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Perímetros y áreas de los polígonosNombre Dibujo Perímetro Área
TriánguloP = Suma de los lados
P = b + c + d p = semiperímero
Cuadrado P = 4 · a A = a2
Rectángulo P = 2(b + a) A = b · a
Rombo P = 4 · a
Romboide P = 2(b + c) A = b · a
Trapecio P = B + c + b + d
Trapezoide P = a + b + c + d A = Suma de las áreas de los dos triángulos
Polígonoregular
© José María Arias Cabezas
as fórmulas para calcular el área del polígono son diferentes según si el polígono es regular o irregular: Polígono regular: es un polígono con todos los lados y
ángulos iguales. Polígono irregular: polígono con con los lados y ángulos
desiguales.
Mientras que el área del polígono regular se calcula a partir de un lado y la apotema, el área del polígono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas: método de triangulación o determinante de Gauss.Área del polígono regular
El área de un polígono regular se calcula a partir de su perímetro y su apotema. Sea P el polígono regular con N lados, suárea es:
En un polígono regular, el perímetro se puede determinar por el producto del número de lados por la longitud de uno de los lados, es decir, Perímetro=N·L. O sea:
Área del polígono irregular El cálculo del área de un polígono irregular requiere de
métodos alternativos de cálculo de áreas. El método más común es dividir el polígono en N triángulos (siendo N el número de lados del polígono) y calcular la área como suma de las áreas de lostriángulos.
La formulas del área: La formula del área del triangulo La formula del área del
cuadrado La formula del área del rectángulo La formula del área del
parelelogramo La formula del área del rombo La formula del área del
trapecio Fórmulas de área de un cuadrilátero convexo La formula del área del
círculo La formula del área del elipse
Online calculadoras para sacar el área de las figuras geométricas
La formula del área del triangulo
1. La fórmula del área del triángulo a base de un lado y la alturaEl área del triángulo equivale a la mitad de la multiplicación de la longitud del lado del triángulo por la longitud de la altura
A =1 a ·
h2
2. La fórmula del área del triángulo a base de tres lados
La fórmula de Herón
A = √ s(s - a)(s - b)(s - c)
3. La fórmula del área del triángulo a base de dos lados y el ángulo entre ellos El área del triángulo equivale a la mitad de la multiplicación de dos sus lados multiplicada por el seno del ángulo entre ellos.
A =1a · b · sin
γ2
4. La fórmula del área del triángulo a base de tres lados y el radio de la circunferencia circunscrita
A =
a · b · с4R
5. La fórmula del área del triángulo a base de tres lados y el radio de la circunferecia inscritaEl área del triángulo equivale a la multiplicación del semiperimetro del triángulo por el radio de la circunferencia inscrita.
A = s · r
6.donde A - área del triángulo,a, b, c - longitud del triangulo lados,h - longitud del triangulo altura,
γ - ángulo entre los lados a y b,r - radio de la circunferencia inscrita,R - radio de la circunferencia circunscrita,
s =a + b +
c - del triangulo semiperimetro.
2
Usted puede usar online calculadora para sacar el área del triángulo.
La formula del área del cuadrado
1. La fórmula del área del cuadrado a base de la longitud de su ladoEl área de un cuadrado es el cuadrado de la longitud del lado.
A = a2
2. La fórmula del área del cuadrado a base de la longitud de su diagonalEl área de un cuadrado es la mitad del cuadrado de la longitud de diagonal.
A =1d2
2
3.donde A - área del cuadrado,a - longitud del lado del cuadro,d - longitud del diagonal del cuadro.
Usted puede usar online calculadora para sacar el área del cuadrado.
La formula del área del rectángulo
El área del rectángulo equivale a la multiplicación de las longitudes de sus dos lados contiguos
A = a · b
donde A - área del rectángulo,
a, b - longitud del rectángulo lados.
Usted puede usar online calculadora para sacar el área del rectángulo.
La formula del área del parelelogramo
1. La fórmula del área del paralelogramo a base de la longitud de su lado y la alturaEl área del paralelogramo equivale a la multiplicación de la longitud de su lado y la longitud de la altura.
A = a · h
2. La fórmula del área del paralelogramo a base de dos lados y el ángulo entre ellosEl área del paralelogramo equivale a la multiplicación de las longitudes de sus lados multiplicada por el seno del ángulo entre ellos.
A = a · b · sin α
3. La fórmula del área del paralelogramo a base de dos diagonals y el ángulo entre ellosEl área del paralelogramo equivale a la mitad de la multiplicación de las longitudes de sus diagonals multiplicada por el seno del ángulo entre ellos.
A =1d1d2 sin
γ2
4.donde A - área del paralelogramo,a, b - longitud del parelelogramo lados,h - longitud de la altura,d1, d2 - longitud del parelelogramo diagonals,α - ángulo entre lados,γ - ángulo entre diagonals.
Usted puede usar online calculadora para sacar el área del parelelogramo.
La formula del área del rombo
1. La fórmula del rombo a base de la longitud de su lado y alturaEl área del rombo equivale a la multiplicación de la longitud de su lado y la longitud de la altura.
A = a · h
2. La fórmula del área del rombo a base de la longitud del lado y el ánguloEl área del rombo equivale a la multiplicación de la longitud de su lado y el seno del ángulo entre los lados del rombo.
A = a2 · sin α
3. La fórmula del área del rombo a base de sus diagonalesEl área del rombo equivale a la mitad de la multiplicación de las longitudes de sus diagonales.
A =1 d1 ·
d22
4.donde A - área del rombo,a - longitud de la lado del rombo,h - longitud de la altura del rombo,α - ángulo entre los lados del rombo,d1, d2 - longitud de los diagonales.
Usted puede usar online calculadora para sacar el área del rombo.
La formula del área del trapecio
1. La fórmula de Herón para el trapecio
A =
a + b√ (s - a)(s - b)(s - a - c)(s -
a - d)|a -
b|
2.
3. La fórmula del área del trapecio a base de la longitud de sus bases y la altura El área del trapecio equivale a la multiplicación del semisuma de sus bases en la altura
A =1 (a + b) ·
h2
4. donde A - área del trapecio,a, b - longitudes de las bases del trapecio,c, d - longitudes de los lados laterales del trapecio,
s =a + b + c +
d - semiperimetro del trapecio.
