Fourieranalysen

Innhold

Forord iii

1 BAKGRUNN 11.1 Innledning og motivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Joseph Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Preludium til Fourierteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Fouriers problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Fouriers løsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Innsigelsene mot Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 VARMELIKNINGEN 232.1 Utledning av varmelikningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Løsning av varmelikningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Entydighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 PROBLEMENE 333.1 Funksjonsbegrepet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.1 Eulers funksjonsbegrep . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.2 Dirichlets funksjonsbegrep . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Integralbegrepet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.1 Cauchy-integralet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 Riemann-integralet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.3 Darboux-integralet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.4 Lebesgue-integralet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 FOURIERREKKER 534.1 Notasjon og motivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Fourierrekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Dirichlets teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1 Dirichlet-kjernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

i

ii INNHOLD

4.3.2 Dirichlets angrepsmåte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.3 En ide fra Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3.4 Bonnets middelverdisetning . . . . . . . . . . . . . . . 714.3.5 Dirichlet samler trådene . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 FEJÉRS TEOREM 815.1 Fejér-kjernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Fejérs teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6 FOURIERINTEGRALER 916.1 Fouriers integralteorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7 PARALLELL TIL UNDERVISNING 1077.1 Funksjonsbegrepet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2 Integralbegrepet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3 Konvergensbegrepet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.4 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.5 Dataverktøy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A Varmelikningen og divergensteoremet 117

B Fubinis teorem 121B.1 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

C Gibbs’ fenomen 125

Forord

”Not long ago many thought that the mathematical worldwas created out of analytic functions. It was the Fourier serieswhich disclosed a terra incognita1 in a second hemisphere.” (E.B.van Vleck, 1914)2

Jeg må få bruke anledningen til først og fremst å takke min veileder,førsteamanuensis Per Hag ved NTNU, for lang og tålmodig veiledning ogmorsomme diskusjoner omkring såvel Fourieranalyse som fotball (og frus-trasjoner assosiert med disse temaene). Takk også til venner og medstuden-ter disse årene, og andre som har bidratt til å gjøre studietilværelsen bra.Dere vet selv hvem dere er (ingen nevnt, ingen glemt). Damene på insti-tuttkontoret fortjener også en STOR takk for å fikse det andre ikke klarer!Tusen takk til dere som kom med konstruktive innspill, og til mamma ogpappa som er så snille mot meg.

Oppgaven tar for seg noen av hendelsene som lå til grunn for utviklingenav Fourieranalysen, og videre hvilken innvirkning dette skulle få på denmatematiske analysen. Det hele startet med en løsning av et fysisk problem.Joseph Fourier jobbet blant annet med varmelikningen og løste denne vedhjelp av uendelige rekker av trigonometriske funksjoner. Det matematiskegrunnlaget hadde imidlertid en del huller som det tok mange år å fylleigjen. Spesielt var konvergens, funksjonsbegrepet og integraler viktige ogomdiskuterte temaer, og disse tre begrepene er hjørnestener i diskusjonenesom følger. Mange vil nok si at ringvirkningene etter Fouriers arbeider varvel så viktige som ideene Fourier selv lanserte.

Litt om inndeling av oppgaven. Kapittel 1 er en introduksjon og oversiktover hva som skjedde rent historisk, der vi følger Fouriers opprinnelige bereg-ninger og kommenterer hva vi i dag ville oppfattet som merkelig. Kapittel 2tar for seg en løsning av varmelikningen. Dette er sannsynligvis kjent stoff,og må i så fall gjerne hoppes over. Kapittel 3 tar for seg utviklingen av be-grepene som måtte revideres. Videre får vi en sammenfatning av Dirichlets

1Terra incognita = Ukjent grunn2Edward Burr Van Vleck (1863-1943), amerikansk matematiker, var redaktør for

Transactions of the American Mathematical Society fra 1905 til 1910, visepresident i 1909og president fra 1913 til 1914.

iii

iv FORORD

og Fejers framgangsmåter for å komme fram til beviser om konvergens avFourierrekker i kapittel 4 og 5. Det sjette kapitlet tar for seg videre ideersom ble ansporet av Fourier, og som førte fram til det verktøyet som er uun-nværlig i anvendelser i dag. Til sist finner vi en kort diskusjon med temaerfra skolen i kapittel 7.

Oppgaven er skrevet på Scientific WorkPlace 3.0, og det passer i den sam-menheng bra å sitere forfatterne av Fourier and Wavelet Analysis ([B/N/B]).Deres erfaringer førte til at de måtte kommentere at ”The experience hasbeen ... interesting.” Grafene i oppgaven er plottet med MAPLE (innbygdi Scientific Workplace) der det er mulig. Sitater er stort sett gjengitt frittoversatt fra fransk til norsk, da de i kildene i de fleste tilfeller uansett varblitt oversatt fra fransk til engelsk.

Fra forordet i John Herivels Introduction to the history of mathematics:

”I am sure that no subject loses more than mathematics byan attempt to dissociate it from its history” (J.W.L. Glaisher3)

Øistein GjøvikNTNU 2002

3James Whitbread Lee Glaisher (1848-1928), engelsk matematiker som undervisteved Cambridge hele sitt liv. Var spesielt interessert i matematikkens historie.

Kapittel 1

BAKGRUNN

”Inngående studium av naturen er den mest fruktbare kildenfor matematiske oppdagelser.” (Joseph Fourier [JF, s.7])

1.1 Innledning og motivasjon

Fourieranalysen er en stor del av matematikken. Som matematisk gren kanvi si begynnelsen var omtrent for 250 år siden og utviklingen fortsetter endai dag (blant annet i grenen abstrakt harmonisk analyse). Fra den spedebegynnelsen med å beskrive svingebevegelsen til en fiolinstreng matematiskbruker vi nå Fouriertransformasjoner til å lete etter liv i verdensrommet1 ogtil å komprimere lyd og bilde for lettere å kunne sende disse via Internett.IKT-hjelpemidler har gitt nytt liv til Fouriers teknikker, og i våre dager erden en av de mest brukte deler av anvendt matematikk. I tillegg til å væreverdifull i seg selv har også Fourieranalysen ved flere anledninger opp gjen-nom historien vært ansvarlig for debatter og omdefinering av matematiskebegreper. Her finner vi begreper som integral, funksjon, grense, konvergensog differensiallikninger. I dag ser vi Fourieranalysen også i sammenheng medmer avanserte matematiske områder som målteori, metriske rom, LP -romog Banach-rom. I matematiske anvendelser i fysikk er raske Fouriertrans-formasjoner (også kalt FFT - Fast Fourier Transform) essensielt i mangesammenhenger.

En kan si det er flere hensikter med denne oppgaven;

• Hovedtanken er å vise utviklingen av et matematisk begrep, og hvor-1Prosjektet SETI@home ved Berkeley [I1] fikk i 1998 priser for å være verdens mest

kreative tiltak. Man hadde ikke (og har ikke) nok datakraft ved forskningsinstitusjoner tilå analysere alle data som teleskop samler inn fra overvåkning av verdensrommet. Ideener å koble sammen mange private datamaskiner over hele verden via Internett, der hverenkelt kan analysere en liten bit i ledige stunder. Fouriertransformasjoner er en viktig delav denne analysen. Ideen med verdensomspennende datasamarbeid brukes for øvrig ogsåi søk etter Mersenne-primtall [I2].

1

2 KAPITTEL 1. BAKGRUNN

dan den vitenskaplige verden forholder seg under denne prosessen.Fourieranalysen føyer seg fint inn som en teori som følger det vanligemønstret i utviklingen av en vitenskap. I boken Thinking mathemati-cally [JM] finner vi en ”oppskrift” på hvordan matematiske problemerkan/bør løses, eller hvordan de vanligvis blir løst. I et vanlig kurs kanstudenter få inntrykk av at matematikk har en strengt logisk utviklingpå grunn av man får stoffet presentert ved at instruktøren hopper frateorem til teorem med den største letthet. Et viktig aspekt [JM] leggerfram er at ”being stuck is a great state”. Dette høres kanskje rart ut,men poenget er at det er da man virkelig har muligheten til å lærenoe. Det å stå helt fast i en situasjon gjør at man må tenke i andrebaner, og den følelsen man kan oppnå etter å lykkes etter å ha ståttfast vil være en enorm motivasjon for mange. Derfor håper vi også åkunne få fram underveis hvorledes feilskjærene har framtvunget andreframgangsmåter, og helt nye idéer.

I [GG] påstås det at man i Fouriers arbeider omtrent kan ”se” hvordanhan tenker time for time, og at denne forkjærligheten for ideene gjørfor mange Fouriers arbeider mer historisk interessante å lese enn hanssamtidige vitenskapsmenn.

• Videre er tanken å presentere et av de mest anvendelige og anerkjentematematiske verktøyer vi bruker i dag. Nytteområdene er utallige - frautnytting av lagringskapasiteter i hjemmedatamaskiner til lydeffekterpå synthesizere. I vårt samfunn finner vi kjente begrep som overtonerog harmonier, disse stammer fra Fouriers fundamentale ideer.

• Til sist håper vi at oppgaven kanskje gir nye innfallsvinkler til gamletemaer i skolematematikken. Selv om elever i den videregående skoleikke møter Fourierteori, bør iallfall temaer som f.eks. integralregning iforhold til antiderivasjon og punktvis konvergens i forhold til uniformkonvergens være aktuelle tema for lærere i den videregående skolen.

Oppgaven tar altså for all del ikke mål av seg til å være noe læreverk iFourieanalyse, men heller en slags ”historisk oversikt”.

La oss først bli bedre kjent med mannen som har fått navnet sitt knyttettil denne matematiske disiplinen. Følgende biografiske oppsummering erhentet fra [I3], [GG, s.vii-xii, s.1-29], [TWK, s. 475-480], [MK, kap. 22] og[TL1, s.211-218].

