x x

2 10-15 s aralığında: 0 ve 20 m/s =20 (5)=100 ma v x

2 2

2 20 0 3

(5) (20) 15-20 s aralığında: 2 = = 62.5 m2 ( 3)

v v a x x x

(3-20)

( )

1 2 3 262.5 mx x x x DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Serbest Düşme:Dünya yüzeyinin yakınlarında tüm cisimler büyüklüğü 9.8 m/s2 ve yönüdünyanın merkezine doğru olan bir ivmenin etkisinde hareket ederler.Serbest düşmede cisimlerin ivmesi sembolik olarak “g” ile gösterilir.

y-ekseni düşeyde ve yukarı yönde alınırsa,serbest düşmede cismin ivmesi a = g olur.

(Eş 1)v v gt 0

2

(Eş-1)1 (Eş-2)

v v gt

y y v t gt

0 0

2 20

(Eş-2)2

2 (Eş-3)

y y v t gt

v v g y y

0 2 (Eş 3)ov v g y y

(3-21)DR. M


2

50 m yüksekliğinde bir binanın tepesinden bir taş düşeyd ğ lt d k d ğ 20 / h l f l t l ( 10 / )Örnek :

2doğrultuda yukarı doğru 20 m/s hızla fırlatılıyor. ( 10 m / )) Taş maksimum yüksekliğe ne kadar zamanda çıkar?

g sa

) Bu nokta yerden ne kab dar yüksektedir?) Taş fırlatıldığı seviyeye ne kadar zamanda gelir? Bu noktada hızı ne olur?c) 5 s anında taşın hızı ve konumu nedir?d t

) M k i ük klikt i i h f d 2t t0) Maksimum yükseklikte cismin hızı sıfırdır: 2 sa v v gt t

2 20) 2 20 m 70 mb v v g y y y y h 0) 2 20 m 70 mo ob v v g y y y y h

20 0 0

1 1 2 (20)) 0 ( ) 0 4 sc y y v t gt t v gt t 0 0 0

0

) ( ) s2 2 10

20 10 (4) 20 m/s

y y g g

v v gt

0

2 2

) 20 10 (5) 30 m/s

900 400

d v v gt

v v

(3-22)

0 900 400 50 25 m 25 m2 (10) 20v vy y


DR. LEYLA YILDIRIM

2 Bir helikopterin yerden yüksekliği 3 ile veriliyor. Burada saniye ve metre cinsindendir. 2 s anında helikopterden bir paket

y tt y t

Örnek :y p p

serbest bırakılıyor. ) P k t k d d l (

y

210 / )?) Paket ne kadar zamanda yere ulaşır (a 210 m/ )?) Paket yere ulaştığı anda hızının büyüklüğü kaç m/s'dir?

g sb

) Paketin ivmesi için ne söyleyebilisriniz?c

) 6 k t b t b k ld ğ d ki h 12 /dy t 0

0

) 6 paket serbest bırakıldığı andaki hızı 12 m/s

ve yerden yüksekliği 12 m' dir.

ya v t vdt

y

2 20 0

1 12 3840 12 12 5 3.16 s2 10

y y v t gt t t t

0y y ğ y

) Paketin hızının zamana bağlı fonksiyonu: ( ) 12 12 10 3 16 19 6 m/s

b v t gtv

2 10

12 10 3.16 19.6 m/sv

2) Paketin ivmesi 10 m/ dir ve sabittirdvc a g s

(3-23)

) Paketin ivmesi 10 m/ dir ve sabittir.c a g sdtDR. M


Duran bir cismin konum-zaman, hız-zaman, ivme-zaman grafikleri:

x v a

t t t

Konum-zaman Hız-zaman İvme-zamano u a a Hız zaman

(3-24)DR. M


Sabit hızla hareket eden bir cismin konum-zaman, hız-zaman, ivme-zaman grafikleri:

x v a

t t t

Konum-zaman Hız-zaman İvme-zamano u a a Hız zaman İvme zaman

(3-25)DR. M


Sabit ivme ile hareket eden bir cismin konum-zaman, hız-zaman, ivme-zaman grafikleri:

x v a

t t t

İvme-zamanİvme zamanHız-zamanKonum-zaman

(3-26)DR. M


Ci i i i bit d ğil i i h ( ) k ( )t tİvmenin Sabit Olmadığı Durum :Cismin ivmesi sabit değilse, cismin hızını ( ) ve konumunu ( ) integrasyon yoluyla bulabiliriz.

v t x t

1 1 1 1

İntegrasyon analitik olarak veya grafik yaklaşımı ile yapılır. v t t td 1 1 1 1

0 0 0 0

1 0 1 0v t t t

dva dv adt dv adt v v adt v v adtdt

1

( ) grafiğinde eğri altında kalan alant

adt a t t 0t

1 1x tdxv dx vdt dx vdtdt

1

( ) grafiğinde eğri altında alant

vdt v t t

0 0

1 1

x t

t t

dt

x x vdt x x vdt

( ) grafiğinde eğri altında alanot

vdt v t t (3-27)

0 0

1 0 1 0t t

x x vdt x x vdt DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

( ) ( ) ve ( ) arasındaki ş :ili kix t v t a t ( ), ( ) ve ( ) arasındaki ş :ili kix t v t a t

)(taTürev

( )tvTürev

( )x t )(İntegral

( )İntegral

( )

d x ( ) dt

t t (t)d

dt xv 0 0

( ) dx t x t v(t)

a dv t

tta d)(0v(t)v

ta

d tta0

d)(0v(t)v(3-28)


DR. LEYLA YILDIRIM

BÖLÜM-4İki ve Üç Boyutta Hareket

Bu bölümde, tek boyut kısıtlaması olmadan, bir düzlemde ve uzaydacisimlerin hareketini incelemeye devam edeceğiz.

Düzlemde harekete örnek olarak “eğik atış” ve “düzgün daireselhareket” ayrıntılı bir şekilde incelenecektirhareket ayrıntılı bir şekilde incelenecektir.

Son olarak da, birbirlerine göre sabit hızla hareket eden referanssistemlerine göre bir cismin hareketi incelenecektir. (Bağıl hareket)

(4-1)

Konum Vektörü

Bir parçacığın konum vektörü , bulunduğu koordinat sistemininmerkezinden parçacığın bulunduğu noktaya çizilen vektördür.

r

p ğ ğ y

Şekilde P noktasında bulunan cismin konum vektörüÖrnek :

ˆ ˆ î j kr x y z

ˆ ˆ ˆ3i 2 j 5k (m)r

P

(4-2)

Yer-değiştirme Vektörü

1 2

2 1 1 2

konumundan konumuna hareket eden bir cismin yer-değiştirme vektörü, biçiminde tanımlanır. ve konum vektörleri bileşenleri cinsinden

r rr r r r r

1 1 1 1 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ î j k ve i jr x y z r x y z

k biçiminde ifade edilirse, yer-değiştirmevektörü de bileşenleri cinsinden

2 1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î j k i j k

olurr x x y y z z x y z

x x x

olur.

2 1x x x

2 1y y y

2 1z z z

(4-3)

Ortalama ve Anlık Hız

Bölüm 3’ de tanımlandığı gibi,

Yer-değiştirmeYer değiştirmeOrtalama Hız = biçiminde verilir.Zaman

ort

ˆ ˆ î j k ˆ ˆ î j kr x y z x y zvt t t t t

Anlık hız ise ortalama hızın 0t Anlık hız ise, ortalama hızın durumundaki limitidir.

0t

0limt

r drvt dt

0t t dt

(4-4)

nin sıfıra gitmesi durumunda:t '

2 1

1. vektörü vektörü üzerine doğru kayar ve 0 durumu gerçekleşir.r r r

ort2. vektörü (yani ), "1" noktasında yörüngeye çizilen teğet yönündedir.r vt

3. vort v

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î j k i j kd dx dy dzv x y zdt dt dt dt

ˆ ˆ î j kx y zv v v v

dx dy dz

Hız bileşenleri şu eşitliklerle verilir:

dr

(4-5)

; ; x y zdx dy dv v vdt dt dt

drvdt

Ortalama ve Anlık İvme

2 1ort

Hızdaki değişimOrtalama ivme Zaman

v v vat t

Anlık ivme ise, ortalama ivmenin 0 durumundaki limiti olarak tanımlanır :td

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim i j k i j k i j kyx zx y z x y zt

dvdv dvv dv da v v v a a at dt dt dt dt dt

Not: İvme vektörünün, hızdaki gibi, izlenilen yörüngeyle özel bir ilişkisi yoktur.

İvme bileşenleri şu eşitliklerle verilir:İvme bileşenleri şu eşitliklerle verilir:

dd dd ; ; yx zx y z

dvdv dvdva a a adt dt dt dt

(4-6)

0 0 Bir cisim, ilk hız bileşenleri 20 m/s ve 15 m/s olacakx yv v Örnek :

2

şekilde, 0 anında orijinden harekete başlıyor. -düzleminde hareketeden cismin ivme bileşenleri de 4 m/s ve 0 ' dır.x y

t xya a

) a Cismin herhangi bir andaki hızını bulunuz.) Cismin herhangi bir andaki konumu nedir?b

0 0) 20 4 m/s ; 15 m/sx x x y y ya v v a t t v v a t

ˆ ˆ 20 4 i 15j m/sv t

0 0

2 20 0

) 0 0:1( ) 20 22x x

b t x y

x t x v t a t t t

0 0

2

20 0

( )2 ˆ ˆ 20 2 i 15 j m

1( ) 152

x x

y y

r t t ty t y v t a t t

(4-7)

2

Eğik Atış

Bir cismin yer-çekimi kuvvetinin etkisi altında düşey düzlemdeki hareketi“eğikeğik atışatış” hareketi olarak adlandırılır.

0Cisim hareketine ilk hızıyla başlar. İlk hızın yatay ve düşey bileşenleri şu ifadelere sahiptir:

v

0 0 0 0 0 0cos ; sinx yv v v v

Eğik atış hareketi, x-ekseni ve y-ekseni boyunca ayrı ayrı incelenecektir. Buiki hareket birbirinden bağımsızdır. x-ekseni yönündeki hareketin ivmesiiki hareket birbirinden bağımsızdır. x ekseni yönündeki hareketin ivmesisıfır, y-ekseni yönündeki hareketin ivmesi ise aa gg’ dir.

(4-8)

0' dır ve -ekseni yönündeki hız değişmez. xa xYatay Hareket :

' dir e eksenindeki hareket serbest düşmedirDüşey Hareket :

0 0 0 0 0cos (Eş-1) ve cos (Eş-2)xv v x x v t

20 0 0 0 0

' dir ve -eksenindeki hareket serbest düşmedir.

1sin (Eş-3) ve

sin (Eş-4)2

y

y

a g y

v v gt y y v t gt

Düşey Hareket :

2

220 0 0Eş-3' ten bulunup Eş-4' te kullanılırsa; sin 2

bağıntısı elde ediliryt v v g y y

Bu eşitliklerdeki ve cismin hareketex y

bağıntısı elde edilir.

0 0Bu eşitliklerdeki ve , cismin hareketebaşladığı noktanın koordinatlarıdır.

x y

0 0

Çoğu problemde hareketin başladığı nokta orijin olarak alınır ( 0 ; 0).x y

(4-9)

Yörünge denklemi :

0 0 0 0cos ; cos xv v x v t (Eş -1) (Eş - 2)

20 0 0 0

1sin ; sin 2yv v gt y v t gt (Eş - 3) (Eş - 4)2

Eş-2' den çekilip Eş-4' te kullanılırsa,t

20 2

ş ç p ş ,

tan2 cos

gy x xv

0 02 cos

bulunur ve bu eşitlik cismin izlediği yörüngenin denklemidir.v

Yörünge denklemi formundadır ve bir parabolü tanımlar.2y = ax + bx

(4-10)

20 0sin 2: vR

g

Yatay Menzil ( )R

Cismin harekete başladığı nokta ile yere düştüğü nokta -eksenix

0üzerindeyse ( 0), cismin yatayda aldığı yol ( ) menzilolarak bilinir. Eş-4' ten

1

y y R

2 i1 20 0 0 0

1sin 0 sin2

v t gt t v

0 02 sin1 02

bulunur cismin uçuş süresidir ve Eş-2 [ cos ]' de

vgt tg

t x v t

0 0bulunur. , cismin uçuş süresidir ve Eş-2 [ cos ] de yerine konursa

t x v t

202 sin cos bulunurvR

20 2 0v sin θR =0 0sin cos bulunur. R

g R =

g

Ci i t l 45 ' lik k kild t l O A

R

t 0Cisim yatayla 45 ' lik açı yapacak şekilde atılırsa

maksimum menzile ulaşır.

20

maxvR =g

R

(4-11)

Maksimum Yükseklik (H):2 20 0sin

2vH

g

0 0sinyv v gt

2g

0 0

noktasında, 0 :

sin

y

yA v

v

0 00 0

sinsin 0 vv gt tg

( )H y t

2

2 0 0 0 00 0 0 0

sin sin1 1sin sin2 2

v vH v t gt v gg g

2 20 0

2 2

sin

g g

vH

2

Hg

(4-12)

Bir taş, yükseklği 45 m olan bir binanınÖrnek : o

0

tepesinden yatayla 30 açı yapacak şekilde20 m/s' lik ilk hızla fırlatılıyor.

) Taş ne kadar sürede yere düşer?v

) Taş, ne kadar sürede yere düşer?) Taş, atıldığı noktadan ne kadar u

ab zakta yere düşer?

) Taş, yere hangi hızla çarpar?c) Taş, yere hangi hızla çarpar?c

2 20 0

1) 5 20 sin(30) 45 0 4.22 s2ya y y v t gt t t t

20 0

1) 20 cos(30) 73 m 2x xb x x v t a t x t

0

0

) 20 cos(30) 17.3 m/s20 sin(30) (9.8) (4.22) 31.4 m/s

x xc v vv v gt

(4-13)

0 20 sin(30) (9.8) (4.22) 31.4 m/sˆ ˆ 17.3i 31.4 j m/s

y yv v gt

v

Bir kurtarma uçağı yerden 100 m yükseklikte, 40 m/s yatay hızla giderken,mahsur kalmış bir grubun bulunduğu noktaya yardım paketi ulaştırmak istiyorÖrnek : mahsur kalmış bir grubun bulunduğu noktaya yardım paketi ulaştırmak istiyor.

) Paketin grubun bulunduğu noktaya düşmesa i için geçen süre nedir? ) Hangi yatay uzaklıktan bırakılmalıdır?b) Paket hangi hızla yere çarpar? c

2 20 0

1 1) 100 (9.8)2 2ya y y v t gt t

4.52 st

21) 40 (4 52) 181 mb x x v t a t x v t

0) 40 m/sx xc v v

0 0 0) 40 (4.52) 181 m 2x x xb x x v t a t x v t

0

0

) (9.8) (4.52) 44.3 m/s

ˆ ˆ 40i 44.3j m/s

x x

y yv v gt

v

(4-14)

j

o

Bir kayakçı, şekildeki gibi 25 m/s' lik yatay bir hızla atlayış yapıyor ve rampanın alt ucuna düşüyor Rampanın eğim açısı 35 ' dirÖrnek :ve rampanın alt ucuna düşüyor. Rampanın eğim açısı 35 dir.

) Kayakçı ne kadar süre havada kalır?) Rampanın uzunluğ

ab u ( ) ne kadardır?d

2 21) 2 (3 ) 4 9 i (3 )d d

) Kayakçı rampaya hangi hızla çarpar? c

2 20

2

1) 25 cos(35) ; 4.9 sin(35)2

4.9 25 tan(35) tan(35) 3.57 s25 4 9

xa x v t t d y gt t d

t t

( )

25 4.9t

25 (3.57)) 25 (35) 109b d d 25 (3.57)) 25 cos(35) 109 m cos(35)

b t d d

0

0

) 25 m/s ; (9.8) (3.57) 35 m/s

ˆ ˆ

x x

y y

c v vv v gt

(4-15)

ˆ ˆ 25i 35j m/sv

Düzgün Dairesel Hareket:

Yarıçapı r olan çembersel bir yörüngede sabit vhızıyla hareket eden cisim “düzgündüzgün daireseldaireselharekethareket” yapıyor denir Yörüngenin herharekethareket yapıyor denir. Yörüngenin hernoktasında cismin hızının büyüklüğü aynı fakatyönü farklıdır.

Hızın değişmesi ivmeninivmenin sıfırsıfır olmadığıolmadığı anlamınaanlamına gelirgelir..

Dü ü d i l h k tt i ö llikl i tDüzgün dairesel harekette ivme şu özellikleri taşır:

1. Çember üzerindeki her noktada çemberin merkezi olan C noktasınadoğrudur ve bu nedenle “merkezcilmerkezcil ivmeivme” olarak adlandırılırdoğrudur ve bu nedenle merkezcilmerkezcil ivmeivme olarak adlandırılır.

2var

2. Büyüklüğü bağıntısı ile verilir.

Cisim bir tam turunu bir periyotluk sürede (T) alır ve

r

ile ifade edilir.2 rTv

(4-16)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î j sin i cos j x yv v v v v

noktasında konum, hız ve ivme :P sin , cos

ˆ ˆ ˆ î j i j

P P

P P P P

y r x r

y x dy dxdv v v

2 2 22 2

i j ; = i j

ˆ ˆ

P P P Py yv v v ar r dt r dt r dt

v v v

2 2

2

cos i sin j ;

/

x yv v va a a ar r r

v

sinr

(4-17)

/tan y

x

vaa

2

sintan ivme, C' ye doğrudur.

/ cos

r

v r

Bir taş, 0.5 m uzunluğundaki bir ipin ucuna asılmışÖrnek :

o

ve şekildeki gibi düşey düzlemde çembersel bir yörüngeüzerinde salınım yapmaktadır. İp, düşey eksenle 20 ' lik açıyaptığında, taşın hızı 1.5 m/s' dir.

) Tam bu anda, radyal ve teğetsel yönlerdeki ivme nedir?a) Tam bu anda, net ivmenin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz?b

2 22

2

(1.5)) 4.50 m/s0.5r

va ar

2 sin( ) 9.8 sin(20) 3.35 m/sta g

2 2 2 2 22 2 2 2 2

1 o

) (4.50) (3.35) 5.61 m/s3.35 tan ( ) 36.7 (ivmenin ip doğrultusu ile yaptığı açı) 4 50

r tb a a a

(4-18)

4.50

BirBir BoyuttaBoyutta BağılBağıl HareketHareket::

Bir P cisminin birbirine göre hareketli A ve B gözlem çerçevelerine göreBir P cisminin, birbirine göre hareketli A ve B gözlem çerçevelerine göreölçülen hızları birbirinden farklıdır. B gözlemcisinin durgun olan Agözlemcisine göre sabit bir vBA hızı ile hareket ettiğini varsayalım. Herhangibir anda A ve B gözlemcileri, sırasıyla, P cisminin konumunu xPA ve xPBolarak ölçsünler. xBA’de B gözlemcisinin A gözlemcisine göre konumu olsun.

PA PB BA PA PB BAPA PB BAd d ddt dt dt

x x v vxx x x vdt dt dt

0BAd

v 0BAPA PBdt

a a

N tN t A B ö l il i PNot:Not: A ve B gözlemcileri Pcisminin hızını farklı ölçerler fakat ivmesini aynı ölçerler.

(4-19)

İki Boyutta Bağıl Hareket :

gözlemcisinin gözlemcisine göre -düzleminde sabit bir hızı ileh k t ttiği i l H h i bi d ö l il i

BAB A xy vA B Phareket ettiğini varsayalım. Herhangi bir anda, ve gözlemcileri

cisminin konum vektörünü, sırasıA B P

yla, ve olarak ölçsünler. ise PA PB BAr r r B

gözlemcisinin gözlemcisine göre konum vektörü olsun.A

PA PB BA PA PB BPA B APB Ar r r vd d dr r r v v

PA PB BA PA PB BPA B APB Ar r r vr r rdt

v vdt dt

0BAPA PB

dv a a

0 PA PBdta a

(4-20)

Genişliği 3 km olan ve doğu yönünde 5 km/sa düzgünhızla akan bir nehirde, kayıkçı rotasını tam olarak kuzeyeÖrnek :hızla akan bir nehirde, kayıkçı rotasını tam olarak kuzeyeyönlendirmiş ve suya göre 10 km/sa hızla ilerlemektedir.

) Karadaki bir gözlemciye ga öre, kayıkçının hızını bulunuz.) d b gö e c ye gö e, y ç bu u u .) Kayıkçı ne kadar sürede karşı kıyıya ulaşır?) Tam karşıdaki bir noktaya ulaşması için rotası ne olmalıdır?

bc

ˆ ˆ) 10 5 km/saKY KN NYa v v v N E

) ş y ş ç

2 2 1 oKY

5 = 10 5 11.2 km/sa ; tan 26.610

v

KN3) 0.3 sa 18 dk

10b d v t t

2 2 2 2KY KN NY KY) = + = 10 5 8.66 km/sa

5KN NYc v v v v v v

(4-21)

1 o5 tan 30.28.66

PRATİK: PRATİK: Hızların başlangıç noktalarını vbakanş g çbirleştir, bakandan bakılana vektör çiz. Çizdiğin bu vektör bağıl vektördür.

vbakılanvbağıl

Örnek: Şekilde, bir dörtyol kavşağına aynı v hızı ile l kt l K L M N l ö ül kt digelmekte olan K, L, M ve N araçları görülmektedir.

a) K’ dan bakan L’ yi nasıl görür?

v

LvK

vK

vv M

v

L 2LKv v

N b ) M’ den bakan K’ yı nasıl görür?vM

vK

2vKM=2v

(4-22)

Örnek: Doğuya doğru v hızıyla gitmekteğ y ğ y golan bir aracın içindeki yolcu yere düşenyağmur damlasını güneye v hızıylagidiyormuş gibi görüyor Buna göre v

vyağmur-yer=?

gidiyormuş gibi görüyor. Buna göreyağmur damlasının yere göre hızı nedir?

varaç-yer

vbakan

vbakılan vbağıl

varaç-yer= v

vyağmur-yer vyağmur araç= vvyağmur-yer= 2v

vbakılan bağıl yağmur yer yağmur-araç

ˆ ˆ

2 2 1 o

ˆ ˆ= + j i

= 2 ; tan 45

DY DA AY DY

DY

v v v v v vvv v v vv

x

y

v x

(4-23)

Örnek: Doğuya doğru gitmekte olan X aracındaki gözlemci Y aracınıdoğuya doğru, Z aracını batıya doğru gidiyormuş gibi görüyor. Buna göre,Y ve Z araçlarının hareketleri hakkında neler söylenebilir?

Y kesinlikle doğuya doğru gidiyor ve hızı X’in hızından büyüktür.

Buna göre, g ,

1) Z, X’ in hızından daha düşük bir hızla doğuya gidiyor olabilir.

2) Z durgun olabilir.

3) Z batıya doğru gidiyor olabilir3) Z batıya doğru gidiyor olabilir.

(4-24)

Nehir Problemleri:Nehir Problemleri:

1- Suya göre hız: Su durgun iken yüzücünün veya kayığın sahip ld ğ h dolduğu hızdır.

2- Kayığa göre hız: Kayık durgun iken kayığın içindeki y ğ g y g y ğ çhareketlinin hızıdır.

3 Y ö h S ö h il k t h ktö l3- Yere göre hız: Suya göre hız ile akıntı hızının vektörel bileşkesi olan hız. Yani yerde duran bir gözlemciye göre hızdır.

NOT: Nehir problemlerinde yere göre hız ile işlem yapılır.

(4-25)

Örnek: Akıntı hızının 5 m/s olduğu bir hi d bi k k K k d Lnehirde, bir kayık K noktasından L

noktasına, suya göre sabit hızla 10 s’de gidiyor ve 20 s’de geri dönüyor. Buna vkayık

vsu=5 m/s

g y g ygöre K-L uzaklığı kaç cm’dir? K L

KL=LK ( 5) 10 ( 5) 20kayık kayıkv v

15 m/s

KL ( 5) 10 (15 5) 10 200 mkayık

kayık

v

v

(4-26)

İki Boyutta Nehir Problemleri:M L

vkayık-yer

vsu

vkayık-su

K

N t 1 H h k di l lNot 1: Her hız kendi yolunu alır.

Not 2: Kayık karşı kıyıya her zaman yere göre hızı doğrultusunda çıkar.

KL=(vkayık-su) t

LM=(vsu) t

KM=(vk k ) tKM (vkayık-yer) t

(4-27)

BÖLÜM-5Kuvvet ve Hareket I

Şu ana kadar hareketli bir cismin konum hız ve ivmesini tanımladıkŞu ana kadar hareketli bir cismin konum, hız ve ivmesini tanımladık.Cismin Hareketine neyin sebep olduğuyla ilgilenmedik.Bu ve sonraki bölümde ise, klasik mekaniğin temeli olan ve geniş birBu ve sonraki bölümde ise, klasik mekaniğin temeli olan ve geniş biraralıkta pek çok fiziksel olguyu açıklayan Newton yasalarını öğreneceğiz.

Ö ği ld l i h k tl i N t lÖrneğin, yıldız ve gezegenlerin hareketleri Newton yasalarına uyar.Ancak, aşağıdaki iki koşulda bu yasaların geçersiz olduğunu akıldatutmak gerekir

1. Cisimlerin hızlarının ışık hızına çok yakın olduğu durumlarda (% 99

tutmak gerekir.

ş ç y ğ (veya üzeri). O zaman Einstein’ in özel görelilik teorisini (1905)kullanmamız gerekecek.

2. İncelenen cismin boyutlarının çok küçük olduğu durumlarda(elektron proton nötron veya atom) O zaman da Kuantum

(5-1)

(elektron, proton, nötron veya atom). O zaman da, Kuantummekaniğini (1926) kullanmamız gerekecek.DR. M


Newton’un Birinci Yasası = Eylemsizlik YasasıNewton’ dan önce, bir cismin sabit bir hızla hareket etmesi için bir kuvvetinetkimesi gerektiği düşünülüyordu. Bir cismin durgun olması onun “doğaldurumu” olarak biliniyordu. Ancak bu hata, “sürtünme” nin de bir kuvvetolduğunun anlaşılmasından önceydi.

Örneğin, bir cisim pürüzlü yatay bir düzlemde v0 ilk hızıyla hareketebaşlarsa bir süre sonra duracaktır.ş

Diğer yandan, aynı cisim aynı ilk hızla daha pürüzsüz bir yüzeydeharekete başlarsa çok daha sonra duracaktırharekete başlarsa çok daha sonra duracaktır.

Newton bu fikri ay ve gezegenlerin hareketlerine uyguladı. Uzaydasürtünme olmadığı için doğruluğu kesin olan “Newton’ un birincisürtünme olmadığı için, doğruluğu kesin olan “Newton’ un birinciyasası” ortaya çıkmış oldu. Buna göre,

Bir cisme net bir kuvvet etkimiyorsa, cisim durumunu korur.Durgunsa durmaya, hareketliyse aynı hızla düzgün doğrusal

(5-2)hareketine devam eder.DR. M


K t i i ki k bKuvvet: Bir cisme etkiyen kuvvet, sebepolduğu ivmenin ölçülmesi ile belirlenebilir.

Sürtünmesiz bir yüzey üzerine kütlesi m = 1 kg olan bir cisim koyalımve uygulanan bir F kuvvetinin oluşturduğu a ivmesini ölçelim.

Kuvvet, cismin ivmesi a = 1 m/s2 olacak şekilde ayarlanırsa,uygulanan kuvvet, F = 1 newton (N)’ dur denir.

(5-3)DR. M


FF

a0

m0Kütle: Cisme özgü bir sabittir ve cisimdekimadde miktarının bir ölçüsüdür. Bir cismin

FmX

kütlesi, cisme etki eden F kuvveti ile bu kuvvetinsebep olduğu a ivmesini birbirine bağlayan cismeö ü bi i liktiaX

X özgü bir niceliktir.

