Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria Esercitazione del 23 gennaio 2012: 1.spazi e tempi di percorrenza in accelerazione 2.spazi e tempi di percorrenza

Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Esercitazione del 23 gennaio 2012:1. spazi e tempi di percorrenza in accelerazione2. spazi e tempi di percorrenza in frenatura

Master universitario di II livello inIngegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi

FerroviariAnno Accademico 2011/2012

Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi FerroviariFondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

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Condizioni di moto

Equazione generale del moto:

dt

dvmsRvRvT e )()()(

Sosta o quiete: velocità nulla e assenza di forze attive e resistenze

Movimento o moto: velocità diversa da zero, resistenze sempre presenti e forze attive presenti o assenti nelle diverse fasi (forze attive assenti = deriva), caratterizzato da fasi a: velocità costante (di regime) T-R=0 → dv/dt=0 velocità crescente (accelerazione) T-R>0 →

dv/dt>0 velocità decrescente (decelerazione) T-R<0 →

dv/dt<0


3

Soluzione dell’equazione generale del moto

Equazione generale del moto:

dt

dvmsRvRvT e )()()(

con: )1()1( mmmm caricotarae

Separando le variabili ed integrando si ottiene il diagramma del moto:

)()()( sRvRvT

dvmdt e


4

Integrazione per differenze finite (metodo del Δv)

Caratteristica meccanica di trazione T del mezzo, resistenze al moto R e sforzi acceleratori T - R

T

v

Tmax

vmax

T

R(T – R)m

vmv1 v2

Δv = v2 – v1

vm = v1 + Δv/2


5


Approssimazione: all’interno dell’intervallo di velocità Δv si considera il moto ad accelerazione costante pari al valore dell’accelerazione nel punto medio (am)

iPRT

v

g

P

iPvRvT

vmt

mmme

)(

6,3/)1(

1000

)()(

con P espresso in [t], T ed R in [kg] e Δv in [km/h].Ricavato l’andamento della velocità in funzione del tempo, essendo ds=vdt, integrando ancora per differenze finite si ottiene la curva dello spazio percorso in funzione del tempo (diagramma di marcia), che costituisce l’obiettivo della presente esercitazione:

tvs m


6

È la componente della forza peso lungo l’asse della traiettoria con verso opposto a quello della velocità

con:

per angoli piccoli. E quindi:

senPRsalita

P

P sin α

α

vitgsen o oo[ / ]

kNNir

NiPR

salita

salita

/

Resistenza alla salita


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Esempi di diagrammi di marcia

Diagramma del moto ad accelerazione costante

Diagramma del moto ad accelerazione linearmente decrescente


8


Sostituendo un’accelerazione variabile con un valore medio si commette un errore, per ridurre il quale è necessario ridurre l’ampiezza degli intervalli finiti Δv.Si potevano calcolare gli spazi percorsi anche direttamente dall’equazione generale del moto:

)()()( sRvRvT

dvmdt e

ricordando che v=ds/dt → dt=ds/v e quindi:

)()()( sRvRvT

vdvmds e


9

Fasi del moto analizzate col metodo del Δv (esempio)

Metodi alternativi al Δv: metodo Δs (si parte fissando gli intervalli di spazio) o Δt (si fissano gli intervalli di tempo).

V1

[km/h] 1

V2

[km/h] 2

V [km/h]

3

Vm

[km/h] 4

Tm

[kg] 5

Rm

[kg] 6

(T-R)m

[kg] 7

t=Y (*) (s) 8

t=t [s] 9

s=Vmt/3,6

(m) 10

s=s (m) 11

0 10 10 5 16000 2000 14000 10,7 10,7 14,8 14,8 10 20 10 15 18000 2000 16000 9,7 20,4 40,5 65,3 20 30 10 25 17500 2200 15300 9,8 30,2 68,0 133,3 30 40 10 35 15000 2400 12600 12,0 42,2 116,5 249,8

(*) Y = 1000 P v (1 + ) / [3,6 g (T - R)m]

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Esempio di soluzione per il gruppo “B”:

1. spazi e tempi di percorrenza in accelerazione2. spazi e tempi di percorrenza in frenatura

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1. Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione

con:

iPRT

v

g

P

iPvRvT

vmt

mmme

)(

6,3/)1(

1000

)()(

273273

71,010005,05,1

005,05,1)( 22

mmm vPvP

KSvR

0,1t273 P

e quindi:

iPRT

v

iPRT

vt

mm

)(8503

)(

6,3/)1(

81,9

2731000

tv

s m 6,3


12


Gli spazi percorsi si possono calcolare, con maggior precisione, partendo direttamente dall’equazione generale del moto. Infatti:

iPRT

VV

iPRT

VV

iPRT

VV

g

Pvdv

iPRT

ms

m

if

m

if

m

ifV

vm

e f

i

)(1181

)(96,12281,9

1,1273

)(

6,32/)1(

)(

2222

222


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Caratteristica meccanica di trazione del TAF:

