folleto 1ro-1

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

OPERACIONES EN Z

a + b = suma

Propiedades:a + b = b +a (a + b) + c = a + (b+ c)a + 0 = aa + (-a) =

Adición en Z

M – S = DEquivale a:M + (-S) = D(-S) opuesto de S

Propiedad:M = S + D

Sustracción en Z

a

1Multiplicación en Z* División entera exacta D d D = d . q R q

* División entera inexacta D d R q D = dq + R

Propiedad: d 0

División en Z

8 En una división el cociente es 63, el divisor 49, calcular el dividendo si se sabe que el residuo resultó máximo.

a) 3135 b) 3134 c) 3087 d) 3088 e) 3098

9 En una división el cociente es 73, el divisor es 84, calcular el dividendo si se sabe que el residuo resultó máximo.

a) 6215 b) 6124 c) 6130 d) 6131 e) 6214

10 Hallar la suma de cifras del cociente que se obtienen al dividir el número 47 256 entre 12. Siendo los términos de su división números enteros.

a) 12 b) 13 c) 23 d) 22 e) 21

11 Al dividir 8743 entre 13, la suma de sus cuatro términos es: a) 9435 b) 8763 c) 8948 d) 9415 e) 8838

12 Al dividir A entre B el cociente fue 7 y el residuo el más grande posible. El más grande posible. Si A + B = 107. Hallar A x B

a) 107 b) 95 c) 1120 d) 1140 e) 1020

13 En una división inexacta el cociente es 8 y el residuo 20. Al sumar el dividendo con el divisor con el cociente y con el residuo se obtiene 336. Hallar el dividendo.

a) 256 b) 20 c) 320 d) 276 e) 308

14 Si: W + R = 410 Además al dividir W entre R se obtiene 20 de cociente y 11 de residuo. Hallar: W – R a) 391 b) 372 c) 399 d) 389 e) 381

15 La suma de dos números es 13, su cociente es 1 y el residuo 3. Hallar el mayor de dichos números.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

FOLLETO PRÁCTICO

LA OPERACIÓN DE SUMARLa suma es la primera operación cuya necesidad siente el hombre; los dedos de las manos y las piedrecillas le bastaron en un comienzo, pero cuando irrumpe en el campo del comercio necesita fijar sus compras y sus ventas.

COMO SUMABAN LOS EGIPCIOS Y LOS CALDEO – ASIRIOS

Los egipcios y los caldeo-asirios efectuaron la suma haciendo huellas en

PROF.: SANTIAGO TASAYCO CARRASCO MATEMÁTICA PROF.: SANTIAGO TASAYCO CARRASCO MATEMÁTICA

NIVEL : SECUNDARIA

PROFESOR : SANTIAGO TASAYCO CARRASCO

TEMA : OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

BIMESTRE : I

CAPACIDAD : Resuelve problemas de contexto real que implican

primer momentoEl número 647

segundo momentoSe le agrega 285, separando con rayas.

tercer momentoSe dejan 2 en la columna de la derecha y separa una bolita a la 2da

cuarto momentoSe dejan 3 bolitas en la 2a y se pasa una a la 3era columna

d

D

EXACTA

r = 0

D d q 0

Ejemplo:

INEXACTA

r 0

D d q r

Ejemplo:

la arena, donde colocaban unas bolitas; cada una de esas bolitas en la huella de la derecha representaba un objeto; cada bolita en la siguiente huella (hacia la izquierda) representaba diez objetos; en la siguiente huella representaba cien objetos; en la cuarta, mil objetos, etc.

En el esquema que se da a continuación están los cuatro momentos de la suma de 647 + 285:

1. En una división el cociente es 78. El divisor 27 y el residuo 19. Calcular el dividendo.a) 2125 b) 2106 c) 2123 d) 2120 e) 2115

2. En una división el cociente es 83, el divisor 65 y el residuo 54. Calcular el dividendo.a) 5449 b) 5445 c) 5495 d) 5395 e) 5415

3. En una división el cociente es 19. El divisor 37 y el residuo es mínimo. Calcular el dividendo.a) 703 b) 702 c) 721 d) 704 e) 720

4. Calcular el dividendo si se sabe que en una división el cociente resulto 31, el divisor 23 y el residuo resultó mínimo.a) 713 b) 712 c) 731 d) 714 e) 733

5. Calcular el dividendo si se sabe que en una división el cociente resultó 53, el divisor es 37. El residuo resultó máximo.a) 1997 b) 1996 c) 1961 d) 1962 e) 1998

6. Calcular el dividendo si se sabe que en una división en cociente resultó 49, el divisor es 21 y el residuo resultó mínimo.a) 1029 b) 1030 c) 1031 d) 1059 e) 1050

