Michał Wilczyński e-mail: michal.wilczynski@pw.edu.pl

Informacje związane z zajęciami będą umieszczane na stronie:http://www.if.pw.edu.pl/~wilczyns

Fizyka I I semestr studiów stacjonarnych I stopnia na kierunku

Biogospodarka

Konsultacje

piątki 14:30-15:30 on line

środy 15-16 on line

Konsultacje poprzez TEAMS w zespole konsultacje (kod 8g5e9wg )

Możliwość dodatkowo konsultacji w innym terminie uzgodnionym poprzez e-mail

Zajęcia w każdy poniedziałek w godzinach 8:15 – 12 w ramach zespołu Fizyka (Wyk gr nr1 ) obejmujące wykłady, ćwiczenia i zajęcia wyrównawcze

Program ramowy0) Wstęp. Układ jednostek SI. Wielkości wektorowe i skalarne w fizyce, Informacje o

wektorach i pochodnych, całka oznaczona.

1) Kinematyka: wprowadzenie wielkości służących do opisu ruchu: wektor wodzący, droga, prędkość, szybkość średnia i chwilowa, przyspieszenie, związki ogólne między tymi wielkościami. Ruch prostoliniowy, Ruch jednostajny i jednostajnie zmienny po linii

prostej. Składanie ruchów. Wielkości służące do opisu ruchu po okręgu: prędkość i przyspieszenie kątowe. Ruch jednostajny i jednostajnie zmienny po okręgu.

2) Dynamika: Układy inercjalne. Zasady dynamiki Newtona. Przykłady sił (np. siła reakcji

podłoża, siła tarcia, siła naciągu nici, siła sprężystości, siła dośrodkowa). 3) Pęd pojedynczego ciała i układu ciał. Zasada zachowania pędu. Energia kinetyczna.

Zderzenia ciał sprężyste i niesprężyste. 4) Praca i jej związek z energią, siły zachowawcze i energia potencjalna. Zagadnienie

zachowania energii.

5) Moment pędu i moment siły. Zasada zachowania momentu pędu. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej. Moment bezwładności. Energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym. Równanie ruchu obrotowego bryły.

6) Ruch harmoniczny prosty i wielkości go opisujące. Energia ruchu harmonicznego. Wahadła. Drgania harmoniczne tłumione i wymuszone. Fale: Klasyfikacja fal,

podstawowe wielkości charakteryzujące ruch falowy. Zasada superpozycji. Fale akustyczne.

7) Elementy termodynamiki. Parametry charakteryzujące stan równowagowy układu gazowego. Ciepło, praca i energia wewnętrzna, I zasada termodynamiki. Równanie stanu gazu doskonałego. Teoria kinetyczna gazu doskonałego. Podstawowe przemiany

termodynamiczne.

8) Elektrostatyka: Ładunek elektryczny. Prawo Coulomba. Natężenie pola elektrostatycznego. Prawo Gaussa. Potencjał pola elektrostatycznego Kondensatory –

pojemność i energia pola elektrycznego kondensatora, szeregowe i równoległe łączenie kondensatorów.

9) Prąd elektryczny: Natężenie i gęstość natężenia prądu elektrycznego. Prawo Ohma, opór, przewodność właściwa i opór właściwy. Obwody prądu stałego-przemiany energii, Prawa Kirchhoffa. Szeregowe i równolegle łączenie oporników.

10) Pole magnetyczne: Indukcja pola magnetycznego, Siła Lorentza- działanie pola na

poruszające się ładunki i przewodnik z prądem. Wyznaczanie indukcji pola wytworzonego przez przewodniki z prądem przy pomocy prawa Ampera. Oddziaływanie przewodników z prądem. Podział materiałów ze względu na ich własności magnetyczne.

11) Indukcja elektromagnetyczna: Prawo Faradaya, reguła Lenza, cewka indukcyjna i

energia pola magnetycznego w cewce. Samoindukcja i indukcja wzajemna. Drgania w

obwodach elektrycznych w skład których wchodzą kondensator i cewka. 12) Wirowe pola elektryczne i magnetyczne. Równania Maxwella. Fale elektromagnetyczne i

mechanizm ich rozchodzenia się. Światło jako fala elektromagnetyczna; prędkość światła, polaryzacja światła. Interferencja i dyfrakcja fal świetlnych, spójność światła. Elementy optyki geometrycznej: zjawisko odbicia i załamania światła, całkowite wewnętrzne odbicie.

Literatura1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, tom 1-4, PWN

Warszawa 2003.

2. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka, tom 1-2, PWN, Warszawa 1983.

3. J. Orear – Fizyka, tom 1 i 2, WNT, Warszawa, 1990.

4. C. Bobrowski, Fizyka –krótki kurs, WNT, Warszawa 2003.

5. W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok, Podstawy fizyki, OWPW Warszawa 2010.

6. K. Sierański, K. Jezierski, B. Kołodka, Fizyka Wzory i prawa objaśnieniami, część I i II, skrypt do zajęć z fizyki dla studentów I roku, Oficyna Wydawnicza

Scripta Wrocław 2005.7. K. Sierański, K. Jezierski, B. Kołodka, Fizyka Wzory i prawa objaśnieniami

(kurs powtórkowy) , Oficyna Wydawnicza Scripta Wrocław 2002.

8. K. Jezierski, K. Sierański, I. Szlufarska, Repetytorium zadania z rozwiązaniami, kurs powtórkowy dla studentów 1 roku i uczniów szkółśrednich, Oficyna Wydawnicza Scripta, Wrocław 2003.

9. K. Jezierski, B. Kołodka, K. Sierański, Zadania z rozwiązaniami, Skrypt do ćwiczeń z fizyki dla studentów 1 roku wyższych uczelni cześć 1, Oficyna Wydawnicza Scripta, Wrocław 2000.

10. K. Jezierski, B. Kołodka, K. Sierański, Zadania z rozwiązaniami, Skrypt do ćwiczeń z fizyki dla studentów 1 roku wyższych uczelni cześć 2, Oficyna Wydawnicza Scripta, Wrocław 1999.

Propozycja zasady zaliczenia przedmiotu fizyka I

1) Zaliczenie wykładu będzie miało formę dwóch kolokwiów. Odbędą się poprzez program TEAMS i będą obejmować 1-2 pytanie opisowe i 3-5 pytania testowe dotyczące zagadnień będących przedmiotem wykładu i zajęć wyrównawczych. Za każde z kolokwiów będzie można otrzymać do 20 punktów. W przypadku wątpliwości co do oceny z kolokwiów może być przeprowadzona przed wystawieniem oceny dodatkowo rozmowa ustna.

2) W ramach ćwiczeń będzie możliwośća) uzyskania do 20 punktów za rozwiązanie zadań domowych. Będę prosił o przesłanie

skanów/fotografii rozwiązań zadań na mój adres pocztowy lub zapis rozwiązań w plikach umieszczonych w programie TEAMS. Przed wystawieniem oceny z zadań może odbyć sięustna rozmowa na ich temat poprzez program TEAMS.

b) uzyskanie do 20 punktów za rozwiązanie zadań na kolokwium zorganizowanym przed końcem semestru. W przypadku możliwości zorganizowania kolokwium na uczelni będzie one zorganizowane na uczelni. W przypadku braku takiej możliwości będą Państwo proszeni o terminowe przesłanie skanów zadań rozwiązanych w trakcie kolokwium w domu na mój adres pocztowy. Wówczas przed wystawieniem oceny z zadań może odbyćsię ustna rozmowa na ich temat poprzez program TEAMS.

Zasady zaliczenia przedmiotu fizyka I

3) Zaliczenie ćwiczeń i wykładu odbywać się będzie na oddzielne oceny określone w oparciu o uzyskaną liczbę punktów. Do zaliczenia wykładu wymagane jest uzyskanie conajmniej20 punktów z kolokwiów teoretycznych. Do zaliczenia ćwiczeń niezbędne jest uzyskanie 20 punktów za rozwiązanie zadań domowych i/lub na kolokwium oraz obecność na wszystkich ćwiczeniach. Dopuszczalna jest jedna obecność nieusprawiedliwiona.

