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Matematica
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Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 1
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 2
TÍTULO DE LA OBRA
Formulario de ÁLGEBRA EDICIÓN 2012 Derechos Reservados © AUTORES:
Prof.: William Mostacero Montoya
Prof.: Elio Necochea Aybar DIAGRAMACIÓN Y ARTE CENTRO DE CÓMPUTO ACADEMIA PARDO * Wilfredo Cárdenas Jincho E-mail: [email protected]
Academia PARDO R.D. 1560 Av. Collasuyo O – 17 (detrás de la UNSAAC) Teléfono: (084) 315018 CUSCO / PERÚ
Prohibida la reproducción de esta obra
por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso y/o legal del editor.
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LEYES DE EXPONENTES
Leyes principales:
I. Producto de bases iguales:
m n m na .a a
II. Cocientes de bases iguales:
mm n
n
aa
a
III. Exponente cero:
0
a 1 a 0
IV. Exponente negativo:
m
m
1a
a a 0
V. Potencia de un producto:
p
m n m.p n.pa b a b
VI. Potencia de un cociente:
pm m.p
n n.p
a a
b b
VII. Potencia negativa de un
cociente:
m ma b
b a
VIII. Potencia de potencia
pnm m n p
a a
Nota:
pn
pnm m
Exponente dePotencia deexponentePotencia
a a
IX. Exponente fraccionario:
mn
n ma a
Nota:
mn nma a
X. Raíz de un producto:
n n n n
a b c a b c
XI. Raíz de un cociente:
nn
n
a a
b b
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XII. Raíz de raíz:
m n p mnpa a
EXPRESIONES CON UN NÚMERO
LIMITADO DE RADICALES:
1. m n m.n.ppq I s (qn I)p s
a . a . a a
2. nm m m mm
"n " radicales
. . . a a
3.
nn
m 1
m 1mm m m m
"n" radicales
a. a. a ... a a
Expresiones al Infinito
n n n n 1a a a... a
n n n n 1a a a... a
mm n 1nn n n n 1
"m" r adicales
a a a... a
b bb bbx b
x b
xx
x a
ax a
a a 1 a a 1 ... a
a a 1 a a 1 ... a 1
ECUACIONES EXPONENCIALES
Propiedades:
1. Para bases iguales:
m na a m = n
2. Para exponentes iguales:
m ma x a = x
3. Para bases y exponentes
iguales:
x yx y x = y
También llamada: “Ley de
Analogía”
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GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
GRADO DE UN MONOMIO:
Grado Relativo.- Esta determinado
por el exponente de dicha
variable
Grado Absoluto.- Esta
determinado por la suma de los
exponentes de dichas variables:
Ejemplos:
MONOMIO 4 5 12
M(x,y,z) 7x y x
GRADOS
RELATIVOS
GR(x) = 4
GR(y) = 5
GR(z) = 12
GRADO
ABSOLUTO 4 + 5 + 12 = 21
GRADO DE UN POLINOMIO:
Grado Relativo.- Determinado por
el exponente de mayor grado.
Grado Absoluto.- Determinado por
el término de mayor grado.
Ejemplos:
POLINOMIO P(x,y)=3x5
y7
– 2x9
y2
GRADOS
RELATIVOS
GR(x) = 9
GR(y) = 7
GRADO
ABSOLUTO
Es el grado del
primer término: 12
OPERACIONES CON POLINOMIOS:
Dado los polinomios P(x) de grado
m y Q(x) de grado n ; siendo
m > n
Operación Procedimiento Grado
resultante
Adición:
P(x) + Q(x)
El grado
resultante es el
del polinomio
de mayor
grado.
m
Sustracción:
P(x) – Q(x) m
Multiplicación:
P(x) . Q(x)
Sumando los
grados de los
factores.
m + n
División:
P(x) Q(x)
Restando el
grado del
dividendo
menos el
grado del
divisor
m – n
Potenciación:
[P(x)]k
Multiplicando
el grado de la
base y el
exponente.
m k
Radicación:
KP(x)
Dividimos el
grado del
Radicando
entre el índice.
m
k
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POLINOMIOS ESPECIALES
1. POLINOMIO HOMOGÉNEO:
Todos sus términos poseen igual
grado.
Ejemplo:
5 8 12 10 3
G 13G 13 G 13
P(x,y) 4x y 7xy x y
Se dice que: P(x,y) es
homogéneo, cuyo grado de
homogeneidad es 13.
2. POLINOMIO ORDENADO:
Presentan un orden ascendente
o descendente en los
exponentes de sus variables.
Ejemplo:
9 2 7 8 4 10 2 15P(x,y) x y 4x y 3x y x y
El polinomio está ordenado con
respecto a “x” en forma
decreciente y con respecto a
“y” en forma creciente.
3. POLINOMIO COMPLETO:
Es aquel que tiene desde su
máximo exponente, en forma
consecutiva, hasta el grado
cero (término independiente)
Ejemplo:
P(x) = 2x4
– 3x3
+ 8x2
– x + 5
P(x,y) = x3
+ 3x2
y + 3x y2
+ y3
OBSERVACIONES:
En todo polinomio completo y
ordenado de una sola
variable se cumple que el
número de términos estará
determinado por el grado del
polinomio aumentado en la
unidad.
# términos Gº 1
En todo polinomio completo y
ordenado (en general para
todo polinomio) se cumple
que su suma de coeficientes
se obtiene reemplazando a la
variable o variables con las
cuales se está trabajando por
la unidad.
Coeficientes P(1)
Análogamente el término
independiente (T.I.) se obtiene
reemplazando a la(s)
variable(s) por cero.
T.I. = P(0)
4. POLINOMIOS IDÉNTICOS:
Dos polinomios, del mismo
grado y con las mismas
variables, serán idénticos si los
coeficientes de sus términos
semejantes en ambos son
iguales.
Ejemplo:
5 2 5 2ax bx c 3x 7x 9
Se cumple que:
a = 3 ; b = –7 ; c = 9
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5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE
NULO:
Cuando los coeficientes de sus
términos son nulos o ceros.
Ejemplo:
Si: ax3
+ bx + c = 0
Se cumple:
a 0 ; b 0 ; c 0
NOTA: Se dice que un
polinomio es Mónico, cuando el
coeficiente principal es la unidad.
PRODUCTOS NOTABLES
I. BINOMIO AL CUADRADO (T. C. P.)
(trinomio cuadrado perfecto)
* 2 2 2a b a 2ab b
* 2 2 2a b a 2ab b
Observación: 2 2a b b a
Corolario: Identidad de Legendre:
* 2 2 2 2a b a b 2 a b
* 2 2a b a b 4ab
II. DIFERENCIA DE CUADRADOS.
* 2 2a b a b a b
* 2n 2n n n n nx y x y x y
III. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL
CUBO.
* 3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b
forma desarrollada.
* 3 3 3a b a b 3ab a b
forma abreviada: Cauchy
* 3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b
forma desarrollada.
* 3 3 3a b a b 3ab a b
forma abreviada: Cauchy
IV. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.
* 3 3 2 2a b a b a ab b
* 3 3 2 2a b a b a ab b
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V. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL
CUADRADO.
2 2 2 2a b c a b c 2ab 2ac 2bc
forma desarrollada.
2 2 2 2
a b c a b c 2 ab ac bc
forma abreviada.
VI. PRODUCTOS DE BINOMIOS CON
UN TÉRMINO COMÚN: STEVIN
* 2x a x b x a b x ab
VII. DESARROLLO DE UN TRINOMIO
AL CUBO.
* 3 3 3 3 2 2
2 2 2
a b c a b c 3a b 3ab
3b c 3ac 3bc 6abc
*
3 3 3 3a b c a b c
3 a b a c b c
VIII. IDENTIDAD DE ARGAND.
* 2m m n 2n 2m m n 2n
4 2m 2n 4n
x x y y x x y y
x x y y
* 4k 2k 2k k 2k kx x 1 x x 1 x x 1
XI. IGUALDADES CONDICIONALES.
1. Si: a b c 0 ; se demuestra:
* 2 2 2a b c 2 ab ac bc
*
3 3 3a b c 3abc
Importante (Ojito)
* 4 4 4 2 2 2 2 2 2a b c 2 a b a c b c
* 5 5 5a b c 5abc ab ac bc
2. Si: 2 2 2
a b c ab ac bc
Donde: a, b, c
Entonces: a = b = c
3. Si se verifica que:
a2
+ b2
+ c2
+ … + n2
= 0
Será posible, cuando:
a = b = c = … = n = 0
Teorema:
La expresión:2
ax bx c es un
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
si, y sólo si se verifica que:
2b 4ac .