7. En una división el cociente es 37, el divisor 52, calcular el dividendo si se sabe que el residuo resultó máximo.

a) 1975 b) 1943 c) 1934 d) 1974 e) 1933

TÉRMINOS:D : Dividendod : Divisorq : Cociente

CLASES DE DIVISIÓN ENTERA:


NIVEL : SECUNDARIA

PROFESOR : SANTIAGO TASAYCO CARRASCO

TEMA : OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

BIMESTRE : I

CAPACIDAD : Resuelve problemas de contexto real que implican

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

ADICIÓN EN EL CONJUNTO Z

NOTA PROPIEDADES:

i) r < d

ii) rmax = d – 1

iii) rmin = 1

COMO SUMABA PITÁGORAS Para sumar se valió del ábaco, el cual era una tabla de ocho columnas; la primera columna de la derecha representaba las UNIDADES; la siguiente de la izquierda representaba las DECENAS, la siguiente las CENTENAS, luego los MILLARES, etc.

o Encima de la raya horizontal de la tabla había en cada columna cuatro piedrecillas (cálculi), cada una de las cuales representaba una unidad de su respectivo orden (nosotros las hemos representado por bolitas claras). Debajo de la raza horizontal había en cada columna dos piedrecillas (nosotros las hemos representado por bolitas oscuras), cada una de las cuales representaba cinco unidades de su respectivo orden. La suma se efectuaba en la forma que casi todos nosotros hemos conocido en la escuela, al aprender a sumar en el ábaco.La figura de la izquierda representa un ábaco de operar, y la de la derecha representa el número 630,509.

COMO SUMABAN LOS HINDUES Después d dar un problema de suma en su famoso LILAVATI, BRASKARA lo efectuaba de la siguiente manera (1150 d.C.):

Sea por ejemplo: 4 + 8 + 215 + 56 + 869

Los sumandos se colocaban así:

4, 8, 5, 6, 9………….Suma de las unidades 3 2

1, 5, 6………… Suma de las decenas 1 2

2, 8………… Suma de las centenas 1 0

Suma total 1 1 5 2

LA LUCHA ENTRE ABACISTAS Y ALGORITMOS De la observación cuidadosa del ábaco y de la manera de operar con él se puede apreciar que en el ábaco estaban ya latentes los principios de la numeración decimal. Los partidarios del cálculo mediante las cifras escritas (algorítmicos) lucharon tenazmente por implantarlo y por desterrar el uso del ábaco (abacistas), pero estos últimos se resistían. Recién en el siglo XII triunfó la corriente renovadora del nuevo método de cálculo mediante las cifras escritas.


ADICIÓN Concepto.- Es la operación binaria que, dados 2 enteros a y b llamados sumandos, hace corresponder un tercer entero S llamado suma.

S = a + b

La división entre cero no

existe

50 = ∄ (no existe)

DIVISIÓN EN Z

Como se puede observar, en la parte superior está el cociente, debajo el dividendo y debajo de éste el divisor.Los restos se escribían encima del cociente y avanzando un lugar hacia la derecha, a partir del primero.

EL SIGNO DE LA DIVISIÓN

Los hindúes utilizaron ya la notación

ab para indicar la división, la cual

figura en el libro de Aritmética, de LEONARDO DE PISA (1175 - 1250).También los árabes indicaron la división por medio de fracciones. Pero en un libro publicado en 1669. Fue RAHN quien empleó el signo para indicar la división. El actual signo que usamos (:) fue introducido por LEIBNITZ en 1684.

LA OPERACIÓN DE DIVIDIRTanto los griegos como los romanos se sirvieron del ábaco para efectuar la división y operación que resultaba también muy complicada.

LOS EGIPCIOS Es muy posible que uno de los procedimientos más antiguos de la división fuese el egipcio, el cual se basaba en hacer duplicaciones y en tomar mitades.Así por ejemplo, la división de 105 entre 16 la hacía de la siguiente manera:

1er. Paso 2do.Paso 3er. Paso

1 vez 16 …………. 16 32 ……………………… 2 +2 veces 16 …………. 32 64 ……………………… 44 ” ” …………. 64 8 ………………………1/28 ” ” …………. 128 1 …………………… 1/16

105 6 9/161/2 ” ” …………. 8 1/4 ” ” …………. 4 1/8 ” ” …………. 2 1/16 ” ” …………. 1

Se necesitan buscar los números que en la 2º columna (del 1er. paso) sumen 105 (el dividendo). Luego, la suma de los correspondientes números de la columna de la izquierda (en el 1er. paso) nos da el cociente buscado, o sea 6 9/16 en este ejemplo.