4) Oceny z wykładu i ćwiczeń będą uzależnione od ilości uzyskanych punktów. Ocena końcowa z przedmiotu jest zależna od ilości wszystkich uzyskanych punktów. W przypadku braku zaliczenia wykładu poprzez kolokwia będzie możliwość jego zaliczenia na drodze pozytywnej odpowiedzi ustnej. Do zaliczenia przedmiotu wymagane jest

zaliczenie wykładu i ćwiczeń

Fizyka jako nauka

Przedmiot badań - świat materialny

Podstawowa metoda badań - wykonywanie eksperymentów. Na podstawie zebranych

danych doświadczalnych znajdowane są zaleŜności i związki przyczynowe, które formułuje się w postaci formuł matematycznych wiąŜących ze sobą wielkości fizyczne i formułuje

prawa fizyczne.

W oparciu o gotowe formuły można niekiedy przewidywać występowanie nowych zjawisk, których występowanie i poprawność opisu można weryfikować na drodze eksperymentalnej

Fizyka jest nauką która zajmuje się otaczającym nas światem materialnym oraz zachodzącymi w nim zjawiskami . Dąży do ilościowego opisu własności obiektów występujących w otaczającym nas świecie i zjawisk w nim zachodzących. W tym celu definiuje się różne wielkości fizyczne przydatne do opisu tych zjawisk i obiektów i opisuje się relacje zachodzące pomiędzy nimi wykorzystując język matematyki.

Wielkości fizyczne - taka własność ciała lub zjawiska, którą można porównać ilościowo z taką samą własnością innego ciała lub zjawiska.

Pomiar w fizyce

Pomiar wielkości fizycznej polega na wyznaczaniu stosunku

liczbowego danej wielkości do wielkości tego samego rodzaju przyjętej za jednostkę. Jednostki wielkości podstawowych -jednostki podstawowe - mogą być przyjęte dowolnie, jednostki wielkości pochodnych - jednostki pochodne - definiuje się za pomocą jednostek podstawowych przy wykorzystaniu relacji wiążących wielkości pochodne z wielkościami podstawowymi.

Układ SISysteme International d’Unites

(Franc. 1971 rok)

Siedem jednostek podstawowych (bazowe)

Dwie jednostki uzupełniające

Jednostki pochodne

L.p Wielkość fizyczana

Jednostka

Symbol

Wielkości podstawowe

1. Długość metr m 2. Masa kilogram kg 3. Czas sekunda s 4. Liczność materii mol mol 5. Natężenie prądu

elektrycznego amper A

6. Temperatura termodynamiczna

kelwin K

7. Światłość kandela cd Wielkości

uzupełniające

8. Kąt płaski radian rad 9. Kąt bryłowy steradian sr

Wybrane jednostki uzupełniające w układzie SI - miara łukowa kąta płaskiego

Radian jest to kąt płaski zawarty między dwoma promieniami okręgu, wycinającego z okręgu łuk o długości równej promieniowi tego

okręgu.

r = l

Jednostką w jakiej mierzymy kąt płaski w mierze łukowej jest radian

αααα

lr

α =l

r

)(180

)( stopnierado

απ

α =

Zasady tworzenia jednostek wtórnych

Jednostki wtórne są wielokrotnościami lub

podwielokrotnościami jednostek podstawowych i

pochodnych. Tworzymy je dodając do nazwy

jednostki odpowiedni przedrostek

Przykłady jednostek wtórnych długości:km=103m=1000m mm=10-3 m

µm=10-6 m nm=10-9 m

Przy zapisie wielkości małych (lub dużych ) stosujemy albo jednostki wtórne albo zapis wykładniczy

Np. odległość między jonami Na i Cl w cząsteczce NaCl d=0,24 nm =24*10-11m

Przedrostek Oznaczenie Mnożnik

eksapentateragigamegakilohektodeka-decycentymilimikronanopikofemtoatto

EPTGMkhda-dcmµµµµnpfa

1018

1015

1012

109

106

103

102

101

100

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

L.p Wielkość fizyczana

Jednostka

Symbol

Wielkości podstawowe

1. Długość metr m 2. Masa kilogram kg 3. Czas sekunda s 4. Liczność materii mol mol 5. Natężenie prądu

elektrycznego amper A

6. Temperatura termodynamiczna

kelwin K

7. Światłość kandela cd Wielkości

uzupełniające

8. Kąt płaski radian rad 9. Kąt bryłowy steradian sr

• Fizyka jest nauką empiryczną-wymaga pomiarów.

• Jak wysoki jest Ming Yao? Ile waży?

– wzrost: 2.29 m (7 ft 6 in)

– masa: 141 kg (310 lb)

• Liczba + Jednostka

“Grubość wynosi 10.” nie ma znaczenia fizycznego

Liczby i jednostki są niezbędne

dla jakichkolwiek pomiarów fizycznych.

Pomiary

Wynik pomiaru należy podawać z dokładnością z jaką pozwala zmierzyć daną wielkośćfizyczną przyjęta metoda pomiarowa. Gdy pomiar długości dokonujemy np. przy pomocy linijki, dla której najmniejsza podziałka skali odpowiada 1mm to wynik

pomiaru może mieć postać d=0,223m=22,3cm Natomiast zapis d=0,22344m jest niepoprawny . Na zajęciach laboratoryjnych w przyszłym semestrze dowiedzą sięPaństwo że oprócz wyniku pomiaru w zasadzie powinno się podawać jego niepewność

V=szybkość =droga

czas

wielkości podstawowe

wielkośćpochodna

Odpowiedni zapis dla jednostek:

jednostka długości

jednostka czasu

metr

sekunda=

Uwaga! Stosowany wzór nie jest wzorem zawsze słusznym, stosowany jest dla określenia szybkości średniej

Przykład jednostki pochodnej w układzie SI prędkość i szybkość

jednostka szybkości =

Przy zapisie wyników obliczeń szybkości przeprowadzonych na drodze pomiaru długości drogi i czasu jej przebycia wynik końcowy obliczeń należy zapisywać z dokładnością na jaką pozwala przeprowadzony pomiar długości drogi i

czasu Np. gdy S=52m,t=12s to

=t

S

s

m

s

m

t

SV 3,4

12

52===

s

mV 3333333,4=

W tych samych jednostkach co szybkość mierzymy także prędkość

Przedostatnia cyfra znacząca wyniku (4) powinna być pewna

paskal (1 Pa) (jednostka ciśnienia) - ciśnienie wywierane przez siłę 1 niutona działającą na powierzchnię 1 metra kwadratowego. 1 Pa = 1 N·m-2.herc (1 Hz) (jednostka częstotliwości) - 1 cykl drgania na sekundę.niuton (1 N) (jednostka siły) - siła, jaka nadaje masie 1 kg przyśpieszenie 1 m·s-2.dżul (1J) (jednostka pracy oraz energii) - praca wykonana na drodze 1 m przez siłę 1N działającą w kierunku przesunięcia.wat (1 W) (jednostka mocy) - moc układu wykonującego pracę 1 dżula w czasie jednej sekundy.

Inną używaną jeszcze jednostkąmocy jest końmechaniczny (1 KM). 1 KM = 735.5 W.kulomb (1 C) (jednostka ładunku) - ładunek, jaki przepływa w czasie jednej sekundy przez powierzchnię przekroju przewodnika, w którym płynie prąd stały o natężeniu jednego ampera.