Kütl i 1 k l bi i F 1 N k t l lKütlesi m0 = 1 kg olan bir cisme F = 1 N kuvvet uygulayalım.Bu kuvvet cisme a0 = 1 m/s2 ivmesini kazandırır.

Aynı kuvveti, kütlesi mX olan bir cisme uyguladığımızda cisme kazandıracağı ivme de aX olsun. Bu durumda,

0 00

0

XX

X X

a am m mm a a

0 X X

bulunur. Böylece, aX ivmesi ölçülerek herhangi bir cismin mX kütlesibelirlenebilir.

(5-4)DR. M


Newton’un İkinci YasasıBir cisme etki eden net kuvvet (Fnet), bu kuvvetin cisme kazandırdığı ivme(a) ve cismin kütlesi (m) arasındaki ilişki “Newton’un ikinci yasası”olarak adlandırılır ve şöyle tanımlanır:

Bir cisme etkiyen net kuvvet ile cisme kazandırdığı ivmeFnet

m

y ğdoğru orantılıdır ve orantı sabiti de o cismin kütlesineeşittir.

anetF ma

Cisme , ve gibi çok sayıda

kuvvet etkiyorsa, net kuvvet A B CF F FNot :

bunların vektörel toplamıdır ve

ile verilirA B CF F F F

Üç boyutlu uzayda (xyz-koordinat sistemi) bileşenleri cinsinden Newton’ un

net ile verilir.A B CF F F F

ikinci yasası:net, net, net, ; ; x x y y z zF ma F ma F ma

(5-5)DR. M


Mekanik Problemlerinde Çok Sıklıkla Karşılaşacağımız Kuvvetlerve Bunların Özellikleri:ve Bunların Özellikleri:

Yer-çekimi Kuvveti: Bir cisme Dünya tarafındanç yuygulanan kuvvettir. Dünyanın merkezine doğrudur veNewton’ un ikinci yasasına göre şöyle verilir.

j g gF ma mg F mg

Newton’un evrensel kütle çekim yasasınınmekanizması; bir nokta kütle (m1) diğer bir noktakütleyi (m2), iki kütlenin çarpımı ile doğru,aralarındaki (r) uzaklığının karesi ile ters orantılıaralarındaki (r) uzaklığının karesi ile ters orantılıolacak büyüklükteki bir F kuvveti ile çeker.

Kütl l d b kütl l i l d kiKütlelerden ve bu kütlelerin aralarındakiuzaklıktan bağımsız olarak |F1| ve |F2|kuvvetlerinin büyüklükleri her zaman birbirine

G, kütle çekim sabitidir.

(5-6)

yeşittir.DR. M


AğAğırlık: Bir cismin ağırlığı, cismin serbest düşmesiniengelleyecek kuvvetin büyüklüğü olarak tanımlanır.

yg W

mg

net 0y yF ma W mg W mg net, y y g g

Not: Ağırlık ve kütle farklı niceliklerdir. Yer-çekimininfarklı olduğu yerlerde (örneğin ayda, gm = 1.7 m/s2),kütle değişmezken ağırlık değişir.

(5-7)DR. M


Değme Kuvveti: İsminden de anlaşılacağı gibi, bu kuvvetler birbirleriyletemas halindeki yüzeyler arasında oluşur. İki tür temas kuvveti vardır.y y şBirincisi temas yüzeyine dik yöndeki “normal kuvvet”, ikincisi de temasyüzeyine paralel olan “sürtünme kuvveti” dir.

Normal Kuvvet: Bir cisim bulunduğu yüzeye bir baskı uygularsa yüzeyNormal Kuvvet: Bir cisim bulunduğu yüzeye bir baskı uygularsa, yüzeydeforme olur ve cisme, temas yüzeyine dik yönde, ismine “normal kuvvet”diyeceğimiz bir kuvvet uygular. Bir masa üzerinde duran kütlesi m olan biry ğ ygblok düşünelim.

t 0N NF ma F mg F mg

bulunur. net , 0y y N NF ma F mg F mg

(5-8)DR. M


Sürtünme kuvveti: Bir cismi bulunduğu yüzeyüzerinde harekete zorlarsak bir dirençle karşılaşırız.ü e de e e e o s b d e ç e ş ş .Bu direnç “sürtünme” olarak bilinir ve kaymaeğilimine ters yöndedir.

(5-9)DR. M


G il i i b l l i l bi k iGerilme: Bir cisme bağlı olan ipte oluşan bir kuvvettir ve şu özelliklere sahiptir:

1. Her zaman ip boyunca yönelir.2. Her zaman cismi çekecek yöndedir.2. Her zaman cismi çekecek yöndedir. 3. İp üzerinde A ve B noktalarında aynı büyüklüktedir.

Şu kabullenmeler yapılacaktır:

a. İpin kütlesi, bağlı oldukları cisimlerin kütlesine ö k kü ük ügöre çok küçüktür.

b İp uzamasızdırb. İp uzamasızdır.

c. Makara kullanılması durumunda, makara

(5-10)

c. a a a u a as du u u da, a a asürtünmesizdir ve kütlesi ihmal edilebilir.DR. M


Newton yasalarını uygularken takip edilecek yol:1. İncelenecek sistemin basit bir şeklini çizin.

2. Probleme uygun bir koordinat sistemi seçin.

3 Sistemdeki tüm kuvvetleri belirleyin ve serbest cisim3. Sistemdeki tüm kuvvetleri belirleyin ve serbest-cisim diyagramı üzerinde gösterin.

4. Newton yasalarını sisteme uygulayın.

(5-11)DR. M


Kütlesi 0.3 kg olan bir hokey diski sürtünmesiz bir yüzey üzerindek kt d Di k kild ki ibi F 5 N F 8 N' l k iki k tÖrnek :

1 2kaymaktadır. Diske, şekildeki gibi F 5 N ve F 8 N' luk iki kuvvetetkimektedir.

= =

) Diskin ivmesinin büyüklüğünü ve yönünü bula unuz.) Diskin ivmesini sıfır yapacak üçüncü kuvvet ne olmalıdır?b

25 cos(20) 8 cos(60)) 29 m/s0 3

xx

Fa a

m

2

0.35 sin(20) 8 sin(60) 17.4 m/s

0.3y

y

mF

am

2 22 2 2 29 17.4 33.8 m/s

17 4x ya a a

ˆ ˆ) i j 0 0 (20) 8 (60) 8b

1 o17.4 tan ( ) 3129

) i j 0 0 5 cos(20) 8 cos(60) 8.7 N

0 5 cos(20) 8 cos(60) 5.2 Nx y x 1x 2x 3x 3x

y 1y 2y 3y 3y

b a a +a F F F F F

F F F F F

3 3xF F ˆ ˆ ˆ î j 8.7i 5.2j N3y+F

(5-12)DR. M


Ağırlığı 125 N olan trafik ışıkları şekildeki gibiÖrnek :

o o

iplerle asılı durmaktadır. Üstteki kabloların yataylayaptıkları açılar 37 ve 53 olduğuna göre, her üç teldekiy p ç ğ g çgerilme kuvvetlerini hesaplayınız

1 2

. Hangi durumda olur? T T1 2

3 gSistem dengede olduğuna göre, T F 125 N bulunur.

1 2

1 2 3

cos(37) cos(53) 0 (Eş-1)

sin(37) sin(53) T 0 (Eş-2)x

y

F T T

F T T

1 2 2cos(53) 0.8Eş-1' den: = bulunurcos(37) 0 6

.T T T cos(37) 0.6

1 1 10.6Bunu Eş-2' de yerine koyarsak: (0.6) 125 0 75.1 N0 8

T T T

2 1

0.80.6 99.9 N bulunur.0 8

T T

(5-13)1 2

0.8Eş-1' e göre, iplerin yatayla yaptıkları açılar aynı olsaydı, olurdu. T TDR. M


Kütlesi olan bir sandık, eğim açısı olan m Örnek :sürtünmesiz eğik bir düzlem üzerinden serbest bırakılıyor.

) Sandığın ivmesini bulunuz.a) Sandığın ivmesini bulunuz.) Sandık eğik düzlemin tabanına ne kadar sürede

l

ab

b d h l ? ulaşır ve bu anda hızı ne olur?

) sin = sinx x xa F mg ma a g cos 0yF N mg

21 2) bulunurdb x x a t t 0) bulunur.2 sin

Δ 2 sin olur

x

2 2

b x x a t tg

v v + 2a x v g d

.Δ 2 sin olurs i x s v v + 2a x v g d

(5-14)DR. M


Newton’un Üçüncü Yasası: Etki-Tepki Yasası

İki cisim arasındaki etkileşme kuvvetlerinin büyüklükleri aynı, doğrultularıters yöndedir.

Şekildeki gibi bloğuna yaslanmış bir cismi düşünelim. C B

bloğunun cismine uyguladığı kuvveti , benzer şekilde

cisminin bloğuna uyguladığı kuvveti de ile gösterelim. BC

CB

C B F

B C F

Newton' un üçüncü yasası gereği, olur.BC CBF F

ç y g ğ , BC CB

İkinci bir örnek ise yandaki şekilde verilmiştir. Newton' un üçüncü yasası gereği,

olur. CE ECF F

CE EC

(5-15)DR. M


Newton Yasalarının Uygulanması/Serbest-Cisim Diyagramları:

Newton yasalarını uygulayarak mekanik problemlerinin çözümüserbest-cisim diyagramını çizmekle başlar.

Bu, incelenen sistem bir bütün olarak veya her cisim için ayrı ayrı yapılır.

Daha sonra her cisim için uygun bir koordinat sistemi seçilirDaha sonra her cisim için uygun bir koordinat sistemi seçilir.

Aşağıda verilen örneği gözönüne alalım. Sürtünmesiz bir sistem

dış ve gibi iki blok ve bloğuna etkiyen bir kuvveti içermektedir.A B A F

Şöyle "sistem" ler düşünebiliriz:

Si t bl k + bl k Y t k tA B F

dış

dış

. Sistem = blok + block . Yatay kuvvet .

. System = blok . Cisme etkiyen iki yatay kuvvet vardır: ve . AB

a A B F

b A F F

(5-16)

ş

. System = blok . Cisme etkiyen yatayc B kuvvet . BAFDR. M


Kütleleri ve olan iki blok yatay sürtünmesiz bir 1 2m mÖrnek :düzlemde temas halindedir. kütlesine sabit bir kuvveti uygulanıyor.1m F

) Blok sisteminin ivmesini bulunuz.) Bloklar arasındaki temas

ab

kuvvetini bulunuz) Bloklar arasındaki temas b kuvvetini bulunuz.

1 21 2

) ( ) ( ) x x xFa F sistem F m m a a

m m

2

2

) bloğu için Newton' un ikinci yasasından:b mm

221 2 21 12

1 2

bulunur.x xmF F m a F F F

m m

(5-17)


DR. LEYLA YILDIRIM

Bir kişi elindeki kütleli balığı asansörüniçinde ta ana asılı a lı bir tera i ile tartmak isti or

mÖrnek :içinde tavana asılı yaylı bir terazi ile tartmak istiyor.Asansör ister yukarı ister aşağı doğru ivmelensin,balığın gerçek kütlesinden daha farklı bir değer ölçer.İspatlayınızİspatlayınız.

Asansör yukarı doğru ivmelensin: ( )yF T mg ma T m g a

d i l iAsansör aşağı doğru ivmelensin: ( )yF T mg ma T m g a yAsansör sabit hızla hareket etsin: 0 yF T mg T mg Görüldüğü gibi, ivmeli hareket durumunda balığın ağırlığı ( ),gerçek ağırlığından farklı ölçülür.

T

(5-18)DR. M


Kütleleri farklı iki cisim, ağırlığı ihmal edilebilirÖrnek : sürtünmesiz bir makara üzerinden bir iple şekildeki gibiasılmıştır. Bu sisteme " " diyoruz. SistemAtwood düzeneğiserbest bırakıldığında, kütlelerin ivmesi ve ipteki gerilmekuvveti ne olur?

2 1 olduğunu kabul edelim:ve için Newton' un ikinci yasası sırasıyla:

m mm m

1 2

1 1

ve için Newton un ikinci yasası, sırasıyla: (Eş-1) y

m mF T m g m a

2 2 (Eş-2)yF T m g m a Bu iki denklemden ' yi yok edersek ivmeT

2 1

Bu iki denklemden yi yok edersek ivme,

bulunur.

T

m ma g

Bunu da Eş-1' de yerine koyarsak,2 1

gm m

2 1 1 22 b lm m m m

ş y y ,

(5-19) 2 1 1 2

1 12 1 2 1

21 bulunur.m m m mT m a g m g gm m m m


DR. LEYLA YILDIRIM

1 2 Kütleleri ve olan iki blok, sürtünmesiz veağırlıksız bir makara üzerinden ağırlıksız bir iple birbirine

m mÖrnek :

2

ağırlıksız bir makara üzerinden ağırlıksız bir iple birbirinebağlıdır. bloğu, eğim açısı olan sürtünmesiz eğikdüzlem üzerindedir Sistem ser

m best bırakıldığınd bloğumdüzlem üzerindedir. Sistem ser 2best bırakıldığınd bloğu

eğik düzlemden aşağıya doğru kaydığına göre, hareketinivmesini ve ipte oluşan gerilme kuvvetini bulunuz

m

ivmesini ve ipte oluşan gerilme kuvvetini bulunuz.

1 2 ve için Newton' un ikinci yasası, sırasıyla:m m1 2

1 1 (Eş-1)

sin (Eş-2)yF T m g m a

F m g T m a

' 2 2

' 2

sin (Eş-2)

cos 0 (Eş-3)x

y

F m g T m a

F N m g

2 1

Eş-1 ve Eş-2 denklemlerinden ' yi yok edersek ivme,

sin bulunur

T

m ma g

2 1

bulunur. a gm m

1 22 1 sinB d E 1' d i k k b l

m mT

(5-20)

1 2

2 1

Bunu da Eş-1' de yerine koyarsak, bulunur.T gm m

DR. M


BÖLÜM-6BÖLÜM-6Kuvvet ve Hareket-II

B bölü k d ki t l l ö l l bili iBu bölüm kapsamındaki temel amaçlarımızı şöyle sıralayabiliriz:

İki i i d ki ü tü k ti i t l k• İki cisim arasındaki sürtünme kuvvetini tanımlamak.

• St tik ki tik ü tü k tl i i l k b l• Statik ve kinetik sürtünme kuvvetlerini anlamak ve bunlarınözelliklerini öğrenmek.

• Statik ve kinetik sürtünme katsayılarını tanımlamak.

• Merkezcil kuvvet açısından düzgün dairesel harekete tekrarbakmak

(6-1)

bakmak. DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Yatay zeminde duran bir sandık düşünelim.S d ğ l d ğ t bi k tl k li S d k

Sürtünme:Sandığı sola doğru artan bir kuvvetle çekelim. Sandıkhareket etmediği sürece, temas yüzeyinde, uyguladığımız

kuvvetini dengeleyen bir kuvve it sF f

oluşur. Bu kuvvet

olarak tanımlanır. "statik sürtünme kuvveti" Uygulanan kuvveti arttıkça, kuvveti de a r.artsF f

Uygulanan kuvveti belli bir eşik değere ulaştığında, hareket başlar ve sandık sola doğru ivmelenir Sandık harekete

Fhareket başlar ve sandık sola doğru ivmelenir. Sandık hareketebaşladıktan sonra, sandıkla zemin

"

a

ki tik ü tü k ti

rasındaki kuvvet artık

di il ö t ili" ( )f f f

"kinetik sürtünme kuvveti dir ve ile gösterilir " ( ). k k sf f f

Sandığın sabit bir hızla harekete devam etmesini istiyorsak, uyguladığımız kuvvetini ' yı dengeleyecek şekilde kF f

(6-2)düşürmemiz gerekecektir.DR. M


Sürtünmenin Kuvvetinin Özellikleri :

Temas eden iki yüzey birbirlerine göre hareketli değillerse statikÖzellik -1: Temas eden iki yüzey birbirlerine göre hareketli değillerse, statik

sürtünme kuvveti , uygulanan kuvvetini dengeler. sf F

Özellik 1:

Statik sürtünme kuvveti ' nin büyüklüğü sabit değildir. sfÖzellik - 2 :

,max 0' dan değerine kadar değişir. Burada,

statik sürtünme katsayısıdı .rs

s s Nf F

,max Uygulanan kuvveti, kuvvetini aştığı anda sandık harekete başlar.

sF f

Sandık harekete başladıktan sonra, sürtünme kuvveti artıkÖzellik - 3 :

ş

Sandık harekete başladıktan sonra, sürtünme kuvveti artık

"kinetik sürtünme kuvveti" ' dır ve büyüklüğü i liği il ili B d

kk k Nf Ff

Özellik 3 :

ki ik ü ü k d

(6-3)

eşitliği ile verilir. Bu rada k kinetik sürtünme katsayısıdır.DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

f F,maxs s Nf F

0 f F0 s s Nf F

k k Nf F

Statik ve kinetik sürtünme kuvvetleri temas yüzeyine paraleldir.Kinetik sürtünme kuvveti harekete ters yöndedir

Not -1 : Kinetik sürtünme kuvveti harekete ters yöndedir. Statik sürtünme kuvveti kayma eğiliminin tersi yönündedir.

Kinetik sürtünme katsayısı , hareket eden cismin hızına bağlı değildir.Not - 2: k

(6-4)DR. M


kütleli bir blok sürtünmeli eğik bir düzlem üzerindedir. mÖrnek :Eğim açısı , blok hareket edinceye kadar artırılabiliyor. Bloğun kaymaya başladığı kritik açı olduğuna göre,k

Bloğun kaymaya başladığı kritik açı olduğuna göre,

zeminle blok arasındak

ki statik sürtünme katsayısı nedir? s

Kritik durumda (kayma başlamadan hemen önce):

sin 0x s xF mg f ma cos 0y yF N mg ma N sin sin tan

cossNf mg N

(6-5) tan tans,max k s s kf N N DR. M


Donmuş bir gölet üzerinde, bir buz hokeyiÖrne k :diskine 20 m/s' lik bir ilk hız veriliyor. Disk, buzüzerinde 115 m yol aldıktan sonra durduğuna göre,zeminle hokey diski arasındaki kinetik sürtünmekaysayısı nedir?kkaysayısı nedir? k

0 y yF N mg ma N mg

x k xF f ma k k k x kf N mg a g

222 2 20 402

2(115) 23s i x xv v a x a

(6-6)

( )(9.8) 0.177x k k ka g DR. M


Pürüzlü bir yüzey üzerindeki kütleli blok,hafif bir iple sürtünmesi e kütlesi ihmal edilebilir bir

1mÖrnek :hafif bir iple sürtünmesiz ve kütlesi ihmal edilebilir birmakara üzerinden kütleli küresel cisme bağlanmıştır.2m

bloğuna şekildeki gibi yatayla 1m açısı yapan bir kuvveti uygulanıyor. Blok ile zemin arasındaki kinetik

F

sürtünme katsayısı ise, sistemin ivmesini bulunuz.k

1 1 bloğu: cos (1)x km F F T f m a 1 1 sin 0 sinyF N F m g N m g F

if N F

bloğu:m F T m g m a

1 sink k kf N m g F

2 2 2 bloğu: ym F T m g m a 2 1(cos sin ) ( )B if d l i (1) d kl i d i k k k kF g m m

(6-7)

2 1

2 1

( ) ( )Bu ifadeleri (1) denkleminde yerine koyarsak, ( )

k kgam m


DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi 40 kg olan bir kalas sürtünmesiz yatayÖrnek :düzlemde, üzerinde 10 kg' lık blok ile birlikte hareketsizdurmaktadır. Blok ile kalas arasındaki statik ve kinetiksürtünme katsayıları sırasıyla 0.6 ve 0.4' tür. Bloğa 100

N' luk bir kuvveti şekildeki gibi uygulanmaktadır. Bloğun ve kalasınF

ş g yg ğivmelerini bulunuz.

Eğer iki kütle arasındaki sürtünme kuvvetinin maksimum değeri 100 N’ dan küçük ise m2 bloğu kalas üzerinde sola doğru hareket edecektir.ç 2 ğ ğ

max 2' 0.6(10)(9.8) 58.8 Ns s sf N m g ,max 2

,max

( )( ) olduğuna göre, iki kütle arasındaki sürtünme

k ti ki tikti

s s s

s

f gF f

kuvveti kinetiktir.

(6-8)DR. M


Şimdi herbir kütlenin serbest cisim diyagramını çizerek h k tl i i i l lihareketlerini inceleyelim:

2' 10 9.8 98N m g N 2

' 0.4 9.8 39.2k k

gf N N

11 1

39 2 kalası: km a fm

21

39.2 0.98 /40

a m s

22 2

2100 39.2 60.8 6 08 /

bloğu: km a F fm

22 6.08 /

10 10 a m s

(6-9)DR. M


Düzgün Dairesel Hareket, Merkezcil Kuvvet:

Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin herhangibir andaki ivmesinin büyüklüğü

a = v2/r

di d i i k i d ğ ddir ve dairenin merkezine doğrudur.

Newton’ nun ikinci yasasına göre cisme etki eden kuvvet

2mv

Newton nun ikinci yasasına göre cisme etki eden kuvvetde dairenin merkezine doğrudur ve büyüklüğü

mvFr

ifadesi ile verilir. Bu kuvvete “merkezcil kuvvet” diyoruz.

Merkezcil kuvvet yeni bir kuvvet değildir C noktası etrafındaMerkezcil kuvvet yeni bir kuvvet değildir, C noktası etrafındadönen cisme etkiyen net kuvvettir.

D ö k il k b ü ü b l

(6-10)

Duruma göre merkezcil kuvvet bazen sürtünme, bazen normal,bazen de yer-çekimi kuvveti olabilir.


DR. LEYLA YILDIRIM

Örnek: Kütlesi m olan bir yarış arabası düz (yatay) bir yolda R yarıçaplıbir virajı v hızıyla dönmek istiyor Araba ile yol arasındaki sürtünmebir virajı v hızıyla dönmek istiyor. Araba ile yol arasındaki sürtünmekuvvetini belirleyiniz.

Arabanın serbest-cisim diyagramı çizilirse, virajın merkezine doğruy g ç , j ğolan net kuvvetin statik sürtünme kuvveti fs olduğu görülür.Dolayısıyla, statik sürtünme kuvveti fs merkezcildir. Arabanın virajdansavrulmadan dönmesini sağlar.

2mvF f,net r sF fR

(6-11)


DR. LEYLA YILDIRIM

T b l k l ( ü tü i ) 50 Eğimli viÖr raj :nek :

Tamamen buzla kaplı (sürtünmesiz), 50 myarıçaplı bir viraji 13.4 m/s hızla geçmek için, yolun eğim açısı kaç derece olmalıdır?

Araba

2

sin (1 )rm vF N

R ( )

cos 0 cos (2 )

r

y

RF N m g N m g

2 2o

(1 ) ve (2 ) denk lem lerinden ' yi yok edersek ,(13 .4 )tan 0 3664 20 1

Nv tan 0 .3664 20 .1

(9 .8)(50)bu lunur.

gR

(6-12)DR. M


Örnek: Rotor, ekseni etrafında v hızıyla dönen Ryarıçaplı içi boş bir silindirdir Kütlesi m olan bir çocukyarıçaplı içi boş bir silindirdir. Kütlesi m olan bir çocuk,sırtı silindirin iç duvarına yaslanmış bir şekilde ayaktadır.Silindir dönmeye başlıyor ve önceden belirlenmiş bir hızSilindir dönmeye başlıyor ve önceden belirlenmiş bir hızdeğerine ulaştığında, silindirin tabanı aniden düşmesnerağmen çocuk silindir duvarında tutulu kalmaktadır.Rotor duvarıyla çocuk arasındaki statik sürtünmekatsayısı μs olduğuna göre, Rotor’ un minimum hızı nel l dolmalıdır.

Çocuk için serbest-cisim diyagramı çizilirse, normal kuvvet FN ’i k il k ld ğ ö ülünin merkezcil kuvvet olduğu görülür.

2

= (Eş 1)mvF F ma,net

,net

= (Eş-1)

0, (Eş-2)

x N

y ss ss N N

F F maR

F f m fg mg FF

,y

22

minEş-1 ve Eş-2 birleştirilirse, bulunur.smv Rg Rgmg v v

(6-13)

minş ve ş b eş se, bu u u .ss s

mg v vR


DR. LEYLA YILDIRIM

Örnek: Çember şeklindeki platformunÖrnek: Çember şeklindeki platformunyarıçapı R’ dir. Platformun en tepesindesürücünün düşmemesi için o andaki v hızı neolmalıdır.

Sürücü platformun tepesinde iken serbest-cisimdiyagramını çizersek sürücüye etki eden yer-çekimidiyagramını çizersek, sürücüye etki eden yer çekimikuvveti Fg ve normal kuvvet FN aşağı yöndedir.

O noktada sürücünün minimum hıza sahip olmasıdurumunda, platformla teması kesilir ve FN = 0 olur.Bö l ü ü ü tki d t k k t F ’ diBöylece, sürücüye etki eden tek kuvvet Fg’ dir vemerkezcildir. Bu durumda,

2min

, minnet ymvF mg v Rg

R

bulunur.R

(6-14)DR. M


Kütlesi 0.5 kg olan bir taş, 1.5 m uzunluğundaki bir ipinÖrnek :yatay bir düzlemdeucuna bağlanmış ve döndürülmektedir. Taşın

bağlı olduğu ip en fazla 50 N' luk bir kuvvete dayanabildiğine göre,

bağlı olduğu ip en fazla 50 N luk bir kuvvete dayanabildiğine göre,ipi on k pmadan hemen önceki hızı ne olur?

2 1.5(50) 12.2 m /smaxrTmvT v 12.2 m /s0.5maxT v

r m

(6-15)DR. M


Kütlesi olan bir cisim uzunluğundaki bir ipin ucunda m LÖrnek :şekildeki gibi yatayda yarıçaplı çembersel bir yörüngede hızı ile dönmektedir ( ). Cismin hızını bilKonik sark inen nicelikler aç

r v( )

cinsiç

nden ifade ediniz.

2

cosT mgmv

sin = mvTr

2

t v t a ng r

(6-16)ta n s in ta nv g r g L DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi olan bir cisim uzunluğu olanm RÖrn ek :bir ipin ucunda, şekildeki gibi

noktası etrafında dönmektedir. İpin düşeyle düşey düzlemde

O açısı yaptığı bir anda cismin hızı ise, iptekigerilme kuvv

veti ne olur?g

Teğetsel kuvvet

sin sin (hızdaki değişimin kaynağı)t t tF mg ma a g Teğetsel kuvvet

2

cos cosr rvF T mg ma T m gR

2v

R Radyal kuvvet

oÜst noktada ( 180 ) üstvT m gR

(6-17)

2oAlt noktada ( 0 ) alt

vT m gR


DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi olan bir cisim, sağa doğru ivmeli hareket yapan bir yükvagonunun içinde tavana asılıdır

mÖrnek :vagonunun içinde tavana asılıdır.

) Vagonun dışındaki durgun bir gözlemciye göre aracın ivmesi nedir?) V i i d ki bi

ab

ö l i ö d i l i i ?) Vagonun içindeki bir b gözlemciye göre durumu inceleyiniz?

) sinxa F T ma cos

tanyF T mg

a g

tana g

) ' sin 0x hayalib F T f ' cos

tanyF T mg

f mg ma

tanhayalif mg ma

(6-18)DR. M


BÖLÜM-7BÖLÜM 7Kinetik Enerji ve İş

Bu bölümde şu konulara değineceğiz:Bu bölümde şu konulara değineceğiz:

Hareket eden bir cismin kinetik enerjisi Hareket eden bir cismin kinetik enerjisi Bir kuvvetin yaptığı iş Güç Güç

Ek olarak, iş-kinetik enerji teoremini öğrenip değişik problemler çözeceğiz.