2
Usted puede usar online calculadora para sacar el área del trapecio.
Fórmulas de área de un cuadrilátero convexo
1. Fórmula de área de un cuadrilátero a base de longitud de sus diagonales y el ángulo entre ellasÁrea de un cuadrilátero convexo es igual a la mitad del producto de sus diagonales multiplicado por el seno del ángulo entre ellas:
A =1 d1 d2 sin
α2
2.donde A - área del cuadrángulo,d1, d2 - longitud del cuadrángulo diagonals,α - ángulo entre diagonals.
3. Fórmula del área de un cuadrilátero circunscrito (a base de la longitud del perímetro y el radio de la circunferencia inscrita) Área de un cuadrilátero convexo es igual al producto del semiperímetro por el radio de la circunferencia inscrita
A = s · r
4.
Fórmula de área de un cuadrilátero a base de la longitud de sus lados y el valor de los ángulos opuestos
A = √ (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd cos2θ
donde A - área del cuadrángulo,
a, b, c, d - longitud del cuadrángulo lados,
s =a + b + c +
d - semiperimetro del cuadrángulo,
2
θ = α +
β - semisuma de dos ángulos opuestos de un cuadrilátero.
2
5. Fórmula de área de un cuadrilátero alrededor del cual se puede circunscribir una circunferencia
A = √ (s - a)(s - b)(s - c)(s - d)
Pueden utilizar online calculadora para calcular el área de un cuadrilátero.
La formula del área del círculo
1. La fórmula del área del círculo a base del radioEl área del círculo equivale a la multiplicación del radio al cuadrado por el número “pi”
A = π r2
2. La fórmula del área del círculo a base del diámetroEl área del círculo equivale a la cuarta parte de la multiplicación del diámetro al cuadrado por el número “pi”
A =1 π
d24
3. donde A - área del círculo,r - longitud del radio del círculo,d - longitud del diámetro del círculo.
Usted puede usar online calculadora para sacar el área del círculo.
La formula del área del elipse
El área del elipse equivale a la multiplicación de las longitudes de los semiejes mayor y menor del elipse por el número “pi”.
A = π · a · b
donde S - área del elipse,
a - longitud del semieje mayor del elipse,
b - longitud del semieje menor del elipse.
Usted puede usar online calculadora para sacar el área del
Definición de área
Es la medida de la región o superficie encerrada por de una figura geométrica plana .
Área de un triángulo
Ejemplo
Hallar el área del siguiente triángulo :
Área de un cuadrado
Ejemplo
Calcular e l área de un cuadrado de 5 cm de lado.
A = 5 2 = 25 cm 2
Área de un rectángulo
Ejemplo
Calcular el área de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.
A = 10 · 6 = 60 cm 2
Área de un rombo
Ejemplo
Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm.
Área del romboide
A = b · h
Ejemplo
Calcular el área de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura .
A = 4 · 4 = 16 cm 2
Área del trapecio
Ejemplo
Calcular el área del siguiente trapecio :
Área de un polígono regular
Ejemplos
Calcular el área de un pentágono regular de 6 cm de lado.
P = 5 · 6
= 30 cm
Calcular el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.
P = 6 · 4 = 24 cm
Área de un polígono
El área se obt iene triangulando
el
polígono y sumando el
área de dichos tr iángulos.
A = T 1 +
T 2 + T 3 + T 4
Ejemplo
Calcular el área del siguiente polígono :
AD = BC; AB = DC Romboide
A = A R +
A T
A = 11 ·
12 + (12 ·
5 ) : 2 = 162
cm 2
Herramienta para calcular áreasAquí tienes una pequeña herramienta que puedes usar para calcular el área de las
formas más comunes.Elige la forma, escribe las longitudes, y pulsa "Calcular área"
TriánguloArea = ½b×hb = baseh = altura
CuadradoArea = a2
a = longitud del lado
RectánguloArea = b×hb = baseh = altura
ParalelogramoArea = b×hb = baseh = altura
TrapecioArea = ½(a+b)h
h = altura
CírculoArea = πr2
Circunferencia = 2πrr = radio
ElipseArea = πab
SectorArea = ½r2θ r = radio
θ = ángulo en radianes
Capítulo 4 - Caudal
Métodos volumétricosMétodo velocidad/superficieClasificación de una estación de aforoFormulas empíricas para calcular la velocidadVertederos de aforoAforadoresLimnígrafos
En el presente capítulo se analizan los métodos para medir los caudales de escorrentía en los canales, los arroyos y los ríos. En el Capítulo 7 se estudia la estimación de lacantidad de escorrentía total por métodos empíricos o a partir de modelos.
Métodos volumétricos
La forma más sencilla de calcular los caudales pequeños es la medición directa del tiempo que se tarda en llenar un recipiente de volumen conocido. La corriente se desvía hacia un canal o cañería que descarga en un recipiente adecuado y el tiempo que demora su llenado se mide por medio de un cronómetro. Para los caudales de más de 4 l/s, es adecuado un recipiente de 10 litros de capacidad que se llenará en 2½ segundos. Para caudales mayores, un recipiente de 200 litros puede servir para corrientes de hasta 50 1/s. El tiempo que se tarda en llenarlo se medirá con precisión, especialmente cuando sea de sólo unos pocos segundos. La variación entre diversas mediciones efectuadas sucesivamente dará una indicación de la precisión de los resultados.
Si la corriente se puede desviar hacia una cañería de manera que descargue sometida a presión, el caudal se puede calcular a partir de mediciones del chorro. Si la cañería se puede colocar de manera que la descarga se efectúe verticalmente hacia arriba, la altura que alcanza el chorro por encima del extremo de la tubería se puede medir y el caudal se calcula a partir de una fórmula adecuada tal como se indica en la Figura 19. Es asimismo posible efectuar estimaciones del caudal a partir de mediciones de la trayectoria desde tuberías horizontales o en pendiente y desde tuberías parcialmente llenas, pero los resultados son en este caso menos confiables (Scott y Houston 1959).