1.2 Joseph Fourier

Sitatet i innledningen av kapittelet er kanskje det mest kjente utsagn fra enav historiens store vitenskapsmenn. Han het Joseph Baptiste Fourier og blefødt 21. mars 1768 i Auxerre i Frankrike, der hans far (som også bare navnet

1.2. JOSEPH FOURIER 3

Joseph) var en anerkjent skredder. Han hadde et stort antall søsken, kilderer faktisk ikke helt enige om det nøyaktige antallet (Noen hevder Fouriervar tolvte barn [TL1, s. 216], mens andre påstår han var nittende barn ogikke en gang det siste [GG]!). Begge foreldrene døde da Fourier var i 8-10års-alderen, og tanten og onkelen i samme by tok seg av han.

Matematikk var Fouriers største interesse fra tenårene av. Han var sværtflink i faget som ung student, men likevel innstilt på å begi seg ut på enmilitær karriere. Derfor søkte han seg både til ingeniørvåpnet og artillerietfor å utdanne seg til offiser. Han ble avvist med at bare adelige kunne blioffiserer. Det hjalp ikke hvor smart han enn måtte være.

Frankrike var i siste halvdel av 1700-tallet et føydalsamfunn under Lud-vig XVI og det var store samfunnsforskjeller. Kun adelige og geistlige var imaktposisjoner, og bare borgerskapet og bondestanden betalte skatt. Medopplysningstida ble allmuen mer bevisst sin stilling og i 1789 ble Bastillen,et symbol på tyranniet, stormet. Den franske revolusjon brøt ut og foran-dret mange av Fouriers planer. Det administrative i Frankrike ble pregetav kaos og landet kom i krig mot flere andre land i Europa. Robespierresparti kom til makten, og etter et par år var Frankrikes sentrale instanserigjen besattog landet var reorganisert for krig. Dette førte til et behov forskolerte menn både på nasjonalt og lokalt nivå.

Fourier var på dette tidspunkt lærer ved sin tidligere skole, og ble i 1793medlem i den revolusjonære komité i Auxerre der han hadde forskjellige verv;rekruttering av revolusjonære, innsamling av hester o.l. Han likte absoluttikke frykten og uroen som fulgte av revolusjonen, og prøvde faktisk å fratresin stilling, men det skulle vise seg å være umulig. Senere ble han til ogmed president i komitéen. Fourier var etter dette så sterkt forbundet medrevolusjonen at han ikke hadde mulighet til å trekke seg.

Den franske revolusjon var en komplisert affære med mange parter medhovedsaklig samme mål, men som likevel var voldelig innstilt overfor hveran-dre. Fourier forsvarte medlemmer av en av fraksjonene mens han var i Or-léans og dette skulle få store konsekvenser. Han fortsatte sitt arbeid bådei komitéen og som lærer, men han ble i juli 1794 arrestert på grunn avdette engasjement i Orléans. Døden på giljotinen var faretruende nær. Menda Robespierre, etter å ha styrt Frankrike gjennom 30000 henrettelser, istedet selv måtte ta den tunge veien opp trappene til giljotinen, medførtedet følgende politiske skifte at Fourier unngikk henrettelse. Han ble satt fri,men arrestert på nytt. Heldigvis ble Fourier tatt opp som student ved etnytt college i Paris, Ecole Normale, der lærere ble utdannet. Ecole Normaleskulle være en mønsterskole til forbilde for andre lærerskoler. Skolen åp-net i 1795, og Fourier ble en av de flinkeste studentene der. Nå kunne hankomme seg bort fra sin tilværelse som terrorist-anklaget en stund. Blantforeleserene fant vi Lagrange2, som Fourier beskrev som ”den største av eu-

2Joseph Louis Lagrange (1736-1813), fransk matematiker og fysiker (født i Italia),


ropeiske vitenskapsmenn”. Han ble også undervist av Laplace3 og Monge4.Fourier uttalte om Monge at han ”har en høy stemme og er aktiv, genialog vellært”. Ecole Normale var dessverre ikke et vellykket prosjekt, og detble omsider nedlagt. Han ble ansatt som lærer ved Collège de France ogarbeidet mye med matematikk, også sammen med sine gamle forelesere.Etterhvert fikk han en stilling ved Ecole Centrale des Travaux Publiques.Snart fikk skolen det nye navnet Ecole Polytechnique. Men ringvirkningeretter Fouriers arrestasjoner gjorde seg gjeldende. Han ble på nytt arrestert,sluppet fri og arrestert igjen. Til slutt ble han, etter ytterligere politiskesvingninger, etter ønske fra sine studenter - og ikke minst etter ønske fraLagrange, Laplace og Monge, satt fri. I løpet av september 1795 var hantilbake som lærer ved Ecole Polytechnique. I 1797 ble han foretrukket foranLagrange i valget av styrer for institutt for analyse og mekanikk. Han varkjent som en glimrende foreleser, men hadde på dette tidspunkt ikke gittseg i kast med spesielt originale forskningsområder. Etter tre år fikk hanordre om å delta under invasjonen av Egypt som vitenskapelig rådgiver ogsom del av en gruppe vitenskapsmenn og intellektuelle som Frankrike villeberike Egypt med. Målet var å frigjøre Egypt fra tyrkerne. Ekspedisjo-nen ble i starten sett på som en stor suksess. Malta ble okkupert 10. juni1798, Alexandria 1. juli og Nil-deltaet kort tid etter. Fra høyeste holdble ekspedisjonen sett på som en effektiv måte å holde en plagsom general(Napoleon) unna, mens denne generalen selv så på det som en måte å blikeiser av østen på. Imidlertid var nederlagene totalt sett like store på grunnav Nelsons ødeleggelse av den franske invasjonsflåten 1. august. Etter åha hørt om store militære og samfunnsmessige problemer i Frankrike, forlotNapoleon i 1799 sine tropper og reiste for å ”redde Frankrike”.

Både før og etter Napoleons fratredelse, hadde Fourier flere viktige poli-tiske stillinger i Egypt. Han var veldig allsidig og arbeidet både med åstarte opp utdanningsinstitusjoner og utførte også en hel del arkeologiskeutgravninger. Fourier var omtrent like mye egyptolog som fysiker og matem-atiker og hjalp til med å samle Beskrivelsen av Egypt. Fouriers bidrag varen oversikt over Egypts historie. Dette anerkjente verket var ikke ferdig føri 1810, da Napoleon foretok mange og gjerne feilaktige endringer. I andre

som i 1755 ble professor i geometri ved Royal Artillery School i Torino. Der grunnla hanAcademy of sciences. Han skrev blant annet (1788) den berømte Mècanique analytique,der infinitesimalregningen for første gang ble anvendt på stive legemers mekanikk utenreferanse til geometrien. Lagrange la et grunnlag for variasjonsregningen med verketIsoperimetriske problemer og skrev også det berømte Théorie des fonctions analytiques(1797). Ved siden av Euler kanskje den fremste matematiker på 1700-tallet.

3Pierre Simon de Laplace (1749-1827), fransk astronom og matematiker. Professorved Paris École Militaire bare 20 år gammel. Laplace la grunnlaget for den modernesannsynlighetsregningen med Théorie analytique des probabilités i 1812. Han eksaminerteforøvrig i 1785 en ung fransk student, 16 år gamle underløytnant Bonaparte.

4Gaspard Monge (1746-1818), fransk matematiker som var framtredende innendeskriptiv geometri og analytisk geometri. Napoleon utnevnte Monge til greve i 1808.


utgave er alle referanser til Napoleon fjernet. T.W. Körner skriver i [TWK]om Fouriers beskrivelse av Egyptisk historie at ”en egyptolog jeg (Körner)diskuterte denne avhandlingen med, mente at den var et vendepunkt i his-torisk forskning, og mesterlig utført. Han var svært overrasket over atFourier også var matematiker”. I Kairo var Fourier med på å grunnleggeCairo Institute og han var en av tolv medlemmer i matematikkavdelingen.Blant de andre fant vi Monge og Napoleon.

Joseph Baptiste Fourier (1768 - 1830) Bilde frahttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Fourier.html

Da den franske ekspedisjonen overga seg i 1801, fikk han tilbud fraNapoleon om å være sekretær ved Departementet i Isère, sentrert rundtGrenoble. Han takket motvillig ja da han ikke kunne si nei til Napoleonsønsker. Frankrike var delt i 83 Departementer og hver sekretær styrte sittdepartement på vegne av sentrale myndigheter. Fourier valgte dette kalletframfor å fortsette som professor ved Ecole Polytechnique. Her skulle hangjøre sine mest kjente arbeider innen varmelære.

En kjent passasje fra Fouriers tidlige skrifter er følgende:

”I går var det min 21. fødselsdag, og ved den alderen haddeNewton5 og Pascal6 allerede sikret seg flere grunner til udøde-lighet.”

5Isaac Newton (1643-1727), engelsk fysiker og matematiker. Først til å utvikledifferensial- og integralregningen. Hans hovedverk, Philosophiae naturalis principia math-ematica, en vitenskapelig milepæl, omhandler bevegelseslovene, og den universelle gravi-tasjonsloven. Vi lærer også i dag om mange temaer Newton var involvert i, blant annetNewtons lover i fysikken, Newtons metode m.m.

6Blaise Pascal (1623-1662), fransk matematiker og fysiker. Kjent blant annet forEssai pour les coniques, som handler om kjeglesnittene (1640). Inneholder blant annetPascals teorem. Vi kjenner kanskje også til Pascals trekant som f.eks. kan brukes til åbestemme koeffisientene i utregningen av (x+ y)n .


