Fiziqki Fakultet Univerzitet u Beogradu Zadaci sa ve bi iz ...Uz malo raquna se dobija da je svojstveni vektor modifikovanog grupnog pro-jektora jednak [1] j t mui= X m j t mij mi;

Fiziqki Fakultet

Univerzitet u Beogradu

Zadaci sa ve�bi iz

SIMETRIJA U FIZICI

Marko Milivojevi�

Beograd, 2018

http://www.ff.bg.ac.yu/nanoscience

1

PREDGOVOR

Ova skripta je name�ena studentima B smera Fiziqkog fakulteta Univerziteta uBeogradu koji poha�aju kurs Simetrije u fizici. U �oj su sakupeni i rexenizadaci ra�eni na ve�bama 2017/2018 godine.

18.12.2018, M.M.

Sadr�aj

Predgovor 1

1 Zadaci 1

1.1 Opxti principi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Invarijantni polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Normalne mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Naruxe�e simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Elektronski podsistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Rexe�a 4

2.1 Opxti principi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Invarijantni polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Normalne mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Naruxe�e simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5 Elektronski podsistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Literatura 62

2

1

Glava 1

Zadaci

1.1 Opxti principi

1. Molekul A4 se sastoji od 4 jednaka atoma postavena u temenima kvadrata.W je fiziqka veliqina takva da matriqni element Wij u R4 zavisi samo odrastoja�a izme�u ri i rj. Odrediti svojstvene vrednosti i svojstvene funkcijematrice W .

2. Molekul C2H4 ima geometrijsku simetriju D2h u prostoru R6. W je fiziqkaveliqina takva da matriqni element Wij zavisi samo od rastoja�a izme�u rii rj. Odrediti svojstvene vrednosti i svojstvene funkcije matrice W .

3. Za sistem sa grupom simetrije C4v, odrediti standardni tenzor koji deluje uR2, ako je delova�e grupe simetrije zadato kao D̂A = DpvADpv−1.

4. Za sistem sa grupom simetrije C4, odrediti standardni tenzor koji deluje uR3, ako je delova�e grupe simetrije zadato kao D̂A = DpvADpv−1.

5. Odrediti opxti oblik operatora A = |p〉〈a| koji se transformixe po B+0 IRI

za sistem sa grupom simetrije D2h.

6. Intenzitet meren Ramanovim spektrometrom dat je formulom I = erRes, gdeje er prvac upadnog fotona, es pravac izlaznog fotona i R Ramanov tenzor,dimenzije 3 × 3. Ako se zna da je pravac upadnog fotona z osa, a rasejanogx osa, odrediti IR-u po kojoj se transformixe Ramanov tenzor ako je grupasimetrije sistema D4. Pretpostavaju�i da je oblik tenzora |p〉〈p|, odrediti�egove ireducibilne komponente.

7. Molekul A4BC ima grupu simetrije C4v i on je elementarna �elija kristala.Da li takav kristal mo�e da poseduje feroelektriqne i/ili feromagnetiqneosobine? Ukoliko mo�e, koji su dozvoeni smerovi elektriqnog i magnetnogpoa?

8. Odrediti opxti oblik invarijantnog tenzora koji deluje u R2 (polarno-vektorskodejstvo) ako je grupa simetrije C∞.

2 GLAVA 1. ZADACI

9. Odrediti opxti oblik tenzora magnetne susceptibilnosti χ, (M = χH) akoje grupa simetrije razmatranog sistema C∞v.

10. Ako hamiltonijan perturbacije ima oblikH ′ = |p〉〈p|, odrediti mogu�e prelazeu sistemu sa simetrijom C6.

11. Odrediti simetrizator i antisimetrizator za direktan proizvod:

• dva 2D,

• dva 3D,

• tri 2D,

prostora.

12. Odrediti standardni bazis simetrizovanog i antisimetrizovanog kvadratapolarno-vektorske reprezentacije grupe C4.

13. Pokazati da je potprostor funkcija nad R3 obrazovan kvadratnim monomimakoordinata invarijantan pod delova�em C4v. Odrediti standardni bazis.

1.2 Invarijantni polinomi

1. Odrediti invarijantne polinome prvog, drugog i tre�eg stepena sistema sagrupom simetrije C4.

2. Razviti jednoqestiqni potencijal po invarijantnim polinomima zakuqno sadrugim stepenom ako sistem poseduje grupu simetrije C∞v.

1.3 Normalne mode

1. Izvrxiti simetrijsku klasifikaciju normalnih moda molekula vode.

2. Izvrxiti simetrijsku klasifikaciju normalnih moda dvoatomskog molekulasa razliqitim atomima.

3. Odrediti normalne mode dvoatomskog sistema sa razliqitim atomima ako jepotencijal V (q) = k

2

∑i(q1i − q2i)

2.

4. Odrediti vibracione mode 1D kristala sa dva atoma masa m1 i m2 u elemen-tarnoj �eliji du�ine a. Uraqunati samo interakciju najbli�ih suseda.

1.4. NARUXE�E SIMETRIJE 3

1.4 Naruxe�e simetrije

1. Odrediti mogu�e grupe simetrije niskosimetriqne faze pri ekvitranslacionomfaznom prelazu kristala sa grupom simetrije

• C3v,

• C4v,

• D2h.

Predlo�iti mogu�e parametre poretka za dozvoene prelaze.

2. Grupa simetrije visokosimetriqne faze je D4h. Odrediti mogu�e simetrijeniskosimetriqne faze ako je parametar poretka

• Mz,

• Pz,• MxPx +MyPy,

• Px.

Da li su niskosimetriqne faze prostorno homogene (da li parametar poretkazavisi od r)?

3. Sistem u visokosimetriqnoj fazi ima grupu simetrije C∞h. U trenutku t1dexava se fazni prelaz pri qemu je grupa simetrije niskosimetriqne fazeC2h a onda na t2 jox jedan, tako da je ukupna grupa simetrije C1h. Odreditifiziqki ireducibilne reprezentacije.

4. Za molekule

• A4BC,

• H20,

• NaCl,

proveriti adijabatsku nestabilnost.

1.5 Elektronski podsistemi

1. Odrediti molekulske orbitale molekula sa tri jednaka atoma u temenima jed-nakostraniqnog trougla. Smatrati da su molekulske orbitale (MO) linearnakombinacija s orbitala.

2. Analizirati molekulske orbitale vode smatraju�i ih za linearnu kombinacijunepopu�enih p i s atomskih orbitala.

3. Odrediti molekulske orbitale dvoatomskog molekula sa istim atomima kodkojih se java hibridizacija (uzimati samo s i p orbitale).

4 GLAVA 2. REXE�A

Glava 2

Rexe�a

2.1 Opxti principi

A A

AA

2 3

41

x

y

Slika 2.1: Molekul A4.

1. Grupa simetrije sistema prikazanog na slici 2.1 je D4h, ali poxto fiziqkeveliqine ne zavise od σh, radi�emo sa grupom simetrije C4v. Matrica opera-tora W je data na slede�i naqin

W =

(a b c bb a b cc b a bb c b a

), (2.1)

u kojoj a predstava matriqni element interakcije atoma sa samim sobom, bmatriqni element interakcije dva atoma koji se nalaze na rastoja�u koje jejednako stranici kvadrata, dok je c matriqni element koji odgovara interak-ciji dva atoma koji su na rastoja�u jednakom dijagonali kvadrata. Kako jejedino dejstvo elemenata grupe simetrije permutacija atoma, radi�emo sa per-mutacionom reprezentacijom. Reprezentacija elemenata naxe grupe simetrije

2.1. OPXTI PRINCIPI 5

je jednaka

Dp(e) =

(1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

), Dp(C4) =

(0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

), Dp(C2

4) =

(0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

),

Dp(C34) =

(0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0

), Dp(σx) =

(0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

),

Dp(σxC4) =

(1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

), Dp(σxC

24) =

(0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

),

Dp(σxC34) =

(0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 0

). (2.2)

Tablica ireducibilnih reprezentacija grupe C4v je data u tabeli 2.1. Sada

Tabela 2.1: Ireducibilne reprezentacije grupe C4v i karakter permutacionereprezentacije Dp.

IR e C4 C24 C3

4 σx σxC4 σxC24 σxC3

4A0 1 1 1 1 1 1 1 1

B0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

A2 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

B2 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

E ( 1 00 1 ) ( i 0

0 −i ) (−1 00 −1 ) (−i 0

0 i) ( 0 1

1 0 ) ( 0 −ii 0

) ( 0 −1−1 0 ) ( 0 i

−i 0 )

χ(E) 2 0 -2 0 0 0 0 0

χ(Dp) 4 0 0 0 0 2 0 2

mo�emo da razlo�imo naxu reprezentaciju. Koriste�i izraz

aµ =1

|G|∑g

χ(µ)∗(g)χ(g), (2.3)

gde je χ(µ)(g) karakter IR-e, dok je χ(g) karakter reprezentacije koju ra-zla�emo, dobijamo da se permutaciona reprezentacija razla�e na

Dp = A0 ⊕B2 ⊕ E. (2.4)

Projektor na proizvinu IR-u µ se mo�e odrediti koriste�i formulu

P(µ)mm′ =

nµ|G|

∑g

d(µ)∗mm′(g)D(g). (2.5)

IR-a A0 jednodimenzionalna (1D), nA0 = 1, i �en projektor je jednak

PA0 =1

8(Dp(e) +Dp(C4) +Dp(C2

4) +Dp(C34) +Dp(σv) +Dp(σvC4)

+ Dp(σvC24) +Dp(σvC

34))

=1

4

(1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

). (2.6)

6 GLAVA 2. REXE�A

Ova IR-a pojavuje jedanput u razlaga�u, tako da va�i PA0 = |A011〉〈A011|,xto nam daje

|A011〉 =1

2

(1111

). (2.7)

Koriste�i istu proceduru, nalazimo

PB2 =1

4

(1 −1 1 −1−1 1 −1 11 −1 1 −1−1 1 −1 1

)=⇒ |B211〉 =

1

2

(1−11−1

). (2.8)

Prvi svojstveni vektor IR-e E nalazimo na slede�i naqin

PE11 =

1

4

(1 i −1 −i−i 1 i −1−1 −i 1 ii −1 −i 1

)=⇒ |E11〉 =

1

2

(1−i−1i

). (2.9)

Konstrukcijom projektora PE21 nalazimo posled�i svojstveni vektor

PE21 =

1

4

( −i 1 i −11 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i

)=⇒ |E12〉 = PE

21|E11〉 =1

2

( −i1i−1

). (2.10)

Svojstvene vrednosti su

W |A011〉 = (a+ 2b+ c)|A011〉,W |B211〉 = (a− 2b+ c)|B211〉,W |E11〉 = (a− c)|E11〉,W |E12〉 = (a− c)|E12〉. (2.11)

Zadatak se mo�e uraditi i metodom modifikovanih grupnih projektora (MGPT ).Algoritam je slede�i: konstruixemo modifikovani projektor

P µ =nµ|G|

∑g

D(g)⊗D(µ)∗(g)︸︷︷︸Γµ(g)

(2.12)

i tra�imo fiksne taqke ovog operatora tj. vektore koji su mu svojstveni zasvojstvenu vrednost 1

P µ|x〉 = |x〉. (2.13)

Ispostava se da fiksne taqke dobijamo ako su zadovoeni uslovi

Γµ(gi)|µtµ〉 = |µtµ〉, i = 1, ..., n, (2.14)

gde su g1, ..., gn generatori grupe. (|µtµ〉 je svojstveni vektor koji ima takvunotaciju da bismo znali da je modifikovani projektor potekao od IR-e µ, doknam indeks tµ broji pojaviva�e IR-e µ.) Na osnovu ovih jednaqina mo�emoda na�emo fiksne taqke, ali nas zanima simetrijski adaptiran bazis (SAB).Uz malo raquna se dobija da je svojstveni vektor modifikovanog grupnog pro-jektora jednak [1]

|µtmu〉 =∑m

|µtµm〉|µ∗m〉, (2.15)

gde |µm〉 predstava kolonu qiji je samo m-ti element jednak 1, dok su ostalinula. Parcijalni skalarni proizvod nam daje vektore SAB-a

|µtµm〉 = 〈µm|µtµ〉. (2.16)


Ovu proceduru �emo sada iskoristiti da bismo naxli svojstvene vektore.Kako smo ovaj zadatak ve� rexili metodom obiqnih grupnih projektora, mo�emouporediti efikasnost oba metoda. Jednaqina (2.4) nam govori koje se IR-e po-javuju u razlaga�u permutacione reprezentacije.

Grupa simetrije sistema ima dva generatora, C4 i σx. Uslovi za postoja�efiksne taqke modifikovanog projektora PA0 su

Dp(C4)⊗ A∗0(C4)|A01〉 = |A01〉, Dp(σx)⊗ A∗0(σx)|A01〉 = |A01〉. (2.17)

Raspisiva�em ovih uslova dobijamo sistem matriqnih jednaqina(0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

)(abcd

)=

(abcd

),

(0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

)(abcd

)=

(abcd

), (2.18)

koji se svodi na

d = a, a = b, b = c, c = d; b = a, a = b, d = c, c = d =⇒ a = b = c = d. (2.19)

Na osnovu prethodnog zakuqujemo

|A01〉 = |A011〉 =1

2

(1111

). (2.20)

Sliqno, uslovi za postoja�e fiksne taqke modifikovanog projektora PB2 su

Dp(C4)⊗B∗2(C4)|B21〉 = |B21〉, Dp(σx)⊗B∗2(σx)|A21〉 = |A21〉. (2.21)

Na osnovu �ih dobijamo sistem

− 1

(0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

)(abcd

)=

(abcd

), −

(0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

)(abcd

)=

(abcd

), (2.22)

koji se svodi na

−d = a,−a = b,−b = c,−c = d; −b = a,−a = b,−d = c,−c = d

=⇒ a = c = −b = −d. (2.23)

Na osnovu ovoga smo zakuqili da je

|B01〉 = |B011〉 =1

2

(1−11−1

). (2.24)

Sliqno, uslovi za postoja�e fiksne taqke modifikovanog projektora PE su

Dp(C4)⊗ E∗(C4)|Em〉 = |Em〉, Dp(σx)⊗ E∗(σx)|Em〉 = |Em〉,m = 1, 2. (2.25)

Na osnovu �ih dobijamo sistem0 0 0 0 0 0 −i 00 0 0 0 0 0 0 i−i 0 0 0 0 0 0 00 i 0 0 0 0 0 00 0 −i 0 0 0 0 00 0 0 i 0 0 0 00 0 0 0 −i 0 0 00 0 0 0 0 i 0 0

abcdefgh

=

abcdefgh

,

8 GLAVA 2. REXE�A0 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 0

abcdefgh

=

abcdefgh

, (2.26)

koji se svodi na

−ig = a, ih = b,−ia = c, ib = d,−ic = e, id = f,−ie = g, if = h;

d = a, c = b, b = c, a = d, h = e, g = f, f = g, e = h;

=⇒ c = −ia, e = a, g = ia; b = −id, f = id, h = −d. (2.27)

Zamenom a = d = 1, dobijamo

|E1〉 =

1−i−i11ii−1

=

(1−i1i

)⊗ ( 1

0 ) +

( −i1i−1

)⊗ ( 0

1 )

= |E11〉 ⊗ |E∗1〉+ |E12〉 ⊗ |E∗2〉. (2.28)

Ako iskoristimo parcijalni skalarni proizvod dobijamo (do-na konstantu no-rmira�a koju nije texko na�i)

|E11〉 =1

2

(1−i−1i

), |E12〉 =

1

2

( −i1i−1

). (2.29)

H H

HH

4 1

23

x

y

5 6C C

Slika 2.2: Molekul C2H4.

2. Na slici 2.2 je prikazan molekul etena, C2H4. Po�eno je numerisati atomevodonika brojevima od 1 do 4, a atome ugenika brojevima 5 i 6. Matriqnielementi operatora W su

W =

a b f e c gb a e f c gf e a b g ce f b a g cc c g g a dg g c c d a

. (2.30)

Permutaciona reprezentacija se razla�e na slede�i naqin

Dp = 2A+0 ⊕B−0 ⊕ 2A+

1 ⊕B−1 . (2.31)


Svojstveni vektori su

|A+0 11〉 =

1

2

( 111100

), |A+

0 21〉 =1√2

( 000011

), (2.32)

|A+1 11〉 =

1

2

11−1−100

, |A+1 21〉 =

1√2

00001−1

, (2.33)

|B−0 11〉 =1

2

1−11−100

, |B−1 21〉 =1√2

00001−1

. (2.34)

Sada kada znamo svojstvene vektore, nije texko odrediti svojstvene vrednosti.