Niektóre jednostki pochodne układu SI

wolt (1 V) (jednostka różnicy potencjałów oraz siły elektromotorycznej)- różnica potencjałów elektrycznych na końcach jednorodnego przewodu,

w którym płynie ustalony prąd o natężeniu 1 ampera i gdy moc wydzielana w tym przewodzie ma wartość 1 wata. farad (1 F) (jednostka pojemności elektrycznej) - pojemność elektryczna przewodnika, który zmienia swój potencjał o 1 wolt gdy zostanie na nim umieszczony ładunek 1 kulomba. 1 F = 1 C·V-1.

weber (1 Wb) (jednostka strumienia magnetycznego) - 1 Wb = 1 N·m·A-1.

tesla (1 T) (jednostka indukcji magnetycznej, jednostka gęstości strumienia magnetycznego) - 1 T = 1 Wb·m-2.om (1 Ω) (jednostka oporności elektrycznej) - jest to oporność przewodnika, w którym stała różnica potencjałów 1 wolta powoduje przepływ prądu o natężeniu 1 ampera. 1 Ω = 1 V·A-1. henr (1 H) (jednostka indukcyjności - własnej lub wzajemnej) - indukcyjność obwodu,w którym przepływ prądu o natężeniu 1 ampera powoduje powstanie strumienia magnetycznegoo wartości 1 webera przenikającego ten obwód.

Dla określenia jednostki wielkości pochodnych wprowadza się często nowe nazwy np. jednostką pracy jest dżul [J], równy

2

2

s

mkgJ

⋅=

Wielkości fizyczne

wektory skalarywektor wodzący prędkośćprzyspieszenie

siła

pęd moment siły

moment pędu natężenie pola elektrycznego

indukcja pola

magnetycznego

……

rr

Vr

ar

Fr

pr

τr

Lr

Er

czas t

droga S

masa m

praca W

energia E

temperatura T

ładunek elektryczny q

natężenie prądu elektrycznego I………

Br

tensory

Moment

bezwładności………( w ramach wykładu

będziemy rozważać moment bezwładności względem ustalonej osi , będący skalarem)

………

Uzupełnienie matematyczne –wektory

Wektory

Do scharakteryzowania wielkości wektorowej nie jest wystarczające podanie długości wektora (pojedynczej liczby wraz z jednostką w jakiej wielkość fizyczna jest mierzona), lecz niezbędne jest określenie kierunku i zwrotu wektora. Graficznie można wektor przedstawić w postaci strzałki, której długość odpowiada długości wektora. To że analizowany obiekt jest wektorem zaznaczamy umieszczając strzałkę nad symbolem go obrazującym

lub pisząc go pogrubionym pismem a.

ar

ar

Długość wektora ar

oznaczamy jako aar

=

Wygodnie jest wektor scharakteryzować określając jego składowe w pewnym układzie współrzędnych

Operacje na wektorach –

Mnożenie wektora przez liczbę

ar a

r2

ar

−Długość wektora

apffrr

==

Wektor

Wektor jest równoległy lub antyrównoległy do wektora ,

zwrot ulega zmianie na przeciwny gdy p0.

apfrr

=

arf

r

Operacje na wektorach –

Dodawanie wektorów

Długość wektora cr

: ( )αcos222

babaccrrrrr

⋅++==

ar

crb

r

α

ar

br

ar

br+ =

abbacrrrrr

+=+=

ar

br

-długości wektorów, barr

,

Dodawanie wektorów jest przemienne

W ogólnym

przypadku nie można dodawać do siebie wektorów ( jak i

skalarów)

opisujących różne wielkości fizyczne (wyrażonych w różnych jednostkach)

Odejmowanie wektorów można wyrazić poprzez omówione wcześniej działania:

( )babadrrrrr

⋅−+=−= 1

ar

dr

br

br

−

Operacje na wektorach –

Odejmowanie wektorów

Operacje na wektorach –Iloczyn skalarny

ar

br

2/0 πα ⋅ barr

παπ 22/3

Operacje na wektorach –Iloczyn wektorowy

α

ar

br

bahrrr

×=1

αar

br

abhrrr

×=2

W wyniku otrzymujemy wektor

Długość wektora można określić ze wzoru: αsin1 bahrrr

=

( ) ( )baabrrrr

×−=×

( ) cabacba rrrrrrr

×+×=+×

Kierunek wektora prostopadły do orazar

br

Zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej wkręcanej od do po mniejszym łuku

ar

br

Iloczyn wektorowy nie jest przemienny

bahrrr

×=1

1hr

Wektory w trójwymiarowym

układzie kartezjańskim (prawoskrętnym)

kjirrr

,, -trzy wzajemnie prostopadłe

wektory o długości jednostkowej (wersory)

x

y

z

ir

jr

kr

O

1=⋅=⋅=⋅ kkjjiirrrrrr

0=⋅=⋅=⋅ kjkijirrrrrr

0rrrrrrr

=×=×=× kkjjii

kjirrr

=×

ikjrrr

=×

jikrrr

=×

kijrrr

−=×

ijkrrr

−=×

jkirrr

−=×

1=== kjirrr

Wersory spełniają relacje

1) Rozkład wektorów ar i br na składowe w kartezjańskim

układzie współrzędnych kajaiaa zyx

rrrr++= kbjbibb zyx

rrrr++=

Możemy stosować zapis:

[ ]zyx aaaa ,,= [ ]zyx bbbb ,,=

r

Oznaczając przez a długość

wektora ar :222

zyx aaaaa ++==r

mamy

( )xx aa αcos=

gdzie xα -kąt miedzy wersorem ir i wektorem a

r,

( )yy aa αcos=

gdzie yα -kąt miedzy wersorem jr i wektorem a

r,

( )zz aa αcos= gdzie zα -kąt miedzy wersorem k

r i wektorem a

r.

x

y

ar

O

ax

ay

ir

jr

1=== kjirrr

kr

z

az

xαyα

zα

2) Suma wektorów

( ) ( ) ( )kbajbaibaba zzyyxxrrrrr

+++++=+

[ ]zzyyxx babababa +++=+ ,,rr

3) Iloczyn wektora ar przez liczbę p:

kpajpaipaap zyx

rrrr++=

],,[ zyx papapaap =r

4) Iloczyn skalarny wektorów barr

⋅

( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyxrrrrrrrr

++⋅++=⋅ Wykorzystując relacje spełnione przez wersory oraz własności iloczynu skalarnego otrzymujemy

zzyyxx babababa ++=⋅rr

5) Iloczyn wektorowy wektorów barr

× ( dla zainteresowanych)

( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyxrrrrrrrr

++×++=×

Wykorzystując relacje spełnione przez wersory oraz własności iloczynu wektorowego otrzymujemy

( ) ( ) ( )kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr

−+−+−=×

zzyyxx babababa ++=⋅rr

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )100

010

001

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

bababa

bababa

bababa

kkbajkbaikba

kjbajjbaijba

kibajibaiiba

kbjbibkajaiaba

+++

++++

+++=

=⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅=

=++⋅++=⋅

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrr

( ) ( ) ( )kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzyrrrrr

−+−+−=×

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0

0

0

rrr

rrr

rrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrr

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

baibajba

ibabakba

jbakbaba

kkbajkbaikba

kjbajjbaijba

kibajibaiiba

kbjbibkajaiaba

+−++

+++−+

+−++=

=×+×+×+

+×+×+×+

+×+×+×=

=++×++=×

Iloczyn wektorowy można zapisać w postaci wyznacznika 3 stopnia

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

rrr

rr=×

Sposób obliczania wyznacznika stopnia drugiego:

21122211

2221

1211aaaa

aa

aa−=

Wyznacznik 3 stopnia można wyrazić przy pomocy wyznaczników drugiego stopnia np. rozwijając go względem pierwszego wiersza

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzy

yx

yx

zx

zx

zy

zy

yx

yx

zx

zx

zy

zy

zyx

zyx

babakbabajbabai

bb

aak

bb

aaj

bb

aai

bb

aak

bb

aaj

bb

aai

bbb

aaa

kji

−+−+−=

=+−=

=−+−+−=+++

rrr

rrr

rrr

rvr

312111111

Kolejne trzy wyznaczniki 2 stopnia powstają przez skreślenie 1 wiersza i kolejnych kolumn w wyznaczniku 3 stopnia. Czynniki stojące przed wyznacznikami są równe iloczynowi elementu stojącego na przecięciu 1

wiersza i skreślanej kolumny przez czynnik równy ( )j+

−1

1 gdzie j to numer

skreślanej kolumny.