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COCIENTES NOTABLES
FORMA GENERAL:
n nx a
x a
; donde: x; a son las
bases y n N
Condiciones que deben de
cumplir:
a) Deben tener las bases iguales
b) Deben tener los exponentes
iguales.
FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL
DEL DESARROLLO DE LOS
COCIENTES NOTABLES:
n k k 1kT (signo)x a
Donde k es el lugar pedido y n es
el exponente de los bases en el
numerador.
Regla para el signo:
a) Cuando el divisor es de la forma
(x–a) todos los términos son
positivos.
b) Cuando el divisor es de la forma
(x+a) los términos de lugar par
son negativos y los términos de
lugar impar son positivos.
PROPIEDAD:
Si:
m n
p q
x a
x a
; origina un cociente
notable
Entonces se cumple: m n
p q
Además:
m nNúmero de términos
p q
PROPIEDADES
– El cociente notable de:
n nx a
x a
es un polinomio homogéneo de
grado de homogeneidad (n–1);
es un polinomio de “n” términos
completo y ordenado con
respecto a ambas variables.
- Se puede determinar el término
central de un cociente notable
siguiendo estas
consideraciones:
1. Si el número de términos es
par:
1C n
2
T T
2C n 2
2
T T
2. Si el número de términos:
impar
C n 1
2
T T
- Si contamos los términos a partir
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 10
del último, para hallar el término
de lugar “k” sólo
intercambiamos los exponentes;
así:
k 1 n kkt (signo)(x) (a)
FACTORIZACIÓN
Es la transformación de un
polinomio en una multiplicación
indicada de sus factores primos o
sus potencias.
No todos los polinomios se pueden
factorizar. De acuerdo a las
características que presenten los
polinomios se pueden aplicar tal o
cual criterio, por ejemplo:
ax2y
2+bxy
3z+cx
3my
4
Factor
Común
Ax2n
+Bxny
m+Cy
2m
Aspa
Simple
Ax2n
+Bxny
m+Cy
2m+Dx
n+Ey
m+F
Aspa
doble
Ax4n
+Bx3n
+Cx2n
+Dxn+E
Aspa
Doble
Especial
Ax3+Bx
2+Cx+D
Divisores
Binómicos
FACTOR DE UN POLINOMIO:
Un polinomio f(x) de GRADO NO
NULO, es considerado factor de
otro polinomio P(x) si existe un
único polinomio q(x) tal que:
es decir, la división de P(x) entre
f(x) es exacta.
Ejemplo:
De P(x) = x(x2
– 1)(x + 2), sus
factores son:
x; x+1; x–1; x+2; x2
+2x; …;
x(x+1)(x-1)(x+2)
POLINOMIO IRREDUCTIBLE:
Un polinomio es irreductible sobre
un determinado campo numérico
si no admite ser expresado como
la multiplicación de dos o más
factores sobre el mismo campo.
TEOREMA
Todo polinomio de primer
grado es irreductible en
cualquier campo numérico.
NOTA: Los conjuntos
numéricos considerados como
CAMPOS NUMÉRICOS son los
P(x) ≡ f(x) . q(x)
2
x 9x 22 x 2 x 11
factorización
producto
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racionales ( ) , los reales ( ) y
los complejos ( ) .
Propiedades de los polinomios
irreductibles en un campo
numérico
*) Todo polinomio de primer
grado es irreductible
*) Si el polinomio P es irreductible
lo es también cualquier
polinomio cP donde “c” es un
elemento de dicho campo
(c 0) .
FACTOR PRIMO:
Es un factor irreductible de un
polinomio sobre un determinado
campo.
Ejemplo:
P(x) = 5(x – 2)2
(x2
+ 3x + 1)
Sus factores primos en Q, son:
x – 2 ; x2
+ 3x + 1
en cambio (x – 2)2
no es primo,
puesto que es divisible por: (x – 2).
Conteo de Factores Primos:
El número de factores primos de
un polinomio (factorizado) se
obtiene contando los factores
primos que se encuentran como
base de una potencia y que
contienen a la variable, es decir,
los factores distintos que se hallan
contenidos.
Ejemplos:
Q(x) = x(x – 4)2
(x2
+1)5
(x2
+ y2
)
Tiene 4 factores primos.
2 lineales: x ; x – 4
2 cuadráticos: x2
+ 1 ; x2
+ y2
P(x) = 5(x – 1)4
(x + 2)2
(x – 1)2
Tiene 3 factores primos.
Número de Factores Algebraicos:
Este número de factores
algebraicos también se les
denomina divisores.
Número de factores
Dado: x y z
Factores primos son 3: x , y , z
Factores algebraicos:
(+1)(+1)(+1) – 1
Factores o divisores:
(+1)(+1)(+1)
Ejemplo: Dado 2
(x 2)(y 1)
* Factores primos: 2
* Factores algebraicos:
(1+1)(2+1) – 1 = 5
* Divisores: (1+1)(2+1) = 6
CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
CRITERIO DEL FACTOR COMÚN
El factor común es el que figura
en cada uno de los términos. De
no haber, se puede obtener
agrupando convenientemente los
términos.
CRITERIO DEL ASPA SIMPLE
Es apropiado para factorizar
polinomios de la forma:
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2n n m 2m
P x;y AX BX Y CY
CRITERIO DE LAS IDENTIDADES
Es necesario recordar:
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
a b (a b)(a b)
a b (a b)(a ab b )
a b (a b)(a ab b )
(a b) a 2ab b
(a b) a 3a b 3ab b
CRITERIO DEL ASPA DOBLE
Este método se utiliza para
factorizar polinomios de la forma:
2m m n 2n m n
P x;y AX BX Y CY DX EY F
Pasos que se deben seguir:
Ordenar el polinomio de
acuerdo a la forma general
mostrada.
Si faltase algún término, se debe
completar con ceros; pero de
acuerdo a donde le
corresponda.
Se aplica tres aspas simples
como se muestra en el esquema
y los factores se toma
horizontalmente.
CRITERIO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL
Se utiliza para factorizar
polinomios de la forma:
4m 3m 2m m
P x AX BX CX DX E
En particular polinomios de cuarto
grado
4 3 2
P x AX BX CX DX E
Procedimiento de factorización:
Ordenar el polinomio en orden
descendiente completando los
términos faltantes con ceros.
Se descomponen los términos
extremos tratando de que el
aspa simple entre ellos se
aproxime al término central.
CRITERIO DE LOS DIVISORES
BINÓMICOS O EVALUACIÓN
BINÓMICA
Este método se emplea para
factorizar polinomios de una
sola variable y de cualquier
grado.
2n n m 2m n m
AX BX Y CY DX EY F
n1a x
n2a x
n1c y
n2c y 2f
1f
4 3 2
P(x) AX BX CX DX E
21 1 1a x c x e
22 2 2a x c x e
Lo que
le falta
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 13
Se basa en el criterio de
divisibilidad de polinomios y por
lo tanto usa el criterio del
teorema del resto en forma
inversa.
Si: P x x a R P a 0 ;
luego x a es un divisor o
factor de P x
Ceros de un polinomio (Ceros
Racionales)
Es el conjunto de valores que
puede tomar la variable de un
polinomio y hacer que el valor
numérico sea igual a cero:
Ejemplo:
Sea 3 2
P x x 6x 11x 6
Para: x 1
3 2
P 1 1 6 1 11 1 6 0
Luego podemos decir que: “1 es
un cero del polinomio P x ”
¿Cómo debes determinar los
posibles ceros de un polinomio?
1) Si el polinomio tiene como
primer coeficiente la unidad:
En este caso los posibles ceros
racionales estarán dados por los
divisores del término
independiente con signo doble
( ) .
Si: 3 2
P x x 6x 11x 6
Divisores
Entonces los posibles ceros están
determinados por:
div 6: 1 ; 2 ; 3 ; 6
2) Si el primer coeficiente del
polinomio es diferente de la
unidad.
En este caso se toman los
valores fraccionarios que
resultan de dividir los divisores
del término independiente entre
los divisores del primer
coeficiente.