3. Imamo grupu simetrije G koja u Hilbertovom prostoru V deluje kroz repreze-ntaciju D(G). Bilo koji operator u kvantnoj mehanici je definisan u pro-storu sta�a V ⊗ V ∗. U ovom prostoru na operator A grupa deluje kroz repre-zentaciju D(G)...D−1(G). Svaki operator mo�emo da napixemo u formi A =∑

ij aij|i〉〈j|. Ukoliko posmatramo objekat∑

ij aij|i〉|j〉 koji je definisan u V⊗V ,nije texko zakuqiti da na �ega deluje grupa simetrije G kroz reprezentacijuD(G)⊗D(G). Ova reprezentacija je pogodnija za manipulaciju od prethodne ito je razlog zaxto �emo mi �u koristiti i na�i ireducibilne komponente ob-jekta

∑ij aij|i〉|j〉. Znaju�i te ireducibilne komponente, nalazimo ireducibi-

lne komponente operatora A pravolinijski.

U naxem zadatku je delova�e grupe simetrije dato kaoDpv...Dpv−1, tako da �emo

mi raditi sa reprezentacijom Dpv ⊗ Dpv. Polarno-vektorska reprezentacijapredstava elemente grupe C4v na slede�i naqin

Dpv(e) = I2, Dpv(C4) = ( 0 −1

1 0 ) , Dpv(C24) =

( −1 00 −1

)Dpv(C3

4) = ( 0 1−1 0 ) , Dpv(σx) = ( 1 0

0 −1 ) , Dpv(σxC4) =(

0 −1−1 0

),

Dpv(σxC24) = ( −1 0

0 1 ) , Dpv(σxC34) =

(0 −1−1 0

). (2.35)

Matriqni elementi reprezentacije Dpv ⊗Dpv su 1 su

D2pv(e) = I4, D

2pv(C4) =

(0 0 0 10 0 −1 00 −1 0 01 0 0 0

), D2

pv(C24) =

(1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

),

D2pv(C

34) =

(0 0 0 10 0 −1 00 −1 0 01 0 0 0

), D2

pv(σx) =

(1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1

),

D2pv(σxC4) =

(0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

), D2

pv(σxC24) =

(1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1

),

1Qesto �emo tenzorski proizvod istih reprezentacija oznaqavati stepenom Dpv ⊗ Dpv =D2pv. Dae, karakter tenzorskog proizvoda reprezentacija jednak je proizvodu karaktera svake

reprezentacije.

10 GLAVA 2. REXE�A

D2pv(σxC

34) =

(0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

). (2.36)

Ireducibilne reprezentacije grupe C4v su date u tabeli 2.1. ReprezentacijaD2pv se razla�e na ireducibilne komponente na slede�i naqin

D2pv = A0 ⊕B0 ⊕ A2 ⊕B2. (2.37)

Grupni projektor na IR-u A0 je

PA0 =1

8

(4 0 0 40 0 0 00 0 0 04 0 0 4

), (2.38)

tako da je prvi bazisni vektor

|A011〉 =1√2

(1001

)=

1√2

( ( 10 )︸︷︷︸|1〉

⊗ ( 10 ) + ( 0

1 )︸︷︷︸|2〉

⊗ ( 01 ))

=1√2

(|1〉|1〉+ |2〉|2〉). (2.39)

Pomo�u ovog svojstvenog vektora mo�emo da na�emo ireducibilnu tenzorskukomponentu koja se transformixe po A0 IR-i

TA0 =1√2

(|1〉〈1|+ |2〉〈2|) =1√2

( 1 00 1 ) . (2.40)

Na isti naqin dobijamo i grupni projektor na IR-u B0

PB0 =1

8

(0 0 0 00 4 −4 00 −4 4 00 0 0 0

)(2.41)

i drugi bazisni vektor

|B011〉 =1√2

(01−10

)=

1√2

( ( 10 )︸︷︷︸|1〉

⊗ ( 01 )− ( 0

1 )︸︷︷︸|2〉

⊗ ( 10 ))

=1√2

(|1〉|2〉 − |2〉|1〉), (2.42)

tako da je ireducibilna tenzorska komponenta koja se transformixe po B0

IR-i

TB0 =1√2

(|1〉〈2| − |2〉〈1|) =1√2

( 0 1−1 0 ) . (2.43)

Sliqno je

PA2 =1

8

(4 0 0 −40 0 0 00 0 0 0−4 0 0 4

), (2.44)

tako da je tre�i bazisni vektor

|A211〉 =1√2

(100−1

)=

1√2

(( 10 )⊗ ( 1

0 )− ( 01 )⊗ ( 0

1 ))

=1√2

(|1〉|1〉 − |2〉|2〉), (2.45)


dok je ireducibilna tenzorska komponenta koja se transformixe po IR-i A2

TA2 =1√2

(|1〉〈1| − |2〉〈2|) =1√2

( 1 00 −1 ) . (2.46)

Na kraju, grupni projektor na IR-u B2 je

PB2 =1

8

(0 0 0 00 4 4 00 4 4 00 0 0 0

), (2.47)

qetvrti bazisni vektor

|B211〉 =1√2

(0110

)=

1√2

(( 10 )⊗ ( 0

1 ) + ( 01 )⊗ ( 1

0 ))

=1√2

(|1〉|2〉+ |2〉|1〉), (2.48)

i ireducibilna tenzorska komponenta

TB2 =1√2

(|1〉〈2|+ |2〉〈1|) =1√2

( 0 11 0 ) . (2.49)

Zadatak se mogao uraditi i metodom modifikovanih grupnih projektora. Uslovza dostoja�e fiksne taqke modifikovanog projektora za IR-u A0 je

D2pv(C4)⊗ A∗0(C4)|x〉 = |x〉, D2

pv(σx)⊗ A∗0(σx)|x〉 = |x〉, (2.50)

gde je |x〉 = (a, b, c, d)T , tako da se prethodni uslov svodi na(0 0 0 10 0 −1 00 −1 0 01 0 0 0

)(abcd

)=

(abcd

),

(1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1

)(abcd

)=

(abcd

). (2.51)

Sada dobijamo skup veza koeficijenata

d = a,−c = b,−b = c, a = d; a = a, d = d, b = −b, c = −c, (2.52)

tako da zakuqujemo da je a = d i b = c = 0, na osnovu qega sledi

|A011〉 =1√2

(1001

). (2.53)

Uslov za dostoja�e fiksne taqke modifikovanog projektora za IR-u B0 je

D2pv(C4)⊗B∗0(C4)|x〉 = |x〉, D2

pv(σx)⊗B∗0(σx)|x〉 = |x〉, (2.54)

koji se svodi na(0 0 0 10 0 −1 00 −1 0 01 0 0 0

)(abcd

)=

(abcd

),−1

(1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1

)(abcd

)=

(abcd

). (2.55)



d = a,−c = b,−b = c, a = d; a = −a, d = −d, b = b, c = c, (2.56)

tako da zakuqujemo da je a = d = 0 i b = −c, na osnovu qega je

|B011〉 =1√2

(01−10

). (2.57)

Za IR-u A2 dobijamo

D2pv(C4)⊗ A∗2(C4)|x〉 = |x〉, D2

pv(σx)⊗ A∗2(σx)|x〉 = |x〉, (2.58)

xto se svodi na

− 1

(0 0 0 10 0 −1 00 −1 0 01 0 0 0

)(abcd

)=

(abcd

),

(1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1

)(abcd

)=

(abcd

). (2.59)


d = −a, c = b, b = c, a = −d; a = a, d = d, b = −b, c = −c, (2.60)

tako da zakuqujemo da je a = −d i b = c = 0 i

|A211〉 =1√2

(100−1

). (2.61)

Za B2 imamo

D2pv(C4)⊗B∗2(C4)|x〉 = |x〉, D2

pv(σx)⊗B∗2(σx)|x〉 = |x〉, (2.62)

tako da je sada sistem

−(

0 0 0 10 0 −1 00 −1 0 01 0 0 0

)(abcd

)=

(abcd

),−(

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1

)(abcd

)=

(abcd

). (2.63)


− d = a, c = b, b = c, a = −d; a = −a, d = −d, b = b, c = c, (2.64)

koji nam ka�e da va�i c = b i a = d = 0, pa je

|B211〉 =1√2

(0110

). (2.65)

4. U ovom zadatku radimo sa trodimenzionalnom (3D) polarno-vektorskom repre-zentacijom koja proizvoan element naxe grupe simetrije predstava kao

Dpv(Cs4) =

(cos 2π

4s − sin 2π

4s 0

sin 2π4s cos 2π

4s 0

0 0 1

), (2.66)


C4 e C4 C24 C3

4

A0 1 1 1 1A−1 1 −i -1 iA1 1 i -1 −iA2 1 -1 1 -1

χ(Dpv) 3 1 -1 1χ(D2

pv) 9 1 1 1

Tabela 2.2: IR-e grupe C4 i karakteri reprezentacija Dpv i D2pv.

tako da je2

D2pv(C

s4) =

c2 −sc 0 −sc s2 0 0 0 0cs c2 0 −s2 −cs 0 0 0 00 0 c 0 0 −s 0 0 0sc −s2 0 c2 −cs 0 0 0 0s2 cs 0 s2 c2 0 0 0 00 0 s 0 0 c 0 0 00 0 0 0 0 0 c −s 00 0 0 0 0 0 s c 00 0 0 0 0 0 0 0 1

. (2.67)

IR-e grupe C4 su date u tabeli 2.2. Reprezentacija D2pv se razla�e na slede�e

ireducibilne komponente

D2pv = 3A0 ⊕ 2A2 ⊕ 2A1 ⊕ 2A−1. (2.68)

Za IR-u A0 su standardni vektori slede�i 3

|A011〉 =1√2

(|1〉|1〉+ |2〉|2〉),

|A021〉 =1√2

(|1〉|2〉 − |2〉|1〉),

|A031〉 = |3〉|3〉, (2.69)

na osnovu qega je lako na�i standardne tenzore. Ostali standardni vektori su

|A211〉 =1√2

(|1〉|1〉 − |2〉|2〉),

|A221〉 =1√2

(|1〉|2〉+ |2〉|1〉),

|A111〉 =1√2

(|1〉|3〉 − i|2〉|3〉),

|A121〉 =1√2

(|3〉|1〉 − i|3〉|2〉),

|A−111〉 =1√2

(|1〉|3〉+ i|2〉|3〉),

|A−121〉 =1√2

(|3〉|1〉+ i|3〉|2〉). (2.70)

2Uvex�emo skra�enice cos 2π4 s = c i sin 2π

4 s = s.3Uvodimo skra�enice |1〉 =

(100

), |2〉 =

(010

), |3〉 =

(001

).


5. Oznaka |p〉〈a| nam govori da se prva komponenta tenzora transformixe popolarno-vektorskoj reprezentaciji, a druga po aksijalno-vektorskoj reprezentaciji.Za nas relevantna reprezentacija je Dpv ⊗Dav

4.

Tabela 2.3: IR-a B+0 grupe D2h i karakteri Dpv, Dav i Dpv ⊗Dav.

IR e C2 σx σxC2 Ux UxC2 σh σhC32

B+0 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1

χ(Dpv) 3 -1 1 1 -1 -1 1 -3

χ(Dav) 3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 3

χ(Davpv ) 9 1 -1 -1 1 1 -1 -9

Dpv(e) = Dav(e) = I3, Dpv(C2) = Dav(C2) =( −1 0 0

0 −1 00 0 1

),

Dpv(Ux) = Dav(Ux) =(

1 0 00 −1 00 0 −1

), Dpv(UxC2) = Dav(UxC2) =

( −1 0 00 1 00 0 −1

),

Dpv(σx) = −Dav(σx) =(

1 0 00 −1 00 0 1

), Dpv(σxC2) = −Dav(σxC2) =

(−1 0 00 1 00 0 1

),

Dpv(σh) = −Dav(σh) =(

1 0 00 1 00 0 −1

), Dpv(σhC2) = −Dav(σhC2) = −I3. (2.71)

Konaqno, dobijamo Davpv

Davpv(e) = −Dav

pv(σhC2) = I9,

Davpv(C2) = Diag[1, 1,−1, 1, 1,−1,−1,−1, 1],

Davpv(Ux) = Diag[1,−1,−1,−1, 1, 1,−1, 1, 1],

Davpv(UxC2) = Diag[1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1],

Davpv(σh) = Diag[−1,−1, 1,−1,−1, 1, 1, 1,−1],

Davpv(σx) = Diag[−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1],

Davpv(σxC2) = Diag[−1, 1, 1, 1,−1,−1, 1,−1,−1]. (2.72)

Sada mo�emo da izraqunamo karakter reprezentacije Davpv i razlo�imo je ko-

riste�i karaktere IR-a grupe D2h (tabela 2.3). Broj pojaviva�a IR-e B+0 je

jednak 3, a projektor na �u je

PB+0 = Diag[1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1]. (2.73)

Svojstveni vektori su |B+0 11〉 = |1〉|1〉, |B+

0 21〉 = |2〉|2〉 i |B+0 31〉 = |3〉|3〉, tako

da su invarijantni tenzori jednaki

TB+0 ,1 = |1〉〈1| = Diag[1, 0, 0],

TB+0 ,2 = |2〉〈2| = Diag[0, 1, 0],

TB+0 ,3 = |3〉〈3| = Diag[0, 0, 1],

TB+0 = αTB

+0 ,1 + βTB

+0 ,2 + γTB

+0 ,3. (2.74)


Tabela 2.4: Ireducibilne reprezentacije grupe D4.IR e C4 C2

4 C34 σx σxC4 σxC2

4 σxC34

A+0 1 1 1 1 1 1 1 1

A−0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

A+2 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

A−2 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

χ(E1) 2 0 -2 0 0 0 0 0

χ(A+0 ⊗ E1) 2 0 -2 0 0 0 0 0

χ(A−0 ⊗ E1) 2 0 -2 0 0 0 0 0

χ(A+2 ⊗ E1) 2 0 -2 0 0 0 0 0

χ(A−2 ⊗ E1) 2 0 -2 0 0 0 0 0

χ(E1 ⊗ E1) 4 0 4 0 0 0 0 0

χ(Dpv) 3 1 -1 1 -1 -1 -1 -1

χ(D2pv) 9 1 1 1 1 1 1 1

6. IR-e grupe simetrije D4 su date u tabeli 2.4. Intenzitet se transformixe poreprezentaciji A+

0 zato xto je skalarna veliqina koja se ne me�a pri delova�uelemenata grupe simetrije. Vektor ez se transformixe po A

−0 IR-i, jer Cs

4 neme�a pravac vektora, dok ga Ux rotira za ugao π oko x-ose i pretvara u −ez.Tako�e, vektor ex se transformixe po IR-i E1. Tenzor R se transformixepo nekoj IR-i Dµ.

Leva i desna strana naxeg izraza moraju da se transformixu na isti naqinpod delova�em grupe simetrije

A+0 ∈ A−0 ⊗Dµ ⊗ E1. (2.75)

Uslov koji name�emo Dµ je da se u razlaga�u desne strane jednaqine 2.75 naireducibilne komponente mora pojaviti jediniqna IR-a A+

0 .

Ci zadatka je odre�iva�e svih mogu�ih IR-a po kojima se R mo�e trans-formisati. Krenu�emo od A+

0 . Lako se proverava da je A−0 ⊗ A+0 ⊗ E1 =

A−0 ⊗ E1 = E1, xto nije izraz koji �elimo da dobijemo jer se ne java A+0 .

Ni IR-a A−0 nam ne daje rezultat jer je A−0 ⊗A−0 ⊗E1 = A+0 ⊗E1 = E1. Sliqno

je i sa A+2 (A−0 ⊗A+

2 ⊗E1 = A−2 ⊗E1 = E1) i A−2 (A−0 ⊗A−2 ⊗E1 = A+

2 ⊗E1 = E1).

Ukoliko pretpostavimo da se R transformixe po IR-i E1, dobijamo potvrdanodgovor, jer je A−0 ⊗ E1 ⊗ E1 = E1 ⊗ E1 = A+

0 ⊕ A−0 ⊕ A+2 ⊕ A−2 .

Zbog zadate strukture Ramanovog tenzora |p〉〈p| zakuqujemo da je zakon trans-formacije R dat kao Dpv...D

−1pv , tj. potrebno je raditi sa reprezentacijom D2

pv.Da bismo naxliD2

pv, potrebno je prvo odrediti polarno-vektorsku reprezentaciju:

Dpv(e) = I3, Dpv(C4) =(

0 −1 01 0 00 0 1

), Dpv(C

24) =

( −1 0 00 −1 00 0 1

), Dpv(C

34) =

(0 1 0−1 0 00 0 1

),

Dpv(Ux) =(

1 0 00 −1 00 0 −1

), Dpv(UxC4) =

(0 −1 0−1 0 00 0 −1

), Dpv(UxC

24) =

( −1 0 00 1 00 0 −1

),

Dpv(UxC34) =

(0 1 01 0 00 0 −1

). (2.76)

4Radi preglednosti koristi�emo oznaku Davpv


Sada mo�emo odrediti D2pv za sve elemente date grupe

D2pv(e) = I9, D

2pv(C

24) = Diag[1, 1,−1, 1, 1,−1,−1,−1, 1],

D2pv(C4) =

0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 −1 0 0 00 −1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1

, D2pv(C

34) =

0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 00 −1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1

,

D2pv(Ux) = Diag[1,−1,−1,−1, 1, 1,−1, 1, 1],

D2pv(UxC

24) = Diag[1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1],

D2pv(UxC4) =

0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1

, D2pv(UxC

34) =

0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 −1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1

.

