FLUJOGRAMAS PARA EL CALCULO DE

CONCRETO ARMADO

POR

RODOLFO OSERS Ingeniero Civil

Profesor de la Facultad de Ingeniera de la Universidad Central de Venezuela

FLUJOGRAMAS PARA EL CALCULO DE

CONCRETO ARMADO

POR

RODOLFO OSERS Ingeniero Civil

Profesor de la Facultad de Ingeniera de la Universidad Central de Venezuela

CARACAS, 1988

, ;

.'

1 , i

i

-1

'1 l

,-

Cuarta Edicin Octubre 1988, Venezuela Reservado todos los derechos del autor. Impreso en REFOLIT C.A. Depsito Legal: Venezuela ISBN 980-300-87-X

- I

-5-

INDICE

1. INTRODUCCION

2. NOTACION EMPLEADA Flexin y Corte

Teora clsica

Teora de rotura

Flexocompresin (teora de rotura) Smbolos

3. FLEXION PURA (Teora Clsica) SECCIONES RECTANGULARES

Deduccin de frmulas para secciones rectangulares simplemente armadas. Empleo del mtodo de la pareja

Pgina

11

13

15 17

19

resistente. 23

Deduccin de frmulas para secciones doblemente armadas 26

Coeficientes adimensionales de una seccin rectangular simplemente armada 29

SECCIONES "Te"

Deduccin de frmulas para secciones Te simplemente armadas 35

Abacos para los coeficientes adimensionales de las secciones Te simplemente armadas 37

Diagramas de flujo para el clculo ~ Revisin de secciones rectangulares y Te simplemente armadas 45

Diseo de secciones rectangulares o Te 46

-6-

Dimensionado con cuanta de acero en compresIn (p? prefijada (%) 53 Dimensionado con relacIn entre el acero en compresin y a traccin conocida 56

Dimensionado con momento absorbido por la pareja de aceros adicionales 46

4. MOMENTOS DE INERCIA EFECTIVOS EN SECCIONES AGRIETADAS Determinacin de los coeficientes adimensionales 61

Diagrama de flujo para el clculo del momento de Inercia 63

5. FLEXION PURA (Teora de Rotura) SECCIONES RECTANGULARES

Deduccin de frmulas para secciones rectangulares simplemente armadas 65

Deduccin de frmulas para secciones rectangulares doblemente armadas 70

Coeficientes adimensionales (Tablas) 75 SECCIONES "Te"

Frmulas empleadas en el estudio de las secciones Te 79

Diagramas de flujo para el clculo Revisin de secciones rectangulares y Te simplemente armadas 81

Diseo de secciones rectangulares y Te simplemente armadas 84

Revisin de secciones rectangulares doblemente armadas 87

Diseo de secciones rectangulares doblemente armadas 90 ~ ,

Casos particulares para el diseo ptimo 93

'"\

-7-

SECCIONES DE GEOMETRIA GENERAL

Deduccin de las frmulas y uso del bloque rectangular de esfuerzos para secciones de forma general 97 Revisin de Secciones de Forma General.

6. SECCIONES SOMETIDAS A ESFUERZO CORTANTE

Disposiciones para esfuerzo cortante 105 Normas para la separacin de estribos 110

Diagramas de flujo para el clculo Diseo de estribos y separaciones

Teora Clsica 111

Teora de Rotura 112

Ejemplo 113

7. DISEO DE LOSAS Tipos usuales de losas 115 LOSAS MACIZAS

Descripcin de las losas macizas 117

Clculo de la altura de las losas con la cuantfa de acero conocida (T eorra de rotura) 118 Diseo del rea de acero requerido en losas de altura dada 120

LOSAS NERV ADAS

Descripcin de las losas nervadas 121

Diseo del rea de acero requerido en losas nervadas de altura dada 124

8.

-8-

parativo para el uso de losas nervadas o

Clculo

NES

125

127

129

Normas pa a alturas mnimas de losas o Vigas y deflexiones . xlmas 130

9. SECCIO ES SOMETIDAS A FLEXOC MPRESION.

10.

Principios y suposiciones para miembros sometidos a flexocompre in. Normas para columnas 135

columnas rectangulares 137

Diseo de las armaduras para una columna de dimensione dadas 138

Diseo de olumnas esbeltas por el mtodo A.c.!. 1977 139

~todo. pa a la determinacin de los diagramas de mteraCClOn 143

Abacos con los diagramas de interaccin de columnas rectangulare con acero simtrico 145

Abacos ca los diagramas de interaccin de columnas circulares 148

DISPOSICIONES ESPECIALES CAPITULO 18 NORMAS COVENIN 1756 NIVELES DE DISEO CRITERIO DE DISEO PARA VIGAS Cuantas mximas y mnimas Momentos ltimos de diseo

153 154

155

-9-

Fuerza cortante de diseo

CRITERIO DE DISEO PARA COLUMNAS

Cuantfas mximas y mnimas

Momentos ltimos de diseo

Fuerza cortante de diseo

Zona de confinamiento

11. COMBINACIONES DE CABILLAS COLOCACION DE ACEROS

156

159

159

160

161

163

Propiedades de cabillas y sus combinaciones 167

Cabillas uniformemente espaciadas 170

Normas y detalles acerca de la longitud de desarrollo y anclaje Longitudes de desarrollo segn las normas A.C.I 172 Anclaje y prolongaciones de cabillas Disposiciones para el diseo ssmico 176

Ejemplo para la distribucin de cabillas en una viga 177

12. CARCAS Y SOBRECARGAS EFECTOS SISMICOS Cargas Permanentes 185

Sobrecargas 187

Sobre cargas para puentes Normas A.A.S.H.T.O 188

Sobrecargas en Aceras 189

-10-

Sobrecargas debidas a Vehfculos 191

Fuerzas de Frenado 192

Coeficientes de Impacto 193

Pesos de los materiales de construccin 195

Peso de materiales almacenados 196

Fuerzas debidas a la accin de movimientos ssmicos 197 ,

13. ELABORACION DE UN PROYECTO PASOS A SEGUIR Descripcin 203

Ejemplo de un proyecto 205 14. REFERENCIAS 223

15. OBRAS DE LA MISMA CASA 225

16. PROGRAMAS DEL AREA 227

-11-

INTRODUCCION

La notacin uti lizada en este libro es la adoptada por el A.C.1.

En cuanto a las teoras empleadas, se analizaron la flexin y corte por la teora clsica y la de rotura, mientras que la flexo-compresin se estudi nicamente por rotura.

Se prepararon flujogramas para el DISEO de los elementos de con-creto armado los cuales contemplan la determinacin de las alturas tiles de las secciones, la cantidad de acero de acuerdo a los requerimientos correspondientes. Igualmente se prepararon los flujogramas para la RE-VIS ION de aquellos elementos cuya geometra se conoce y se desea saber si soporta satisfactoriamente las solicitaciones previstas.

El procedimiento seguido en la ordenacin de cada captulo consiste en una breve descripcin del captulo, del mtodo utilizado y de las nor-mas correspondientes. Se sigue con la explicacin del uso del flujograma y el flujograma propiamente dicho. Donde se consider necesario se anexaron ejemplos con pginas de clculo.

Adems de los flujogramas se incluyeron varias tablas y bacos ti-les para el clculo, en especial los referentes a flexin en teora clsica, flexo-compresin en teora de rotura (Diagramas de Interaccin) y dis-tribucin de cabillas.

Para la mejor y ms rpida utilizacin de este libro en la esquina superior exterior de cada pgina se coloc un smbolo que representa escuetamente el contenido de dichas pginas. Estos smbolos estn resu-midos en la leyenda al comienzo del libro.

-12-

-13- 1

NOTACION EMPLEADA Teora Clsica Flexin y Corte A'. Area de acero a compresin As Area de acero a traccin Ami" Area de acero mnimo Av Area del acero para absorber corte b Ancho de la cara en compresin b' Ancho de la cara en traccin d Altura til de la seccin d' Recubrimiento del acero en compresin Es Mdulo de elasticidad del acero f y Esfuerzo cedente en el acero f sp Esfuerzo permisible del acero fs Esfuerzo en el acero a traccin f's Esfuerzo en ei acero a compresin f'< Resistencia mxima del concreto fe Esfuerzo en el concreto h Altura de la seccin j Brazo mecnico especfico K Profundidad especfica del eje neutro K< Coeficiente de resistencia del concreto Ks Coeficiente de resistencia del acero M Momento actuante en la 'seccin Mo Momento ptimo de la seccin M. Momento resistente por el acero M< Momento resistente por el concreto n Coeficiente de equivalencia R Mdulo de resistencia Ro Mdulo de resistencia ptimo R< Mdulo de resistencia del concreto r Recubrimiento S Separacin entre estribos t Espesor del ala de la Te V Fuerza cortante actuante en la seccin P Porcentaje de acero a traccin P' Porcentaje de acero a compresin

-14-

1 Esfuerzo cortante nominal Esfuerzo cortante nominal permisible Esfuerzo cortante nominal absorbido por el acero

-15- I NOTACION EMPLEADA Teora de Rotura Flexin y Corte

a Ancho de la columna en la direccin del claro A'. Area de acero a compresin A. Area de acero a traccin A.I Area de acero ficticio A min Area de acero mnimo Av Area de acero para absorber corte A g Area gruesa de la seccin b Ancho de la cara en compresin b' Ancho de la cara en traccin d Altura til de la seccin d' Recubrimiento del acero en compresin E. Mdulo de elasticidad del acero f y Esfuerzo cedente en el acero f. Esfuerzo en el acero a traccin f. Esfuerzo en el acero a compresin f.u Esfuerzo en el acero a traccin en el agotamiento f'. Resistencia mxima del concreto f. Esfuerzo en el concreto 9 Carga distribuida a lo largo del tramo h Altura de la seccin

Brazo mecnico especfico Ku Profundidad especfica del eje neutro en el agotamiento K Coeficiente de equivalencia (ver norma 10.2.7. del A.CJ.) K2 Profundidad especfica del centro de compresin K3 Coeficiente de relacin de resistencia del concreto l Longitud entre apoyos lmc Longitud de macizado por corte lm", Longityd de macizado por momento Mu Momento actuante ltimo Mo Momento resistente ptimo de la seccin M cv Momento por carga viva Mc", Momento por carga muerta Mc. Momento por sismo

1 Mcw M. Mc. Nu

-16-

Momento por viento Momento actuante en el apoyo Momento actuante en la cara de la columna Fuerza axial actuante en el agotamiento

PP Peso propio q Cuanta mecnica qb Cuanta mecnica que produce la falla balanceada qo Cuanta mecnica reducida r Recubrimiento S Separacin entre estribos t Espesor del ala de las Te V u Fuerza cortante actuante V

c Fuerza cortante resistente por el concreto

Va Fuerza cortante actuante en el apoyo ~ Dimetro de las cabillas Eu Mxima deformacin unitaria del concreto E

su Deformacin unitaria del acero a traccin en el agotamiento.

, Es

Vu

Ve

V, o

Deformacin unitaria del acero a compresin Momento especfico Peso especfico del concreto Esfuerzo cortante nominal en el agotamiento Esfuerzo cortante nominal resistido por el concreto Esfuerzo cortante nominal que absorben los estribos Factor de seguridad

,

-

-17- I

NOTACION EMPLEADA Teora de Rotura Flexo-Compresin

As Area de Acero b Ancho de la columna e Compresin e Excentricidad Es Mdulo de elasticidad del acero fe Resistencia mxima del concreto f y Esfuerzo cedente del acero f. Esfuerzo actuante en el acero FS Factor de seguridad K Profundidad especfica del eje neutro en el agotamiento M Momento Mu Momento actuante ltimo N Fuerza axial Pu Carga concentrada ltima sobre la columna r Recubrimiento t Dimensin ms grande de la columna T Traccin Ve Centro de gravedad geomtrico de la columna Y() Menor distancia de la capa de acero a la fibra ms comprimida (*) P Porcentaje de acio .)l!U{) w Cuanta de acero f.1 Momento especfico

*

v Carga axial especfica o Factor de seguridad

Fibra ms comprimida, fibra paralela al eje neutro que est sometida a mayor compresin.

-18- 1

-19-

SIMBOLOS

SIMBOLOS

D

DEseRIPelON

FLEXION PURA SECCION "Te" SIMPLEMENTE ARMADA Teora '~sica

FLEXION PURA Seccin rectangular SIMPLEMENTE ARMADA Teora clsica

FLEXION PURA Seccin rectangular DOBLEMENTE ARMADA Teora clsica

Esfuerzo cortante Diseo de estribos

SIMBOLOS

1

1

DEseRIPelON

FLEXION PURA Seccion Te SIMPLEMENTE ARMADA Teora de rotura

FLEXION PURA Seccin rectangular SIMPLEMENTE ARMADA Teora de rotura

FLEXION PURA Seccin rectangular DOBLEMENTE ARMADA Teora de rotura

Informacin en general

Normas y clculo de deflexiones

1 SIMBOLOS

-tAl

...:. ' ...... '. '/1 (-(IIl

li ' .. ----?--~. "

-20-

DEseRIPelON

Losas macizas

Tablas y normas para cabillas de acero

Sobrecargas por carga viva

Sobrecargas vivs debida a vehculos

Cargas permanentes Pesos especficos

Cargas por sismo

SIMBOLOS

~ [J '- ""-~ -~

"-

R

~'tJ.> ry

18

DEseRIPelO

Losas nervadas

Bibliografa

Ejemplo de un proyecto

FLEXO-COMPRES ION Seccin rectangular ACERO SIMETRICO

FLEXION PURA Seccin de geometra particular USO DEL BLOOUE RECTANGULAR

Disposiciones especiales CAPITULO 18

-

-

-27- 1 SIMBOLOS DESCRIPCI SIMBOLOS

( I Datos D Ejecucin de operaciones D Valores con los cuales se entra NORMAS en una tabla o baco.