LA DIVISIÓN EN LA EDAD MEDIA Damos a continuación un ejemplo de una de las maneras de operar que tenían en la Edad Media; se trata de la división del número 37,843 entre 218.


sumandossuma

3er. y último resto …………………… 1 2 92º resto ………………………………… 0 7 81er. resto ………………………… 1 6 0Cociente ………………………….. 1 7 3Dividendo ……………………….. 3 7 8 4 3

Concepto: La división es una operación inversa a la multiplicación, tal que conociendo 2 cantidades llamadas dividendo y divisor, se encuentra llamada cociente tal que multiplicada por el divisor reproduzca el dividendo.

¡¡Qué fácil!Ahora sumemos números negativos.

i) S = 15 + 3S = 18

ii) S = 22 + 45 + 18S = 85

iii) S = (-15) + (-13)PROCEDIMIENTOSe procede de la misma manera que se suman los números positivos con la única diferencia que el signo del resultado de la suma será (-).

S = - (15 + 13) = -28

iv) S = (-13) + (-8)S = -(13 + 8) = -21

v) S = (-15) + (-6) + (-9)S = -(15 + 6 + 9) = -30

1) S = 15 + 6 + 12 =2) S = (-8) + (-9) + (-13) =3) S = 42 + 48 + 80 =4) S = (-34) + (-12) + (-10) + (-8) =5) S = (-15) + (-16) + (-12) =6) S = -6 – 7 – 13 – 29 =

1. Indicar el elemento neutro de la suma.

a) +1 b) -1 c) –ad) a e) 0

2. Indicar el inverso aditivo de 5:

a) +5 b) 5 c) -5d) 1/5 e) -1/5

1. Un teniente quiere formar a sus soldados en 6 filas de 7 cada, pero observa que le faltarían 4 soldados, entonces la forma en 7 filas de 5. ¿Cuántos soldados le sobran ahora?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Se tiene una multiplicación de 2 factores. Si se triplica uno de ellos y se duplica el otro. ¿En cuánto varía el producto inicial?


Clausura: Si a Z b Z (a + b) Z

Conmutativa: Si a Z b Z (a + b) = (b + a)

Asociativa: Si a, b c Z (a + b) + c = a + (b + c)

Elemento Neutro : Si a Z a + 0 = a

Inverso Aditivo : Si a Z (-a ) Z / a + (-a)


a) 5 veces b) 6 c) 2d) 3 e) 4

3. El producto de 2 números es 396, si se añaden 3 unidades al multiplicador, el producto aumenta en 66 unidades. Hallar el factor mayor.

a) 25 b) 18 c) 7d) 22 e) 66

4. Si a 2 números enteros se le aumenta y disminuye 6 unidades respectivamente. El producto de ellos aumenta en 204 unidades. Hallar la diferencia de los números.

a) 60 b) 80 c) 40d) 50 e) 100

5. En qué cifra termina el resultado de multiplicar:E = 2(2 + 1) (22 + 1) (23 + 1) (24 + 1) … (224 + 1)

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 0

6. Entre dos personas tienen S/. 400 si la cantidad que tiene una de ellas es el triple de lo que tiene la otra. Hallar la cantidad mayor.

a) S/. 100 b) 200 c) 150d) 250 e) 300

7. Alberto tiene 10 años y Lucho tiene el triple de su edad. ¿En cuánto se diferencian sus edades?

a) 20 años b) 40 c) 15d) 25 e) 30

8. Cecilia va de compras, y gasta el triple de lo que gastó Paco más S/. 10. Si Paco gasto S/. 30, ¿Cuánto gastó Cecilia?

a) S/. 60 b) 70 c) 80

d) 100 e) 80

9. Carola compra 6 polos y Susan la tercera parte de la que compró Paula que fueron el doble de las que compró Carola. ¿Cuántos polos compraron en total?

a) 20 b) 16 c) 12d) 14 e) 22

10. Francisco tiene S/. 30 y Lucía tiene el doble de lo que tiene el menos S/. 10. Calcular la diferencia de dinero que tienen.

a) S/. 60 b) 70 c) 50d) 20 e) 30

11. Le preguntan a Juan Pablo por su edad y este responde si el doble de mi edad le suman 8, obtienen 40 años. ¿Cuál es la edad de Juan Pablo?

a) 48 años b) 50 c) 32d) 24 e) 18

Completa los casilleros vacíos y dar como respuesta la mayor de las cifras.

3. 9 8 7 2 +

3 4 3 5

7 6 2 3

1 5 2 9

Rpta.