(2.77)

Razlaga�em kvadrata polarno-vektorske reprezentacije dobijamo

D2pv = 2A+

0 ⊕ A−0 ⊕ A+2 ⊕ A−2 ⊕ 2E1. (2.78)

Kako se IR-a E1 pojavuje dva puta i dvodimenzionalna je, oqekujemo 4 ire-ducibilne tenzorske komponente. �ih �emo na�i koriste�i MGPT . GrupaD4 ima dva generatora C4 i Ux, tako da se uslov postoja�a nepokretne taqke(D2

pv ⊗ E∗1)(C4) |x〉 = |x〉 i (D2pv ⊗ E∗1)(Ux) |x〉 = |x〉 mo�e eksplicitno napisati

kao

0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 00 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0−i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i

x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x16x17x18

=


,

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0


=


. (2.79)


Rexava�em ovog sistema jednaqina dobijamo dva razliqita vektora |x〉

00001−10000−i−i000000

=

00100−i000

⊗ ( 10 ) +

00−100−i000

⊗ ( 01 ) (2.80)

=1√2

(|1〉|3〉 − i|2〉|3〉)⊗ ( 10 ) +

1√2

(−|1〉|3〉 − i|2〉|3〉)⊗ ( 01 ) ,

0000000000001−1−i−i00

=

0000001−10

⊗ ( 10 ) +

000000−1−i0

⊗ ( 01 ) (2.81)

=1√2

(|3〉|1〉 − i|3〉|2〉)⊗ ( 10 ) +

1√2

(−|3〉|1〉 − i|3〉|2〉)⊗ ( 01 ) .

Parcijalni skalarni proizvod nam daje svojstvene vektore

|E111〉 =1√2

(|1〉|3〉 − i|2〉|3〉), (2.82)

|E112〉 =1√2

(−|1〉|3〉 − i|2〉|3〉),

|E121〉 =1√2

(|3〉|1〉 − i|3〉|2〉),

|E122〉 =1√2

(−|3〉|1〉 − i|3〉|2〉),

na osnovu qega mo�emo da odredimo sve ireducibilne tenzorske komponentekoje se transformixu po IR-i E1.

7. Elektriqno poe se transformixe po polarno-vektorskoj reprezentaciji Dpv,dok se magnetno poe transformixe po aksijalno-vektorskoj reprezentacijiDav. Ukoliko postoje fiksni pravci elektriqnog/magnetnog poa, u razlaga�upolarno-vektorske/aksijalno-vektorske reprezentacije se mora pojavivati je-diniqna reprezentacija.


Tabela 2.5: Ireducibilne reprezentacije grupe C4v i karakteri polarno-vektorskei aksijalno-vektorske reprezentacije.

IR e C4 C24 C3

4 σv σvC4 σvC24 σvC3

4A0 1 1 1 1 1 1 1 1

B0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

A2 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

B2 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

E ( 1 00 1 ) ( i 0

0 −i ) (−1 00 −1 ) (−i 0

0 i) ( 0 1

1 0 ) ( 0 −ii 0

) ( 0 −1−1 0 ) ( 0 i

−i 0 )

χ(E) 2 0 -2 0 0 0 0 0

χ(Dpv) 3 1 -1 1 1 1 1 1

χ(Dav) 3 1 -1 1 -1 -1 -1 -1

Elementi grupe C4v (Cs4 i σxC

s4 , s = {0, 1, 2, 3}), se reprezentuju u polarno-

vektorskoj i aksijalno-vektorskoj reprezentaciji na slede�i naqin

Dpv,av(Cs4) =

(cos 2π

4s − sin 2π

4s

sin 2π4s cos 2π

4s

1

), Dpv(σx) = −Dav(σx) = diag[1,−1, 1],

Dpv(σxCs4) = −Dav(σxC

s4) =

(cos 2π

4s − sin 2π

4s

− sin 2π4s − cos 2π

4s

1

). (2.83)

Karakteri IR-a grupe C4v, Dpv i Dav su dati u tabeli 2.5. Broj pojaviva�aIR-e A0 u Dpv i Dav je jednaka

apvA0= 1, aavA0

= 0, (2.84)

na osnovu qega mo�emo da zakuqimo da sistem mo�e biti samo feroelektrik.Projektor na A0 za polarnu-vektorsku reprezentaciju,

PA0pv =

1

8

∑s

(Dpv(Cs4) +Dpv(σxC

s4)) =

(0 0 00 0 00 0 1

), (2.85)

nam poma�e da odredimo dozvoeni pravac elektriqnog poa,

|A011〉 =(

001

)= z, (2.86)

koji se poklapa sa osom rotacije sistema (z-osa).

8. Polarno-vektorska reprezentacija u xy ravni za proizvoan ugao rotacije, Rϕ,oko z-ose je jednaka

Dpv(Rϕ) =(

cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)(2.87)

Tenzorski kvadrat ove reprezentacije, D2pv(Rϕ) = Dpv(Rϕ) ⊗ Dpv(Rϕ), nam

opisuje ponaxa�e tenzora qije se obe komponente transformixu po polarno-vektorskoj reprezentacije.

Po definiciji, invarijantni tenzor je onaj koji se transformixe po jediniq-noj reprezentaciji grupe (u ovom sluqaju C∞). Matriqna forma D2

pv(Rϕ) jejednaka

D2pv(Rϕ) =

(cos2 ϕ − sinϕ cosϕ − sinϕ cosϕ sin2 ϕ

sinϕ cosϕ cos2 ϕ − sin2 ϕ − sinϕ cosϕsinϕ cosϕ − sin2 ϕ cos2 ϕ − sinϕ cosϕ

sin2 ϕ sinϕ cosϕ sinϕ cosϕ cos2 ϕ

). (2.88)


Broj pojaviva�a jediniqne reprezentacije A0 je jednak

apv,2A0=

1

2π

∫ 2π

0

χ(D2pv(Rϕ))dϕ =

1

2π

∫ 2π

0

4 cos2 ϕdϕ = 2, (2.89)

dok su projektor na istu IR-u i svojstveni vektori

PA0 =1

2π

∫ 2π

0

D2pv(Rϕ)dϕ =

1

2

(1 1

1 −1−1 1

1 1

)→

|A011〉 =1√2

(1001

)=

1√2

(|1〉 |1〉+ |2〉 |2〉),

|A021〉 =1√2

(01−10

)=

1√2

(|1〉 |2〉 − |2〉 |1〉), (2.90)

za |1〉 = ( 10 ) i |2〉 = ( 0

1 ). Na kraju, invarijantne tenzorske komponente su

TA0,1 =1√2

(|1〉〈1|+ |2〉〈2|),

TA0,2 =1√2

(|1〉〈2| − |2〉〈1|), (2.91)

dok je opxti oblik ireducibilnog tenzora

TA0 = αTA0,1 + βTA0,2. (2.92)

9. Magnetna susceptibilnost je tenzor koja opisuje sposobnost magnetizacije ma-terijala u prisustvu magnetnog poa. Po definiciji,

M = χH , (2.93)

gdeM predstava magnetizaciju sistema, dok jeH prime�eno magnetno poe.Kako su i magnetizacija i magnetno poe aksijalni vektori, transformacionosvojstvo χ se lako odre�uje

DavM = Dav(χH) = DavχD−1av Dav︸︷︷︸

=I

H = (DavχD−1av )(DavH),

→ DavχD−1av zakon transformacije. (2.94)

Da bismo odredili ireducibilne tenzorske komponente χ, pogodno je raditisa kvadratom aksijalno-vektorske reprezentacije, Dav ⊗Dav. Grupa simetrijesistema je C∞v, sa dva generatora: Rϕ (rotacija oko z-ose za proizvoan ugaoϕ) i σx (vertikalna ravan refleksije; mi obiqno uzimamo xz ravan, stoga ioznaka σx.) Reprezentacija Dav u dva koseta date grupe je jednaka

Dav(Rϕ) =(


1

), Dav(σx) = diag[−1, 1,−1], Dav(σxRϕ) =

( − cosϕ sinϕsinϕ cosϕ

−1

),

(2.95)


Tabela 2.6: IR-e grupe C∞v i karakteri reprezentacije Dav.C∞v Rϕ σxRϕ

A0/B0 1 ±1

Em(eimϕ

e−imϕ

) (e−imϕ

eimϕ

)χ(Em) 2 cosmϕ 0χ(Dav) 1 + 2 cosϕ -1χ(D2

av) (1 + 2 cosϕ)2 1

Na osnovu (2.95) se jednostavno odre�uju D2av(Rϕ) i D2

av(σxRϕ) (c = cosϕ, s =sinϕ)

D2av(Rϕ) =

c2 −sc −sc s2

sc c2 −s2 −scc −s

sc −s2 c2 −scs2 sc sc c2

s cc −ss c

1

,

D2av(σxRϕ) =

c2 −sc −sc s2−sc −c2 s2 sc

c −s−sc s2 −c2 scs2 sc sc c2

−s −cc −s−s −c

1

. (2.96)

Karakteri Dav su jednaki

χ(Dav(Rϕ)) = 1 + 2 cosϕ, χ(Dav(σxRϕ)) = −1, (2.97)

dok za karaktere D2av va�i

χ(D2av(Rϕ)) = χ2(Dav(Rϕ)) = (1 + 2 cosϕ)2,

χ(D2av(σxRϕ)) = χ2(Dav(σxRϕ)) = 1. (2.98)

U tabeli 2.6 se nalaze karakteriDav, D2av i IR-e grupeC∞v. Broj pojaviva�a

pojedinih IR-a u D2av je jednak

aDavA0=

1

4π

∫ 2π

0

(χ(D2av(Rϕ)) + χ(D2

av(σxRϕ)))dϕ

=1

4π

∫ 2π

0

(1 + 4 cosϕ+ 4 cos2 ϕ+ 1)dϕ = 2, (2.99)

aDavB0=

1

4π

∫ 2π

0

(χ(D2av(Rϕ))− χ(D2

av(σxRϕ)))dϕ

=1

4π

∫ 2π

0

(1 + 4 cosϕ+ 4 cos2 ϕ− 1)dϕ = 1, (2.100)


aDavEm=

1

4π

∫ 2π

0

(2 cosmϕχ(D2av(Rϕ)))dϕ

=1

4π

∫ 2π

0

2 cosmϕ(1 + 4 cosϕ+ 4 cos2 ϕ)dϕ,

=1

4π

∫ 2π

0

(e±i(m±1)ϕ + 3e±imϕ + e±i(m±2)ϕ)dϕ,

= 2δm,±1 + δm,±2 + 3δm,0. (2.101)

Prilikom izvo�e�a 2.101, koristili smo∫ 2π

0

ei(a−b)ϕdϕ = 2πδa,b. (2.102)

Kako IR-e Em postoje samo za prirodne brojeve m ≥ 1, zakuqujemo da jerazlaga�e D2

av slede�e

D2av = 2A0 ⊕B0 ⊕ 2E1 ⊕ E2. (2.103)

Projektor na IR-u A0 reprezentacije D2av je jednak

PD2av

A0=

1

4π

∫ 2π

0

(D2av(Rϕ) +D2

av(σxRϕ))dϕ

=1

4π

∫ 2π

0

2c2 −2sc 0 −2sc 2s2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 2c 0 0 −2s 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

2s2 2sc 0 2sc 2c2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 2c −2s 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2

dϕ

=1

2

1 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2

(2.104)

i daje nam svojstvene vektore

|A011〉 =1√2

100010000

=1√2

(|1〉 |1〉+ |2〉 |2〉), |A021〉 =

000000001

= |3〉 |3〉 , (2.105)

tako da su tenzori koji se transformixu po IR-i A0

TA0,1 =1√2

(|1〉〈1|+ |2〉〈2|) =1√2

(1 0 00 1 00 0 0

),

TA0,2 = |3〉〈3| =(

0 0 00 0 00 0 1

),

TA0 = αTA0,1 + βTA0,2. (2.106)


Projektor na IR-u B0

PD2av

B0=

1

4π

∫ 2π

0

(D2av(Rϕ)−D2

av(σxRϕ))dϕ

=1

4π

∫ 2π

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

2sc 2c2 0 −2s2 −2sc 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

2sc −2s2 0 2c2 −2sc 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 2s 0 0 2c 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 2s 2c 00 0 0 0 0 0 0 0 0

dϕ

=1

2

0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 −1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 −1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

(2.107)

daje nam svojstveni vektor

|B011〉 =1√2

010−100000

=1√2

(|1〉 |2〉 − |2〉 |1〉). (2.108)

Tenzor koji se transformixe po IR-i B0 je

TB0 =1√2

(|1〉〈2| − |2〉〈1|) =1√2

(0 1 0−1 0 00 0 0

). (2.109)

Ireducibilne tenzorske komponente χ koje se transformixu po IR-ama E1 iE2 se odre�uju na sliqan naqin.

10. Hamiltonijan perturbacije H ′ se transformixe kao Dpv...D−1pv . Da bismo

odredili ireducibilne tenzorske komponenteH ′ korisno je koristiti repreze-ntaciju D2

pv = Dpv ⊗ Dpv. Polarno-vektorska reprezentacija elemenata Cs6

(s = 0, ..., 5) grupe C6 je

Dpv(Cs6) =

(cos 2π

6s − sin 2π

6s

sin 2π6s cos 2π

6s

1

). (2.110)

Koriste�i 2.110 mo�emo da odredimo karakter reprezentacija Dpv i D2pv

χ(Dpv(Cs6)) = 1 + 2 cos

2π

6s,

χ(D2pv(C

s6)) = χ2(Dpv(C

s6)) = (1 + 2 cos

2π

6s)2. (2.111)

Broj pojaviva�a IR-e Am u D2pv (tabela 2.7) je


Tabela 2.7: Ireducibilne reprezentacije grupe C6 i karakteri reprezentacija Dpv

i D2pv.

C6 Cs6

m ∈ (−3, 3]

Am ei2π6ms

χ(Dpv) 1 + 2 cos 2π6s

χ(D2pv) (1 + 2 cos 2π

6s)2

aD2pv

m =1

6

∑s

χ∗(Am(Cs6))χ(D2

pv(Cs6)) =

1

6

∑s

e−i2π6ms(1 + 2 cos

2π

6s)2

=1

6

∑s

e−i2π6ms(1 + 4 cos

2π

6s+ 4 cos2 2π

6s)

=1

6

∑s

(3e−i2π6ms + 2e−i

2π6s(m±1) + 2e−i

2π6s(m±2)). (2.112)

Ukoliko iskoristimo da je ∑s

ei2πn

(a−b)s = nδa,b, (2.113)

zakuqujemo da va�i

aD2pv

m = 3δm,0 + 2δm,±1 + δm,±2. (2.114)

Konaqno, razlaga�e D2pv na IR-e je

D2pv = 3A0 ⊕ 2A1 ⊕ 2A−1 ⊕ A2 ⊕ A−2. (2.115)

Ireducibilne tenzorske komponente H ′ se mogu transformisati po nekoj odIR-a datih u 2.115. Naravno, IR-u A0 treba odbaciti jer se po �oj trans-formixu skalari, te u tom sluqaju nema smisla govoriti o perturbaciji.

Generalno, matriqni element prelaza iz sta�a |νtνmν〉 koje se transformixepo IR-i Dν u sta�e |µtµmµ〉 koje se transformixe po IR-i Dµ pod dejstvomperturbacije H

′(λ) koja se transfomixe po IR-i Dλ je nenulti ukoliko se urazlaga�u reprezentacije Dµ∗ ⊗Dλ ⊗Dν pojavuje jediniqna reprezentacija

〈µtµmµ|H′(λ) |νtνmν〉 6= 0 za A0 ∈ Dµ∗ ⊗Dλ ⊗Dν . (2.116)

U naxem sluqaju, dozvoeni prelazi u sistemu sa simetrijom C6 pod de-


lova�em perturbacije koja se transformixe po IR-i A1 je5

A∗−1 ⊗ A1 ⊗ A−2 = A0, |−2〉 A1−→ |−1〉 ,

A∗0 ⊗ A1 ⊗ A−1 = A0, |−1〉 A1−→ |0〉 ,

A∗1 ⊗ A1 ⊗ A0 = A0, |0〉A1−→ |1〉 ,

A∗2 ⊗ A1 ⊗ A1 = A0, |1〉A1−→ |2〉 ,

A∗3 ⊗ A1 ⊗ A2 = A0, |2〉A1−→ |3〉 ,

A∗−2 ⊗ A1 ⊗ A3 = A0, |3〉A1−→ |−2〉 . (2.117)

Za perturbaciju A−1 dozvoeni prelazi su

A∗3 ⊗ A−1 ⊗ A−2 = A0, |−2〉 A−1−−→ |3〉 ,

A∗−2 ⊗ A−1 ⊗ A−1 = A0, |−1〉 A−1−−→ |−2〉 ,

A∗−1 ⊗ A−1 ⊗ A0 = A0, |0〉A−1−−→ |−1〉 ,

A∗0 ⊗ A−1 ⊗ A1 = A0, |1〉A−1−−→ |0〉 ,

A∗1 ⊗ A−1 ⊗ A2 = A0, |2〉A−1−−→ |1〉 ,

A∗2 ⊗ A−1 ⊗ A3 = A0, |3〉A−1−−→ |2〉 . (2.118)

Za perturbaciju A2 su dozvoeni prelazi

A∗0 ⊗ A2 ⊗ A−2 = A0, |−2〉 A2−→ |0〉 ,

A∗1 ⊗ A2 ⊗ A−1 = A0, |−1〉 A2−→ |1〉 ,

A∗2 ⊗ A2 ⊗ A0 = A0, |0〉A2−→ |2〉 ,

A∗3 ⊗ A2 ⊗ A1 = A0, |1〉A2−→ |3〉 ,

A∗−2 ⊗ A2 ⊗ A2 = A0, |2〉A2−→ |−2〉 ,

A∗−1 ⊗ A2 ⊗ A3 = A0, |3〉A2−→ |−1〉 . (2.119)

Konaqno, dozvoeni prelazi pod delova�em perrturbacije A−2 su

A∗2 ⊗ A−2 ⊗ A−2 = A0, |−2〉 A−2−−→ |2〉 ,

A∗3 ⊗ A−2 ⊗ A−1 = A0, |−1〉 A−2−−→ |3〉 ,

A∗−2 ⊗ A−2 ⊗ A0 = A0, |0〉A−2−−→ |−2〉 ,

A∗−1 ⊗ A−2 ⊗ A1 = A0, |1〉A−2−−→ |−1〉 ,

A∗0 ⊗ A−2 ⊗ A2 = A0, |2〉A−2−−→ |0〉 ,

A∗1 ⊗ A−2 ⊗ A3 = A0, |3〉A−2−−→ |1〉 . (2.120)

Na slici 2.3 su prikazani svi dozvoeni prelazi.