Iloczyn wektorowy –informacje dodatkowe dla zainteresowanych

[ ] [ ] [ ]0,5,7]00,32,16[,,,, =+++=+++==+= zzyyxxzyx bababacccbacrrr

[ ]0,2,6],,[ == zyx aaaar

kjiarrrr

026 ++=

kjibrrrr

031 ++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jikjikbajbaibakcjcicbac zzyyxxzyxrrrrrrrrrrrrrr

57003216 +=+++++=+++++=++=+=

[ ] [ ]0,1,5]00,32,16[,, −=−−−=−−−=−= zzyyxx babababadrrr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jikjikbajbaibakdjdidbad zzyyxxzyxrrrrrrrrrrrrrr

−=−+−+−=−+−+−=++=−= 5003216

Dodawanie i odejmowanie wektorów

ar

ar

br

br

br

−

dr

cr

x

y

ir

jr1

1

Przykład : Działanie na wektorach po ich rozkładzie na składowe w

układzie kartezjańskim

[ ]0,3,1],,[ == zyx bbbbr

102400436222 ==++=++= zyx aaaar

10091222 =++=++= zyx bbbbr

12066003216 =++=⋅+⋅+⋅=++=⋅ zzyyxx babababarr

Iloczyn skalarny wektorów

[ ] [ ]0,3,1,, == zyx bbbbr

[ ]0,2,6],,[ == zyx aaaar

Określanie długości wektora

Określenie cosinusa kata między wektorami i ar

br

Oznaczając kąt zawarty między wektorami ar

oraz br

przez α można wykorzystując wzór służący do wyznaczania iloczynu skalarnego wektorów napisać relację

( )αcosbabarrrr

⋅=⋅

skąd wynika iż

( )5

3

20

12

10102

12cos ==

⋅=

⋅

⋅=

ba

barr

rr

α

ar

br

x

y

α

Określenie długości wektorów bahrrr

×=1

( ) ( )

165

420

25

1620

25

9120

5

3110102cos1sin

2

2

21

=⋅=⋅=−⋅=

=

−⋅⋅=−⋅=⋅== αα babahh

rrrrrr

ar

br

x

y

α.1, hkOzoś

rr

2hr ir

jr

abhrrr

×=2

khrr

161 =

khrr

162 −=

[ ]16,0,01 =hr

[ ]16,0,02 −=hr

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) kkji

kji

kji

kji

ba

rrrr

rrr

rrr

rvr

rr

16123610063002

31

26

01

06

03

02

31

261

01

061

03

021

031

026312111

=⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅=

=+−=

=−+−+−==×+++

Kolejne trzy wyznaczniki 2 stopnia powstają przez skreślenie 1 wiersza i kolejnych kolumn w wyznaczniku 3 stopnia. Czynniki stojące przed wyznacznikami są równe iloczynowi elementu stojącego na przecięciu 1

wiersza i skreślanej kolumny przez czynnik równy ( )j+

−1

1 gdzie j to numer

skreślanej kolumny.

[ ]0,2,6],,[ == zyx aaaar [ ] [ ]0,3,1,, == zyx bbbb

r

Określenie wektora na drodze określenia wyznacznika macierzy ( dla zainteresowanych)

bahrrr

×=1

Przegląd trygonometrii• 180° = π radian

• 360° = 2π radian

AC

BC=θsin

AC

AB=θcos

AB

BCtg =θ

AB

C

θ

( ) ( )θθπ sinsin =−

( ) ( )θθπ coscos −=−

( )θθπ cos2

sin =

−

( )θθπ sin2

cos =

−

( ) ( )θθ sinsin −=−( ) ( )θθ coscos =−

2

π π2

3ππ2

2

π−

( ) ( ) 1cossin 22 =+ θθ

jaiaa yxrrr

+=Rozkład wektora na składowe w kartezjańskim układzie dwuwymiarowym

Składowe wektora

aar

=

( )αcosaaa xx ==r

( )αsinaaa yy ==v

Z zależności w trójkącie prostokątnym

( ) 0cos >== αaaa xxbo zwrot wektora zgodny ze zwrotem i

rxar

( ) 0sin

jaiaa yxrrr

+= ],[ yx aaa =r

jbibb yxrrr

+= ],[ yx bbb =r

Suma wektorów

( ) ( ) jbaibabac yyxxrrrrr

+++=+=

[ ]yyxx bababac ++=+= ,rrr

cra

r

Suma wektorów

w dwuwymiarowym układzie kartezjańskim

xO

y

ay

ax bx

by br

Uzupełnienie matematyczne –pochodne i całki

Definicja pierwszej pochodnej funkcji y=f(t) zmiennej t

( ) ( )t

tfttf

dt

df

t ∆

−∆+=

→∆ 0lim

dt

dfott =

( )tf ott =

Pochodna jest również funkcją zmiennej t. Jej wartość dla

jest równa współczynnikowi kierunkowemu a stycznej

dla

.

do wykresu funkcji

t

y=at+b

t0

f(t)

y

t∆

y∆ t

ya

∆

∆=

( ) attdt

df== 0

Wartość pochodnej funkcji malejącej jest ujemna bo dla dodatniego przyrostu argumentu funkcji ∆t>0, przyrost wartości funkcji ∆y

Pochodne wybranych funkcji:

a) ( )p

ttf = 1−= ppt

dt

df p-stała

(argumenty funkcji )(tf muszą należeć do jej dziedziny)

b) ( ) )sin(ttf = )cos(tdt

df=

( ) )sin(bttf = )cos(btbdt

df= b-stała

c) ( ) )cos(ttf = )sin(tdt

df−=

( ) )cos(bttf = )sin(btbdt

df−= b-stała

d) ( ) )ln(ttf = tdt

df 1=

logarytm naturalny –logarytm o

podstawie równej e=2,71828…

0 1 2 3 4 5 6-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

t

f(t

)=ln

(t)

−∞=→

)ln(lim0

tt

∞=∞→

)ln(lim tt

0)1ln( ==t

5) Jeśli ( )( )tuftf =)( to mamy dtdu

du

df

dt

df=

Przykład. )sin(

)cos(btb

dt

btd−=

(ponieważ oznaczając ( ) uuf cos= , bttu =)(

mamy u

du

dfsin−=

, b

dt

du=

)

10 =t

1)( −= pp

ptdt

td

t

f(t)=by

b

0)( btbtf == 0=dt

df

Wartość pochodnej funkcji stałej jest równa zeru

Informacje dodatkowe ( dla zainteresowanych))

Wybrane własności pochodnej:

( )thhtggtff === ),(),( - funkcje zmiennej t; c-stała

1) dt

dh

dt

dg

dt

hgd+=

+ )( 2) dt

dfc

dt

cfd=

)(

3) dt

dhgh

dt

dg

dt

ghd+=

)( 4) 2

h

dt

dhgh

dt

dg

dt

h

gd

−

=

Przykłady pochodnych funkcji, które można określić wykorzystując

własności pochodnej i wzór

1) ( ) 0btbtf == 0=dt

df

(b-stała)

2) ( ) 2bttf = btdt

df2=

3) ( ) 2/1tttf == t

tdt

df

2

1

2

1 2/1 == − (t>0)

4) ( ) 11 −== tt

tf 2

2 1

tt

dt

df−=−= − ( 0≠t )

1)( −= pp

ptdt

td

( bo p=0)

(bo p=2)

Gdy f(t)>0 dla a

Całka oznaczona:

( ) ( )∫ =−===b

a

b

aatFbtFtFdttf )()(

,

przy czym dt

tdFtf

)()( =

Liczby a i b oznaczają dolną i górną granicę całkowania, zaś t zmienną po której całkujemy.

W celu obliczenia całki oznaczonej trzeba znaleźć dowolnąfunkcję F(t) zwana całką nieoznaczoną , której pochodna jest równa funkcji podcałkowej czyli zachodzi

następnie od wartości tej funkcji dla górnej granicy całkowania F(t=b) odjąć wartość tej funkcji dla dolnej granicy całkowania F(t=a).