4. 7 8 9 +

3 3 5 3

6 7 2

1 5 3

Rpta.

5. 9 9 3 +


Clausura: Si a Z b Z (a + b) Z

Conmutativa: Si a Z b Z (a + b) = (b + a)

Asociativa: Si a, b c Z (a + b) + c = a + (b + c)

Elemento Neutro : Si a Z a + 0 = a

Inverso Aditivo : Si a Z (-a ) Z / a + (-a)

TAREA DOMICILIARIA Nº 5

3 3 6

7 2 1 8

2 3

Rpta.

6. 8 9 3 +

2 3 1 5

6 7 2

5 3 1

9 3 6 9 Rpta.

Completa los casilleros vacíos y dar como respuesta la suma de dichos casilleros.

7. 5 7 3 +

4 9 2 3

5 3 3

3 6

Rpta.

8. 9 9 9 9 +

3 3

5 5 3 4

8 6

Rpta.

9. 3 4 2 1 +

5 2 6

2 3 9 7

7 8 2

Rpta.

10. 5 9 4 +

3 6 5

2 3 1

1 6 7 8 9

7 5 2 Rpta.

1. Jorge y Lucho tienen que llenar un depósito de agua de 360 de capacidad, con baldes de 8 y 3 litros respectivamente. En cada viaje, ¿Cuántos litros faltarán por llenar en el depósito, después de 20 viajes?

a) 220 lts. b) 140 c) 160d) 100 e) 150

12. Efectuar:A = (2 + 2 + 2 + 2 + … + 2) (3 + 3 + … + 3)

a) 200 b) 240 c) 100d) 150 e) 120

13. Efectuar:B = [(-3) + (-3) + (-3) + … + (-3)] x [(-2) (5)]

a) -33 b) -10 c) 330d) -330 e) -110

14. Entre Toño y Jorge tienen S/. 126. Si la cantidad que tiene Toño es 17 veces la que tiene Jorge. ¿Cuánto más tiene Toño que Jorge?

a) 129 b) 112 c) 17d) 34 e) 68

15. Las edades de Olinda y Manuela suman 78 años. Si la edad de Olinda es el doble que la de Manuela. ¿Cuál es la edad de Olinda?

a) 26 años b) 52 c) 13d) 39 e) 4


8 veces 5 veces

11 veces


2. Tom ahorra S/. 18 semanalmente, ¿Cuánto más tendrá en 5 semanas a partir de ahora?

a) S/. 90 b) 72 c) 108d) 81 e) 54

3. Se tiene una regla de 60 cm. que luego se parte en 2 pedazos. Si un pedazo es el doble del otro. ¿Cuánto mide el pedazo menor?

a) 10 cm. b) 20 c) 30d) 30 e) 50

4. Las edades de un padre y su hijo suman 95 años. Si la edad del hijo es la cuarta parte de la de su padre. ¿Cuál es la edad del hijo?

a) 19 b) 76 c) 38d) 57 e) 48

5. La suma de 2 números es -144, uno de ellos es igual a 5 veces el otro. ¿Cuál es el mayor?

a) -24 b) 24 c) -12d) -120 e) 120

6. Si Tito vende cada lápiz en S/. 6, ganaría S/. 48 en todos los lápices que tiene. Si cada lápiz le costo S/. 3. ¿Cuántos lápices vendió?

a) 16 b) 48 c) 32d) 96 e) 30

7. Pepita y Rosita tienen juntas S/. 240. Si lo que tiene Rosita es 5 veces lo que tiene Pepita. ¿Cuánto tiene Rosita?

a) S/. 40 b) 200 c) 160d) 120 e) 100

11. Carla tiene $20, Sonia tiene $50 más que Carla y Gloria $5 más de lo que tiene Sonia. ¿Cuánto dinero tienen entre las 3 juntas?

a) $ 75 b) 85 c) 95d) 105 e) 115

12. Jesús tenía 20 años cuando nació su hija Betty. Actualmente Betty tiene 20 años. ¿Cuánto suman las edades actuales de Jesús y Betty?

a) 40 b) 50 c) 30d) 60 e) N.A.

13. La suma de 3 números enteros consecutivos es 90. Hallar el número intermedio.

a) 20 b) 21 c) 30d) 31 e) N.A.