5oznaqi�emo vektor IR-e Am kao |m〉


Slika 2.3: Skica dozvoenih prelaza u sistemu sa grupom simetrije C6 pod de-jstvom perturbacije H ′ = |p〉〈p|.

11. • Dimenzija i bazisni vektori jednoqestiqnog prostora sta�a su

dimH = 2, β(H) = {|1〉 = ( 10 ) , |2〉 = ( 0

1 )}, (2.121)

dok za kompozitni prostor Huk = H⊗H va�i

dimHuk = (dimH)2 = 4, β(Huk) = {|11〉 , |12〉 , |21〉 , |22〉}. (2.122)

Po definiciji, simetrizator S i antisimetrizator A su jednaki

S =1

N !

∑π

D(π), A =1

N !

∑π

(−1)π̃D(π), (2.123)

gde je N broj qestica (broj jednoqestiqnih prostora sta�a), π elementpermutacione grupe, dok je D(π) reprezentacija elementa permutacionegrupe. U definiciji antisimetrizatora (−1)π̃ je 1 ukoliko se elementpermutacione grupe π sastoji od parnog broja transpozicija (parnostbroja transpozicija je invarijanta), dok −1 govori da je broj transpozi-cija pomo�u kojih se mo�e dobiti π neparan.

U sluqaju N = 2, permutaciona grupa se sastoji od dva elementa, iden-tiqnog elementa e i transpozicije τ . Kako va�i

|11〉 e−→ |11〉 , |12〉 e−→ |12〉 , |21〉 e−→ |21〉 , |22〉 e−→ |22〉 ,|11〉 τ−→ |11〉 , |12〉 τ−→ |21〉 , |21〉 τ−→ |12〉 , |22〉 τ−→ |22〉 , (2.124)

zakuqujemo da je

D(e) = I4, D(τ) =

(1

11

1

),

S =1

2!(D(e) +D(τ)) =

1

2

(2

1 11 1

2

),

A =1

2!(D(e)−D(τ)) =

1

2

(0 0 0 00 1 −1 00 −1 1 00 0 0 0

). (2.125)


S i A su projektori na simetriqan i antisimetriqan potprostor i dajunam simetrizovane i antisimetrizovane vektore

|S1〉 = |11〉 , |S2〉 = |22〉 , |S3〉 =1√2

(|12〉+ |21〉),

|A1〉 =1√2

(|12〉 − |21〉). (2.126)

• U ovom sluqaju dimenzija i bazisni vektori jednoqestiqnog prostora sta�asu

dimH = 3, β(H) = {|1〉 =(

100

), |2〉 =

(010

), |3〉 =

(001

)}, (2.127)

dok za kompozitni prostor Huk = H⊗H va�i

dimHuk = (dimH)2 = 9,

β(Huk) = {|11〉 , |12〉 , |13〉 , |21〉 , |22〉 , |23〉 , |31〉 , |32〉 , |33〉}. (2.128)

Identiqan element e i transpozicija τ transformixu bazisne vektoreHuk na slede�i naqin

|11〉 e−→ |11〉 , |12〉 e−→ |12〉 , |13〉 e−→ |13〉 , |21〉 e−→ |21〉 , |22〉 e−→ |22〉 ,|23〉 e−→ |23〉 , |31〉 e−→ |31〉 , |32〉 e−→ |32〉 , |33〉 e−→ |33〉 ,|11〉 τ−→ |11〉 , |12〉 τ−→ |21〉 , |13〉 τ−→ |31〉 , |21〉 τ−→ |12〉 , |22〉 τ−→ |22〉 ,|23〉 τ−→ |32〉 , |31〉 τ−→ |13〉 , |32〉 τ−→ |23〉 , |33〉 τ−→ |33〉 , (2.129)

tako da dobijamo

D(e) = I4, D(τ) =

1

11

11

11

11

,

S =1

2!(D(e) +D(τ)) =

1

2

2

1 11 1

1 12

1 11 1

1 12

,

A =1

2!(D(e)−D(τ)) =

1

2

0

1 −11 −1

−1 10

1 −1−1 1

−1 10

. (2.130)

Simetrizovani i antisimetrizovani vektori u ovom sluqaju su

|S1〉 = |11〉 , |S2〉 = |22〉 , |S3〉 = |33〉 ,

|S4〉 =1√2

(|12〉+ |21〉), |S5〉 =1√2

(|13〉+ |31〉), |S6〉 =1√2

(|23〉+ |32〉),

|A1〉 =1√2

(|12〉 − |21〉), |A2〉 =1√2

(|13〉 − |31〉), |A3〉 =1√2

(|23〉 − |32〉).

(2.131)


• Konaqno, za tri 2D prostora ukupan prostor sta�a Huk = H ⊗H ⊗H jedimenzije 23 = 8. Bazisni vektori su

β(Huk) = {|111〉 , |112〉 , |121〉 , |122〉 , |211〉 , |212〉 , |221〉 , |222〉}. (2.132)

Permutaciona grupa S3 je dimenzije 3! = 6, sa elementima

{(123), (231), (312)︸︷︷︸cikliqne perm.

, (321), (213), (132)︸︷︷︸anticikliqne perm.

} (2.133)

Elementi permutacione grupe S3 permutuju bazisne vektore na slede�inaqin

|111〉 (123)−−−→ |111〉 , |111〉 (231)−−−→ |111〉 , |111〉 (312)−−−→ |111〉 ,

|112〉 (123)−−−→ |112〉 , |112〉 (231)−−−→ |121〉 , |112〉 (312)−−−→ |211〉 ,

|121〉 (123)−−−→ |121〉 , |121〉 (231)−−−→ |211〉 , |121〉 (312)−−−→ |112〉 ,

|122〉 (123)−−−→ |122〉 , |122〉 (231)−−−→ |221〉 , |122〉 (312)−−−→ |212〉 ,

|211〉 (123)−−−→ |211〉 , |211〉 (231)−−−→ |112〉 , |211〉 (312)−−−→ |121〉 ,

|212〉 (123)−−−→ |212〉 , |212〉 (231)−−−→ |122〉 , |212〉 (312)−−−→ |221〉 ,

|221〉 (123)−−−→ |221〉 , |221〉 (231)−−−→ |212〉 , |221〉 (312)−−−→ |122〉 ,

|222〉 (123)−−−→ |222〉 , |222〉 (231)−−−→ |222〉 , |222〉 (312)−−−→ |222〉 , (2.134)

|111〉 (321)−−−→ |111〉 , |111〉 (213)−−−→ |111〉 , |111〉 (132)−−−→ |111〉 ,

|112〉 (321)−−−→ |211〉 , |112〉 (213)−−−→ |112〉 , |112〉 (132)−−−→ |121〉 ,

|121〉 (321)−−−→ |121〉 , |121〉 (213)−−−→ |211〉 , |121〉 (132)−−−→ |112〉 ,

|122〉 (321)−−−→ |221〉 , |122〉 (213)−−−→ |212〉 , |122〉 (132)−−−→ |122〉 ,

|211〉 (321)−−−→ |112〉 , |211〉 (213)−−−→ |121〉 , |211〉 (132)−−−→ |211〉 ,

|212〉 (321)−−−→ |212〉 , |212〉 (213)−−−→ |122〉 , |212〉 (132)−−−→ |221〉 ,

|221〉 (321)−−−→ |122〉 , |221〉 (213)−−−→ |221〉 , |221〉 (132)−−−→ |212〉 ,

|222〉 (321)−−−→ |222〉 , |222〉 (213)−−−→ |222〉 , |222〉 (132)−−−→ |222〉 . (2.135)


Reprezentacija elemenata grupe je

D(123) = I8, D(231) =

1

11

11

11

1

, D(312) =

1

11

11

11

1

,

D(321) =

1

11

11

11

1

, D(213) =

1

11

11

11

1

,

D(132) =

1

11

11

11

1

. (2.136)

Antisimetrizator je jednak 0,

A =1

6(D(123) +D(231) +D(312)−D(213)−D(321)−D(132)) = 0, (2.137)

zato xto je dimenzija jednoqestiqnog prostora sta�a (2) ma�a od brojaqestica/kompozitnih sistema (3). Simetrizator je jednak

S =1

6(D(123) +D(231) +D(312) +D(213) +D(321) +D(132)),

=1

6

6

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2

6

, (2.138)

i daje nam simetrizovane vektore

|S1〉 = |111〉 , |S2〉 = |222〉 , |S3〉 =1√3

(|112〉+ |121〉+ |211〉),

|S4〉 =1√3

(|122〉+ |212〉+ |221〉). (2.139)

12. Kvadrat polarno-vektorske reprezentacije je jednakD2pv = Dpv⊗Dpv. Elementi

Cs4 grupe C4 se reprezentuju u Dpv i D

2pv na slede�i naqin (c = cos (2π

4s), s =

sin (2π4s))

Dpv(Cs4) =

(cos 2π

4s − sin 2π

4s

sin 2π4s cos 2π

4s

1

), D2

pv(Cs4) =

c2 −sc −sc s2



s cc −ss c

1

. (2.140)

Po definiciji, simetrizovani i antisimetrizovani kvadrat polarno-vektorskereprezentacije su jednaki [D2

pv] = SD2pv i {D2

pv} = AD2pv, respektivno. U naxem

sluqaju, bazis Dpv je {|1〉 , |2〉 , |3〉} (dimenzije 3), dok je bazis D2pv

{|11〉 , |12〉 , |13〉 , |21〉 , |22〉 , |23〉 , |31〉 , |32〉 , |33〉}. (2.141)


C4 e C4 C24 C3

4

A0 1 1 1 1A−1 1 −i -1 iA1 1 i -1 −iA2 1 -1 1 -1

χ(Dpv) 3 1 -1 1χ([D2

pv]) 6 0 2 0

χ({D2pv}) 3 1 -1 1

Tabela 2.8: IR-e grupe C4 i karakteri reprezentacija Dpv, [D2pv] i {D2

pv}.

Simetrizator i antisimetrizator u ovom sluqaju je dat u jednaqini 2.130 izprethodnog zadatka, u kom smo razmatrali sluqaj 2 prostora dimenzije 3, xto jeidentiqno sluqaju koji sada analiziramo. Matriqna reprezentacija [D2

pv](Cs4)

i {D2pv}(Cs

4) je

[D2pv](C

s4) =

1

2

2c2 −2sc −2sc 2s2

2sc c2−s2 c2−s2 −2scc −s c −s

2sc c2−s2 c2−s2 −2sc2s2 2sc 2sc 2c2

s c s cc −s c −ss c s c

2

(2.142)

{D2pv}(Cs

4) =1

2

0 0 0 0 0 0 0 0 00 c2+s2 0 −c2−s2 0 0 0 0 00 0 c 0 0 −s −c s 00 −c2−s2 0 c2+s2 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 s 0 0 c −s −c 00 0 −c 0 0 s c −s 00 0 −s 0 0 −c s c 00 0 0 0 0 0 0 0 0

. (2.143)

U tabeli 2.8 su dati karakteri Dpv, [D2pv], {D2

pv} i IR-a grupe C4. Karakteri[D2

pv] i {D2pv} se mogu na�i i indirektno, koriste�i karaktere Dpv i formule

χ([D2](g)) =1

2

(χ2(D(g)) + χ(D(g2))

),

χ({D2}(g)) =1

2

(χ2(D(g))− χ(D(g2))

). (2.144)

Razlaga�e [D2pv] i {D2

pv} na IR-e je slede�e

[D2pv] = 2A0 ⊕ A1 ⊕ A−1 ⊕ 2A2,

{D2pv} = A0 ⊕ A1 ⊕ A−1. (2.145)

Prvo �emo na�i svojstvene vektore [D2pv]. Projektori i svojstveni vektori su

PA0

[D2pv ] =

1

4

2 0 0 0 2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 4

→ |A011〉 =1√2

(|11〉+ |22〉), |A021〉 = |33〉 , (2.146)


PA−1

[D2pv ] =

1

4

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 i 1 i 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −i 0 0 1 −i 1 00 0 1 0 0 i 1 i 00 0 −i 0 0 1 −i 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0

→ |A−111〉 =1

2(|13〉+ |31〉+ i |23〉+ i |32〉),

PA1

[D2pv ] =

1

4

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 −i 1 −i 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 i 0 0 1 i 1 00 0 1 0 0 −i 1 −i 00 0 i 0 0 1 i 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0

→ |A111〉 =1

2(|13〉+ |31〉 − i |23〉 − i |32〉),

PA2

[D2pv ] =

1

4

2 0 0 0 −2 0 0 0 00 2 0 2 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 2 0 2 0 0 0 0 0−2 0 0 0 2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

→ |A211〉 =1√2

(|11〉 − |22〉),

|A221〉 =1√2

(|12〉+ |21〉). (2.147)

Projektori i svojstveni vektori {D2pv} su

PA0

{D2pv}

=1

4

0 0 0 0 0 0 0 0 00 2 0 −2 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 −2 0 2 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

→ |A011〉 =1√2

(|12〉 − |21〉),

PA−1

{D2pv}

=1

4

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 i −1 −i 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −i 0 0 1 i −1 00 0 −1 0 0 −i 1 i 00 0 i 0 0 −1 −i 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0

→ |A−111〉 =1

2(|13〉 − |31〉+ i |23〉 − i |32〉),

PA1

{D2pv}

=1

4

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 −i −1 i 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 i 0 0 1 −i −1 00 0 −1 0 0 i 1 −i 00 0 −i 0 0 −1 i 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0

→ |A111〉 =1

2(|13〉 − |31〉 − i |23〉+ i |32〉).

(2.148)

13. Bazis kvadratnih monoma je xestodimenzionalan i qine ga vektori {x2, y2, z2,xz, yz, xy}. Grupa C4v ima dva koseta, Cs

4 i σxCs4 (s = {0, 1, 2, 3}). Elementi

grupe x i y ili permutuju (do-na znak) ili ostavaju istim (do-na znak), dokse z slika uvek u samog sebe. Na osnovu toga sledi invarijantnost prostorakvadratnih monoma, jer �e se x2, y2, xz i yz slikati u sebe ili permutovati,dok se xy i z2 uvek slika u sebe. Elementi grupe se u gore definisanom bazisureprezentuju na slede�i naqin


Tabela 2.9: Ireducibilne reprezentacije grupe C4v i karakter reprezentacije D.IR e C4 C2


4 σxC34

A0 1 1 1 1 1 1 1 1

B0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

A2 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

B2 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

E ( 1 00 1 ) ( i 0

0 −i ) (−1 00 −1 ) (−i 0

0 i) ( 0 1

1 0 ) ( 0 −ii 0

) ( 0 −1−1 0 ) ( 0 i

−i 0 )

χ(E) 2 0 -2 0 0 0 0 0

χ(D) 6 0 2 0 2 2 2 2

D(e) = I6, D(C4) =

11

1−1

1−1

, D(C24) = Diag[1, 1, 1,−1,−1, 1],

D(C34) =

11

11

−1−1

, D(σx) = Diag[1, 1, 1, 1,−1,−1],

D(σxC4) =

11

1−1

−11

, D(σxC24) = Diag[1, 1, 1,−1, 1,−1],

D(σxC34) =

( 11

11

11

). (2.149)

Karakteri IR-a grupe C4v i reprezentacije D su dati u tabeli 2.9. Razlaga�ereprezentacije D na IR-e je

D = 2A0 ⊕ A2 ⊕B2 ⊕ E. (2.150)

Svojstveni vektori i projektori su

PA0 =1

8

( 4 4 0 0 0 04 4 0 0 0 00 0 8 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

)→

|A011〉 =1√2

( 110000

)=

1√2

(x2 + y2), |A021〉 =

( 001000

)= z2. (2.151)

PA2 =1

8

4 −4 0 0 0 0−4 4 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

→ |A211〉 =1√2

1−10000

=1√2

(x2 − y2).(2.152)

PB2 =

( 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1

)→ |B211〉 =

( 000001

)= xy. (2.153)


PE11 =2

8

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 2 2i 00 0 0 −2i 2 00 0 0 0 0 0

→ |E11〉 =1√2

0001−i0

=1√2

(xz − iyz),

PE21 =2

8

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 2 2i 00 0 0 2i −2 00 0 0 0 0 0

→|E21〉 = PE21 |E11〉 =

1√2

( 0001i0

)=

1√2

(xz + iyz). (2.154)

2.2 Invarijantni polinomi

Tabela 2.10: Karakter IR-e A0 grupe C4 i karakteri reprezentacija Dpv, [D2pv] i

[D3pv].