Fjorten år senere var han fortsatt sekretær ved Isère, og hadde endaikke oppnådd den udødeligheten han ønsket seg som ung. Det eneste hankunne slå i bordet med var en fotnote i lærebøker i algebra om nullpunkteri algebraiske polynomer. Han ga faktisk et nytt bevis for Descartes’ regel7.Descartes8 selv hadde brukt polynomer av lav grad for å bevise regelen.Newton tok også opp denne tråden, men heller ikke han ga noe bevis. Fouriervar (i følge [GG]) den første til å bevise regelen, og framgangsmåten finnesogså i [GG, s. 8]. Fourier ønsket seg imidlertid større resultater.

I 1804 tok han så opp spørsmålet om varmeledning. Man er usikkerpå hans motivasjon for dette. Det er mulig han så på dette som det mestaktuelle uløste problemet på denne tiden. Newtons mekanikk var nå velk-jent, men spørsmål innen felt som varme, lys, elektrisitet og magnetisme varknapt nok utforsket i det hele tatt. Det sies, om enn noe humoristisk, atFouriers valg av forskningsområde (altså varme) fulgte av et desperat behovfor varme, som han utviklet i Egypt. Han mente at ørkenvarmen var detmest ideelle grunnlag for god helse. Derfor kledde han seg ekstremt varmtog oppholdt seg i rom med forferdelig høy temperatur. Noen mener til ogmed at denne sykelige varmetrangen, ironisk nok, framskyndet hans død.

Da Napoleon var nedkjempet og på vei til Elba hvor han skulle levei eksil, skulle han egentlig passere Grenoble, men Fourier sendte meldingom at det var for farlig for Napoleon å nærme seg. Etter at Fourier fikkhøre at Napoleon hadde rømt fra Elba og marsjerte mot Grenoble meden stor hær, ble han veldig engstelig. Han prøvde å få folk til å svergetroskap til kongen, men da Napoleon marsjerte inn i byen, hadde Fourierrømt. Napoleon ble veldig misfornøyd med at Fourier ikke var til stede forå ønske ham velkommen. Fourier var heldigvis i stand til å snakke seg ut avsituasjonen, og faktisk ble han gjort til sekretær ved Rhône. Etter at han fikkbeskjed (muligens fra Carnot) om å fjerne alle administrativt ansatte medsympati for royalistene, forlot han denne stillingen. Napoleon og Carnot måha hatt et godt øye til han likevel, for han mottok 10. juni 1815 en pensjonpå 6000 franc, utbetaling fra 1. juli. Nå ble Napoleon beseiret nøyaktig 1.juli og Fourier mottok aldri noen penger. Fourier reiste så tilbake til Paris,hvor han ble valgt inn i vitenskapsakademiet i 1817. Snart ble han ogsåsekretær ved det matematiske institutt på akademiet. Her ga han på nyttut sine arbeider om varmelære.

I løpet av sine siste år ved akademiet ga han ut en del artikler, både

7Denne regelen er kanskje ikke så velkjent lenger. Den går i korte trekk ut på å finneantall positive røtter for et polynom. Regelen baserer seg på antallet variasjoner i fortegn,og antallet positive røtter kan ikke være større en dette antallet variasjoner.

8René Descartes (1596-1650), fransk matematiker og filosof som introduserte koordi-natgeometri i La Géometrie fra 1637. Ordet kartesiske koordinater stammer fra Descartes.Han innførte også konvensjonen med å bruke bokstaver fra starten av alfabetet til kjentestørrelser og bokstaver fra slutten til ukjente størrelser. Hans hovedverk, Discourse de laméthode var et innlegg i den kjente striden mellom den katolske kirken og vitenskapen.Descartes var ambisiøs og hadde som mål å bevise Guds eksistens.


innen ren matematikk og om anvendelser. Hans resultater innen varmeteorivar hele tiden omdiskuterte, og han brukte mye tid på å forsvare sine arbei-der. Biot9 og Poisson10 var standhaftige og kritiske til det han hadde gjort.Fourier skrev et svar til disse i artikkelen Historical Précis, men denne blealdri utgitt.

Fourier led av dårlig helse mot slutten av sitt liv. Hyppig klimaskiftehadde gjort ham svært reumatisk. Han holdt likefullt fast på troen om atdet var helsemessig gunstig å pakke seg inn i mange lag av tepper. Inntylleti pledd døde han etter å ha snublet ned trappen i sitt eget hjem. JosephFourier døde i Paris 16. mai 1830.

På tross av sin stormfulle politiske karriere utførte Fourier også en mengdevitenskapelige eksperimenter og publiserte mange arbeider. Det kan værelitt vanskelig å holde Fouriers største arbeider fra hverandre. Det dreier seg ihovedsak om fire manuskripter, samtlige inneholder forbedringer, utvidelserog korreksjoner fra forrige utgave. En rask oppsummering følger;

• 1805 - Et ukast til manuskriptet som skulle komme senere. Vi skalsnart se på Fouriers varmelikning for en tynn plate, men dette førsteutkastet inneholder imidlertid en varmelikning som ikke var riktig:

∂z

∂t= K

µ∂2z

∂x2+

∂2z

∂y2

¶− hz.

Det som var feil var leddet−hz og dette ble også fjernet senere. Fourierhadde nemlig først sett på det endimensjonale tilfellet, der molekyleravgir varme både til molekylene på hver side og også med omgivelsenerundt på alle andre retninger. Fourier tok også dette med i betrak-tningen da han stilte opp varmelikningen for platen, men glemte daat den todimensjonale plata kun tillot varmestrømning til omgivelsenegjennom kantene.

• 1807 - Sur la propagation de la chaleur. Små forskjeller fra 1805, menblant annet varmelikningen er endret til den riktige

∂z

∂t= K

µ∂2z

∂x2+

∂2z

∂y2

¶.

Dette dokumentet foreligger på originalspråket i [GG], med biografier,kommentarer og merknader (på engelsk) av Grattan-Guinnes.

9Jean-Baptiste Biot (1774-1862), fransk matematiker som jobbet mest innen an-vendt matematikk. Gjorde framskritt innen astronomi, elastisitet, elektrisitet og mag-netisme, varme og optikk. Også kjent for Biot-Savarts lov i elektromagnetismen. I Mem-oire sur la figure de la terre (1827) beskriver han også fasongen på jorda.10Siméon Denis-Poisson (1781-1840), fransk matematiker og student under Laplace

og Lagrange. Mest kjent for sine arbeider innen sannsynlighetsregning. Vi kjenner foreksempel til Poisson-fordelingen.


• 1811 - Den reviderte utgaven. Ble levert inn til Grand Prix-konkurransen,hvor han fikk premien for den. Denne ble aldri publisert.

• 1822 - La theorie analytique de la chaleur. Boken han selv ga ut omanalytisk varmeteori. Dette dokumentet er oversatt til engelsk i [JF],med sporadiske kommentarer av oversetteren Freeman.

1.3 Preludium til Fourierteori

Når man møter Fourierrekker for første gang er det gjerne i forbindelsemed løsning av differensiallikninger. Som den største selvfølgelighet drarman fram Fourierrekker for å kunne løse problemer i varmeledning og bølge-likninger. Kanskje mister man en del av poenget ved å se bort fra de langeårene med forskning, prøving og feiling og diskusjoner som ligger bak.

Hvor kan man så si Fourierteorien begynner? Mye av teorien omhan-dler periodiske fenomener, og slike kjenner vi til fra lenge før Fouriers tid.Periodiske fenomener forekommer for eksempel innen astronomi. Himmel-legemers bevegelser er periodisk (hvis ikke kunne vi fått problemer!). Neuge-bauer11 viser til at allerede Babylonerne brukte en veldig primitiv form forFourierrekker til å studere og forutsi posisjonene til himmellegemer [D/McK,s. 1]. Skal vi ta for oss mer moderne tid kan man si at Fourierteorien harsin opprinnelse fra midten av det attende århundre, og den førte med segen feide mellom flere store matematikere. I 1734 skrev Euler12 om partielledifferensiallikninger og hos d’Alembert13 i 1743 finner vi samme tema. Rik-tignok var det først i neste gjennomgang av løsningen av problemet med densvingende strengen at man virkelig så nytten av slike hjelpemidler. Detteproblemet kom for fullt i 1747 da d’Alembert kom med sin diskusjon omsvingningene til en fiolinstreng. Problemet gikk ut på å forutsi utslagety (x, t) i punktet x ved tid t til en streng som blir satt i bevegelse med enutgangsposisjon gitt ved y (x, 0) = f (x) .

Man hadde tidligere fokusert på at massen bestod av mange diskrete”massebiter”. Fourier gjorde også selv en del slike betraktninger. Vi skalimidlertid konsentrere oss om tilfellet at massen er kontinuerlig fordelt.Bernoulli14 hadde i 1727 tatt for seg at massen besto av n små masseen-

11Otto Neugebauer (1899-1990) østerrisk matematiker, ekspert på språk og matem-atikkens historie.12Leonard Euler (1707-1783), sveitsisk matematiker og fysiker. Samarbeidet med

Bernoulli-familien i St. Petersburg og med Frederick den store i Berlin. Kjent for åvære i stand til å utføre enorme beregninger mentalt, og jobbet også med matematikketter å ha mistet synet. Euler var den første som fokuserte på at en funksjon var detviktigste matematiske begrepet, og ikke grafen til en funksjon. Han er den mest produktivematematiker gjennom tidene, med over 500 artikler og bøker.13Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783), fransk matematiker. Stod blant annet bak

kvotientkriteriet for konvergens av en positiv rekke.14Daniel Bernoulli (1700-1782), født i Nederland. Hans viktigste arbeider var innen

1.3. PRELUDIUM TIL FOURIERTEORI 9

heter. Ved å la n→∞ kom han fram til en partiell diff.likning som beskrevbevegelsen til strengen.