) 1 Direccin del ( Decisin flujo

CJ I

-22-1 fA (J.. fZ.:" 3>E:

A. -6.c. .. 't,u., "'~ ti') ~ b::::. ~c(.i"o ola-- l~ ~o

J2Ar' w v-r f.1V- ~ . ..:V\

.B;: l< [1 [.A lA ..... -t C2J.ce:'; ~~c ... c4j .Q./~ fJ~-o J ~ (!>[;,}'2f jv\4~c.o .-S. r.e(.-

-23-

FLEXION PURA Teora ~ ElA.sti~ Secciones Rectangulares

b ~ lo , 1 fe

Kd

Eje h Neutro jd d I /

/

As /

t / T fsp/n ~

'1 b

+

SUPOSICIONES Y CONSIDERACIONES:

a) Conservacin de las caras planas Navier) distribucin de las defor-maciones es lineal

b) El concreto no resiste esfuerzos de traccin .; c) No existe deslizamiento entre el concreto y el acero./ d) Se aplica la Ley de Hooke Las deformaciones son proporcionales a los v

esfuerzos

Kd~~. / J-d / T

fs/n

e

T

-24-

f Kd b e

2

A f s s

Porcentaje de acero A

s P = bd

Por condiciones de equilibrio: Por compatibilidad de deformaciones:

T e f f In e s

Kd d - Kd A f (f Kd b) /2

s s e f f In

e s = K 1 - K

Profundidad especfica del eje neutro

K K =

2 K = - np (np) -,r2 np

Cuanta mecnica elstica

np = 2'(1-K)

-25-

Conociendo la profundidad del eje neutro el brazo mecnico jd es:

j d = d - Kd 3

=> j - K 3

El momento resistente se puede obtener de dos formas:

f Kd b jd Kj f Por el concreto M e j d e =

e 2 2 e

f Por el acero M T jd f bd jd npj s = P = s s n

bd 2

bd 2

Cuando Me es mayor que M. se dice que la seccin es subreforzada, cuando esto es al revs, que M. es mayor que Me se dice que la seccin est sobrereforzada.

v

Cuando Me = M. = Mo se dice que tenemos un diseo ptimo y a dicho momento se le llama momento ptimo de la seccin.

Coeficientes utilizados:

Coeficiente de resistencia del concreto

Coeficiente de resistencia del acero

K = Kj /2 e

K s

npj

Como resumen, el momento ptimo resistente de una seccin ser:

M = K f bd 2 s s s

n

-26-

SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS:

Teora Clsica:

Las secciones rectangulares resultan doblemente armadas cuando el momento actuante es mayor que el ptimo. Para absorber este exceso_ del momento respecto al ptimo se colocar una pareja de aceros adicio-nales.

Comentario acerca de los aceros sometidos a compresin:

Se ha comprobado experimentalmente que el concreto en cilindros de concreto armado sometidos a compresin sufren una marcada reduc--cin de su mdulo de elasticidad Ec instantneo, bajo la influencia del tiempo. A consecuencia de st, el A.C.1. en el captulo 8.5.5. dice:

"En vigas y losas doblemente reforzadas, debe utilizarse una rela-cin efectiva de mdulos de n = 2Es/Ec para transformar el refuerzo de compresin en el clculo del esfuerzo. El esfuerzo permisible de compre-_ sin en tal refuerzo no debe ser mayor que el permisible para traccin.

El anlisis se har dividiendo la secclOn en dos etapas: una que ab-sorbe el momento ptimo y otra que absorbe el exceso, formada por la pareja de aceros adicionales.

~f d'~ fe d':t ~I'" CS Cs Ce Ce _. -g- +_. ~ "O f~i2-n-- . - "O '" ....... "O I ~M "O ~ "O I

"O T2 T T, fs In As As, AS2

-

I

-

-27-

La resultante de compresin: La resultante de traccin es:

f Kd b e = e

e 2

e = f'A s s s

El momento ptimo es:

A f (d - Kd/3) 51 s

T = A f 51 51 s

El exceso del momento es:

El valor del f. lo obtenemos por tringulos semejantes:

, K - d'/d f s=2 fs _ K

pero menor que f.

-28-

NOTAS

- >

-29-

FLEXION PURA Coeficientes Adimensionales Secciones Rectangulares

En las siguientes pginas se elaboraron las tablas y bacos con los coefi-cientes adimensionales que se presentan en las secciones rectangulares Estos son:

K Profundidad especfica del eje neutro.

Brazo mecnico espedfico.

Kc Coeficiente de Resistencia del concreto.

Ks Coeficiente de Resistencia del acero.

K Momento de inercia especfico.

np Cuantla mecnica elstica.

-30-

fsp/nfc

0.50 0.51 0.52 0.53

~ 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59

---

0.60 0.61 0.62 0.63 0.64

---

0.65 0.66 0.67 0.68 0.69

---

0.70 0.71 0.72 0.73 0.74

---

0.75 0.76 0.77 0.78 0.79

-o.so 0.81 0.81 0.83 0.84

---

0.85 0.86 0.87 0.88 0.89

.9O 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

COEFICIENTES ADIMENSIONALES DE UNA SECCION RECTANGULAR SIMPLEMENTE ARMADA

K j Kc Ks K; np f sp/nf e 1( j Kc Ks K;

0.667 0.778 0.259 0.519 0.1728 0.667 1.00 0.500 0.833 0.208 0.208 0.1042 0.662 0.779 0.258 0.506 0.1709 0.649 1.01 0.498 0.834 0.208 0.205 0.1032 0.658 0.781 0.157 0.494 0.1690 0.633 1.01 0.495 0.835 0.107 0.103 0.1013 0.654 0.781 0.156 0.481 0.1671 0.617 1.03 0.493 0.836 0.106 0.100 0.1014

~ 0.784 0.154 0.471 0.1652 0.601 1.04 0.490 0.837 0.105 0.197 0.1005 --- --- -- --

-- -----

0.645 0.785 0.153 0.460 0.1634 0.586 1.05 0.488 0.837 0.104 0.195 0.0996 0.641 0.786 0.152 0.450 0.1616 0.572 1. 06 0.485 0.838 0.103 0.191 0.0988 0.637 0.788 0.251 0.440 0.1598 0.559 1.07 0.483 0.839 0.103 0.189 0.0979 0.633 0.789 0.150 0.431 0.1580 0.546 1.08 0.481 0.840 0.101 0.187 0.0970 0.619 0.790 0.149 0.411 0.1563 0.533 1. 09 0.478 0.841 0.201 0.184 0.0961 --- --- -- ---

------ --- -- -- -- --

---

0.625 0.791 0.148 0.413 0.1546 0.511 1.10 0.476 0.841 0.100 0.181 0.0954 0.611 0.793 0.146 0.404 0.1530 0.509 1.11 0.474 0.841 0.100 0.180 0.0946 0.617 0.794 0.245 0.195 0.1513 0.498 1.11 0.472 0.843 0.199 0.177 0.0938 0.613 0.796 0.244 0.387 0.1497 0.487 1.13 0.469 0.844 0.198 0.175 0.0930 0.610 0.797 0.243 0.380 0.1481 0.476 ~ 0.467 0.844 0.197 0.173 0.0922 --- --- ---

--- ----- ---

0.606 0.798 0.242 0.372 0.1466 0.466 1.15 0.465 0.845 0.197 0.171 0.0914 0.602 0.799 0.241 0.365 0.1450 0.456 1.16 0.463 0.846 0.196 0.169 0.0906 0.599 0.800 0.140 0.358 0.1435 0.447 1.17 0.461 0.846 0.195 0.167 0.0899 0.595 0.802 0.239 0.351 0.1420 0.438 1.18 0.459 0.047 0.194 0.165 0.0891 0.592 0.803 0.238 0.344 0.1405 0.429 1.19 0.457 0.848 0.194 0.163 0.0884 ---

-----

------ --- --- -- -- -- --

---

0.588 0.804 0.236 0.338 0.1391 0.420 1.20 0.455 0.848 0.193 0.161 0.0877 0.585 0.805 0.135 0.332 0.1377 0.412 1.21 0.452 0.849 0.191 0.159 0.0869 0.581 0.806 0.234 0.326 0.1363 0.404 1. 22 0.450 0.850 0.191 0.157 0.0862 0.578 0.807 0.233 0.320 0.1349 0.396 1.13 0.448 0.851 0.191 0.155 0.0855 0.575 0.808 0.232 0.314 0.1335 0.388 1.24 0.446 ~ 0.190 0.153 0.0848 --- --- -- --- --- ---

--- -- ----

---

0.571 0.810 0.231 0.308 0.1322 0.381 1.25 0.444 0.852 0.189 0.151 0.0841 0.568 0.811 0.230 0.303 0.1308 0.374 1.26 0.442 0.853 0.189 0.150 0.0835 0.565 0.812 0.229 0.268 0.1295 0.367 1. 27 0.441 0.853 0.188 0.148 0.0828 0.562 0.813 0.228 0.193 0.1283 0.360 1.18 0.439 0.854 0.187 0.146 0.0821 0.559 0.814 0.217 0.188 0.1270 0.354 1.29 0.437 0.854 0.187 0.145 0.0815

D.556 o:BiS -- --- --- --- --- -- -- -- -- ---0.226 0.283 0.1257 0.347 1.30 0.435 0.855 0.186 0.143 0.0808 0.552 0.816 0.125 0.278 0.1245 0.341 1. 31 0.433 0.856 0.185 0.141 0.0802 0.549 0.817 0.224 0.274 0.1233 0.335 1. 32 0.431 0.856 0.185 0.140 0.0795 0.546 0.818 0.223 0.269 0.1221 0.329 1.33 0.429 0.857 0.184 0.138 0.0789 0.543 0.819 0.213 0.165 0.1209 ~ 1. 34 0.417 0.858 0.183 0.137 0.0783 ---

---

-- --

---

0.541 0.820 0.222 0.161 0.1198 0.318 1. 35 0.426 0.858 0.183 0.135 0.0777

0.538 0.821 0.221 0.257 0.1186 0.313 1. 36 0.424 0.859 0.182 0.134 0.0771

0.535 0.811 0.110 0.253 0.1175 0.307 1. 37 0.422 0.859 0.181 0.132 0.0765

0.532 0.823 0.219 0.249 0.1164 0.302 1.38 0.420 0.860 0.181 0.131 0.0759

0.529 0.824 0.218 0.245 0.1153 0.297 1. 39 0.418 0.861 0.180 0.130 0.0753 ---

--- -- --- 0.1142 --- --- -- --- --- --0.516 0.825 0.217 0.241 0.292 1.40 0.417 0.861 0.179 0.128 0.0747 0.524 0.825 0.216 0.137 0.1131 0.288 1.41 0.415 0.862 0.179 0.127 0.0742 0.511 0.826 0.215 0.234 0.1121 0.183 1.42 0.413 0.862 0.178 0.125 0.0736 0.518 0.827 0.214 0.230 0.1110 0.279 1.43 0.412 0.863 0.178 0.114 0.0731 0.515 0.818 0.113 0.127 0.1100 0.274 1.44 0.410 0.863 0.177 0.123 0.0725 --- ---

---

----- --- ---

--

0.5i3 0.829 0.213 0.224 0.1090 0.270 1.45 0.408 0.864 0.176 0.121 0.0720 0.510 0.830 0.212 0.221 0.1080 0.266 1.46 0.407. 0.864 0.176 0.110 0.0714 0.508 0.831 0.211 0.117 0.1070 0.262 1. 47 0.405 0.865 0.175 0.119 0.0709 0.505 0.832 0.210 0.214 0.1061 0.258 1.48 0.403 0.866 0.175 0.118 0.0704 0.503 0.832 0.109 0.111 0.1051 0.254 1.49 0.402 0.866 0.174 0.177 0.0698

np

0.250 0.246 0.143 0.239 0.136 --

0.131 0.219 0.116 0.113 0.119 --

0.216 0.213 0.111 0.108 0.205 0.202 0.200 0.197 0.194 0.192 --

0.189 0.187 0.185 0.181 0.180 --

0.178 0.176 0.173 0.171 0.169 --

0.16) 0.165 0.163 0.161 0.159 --

0.158 0.156 0.154 0.152 0.151 ---

0.149 0.147 0.146 0.144 0.142 ---

0.141 0.139 0.138 0.136 0.135

f sp/nf e

1.50 1. 51 1.52 1. 53 1.54 --

1. 55 1. 56 1. 57 1. 58 1.59 --

1.60 1. 61 1.62 1. 63 1.64 --

1. 65 1.66 1.67 1.68

1.69 --

1. 70 1.71 1.72 1.73 1. 74 1.75 1. 76 1.77 1. 78 1. 79 --

1.80 1.81 1.82 1.83 1.84 --

1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 --

1.90 1.91 1.92 1. 93 1.94 1. 95 1.96 1. 97 1.98 1.99

-31-

COEfiCIENTES ADIMENSIONALES DE UNA SECCION RECTANGULAR SIMPLEMENTE ARMADA

K j Kc Ks Ki np f sp/nf e K j Kc Ks Ki 0.400 0.867 0.173 0.116 0.0693 0.133 2.00 0.333 0.889 0.148 0.0741 0.0494 0.398 0.867 0.173 0.114 0.0688 0.132 2.01 0.332 0.889 0.148 0.0735 0.0491 0.397 0.868 0.172 0.113 0.0683 0.131 2.02 0.331 0.890 0.147 0.0729 0.0488 0.395 0.868 0.172 0.112 0.0678 0.129 2.03 0.330 0.890 0.147 0.0723 0.0485 0.394 0.869 0.171 0.111 0.0673 0.128 2.04 0.329 0.890 0.146 0.0718 0.0482 --- --- -- ---

-- ----- -- --

-- ---

0.0479 0.392 0.869 0.170 0.110 0.0668 0.127 2.05 0.328 0.891 0.146 0.0712 0.391 0.870 0.170 0.109 0.0664 0.125 2.06 0.327 0.891 0.146 0.0707 0.0476 0.389 0.870 0.169 0.108 0.0659 0.124 2.07 0.326 0.891 0.145 0.0701 0.0473 0.388 0.871 0.169 0.107 0.0654 0.123 2.08 0.325 0.892 0.145 0.0696 0.0470 0.386 0.871 0.168 0.106 0.0649 0.121 2.09 0.324 0.892 0.144 0.0691 0.0467 --- --- -- ---