Método velocidad/superficie
Este método depende de la medición de la velocidad media de la corriente y del área de la sección transversal del canal, calculándose a partir de la fórmula:
O(m³/s) = A(m2) x V(m/s)
La unidad métrica es m³/s. Como m³/s es una unidad grande, las corrientes menores se miden en litros por segundo (1/s).
Una forma sencilla de calcular la velocidad consiste en medir el tiempo que tarda un objeto flotante en recorrer, corriente abajo, una distancia conocida. La velocidad no es
FIGURA 19 - Cálculo de la comente en cañerías a partir de la altura de un chorro vertical (Bos 1976)
a) Napa de agua baja (altura de descarga baja)
Q = 5,47D1,25 H1,35 (1)Q en metros cúbicos por segundo; D y H en metros.Si H < 0,4 D utilícese la ecuación (1)Si H > 1,4 D utilícese la ecuación (2)Si 0,4D < H < 1,4D calcúlense ambas ecuaciones y tómese la media
b) Chorro
Q = 3,15D1,99 H0,53 (2)
FIGURA 20 - Variación de la velocidad en una corriente
Otro método consiste en vertir en la corriente una cantidad de colorante muy intenso y medir el tiempo en que recorre aguas abajo una distancia conocida. El colorante debe añadirse rápidamente con un corte neto, para que se desplace aguas abajo como una nube colorante. Se mide el tiempo que tarda el primer colorante y el último en llegar al punto de medición aguas abajo, y se utiliza la media de los dos tiempos para calcular la velocidad media.
En las corrientes turbulentas la nube colorante se dispersa rápidamente y no se puede observar y medir; es posible usar otros indicadores, ya sean productos químicos o radioisótopos; se conoce como el método de la dilución. Una solución del indicador de densidad conocida se añade a la corriente a un ritmo constante medido y se toman muestras en puntos situados aguas abajo. La concentración de la muestra tomada aguas
abajo se puede comparar con la concentración del indicador añadido y la dilución es una función del caudal, la cual es posible calcular.
Una determinación más exacta de la velocidad se puede obtener utilizando un molinete. En la Figura 21 se ilustran los dos principales tipos de molinete. El de tipo de taza cónica gira sobre un eje vertical y el de tipo hélice gira sobre un eje horizontal. En ambos casos la velocidad de rotación es proporcional a la velocidad de la corriente; se cuenta el número de revoluciones en un tiempo dado, ya sea con un contador digital o como golpes oídos en los auriculares que lleva el operador. En las corrientes superficiales se montan pequeños molinetes sobre barras que sostienen operarios que caminan por el agua (Fotografía 23). Cuando hay que medir caudales de una avenida en grandes ríos, las lecturas se toman desde un puente o instalando un cable suspendido por encima del nivel máximo de la avenida; el molinete se baja por medio de cables con pesas para retenerlo contra la corriente del río.
FIGURA 21 - Dos tipos de molinete
a) tipo taza cónica
b) tipo hélice
Un molinete mide la velocidad en un único punto y para calcular la corriente total hacen falta varias mediciones. El procedimiento consiste en medir y en trazar sobre papel cuadriculado la sección transversal de la corriente e imaginar que se divide en franjas de igual ancho como se muestra en la Figura 22. La velocidad media correspondiente a cada franja se calcula a partir de la media de la velocidad medida a 0,2 y 0,8 de la profundidad en esa franja. Esta velocidad multiplicada por la superficie de la franja da el caudal de la franja y el caudal total es la suma de las franjas. El Cuadro 2 muestra cómo se efectuarán los cálculos con respecto a los datos indicados en la Figura 22. En la práctica, se utilizarían más franjas que el número indicado en la Figura 22 y en el Cuadro 2. Para aguas poco profundas se efectúa una única lectura a 0,6 de la profundidad en lugar de la media de las lecturas a 0,2 y 0,8.
FOTOGRAFÍA 23 - Medición del caudal con un molinete en Botswana ( FAO, Foto de la biblioteca )
A veces la información necesaria con respecto a las corrientes es el caudal máximo y se puede efectuar una estimación aproximada utilizando el método velocidad/superficie. La profundidad máxima del caudal en una corriente se puede a veces deducir de la altura de los residuos atrapados en la vegetación de los márgenes o de señales más elevadas de socavación o de depósitos de sedimentos en la orilla. También es posible instalar algún dispositivo para dejar un registro del nivel máximo. Para evitar lecturas falsas debidas a la turbulencia de la corriente, se utilizan pozas de amortiguación, normalmente una tubería con agujeros del lado aguas abajo. La profundidad máxima del agua se puede registrar sobre una varilla pintada con una pintura soluble en agua, o a partir de las trazas dejadas en el nivel superior de algún objeto flotante sobre la superficie del agua en la varilla. Entre otros materiales utilizados cabe mencionar corcho molido, polvo de tiza o carbón molido. Una vez que se conoce la profundidad máxima de la corriente, se puede medir el área de la sección transversal correspondiente del canal y calcular la velocidad por alguno de los
métodos descritos, teniendo presente que la velocidad en un caudal elevado suele ser superior a la de un caudal normal.
FIGURA 22 - Cálculo del caudal de una comente a partir de las mediciones efectuadas con un molinete. Los cálculos correspondientes a este ejemplo figuran
en el Cuadro 2
CUADRO 2 - Cálculo del caudal a partir de las lecturas en el molinete
1 2 3 4 5 6 7 8
SecciónVelocidad del caudal
(m/s) Profundidad(m)
Ancho(m)
Área(m2)5x6
Caudal(m³/s)4x70,2D 0,8D Media
1 - - 0,5 1,3 2,0 2,6 1,302 0,8 0,6 0,7 1,7 1,0 1,7 1,193 0,9 0,6 0,75 2,0 1,0 2,0 1,504 1,1 0,7 0,9 2,2 1,0 2,2 1,985 1,0 0,6 0,8 1,8 1,0 1,8 1,446 0,9 0,6 0,75 1,4 1,0 1,4 1,057 - - 0,55 0,7 2,0 1,4 0,77
TOTAL 9,23D es la profundidad de la corriente en el punto medio de cada sección.