Hız ve ivme gibi vektörel nicelikler yerine iş ve kinetik enerji gibi skalerHız ve ivme gibi vektörel nicelikler yerine iş ve kinetik enerji gibi skaler nicelikleri kullanarak problemleri çözeceğimiz için, bu yöntemle işlemler daha kolay olacaktır

(7-1)

daha kolay olacaktır.DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kinetik Energy:Bir cismin hızından dolayı sahip olduğu enerjidir.y p ğ jHızı v, kütlesi m olan bir cismin kinetik enerjisişu ifadeye sahiptir:

21K mvSI sistemindeki birimi

kg.m2/s2 = joule 2

g jve sembolik olarak J ile gösterilir.

Kütl i 1 k l bi i i 1 / h hi ki tik ji i K 1 J’ dü

İş (W): Kütlesi m olan bir cisme bir F kuvveti uygulandığında cisim ivmelenir

Kütlesi m = 1 kg olan bir cisim v = 1 m/s hızına sahipse, kinetik enerjisi K = 1 J’ dür.

ş ( ) yg ğve hızını (v) dolayısıyla da kinetik enerjisini (K) artırabilir veya azaltabilir.

Cismin kinetik enerjisindeki değişim miktarı F kuvveti tarafından cisme

Ci ji kt l W itifti (W > 0) F k ti i i ü i d itif

Cismin kinetik enerjisindeki değişim miktarı, F kuvveti tarafından cismeaktarılan veya cisimden dışarıya alınan enerji (W) kadardır.

Cisme enerji aktarılmışsa W pozitiftir (W > 0) ve F kuvveti cisim üzerinde pozitifiş yapmıştır denir.

Ak i i i d d ji l W tifti (W < 0) F k ti

(7-2)

Aksine, cisimden dışarıya enerji alınmışsa W negatiftir (W < 0) ve F kuvveticisim üzerinde negatif iş yapmıştır denir.DR. M


İş:Şekilde kütlesi olan cisim sürtünmesiz bir yüzeyde

-ekseni yönünde hareket edebilmektedir. m

x

Cisme yatayla açısı yapacak şekilde bir kuvveti uygula .nıyorF

0Newton' un ikinci yasası gereği: ' dır. Cismin başlangıçtaki hızının

ve kadarlık bir yer-değiştirme sonundaki hızının da olduğunu varsayalım. x xF ma v

d v

2 20Kinematiğin üçüncü denklemi: 2 eşitliğinden, xv v a d

2 20 2 2 cosx

x xFm m m mv v a d d F d F d

0 cos

2 2 2 2x xv v a d d d dm

2 21 1K K K K K Fd2 20 ; = cos

2 2cos

i s s s iK mv K mv K K K Fd

W K W Fd W F d

(7-3)İşin birimi, kinetik enerjinin birimiyle aynıdır (J).

cos W K W Fd W F d DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

İ i i b l b k i i bi ld d i i ikNot-1: İş için bulunan bağıntıyı, kuvvetinin sabit olduğu durum için türettik.Not-2: Cismin noktasal olduğunu kabul ettik.N t 3 0 90 0 90 180 0W W

F

Not-3: 0 90 0 ; 90 180 0W W

NET İŞ: Cisme birden fazla kuvvet etkiyorsa (örneğin , ve ), net iş ( )' in hesaplanması:

A B CF F FW

net net iş ( ) in hesaplanması:W

net

Yol-1: Herbir kuvvetin yaptığı işler ( , ve ) ayrı ayrı hesaplanır ve sonra da toplanır ( ).

A B C

A B C

W W WW W W W

Yol 2: Cisim üzerine etki eden net kuvvet ( ) bulunur veF F F F

net

net net

Yol-2: Cisim üzerine etki eden net kuvvet ( ) bulunur ve

sonra da net kuvvetin yaptığı iş hesaplanır ( ).A B CF F F F

W F d

(7-4)DR. M


ˆ ˆ-düzlemindeki bir cisim 5 0i 2 0j (N)xy F +Örnek :

düzlemindeki bir cisim 5.0i 2.0j (N)ˆ ˆkuvvetinin etkisiyle 2.0i 3.0j (m) ile verilen bir

xy F +

d +

Örnek :

yer-değiştirme yapıyor. ) Kuvvetin yaptığı işi a) y p ğ ş) Kuvvetle yer-değiştirme vektörü arasınb daki açıyı bulunuz.

) W (5 0) (2 0) (2 0) (3 0) 16 Ja F d

) W (5.0) (2.0) (2.0) (3.0) 16 Ja F d

) cos 29 13 cosb F d Fd

1 o

) cos 29 13 cos16cos ( ) 35

b F d Fd

cos ( ) 35377

(7-5)DR. M


İki blok hafif bir iple, sürtünmesiz veÖrnek : f

Tağırlıksız bir makara üzerinden birbirlerinebağlanmıştır. Sistem serbest bırakıldığında,

kfT

ğ ş ğ ,bloklar sabit hızla hareket etmektedirler.

bloğu sağa doğru bA B loğu aşağı doğru 75 cm hareket ettiğindebloğu sağa doğru, bA B loğu aşağı doğru 75 cm hareket ettiğinde, bloklara etkiyen kuvvetlerin yaptıkları işleri bulunuz.

Hız sabit ise ivme sıfırdır.

Blok : 0 x kA F T f

12NBlok : 12 0

x kk

y

fT f

B F T

T

mg N

Blok A: 12 (0.75) cos(0) 9 J ; 12 (0.75) cos( ) 9 J

20 (0.75) cos( /2) 0 ; 20 (0.75) cos( /2) 0kf

W W

W W

g

T mgBlok B: 12 (0.75) cos( ) 9 J ; 12 (0.75) cos(0) 9 J W W

N t H iki bl kt bit h l h k t ttiği i i h iki bl k ü i tki

(7-6)

Not: Her iki blokta sabit hızla hareket ettiği için, her iki blok üzerine etkieden kuvvetlerin yaptığı net iş=0’ dır.


DR. LEYLA YILDIRIM

İş - Kinetik Enerji Teoremi :

netBir cisim üzerine yapılan net işin olduğunu daha önces iW K K

bulmuştuk.

Kinetik enerjideki değişimin de olduğu dikkate alınırsa,s iK K K

iş kinetik enerji teoremi:iş-kinetik enerji teoremi:

net s iK K K W

Bir cismin kinetik= Cisim üzerinde yapılan net iş

enerjisindeki değişim

net 0 0s i s iW K K K K

j ğ

(7-7)net 0 0s i s iW K K K K DR. M


Kütlesi 6 kg olan bir blok sürtünmesizÖrnek : gbir düzlemde duruyorken, 12 N' luk sabit biryatay kuvvetin etkisiyle harekete başlıyor Blokyatay kuvvetin etkisiyle harekete başlıyor. Blokyatayda 3 m yol adıktan sonra hızı ne olur?

2112 3 cos(0) = 36 J 0 36 J2s i sW = F d = K K mv

2

72 12 3.5 m/sv 12 3.5 m/s6sv

Aynı problemi kinematikten yola çıkarak tekrar çözelim:

12 21212 2 m/s6x x xF ma a

(7-8)

2 2 2 2 2 3 12 12 3.5 m/ss i x sv v a x v DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi 6 kg olan bir blok kinetik sürtünme katsayısı 0.15 olan bi d l d d k l k bi bi k i ki i l h k

k =Örnek : bir düzlemde duruyorken, 12 N' luk sabit bir yatay kuvvetin etkisiyle harekete başlıyor. Blok yatayda 3 m yol adıktan sonra hızı ne olur?

12 3 cos(0) = 36 J ( ' nin yaptığı iş)W = F d = F

0.15 6 9.8 8.82 Nk kf mg

cos( ) = 8.82 3 = 26.5 J ( 'nın yaptığı iş)f k k kW = f d = mg f

36 26 5 9 5W W

2 2 2

36 26.5 9.5

1 1 1 199.5 1.8 m/s2 2 2 6

f

f s i s s

W W

W W mv mv mv v

Aynı problemi kinematikten yola çıkarak tekrar çözelim.2 2 2 6f s i s s

23.1812 12 8.82 = 3.18 = 0.53 m/s6x k x xF f ma a

(7-9)2 2

62 2 0.53 3 3.18 3.18 1.8 m/ss i x sv v a x v


DR. LEYLA YILDIRIM

Yerçekimi Kuvvetinin Yaptığı İş :0Kütlesi olan bir cism noktasından ilk hızıyla

yukarı doğru fırlatılsınm A v

p ğ

yukarı doğru fırlatılsın.

Cisim yükseldikçe, yer-çekimi kuvveti ( ) tarafından gF mg

yavaşlatılır ve noktasında daha düşük bir hızına sahip olur. g

B v

Cisim noktasından noktasına giderken, yer-çekimi kuvvetinin yaptığı iş:

A B

. cos180g gW A B F d mgd mgd

Cisim noktasından noktasına dönerken, yer-çekimi kuvveti tarafından yapılan iş:

B A

yer-çekimi kuvveti tarafından yapılan iş:

0W B A F d d d

(7-10)

. cos 0g gW B A F d mgd mgd DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Yükseltme Kuvvetinin Yaptığı İş :Kütlesi olan cismi bir kuvvetiyle (dış kuvvet) noktasından

noktasına yükseltmek isteyelim. Cisim harekete başladığım F A

B y y ş ğ noktasında ve ulaştığı noktasında durgun A B olsun. Bu

aralıkta uygulanan kuvvetinin sabit olması gerekmiyorFaralıkta uygulanan kuvvetinin sabit olması gerekmiyor. F

Cisme etki eden iki kuvvet vardır Biri yerçekimi kuvveti diğeriFCisme etki eden iki kuvvet vardır. Biri yerçekimi kuvveti , diğeri

de cismi yukarı kaldırmak için dışardan uyguladığımız kuvvet ir.idgF

F

net 0 0

cos180dış g dış gW K W W W W

W mgd mgd W mgd

Al lt K ti i Y t ğ İ

cos180 g dışW mgd mgd W mgd

Bu durumda cisim noktasından noktasına hareket etmektedir. B AAlçaltma Kuvvetinin Yaptığı İş :

(7-11)

cos 0 =g dış gW mgd mgd W W mgd DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Şekilde konuma bağlı olarak değişen bir kuvvetiFDeğişken Kuvvetin Yaptığı İş :Şekilde, konuma bağlı olarak değişen bir kuvvetiverilmiştir. Bu kuvvetin ile noktaları arasında

t ğ i i ( ) b l k i t lii s

Fx x

Wyaptığı işi ( ) bulmak isteyelim. W

Bunun için , aralığı, genişliği olan tane i sx x x N

ince şerite bölünür.

,. aralıkta yapılan iş kadardır. j j ortj W F x

,1

Bu durumda toplam iş, olur. N

j ortj

W F x

0 ( ) durumunda,

sxN

x N

,0 1lim ( )

i

s

j ortx j x

x

W F x F x dx

(7-12) ( ) ( ) grafiği altında kalan alan

s

ix

W F x dx F x x DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Bir cisim üzerine etkiyen kuvvetin cismink b ğl l ğ kild ki ibidiÖrnek : konumuna bağlılığı şekildeki gibidir.

) 0 8 m,a x = ) 8 12 m ) 0 12 m

b x =c x = )

aralıklarında bu kuvvetin yaptığı işi bulunuz.

8

0 88 6) ( ) ( ) = 24 J

2

sx

a W = F x dx = F x dx

x = 0 - 8 m aralığıdaki üçgensel bölgenin alanı0 8

0

) ( ) ( )2

ix

12x

üçgensel bölgenin alanı

12

8 128

4( 3)) ( ) ( ) = 6 J2

s

i

x

x

b W = F x dx F x dx =

x = 8 - 12 m aralığıdaki

üçgensel bölgenin alanı

0 8 8 12) 24 6 18 J c W = W W

i

(7-13)DR. M


Bir cisme etkiyen kuvvet, metre cinsinden olmak üzere,xÖrnek : (8 16) N ifadesine göre değişmektedir.F = x

) 0 3 m aralığında kuvvetin yaptığı işi bulunuz.) Kuvvet-konum grafiğini çiziniz ve 0

a x =b x = 3 m aralığında) Kuvvet konum grafiğini çiziniz ve 0 b x 3 m aralığında

kuvvetin yaptığı işi grafikten bulunuz.33 2

) ( ) (8 16) 8 16 12 J2

sx xa W = F x dx = x dx x

0 02

ix

2( 16) 1 8) 12 Jb W W +W 0 2 2 3

( )) 12 J2 2

b W =W +W = =

(7-14)DR. M


ˆ ˆ(4 i j) N' luk kuvvetin etkisindeki bir cisimF = x +3yÖrnek :

( j)orijinden başlayarak noktasına hareket etmektedir.K ti t ğ i i b l

yx = 5 m

Kuvvetin yaptığı işi bulunuz.

srˆ ˆ ; i j

s

ir

W = F dr = dr dx +dy

ˆ ˆ ˆ ˆ(4 3 ) ( )sr

W = xi yj dxi dyj 5 0

(4 3 ).( )ir

r

W = xi yj dxi dyj 5 0

0 0

(4 3 ) 4 3s

i

r

r

W = xdx ydy xdx ydy 0 0

52

4 50 J

ir

xW =

(7-15)0

4 50 J2

W DR. M


Denge durumundaki bir yaya (uzamamış veyaYay Kuvveti :Denge durumundaki bir yaya (uzamamış veya sıkışmamış yay) bir blok bağlı bulunsun.

Yayı kadar gerecek şekilde bloğu sağa doğrubir miktar çekelim. Yay elimize ters doğrultuda

d

bir direnç kuvveti ( ) uygular.F

Yayı kadar sıkıştıracak şekilde bloğu sola doğrudYayı kadar sıkıştıracak şekilde bloğu sola doğruitersek, yay elimize yine ters doğrultuda bir dirençkuvveti ( ) uygular

d

F

Her iki durumda da, yay tarafından elimize uygulanan kuvveti yayıF

kuvveti ( ) uygular.F

, y y yg y ydoğal uzunluğuna getirecek yönde etkir. Büyüklüğü ise, uzama veyasıkışma miktarı ( ) ile orantılıdırxsıkışma miktarı ( ) ile orantılıdır. x

Eşitlik olarak bağıntısı ile verilir. Bu eşitlik "Hooke yasası" , F kx

(7-16)

ğ y ise "yay sabiti" olarak bilinir.kDR. M


Yay Kuvveti Tarafından Yapılan İş :Yay sabiti olan bir yayın boyunu, kuvvet uygulayarak

' den ' ye getirmiş olalım. Yayın elimize uyguladığıi s

kx xkuvvetin yaptığı işi ( ) hesaplamak isteyelim.yayW

Yayın kütlesiz olduğunu ve Hooke yasasına uyduğunu varsayalım.

2

Değişken kuvvetin yaptığı iş bağıntısından,

1 1ss s sxx x x x

2 21 1( )2 2 2

i i i i

yay i sx x x x

xW F x dx kxdx k xdx k kx kx

bulunur.

Yay başlangıçta uzamasız durumda ise ( 0) ve yayı kadarx xYay başlangıçta uzamasız durumda ise ( 0) ve yayı kadar germiş veya sıkıştırmış isek( ), yay kuvvetinin yaptığı iş

1

i

s

x x x x

(7-17)

21 olarak bulunur.2yayW kx DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

3Kütlesi 1.6 kg olan bir blok, yay sabiti 1 10 N/m olank = Örnek : yatay bir yaya bağlıdır. Yay 2 cm sıkıştırılıp durgun halden serbestbırakılıyor. (Yüzey sürtünmesizdir).

) Blok denge noktasından ( 0)a x = geçerken hızı ne olur?) Aynı soruyu sabit ve 4 N büyüklüğünde bir sürtünme kuvvetib) Aynı soruyu, sabit ve 4 N büyüklüğünde bir sürtünme kuvveti

olması durumunda tekrar cevaplayınız.b

22 3 21 1) 1 10 2 10 0.2 J2 2yay ma W = kx 2 2

2 2 21 1 2(0.2)= = = 0.5 m / s 2 2 1

6

yayyay s i s

WW = mv mv v

2) 4 2 10 0 08J sürtünme kuvvetinin yaptığı şib W = f x =

2 2 1.6yay s i s m

) 4 2 10 0.08 J sürtünme kuvvetinin yaptığı ş.if k mb W f x

21 2 (0.12)0 2 0 08 = = 0 39 m / sK W W mv v

(7-18)

0.2 0.08 = = 0. 39 m / s2 1.6yay f s sK W W mv v DR. M


Kütlesi 5 kg olan bir blok sürtünmesizbi ü d biti 500 N/ lkÖrnek :

0

bir yüzeyde, yay sabiti 500 N/m olanyatay bir yaya 6 m/s hızla çarpıyor ve

k =v =

yayı sıkıştırıyor.) Yaydaki sıkışma ne kadardır?a ) Yaydaki sıkışma ne kadardır?) Yay en fazla 15 cm sık

ab 0ışabiliyorsa, hızı en fazla ne olur?v

2 2 2 21 1 1 1)2 2 2 2yay i m s ia W = kx kx mv mv

2 2

2 2 2 21 1 5 (6) 0 6

y y

mk 2 2 = = (6) = 0.6 m 2 2 500m i m ikx = mv x v

k

500) = (0.15) 1.5 m / s5m i i m

m kb x v v = xk m

(7-19)

5k mDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Üç-Boyutlu Uzayda Kuvvetin Yaptığı İş :

Üç-boyutlu uzayda tanımlı bir kuvveti genel olarakF

Üç boyutlu uzayda tanımlı bir kuvveti genel olarak

ˆ ˆ ˆ, , i , , j , , kx y z

F

F F x y z F x y z F x y z

biçiminde tanımlanabilir.

Böylesi bir kuvvetin etkisinde, bir cismi koordinatı , , olan

noktasından koordinatı olan noktasına belirli biri i ix y z

A x y z B noktasından koordinatı , , olan noktasına, belirli bir yol boyunca, hareket ettirmek için yapılacak iş,

s s sA x y z B

x ydW F dr F dx F dy

s s s

z

x y zB

F dz

d d d d il ili

i i i

x y zA x y z

W dW F dx F dy F dz

(7-20)

ile verilir.DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Değişken Kuvvet ve İş - Kinetik Enerji Teoremi :

Değişken bir ( ) kuvveti yardımıyla kütlesi olan bir cismi ( )iF x m A x x

noktasından ( ) noktasına hareket ettirelim. Newton' un ikinci

ö

sB x x

F

' didvyasasına göre, F m ' dir.a mdt

Eşitliğin her iki tarafını ile çarpıp ve aralığında integralini alırsak,i sdx x xs s

i i

x x

x x

dvFdx m dxdt

dv dv dx dv dv dxdx dx vdvdt dx dt dt dx dt

i ix x

2 2 21 1 bulunur.s

sx

x

s i s imW m vdv v mv mv K K K

dt dx dt dt dx dt

Görüldüğü gibi iş-kinetik enerji teoremi,Not :

2 2 2ii

s i s ixx

(7-21)

ğ g ş j kuvvetin sabit olduğu durum ile aynıdır.DR. M


Kütlesi 0.1 kg olan bir blok hava-rayı üzerinde yay sabiti 20 N/m olan yatay bir yaya bağlıdır Blok denge noktasından sağa doğru 1 5 m/s hızla geçiyor

k =Örnek : olan yatay bir yaya bağlıdır. Blok denge noktasından sağa doğru 1.5 m/s hızla geçiyor.

) Hava-rayı sürtünmesiz ise, blok ne a kadar sağa gidebilir?) Hava-rayı sürtünmeli ise ( 0 47) blok ne kadar sağa gidebilir?b =) Hava rayı sürtünmeli ise ( 0.47), blok ne kadar sağa gidebilir?kb

2 2 2 21 1 1 1)W k k2 2 2 2

2 2

)2 2 2 2

1 1 0 1

yay i m s ia W = kx kx mv mv

m

2 21 1 0.1 = = (1.5) = 0.106 m 2 2 20m i m i

mkx = mv x vk

) sürtünme kuvvetinin yaptığı iş.f k m k mb W = f x = mg x

2 21 1 İ2 2

2 2

1 1 İş-kinetik enerji teorimi2 2

1 10 1 (1 ) 20 0 4 0 1 9 8

yay f i m k mK W W mv kx mgx

2 2

2

1 10.1 (1.5) 20 0.47 0.1 9.82 2

10 0.461 0.113 = 0 0.086 m 8.6 cm

m mv x x

x x x =

(7-22)

10 0.461 0.113 0 0.086 m 8.6 cmm m mx x xDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Salıncağa binmiş ağırlığındaki bir çocuğu,i l dü l k d (b d k

w

Örnek :

0ipler düşeyle açısı yapana kadar (burada çocukdurgundur) yatay bir kuvvetiyle ittiğinizi düşünün.F

Bunun için uygulamanız gereken kuvveti, sıfırdanbaşlayarak çocuk dengeye gelene kadar belirli bir maksimum değere kadarş y ç g y g ğartırmanız gerekir. Uyguladığınız kuvvetinin yaptığı işi bulunuz.F

Denge durumunda : = sin 0 ; sin

= cos 0 ; / cosxF F T F = T

F T w T w

= cos 0 ; / cosy

ağırlık

F T w T w

0 0

0 0

tan = ( ) cos sin dl

F = w W F dl F Rd wR d

0

0 0

00cos 1 cosW = wR wR

(7-23)DR. M


bi i d l iGü k ti t f d k ti iGüç :

F Fbirim zamanda yapılan işGüç, kuvveti tarafından veya kuvviş yapma hız

etinin olarak tarif edilir. ı

F F

kuvveti zaman aralığında kadar iş yapmış ortalasa ma g ç, ü F t W

ortWP

t

Anlık güç ise

dWPdt

ile tanımlanır.

SI sistemindeki birimi " " tırJ/s = wattkilowatt-sa

. " " (kW) iş birimat idirkilowatt sa (kW) iş birimat idir.

Örneğin, 1000 W gücündeki bir motor 1 saat süreyle

(7-24)

Ö eğ , 000 W gücü de b o o s sü ey eçalışıyorsa yaptığı iş = =1000 3600 3600 kJ bulunur.W Pt DR. M


H B ğl Gü İf d iHıza Bağlı Güç İfadesi :

Hareket eden bir cisme, hareket doğrultusu ile açısı yapacak şekilde bir kuvveti uygulayalım. F

Uygulanan kuvvetinin iş yapma hızı

F

cos cos cosdW F dx dxP F Fvdt dt dt

dt dt dt

verilir.P F v

(7-25)DR. M


Bir asansörün kütlesi 1000 kg' dır ve toplamÖrnek : 800 kg taşıyabilmektedir. Asansör yukarı çıkarken4000 N' luk sabit bir sürtünme kuvveti etkimektedir.

) Asansör 3 m/s' lik sabit hızla yukarı çık a2

ıyorsa,) Asansör 1 m/s ' lik ivme ile yukarı çıkıyorsab) Asansör 1 m/s lik ivme ile yukarı çıkıyorsa,

Asansör motorunun sağladığı güç ne olur? b

4

) sabit 0 : = 0

(1000 800) 9 8 4000 2 16 10 Nya v a F T f w

T f

4

4 4

(1000 800) 9.8 4000 2.16 10 N

= . 2.16 10 3 6.48 10 W

T f w

P T v =T v cos0

) 0 : = yb a F T f Mg Ma

4

4

( ) 4000 1800*10.8 2.34 10 N

= = 2 34 10 W (burada anlık hızdır)

T f M g a

P T v = T v cos0 v v

(7-26)

= . = 2.34 10 W (burada anlık hızdır)P T v = T v cos0 v vDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

BÖLÜM-8Potansiyel Enerji ve Enerjinin Korunumu

Bu konu kapsamında şu konulara değineceğiz:Bu konu kapsamında şu konulara değineceğiz:

Potansiyel enerji Korunumlu ve korunumsuz kuvvetler Mekanik enerjij Mekanik enerjinin korunumu

Birçok problemi “enerjinin korunumu” teoreminden çözeceğiz.ço p ob e e e j o u u u teo e de çö eceğ .

Burada vektörel nicelikler yerine iş, kinetik enerji ve potansiyel enerji gibiskaler nicelikler kullanacağımız için işlemler daha kolay yapılabilecektir

(8-1)

skaler nicelikler kullanacağımız için işlemler daha kolay yapılabilecektir.

Y ki i t i l ji i

İş ve Potansiyel Enerji:Yer-çekimi potansiyel enerjisi:

• Kütlesi m olan bir cisim v0 ilk hızıyla A noktasındanyukarı doğru fırlatılıyoryukarı doğru fırlatılıyor.

• Cisim ve yer bir sistemdir.• Yerçekimi kuvvetinin etkisiyle cisim yavaşlayarak

yükselecek ve B noktasında tamamen duracaktıryükselecek ve B noktasında tamamen duracaktır.• Sonra da, aşağı doğru hareket ederek orijinal v0 hızıyla

A noktasına ulaşacaktır.

Cisim A noktasından B noktasına giderken Fg kuvvetinin yaptığı işW1 = mgh’ dir. Bunun anlamı, Fg kuvveti cismin kinetik enerjisini1 g , g jyerçekimi potansiyel enerjisine (U) dönüşmüştür.

Cisim B noktasından A noktasına düşerken ise, Fg kuvvetinin yaptığı işgW2 = mgh ’ dir. Bunun anlamı da, Fg kuvveti cismin yerçekimi potansiyelenerjisini kinetik enerjiye dönüştürmüştür.

(8-2)U W Sistemin potansiyel enerjisindeki değişim şu ifadeyle verilir:

Yay potansiyel enerjisi:

• Kütlesi m olan blok yay sabiti k olan bir yaya bağlıdır• Kütlesi m olan blok, yay sabiti k olan bir yaya bağlıdır.

• Yay ve kütle bir sistemdir.

H h i bi d A kt d k ki h l• Herhangi bir anda A noktasından geçerken ki hızı v0 olanblok, yay kuvvetinin etkisiyle yavaşlayacak ve yayı xkadar sıkıştırarak B noktasında tamamen duracaktır.

• Sonrada, yay kuvvetinin etkisiyle ters yönde hareketebaşlayacak ve A noktasından v0 hızıyla geçecektir.

Blok A noktasından B noktasına hareket ederken yay kuvveti Fyay tarafındanyapılan iş W1 = kx2/2’ dir. Bunun anlamı, yay kuvveti Fyay cismin kinetik

ji i i t i l ji (U) dö ü tü ü tüenerjisini potansiyel enerjiye (U) dönüştürmüştür.

Blok B noktasından A noktasına hareket ederken ise, yay kuvveti Fyay tarafındanyapılan iş W = kx2/2’ dir Bunun anlamı da yay kuvveti F cismin potansiyelyapılan iş W2 = kx2/2 dir. Bunun anlamı da, yay kuvveti Fyay cismin potansiyelenerjisini kinetik enerjiye dönüştürmüştür.

(8-3)Sistemin potansiyel enerjideki değişimi yine ifadesine sahiptir.U W

Korunumlu ve Korunumsuz Kuvvetler:

Cismin sadece kinetik ve potansiyel enerjileriarasında bir dönüşüme neden oldukları için,yerçekimi kuvveti ve yay kuvveti “korunumlu”yerçekimi kuvveti ve yay kuvveti korunumlukuvvetlerdir.

Buna karşın, sürtünme kuvveti “korunumlu olmayan” bir kuvvettir.

Sürtünmeli bir yüzey üzerinde A noktasından v ilk hızıyla hareketeSürtünmeli bir yüzey üzerinde A noktasından v0 ilk hızıyla hareketebaşlayan bir blok düşünelim. Blok ile zemin arasındaki kinetik sürtünmekatsayısı μk olsun. Blok, kinetik sürtünme kuvveti fk etkisiyle d kadar yolaldıktan sonra B noktasında duracaktır.