Divisores del términoPosibles independiente
ceros =Divisores del primer
Racionales coeficiente
Sea el polinomio:
3 2
P x 6 x 11x 6x 1
Posibles ceros:
Posibles ceros:
1 1 1
1; ; ; 2 3 6
CRITERIO DE LOS ARTIFICIOS
Este método consiste en darle una
forma adecuada al polinomio;
divisores del término
independiente 1
divisores del primer
coeficiente 6
1
1, 2, 3, 6
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 14
operando en forma conveniente,
realizando cambios de variable o
sumando y restando una misma
cantidad con la finalidad de hacer
más sencilla su factorización.
1. CAMBIO DE VARIABLE: Consiste
en buscar expresiones iguales
directa o indirectamente a
través de ciertas
transformaciones para luego
proceder a un cambio de
variable que permitirá
transformar una expresión
aparentemente compleja en
otra más simple.
2. “QUITA Y PON” O REDUCCIÓN A
DIFERENCIA DE CUADRADOS:
Consiste en sumar y restar una
expresión (quitar y poner) de
modo tal que haciendo ciertas
reducciones logres formar un
trinomio cuadrados perfecto y
como consecuencia de ésta
situación se forme una
diferencia de cuadrados.
3. SUMAS Y RESTAS ESPECIALES:
Consiste en sumar y restar una o
varias expresiones en forma
conveniente de tal modo que se
formen uno de los trinomios:
2 2
x x 1 ó x x 1
ambos componentes de una
diferencia o suma de cubos.
RADICACIÓN
DEFINICIÓN.- Son aquellos que se
caracterizan porque dentro de un
radical se encuentran contenidos
otros radicales ligados con otras
expresiones a traves de las
operaciones de suma o resta
Ejemplos:
A B ; 3 x y ;
a b c d
CONVERSIÓN DE RADICALES
DOBLES A SIMPLES:
CASO 1:
A C A CA B
2 2
Donde: 2
C A B
Raiz exacta
Regla práctica de transformación:
A 2 B x y
x+y x.y
( x y )
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CASO 2:
Estos radicales bajos ciertas
condiciones adoptan la forma
siguiente:
a b c d x y z
a b c d x y z
CASO 3:
Radicales de la forma: 3
A B
Estos radicales podrán adoptar la
forma siguiente:
3A B = x y
Donde :
3 2C A B
Además : 3
A 4 x 3x C
A su vez : 2
y x C
RACIONALIZACIÓN
CASO I:
Denominador F.R. Resultado
n q
a n q
n n qa
a
CASO II:
Cuando el denominador es de la
forma:
n n2 2a b
Denominador F.R. Resultado
a b a b a b
CASO III:
Denominador F.R. Resultado
3 3a b 3 32 23a ab b a+b
3 3a b 3 32 23a ab b a – b
ECUACIONES
CLASIFICACIÓN DE LAS
ECUACIONES
I. De acuerdo al Grado: Pueden
ser de primer grado, segundo
grado, tercer grado, etc.
II. De acuerdo a sus coeficientes:
Pueden ser con coeficientes
numéricos o literales.
III. De acuerdo a sus incógnitas:
Pueden ser ecuaciones con 1,
2, 3, etc. incógnitas. Ejm.
x + y + z = 9 (Ecuaciones con
3 incógnitas)
x + y = 5 (Ecuaciones con 2
incógnitas)
IV. De acuerdo a sus soluciones:
Pueden ser:
A. Ecuación Posible o
Compatible:
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Son aquellas ecuaciones que
tienen o admiten solución y
pueden ser:
1. Determinadas: Si tienen un
número limitado de
soluciones: Ejm.
(x 3)(x 2) 0 C.S. 3; 2
2. Indeterminadas: Si tienen un
número ilimitado de
soluciones: Ejm.
x 3 x 3
2 2
4x 12x 9 4x 12x 9
B. Ecuación imposible,
incompatible o absurda:
Es aquella ecuación que no
admite solución, o cuya
solución no satisface a la
ecuación: Ejm.
2x 4 2x 7
2
0x 3
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Llamadas también ecuaciones
lineales tienen la siguiente forma
general:
ax b 0 ; donde: b
xa
Discusión de la raíz:
1. Si: a 0 y b 0 ; la ecuación
es determinada y el valor de “x”
es único: b
xa
.
2. Si: a 0 y b 0 ; la ecuación
es determinada y la ecuación
tiene solución única: x = 0.
3. Si: a 0 y b 0 ; la solución es
incompatible.
4. Si: a 0 y b 0 ; la ecuación
es indeterminada.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son aquellas que tienen la
siguiente forma general:
2ax bx c 0 para: a 0
Resolución de una ecuación de
2º grado.
1. Por factorización: La ecuación
se factoriza y cada uno de los
factores se iguala a cero.
2. Por fórmula general: (Baskara)
2b b 4ac
x2a
Donde: 2
b 4ac es el
discriminante de la ecuación
cuadrática y denotamos por:
2b 4ac
Estudio de las raíces de una
Ecuación de 2º grado: Las raíces
de la ecuación de segundo
grado dependen de la cantidad
subradical. (Discriminante). Casos
que se presentan:
Si: > 0
Las raíces son reales y
diferentes.
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 17
Si: = 0
Las raíces son reales e
iguales.
Si: < 0
Las raíces son
complejas y
conjugadas.
Propiedades de las raíces:
Sea: 2
ax bx c 0 ; donde x1
x2 son raíces. Luego se
cumple:
1) Suma de raíces: 1 2b
x xa
2) producto de raíces: 1 2c
x xa
OTRAS PROPIEDADES:
1) 1 2|x x |a
2)
1 2
1 1 b
x x c
3) 2 2
1 2 1 2 1 2x x x x 4x . x
4) Si las raíces son simétricas:
1 2x x 0 b = 0
5) Si las raíces son recíprocas:
1 2x x 1 a = c
6) Sean las ecuaciones:
2
ax bx c 0 …(I) a 0
2
mx nx c 0 …(II) m 0
Si estas ecuaciones poseen las
mismas soluciones se cumple:
a b c
m n p
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º
GRADO
2 1 2 1 2x ( x x ) x ( x x ) 0
ECUACIONES BICUADRADAS
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Sea: 4 2
ax +bx + c = 0 ;
y sus raíces: 1 2 3 4x , x , x , x
1) 1 2 3 4x x x x 0
Suma de raíces.
2) 1 2 3 4c
x x x xa
Producto de raíces.
3) 1 2 3 4b
x x x xa
Producto binario.
Formación de una Ecuación
Bicuadrada
Si las raíces son: x1 , x
2 , x
3 , x
4 ; la
ecuación se formara haciendo.
2 2 3 4(x x )(x x )(x x )(x x ) 0
x4+(x
1. x
2 + x
3. x
4) x
2 + (x
1. x
2 . x
3. x
4)=0
DESIGUALDADES E INECUACIONES
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 18
DESIGUALDAD: Es aquella relación
que se establece entre 2 números
reales y que nos indica que tienen
diferente valor.
NOMENCLATURA:
> : mayor que
< : menor que
: mayor o igual que
: menor o igual que
TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LAS
DESIGUALDADES:
1. a > b y m R a m > b m
2. a > b y m > 0 a.m > b.m
y a
m >
b
m
3. a > b y m < 0 a.m< b.m
y a
m <
b
m
4. a > b y m # impar R
m mm m
a b y a b
5. a > b y m # par R
m m m ma b y a b a;b R
6.
1 1a b
a b
7. x y
b 1 b b x y
8. x y
a b 1 b b x y
INTERVALO: Es aquel subconjunto
de los números reales
definiéndoseles como aquel
conjunto de valores comprendido
entre dos limites, llamado límite
superior o supremo y límite inferior
o ínfimo.
CLASES DE INTERVALOS:
1. Intervalo Abierto: Se caracteriza
porque es un intervalo en el
cual no se considera a los
extremos se representa: ó
x a,b a x b
2. Intervalo Cerrado: Es aquel
intervalo en el cual se considera
a los extremos y se representa:
x a,b a x b
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Forma general: ax + b > 0 ó
ax + b < 0
Para resolver una ecuación lineal
se transforma para todos los
x
a b
x
a b
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 19
términos que contiene a la
variable “x” al primer miembro y
las constantes al segundo
miembro y luego en la recta
numérica se identifica el intervalo
al cual pertenece la variable.