Clasificación de una estación de aforo
Si se efectúan mediciones del caudal por el método del molinete cuando el río fluye a profundidades diferentes, esas mediciones se pueden utilizar para trazar un gráfico del caudal en comparación con la profundidad de la corriente tal como se muestra en la Figura 23. La profundidad del flujo de una corriente o de un río se denomina nivel de agua, y cuando se ha obtenido una curva del caudal con relación al nivel de agua, la estación de aforo se describe como calibrada. Las estimaciones posteriores del caudal se pueden obtener midiendo el nivel en un punto de medición permanente y efectuando lecturas del caudal a partir de la curva de calibrado. Si la sección transversal de la corriente se modifica a causa de la erosión o de la acumulación de depósitos, se tendrá que trazar una nueva curva de calibrado. Para trazar la curva, es necesario tomar
mediciones a muchos niveles diferentes del caudal, con inclusión de caudales poco frecuentes que producen inundaciones. Es evidente que esto puede requerir mucho tiempo, particularmente si el acceso al lugar es difícil, por lo que es preferible utilizar algún tipo de vertedero o aforador que no necesite ser calibrado individualmente, como se analiza más adelante.
FIGURA 23 - Ejemplo de la curva de calibrado de una corriente o río
FIGURA 24 - Canales con un área idéntica de sección transversal pueden tener radios hidráulicos diferentes
Formulas empíricas para calcular la velocidad
La velocidad del agua que se desliza en una corriente o en un canal abierto está determinada por varios factores.
El gradiente o la pendiente. Si todos los demás factores son iguales, la velocidad de la corriente aumenta cuando la pendiente es más pronunciada.
La rugosidad. El contacto entre el agua y los márgenes de la corriente causa una resistencia (fricción) que depende de la suavidad o rugosidad del canal. En las corrientes naturales la cantidad de vegetación influye en la rugosidad al igual que cualquier irregularidad que cause turbulencias.
Forma. Los canales pueden tener idénticas áreas de sección transversal, pendientes y rugosidad, pero puede haber diferencias de velocidad de la corriente en función de su forma. La razón es que el agua que está cerca de los lados y del fondo de una corriente se desliza más lentamente a causa de la fricción; un canal con una menor superficie de contacto con el agua tendrá menor resistencia fricción y, por lo tanto, una mayor velocidad. El parámetro utilizado para medir el efecto de la forma del canal se denomina radio hidráulico del canal. Se define como la superficie de la sección transversal dividida por el perímetro mojado, o sea la longitud del lecho y los lados del canal que están en contacto con el agua. El radio hidráulico tiene, por consiguiente, una cierta longitud y se puede representar por las letras M o R. A veces se denomina también radio medio hidráulico o profundidad media hidráulica. La Figura 24 muestra cómo los canales pueden tener la misma superficie de sección transversal pero un radio hidráulico diferente. Si todos los demás factores son constantes, cuanto menor es el valor de R menor será la velocidad.
Todas estas variables que influyen en la velocidad de la corriente se han reunido en una ecuación empírica conocida como la fórmula de Manning, tal como sigue:
donde:
V es la velocidad media de la corriente en metros por segundo
R es el radio hidráulico en metros (la letra M se utiliza también para designar al radio hidráulico, con el significado de profundidad hidráulica media)
S es la pendiente media del canal en metros por metro (también se utiliza la letra i para designar a la pendiente)
n es un coeficiente, conocido como n de Manning o coeficiente de rugosidad de Manning. En el Cuadro 3 figuran algunos valores correspondientes al flujo de canales.
En sentido estricto, el gradiente de la superficie del agua debería utilizarse en la fórmula de Manning; es posible que no sea el mismo gradiente del lecho de la corriente cuando el agua está subiendo o bajando. Sin embargo, no es fácil medir el nivel de la superficie con precisión por lo que se suele calcular una media del gradiente del canal a partir de la diferencia de elevación entre varios conjuntos de puntos situados a 100 metros de distancia entre ellos. Se dispone de nomogramas para facilitar la solución de la fórmula de Manning, como indica el ejemplo de la Figura 25.
Otra fórmula empírica sencilla para calcular la velocidad de la corriente es la fórmula de zanjas colectoras de Elliot, que es la siguiente:
donde
V es la velocidad media de la corriente en metros por segundom es el radio hidráulico en metrosh es la pendiente del canal en metros por kilómetro
Esta fórmula parte del supuesto de un valor de n de Manning de 0,02 y, por consiguiente, sólo es adecuada para caudales naturales de corriente libre con escasa rugosidad.
CUADRO 3 - Valores del coeficiente n de rugosidad de Manning
a) Canales sin vegetaciónSección transversal uniforme, alineación regular sin guijarros ni vegetación, en suelos sedimentarios finos
0,016
Sección transversal uniforme, alineación regular, sin guijarros ni vegetación, con suelos de arcilla duros u horizontes endurecidos
0,018
Sección transversal uniforme, alineación regular, con pocos guijarros, escasa vegetación, en tierra franca arcillosa
0,020
Pequeñas variaciones en la sección transversal, alineación bastante regular, pocas piedras, hierba fina en las orillas, en suelos arenosos y arcillosos, y también en canales recién limpiados y rastrillados
0,0225
Alineación irregular, con ondulaciones en el fondo, en suelo de grava o esquistos arcillosos, con orillas irregulares o vegetación
0,025
Sección transversal y alineación irregulares, rocas dispersas y grava suelta en el fondo, o con considerable vegetación en los márgenes inclinados, o en un material de grava de hasta 150 mm de diámetro
0,030
Canales irregulares erosionados, o canales abiertos en la roca 0,030(b) Canales con vegetaciónGramíneas cortas (50-150 mm) 0,030-
0,060Gramíneas medias (150-250 mm) 0,030-
0,085Gramíneas largas (250-600 mm) 0,040-
0,150(c) Canales de corriente naturalLimpios y rectos 0,025-
0,030Sinuosos, con embalses y bajos 0,033-
0,040Con muchas hierbas altas, sinuosos 0,075-
0,150
FIGURA 25 - Nomograma para resolver la fórmula de Manning. Si se conocen tres variables, es posible encontrar la cuarta
Ejemplo: Dado R = 0,3 m, n= 0,03, pendiente = 2% o 0,02 m por m, encontrar la velocidad V.