D’Alembert løste dette problemet på en elegant måte [MK, s. 503ff].Også Euler publiserte etter hvert et arbeid om den svingende strengen(1748). Han framhevet også superposisjonsprinsippet (1749), der han kom-binerte flere ledd for å finne bevegelsen til strengen. Han sa imidlertid ikkenoe om han regnet med endelige eller uendelige summer.

Bernoulli hengte seg også på denne diskusjonen. I et arbeide fra 1753hevder han (etter å ha uttalt seg nedlatende om både Eulers og d’Alembertsløsninger) at alle utgangsposisjoner for strengen kan uttrykkes

f (x) =∞Xn=1

an sinnπx

l.

Her begynner diskusjonen for alvor. Hans begrunnelse var at det fins ”nokmuligheter for valg av an” (man har jo uendelige muligheter!) til å tilpasseuttrykket til alle funksjoner f . Videre fulgte det i hans beregninger atbevegelsen til strengen da vil tilfredsstille likningen

y (x, t) =∞Xn=1

an sinnπx

lcos

nπct

l. (1.1)

Ingen matematiske begrunnelser ble gitt, kun fysiske betraktninger. Sammeåret svarte Euler på tiltale med å hevde at det var umulig at alle bevegelserkunne beskrives ved likningen (1.1). Euler mente at Bernoullis løsning kunstemte for visse f og at slike forelå allerede i Eulers arbeide fra 1749. Denneuenigheten fortsatte i flere år uten at man ble enige om hvilke funksjonerman kunne tillate som utgangsposisjon. Problemet skiftet altså fokus fra ådreie seg om utgangsposisjonen til strengen til å omhandle hvilke funksjonersom kan uttrykkes med en sinusrekke. Dette skulle også få konsekvenser forselve funksjonsbegrepet.

Også Lagrange hadde synspunkter i diskusjonen. Han ville bevise Eulerspåstand om at en vilkårlig funksjon kunne brukes som utgangspunkt forstrengen og publiserte samme resultat i 1759. Videre, i 1760/1761, komLagrange med en alternativ løsning av problemet.

Etterhvert kom Laplace på banen (1779) og tok parti med d’Alembert.D’Alembert på sin side fortsatte med å kritisere Euler for å være for generellved å bruke funksjoner som ikke kunne regnes som funksjoner og Bernoullifor å finne en løsning som ikke kunne representeres som en sum av si-nuskurver, altså ikke generell nok.

En snodig detalj [MK, s. 514] er at alle de involverte i diskusjonenvar klare over at ikke-periodiske funksjoner kunne, i et gitt intervall, rep-

fluidmekanikk, trykk- og tetthetslære. Kjent for bl.a. Bernoullis prinsipp. Til tross fornavnet var det Bernoulli som oppdaget Coulombs lov.


resenteres med en trigonometrisk rekke. Det hadde både Clairaut15, Euler,Bernoulli og andre gjort tidligere. Også formler for koeffisientene i rekka varblitt framvist tidligere. Lagrange kunne faktisk ha lest om disse formleneallerede i 1759.

1.4 Fouriers problem

Andre problemer var av samme karakter som den svingende strengen. Ogsåvarmeledning skulle vise seg å være av en slik natur at det naturlig dukketopp rekkeutviklinger i løsningene. Disse løsningene var ganske like de somman fant i forbindelse med den svingende strengen. I Fouriers arbeide av1807 ble trigonometriske rekker benyttet på en måte som igjen skulle bliomdiskutert. Ettertiden skulle bruke betegnelsen Fourierrekker om rekkenesom ble benyttet i denne avhandlingen. Dette navnet bruker vi også i dag.Komiteen som skulle evaluere dette verket bestod av Laplace, Lagrange,Lacroix16 og Monge. For å sette den matematiske tyngden til denne komi-teen i perspektiv kan vi nevne at Poisson bare var sekretær her.

Fourier begynte avhandlingen sin med å avfeie teorien om den såkalte”kalorien”, som var den mest innflytelsesrike teorien man til da hadde hattangående varme. Poisson og andre var tilhengere av denne teorien. Hov-edinnholdet i avhandlingen er løsninger av varmelikningen for forskjelligelegemer. Det første eksemplet er løsningen som beskrev temperaturen u(x, y)i en tynn, semi-uendelig plate (”tynn” vil her si at platen representeres i xy-planet og ikke har noe utstrekning i z-retning.) ved posisjonen (x, y) etterat temperaturen har stabilisert seg i tid og kun varierer med posisjonen påplaten. Denne løsningen var uavhengig av hypotesen om at varme var etstoff (kalori). Fourier tok for seg varmeledning i mange forskjellige legemer,men ved å se på tilfellet med den tynne platen kan vi allerede der observereog beskrive problemene.

15Alexis Claude Clairaut (1713-1765), fransk matematiker og fysiker som arbeidetmest med himmellegemers mekanikk og differensiallikninger.16Sylvestre François Lacroix (1765-1843), fransk matematiker som ble professor ved

Ecole Polytechnique i 1799. Skrev en del læreverk i matematikk, og ble kjent for å gjøreen stor innsats for å undervise matematikk i Frankrike.

1.4. FOURIERS PROBLEM 11

Fouriers plate med en (tilfeldig) utgangstemperatur tegnet inn.

På figuren over er platen tegnet som det semi-uendelige området i xy-planetbegrenset av y = 0, x = −1 og x = 1 (I boken av 1822 skifter han riktignoktil x-verdier ±π

2). Den andre kortsiden ble sett på som uendelig langt unna.

Fourier så i avhandlingen sin først på tilfellet der han antok det ikke var noevarmetap gjennom noen av sidene på plata, mens varme ble påsatt gjennomden ene kortsiden. Denne varmen var en oppgitt funksjon, som indikert påfiguren. Temperaturen på langsidene var i utgangspunktet satt konstant lik0. Altså at

u (−1, y) = u (1, y) = 0, (1.2)

for y > 0. Temperaturfordelingen langs kortsiden nærmest oss er en kjentfunksjon av x:

u(x, 0) = f(x). (1.3)

Fourier så i begynnelsen bare på tilfeller der temperaturfordelingen var gittved like funksjoner f(x), og det første eksemplet han så på var temperaturenkonstant lik 1, altså f(x) = 1. Vi minner om at en like funksjon er enfunksjon f(x) som oppfyller f(−x) = f(x) der den er definert, mens enodde funksjon oppfyller −f(x) = f(−x). Han bemerker i sin bok at denfysiske representasjon av tilstanden ville være å holde platen mellom to lagis (temperatur 0) og sette den i berøring med kokende vann (temperatur 1)på kortenden. Samtidig må over- og undersiden være isolerte.

Problemet var å finne en funksjon u = u (x, y) som tilfredsstiller liknin-gen

∂u

∂t= α2∇2u, (1.4)

der u = u (x, y) er temperaturen i punktet (x, y). Utledning av denne liknin-gen, kjent som varmelikningen, ved hjelp av fysiske betraktninger følger


senere. I ovenstående likning er

∇2u = ∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2.

Selv skriver Fourier [JF, s. 133p]:

”For å anvende den generelle likningen

dv

dt=

K

CD

µd2v

dx2+

d2v

dy2+

d2v

dz2

¶,

må vi ta i betraktning at vi, i dette tilfellet, abstraherer koordi-

naten z, slik at vi må se bort fra leddetd2v

dz2. Når det gjelder det

første leddet,dv

dt, så forsvinner dette, siden vi ønsker å bestemme

den stasjonære temperaturen. Likningen som representerer detopprinnelige problemet, og bestemmer egenskapene til det øns-kete legeme, er følgende:

d2v

dx2+

d2v

dy2= 0.”

Vi ser han bruker litt annen notasjon enn oss (rettere sagt; i originalenfra 1807 brukes det kjente symbolet for partielle derieverte, ∂, mens over-settelsen fra 1955 har gått tilbake til d.). Her sier han altså at det ikke vilvære noe temperaturendring i z-retning, siden vi har en tynn plate, og (1.4)reduseres da til

∂u

∂t= α2

µ∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

¶.

Fourier sier også at han ser på tilfellet der temperaturen i tillegg har sta-bilisert seg. Den vil da ikke endres ettersom tiden går og på venstresiden

får vi da 0. Med∂u

∂t= 0 får vi likningen kjent som Laplaces likning :

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0. (1.5)

Løsningen u (x, y) av denne kalles en harmonisk funksjon. Flere kjente tildenne likningen. Laplace og andre hadde støtt på den i forskjellige sammen-henger. Vi må her huske på at selve utledningen av varmellikningen var likeukjent som løsningen av den, så begge deler ble utsatt for nøye vurderinger.Det som ble mest debattert var altså ikke utledningen av varmelikningen,men de trigonometriske rekkene som på en naturlig måte dukker opp i løs-ningen.

1.5. FOURIERS LØSNING 13

1.5 Fouriers løsning

I følge [DMB, s.2] var det Fourier som introduserte metoden med separasjonav variablene. Dette er i dag velkjent stoff og standard teknikk for løsningav diff.likninger. Det hevdes imidlertid i [GG, s. 132] at separasjon av vari-ablene var velkjent og vanlig i bruk ved vanlige diff.likninger, men sjeldnerei partielle diff.likninger. Samtidig påstår [TB, s.204] at denne metoden gårunder navnet Bernoullis metode. Vi skal løse varmelikningen i neste kapittel,men la oss nå følge Fouriers egen argumentasjon.

Fourier antok løsningen av (1.5) hadde formen

u(x, y) = X(x)Y (y),

og Laplaces likning reduseres til

X 00(x)Y (y) +X(x)Y 00(y) = 0.