Widać iż zachodzi relacja

dt

tdFtf

)()( =

∫ ∫−=a

b

b

a

dttfdttf )()(

Wybrane całki nieoznaczone

Ctk

dttkk +

+= +∫

1

1

11−≠kk-stała

b-stała 0≠b

( ) ( ) Cbtb

dtbt +=∫ sin1

cos b-stała 0≠b

[ ] ∫ ∫∫ +=+ dttgdttfdttgtf )()()()(Wybrane własności całki

∫ ∫= dttfkdttkf )()( 0≠kk-stała

f(t), g(t)- funkcje zmiennej t

C-stała dowolna

( ) ( ) Cbtb

dtbt +−=∫ cos1

sin

Ctdtt

+=∫ ln1

∫ dttf )(

• Mechanika zajmuje się badaniem ruchu ciał materialnych a także określeniem warunków przy których ciała pozostają w spoczynku .

• Mechanika klasyczna: Teoria, która przewiduje jakościowo i ilościowo rezultaty eksperymentów na obiektach, które nie są:

– Zbyt małe: atomy i cząstki subatomowe – Mechanika Kwantowa

– Zbyt szybkie: obiekty bliskie prędkości światła – Szczególna Teoria Względności

– Zbyt gęste: czarne dziury, wczesne stadium wszechświata – Ogólna Teoria Względności

• Mechanika klasyczna zajmuje się obiektami znanymi w życiu codziennym!

Mechanika

Kinematyka

Kinematyka-dział mechaniki zajmujący sięopisem ruchu ciała bez analizowania przyczyn

go powodujących

Ruch na płaszczyźnie i przestrzeni-Wektor wodzący, przemieszczenie, droga

wektor określający przemieszczenie ciała w trakcie jego ruchu od punktu początkowego (w którym znajdował się w chwili czasu t1 ) do końcowego (w którym znajdował się w chwili czasu t2=t1+∆t ) równy zmianie (przyrostowi) wektora wodzącego.

określa położenie ciała (traktowanego jako punkt materialny) względem początku układu współrzędnych (w pewnej ustalonej chwili czasu t). Długośćtego wektora jak i jego składowe wyrażamy w układzie SI w metrach

( ) ( ) ( )11212 , trtttrttrrrrrr

−∆+==∆=∆

)(trrrr

=1)

2)

3) S- droga-wielkość skalarna określająca długość toru po którym poruszało się ciało w takcie ruchu

x

y

( )1trr

rr

∆

A

B( )2trr

O

S

Droga S =długość toru

tor ruchu

Długość wektora nie jest w ogólności równa drodze pokonanejprzez ciało. Jednak długość tego

wektora jest równa drodze wtedy, gdy

ciało porusza się po linii prostej w tym samym kierunku (nie zawracając) lub teżczas trwania ruchu jest nieskończenie krótki

rr

∆

-wektor wodzący (promień wodzący) -

(można go wówczas przybliżyć przez odcinek prostej).

0rr

030=α3r∆

x[km]

y[km]

2r∆

1r∆

rr

∆krr

E

N

O

0120=β

1

1

3

5

5ir

jr

start

meta

W chwili początkowej samochód znajdował się w odległości d=4km na wschód od ruin zamku. Samochód przebył drogę S1=1km jadąc na wschód, następnie S2=5km jadąc na północ i w końcu S3=4km jadąc w kierunku odchylonym o kąt 030=α od wschodu ku południu. 1) Znaleźć w kartezjańskim dwuwymiarowym układzie współrzędnych o początku w miejscu położenia ruin zamku i osi Ox zwróconej w kierunku wschodnim, zaś osi Oy zwróconej w kierunku północnym

a) wypadkowe przemieszczenie samochodu licząc od punktu startu b) wektor (promień) wodzący kr

rokreślający położenie samochodu po przebyciu całej drogi.

2) Określić całkowitą drogę pokonaną przez samochód.

Przykład dla ilustracji działania na wektorach

( )( ) ( )( ) =−++=

=∆+∆+∆=∆

jSSiSS

rrrrrr

rrrr

αα sincos 3231

321

( )ikmiSrrrr

111 ==∆

( ) jkmjSrrrr

522 ==∆

[ ] [ ]kmSr 0,10,11 ==∆r

[ ] [ ]kmSr 5,0,0 22 ==∆r

( ) ( ) jSiSrrrr

αα sincos 333 −=∆

( )( ) ( )( )

( ) jkmikm

jikm

jSSiSS

rr

rr

rr

3321

2

145

2

341

30sin30cos 0320

31

++=

=

⋅−+

⋅+=

=−++=

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) jkmikmjSSiSSdjSSiSSidrrr pk

rr

rrrrrrrr

3325

sincossincos 32313231

++

=−+++=−+++=∆+= αααα

( ) kmSSSSkmr 103321 32122

=++=≠++=∆r

ii Sr =∆r

Prędkość (chwilowa) jest równa stosunkowi -wektora przemieszczenia ciała (przyrostu jego wektora wodzącego) do ∆t -czasu w którym to przemieszczenie nastąpiło, gdy długość tego czasu dąży do zera .

Prędkość

Gdy to kierunek wektora

jest styczny do toru ruchu, jego długośćrówna zaś przyrostowi drogi przebytej przez ciało

Kierunek wektora jest taki jak

i styczny do toru ruchu .

rr

∆

0→∆t

Vr

rr

∆

0→∆t

Sr ∆=∆r

rr

∆

( )tVr

tor ruchu

O( początek układu współrzędnych)

( )trr

( )ttr ∆+r

0→∆t

rr

∆

( )t

trttr

t

rtV

tt ∆

−∆+=

∆

∆=

→∆→∆

)(limlim)(

00

rrrr

Prędkość jest w ogólności funkcją czasu.W układzie SI mierzymy ją w m/s

Można go określić jako pierwszą pochodną wektora wodzącego po czasie ( )

t

trttr

dt

rdtV

t ∆

−∆+==

→∆

)(lim)(

0

rrrr

Pierwsza pochodna r po t

Szybkość (wartość prędkości) chwilowa i średnia

Wartości prędkości, szybkość (chwilowa) jest równa długości wektora prędkości (chwilowej). Opisuje jak szybko ciało sięprzemieszcza nie precyzując kierunku w jakim się porusza.

( )dt

dS

t

tSttS

t

StV

tt=

∆

−∆+=

∆

∆=

→∆→∆

)()(limlim

00

r

Wyraża się ona przez stosunek przebytej drogi ∆S w czasie do tego czasu , gdy długość tego czasu dąży do zera 0→∆t

t∆

Średnią szybkość ciała w przedziale czasu (t1,t2) dla dowolnego skończonego przedziału tego czasu można określić jako

gdzie - droga pokonana od chwili czasu

t=t1 do chwili czasu t=t2.Jest ona równa szybkości (chwilowej) wtedy gdy szybkość nie zależy od czasu.

t

SVsr

∆

∆=

12 ttt −=∆

)()( 112 tStttSS −∆+==∆

Pierwsza

pochodna S po t

S(t2)

S(t1)

t1 t2 t

∆t

Jest równa

współczynnikowi

kierunkowemu a

(nachyleniu)

prostej

przechodzącej przez punkty 1 i 2

S(t)

1

2

Szybkość średnia w trakcie ruchu od chwili do chwili 1t ttt ∆+= 12

t

tSttS

tt

tStS

t

SttttVsr

∆

−∆+=

−

−=

∆

∆=∆+=

)()()()(),( 11

12

12121

Można ją określić jako stosunek drogi przebytej przez ciało ∆S w czasie ∆t do czasu ∆t

∆SS=at+b

S(t)

Szybkość średnia zależy zarówno od czasu rozpoczęcia analizowanego odcinka

ruchu t1, jak i czasu jego trwania ∆t .