T≈214 kN==214·(1.000/9,81

)kg ≈21.814 kg

65 km/h

T≈200 kN==200·(1.000/9,81

)kg ≈20.387 kg


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Soluzione se il tracciato fosse piano:[km/h] [km/h] [km/h] [km/h] [kg] [kg] [t] [‰] [kg] [kg] [s] [s] [m] [m]

Vi Vf V Vm F R P i P·i F-R-P·i t t s s

0 10 10 5 21800 410 273 0 0 21390 4,0 4,0 5,5 5,5

10 20 10 15 21800 417 273 0 0 21383 4,0 8,0 16,6 22,1

20 30 10 25 21800 432 273 0 0 21368 4,0 11,9 27,6 49,7

30 40 10 35 21800 453 273 0 0 21347 4,0 15,9 38,7 88,5

40 50 10 45 21800 481 273 0 0 21319 4,0 19,9 49,9 138,3

50 60 10 55 21800 517 273 0 0 21283 4,0 23,9 61,0 199,3

60 70 10 65 20400 559 273 0 0 19841 4,3 24,2 77,4 276,7

N.B. È possibile notare come nel tratto da 0 a 60 km/h, nel quale la caratteristica meccanica è costante, si possano scegliere Δv maggiori ottenendo circa la medesima approssimazione:

[km/h] [km/h] [km/h] [km/h] [kg] [kg] [t] [‰] [kg] [kg] [s] [s] [m] [m]


0 20 20 10 21800 413 273 0 0 21387 8,0 8,0 22,1 22,1

20 40 20 30 21800 441 273 0 0 21359 8,0 15,9 66,4 88,4

40 60 20 50 21800 498 273 0 0 21302 8,0 23,9 110,9 199,3

60 70 10 65 20400 559 273 0 0 19841 4,3 20,2 77,4 276,7


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Ma attenzione alla pendenza del tracciato che varia:


16


Soluzione che tiene conto delle livellette:

Controllare di non aver considerato la pendenza del tracciato pari al 1,47% per una estensione maggiore di quella effettiva. Altrimenti occorre ridurre il Δv (procedimento iterativo).

[km/h] [km/h] [km/h] [km/h] [kg] [kg] [t] [‰] [kg] [kg] [s] [s] [m] [m]


0 10 10 5 21800 410 273 2,5 692 20698 4,1 4,1 5,7 5,7

10 20 10 15 21800 417 273 2,5 692 20691 4,1 8,2 17,1 22,8

20 30 10 25 21800 432 273 2,5 692 20677 4,1 12,3 28,6 51,4

30 40 10 35 21800 453 273 2,5 692 20655 4,1 16,4 40,0 91,4

40 50 10 45 21800 481 273 2,5 692 20627 4,1 20,6 51,5 142,9

50 60 10 55 21800 517 273 14,7 4015 17268 4,9 25,5 75,2 218,2

60 70 10 65 20400 559 273 14,7 4015 15826 5,4 26,8 97,0 315,2


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2. Spazi e tempi di percorrenza in frenatura

Equazione generale del moto in caso di frenatura:

dt

dvmiPRF ef

da cui, integrando, si ottiene:

iPRF

vviPRF

vviPRF

vv

g

PiPRF

vvm

iPRF

dvmt

f

fi

f

fi

f

fi

f

fie

v

v fe

f

i

8503

6,3

1,1

81,9

2731000

6,3)1(

1000


18


Analogamente, ricordando che dt=ds/v, per gli spazi si ha:

iPRF

vdvmds

ds

dvvmiPRF

f

eef

da cui, integrando, si ottiene:

iPRF

vv

iPRF

vv

iPRF

vv

g

P

vv

iPRF

m

iPRF

vdvms

f

fi

f

fi

f

fi

fi

f

ev

v fe

f

i

22

22

2

22

22

1181

296,12

1,1

81,9

2731000

26,3)1(

1000

2


19


Nel caso in esame per la forza frenante si ha:

kgfffPF ff 3003002731,110001000

con:

t3,300t2731,11,1frenatopeso

attritod'tecoefficien

pP

f

f


20


Soluzione:[km/h] [km/h] [km/h] [km/h] [kg] [t] [‰] [-] [kg] [kg] [m] [m] [s] [s] [m/s2]

Vi Vf V Vm R P i f Ff R+Pi+Ff s s t t d

60 50 10 55 517 273 0 0,15 45045 45562 28,51 28,51 1,866 1,87 1,49

50 40 10 45 481 273 0 0,16 48048 48529 21,90 50,42 1,752 1,75 1,59

40 30 10 35 453 273 0 0,17 51051 51504 16,1 66,5 1,65 5,27 1,68

30 20 10 25 432 273 0 0,20 60060 60492 9,8 76,2 1,41 4,81 1,98

20 10 10 15 417 273 0 0,25 75075 75492 4,7 80,9 1,13 5,94 2,47

10 0 10 5 410 273 0 0,35 105105 105515 1,1 82,0 0,81 6,74 3,45

1. Verificare che il treno possa arrestarsi iniziando a frenare dalla velocità massima di 60 km/h nell’ultima tratta orizzontale (di lunghezza pari a 279 m).

2. Provare ad imporre una decelerazione massima di2 m/s2:

d

vvs

t

vvd fifi

2

222

6,32;sm2

6,3

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