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Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 1 Luglio 2019
TEMA1
1. Data la funzione �(t) = arctan(t)5
t, e l’equazione y
0 � log(5)y = b(t), determi-
nare b(t) affinch
`
e �(t) sia soluzione dell’equazione differenziale.
� a) b(t) =
11+t2 e
5t
� b) b(t) =
11+t25
t
� c) b(t) = � 11+t2 e
5t
� d) b(t) = � 11+t25
t
2. Sia F (x, y) un campo vettoriale, C
1(D) dove D = {(x, y) | x2
+y
2< 16, }. Allora
necessariamente:
� a) Poich
`
e il dominio D
`
e semplicemente connesso, F
`
e conservativo.
� b) Se rot F 6= 0, allora il campo
`
e conservativo.
� c) Se esiste una curva chiusa lungo la quale la circuitazione di F
`
e nulla,
allora il campo
`
e conservativo.
� d) Le risposte precedenti sono tutte errate
1. Definizione di curva in Rne di curva piana. Per le curve piane, dare la definizio-
ne del versore normale ed scrivere l’equazione implicita della retta tangente.
2. Teorema del Dini in R3.
Tempo: 40 minuti.
`
E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 1 Luglio 2019
TEMA1
1. Sia � la curva data dall’intersezione di y = 3 e x
2 � 2x + z
2+ 6z + 1 = 0.
Parametrizzare � e calcolare l’integrale curvilineo:
Z
�
y(z + 3)
2ds.
2. Per ogni a 2 R si consideri l’equazione differenziale:
y
00(t) + ay
0(t)� 2a
2y(t) = te
t.
(a) Determinare i valori del parametro a 2 R tali che l’equazione omogenea
associata abbia come integrale generale
y(t) = c1et+ c2e
�2t.
(b) Per i valori determinati nel punto precedente trovare l’integrale dell’equa-
zione completa.
3. Si consideri D = {(x, y) 2 R2 | y � x� 2, y � �5x� 2, y �x
2+ 4}.
(a) Disegnare D
(b) Calcolare ZZ
D
|x| dxdy
Pu
`
o essere utile ricordare che:
cos
2(t) =
1 + cos(2t)
2
, sin
2(t) =
1� cos(2t)
2
.
2 bis) (punti 3,5)
Trovare l’integrale dell’equazione differenziale:
y
00(t)� 3y
0(t) + 2y(t) = te
t.
sapendo che l’equazione omogenea associata ha come integrale generale
y(t) = c1et+ c2e
2t.
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