Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
2016. szeptember 8.
Phys. Rev. B 93, 134305
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Modell
H(t) = −1
2
L−1∑i=1
σxi σxi+1 −
h(t)
2
L∑i=1
σzi ,
h(t)-fluktualo magneses ter.Hogyan terjednek jelek a zajos rendszerben?
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Zajok tıpusai
1 feher zaj
2 1/f zaj
3 1/f α zaj
4 dichotom (ket erteku) zaj
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Modell
H(t) = −1
2
L−1∑i=1
σxi σxi+1 −
h(t)
2
L∑i=1
σzi ,
0 2 4 6 8 10
h
t/τ
τ idonkent ermet dobunk:h = hA = +1; 1
2 valoszınuseggelh = hB = −1; 1
2 valoszınuseggel
Hogyan terjednek jelek a zajosrendszerben?
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Clifford - operatorok
H(t) = −1
2
L−1∑i=1
σxi σxi+1−
h(t)
2
L∑i=1
σzi ,
d2i−1 = (∏j<i
−σzj )σxi ,
d2i = i(∏j<i
−σzj )σyi ,
{dm, dn} = 2(−1)m−1δmn
H =1
4
2L∑i ,j=1
d†i Hij dj
H =
0 hh 0 1
1 0 h
h 0. . .
. . .. . . hh 0
.
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Ekvivalens kvantum bolyongas
H =
0 hh 0 1
1 0 h
h 0. . .
. . .. . . hh 0
.
Ising modell Kvantumos bolyongasClifford operatorok dinamikaja. A hullamfuggveny idofejlodese.ddi (t)dt = −i
∑2Lj=1 Hij dj(t) dψi (t)
dt = −i∑2L
j=1 Hijψj(t)
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Ekvivalens kvantum bolyongas
Ising modell Kvantumos bolyongasClifford operatorok dinamikaja. A hullamfuggveny idofejlodese.
ddi (t)dt
= −i∑2L
j=1 Hij dj(t) dψi (t)dt
= −i∑2L
j=1 Hijψj(t)
Al(t) = 1√2〈x |dl(t)dL|x〉 ∼ ψl
A |x〉 allapot az x iranyban polarizalt. ψl(0) az L es L + 1racshelyekre lokalizalt.2L∑l=1
|Al(t)|2 = const = 1
σ2(t) =L∑
l=1
(l − l0)2(|A2l−1(t)|2 + |A2l(t)|2
)
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Vizsgalt mennyisegek
1 Atlagos magnesezettseg
2 Atlagos osszefonodasi entropia
3 Hullamcsomag
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Atlagos magnesezettseg
mxl (t) = 〈Ψ0|σxl (t)|Ψ1〉
Kozvetlen atlagolas (2000realizacio).
mxl (t) ∼ exp(−ctα)
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6
ln(-
ln(m
x(t
)))
ln(t)
τ=0.25π
t0.47
τ=0.5π
t0.79
τ=0.75π
t0.54
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Atlagos osszefonodasi entropia
Egy adott realizacio eseteben:
ρ = |Ψ(t)〉〈Ψ(t)|
ρA = TrBρ
S = −TrAρA ln ρA
S(t) ∼ tβ
1
2
3
4
5
0 2 4 6
ln(S
)
ln(t)
τ=0.25π
t0.46
τ=0.5π
t0.75
τ=0.75π
t0.55
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Exponensek
mxl (t) ∼ exp(−ctα)
S(t) ∼ tβ
τ = π/2 t0.75
τ 6= π/2 t0.5
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Mester egyenlet
Al(t) = 1√2〈x |dl(t)dL|x〉 - hullamfuggveny a kvantumos bolyongasban
Aij(t) = A∗i (t)Aj(t)Az elso lepes soran:
Aij(τ) =2L∑
k,l=1
Oik(n)Ojl(n)Akl(t = 0),
Aij(tn) =2L∑
k,l=1
Oik(n)Ojl(n) · Akl(tn−1) =
2L∑k,l=1
1
2{[O1]ik [O1]jl + [O2]ik [O2]jl}Akl(tn−1).
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Mester egyenlet
Aij(tn) =2L∑
k,l=1
1
2{[O1]ik [O1]jl + [O2]ik [O2]jl}Akl(tn−1).