A ve B noktaları arasında sürtünme kuvvetinin yaptığı iş Wf = μkmgdA ve B noktaları arasında sürtünme kuvvetinin yaptığı iş Wf μkmgdolacaktır. Sürtünme kuvveti, bloğun tüm kinetik enerjisini “ısıenerjisi” ne dönüştürmüştür. Bu enerji tekrar kinetik enerjiyedö ü tü ül b d l ü tü k ti k l bi

(8-4)

dönüştürülemez ve bu nedenle sürtünme kuvveti korunumlu birkuvvet değildir.

1. Kapalı bir yol boyunca, korunumlu birkuvvetin bir cisim üzerinde yaptığı net işkuvvetin bir cisim üzerinde yaptığı net işsıfırdır (Şekil-a).

0W 0netW

Yerden yukarı doğru fırlatılan taş ve kütle yay sistemi bunaYerden yukarı doğru fırlatılan taş ve kütle-yay sistemi bunabirer örnektir. Wnet = Wab,1 + Wba,2 = 0

2. a’dan b’ye giden bir cismin üzerine etki eden korunumlu bir kuvvetin yaptığı iş gidilen yoldan bağımsızdır.

net ,1 ,2 ,1 ,2Şekil - ' dan : = + = 0 = Şekil - ' den : =

ab ba ab baa W W W W Wb W W

,2 ,2Şekil den : ab bab W W

1 2W Wb b

(8-5)

,1 ,2ab ab

Potansiyel Enerjinin bulunması :Bir cisme etkiyen korunumlu kuvveti biliyorsak,

ve gibi iki nokta arasında cismin potansiyeli sx xenerjisindeki değişimi ( ) hesaplayabiliriz.

i s

U

Korunumlu bir kuvvetinin etkisindeki bir cisim -ekseni boyunca noktasından noktasına hareket ediyor olsun.i

F xx xboyunca noktasından noktasına hareket ediyor olsun.

kuvveti tarafından cisim üzerinde yapılan işi s

x

x xF

( ) eşitliği ile verilir. s

i

x

x

W F x dx Böylece, potansiyel enerjideki değişim

sx

(8-6)

( bulunu) r.ix

F x dxU W

Düşey doğrultuda ( ekseni boyunca) yukarı doğru noktasındanYerçekimi Potansiyel Enerjisi :

y yDüşey doğrultuda ( -ekseni boyunca) yukarı doğru noktasından noktasına hareket eden kütleli bir cisim düşünelim.

i

s

y yy m

Cisme etki eden yerçekimi kuvveti nedeniyle cisim-yer sisteminin potansiyel enerjisinde değişim olacaktır. Az önce bulduğumuz sonucu

( )f s s

s

y y yyU F y dy mg dy mg dy mg y mg y y mg y

kullanarak, cismin potansiyel enerjisindeki değişimi hesaplayacağız.

( )

Cismin bulunduğu son noktayı genelleştirirsek ( )

i

i i i

s iyy y y

i i

U F y dy mg dy mg dy mg y mg y y mg y

U y U mg y y

Cismin bulunduğu son noktayı genelleştirirsek ( )

bulunur. i iU y U mg y y

Genellikle hareketin başladığı konum 0 ve bu noktadakiy Genellikle, hareketin başladığı konum 0 ve bu noktadaki potansiyel 0 olarak seçilir. Bu durumda,

( )

i

i

U

yU

(8-7)bulun r.(

u)U y mgy

Yerden kadar yükseklikten kütlelih mÖrnek : bir cisim serbest bırakılıyor. Cismin herhangibir andaki hızını, yerden olan yüksekliğine bağlı olarak bulunuz.

s i s i

i i

K = U K K U UK U K U

2102

i i s s

s

K U K U

m g h m v m g y

2

2 ( )sv g h y

(8-8)

Şekilde uzunluğundaki bir ipin ucunabağlı kütlesinden oluşan bir basit sarkaç verilmiştir.

Lm

Örnek : bağlı kütlesinden oluşan bir basit sarkaç verilmiştir.Cisim açısal konumundan serbest bırakılmıştır vedönme ekseninin geçtiği noktası sürtünmesizdir

A

m

P

dönme ekseninin geçtiği noktası sürtünmesizdirP .) Cisim en alt noktadan ( noktası) geçerken hızı nedir?) Cisim en alt noktada iken ipteki gerileme kuvveti nedir?

a Bb) Cisim en alt noktada iken ipteki gerileme kuvveti nedir?b

21) 2 (1 )K U K U h L 2) 2 (1 cos )2i i s s B B Aa K U K U mgh mv v gL

2

) 2 (1 cos )Br B B A

mvb F T mg T mg mgL

3 2cosB AT mg

(8-9)

Bir kütle-yay sisteminde blok noktasındanYaydaki Potansiyel Enerji :

x xBir kütle-yay sisteminde, blok noktasından noktasına hareket etsin. Yay kuvveti bir iş ( )yapacaktır ve kütle yay sisteminin potansiyel

i sx xW

yapacaktır ve kütle-yay sisteminin potansiyelenerjisinde bir değişim meydana gelecektir.

2 21 1( ) 2 2

s s

i i

x x

s ix x

W F x dx kxdx kx kx

i i

2 21 1( )2 2s i s iU W U x U kx kx

Genellikle hareketin başladığı konum 0 ve bu noktadakipotansiyel 0 olarak seçilir.

i

i

xU

p y çi

Denge noktasından herhangi bir uzaklığında, 1x

(8-10)

2yaydaki potansiye l e ne : 1rji2

U kx

Bi i i i i ki ik i l jil i ik ik j

i i Mekanik Enerjinin Korunumu :

Bir sistemin , o sistemin kinetik ve potansiyel enerjilerinintoplamı olar

mekanik enerjak tarif edilir

(M k

is

i

i

k ji )E K U (Mekanik enerji = )mekE K U

Sistemin çevresinden izole olduğunu, dış kuvvetlerin olmadığınıve sistemdeki kuvvetlerin ise korunumlu olduğunu kabul ediyoruz.

Sistemdeki iç kuvvetin yaptığı iş sistemin kinetik enerjisindeSistemdeki iç kuvvetin yaptığı iş sistemin kinetik enerjisinde bir değişim meydana getirecektir.

(Eş 1)K W (Eş-1) K W

Bu, aynı zamanda sistemin potansiyel enerjisinde de bir değişim meydana getirecektir (Eş-2). U W

(8-11)

( ş ).U W

Bu iki eşitlik birleştirilirse,

i i

K UK K U U

i i s s

s i s iK K U UK U K U

sonucuna ulaşılır.Bu yasasıdır ve şu şekilde özetl"mekanik enerjinin korunumu" enebil ri

mek.

Bu, yasasıdır ve şu şekilde özetlmekanik enerjinin korunumu

enebil

r. 0

iE K U

mek.

Korunumlu ve korunumsuz kuvvetlerin olduğu izole bir sistemde bu yasa

f d dkorunumsuzE W

formundadır.

korunumsuz kBurada , sistemdeki tüm tarafından yapılan iuvvetler ştir.korunumsuzW

(8-12)

, y p şkorunumsuz

Şekilde m kütleli bir cisim ve asılı olduğuipten oluşan basit sarkaç verilmiştir.

Cisim-yer sisteminin mekanik enerjisisabittir. Sarkaç salındıkça, sisteminkinetik ve potansiyel enerjileriarasında sürekli bir dönüşüm olacaktırarasında sürekli bir dönüşüm olacaktır.

Cisim en alt noktadayken potansiyelenerjiyi “sıfır” seçersek, bu noktalardakinetik enerji maksimum olacaktır(a ve e durumu)(a ve e durumu).

c ve g durumlarında ise potansiyelji k i ki ik ji f

(8-13)

enerji maksimum, kinetik enerji sıfırolacaktır.

Yaylı bir oyuncak tabancanın yay sabiti bilinmemektedir.Yay 12 cm sıkıştırılıp düşey yönde ateşlendiğinde, 35 g' lık bilyeÖrnek : Yay 12 cm sıkıştırılıp düşey yönde ateşlendiğinde, 35 g lık bilyeatıldığı noktadan 20 m yukarıya yükseliyor. Tüm sürtünmelerigözardı ederek, g ,

) Tabancanın yay sabitini bulunuz. ) Bilye tabancayı hangi hızla terkeder?

ab) y y g

) Bilye atıldığı noktadan 10 m yukarıdayken hızı nedir?c

22

1 2) 953 N/m2A C

mgha E E kx mgh kx

2 x

2 2 21 1) 2 19.7 m/s2 2A B B B

kb E E kx mgx mv v x gx

2 2 21 1) ' 2 ' 14 m/skc kx mgh mv v x gh

2 2A B B B m

(8-14)

' ') 2 14 m/s2 2 h hc kx mgh mv v x gh

m

İki blok hafif bir iple, ağırlıksız ve sürtünmesizbi k ü i d kild ki ibi bi bi i b ğl tÖrnek : bir makara üzerinden şekildeki gibi birbirine bağlanmıştır.Sistem durgun halden serbest bırakılıyor. 5.00 kg' lık blokyere çarptığında, 3.00 kg' lık bloğun hızı ne olur?

2 21 1E E m gh m gh m v m v

1 2 2 12 22 2 2 9 8 4

i sE E m gh m gh m v m v

m m gh

1 2

1 2

2 2 2 9.8 419.6 4.43 m/s

8m m gh

vm m

(8-15)

Potansiyel Enerjiden Kuvvetin Bulunması :

Bilinmeyen bir kuvvetinin etkisi altında -ekseni boyunca hareket eden birF xcismin potansiyel enerjisinin konuma bağlılığı ( ) biliniyor olsun. U x

Cisim koordinatı olan bir noktasından koordinatı + olan çok yakındakix A x xCisim koordinatı olan bir noktasından koordinatı + olan çok yakındakibir noktasına hareket etsin. Kuvvetin cisim üzerinde yaptığı iş

(Eş-1)

x A x xB

W F x

K ti t ğ b i i t i t i l ji i d bi d ği i d ti i

(Eş-1)ile verilir. W F x

Kuvvetin yaptığı bu iş, sistemin potansiyel enerjisinde bir değişim meydana getirir. (Eş-2)U W

Bu iki eşitlik birleştirilirse,

bulunur. 0 durumundaki limit değeri ise ( )( )U dU xF xx dx

F x

(8-16)olur.

x dx

Potansiyel Enerji Eğrisi:

Ci i t i l ji i i kCismin potansiyel enerjisinin konumabağlı değişimini çizersek, F kuvvetininetkisi altındaki cismin hareketikonusunda detaylı bilgiler elde etmekmümkün olur.Ci tki d k ti ğ d kiCisme etki eden kuvveti aşağıdakibağıntı yardımıyla konumun fonksiyonuolarak bulabiliriz.

( )( ) dU xF xdx

x2 , x3 ve x4 noktalarında potansiyel eğrisinin türevi sıfırdır. DolayısıylaÖrnek olarak yukarıdaki grafiği inceleyelim:

x2 ve x3 noktaları arasında dU/dx pozitif olduğundan, kuvvet –x yönündedir.bu noktalarda cisme etkiyen kuvvet de sıfır olur.

(8-17)x3 ve x4 noktaları arasında dU/dx negatif olduğundan, kuvvet +x yönündedir.

Dönüm Noktaları :mek.Sistemin toplam mekanik enerjisi ( ) ( ).

Toplam mekanik enerji sabittir (5 J) ve yatay bir çizgiE K x U x

ile gösterilmiştir. Herhangi bir noktasında ( )belirlenip yukarıdaki denklemd

x U xe yerine konur ve cismin

ki tik ji i b l biliK kinetik enerjisi bulunabilir. K

Böylece cismin, x-eksenininKinetik enerji, tanımı gereği negatif olamaz.hangi bölgesinde hareketli olduğunu belirleyebiliriz.

mek( ) ( )K x E U x mek.

mek mek.(( )

) Hareket izinli( )

0 ( 0 di .) rK E U x Ex U

( ) Har0 ( eket yasaklı r0) dıU x EK E U x mek.mek ( ) Har0 ( eket yasaklı r0 .) dıU x EK E U x

mek. ( ) olduğu noktalar, " " dır.k d ki fi d k d b

dönüm noktalarık d d

E U x

(8-18)

1Yukarıdaki grafiğe göre, dönüm noktasıdır ve bu noktada 0 'dır.x K

Yandaki grafikte Emek. = 4 J durumunu gözönüne alalım.

Buna göre dönüm noktaları (Emek. = U ) x1 vex > x5 noktalarıdır. x > x1 bölgesinde hareketizinlidir Eğer mekanik enerjiyi 3 J veya 1 J’ eizinlidir. Eğer mekanik enerjiyi 3 J veya 1 J edüşürürsek, dönüm noktaları ve hareketinizinli olduğu bölge de değişecektir.

Denge Noktaları: Potansiyel enerji eğrisinde eğimin sıfır (dU/dx = 0) vedolayısıyla da kuvvetin sıfır (F = 0) noktalar denge noktalarıdır. Kuvvetiny y ( ) gsıfır olduğu bölgeler de (x > x5) doğal denge bölgeleridir.

Mekanik enerjiyi Emek = 4 J seçersek, kinetik enerji K = 0 olur ve cisim

Potansiyel enerji-konum eğrisinde minimumlar kararlı denge konumları

j y mek. ç , jx > x5 bölgesinde hareketsiz olur.

Potansiyel enerji konum eğrisinde minimumlar, kararlı denge konumları,

Potansiyel enerji-konum eğrisinde maksimumlar, kararsız dengekonumlarıdır.

(8-19)

Not: Şekil üzerindeki mavi oklar,

( )dU x

bağıntısı uyarınca cisim üzerine etkiyen

( )( ) dU xF xdx

bağıntısı uyarınca cisim üzerine etkiyenkuvvetlerin yönünü göstermektedir.

Kararlı Denge Konumları: Potansiyelin minimum olduğu x4 noktasınıgözönüne alalım. Mekanik enerji Emek. = 1 J olsaydı, bu noktada cisimhareketsiz olacaktı (K = 0) Cismi x noktasının çok az soluna veya sağınahareketsiz olacaktı (K = 0). Cismi x4 noktasının çok az soluna veya sağınaçekersek, cismi denge noktasına getirmek için bir kuvvet oluşur. Bu noktakararlı denge noktasıdır.

Kararsız Denge Konumları: Potansiyelin maksimum olduğu x3noktasını gözönüne alalım Mekanik enerji E k = 3 J olsaydı, bunoktasını gözönüne alalım. Mekanik enerji Emek. 3 J olsaydı, bunoktada cisim hareketsiz olacaktı (K = 0). Cismi x3 noktasının çok azsoluna veya sağına çekersek, her iki durumda da cismi bu noktadand h f l kl k kild bi k l B k k

(8-20)

daha fazla uzaklaştıracak şekilde bir kuvvet oluşur. Bu nokta kararsızdenge noktasıdır.

Bir moleküldeki iki nötr atom arasındaki etkileşme kuvveti ile ilgilipotansiyel, Lennard-Jones potansiyel enerji fonksiyonu ile verilir:Örnek :

12 6

potansiyel, Lennard Jones potansiyel enerji fonksiyonu ile verilir:

( ) 4U xx x

atomlar arasındaki m

x x

x

22

esafe, ve ise deneysel sabitlerdir. İki ti ik t i i 0 265 1 51 10 J' dü

22İki tipik atom için, 0.265 nm ve 1.51 10 J' dür.

Atomlar arasındaki etkileşme kuvvetini ve minimum uzaklığı bulunuz.

12 12 6 6 12 13 6 74 4 12 6xdU dF = x x = x xdx dx

12 6

13 7

12 64xFx x

12 6

1/613 7

12 64 0 2 0.3 nmxF xx x

(8-21)

x x

İki boyutlu uzayda bir kuvvetle bağlantılı potansiyel enerjiÖrnek :

3

y y ğ p y jfonksiyonu,

( ) 3 7U x y x y x ( , ) 3 7ile veriliyor. Cisme etkiyen kuvveti bulunuz.

U x y x y x

3 23 7 9 7xdU dF = x y x = x ydx dx

dx dx

3 33 7 3dU dF = x y x = x 3 7 3yF x y x xdy dy

2 3ˆ ˆ ˆ î j 7 9 i 3 jx yF F F x y x

(8-22)

Dış Kuvvetin Bir Sistem üzerinde Yaptığı İş:p ğ

Şu ana kadar, dış kuvvetlerin olmadığı izolesistemleri ele aldık. Şimdi de, dış kuvvetlerinetkidiği bir sistemi ele alalım.

Bir oyuncu tarafından fırlatılan bowling topunu göz önüne alalım.Bowling topu ve dünya bir sistem oluştururBowling topu ve dünya bir sistem oluşturur.

Oyuncu tarafından topa uygulanan kuvvet dış kuvvettir. Bu durumday p yg şsistemin mekanik enerjisi sabit değildir, dış kuvvetin yaptığı iş kadardeğişir.

mek.W E K U

(8-23)

oUzunluğu 1 m olan 30 ' lik eğik düzleminen üst noktasından, kütlesi 3 kg olan bir kutu durgunÖrnek :

, g ghalden aşağıya doğru kaymaya başlıyor. Kutuya5 N' luk sabit bir sürtünme kuvveti etkimektedir.

) Eğa ik düzlemin tabanında kutunun hızı ne olur?) Kutunun ivmesi nedir?b)

21) 3(9.8)(0.5) = 14.7 J ; 2i i i s s sa E K U = mgh = E K U = mv

5(1) 5 JkE = f d =

21 2(9.7)14.7 5 2.54 m / s2 3s iE E mv v

23(9.8)(0.5) 5) sin(30) 3.23 m/ s3x kb F mg f ma a

3

(8-24)

Kütlesi 20 kg olan bir çocuk, 2 m yüksekliğindedüzgün olmayan bir kaydırağın tepesinden ilk hızsız Örnek :

kaymaya başlıyor. ) Sürtünme olmadığını varsayarak, kaydırağın en alt k d h

adinoktasında çocuğun hızı nedir?

) Sürtünme olması durumunda, çocuğun en alt noktadaki hı ı 3 m/s old ğ na göre sistemin mekanik enerjisindekibhızı 3 m/s olduğuna göre sistemin mekanik enerjisindeki kayıp ne kadardır?

21) 2i i s s sa K U = K U mgh= mv

= 2 = 2 9.8 (2) = 6.26 m/ s sv gh

1 1 22'

1 1) (20) 3 20(9.8)(2) 302 J2 2s i sb E = E E mv mgh =

(8-25)

Bir kayakçı 20 m yükseklikteki rampadanilk hızsız kaymaya başlıyor Rampanın alt ucundanÖrnek : ilk hızsız kaymaya başlıyor. Rampanın alt ucundansonra, düz olan bölgede kayakçı ile zemin arasındasürtünme katsayısı 0 21' dirsürtünme katsayısı 0.21 dir.

) Kayakçı, rampanın alt a ucundan duruncaya kadar ne kadar yol alır?) Eğik düzlemin kendisi de aynı sürtünme kaysayısına sahip olsaydıb ) Eğik düzlemin kendisi de aynı sürtünme kaysayısına sahip olsaydı,

( ) şıkkının cevabı ne olurdu?b

a

2

2

1) 2 19.8 m / s2

1

i i s s B Ba K U = K U mgh = mv v gh

1

221 = 0 = 95.2 m

2 2B

C B B kk

vE E E mv mgd dg

2

2

1) cos 2 1 cot(20) 12.9 m / s2k B B kb mgh mg L mv v gh

v

(8-26)

40.3 m2

B

k

vdg

İki blok hafif bir iple, sürtünmesiz ve ağırlıksızbir makara üzerinden birbirine bağlıdır Yatayda bulunanÖrnek :

1

bir makara üzerinden birbirine bağlıdır. Yatayda bulunan kütleli blok, yay sabiti olan bir yaya bağlıdır. Yay

uzamasız durumda iken sistem sm k

2erbest bırakılıyor ve mu a as du u da e s ste s 2

1

e best b a yo vekütleli blok kadar düşünce bir an için duruyor. kütleliblok ile zemin arasındaki sürtünme katsayısı nedir?

mh m

y

10 ve g yay kK E U + U m gh

22

1 22

01

1g s i

k

U U U m ghm gh kh m gh

1m g kh

1 221 22

kyay

g gU kh

2

1

2k

m g kh

m g

(8-27)

Bir blok, yüksekliğindekibir rampadan ilk hızsızsürtünmesiz

hÖrnek :

L

bir rampadan ilk hızsızkaymaya başlıyor ve karşıda bulunan

ği l bi ğik dü l i

sürtünmesiz

ve eğim açısı olan bir eğik düzlemitırmanıyor. Blok ile eğik düzlemin

arasındaki kinetik sürtünme katsayısı olduğuna göre, blok bu düzlemdek

ne kadar yükselir?

max0 yK E U L L max0 ; cos ; =sing kyK E U mg L L

iU U U mgy mgh

max

maxmax maxcos

i 1 t

g s i

k

U U U mgy mgh

y hmg mgy mgh y

(8-28)

sin 1 cotk

Kütlesi 10 kg olan blok, ilk hızsız olarak noktasındanAÖrnek : ilk hızsız olarak noktasından bırakılıyor. Uzunluğu 6 m olan

ü tü li bi böl i ( )

A

BCsürtünmeli bir bölgeyi ( arası)geçtikten sonra, yay sabiti

2250 N/m a a çarparak 30 cm sıkıştırı or

BC

k 2250 N/m yaya çarparak 30 cm sıkıştırıyor.k =

arası bölgenin sürtünme katsayısını bulunuz.BC

0 ; g yay kK E U U mgL

210 ; 021

g s i yay mU U U mgh U kx

2

2

11 2 0.3282

m

k m k

mgh kxmgL kx mgh

mgL

(8-29)

2 mgL

1Eğik düzlem üzerindeki 20 kg'lıkbl k h fif bi i l 30 k 'l k b k bi bl ğ

m =Örnek :

2

2

blok, hafif bir iple, 30 kg'lık başka bir bloğabağlıdır. bloğu da, şekildeki gibi yay sabiti250 N/ l bi b ğl d B h li l

m =m

250 N/m olan bir yaya bağlıdır. Bu haliyle yayuzamasızdır ve 1 eğik düzlem sürtünmesizdir. bloğu eğik düzlemden

ğ d ğ 20 kili ( bl ğ d 40 ük kt ) ilk hm

2aşağı doğru 20 cm çekilip ( bloğu yerden 40 cm yüksekte) ilk hızsızbırakılıyor. Yay uzamasız hale geldiğinde blokların hızı ne olur?

m

0 (Tüm kuvvetler korunumlu olduğu için)g yayE K U U

2 2 21 1 1

L=20 cm

2 2 21 2 1 2

1 1 1; ( sin ) ;2 2 2g yayK m v m v U m gL m gL U kL

2 21 1( sin ) 0m m v m m gL kL L 20 cmk=250 N/mm1=20 kg

1 2 1 2( sin ) 0 2 2

m m v m m gL kL

22 12( sin ) 10 67.2 1 24 m/skL m m gLv

(8-30)

m2=30 kg2 1

1 2

( ) 1.24 m/s50

gvm m

BÖLÜM-9Kütle Merkezi ve Çizgisel Momentum

Bu bölümde aşağıdaki konulara değinilecektir:

Bir parçacık sisteminin kütle merkezi Kütle merkezinin hızı ve ivmesi Bi ğ k i t l i i i i l t Bir parçacığın ve parçacık sistemlerinin çizgisel momentumu

Kütle merkezinin nasıl hesaplanacağını ve çizgiselmomentumun korunumu ilkesini öğreneceğiz.ğ ğ

Son olarak, çizgisel momentumun korunum ilkesi yardımıylabi iki b bl l i i ö ğibir ve iki boyutta çarpışma problemlerini çözeceğiz.

(9-1)DR. M


ekseni ü erinde e noktalarında b l nan sırası laKütle Merkezi :

1 2

1 2

-ekseni üzerinde ve noktalarında bulunan, sırasıyla, ve kütlelerine sahip iki noktasal cismin kütle merkezi,

x x xm m

1 1 2 2km

1 2

b ğ il ili

m x m xxm m

bağıntısı ile verilir.

-ekseni üzerine yerleştirilmiş tane parçacık durumunda bu bağıntı:x n

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3km

11 2 3

... ... 1...

nn n n n

i iin

m x m x m x m x m x m x m x m xx m xm m m m MM

olur. Burada sistemdeki parçacıkların toplam kütleM sidir.

Üç-boyutlu uzayda ( -koordinat sistemi) parçacık sisteminin kütlexyz

Üç boyutlu uzayda ( koordinat sistemi) parçacık sisteminin kütle merkezi de, kütlesi olan parçacığın konum vektörü olmak üzere, daha genel bir ifade olan

i i

xyzm r

km

daha genel bir ifade ola1

n

bağıntısına sa hi n

i ir m rM

ptir.

(9-2)

k1

m i iiM DR. M


km km k km mˆ ˆ ˆKonum vektörü i j k biçiminde de yazılabileceğinden, kütle

k i i k di lr x y z

km km km

merkezinin koo1 1 1

rdinatları

n n n

i i i i i ix m x y m y z m z km km km1 1 1

ile verilebilir.

i i i i i ii i i

y yM M M

Bir parçacık sisteminin kütle merkezi sistemdeki tümBir parçacık sisteminin kütle merkezi, sistemdeki tümparçacıkların toplandığı bir nokta ve sistem üzerine etkid tü d k tl kt tki ibieden tüm dış kuvvetler o noktaya etkiyormuş gibi

düşünülebilir.

Bir beyzbol sopasının şekildeki gibi havaya fırlatıldığını ve yer-çekimi kuvvetinin etkisi altındaki hareketini düşünelim. y ç şSopanın kütle merkezi siyah bir nokta ile işaretlenmiştir. Kütle merkezinin hareketine bakıldığında, bunun bir ğ ,eğik atış hareketi olduğu kolayca görülür.

(9-3)Ancak, kütle merkezi dışındaki noktaların hareketleri oldukça karmaşıktır.DR. M


Konumları şekilde verilen Örnek :

1 2 3

ş1.0 kg ve 2 kg kütleli

üç parçacıktan oluşan sisteminm = m = m =üç parçacıktan oluşan sisteminkütle merkezini bulunuz.

) kmr

1 1 1 2 2 3 3 (1)(1) (1)(2) (2)(0) 0 75 m

n

i ii

m xm x m x m xx

km1 2 3

0.75 m1 1 2

xM m m m

n

1 1 1 2 2 3 3

km1 2 3

(1)(0) (1)(0) (2)(2) 1 m1 1 2

i ii

m ym y m y m yy

M m m m

kmˆ ˆ0.75i j m

1r

(9-4)

1 o1tan ( ) 53.10.75


DR. LEYLA YILDIRIM

1 2ˆ ˆ -düzlemindeki konumları 12 j (cm), 12i (cm) vexy r r Örnek :

3 1

2 3

ˆ ˆ12i 12 j (cm) olan cisimlerin kütleleri de sırasıyla, 0.4 kg ve0.8 kg ile veriliyor. Sistemin kütle merkezini bulunuz.

r m =m = m =

2 3

n

1 1 1 2 2 3 3

km1 2 3

(0.4)(0) (0.8)( 12) (0.8)(12) 00.4 0.8 0.8

i ii

m xm x m x m xx

M m m m

1 2 3 0.4 0.8 0.8M m m m

n

m y1 1 1 2 2 3 3

km1 2 3

(0.4)(12) (0.8)(0) (0.8)( 12) 1.2 cm1 1 2

i ii

m ym y m y m yy

M m m m

kmˆ ˆ î j 1.2 j cmkm kmr x y

km j jkm kmy

(9-5)DR. M


Katı Cisimlerin Kütle Merkezi :

Maddenin, içinde homojen bir şekilde dağıldığı sistemlere katı cisimler diyebiliriz.Böyle cisimlerin kütle merkezlerini bulmak için kesikli toplama işlemi yerineBöyle cisimlerin kütle merkezlerini bulmak için, kesikli toplama işlemi yerinesürekli toplama işlemi olan integrali kullanacağız:

1 1 1km km km

1 1 1 x xdm y ydm z zdmM M M

Cisimlerin simetrisi (simetri noktası, simetri ekseni, simetri düzlemi) uygun ise integralalma işlemine gerek kalmayabilir. Kütle merkezi simetri elemanı üzerinde olacaktır.ş g y

ÖÖrneğin bir kürenin kütle merkezi, kürenin merkezidir. C

CBir dikdörtgenin kütle merkezi, karşılıklı köşegenleribirleştiren doğruların kesişim noktasıdır.