-----

----

---

0.385 0.872 0.168 0.105 0.0645 0.120 2.10 ---0.323 0.892 0.144 0.0685 0.0464 0.383 0.872 0.167 0.104 0.0640 0.119 2.11 0.322 0.893 0.144 0.0680 0.0462 0.382 0.873 0.167 0.103 0.0636 0.118 2.12 0.321 0.893 0.143 0.0675 0.0459 0.380 0.873 0.166 0.102 0.0631 0.117 2.13 0.319 0.894 0.143 0.0670 0.0456 0.379 0.874 0.165 0.101 0.0627 0.115 2.14 0.318 0.894 0.142 0.0665 0.0453 --- ---

-- --- -- ---

-- --

-----

0.377 0.874 0.165 0..1000 0.0622 0.114 2.15 0.317 0.894 0.142 0.0660 0.0451 0.376 0.875 0.164 0.0990 0.0618 0.113 2.16 0.316 0.895 0.142 0.0655 0.0448 0.375 0.875 0.164 0.0981 0.0614 0.112 2.17 0.315 0.895 0.141 0.0650 0.0445 0.373 0.876 0.163 0.0972 0.0610 0.111 2.18 0.314 0.895 0,141 0.0646 0.0443 0.372 0.876 0.163 0.0964 0.0605 0.110 2.19 0.313 0.896 0.140 0.0641 0.0446

--- ----- ---

------

-- ---- -- ---

---

0.370 0.817 0.162 0.0955 0.0601 0.109 2.20 0.312 0.896 0.140 0.0636 0.0437 0.369 0.877 0.162 0.0946 0.0597 0.108 2.21 0.312 0.896 0.140 0.0632 0.0435 0.368 0.877 0.161 0.0938 0.0593 0.107 2.22 0.311 0.896 0.139 0.0627 0.0432 0.366 0.878 0.161 0.0929 0.0589 0.106 2.23 0.310 0.897 0.139 0.0623 0.0430 0.365 0.878 0.160 0.0921 0.0585 0.105 2.24 0.309 0.897 0.138 0.0618 0.0427

--- --- -- --- --- ----

---

0.364 0.879 0.160 0.0913 0.0581 0.104 2.25 0.308 0.897 0.138 0.0614 0.0425 0.362 0.879 0.159 0.0905 0.0577 0.103 2.26 0.307 0.898 0.138 0.0609 0.0422 0.361 0.880 0.159 0.0897 0.0573 0.102 2.27 0.306 0.898 0.137 0.0605 0.0420 0.360 0.880 0.158 0.0889 0.0569 0.101 2.28 0.305 0.898 0.137 0.0601 0.0418 0.358 0.881 0.158 0.0882 0.0566 0.100 2.29 0.304 0.899 0.137 0.0596 0.0415

--- --- -- ------ --- -- -- -- -- ---

0.357 0.881 0.157 0.0874 0.0562 0.0992 2.30 0.303 0.899 0.136 0.0592 0.0413 0.356 0.881 0.157 0.0866 0.0558 0.0983 2.31 0.302 0.899 0.136 0.0588 0.0410 0.355 0.882 0.156 0.0859 0.0554 0.0974 2.32 0.301 0.900 0.135 0.0584 0.0408 0.353 0.882 0.156 0.0852 0.0551 0.0965 2.33 0.300 0.900 0.135 0.0580 0.0406 0.352 0.883 0.155 0.0845 0.0547 0.0957

---

2.34 0.299 0.900 0.135 0.0576 0.040~ --- --- --

------

---- -- -- -----

0.351 0.883 0.155 0.0837 0.0544 0.0948 2.35 0.299 0.900 0.134 0.0572 0.0401 0.350 0.883 0.154 0.0830 0.0540 0.0940 2.36 0.298 0.901 0.134 0.0568 0.0399 0.348 0.884 0.154 0.0823 0.0537 0.0932 2.37 0.297 0.901 0.134 0.0564 0.0397 0.347 0.884 0.154 0.0817 0.0533 0.0923 2.38 0.296 0.901 0.133 0.0560 0.0394 0.346 0.885 0.153 0.0810 0.0530 0.0915 2.39 0.295 0.902 0.133 0.0556 0.0392 --- -- -- ---

------

-- -- -- -----

---

0.345 0.885 0.153 0.0803 0.0526 0.0907 2.40 0.294 0.902 0.133 0.0553 0.0390 0.344 0.885 0.152 0.0797 0.0523 0.0900 2.41 0.293 0.902 0.132 0.0549 0.0388 0.342 0.886 0.152 0.0790 0.0519 0.0892 2.42 0.292 0.903 0.132 0.0545 0.0386 0.341 0.886 0.151 0.0784 0.0516 0.0884 2.43 0.292 0.903 0.132 0.0542 0.0384 0.340 0.887 0.151 0.0777 0.0513 0.0877 2.44 0.291 0.903 0.131 0.0538 0.0382 --- -- -- ---

-- ----- -- -- -- ---

---

0.339 0.887 0.150 0.0771 0.0510 0.0869 2.45 0.290 0.903 0.131 0.0534 0.0379

0.338 0.887 0.150 0.0765 0.0506 0.0862 2.46 0.289 0.904 0.131 0.0531 0.0377 0.337 0.888 0.149 0.0759 0.0503 0.0855 2.47 0.288 0.904 0.130 0.0527 0.0375 0.336 0.888 0.149 0.0753 0.0500 0.0847 2.48 0.287 0.904 0.130 0.0524 0.0373 0.334 0.889 0.149 0.0747 0.0497 0.0840 2.49 0.287 0.904 0.130 0.0520 0.0371

np

0.0833 0.0826 0.0820 0.0813 0.0806 ---

0.0800 0.0793 0.0787 0.0780 0.0774 0.0768 0.0762 0.0756 0.0750 0.0774 ---

0.0738 0.0733 0.0727 0.0721

0.0716 ---

0,0710 0.0705 0.0699 0.0694 0.0689 ---

0.0684 0.0679 0.0674 0.0669 0.0664 0.0659 0.0654 0.0649 0.0644 0.0640 ---

0.0635 0.0631 0.0626 0.0622 0.0617 ---

0.0613 0.0608 0.0604 0.0600 0.0596 ---

0.0592

0.0587 0.0583 0.0579 0.0575

-32-

f sp/nf e

2.50 2.51 2.52 2.53 2.54 --

2.55 2.56 2.57 2.58 2.59

2.60 2.61 2.62 2.63 2.64 2.65 2.66 2.67 2.68 2.69 --

2.70 2.71 2.72

2.73 2.74 --

2.75 2.76 2.77 2.78 2.79 --

2.80 2.81 2.82 2.83 2.84 --

2.85 2.86 2.87 2.88 2.89 --

2.90 2.91 2.92 2.93 2.94 --

2.95 2.96 2.97 2.98 2.99

COEFICIENTES ADIMENSIONALES DE UNA SECCION RECTANGULAR SIMPLEMENTE ARMADA

K j Kc Ks Ki np f sp/nf e K j Kc Ks Ki 0.286 0.905 0.129 0.0517 0.0369 0.0571 3.00 0.250 0.917 0.115 0.0382 0.0286 0.285 0.905 0.129 0.0514 0.0367 0.0568 3.05 0.247 0.918 0.113 0.0371 0.0280 0.284 0.905 0.129 0.0510 0.0365 0.0564 3.10 0.244 0.919 0.112 0.0361 0.0273 0.283 0.906 0.128 0.0507 0.0363 0.0560 3.15 0.241 0.920 0.111 0.0352 0.0267 0.282 0.906 0.128 0.0504 0.0362 0.0556 3.20 0.238 0.921 0.110 0.0342 0.0261

-- --- ------

-- -- -- -- -- ---0.282 0.906 0.128 0.0500 0.0359 0.0552 3.25 0.235 0.922 0.108 0.0334 0.0255 0.281 0.906 0.127 0.0497 0.0358 0.0549 3.30 0.233 0.922 0.107 0.0325 0.0249 0.280 0.907 0.127 0.0494 0.0356 0.0545 3.35 0.230 0.923 0.106 0.0317 0.0244 0.279 0.907 0.127 0.0491 0.0354 0.0541 3.40 0.227 0.924 0.105 0.0309 0.0239 0.279 0.907 0.126 0.0488 0.0352 0.0538 3.45 0.225 0.925 0.104 0.0301 0.0234 0.278 -- --

------

----- -- --- -- ---0.907 0.126 0.0485 0.0350 0.0534 3.50 0.222 0.926 0.103 0.0294 0.0229

0.277 0.908 0.126 0.0482 0.0348 0.0531 3.55 0.220 0.927 0.102 0.0287 0.0224 0.276 0.908 0.125 0.0479 0.0346 0.0527 3.60 0.217 0.928 0.101 0.0280 0.0219 0.275 0.908 0.125 0.0476 0.0345 0.0524 3.65 0.215 0.928 0.100 0.0273 0.0215 0.275 0.908 0.125 0.0473 0.0343 0.0520 3.70 0.213 0.929 0.099 0.0267 0.0210

-- --- ---

-- -- ----

---0.274 0.909 0.124 0.0470 0.0341 0.0517 3.75 0.210 0.930 0.098 0.0261 0.0206 0.273 0.909 0.124 0.0467 0.0339 0.0514 3.80 0.208 0.931 0.097 0.0255 0.0202 0.272 0.909 0.124 0.0464 0.0338 0.0510 3.85 0.206 0.931 0.096 0.0249 0.0198 0.272 0.909 0.124 0.0461 0.0336 0.0507 3.90 0.204 0.932 0.095 0.0244 0.0194 0.271 0.910 0.123 0.0458 0.0334 0.0504 3.95 0.202 0.933 0.094 0.0239 0.0190 -- -- -- ---

------

-- --

-----

---0.270 0.910 0.123 0.0455 0.0332 0.0501 4.00 0.200 0.933 0.093 0.0233 0.0187 0.270 0.910 0.123 0.0453 0.0331 0.0497 4.05 0.198 0.934 0.092 0.0228 0.0183 0.269 0.910 0.122 0.0450 0.0329 0.0494 4.10 0.196 0.935 0.092 0.0223 0.0180 0.268 0.911 0.122 0.0447 0.0327 0.0491 4.15 0.194 0.935 0.091 0.0219 0.0176 0.267 0.911 0.122 0.0444 0.0326 0.0488 4.20 0.192 0.936 0.090 0.0214 0.0173 -- -- ---

---

--- -- -- -- -----

---

0.267 0.911 0.121 0.0442 0.0324 0.0485 4.25 0.190 0.937 0.089 0.0210 0.0170 0.266 0.911 0.121 0.0439 0.0322 0.0482 4.30 0.189 0.937 0.088 0.0206 0.0167 0.265 0.912 0.121 0.0436 0.0321 0.0479 4.35 0.187 0.938 0.088 0.0201 0.0164 0.265 0.912 0.121 0.0434 0.0319 0.0476 4.40 0.185 0.938 0.087 0.0197 0.0161 0.264 0.912 0.120 0.0431 0.0317 0.0473 4.45 0.183 0.939 0.086 0.0194 0.0158

-- -- ----

---- --

--- ---0.263 0.912 0.120 0.0429 0.0316 0.0470 4.50 0.182 0.939 0.085 0.0190 0.0155 0.262 0.913 0.120 0.0426 0.0314 0.0467 4.55 0.180 0.940 0.085 0.0186 0.0153 0.262 0.913 0.119 0.0424 0.0313 0.0464 4.60 0.179 0.940 0.084 0.0183 0.0150 0.261 0.913 0.119 0.0421 0.0311 0.0461 4.65 0.177 0.941 0.083 0.0179 0.0147 0.260 0.913 0.119 0.0419 0.0310 0.0458 4.70 0.175 0.942 0.083 0.0176 0.0145 -- -- -- --

---

----- -- -- --

-----

0.260 0.913 0.119 0.0416 0.0308 0.0456 4.75 0.174 0.942 0.082 0.0172 0.0142 0.259 0.914 0.118 0.0414 0.0307 0.0453 4.80 0.172 0.943 0.081 0.0169 0.0140 0.258 0.914 0.118 0.0411 0.0305 0.0450 4.85 0.171 0.943 0.081 0.0166 0.0138 0.258 0.914 O.l1S 0.0409 0.0304 0.0447 4.90 0.169 0.944 0.080 0.0163 0.0136 0.257 0.914 0.118 0.0407 0.0302 0.0445 4.95 0.168 0.944 0.079 0.0160 0.0133

-- -- -- --- ----- -- -- -- -

0.256 0.915 0.117 0.0404 0.0301 0.0442 5.00 ---

0.167 0.944 0.079 0.0157 0.0131 0.256 0.915 0.117 0.0402 0.0299 0.0439 5.50 0.154 0.949 0.073 0.0133 0.0112 0.255 0.915 0.117 0.0400 0.0298 0.0437 6.00 0.143 0.952 0.068 0.0113 0.0097 0.254 0.915 0.116 0.0397 0.0296 0.0434 6.50 0.133 0.956 0.064 0.0098 0.0085 0.254 0.915 0.116 0.0395 0.0295 0.0432 7.00 0.125 0.958 0.060 0.0086 0.0075 -- -- -- --- --- ---

-- -- -- ----

---0.253 0.916 0.116 0.0393 0.0293 0.D429 7.50 0.118 0.961 0.057 0.0075 0.0066 0.253 0.916 0.116 0.0391 0.0292 0.0427 8.00 0.111 0.963 0.053 0.0067 0.0059 0.252 0.916 0.115 0.0388 0.0291 0.0424 8.50 0.105 0.965 0.051 0.0060 0.0053 0.251 0.916 0.115 0.0386 0.0289 0.0422 9.00 0.100 0.967 0.048 0.0054 0.0048 0.251 0.916 0.115 0.0384 0.0288 0.0419 10.00 0.091 0.970 0.044 0.0044 0.0040

np -

0.0417 0.0405 0.0393 0.0382

-0.0372 ---

0.0362 0.0352 0.0343 0.0334 -0.0326 0.0317 0.0310 0.0302 0.0295

-

0.0288 ---

0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 I 0.0256 ---

0.0250 0.0244 0.0239 !