A hullamcsomag amplitudoja abuszulut ertek negyzetenekvarhatoerteke kozvetlenul szamıthato!pl(t) ≡ |A2l−1(t)|2 + |A2l(t)|2, l = 1, 2, . . . , L.σ2(t) =
∑Ll=1 (l − l0)2 pl(t),
ahol l0 = L+12
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Hullamcsomag
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 2 4 6
1/z
eff(t
n)
ln tn
τ=0.2τ=0.4τ=0.6τ=0.8τ=1.0τ=1.2τ=1.4τ=π/2τ=1.8τ=2.0
σ(t) ∼ t1/z
1
zeff(tn)=
ln[σ(tn)/σ(tn−1)]
ln(tn/tn−1)
τ < π/2 1/z = 1/2
τ = π/2 1/z = 7/8
τ > π/2 1/z = 3/4
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Hullamcsomag skalazas
-30
-20
-10
0
-5 0 5
ln[p
l(t)
t1/2
]
(l-l0)/t1/2
τ=1
Gausst/τ=2
3
t/τ=24
t/τ=25
t/τ=26
t/τ=27
t/τ=28
t/τ=29
t/τ=210
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Hullamcsomag skalazas
-30
-20
-10
0
-5 0 5
ln[p
l(t)
t1/2
]
(l-l0)/t1/2
τ=1
Gausst/τ=2
3
t/τ=24
t/τ=25
t/τ=26
t/τ=27
t/τ=28
t/τ=29
t/τ=210
0
0.02
0.04
0.06
0.08
-1000 -500 0 500 1000
pl(t)
l-l0
t/τ=23
t/τ=24
t/τ=25
t/τ=26
t/τ=27
t/τ=28
t/τ=29
t/τ=210
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Hullamcsomag skalazas
-30
-20
-10
0
-5 0 5
ln[p
l(t)
t1/2
]
(l-l0)/t1/2
τ=1
Gausst/τ=2
3
t/τ=24
t/τ=25
t/τ=26
t/τ=27
t/τ=28
t/τ=29
t/τ=210
0
0.02
0.04
0.06
0.08
-1000 -500 0 500 1000
pl(t)
l-l0
t/τ=23
t/τ=24
t/τ=25
t/τ=26
t/τ=27
t/τ=28
t/τ=29
t/τ=210
-6
-4
-2
-20 -10 0 10 20
ln[p
l(t)
t1/2
]
(l-l0)/t1/2
τ=π/2
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Hullamcsomag skalazas
-30
-20
-10
0
-5 0 5
ln[p
l(t)
t1/2
]
(l-l0)/t1/2
τ=1
Gausst/τ=2
3
t/τ=24
t/τ=25
t/τ=26
t/τ=27
t/τ=28
t/τ=29
t/τ=210
0
0.02
0.04
0.06
0.08
-1000 -500 0 500 1000
pl(t)
l-l0
t/τ=23
t/τ=24
t/τ=25
t/τ=26
t/τ=27
t/τ=28
t/τ=29
t/τ=210
-6
-4
-2
-20 -10 0 10 20
ln[p
l(t)
t1/2
]
(l-l0)/t1/2
τ=π/2
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-3 -2 -1 0 1 2
ln[p
l(t)
t1/2
+a]
(l-l0-vt)/t1/2
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Ballisztikus csucsok
A szorast a kifuto ballisztikus csucsok jaruleka dominalja.W (t) ∼ t−a
σ2(t) ∼ t2−a
τ < π/2 z = 2
τ ≥ π/2 z = 22−a
Miert jelennek meg a ballisztikusan mozgo csucsok?Mi hatarozza meg az a exponenst?
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
HA =
0 hAhA 0 1
1 0 hA
hA 0. . .
. . .. . . hAhA 0
.HB =
0 hBhB 0 1
1 0 hB
hB 0. . .
. . .. . . hBhB 0
.
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Rezonans allapotok
HA-nak es HB -nek altalaban nincsenek kozos sajat allapotai.
f ±k (2n − 1) = N e iΘk e ikn,
f ±k (2n) = ±N e−iΘk e ikn,
N = 12L−1/2, tan 2Θk = − sin k
h+cos k
ε±k = ±√
1 + h2 + 2h cos k.
f ±k,A =1
2(e i∆k ± e−i∆k )f +
k,B +1
2(e i∆k ∓ e−i∆k )f −k,B ,
ahol ∆k = ΘAk −ΘB
k
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Stroboszkopikus sajat allapotok
HA-nak es HB -nek altalaban nincsenek kozos sajat allapotai.De UA = exp(−iτHA)-nak es UB = exp(−iτHB)-nek vannak, ha
ε+k,Bτ = mBπ
vagyε+k,Aτ = mAπ
teljesul. (mB es mA pozitıv egesz.)