14. La suma de 2 números enteros negativos es -28. Hallar el mayor sumando que cumple está condición.

a) -27 b) -1 c) -14d) -15 e) -16

15. Se tienen 51 números enteros consecutivos. Si el menor es 20. Hallar el número mayor.

a) 71 b) 52 c) 72d) 70 e) 69

Simplificar:

16. M = +12 + 39 + 42 + 83 =

17. N = 981 + 1293 + 1939 =

18. O = -491 – 490 – 992 =

19. Q = -582 – 583 – 592 =

20. R = -672 – 693 – 963 =


1. Indicar el inverso aditivo de:-53 – 52

a) +1 b) -1 c) +105d) -105 e) 0

Completa los casilleros vacíos en los siguientes ejercicios:

2. 2 8 +

9 2 5

6 3 7

3 6 3 4

3. 6 1 9 +

7 3 5 3

2 6 1

8 4

8. La diferencia de un número y el triple de -4 es -8. ¿Cuál es el número?

a) -20 b) 12 c) -12d) 4 e) -4

9. La suma de 2 números es -12 y su producto es +35. Hallar el mayor.

a) -7 b) 7 c) -5d) 5 e) N.A.

10. El triple de un número aumentado en 8 es igual a -10. ¿Cuál es el número?

a) 6 b) -18 c) 18d) -12 e) -6

11. El domingo nevó en la ciudad de Puno, se formó una capa de 78 cm. de nieve y si la capa de nieve disminuye en promedio 5 cm. Cada día. ¿Cuál será el espesor de la capa de nieve 6 días después?

a) 48 cm. b) 38 c) 108d) 58 e) 68

12. Desde hace 6 minutos, José esta cargando Gasolina en el tanque de un

auto, a razón de 7 por minuto. En este momento el tanque tiene 31 litros, indicar la cantidad de gasolina que tendrá dentro de 2 minutos.

a) 73 lts. b) 45 c) 38d) 49 e) 56

13. La fábrica Rylos tiene un gastó diario de S/. 2300, el gasto acumulado hasta hoy S/. 18 500. Calcular el gasto acumulado que tuvo hace 4 días.

a) S/. 16 200 b) 9 300 c) 14 900d) 10 300 e) 9 200

Lenguaje LenguajeEscrito simbólico

El duplo deun número …………………………

El doble de un número …………………………aumentado en 5

Cinco vecesun número …………………………

El recíprocode x + 4 …………………………

14. Multiplica:a) (-8) x (-7) x (6) =



b) (-5) x (-2) x (-3) x (2) =c) (4) x (9) x (-6) x (-1) =d) (3) x (8) x (4) x (-1) =e) (7) x (-3) x (5) x (2) =

15. Escribe en el cuadrado el número que hace verdadera la igualdad y la propiedad utilizada.

a) (-8) x (+12) = x (-8) …………………………………

b) (-24) x = -24 …………………………………

c) [(-5) x (-4)] x (-6) = (-5) x [ x (-6)]……….

4. 1 5 8 +

7 6 3 1

9 4 5

3 4 5 6 7

5. 6 9 6 9 +

1 3 5

7 2 8

7 6 4 3 9

6. 4 5 +

7 2

2 3 8 9

3 9 3 4 5

7. 5 3 +

4 9 3 7

1 3 3 3 3

8. 4 8 9 9 +

3

9 5 2 1 1

9. +

7 9 2 5

8 9 2 1

10. 1 4 9 7 3 +

1 6 5 7 3

11. 1 7 2 1 +

4 3

3 5 6

Completar los casilleros vacíos y dar como respuesta la cifra mayor

12. 9 9 7 +

4 3 8

5 6 7 2

5 1 3 6 5

Rpta.

13. 4 4 5 +

3 1 2

2 3 8 9

Rpta.

Completar los casilleros vacíos y dar como respuesta la suma de dichos casilleros.

14. 5 6 7 +

3 7 9 9

3 8 4 3

6 4 5 9

Rpta.


¡Qué fácil!

RESUELVE:

ii) (-5) x (-3) x (-2) x (7) =iii) (5) x (3) x (2) x (4) =iv) (-9) (-4) (-3) (2) =v) (-3) (-6) (-7) =

OBSERVACIÓN:2) Par x Par = Par3) Par x Impar = Par4) Impar x Impar = Impar

5) Inverso multiplicativo de un número entero ‘a’ es:

1a

PROPIEDADES:

1) Clausura: Si a Z b Z (a x b) Z2) Conmutativa: Si a Z b Z a x b = b x a 3) Asociativa: Si a, b c Z (a x b) x c = a x (b x c)4) Elemento neutro: Si a Z a x 1 = a

5) Inverso: Si a Z ( 1a )

Z / (a) ( 1a )

= 1multiplicativo

Resolver:(4) x (-6) x (2)

PASO 1:

Se multiplican los valores numéricos normalmente.4 x 6 x 2 = 48

PASO 2:Se cuentan los signos negativos, si es un número par el resultado es positivo, si es impar es negativo.