C4 e C4 C24 C3

4

A0 1 1 1 1Dpv 3 1 −1 1[D2

pv] 6 0 2 0

[D3pv] 10 0 −2 0

1. Da bismo odrediti invarijantne polinome n-tog stepena, potrebno je odreditisimetrizovani n-ti stepen polarno-vektorske reprezentacije (ukoliko radimosa polarnim vektorima kao xto su koordinate) ili simetrizovani n-ti stepenaksijalno-vektorske reprezentacije (magnetizacija).

Kako je nala�e�e simetrizovanog kvadrata zahtevan i zamoran posao, u zadaci-ma koji slede ne�emo koristiti simetrizator, ali �emo kroz karaktere simetri-zovanog n-tog stepena voditi raquna o dozvoenom broju invarijantnih poli-noma.

Za reprezentaciju D(g) elementa g grupeG, simetrizovani kvadrat i simetri-zovani tre�i stepen su jednaki

χ([D2](g)) =1

2(χ2(D(g)) + χ(D(g2))),

χ([D3](g)) =1

6χ3(D(g)) +

1

2χ(D(g))χ(D(g2)) +

1

3χ(D(g3)). (2.155)

U konkretnom primeru, grupa simetrije je C4 dok je reprezentacija koju anal-iziramo Dpv. Kako je

Dpv(Cs4) =

(cos 2π

4s − sin 2π

4s

sin 2π4s cos 2π

4s

1

), χ(Dpv(C

s4)) = 1 + 2 cos

2π

4s, (2.156)

mo�emo lako na�i karaktere koji su potrebni za odre�iva�e invarijantnihpolinoma prvog, drugog i tre�eg stepena (tabela 2.10),

aDpvA0

= 1, a[D2pv ]

A0= 2, a

[D3pv ]

A0= 2. (2.157)

2.2. INVARIJANTNI POLINOMI 33

Invarijantni tenzor prvog reda dobijamo rexava�em jednaqine

Dpv(C4)⊗ A∗0(C4) |x〉 = |x〉 ,(−1

11

)(x1x2x3

)=(x1x2x3

)→

x1 = x2 = 0, x3 = 1→|A011〉1 =

(001

)= z. (2.158)

Invarijantni tenzor drugog reda dobijamo rexava�em jednaqine

D2pv(C4)⊗ A∗0(C4) |x〉 = |x〉 ,

1−1

−1−1

11

−11

1

x1x2x3x4x5x6x7x8x9

=

x1x2x3x4x5x6x7x8x9

→

x2 = x3 = x4 = x6 = x7 = x8 = 0, x1 = x5, x9 = x9 →

|A011〉2 =1√2

100010000

≈ x2 + y2, norma je nebitna

|A021〉2 =1√2

000000001

z2. (2.159)

Pre nego xto krenemo sa odre�iva�em invarijantnih polinoma tre�eg reda,primetimo da va�i tvr�e�e da je proizvod invarijantnih polinoma invari-jantni polinom. Tako, znaju�i da je z invarijantni polinom prvog reda, lakozakuqujemo da je z2 invarijantni polinom drugog reda. Polinom x2+y2 nismomogli da "pogodimo". Xto se tiqe invarijantnih polinoma tre�eg reda, po-liomi z3 i z(x2 + y2) su sigurno me�u �ima. Kako smo odredili da je brojinvarijantnih polinoma tre�eg reda upravo 2, ispostava se da nije potrebnotra�iti invarijantne polinome tre�eg stepena koriste�i D3

pv.

Konaqno, invarijantni polinom do tre�eg reda se mo�e napisati kao

P3(x, y, z) = αz + β(x2 + y2) + γz2 + δ(x2 + y2)z + ηz3. (2.160)

2. Polarno-vektorska reprezentacija elemenata grupe C∞v je

Dpv(Rϕ) =(


1

), Dpv(σx) = diag[1,−1, 1], Dpv(σxRϕ) =

(cosϕ − sinϕ− sinϕ − cosϕ

1

),

(2.161)


C∞v Rϕ σxRϕ

A0 1 1Dpv 1 + 2 cosϕ 1

[D2pv] 2(1 + cosϕ+ cos 2ϕ) 2

Tabela 2.11: Karakter IR-e A0 grupe C∞v i karakteri reprezentacija Dpv i [D2pv].

Na osnovu (2.161) se jednostavno odre�uju D2pv(Rϕ) i D2

pv(σxRϕ) (c = cosϕ, s =sinϕ)

D2pv(Rϕ) =

c2 −sc −sc s2



s cc −ss c

1

,

D2pv(σxRϕ) =

c2 −sc −sc s2−sc −c2 s2 sc

c −s−sc s2 −c2 scs2 sc sc c2

−s −cc −s−s −c

1

. (2.162)

Karakteri Dpv su jednaki

χ(Dpv(Rϕ)) = 1 + 2 cosϕ, χ(Dpv(σxRϕ)) = 1. (2.163)

Da bismo izraqunali simetrizovani kvadrat polarno-vektorske reprezentacije,potrebni su nam karakteri χ(Dpv(R

2ϕ)) i χ(Dpv

((σxRϕ)2

)). Koriste�i da je

R2ϕ = R2ϕ i (σxRϕ

)2= R0 = e, karakteri se lako odre�uju (tabela 2.11), kao i

broj pojaviva�a IR-e A0 u reprezentacijama Dpv i [D2pv]

aDpvA0

=1

4π

∫ 2π

0

(1 + 2 cosϕ+ 1)dϕ = 1,

a[D2pv ]

A0=

1

4π

∫ 2π

0

(2 + 2 cosϕ+ 2 cos 2ϕ+ 2)dϕ = 2.

(2.164)

Dakle, postoji 1 invarijantni polinom prvog reda i 2 invarijantna polinomadrugog reda. Projektor na IR-u A0 reprezentacije Dpv je jednak

PDpvA0

=1

4π

∫ 2π

0

(Dpv(Rϕ) +Dpv(σxRϕ))dϕ =1

4π

∫ 2π

0

(2 cosϕ −2 sinϕ 0

0 0 00 0 2

)dϕ

=(

0 0 00 0 00 0 1

), (2.165)

i daje nam prvi svojstveni vektor (invarijantni polinom prvog reda)

|A011〉1 =(

001

)= z. (2.166)

2.3. NORMALNE MODE 35

Projektor na IR-u A0 reprezentacije D2pv je jednak

PD2pv

A0=

1

4π

∫ 2π

0

(D2pv(Rϕ) +D2

pv(σxRϕ))dϕ

=1

4π

∫ 2π

0

2c2 −2sc 0 −2sc 2s2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 2c 0 0 −2s 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

2s2 2sc 0 2sc 2c2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 2c −2s 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1

dϕ

=1

2

1 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2

(2.167)

i daje nam invarijantne polinome drugog reda

|A011〉2 =1√2

100010000

≈ x2 + y2, |A021〉2 =

000000001

= z2. (2.168)

Opxti oblik invarijantnog polinoma do drugog reda za grupu simetrije C∞vje

P2(x, y, z) = αz + β(x2 + y2) + γz2. (2.169)

2.3 Normalne mode

Geometrijske transformacije koje ostavaju sistem neprome�enim se mogu fakto-risati tako da jedan faktor odra�ava preslikava�e me�u razliqitim atomima istevrste (permutaciono dejstvo), a drugi opisuje transformaciju u R3 na standardninaqin (polarno-vektorska reprezentacija i za koordinate i za impulse). Reprezenta-cija koja oslikava ovakvo delova�e geometrijskih transformacija sistema je di-namiqka reprezentacija, Ddin, i jednaka je tenzorskom proizvodu permutacione, Dp,i polarno-vektorske reprezentacije, Dpv

Ddin = Dp ⊗Dpv. (2.170)

Kreta�e krutog tela mo�e opisati kao kompozicija translacije (polarno-vektorskodejstvo), rotacije (aksijalno-vektorsko dejstvo) i vibracije. Dakle, vibracionareprezentacija je jednaka

Dvib = Ddin Dpv Dav. (2.171)

1. U ovom zadatku �emo klasifikovati normalne mode molekula vode (slika 2.4),grupe simetrijeC2v. Permutacione reprezentacija je dimenzije 3 i reprezentu-je elemente grupe C2v na slede�i naqin (atomi H su numerisani brojevima 1 i2, dok kiseoniku odgovara broj 3)

Dp(e) = Dp(σxC2) = I3, Dp(C2) = Dp(σx) =(

11

1

). (2.172)


H,1

z

yH,2

O,3

Slika 2.4: Molekul vode. Atomi vodonika su numerisani kao 1 i 2 i nalaze se nay-osi, dok je kiseonik na z-osi i numerisan je brojem 3.

Tabela 2.12: Ireducibilne reprezentacije grupe C2v i karakter reprezentacija Dp,

Dpv, Dav i Ddin.

C2v e C2 σx σxC2

A0/B0 1 1 ±1 ±1A1/B1 1 -1 ±1 ∓1χ(Dp) 3 1 1 1χ(Dpv) 3 -1 1 1χ(Dav) 3 -1 -1 -1χ(Ddin) 9 -1 1 3

Karakter Dp se mo�e na�i direktno ili korix�e�em osobine da je trag jed-nak zbiru svih atoma koje element grupe simetrije ostava neprome�enim. Unaxem sluqaju e i σxC2 ostavju sistem neprome�enim, dok je C2 i σx ostavajusamo O fiksnim.

Xto se tiqe reprezentacija Dpv i Dav, one reprezentuju elemente grupe naslede�i naqin

Dpv,av(e) = I3, Dpv,av(C2) =( −1

−11

), (2.173)

Dpv(σx) = −Dav(σx) =(

1−1

1

), Dpv(σxC2) = −Dav(σxC2) =

(−1

11

).

IR-e grupe C2v i karakteri reprezentacija Dp, Dpv, Dav i Ddin 6 su dati utabeli 2.12. Razlaga�e Dpv, Dav i D

din na IR-e je slede�e

Dpv = A0 ⊕ A1 ⊕B1,

Dav = B0 ⊕ A1 ⊕B1,

Ddin = 3A0 ⊕B0 ⊕ 2A1 ⊕ 3B1. (2.174)

Konaqno, vibracione mode su slede�e

Dvib = Ddin Dpv Dav = 2A0 ⊕B1. (2.175)

6Karakter dinamiqke reprezentacije je jednak proizvodu karaktera permutacione i polarno-vektorske reprezentacije.


z

x

Slika 2.5: Dvoatomski molekul sa razliqitim atomima. Grupa simetrija sistemaje C∞v.

2. Grupa simetrije sistema sa slike 2.5 je jednakaC∞v. Permutaciona reprezentacijaje jednaka

Dp(Rϕ) = Dp(σxRϕ) = I2, (2.176)

dok za reprezentacije Dpv i Dav va�i

Dpv(Rϕ) =(


1

), Dpv(σx) =

(1−1

1

), Dpv(σxRϕ) =


1

),

Dav(Rϕ) =(


), Dav(σx) = ( −1

1 ) , Dav(σxRϕ) =( − cosϕ sinϕ

sinϕ cosϕ

). (2.177)

Treba napomenuti da je aksijalno-vektorska reprezentacija dimenzije 2, zatoxto je broj rotacionih stepeni slobode linearnog molekula 2. IR-e grupeC∞v i karakteri Dp, Dpv, Dav i D

din su dati u tabeli 2.13. Broj pojaviva�a

Tabela 2.13: Ireducibilne reprezentacije grupe C∞v i karakteri reprezentacijaDp, Dpv, Dav, D

din.C∞v Rϕ σxRϕ

A0/B0 1 ±1χ(Em) 2 cosmϕ 0χ(Dp) 2 2χ(Dpv) 1 + 2 cosϕ 1χ(Dav) 2 cosϕ 0χ(Ddin) 2(1 + 2 cosϕ) 2

pojedinih IR-a u Dpv, Dav i Ddin je slede�e

apvA0=

1

4π

∫ 2π

0

(2 + 2 cosϕ)dϕ = 1,

apvB0=

1

4π

∫ 2π

0

(1 + 2 cosϕ− 1)dϕ = 0,

apvEm =1

4π

∫ 2π

0

(1 + 2 cosϕ)2 cosmϕdϕ = δm,±1 + δm,0, (2.178)


aavA0=

1

4π

∫ 2π

0

2 cosϕdϕ = 0,

aavB0=

1

4π

∫ 2π

0

2 cosϕdϕ = 0,

aavEm =1

4π

∫ 2π

0

4 cosϕ cosmϕdϕ = δm,±1,

adinA0=

1

4π

∫ 2π

0

(4 + 4 cosϕ)dϕ = 2,

adinB0=

1

4π

∫ 2π

0

(2 + 4 cosϕ− 2)dϕ = 0,

adinEm =1

4π

∫ 2π

0

(2 + 4 cosϕ)2 cosmϕdϕ = 2(δm,±1 + δm,0), (2.179)

tako da je razlaga�e na IR-e jednako7

Dpv = A0 ⊕ E1,

Dav = E1,

Ddin = 2(A0 ⊕ E1). (2.180)

Konaqno, vibraciona reprezentacija je jednaka

Dvib = Ddin Dpv Dav = A0. (2.181)

m1

m2

z

Slika 2.6: Linearni molekul sa dva razliqita atoma masa m1 i m2 na z-osi. Grupasimetrija sistema je C∞v.

3. Da bismo naxli normalne mode sistema, pre svega je potrebno definisatimatricu V

V = (V βjαi ) = (

∂2V (0)

∂qαi∂qβj), (2.182)

7kod 2D IR-a je m ≥ 1.


koja predstava drugi izvod potencijala. Simetrijska analiza nam poma�e dasvojstveni problem Hamiltonijana svedemo na rexava�e svojstvenog problemadinamiqke matrice W

W = (W βjαi ) =

1√mαmβ

V βjαi , (2.183)

qije svojstvene vrednosti predstavaju kvadrate frekvencija.