Dette kaller vi altså å separere variablene. Antar man videre at disse an-drederiverte er forskjellige fra 0, får vi

Y (y)

Y 00(y)= − X(x)

X 00(x).

Venstre siden er uavhengig av x og høyresiden er uavhengig av y. Da måbegge sidene være uavhengige av både x og y, og dermed være like samme

konstant. Fourier satteX 00 (x)X (x)

= −n og Y 00 (y)Y (y)

= n. Han løste så disse dif-

ferensiallikningene (selve løsningen er ikke tatt med i [JF]) og fikk svareneX (x) = cosnx og Y (y) = e−ny [JF, s. 135]. Fourier var ofte rask i vendin-gen og tok bort konstanter både her og der for å illustrere sine poeng. Viderekonkluderte han med at n ikke kunne være negativ, siden temperaturen u(som nå inneholder faktoren Y (y) = e−ny) ikke kan bli uendelig stor når yer uendelig langt unna varmekilden, altså en fysisk betraktning. LøsningenX(x)Y (y) som han satte opp ble dermed

un(x, y) = ae−ny cosnx,

der a og n er ukjente konstanter. Konstanten n som inngår, kan altsåi utgangspunktet være et hvilket som helst positivt tall, men må velgessom et odde multiplum av

π

2for at temperaturen skal være 0 langs langsi-

dene. Fourier satte så opp den generelle løsningen, som er en sum av slikefunksjoner,

u(x, y) = a1e−n1y cosn1x+ a2e

−n2y cosn2x+ · · · . (1.6)

(Fourier brukte indeksering a, b, c . . . i stedet for a1, a2, . . .) Han refererteikke til konvergens og nevnte ikke ordene uendelig sum, men skrev bare [JF,s. 135]:


”En mer generell verdi for u får vi lett ved å addere mangeledd liknende det første (...).”

For å tilfredsstille (1.2) måtte han forlange at hver ni er ett odde multi-

plum avπ

2, slik at

n1 =π

2, n2 =

3π

2, . . .

Fra initialbetingelsen u(x, 0) = f(x) må

f(x) = a1e−n10 cosn1x+ a2e

−n20 cosn2x+ . . .

= a1 cosπx

2+ a2 cos

3πx

2+ · · ·

=∞Xn=1

an cos

µ(2n− 1)πx

2

¶. (1.7)

Fourier hadde altså gått ut fra en utgangstemperatur (f (x) = 1) som varen like funksjon og kommet fram til at denne funksjonen kan uttrykkes veden sum av cosinusledd, sannsynligvis mente han uendelig sum. Det er eteksempel på en type rekke som vi nå kaller Fourierrekke. En fullstendingløsning av varmelikningen ville innebære å finne koeffisientene an i rekka.Hvordan skulle man nå beregne disse slik at likheten (1.7) holder? MåtenFourier gjorde dette på er forskjellig fra det vi gjør i dag. Han hadde altsånå vist at for problemet med denne tynne platen måtte han ha

1 =∞Xn=1

an cos

µ(2n− 1)πx

2

¶(1.8)

= a1 cosπx

2+ a2 cos

3πx

2+ · · · .

Så deriverte han (1.8) uendelig mange ganger og satte x = 0 hver gang for åfå en uendelig følge av likninger for de ukjente konstantene an. Han bruktede sju første likningene til å finne de sju første koeffisientene, og beregnet såde følgende generelt ved induksjon.

Fourier gjorde i første omgang selv ikke så mye for å rettferdiggjøre sinepåstander om utviklinger i Fourierrekker. En av grunnene til det kunne jovære at han var mest interessert i de fysiske tolkningene og ikke så nød-vendigheten av presise argumenter. Han var ganske skruppelløs når detgjaldt matematisk nøyaktighet og slo seg til ro med beregningene for å finnedisse koeffisientene. Fourier gikk ut fra at utvidelsene alltid var gyldigeuansett hvilken f vi så på.

Hvordan gjør vi dette i dag? Vi skal se hvordan vi nå ville beregnet antil å bli

an =

Z 1

−1f(t) cos

(2n− 1)πt2

dt. (1.9)

1.5. FOURIERS LØSNING 15

Som nevnt antok Fourier at alle like funksjoner kunne uttrykkes ved encosinusrekke som i (1.7). Vi antar nå at integrasjon ledd for ledd er tillatt idenne rekka. Dette er tilfelle for eksempel ved uniform konvergens, noe vikommer inn på senere. Vi tar utgangspunkt i (1.7), multipliserer på begge

sider med cos(2n− 1)πx

2og integrerer fra −1 til +1. Da får viZ 1

−1f(x) cos

µ(2n− 1)πx

2

¶dx

=

Z 1

−1

" ∞Xm=1

am cos

µ(2m− 1)πx

2

¶#cos

µ(2n− 1)πx

2

¶dx

=∞X

m=1

am

Z 1

−1cos

µ(2m− 1)πx

2

¶cos

µ(2n− 1)πx

2

¶dx.

Man kan vise atZ 1

−1cos

µ(2m− 1)πx

2

¶cos

µ(2n− 1)πx

2

¶dx =

½0 hvis m 6= n1 hvis m = n

,

og vi viser liknende formler i kapittel 4. Det følger da atZ 1

−1f(x) cos

µ(2n− 1)πx

2

¶dx

= a1 · 0 + a2 · 0 + a3 · 0 + · · ·+ an−1 · 0 + an · 1 + an+1 · 0 + · · ·= an,

som i formelen (1.9). Fourier brukte forøvrig denne metoden (vi kan kanskjekalle den ”integralmetoden for å finne Fourierkoeffisienter”) senere. Dettevar nøyaktig samme formel som Euler i 1777 hadde forutsagt, om en slikrekkeutvikling i det hele tatt var mulig [B/B/T, s.654].17 Man kan kanskjesi at det var noe ufortjent at Fouriers navn skulle være det som ble knyttettil disse utregningene, når han ikke var først ute med dem? Imidlertid påståsdet i [GG] at Eulers resultater ikke ble publiserte før i 1798, men at Fourieruansett ikke selv kjente til disse. Uansett kan vi enkelte steder finne (1.9)omtalt som Euler-Fouriers formler.

I vårt spesifikke eksempel er f(x) = 1, og an blir da

an =

Z 1

−11 · cos

µ(2n− 1)πx

2

¶dx

=2

(2n− 1)π∙sin

µ(2n− 1)πx

2

¶¸1−1

=4

(2n− 1)π (−1)n−1.

17Historiske kilder er ikke alltid like lette å finne ut av. I [TL1, s.215] står å lese at”Fourier greide også det Bernoulli og Euler ikke hadde greid, nemlig å finne disse tallenea1, a2, . . . ”, altså i skarp motsetning til [B/B/T].


Det vil si at Fouriers framgangsmåte gir

1 =4

π

∙cos

πx

2− 13cos

3πx

2+1

5cos

5πx

2− 17cos

7πx

2+ · · ·

¸(1.10)

for x-verdier mellom −1 og 1 [JF, s.153]. En interessant konsekvens av (1.10)er at vi ved å sette x = 0 får

π

4=

µ1− 1

3+1

5− 17+ · · ·

¶,

som er kjent som Gregorys18/Leibniz’ formel19. Vi skal snart se at likheten i(1.10) skulle by på hodebry. Løsningen som fremkommer for varmeledning-sproblemet var dermed:

u(x, y) =4

π

∙e−

πy2 cos

³πx2

´− 13e−

3πy2 cos

µ3πx

2

¶+1

5e−

5πy2 cos

µ5πx

2

¶+ · · ·

¸.

Det er informativt å se hvordan temperaturen fordeler seg over Fourierstynne plate etter at man har nådd likevekt. La oss tegne opp de 40 førsteleddene i denne løsningen med MAPLE for å få et godt bilde av hvor høytemperaturen er på forskjellige steder på platen etter at den har stabilisertseg.

18James Gregory (1638-1675), skotsk matematiker. En av de første til å skille mellomkonvergente og divergente rekker. Også kjent for sin beskrivelse av reflekterende teleskop(1661).19Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), tysk matematiker, fysiker og filosof.

Mest kjent for differensialregningen først publisert i Nova methodus pro maximis et min-imis. Utviklet også etterhvert integralregningen (symbolene vi bruker i dag stammer fraLeibniz).

1.6. INNSIGELSENE MOT FOURIER 17

-1-0.5

00.5

1

x

01

23

45

y

00.20.40.60.8

1

Temperaturen u(x, y) etter stabillisering

1.6 Innsigelsene mot Fourier

Lagrange var i mot godkjenning av Fouriers avhandling. Poisson skrev enoppsummering av komiteens vurdering der det stod at den ikke var godkjent,da den ikke inneholdt noe nytt eller interessant. Bak dette utsagnet låLagranges oppfatning om at man ikke kunne anvende alle trigonometriskerekker da de ikke nødvendigvis konvergerte. Noen klar presisering av hvakonvergens var, hadde man på den annen side ikke. (Cauchy20 kom medden første presise definisjon rundt 1810.) Biot21 kom også med innsigelser tilFouriers arbeide, spesielt utledningen av varmelikningen. Fourier hadde ikkereferert til Biots artikkel fra 1804 om samme tema, men Biots artikkel varheller ikke korrekt. Biot og Fourier nøt hverandres feilskjær i langdrag, ogvar fiender livet ut. I tillegg hadde også Laplace og senere Poisson innsigelsermot måten Fourier rettferdiggjorde utledningen av varmelikningen på.

20Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), fransk matematiker, og kanskje en av tidenesaller største. Cauchy var veldig produktiv og publiserte mange bidrag til alle deler avdatidens matematikk og fysikk. Hans bok fra 1821, Cours d’analyse er verdens førstepresist skrevne arbeide i analyse. Cauchy ble på grunn av sine konservative holdningerflere ganger nektet vitenskapelige stillinger han var mer enn kvalifisert for.21Jean-Baptiste Biot (1774-1862), fransk matematiker. Vi kjenner blant annet til

Biot-Savarts lov om magnetiske felt, fundamental i elektromagnetisk teori.


Fourier sendte senere et notat til Lagrange vedrørende konvergens avtrigonometriske rekker. En artikkel om samme tema ble sendt til Institutde France. Han kom i 1809 med en ny artikkel som omfattet hans tidligerefra 1807, men der han hadde påført fotnoter til å klargjøre det som eksami-natorene hadde stilt spørsmålstegn ved. Lagrange ville imidlertid heller ikkenå utgi eller godkjenne disse tilleggene.

Varmeledningsproblemet opptok også mange andre vitenskapsmenn pådenne tiden. I 1811 annonserte det franske akademi en konkurranse om ålegge fram den beste forklaringen på problemet. Fourier prøvde igjen. Hangjorde eksperimenter som han sammenliknet med de matematiske forut-sigelsene, og leverte Mémoire sur la propagation de la chaleur til stort settsamme komité (Lagrange, Laplace, Malus22, Haüy og Lacroix) mot sluttenav 1811 som et bidrag til Grand Prix de mathématiques 1812. Den størsteforskjellen fra originalmanuskriptet var noen resultater om Fouriertransfor-masjoner med tilhørende anvendelser. Fourier vant faktisk prisen i dennekonkurransen, på tross av ustoppelige innvendinger fra Lagrange. Dom-merne ville likevel ikke ha artikkelen publisert i Mémoires de l’Academicdes Sciences. Til og med etter Lagranges død i 1813, ble Fouriers papirerliggende upubliserte. Han forberedte da en bok om analytisk varmeteori forå få gjennomslag for sine teorier. Som nevnt ble Fourier senere sekretær forl’Academic og han ga i 1822 ut sitt eget materiale, [JF], bortimot uforandret.

Problemene lå egentlig dypere enn man hadde trodd. Det som opptokmatematikerne mest var at Fourier i dokumentet satte opp den trigonometriskerekka

f(x) = 1 =4

π

µcos

πx

2− 13cos

3πx

2+1

5cos

5πx

2− 17cos

7πx

2+ · · ·

¶.

for f(x) = 1 på [−1, 1]. Han brukte her formelen i (1.9) for å bestemme (1.7)for f(x) = 1. Her er vi ved kjernen til problemet. Bernoulli satte opp slikesummer i 1753 som løsning på problemet med den svingende strengen. Euler,som var ansett som datidens beste matematiker, hadde kategorisk avfeidløsningene og var også nå skeptisk til Fouriers beregninger. Spørsmålet somfikk så store konsekvenser var hvorvidt denne rekken kunne konvergere foralle x. Fourier innså også selv at (1.10) bare holder for −1 < x < 1 (å tronoe annet ville vært ganske naivt; han hadde jo bare konsentrert seg omdette intervallet). I sin bok skriver han at vi ikke kan bry oss om hvilkeverdier vi får utenfor intervallet. Ved å plotte grafen i MAPLE kan vi ogsåse problemet matematikerne møtte. Grafen til en typisk partialsum for f (3ledd) er framstilt under.

22Etienne Louis Malus (1775-1812), fransk matematiker og fysiker, arbeidet allermest med teorier innen lys. Var sammen med Fourier medlem av den matematiske sek-sjonen av instituttet i Kairo.


-1

-0.5

0

0.5

1

-4 -2 2 4x

Partialsummen 4π

¡cos πx2 − 1

3 cos3πx2 + 1

5 cos5πx2 − 1

7 cos7πx2

¢En slik graf hadde man ikke innvendinger mot på Fouriers tid, dette var jobare en enkel addisjon av cosinus-ledd. I dag vet vi at denne rekken, medvår tids terminologi, konvergerer punktvis mot en funksjon som alternerermellom +1 og −1.

f(x) = 4π

¡cos πx2 − 1

3 cos3πx2 + 1

5 cos5πx2 − · · ·

¢Dette ble ikke oppfattet som en funksjon i 1807. Funksjoner var poly-nomer, rotfunksjoner, potenser og logaritmer, trigonometriske funksjonermed inverser og forskjellige formler man kunne bygge opp av slike medvanlige regneoperasjoner. Hvordan kunne man danne en sum av kontin-uerlige funksjoner og få ut noe som var diskontinuerlig? Dette var vanskeligå fordøye. Noe måtte være feil, når man med naturlige, fysiske betraktningerog kombinasjoner av kontinuerlige funksjoner endte opp med en slik trappe-funksjon. Fourier bemerker selv at det som måtte være feil var antagelsenom at enhver like funksjon hadde en cosinusrepresentasjon som den vi harfunnet. Han beregnet koeffisientene på forskjellige måter, men alle munnetut med den samme konklusjonen; man måtte anta at rekkeutviklingen vargyldig for å vise den.

Det er også en annen svakhet i argumentasjonen, nemlig at man kan


bytte om summasjon og integrasjon:Z 1

−1

∞Xm=1

fm(x) dx→∞X

m=1

Z 1

−1fm(x) dx.

Det tok flere år før noen innså dette byttet kan lede til feil. Overgangener jo gyldig så lenge summasjonen er endelig. Nå vet vi også at dette er et

gyldig bytte av operasjoner hvis vi har uniform konvergens av∞P

m=1fm(x).

Uniform konvergens var ikke introdusert enda på dette tidspunkt.Lagrange mente han fant feilen angående konvergens i Fouriers arbeide.

Poenget hans var at summen av rekka måtte ha en unik grense. Han påstodat rekka

cosπx

2− 13cos

3πx

2+1

5cos

5πx

2− 17cos

7πx

2+ · · · ,

ikke hadde noen veldefinert grense for alle x. Begrunnelsen var at rekkenmed absoluttverdier av koeffisientene

1 +1

3+1

5+1

7+1

9+ · · · ,

vokser uten grense. Denne innsigelsen var nok heller ikke riktig (man kanvel spørre hva Lagranges begrunnelse egentlig var tuftet på? Det er mulighan hadde noen innvendinger som gikk i retning av absolutt konvergens iforhold til vanlig konvergens?). Fourier viste noen år senere at rekken hansatte opp for f(x) = 1 faktisk konvergerte for alle x. Hvor var da egentligdet logiske hullet som gjorde at man fikk diskontinuerlige funksjoner ved åsummere kontinuerlige?

Det tok tid før konvergens av trigonometriske rekker ble skikkelig ut-forsket. Den første som tok opp problemet med konvergens av Fourier-rekker var Poisson i 1820, men heller ikke han klarte å finne ut av konver-gensspørsmålet. Fourier prøvde også selv å bevise konvergens i boken sinfra 1822, men så også de fundamentale vanskelighetene. På sett og vis såFourier hvordan man skulle bevise konvergensen, men klarte bare å antydehvordan dette skulle gjøres.

Cauchy tok opp problemet i 1826 og publiserte det han mente var enløsning. Fortsatt var det feil. Ikke en gang Cauchy klarte å gjennomføreet korrekt bevis for når en Fourierrekke konvergerte. Nå hadde han jo ogsåselv presisert konvergensbegrepet og gitt en skikkelig definisjon på dette!

I januar 1829 ble artikkelen Sur la convergence des séries trigonometriquesqui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données(Om konvergens av trigonometriske rekker som representerer en vilkårligfunksjon definert på et gitt intervall) utgitt. Forfatter var den da 23 år


gamle Dirichlet23, nylig ansatt som professor i Berlin. På grunn av denneartikkelen blir Dirichlet ofte sett på som grunnleggeren av Fourieranalysen.Artikkelen begynner med å vise hvorfor Cauchy tok feil, og vi kan ta foross hans eksempel som en avsluttende kuriositet på dette kapitlet. Cauchy

antok at hvis∞Pn=1

wn konverger, og vn → wn så vil også∞Pn=1

vn være konver-

gent. Det at vn → wn må være en skrivemåte for at vn − wn → 0. Cauchysargument hvilte tungt på denne antagelsen, og hele argumentet kollapsethvis dette skulle være uriktig. Dirichlet satte

wn =(−1)n√

n

og

vn =(−1)n√

n+1

n.

Disse to rekkene, konkluderte Dirichlet, var et moteksempel. Vi har nemligfølgende test:

Lemma 1 (Leibniz’ test for alternerende rekker) Hvis∞Pn=0

an er en al-

ternerende rekke, der |an| er monotont avtagende mot null, så er rekkenkonvergent.

Vi ser at vn → wn, siden vn − wn =1

n→ 0. Testen gir at

∞Pn=1

wn

konvergerer, siden |wn| = 1√n→ 0 monotont når n→∞ (

√n er monotont

voksende). Vi har også følgende resultat:

Lemma 2 (TL1, s.567) Dersom èn av rekkene∞Pn=0

bn og∞Pn=0

an konverg-

erer og den andre divergerer, så divergerer også∞Pn=0

(bn + cn) og∞Pn=0

(bn − cn) .

Vi så at∞Pn=1

wn er konvergent, og vi vet fra før at∞Pn=1

1

n(den harmoniske

rekken) er divergent. Siden

∞Xn=1

µwn +

1

n

¶

består av en konvergent og en divergent rekke, gir lemma 2 at∞Pn=1

vn må

være divergent (dette er ikke i strid med Leibniz’ test da vi ser at vn ikke23Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859), den første som kom fram til resul-

tater vedrørende konvergensen til Fourierrekker. Etter at Gauss døde i 1855 ble Dirichletprofessor ved Göttingen.


er avtagende). Dirichlet satte så opp det første korrekte bevis for når enfunksjon f kan representeres ved hjelp av en Fourierrekke som er punktviskonvergent, og der grensefunksjonen er nettopp f . Kriteriet viste seg å væreat f må være stykkevis glatt. Vi minner om at en funksjon f er stykkevisglatt dersom definisjonsmengden kan deles opp i endelige mange intervallerder f 0 er kontinuerlig. Vi skal se på dette beviset i kapittel 4. Først skal vise hvordan varmelikningen utledes og løses.