O"T 0.0228 0.0224 0.0219 0.0215

0.0210 r 0.0206 0.0202 I 0.0198 0.0194 r 0.0190 0.0187 ---

0.0183 0.0180 0.0176 r 0.0173 0.0170 ---

0.0167 0.0140 0.0119 r 0.0103 0.0089 ---

0.0078 0.0069 0.0062 r 0.0056 0.0045

-33-

NOTAS

-34-

NOTAS

-35-

FLEXION PURA Teora Clasica Secciones 11 Te 11

b 1. ~ fe

Kdr .. / fee

-t Neutro I /

h d ( jd I I

/ As / I

I T fsp In

~ --~

Tomando en cuenta las mismas consideraciones como en las seccio-nes rectangulares obtendremos de la compatibilidad de deformaciones la posicin del eje neutro, la cual no depende de la forma de la seccin.

-36-

Haciendo el anlisis correspondiente obtenemos por simple trigono-metra que

fe fee Kd = Kd - t =>

La resultante de traccin es:

T =

La resultante de compresin:

f + f e e ee bt = = 2

Por compatibilidad de deformaciones

f e

K = f In

s T=l<

pbd f = s

f = ee

A f s s

f bt e 2Kd

Kd - t fe Kd

(2Kd - t)

Por condicin de equilibrio

T =

A f s s

t (K - -) 2d

e

f bt e (2Kd-t) 2Kd

-37-

FLEXION PURA Coeficientes Adimensionales Secciones liTe 11

Profundidad especfica del eje neutro

Profundidad del centro de compresin

Brazo mecnico especfico

Cuanta mecnica -elstica

Coeficiente de resistencia del concreto

Coeficiente de resistencia del acero

K = ----(1 + fsp/nfc)

- 2 K = _2--,np_+_{ t/_d_) __

2 (t/d) + 2np

c = -t [ 3-K- 2-t/d j

3 (2K - t/d)

= , _ e d

K - -tt/d K .j. t/d

K. = np j

-38-

fsp t/d= .10 ~ /d ;= 1 ~, . ... --

nfc K Ks Kc j np Ks Kc j np

,30 .769 .296 .08'3 '351 .312 .347 .104 .942 .369 .40 .714 .221 .1388 .951 .233 .259 .104 .942 .275 .5(1 .667 .176 .088 .951 .185 .2136 .1133 .942 .218 .60 .625 .146 .1388 .951 .153 .170 .1132 .942

181 ~70 .588 .124 . (187 .952

131 .145 .102 .942 .154 . ::: 0 .556 .108 .1387 '352 114 126 1131 .942 .134 ,'30 .. 526 .0% .1386 .952

101 111 lee .943 118 1..(10 .5(1(1 .(186 .1386 .952 .1390 1 (10 HJ0 .94:3 1 (16 1. 1 (1 .476 .077 .(185 .952

(181 .13'3(1 .099 .'343 .1395 1. 213 .455 .071 .085 .952 .074 ):32 .098 . '3143 .087 1.3(1 .435 .1365 .1384 .952 .068 .075 O';8 .943 .080 1. 4(1 .417 .136(1 .1384 .952 .063 .1369 .097 .943 .073 1. 50 .4130 . ('156 .083 .952 .(158 .064 .(196 .944 .1368 1 . 6(1 .385 .1352 .(183 .952 .1354 .(16(1 .1396 .944 .063 1. 7(1 .370 .048 .082 .953 .051 .056 )'35 .944 .059 1 . :3~1 .357 .046 .a82 .953 .048 .052 .094 .944 .055 1. 90 :345 .043 .081 .953 .045 .1349 .1394 .944 .(152 2.\:10 ~~ .... .. . ;.,.;. . .;, .134(1 .081 '353 .042 .046 .093 .944 .049 2.10 :323 .038 .081 .953 .040 .(144 .(192 .945 .(147 2 .. 2~3 .313 .036 .13813 .953 .1338 .042 .1392 .945 .1344 2.313 .3133 .035 .0813 .953 .036 .040 .1391 .945 .1342 2.40 .294 .033 .1379 .953 .035 .038 .1390 .945 .1

-39-

TABLAS PARA EL CALCULO DE SECC10NES TE

f$.p t/d= .14 t /d = 16 --

nf.: K Ks Kc j np Ks Kc j t1tl

.40 .714 .294 118 .933 .316 .328 131 .923 .355

.513 .667 .234 117 .933 .251 .260 .130 .924 .282

.613 .625 .193 116 .933 .207 .215 .129 .924 .233

.70 .588 .164 115 .933 .176 .183 .128 .924 197 a80 .556 .143 114 .933 .153 .158 .127 .924 171 .90 .526 .126 113 .9:34 .135 .139 .125 .925 151

1. 00 .500 . 112 112 .9:34 .120 .124 .124 .925 .1:34 1. 10 .476 . 101

112 .934 .109 112 .123, .925 121 1. 20 .455 .092 111 .9:34 .099 .102 .122 .926 110 1. 30 .435 .084 110 .934 .090 .0'33 .121 .926 .100 1. 40 .417 .078 .109 .935 .083 .086 .120 .926 .092 1.50 .400 .072 .108 .935 .077 .079 119 .927 .0135 1 . 613 .385 .067 .107 .935 .072 .1373 117 .927 .1379 1. 70 .370 .062 .106 .935 .067 .068 116 .927 .074 1. 80 .357 .059 .105 .936 .063 .064 115 .928 .06', 1. 90 .345 .055 .104 .936 .059 .060 114 .928 .065 2.1313 .333 .052 .104 .936 .055 .056 113 .928 .061

-2.10 .323 .049 .103 .936 .052 .053 112 .929 .057 2.213 .313 .046 .102 .937 .049 .050 111 .929 .054 2.30 .303 .044 101 .937 .047 .048 .109 .930 .051 2.413 .294 .042 .100 .937 .044 .045 .108 .930 .049 2.50 .286 .040 .099 .938 .042 .043 .107 .930 .046 2.60 .278 .03.8 .098 .938 .040 .041 .106 .931 .044 2.70 .270 .03':> .09'7 .938 .038 .039 .105 .931 .042 2.80 .263 .034 .096 .938 .037 .037 .104 .932 .040 2. '30 .256 .033 .096 .939 .035 .0:35 .103 .932 .038 3. (10 .250 .032 .095 .939 .034 .034 101 .933 .036 3.10 .244 .030 .094 .939 .032 .032 .100 .933 .035 3.20 .238 .029 .093 .940 .031 .031 .099 .933 .03:3 :3.30 .233 .028 .092 .940 .030 .030 .098 .934 .032 3.40 .227 .027 .091 .940 .028 .028 .097 .934 .030 3. 5~3 .222 .026 .090 .941 .027- .027 .096 .935 .029 3.613 .217 .025 .089 .941 .026 .026 .095 .936 .028 3. 7~) .213 .024 .088 .941 .025 .025 .093 .936 .027 3.80 .208 .023 .088 .942 .024 .024 .092 .937 .026 3.90 .204 .022 .087 .942 .024 .023 .091 .937 .025 4.(1(1 .200 .(121 .086 .943 .023 .023 .090 .938 .024 4. 1 (1 .196 .(121 .085 .943 .022 .022 .089 .938 .023 4.2(1 .192 .020 .084 .943 .(121 .021 .088 .939 .022 4.30 .189 .019 .083 .944 .020 .020 .087 .940 .021 4.40 .185 .019 .082 .944 .020 .019 .085 .940 .021 4.50 .182 .018 .081 .945 .019 .019 .1384 .941 .020 4.60 .179 .017 .080 .945 .019 .018 (183 .942 .019 4.70 .175 .017 .080 .945 .018 .017 .082 .942 .019 4.80 .172 .016 .079 .946 .017 .017 .081 .943 .018 4.90 .169 .016 .078 .946 .017 .016 .080 .944 .017 5.00 .167 .1315 .1377 .947 .016 .016 .079 .945 .017

-40-

TABLAS PARA EL CALCULO DE SECC10NES TE

f$p t .{d= . 18 t/d ., .20 -

nfc K Ks Kc j nI' Ks Kc j r.p

.40 .714 :;:60 .144 .914 .393 .389 .156 .905 .430

. 5~3 .667 .285 142 .915 311 .308 .154 .906 .340

.60 .625 .235 141 .915 ."257 ~ 254 152 .906 .280

.70 .58B .1'39 .140 .915 .218 .215 151 .907 .237

.80 .556 173 .138 .916 18', .186 14', .907 .205

.9(1 .526 .152 .137 .916 .166 .163 .147 .908 .180 1. 00 .500

135 .135 .917 .148 .145 .145 .908 .160 1. 10 .476 .122 .134 .917 1 :3:3

131 144 . ',09 . 144 1.2(1 .455 .-110 .132 .917 .120

118 .142 .909 .130 1.3('1 .435

1 l 131 .918 110 .108 14 .910 . 118 1.40 .417 ~3'5'3 130 .918 .101 .99 138 .911 .109

1~5 .400 .085 .128 .919 .093 .0',1 .137 .911 .100 1.6(1 .385 .079 .127 .919 .086 .84 1 :35 .912 .93 1. 70 :370 .(174 .125 .92 .08(1 .078 .133 .912 .86 1 . :3(1 :;:57 .069 .124 .920. .75 .073

131 .913 .80 1. 90 .345 .064 .122 .921 .07 .068 .130 .914 .075 2. .333 .61

121 .921 .066 .64 .128 .914 .70 2. l :323 .057 .120 .922 .62 6, .126 .915 .0.66 2.20 .31:3 .05,4

118 .922 .058 .057 .125 .916 .062 2.30 .303 .051

117 .923 .055 .53 .123 .916 .058 2.4 .294 .0.48 115 .923 .052 .05 121 .917 .55 2.50 .286 .046 114 .924 .049 .048 119 .918 .052 2.60 .278 .043

112 .924 .047 .045 118 .919 .049 2. 7~3 .270 .041

111 .925 .044 .043 .116 .920 .047 2. :=:0 .263 .03',

110 .~26 .042 .041 114 .920 .044 2.90 .256 .037 .108 .926 .040 .039 .112 .921 .042 3.00 .250 .036 .107 .927 .038 .037

111 .922 .040 3.10 .244 .034 .105 .928 .037 .035 .109 .923 .038 3.20 .238 .032 .104 .928 .035 .034 .107 .924 .036 3.3(1 .233 .031 .102 .929 .033 0"~'

",.. 165 .925 .035 3.40 .227 .630

101 .930 .032 .031 .104 . 926 .033 3.50 .222 .028 .100 .936 .031 .629 .102 .927 .031 :3. 6~J .217 ~327 .698 .931 .029 .028 .100 .928 .03(1 ::::. 7~J .213 .026 .097 .932 .028 .027 .099 .9:30 .029 :;:.8121 .208 (125 .095 .93:3 .027 .12125 .097 .9:31 .027 :3.90 .204 .024 .094 .934 .026 .624 .695 .932 .026 4.00 .200 ~323 .693 .935 .625 4. 10 .196 .622 .691 .935 .024 4.26 .192 .021 .696 .936 .023 4.30 .189 .621 .088 .9:37 0'-)-")

-41-

TABLAS PARA EL CALCULO DE SECClONES TE

f'~"p t,/d= .22 t /d = .24 -

t"lfc K Ks Kc .j np f(s f(c .j np

.5121 .667 .:33121 .165 .897 .367 .35121 .175 .889 .394 6~) .625 .271 163 .898 :302 .287 172 .89121 . :32:3 7~3 .588 .23121 . 161 .8'38 .256 .24-3 .17121 .89121 .273 :::121 .556 .198 .159 .899 .221 .21121 .168 .891 .235 .9121 .526 .174 15.7 .9121121 .193 184 165 .892 .21216

1.00 .5121121 .154 154 .913121 .172 163 163 .893 .182 1. 10 .476 139 152 .91211 .154 146 160 .893 .163 1. 20 .455 .125 .1513 .91212 139 .132 .158 .894 147 1.30 .435 114 148 .902 126 120 156 .895 134 1. 40 .417 11214 146

9~33 116 11219 .153 .896 122 1.50 .400 .0% .144 .91214 11216 .100 151 .8',7 112 1.6(1 .3:::5 .089 142 .905 .12198 .093 148 .898 .103 1 . 7~) .370 .12182 14121 .905 .091 .086 146 .8'39 .095 1 . ::: (1 ~:57 ~377 .138 '306 .085 .080 14:3 9~)0 .1218'3 1. '30

:345 .072 136 .907 .079 .074 141 .901 ~)82 2. ~30 :333 .067 134 .91218 .074 .069 13'3 .903 .077 2. 10 .32:3 .063 .132 .909 .12169 .12165 .136 .91214 .(172 2.20 :;: 13 .059 .130 .91(1 .065 .061 .134 '~(15 .(167 2.30 .3(13 .056 .128 .911 ~%1 .057 131 .906 .06~ 2.40 .234 .052 .126 .312 .057 .054 .123 3~J8

) .05'3

2.50 .286 .049 .124 .913 .054 .12151 .127 .9(19 .056 2, 6~3 .278' .047 121 .914 .051 ~348 124 .91(1 .052 2.70 .270 .044 119 .915 .048

~H5 122 .912 .049 2. :::~) .263 .(142 117 .916 .046

~H3 119 .914 .(147 2. 9~) .256 .040 115 .918 .043 .040 117 .915 .044 3.00 25~) .038 113 .919 .041 .038 114 .917 .042 ":. '-' .