Solución: Únase R = 0,3 y n = 0,03 y proyéctese la línea de referencia. Únase el punto situado en la línea de referencia con la pendiente = 0,02. La intersección de la escala de velocidad da V =2,0 m/s.
Vertederos de aforo
Vertederos de pared agudaVertederos de pared ancha
La medición del caudal de las corrientes naturales nunca puede ser exacta debido a que el canal suele ser irregular y por lo tanto es irregular la relación entre nivel y caudal. Los canales de corrientes naturales están también sometidos a cambios debidos a erosión o depósitos. Se pueden obtener cálculos más confiables cuando el caudal pasa a través de una sección donde esos problemas se han limitado. Para ello se podría simplemente alisar el fondo y los lados del canal, o recubrirlos con mampostería u hormigón o instalar una estructura construida con ese fin. Existe una amplia variedad de esos dispositivos, la mayoría idóneos para una aplicación particular. A continuación se describe una selección de los dispositivos que son fáciles de instalar y de hacer funcionar con referencia a manuales adecuados para estructuras más caras o complicadas.
En general las estructuras a través de la corriente que cambian el nivel de aguas arriba se denominan vertederos y las estructuras de tipo canal se denominan aforadores, aunque esta distinción no siempre se cumple. Una distinción más importante es entre dispositivos estándar y no estándar. Un vertedero o aforador estándar es el que se construye e instala siguiendo especificaciones uniformes y cuando el caudal puede obtenerse directamente de la profundidad de la corriente mediante el empleo de diagramas o tablas de aforo, es decir, cuando el aforador ha sido previamente calibrado. Un vertedero o aforador no estándar es el que necesita ser calibrado individualmente después de la instalación mediante el empleo del método velocidad/superficie como cuando se establece el aforo de una corriente. Existe un conjunto tan amplio de dispositivos estándar que es preferible evitar las estructuras no normalizadas salvo para hacer cálculos aislados de los caudales de la corriente utilizando el método velocidad/superficie en un puente o un vado o una alcantarilla.
La mayor parte de los vertederos están concebidos para una descarga libre sobre la sección crítica con el fin de que el caudal sea proporcional a la profundidad de la corriente en el vertedero, pero algunos vertederos pueden funcionar en una situación denominada sumergida o ahogada, en el que el nivel de aguas abajo interfiere con la corriente sobre el vertedero. Algunos tipos de vertederos se pueden corregir mediante la sumersión parcial, pero esto constituye una complicación poco conveniente que requiere medidas adicionales y más cálculos, por lo que se la debe evitar siempre que sea posible (Figura 26). Otra variación que también es preferible evitar, es la del vertedero sin contracción, que es un vertedero instalado en un canal del mismo ancho que la sección crítica (Figura 27).
Vertederos de pared aguda
Los dos tipos más comunes son el vertedero triangular (con escotadura en V) y el vertedero rectangular como se muestra en la Figura 28. Debe haber una poza de amortiguación o un canal de acceso aguas arriba para calmar cualquier turbulencia y lograr que el agua se acerque al vertedero lenta y suavemente. Para tener mediciones precisas el ancho del canal de acceso debe equivaler a ocho veces al ancho del vertedero y debe extenderse aguas arriba 15 veces la profundidad de la corriente sobre el vertedero. El vertedero debe tener el extremo agudo del lado aguas arriba para que la corriente fluya libremente tal como se muestra en la Figura 29. A esto se denomina contracción final, necesaria para aplicar la calibración normalizada.
Para determinar la profundidad de la corriente a través del vertedero, se instala un medidor en la poza de amortiguación en un lugar en el que se pueda leer fácilmente. El
cero del medidor fija el nivel en el punto más bajo de la escotadura. El medidor debe instalarse bastante detrás de la escotadura para que no se vea afectado por la curva de descenso del agua a medida que el agua se acerca a la misma.
FIGURA 26 - Corriente libre y corriente sumergida sobre un vertedero de pared aguda
CORRIENTE LIBRE
CORRIENTE SUMERGIDA
FIGURA 27 - Corriente libre con contracción final y corriente controlada con contracción en el vertedero en un canal
FIGURA 28 - Medición del caudal con vertederos de pared aguda
(a) vertedero con escotadura en V de 90°
(b) vertedero con escotadura rectangular
FIGURA 29 - Los vertederos con pared aguda deben tener el extremo agudo aguas arriba
Los vertederos con escotadura en V son portátiles y sencillos de instalar de manera temporal o permanente. La forma en V significa que son más sensibles a un caudal reducido, pero su ancho aumenta para ajustarse a caudales mayores. El ángulo de la escotadura es casi siempre de 90°, pero se dispone de diagramas de calibración para otros ángulos, 60°, 30° y 15°, cuando es necesario aumentar la sensibilidad. En el Cuadro 4 Figuran los valores del caudal a través de pequeños vertederos con escotadura en V de 90°.
Para caudales mayores el vertedero rectangular es más adecuado porque el ancho se puede elegir para que pase el caudal previsto a una profundidad adecuada. En el Cuadro 5 se indican los caudales por metro de longitud de la cresta, por lo que se puede aplicar a los vertederos rectangulares de cualquier tamaño.
Otros vertederos con pared delgada
En algunos vertederos se combinan las características de la escotadura en V y de la escotadura rectangular. El vertedero Cipolletti tiene una cresta horizontal como una escotadura rectangular y lados en pendiente, sin embargo, para instalaciones sencillas, esto no aporta ninguna ventaja con respecto a la escotadura rectangular (Figura 30).
El vertedero compuesto se utiliza a veces cuando hace falta una medición sensible de caudales reducidos a través de la escotadura en V y se necesitan también mediciones de caudales grandes a través de la escotadura rectangular. El diseño y la calibración más
complicadas implican que este tipo de vertedero se limite a estudios hidrológicos complejos (Figura 31).