(9-6)DR. M


Katı cisim uzunluğuna ve kütlesine sahipbi i kü l ğ l ğ i i ldib k

L M

k

bir ise, kütle yoğunluğu çizgiseldir:çubuk1dm M x x dx km

dx x

ldx

ML

i i l k l i hiA M , Adm

dA

Katı cisim yüzey alanına ve kütlesine sahip ince bir ise, kütle yoğunluğu yüzeyseplaka ldir:

A M

km km1 1 ; dm M

dAx x dA y y dA

MA M

Katı cisim hacmine ve kütlesine sahip ise,V MM , V

kütle yoğunluğu hacimseldir:dm

dV

km km km1 1 1 ; ; d x x dV y y dVm M

dV Vz z dV

M M M

(9-7)DR. M


) Kütlesi ve uzunluğu olan homojen bir çubuğuna M LÖrnek :

) Kütlesi ve uzunluğu olan homojen bir çubuğun kütle merkezini bulunuz.

) Ç b i i l k l l i k l

a M L

b

) Çubuğun çizgisel kütle yoğunluğu ise, kütle merkezini bulunuz. ( çubuğun sol ucundan olanb = x

x

uzaklık, da bir sabittir).

2 21 1 L L L M L 2 22

km 00

1 1) 2 2 2 2

LL L L M La x xdm x dx x

M M M M M L

3

3km 0

0 0

1 1 1) 3 3

L LL Lb x xdm x dx x x dx x

M M M M M

0 0 3 3M M M M M

2

2

2 2

L LL LM dx x dx x 0

0 0 2 2 3 3 2 2L L Mx L

(9-8)

km 23 3 3x L

M M L


DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi ve boyutları şekilde verilen dik üçgenbi i i d ki l k k l k i i b l

MÖrnek :biçimindeki plakanın kütle merkezini bulunuz.

2( ) ( )M M y bd d d( ) ( ) ve 12

y bdm ydx ydxab x aab

3

km 2

1 2 2 2 23 3

aa a b xx xdm xydx x x dx aM b b

2M M b y b

20 0 03 3M ab ab a a

2( ) ( ) ve 12

M M b y bdm a x dy a x dyab a x aab

km1 2 2( ) ( )

b b ay ydm y a x dy y b y dyM b b b

0 0

2 32 1b

M ab ab b

y yy b b

(9-9)

km 202 3 3

y b bb


DR. LEYLA YILDIRIM

1 2 3, 1 2 3Kütleleri , , ..., ve konum vektörleri , , ,...,n nm m m m r r r rParçacık Sistemlerinde Newton'un İkinci Yasası :

3, 3

olan parçacıklı bir sistem düşünelim. Kütle merkezininkonum vektörü şu ifadeyle verili

n n

nr:konum vektörü şu ifadeyle verili

1 1 2 2 3 3km

r:... n nm r m r m r m rr

M

MHer iki tarafın zamana göre türevi alınırsa,

1d d d d d km 1 1 2 2 3 3

1 ... n nd d d d dr m r m r m r m rdt M dt dt dt dtMv m v m v m v m v

km 1 1 2 2 3 3

km

...bulunur. Burada kütle merkezinin hızı, ' de . parçacığın hı

n n

i

Mv m v m v m v m vv v i

zıdır.

H iki t f bi k d h ö tü i l

km 1 1 2 2 3 3

Her iki tarafın bir kez daha zamana göre türevi alınırsa,1 ...d d d d dv m v m v m v m v

km 1 1 2 2 3 3

km 1 1 2 2 3 3

...

...

n n

n n

v m v m v m v m vdt M dt dt dt dtMa m a m a m a m a

(9-10)kmbulunur. Burada kütle merkezinin ivmesi, ' de ia a i . parçacığın ivmesidir.DR. M


. parçacığa etkiyen kuvvet ' dir ve Newton'un ikinci yasasıi

ii F

km 1 2 3

gereği,

...i i i nm a F Ma F F F F

yazılabilir.

dış ik i d i l k ü iki bil l bili çF F F F

dış i kuvveti dış ve iç olmak üzere iki bileşene ayrılabilir: çi i i iF F F F

Bu durumda yukarıdaki eşitlik şöyle bir forma dönüşür:

dış i dış i dış i dış ikm 1 1 2 2 3 3

dış dış dış dış i i i i

...ç ç ç çn n

ç ç ç ç

Ma F F F F F F F F

M F F F F F F F F

netEşitliğin sağındaki ilk parantez, sistem üzerine etki eden net kuvvettir ( ). F

d ş d ş d ş d şkm 1 2 3 1 2 3... ...ç ç ç ç

n nMa F F F F F F F F

km

İkinci parantez ise, Newton'un üçüncü yasası gereği sıfırdır. Bu durumda,

kütle merkezinin hareket denklemi Ma

net ' dir ve bileşenler cinsinden F

net, km, net , km, net, km,

bağıntıları il

e veri

lir

.

x x y y z zF Ma F Ma F Ma

(9-11)

ğDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

km net Ma FYandaki eşitlikler, bir parçacık sisteminin kütle

net, km,x xF MaF M

merkezinin, sistemdeki tüm parçacıkların toplandığıve tüm dış kuvvetlerin etkidiği bir noktasal kütle

net, km,

net, km,

y y

z z

F Ma

F Ma

gibi hareket edeceğini göstermektedir.

Şekildeki örneği ele alalım. et, ,

Yerden ateşlenen bir roket yerçekimi kuvvetinin etkisi altında parabolik bir yol izler.

Şekildeki örneği ele alalım.

p y Belli bir anda roket patlar ve birçok parçaya ayrılır. Patlama olmasaydı, r oketin izleyeceği yol kesikli çizgiyle gösterilen yörünge olacaktı. Patlamada ortaya çıkan kuvvetler iç kuvvetler

olduğundan vektörel toplamı sıfır olacaktır.

Roket üzerinde etkin olan kuvvet hala yerçekimi kuvvetidir. Bunun anlamı, patlamada ortaya çıkan parçalar da yerçekimi

kuvveti etkisiyle parabolik bir yörüngede hareket ederler. D l l kü

tl k i i ö ü i tl d ö ki

(9-12)

Dolayısıyla kü tle merkezinin yörüngesi, patlamadan önceki yörüngesiyle aynı olacaktır.DR. M


Kütlesi ve hızı olan bir cismin çizgisel momentumum vÇizgisel Momentum :

Kütlesi ve hızı olan bir cismin çizgisel momentumu

il t l SI i t i d ki bi i i k / ' dip m

m vv

p mv

ile tanımlanır. SI sistemindeki birimi kg.m/s' dir.p

Momentum ifadesinin her iki tarafının zamana göre türevi alınırsa,

net

Momentum ifadesinin her iki tarafının zamana göre türevi alınırsa,dp d dvp mv mv m ma Fdt dt dt

net bulunur.

dt dt dtdpFdt

dt

Bu ifade Newton' un ikinci yasasının bir başka ifade şeklidir.

Bir cismin çizgisel momentumunun değişim hızı, o cisme etkiyen net kuvvetin büyüklüğüne eşittir ve onunla (net kuvvetle) aS

yözlü ola

nı yönderak: "

dir.

Bu eşitlik, bir cismin çizgisel momentumunun ancak bir dış kuvvetle değişebileceğini göstermektedir. Dış kuvvet sıfır ise, cismin çizgisel

(9-13)

değişebileceğini göstermektedir. Dış kuvvet sıfır ise, cismin çizgisel momentumu değişmez.DR. M


Parçacık Sistemlerinin Çizgisel Momentumu:. parçacığın kütlesi , hızı ve çizgisel momentumu

olsun. tane parçacıktan oluşan bir sistemin çizgiseli i

i

i m vp n

o su . ta e pa çac ta o uşa b s ste ç g semomentumu şu şekilde verilir:

ip n

1 2 3 1 1 2 2 3 3 km... ...Bir parçacık sisteminin çizgisel momentumu sistemdeki parçacıkların

n n nP p p p p m v m v m v m v Mv

km

Bir parçacık sisteminin çizgisel momentumu, sistemdeki parçacıklarıntoplam kütlesi ( ) ile kütle merkezinin hızının ( ) çarpımına eşittir.M v

Her iki tarafın zamana göre türevi alınırsa,

dP d M M F km km net

bulunur. Bu eşitlik, parçacık sisteminin çizgisel momentumunun ancak bir dış

Mv Ma Fdt dt

kuvvetle değişecebileceğini göstermektedir.

(9-14)Dış kuvvet sıfır ise, parçacık sisteminin çizgisel momentumu değişmez.DR. M


ˆ ˆ Kütlesi 2 kg olan bir cismin hızı (2i 3j) m/s ve kütlesi 3 kg olan bir cisminÖrnek :ˆ ˆhızı da (i 6j) m/s' dir. İki parçacıktan oluşan bu sistemin kütle merkezinin hızını ve

momentumunu bulunuz.+

1ˆ ˆ ˆ ˆ2(2i 3j) 3(i 6j) ˆ ˆ1 4i 2 4j m/s

N

i ii

m v+ +v

km 1.4i 2.4 j m/s

2 3v

M

ˆ ˆ ˆ ˆ5 1 4i 2 4j 7i 12j kg m/sP Mv

Yerden yukarı doğru ateşlenen bir roket 1000 m yükseklikte 300 m/s hıza sahipkenÖrnek :

km km 5 1.4i 2.4 j 7i 12j kg m/sP Mv

y ğ ş y ppatlayarak üç eşit parçaya bölünüyor. Birinci parça 450 m/s hızla aynı yönde, ikincisi240 m/s hızla doğuya gidiyor Üçüncü parçanın hızı nedir?240 m/s hızla doğuya gidiyor. Üçüncü parçanın hızı nedir?

1 2 3Mm m m 1 2 3

1 1 2 2 3 3 3 1 2

33i i

m m m

Mv m v m v m v v v v v

(9-15) 3

ˆ ˆ ˆ ˆ900 450 240 450 240 m/sv K D K D DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Bir cisme sıfırdan farklı bir dış kuvvet etkidiğinde cismin çizgisel Çarpışma ve İtme:

ş ğ ç gmomentumunun değişebileceğini öğrendik. İki cismin çarpışması sürecinde böyle kuvvetler ortaya çıkar. ç p ş y y ç Bu kuvve tlerin şiddetleri çok büyük ancak, etkime süreleri çok kısadır. Çarpışan cisimlerin çizgisel momentumlarındaki değişimin kaynağıdırlar.

İki cisim arasındaki çarpışmayı düşünelim. Çarpışma,cisimlerin temas ettiği anında başlar ve temasın kesildiği

anında biter. Cisimler çarpışma süresince birbirlerine ( )il il d i k bi

i

s

t

t F t

k l l k iile verilen değişken bir kuvvet uygularlar. Bu kuvvetindeğişimi Şekil- ' da verilmiştir. a

( ) ile verilir. Burada , cisimlerden birisinin çizgiseldpF t pdt

momentumudur.

( ) ( )s st t

dp F t dt dp F t dt

(9-16)

( ) ( )i it t

dp F t dt dp F t dt DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

momentumdaki değişimst

s idp p p p

( ) " " veya " " olarak tanımlanıritme impuls .

i

s

t

t

J F t dt

it

İtme, çarpışan bir cismin çizgisel momentumundaki değişime eşittir: J p

Genellikle, çarpışma süresince cisimler arasındaki etkileşme kuvvetinin zamanlanasıl değiştiğini bilemeyiz. Ancak, itmenin büyüklüğü kuvvet-zaman grafiğindeeğri altında kalan alana eşittir.

ortAynı alanı verecek şekilde ortalama bir kuvvet ( ) bulursak,Fort

ort ort

cisimlerin birbirlerine uyguladığı itmeyi, ( )s iJ F t F t t

G t ik l k ( ) fiği lt d k l lF t t

ort ort ( )şeklinde yazabiliriz.

s i

ort

Geometrik olarak, ( )- grafiği altında kalan alan ile - grafiği altında kalan alan aynıdır (Şekil- )

F t tF t b

(9-17)DR. M


Kütlesi ve + -yönünde hızı olan özdeş parçacıkların süreklim x vSeri Çarpışmalar :

y ş p çbir şekilde sabitlenmiş bir hedefe çarptığını düşünelim.

süresince tane parçacığın hedefe çarptığını varsayalım Herbir parçacığınt n süresince tane parçacığın hedefe çarptığını varsayalım. Herbir parçacığınmomentumundaki değişim olacaktır. Herbir çarpışmada kadarlık bir

h d f k l k

t np p

momentum hedefe aktarılacaktır.

süresince hedef üzerindeki itme (impuls) olduğundan, t J n p

ort

( p ) ğ

olur. Burada , çarpışma nedeniyle

pJ n p nF m v vt t t

herbir parçacığın hızındaki değişim miktarıdır. Dolayısıyla,t t t

m

ort

mF vt

l bili B d ki kl h d f h dmyazılabilir. Buradaki , parçacıkların hedefe çarpma hızıdır.mt

Çarpışmadan sonra parçacıklar duruyorsa 0 olurv v v

(9-18)

Çarpışmadan sonra parçacıklar duruyorsa, 0 olur.Çarpışmadan sonra parçacıklar tam olarak yansıyorsa, 2 olur.

v v vv v v v


DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi 400 g olan bir top 30 m/s hızla,Örnek :şekildeki gibi bir duvara doğru fırlatılıyor. Topduvara çarptıktan sonra geliş doğrultusunun tersiyönünde 20 m/s hıza sahiptir.

) Duvarın topa uyguladığa ı itme nedir?) p yg ğ) Topun duvarla temas süresi 10 ms ise, duvarın topa uyguladığı

ortalama kuvvet nedir?b ortalama kuvvet nedir?

ˆ ˆ ˆ

) 0.4 20i ( 30i) 20i kg m/ss ia J P mv mv

ˆ20iJ

20i ˆ) 2000i N0.01ort ort

Jb J F t Ft

(9-19)DR. M


Kütlesi 400 g olan bir top 20 m/s hızla yatayÖrne k :

o

doğrultuda sola doğru geliyor. Oyuncu topa gelişdoğrultusunun tersi yönünde yatayla 45 ' lik biraçıyla vuruyor ve topa 30 m/s' lik bir hız kazandırıyor. Top ile oyuncuarasındaki temas süresi 10 ms olduğuna göre,ğ g ,

) Oyuncunun topa uyguladığı itme nedir?) Oyuncunun topa uyguladığı ortalama kuvvet nedir?

ab) Oyuncunun topa uyguladığı ortalama kuvvet nedir?b

ˆ ˆ ˆ) 0.4 30 cos 45i + 30sin45j ( 20i)s ia J P mv mv ) j ( )

ˆ ˆ 16.5i + 8.5j kg m/s

s i

J

ˆ ˆ16.5i +8.5j ˆ ˆ) 1650i +850j N ort ortJb J F t F

2 2 1 o

) j0.01

8501650 850 =1856 N ; tan =27.25

ort ort

t

t

F

(9-20)

1650 850 1856 N ; tan 27.25 1650ortF DR. M


Çizgisel Momentumun Korunumu :Bir parçacık sistemi üzerine etkiyen net kuvvet

0 0 bidP

net net0 0 sabitdPF F Pdt

Bir parçacık sistemi üzerine dış kuvvet etkimiyorsa,

toplam çizgisel momentum değişmezP

toplam çizgisel momentum değişmez.P

Herhangi bir anındaki Herhangi bir anındaki

=i st t çizgisel momentum çizgisel momentum

Çizgisel momentumun korunumu önemli bir ilkedir ve çarpışma problemlerininçözümünde büyük kolaylık sağlarçözümünde büyük kolaylık sağlar.

netBir sistem üzerine etkiyen dış kuvvet 0 ise, iç kuvvetler ne kadarbü ük l l i i l t h kNot : F

(9-21)

büyük olursa olsun, çizgisel momentum her zaman korunur.DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Bir nişancı 3 kg' lık bir tüfeği geri tepmesineizin verecek şekilde tutuyor Yatay doğrultudaÖrnek :izin verecek şekilde tutuyor. Yatay doğrultudanişan alarak 5 g' lık mermiyi 300 m/s hızla eteşliyor.

) f i i h) Tüfeğin geri tepme hızını,) Merminin ve

ab tüfeğin momentumunu,

) Merminin ve tüfeğin kinetik enerjisini bulunuz.c

0 005mv 0.005 ˆ ˆ) 0 300i 0.5i m/s

3R Rmva P mv MV V =M

ˆ ˆ) (0.005)300i 1.5i kg m/s

ˆ ˆ(3) 0 5i 1 5i k /mb P mv

P MV

(3) 0.5i 1.5i kg m/sR RP MV

2 21 1) (0 00 )(300) 2262 21 1) = (0.005)(300) =226 J2 21 1

mc K mv

(9-22)

2 21 1 = (3)(0.5) =0.375 J2 2R RK mVDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kütleleri e ilk hı ları eÇarpışmalarda Momentum ve Kinetik Enerji :

1 2 1 2

1 2

Kütleleri ve , ilk hızları ve ,çarpışmadan sonraki hızları da ve l iki i i dü ü li

i i

s s

m m v vv v

olan iki cisim düşünelim.

netSistem izole ve 0 ise, çizgisel momentum korunur. F

Bu kural, çarpışmanın türüne bakılmaksızın doğrudur.

Çarpışmaları iki sınıfta toplamak mümkündür.

Kinetik enerjide bir kayıp yoksa ( ) çarpışma çarpışmadıresnekK K

"Esnek (elastiÇa p ş a a s ta top a a ü ü dü .

ve olmk)" " ayanEsnek ol çarpışmmayan" alar.

Kinetik enerjide bir kayıp yoksa ( ), çarpışma çarpışmadır. Kinetik enerjide bir kayıp varsa ( ), çarpışma çarpışmadır.Bu kayıp başka bir enerji

esn

fo

ekesnek o

rmuna dönüşmüştür derilmayan

z

i s

s i

K KK K

Bu kayıp başka bir enerji formuna dönüşmüştür deriz.

İki cisim çarpıştıktan sonra birbirine yapışıp birlikte hareket ediyorsa, "tamamen esnek olmcisimler veya

yapmıştır deriz. Bu tür çayan" "esnek olmayan tam

arpışmalar esnek olmayançarpış

çarpıa"m

şma türüdür ve

(9-23)kinetik enerjideki kaybın en fazla olduğu çarpışma türüdür.DR. M


Bir -Boyutta Esnek Olmayan Çarpışma:Bu tür çarpışmalarda, çarpışan cisimlerin çizgisel momentumları korunur:

1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2i i s s i i s sp p p p m v m v m v m v

Bir Boyutta Tamamen Esnek Olmayan Çarpışma :Bu tür çarpışmalarda, çarpışan cisimler yapışır ve çarpışmadan sonra birlikte hareket ederler Soldaki resimde

Bir - Boyutta Tamamen Esnek Olmayan Çarpışma :

2

1

sonra birlikte hareket ederler. Soldaki resimde, 0 özel durumu için:iv

mV V V

11 1 1 2

1im v m V m V V

m 1

2

bulunur.

ivm

Bu tür çarpışmalarda kütle merkezinin hızı

p p m vP

1 2 1 1km

1 2 1 2 1 2

il ili

i i ip p m vPvm m m m m m

(9-24)

ile verilir.DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kütleleri 0.5 kg ve 0.3 kg olan iki blok şekildeki gibi birbirine doğru2 m/s' lik hızlarla hareket ediyorlar Çarpışmadan sonra iki blok birleşip birlikteÖrnek :2 m/s lik hızlarla hareket ediyorlar. Çarpışmadan sonra iki blok birleşip birliktehareket ettiklerine göre, çarpışmadan sonra blokların ortak hızı nedir? Sistemin çarpışmadan önceki ve sonraki kinetik enerjisini kıyaslayınızSistemin çarpışmadan önceki ve sonraki kinetik enerjisini kıyaslayınız.

1 1 2

ˆ ˆ(0.5) 2i (0.3)( 2i)

A A B B A B ABm v m v m m v

2

(0.5) 2i (0.3)( 2i)ˆ0.5i m/s

0.5 0.3ABv

2 2 21 1 1 2 2

1 1 11.6 J ; 0.1 J2 2 2

1 5 J' lük enerji kaybı vardır

A A B B A B ABK m v m v K m m v

K K K

(9-25)

2 1 1.5 J' lük enerji kaybı vardır.K K K DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi olan bir mermi, kütlesi olan tahtam MÖrnek :tamamen esnek olmayanbloğa doğru ateşleniyor ve

yapıyorlar. Blok+mermi sistemi maksimum yüksekliğine çarpışma

yçıkıyor. Merminin geliş hızını, bilinenler cinsinden bulunuz.

1

mvmv m M V Vm M

2 21 22

m M V m M gy V gy

22 2 2m m M

2 2 2v gy v gy

m M m

(9-26)DR. M


Bir tüfekten ateşlenen 8 g kütleli mermi yatay, sürtünmesiz bir ü d b l bi b ğl 0 992 k kütl li t ht bl ğ

Örnek :yüzeyde bulunan ve bir yaya bağlanmış 0.992 kg kütleli tahta bloğa saplanıyor. Blok+mermi yayı 15.0 cm sıkıştırıyor. Yayı 0.25 cm uzatmakiçin gerekli kuvvet 0.75 N olduğuna göre, çarpışmadan hemen sonra blok+mermi sisteminin hızı nedir?

Merminin çarpışmadan önceki hızı nedir?

2

0.75 300 N /m0 25 10

k

0.25 10

m vm v m M V Vm M

Blok+merminin çarpışmadan sonraki hızı

2 21 1 2.6 m /s2 2

m Mkm M V kx V x

M

2 2 m M

325 /m M VM i i d ö ki h

(9-27)

325 m/sv Vm

Merminin çarpmadan önceki hızı: DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kütleleri ve ilk hızları vem m v vBir - Boyutta Esnek Çarpışma :

1 2 1 2

1 2

Kütleleri ve , ilk hızları ve ,çarpışmadan sonraki hızları da ve

l iki i i dü ü li

i i

s s

m m v vv v

olan iki cisim düşünelim.

Bu tür çarpışmalarda hem çizgisel momentum hem de kinetik enerji korunurBu tür çarpışmalarda hem çizgisel momentum, hem de kinetik enerji korunur.

Çi i l t k (E 1)

1 1 2 2 1 1 2 2Çizgisel momentumun korunumu: (Eş-1)i i s sm v m v m v m v

2 2 2 21 1 1 1Kinetik enerjinin korunumu : (Eş-2)m v m v m v m v 1 1 2 2 1 1 2 2Kinetik enerjinin korunumu : (Eş-2)2 2 2 2i i s sm v m v m v m v

1 2İki bilinmeyenli ( ve ) bu iki denklem çözülürse, cisimlerin çarpışmadans sv v

1 2 2

sonraki hızları için şu ifadeler elde edi2

lir:m m m 1 2 2

1 1 21 2 1 2

1 2 12

s i iv v vm m m m

m m m

(9-28)

1 2 12 1 2

1 2 1 2

2s i i

m m mv v vm m mm


DR. LEYLA YILDIRIM

Esnek Çarpışmada Özel Durum = 0 :2v i

2Az önce elde edilen eşitliklerde 0 yazarsak,iv 2

i

1 2ve :s sv v

1 21 2 22m m mv v v m mv v

1 1

1 2

1

1 1 21 2 1 2

1 2 12 2

s i i s iv v vm m m m

m m mv v v

v vm m

mv v

22 12

11 2

21 2 1

bulunur. Aşağıdaki özel durumlara göz atalım:

is ii sv v vm m m m

v vm m

ğ g

211. m m m

1 21 1 1

1 2

0s i im m m mv v vm m m m

12 1 1 1

1 2

2 2s i i i

m mv v v vm m m m

(9-29)Çarpışan cisimler hızlarını değiştirirl r.eDR. M


12 1 . 1 2 mm m

1

2 12

1mm

1 2 2

1 1 1 111 2

1

1s i i i

m m mv v v vmm m

2

1

1

2

m

m

1

21 12 1 1 1

1

22 2

1s i i i

mm mv v v vmm m m

11 2 2

2

1mm m mm

1 cismi (küçük cisim) aynı hızla geliş yönünün tersi yönünde hareket eder.mm1

22

cismi (büyük cisim) ileri yönde çok küçük bir hızla hareket eder ( 1). mmm

(9-30)DR. M


21 23 . 1 mm m

2

11 2

1

3 .

m

m mm

1 2 11 1 1 1

21 2

1

1s i i i

m m mv v v vmm m

1 2

1

1

1

2 2 2

mm

12 1 1 1

21 2

1

21

s i i iv v v vmm mm

1

i i (bü ük i i ) d h l l d d1

2

cismi (büyük cisim) neredeyse aynı hızla yoluna devam eder. cismi (küçük cisim) gelen cismin yaklaşık iki katı bir hızla hareket eder.

mm

(9-31)DR. M


Kütleleri 0.50 kg ve 0.30 kg olan ve blokları birbirinedoğru 2 0 m/s hızlarla yaklaşıp çarpışıyorlar Çarpışmadan sonra

A BÖrnek :doğru 2.0 m/s hızlarla yaklaşıp çarpışıyorlar. Çarpışmadan sonra

bloğu aynı hızla ters yönde giderken bloğunun hızı ne olur?ÇB A

ü ü l bili ?Çarpışmanın türü ne olabilir?

ˆ ˆ ˆ0.50(2.0i) 0.30( 2.0i) 0.50 0.30(2.0i)A Ai B Bi A As B Bs Asm v m v m v m v v ( ) ( ) ( )

ˆ0.20i ˆ0.40i m/s0 50

A Ai B Bi A As B Bs As

Asv

0.50

2 2 2 21 1 1 1(0.50)(2.0) (0.30)( 2.0) 1.6 Ji A Ai B BiK m v m v

2 2 2 2

(0.50)(2.0) (0.30)( 2.0) 1.6 J2 2 2 21 1 1 1(0 50)( 0 40) (0 30)(2 0) 0 64 J

i A Ai B BiK m v m v

K m v m v

(0.50)( 0.40) (0.30)(2.0) 0.64 J2 2 2 2s A As B BsK m v m v

Ki ik ji k k l" "

(9-32)

Kinetik enerji korunmuyor esnek olmayan ça" "rpışmaDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kü l l i d l iki i i dü l i dİki - Boyutta Çarpışma :

1 2Kütleleri and olan iki cismin -düzlemindeçarpıştıklarını gözönüne alalım.

m m xy

1 2 1 2Çarpışma esnek ise kinetik enerji de korunur: i i s sK K K K

1 2 1 2Sistemin çizgisel momentumu korunur: i i s sp p p p

2Çarpışmadan önce parçacığının durgun olduğunu, çarpışmadan sonra dacisminin geliş doğrultusuyla cisminin de açısı yaptığını varsayalım

mm m

1 2 1 2Ç p ş j i i s s

1 1 2 2 cisminin geliş doğrultusuyla , cisminin de açısı yaptığını varsayalım.Bu durumda, momentumun ve kinetik enerjinin korunm m

um ifadeleri:

1 1 1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ekseni: cos cos (Eş-1) ekseni: 0 sin sin (Eş-2)

i s s

s s

x m v m v m vy m v m v

2 2 21 1 1 2 2 2

1 1 1 (Eş-3)2 2 2i s sm v m v m v

1 2 1 1 2 1 2Yedi bilinmeyenli ( ) üç tane denklemimiz var Bunlardanm m v v v

olur.