1 (1 .244 .036 111 .920 .03'3 .036 112 .919 .03'3 3.20 .238 .034 .109 .921 .037 3.3(1 .233 .12132 .107 '323 ~335 3.4(1 .227 .031 1(15 .924 .12133 :3. ~5(1 .222 .12129 un .926 .12132

-42-

TABLAS PARA EL CALCULO DE SECC10NES TE

fsp t, /d= .26 t /d = .28 -- r--nfe K Ks Kc j np Ks Ke j np

.60 .625 .302 181 .881 .343 :316 .190 .873 .362

.70 .588 .255 17'3 .882 .289 .267 .187 .875 .305

.:'Hl .556 .220 .176 .883 .249 .229 .183 .876 .262

. '36 .526 .192 .173 .884 .218 .200 .180 .877 .228 1.00 .500 .170 .170 .885 .192 .177 .177 .878 .202 1. 10 .476 152 .168 .886 .172 .158 .174 .879 .180 1. 26 .455 .137 .165 .887 .155 .142 171 .881 161 1.30 .435 .125 .152 .888 .140 .129 .167 .882 .146 1 . 4~) .417

114 .159 .890 .128 117 .164 .8.84 .133 1. 56 .400 .104 .156 .891

117 .107 161 .885 121 1. 60 .385 .096

154 .892 108 .099 .158 .887 111 1. 70 .370 .089

151 .893 .099 .091 .155 .B88 .102 1.80 'OC".., . ;)._1 ( .082 .148 .895 .092 .084 .152 .890 .095 1.9,0 .345 .076 .145 .896 .085 .078 .148 .892 .088 2.00 .:333 .071 .142 .898 .079 .073 .145 .894 .081 2.10 .-,.-.. '':1 . .;)':'--' .066 .140 .899 .074 .068 .142 .896 .075 2.20 .313 .062 .137 .901 .069 .063 .139 .898 .070 2. :3~3 .303 .058 .134 .903 .065 .059

1:36 .900 .065 2.40 .2'514 .055 131 .904 .060 .055 .132 .902 .061 2.50 .286 .12151 .128 .906 .057 .052 .129 .905 .057 2.60 .278 .048 .126 .908 .053 2.70 .270 .045 .123 .910 .050 2.80 .,263 .04:3 .120 .912 .047

fs,p t/d= .30 t /d = .32 --

nfe K Ks Kc j np Ks Kc j np .60 .625 .329 .197 .866 .380 .341 .204 .858 .3'37 .70 .588 .277 .194 .867 .319 .286 .200 .860 .333 .80 .556 .238 .190 .868 .274 .245 .196 .862 .285 . 90 .526 .207 .187 .870 .238 .214 .192 .863 .247

1 . ~) O .500 .183 .183 .871 .210 .188 .188 .865 .218 1. 10 .476 .163 .179 .873 .187 .167 .184 .867 .193 1,20 .455 .147 .176 .875 .168 .150 .180 .869 17:3 1.3(1 .435

132 .172 .876 151 136 176 .871 156 1.40 .4 i 7 .120 .169 .878 .137 .123 .172 .873

141 1. 50 .400 110 .165 .880 .125 112 .168 .876 .128 1.60 .385

101 161 .882 114 .103 .164 .878 117 1. 70 .370 .093 .158 .884 .105 .094 .160 .881 .107 1 . 8~3 .357 .086 .154 .886 .097 .087 .156 .883 .098 1. '30 .345 .079 151 .888 .0.89 .080 .152 .886 .1390 2.00 .333 .073 .147 .891 .082 .074 .148 .889 .083 2. 16 .32:3 .068 .143 .893 .076 .069 .144 .892 .077 2.2f1 .313 .064 .140 .896 .071 2. :30 .303 .059 .136 .899 .066

-43-

TABLAS PARA EL CALCULO DE SECC10NES TE

fsp t/d= .34 t /d :: .36 --

nfl: K Ks Kc j np Ks K'c j np

.70 .588 .295 .286 .853 :345 .302 .2[11 .846 .357

.:::0 .556 .252 .282 .855 .295 .258 .237 .849 .304

.9>3 .526 .219 .197 .857 .256 .224 .202 .851 .263 1.0(1 .500 .193 .193 .859 .224 .197 .197 .854 .2310 1. 10 .476

171 .188 .861 199 174 .1n .856 .204 1. 20 .455 .153 .184 .864 .177

156 .187 .859 181 1.3(1 .435 .138 .179 .866 .159 .140 .182 .862 .162 1. 40 .417

125 .175 .869 144 .126 .177 .866 .146 1. 50 .400

114 .170 .872 .130 115 .172 .869 .132 1. 60 .385

104 .166 .875 119 .104 .167 .873 120 1. 70 .370 .095 .162 .878

108 .095 .162 .877 .109 1.80 .357 .087 .157 .881 .899 1. 90 .345 .080 .153 .885 .091

fsp t,/d= .38 t/d = .40 --

nf'c K Ks Ko: j np Ks Ko: j np

.70 .588 :309 .216 .840 :368 .315 .220 .834 M :377

. 8(1 .556 .263 .211 .843 .313 .268 .214 .838 .320

.90 .526 .228 .205 .846 .270 .232 .209 .841 .276 1. (10 .500 .200 .200 .849 .236 .203 .203 .844 .240 1. 10 .476 .177 .195 .852 .208 .179 .197 .848 211 1. 20 .455

158 .189 .855 .184 .159 191 .852 187 1.:3(1 .435

141 .184 .859 .165 .142 .185 .857 166 1.413 .417 .127 .178 .863

148 128 .179 .862 .149 1. 50 .400

115 .173 .867 133 1. 60 .385 .185 .168 .872 .120

fsp t,/d= .42 t /d .44

nf'c K Ks Ko: j np Ks Kc j np

.70 .58:3 .320 .224 .829 .:386 .324 2'~"" "- . .824 3'33

. :30 .556 . 272 . 217 .83:3 .327 .275 .220 .828 .332

.90 .526 .235 .211 .836 .280 .237 .213 .833 .285 1. 0 .508 .205 .205 .841 .244 .206 .206 .838 .246 1. 10 .476 .180 198 .845 .213

181 .20(1 .843 .215 1.20 .455 16(1 192 .850 .188 161

1 '33 .849 189 1. :30 .435 143 .186 .855

167

-44-

TABLAS PARA EL CALCULO DE SECC10NES TE

f~,p t, /d= .46 t/d = .48 --

nfc K K:s Kc j np K:s Kt j np

:3~) .556 .278 .222 .824 .3:37 .280 .224 .821 .341 .90 .526 .239 .215 .:330 .288 .240 .216 .827 .290

1'.00 .500 :207 .207 .835 .24:3 .208 .208 .834 .250 1. 10 .476 .182 .200 .842 .216

f~,p t/d= .50 t /d .52

nfc K I

-45-

REVISION DE SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS Descripcin del diagrama del flujo:

DATOS:

Como se trata de la revlslon de una seccin, se conocen las carac-tersticas geomtricas de la misma; o sea:

A. Cantidad de acero sometido a traccin. b Ancho de la cara sometida a compresin. d Altura til de la seccin. t Para las secciones Te el espesor del ala.

Las caractersticas de los materiales, tales como: f'o Resistencia mxima del concreto a los 28 das. f.p El esfuerzo permisible del acero. n El coeficiente de equivalencia.

Por ltimo se conocen las cargas de servicio a las cuales va a trabajar, a partir de las cuales se obtiene el momento actuante M.

PROCEDIMIENTO:

Se calcula la cuanta mecanlca elstica np, con este valor SEl _entra en las tablas para secciones rectangulares simplemente armada~, P~i- _~ .:J.O obteniendo los valores de la profundidad especfica del eje neutro, brazo mecnico y los coeficientes de resistencia. Si se trata de una seccin Te es necesario verificar si trabaja como Te o como rectangular, comparando la profundidad del eje neutro con el espesor del ala, si dicha profundidad es menor la seccin trabaja como rectangular; si es mayor trabajar cO~~'B Te y se procede a entrar en los bacos para secciones Te, Pg. 50, con j los valores de np y de tjd, para conseguir su correspondiente brazo me-cnico y los coeficientes de resistencia.

Con los coeficientes respectivos y con las frmulas adecuadas para cada caso se obtienen los esfuerzos a los cuales estri trabajando los materiales, comparando si stos son menores que los permisibles se de-termina si la seccin resiste o no. En caso de que la seccin resista, se calculan los momentos resistentes del acero y del concreto, segn cul de ls dos sea mayor la seccin es subreforzada o sobrereforzada.

-46-

REVISION SECCIONES SIMPLEMI;NTE ARMADAS

r~---- Tabla np D > K, j, Ke,K. Esfuerzo en el concreto

M fe = K .b.d2

e

Esfuerzo en el acero

f. = n f ~

e K

M f. =---As'j d

NORM

[ Seccin

Teora Clsica

No

Seccion Te

Tobla "-np~

O

np Tabla t/d ""i::P K, j, Kc ' K.

Esfuerzo en el acero M

f5 = -:-A-5.~j--:d'-

Esfuerzo en el concreto K . fs

fe = n.(l-K)

sobrereforzada

"""'\

,. i \

t ~ i

-

-I

T ! -

~

-

1" -~

-, I

\

-.

-

1 D.

-47-

RODOLFO OSERS Fh,jll~fl9m9s ~9P9 el crilCl!lo ele (Jllilcpeto Api1is(lo ~ 1-_-"l"'-l:-V-'SI-O-I.>--~-E-(}-JJ.-'A-.s-~-e.C-'-O-IJ-:-'-:-'-(E-e--:"'-.:s-,,,,,,,-A-E-H.-~-lJ-r.-i!!-/l.-',e-N.-'/I-/)-~-. -f bI

It 4:O c. "'"' ," 1

I bl I~~ ~ " 4i/" ~ -'

~ '1 ~

..30c."

, }I:1''' = :ZO.,zS' c.~.

K,,, el ... O.2QQ" jo = 11.%ct.

J{,,, d ~ 11.% c.m. > t ('10)

LOA) ?tI' = rJ. 0633 Y = ~ " d 40

C,

-48-

-

DISEO DE SECCIONES Te Y RECTANGULARES Descripcin del diagrama de flujo:

DATOS:

Como se trata de un diseo, se conoce el momento seccin que va a ser diseada:

Las caractersticas de los materiales, tales como: L Resistencia mxima del concreto a los 28 das. fe El esfuerzo permisible del concreto. 0.45 f'e fsp El esfuerzo permisible del acero. n El coeficiente de equivalencia.

Caractersticas geomtricas de la seccin: b Ancho de la seccin. d Altura til de la seccin. Puede no conocerse d' Recubrimiento de las barras en compresin.

Para las secciones Te: t El espesor del ala b' El ancho del nervio.

PROCEDIMIENTO:

actuante en la

L..

!

-

Se determina el valor de fsp/nfe y se entra en las tablas para secciones 1 rectangulares simplemente armadas, Pg. 47, para obtener los valores de i la profundidad especfica del eje neutro K, el coeficiente de resistencia \... del concreto Ke y el brazo mecnico especfico j. Si la altura til es desco-nocida se calcula sta como si la seccin fuera simplemente armada y I el momento actuante sea el momento ptimo de la seccin, luego esta L. altura debe ser redondeada. A continuacin si se trata de una seccin Te es necesario verificar si trabaja como Te o como rectangular, comparando la profundidad del eje neutro con el espesor del ala, si dicha profundidad L. es menor, la seccin trabaja como rectangular; de lo contrario trabajar como Te y se procede a entrar en los bacos para secciones Te, Pg. 50, i con los valores de fsp/nfe y de t/d, para conseguir su respectivo brazo .

I

mecnico y los coeficientes de resistencia.

Con los coeficientes respectivos se calcula el momento resistente I ptimo de la seccin Mo , y en funcin de ste se determinar si debe ser doblemente armada.

-49-

Si el momento actuante en la seccin es menor que el ptimo, la seccin ser simplemente armada, entonces se calcular el acero a trac-cin con las frmulas correspondientes, siempre verificando que sea mayor que el mnimo permisible por normas. Si se desea ser ms preciso como se est calculando el acero para absorber el momento ptimo, se puede obtener el valor del coeficiente de resistencia del acero K. para el momento actuante y con este trmino entrar en las tablas para secciones Te o rectangulares, segn el caso, y leer el valor del brazo mecnico j respectivo, con este trmino se obtiene la cantidad de acero.

Si el momento actuante es mayor que el ptimo, la seccin ser doblemente armada. Para ello se calcula la cantidad de acero necesaria para absorber el momento ptimo, el exceso de momento ser absorbido por una pareja de aceros adicionales, cumpliendo siempre el requisito por norma, que el acero a compresin est trabajando a un esfuerzo per-misible menor o igual al de acero a traccin Luego se distribuye el acero.

-50-

DISEO TEORIA CLASICA

(Seccin simplemente armada 1 .----'----!

'--

L

,

K, Ke , jo

,..----===,., ;

No

f;p n' fe tld

COMO r.

Tabla) U Kc, jo

(Seccin doblemente armada)

L

L

D.

-51-

RODOLFO OSERS

,-------, -'

~fQ""'IH/EPT05 .

f~ e 210. K/c-;J. -fre 28n,z

15

1'100 ,t:/c:-df; = o. q1 9/f 5 Cm-" < /5

])E LA TA8I-A' re ~ 0..:/0.'1 J = 0..23Z

Ur/L: K. : 0.50:;

d '"

/vi 11 te ,fe x b =? d~ 5.

I

i

D.

-52-

RODOLFO OSERS

,..----, -'

HA'rEZO,LES -r0&~"'b7E ,q.e"",IJ~",.

#05, = #.50 = &0

1i5.t= H- H -fs (d - d')

I//IIA) < .i!!.. x b. d = Jy

1)5 = 115, 4 Jl5~

5x.;.cc/o(} DEO

l/s = 5'1.-/f C~

~ :: 13. ()/{ cnt

1M. lA. "CALCULO:

(25 _ "16.:33).105 1-roo (5J..5 - 5 )

.0 . .503 -

i -

....i.!L < 30~ 5.1.5: :(n c-,."Z < Il~ .2~1J()

%.1.5, = 0.503

~ .26./0 +- 13.0-'1 =' 3'1 . .f/f ci

.;."" 1f2#Rj)V7Z4 :

-) ? f 1" :: '/17.51; c??t ':> 51.3/4-"'= 14. ,(:5 cl

I REVISION: 1 REFERENCIA: I

PAG:

60c7IC-

1/1.

-53-

DIMENSIONADO PARA EL DISEO OPTIMO

,

Conocida la cuanta de acero en compresin

fsp f~ , n M, p', (b), (d)

flll n fe

Tabla :> D Ke

Se supone una cierta relacion d'/d tal que:

, - fIP/(2 'n' fe) (1

D.