S(t2)

S(t1)

t1 t2 t

Jej współczynnik kierunkowy określa (chwilową) szybkość ciała w chwili t=t1 . Jest ona równa wartości pierwszej pochodnej funkcji S(t) po czasie określonej dla t=t1.

S(t)

0→∆tto prosta przechodząca przez punkty 1 i 2 staje się stycznądo krzywej obrazującej zależność drogi pokonanej przez

ciało od czasu S(t) w punkcie o t=t1

)()()(

limlim)( 111

001 tt

dt

dS

t

tSttS

t

SttV

tt==

∆

−∆+=

∆

∆==

→∆→∆

r

12 tt →Gdy

1

2

Szybkość (chwilowa)

Szybkość i prędkość chwilowa w ogólności może być funkcją czasu t, ale nie jest funkcją . t∆

Pierwsza pochodna S po t

W dowolnym ruchu droga

pokonana przez ciało w czasie

od t=t1 do t=t2 jest równa polu

pod wykresem zależności wartości prędkości (szybkości) od czasu zakreskowanemu na

czerwono. Pole to jest równe

polu prostokąta ograniczonego od góry przez prostą V=Vsr zakreskowanego na niebiesko

Vsr ma sens średniej szybkości w trakcie ruchu

Analizowaną drogę można określić licząc całkę oznaczoną po czasie t (będącej zmienną całkowania stojącą we wzorze po symbolu d) z szybkości 0)( ≥tV

r

w granicach od t=t1 (dolna

granica całkowania) do t=t2 (górna granica całkowania)

Droga jako pole pod wykresem szybkości od czasu

tt2t1

S

)(tVr

)(tVr

srV

( )∫=2

1

t

t

dttVS

Ruch ze stałą szybkością

tVtSr

=)(

Związek drogi pokonanej od chwili t=0 z wartością prędkościi czasem trwania ruchu t w przypadku gdy określa wzór

ttk

)(tVr

Vr

kk tVttSr

== )(

Vr

S(t)

t

Wykresem zależności S(t) jest prosta o współczynniku

kierunkowym równym

tVSr

=

Vr

Droga S(t=tk) pokonana od chwili t=0 do chwili

t=tk jest równa polu odpowiedniego prostokąta pod wykresem zależności szybkości od czasu

constV =r

O

Przyspieszenie jest równe stosunkowi zmiany wektora prędkości do czasu w którym ta zmiana nastąpiła, gdy długość tego czasu dąży do zera .

( ) ( ) ( )dt

Vd

t

tVttV

t

Vta

tt

rrrrr

=∆

−∆+=

∆

∆=

→∆→∆ 00limlim

Przyspieszenie

Istnienie niezerowego przyspieszenia może być związane ze zmianą wartości prędkości (szybkości) ciała oraz (lub) zmianą kierunku wektora prędkości (kierunku ruchu ciała)

Można dokonać rozkładu przyspieszenia ar

na przyspieszenie styczne do

toru ciała sar

oraz przyspieszenie normalne prostopadłe do toru nar

.

W ruchu w którym szybkość ciała constV =r

mamy 0rr

=sa .

W ruchu po linii prostej mamy 0=nar

.

sar

nav

ar

ns aaarrr

+=

Przyspieszenie w układzie SI mierzymy w m/s2.

pierwsza pochodna

wektora prędkości po

czasie

( )dt

Vdta

rr

=

Przyspieszenie jest pierwszą pochodną prędkości po czasie

Prędkość jest pierwszą pochodną wektora wodzącego po czasie

( )dt

rdtV

rr

=

Przyspieszenie jest drugą pochodną wektora wodzącego po czasie

( )2

2

dt

rdta

rr

=

Podstawowe relacje kinematyki

y’

x=x’

ur

−

O’

Vr'V

r

A

y

O

ur

Prędkość ciała zależy od przyjętego do

opisu ruchu ciała układu odniesienia.Jeżeli układ odniesienia O’ porusza sięwzględem układu odniesienia O z prędkością a ciało A porusza sięwzględem układu O z prędkością , to prędkość ciała A określona w układzie O’można określić ze wzoru

ur

Vr

uVVrrr

−='

Względność prędkości

Przedstawiony tutaj sposób opisu ruchu punktu materialnego można tez wykorzystać do opisu ruchu (postępowego) translacyjnego bryły sztywnej, złożonej z wielu punktów poruszających się z jednakową prędkością ( w tym samym kierunku z tą samą wartością prędkości) . Wektor wodzący charakteryzuje wówczas położenie wybranego punktu bryły (zwykle środka masy). Przy opisie ruchu obrotowego bryły będziemy stosować wielkości wprowadzone przy opisie ruchu punktu materialnego po okręgu

rr

Ruch prostoliniowy punktu materialnego

Określenie położenia ciała w ruchu prostoliniowym

xO

Do scharakteryzowania położenia ciała wystarczające jest określenie jego położenia względem ustalonego punktu O na osi Ox. Wielkość x, której moduł jest odległością ciała od tego punktu, może przyjmowaćwartości zarówno dodatnie jak i ujemne i stanowi jedyną niezerowąskładową jego wektora wodzącego

Wprowadzamy oś Ox jednowymiarowego układu współrzędnych wzdłuż prostej po której porusza się ciało.

x wzrasta w trakcie ruchux maleje w trakcie ruchu

ixrrr

=

Jeżeli w trakcie ruchu ciało nie zawraca to droga przebyta przez ciałood chwili t=tp do t=tk wyraża się wzorem ( ) ( )pk ttxttxS =−==

ir

-wersor będący wektorem o długości równej 1 oraz kierunku i zwrocie osi Ox

ir

rr

1=ir

Prędkość w ruchu prostoliniowym

xO ir

Vr

Vr

V>0V

Przyspieszenie w ruchu prostoliniowym

xO ir

Vr

Vr 1=i

r

V>0

a>0

V

Vtxtx += 0)(VconsttV ==)(

t

txttxtV

t ∆

−∆+=

→∆

)()(lim)(

0

t

txttxtV

t ∆

=−∆===

→∆

)0()(lim)0(

0ttVtxttx ∆=+==∆= )0()0()(

to dowolnyt∆

W przypadku ruchu bez zawracania wzdłuż osi Ox mamy

i zależność położenia ciała od czasu określa wzór Vtxtx += 0)(

gdzie ),0(0 == txx

Wzór określający x(t) obowiązuje niezależnie od znaku V

Dowód:

tVtSr

=)(Zależność drogi od czasu

Ruch prostoliniowy jednostajny constV =r

0=ar

)0()()( =−= txtxtS

gdyVVr

=

VVr

−=

constVconstV =⇒=rr

gdy x rośnie w trakcie ruchu

gdy x maleje w trakcie ruchu

Gdy

( )tVtxtVtVtxtVttxttx ∆+==∆+∆+==∆+∆==∆= 2)0()0()()2(

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny

atVtV += 0)(

Gdy a i V są tego samego znaku to

szybkość ciała rośnie

V(t)

V0

t

a>0

a0

a0 ( ciało porusza się w kierunku dodatnim osi Ox, wektor prędkości ma ten sam zwrot co wersor ). Wówczas szybkość

Gdy a=const i a>0 to ruch jest jednostajnie przyspieszony, zaś gdy a=const i a

Załóżmy iż V>0 (ciało porusza się w kierunku dodatnim osi Ox, wektor prędkości ma ten sam zwrot co wersor , )i

r

2

2

kko

tatV +

S(t)

tk tO

V(t)

V0

t

V(t)=V0+at

tk

Vk=V0+atk

2

2)(

2

00

kko

kk

k

attV

tatVV

ttS

+=

=⋅++

==

0

2)0()()(

2

0k

kkk

attVtxttxttS +==−===

Droga pokonana przez ciało od chwili t=0 do t=tk jest równa

zakreskowanemu polu trapezu .