Vertederos de pared ancha
En las corrientes o ríos con gradientes suaves, puede resultar difícil instalar vertederos con pared aguda que requieren un rebose libre de aguas abajo. La otra posibilidad está constituida por los vertederos que pueden funcionar parcialmente sumergidos. Sirva de ejemplo el vertedero triangular del Departamento de Agricultura de los Estados Unidos representado en las Fotografías 24 y 25. Se trata de un vertedero casi normalizado en el sentido de que se dispone de tablas de aforo (USDA 1979), pero el aforo está influido por la velocidad de llegada y la calibración debe verificarse por medio de mediciones efectuadas con un molinete. Otro ejemplo, que podría igualmente denominarse aforador o vertedero, se indica en la Fotografía 26 y requiere igualmente la calibración con un molinete.
CUADRO 4 - Caudales por encima de un vertedero de escotadura en V de 90° (de USDI 1975)
Carga(mm)
Caudal(l/s)
40 0,44150 0,73160 1,2170 1,7980 2,4990 3,34
100 4,36110 5,54120 6,91130 8,41140 10,2150 12,0160 14,1170 16,4180 18,9190 21,7200 24,7210 27,9220 31,3230 35,1240 38,9250 43,1260 47,6270 52,3280 57,3290 62,5300 68,0350 100,0
CUADRO 5 - Caudales por encima de un vertedero rectangular con contracciones finales (de USDI 1975)
Carga(mm)
Caudal (l/s) por metro de longitud de cresta
30 9,540 14,650 20,460 26,770 33,680 40,990 48,9
100 57,0110 65,6120 74,7130 84,0140 93,7150 103,8160 114,0170 124,5180 136,0190 146,0200 158,5210 169,5220 181,5230 193,5240 205,5250 218,5260 231,0270 244,0280 257,5290 271,0300 284,0310 298,020 311,5
330 326,0340 340,0350 354,0360 368,5370 383,5380 398,0
FIGURA 30 - Un vertedero Cipolletti
FIGURA 31 - Un vertedero compuesto
FOTOGRAFÍA 24 - Vertedero en V con pared ancha con solera aguas abajo, en el UTA, Nigeria
FOTOGRAFÍA 25 - Entrada al vertedero y caballete para efectuar las mediciones con el molinete y obtener muestras de sedimentos
FOTOGRAFÍA 26 - Vertedero no-standard en una corriente con un arrastre de fondo muy pesado en Java
Aforadores
El canal de aforo ParshallAforadores en HAforador del Washington State College (WSC)Utilización de estructuras existentes
En los Estados Unidos se han desarrollado varios modelos de aforadores para ser utilizados en situaciones especiales y se emplean extensamente a pesar de lo inadecuado de las unidades de medida. El diseño, la construcción y las calibraciones de laboratorio se efectuaron en unidades de pies por segundo (pps) y, hasta que algún laboratorio emprenda la tarea de transformar a unidades métricas, el método práctico consiste en
construir los aforadores según las especificaciones originales en pies y utilizar las conversiones métricas de los índices de los caudales calculadas por un consorcio de laboratorios hidráulicos de los Países Bajos (Bos 1976).
La razón de este enfoque es el diseño complicado de las diferentes dimensiones de los aforadores, que se normalizaron después de años de pruebas y errores y que luego se calibraron. Las diferentes dimensiones de los aforadores no son modelos a escala hidráulicos, de manera que no se puede asumir que una dimensión en un aforador de cuatro pies será el doble de las dimensiones correspondientes de un aforador de dos pies. Algunas dimensiones o proporciones son constantes para algunas partes, pero otras varían para cada medida. Como resultado de ello, cada una de las 22 variaciones que se pueden encontrar en los canales de aforo Parshall, y cada uno de los aforadores en H debe considerarse como un dispositivo diferente. Tendrán algunas características comunes, pero cada uno de ellos tiene sus propias especificaciones de fabricación y sus propias tablas de calibración.
A pesar de esta complicación, los aforadores se utilizan ampliamente debido a sus ventajas: se construyen para satisfacer una necesidad particular; son dispositivos de medición "normalizados", es decir, que se fabrican e instalan de acuerdo con las especificaciones y no necesitan calibración, y la medición se puede tomar directamente de las tablas publicadas. Al igual que los vertederos, es preferible que los aforadores funcionen con descarga libre; algunos tipos pueden funcionar de manera satisfactoria en situación en parte sumergida, es decir, cuando las aguas descansan en el aforador y crean cierta restricción de la corriente. Si el efecto es previsible y cuantificable, el problema no es grave, pero implica que se debe medir la profundidad del caudal en dos puntos en el aforador, como se indica en la Figura 32 y que se aplique un factor de corrección a las tablas de aforo.
El canal de aforo Parshall
Llamado así por el nombre del ingeniero de regadío estadounidense que lo concibió, se describe técnicamente como un canal venturi o de onda estacionaria o de un aforador de profundidad crítica. Sus principales ventajas son que sólo existe una pequeña pérdida de carga a través del aforador, que deja pasar fácilmente sedimentos o desechos, que no necesita condiciones especiales de acceso o una poza de amortiguación y que tampoco necesita correcciones para una sumersión de hasta el 70%. En consecuencia, es adecuado para la medición del caudal en los canales de riego o en las corrientes naturales con una pendiente suave.
El principio básico se ilustra en la Figura 32. El aforador está constituido por una sección de convergencia con un piso nivelado, una garganta con un piso en pendiente hacia aguas abajo y una sección de divergencia con un piso en pendiente hacia aguas arriba. Gracias a ello el caudal avanza a una velocidad crítica a través de la garganta y con una onda estacionaria en la sección de divergencia.
Con un flujo libre el nivel del agua en la salida no es lo bastante elevado como para afectar el caudal a través de la garganta y, en consecuencia, el caudal es proporcional al nivel medido en el punto especificado en la sección de convergencia (Fotografía 27 y Figura 32). La relación del nivel del agua aguas abajo (Hb en la Figura 32) con el nivel aguas arriba Ha se conoce como el grado de sumersión; una ventaja del canal de aforo
Parshall es que no requiere corrección alguna hasta un 70% de sumersión. Si es probable que se produzca un grado de sumersión mayor, Ha y Hb deben registrarse, como se indica en la Fotografía 28.
La dimensión de los aforadores con un ancho de garganta de uno a ocho pies se indica en el Cuadro 6 y en la Figura 33. Los caudales de un aforador de un pie se muestran en el Cuadro 7. Los manuales citados en la sección Otras obras de consulta dan dimensiones y Cuadros de aforo para aforadores menores o mayores y factores de corrección para una sumersión superior al 70%.