(9-33)

1 2 1 1 2 1 2Yedi bilinmeyenli ( , , , , , , ) üç tane denklemimiz var. Bunlardan herhangi dört tanesinin verilmesi halinde, diğer üçü kolaylıkla bulunabilir.

i s sm m v v v DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi 20 kg bir oyuncak robot ( ) +x yönünde2 m/s hızla giderken, yolu üzerinde durgun halde bulunan

AÖrnek :2 m/s hızla giderken, yolu üzerinde durgun halde bulunanve kütlesi 12 kg olan başka bir robota ( ) şekildeki gibiçarpıyor Çarpışmadan sonra robo

BA tu geliş doğrultusu ileçarpıyor. Çarpışmadan sonra roboA

o

tu geliş doğrultusu ile30 açı yapacak şekilde yukarı yönde 1 m/s hızla hareketediyorsa robotunun hızı ne olur?Bediyorsa, robotunun hızı ne olur?B

A Ai B Bi A As B Bsm v m v m v m v

Momentumun korunumuA Ai B Bi A As B Bs Momentumun korunumu

ˆ ˆ ˆ 20(2i) (20cos30)i (12 cos )i cos 1.89xi xs B BP P v v ( ) ( ) ( )xi xs B B

ˆ ˆ 0 (20sin 30) j ( 12 sin )j sin 0.833yi ys B BP P v v

0 833 0 8331 o0.833 0.833tan ( ) 23.8 2.06 m/s1.89 sinBv

(9-34)DR. M


Kütlesi 0.5 kg olan bir bilye ( ) +x yönünde 4 m/s hızlagiderken yolu üzerinde durgun halde bulunan ve kütlesi 0 3 olan

AÖrnek :giderken, yolu üzerinde durgun halde bulunan ve kütlesi 0.3 olanbaşka bir bilyeye ( ) esnek olarak çarpıyor. Çarpışmadan sonra

bilyesi gB

A eliş doğrultusu ile bilinmeyen bir açısı yapacak bilyesi gA eliş doğrultusu ile bilinmeyen bir açısı yapacakşekilde 2 m/s hızla hareket etmektedir. bilyesinin hızını, ve

açılarını hesaplayınızB

açılarını hesaplayınız.

2 2 2 21 1 1 1A Ai B Bi A A B Bm v m v m v m v Kinetik enerjinin korunumu

2 2

2 2 2 20.5( ) (16 4) 4 47 m/s

A Ai B Bi A As B Bs

A

m v m v m v m v

mv v v

Kinetik enerjinin korunumu

( ) (16 4) 4.47 m/s0.3Bs Ai As

B

v v vm

Momentumun korunumuˆ ˆ ˆ 0.5(4i) 0.5(2cos )i 0.3(4.47cos )i cos 1.341cos 2

A Ai B Bi A As B Bs

xi xs

m v m v m v m v

P P

Momentumun korunumu

o o

ˆ ˆ 0 0.5(2sin ) j 0.3( 4.47sin )j sin 1.341sin 0

36 8 ve 26 5yi ysP P

(9-35)

36.8 ve 26.5 DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

BÖLÜM-10Dönme

Bu bölümde katı cisimlerin bir eksen etrafındaki dönü hareketiBu bölümde, katı cisimlerin bir eksen etrafındaki dönü hareketiincelenecektir. Bu konu kapsamında aşağıdaki konulara değinilecektir:

A l d ği ti Açısal yer-değiştirme Ortalama ve anlık açısal hız (ω) Ortalama ve anlık açısal ivme (α)ç ( ) Dönme eylemsizlik momenti (I) Tork (τ)

Ayrıca,

dönen katı cisimlerin kinetik enerjisi,j ,

dönen cisimler için Newton’ un ikinci yasası

dönme hareketi için iş kinetik enerji teoremi

(10-1)

dönme hareketi için iş-kinetik enerji teoremi

üzerinde de durulacaktır.

Dönmedeki Değişkenler:

K t i i ü i d ki tü kt l bi bi l i öKatı cisim, üzerindeki tüm noktaların birbirlerine görehareket etmediği cisimlerdir.

Bi k t f d dö k t bi i i t k biBir eksen etrafında dönen katı bir cismi tek birdeğişkenle tarif edebiliriz.

k i i k i ld ld ki k i iDönme ekseninin z-ekseni olduğu soldaki katı cismi göz önüne alalım. Cisim içinde ve dönme eksenine dik bir referans çizgisi seçelim. Katı cismin üstten görünüşübir referans çizgisi seçelim. Katı cismin üstten görünüşü hemen alttaki resimde verilmiştir.

Herhangi bir t anında referans çizgisinin açısal konumu, t = 0 anındakiaçısal konumuyla θ kadar bir açı yapıyor olsun. Katı cisim üzerindekinoktalar birbirlerine göre hareketsiz olduklarından θ referans çizgisinoktalar birbirlerine göre hareketsiz olduklarından, θ referans çizgisiüzerindeki tüm noktaların açısal konumudur ve dönme ekseninden r kadaruzaktaki bir noktanın çizdiği yay uzunluğu s’ ye şu şekilde bağlıdır:

sr

(10-2)

Not: θ radyan cinsindendir.

Açısal Yer-değiştirme:1 2Soldaki resimde ve anlarındaki referans çizgileri

gösterilmiştir. Bu zaman aralığında katı cismin yaptığıt t

2 1açısal yer-değiştirme kad ardır.

Açısal Hız :

12 1

ort2 1

2, zaman aralığında : ortalama açısal hızt t t

t t

ile tanımlanır ve SI sistemindeki birimi rad/s' dir.

ise, ortalama açısal hızın 0 durumundaki limitidirAnlık açı :sal hız t

0

, çç

lim t

dt dt

(10-3)

Açısal İvme:Dönen katı cismin açısal hızında bir değişim oluyorsa,bu değişimin ne kadar hızlı olduğu açısal ivme ileaçıklanabilir.

1 2

1 1 2 2

Üstteki resimde referans çizgisinin ve anlarındaki durumları verilmiştir.Katı cismin anındaki açısal hızı ve anındaki açısal hızı da ' dir.

t tt t

1 2, zaman aralığ ortalamaı açısal ivmenda t t 2 1ort

2 1

:t t t

22 1

ile tanımlanır ve SI sistemindeki birimi rad/s ' dir.

, ortalama açısal ivmenin 0 durumundaki limitidAnlık aç ir:ısal ivme

lim

td

(10-4)

0lim

t t dt

Açısal Hız Vektörü:Açısal hız vektörü, katı cisim saat ibrelerinintersi yönünde dönüyorsa , saat ibreleripozitify y ,yönünde

pdönü negatifyorsa alınır.

Açısal hız vektörü dönme ekseni doğrultusundadırsağ-el-ku

ve kesin yönü" " na göre belirlra e rlı ni

sağ el ku na göre belirlra e rlı ni .

k i i k l dS ğ l k l Dönme eksenini, parmak uçlarınız dönme yönünügösterecek şekilde sağ avcunuza alın ve dönme yönünde bir turSağ -el -kuralı :

atın. Başparmağınızın yönü açısal hız vektörünün ( ) yönünü verir.

(10-5)

2 Bir döner kapının açısal konumu ( ) 5 10 2 rad ifadesi ile veriliyor.0 ve 3 s anlarında kapının açısal hızını ve açısal ivmesini bulunuz

t = + t+ tt = t =

Örnek :0 ve 3 s anlarında, kapının açısal hızını ve açısal ivmesini bulunuz.t = t =

( ) 10 4 (0) 10 rad/s ve (3) 22 rad/sdt tdt

dt

2( ) 4 (0) (3) 4 rad/sdtd

2 Bir mil 65 rad/s hızla dönerken, 0 anında ( ) 10 5 (rad/s ) ileil i li bi h k b l 3 d ki l h b 3 ' lik

t t t Örnek :

( ) ( ) ( )dt

verilen ivmeli bir harekete başlıyor. 3 s anındaki açısal hızını ve bu 3 s' liksüredeki açısal yerdeğiştirmesini bulunuz.

t

3d

0

32

0

( ) ( ) 65 10 2.5 (3) 12.5 rad/sdt d dt t t tdt

0

33 32 2 3

00 0

5( ) (65 10 2.5 ) 65 56

dt d dt t t t t tdt

(10-6)

117.5 rad

Kütlesi 6 kg olan bir blok sürtünmesiz eğik bir düzlem Örnek : üzerindeki noktasından serbest bırakılıyor. Blok noktasındaiken sahip olduğu ivmenin teğetsel ve radyal bileşenlerini bulunuz.

A P

21 2 ( ) 2(9.8)(5 2) 7.67 m/s2

mgh mgR mv v g h R 2

2229.4 m/sr

vaR

2ˆ ˆj 9.8j m/st t tF ma mg a

(10-7)

r Rj jt t tg

Radyal ivme Teğetsel ivme

Dönme hareketinin açısal ivmesi sabit ise cismin açısal hızını ve açısal konumunuSabit Açısal İvme ile Dönme:Dönme hareketinin açısal ivmesi sabit ise, cismin açısal hızını ve açısal konumunuzamana bağlayan basit eşitlikler bulmak mümkündür. Benzer bağıntıları ötelenmehareketini incelerken çıkarmıştık Ötelenme hareketi ile dönme hareketi arasındakihareketini incelerken çıkarmıştık. Ötelenme hareketi ile dönme hareketi arasındakibenzerlik, aşağıdaki nicelikler arasındaki bağlar dikkate alınarak kolayca kurulabilir.

Ö

Ötelenme Dönme

x

v a

0

2

0

2

(Eş-1) 1

1 (Eş 2)

v v at

x x v t at

t

tt

0 00

2 20

2

(Eş-2)

2

2

o

o

x x v t at

v v a x

t

x

t

2 20 0 2 (Eş-3)

(10-8)

2Bir tekerlek 3.5 rad/s ' lik sabit açısal ivme ile dönmektedir. Örnek : e e e 3.5 d/s s b ç s v e e dö e ed .Tekerleğin 0 anındaki açısal hızı 2 rad/s olduğuna göre,

) ilk 2 s içinde ne kadarlık açısal yer-değiştirme yapmıştır?t =

a

Ö e :

) ilk 2 s içinde ne kadarlık açısal yer değiştirme yapmıştır?)

ab t = 2 s anındaki açısal hızı nedir?

2 20

1 1) 2(2) (3.5)(2) 11 rad2 2

a t t

11 1.75 tur yapmıştır.2

N

0) 2 3.5(2) 9 rad/sb t

(10-9)

Bir CD-çalarda, bilgi okuyucu lensin yüzeyetemas ettiği noktanın çizgisel hızı 1.3 m/s' dir ve sabittir.Örnek :

CD' nin boyutları şekilde verilmiştir.) CD' nin iç ve dış kenarlarında iken, lens bilgia yi

h i l h l l k ? hangi açısal hızlarla okur?) Müzik çalma süresi 74 dak+33 s olduğuna göre,

CD kaç defa döner?b CD kaç defa döner?

) İvmenin sabit olduğunu varsayarak, bu zaman aralığında CD' nin ortalama açısalc

ivmesini bulunuz.

3 3

1.3 1.3) 56.5 rad/s ; 22.4 rad/s23 10 58 10iç dış

iç dış

v va v rr r

21) 2 2

s i s is i ib t t t t

t

22 4 56 5

74 60 3322.4 56.5n 28100 tur2 2 2

(10-10) 3 222.4 56.5) 7.6 10 rad/s

74 60 33s i

s ic tt

Bi k t f d dö k t i i ü i d ki bi PÇizgisel ve Açısal Değişkenler Arasındaki İlişki :Bir eksen etrafında dönen katı cisim üzerindeki bir noktasını ele alalım. 0 anında referans çizgisi -ekseniüzerinde ve noktası da noktasında bu

Pt x

P A

lunsunüzerinde ve noktası da noktasında buP A lunsun.

noktası kadarlık bir sürede, yayı boyunca hareket ederekP t AP

Açısal Hız ve Çizgisel Hız arasındaki ilişki :

yolunu alır. Bu sürede referans çizgisi ( ) açısı kadar döner.s OP

olmak üzere, yay uzunluğu ve açısı arasındaki ilişki eşitliğine uyar.

gr OP s s r

2 12 f T

noktasının çizgisel hızı: d rds dP v r r

dt dt dt Açısal hız:

2 f Tf

çevre 2 2 2Hareketin periyodu: hız

r rTv r

(10-11)

noktasının ivmesi iki bileşenlidir. Birincisi " " yönderadyalPİvme :

ş y noktasına doğrudur ve merkezcil ivme olarak adlandırılır.

Büyüklüğü,

yO

22

if d i hi ti

rva rr

ifadesine sahiptir.

İkinci bileşen ise, noktasının izlediği çembersel yörüngeye " "teğetP

yöndedir ve teğetsel bileşen diye adlandırılır. Büyüklüğü,

d rdv da r r

ifadesine sahip .tir

ta r rdt dt dt

2 2

Dolayısıyla ivme vektörü ve büˆ yüklüğü de, t ra a t a r

a a a

(10-12)

ile verilir.

t ra a a

1 2 3Soldaki dönen katı cismi, kütleleri , , , ..., , ....im m m mDönme Kinetik Enerjisi :

olan çok küçük parçalara bölelim. noktası, kütlesi olan . parçacık olsun. i

Pm iKatı cismin dönme kinetik enerjisi, noktasal cisimlerin kinetik enerjilerinin toplamına eşittir:

2 2 21 1 2 2

1 1 1 ....2 2 2 i i

iK m v m v m v

2 2 2 21 1 1. elemanın çizgisel hızı 2 2 2i i i i i i

i ii v r K m r m r I

2 2 terimi, katı cismin dönme eks "eylemsienine göre dirzlik m t .omen i"i ii

I m rEylemsizlik momenti katı cismin kütlesine ve dönme ekseninin konumunabağlı olduğu için, bilinmelidir. Katı bir cismin eylemsizlik momenti, katıcismin kütlesinin dönme eksenine göre nasıl dağıldığını tanımlar.

(10-13)

2 2 2 ; ; 12

i ii

I m r I r dm K I

2 -düzleminde bulunan bir oksijen molekülü O olsun veortasından dik olarak geçen ekseni etrafında dönsün Herbir oksijen

xyz

Örnek :

20

ortasından dik olarak geçen -ekseni etrafında dönsün. Herbir oksijenatomunun kütlesi 2.66 10 kg' dır ve oda sıcaklığında aralarındaki

z

10f 1 21 10 ' dime 10

12

safe 1.21 10 m' dir.) Molekülün -eksenine göre dönme eylemsizlik momenti nedir?a z

12) Molekülün dönme açısal hızı 4.6 10 rad/s ise, dönme kinetik enerjisi nedir?b

22 10

2 2 2 201 1 2 2

1.21 10) 2 2 2.66 102 2i ida I mr mr m r m

40 2

2 2

1.95 10 kg mI

22 40 12 161 1) 1.95 10 4.6 10 20.6 10 J2 2

b K I

(10-14)

2 2

Dört adet küçük küre şekildeki gibi hafif çubukların uçlarına l i d l i kild ki ibi l i il i i

Örnek :tutturulmuş ve sistem -düzlemine şekildeki gibi yerleştirilmiştir.

) Sistem ekseni etrafında açısal hızı ile döndürülürse, xy

a y sistemin dönme eylemsizlik momenti ve dönme kinetik enerjisi nedir?

) Sistem ekseni etrafında açısal hızı ile döndürülürse, b z sistemin dönme eylemsizlik momenti ve dönme kinetik enerjisi nedir?

2 2) 2I M 2 2

2 2 2 2 2

) 2

1 1 2

y i ia I m r Ma

K I Ma Ma

2

2 2y yK I Ma Ma

2 2 2) 2 2z i ib I m r Ma mb 2 2 2 2 2 2 2

)1 1 22 2

z i i

z zK I Ma mb Ma mb

(10-15)

Bazı katı cisimlerin dönme eylemsizlik momentleri:

(10-16)

2Noktasal parçacıklardan oluşan sistemlerde: bağıntısından hesaplanır.i iI m rEylemsizlik Momenti Hesabı :

2

p ç ş ğ p

Katı cisimlerde: bağıntısından hesaplanır.

i ii

I r dm

Eylemsizlik momenti dönme ekseninin konumunaParalel -Eksen Teoremi :

bağlı olduğundan, her farklı dönme ekseni için ' yıtekrar hesaplamamız gerekir.

I

"parBunu

aleln için,

-eksen tçok kolay bir yö

ntem olan

ni kullanaceoremi" ağız.

k

Üstteki kütleli katı cismin kütle merkezinden geçen ve sayfa düzleminedik olan eksene göre eylemsizlik momentini ( ) bildiğimizi varsayalım.

M I

p ğ

Bu eksene paralel ve kadar uzaktaki bir noktasından geçen eksene göre eylemsizlik momenti ( ) şu ifadeyle verilir:

h PI

kmdik olan eksene göre eylemsizlik momentini ( ) bildiğimizi varsayalım. I

2km

eksene göre eylemsizlik momenti ( ) şu ifadeyle verilir: "paralel-eksen teoremi"I M

II h

(10-17)

Soldaki katı cismin, koordinatları ( , ) olan bira bParalel -Eksen Teoreminin İspatı :Soldaki katı cismin, koordinatları ( , ) olan bir

noktasından sayfa düzlemine dik olarak geçen eksene göre eylemsizlik momentini ( ) bulalım.

a bP

Ig y ( )

noktasında seçilen bir elemanın kütlesi ve koordinatları da ( , ) olsun.A dm x y

2 2

noktasında seçilen bir elemanın kütlesi ve koordinatları da ( , ) olsun.

ve noktaları arasındaki uzaklık olur.

A dm x y

A P r x a y b

2 2

2 22 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

P

P

I r dm x a y b dm x ax a y by b dm

I x y dm a xdm b ydm a b dm

İkinci ve üçüncü integraller kütle merkezinin ve koordinatlarına karşılıkgeldikleri için sıfırdır

x y

geldikleri için sıfırdır.

2 2 2km

2 2 2

İlk integral ' ye eşittir. olduğundan dördüncü integral, I a b h

(10-18)

2 2 2km bulunur. Buradan da, sonucu elde edilir. h dm Mh I I Mh

Kütlesi ve yarıçapı olan çembersel bir halkanın, ) yüzeyine dik ve merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik

M RaÖrnek :

) yüzeyine dik ve merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti nedir?

) yüzeyine paralel ve çapı boyunca olan bir dönme eksen

a

b ine) yüzeyine paralel ve çapı boyunca olan bir dönme eksenb ine göre eylemsizlik momenti nedir?

2 2)a I dmR M R

22 3 2) sin sinb I dmy dl R R d 3 3

00

1 cos 2 1 2 sin 22 2

R d R

0

3 21 2 2MI R MR

R

(10-19)

Kütlesi ve uzunluğu olan bir çubuğun merkezindendik olarak geçen eksenine göre eylemsizlik momenti nedir?Örnek : M L

y dik olarak geçen eksenine göre eylemsizlik momenti nedir?y

2 2 2MI dmx dx x x dxL

L

/2 3/22 3 2

/

123 3 8 12

LLM M M LI x dx x ML

Kütlesi arıçapı e üksekliği olan katı bir silindirinÖrnek : M R L

/2/2 3 3 8 12L

LL L L

Kütlesi , yarıçapı ve yüksekliği olan katı bir silindirin eksenine göre eylemsizlik momenti nedir?Örnek : M R L

Silindirle aynı boyda, yarıçaplı ve kalınlığında silindirik bir kabuk seçersek, bulunur. 2 dm dV L

rrd

r dr

2 2 32

4

Buna göre, 2 2

2 2 1R

MI dmr L rdr r L r drR L

M M R

(10-20)

43 2

2 20

2 2 14 2

RM M RI r dr MRR R

Paralel-eksen teoremini kullanarak,kütl i l ğ l bi b ğM LÖrnek :kütlesi ve uzunluğu olan bir çubuğunsol ucundan dik olarak geçen eksenine

M Ly

göre eylemsizlik momenti nedir?

21 1L 2

2 2 21 112 2 3km

LI I Mh ML M ML

Aynı çubuğun kütle merkezinden/4 k d k k iL

Örnek :/4 kadar uzaktan geçen ve eksenine

paralel bir eksene göre eylemsizlik momentiL y

nedir?2

2 2 21 7k

LI I Mh ML M ML 12 4 48kmI I Mh ML M ML

(10-21)

Katı bir cisim, noktasından kadar uzaktaki noktasına uygulanan bir O r P F

Tork :

kuvvetinin etkisiyle noktası etrafında rahatça dönebilmektedir (Şekil- ). O a

Ş kil ' d k i d l ğ l bil l i lb F

Şekil- ' de kuvveti radyal ve teğetsel bileşenlerine ayrılmıştır.b F

noktasından geçen çizgi boyunca etkidiği için kuvvetin bileşeninin dönmeye katkısı yoktur. r

OF

Ancak, kuvvetin teğetsel bileşeni ( sin ) tF F

noktası etrafında dönmeye sebep olur. O

kuvvetinin döndürme etkisi, uzaklığına ve teğetsel kuvvet bileşeninin ( ) büyüklüğüne bağlıdır.t

OP rF

F

(10-22)

ğ ş ( ) y ğ ğt

T k b ğ il liF F FTork, bağıntısı ile tanımlanır. uzaklığı, kuvvetin noktasına olan dik uzakl

sinığıdır

trr O

F rF r F

kuvvet kove olarak adlandırılu l ır.

tr F rF rF

Torkun yönü, cisme etkiyen kuvvet, cismi saat ibrelerinin tersi yönünde döndürüyorsa " "

saat ibreleri yönünde döndürüpozitif

negatifyorsa " " alınır.

(10-23)

1 2 Yarıçapları ve olan iki silindirkild ki ibi bi l i il i i ( )

Örnek : R R

1 2

1 1

şekildeki gibi birleştirilmiştir ( ). Yarıçapı olan silindir üzerine sarılmış ip sağa doğru ,

R RR F

2yarıçapı olan silindir üzerine sarılmış ip aşağıdoğ

R

2ru kuvvetiyle çekiliyor. Feksenine göre oluşan net tork nedir? z

ˆ ˆ ˆ

5 N 1 m 15 N 0 5 m ise net torkunF R F R

1 1 2 2 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ( )R F k R F k R F R F k

ˆ ˆ5 7.5 2.5k k

1 1 2 25 N, 1 m, 15 N, 0.5 m ise, net torkun büyüklüğü ne kadardır? F R F R

2.5 N m

k i f d i i ö ü d döSili di h i ö d dö ?

(10-24)

z-ekseni etrafında saatin tersi yönünde döner.Silindir hangi yönde döner?

Makaraların sürtünmesiz ve ihmaledilebilir kütlelere sahip olduğunu varsayarakÖrnek :edilebilir kütlelere sahip olduğunu varsayarak,kütlesi 1500 kg olan aracı dengeleyecekbloğ n kütlesini b l n

M bloğun kütlesini bulunuz.m

Küçük makarayı gözönüne alalım:

i i ( ) 1 12 sin 1500 9.8 sin(45) 5197 N T Mg T

10 3 1732 NTrT rT T 1 2

11 2 20 3 1732 N

3T T rT rT T

T22 176.8 kgTT mg m

g

(10-25)

Ötelenme hareketinde Newton' un ikinci yasası cisme etkiyenDönmede Newton'un İkinci Yasası :Ötelenme hareketinde, Newton un ikinci yasası cisme etkiyenkuvveti cismin ivmesine bağlar. Benzer bir ilişki, kuvvetin katıcisim üzerine uyguladığı tork ile cismin açısal ivmesi arasındayg ğ çda vardır. Bu ilişki, Newton' un ikinci yasasının dönmedekikarşılığıdır.

Kütlesi olan bir cisim uzunluğunda ağırlıksız bir çubuğun ucunam r

yapıştırılmıştır. Cisim üzerine uygulanan kuvveti ile sistem, orijindengeçen eksen etrafında dönsün.

F

Daha önceden olduğu gibi kuvvetini radyal ve teğetsel bileşenlerineayıralım. Radyal kuvvetin dönmeye katkısının olmadığını biliyoruz.

F

2 t t t t

I

F ma F r ma r m r r r Im

(10-26)

bulunur ( ile karşılaştırınız).

IF ma

uzunluğunda ağırlıksız bir çubuğun ucuna bağlı kütleli parçacık özel Dönen Katı Cisimler İçin Newton'un İkinci Yasası :r m ğ ğ ç ğ ğ p çdurumu için, Newton' un ikinci yasasının dönme hareketindeki karşılığınıbulduk. Şimdi ise, bunu çok daha genel durumlar için tekrarlayalım.Ş , ç g ç y

netNet bir torkun etkisiyle ( ) noktasından geçen eksenetrafında dönebilen çubuk benzeri katı bir cisim olsun

O

1 2 3

1 2 3

etrafında dönebilen çubuk benzeri katı bir cisim olsun. Çubuğu, noktasından olan uzaklıkları , , ,..., vekütleleri olan

nO r r r rm m m m küçük parçalara bölelim1 2 3kütleleri , , ,..., olannm m m m küçük parçalara bölelim.

Her bir parçaya, dönme için Newton' un ikinci yasasını uygularsak; ; ; ;I I I 1 1 2 2 3 3 ; ; ; ....

eşitliklerini elde ederiz. Cisme etki eden toplam tork,I I I

I I I I

l ktnet 1 2 3 1 2 3 ... ...n I I I I olacaktır.n 2

1 2 3Burada, elemanın dönme eylemsizlik momentidir ve ...t l d k t i i dö l i lik tidi

i i i nI m r i. I I I I

(10-27)

toplamı da, katı cismin dönme eylemsizlik momentidir.

netBuradan da, yazılır. I

Yarıçapı kütlesi ve eylemsizlik momenti olan bir tekerlekkild ki ibi t d ü tü i t bi k b ğl d T k l k

Örnek : R, M Işekildeki gibi ortasından geçen sürtünmesiz yatay bir aksa bağlıdır. Tekerleketrafına sarılmış hafif bir ipin ucuna da kütlesi m asılmıştır.

kütlesinin çizgisel ivmesiniipte oluşan gerilme kuvvetinSistem serbest bırakıldığında ,

vei tekerleğin açısal ivmesini bulunuz.m

2 ; Iamg T ma I TR I TR

ipte oluşan gerilme kuvvetin vei tekerleğin açısal ivmesini bulunuz.

R

2

I mgT a

ga 2 2

1T a

R mRI

2 1

aI

mR

a gIR

(10-28)

IR RmR

1 2Kütleleri ve olan iki blok hafif iplerle,Kütlesi , yarıçapı ve eylemsizlik momenti olan

m mM R I

Örnek :, y ç p y

sürtünmesiz iki özdeş makara üzerinden birbirinebağlanmıştır. ğ ş

Sistem durgun halden serbest bırakıldığında, blokların ivmesi ne olur?

1 1 11 3 1 2 1 2

3 2 2

(Eş-1 )m g T m a

T T m m g m m aT m g m a

3 2 2g

1 2

1 3 22 3

2 (Eş-2)I T T R I aT T II T T R I R

1 2(Eş-1) (Eş-2)m m g

aI

(10-29)

1 2 22 Im mR

1 2 Kütleleri =2 kg ve 6 kg olan iki blok hafifbir iple, yarıçapı 0.25 m ve kütlesi 10 kg olan disk

m m =R = M =

Örnek :

şeklindeki bir makara üzerinden birbirine bağlanmıştır. Tümyüzeylerde kinetik sürtünme ka 2tsayısı 0.36' dır ve bloğum

o30 ' lik eğik düzlem üzerindedir.