(4) x (-6) x (2) = 480 resultado = -480 final

Para la división se procede igual

NO CONFUNDIR:

-6 – 7 + 5 -6 x – 7 x 5 = (-6) (-7) (5)

15. 1 5 2 +

7 7 3

8 9 2 1

Rpta.

16. Pepe tiene 12 caramelos y Toto tiene 8 caramelos más que Pepe y Juan Carlos tiene 5 caramelos más que Toto. Hallar cuántos caramelos tienen entre los 3 juntos.


LEY DE SIGNOS:

Un solo signo

1 es impar

Adición y sustracci

ón

multiplicación

4

32

7

32

7

2

7

77

a) 47 b) 45 c) 50d) 57 e) 52

17. La suma de 4 números enteros consecutivos es 38. Hallar el menor de los números.

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

18. La suma de 2 números enteros negativos es -38. Hallar el mayor sumando que cumple está condición.

a) -37 b) -1 c) -36d) -35 e) -2

19. Se tienen 101 números enteros consecutivos. Si el menor es 30. Hallar el mayor.

a) 71 b) 131 c) 130d) 129 e) 128

20. La suma de las edades actuales de un padre y su hijo es 60 años, hallar la suma de sus edades dentro de 15 años.

a) 65 años b) 75 c) 90d) 80 e)

LA OPERACIÓN DE RESTAR Las reglas para efectuar la resta son de origen hindú;

de los hindúes las tomaron los árabes, quienes las llevaron a Europa. Sin embargo, ellos comenzaban a restar por las unidades de mayor orden, es decir, por la izquierda.

LOS ÁRABES Damos a continuación un ejemplo de la forma como operaba MAHOMED BEN MUSA (ALKUARIZMI), astrónomo de Bagdad (siglo IX). Por supuesto que nosotros empleamos en el ejemplo nuestras actuales cifras, para que se comprenda mejor.

Se trata de la siguiente resta: 11,387 – 4,153 = 7,234

DISPOSICIÓN 1ER. PASO 2DO. PASO 3ER. PASO 4TO. PASO

(Conforme efectuaban las restas parciales, comenzando por la izquierda iban borrando las cifras; para mayor objetividad, en nuestro ejemplo hemos representado por puntos a las cifras que iban borrando).

LOS HINDÚES: EL MÉTODO COMPLEMENTARIO

Este método fue usado ya por BHASKARA en su “Lilavati” (1150 d.C.), aunque es casi seguro que su origen sea más antiguo.El procedimiento es el siguiente:

P = a + a + a + … + a + a

P = a x n

P = 5 + 5 + 5 + … + 5 + 5

P = 5 x 8 = 40


“n”

multiplicand

producto multiplicad

“8”

SUSTRACCIÓN EN EL CONJUNTO Z

MULTIPLICACIÓN EN Z

6a8

5a4

4a5

3

2

6

3a

2a

1a

2

7

5

24

16

48

12

82

4

15

10

30

4 7 0

3 8 4 9 x 9 6 3 1 1 5 4 7 2 3 0 9 4 3 4 6 4 1 3 7 0 6 5 8 7

Minuendo Diferencia

M = 7 + 7 + 7 + … + 7 + 7

M = ( ) x ( ) =

M = 6 + 6 + 6 + … + 6 + 6

N = ( ) x ( ) = 66

COMO MULTIPLICABAN EN LA EDAD MEDIA Daremos a continuación, un ejemplo de cómo efectuaban

la multiplicación en Europa durante la Edad Media, empleando un procedimiento hindú bastante perfeccionado por los árabes.

Sea la multiplicación: 845 x 326 = 275,470

Multiplicación en la Edad Media:845 x 326 = 275,470 Como se puede observar, ya multiplicaban cada cifra del multiplicador

por cada una de las cifras del multiplicando, escribiendo íntegramente cada uno de los productos de las cifras. Para obtener el resultado final sumaban oblicuamente los resultados parciales, tal como lo indican las flechas del grabado, y comenzando por la parte inferior derecha (donde dice 1º).

NUESTROS ACTUAL MÉTODO DE MULTIPLICAR En un tratado de PACIOLI y con una disposición que casi no difiere de la actual, ya se encontraba la multiplicación en la forma que se da a continuación.

Método actual 3849 x 963 = 3’706.587

1) Se halla el complemento aritmético del sustraendo (para lo cual se resta cada una de sus cifras de 9, excepto la última significativa, que se resta de diez).

2) Se suma el minuendo con el complemento aritmético hallado.3) Del resultado se resta la unidad seguida de tantos ceros como cifras

tenga el sustraendo. Esta diferencia es el resultado final.