Para fabricar los canales de aforo Parshall se han utilizado muy diversos materiales. Se pueden prefabricar a partir de láminas de metal o madera o se pueden construir sobre el terreno con ladrillo y argamasa utilizando un armazón de metal prefabricado para garantizar mediciones exactas (Fotografía 29). Si hacen falta varios aforadores, se pueden moldear en hormigón empleando tableros reutilizables. Se pueden tomar medidas eventuales de la profundidad del caudal a partir de un puesto de aforo establecido en el muro del canal o, si se requieren registros constantes, es posible instalar en una poza de amortiguación colocada en una situación específica un registrador de flotante.
FIGURA 32 - Canal de aforo Parshall (dibujado a partir de Scott y Houston 1959)
FOTOGRAFÍA 27 - Canal de aforo Parshall con un caudal libre y un registrador de nivel
CUADRO 6 - Dimensiones de algunos canales de aforo Parshall (de USDA-SCS 1965)
Ancho de la Garganta "W" A B C D
(pies) (pies, pulgadas)1 3-0 4-4 7/8 2-0 2-9 1/4
1½ 3-2 4-7 7/8 2-6 3-4 3/82 3-4 4-10 7/8 3-0 3-11 ½3 3-8 5-4 3/4 4-0 5-1 7/84 4-0 5-10 5/8 5-0 6-4 1 /45 4-4 6-4 ½ 6-0 7-6 5/86 4-8 6-10 3/8 7-0 8-97 5-0 7-4 ½ 8-0 9-11 3/88 5-4 7-10 1/8 9-0 11-1 3/4
Dimensiones tal como se indican en la Figura 33.Dimensión A = 2/3 (W/2 + 4)Para estos límites de ancho de garganta las dimensiones siguientes son constantes:E = 3-0, F = 2-0, g = 3-0, K = 3 pulgadas, N = 9 pulgadas, X = 2 pulgadas, Y = 3 pulgadas
FIGURA 33 - Dimensiones de un canal de aforo Parshall (de USDA-SCS 1965)
FOTOGRAFÍA 28 - Canal de aforo Parshall con salida en parte sumergida y dos registradores de nivel
FOTOGRAFÍA 29 Construcción de un canal de aforo Parshall en el campo empleando un armazón metálico reutilizable
CUADRO 7 - Caudales en un canal de aforo Parshall de un ancho de garganta de 304,8 mm (12 pulgadas)
Carga(mm)
(Ha en la Figura 32)
Caudal(l/s)
30 3,340 5.250 7,360 9,670 12,180 14,990 17,8
100 20,9110 24,1120 27,5130 31,1140 34,8150 38,6160 42,6170 46,7180 51,0190 55,4200 59,8225 71,6250 84,0275 97,1300 110,8325 125,2350 140,1
Aforadores en H
El Servicio de Conservación de Suelos del Departamento de Agricultura de los Estados Unidos diseñó un grupo de aforadores especiales denominados aforadores H para medir los caudales con exactitud y continuidad a partir de parcelas de escorrentía o de pequeñas cuencas experimentales. Los requisitos del diseño eran que el aforador debería medir caudales escasos con exactitud, pero tener también una buena capacidad para caudales elevados, y que no necesitara una poza de amortiguación. Otro requisito consistía en que pudiera dar paso a una escorrentía que contuviera una fuerte carga de sedimentos. La solución práctica que se encontró en los Estados Unidos como para la construcción de canales de aforo Parshall fue dar las especificaciones originales en pies y utilizar las conversiones métricas para el caudal (Bos 1976).
Existen tres tipos de aforadores en H. El más pequeño (HS) puede registrar caudales de hasta 22 l/s, el tipo normal (H) puede medir caudales de hasta 2,36 m³/s y el mayor (HL) caudales de hasta 3,32 m³/s. Cada tipo se puede construir en diversas dimensiones que se determinan por la profundidad máxima del caudal (D); las dimensiones de fabricación se dan como proporciones de D, pero las proporciones de los lados del aforador, son diferentes para cada uno de los tres tipos HS, H y HL.
El tipo HS se puede construir en cuatro dimensiones, de 0,4 a 1,0 pie, el tipo H en ocho dimensiones de 0,5 a 4,5 pies y el tipo HL en dos dimensiones, de 3,5 y 4,0 pies. Existen, por tanto, 14 posibles especificaciones de fabricación y 14 tablas de calibración diferentes. A título de ejemplo, en la Figura 34 se dan las dimensiones del tipo H y en el Cuadro 8 la calibración del tipo H de la dimensión de 1,5 pies (0,457 m).
FIGURA 34 - Proporciones del aforador en H (de USDA-ARS 1979)
CUADRO 8 - Descarga de caudal libre a través de un aforador en H de 1,5 pies en l/s tomado de Bos (1976)
ha
(mm)0 2 4 6 8
20 0,27 0,32 0,37 0,42 0,4840 0,91 1,00 1,09 1,18 1,2860 1,75 2,08 2,21 2,35 2,4980 3,43 3,60 3,78 3,96 4,15
100 5,38 5,60 5,83 6,06 6,29150 12,5 12,9 13,2 13,6 14,0200 23,3 23,8 24,3 24,9 25,4250 38,2 38,9 39,6 40,3 41,0300 57,7 58,6 59,5 60,4 61,3350 82,3 83,4 84,5 85,6 86,7400 112 114 115 116 118450 148 150
Los aforadores en H pueden funcionar parcialmente sumergidos y la corrección se indica en la Figura 35. La sumersión aguas abajo produce un efecto de remanso del agua en el aforador y un aumento de la profundidad del caudal. La curva de corrección muestra en cuánto se debe reducir la profundidad medida en el aforador para obtener la profundidad equivalente de un caudal libre con el fin de utilizar las tablas de calibración.