Sistem serbest bırakıldığında blokların ivmesini ve makaranın

21 2 2 21 1 ; sin cosk km gT m g m gm a T m a

her iki yanındaki iplerde oluşan gerilme kuvvetlerini bulunuz.

21 2 2 21 1 ; sin cosk km gT m g m gm a T m a

1 2 1 2 1 2 2cos sink kT T m m a g m m m

21 2 1 2

1 0.52

I a RI T T R T T MR MaR R

2 1 2 2

1 2

sin cos0.309 m/s

0.5k kg m m m

am m M

(10-30)1 1( ) 7.67 N kT m g a 2 1 0.5 9.22 NT T Ma

Bölüm-7' de, bir kuvvetin bir cisim üzerinde yaptığı işin ( ), oİş ve Dönme Kinetik Enerjisi :

Wcismin kinetik enerjisindeki değişime ( ) eşit olduğunu gördük.K

Benzer şekilde, bir torkun dönen bir cisim üzerinde yaptığı iş, ocismin dönme kinetik enerjisindeki değişime eşittir.

Kütlesi olan cisim, uzunluğunda ağırlıksız bir çubuğun ucuna yapıştırılmıştır.

Katı cismin kadar dönmesi için kuvvetinin yaptığı iş: tdW F r

m

d F d d

r

ile verilir. Kuvvetin radyal bileşeni harerF kete dik yönde olduğu için iş yapmaz.

l ğ d k i ğ l i ve aralığında kuvvetin yaptığı toplam iş:

s

i s

tW F rd d

olur.

i

t

İş-enerji teoreminden kinetik enerjideki değişim de şu ifadeye sahiptir:

(10-31)

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2s i s i s iK W mv mv mr mr I I

Kütleleri ve olan iki cisim uzunluğunda ağırlıksızbir çubuğun uçlarına yapıştırılmıştır. Örnek : M m L

ğ y p

Çubuğa dik bir eksene göre eylemsizlik momentinin minimum olduğu noktayı ve bu noktadan geçenminimum olduğu noktayı ve bu noktadan geçen eksene göre eylemsizlik momentini bulunuz.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2i iI m r I Mx m L x Mx mx mLx mL

0 2( ) 2 0dI M L0 2( ) 2 0M m x mLdx

mx L

2 2

2 2 22( ) 2 m mI M m x m L x m L m L

x LM m

2

( ) 2I M m x m L x m L m LM m M m

m MI L

I L

M m

(10-32)

Kütlesi ve boyu olan çubuk, bir ucundan geçen eksenetrafında düşey düzlemde dönebilmektedir. Çubuk şekildeki gibi

M LÖrnek :

yatay konumdan serbest bırakılıyor.) Çubuğun bırakıldığı andaki açısal ivma esi, kütle merkezinin ve

uç noktasının çizgisel ivmesi nedir?) Çubuk düşey konuma geldiği anda açısal hızı, kütle merkezinin

ve uç noktasının çizgisel hızı nedir?b ve uç noktasının çizgisel hızı nedir?

21 3) 3 2 2

L ga I rF ML MgL

3 2 2L

, ,3 3 3 3 g ; g

2 2 4 2 2t t km t uçL g g a r a a L

L L

2 2 21 1 1 3) L gb E E Mg I ML

2 2 4 2 2L L

) 2 2 2 3i sb E E Mg I ML

L

3 1 3L g L3 3gv L gL

(10-33)

3 2 2km

gv r v gLL

3uçv L gLL

1 2 1 2 Kütlesi ve ( ) olan iki blok şekildeki gibihafif bir iple, yarıçapı ve eylemsizlik momenti olan sürtünmesiz

m m m mR I

Örnek :p , y ç p y

bir makara üzerinden birbirine bağlanmıştır. Sistem durgun haldenserbest bırakılıyor.y

2 bloğu kadar alçaldığı anda hızı ne olur?Tam bu anda makaranın açısal hızı nedir?m h

ç

2 2 2 21 2 1 2 2

1 1 1 102 2 2 2s i

IK = K K = m v + m v + I m m vR

2 2 2 2 R

vR

1 2s iU =U U = m gh m gh

21 2 1 22

10 0 2

IK U m m v m gh m ghR

2 12( )1 m m ghvIR R

2 12( )m m ghvI

(10-34)

1 2 2m mR

1 2 2m mR

Güç bir kuvvet tarafından işin yapılma hızı olarak tarif edilirGüç :Güç, bir kuvvet tarafından işin yapılma hızı olarak tarif edilir.Dönme durumunda ise güç, tork tarafından işin yapılma hızıolarak tarif edilir.

Cisim kadar döndüğünde, torkun yaptığı iş olduğuna göre, güç ifadesi

d dW d

ğ g , g çdW d dP ddt dt dt

İş-Dönme kinetik enerjisi teoremini özetleyecek olursak:

şeklinde elde edilir. ( ile karşılaştırınız).P F v

ş j y

; tork sabit ise s

s iW d W

i

2 2 İş-Dönme Kinetik Enerjisi Teor1 emi12 2s iW K I I

(10-35) GüçP

Ötelenme

Dönme Ötelenme ve Dönme Hareketleri Arasındaki Benzerlik :

xv

0 0

av v at t

2

0

2

0 0 2

2o

atx x ttv t

20

2 2 ov v a x x 2 2

2

0 0

2

21

1K mv K I

2

2

K mv

mF

K I

II

F ma I F

W= .

W= .

F dx

P F v

d

P

(10-36)

BÖLÜM 11BÖLÜM-11Yuvarlanma, Tork ve Açısal Momentum

Bu bölümde şu konulara değineceğiz:Bu bölümde şu konulara değineceğiz:

Çembersel cisimlerin yuvarlanması ve sürtünmeyle olan ilişkisi Çembersel cisimlerin yuvarlanması ve sürtünmeyle olan ilişkisi

Tork’ a genel bir bakış

Parçacık ve parçacık sistemlerinin açısal momentumu

Dönmede Newton’ un ikinci yasası

Açısal momentumun korunumu

Açısal momentumun korunumu ile ilgili uygulamalar Açısal momentumun korunumu ile ilgili uygulamalar

(11-1)DR. M


Bir yüzey üzerinde kaymadan yuvarlanan çembersel kesitliÖtelenme + Dönme = YuvarlanmaBir yüzey üzerinde kaymadan yuvarlanan çembersel kesitlibir cisim düşünelim.

Cismin bu hareketini, kütle merkezinin ötelenmesi ile kütle merkezi etrafındaki dönme hareketinin bir toplamı olarak düşünebiliriz.

1 2Kaymadan yuvarlanan bir bisiklet tekerleğinin = 0 ve = anlarında çekilmişresimleri yukarıda verilmiştir

t t tresimleri yukarıda verilmiştir.

Y d d l bi ö l i t k l ği kütl k i kt h lO kmYerde durgun olan bir gözlemci, tekerleğin kütle merkezi noktasının hızıylailerled

O viğini görecektir.

Tekerleğin zeminle temas ettiği noktası da aynı hızla hareket edecektir. P

(11-2)DR. M


1 2 ile zaman aralığında ve noktalarının her ikisi de kadarlık bir çizgisel yol alırlar. Dolayısıyla,

t t O P s

(E 1) (E 2)ds ds dR R Rkm (Eş-1) ; = (Eş-2)ds ds dv s R R Rdt dt dt

B iki itlik bi l ti ili k d l bi i i i i

km

Bu iki eşitlik birleştirilirse, kaymadan yuvarlanan bir cisim için: v Reşitliği elde edilir.

(11-3)DR. M


kmv Rkm

km kmYuvarlanmanın, hızıyla ötelenme ve kütle merkezi etrafında / açısal hızıyladönme hareketlerinin toplamı olduğunu biliyoruz.

v v R

S f dö h k ti d h kt d kt d ği kt di bü üklüğü

p ğ y

Cisim üzerindeki her noktanın hızı, bu iki hareketin hızlarının vektörel toplamıdır.

Saf dönme hareketinde, hız noktadan noktaya değişmektedir ve büyüklüğü noktasından olan uzaklık olmak üzere, ' ye eşittir .Yönü de, her noktada O r r

çembere teğettir (Şekil- ). a

kmSaf ötelenme hareketinde, her noktanın hız vektörü ( ) aynıdır (Şekil- ). v b

km

Yuvarlanma hareketinde hız, bu iki hızın vektörel toplamıdır. Buna göre, noktasının hızı her zaman sıfır, noktasının hızı ( 0) ve en üstteki noktasının hızı da

PO v r T

(11-4)km 2 ' dır.vDR. M


Yuvarlanma hareketine değişik bir bakış şekildeki gibidirYuvarlanma Hareketi ve "Saf Dönme":Yuvarlanma hareketine değişik bir bakış şekildeki gibidir.Bu hareket, tekerlekle yolun temas ettiği noktasından dikP

vkmolarak geçen eksene göre açısal hızı olanvR

"saf dönme"

hareketi olarak değerlendirilebilir.ğ

Tekerlek üzerindeki her noktanın hızını bulmak için, hızın o noktadaki büyüklüğünü ve yönünü bilmemiz gerekir

Hızın yönü, çembere her noktada teğettir. Örneğin, noktasının hızı , ve AA v A P

o noktadaki büyüklüğünü ve yönünü bilmemiz gerekir.

noktalarını birbirine bağlayan, kesikli çizgilerle gösterilen doğruya diktir. , noktasına olan uzaklığı göstermek üzr P ere, tekerlek üzerindeki her noktanın

çizgisel hızı ile verilir. v r

kmÖrneğin, noktasında 2 olduğundan, 2 2 ,TT r R v R v km

km

ğ , ğ , , noktasında olduğundan, ve noktasında 0 olduğundan, 0' dır.

T

O

P

O r R v R vP r v

(11-5)

ğ , PDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Solda arlanan bir cisim erilmiştir B cismin değmeYuvarlanmada Kinetik Enerji :

PSolda, yuvarlanan bir cisim verilmiştir. Bu cismin değmenoktası etrafında "saf dönme" hareketi yaptığını düşünürsek,ki ik ji i h l k k k l l k

P

kinetik enerjiyi hesaplamak çok kolay olacaktır. Cismin kütlesi ve yarıçapı da olsun.M R

, noktasına göre dönme eylemsizlik momenti olmak üzere, kinetik enerji1

PI P

21 bağıntısı ile verilir. 2 PK I

paralel-eksen teoreminden bulunabilirPI

2 2 2 2 2 2 2 2km km km km km

paralel eksen teoreminden bulunabilir, 1 1 1 1 12 2 2 2 2

P

P

I

I I MR K I MR I MR I Mv

bulunur.

Bu ifadedeki ilk terim, kütle merkezi etrafında açısal hızıyla dönen cismin kinetikO

2

m

2

k

u adede te , üt e e e et a da aç sa y a dö e c s etenerjisini, ikinci terim ise hızıyla ötelenen cismin kinetik enerjisini temsil e

1 1der;

K I

O

M

v

(11-6)

2 2

2 2 km kmK I Mv DR. M


Yarıçapı olan katı bir küre, yarıçaplı yarımkü kli d ki bi k b i i d dü l k

r R

Örnek : küre şeklindeki bir kabın içinde düşeyle açısı yapacakşekilde ilk hızsız serbest bırakılıyor. Küre kaymadan

yuvarlandığına göre, kabın en alt noktasındaki açısal hızıne olur?

Referans noktamız O noktası ( yarıçaplı kürenin merkezi) olsuni sE E

r

2 2 2 2 2 2

Referans noktamız O noktası ( yarıçaplı kürenin merkezi) olsun.1 1 1 1 2(1 cos )2 2 2 2 5km

r

mg R r mv I mr mr 2 2 2 2 5

2 2 10 (1 cos )7(1 cos )g R r

g R r r

2 (1 cos )

10 7g R r r

r

(11-7)DR. M


Sabit bir hızla yuvarlanan bir cisim (şekil ) durumunda değmeaSürtünme ve Yuvarlanma:Sabit bir hızla yuvarlanan bir cisim (şekil ) durumunda, değmenoktası ' nin kayma eğilimi yoktur ve dolayısıyla bu noktadasürtünme kuvveti yoktur

- aP

sürtünme kuvveti yoktur. Yuvarlanan cisme net bir kuvvet etkimesi durumunda, kütle

k i f d f kl bi i i hi l (Ş kil )bkm merkezi sıfırdan farklı bir ivmesine sahip olur (Şekil- ). a b

Yuvarlanan cisim sağa doğru ivmeleniyorsa, noktası solaP

max

doğru kayma eğiliminde olurdu. Bu nedenle, statik sürtünme

kuvveti sağa doğru olacaktır. olduğu sürece s s sf f f

kKaymadan yuvarlanan bir cisim için ' dir. Her iki tarafın zamana göre türeviv R

,maxğ ğ ğhareket düzgündür, yani k

s s sf f fayma yoktur.

km

km

Kaymadan yuvarlanan bir cisim için dir. Her iki tarafın zamana göre türevialınırsa, yuvarlanan cismin kütle merkezinin çizgisel ivmesi ( ) ile açısal ivmesi ( )arasındaki ilişkinin:

v Ra

km

arasındaki ilişkinin:

a kmdv dR Rdt dt

olduğu görülür.(11-8)


DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi ve yarıçapı olan yuvarlak düzgün bir cisimM REğik Düzlemden Aşağı Doğru Yuvarlanma :Kütlesi ve yarıçapı olan yuvarlak düzgün bir cisim,eğim açısı olan eğik bir düzlemden aşağı doğru kaymadanyuvarlanmaktadır ekseni boyunca ötelenme ve dön

M R

x

meyuvarlanmaktadır. -ekseni boyunca ötelenme ve dönx mehareketi için Newton' un ikinci yasasını uygulayarak cisminkütle merke inin i mesini ( ) hesapla abilirikmkütle merkezinin ivmesini ( ) hesaplayabiliriz.a

-ekseni yönünde ötelenme için Newton' un ikinci yasasından:x

km

y y sin (Eş-1)sf Mg Ma

km km kmk k k

Kütle merkezi etrafında dönme için Newton' un ikinci yasasından:

, (Eş-2)a a aRf I Rf I f I km km km 2 , (Eş 2)s s sRf I Rf I f IR R R

kmk k kBuradan da sin sinaI Mg Ma ga

km km2 kmkm

2

Buradan da, sin

sonuc

1

una ulaşılır

I Mg MaR

a IMR

(11-9)

sonucuna ulaşılır.DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

kmkm

sin

1

ga I

21

MR

2

Çemb reI MR 2

Silindir MR 2

Küre 2

2

sin1 /

km

km

I MRgaI MR

2

sin

kmMRI

g

22

5sin

kmI MR

g

2

2 2

1 /sin

kmkm

km

I MRga

2

sin1 /

sin

kmkm

gaI MRg

21 /

sin

kmkm

gaI MR

g

2 21 /sin

1 1

km

km

MR MRga

2 21 / 2sin

kmga

MR MRga

2 21 2 / 5sin

km

k

gaMR MR

ga

1 1

i2

n1 s

km

kma g

1 1/ 22 sin

km

km

a

a g

1 2 / 55 sin 7

km

km

a

a g

2

(11-10)

3km g 7kmDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi yarıçapı ve aksının yarıçapı da olan Yo-YoM R RYo-Yo:

0Kütlesi , yarıçapı ve aksının yarıçapı da olan Yo-Yobir ip boyunca aşağıya doğru yuvarlanarak iniyor. Daha öncekiproblemde olduğu gibi ekseni boyunca ötelenme ve dönme

M R R

yproblemde olduğu gibi, -ekseni boyunca ötelenme ve dönmehareketi için Newt

yon' un ikinci yasasını uygulayarak cismin

kütl k i i i i i ( ) h l bili ikmkütle merkezinin ivmesini ( ) hesaplayabiliriz.a

-ekseni boyunca ötelenme için Newton' un ikinci yasasından:y

km

y ç y (Eş-1)

yMg T Ma

Kütle merke i etrafında dönme için Ne ton' n ikinci asasından:

km km0 km km 2

Kütle merkezi etrafında dönme için Newton' un ikinci yasasından:

, (Eş-2) a aR T I T IR R

kmkm

km km2Buradan da, aMg I ga IaMR

0 0R R

kmk

km km20 m

20

1 IRM

R

Sonucuna ulaşılır.(11-11)


DR. LEYLA YILDIRIM

Bölüm 10' da bir eksen etrafında dönen katı bir cisme etkiyen torku ( )Tork :

Bölüm 10 da, bir eksen etrafında dönen katı bir cisme etkiyen torku ( )hesapladık. Şimdi de, herhangi bir doğrultuda hareket eden bir cismeetkiyen torku belirli bir noktaya göre hesaplayacağız

etkiyen torku belirli bir noktaya göre hesaplayacağız.

Bir cisme etkiyen kuvvetinin uygulanma noktasının belirli bir noktaya göre konumF

vektörü ise, bu kuvvetin oluşturduğu tork ifadesi ile verilir.

Aşağıdaki şekilde, ve her ikisi de

r

r F x

r F

-düzlemindedir. Sağ-el kuralından, torkun y

r F

-ekseni yönünde olduğunu kolayca görebiliriz. z

r F

ile arasındaki açı olmak üzere, torkun büyüklüğü ' dir. sinr F rF

(11-12) üçgeninden, bulunur ve Bölüm 10' sin daki tanımı ile uyumludur. AB rO r r F DR. M


Çi i i l ( ) dö h k i d kiAçısal Momentum :

Çizigisel momentumun ( ) dönme hareketindekikarşı-geliri açısal momentum vektörüdür. Bu yeni vektör,

p mv

ile tanımlanır. r p

Soldaki resimde, ve her ikisi de -düzlemindedir.r p xy Soldaki resimde, ve her ikisi de düzlemindedir.

Sağ-el kuralını uygulayarak ' nin -ekseni yönünde olduğunu kolayca bulabiliriz

r p xy

z

olduğunu kolayca bulabiliriz.

ile arasındaki açı olmak üzere, r p

açısal momentumun büyüklüğü ' dir. sinrmv

üçgen sinden: bulunui rn .r rO r mv AB

2

Açısal momentum, orijinin nerede seçildiğine bağlıdır. Orijini kaydırırsak,açısal momentum için farklı bir değer buluruz. SI sistemindeki birimi kg m / s

Not :

veya J s ' dir.(11-13)


DR. LEYLA YILDIRIM

ˆ ˆdüzleminde hareket eden 1.5 kg kütleli bir cismin hızı 4.2i 3.6 j (m/s)ˆ îl ili Ci i k 1 5i 2 2 j ( ) ld ğ d l l ?

Örnek : xy v =

ile veriliyor. Cismin konumu 1.5i+2.2 j (m) olduğunda, açısal momentumu ne olur?r =

ˆ ˆ ˆ ˆ1 5 4 2i 3 6j ) 6 3i 5 4jp = mv = ( = 1.5 4.2i 3.6 j ) 6.3i 5.4 j p mv (

2

ˆ ˆ î j kˆ ˆ

21.5 2.2 0 1.5 ( 5.4) 6.3 (2.2) k = 22k (kg m /s)6.3 5.4 0

l r p

düzleminde hareket eden 2.0 kg kütleli bir cismin herhangi bir andaki konumuˆ ˆ

Örnek : xy ˆ ˆ6.0i+5.0 j (m) ile veriliyor. Cismin açısal momentumunu bulunuz.r = t

ˆ ˆ ˆdr 5.0 j 2.0 5.0 j 10.0 j

ˆ ˆ î j k

drv p mvdt

2

i j kˆ6.0 5.0 0 60.0k (kg m /s)l r p t

(11-14)0 10.0 0DR. M


Uzunluğu olan hafif bir ipin ucuna bağlı kütlesi,kild ki ibi t dü l d d i l h k t

L mÖrnek :şekildeki gibi yatay düzlemde dairesel hareket yapıyor( ). Hareket süresince ipin düşeyle yaptığı konik sarkaç açısı sabit olduğuna göre, cismin açısal momentumunubulunuz.

22sin tan

vT m vR R

cos gRT mg

R R tan tanv gR p mv m gR

0 radyal yönde net açısal momentum sıfırdırl r p l

, 0 radyal yönde net açısal momentum sıfırdır.sin -ekseni yönünde net bir açısal momentum vardır.

r net

z

l r p ll l z

4

2 3 sinsin(90) sin tan sincoszl Lp Lm gR m gL

(11-15)

cosl

sinR L


DR. LEYLA YILDIRIM

Newton'un ikinci yasasının açısal formu :

netÖtelenme hareketi için Newton' un ikinci yasası: ' dir.dpFdt

Bunun dönme hareketindeki karşı-geliri nedir?

d d dr dvm r v m r v m v r m v v r a

0

m r v m r v m v r m v v r adt dt dt dt

rdv v m r a r ma F

net net0 rv v m r a r ma F

dt

netDönme hareketinde Newton' un ikinci yasası: ' dir.ddt

dt

(11-16)DR. M


Parçacık Sistemlerinin Açısal Momentumu:

1 2 3

tane parçacıktan oluşan bir sistemde, parçacıkların

açısal momentumları , , ,..., olsun. Sisteminn

n 1 2 3ç , , , ,

toplam açısal momentumu:n

1 2 31

... ile verilir. n

n ii

L

Her iki tarafın zamana göre türevinden,n nd ddL dL

net, net, net1 1

= , i ii i

i i

d ddL dLdt dt dt dt

bulunur. Bu tork, sistem üzerine etki eden dış torktur.

Newton' un üçüncü yasası gereği, parçacıkların birbirlerineuyguladıkları torkların (iç tork) toplamı sıfırdır.

(11-17)

uyguladıkları torkların (iç tork) toplamı sıfırdır.DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Bir Eksen Etrafında Dönme, Katı Cismin Açısal Momentumu :Dönme eksenini ekseni olarak alalım ve katı cismi kütleleriz m

Dönme eksenini -ekseni olarak alalım ve katı cismi kütleleri ,konum vektörleri olan tane parçaya bölelim. elemanın açısal

i

i

z mr n i.

momentumu ve büyüklüğü de sin 90

ifadesi i i i i i i i ir p r p r m v

ine sahiptir.

Açısal momentumun sadece -bileşeni vardır ve büyüklüğü,

sin sini i i i i i i i i i

zr m v r m v sin sin

bulunur. iz i i i i i i i i ir m v r m v

A l l bil l i i l d

2

Açısal momentumların -bileşenlerinin toplamı da: n n n n

z iz i i i i i i i i

z

L r m v r m r m r

n

1 1 1 1

olacaktır.

z iz i i i i i i i ii i i i

2

1 toplamı, katı cismin dönme eylemsizlik momenti olduğundan:

n

i ii

m r

(11-18) zL IDR. M


Kütlesi 6 kg ve yarıçapı 12 cm olan bowling topuÖrnek : g y ç p g pkendi ekseni e saniyede 10 defa dönmetrafında .ktedirTopun açısal momentumu nedir?

L IL I

2 2 2 4 22 2 (6)(12 10 ) 345 6 10 kg mI R

4 2345 6 10 10 2 2 17 kg m / sL I L

2 2 2 4 2(6)(12 10 ) 345.6 10 kg m5 5

I mR

(11-19)

345.6 10 10 2 2.17 kg m / sL I L DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi ve uzunluğu olan çubuk, kütle merkezindendik olarak geçen eksen ekseni etrafında rahatça dönebilmektedir

M lz

Örnek :

1 2

dik olarak geçen eksen -ekseni etrafında rahatça dönebilmektedir.İki ucuna ve kütlelerine sahip bilyeler monte edilmiş sistemdü dü

zm ml d h il dö kt didüşey düzlemde hızı ile dönmektedir.

) Sistemin açısal momentumu nedir? ) Çubuk yatayla açısı yaptığı bir anda sistemin açısal ivmesi ne olur?

ab

) Çubuk yatayla açısı yaptığı bir anda sistemin açısal ivmesi ne olur?b

2 2 21 l l l M 2 2 2

21 2 1 2

2

1) 12 2 2 4 3

l l l Ma L I I Ml m m m m

2

1 2 4 3l ML I m m

1 2cos cos22 2

l lm g m g

1 21 2

2

1 21 2

2 cos2 2) g g

m m gb I

Ml M l m mm m

1 21 2 34 3

m m (11-20)


DR. LEYLA YILDIRIM

Şekildeki gibi, bir noktadan sabitlenmiş hafif iple sarılmış yarıçaplı, kütleli bir disk verilmiştir. Sistem serbest bırakıldığında,

RM

Örnek :yarıçaplı, kütleli bir disk verilmiştir. Sistem serbest bırakıldığında,

) ipte oluşan gerilme kuvvetini ve diskin kütle merkezinM

a in ivmesini bulunuz.

) disk kadar alçaldığı andaki hızını bulunuz.b h

1 1 22

1 1) ; 2 2

a aa Mg T Ma I TR I T MR MaR R

21 Mg 2 g3

1122

MgMg Ma Ma aM M

2

2( ) ( g)331T M g a M g Mg

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 3) ib E E Mgh Mv I Mv MR Mv

( ) ( g)33

g g g

) 2 2 2 2 2 4

4

i sb E E Mgh Mv I Mv MR Mv

h

(11-21)

3

v ghDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi , yarıçapı olan bir çim biçme silindirine yataydoğrultuda şekildeki gibi bir kuvveti uygulanıyor. Silindir yatay

M RF

Örnek :doğrultuda şekildeki gibi bir kuvveti uygulanıyor. Silindir yataydüzlemde kaymadan yuvarlanmaktadır. Kütle merkezinin ivmesinin

2

F

F

ik ü ü k ld ğ ö i iF 3M

ve statik sürtünme katsayısının olduğunu gösteriniz.3Mg

22 1 1

2

2s sa aI f R I f MR MaR R

22R R

1 22 3s

FF f Ma M M a F aM

2 3M

2F F F23 3 3s s s

F F Ff Mg F Ma F MM Mg

(11-22)DR. M


Kütlesi , yarıçapı olan bir küre, eğik bir düzlem üzerinden şekildeki gibi yüksekliğinden ilk hızsız bırakılıyor ( ) ve kaymadan yuvarlanarak yarıçaplı

m r hh > r R

Örnek :

çembersel bir yola giriyor. ) a Çembersel yoldaki turu tamamlayabilmesi için minimum yüksekliği ne olmalıdır. h

2 2

) 1 12

i s

mgh mgR mv

a E

I

E

2 2 2 21 1 2 1

2 2 5 5I mr mv

22 2

mgh mgR mv I

2 2 2 21 1 7 72 2 22 5 10 10

mgh mgR mv mv mgR mv h R vg

2

Çemberin içinde dairesel hareket yapan küre çemberin en tepesinde iken üzerine etki

d k il k t l kt ' i i l h dvN h

2 5 10 10g

eden merkezcil kuvvet: olacaktır. ' nin minumum olması, hızın da

mimumum olmasını sağlayacaktır. Bu nok

t

N mg hmR

ada hızın minumum olması için 0 olmalı. N

min2

min min7 7 7 2.7 ve 2 2 2

10 10 10v gR h R v R gR R

g gR

) 3 durumunda, noktasında küreye etki eden merkezcil kuvvet nedir?b h = R P2 2 27 7 102 3 2

10 10 7gRh R v R R v v

g g

(11-23)

10 10 7g g2 10 10 noktasında merkezcil kuvvet:

7 7merv gRP F m m mgR R

DR. M


K t i i l d d hil tü k i t l i i i N t 'Açısal Momentumun Korunumu:Katı cisimlerde dahil, tüm parçacık sistemleri için Newton' un

ikinci yasasının açısal formu: ' tirdL

netikinci yasasının açısal formu: tir.

dt

Eğer sistem üzerine etkiyen net tork sıfırsa ( 0):netEğer sistem üzerine etkiyen net tork sıfırsa ( 0):

0 sabit olur. Bu, açısal momentumun korunumdL Ld

ç

ilkesidir. dt

Bir başka deyimle;

Herhangi bir anındaki Herhangi bir anındakii st t

L L

g g=

net açısal momentum net açısal momentum

i s

i sL L

Dış torkun belli bir eksen yönündeki bileşeni sıfırsa, açısalNot :

(11-24)momentumun o eksen yönündeki bileşeni değişmez (korunur).DR. M


Resimdeki öğrenci, düşey eksen etrafında dönebilenbi b i ü i d k d K ll ikibir taburenin üzerinde oturmaktadır. Kollarını ikiyana açan öğrencinin ellerinde özdeş ağırlıklar

ivarken açısal hızıyla dönmektedir. Bu durumdaki

açı

sal momentum vektörü dönme ekseni boyuncaL

yukarı yöndedir (Şekil- ).a

Öğrenci belli bir anda kollarını topluyor (Şekil- ) ve bu hareket sonucunda, dönmeeylemsizlik momenti, ' den daha düşük bir değer olan ' ye düşüyor. Öğrenci vei s

bI I

tabure sistemi üzerine dış bir torki s

etkimediğinden, açısal momentum korunur.

anında: ve anında: olduğundant L I t L I anında: ve anında: olduğundan,

bulunur.

i i i i s s s s

ii s i i s s s i

t L I t L IIL L I I

i s i i s s s isI

1 Öğrenci son durumda daha hızlı döneriII I

(11-25)

1 . Öğrenci son durumda daha hızlı döner.s is is

I II


DR. LEYLA YILDIRIM

Düşey eksen etrafında rahatça dönebilen bir taburenin Örnek :

2

üzerindeki öğrencinin elinde, 3.9 devir/s' lik bir açısal hızladönen ve eylemsizlik momenti 1.2 kg m olan bir bisiklet

tekerleği vardır. Öğrenci, belli bir anda tekerleği aynı açısalhızla ters yönde dönecek şekilde çeviriyor. Bunun sonucunda,y ş ç yöğrencinin açısal hızı ne olur?