U sluqaju linearnog molekula sa razliqitim atomima mase m1 i m2 (slika2.6) va�i

V βjαi =

∂2(k2

∑3a=1(q1a − q2a)

2)

∂qαi∂qβj,

=∂(k(q1i − q2i)(δα,1 − δα,2)

)∂qβj

= kδi,j(δα,1 − δα,2)(δβ,1 − δβ,2), (2.184)

tako da je

W βjαi =

k√mαmβ

δi,j(δα,1 − δα,2)(δβ,1 − δβ,2). (2.185)

Ukoliko matriqno izrazimo V i W 8 dobijamo

V = k

1 −11 −1

1 −1−1 1−1 1−1 1

,

W = k

1m1

− 1√m1m2

1m1

− 1√m1m2

1m1

− 1√m1m2

− 1√m1m2

1m2

− 1√m1m2

1m2

− 1√m1m2

1m2

. (2.186)

Kako dinamiqka reprezentacija komutira saW , redukcijaW se mo�e ostvari-ti odre�iva�em svojstvenih vektora Ddin. U prethodnom zadatku smo klasi-fikovali vibracione mode ovog sistema koji ima simetriju C∞v. Ispostavilose da postoji samo jedna vibraciona moda koja se transformixe po IR-i A0.Da bismo odredili Ddin, potrebni su nam permutaciona i polarno-vektorska

8Obe matrice su dimenzije 6× 6. Centralni gor�i (do�i) 3× 3 blok predstava interakcijuatoma masem1 (m2) sa samim sobom, dok dijagonalni gor�i i do�i blok predstavaju interakciju.


reprezentacija

Dp(Rϕ) = Dp(σxRϕ) = I2,

Dpv(Rϕ) =(


1

), Dpv(σxRϕ) =


1

),

Ddin(Rϕ) =


1cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

1

,

Ddin(σxRϕ) =

cosϕ − sinϕ− sinϕ − cosϕ

1cosϕ − sinϕ− sinϕ − cosϕ

1

. (2.187)

Projektor na IR-u A0 je jednak

PA0 =1

4π

∫ 2π

0

dϕ(Ddin(Rϕ) +Ddin(σxRϕ))

=1

4π

∫ 2π

0

2 cosϕ −2 sinϕ 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 2 0 0 00 0 0 2 cosϕ −2 sinϕ 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 2

=

( 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1

), (2.188)

tako da su svojstveni vektori

|A011〉 =

( 001000

), |A021〉 =

( 000001

). (2.189)

Dinamiqka matricaW se u ireducibilnom potprostoru A0 redukuje na slede�inaqin

W |A011〉 =k

m1

|A011〉 − k√m1m2

|A021〉 ,

W |A021〉 = − k√m1m2

|A011〉+k√m2

|A021〉 ,

W redA0

=

(km1

− k√m1m2

− k√m1m2

km2

). (2.190)

Svojstvene vrednosti se dobijaju rexava�em jednaqine det |W redA0− λI2| = 0,

ω21,2 = λ1,2 = {0, k(

1

m1

+1

m2

)}, (2.191)

dok su svojstveni vektori jednaki

|A0〉1 =

√m1

m1 +m2

00100√m2m1

, |A0〉2 =

√m2

m1 +m2

00100

−√m1m2

. (2.192)


Ukoliko se prisetimo rezultata prethodnog zadatka, vide�emo da jedan svo-jstveni vektor odgovara translacionim stepenima slobode, dok drugi predsta-va vibracionu modu. Kako translacionim modama odgovaraju nulte frekven-cije, zakuqujemo da su frekvencija i vibracioni vektor

ωA0 =

√k(

1

m1

+1

m2

), |A0〉vib =

√m2

m1 +m2

00100

−√m1m2

. (2.193)

Do istog zakuqka smo mogli do�i razmatraju�i sluqaj m1 = m2. Tada vektor|A0〉1 odgovara qistoj translaciji du� z-ose, dok se u sluqaju |A0〉2 atomi kre�ujedan ka drugom/od drugog u z pravcu, tj. vibriraju. U sluqaju nejednakihmasa, translacionu pomera�e atoma m1 i m2 je nejednako, ali u istom pravcui smeru, dok se kod vibracija atomi kre�u nejednako9 u razliqitom smeru.

m1m2m1 m2 m1 m2 m1 m2 m1 m2

0-1 1 2-2

Slika 2.7: Beskonaqni sistem sa dva razliqita atoma u elementarnoj �eliji. Poredaproksimacije najbli�ih suseda, radi jednostavnosti, smatra�emo da je konstantainterakcije κ atoma unutar elementarne �elije jednaka konstanti interakcije atomakoji se nalaze u razliqitim elementarnim �elijama.

4. Sluqaju beskonaqih sistema, relevantna grupa simetrije je translaciona grupa.U tom sluqaju je procedura nala�e�a vibracionih moda malo drugaqija. Naime,potrebno je odrediti "nulti" atom, tj. atom ili elementarnu �eliju qiju �emointerakciju sa drugim atomima ili elementarnim �elijama analizirati.

Drugim reqima, potencijal V koji nas interesuje je jednak 10

V = (V rj0i ) = (

∂2V (0)

∂q0i∂qrj), (2.194)

dok je odgovaraju�a dinamiqka matrica

W = (W rj0i ) =

1√mαmβ

V rj0i . (2.195)

9Lakxi atom je pokretiviji od te�eg.10Primetiti izvesnu dozu nekonzistentnosti u ovoj definici u odnosu na definiciju 2.182. 0

nam predstava nulti elementarnu �eliju koja mo�e imati vixe od jednog atoma. U tom smislu ibroji stepenen slobode sistema (x, y, z), kao i broj atoma u elementarnoj �eliji. Dae, r identi-fikuje drugu elementarnu �eliju, dok j predstava stepene slobode i broj atoma u �eliji. Konaqno,u sluqaju 1D kreta�a, problem koji smo naveli ne postoji, jer je broj stepeni slobode 1, tako da i,odnosno j, slu�e da numerixu atome u elementarnoj �eliji.


IR-e translacione grupe su jednake e−ikr, a svojstveni problem dinamiqke ma-trice se svodi na rexava�e slede�eg svojstvenog problema

W (k) =∑k

eikrW rj0i . (2.196)

U 1D sluqaju koji nas interesuje, IR-e translacione grupe su jednake e−ikx,gde a korak translacije i k ∈ (−π/a, π/a]. U tom sluqaju mo�emo usvojitioznaku x = ma, gde je m korak translacije, tako da jednaqine 2.194, 2.195 i2.196 postaju

V = (V mj0i ),W = (Wmj

0i ),

W (k) =∑k

eikamWmj0i . (2.197)

U konkretnom sluqaju (slika 2.7), potencijal sistema je jednak

Vuk =∑n

κ

2

[(xn,1 − xn,2)2 + (xn,1 − xn−1,2)2

]. (2.198)

U potencijalu Vuk svaki qlan sume predstava interakciju elementarne �elijesa samom sobom ili elementarnim �elijama koje se nalaze levo od �ega. Uslede�em koraku (�elija n + 1), interakcija sa levom elementarnom �elijompredstava upravo interakciju n+ 1 i n, tako da zakuqujemo da su sve inte-rakcije �elije n ukuqene u potencijalu Vuk. Dae, Vuk se mo�e razviti naslede�i naqin

Vuk =κ

2

∑n

[x2n,1 − x2

n,2 + x2n,1 + x2

n−1,2 − 2xn,1xn,2 − 2xn,1xn−1,2

]. (2.199)

Sada je V mj0i

V mj0i =

∂2Vuk∂x0,i∂xm,j

=κ

2

[4δn,0δm,nδi,1δj,1 + 2δn,0δm,nδi,2δj,2 − 2δn,0δm,nδi,1δj,2

−2δn,0δm,nδi,2δj,1 + 2δn−1,0δm,n−1δi,2δj,2

−2δn,0δm,n−1δi,1δj,2 − 2δn−1,0δm,nδi,2δj,1

]= κ[2δm,0(δi,1δj,1 + δi,2δj,2)− δm,0(δi,1δj,2 + δi,2δj,1)

−δm,−1δi,1δj,2 − δm,1δi,2δj,1]. (2.200)

U bazisu {i, j} potencijali V m0 i Wm

0 su jednaki

V m0 =

(2δm,0 −δm,0−δm,−1

−δm,0−δm,1 2δm,0

),Wm

0 = κ

( 2δm,0m1

−δm,0+δm,−1√

m1m2

−δm,0+δm,1√

m1m2

2δm,0m2

). (2.201)

Konaqno, rexava�em svojstvenog problema W (k)

W (k) =∑m

eikamWm0 = κ

(2m1

− 1+e−ika√m1m2

− 1+eika√m1m2

2m2

)→ det[W (k)− λI2] = 0, (2.202)


dobijamo svojstvene vrednosti (1/µ = 1/m1 + 1/m2)

ω21,2 =

κ

µ(1±

√1− 4µ2

m1m2

sin2 ka

2). (2.203)

Na slici 2.8 su prikazane optiqke mode (ω1) i akustiqke mode (ω2) kristala usluqaju jednakih masa (levo) i za odnos masa m2/m1 = 2.

Slika 2.8: Akustiqke i optiqke mode beskonaqnog kristala translacionog periodaa u sluqaju jednakih masa (levo) i u sluqaju m2/m1 = 2 (desno).

2.4 Naruxe�e simetrije

Normalni fazni prelazi izme�u teqnog i qvrstog sta�a podrazumevaju diskontinu-alnu promenu slobodne energije. U ovom poglavu �emo se baviti faznim prelazimadruge vrste u kojima se slobodna energija me�a kontinualno iako se simetrija me�adiskontinualno, tj. u svakom trenutku mo�emo da utvrdimo koju vrstu simetrijesistem poseduje. Diskontinuitet u simetriji postoji samo u kritiqnoj taqki.

Parametar poretka je ona veliqina koja ima nenultu vrednost posle kritiqnetaqke, dok je jednaka nuli u kritiqnoj taqki. Kako se slobodna energija kontinu-alno me�a, Landau je pretpostavio da se u blizini kritiqne taqke ona analitiqkafunkcija parametra poretka i mo�e se razviti u red po parametru poretka. Lan-dauveva teorija je ekvivalentna teoriji sred�eg poa (u blizini faznog prelaza)koja zanemaruje fluktuacije parametra poretka u taqki prelaza.

Dakle, slobodna energija se mo�e razviti u red po parametru poretka

F = F0 + F1φ+ F2φ2 + F3φ

3 + F4φ4 + ... (2.204)

U prethodnoj jednaqini, F0 predstava ravnote�nu vrednost slobodne energijena kritiqnoj temperaturi i mo�e se zanemariti. Mo�e se pokazati [4] da linearniqlan u razvoju ne postoji. To je oqigledno ako se uzmu u obzir dve qi�enice: φje parametar poretka koji se, po definiciji, transformixe po nejediniqnoj IR-ipoqetne grupe simetrije; F je invarijantni polinom poqetne grupe simetrije, tako


da se φ transformixe po jediniqnoj IR-i. Xto se tiqe F2(p, T ), on mora bitijednak nuli u Tc. U visokosimetriqnoj fazi samo za F2 > 0 minimum slobodneenergije odgovara poziciji φ = 0, dok u sluqaju F2 < 0 nenulta vrednost φ moraodgovarati ravnote�nom sta�u (slika 2.9). Na osnovu oba uslova zakuqujemo da na

Slika 2.9: Slobodna energija koja odgovara sluqajevima F2 > 0 i F2 < 0 ukoliko jeF4 > 0.

temperaturi prelaza Tc va�i F2(p, Tc) = 0. Xto se tiqe F3 qlana, on na kritiqnojtemperaturi Tc (koja i dae odgovara visokosimetriqnoj fazi) mora biti jednak 0,dok F4 mora biti pozitivan da bi obezbedio globalni minimum (slika 2.10). Ko-

Slika 2.10: Slobodna energija na kritiqnoj temperaturi Tc za F = −φ3 + φ4,F = +φ3 + φ4 i F = φ4 .

eficijent F4 koji je pozitivan u Tc mora biti pozitivan i u okolini te taqke. Xtose tiqe kubnog qlana, dve situacije su mogu�e. Ukoliko va�i da je invarijantnipolinom tre�eg reda simetrijski jednak nuli, onda u taqki prelaza postoji samojedan uslov, F2(p, T ) = 0, koji odre�uje p kao funkciju T i obratno. Tada u p − Travni postoji linija koja odgovara taqkama faznog prelaza drugog reda. U drugomsluqaju, ukoliko je simetrijski dozvoen invarijantni polinom tre�eg reda, taqke


faznog prelaza su odre�ene sa dva uslova

F2(p, T ) = F3(p, T ) = 0. (2.205)

U ovom sluqaju, fazni prelaz drugog reda se mo�e desiti samo u izolovanim taqkamakoje odgovaraju rexe�ima jednaqine 2.205. U slede�a tri zadatka, bavi�emo sezanimivijim sluqajem koji nala�e da invarijante tre�eg stepena ne postoje. Sime-trijski, taj uslov se mo�e formulisati tako da se u simetrizovanom tre�em ste-penu IR-e poqetne grupe simetrije ne pojavuje jediniqna reprezentacija (Lan-dauvev uslov) [3, 4]. Ukoliko parametar poretka odgovara 1D nejediniqnoj IR-iLandauvev uslov je uvek ispu�en, dok kod IR-a ve�e dimenzije odgovor nije una-pred dat.

Tabela 2.14: Ireducibilne reprezentacije grupe C3v i simetrizovani tre�i ste-peni IR-a.

IR e C3 C23 σx σxC3 σxC2

3A0 1 1 1 1 1 1

B0 1 1 1 -1 -1 -1

χ(E) 2 -1 -1 0 0 0

[A30] 1 1 1 1 1 1

[B30 ] 1 1 1 -1 -1 -1

χ([E3]) 4 1 1 0 0 0

1. • U prvom sluqaju je poqetna grupa simetrije C3v. Ona poseduje dve 1Dreprezentacije, A0 i B0, kao i jednu 2D reprezentaciju, E. U 1D sluqajufazni prelaz se dexava samo po nejediniqnim IR-ama, tj. po IR-i B0.Xto se tiqe 2D IR-e, prvo je potrebno odrediti karaktere [E3] po fo-rmuli

χ([D3](g)) =1

6χ3(D(g)) +

1

2χ(D(g))χ(D(g2)) +

1

3χ(D(g3)).(2.206)

Karakteri [E3] kao i IR-e razmatrane grupe simetrije su date u tabeli2.14. U razlaga�u [E3] na IR-e se A0 pojavuje jednaput, tako da zakuquje-mo da se po IR-i E ne mo�e desiti fazni prelaz.

Dakle, samo se po IR-i B0 dexava fazni prelaz. Nova grupa simetrijeje podgrupa poqetne grupe u kojoj se IR-a B0 mo�e videti kao jediniqna.Drugim reqima, zanima nas epikernel B0. Kako je Ek(B0) = C3, zakuqu-jemo da je maksimalna grupa simetrije nakon faznog prelaza C3.

Posled�a stvar koja nas zanima je parametar poretka. Parametar poretkaje ona veliqina koja se transformixe po IR-i B0 poqetne grupe simetrijei jediniqnoj IR-i ni�e grupe simetrije. Lako se zakuquje da z kompo-nenta magnetizacije, koja je aksijalni vektor, zadovoava oba uslova.

• U sluqaju C4v fazni prelaz se mo�e desiti po 1D IR-ama B0, A2 i B2.


Tabela 2.15: Ireducibilne reprezentacije grupe C4v i simetrizovani tre�i ste-peni IR-a.

IR e C4 C24 C3

4 σx σxC4 σxC24 σxC3

4A0 1 1 1 1 1 1 1 1

B0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

A2 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

B2 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

χ(E) 2 0 -2 0 0 0 0 0

[A30] 1 1 1 1 1 1 1 1

[B30 ] 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

[A32] 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

[B32 ] 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

χ([E3]) 4 0 -4 0 0 0 0 0

Nove grupe simetrije i mogu�i parametri poretka su slede�i11

Ek(B0) = C4, az,

Ek(A2) = C2v, pxpyaz,

Ek(B2) = C ′2v = {e, C24 , σxC4, σxC

34}, pxpy. (2.207)

Karakteri simetrizovanog tre�eg stepena IR-e E su predstaveni u tabeli2.15. Razlaga�em [E3] na IR-e zakuqujemo da je broj pojaviva�a IR-eA0, aA0 = 0, tako da je fazni prelaz mogu� i po ovoj IR-i. Da bismoodredili mogu�e ni�e grupe simetrije sistema, potrebno je da se subduk-cijom E na tu grupu pojavuje jediniqna IR-a, jer parametar poretkau ni�oj fazi predstava skalar. Podgrupe C4v su slede�e: C4, C2v, C2,C1v, {e, σxC4}, {e, σxC2

4}, {e, σxC34}. Od �ih su podgrupe kod kojih se u sub-

dukciji E dobija jediniqna reprezentacija slede�e (parametri poretka sutako�e dati)

C1v = {e, σx}, px,C1v = {e, σxC4}, p(ex − ey),

C1v = {e, σxC24}, py,

C1v = {e, σxC34}, p(ex + ey). (2.208)

Tabela 2.16: Ireducibilne reprezentacije grupe D2h i simetrizovani tre�i ste-peni IR-a.

IR e C2 σx σxC2 σh σhC2 Ux UxC2

A±0 1 1 1 1 ±1 ±1 ±1 ±1

B±0 1 1 -1 -1 ∓1 ∓1 ±1 ±1

A±1 1 -1 1 -1 ±1 ∓1 ±1 ∓1

B±1 1 -1 -1 1 ∓1 ±1 ±1 ∓1

• U sluqaju grupe D2h sve IR-e su 1D, tako da se fazni prelaz mo�e desitipo bilo kojoj IR-i osim jediniqne. Koriste�i tabelu 2.16, mo�emo na�i

11Koristi�emo oznaku a za aksijalne vektore i p za polarne vektore.


grupe simetrije ni�e faze i predlo�iti parametar poretka

Ek(A−0 ) = C2v, pz,

Ek(B+0 ) = D2, pxpypz(azpz),

Ek(B−0 ) = C2h, pxpy(az),

Ek(A+1 ) = D1h, px,

Ek(A−1 ) = {e, σh, σxC2, UxC2}, pxpz(ay),Ek(B+

1 ) = {e, σhC2, σxC2, Ux}, pypz,Ek(B−1 ) = {e, σh, σxC2, UxC2}, py. (2.209)

2. Tabela IR-a grupe D4h je data u tabeli 2.17.

Tabela 2.17: Ireducibilne reprezentacije grupe D4h za t = {0, 1, 2, 3}, ct = cos π2t i

st = sin π2t, karakteri polarno-vektorske reprezentacije Dpv, kao i karakteri anti-

simetrizovanih kvadrata IR-a B−0 , A−0 , B

+0 i E+

1 .IR Ct4 σxCt4 σhC

t4 UxCt4

A±0 1 1 ±1 ±1

B±0 1 -1 ∓1 ±1

A±2 (−1)t (−1)t ±(−1)t ±(−1)t

B±2 (−1)t −(−1)t ∓(−1)t ±(−1)t

E±1(ct −stst ct

) (ct −st−st −ct

)±(ct −stst ct

)±(ct −st−st −ct

)χ(E±1 ) 2 cos π

2t 0 ±2 cos π

2t 0

χ(Dpv) 1 + 2 cos π2t 1 −1 + 2 cos π

2t -1

χ({B−0 }) 0|0|0|0 0|0|0|0 0|0|0|0 0|0|0|0χ({A−0 }) 0|0|0|0 0|0|0|0 0|0|0|0 0|0|0|0χ({B+

0 }) 0|0|0|0 0|0|0|0 0|0|0|0 0|0|0|0χ({E+

1 }) 1|1|1|1 −1| − 1| − 1| − 1 1|1|1|1 −1| − 1| − 1| − 1

• Parametar poretka Mz je z komponenta aksijalnog vektora koja se trans-formixe na slede�i naqin

Mz

Ct4−→Mz,

Mz

σxCt4−−−→ −Mz,

Mz

σhCt4−−−→Mz,

Mz

UxCt4−−−→Mz. (2.210)

1D IR-a koja ima iste karaktere kao Mz je B−0 . Kako je Ek(B−0 ) = C4h,

maksimalna niskosimetriqna faza je C4h.