Los aforadores en H se suelen prefabricar con láminas de metal y pueden utilizarse en forma provisional empleando sacos de arena para formar un canal de acceso o también como instalaciones permanentes, utilizando hormigón o manipostería como se ilustra en la Fotografía 30. Al igual que con el canal de aforo Parshall, se pueden efectuar mediciones en un punto de la profundidad del caudal a partir de una plancha de medición situada en el muro del canal, o en un registro constante a partir de un registrador de un flotador. En todos los aforadores existe una curva del cono de depresión, es decir, el nivel de superficie desciende cuando el agua se acelera en el punto de descarga; es esencial, por consiguiente, que la medida de la profundidad del caudal se efectúe exactamente a la distancia especificada aguas arriba desde la sección de control.
Los aforadores en H tienen otras dos ventajas. El agua fluye a través de la escotadura rápidamente de manera que no se produce depósito de sedimentos en el aforador. Por otro lado, el diseño de salida con una escotadura con pendiente del fondo hacia aguas arriba no queda obstruida por residuos flotantes. Si en la escotadura se retiene algún residuo, el agua se remansa hasta que la obstrucción es arrastrada por la corriente por encima de la escotadura.
Aforador del Washington State College (WSC)
Este es otro aforador de profundidad crítica de un diseño similar al Parshall, que resulta particularmente útil como aforador portátil para mediciones eventuales de pequeños caudales en corrientes o canales sin revestir (Chamberlain 1952). Se puede prefabricar en fibra de vidrio (Fotografía 31) o en láminas finas de metal e instalarse en unos pocos minutos. Las dimensiones se dan en la Figura 36 y el calibrado en el Cuadro 9.
Existen muchas versiones de mayor tamaño y variaciones del principio del aforador de Washington. Por lo común se suelen construir in situ en lugar de prefabricarse y son particularmente útiles para corrientes rápidas de montaña (Goodell 1950) o en condiciones semitropicales en las que pueden ocurrir inundaciones repentinas con mucha carga (Gwinn 1964). Una dimensión intermedia de un aforador de tipo Washington,
diseñado para ser utilizado en Nuevo México, puede medir caudales de hasta 6 m³/s con un fuerte arrastre de fondo (Aldon y Brown 1965). No existen aforadores estandarizados y se tienen que calibrar utilizando el método velocidad/superficie examinado en la sección Método velocidad/superficie.
Utilización de estructuras existentes
Las estructuras existentes se pueden a veces utilizar como secciones de control para dar una estimación de los caudales máximos a través de las alcantarillas de las carreteras o de las aperturas de los puentes. Para alcantarillas rectangulares, se puede calcular un valor aproximado a partir de la fórmula general del caudal que atraviesa un vertedero rectangular:
FIGURA 35 - Efecto de la sumersión en la calibración de un aforador en H (de USDA- ARS 1979)
FOTOGRAFÍA 30 - Un aforador en H en Zimbabwe
FOTOGRAFÍA 31 - Un aforador del Washington State College para medir caudales pequeños ( M. G. Kay )
CUADRO 9 - Caudales en los aforadores de Washington
Profundidad del caudal(mm)
30 40 50 60 70 80 90
Caudal (l/s) 0,10 0,20 0,33 0,50 0,75 1,07 1,43Caudal en litros por segundo para una profundidad de caudal medida a escala en milímetros
donde:
Q es el caudal en metros cúbicos por segundoW es el ancho de la apertura en metrosH es la profundidad del caudal en metrosc es un coeficiente de descarga que depende de la geometría de la alcantarilla; a un valor típico es 0,6; se pueden obtener cifras más precisas de Cuadros como en USDA-ARS (1979)
Se pueden calcular caudales mayores en aperturas rectangulares de puentes utilizando el método citado o a partir de las lecturas de la velocidad y del método velocidad/superficie efectuadas con un molinete. Para caudales rápidos puede ser necesario sujetar un gran peso al molinete o montarlo sobre una varilla rígida. Si se pueden observar marcas altas del agua en la apertura del puente y también a cierta distancia aguas arriba en que el caudal no se ve afectado por la apertura del puente, el caudal máximo se puede calcular
utilizando el procedimiento establecido por el Servicio Geológico de los Estados Unidos (Kindsvater, Carter y Tracey, 1953).
FIGURA 36 - El aforador del Washington State College. Dimensiones en milímetros (conversión métrica de los detalles extraídos de USDA-SCS, 1965)
Limnígrafos
Algunas veces una sola medición de la profundidad máxima del caudal basta para calcular el caudal máximo, como se describió en la sección relativa al métodovelocidad/superficie. Si hace falta un hidrograma, es decir, una gráfica del caudal en función del tiempo, es necesario un registro constante de los cambios del nivel del agua. Durante décadas el método común era un flotador cuyo ascenso y descenso en una poza de amortiguación registraba en un diagrama movido por un aparato de relojería. Esos registradores eran flexibles en el sentido de que se podía utilizar un engranaje que permitía abarcar variaciones de nivel grandes o pequeñas y la relación tiempo-velocidad de los diagramas podía también variar por medio del engranaje en el aparato de relojería. La desventaja era la sensibilidad a errores accidentales y a un mal funcionamiento; para indicar, por ejemplo, algunos de ellos, la cañería de la poza de amortiguación se bloqueaba, los insectos anidaban en la caja del registrador, la humedad o la aridez provocaban el desborde o la sequedad de la tinta del registrador, el diagrama podía estirarse o contraerse, el reloj se para, el observador no puede llegar al lugar para cambiar el diagrama, y muchos otros problemas. Las inspecciones diarias no son siempre posibles en lugares remotos o de difícil acceso. Además de las dificultades de obtener datos correctos, el análisis y la computación de los diagramas son laboriosos.
Afortunadamente la tecnología moderna ha mejorado considerablemente en lo que hace a la recopilación y el procesamiento de datos. Por ejemplo, los detectores no flotantes del nivel se pueden basar en la resistencia/capacidad eléctrica o en la presión sobre un bulbo herméticamente cerrado o en la descarga de burbujas de aire o en transductores acústicos. Los más comúnmente utilizados hoy son el transductor de presión en el que se capta eléctricamente la desviación de una membrana. Estos detectores se pueden conectar con ordenadores, relojes automáticos y almacenamiento de memoria para lograr cualquier tipo y frecuencia requeridos de registro y traspasar los datos almacenados a un ordenador para efectuar un análisis rápido.