+Öğrenci (öğ) tabure (t)

2

+ birleşik sisteminin toplam dönme eylemsizlik momenti Öğrenci (öğ) tabu

6.8 kg

re (t)

möğI + I = 6.8 kg möğ tI + I2 21.2 kg m ; 3.9 dev/s ; 6.8 kg m ?bt bt öğ t öğI I

2i s bt bt öğ t öğ t btL L L L L L L

2 2 1.2 3.92 1.4 dev/s6 8

bt btbt bt öğ t öğ öğ

II II

6.8öğ tI

(11-26)DR. M


Yarıçapı 2 m, kütlesi 100 kg olan disk şeklindekibi l tf k i d dik l k k t f d h t

R M Örnek :bir platform, merkezinden dik olarak geçen eksen etrafında rahatçadönebilmektedir. Kütlesi 60 kg olan bir öğrenci platformun dışmkenarı e üz rindeyken platformla birlikte 2 rad/s hızla dönmektedir.Öğrenci daha sonra platformun merkezine doğru yürümeye başlıyor.

0.5 m noktasına geldiğinde öğrenci+platform hangi hızla döner? r

Iii s i i s s s i

s

IL L I II

1 1 22 2 21 1 ; 2 2i sI MR mR I MR m r

2 21200 2402 (2) 4.1 rad/s

1 200 15s i

MR mR

22

( )1 200 152

s i

MR m r

(11-27)DR. M


2

Kütle merkezinden dik olarak geçen eksenel i lik i 12 k l

Örnek :2göre eylemsizlik momenti 12 kg m ve uzunluğu

4 m olan ince bir çubuk şekildeki gibi düşey olarak

durmaktadır. Kütlesi 2 kg olan bir cisim 15 m/s yatayhızla çubuğun tepe noktasına esnek olarak çarpıp aynıyönde yoluna devam ediyor. Çarpışmadan sonra cisminçizgisel hızı ve çubuğun açısal hızı nedir?

si s i s s

vL L rmv rmv I rmv Ir

r

2 15 6 m/s12s i

mv vI

21224

Imr

6 3 rad/s2

ss

vr

(11-28)

2rDR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi olan tahta bir blok sürtünmesiz yatay birmasa ü erinde kütlesi ihmal edilebilir nl ğ na sahip

Ml

Örnek :masa üzerinde kütlesi ihmal edilebilir uzunluğuna sahipince bir çubuğa monte edilmiştir. Çubuk diğer ucundan geçendik eksen etrafında serbes

l

tçe dönebilmektedir Kütlesi olandik eksen etrafında serbestçe dönebilmektedir. Kütlesi olanbir mermi çubuğa dik doğrultuda hızıyla tahta bloğa çarpıp saplanıyor. Mermi+bloksisteminin çarpışmadan sonraki açısal hı ı ne ol r? B çarpışmada hangi oranda bir

mv

sisteminin çarpışmadan sonraki açısal hızı ne olur? Bu çarpışmada hangi oranda birkinetik enerji kaybı olmuştur?

i sL Llmv mvlmv I

2lmv IM m l M m l

2 2 21 1 I

2 2 22 2

2

1 12 2 1 11

i s

i

mv I M m lK K I mK m v m M m lmv

2

1i sK K m MK M m M m

(11-29)

iK M m M m DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Ötelenme ve Dönme Hareketleri Arasındaki Benzerlik : Ötelenme Dönme x v a

2 2

1 1K I

p

K

2 2 2

2

K IK mv

m

I

F ma

FI

P Fv

dp

P

d

e netn t dpF

dtd

dt

Imv Lp

Imv Lp

(11-30)DR. M


BÖLÜM-12Titreşimler

Bu bölümde şu ana başlıklara değinilecektir: Basit harmonik harekette yer-değiştirme hız ve ivme Basit harmonik harekette yer değiştirme, hız ve ivme

Basit harmonik salınıcının enerjisi

Harmonik salınıcılara örnekler:

i. Kütle-yay sistemii. Kütle yay sistemi

ii. Basit sarkaç

iii. Fiziksel sarkaç

iv Burulma sarkacıiv. Burulma sarkacı

Sönümlü harmonik hareket

(12-1) Zorla salınımlar/rezonansDR. M


Basit Harmonik Hareket :Şekil- ' da basit harmonik hareket yapan bir cisim resmedilmiştir.a

( ) ( ) cosmx t x t

Cismin yer-değiştirmesi bağıntısı ile verilir ve zamanla( ) cosmx t x t

nasıl değiştiği Şekil- ' de resmedilmiştir. b

(12-2)DR. M


( ) cosmx t x t Konum fonksiyonu = cismin denge noktasına olan uzaklığı

niceliği de hareketin " " ıdır veaçısal frekans

niceliği " " olarak bilinir ve cismin maksimum yer-değiştirmege sidir. nlikmx

niceliği de hareketin ıdır ve açısal frekans22 fT

ifadesine sahiptir ve SI sisteminde birimi rad/s' dir. T

ise anındaki dır ve SI sisteminde birifaz a mi raçı dy n ırsı a dtt

niceliği, salınıcının " " ve salınan cismin 0 anındaki (0) faz sabitidir t x

ise anındaki dır ve SI sisteminde birifaz a mi raçı dy n ır.sı a dtt

Hareketin zaman içinde kendisini tekrarladığına dikkat ediniz

konumuna ve (0) hızına bağlıdır. SI sisteminde birimi radyandır.v

Hareketin zaman içinde kendisini tekrarladığına dikkat ediniz. Bir tam salınım için geçen süre " " olarak tarif edilir.SI i t i d ki bi i i

perii

od ( )di

TSI sistemindeki birimi saniye .dir

Birim zamandaki salınım sayısı " " olarak tanımlanır.frekans ( )f-1

ySI sistemindeki birimi hertz (s )' d

(

)ir.

f

(12-3)DR. M


( ) cosmx t x t 0 durumunda ( ) cos ' dir Ş kil ' d i il i ti

mx t x t ve Şekil- ' da çizilmiştir.a

B it H ik S l H

( )( ) cos sin

Basit Harmonik Salınıcının Hızı :

m mdx t dv t x t x t

d d ( ) m mdt dt

çarpımı hızın alabileceği maksimumx çarpımı hızın alabileceği maksimumdeğerdir ( ). 0 durumunda

' di Ş kil( ) i ' d i il i ti

m

mvx

b

' dir ve Şekil( ) sin - ' de çizilmiştir.mv t v bt

2 2( )( ) i ( )dv t dt t t t

Basit Harmonik Salınıcının İvmesi :

2 2( )( ) sin cos ( )m ma t x t x t x tdt dt

2 ivmenin alabileceği maksimum değerdir ( ). m max

(12-4)2

ğ ğ ( )

0 durumunda ' dir ve Şekil- ' de çizilmişti( r) cosm m

ma t x t c DR. M


Basit Harmonik Hareket İçin Kuvvet Yasası : 2Basit harmonik salınıcı için olduğunu biliyoruz. ( ) ( )

ça t x t

2 2Newton' un ikinci yasasına göre: ol r.uF ma m x m x

"Bir cisme etkiyen net kuvvet ile cismin yer-değiştirmesi arasında,

" denir

y y ğ ş , olarak bilinen, şeklinde bir ilişki varsa

(burada bir sabit) o cisim basit harmonik hareket yHook Ya

apıysı

orsa F C

Cx

denir.(burada bir sabit), o cisim basit harmonik hareket yapıyorC

B d d b i h ik l i d

2

Bu durumda, basit harmonik salıcının periyodu

olarak bu2 lunurmm C T olarak bu2 lunur.C

m C T

(12-5)DR. M


Üstte sürtünmesiz bir düzlemde, yay sabiti olan birkÜstte sürtünmesiz bir düzlemde, yay sabiti olan biryaya bağlı kütleli cismin hareketi resmedilmiştir.

km

kütleli cisme etkiyen net kuvvet Hooke yasasına uyar: . B il k l k b lCm

kF kx

F C

Bunu, ile karşılaştırırsak bulunur. C = kF Cx

B d d h k ti l f k i dBuradan da, hareketin açısal frekansı ve periyodu

2 2C k m mT ve 2 2

l k h l

Tm m C k

(12-6)olarak hesaplanır.DR. M


Basit harmonik hareket yapan bir cismin mekanik enerjisi , herhangi birEBasit Harmonik Hareketin Enerjisi : Basit harmonik hareket yapan bir cismin mekanik enerjisi , herhangi biranda cismin potansiyel enerjisi ile kinetik enerjisi ' nın toplamıdır.

EU K

2 2 21 1Potansiyel Enerji: cos2 2 mU kx kx t 2 2

2 2 2 2 2 21 1 1Kinetik Enerji: sin sin2 2 2m m

kK mv m x t m x tm

2 2 2 m

2 2 2 21 1Mekanik Enerji: cos sin2 2m mE U K kx t t kx

Şekilde potansiyel enerji " ", kinetik enerji " " ve mekanik y kırmıeşi zıl2 2

enerji de " " çizgi ile gösterilmiştir. ve zamanla değişirken, sabittir. Salınım yapan cismin potansiyel

siy ve kinetik en

ahe

U KE rjileri

(12-7)arasında dönüşüm olurken, toplamları sabit kalmaktadır.DR. M


-ekseni üzerinde basit titreşim hareketi yapan bir cismin konumu( ) 4 (3 + ) if d i il ili ( i i i d di )

xÖrnek : ( ) 4cos(3 + ) ifadesi ile veriliyor ( saniye ve cm cinsindendir).

) Hareketin frekansını ve periyodunu bulunuz.x t = t t xa

) Harekb etin genliğini ve faz sabitini bulunuz.c ) Cismin 0.25 s anındaki konumunu bulunuz.t =

) 3 2 3 1.5 hertz1 2

a f f 1 2 0.67 s

3T

f

) ( ) cos( ) 4 cm ve m mb x t x t x

1) (0 25) 4cos(3 ) 2 83 cmc x ) (0.25) 4cos(3 ) 2.83 cm4

c x

(12-8)DR. M


Yay sabiti 8 N / m olan bir yaya bağlı 0.5 kg kütleli cisim, genliği10 cm olan basit harmonik hareket yapıyorÖrnek : 10 cm olan basit harmonik hareket yapıyor.

) Cismin maksimum hızı ve ivmesi nedir?) Cisim denge noktasından 6 cm uzakta ike

ab

n hızı ve ivmesi nedir?) Cisim denge noktasından 6 cm uzakta ikeb n hızı ve ivmesi nedir?) Cisim 8 cm' den 0' a ne kadar zamanda gider?c x = x =

) ( ) cos( ) ; 4 rad/s ; 10 cmm mka x t x t xm

2 2

40 cm/s 0.4 m/s ( ) 40sin(4 )( ) 10cos(4 )

160 cm/s 1 6 m/s( ) 160cos(4 )mvv t t

x t taa t t

160 cm/s 1.6 m/s( ) 160cos(4 ) maa t t

1cos (0.6)) ( ) 10cos(4 ) 6 0 23 sb x t t t

) ( ) 10cos(4 ) 6 0.23 s4

b x t t t

(0.23) 40sin(4 0.23) 32 cm/s 0.32 m/sv 2 2

( ) ( ) (0.23) 160cos(4 0.23) 97 cm/s 0.97 m/sa

(12-9)DR. M


) ( ) 10cos(4 )c x t t 1

1 1cos (0.8) 8 0.161 s

4x t

1

2 2cos (0) 0 0.392 s

4x t

2 1 0.231 st t t

(12-10)DR. M


Yay sabiti 25 N / m olan bir yaya bağlı 1.0 kg kütleli bir cisim - ekseni üzerinde basit harmonik hareket yapıyor Cisim = 0' da = 3 cm noktasından

xt x

Örnek : üzerinde basit harmonik hareket yapıyor. Cisim 0 da, 3 cm noktasındanserbest bırakıldığına göre,

) Hareketin peri

t x

a yodu nedir?) Hareketin peria yodu nedir?) Cismin konumunu, hızını ve ivmesini zamanın fonksiyonu olarak bulunuz.

c ) Cismin maksimum hızı ve ivmesi nedir?bc ) Cismin maksimum hızı ve ivmesi nedir?

25 2 2(3.14)) 5 rad/s ; 1 256 ska T ) 5 rad/s ; 1.256 s 1.0 5

a Tm T

) ( ) cos( ) 0 'da 3 cm e 0 0b t t t 0) ( ) cos( ) 0 'da 3 cm ve 0 0 ( ) 3cos(5 )

mb x t x t t x vx t t

d

2

( ) 15sin(5 )dxv t tdt

1

) 15sin(5 ) 15 cm/s 0.15 m/smc v t 2

2 ( ) 75cos(5 )d x dva t tdt dt

2 2

1

75cos(5 ) 75 cm/s 0.75 m/sma t

(12-11)DR. M


Yay sabiti 20 N / m olan bir yaya bağlı 0.5 kg kütleli cisim - ekseniü i d liği 3 l b i h ik h k

xÖrnek : üzerinde genliği 3 cm olan basit harmonik hareket yapıyor.

) Sistemin mekanik enerjisini ve cismin maksimum hızını bulunuz.ab ) Cisim denge noktasından 2 cm uzakta iken hızı nedir?c ) Cisim bu noktadayken kinetik ve potansiyel enerjisi nedir?

2 2 31 1) (20)(0.03) 9 10 J2 2ma E K U kx

32

2 21 2(9 10 ) 0 0 0.19 m/s2 0 5m mx U E mv v

2 0.5

22 21 1 2) 0 141 /E kxb E k 2 2) 0.141 m/s

2 2b E mv kx v

m

1 1 22 3

3 3 3

1 1) (0.5) 0.141 5 10 J2 2

c K mv

(12-12)

3 3 3 9 10 5 10 4 10 JU E K DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Sürtünmesiz yatay bir yüzeyde bulunan bloğununi d k l li b k bi bl k ( bl ğ ) b l k d

PB

Örnek : üzerinde kütleli başka bir blok ( bloğu) bulunmaktadır. Blokların temas yüzeylerinde statik sürtünme katsayısı

m B

= 0.6' dır. bloğu bir yaya bas P ğlıdır ve =1.5 Hz frekansında basit harmonikhareket yapmaktadır. bloğunun ' nin üzerinden kaymaması için, harmonik

fB P

hareketin maksimum genliği ne olmalıdır?

,

bloğu da bloğu ile birlikte basit harmonik hareket yapar. 0y s m s m

B PF N mg N mg f mg ma ,y

2Basit harmonik harekette, ile verilir.m ma x

222

2s

s m s m m mgmg ma g a f x xf

0.0662 m 6.62 cmm

fx

(12-13)DR. M


Kütlesi ve yarıçapı olan katı bir küre,5 l ili di ik bi ü d k d

m RR

Örnek : 4R5 yarıçaplı silindirik bir yüzeyde kaymadan

yuvarlanarak, düşey eksen etrafında küçükR 4R

θ

salınımlar yapıyor. Salınım periyodunun

282 RT 28 25

olduğunu göste

RTg

riniz?olduğunu gösteriniz?

4 kü ük kü i O kt ö l hR O OO

4 : küçük kürenin O noktasına göre açısal hızı4

: küçük kürenin kendi eksenine göre açısal hızı v Rv R

2 21 14 (1 cos ) bulunur. 2 2

E mg R mv I 2 2U

K

(12-14)DR. M


O O4 ve 4 ifadelerini enerji eşitliğinde yerine yazar ve zamana v R

2 22 2

göre türev alıp sıfıra eşitlersek (enerji korunduğu için zamanla değişmez)1 1 24 (1 cos ) 4 4 küre içinE mg R m R mR I mR

O O4 (1 cos ) 4 4 küre için

2 5 5E mg R m R mR I mR

O OO O

324 sin 16 0 sin küçük açı5

d ddE dg R Rdt dt dt dt

O O O32 4 16 0 5

g R R

220 5 112 28

g gR R

112 28

5 2 282 bulunur.

R Rg RT 2 bulunur.

28 5T

R T g

(12-15)DR. M


Kütlesi olan bir cisim, O noktası etrafında serbestçe dönebilenuzunluğunda ağırlıksız bir çubuğa monte edilerek şekildeki gibi fiziksel

MLÖrnek :

uzunluğunda ağırlıksız bir çubuğa monte edilerek şekildeki gibi fizikselbir sarkaç yapılmıştır. Sarkaç, bağlantı noktasından L

h kadar aşağıdaki birnoktadan da yay sabit olan bir yaya bağlanmıştır Sistem bir miktar solaknoktadan da yay sabit olan bir yaya bağlanmıştır. Sistem bir miktar solaçekilip serbest bırakılıyor ve basit harmonik hareket yapıyor. Salınımınfrekansını bulunuz.

k

frekansını bulunuz.

Enerjinin korunumundan,1 12 21 1(1 cos ) yazılabilir.2 2

E MgL Mv kx

sin ve cos 1 ifadelerini yukarda yerine yazarv L x h

2

, sin ve cos 1 ifadelerini yukarda yerine yazar ve zamana göre türev alırsak,v L x h

2

2

cosMgL khML

bulunur. 1/22 2

Küçük açı cos 1 yaklaşımı ile birlikte,

1MgL kh kh

(12-16)2

12 elde edilir.2

MgL kh khf f gLML L M


DR. LEYLA YILDIRIM

Kütlesi ve uzunluğu olan ince bir çubuk,bir ucundan geçen mil etrafında serbestçe dönebilmektedir.

m LÖrnek : g ç ç

Çubuğun diğer ucu da yay sabiti olan bir yaya bağlanmıştır.Çubuğun sağ ucu şekildeki gibi

k küçük bir açısı kadarÇubuğun sağ ucu şekildeki gibi küçük bir açısı kadar

kaldırılıp serbest bırakılıyor ve sistem basit salınım hareketiyapıyor Salınımın periyodunu bulunuz

yapıyor. Salınımın periyodunu bulunuz.

Enerjinin korunumundan,2

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 12 2 2 2 3 2 6

vE kx I kx mL kx mvL

yazılabilir.

Her iki tarafın zamana göre türevini alır sıfıra eşitlersekHer iki tarafın zamana göre türevini alır sıfıra eşitlersek, 1 30 bulunur. 3

kkxv mva a x 3

2 3Buradan da periyoda geçersek, 2 elde edilir.3

mk mT

T k

(12-17)3T m kDR. M


E l i lik i l di k bi l il l k iIBurulma Sarkacı :Eylemsizlik momenti olan disk, bir tel ile asılmış ve eksenietrafında salınım yapmaktadır. Diskin açısal yer-değiştirmesi

I

olduğunda telin diske uyguladığı geri çağırıcı tork ol

ur. Bu, Hooke yasasının açısal formudur. Burada telin, y ç

burulma sabitidir.

ile ifadelerini karşılaştırırsak, buluruz. Kütlenin de dönmede eylemsizlik momentine karşılık geldiğini

F C Cx y ş g ğ

hatırlarsak, salınımın açısal frekansı ve periyodu,

; 2 2C I ITI I C

olarak bulunur. Burada diskin tele göre eylemsizlik momentidir. Açısal yer-değiştirme de ifadesine sahiptir. ( ) scom

I, t t

(12-18)DR. M


Sabit bir noktaya bağlı uzunluğundaki ip ile ipin ucuna bağlıLBasit Sarkaç:Sabit bir noktaya bağlı uzunluğundaki ip ile ipin ucuna bağlı

noktasal cisminden oluşur. Kütle denge konumundan birmiktar uzaklaştırılıp serbest bırakılırsa basit harmonik hareket

Lmmiktar uzaklaştırılıp serbest bırakılırsa, basit harmonik hareketyapacaktır. Bi i ki i diğ i d i ki il l k ü iBiri yerçekimi, diğeri de ipteki gerilme olmak üzere, cisme etkiyen iki kuvvet vardır. Bu kuvvetlerin oluşturduğu nett k ' d B d d i i d diiF L tork ' dır. Burada , radyan cinsindendir

ve ipin dü

sin

şey eksenle yaptgr F Lmg

ığı açıdır. 1 ( <10 ) durumunda,

yaklaşımı yapılabilir ve bulunurnsi . Lmg

Bunu ile karşılaştırırsak buluruz KütleninL gF C x C mBunu, ile karşılaştırırsak, buluruz. Kütlenin de dönmede eylemsizlik momentine karşılık geldiğini hatırlarsak,salınımın açısal frekansı ve periyo

L g

du

F C x C m

2

; 2 2 2 2C mgL I I mL LTI I C L L

salınımın açısal frekansı ve periyodu

olarak bulunur.I I C mgL mgL g

(12-19)DR. M


Küçük-açı yaklaşımında, 1 ve dolayısıyla sin

k b ll i i t kkabullenmesini yaptık.

“küçük” açı? Neye göre? Nasıl karar vereceğiz?

( ) ( ) i

küçük açı? Neye göre? Nasıl karar vereceğiz?

(derece) (radyan) sin 5 0 087 0 0875 0.087 0.087

10 0.174 0.174

15 0.262 0.259 (~% 1’lik fark)

20 0 349 0 342 ( % 2’lik f k)20 0.349 0.342 (~% 2’lik fark)

Sonuç: 10o durumunda, küçük-açı yaklaşımını kullanabiliriz.

(12-20)DR. M


Bir noktasından asılmış ve yerçekimi etkisiyle bu noktaOFiziksel Sarkaç :Bir noktasından asılmış ve yerçekimi etkisiyle bu noktaetrafında salınım yapan katı

sincisimdir. Cisme etkiyen net tork,

ifadesine sahiptir. Burada , katı cismin kütle

O

mg hh sin ifadesine sahiptir. Burada , katı cismin kütlemerkezi

mg hh ile noktası arasındaki mesafedir. O

Küçük-açı yaklaşımı ( 10 ) yaparsak, net tork olur. mgh

K l i d d d l i lik i k l k ldiği i h l k

Bunu, ile karşılaştırırsak buluruz.C mghF C x

Kütlenin de dönmede eylemsizlik momentine karşılık geldiğini hatırlarsak,salınımın açısal frekansı ve periyodu

; 2 2C mgh I ITI I C mgh

Burada , katı cismin noktasından geçen eksen ge I OI I C mgh

2

öre dönme eylemsizlikidi ( )I I h

(12-21)

2kmmomentidir( ). I I mh DR. M


Kütlesi ve uzunluğu olan ince bir çubuk, bir ucundan geçenil t f d b t dö bil kt di Kü ük l l i i h k ti

M LÖrnek : mil etrafında serbestçe dönebilmektedir. Küçük salınımlar için hareketinperiyodunu bulunuz.

Enerjinin korunumundan,I. Yol :

2 2 21 1 1(1 cos ) (1 cos )2 2 2 2 3L LE Mg I Mg ML

yazılabilir.

Her iki tarafın zamana göre türevini alır sıfıra eşitlersek;

21 3 2 3 2sin 0 2

2 3 2 2 3L g g LMg ML T

L T L g

II. Yol :L

2 3 2 2 3L T L g

sin 3 2 3 22 21 2 2 3

LMg g g LI TL T L

(12-22)

21 2 2 33

L T L gMLDR. M


Basit Harmonik Hareket ve Düzgün Dairesel Hareket :Bir cismin, yarıçapı olan çembersel bi ö ü ü i d bit bi h l

Düzgün Dairesel Hareket :mx

bir yörünge üzerinde sabit bir hızıylahareket ettiğini düşünelim.

v

noktasında bulunan cismin -ekseniüzerindeki izdüşümü noktasıdır BuP x

P

üzerindeki izdüşümü noktasıdır. Bu noktanın koordinatı da

( )

P

( ) cosolacaktır.

mx t x t

noktası çembersel yörünge üzerinded d i l h k kPdüzgün dairesel hareket yaparken, izdüşümü olan ise -ekseni üzerinde P x

(12-23)basit harmonik hareket yapacaktır.DR. M


noktasının hızı, çarpımına eşit ve çembere her noktada teğettir. hızının

mP v xv

ç ğ-ekseni üzerindeki izdüşümü:( ) i if d i hi ti

xt t ( ) sin ifadesine sahiptir. mv t x t

İvme ise, her noktada çemberin merkezi olan a O

2

noktasına doğrudur ve -ekseni üzerindeki izdüşümü( ) cos ifadesine sahiptir

xa t x t ( ) cos ifadesine sahiptir.ma t x t

İster yer-değiştirmeye, ister hıza, isterse de ivmeye bakalım, düzgün daireselh k t bi i i k i ü i d ki i dü ü ü b it h ik h k t

Sonuç :hareket yapan bir cismin -ekseni üzerindeki izdüşümü basit harmonik hareket yapar.x

(12-24)DR. M


Bir cisim 3 m yarıçaplı bir çember etrafında 8 rad / s sabit açısal hızla dönmektedir.= 0 anında cismin koordinatı 2 m noktasıdır ve sağa doğru hareket etmektedir Cismint x x

Örnek : 0 anında cismin koordinatı 2 m noktasıdır ve sağa doğru hareket etmektedir. Cismin

koordinatını, çizgist x x

el hızının ve ivmesinin bileşenlerini bulunuz.x

8 rad/s ve 3 m olarak verilmiştir. Buna göre,( ) cos( ) 3cos(8 )

m

m

xx t x t t

m

0 ' da, 2 m olduğuna göre,t x

1 o22 3cos( ) cos ( ) 48.23

0

Cisim 0 anında sağa doğru hareket ettiği için, 0 t

dxtdt

0

oolmalıdır. Bu nedenle de, 48.2 0.841 rad alınmalıdır.tdt

24sin(8 0.841)( ) 3cos(8 0.841)

192cos(8 0 841)xv t

x t ta t

(12-25)

192cos(8 0.841)xa t DR. MUSTAFA POLAT ve

DR. LEYLA YILDIRIM

Documents

Fizik i Ders Notlari