RODOLFO OSERS

,------, --'..-

-54-

Hat"r-;ale:. f.,p ~A 400 kc::, jc",l. +0 ~ ~ ... 5 K';\/cm 2 h ~ AS

P' = ,170

\< = o. 50~ Kc.. ;:::. O. '10'3

j ~ os"3Z

. A - +"".1>L( 2. "le) o:

D.

-55-

RODOLFO OSERS " .

-:PIIfECSJIU)I1",/lidTO -IIU A'h JISG;~ P7TPI"

-56-

DIMENSIONADO PARA EL DISEAO OPTIMO Conocida la relacin entre el acero a compresin y a traccin

e fap, fe I n M, PLP I b ~r

~ Tabla ~ Kel j n . fe O i

Se supone una cie.rta relacion d/d tal que;

~ < 1 -fiP /(2nfe} d 1 +fsp/(nfc}

para que f~ = fsp ~

Ro = Ke' fe

..

d= / M/b Ro [1 + L. (' - d'/ d )]

p. J 1 - p'/p

~ Chequear que se cumplo la relacion d/,d, si no repetir el ciclo.

+ Ro . b d As = f sp' j . (1 - pI p )

1 A~ = (p'/p). As

~

--

---- I I I I I I I I I I I I I I I I I I

____ .J

D.

RODOLFO OSERS

L ~o e...., Ir >( ,

filo!' =- 1.'100 n.fe i'5 "I4'=>

~ el < 0 . .2 S 5

del

'R.- kc.re

Clculo de la

d. - M/b

C\colo

-57-.-

MQteriC\\es tsp * -i. 'loo k",/cm"

n = 1.'5

::

di _ =-"7 d - O.{

M - 215 T t'r)

k., O.20ca ~ _ 0.832

~ HOO/c2.-iS~45) i. + -1./'OO!@.6'940)

.. 15:2. Hi cm

el = '3:1. s .. ..., 1-_ 'i'. s....., h. '0 c,"

Af> = 'R. b el '-tofO H 1. - 't /1')

-i 591 3A' i~.25 C".,C

CALCULO: REVISION: REFERENCIA:

-58-

DIMENSIONADO PARA EL DISEO OPTIMO Conocido el momento absorbido por la pareja de aceros adicionales

~ Tabla "'---.,=--7>7 K e

n- fe

Deduccin

Despejando

b =

d =' ;;;-;;; V~

oc eros

No

-,1

D.

RODOLFO OSERS

-59-

fe: 94.5 t;{d5' f5 = --'too t'}i ~---.... ~k- Jz ~ 15

300"- " 1 ~?Zxf

'1

j.ftltl 15 x 'M.5

1M. J A. J CALCULO:

= 099

(30 _ X3J'I) 10 5

14J1t1, {6-t.S- S)

I REVISION:

t = 0. 50 3 c.. ~ 0.209 j -

11"10 = 11!.b~ d. Q.3! c,.;-. fi

I REFERENCIA:

i

t I PAG: 1/i

-60-

NOTAS

-61-

MOMENTOS DE INERCIA EFECTIVOS Teora Clsica Flexin Pura

La determinacin de los momentos de inercia efectivos se hace en base a los momentos de inercia de la seccin agrietada y el momento ac-tuante.

El momento de inercia de la seccin agrietada se har por el mtodo de la seccin transformada, es decir por la teora clsica, como se ve a continuacin.

-t !----

nAs

b'

b

d

,

d s

(n-1)p' np

t 2d'

(b/b' -1) ---- t/d

e np

-62-

Las frmulas quedarn de la siguiente manera:

K np~ +,8c) + j{nP(1 +,8c)}2 + np(2 + ~c tjd) ,

El valor de F ser de 4 para secciones rectangulares y de 3 para las Te.

- "

-63:-

MOMENTOS DE INERCIA EFECTIVOS

o F 4 , F' 3

( b,d,f~,fy, Es,Ma,h,As,t:d ( b,b',d,t,f~,fy ,E.,Mo , h, As y

.J, ( )' [Es ] A's h2. ti n-1 p "--1 -

bt (h - 1/2) Ec bd - + 2 Y -( t b'h + (b-b')t No A's: O

... .J, Si

Es As .. 19

b'y~ + b{h-Yt)'- (b-b')(h-Yt - t)' np =_.- :

Ec bd \.. 3

.l. K := -np + 0np)2 + 2'np

~ K ~ lId \No .... Es As np = Ec' b'd

~Si ~ [ 3 2] 3 t := 2d' Ier := . ~ + np(l-K) bd ~ := (b/b' -1) 1 ~ ,,(n-1) P

e np "d e np .~

Yt = h/2 K= -np(1t ~c)+ V[np(1+~c)r+np(2+~c'i) 19 b:h' =--12 J 3 [ t2 ]} 3 ... 1 = {n p (1 - K)2 + L + ~np. K{K-t/d)+-2 bd

... l er 3 e Fd

r Normas A.C.I 9.5.2.2.

fr=2F M =~ Normas A.C.I. ec y t 8.5.,. Ec=15000 F

3 { 1 - [ ~:r n ler ~ 19 le =[ ~~rh +

amatoLlamadacovenin 9.6.2.1

amatoLlamadaec 9.12 covenin

amatoLlamadamomento de fisuracion ec 9.13

-64-

NOTAS

-65-

FLEXION PURA Teora de Rotura Secciones Rectangulares

-t----- b - _--t

h d

C::. Kud

Eje Neutro

'k--r-- .. -- .

SUPOSICIONES Y CONSIDERACIONES:

(lO.2.7.l

T

a) Conservacin de las caras planas (NavierL distribucin de las defor-maciones es lineal. Arti'cu/o (10.2.2.)

b) El concreto no resiste 10s esfuerzos de tr.iccin.llo.2.5.) c) No existe deslizamiento entre el concreto y acero. d) No se aplica la Ley de Hooke, las deformaciones no son proporcio-

nales a'los esfuerzos. (10.2.6) , el La falla de la seccin ocurre cuando el concreto alcanza su defor-

macin mx;ma til fu.

Normas (10,2,..,3.) .

EU = 0.003

-66-

Coeficientes empleados necesarios para definir la teora de rotura:

1. Coeficiente de forma: Este coeficiente se emplea para convertir el rea del diagrama de esfuerzos en un rectngulo equivalente. Viene dado por la norma 10.2.7.

(o ~, = 0.85 - 0.05 e - 280

70

0065 ~ ~, :;:;0.85

2. Coeficiente para la ubicacin del centro de compresin: ~ 2 Este, nos indica la profundidad de la resultante en compresin res-pecto al eje neutro y su valor aproximado es de ~ 2 == . ~, /2

3. Coeficiente de relacin: ~ 3 Arti'cu I o 10.2.7. Con este coeficiente obtenemos la relacin entre la resistencia del concreto en la viga con el cilindro de control su valor es 0.85.

Diagrama de esfuerzo-deformacin del acero: (3 -1)

f s = ; [11 + ~: I ~ 1' ~: 1] 10.2.4.

A diferencia de la teora clsica que los factores de seguridad estn implcitamente considerados en los esfuerzos permisibles, en la teora

00 de rotura se emplea un factor minorante de resistencia, rJ>, que la norma en el captulo 9.3.2. para flexin usa como mnimo 0.9., y un. factor mayorante de cargas los cuales salen prescritos en el captulo 9.2. tulo 9.2.

De todo esto si se llama M al momento actuante y f el factor mayorante se puede escribir la siguiente expresin:

FM~

-67-

Anlisis de una seccin de concreto armado sometida a flexin pura:

E: u .j.. "- K 1 P2Ku~ (..- u

'-- --

d id

Mediante el correspondiente anlisis se puede obtener:

La resultante de traccin: T Asfsu (3 - 2)

La resultante de compresin: PI P3 f ~ (K db) u (3- 3) El brazo mecnico: jd d - P2 K d (3-4) U

T j d t1 . .,.J..;........ ~(..;G) De igualar la resultante en compres IOn con la traccin para lograr

el equilibrio y usando la expresin del porcentaje de acero p = A,jbd ob-tenemos la profundidad del eje neutro.

f A f su ) su s K = p ) = bcj f' K u P 1~3 f~, u pJP3 e (3-6) (3 -7) (3-8)

Se llama a ) cuanta mecnica.

Por otra parte, por la hiptesis de distribucin de deformaciones linea,l.

K u

E: U

E: + S U su

(3 - 9)

-68-

Igualando las ecuaciones (3 - 6) Y (3 - 9) queda: Esfuerzo del acero en el rango elstico.

p (3-11 ) (3-10)

Sustituyendo por (3 - 10)

De esta ecuacin se despeja Esu y se calcula el esfuerzo del trabajo fsu del acero, sustituyendo en la ecuacin (3 - 1 )

(3-13) 1 / - Eu + V E~ +

E su = 2

4Eu~' ~3 f~ PEs

Despejando Esu de la ecuacin (3 - 11) queda:

(3-1)

fy [1 ESUI I ESUI] fsu= 2 1+E; - 1- Ey Esu

(3-14)

Cuando E su > E y , f su = f y , se puede despejar de la ecuacin (3 - 11) el valor P siendo este el porcentaje de acero que produce una falla balanceada. ( 10.3.2.)

f~ fy (3-15)

~ Eu W - . b- 1 ~3 E + E u y (3-16)

Tomando momentos respecto a la resultante de compresin queda:

(3-17)

-69-

Para el diseo de las secciones simplemente armadas es ms sencillo expresar el momento de agotamiento de la seccin Mu en funcin de la cuanta mecnica W

M = A f d (1 - ~2K )~ u s su U

sustituyendo Ku en funcin de W E c. (3 - 8)

2 Dividiendo ambos miembros entre f'cbd

t1 u

f I bc 2 e

Para el diseo es necesario conocer el valor de W en fncin de fl con lo cual, despejando, queda:

w ~ ~,[, -) , -~ = h [, - :~.]

-70-

SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Teora de Rotura

Las secciones debern ser doblemente armadas cuando el momento de agotamiento actuante sea mayor que el ptimo que resiste la seccin.

El problema se concretar, a determinar el momento ptimo que re-siste la seccin simplemente armada. el cual vendr en funcin del por-centaje de acero permisible en la seccin para control de la ductilidad.

El anlisis de las secciones doblemente armadas por la teora de rotura es el siguiente:

-t------.~---+

h

As -{-. . ..... ~-----' , b' -''r~---

Eje Neutro d

~ ~3~ ~

j

-71-

Por equilibrio, igualando las resultantes de compresin con las de traccin se obtiene la profundidad del eje neutro.

T e + e e s

~1 3fl (K db) + Alfl e u s s A f s su A f - Alfl S su S s

~lhf~.bd

Como siempre se disea para que la falla ocurra despus que el acero a traccin ceda (para obtener una falla dctil), cuando la defor-macin del acero a compresin sea mayor que la de cedencia, la profun-didad del eje neutro es directa:

E > E => f = f su y su y

-:> f~

Esto ocurre cuando

E

= f' y

K = u

A - A. I f' s s . __ y_

en tl3bd f I r-' r e

El u (K dl/d) K d te < - > K u y= s u U

por lo general fy f' y

E u

. d' E: - te

U Y

-72-

Cuando eL Acero en compresin no est en cedencia:

Eu d E' s = ( Ku -

Ku d'

As fy - A's f's As fy - A's E's Es w Ku =

~ ~bd f'c 1 3 .

~ ~ bd f'c 1 3

fy Sustituyendo La Expresin deE's y haciendo E y =

Es

Eu d ~ ~ Ku

1 . 3 - W + W' ( ( Ku - ) ) = O

E Y Ku d'

Multiplicando toda la expresin por Ku:

2 Eu Eud ~ 1 ~3 (Ku) - (w -Wl (Ku) - W' -- = O Ey E Y d' A=~ ~ Eu Eu d Haciendo B = W-W' - y C =W' --

1 3 Ey E Y d'

2 A (Ku) - B (Ku) - C = O

De esta expresion se puede despejar directamente Ku.

w' EsE'

~ ~ fy 1 3

queda:

Queda:

Finalmente para conocer el momento de agotamiento se toma mo mentos respecto al punto de apl icacin de la resultante en compresin del concreto.