VV =r

VV =r

Rysunki dla a>0

Zakładając iż ruch analizujemy od chwili t=0 zależność drogi od czasu wyraża wzór

2)(

2

0

attVtS +=

2)(

2

00

attVxtx ++=

)0(0 == tVV

)0(0 == txx

Wzór obowiązuje zawsze w ruchu w którym niezależnie od znaku wielkości x0 , V0 i a . W szczególności w takim ruchu prędkość

może zmienić znak (co odpowiada zmianie zwrotu wektora prędkości ).

Gdy V0, a a=const

Prędkość i przyspieszenie jako odpowiednie pochodne w ruchu prostoliniowym

xO

Wprowadzamy oś Ox jednowymiarowego układu współrzędnych wzdłuż prostej po której porusza się ciało.

ixrrr

=

ir

Wektor wodzący

Wektor prędkości dt

dxV =iVV

rr=

iaarr

=2

2

dt

xd

dt

dVa ==Wektor przyspieszenia

Wykorzystując operacje różniczkowania (liczenia pochodnych) można sprawdzić w szczególności iż w ruchach prostoliniowych jednostajnym i jednostajnie zmiennym zachodzą ogólne relacje wiążące położenie, prędkość i przyspieszenie ciała. Np. w ruchu jednostajnym wzdłuż osi Ox mamy

W ruchu jednostajnie zmiennym wzdłuż osi Ox mamy

( ) Vtxtx += 0

( ) ( )VVt

dt

tdV

dt

Vtd

dt

dx

dt

Vtxd

dt

dxV =+=+=+=

+== 0

1

00 00)(

( ) constVtV ==

constata ==)( atVtV += 0)(2

002

)( ta

tVxtx ++=

( )atVt

aV

dt

tda

dt

tdV

dt

dx

dt

ta

tVxd

dt

dxV +=+=++=

++

== 00

2

00

2

00

22

)(

2

2

adt

dta

dt

dV

dt

atVd

dt

dVa =+=

+== 00

)(

1)( −= pp

ptdt

td

dt

fdc

dt

cfd )()(=

dt

gd

dt

fd

dt

gfd )()()(+=

+

f,g-funkcje

c,p-stałe

)0(

)0(

0

0

==

==

txx

tVV

V[m/s]

a[m/s2]

x[m] sm /40sm /7

2/30 sm 2/30 sm−

sm /5

t(s)

t(s)

t(s)

dt

dxV =

dt

dVa =

R. Świrkowicz

Ruch prostoliniowy- przykład

ixrrr

=

iVVrr

=

iaarr

=

Ruch w przestrzeni dwu i trójwymiarowej

kzjyixrrrrr

++=

kVjViVdt

rdV zyx

rrrr

r++==

Wektory wodzący , prędkości i przyspieszenia w układzie trójwymiarowym kartezjańskim . Związki miedzy składowymi tych wektorów

x

y

rr

A

O

x

y

ir

jr

1=== kjirrr

)(

)(

)(

tzz

tyy

txx

=

=

=

kr

z

z

rr

Vr

ar

( ) ( ) ( )dt

dz

t

tzttztV

tz =

∆

−∆+=

→∆ 0lim

( ) ( ) ( )dt

dx

t

txttxtV

tx =

∆

−∆+=

→∆ 0lim

( ) ( ) ( )dt

dy

t

tyttytV

ty =

∆

−∆+=

→∆ 0lim

x

y

Vr

O iVxr

jVyr

kjirrr

==

kVz

r

z

xα

yα

zα

xx VV αcosr

=

yy VV αcosr

=

zz VV αcosr

=

222

zyx VVVV ++=r

( ) ( ) ( )dt

dV

t

tVttVta xxx

tx =

∆

−∆+=

→∆ 0lim

( )( ) ( )

dt

dV

t

tVttVta

yyy

ty =

∆

−∆+=

→∆ 0lim

x

y

Vr

O iVxr

jVyr

kjirrr

==

kVz

r

z

xα

yα

zα )(

)(

)(

tVV

tVV

tVV

zz

yy

xx

=

=

=

yy aa βcosr

=

xx aa βcosr

=

zz aa βcosr

=

x

y

ar

O iaxr

jayr

kjirrr

==

kaz

r

z

xβ

yβ

zβ

kVjViVV zyx

rrrr++=

kajaiadt

Vda zyx

rrrr

v++==

( ) ( ) ( )dt

dV

t

tVttVta zzz

tz =

∆

−∆+=

→∆ 0lim

222

zyx aaaa ++=r

W układzie kartezjańskim wektor wodzący punktu materialnego poruszającego sięw przestrzeni ma w ogólności trzy niezerowe składowe x, y, z

które zmieniają się w czasie

( )dt

kdzk

dt

dz

dt

jdyj

dt

dy

dt

idxi

dt

dxkzjyix

dt

d

dt

rdV

rr

rr

rrrrr

rr

+++++=++==

kzjyixrrrrr

++=

Przy uwzględnieniu tego iż wersory nie zależą od czasu kjirrr

,,

0===dt

kd

dt

jd

dt

idrrr

otrzymujemy

( ) kVjViVkdt

dzj

dt

dyi

dt

dxkzjyix

dt

d

dt

rdV zyx

rrrrrrrrrr

r++=++=++==

Uzasadnienie wzoru na prędkość ( dla zainteresowanych)

x

y

rr

A

O

x

y

ir

jr

1=== kjirrr

)(

)(

)(

tzz

tyy

txx

=

=

=

kr

z

z

)(),(),( tzztyytxx ===

Gdy składowe wektora przyspieszenia

nie zależą od czasu to każdy z ruchów składowych jest ruchem jednostajnie zmiennym.

Zależność od czasu składowych wektorów wodzącego i prędkości można określić ze wzorów

kzjyixrrrrr

++=

kVjViVV zyx

rrrr++=

kajaiaa zyx

rrrr++=

constax = constay = constaz =

2

002

1)( tatVxtx xx ++= taVtV xxx += 0)(

2

002

1)( tatVyty yy ++=

2

002

1)( tatVztz zz ++=

taVtV yyy += 0)(

taVtV zzz += 0)(

)0(0 == tVV xx

)0(0 == tVV yy

)0(0 == tVV zz

W przypadku ruchu płaskiego zachodzącego w płaszczyźnie z=0 i obraniu osi układu Ox i Oy w płaszczyźnie ruchu ruch można opisaćjako złożenie dwóch ruchów zachodzących wzdłuż osi Ox i Oy. Gdy ax=0 to ruch wzdłuż osi Ox jest ruchem jednostajnym.

Składanie ruchówDowolny ruch w przestrzeni trójwymiarowej można traktować jako złożenie ruchów w trzech prostopadłych kierunkach określonych przez osie układu współrzędnych.

)0(0 == txx

)0(0 == tyy

)0(0 == tzz

Ruch w polu siły ciężkości

Ciało poruszające się w pobliżu powierzchni Ziemi przy zaniedbaniu wpływu na ruch ciała innych sił

niż siła ciężkości porusza się z przyspieszeniem

constga ==rr

)0( =tVr

Gdy prędkość ciała w chwili początkowej ruchu jest skierowana w kierunku równoległym do pionu

to ciało porusza się ruchem jednostajnie zmiennym po linii prostej (rzut pionowy)

)0(0 == tVVrr

równym przyspieszeniu ziemskiemu

skierowanym w kierunku środka Ziemi.

Gdy prędkość ciała w chwili początkowej ruchu tworzy pewien kąt z kierunkiem pionowym to ciało porusza się w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory

)0(0 == tVVrr

oraz

constga ==rr

jggavrr

−== .