1.7 Litteratur[I1] http://setiathome.ssl.berkeley.edu/

Hjemmesida for Seti@home ved Berkeley[I2] http://www.mersenne.org/prime.htm

The great Mersenne Prime search[I3] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Fourier.html

The MacTutor history of Mathematics archive[DMB] Bressoud: Radical approach to real analysis

The Mathematical Association of America (1993); ISBN: 0883857014[TWK] Körner, T. W.: Fourier analysis

Cambridge university press (1988); 0-521-25120-6[JM] Mason, J.: Thinking mathematically

Addison Wesley Publishing Company (1982); ISBN: 0201102382[TB] Lyche, R. T.: Lærebok i matematisk analyse, tredje del

Gyldendal Norsk Forlag (1948)[JF] Fourier, J.: Analytical theory of heat

Dover publications (1955)[D/McK] Dym, H./McKean, H.P.: Fourier series and integrals

Academic press ltd (1972)[GG] Grattan-Guinnes: Joseph Fourier — A survey of his life and work

MIT (1972); ISBN: 0-262-07041-3[TL1] Lindstrøm, Tom: Kalkulus

Universitetsforlaget AS (1995); ISBN: 82-00-22472-4[MK] Kline, M.: Mathematical thought from ancient to modern times

Oxford university press (1972); ISBN: 0-19-506136-5[B/B/T] Bruckner/Bruckner/Thomson: Real Analysis

Prentice Hall int.inc.(1997); ISBN: 0-13-606708-5

Kapittel 2

VARMELIKNINGEN

”Varme gjennomtrenger, på samme måte som tyngdekraft,alle stoff i universet. Varmestrålene fins i alle deler av rom-met. Vi skal i dette arbeidet stille opp de matematiske lovenevarme følger. Varmeteorien vil heretter danne en av de viktig-ste grenene i generell fysikk.” (Joseph Fourier - The analyticaltheory of heat [JF, s. 1])

Vi skal i dette kapittelet se på bruk av Fourierreker i partielle differen-siallikninger. Eksempler er varmeledning og bølgeforplantning. Fourier selvvar altså opptatt av varmeledning, og var mer interessert i å forstå fysikkenfor å stille opp problemet enn matematikken for å løse det. Det passer derforbra å gi en utledning av varmelikningen her. En slik utledning er standardog vi finner den i de fleste bøker der andre ordens diff.likninger er behandlet.Eksempel på slik litteratur er den mye brukte [B/DiP].

2.1 Utledning av varmelikningen

Ved å finne to ekvivalente uttrykk for varmestrømmen i en tynn leder kanvi sette disse like hverandre og dermed oppnå en likning som beskriver tem-peraturen i lederen.

Et kjent fysisk prinsipp er at varmemengden som strømmer gjennom endel av en leder på et bestemt sted pr. tidsenhet er proporsjonal med gradien-ten til temperaturen. Dette prinsippet bygger igjen påNewtons avkjølingslov :

”Hvis to parallelle plater med samme areal A og forskjel-lige temperaturer T1 og T2 er separerte i en avstand d, vil detstrømme en varmemengde fra den varmeste plata til den kaldeste(vi må alltid ha et varmt sted og et kaldt sted skal varme ledes).Varmemengden som ledes pr. tidsenhet er proporsjonal meddenne flatenA og temperaturforskjellen mellom platene, |T2 − T1| .

23

24 KAPITTEL 2. VARMELIKNINGEN

Videre er varmemengden omvendt proporsjonal med avstandend mellom platene.”

Vi har altsåVarmemengdetidsenhet

=κA |T2 − T1|

d, (2.1)

der κ (kappa) er en proporsjonalitetskonstant kalt termisk konduktivitet(eng.: conduct = lede). Det er også naturlig at denne avhenger av hvilketmateriale som befinner seg mellom platene. Den gir derfor et mål på hvorbra eller dårlig et stoff leder varme. Dette er en empirisk lov, og Fourierfant også fram til disse proporsjonalitetslovene ([JF, s.42]).

La oss nå legge en tynn, sylindrisk varmeleder fra 0 til L langs x-aksen.Vi antar lederen er laget av et homogent materiale og har likt tverrsnittover det hele. Denne lederen må være isolert slik at det ikke strømmervarme gjennom sidene, men kun langs lederen og ut og inn gjennom endene.Vi antar også at temperaturfunksjonen u og de deriverte ut, ux og uxx erkontinuerlige og kun avhenger av posisjonen x i lederen og tiden t (altså harikke y og z noen betydning - temperaturen er konstant over et tverrsnitt avlederen). Dette er en bra tilnærmelse når lederen er veldig tynn.

Vi ser på delen av lederen mellom x = x0 og x = x0+∆x, se på figuren.

0x xx ∆+0

Et segment av lederen

Varmemengden som nå strømmer inn i segmentet (skravert område på fig-uren) pr. tidsenhet minus varmemengden som strømmer ut av segmentetpr. tidsenhet må være lik den netto varmeøkning pr. tidsenhet i dettesegmentet. Newtons avkjølingslov gir at varmemengden som nå strømmergjennom lederen fra x0 til x0 +∆x pr. tidsenhet er

κA [u (x0 +∆x, t)− u (x0, t)]

∆x.

Varmestrømmen gjennom tverrsnittet ved x0 kaller vi H(x0, t). Denne erdefinert ved

H(x0, t) = − lim∆x→0

κAu (x0 +∆x, t)− u (x0, t)

∆x= −κAux(x0, t).

Minustegnet skyldes at det vil være en positiv varmeflyt fra venstre mothøyre hvis temperaturen er mindre i x0 + ∆x enn i x0. En annen måte

2.1. UTLEDNING AV VARMELIKNINGEN 25

å si dette på er at varme strømmer fra et varmt sted til et kaldt sted, ogvarmeflyten er da positiv selv om den deriverte av temperaturen, ux, ernegativ. Ved posisjonen x0 +∆x, vil varmestrømmen (altså varmemengdepr. tid) på samme måte være

H(x0 +∆x, t) = −κAux(x0 +∆x, t).

Totalt er endringen pr. tidsenhet i varmemengden i delen av lederen mellomx = x0 og x = x0 +∆x

H(x0, t)−H(x0 +∆x, t)

= κA[ux(x0 +∆x, t)− ux(x0, t)].

Siden uxx er kontinuerlig kan vi bruke fundamentalteoremet (se f.eks. [TL1,s. 335]) som gir

κA[ux(x0 +∆x, t)− ux(x0, t)] =

Z x0+∆x

x0

κAuxx (x, t) dx. (2.2)

Nå skal vi utlede et annet uttrykk for total varmeendring pr. tidsenhet.Temperaturen i segmentet avhenger også av tettheten ρ (g/cm3) til mate-rialet og den spesifikke varmekapasiteten c. Spesifikk varmekapasitet er denvarmemengde som trengs for å øke temperaturen i ett gram av et bestemtmateriale en grad. Det vil si at cρu er den mengden som trengs for å øketemperaturen i 1 cm3 av materialet fra 0 grader til u grader. I segmentetpå figuren trengs da en varme på

Q (t) =

Z x0+∆x

x0

cρAu (x, t) dx

for å øke temperaturen fra 0 til u. Derivasjon under integraltegnet er tillatt,siden både u og ut er antatt kontinuerlige (se f.eks. [PRA, s. 37]). Varmeen-dring pr. tidsenhet i segmentet er derfor

Q0 (t) =Z x0+∆x

x0

cρAut (x, t) dx. (2.3)

Vi har nå to uttrykk for varmeendringen pr. tidsenhet i segmentet, i (2.2)og (2.3). Disse må være like, og vi får daZ x0+∆x

x0

cρAut (x, t) dx =

Z x0+∆x

x0

κAuxx (x, t) dx,

eller Z x0+∆x

x0

µut (x, t)− κ

cρuxx (x, t)

¶dx = 0.


Dette må holde for alle valg av x0 og x0+∆x Siden ut og uxx er kontinuerligevil integranden være kontinuerlig. Dermed må integranden være eksakt liknull,

ut (x, t)− κ

cρuxx (x, t) = 0,

ellerut (x, t) =

κ

cρuxx (x, t) .

Sett α2 :=κ

cρ(for å gjøre senere utregninger enklere). Vi ender da opp med

α2∂2u

∂x2=

∂u

∂t. (2.4)

Dette er altså den endimensjonale varmelikningen. Verdier for konstantenα2 kan finnes i tabeller.

2.2 Løsning av varmelikningen

La oss nå gi en fullstendig løsning av (2.4) i følgende situasjon:Temperaturen i x = 0 og x = L er lik null, og utgangspunktet for

temperaturfordelingen er en kjent funksjon f(x). Problemet er altså

∂u

∂t= α2

∂2u

∂x2,

u(0, t) = u(L, t) = 0,

u(x, 0) = f(x).

Vi går fram på tilsvarende måte som Fourier gjorde da han løste varme-likningen for en semi-uendelig plate. Metoden er standard i dag, og detpåstås altså i noe litteratur at Fourier var den første som brukte separasjonav variable til å løse slike likninger.

Vi antar løsningen har formen u(x, t) = X(x)T (t). Vi skal senere se atdenne antagelsen kan rettferdiggjøres. Innsatt i (2.4) får vi at

XT 0 = α2X 00T.