INECUACIONES DE ORDEN
SUPERIOR
Forma general:
2
ax bx c 0 ó
2
ax bx c 0
CRITERIOS A SEGUIR PARA RESOLVER
ESTE TIPO DE INECUACIONES
1. El coeficiente principal debe ser
positivo y la inecuación debe
estar reducida de modo que el
segundo miembro figure el cero.
2. La expresión debe estar
factorizada para luego igualar
cada factor a cero.
3. Se ubican dichos valores sobre
la recta numérica (puntos
críticos).
4. Se empieza por asignar el signo
(+) en el último intervalo y luego
en los demás intervalos de
variación se alternan los signos
(), (+), (), (+),.... de derecha a
izquierda.
5. La solución de la inecuación
estará dada por las zonas
positivas si el sentido de la
desigualdad es (>) o por las
zonas negativas si el sentido de
la desigualdad es (<).
Recordar:
JENA
(+) >
(–) <
Cuando los factores de P(x) son
todos lineales y algunos ceros son
de multiplicidad mayor que uno.
Suponiendo que (x-r) es el factor
que se repite “m” veces entonces
puede ocurrir lo siguiente:
1. Si m es par
Cuando un factor esta elevado
a un exponente “par” los signos
de los intervalos no son
alternados (se repite el mismo
signo)
2. Si m es impar
Cuando un factor esta elevado
a un exponente impar los signos
en los intervalos no se alteran
INECUACIONES FRACCIONARIAS
Los puntos críticos obtenidos del
denominador siempre son
“ABIERTOS”.
INECUACIONES IRRACIONALES
INECUACIONES CON RADICALES
Para resolver inecuaciones con
radicales se debe tener
precaución con los signos sobre
todo cuando eliminamos los
radicales se requiere hacer un
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 20
análisis del campo de variación
de la variable contenida en el
radical toda vez que la solución
dependa de este campo.
TEOREMAS:
1. 2
a b a 0 b 0 a b
2. Si:
2
a 0 b 0
a b
a 0 b 0 a b
3. Si: a b 0
a 0 b 0
Nota: Observe que el índice
radical es impar y cuando ello
ocurre el conjunto de valores
admisibles es todo R entonces la
existencia de la expresión ya está
garantizada solo nos quedaría
transformar esta ecuación en otra
equivalente para poder
determinar su conjunto solución.
INECUACIONES EXPONENCIALES
1. x y
b 1 b b x y
2. x y
0 b 1 b b x y
VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN: El valor absoluto de
un número real “x” denotado por
|x|; se define de la siguiente
manera:
x; si : x 0
|x| 0; si : x 0
x; si : x 0
EJEMPLOS:
* |3| = 3
* |–5| = – (–5) 5
Conclusión: El valor absoluto de
un número real cualquiera será
siempre positivo o cero.
PROPIEDADES:
1. |x| 0
x R
2. |x|2
= x2
x R
3. |x| = |–x|
x R
4. |x.y| = |x|.|y|
x,y R
5. x x
y y
x,y R y 0
6. |x y | |x| |y |
Desigualdad triangular.
ECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
1. |x| = 0 x = 0
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 21
2. |x| = a
a 0
x a y x a
NOTITA: Si: |x| = –a; la
ecuación es incompatible, es
decir no tiene solución.
3. Si: |x|=|y| x = y ó x = –y
INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
1. |x| y y 0 –y x y
2. |x| y x y ó x –y
3. |x| |y| (x+y)(x–y) 0
4. |x| |y| (x+y)(x–y) 0
POTENCIACIÓN
FACTORIAL DE UN NÚMERO:
Es el producto de los “n” primeros
números naturales y representados
por el símbolo n! .
n 1 2 3 ... n 1 n
donde n N n 1
Simbologías:
n! Kramp ; n notación inglesa
PROPIEDADES:
1. Por convención: 0! 1
2. Por definición: 1! 1
3. n! n n 1 !
4. Si: a! b! Se cumple que: a=b
5.1 1! 2 2! 3 3!
n n! n 1 ! 1, n
6.
1 2 3 n 11
2! 3! 4! n 1 ! n 1 !
ANÁLISIS COMBINATORIO:
nk
nC
k n k
PROPIEDADES:
1. n1C n
2. 0
n nnC C 1
3. Degradación de índices:
Ambos índices:n n 1k k 1
nC C
k
Solo índice superior:
n n 1k k
nC C
n k
Solo índice inferior:
n nk k 1
n k 1C C
k
4. Combinaciones Complementarias:
n nk n kC C
5. Suma de combinaciones:
n n n 1k k 1 k 1C C C
TEOREMA
Si: n nk pC C
k p
k p n
6. Suma de C.B. de inferiores
iguales y superiores
decrecientes:
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 22
m m 1 m 2 n m 1n n n n n 1 ; n
7. Suma de equivalentes en la
versión de complementos:
m m 1 m 2 n m 1m n 0 m nm n 1 m n 2
Donde: m,n , m n
8.
9. m m m m m m 11 3 5 7 m 1 2
Donde: m impares
10.
Donde: m pares
11.
BINOMIO DE NEWTON
TÉRMINO GENERAL
TEOREMA
Si: n
x y
n n k kk 1 kT x y
; x,y
0 k n n
TÉRMINO CENTRAL
TEOREMA
Si: 2n
x y
2n n ncentral núnico
T x y
LOS TÉRMINOS CENTRALES
TEOREMA
Si: 2n 1
x y ; x, y ; n
2n 1 n 1 n1er central nT x y
2n 1 n n 12do central n 1T x y
Observar:
2n 1 2n 1n n 1
LOS TÉRMINOS T Y T’ EQUIDISTANTES
DEL DESARROLLO DE n
x y
TEOREMA
n n k kk+1 kT x y
n k n kk+1 kT ' x y
SUMA DE COEFICIENTES DE
n
x y
En:
n n
coef x y 2 ; Luego de
hacer: x y 1
n
coef x y 0 ; Luego de
hacer: x y 1
SUMA DE EXPONENTES DEL
DESARROLLO DE n
x y
m m m m m m0 1 2 3 m 2 ; m
m m m m m m 10 2 4 6 m 1 2
m n m n m n m n m np 0 1 2 0 p pp 1 p 2 ...
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 23
n n 1
Exp ; n2
MATRICES
Se llama matriz de orden
" m n " a un conjunto
rectangular de elementos ija
dispuestos en “m” filas y en “n”
columnas. El orden de una matriz
también se denomina dimensión o
tamaño, siendo m y n números
naturales.
El primer subíndice (i) indica la fila,
el segundo (j) la columna. Así, el
elemento 32a es el que está en
la tercera fila y la segunda
columna
11 12 1n
21 22 2n
ij
m1 m2 mn
a a a
a a aA
a
a a a
El número total de elementos de
una matriz m nA es mn.
Matrices Iguales: Dos matrices
ij m nA (a ) y ij p qB (b )
Son iguales, sí y solo sí, tienen en
los mismos lugares elementos
iguales:
m n a b
p q c d
Es decir:
m a , n b ; p c , q d
TIPOS DE MATRICES
Hay algunas matrices que
aparecen frecuentemente y que
según su forma, sus elementos,
reciben nombres diferentes:
FILA: Aquella matriz que tiene una
sola fila, siendo su orden 1 n
1 3A 7 2 5
COLUMNA: Aquella matriz que
tiene una sola columna, siendo su
orden m 1 .
3 1
7
A 1
6
TRANSPUESTA: Dada una matriz A,
se llama transpuesta de A, a la
matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las
columnas.
Se representa por t
A ó T
A
Si es ij m nA a
Su transpuesta es t
ji n mA a
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 24
1 2 5A
3 4 7
;
t1 3
A 2 4
5 7
MATRIZ NULA: Todos sus elementos
son ceros:
0 0
0 0
MATRIZ CUADRADA.- Aquella matriz
que tiene igual número de filas
que de columnas, m = n,
diciéndose que la matriz es de
orden n.
Diagonal principal: Son los
elementos 11a , 22a , ... , nna
Diagonal secundaria: Son los
elementos ija con i j n 1
Traza de una matriz cuadrada: es
la suma de los elementos de la
diagonal principal tr A
3
1 9 6
A 0 2 1
2 4 5
Tr(A) 1 2 5 Tr(A) 8
MATRIZ DIAGONAL.- Es una matriz
cuadrada que tiene todos sus
elementos nulos excepto los de la
diagonal principal
7 0 0
A 0 5 0
0 0 2
MATRIZ ESCALAR.- Es una matriz
cuadrada que tiene todos sus
elementos nulos excepto los de la
diagonal principal que son iguales
7 0 0
A 0 7 0
0 0 7
MATRIZ IDENTIDAD.- Es una matriz
cuadrada que tiene todos sus
elementos nulos excepto los de la
diagonal principal que son iguales
a 1. También se denomina matriz
unidad.