E J E M P L O S :

1) 92 – 37 = (92 + 63) - 100 = 155 – 100 = 55 2) 685 – 193 = (685 + 807) – 1000 = 1492 – 1000 = 492 3) 4,5783 – 395 = (45783 + 605) – 1000 = 46388 – 1000 = 45,388


Concepto.-Es la operación inversa a la adición que consiste en: Dados dos números enteros llamados minuendo y sustraendo. Encontrar un tercer número llamado diferencia.

Concepto: Operación aritmética directa que consiste en repetir una cantidad denominada multiplicando tantas veces como lo indique otra, llamada multiplicador.

“12”

“ "

mmmmmm

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

cxxiii clxvd ll vvv cc xxxdd lll cccddd ccccc lllll xxx vvv ccccccc l xxxx vddddmmmm cc l xxxx v

1

2

34567

2 4 5 x 1 24 9 0- - 0

M – S = D M = S + D

1) 4 8 5 -

3 2 8

2) 5 7 9 -

3 2 7

Completa los casilleros vacíos en los siguientes ejercicios.

1) 5 2 3 -

4 8

5 9 3

3) 9 2 2 -

2

3 7 7 7

LOS GRIEGOS Tuvieron un gran auxiliar en la tabla de doble entrada desde la época de Pitágoras, a quien se le considera su inventor; fue ésta la razón por la cual se le bautizó con su nombre.

COMO MULTIPLICABAN LOS ROMANOS Damos a continuación un ejemplo de como los romanos efectuaban la

siguiente multiplicación:

123 x 165 = 20,295

NOTA: El resultado final que aparece en la última fila, pero escrito en la forma moderna que nosotros

conocemos, es XX CCXCV .

Se podría aclarar la anterior multiplicación, de la siguiente manera: 2) Se escriben los factores.3) Se escriben unos debajo de otros los

respectivos productos que resultan de multiplicar las cifra V, X, L, C del multiplicador, por una de las cifras del multiplicando, ubicando adecuadamente en columna los numerales iguales.

4) Se escriben todos los resultados parciales en una sola fila.

5) Dos V se convierten en X; cuatro L en dos C (paso 4); cinco C en D (paso 5); cuatro D en dos M (paso 6).El resultado final, escrito

ordenadamente, es XX CCXCV .

LA OPERACIÓN DE MULTIPLICAR

Antiguamente resultaba muy trabajosa la operación de multiplicar, debido sobre todo al poco o ningún conocimiento o uso del valor de posición en la


¡Qué fácil!¡Ahora práctica tú!

2) 4 9 3

-

2 2

4) 7 9

-

6 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 810

12

14

16

18

3 6 912

15

18

21

24

27

4 812

16

20

24

28

32

36

510

15

20

25

30

35

40

45

612

18

24

30

36

42

48

54

718

21

28

35

42

49

56

63

816

24

32

40

48

56

64

72

918

27

36

45

54

63

72

81

escritura de los números; y hasta tal punto era engorrosa que los romanos, por ejemplo, la mandaban hacer con los esclavos.

LOS EGIPCIOS Para efectuar la multiplicación recurrieron ellos a las duplicaciones sucesivas, las cuales eran adecuadamente seleccionadas y sumadas después.

Así, para multiplicar 32 por 27, operaban de la manera siguiente:

DUPLICACIONES SUCESIVAS DUPLICACIONES ESCOGIDAS

* 1 ……………………… 3 2 1 6………………………….. 5 1 2

* 2 ……………………… 6 4 8………………………….. 2 5 6

* 4 ………………… 1 2 8 2………………………………. 6 4

* 8 ………………… 2 5 6 1………………………………. 3 2

*1 6 ………………… 5 1 2 2 7 Veces 328 6 4

OBSERVACIONES:

II. En el ejemplo dado, las duplicaciones escogidas se han indicado con una asteriscoIII. Después de duplicar sucesivamente el multiplicando 32, hasta un límite prudente, se escogen aquellas duplicaciones cuya suma de su número de veces, sea igual al multiplicador 27.

LOS BABILONIOS Simplificaron un tanto, porque tenían tablas de multiplicar grabadas en arcilla

cocida.

5) 4 3 -

2 5 7

1 6 9 8

7) 7 9 -

5 3

2 4 3 1

1. Todo signo de colección (paréntesis ( ); corchetes [ ]; llaves { }; precedido por un signo +; puede ser suprimido, escribiendo los números contenidos en su interior cada uno con su propio signo).