• Parametar poretka Pz je z komponenta polarnog vektora koja se trans-formixe kao

PzCt4−→ Pz,

PzσxCt4−−−→ Pz,

PzσhC

t4−−−→ −Pz,

PzUxCt4−−−→ −Pz. (2.211)


Dakle, Pz ima iste karaktere kao IR-a A−0 . Maksimalna niskosimetriqna

grupa simetrije je Ek(A−0 ) = C4v.

• MxPx +MyPy se transformixe po IR-i B+0 jer va�i

MxPx +MyPyCt4−→MxPx +MyPy,

MxPx +MyPyσxCt4−−−→ −(MxPx +MyPy),

MxPx +MyPyσhC

t4−−−→ −(MxPx +MyPy),

MxPx +MyPyUxCt4−−−→MxPx +MyPy. (2.212)

• Lako se proverava da se Px transformixe kao prva komponenta IR-e E+1 .

Da bismo naxli ni�u grupu simetrije zahteva�emo da se prilikom sub-dukcije IR-eE+

1 na niskosimetriqnu fazu java jediniqna reprezentacija.Ispostava se da je maksimalna grupa niskosimetriqne faze D1h.

Da bismo testirali prostornu homogenost, potrebno je da proverimo da li an-tisimetriqni kvadrat reprezentacije parametra poretka sadr�i komponentezajedniqke sa polarno-vektorskom reprezentacijom poqetne grupe. Ukoliko jeodgovor ne, faza je prostorno homogena. Polarno-vektorska reprezentacijaelemenata grupe D4h je

Dpv(Ct4) =

(cos π

2t − sin π

2t

sin π2t cos π

2t

1

), Dpv(σxC

t4) =

(cos π

2t − sin π

2t

− sin π2t − cos π

2t

1

),

Dpv(σhCt4) =

(cos π

2t − sin π

2t

sin π2t cos π

2t−1

), Dpv(UxC

t4) =

(cos π

2t − sin π

2t

− sin π2t − cos π

2t−1

).

(2.213)

Karakteri Dpv su dati u tabeli 2.17. Razlaga�em Dpv na IR-e poqetne grupesimetrije dobijamo

Dpv = A−0 ⊕ E+1 . (2.214)

Antisimetrizovani kvadrati IR-a parametara poretka su jednaki (karakterisu dati u tabeli 2.17)

{B−20 } = 0,

{A−20 } = 0,

{B+20 } = 0,

{E+21 } = B−0 , (2.215)

tako da zakuqujemo da su sve nove faze prostorno homogene.

3. Ireducibilne reprezentacije grupeC∞h su date u tabeli 2.18. Fazni prelaz sene mo�e desiti po kompleksnoj IR-i, zato xto je parametar poretka fiziqkaveliqina koja je realna. Zato je potrebno odrediti fiziqki ireducibilne ilirealne reprezentacije. Po Vignerovoj klasifikaciji, IR-e mo�emo svrstatiu tri klase. IR-a D je


Tabela 2.18: Ireducibilne reprezentacije grupe C∞h i karakter reprezentacijeF±m = A±m ⊕ A±−m.

C∞h Rϕ σhRϕ

A±m eimϕ ±eimϕχ(F±m) 2 cosmϕ ±2 cosmϕ

(a) prve vrste, ako je 1|G|∑

g χ(g2) = 1,

(b) druge vrste, ukoliko va�i 1|G|∑

g χ(g2) = 0,

(c) tre�e vrste, za 1|G|∑

g χ(g2) = −1,

gde je |G| red grupe, dok se sumacija vrxi po svim elementima grupe.

IR-e prve vrste su realne, tj. postoji nesingularni operator A koji prevodiIR-u D u IR-u ADA−1 koji je realna. U sluqaju IR-a druge vrste, realnureprezentaciju dobijamo tako xto tu reprezentaciju i �oj konjugovanu direk-tno saberemo, tj. postoji nesingularni operator koji reprezentaciju D ⊕ D∗prevodi u realnu formu. Za IR-u tre�e vrste, postupak nala�e�a realnereprezentacije je isti kao i kod druge vrste: direktno saberemo IR-e D iD∗ i tako dobijenu reprezentaciju prevedemo u realnu formu nekim nesingu-larnim operatorom.

Direktna posledica Vignerove klasifikacije je da za IR-e prve vrste va�ida su ta reprezentacija D, �oj konjugovana D∗ i realna reprezentacija DR

ekvivalentne. IR-a druge vrste D je ekvivalentna D∗ ali nije ekvivalentnenijednoj realnoj reprezentaciji DR. Za IR-e tre�e vrste ne va�i ekvivalent-nost D i D∗, kao ni ekvivalentnost D sa nekom realnom reprezentacijom.

U naxem sluqaju su IR-e A±0 prve vrste zato xto su realne. Ostale IR-eimaju kompleksan trag koji je invarijanta, tako da ne postoji nesingularnioperator koji bi preveo tu IR-u u realnu formu 12. Dakle, IR-e A±m su tre�evrste, tako da se realna forma (xto je ekvivalentno fiziqki ireducibilnojreprezentaciji) dobija direktnim sabira�em IR-e A±m sa �oj konjugovanomIR-om A∗±m = A±−m

F±m = A±m ⊕ A±−m. (2.216)

Karakteri fiziqki ireducibilnih IR-a su dati u tabeli 2.18.

Po uslovu zadatka, ni�a grupa simetrije je C2h. Fazni prelaz se ne mo�edesiti ni po IR-i A+

0 , jer je jediniqna, ni po IR-i A−0 jer va�i Ek(A−0 ) =C∞. Dakle, fazni prelaz se desio po nekoj fiziqkoj IR-i F±m . Da bismoje odredili, potrebno je utvrditi da li se jediniqna IR-a java u subduk-ciji F±m na ni�u grupu simetrije C2h. Ukoliko je odgovor potvrdan, odredilismo tra�enu fiziqki IR-u. IR-e grupe C2h su date u tabeli 2.19. Broj po-javiva�a IR-e A+

0 grupe C2h u subdukciji F±m na datu grupu je jednak

aF±m

A+0

=1

4(2 + 2(−1)m ± 2± 2(−1)m). (2.217)

12Uz to, IR-e su 1D i ne mogu se transformisati jer se reprezentuju skalarima.


Tabela 2.19: Ireducibilne reprezentacije grupe C2h.C2h e C2 σh σhC2

A±0 1 1 ±1 ±1A±1 1 -1 ±1 ∓1

Zakuqujemo da je aF±m

A+0

6= 0 samo za m = 2k i pozitivnu parnost +, tj. po nekoj

od fiziqkih IR-a F+2k se desio fazni prelaz.

Konaqno, fazni prelaz sa visokosimetriqne faze C2h na niskosimetriqnufazu C1h se morao desiti po IR-i A+

1 , jer je samo za tu IR-u epikernel jed-nak C1h. Epikerneli ostalih nejediniqnih IR-a su Ek(A−0 ) = C2 i Ek(A−1 ) ={e, σhC2}.

4. Jan-Telerov efekat testira adijabatsku stabilnost, tj. da li se elektronskienergetski nivoi mogu posmatrati nezavisno od vibracija jona (tj. kreta�atexkog podsistema), xto je u sr�i adijabatske aproksimacije. Ukoliko energe-tski nivo razmatranog molekula pripada 1D IR-i, vibracije molekula nemogu da ukinu orbitalnu degeneraciju (zato xto degeneracija ni ne postoji).Dakle, IR-e koje ima smisla analizirati su vixedimenzionalne. Simetrijskiuslov testira�a adijabatske nestabilnosti su formulisali Jan i Teler [5] naslede�i naqin: ukoliko se u tenzorskom proizvodu vibracione reprezentacije13

i simetrizovanog kvadrata vixedimenzione IR-e pojavuje jediniqna IR-a,sistem je nestabilan i dolazi do ukida�a degeneracije. Jan i Teler su pokazalida su nelinearni molekuli uvek nestabilni u degenerisanim svojstvenim sta�ima(koja pripadaju vixedimenzionalnim IR-ama), dok u sluqaju linearnih molekulaovo tvr�e�e ne va�i.

U narednim zadacima �emo testirati adijabatsku nestabilnost dva nelinearnamolekula, A4BC i H20, kao i linearnog molekula sa razliqitim atomimaNaCl.

Tabela 2.20: Ireducibilne reprezentacije grupe C4v i karakteri reprezentacija[E2], Dp, Dpv, Dav i D

din.IR e C4 C2


4 σxC34

A0 1 1 1 1 1 1 1 1

B0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

A2 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

B2 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

χ(E) 2 0 -2 0 0 0 0 0

χ([E2]) 3 -1 -1 -1 1 1 1 1

χ(Dp) 6 2 2 2 2 4 2 4

χ(Dpv) 3 1 -1 1 1 1 1 1

χ(Dav) 3 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1

χ(Ddin) 2 0 -2 0 0 0 0 0

13Jediniqna reprezentacija se izuzima iz analize, poxto ne mo�e da dovede do ukida�a degen-eracije


A1

x

y

B5

A4

A3A2

as

A4

x

y

C6

A1

A2A3

Slika 2.11: Molekul A4BC. Na slici levo je pogled odozgo, dok je na desnoj sliciprikazan pogled na molekul odozdo. Atomi A su numerisani projevima od 1 do 4, Bje numerisan brojem 5, dok atomu C odgovara broj 6.

• Molekul A4BC poseduje simetriju C4v, pri qemu se atomi A nalaze utemenima kvadrata, dok molekuli B i C pripadaju liniji koja prolazikroz centar kvadrata i normalna je na �ega (slika 2.11).

Karakteri polarno-vektorske i aksijalno-vektorske reprezentaciju za datugrupu su odre�eni u zadatku 7 oblasti 2.1. Xto se tiqe permutacionegrupe, karakteri se mogu odrediti posmatraju�i atome koje elementi sime-trije ostavaju fiksnim. U sluqaju elementa grupe e, svi atomi su fi-ksni, tako da je karakter 6. U sluqaju Cs

4 (s = 1, 2, 3), σx i σxC24 samo su

atomi B i C nepokretni. Element grupe σxC4 fiksira atome 1, 3, 5 i 6,dok σxC

34 ne pomera atome numerisane brojevima 2, 4, 5 i 6. Karakteri

permutacione grupe, polarno-vektorske, aksijalno-vektorske i dinamiqkereprezentacije se nalaze u tabeli 2.20. Razlaga�e Dpv, Dav i D

din na IReje slede�e

Dpv = A0 ⊕ E,Dpv = B0 ⊕ E,Ddin = 4A0 ⊕B0 ⊕ 2A2 ⊕B2 ⊕ 5E, (2.218)

i daje nam vibracionu reprezentaciju

Dvib = 3A0 ⊕ 2A2 ⊕B2 ⊕ 3E. (2.219)

Jan-Telerov teorem mo�emo da testiramo na primeru 2D IR-e E. Karak-teri simetrizovanog kvadrata IR-e E, [E2], su dati u tabeli 2.20. Ra-zlaga�em [E2] na IR-e dobijamo

[E2] = A0 ⊕ A2 ⊕B2. (2.220)

Kako tenzorski proizvod vibracione reprezentacije (izuzimamo IR-u A0)i [E2] sadr�i jediniqnu reprezentaciju, zakuqujemo da �e do�i do ukida�adegeneracije. Drugim reqima, Jan-Telerov teorem je zadovoen.


• Simetrijsku klasifikaciju normalnih moda molekula vode smo uradiliu zadatku 1 oblasti 2.3. Vibraciona reprezentacija je bila jednaka Dvib =2A0⊕A1, dok su sve IR-e grupe simetrije vode jednake A0, B0, A1 i B1. Doukida�a degeneracije ne mo�e do�i, jer su sve IR-e 1D, tj. degeneracijane postoji. Mo�emo re�i da je sistem adijabatski stabilan, ali i da ovajzakuqak nije u suprotnosti sa teoremom Jana i Telera.

• MolekulNaCl je linearan. Vibraciona reprezentacija linearnog molekulasa razliqitim atomima je odre�ena u zadatku 2 oblasti 2.3 i jednaka jeDvib = A0. IR-e molekula NaCl su 1D (A0/B0) i 2D (Em, m > 1). Poten-cijalno, do ukida�a degeneracije mo�e do�i jer postoje 2D IR-e. Ipak,kako postoji samo jediniqna IR-a u razlaga�u vibracione reprezentacije,jasno je da �e sistem biti adijabatski stabilan jer ne postoji IR-a Dvib

koja bi omogu�ila da do ukida�a degeneracije do�e.

2.5 Elektronski podsistemi

x

y

2

3

1

Slika 2.12: Molekul A3.

1. Grupa simetrije sistema na slici 2.12 je D3h. Kako su s orbitale sferno-simetriqne, sledi da se one (ne)transformixu po jediniqnoj reprezentacijigrupe. Reprezentacija molekulskih orbitala je tenzorski proizvod permuta-cione reprezentacije Dp, koja permutuje atome, i reprezentacije atomskih or-bitala, DAO, koja je u ovom sluqaju jediniqna reprezentacija. Dakle,

DMO = Dp. (2.221)

Kako je DMO(Ux) = DMO(σx) i DMO(σh) = I3, zakuqujemo da mo�emo daradimo sa podgrupom C3v poqetne grupe simetrije. Reprezentacija molekul-skih orbitala za elemente grupe C3v je

DMO(e) = I3, DMO(C3) =(

11

1

), DMO(C2

3) =(

11

1

), (2.222)

DMO(σx) =(

11

1

), DMO(σxC3) =

(1

11

), DMO(σxC

23) =

(1

11

).

2.5. ELEKTRONSKI PODSISTEMI 53

Tabela 2.21: IR-e grupe C3v i karakteri reprezentacije molekulskih orbitala.C3v e C3 C2

3 σx σxC3 σxC23

A0 1 1 1 1 1 1B0 1 1 1 -1 -1 -1

E1 I2

(−12−√3

2√3

212

) (−12

√3

2−√

32

−12

)( 1−1 )

(−12

−√3

2−√3

212

) (−12

√3

2√3

212

)χ(E1) 2 -1 -1 0 0 0χ(DMO) 3 0 0 1 1 1

Koriste�i tabelu ireducibilnih reprezentacija grupe C3v (tabela 2.21) ikaraktere reprezentacije molekulskih orbitala, mo�emo da odredimo kako seDMO razla�e na IR-e

DMO = A0 ⊕ E1. (2.223)

Koriste�i projektor PA0 ,

PA0 =1

6

∑g

DMO(g)A0(g) =1

3

(1 1 11 1 11 1 1

), (2.224)

mo�emo lako da odredimo prvi svojstveni vektor

|A011〉 =1√3

(111

)=

1√3

(φs(1) + φs(2) + φs(3)), (2.225)

za koji va�i PA0 = |A011〉〈A011|. Dae, koriste�i projektor PE111

PE111 =

2

6

∑g

E∗11(g)DMO(g) =1

6

(1 1 −21 1 −2−2 −2 4

), (2.226)

dobija se prvi vektor degenerisanog ireducibilnog potprostora E1,

|E111〉 =1√6

( −1−12

)=

1√6

(2φs(3)− φs(1)− φs(2)). (2.227)

Projektor PE121 nam je potreban

PE121 =

2

6

∑g

E∗21(g)DMO(g) =

√3

6

( −1 −1 21 1 −20 0 0

), (2.228)

da bismo naxli drugi vektor ireducibilnog potprostora

|E112〉 = PE121 |E111〉 =

1√2

(1−10

)=

1√2

(φs(1)− φs(2)). (2.229)

U Hikelovoj aproksimaciji se bazis odabranih atomskih orbitala smatra orto-normiranim, tako da se svojstvene energije sistema nalaze rexava�em svo-jstvenog problema H. Kako je H hermitski operator dimenzije 3× 3, matrica


H u bazisu {ϕs(1), ϕs(2), ϕs(3)} je jednaka

H =

a d ed∗ b fe∗ f ∗ c

. (2.230)

Simetrija nam mo�e pomo�i i da odredimo dozvoene matriqne elemente Hamil-tonijana H. Koriste�i qi�enicu da H komutira sa reprezentacijom molekul-skih orbitala grupe C3v, mo�emo nametnuti dodatne uslove (dovono je raz-matrati samo generatore grupe)

0 = [H,DMO(C3)] =

d− e∗ e− f ∗ a− cb− a f − d d∗ − ef ∗ − d∗ c− b e∗ − f

, (2.231)

0 = [H,DMO(σx)] =

d− d∗ a− b e− fb− a d− d∗ −e+ ff ∗ − e∗ e∗ − f ∗ 0

. (2.232)

(2.233)

Zakuqujemo da va�i a = b = c = ε0 ∈ R i d = e = f = t ∈ R, tako da jeHamiltonijan jednak

H =

ε0 t tt ε0 tt t ε0

. (2.234)

Matriqni elementi ε0 predstavaju energiju atoma, dok vandijagonalni ele-menti t opisuju interakciju izme�u atoma. Energije molekula A3 se dobijajurexava�em svojstvenog problema H

H |A011〉 = (ε0 + 2t) |A011〉 ,H |E111〉 = (ε0 − t) |E111〉 ,H |E112〉 = (ε0 − t) |E112〉 . (2.235)

H

O

z

Hx

Slika 2.13: Molekul vode.