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
2
1 0I
0 1
MATRIZ TRIANGULAR.- Es una matriz
cuadrada que tiene todos los
elementos por encima (por
debajo) de la diagonal principal
nulos.
a) Triangular superior: Si son nulos
los elementos por debajo de la
diagonal principal. Es decir:
1 3 5
A 0 4 1
0 0 9
T. superior
b) Triangular inferior: Si son nulos los
elementos por encima de la
diagonal principal. Es decir:
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 25
1 0 0
A 5 4 0
2 8 7
T. inferior
Matriz Simétrica:
Si A es una matriz simétrica
entonces está debe ser igual a su
transpuesta, es decir:
TSi: A A A es simétrica
Matriz Antisimétrica:
También llamada matriz
hemisimétrica, se dice que una
matriz es antisimétrica, si esta es
igual a la negativa de su
transpuesta, es decir:
TSi: A A A es antisimétrica
NOTITA: Los elementos de la
diagonal principal son ceros.
Operaciones con Matrices
1. Adición y/o sustracción de
matrices:
la condición necesaria y
suficiente para que 2 matrices
se pueda efectuar una adición
o sustracción es que estas
posean el mismo orden (m n) .
2. Multiplicación de una Matriz por
un escalar:
Se define del siguiente modo:
ij ijm n m nk A k a k a
3. Multiplicación de matrices
Dadas las matrices A y B existe
le producto matricial A B si y
solamente si el # de columnas
de A es igual a # de filas de B.
IMPORTANTE
Siendo A una matriz, e I una matriz
identidad, ambas matrices
cuadradas del mismo orden,
entonces se verifica que:
1° A . I = I . A = A
2° In
= I, con n número
natural.
3°
Una matriz A se dice
INVOLUTIVA si se cumple
que A2
= I
PROPIEDADES:
Si A, B, C, son matrices que
cumplen los requisitos para la
adición y multiplicación, se tiene:
1° A(B+C)=AB + AC
2° (A+B)C = AC + BC
3° ABC = (AB)C = A(BC)
4° Si AB=, no necesariamente
A= ó B=
5° Si AB = AC, no
necesariamente B = C
6° Si A = B, entonces AC=BC
ik kjm p p nA B a b
son iguales
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 26
7° A2
= A . A
8° A = A = ; A y son m.c.
de igual orden
Sean A y B matrices cuadradas
no singulares:
1. 1 1 1AB B A
2. 1
1A A
3. 11
A A
NOTA:
1. t t tA B A B
2. t
tA A
3. Si A y B son matrices
conmutables se
cumple: A B B A
4. Si: 2
A I A es involutiva
5. Si: 2
A A A es
idempotente
Siendo A, B matrices
cuadradas.
6. 2 2 2
(A B) A AB BA B
Cofactor de un elemento: Si A es
una matriz cuadrada de orden "n"
el cofactor del elemento ija se
denota por ijc y se define así:
i jij ijc 1 M
MATRIZ DE COFACTORES
Si A es un matriz cuadrada de
orden "n" se define la matriz de
cofactores de A y se denota por:
Cofact A a aquella matriz que
tiene por elementos a cada de los
cofactores de los elementos de la
matriz A.
ADJUNTA DE UNA MATRIZ
Consideremos una matriz n–
cuadrada ijA (a ) sobre un
cuerpo K. La adjunta de A,
denotado por adj A , es la
transpuesta de la matriz de
cofactores de A, es decir:
t
Adj A cofact A
MATRIZ INVERSA
Se llama matriz inversa de una
matriz cuadrada nA y la
representamos por 1
A
, a la
matriz que verifica la siguiente
propiedad:
1 1A adjA
A
A 0
1 1A A A A I
Decimos que una matriz
cuadrada es "regular si su
determinante es distinta de cero, y
es "singular si su determinante es
igual a cero.
A 0 Matriz Regular
A 0 Matriz Singular
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NOTA:
Si:
a bA
c d
Se tiene: 1 d b1
Ac aA
DETERMINANTE
Definición: El determinante es una
función que aplicada a una
matriz cuadrada la transforma en
una escalar.
Notación: det (A) ó A :
Calculo de un determinante para:
a) Matriz de orden dos:
Dado:
11 12
21 22
a aA
a a
11 22 12 21det(A) A a a a a
b) Matriz de orden tres:
para este caso pueden
emplearse las siguientes reglas:
– Regla de Sarrus
– Menores complementarios
PROPIEDADES DE LAS
DETERMINANTES
1. Si en un determinante se
cambian las filas por columnas
y las columnas por filas, el valor
del determinante no se altera.
2. Si en un determinante se
intercambian entre si dos filas o
dos columnas el determinante
cambia de signo.
3. Si un determinante tiene 2 filas
o 2 columnas iguales, el
determinante es cero.
4. Si en un determinante se
multiplican o dividen todos los
elementos de una fila o
columna por un mismo número
el determinante quedará
multiplicado o dividido por este
número.
Observación:
Si un determinante tiene en
todos los elementos de una fila
o columna un factor común
este se puede sacar como
factor común del determinante.
5. Si todos los elementos de la fila
son nulos el determinante es
nulo.
6. Si un determinante tiene dos
filas cuyos elementos
correspondientes son
proporcionales el determinante
es nulo.
7. Si un determinante a los
elementos de una fila o
columna se les aumenta o se
les resta los de la otra fila o
columna paralela multiplicados
por un mismo número el valor
del determinante no varía.
8. El determinante de una matriz
triangular superior o inferior (o
puede ser diagonal) siempre es
igual al producto de los
elementos de su diagonal
principal.
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 28
SISTEMA DE ECUACIONES
MÉTODO DE LAS DETERMINANTES:
Este método permite emplear el
concepto de determinante
especialmente para la resolución
de aquellos sistemas en donde
existen 3 ó más incógnitas
mediante un conocido
procedimiento llamado la regla
de Cramer
Regla de Cramer:
En todo sistema lineal de “n”
ecuaciones con “n” incógnitas el
valor de cada incógnita es una
fracción cuyo denominador es el
determinante del sistema y el
numerador es este mismo
determinante en el que se ha
reemplazado la columna de los
coeficientes de la incógnita por
los términos independientes es
decir por aquellos términos
ubicados en el segundo miembro
de cada ecuación.
Sea el sistema lineal:
1 1 1 1a x b y c z d
2 2 2 2a x b y c z d
3 3 3 3a x b y c z d
llamaremos:
s Determinante del sistema
x Determinante de x
y Determinante de y
z Determinante de z
Donde debe recordarse que:
1 1 1
s 2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
;
1 1 1
x 2 2 2
3 3 3
d b c
d b c
d b c
1 1 1
y 2 2 2
3 3 3
a d c
a d c
a d c
;
1 1 1
z 2 2 2
3 3 3
a b d
a b d
a b d
Finalmente según la regla de
Cramer la solución del sistema se
obtiene así:
x
s
x
:
y
s
y
;
z
s
z
ESTUDIO DE LAS RAÍCES EN LOS
SISTEMAS LINEALES:
Sea el sistema:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
Por la regla de cramer:
x
s
x
;
y
s
x
1. El sistema es compatible
determinado:
Si: s 0
Las rectas son secantes
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 29
2. El sistema será incompatible o
absurdo:
Si: s 0 y x 0 ó y 0
Las rectas son paralelas
3. El sistema será indeterminado
Si: s x y0 y 0
Las rectas son coincidentes
RELACIONES
Definiciones Previas:
Par Ordenado.- Es un conjunto de
dos elementos que guardan un
orden denotado de la forma (a, b)
donde:
a : primer componente.
b : segundo componente.