-73-

El brazo mecnico del acero a traccin es: jd

El brazo mecnico del acero a compresin es: ~2Kud~d" 1)-,

Entonces el momento de agotamiento ya minorado ser:

Para reajustar la frmula se puede hacer lo siguiente: sumar y restar el siguiente trmino: A'.fsd quedando as la siguiente expresin:

M r( A f - A I f I ) ( 1 - ~ 2. K ) d + A I f I (d - di)] u L s su s s u s s

-74-

NOTAS

I - "1 --t--; ,

I

-75-

FLEXION PURA (Teora de Rotura) Coeficientes Adimensionales Secciones Rectangulares

CUANTIA MECANICA

BRAZO MECANICO

~2 j U - 1 - --------------- w - ~l ~3

,-l

I-l =

-76-

COEFICIENTES ADIMENSIONALES SECCIONES RECTANGULARES (TEORIA DE ROTURA)

W Hiu Ju W Hiu Ju W Hiu Ju W Miu Ju

O.OIl .0098 .9935 0.056 .0487 .9671 0.101 .0855 .9406 0.146 .1201 .9141 0.012 .0107 .9929 0.057 .0496 .9665 0.102 .0863 .9400 0.147 .1209 .9135 0.013 .0116 .9924 0.058 .0504 .9659 0.103 .0871 .9394 0.148 .1216 .9129 0.014 .0125 .9918 0.059 .0513 .9653 0.104 .0879 .9388 0.149 .1223 .9124 0.015 .0134 .9912 0.060 .0521 .9647 0.105 .0887 .9382 0.150 .1231 .9118

0.016 .0143 .9906 0.061 .0529 .9641 0.106 .0895 .9376 0.151 .1238 .9112 0.017 .0151 .9900 0.062 .0538 .9635 0.107 .0902 .9371 0.152 .1246 .9106 0.018 .0160 .9894 0.063 .0546 .9629 0.108 .0910 .9365 0.153 .1253 .9100 0.019 .0169 .9888 0.064 .0554 .9624 0.109 .0918 .9359 0.154 .1260 .9094 0.020 .0178 .9882 0.065 .0563 .9618 0.110 .0926 .9353 0.155 .1268 .9088

0.021 .0187 .9876 0.066 .0571 .9612 0.111 .0934 .9347 0.156 .1275 .9082 0.022 .0195 .9871 0.067 .0579 .9606 0.112 .0942 .9341 0.157 .1283 .9076 0.023 .0204 .9865 0.068 .0588 .9600 0.113 .0949 .9335 0.158 .1290 .9071 0.024 .0213 .9859 0.069 .0596 .9594 0.114 .0957 .9329 0.159 .1297 .9065 0.025 .0222 .9853 0.070 .0604 .9588 0.115 .0965 .9324 0.160 .1304 .9059

0.026 .0230 .9847 0.071 .0612 .9582 0.116 .0973 .9318 0.161 .1312 .9053 0.027 .0239 .9841 0.072 .0621 .9576 0.117 .0981 .9312 0.162 .1319 .9047 0.028 .0248 .9835 0.073 .0629 .9571 0.118 .0988 .9306 0.163 .1326 .9041 0.029 .0257 .9829 0.074 .0637 .9565 0.119 .0996 .9300 0.164 .1334 .9035 0.030 .0265 .9824 0.075 .0645 .9559 0.120 .1004 .9294 0.165 .1341 .9029

0.031 .0274 .9818 0.076 .0653 .9553 0.121 .1011 .9288 0.166 .1348 .9024 0.032 .0283 .9812 0.077 .0662 .9547 0.122 .1019 .9282 0.167 .1355 .9018 0.033 .0291 .9806 0.078 .0670 .9541 0.123 .1027 .9276 0.168 .1363 .9012 0.034 .0300 .9800 0.079 .0678 .9535 0.124 .1035 .9271 0.169 .1370 .9006 0.035 .0309 .9794 0.080 .0686 .9529 0.125 .1042 .9265 0.170 .1377 .9000

0.036 .0317 .9788 0.081 .0694 .9524 0.126 .1050 .9259 0.171 .1384 .8994 0.037 .0326 .9782 0.082 .0702 .9518 0.127 .1058 .9253 0.172 .1391 .8988 0.038 .0334 .9776 0.083 .0711 .9512 0.128 .1065 .9247 0.173 .1399 .8982 0.039 .0343 .9771 0.084 .0719 .9506 0.129 .1073 .9241 0.174 .1406 .8976 0.040 .0352 .9765 0.085 .0727 .9500 0.130 .1081 .9235 0.175 .1413 .8971

0.041 .0360 .9759 0.086 .0735 .9494 0.131 .1088 .9229 0.176 .1420 .8965 0.042 .0369 .9753 0.087 .0743 .9488 0.132 .1096 .9224 0.177 .1427 .8959 0.043 .0377 .9747 0.088 .0751 .9482 0.133 .1103 .9218 0.178 .1434 .8953 0.044 .0386 .9741 0.089 .0759 .9476 0.134 .1111 .9212 0.179 .1441 .8947 0.045 .0394 .9735 0.090 .0767 .9471 0.135 .1119 .9206 0.180 .1448 .8941

0.046 .0403 .9729 0.091 .0775 .9465 0.136 .1126 .9200 0;181 .1456 .8935 0.047 .0411 .9724 0.092 .0783 .9459 0.137 .1134 .9194 0.182 .1463 .8929 0.048 .0420 .9718 0.093 .0791 .9453 0.138 .1141 .9188 0.183 .1470 .8924 0.049 .0428 .9712 0.094 .0799 .9447 0.139 .1149 .9182 0.184 .1477 .8918 0.050 .0437 .9706 0.095 .0807 .9441 0.140 .1156 .9176 0.185 .1484 .8912

0.051 .0445 .9700 0.096 .0815 .9435 0.141 .1l64 .9171 0.186 .1491 .8906 0.052 .0454 .9694 0.097 .0823 .9429 0.142 .1l7l .9165 0.187 .1498 .8900 0.053 .0462 .9688 0.098 .0831 .9424 0.143 .1179 .9159 0.188 .1505 .8894 0.054 .0471 .9682 0.099 .0839 .9418 0.144 .1186 .9153 0.189 .1512 .8888 0.055 .0479 .9676 0.100 .0847 .9412 0.145 .1l94 .9147 0.190 .1519 .8882

-77-

COEFICIENTES ADIMENSIONALES SECCIONES RECTANGULARES (TEORIA DE ROTURA)

W Hiu Ju W Miu Ju W Hiu Ju W Hiu Ju 0.191 .1526 .8876 0.236 .1829 .8612 0.281 .2111 .8347 0.326 .2371 .8082 0.192 .1533 .8871 0.237 .1836 .8606 0.282 .2117 .8341 0.327 .2377 .8076 0.193 .1540 .8865 0.238 .1842 .8600 0.283 .2123 .8335 0.328 .2382 .8071 0.194 .1547 .8859 0.239 .1849 .8594 0.284 .2129 .8329 0.329 .2388 .8065 0.195 .1554 .8853 0.240 1855 .8588 0.285 .2135 .8324 0.330 .2393 .8059 .

0.196 .1561 .8847 0.241 .1862 .8582 0.286 .2141 .8318 0.331 .2399 .8053 0.197 .1568 .8841 0.242 .1868 .8576 0.287 .2147 .8312 0.332 .2404 .8047 0.198 .1574 .8835 0.243 .1874 .8571 0.288 .2153 .8306 0.333 .2410 .8041 0.199 .1581 .8829 0.244 .1881 .8565 0.289 .2159 .8300 0.334 .2415 .8035 0.200 .1588 .8824 0.245 .1887 .8559 0.290 .2165 .8294 0.335 .2421 .8029

0.201 .1595 .8818 0.246 .1894 .8553 0.291 .2171 .8288 0.336 .2426 .8024 0.202 .1602 .8812 0.247 .1900 .8547 0.292 .2177 .8282 0.337 .2432 .8018 0.203 .1609 .8806 0.248 .1906 .8541 0.293 .2183 .8276 0.338 .2437 .8012 0.204 .1616 .8800 0.249 .1913 .8535 0.294 .2188 .8:m 0.339 .2443 .8006 0.205 .1623 .8794 0.250 .1919 .8529 0.295 .2194 .8265 0.340 .2448 .8000

0.206 .1629 .8788 0.251 .1925 .8524 0.296 .2200 .8259 0.341 .2453 .7994 0.207 .1636 .8782 0.252 .1932 .8518 0.297 .2206 .8253 0.342 .2459 .7988 0.208 .1643 .8776 0.253 .1938 .8512 0.298 .2212 .8247 0.343 .2464 .7982 0.209 .1650 .8771 0.254 .1944 .8506 0.299 .2218 .8241 0.344 .2470 .7976 0.210 .1657 .8765 0.255 .1951 .8500 0.300 .2224 .8235 0.345 .2475 .7971

0.211 .1663 .8759 0.256 .1957 .8494 0.301 .2229 .8229 0.346 .2480 .7965 0.212 .1670 .8753 0.257 .1963 .8488 0.302 .2235 .8224 0.347 .2486 .7959 0.213 .1677 .8747 0.258 .1970 .8482 0.303 .2241 .8218 0.348 .2491 .7953 0.214 .1684 .8741 0.259 .1976 .8476 0.304 .2247 .8212 0.349 .2496 .7947 0.215 .1690 .8735 0.260 .1982 .8471 0.305 .2253 .8206 0.350 .2501 .7941

0.216 .1697 .8729 0.261 .1988 .8465 0.306 .7258 .8200 0.351 .2507 .7935 0.217 .1704 .8724 0.262 .1995 .8459 0.307 .2264 .8194 0.352 .2512 .7929 0.218 .1710 .8718 0.263 .2001 .8453 0.308 .2270 .8188 0.353 .2517 .7924 0.219 .1717 .8712 0.264 .2007 .8447 0.309 .2276 .8182 0.354 .2523 .7918 0.220 .1724 .8706 0.265 .2013 .8441 0.310 .2281 .8176 0.355 .2528 .7912

0.221 .1730 .8700 0.266 .2019 .8435 0.311 .2287 .8171 0.356 .2533 .7906 0.222 .1737 .8694 0.267 .2026 .8429 0.312 .2293 .8165 0.357 .2538 .7900 0.223 .1744 .8688 0.268 .2032 .8424 0.313 .2298 .8159 0.358 .2543 .7894 0.224 .1750 .8682 0.269 .2038 .8418 0.314 .2304 .8153 0.359 .2549 .7888 0.225 .1757 .8676 0.270 .2044 .8412 0.315 .2310 .8147 0.360 .2554 .7882

0.226 .1764 .8671 0.271 .2050 .8406 0.316 .2315 .8141 0.361 .2559 .7876 0.227 .1770 .8665 0.272 .2056 .8400 0.317 .2321 .8135 0.362 .2564 .7871 0.228 .1777 .8659 0.273 .2062 .8394 0.318 .2327 .8129 0.363 .2569 .7865 0.229 .1783 .8653 0.274 .2069 .8388 0.319 .2332 .8124 0.364 .2575 .7859 0.230 .1790 .8647 0.275 .2075 .8382 0.320 .2338 .8118 0.365 .2580 .7853

0.231 .1797 .8641 0.276 .2081 .8376 0.321 .2343 .8112 0.356 .2585 .7847 0.232 .1803 .8635 0.277 .2087 .8371. 0.322 .2349 .8106 0.367 .2590 .i841 0.233 .1810 .8629 0.278 .2093 .8365 0.323 .2355 .8100 0.368 .2595 .7835 0.234 .1816 .8624 0.279 .2099 .8359 0.324 .2360 .8094 0.369 .2600 .7829

-18-

NOTAS

-79- T FLEXION PURA Teora de Rotura Secciones 11 Te 11

b b-b b b-b' -2- 2

--,r- ------i----i-- .,lt

+

T, Alf

Las secciones Te, por el principio de superposlclon se pueden trans-formar en la suma de dos secciones como se muestra en el esquema.

Una seccin rectangular de ancho b', y una secclOn compuesta por los salientes del ala sometida a compresin y a un rea de acero a traccin.

La resultante a compresin ser la suma de la resultante a compresin de la seccin rectangular el y la resultante a compresin existente en las alas. la cual puede estimarse suponiendo una distribucin uniforme de esfuerzos en las alas y tomando como intensidad mxima permisible el valor de O.85f'q y situada en la mitad del ala. Esta suposicin se acerca ms a la realidad a medida que el eje neutro baja ms en el nervio.

Haciendo uso de este artificio las secciones te se pueden tratar como secciones rectangulares doblemente armadas donde las alas de la Te son sustituidas por una cierta area de acero ficticia, que se obtiene est-ticamente igualando la resultante a traccin ficticia con la resultante a compresin de las alas.

T 2

A ff s y

-80-

e 2

La profundidad del eje neutro se determina igual que en las secciones doblemente armadas:

K d u

CA - Al) f s s y

bd ~ 1 ~3 f ~ (A -A f)

= _--=.s_:::.s~

Igual para determirar el momento de agotamiento.

f --1 f'

e

-81-

REVISION DE SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS Descripcin del diagrama de flujo:

DATOS:

Como se trata de la revlslon de una seccin, se conocen las carac-tersticas geomtricas de la misma, o sea: As Cantidad de acero sometido a traccin. b Ancho de la cara sometida a compresin. d Altura til de la seccin. t Para las secciones Te: El espesor del ala.

El espesor del alma.

Las caractersticas de los materiales, tales como: f'e Resistencia mxima del concreto a los 28 das. f y El esfuerzo cedente del acero. fu La deformacin ltima del concreto.

Por las normas, los coeficientes ~" ~2' ~3 Y el factor de minoracin de resistencia r[J.

PROCEDIMIENTO:

Se calcula el porcentaje de acero p, si se trata de una seccin Te es necesario verificar si trabaja como tal, determinando la profundidad del eje neutro; si ste es mayor que el espesor del ala la seccin trabaja como Te; en este caso se adopta el artificio utilizado por el A.eJ. que consiste en transformar el rea de concreto de las alas en un rea de acero ficticio equivalente.

Luego, tanto para las secciones Te como para las rectangulares se determina mediante las frmulas respectivas, el momento ltimo resis-tente de la seccin.

-82-

REVISION SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS

As, b, b', d , t, fy , f~ Te

As P=--bd

fy Ku = P'-r< .~ . f'

i"', t-' 3 e

No Trabaja camo rectangular

NO

Normas A.C. r. 9.3.2.

= 0.9

W'ormos A.C.I. 10.2.7. Q f~-280 1"1 0.85 - 0.05----70

0.65 "~1

RODOLFO OSERS 1-'R_F_:-::-:-I:-:_9_-:-IfS-O-:_9A-"-:-E-.::_B.::_I/-O-:-:-~-~~~::-(J--5-~-:-1'.-~ :_:_:_:_:_:_f_()_~_.s_:_:_:_:_d_()--1 T --JL- 80 00 C.Fn .~ .. ___ ~.

'1 ------- - ..,

"" 6 x 5, 0-7 c.. nv o

&'0 x /;0

['3. f (6 -')i. = -1Y

o 5'5 x ;/o (Fo- io) 5 ~?OO

-30 A:l. - //7.5_ -Z1l00 = ! 15 1D". Aa " ,;(10

kiOl!.NIIS : -

p'" (} 95 CA.. ~ J--.j2 ,(3 ~ 95

;!", ~ e OCJ3 r;f o ) 9tJ

cA--t.o/sL 1i}01 ,l7-f.- )

(/?:s - 4s. O-rf. di! / -~ '1) o (30A'..t. n 15 )-"800. Aq (/-(3/" ,Lo . H~ ~ 45..( ,,1'Yx (,:j - ti =

~J 1215 ,:1 p oo(40-:;2\ =

;

-84-

DISEI\IO DE SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS Descripcin del diagrama de flujo:

DATOS:

Como se trata de un diseo se conoce el momento de agotamiento ~ al cual va a estar sometida la seccin.

las caractersticas de los materiales, tales como: f'e Resistencia mxima del concreto a los 28 das. fy El esfuerzo cedente del acero. fu La deformacin ltima del concreto. Es El mdulo de elasticidad del acero.

