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Fondamenti di Analisi Matematica 2

Vicenza, 1 Luglio 2019

TEMA1

1. Data la funzione �(t) = arctan(t)5

t, e l’equazione y

0 � log(5)y = b(t), determi-

nare b(t) affinch

`

e �(t) sia soluzione dell’equazione differenziale.

� a) b(t) =

11+t2 e

5t

� b) b(t) =

11+t25

t

� c) b(t) = � 11+t2 e

5t

� d) b(t) = � 11+t25

t

2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C

1(D) dove D = {(x, y) | x2

+y

2< 16, }. Allora

necessariamente:

� a) Poich

`

e il dominio D

`

e semplicemente connesso, F

`

e conservativo.

� b) Se rot F 6= 0, allora il campo

`

e conservativo.

� c) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F

`

e nulla,

allora il campo

`

e conservativo.

� d) Le risposte precedenti sono tutte errate

1. Definizione di curva in Rne di curva piana. Per le curve piane, dare la definizio-

ne del versore normale ed scrivere l’equazione implicita della retta tangente.

2. Teorema del Dini in R3.

Tempo: 40 minuti.

`

E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

Fondamenti di Analisi Matematica 2

Vicenza, 1 Luglio 2019

TEMA1

1. Sia � la curva data dall’intersezione di y = 3 e x

2 � 2x + z

2+ 6z + 1 = 0.

Parametrizzare � e calcolare l’integrale curvilineo:

Z

�

y(z + 3)

2ds.

2. Per ogni a 2 R si consideri l’equazione differenziale:

y

00(t) + ay

0(t)� 2a

2y(t) = te

t.

(a) Determinare i valori del parametro a 2 R tali che l’equazione omogenea

associata abbia come integrale generale

y(t) = c1et+ c2e

�2t.

(b) Per i valori determinati nel punto precedente trovare l’integrale dell’equa-

zione completa.

3. Si consideri D = {(x, y) 2 R2 | y � x� 2, y � �5x� 2, y �x

2+ 4}.

(a) Disegnare D

(b) Calcolare ZZ

D

|x| dxdy

Pu

`

o essere utile ricordare che:

cos

2(t) =

1 + cos(2t)

2

, sin

2(t) =

1� cos(2t)

2

.

2 bis) (punti 3,5)

Trovare l’integrale dell’equazione differenziale:

y

00(t)� 3y

0(t) + 2y(t) = te

t.

sapendo che l’equazione omogenea associata ha come integrale generale

y(t) = c1et+ c2e

2t.