Propiedades:
1. (a ; b) (b ; a)
2. Si: a m
(a;b) (m;n)b n
PRODUCTO CARTESIANO
Definición.- Dados dos conjuntos no
vacíos A y B se llama Relación R de A
en B a todo subconjunto del
producto cartesiano AB definida
por una cierta condición o
proposición. R A B es decir:
R:A B a,b A B / a A y b B
PROPIEDADES DEL PRODUCTO
CARTESIANO:
I. El producto cartesiano de A por B
no es conmutativo:
A B B A
En particular:
A B B A A B
II. El número de elementos del
producto cartesiano de A B es
igual al producto del número de
elementos del conjunto A por el
número de elementos del conjunto
B, es decir:
n A B n A n B
RELACIÓN BINARIA
Definición.- Dados dos conjuntos no
vacíos A y B se llama Relación R de A
en B a todo subconjunto del
producto cartesiano A B definida
por una cierta condición o
proposición. R A B es decir:
R:A B a,b A B / a A y b B
Si R es una relación de A en B, se
denota así:
R : A B , ó , A BR
Donde al conjunto A se denomina
conjunto de partida y al conjunto B
conjunto de llegada.
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
DOMINIO DE R
Es el conjunto que tiene por
elementos a todas las primeras
segundas componentes de los pares
ordenados pertenecientes a la
relación, es decir:
Dom R x / x ; y R
RANGO DE R
Es el conjunto que tiene por
elementos a todas las segundas
componentes de los pares
ordenados pertenecientes a la
relación, es decir:
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 30
Ran R y / x ; y R
CLASES DE RELACIONES:
1. RELACIÓN REFLEXIVA: Sea “R” una
relación en “A” diremos que “R” es
una relación REFLEXIVA, si para
todo A el par ordenado
a;a R .
2. RELACIÓN SIMÉTRICA: Sea “R” una
relación en “A” diremos que “R” es
una relación SIMÉTRICA si
a;b R implica (b,a)
pertenece a “R”: Es decir “R” es
SIMÉTRICA (a,b) R (b,a) R
3. RELACIÓN TRANSITIVA: Sea “R” una
relación en “A” diremos que “R” es
una relación TRANSITIVA si tenemos
a;b R , b;c R implica
a;c R . Es decir “R” es
transitiva si a, b, c A (a,b)
R (b,c) R (a,c) R.
4. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA: Sea
“R” una relación en “A” diremos
que “R” es una relación de
EQUIVALENCIA si es reflexiva,
simétrica y transitiva a la vez.
Calculo del DOMINIO y RANGO de
una relación de R en R.
DOMINIO: Aislar la variable “y”,
analizar todos los valores posibles
que pueda tomar la variable “x” de
manera que y R.
RANGO: Aislar la variable “x”,
analizar todos los valores posibles
que toma la variable “y” de manera
que x R.
GEOMETRÍA ANALÍTICA
SISTEMA DE COORDENADAS
CARTESIANAS
Este sistema está constituido por
un plano y dos copias de la recta
Real perpendiculares entre sí. El
punto de intersección de estos
dos ejes coincide con el CERO de
ambos ejes.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sean: 1 2A x ,x y 2
2 2B x ,y
1x
2y
Y
1y
1 1A(x ,y )
2 1(x x )
2 2B(x ,y )
2 1(y y )
X
2x
C
XxO
y
P x,y
Y
Primera Componentex: o Abscisa
Segunda Componentey:
u Ordenada
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 31
En el triángulo rectángulo ABC,
mediante el teorema de Pitágoras
se tiene:
2 2 2
2 1 2 1d(A,B) x x y y
2 2
2 1 2 1d(A,B) x x y y
Igualdad de Pares Ordenados.-
Sean:
1 1A x ,y y 2 2B x ,y 2
,
entonces se tiene que:
1 22 1A B x x y y
Suma de Pares Ordenados.- Sean:
1 1A x ,y y 2 2B x ,y 2
,
entonces se tiene que:
1 2 1 2A B x x , y y
Punto Medio de un Segmento.-
Sean los puntos: 1 1P x ; y y
2 2Q x ; y . Si M x; y el punto
medio del segmento PQ.
COORDENADAS DEL BARICENTRO
DE UN TRIÁNGULO:
1 2 3 1 2 3x x x y y yG ,
3 3
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR:
Sean 1 1A x ;y , 2 2B x ,y y
3 3C x ,y los vértices de un
triángulo cualquiera dado, siendo
“S” su área, entonces:
ECUACIÓN DE LA RECTA
ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA
RECTA
Es el ángulo formado por el eje “x”
y la recta medido en sentido
antihorario.
G
1 1A x ,y
2 2B x ,y
3 3C x ,y
1 1P x ; y
2 2Q x ; y
M x; y
Y
X
1 2 1 2x x y y
M ;2 2
y
x
A
C
B
O
1 1
2 2
3 3
x y 11
S x y 12
x y 1
Área del triángulo
Se debe tomar
el valor absoluto
del determinante
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 32
PENDIENTE DE UNA RECTA (m)
Es un número real que se obtiene
al calcular la tangente de dicho
ángulo:
2 1
2 1
y ym
x x
LA RECTA: Es un conjunto de
puntos tal que al tomar dos puntos
cualesquiera la pendiente es
constante.
I. Ecuación Pendiente – Intercepto
con el eje “y”
II. Ecuación Simétrica:
III. Forma Cartesiana
Se tiene:
1
1
2 1
2 1
y ym
x x
y ym
x x
1 1x ,y
2 2x ,y
y
x
m Tg
0 180
x
y
x
y
y m=
x
Teniendo dos puntos de una
recta se puede hallar la pendiente
de toda recta; usando
1m Tg60 3
60
x
y
1L
120
x
y
2L
2m Tg120 3
y
x
m
L
0,bL : y mx b
x yL : 1
a b
y
x
0,b
a,0
x,y
2 2x ,y
1 1x ,y
Punto móvil
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 33
1 2 1
1 2 1
y y y y
x x x x
FORMA GENERAL
Es decir de la forma:
L : Ax By C 0
A, B y C son coeficientes no
todos nulos a la vez
La recta es horizontal cuando
A 0 y B 0
La recta es vertical cuando
B 0 y A 0
La recta es oblicua cuando:
A 0 y B 0 de pendiente
Am
B
PROPIEDADES
RECTAS PARALELAS
Si: 1 2L / /L 1 2m m
RECTAS PERPENDICULARES
Rectas perpendiculares (no son los
ejes cartesianos)
Si: 1 2L / /L 1 2m m 1
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA
RECTA
L : ax by c 0 1 1P(x ,y )
1 11
2 2
ax by cd P ,L
a b
INTERSECCIÓN DE RECTAS.-
La intersección de las rectas
1 1 11L : a x b y c 0
2 22 2L : a x b y c 0
yB
A
2 1(x x )
2 1(y y )
L
x
1L 2L
y
x
1L
2L
y
x
y1 1 1P (x ,y )
dL : ax by c 0
x
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 34
será un punto o o oP (x ,y ) el cual
se hallará resolviendo el sistema
de ecuaciones:
1 1 1
2 2 2
a x b y c 0 .... (I)
a x b y c 0 .... (II)
1 2o o oP (x ,y ) L L
IV. Distancia entre Rectas Paralelas
1 2
2 2
C Cd
A B
V. Menor Angulo entre dos rectas
2 1
1 2
m mTg
1 m m
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Se llama circunferencia al
conjunto de puntos del plano que
se encuentran a una distancia
constante (radio) de un punto fijo
(centro) de ese plano.
d(C,P) r 2 2 2
(x h) (y k) r
A esta ecuación se conoce como
la Ecuación Ordinaria o Forma
Ordinaria de la ecuación de una
circunferencia.
OBSERVACIÓN:
La circunferencia de centro en el
origen de coordenadas y radio r
tiene por ecuación:
2 2 2x y r “Forma Canónica”
ECUACIÓN GENERAL DE LA
CIRCUNFERENCIA
Ecuación que tiene la forma:
2 2x y Dx Ey F 0
Donde:
Centro D/2 ; E/2
2 21Radio r D E 4F
2
Siempre que se cumpla la
condición:
2 2D E 4F 0
Recuerda:
y
k
hO
P x;y
C h;k
x
d
1 1L : Ax By C 0
2 2L : Ax By C 0
1L
2L
Secantes Tangentes Exterior
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 35
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
Dada una recta L y un punto fijo F
L. La parábola es el conjunto de
puntos tal que la distancia de
dichos puntos a F y a L son
iguales. Al punto fijo se le llama
Foco y a L se le llama Directriz.
Elementos:
V : Vértice F : Foco
LR : Lado Recto L : Directriz
p : Parámetro 1L : Eje Focal
d(P,F)e
d(P,L) pero e 1
d P,F d P,L
donde: e: excentricidad
Ecuacion de la Parabola con Eje
Focal Paralelo al Eje "x".-
: 2y k 4p x h
V(h,k) ; L : x h p
F(h p , k) ; LR 4 p
Ecuación de la Parábola con Eje
Focal Paralelo al Eje "y".