Caractersticas geomtricas de la seccin:

Forma; Te o rectangular. b Ancho de la cara sometida a compresin d La altura til de la seccin. b' Para las secciones Te: El espesor del alma.

El espesor del ala. Por las normas, los coeficientes ~h ~2,~3 Y .el factor minorante de _

resistencia cf>,

PROCEDIMIENTO:

Si la altura til de la secclOn no es conocida, es necesario suponer ~lIia cuanta de acero, mayor que la mnima y menor que la mitad de la reqUerida para producir una falla balanceada, con' este valor se determinar la altura de la seq:in; en el caso de que la altura til sea conocida, se calcula la cuanta mecnica necesaria, que debe estar comprendida en-tre los valores normativOs. Si se trata de una Te es necesario verificar si trabajar como tal, determinando la profundidad del eje neutro, que .en caso. de ser mayor que el espesor del ala trabaja como Te, y calcula-mos el acero ficticio equivalente al concreto de las alas, junto con el mo- ~ mento que resiste. Una vez determinados estos valores es preciso cal-cular el momento remanente y con este; el nuevo valor de la cuanta mecnica y el brazo mecnico. A continuacin tanto para las Te como para las secciones rectangulares se obtiene la cantidad de acero a traccin, ~ con las frmulas. respectivas.

-85-

DISEO SECCIONES SIMPLEMENTE ARMADAS

Normas A. e. 1. 10.&.1. - A.5.2 ..

A~ = Amin= ~ bd fy

Aumentar d

Normas .A.e.I. 9.3.2.

4> = 0.9

Normas A.e.I. 10.2.7.

r< f~ - 280 1"1 = 0.85 - 0.05 70-

0.65 ~ ~, :::;0.85

Normas A. e. 1. 10.2.3

Eu = 0.003

~3' fb(b - b'J!

o

RODOLFO OSERS

])J?ros:

b'~ 6 = 30cv Hu = ~" /, ;>n.

#;Ee/,t;,

-87-

REVISION DE SECCIONES DOBLEMENTE ARMADAS Descripcin del diagrama de flujo:

DATOS:

Como se trata de la revisin de una seccin, se conocen las caracte. rsticas geomtricas de la misma o sea:

As Cantidad de acero sometido a traccin. A'. Cantidad de acero sometido a compresin. b Ancho de la cara. d Altura til de la seccin. d' Recubrimiento de las barras a compresin.

Las caractersticas de los materiales, tales como:

f'e Resistencia mxima del concreto a los 28 das. Eu La deformacin ltima del concreto. f y El esfuerzo cedente del acero

Por las normas los coeficientes ~h K2, K3 Y el factor de minoracin de resistencia P.

PROCEDIMIENTO:

Si el rea

-88-

REVISION SECCIONES DOBLEMENTE ARMADAS M~, Es b, d, d', As ,A's, t~ ,ty,t~

Normas A.C. I. 9.3.2

-89-FlejofP91119S ~PI!iI 1'11 clcel(l ds !JvilCPSiv 4"1119.10 I RODOLFO OSERS ".> ~ ; :.::~ .. ::. -e'V/510V :1)1, JIJII ",F.c:.CJOIJ "oe,~'ElJr; R./!.#IlJ>1l . it;~'ki,;.:

--' HAT"'2II!LE~ : I',,. / /', /f U02~R~ r~ = 210 t'} Ie,..t [3, ~ OKS 60 ~y = ..z800 j::''} Ic"",,"" /::.. ~ OA,Z g~~" Es ~./' 10 b c'j /cm-- ; 0.1513 PI,K., = 0.f1s. 0 .>5 d' tE""

= ~" 0.003 = o. u 11' - < ", _ -fries. 0.005 - .800./xI06 d 5';.5 => K'u, ""- 0./;'/7' ,/;, ;C

-90-

DISEO DE SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE ARMADAS Descripcin del diagrama de flujo:

DATOS:

Como se trata de un diseo, se conoce el momento de agotamiento al cual va a estar sometida la seccin:

Las caractersticas de los materiales, tales como:

f'e Resistencia. mxima del concreto a los 28 das. f y El esfuerzo cedente del acero. fu La deformacin ltima del concreto. Es El mdulo de elasticidad del acero.

Caractersticas geomtricas de la seccin:

b Ancho de la seccin. d Altura til de la seccin. d' Recubrimiento de las barras en compresin

Por las normas los coeficientes ~ 10 K2 , K3 el factor minorante de resis-tencia cf> y los factores de mayoracin de carga.

PROCEDIMIENTO:

Se calcula la cuanta mecnica de acero que produce la falla balanceada, ...... la cual depende de los materiales empleados, con lo cual la cuanta mxima que podr ser utilizada ser (por normas A.eJ.) la mitad de la anterior. Con este valor se puede determinar el momento mximo que pue-de resistir dicha seccin, si este momento, es mayor que el actuante-entonces la seccin quedar simplemente armada, y se calcular el rea de acero como tal, si es menor habr que absorber el exceso de momento con una pareja de aceros adicionales, quedando doblemente armada, pero-para ello ser necesario primero verificar si el acero en compresin se encuentra en cedencia o no, con las frmulas respectivas.

-91-

DISEO SECCIONES DOBLEMENTE ARMADAS

Teora de Rotura

Normas A. C. I. A.5.1

. () " 0.5 () b

. K2 J = 1 - --() ~1 K3

t-l = Mu

Normas A.C.I. 9.3.2.

o.

-92-

RODOLFO OSERS ~ ..... . :',: ... ::;":: 1t:.~~:i.: H 1tT0!1 JI .. .eS : '7!f.G.VE:1U"'EiL'rrOS :

60< .. {',:' ~ 210. ~'J Jc"'; NI.!" 45 . h - Z800 I::c./c>n w = O.s.o.soo,z ". 0..25

LIJJocC/J.,o ])EJ., NONU.JT'O SPECITICO:

t>oz- IJOE/.I JI :

(31_ 0.85 K~ ~ (J.65 Ev.. ~ 0.003

/1 '" r/J J (j - f3~'}~ J) e 09~ 0:

-93-

CASOS PARTICULARES PARA EL DISEO OPTIMO Al igual que en teora clsica se pueden deducir las frmulas para

determinar la altura til de las secciones para que el diseo sea ptimo, las frmulas que a continuacin se dan son utilizables cuando el acero en compresin se encuentra en cedencia: f'.=fy ,

1) DETERMINACION DE LA ALTURA UTIL CUANDO SE CONOCE P'

Por definicin p'=A's/bd

w= bd

~ f'

e

Sustituyendo en la ecuacin del momento de agotamiento quedan las siguientes expresiones:

K2 Mu =cp{wbd2fc (1-- w) + p' bd2fy (1-d'/d) }

~IK3 Despejando de esta frmula la altura til d se obtiene la expresin

buscada:

d

-94-

2) DETERMINACION DE LA ALTURA UTIL CUANDO SE CONOCE P' /P:

Como p' / p es conocido entonces A's= (p'/p) As

Debido a que la seccin ser doblemente armada el acero total ser la suma del acero que corresponde a la cuanta ptima Ao ms el corres-pondiente al acero en compresin A's

Por definicin:

f' Ao = wobd _c_

fy

Despejando As

As=Ao+A',

Sustituyendo:

f' As = (uobd ~

fv +

Jobd(f'/f ) As = C y

1 - PI/p

(Pi /p)As

Haciendo las sustituciones sobre la ecuacin de momento, queda:

Mu=

- ,

-95-

NOTAS

-96-

NOTAS

h :

I ..

-97-

FLEXION PURA Teora de Rotura Secciones de Geometra General Uso del bloque rectangular de esfuerzos equivalentes para el clculo de secciones de geometra general:

El A.eJ. usa como intensidad de esfuerzos para el bloque rectangular el valor de 0.85 f'c, y la profundidad del mismo la llama ~. A continuacin se ver la distribucin de esfuerzos general para una seccin rectangular y su equivalencia con el uso del bloque rectangular:

d

.~. . .... r

b' -.f--------____+_

.,

T

..

01. ;: ~ I \.,. el C;:.~ol 085f~

T

Cuando el anch o es constante el centro de compresin se encuentra a una profundidad de a/2 ..

Por equilibrio las resultantes en compresin iguales:

A.C.I.10.2.1.(0)

La profundidad del bloque se puede determinar tambin igualando la traccin y la compresin; quedando:

A,fy = O.85L ab A f /o.85f 1 b s y e

-98-

Si las secciones fuesen doblemente armadas se procede igual que en el caso general; siendo

a =

A - Al S 's

o.85f l b e

En el caso de las Te As As!

Cuando a::> t

Para determinar el momento de agotamiento al realizar un anlisis. se hace igual que antes tomando momentos respecto al punto de aplicacin de la resultante en compresin:

Mu = cP {Asfsu(d-a/2) + A'sf',(a/2-d') }

Para las secciones Te

La extensin del bloque rectangular consiste en suponer que dicha hiptesis es aplicable a cualquier tipo de seccin.

-99-

REVIStON DE SECCIONES DE FORMA CUALQUIERA Descripcin del diagrama de flujo:

DATOS:

Como se trata de una revisin, se conocen las caractersticas de la seccin estudiada, o sea:

Forma de la seccin estudiada As el Cantidad de acero en cada capa. ye) Distancia de la capa de acero a la fibra ms comprimida.

Las caractersticas de los materiales, tales como: fe Resistencia mxima del concreto a los 28 das. fu La deformacin ltima del concreto. f y Esfuerzo cedente del acero.

Por las normas, los coeficientes ~1 y el factor de minoracin de resistencia qJ.

PROCEDIMIENTO:

Se fija una posicin tentativa del eje neutro, en base a sta, se deter-mina el rea de concreto que se encuentra sometida a compresin y la resultante de compresin. A continuacin se calcula la deformacin y el esfuerzo a que est trabajando cada capa de acero. Se puede hacer una correccin por concreto desplazado en caso de que la capa de acero se encuentre en la zona de compresin, esta correccin consiste en reducir el esfuerzo de trabajo del acero en un 85% del esfuerzo de rotura del concreto. Despus de obtener los esfuerzos a los cuales estn trabajando los aceros se puede comprobar si la sumatoria de resultantes en compresin son iguales a las de traccin, de no ser as la posicin del eje neutro fue incorrecta y es preciso hacer otro tanteo con otro valor de Kud hasta ob-tener la condicin de equilibrio.

Para determinar el momento de agotamiento de la seCClon, se puede tomar momentos respecto al eje neutro, y minorarlo con el factor de seguridad.

-100-

REVISION DE UNA SECCION DE CUALQUIER FORMA

Forma de 10 seccin Distribucin 'i cantidad de acero, materiales.

Se fija

Se determina

Si

Me =

Mu = (j).[ t 1(tKud - l(il) + Me] 1=1

Correccin por concreto desplazado

I 1 1 '! , ,

1 ,

D

-101-

RODOLFO OSERS Floj, ........... 01 olo ... do D"ooo" ..... .,. li Ir

'1?fVI::J'O'J:DE UMA .sECC/OP i/-S/lvlJl7 E... 7S,IOQ.UC 7i!Ec7. I~\ '.:, ..

60 .,

, \

:bE).. ,;ooc ](TO:

=>

F = .uo '1 /c~ .t1 = ): -

-102-

FllljcEPS61ISB ~PS si cs'clIl() lis OCilCPSIC ApI1II9"C ~ ,1 RODOLFO OSERS : ... :t '7?"VIS/(),(/ .:bE: -z~t7t((jr -vc?: ~ .. '. OVA sEcc/t!J,(/ t/.5APl)O.!FA- .... :

. .,.

1

1 'bI5T4lJC/4 1I,l.q 'Be/ULJ 1M>). -:tUEe-9 (/:'1) I-{OHEV7V 7U5PEc70 "FieM tJlIS ~P. K,d - 1. IU EJE LI;v7Za (C1-")

1:: < ~K"(,,d 0111 65878.83 /353b3 1 b Oq:. 212QLOQ J:.C492

2/ 00 'f./ 11804.8 554.80 1 3/ - 0052-

-1299'+.65 67512

40 _ {)202 _ 85176 00 (1.z 05.55 1 L = .z q c flf . iR.

T f~ o.q ( --POli!. LJD1il.I-i.4 )

Hu.. = ~x 2'f'fSlf.82 ~;:ob8 T 1-11.1 = 269f6.3Kg-m. T 0 ~21-ozq *s-~ T

T T T

D t lA II CALCULO: I REVISION: 1 REFERENCIA: 1PAG:% 1

-103-

NOTAS

[qy c~' I bI ot.. I ~ 11 '= 300l C C.:::.2.r,~ G.J,ev b { .e..R 0~ ~ ttf :;:::. o. (,~\ ~::= 70 W

-104-

NOTAS

-105- D CORTE Teora Clsica -Teora de Rotura

El comportamiento de los elementos 'de concreto armado sometidos a esfuerzo cortante no se ha podido determinar con precisin. El poder idea-lizar de una manera sencilla el funcionamiento del concreto armado some-tido a este tipo de solicitacin se dificulta debido a las siguientes razones: a) No se trata de un material homogneo. b) La formacin de grietas se lleva a cabo en sitios no predecibles con

exactitud. c) La distribucin de esfuerzos vara con el nivel de carga por tratarse de

un material no elstico. .~

Una de las maneras para reforzar las vigas de concreto consistira en colocar un refuerzo transversal perpendicular a la grieta, es decir siguiendo la trayectoria de los esfuerzos principales de traccin, como se muestra en la .figura siguiente:

p Refuerzo transversal

Refuerzo longitudinal

Trayectoria de los esfuerzos principales de compresin

Trayectoria de los esfuerzos principales de tracGin

El problema se presenta en evaluar la cantidad de refuerzo transver- . sal que ser necesario proporcionar a la viga para absorber los esfuerzos de traccin que originan las grietas.

D -106-Uno de los mtodos utilizados para determinar cualitativamente las

funciones del refuerzo transversal, es el propuesto por Ritter en el aa-de 1899, conocido con el nombre de Analoga de la Armadura, en el cual se idealiza la viga como una armadura, asemejndose las funcion