2. Na slici 2.13 je prikazan molekul vode, grupe simetrije C2v. Sistem se sas-toji od dve orbite. Prva orbita je dvoqlana i qine je dva atoma vodonika, dokdrugu jednoqlanu orbitu predstava samo atom kiseonika. Orbitale vodonika


Tabela 2.22: Ireducibilne reprezentacije grupe C2v i karakter reprezentacijeDMO.

C2v e C2 σx σxC2

A0/B0 1 1 ±1 ±1A1/B1 1 -1 ±1 ∓1χ(DMO) 5 -1 3 1

(s orbitale) se transformixu po jediniqnoj reprezentaciji, dok se p orbitalekiseonika transformixu kao polarno-vektorska reprezentacija. Permuta-ciona reprezentacija se u prvoj orbiti mo�e reprezentovati kao 2D matrica,zato xto permutuje atome vodonika, dok je permutaciona reprezentacija u dru-goj orbiti 1, jer postoji samo jedan atom kiseonika koji se slika u samog sebe.

Dakle, reprezentacija molekulskih orbitala je jednaka

DMO = (DPH2⊗ 1)⊕ (DP

0︸︷︷︸=1

⊗Dpv) = DPH2⊕Dpv, (2.236)

dok se elementi grupe reprezentuju kao

DMO(e) = I5, DMO(C2) =

(1

1−1−1

1

), (2.237)

DMO(σx) = Diag[1, 1, 1,−1, 1], DMO(σxC2) =

(1

1−1

11

).

U tabeli 2.22 su date IR-e grupe D2h i karakteri DMO. Reprezentacija DMO

se razla�e na slede�e ireducibilne komponente

DMO = 2A0 ⊕ 2A1 ⊕B1. (2.238)

Svojstveni vektori za svaku IR-u su jednaki

PA0 =1

2

(1 1 0 0 01 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 2

)→ |A011〉 =

1√2

(11000

)=

1√2

(φs(1) + φs(2)),

→ |A021〉 =

(00001

)= pz. (2.239)

PB1 =

(0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

)→ |B111〉 =

(00100

)= px. (2.240)

PA1 =1

2

(1 −1 0 0 0−1 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 2 00 0 0 0 0

)→ |A111〉 =

1√2

(1−1000

)=

1√2

(φs(1)− φs(2)),

→ |A121〉 =

(00010

)= py. (2.241)


Xto se tiqe dozvoenih matriqnih elemenata Hamiltonijana, uslovi kojemo�emo da nametnemo su hermitiqnost operatora H, kao i [H,DMO(C2)] = 0,[H,DMO(σx)] = 0. Ukoliko je

H =

a11 a12 a13 a14 a15

a∗12 a22 a23 a24 a25

a∗13 a∗23 a33 a34 a35

a∗14 a∗24 a∗34 a44 a45

a∗15 a∗25 a∗35 a∗45 a55

, (2.242)

komutator [H,DMO(C2)] je jednak

a12 − a∗12 a11 − a22 −a13 − a23 −a14 − a24 a15 − a25

−a11 + a22 −a12 + a∗12 −a13 − a23 −a14 − a24 −a15 + a25

a∗13 + a∗23 a∗13 + a∗23 0 0 2a35

a∗14 + a∗24 a∗14 + a∗24 0 0 2a45

−a∗15 + a∗25 a∗15 − a∗25 −2a∗35 −2a∗45 0

, (2.243)

dok je

[H,DMO(σh)] =

0 0 0 −2a14 00 0 0 −2a24 00 0 0 −2a34 0

2a∗14 2a∗24 2a∗34 0 2a45

0 0 0 2a∗45 0

. (2.244)

Zakuqujemo da je a14 = a24 = a34 = a35 = a45 = 0. Matriqni elementi sarealnim vrednostima su a11 = a22 = εH , a12 = a21 = b, a33 = εO1, a44 = εO2,a55 = εO3, dok su kompleksni matriqni elementi a13 = −a23 = c, a15 = a25 = e.

Radi jednostavnosti, uze�emo εO1 = εO2 = εO3 = εO (smatra�emo da su atomskeenergije koje pripadaju fiksnom n = l = 1 potprostoru iste.) U toj aproksi-maciji, hamiltonijan H je jednak

H =

εH b c 0 eb εH −c 0 ec∗ −c∗ εO 0 00 0 0 εO 0e∗ e∗ 0 0 εO

(2.245)

Svojstvena vrednost i svojstveni vektor H u ireducibilnom potrostoru B1 je

H |B111〉 = ε0 |B111〉 . (2.246)

U ireducibilnom potprostoru A0 Hamiltonijan se redukuje u

H |A011〉 = (εH + b) |A011〉+√

2e∗ |A021〉 ,H |A021〉 =

√2e |A011〉+ ε0 |A021〉 ,

HredA0

=

(εH + b

√2e√

2e∗ ε0

). (2.247)


Svojstvene vrednosti se dobijaju rexava�em jednaqine det |HredA0− λI2| = 0,

EA01,2 =

1

2(εH + εO + b±

√8|e|2 + (b− ε0 + εH)2) (2.248)

dok su nenormirani svojstveni vektori jednaki

|A0〉1 =b− εO + εH +

√8|e|2 + (b− ε0 + εH)2

2√

2e|A011〉+ |A021〉 ,

|A0〉2 =b− εO + εH −

√8|e|2 + (b− ε0 + εH)2

2√

2e|A011〉+ |A021〉 .

(2.249)

U ireducibilnom potprostoru A1, H se redukuje u 2D matricu

H |A111〉 = (εH − b) |A111〉+√

2c |A121〉 ,H |A121〉 =

√2c∗ |A111〉+ ε0 |A121〉 ,

HredA1

=

(εH − b

√2c∗√

2c ε0

). (2.250)

Svojstvene vrednosti se dobijaju rexava�em jednaqine det |HredA1− λI2| = 0,

EA11,2 =

1

2(εH + εO − b±

√8|c|2 + (b+ ε0 − εH)2) (2.251)

dok su nenormirani svojstveni vektori jednaki

|A1〉1 = −εO + b− εH −

√8|c|2 + (b+ ε0 − εH)2

2√

2c|A111〉+ |A121〉 ,

|A1〉2 = −εO + b− εH +

√8|c|2 + (b+ ε0 − εH)2

2√

2c|A111〉+ |A121〉 .

(2.252)

Tabela 2.23: Ireducibilne reprezentacije grupe D∞h i karakter reprezentacijemolekulskih orbitala. U tabeli i dae u tekstu koristi�emo ponekad skra�enicec = cosϕ i s = sinϕ, cm = cosmϕ, sm = sinmϕ.

D∞h Rϕ σxRϕ UxRϕ σhRϕ

A±0 1 1 ±1 ±1B±0 1 -1 ±1 ∓1E±m ( cm −smsm cm )

(cm −sm−sm −cm

)±(cm −sm−sm −cm

)± ( cm −smsm cm )

χ(E±m) 2 cosmϕ 0 0 ±2 cosmϕχ(DMO) 4(1 + cosϕ) 4 0 0

3. Grupa simetrije sistema sa slike 2.14 je jednakaD∞h. Permutaciona reprezentacijaje dimenzije 2, dok je reprezentacija atomskih orbitalaDAO jednaka direktnom


z

x

Slika 2.14: Dvoatomski molekul sa istim atomima. Grupa simetrija sistema jeD∞h, dok u izgrad�i molekulskih orbitala uqestvuju s i p orbitale sa svakogatoma.

zbiru jediniqne reprezentacije (s orbitala) i polarno-vektorske reprezentacijeDpv

DMO = DP ⊗DAO = DP ⊗ (1⊕Dpv). (2.253)

Permutaciona reprezentacija je jednaka

DP (Rϕ) = DP (σxRϕ) = I2,

DP (UxRϕ) = DP (σhRϕ) = ( 11 ) . (2.254)

Ireducibilne reprezentacije i karakteri reprezentacije molekulskih orbitalasu date u Tabeli 2.23. Reprezentaciji atomskih orbitala, DAO(Rϕ), odgovarajumatrice

DAO(Rϕ) =

(1c −ss c

1

), DAO(σxRϕ) =

(1c −s−s −c

1

),

DAO(UxRϕ) =

(1c −s−s −c

−1

), DAO(σhRϕ) =

(1c −ss c

−1

). (2.255)

Sada se lako mogu na�i karakteri i matrice DMO. Karakteri su dati u tabeli2.23, dok su matrice DMO jednake

DMO(Rϕ) =(DAO(Rϕ) 0

0 DAO(Rϕ)

),

DMO(σxRϕ) =(DAO(σxRϕ) 0

0 DAO(σxRϕ)

),

DMO(UxRϕ) =(

DAO(UxRϕ)

DAO(UxRϕ)

),

DMO(σhRϕ) =(

DAO(σhRϕ)

DAO(σhRϕ)

). (2.256)


Frekvencije pojaviva�a pojedinih IR-a je slede�e

aDMO

A±0=

1

8π

∫ 2π

0

(4 + 4 cosϕ+ 4)dϕ = 2,

aDMO

B±0= 0,

aDMO

E±m=

1

8π

∫ 4π

0

2 cosmϕ(4 + 4 cosϕ)dϕ

=1

2π

∫ 4π

0

e±i(m±1)ϕdϕ = δm,0 + δm,1 + δm,−1. (2.257)

Koriste�i qi�enicu da jem ≥ 1, zakuqujemo da seDMO se razla�e na slede�eIR-e

DMO = 2A+0 ⊕ 2A−0 ⊕ E+

1 ⊕ E−1 . (2.258)

Projektori na 1D potprostore su jednaki

PA+0 =

1

8π

∫ 2π

0

(DMO(Rϕ) +DMO(σxRϕ) +DMO(UxRϕ) +DMO(σhRϕ))dϕ

=1

2

1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 −11 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 0 1

, (2.259)

PA−0 =1

8π

∫ 2π

0

(DMO(Rϕ) +DMO(σxRϕ)−DMO(UxRϕ)−DMO(σhRϕ))dϕ

=1

2

1 0 0 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 1−1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 1

, (2.260)

i daju svojstvene vektore

|A+0 11〉 =

1√2

(1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0)T =1√2

(φs(1) + φs(2)),

|A+0 21〉 =

1√2

(0, 0, 0, 1, 0, 0, 0,−1)T =1√2

(pz(1)− pz(2)). (2.261)

|A−0 11〉 =1√2

(1, 0, 0, 0,−1, 0, 0, 0)T =1√2

(φs(1)− φs(2)),

|A−0 21〉 =1√2

(0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1)T =1√2

(pz(1) + pz(2)). (2.262)


Projektori na IR-u E+1 su

PE+

111 =

2

8π

∫ 2π

0

cosϕ(DMO(Rϕ) +DMO(σxRϕ) +DMO(UxRϕ) +DMO(σhRϕ))dϕ

=1

4π

∫ 2π

0

dϕ

2c 0 0 0 2c 0 0 00 2c2 −2cs 0 0 2c2 −2cs 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 2c 0 0 0 −2c2c 0 0 0 2c 0 0 00 2c2 −2cs 0 0 2c2 −2cs 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 −2c 0 0 0 2c

=1

2

0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

→ |E+1 11〉 =

1√2

01000100

=1√2

(px(1) + px(2)). (2.263)

Projektor PE+

121 se lako nalazi i poma�e nam da odredimo |E+

1 12〉

PE+

121 =

2

8π

∫ 2π

0

sinϕ(DMO(Rϕ)−DMO(σxRϕ)−DMO(UxRϕ) +DMO(σhRϕ))dϕ

=1

4π

∫ 2π

0

dϕ

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 2s2 2sc 0 0 2s2 2sc 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 2s2 2sc 0 0 2s2 2sc 00 0 0 0 0 0 0 0

=1

2

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0

→ |E+1 12〉 = P

E+1

21 |E+1 11〉 =

1√2

00100010

=1√2

(py(1) + py(2)). (2.264)

Na sliqan naqin se nalaze i projektori na E−1

PE−111 =

1

2

0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

, PE−121 =

1

2

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 0 0 0

, (2.265)

kao i �ima odgovaraju�i svojstveni vektori

|E−1 11〉 =1√2

01000−100

=1√2

(px(1)− px(2)),

|E−1 12〉 = PE−121 |E−1 11〉 =

1√2

001000−10

=1√2

(py(1)− py(2)). (2.266)

Koriste�i hermitiqnost operatora H, kao i qi�nicu da Hamiltonijan komu-tira sa DMO za svako g ∈D∞h,

[H,DMO(σx)] = 0, [H,DMO(σh)] = 0, [H,DMO(Rϕ)] = 0 za svako ϕ, (2.267)


dobijamo opxtu formu Hamiltonijana

H =

εs 0 0 a r1 0 0 b0 ε 0 0 0 r 0 00 0 ε 0 0 0 r 0a∗ 0 0 εz −b∗ 0 0 r2

r1 0 0 −b εs 0 0 −a0 r 0 0 0 ε 0 00 0 r 0 0 0 ε 0b∗ 0 0 r2 −a∗ 0 0 εz

, (2.268)

gde su ε, εs i εz, r, r1, r2 realne konstante, dok su a i b proizvoni kompleksnibrojevi. Svojstvene vrednosti za 2D IR-e su

H |E+1 11〉 = (ε+ r) |E+

1 11〉 ,H |E+

1 12〉 = (ε+ r) |E+1 12〉 ,

H |E−1 11〉 = (ε− r) |E−1 11〉 ,H |E−1 12〉 = (ε− r) |E−1 12〉 . (2.269)

U svojstvenom potprostoru A+0 svojstveni problem se svodi na

H |A+0 11〉 = (εs + r1) |A+

0 11〉+ (a∗ − b∗) |A+0 21〉 ,

H |A+0 21〉 = (a− b) |A+

0 11〉+ (εz − r4) |A+0 21〉 ,

HA+

0red =

(εs + r1 a− ba∗ − b∗ εz − r4

)→ E

A+0

1,2 =1

2(εs + εz + r1 − r4 ±

√(εs − εz + r1 + r4)2 + 4|a− b|2).

(2.270)

Svojstveni vektori H (nisu prikazani) su linearna kombinacija |A+0 11〉 i

|A+0 21〉, tako da zakuqujemo da postoji sp hibridizacija orbitala14.

U svojstvenom potprostoru A−0 dobijamo

H |A−0 11〉 = (εs − r1) |A−0 11〉+ (a∗ + b∗) |A−0 21〉 ,H |A−0 21〉 = (a+ b) |A−0 11〉+ (εz + r4) |A−0 21〉 ,

HA−0red =

(εs − r1 a+ ba∗ + b∗ εz + r4

)→ E

A−01,2 =

1

2(εs + εz + r4 − r1 ±

√(−εs + εz + r1 + r4)2 + 4|a− b|2)

. (2.271)

I u ovom sluqaju se dobija sp hibridizacija orbitala, xto se mo�e pokazati

ispisiva�em svojstvenih vektora HA−0red .

14Konkretnije, spz hibridizacija.


Literatura

[1] M. Dam�anovi�, I. Miloxevi�, J .Phys .A : Math.Gen. 27, 4859-4866 (1994).

[2] M. Dam�anovi�, O simetriji u kvantnoj nerelativistiqkoj fizici, Fiziqkifakultet, Beograd 2000.

[3] L. D. Landau, �. Eksp. Teor. Fiz. 7, 1932 (1937).

[4] L.D.Landau and E.M.Lifshitz, Statistical Physics (Pergamon, 1994).

[5] H.A. Jahn and E. Teller, Proc. R. Soc. LondonA161, 220 (1937).

Documents

Fiziqki Fakultet Univerzitet u Beogradu Zadaci sa ve bi iz ...Uz malo raquna se dobija da je svojstveni vektor modifikovanog grupnog pro-jektora jednak [1] j t mui= X m j t mij mi;