S = + 5 + (15 + 10) + (15 - 9) = + 5 + (+25) + (+6) = +5 + 25 + 6 = +36

ii) S = +12 + (9 - 6) + (6 - 8) = +12 + (+3) + (-2)

= +12 + 3 – 2 = 13

2. Todo signo de colección parecido por un signo “-” puede ser eliminado, escribiendo luego los números contenidos en su interior con su signo cambiado.

i) S = -(15 – 16 – 32 - 19) S = -15 + 16 + 32 + 19 S = +67 - 15 = + 52

ii) S = -(-95 + 33 + 96 - 32) = 95 – 33 – 96 + 32 = +127 – 129 = - 2

Completar los casilleros vacíos:


REGLA DE SIGNOS:

6) 9 5 7

-

5 6

8) 6 6

-

3 3


1) 1 8 -

2 7 3

4 1 2 6

3) 1 5 4 6 5 -

8 9 3

2

5) 4 8 9 9 -

3

5 2 1 1

13) Si los 3 términos de una sustracción suman 1280. Hallar el minuendo.

a) 600 b) 680 c) 640d) 620 e) 660

14) Si los 3 términos de una sustracción suman 590. Hallar la suma del sustraendo más la diferencia.

a) 390 b) 245 c) 295d) 380 e) 395

15) Si al minuendo de una sustracción le quitamos 36 y al sustraendo le aumentamos 36. ¿En cuánto varía la diferencia?a) No aumenta ni disminuyeb) Disminuye 72c) Aumenta 72d) Disminuye 36e) Aumenta 36

16) Si al minuendo de una sustracción el sumamos 150 y al sustraendo le quitamos 220. ¿En cuánto varía la diferencia?a) Aumenta 70

b) Disminuye 70c) Aumenta 370d) Disminuye 370e) No aumenta ni disminuye

Resolver:17) M = -(45 – 38 - 93) – (69 - 79) =18) N = -(95 – 96 - 101) – (39 + 39) =19) P = -(93 – 83 - 73) + (95 - 101) =20) Q = -(59 – 63 - 72) – (83 + 94) =

Completar los casilleros vacíos y dar como respuesta la suma de cifras de dichos casilleros vacíos.

9) 1 5 7 9 -

8 6 5 2 3

3 4

a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) 34

10) 9 8 7 3 -

5 4 3 6

6 2

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

11) 8 9 3 -

4 5 7 2 3

3 3

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

12) 8 9 3 -

4 3 3 6

7 2 3


2) 4 9 3

-

2 2

4) 7 9

-

6 9

6)

-

7 9 2 5

a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 22

Completar los casilleros vacíos y dar como respuesta la cifra mayor.

7) 4 4 5 -

3 2 1 2

1 1 8 9

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8) 1 5 3 -

5 4

8 7 6 3

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

9) 9 3 7 2 -

5 4 6 5

3 3

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

10) 5 3 9 2 1 -

3 2

3 3 3

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

12) Si los 3 términos de una sustracción suman 144. Hallar el minuendo.

a) 24 b) 36 c) 72d) 48 e) 60

13) Si los 3 términos de una sustracción suman 360. Hallar la suma del sustraendo más la diferencia.

a) 90 b) 270 c) 180d) 360 e) 135

13) Si al minuendo de una sustracción le sumamos 230 y al sustraendo le sumamos 90. ¿En cuánto varía la diferencia?a) Aumenta 320b) Disminuye 320c) Aumenta 140d) Disminuye 140e) No aumenta ni disminuye

14) Si al minuendo de una sustracción le sumamos 53 y al sustraendo le restamos 17. ¿En cuánto varía la diferencia?

f) Aumenta 70g) Disminuye 70h) Aumenta 36i) Disminuye 36j) N.A.

15) La suma de 11 números enteros consecutivos es 99. Hallar la diferencia entre el mayor y el menor.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

16) M = -(15 – 16 – 9 + 8) =

17) N = -(13 + 19 -6) + (9 – 7 - 5) =

18) P = -(30 + 26 - 93) – (15 - 16) =

19) Q = -(8 – 9 – 7 – 13) + (15 - 9) =



20) R = -(7 + 6 - 9) – (3 – 3 - 6) =

Completa los casilleros vacíos.

1) 1 3 - 2) 9 5 3 5 -

5 3 4 7 9 2

6 7 3 3 8 6 8

3) 3 5 3 9 3 - 4) 9 8 5 7 3 -

2 3 3 7 6 5 4 9 3 6

5) 9 2 3 - 6) 3 2 3 5 -

8 7 3 6 6 7 2 1

5 2 3 2 3

7) 8 8 7 2 - 8) 2 2 3 5 -

7 3 4 3 3 3 2 6

6 5 1 3


Documents

folleto 1ro-1