Ruch ciała jest złożeniem ruchu jednostajnego w kierunku równoległym do powierzchni Ziemi (wzdłużosi Ox) i ruchu jednostajnie zmiennego w kierunku

prostopadłym ( wzdłuż osi Oy) (rzut ukośny)

281,9

s

mgg ==

r

0Vr

O x

y

0Vr

0=Vr

gaa yx −== 0

gr

gr

jr

1=jr

Tor w ruchu płaskim

W przypadku ruchu odbywającego się w płaszczyźnie xOyokreślonego poprzez zależności składowych wektora wodzącego od czasu

można wyznaczyć równanie toru eliminując czas z powyższych równań i zapisując wynik końcowy w postaci np. funkcji typu

lub lub

)(

)(

tgy

tfx

=

=

)(xhy = 0),(~~

=yxh

(**)

(*)

Bty

Atx

=

=Np. gdy zależność od czasu opisują funkcje

to równanie przyjmuje np. postać lub lubxA

By = 0=− x

A

By

)(~

yhx =

yB

Ax =

Ruch po okręgu

Do opisu położenia (punktu materialnego) poruszającego się po okręgu może służyć zamiast wektora wodzącego np. kąt ϕ

między wektorem wodzącym a osią OX układu o początku w środku okręgu pokazany na rysunku, będący w ogólności

funkcją czasu ( )tϕϕ = . Zakładamy przy tym iż może się on zmieniać w zakresie ( )∞∞− , i mierzymy go w radianach.

Jednemu pełnemu obiegowi okręgu odpowiada zmiana kąta

ϕ o π2 radianów.

Prędkość kątowa (chwilowa)

t

ttt

tdt

d

tt ∆

−∆+=

∆

∆==

→∆→∆

)()(limlim

00

ϕϕϕϕω

Przyspieszenie kątowe

t

ttt

tdt

d

tt ∆

−∆+=

∆

∆==

→∆→∆

)()(limlim

00

ωωωωε

Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe dowolnego punktu spoczywającego na obracającej się tarczy jest jednakowe. Wielkości te mogą służyć do opisu ruchu obrotowego bryły, w którym wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach o środkach leżących na osi obrotu.

]/[ sradω

]/[ 2sradε

Ruch po okręgu-prędkość i przyspieszenie kątowe

x

y

( )trr

( )tϕr

0

1 0=ϕ

0

2 90=ϕ

x

y

( )trr

( )tϕr

S(t)

• Drogi liniowej S(t) (przebytej od chwili t=0)

od czasu t z drogą kątową ( mierzymy w radianach)

R-promień okręgu

• Szybkości z prędkością kątową ω

( ) )0()()( =−=∆= ttRtRtS ϕϕϕ

( )tϕ∆

ωRV =r

Ruch po okręgu-związki ogólne

ϕ

R

ωϕ

ϕϕ

Rdt

dR

tR

t

R

t

S

dt

dSV

ttt

==

=∆

∆=

∆

∆=

∆

∆==

→∆→∆→∆ 000limlimlim

r

Ruch jednostajny po okręgu

Prędkość kątowa i szybkość ciała jest stała

Zależność kąta od czasu

( ) tt ωϕϕ += 0( )00 == tϕϕ

constRVconst === ωωr

,

gdzie

Dobierając odpowiednio osie układu współrzędnych można przyjąć iż 00 =ϕ

ttttt ∆=+==∆= )0()0()( ωϕϕconst=ω t∆ dowolny

Przyspieszenie kątowe jest równe zeru 0=ε

t

tttt

t ∆

=−∆===

→∆

)0()(lim)0(

0

ϕϕω

t

tttt

t ∆

−∆+=

→∆

)()(lim)(

0

ϕϕω

x

y

( )trr

( )tϕrR

Ruch jednostajny po okręgu

Droga przebyta w tym czasie

Tf 1=

T-okres ruchu, czas potrzebny do wykonania 1 obiegu okręgu [s]

TRRS

RS

ωϕ

π

=∆=

= 2

ω

π2=T

Częstotliwość (liczba obiegów okręgu w jednostce czasu) [Hz=1/s]

π

ω

2=f

Szybkość ciała jest stałaAle kierunek wektora

prędkości zmienia się stale. Zatem prędkość zmienia sięstale, czyli mamy

niezerowe przyspieszenie

Z podobieństwa trójkątówBCD i ABO

R

r

V

Vr

r

r

∆=

∆

Rozpatrzmy ruch w

trakcie ∆t→0

R

tV

V

V ∆=

∆r

r

r

R

V

t

V2rr

=∆

∆R

R

V

t

V

t

Vaa

ttd

2

2

00limlim ω==

∆

∆=

∆

∆==

→∆→∆

rrrrr

Przyspieszenie dośrodkowe w ruchu jednostajnym po okręgu

OA

AB

BD

BC=

r

( )tVr

( )ttV ∆+r

( ) ( )tVttVVrrr

−∆+=∆

O

A

B

C

D

( )tVr

−

rr

∆

( )trr

( )ttr ∆+r

VttVtVozn rrr .

)()( =∆+=

Wektor przyspieszenia dośrodkowego jest skierowany w kierunku środka okręgu po którym porusza się ciało

R

tVSr ∆==∆rr

constV =r

Ruch jednostajny po okręgu –opis w układzie kartezjańskim dla zainteresowanych

x

y

rr

)(tθ

R

daarr

=

Vr

rrV

r

daarr

=

( )tRdt

dxVx ωω sin−==

( ) ( )tRRy ωϕ sinsin ==( ) ( )tRRx ωϕ coscos ==

( )tRdt

dyVy ωω cos==

( ) ytRdt

dVa

y

y

22 sin ωωω −=−==

( )r

jyixjaiaa yxr

rrrrr

2

2

ω

ω

−=

=+−=+=

R

VRraa d

2

22

r

rrr==== ωω

Przyspieszenie dośrodkowe

constRVVV yx ==+= ω22

r

szybkość

)cos())(sin(

btbdt

btd=

)sin())(cos(

btbdt

btd−=

( ) xtRdt

dVa xx

22 cos ωωω −=−==

00 =ϕ

ϕjr

ir

1== jirr

Przyspieszenie jest sumą przyspieszenia normalnego (dośrodkowego) i stycznego

sd aaarrr

+=

dt

dVat =tts eaa

rr= gdzie

sar

dar

Vr

0,,.

≠=≠≠=dt

dconstconstVV

ozn ωεω

r

Ruch po okręgu ze zmienną szybkością (wartością prędkości)

Gdy at>0 ( szybkość rośnie)to zwrot zgodny ze zwrotem

Gdy atdt

dV

0<dt

dV

dn aarr

= sar

V

Vet r

rr

=

222aaa sdrrr

=+

Ras ε=r

R

VRad

22 == ω

r

dt

dωε = =const

( ) tt εωω += 0

( )2

2

00

ttt εωϕϕ ++=

gdzie ( )00 == tωω , ( )00 == tϕϕ ,

Ruch jednostajnie zmienny po okręgu

Ruch po Ruch prostoliniowy

okręgu wzdłuż osi OX

Charles Gammie

Porównanie ruchu jednostajnie zmiennego prostoliniowego z

ruchem jednostajnie zmiennym po okręgu

constaa x ==const=ε

2

002

1attVxx ++=2

002

1tt εωϕϕ ++=

tεωω += 0 atVV += 0

Vr

. ωrO

x

y

, oś OZ,

ϕ

kr

Vr

ωr

O x

y

ϕ

Prędkość kątowa jako wektor

Wektor prędkości kątowej ma kierunek zgodny z kierunkiem osi obrotu (prostopadłym do płaszczyzny rysunku). Zwrot wektora

prędkości kątowej można ustalić przy pomocy reguły prawej ręki. Gdy palce prawej ręki wskazują kierunek obiegu ciała po okręgu, to prawy kciuk wskazuje zwrot wektora prędkości kątowej.

0>ω],0,0[ ωωω == k

rr

0

Vr

. εrO

x

y

, oś OZ,

ϕ

kr

Przyspieszenie kątowe jako wektor

Zakładamy iż płaszczyzna okręgu nie ulega zmianie w czasie. Wektor przyspieszenia kątowego ma kierunek zgodny z kierunkiem osi obrotu. Zwrot wektora przyspieszenia kątowego jest taki sam jak prędkości kątowej gdy szybkość ciała rośnie i przeciwny gdy szybkośćciała maleje.

0>dt

dω ],0,0[dt

dk

dt

d

dt

d ωωωε ===

rr

r

Vr

εrO

x

y

ϕ

0<dt

dω