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Rezonans allapotok
HA-nak es HB -nek altalaban nincsenek kozos sajat allapotai.De UA = exp(−iτHA)-nak es UB = exp(−iτHB)-nek vannak, ha
ε+k,Bτ = mBπ
vagyε+k,Aτ = mAπ
teljesul. (mB es mA pozitıv egesz.)τ < π/2-re nincsenek kozos sajatvektorokτ ≥ π/2-re vannak kozos sajatvektorok, ezek kovetkezmenyekentjelennek meg a ballisztikus csucsok.
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Kiszorodasi ido
A rezonans kozeli allapotok is lassan szorodnak ki.Mennyire lassan?Ket dimenzios alter: |f +
k,A〉 es |f −k,A〉.|f (tn)〉 = F1(tn)|f +
k,A〉+ F2(tn)|f −k,A〉Tegyuk fel, hogy a kezdeti allapot |f +
k,A〉.Annak valoszınusege, hogy n lepes utan is ebben az allapotban vana rendszer:
P+k (t) ≡ |〈f +
k,A|f (t)〉|2.
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Kiszorodasi ido
UA =
[e−iε
+k,Aτ 0
0 e iε+k,Aτ
], UB =
[ω∗k −γkγk ωk
],
Definialjuk: F(n)ij ≡ F ∗i (tn)Fj(tn), i , j = 1, 2
Mester egyenlet ebben az alterben:
F(n)ij =
∑2k,l=1
12{[U
∗A]ik [UA]jl + [U∗B ]ik [UB ]jl}F
(n−1)kl .
Bevezetve a U ≡ 12 (U∗A⊗UA +U∗B ⊗UB) jelolest a mester egyenlet:
F (n) = UF (n−1).
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Kiszorodasi ido
U -nak mindig van egy egyseginyi sajatertekhez tartozosajatvektora: Az aszimptotikus allapot.A kiszorodas gyorsasagat a masodik legnagyobb sajatertek (rk)adja meg:
P+k (tn)− P+
k (∞) ∼ rnk ∼ e−tn/τk ,
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Kiszorodasi ido
0
1
2
3
-π -π/2 0 π/2 π
1/τ
k
k
τ=0.4 πτ=0.5 πτ=0.6 π
A rezonans moduszok kozeleben:1/τk ∼ (k − k0)nk0
Wk0 (t) ∼∫ k0+∆k
k0−∆k
e−t/τkdk ∼
∼∫ k0+∆k
k0−∆k
e−tC(k−k0)nk0
dk ∼ t−1/nk0 ,
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Osszefoglalas
τ < π/2→ nincs ballisztikus modusz → diffuzıv 1z = 1
2
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Osszefoglalas
τ < π/2→ nincs ballisztikus modusz → diffuzıv 1z = 1
2τ > π/2→ van ballisztikus modusz. A szorast a ballisztikusmodusz hatarozza meg.
τ = nπ2 W ∼ t−1/4 a = 1/4 1z = 2
2−a = 78
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Osszefoglalas
τ < π/2→ nincs ballisztikus modusz → diffuzıv 1z = 1
2τ > π/2→ van ballisztikus modusz. A szorast a ballisztikusmodusz hatarozza meg.
τ = nπ2 W ∼ t−1/4 a = 1/4 1z = 2
2−a = 78
τ 6= nπ2 , τ >π2 W ∼ t−1/2 a = 1/2 1
z = 22−a = 3
4
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Osszefoglalas
τ < π/2→ nincs ballisztikus modusz → diffuzıv 1z = 1
2τ > π/2→ van ballisztikus modusz. A szorast a ballisztikusmodusz hatarozza meg.
τ = nπ2 W ∼ t−1/4 a = 1/4 1z = 2
2−a = 78
τ 6= nπ2 , τ >π2 W ∼ t−1/2 a = 1/2 1
z = 22−a = 3
4
Megjegyzes: A magnesezettsegrees az entropiara vonatkozoeredmenyek is visszavezethetoeka bolyongasra, un.kvaziklasszikus modszerrel.
(a)
time
space
t
(b)
time
space
t
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja
Koszonom a figyelmet!
Jelen kutatast az OTKA K109577 szamu projekt, es a
TAMOP-4.2.2B-15/1/KONV-2015-2016 projekt tamogatta.
Roosz Gergo, Juhasz Robert, Igloi Ferenc
Fluktualo teru transzverz Ising-lanc dinamikaja