Y1L
L
p
p V
L F R
X
P(x,y)
Y LL
R
V Fp 0
X
Y LL
R
VF
p 0
X
X
L
L R
V
F
p 0
Y
X
L
L R
V
F
p 0
Y
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 36
: 2
x h 4p y k
V(h,k) ; L : y k p
F(h , k p) ; LR 4 p
Forma General:
2x Dx Ey F 0
Eje Focal / / al eje " y "
(o coincidente con el eje Y)
2y Dx Ey F 0
Eje Focal / / al eje " x "
(o coincidente con el eje x)
ECUACIÓN DE LA ELIPSE
La elipse se define como el
conjunto de puntos P x,y , tales
que la suma de las distancias de
P a los focos 1F , 2F es igual a
una constante “2a” (a es el radio
mayor de la elipse
1 2d(P,F ) d(P,F ) 2a
1 2
1 2
d(P,F ) d(P,F )e
d(P,L ) d(P,L )
0 e 1
donde: e: excentricidad
c a e
Elementos:
C : Centro 1V y 2V : Vértices
1F y 2F : Focos 1L y 2L : Directrices
L' : Eje Focal 1 2V V : Eje Mayor
1 2B B : Eje Menor LR : Lado Recto
Ecuación de la Elipse con Eje
Focal Paralelo al Eje "X".-
22
2 2
y kx hE : 1
a b
C(h,k) ; V(h a,k)
F(h c,k) ; B(h, k b)
L: a
x he
;
22b
LRa
L
R
1V 2V1F 2F
1B
2B
C
a
b a
c
a / e1L 2L
X
Y
Y1L 2L
1V 2V1F 2FC
1B
2BX
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 37
Ecuación de la Elipse con Eje
Focal Paralelo al Eje "Y".-
2 2
2 2
(y k) (x h)E : 1
a b
C(h,k) ; V(h,k a)
F(h,k c) ; B(h b,k)
a
L : y ke
;
22b
LR a
FUNCIONES
Definición.- Dados dos conjuntos
no vacíos A y B, F es una función
de “A” en “B” si y solo si para cada
xA existe a lo más un elemento
y B tal que el par (x, y) F .
Es decir que dos pares ordenados
distintos no pueden tener la misma
primera componente.
La igualdad mostrada: y F(x)
nos expresa la regla de
correspondencia de la función
real F.
DOMINIO Y RANGO DE UNA
FUNCIÓN.
Dominio.- Denominado también
pre-imagen, es el conjunto de
todos los primeros elementos de la
correspondencia que pertenecen
al conjunto de partida A.
Rango.- Denominado también
imagen o contradominio, es el
conjunto de los segundos
elementos de la correspondencia
que pertenecen al conjunto de
llegada B.
Regla de correspondencia de una
función.
F (x,y) R R / x Dom(F) y F(x)
La igualdad mostrada: y F(x)
nos expresa la regla de
correspondencia de la función
real F.
Propiedad Geométrica:
Una relación F , es una
función real de variable real si y
solo si toda recta vertical corta a
la gráfica de F a lo más en un
punto.
X
Y
F
"F es una función"
Fig. 1
X
YG
"G no es una función"
Fig. 2
Y
X
2L
1L
1B
1V
2V
2B
1F
2F
C
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 38
CLASES DE FUNCIONES:
FUNCIÓN INYECTIVA O UNIVALENTE:
Una función F es inyectiva si a
cada elemento del rango le
corresponde un único elemento
del dominio.
Ejemplo 1:
Sea la función numérica F
representada por el diagrama
sagital.
Es decir:
F 1,1 , 2,3 , 3,2 , 4,4 , es
Inyectiva puesto que a cada
elemento del rango le
corresponde solo un elemento del
dominio.
Ejemplo 2:
Analicemos a la función G
definida por el diagrama sagital.
G 1,3 , 2,1 , 3,2 , 4,1 ,
no es Inyectiva, pues el elemento
“1” del rango le corresponden dos
elementos del dominio: "2 4"
RECONOCIMIENTO GRÁFICO:
Si F es una función real de
variable real Inyectiva, entonces
toda recta horizontal debe cortar
a su gráfica en un solo punto.
1er. Ejemplo:
Sea la función F cuya gráfica es:
Reconocemos que es una función
Inyectiva, dado que la recta
horizontal mostrada corta a su
gráfica en sólo un punto.
2do. Ejemplo:
Sea la función G cuya gráfica es:
1
2
3
4
A1
2
3
4
B
F
1
2
3
4
A1
2
3
B
G
Y
X
Horizontal
Y
X
Horizontal
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 39
Reconocemos que no es una
función Inyectiva, dado que la
recta horizontal mostrada corta a
su grafica en más de un punto.
DEFINICIÓN PRÁCTICA
Una función F es Inyectiva si para
cada:
1 2x , x FDom , se cumple la
relación.
1 2 1 2F x F x x x
FUNCION SURYECTIVA,
SOBREYECTIVA O EPIYECTIVA
Una función F es suryectiva si el
rango o imagen de f coincide con
el conjunto de llegada B es decir:
Rango F B
FUNCION BIYECTIVA
Una función es biyectiva si esta es
inyectiva y suryectiva a la vez.
FUNCIONES ESPECIALES
1. FUNCIÓN IDENTIDAD:
Se simboliza por I. Su regla de
correspondencia es: I x x es
decir:
F x x
- Dom I
- Ran I
- Su gráfico es una recta que
pasa por el origen y es
bisectriz del primer cuadrante
(forman 45º).
2. FUNCIÓN CONSTANTE:
Se simboliza por C. Su regla de
correspondencia es: C x k
es decir:
F x k
- Dom C
- Ran C k
- Su gráfica siempre es una
recta horizontal (paralela al
eje x).
y
x45º
y x
y k
y
x
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 40
3. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO:
Se simboliza por . Su regla de
correspondencia F x y x
es decir:
x ; x 0
y x 0 ; x 0
x ; x 0
- Dom F
- Ran F y 0,
- Su gráfica: y x es:
4. FUNCIÓN CÚBICA:
- Regla de correspondencia:
3F x y x
- Dom F
- Ran F
- Gráfica: 3
y x
5. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA:
- Regla de correspondencia:
F x y x
- Dom F 0,
- Ran F 0,
- Gráfica: y x
6. FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO:
- Símbolo:
- Regla de correspondencia:
F x y x
- Donde x , se define:
x y y x y 1
y
- Dom F
- Ran F
x
x
y xy x
y 3y x
x
y xy
x
y xy
x
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 41
7. FUNCIÓN SIGNO:
- Símbolo: Sgn
- Regla de correspondencia:
F x y Sgn x
Es decir:
1; x 0
y Sgn x 0; x 0
1; x 0
- Dom F
- Ran F 1,0,1
- Gráfica:
8. FUNCIÓN PAR:
Es el conjunto de pares
ordenados x,f x en los
cuales se verifica:
- Regla de
correspondencia:
f x f x
- Dom F
- Gráfica: se caracteriza por ser
simétrica respecto al eje "y".
Ejemplos: 2f x x
4f x x
f x Cos x
Si F es una función Par, debe
verificarse que:
F x F x ; x F x F Dom Dom
Se reconoce gráficamente por
su simetría al eje Y.
9. FUNCIÓN IMPAR:
Es el conjunto de pares
ordenados x,f x en los
cuales se verifica que cuando x
cambia de x a –x, la función
cambia de signo.
- Regla de correspondencia:
f x f x
- Dom F
Ejemplos: 3f x x
1f x
x
f x Sen x
y Sgn x
y
1
0 x
1
y
x
F x F x
P
x x
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 42
Si F es una función Impar, debe
verificarse que:
F x F x ; x F x F Dom Dom
Se reconoce gráficamente por
su simetría respecto al origen
“O” de coordenadas.
10. FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO:
Se simboliza por “ U ”, su regla
de correspondencia viene dada
por:
y F(x) U(x)
Es decir:
0 ; x 0
y U x1 ; x 0
Donde:
F ... x F 0 ;1 Dom Ran
Su grafica es:
ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Dadas dos funciones reales F y G
cuyas reglas de correspondencia
son: F x G x , se definen
cuatro operaciones: Adición,
Sustracción, Multiplicación y
División, de la siguiente manera:
I. Adición:
F G x ,y / y F x G x
F G F G Dom Dom Dom
II. Sustracción:
F G x ,y / y F x G x
F G F G Dom Dom Dom
III. Multiplicación:
F G x ,y / y F x G x
F G F G Dom Dom Dom
IV. División:
F F xx ,y / y
G G x
FF G G x 0
G
Dom Dom Dom
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas dos funciones reales F y G ,
la composición de F con G
denotado por F G y que se lee: F
compuesta con G, es la función
cuyo Dominio consiste en los
elementos: x Dom G tales que
G x FDom , cuya regla de
correspondencia es:
y
x
F x
F x
x
x
y
x
1
0
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 43
F G x F G x
Donde:
F G x / x G G x F Dom Dom Dom
Además: G F Ran Dom
Observación:
a) La composición de funciones no
es conmutativa, es decir:
F G G F
b) En particular, si:
F G G F F G
FUNCIÓN INVERSA
Sea F una función Real definida por:
F x ,y / x F Dom ; si F es una
función Inyectiva, se define su
función Inversa denotado por: 1
F
,
ó, *
F , de la siguiente manera.
1F y ,x / x F Dom
Donde:
1F F
Dom Ran
1F F
Ran Dom
PROPIEDADES IMPORTANTES DE LA
FUNCIÓN INVERSA
Dada una función Inyectiva F y su
inversa 1
F
se cumplen:
I. 1
1F F
Inversa de Inversa
II. 1
F F I ; I FDom Ran
III. 1
F F I
; I FDom Ran
IV. 1 1 1F G G F
V. La aplicación F: A B ,
admite Inversa
LOGARITMOS
Definición:
Número
log b N = x logaritmo
Base
xb N
Nota:
b 0 b 1 N 0
Propiedades:
1. En el campo de los números
reales, no existe logaritmo de
números negativos.
2. La base de un logaritmo debe
ser siempre positiva y diferente
de la unidad.
3. Identidad logarítmica
fundamental:
blog Nb N
4. El logaritmo de la unidad en
cualquier base es cero:
blog 1 0
5. El logaritmo de la base será
siempre igual a la unidad:
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 44
blog b 1
6. Logaritmo de un Producto:
b b blog (AB) log A log B
7. Logaritmo de un cociente
b b bA
log log A log BB
8. Logaritmo de una potencia
nb blog a nlog a
9. Logaritmo cuya base es una
potencia:
n bb
1log A log A
n
nm
a
mlog a
n
10. Cambio de base:
xb
x
log Nlog N
log b
11. Regla de la cadena:
b Nlog N log b 1
12. Si un número tiene como
exponente a un logaritmo y se
intercambia simultáneamente el
número de este con el que
hace de base, la expresión no
se altera.
b ba xlog log=x a
13. En todo sistema de logaritmos,
si se eleva a la base y al
número a una misma potencia
"n" cualquiera, el resultado es
igual al logaritmo dado.
También si sacamos una misma
raíz al número y a la base el
resultado no se altera.
nn
b blog A log A
nn
b blog A log A
14. Cologaritmo
b bcolog N log N
15. Antilogaritmo
xbantilog x b
b blog antilog x x
SISTEMAS DE LOGARITMOS.
Importantes:
1. Sistema de Logaritmos Vulgares,
decimales o de Briggs.
logbN ; donde b = 10
Se denota por: log N.
Todo logaritmo decimal tiene 2
partes:
Una parte decimal llamada:
MANTISA.
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 45
Una parte entera llamada:
CARACTERÍSTICAS:
Así : log N = ab, cdef
Característica : ab
Mantisa : chef
La MANTISA se determina
mediante las tablas
logarítmicas.
La característica del logaritmo
de un número con "n" cifras
enteras es (n–1).
2. Sistema de Logaritmos
Neperianos o Naturales.
logbN; donde : b = e (épsilon)
e 2,71828182 . . .
Se denota por: ln N
Función Exponencial
Es aquella función que tiene la
forma: x
y a ; donde "x" variable
independiente; "y" variable
dependiente y la base "a" una
constante.
Ejm: x
y 2 ; x
y 0,4
En general la representación
gráfica cartesiana de la función
exponencial.
I Caso:
Cuando a 1 : x
y F x a
Asumiendo a 2 ; dando
valores.
x 3 2 1 0 1 2 3
1 1 1y 0 1 2 4 8
8 4 2
…
…
Representación Gráfica
Conclusiones:
– expDom
expRan 0;
– En una función creciente:
expx Dom (en todo su
dominio); la función x
y a es
positiva para todo valor de "x".
– Es un función inyectiva, y por
consiguiente posee inversa.
– En una función continua,
expx Dom
II Caso:
0 a 1 ; (asumiendo a 1/2 )
xy F x a
x 3 2 1 0 1 2 3
1 1 1y 8 4 2 1 0
2 4 8
… …
… …
x
F x a a 1
Dom f
Características:
- Es decreciennte
- Corta el eje y,
en el pto. 0;1
- No corta al eje x
Ran f
y
x0
1
Dom f
Ran f
Características:
- Es creciennte
- Corta el eje y,
en el pto. 0;1
- No corta al eje x
y
x0
1
xF x a a 1
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 46
– expDom
expRan 0;
– En una función decreciente:
expx Dom (en todo su
dominio); la función x
y a es
positiva para todo valor de "x".
– Es una función inyectiva, y por
consiguiente posee inversa.
– En un función continua,
expx Dom
Función Logarítmica
Es la función que tiene la forma:
xy loga , la función logarítmica
es la inversa de la función
exponencial.
ay log x y
x a
I Caso:
a 1 (asumiendo a 2 )
1 1 1x 0 1 2 4 8
8 4 2
y 3 2 1 0 1 2 3
… …
… …
– expDom
expRan
– En una función creciente:
expx Dom
– Corta al eje x, en el punto 1;0
– No corta al eje "y".
II Caso:
0 a 1 (asumiendo a 1/2 )
1 1 1x 8 4 2 1 0
2 4 8
y 3 2 1 0 1 2 3
… …
… …
y
2
1
2 4 8 x
ay log x a 1
y
21 2 4 8 x
ay log x 0<a 1
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 47
– expDom
expRan
– En una función creciente:
expx Dom
– Corta al eje x, en el punto 1;0
– No corta al eje "y".
PROGRESIÓN
PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.)
Símbolos:
a1 = primer término.
an = término enésimo.
r = razón.
n = # de términos.
Sn = Suma de los “n” primeros
términos.
tc = término central.
Notación de una P.A.
1 2 3 n 1 na , a , a , a , a
n n 1r a a
1. Fórmula para hallar un término
cualquiera:
n 1a a (n 1) r
2. En una P.A. de un número impar
de términos el tc es igual a la
semisuma de los extremos:
1 nc
a at
2
En una progresión de 3 términos
el segundo término es media
aritmética de los otros dos.
Sea la P.A. a1.a
2.a
3
1 320
2
a aa
3. Fórmula para hallar la suma de
los “n” términos:
1 nn
a aS = .n
2
1n
2a (n 1)rS = n
2
4. Interpolación de medios
aritméticos o diferenciales entre
dos números dados.
Sea: P.A. 1 n
"m" mediosaritméti cos
a ............. a
n 1i
a ar=
m 1
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
(P.G.)
Símbolos: t1 :
primer termino
tn :
termino enésimo
q : razón
n : número de términos
Sn :
Suma de “n” términos
Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 48
Pn : Producto de “n”
términos
Notación de una P.G.
t1 : t
2 : t
3 : ........ : t
n-1 : t
n
n
n 1
tq
t
1. Fórmula para hallar un término
cualquiera:
n 1n 1t t q
2. En una progresión de un número
impar de términos el término
central es igual a la raíz
cuadrada del producto de los
extremos.
central 1 nt t .t
En una P.G. de 3 términos el
segundo término es media
geométrica entre el primero y el
tercero.
Sea: t 1 2 3: t : t 2 1 3t t .t
3. Fórmula para hallar la suma de
los “n” términos:
n 1n
t q tS
q 1
n1
nt (q 1)
Sq 1
4. Límite suma de los términos de
una P.G. decreciente ilimitada:
1tLim S =1 q
5. Interpolación de medios
geométricos:
Sea: 1 n"m"mediosgeométri cos
t ......................t
nm 1i
1
tq
t