Separasjon av variablene gir

T 0

α2T=

X 00

X.

Siden venstresiden kun er avhengig av t og høyresiden kun av x må beggevære lik en konstant som vi kaller −σ. Minustegnet skyldes at uttrykkene visenere kommer fram til blir enklere. Vi ender da opp med de to likningene

X 00 + σX = 0, (2.5)

T 0 + α2σT = 0. (2.6)

2.2. LØSNING AV VARMELIKNINGEN 27

Nå setter vi inn randbetingelsene u (0, t) = u (L, t) = 0, slik at vi må ha

u(0, t) = X(0)T (t) = 0.

For at dette skal stemme kan vi ha T (t) = 0 for alle t, men da vil jo ogsåu(x, t) = 0 for alle x og t. Det betyr igjen at betingelsen u(x, 0) = f(x)ikke kan oppfylles for andre f enn f(x) ≡ 0. Derfor ser vi oss nødt til å haX(0) = 0. På samme måte må vi ha X(L) = 0.

Vi ser så på tre muligheter for valg av σ.Først lar vi σ = 0. Da får vi fra (2.6) at X(x) = k1x+ k2. Vi må velge

k2 = 0 og k1 = 0 for å tilfredsstille randbetingelsene X (0) = X (L) = 0, ogvi finner ingen ikke-trivielle løsninger for dette valg av σ.

Ser så på σ < 0. Settes σ = −λ2 får vi likningenX 00−λ2X = 0. Løsningenav denne er

X(x) = k1eλx + k2e

−λx. (2.7)

(Man vil enkelte steder finne denne løsningen utskrevet ved hyperbolskefunksjoner, dette er en smakssak.) Randbetingelsene gir igjen X(0) = k1 +k2 = 0 og X(L) = k1e

λL+k2e−λL = 0. Fra k1 = −k2 får vi k1eλL = k1e

−λL.Men dette stemmer jo bare når k1 = 0, og vi må derfor også ha k2 = 0. Ogsåher vil vi da ende opp med den trivielle løsningen.

Siste mulighet for å finne ikke-trivielle løsninger er σ > 0. Sett da σ = λ2,slik at vi får likningen X 00 + λ2X = 0. Løsningen av denne er

X(x) = k1 cosλx+ k2 sinλx. (2.8)

Initialbetingelsene gir nå at u(0, t) = X(0)T (t) = 0 og u(L, t) = X(L)T (t) =0. Siden T (t) 6= 0 følger det at X(0) = k1 = 0, og videre at X(L) =k2 sinλL = 0 med k2 6= 0. For å få ikke-trivielle løsninger må sinλL = 0.Sett λ = λn =

nπ

Lder n = ±1,±2, ... Setter vi k2 = 1 får vi løsningen

X(x) = Xn (x) = sinλnx, n = 1, 2, ...

Vi trenger ikke ta med negative n, siden sin (−x) = − sinx, og dette forteg-nsskiftet kan fanges opp av en konstant foran sinusleddet. FunksjonenXn (x)tilfredsstiller randbetingelsene og diff.likningen (2.5).

Vi ser så på (2.6). Generell løsning av denne er

T (t) = Tn (t) = bne−α2λ2nt,

der bn er en proporsjonalitetskonstant. Vi ser da at funksjonen

un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = bne−α2λ2nt sinλnx (2.9)

vil tilfredsstille varmelikningen og randbetingelsene.


Fremdeles gjenstår å tilfredsstille initialbetingelsen u(x, 0) = f(x). Laoss se på en endelig sum av slike løsninger som (2.9),

uN(x, t) =NXn=1

un(x, t) =NXn=1

bne−α2λ2nt sinλnx.

Vi vet at også denne summen vil være en løsning av varmelikningen (varme-likningen er lineær) og samtidig oppfylle randbetingelsene uN (0, t) = uN (L, t) =0. Setter vi t = 0, som i betingelsen, får vi

uN (x, 0) =NXn=1

bn sinnπ

Lx = f(x).

Nå er problemet å forsøke og justere konstantene bn slik at denne likhetenholder. Men hvis ikke f(x) har formen

f(x) = b1 sinπx

L+ b2 sin

2πx

L+ · · ·+ bN sin

Nπx

L

så fins ikke bn som oppfyller likheten [B/DiP, s. 517]. Dette gir en indikasjonpå at vi kan prøve og finne en løsning bestående av en uendelig sum, nemlig

u(x, t) =∞Xn=1

un(x, t) =∞Xn=1

bn sinnπx

Le−λ

2nt.

Vi har

u (x, 0) =∞Xn=1

bn sinnπx

L

og dette skal være lik f (x) . Dermed innser vi at bn må være nettopp Fouri-erkoeffisientene i sinusrekken til f(x). Vi har allerede sett hvordan Fourierregnet ut koeffisientene an for å representere en funksjon ved en cosinus-rekkepå et gitt intervall. Ønsker vi en sinusrekke får vi en tilsvarende formel, der

bn =1

L

Z L

−Lf (x) sin

nπx

Ldx.

Utregningen er lik den vi så i forrige kapittel. Det kan kanskje virker rartat man noen steder bruker bare cosinus-ledd for å representere funksjoner,og andre steder bare sinus-ledd. I tillegg bruker generelt begge deler sam-tidig! Poenget her er at en gitt funksjon kan forlenges på både en like og enodde måte, slik at man kan velge om man vil bruke en cosinus-, sinus- ellerkombinert representasjon.

Den totale løsningen på varmelikningen er da:

u (x, t) =∞Xn=1

bn sinnπx

Le−λ

2nt,

2.3. ENTYDIGHET 29

der bn er gitt ved (??).For å kommentere den fysiske meningen med løsningen, kan vi merke oss

at ledd av typen

e−λ2nt = e−

α2n2π2tL2 ,

inngår i løsningen, slik at en høyere konduktivitet i materialet vil gi en størreα2, og temperaturen i en slik stang vil dermed gå raskere mot null når vibeveger oss bort fra varmekilden.

2.3 Entydighet

Er man kritisk vil man kanskje stille seg spørrende til hvorledes man kanunnlate å se på muligheten for at varmelikningen (2.4) har løsninger avandre typer enn u (x, t) = X (x)T (t). Generelt vil jo gjerne en funksjonu (x, t) ikke kunne skrives som et produkt X (x)T (t) . Men hvis vi nå haddehatt en alternativ løsning av varmelikningen, så ville vi jo ikke kunne forutsitemperaturen på et gitt sted til en bestemt tid ved hjelp av løsningen vi harfunnet. Derfor ønsker vi at løsningen vi har funnet skal være den enesterette.

La nå u(x, t) være kontinuerlig på det semi-uendelige rektangelet R =[0, L] × [0,∞i i xt-planet. Anta også at u er en løsning av varmelikningen(2.4) for 0 < x < L og t > 0. For en gitt τ > 0 definerer vi rektangeletRτ = [0, L]× [0, τ ] og la Cτ = {(x, t) ∈ Rτ |x = 0 ∨ x = L ∨ t = 0}.

τR

x

t τ

L

Rektangelet Rτ og randen C.

Her er Cτ altså den kraftige streken. Vi minner om at vi fremdeles ser på denendimensjonale varmelikningen selv om vi illustrerer problemet i et plan. Vistarter med et resultat vi får bruk for.


Lemma 3 Hvis løsningen u av varmelikningen er kontinuerlig på R og ≡ 0på C (randen til R) så er u ≤ 0 i hele R.

Bevis. Vi ønsker en selvmotsigelse og antar det motsatte, nemlig at detfins et punkt (x0, t0) i det indre av R slik at u (x0, t0) = M > 0. Velg såτ > t0. Da vil (x0, t0) ligge inne i rektanglet Rτ . Definer hjelpefunksjonen

h(x, t) = u(x, t) +M

2τ(t− t0).

for (x, t) ∈ Rτ . Vi ser så på h på Rτ . Nå er h kontinuerlig på Rτ og Rτ erkompakt. Da vet vi (se f.eks. [PRA, s. 29]) at h oppnår sitt maksimum ogminimum på Rτ . La oss si h oppnår sitt maksimum i et punkt (x1, t1) ∈ Rτ .Dette maksimum er opplagt ≥M. Da må (x1, t1) enten være et indre punkti Rτ eller t1 = τ . Punktet (x1, t1) kan ikke ligge på randen Cτ for der har vifor alle (x, t) ∈ Cτ at

h (x, t) = 0 +M

2τ(t− t0) <

M

2ττ =

M

2< M.

(i) Hvis (x1, t1) er et indre punkt i Rτ vet vi fra flerdimensjonal analyseat

∂h

∂x(x1, t1) = 0

og∂h

∂t(x1, t1) = 0.

Dessuten må∂2h

∂x2(x1, t1) ≤ 0.

(ii) Hvis i stedet t1 = τ så må vi ha

∂h

∂t(x1, t1) ≥ 0,

siden∂h

∂t(x1, t1) < 0 ville gitt at det fantes (x1, t2) med 0 < t2 < t1 s.a.

h (x1, t2) > h (x1, t1) .

Vi befinner oss nå på øverste kant av Rτ og fra vanlig envariabelteori må vida ha

∂h

∂x(x1, t1) = 0

og∂2h

∂x2(x1, t1) ≤ 0.

2.3. ENTYDIGHET 31

Sammenlikner vi (i) og (ii) ser vi at vi har

∂h

∂t(x1, t1) ≥ 0,

∂2h

∂x2(x1, t1) ≤ 0

i begge tilfeller. Siden

∂u

∂t=

∂h

∂t− M

2τ(−1) = ∂h

∂t+

M

2τ

blir∂u

∂t(x1, t1) =

∂h

∂t(x1, t1) +

M

2τ> 0,

mens∂2u

∂x2(x1, t1) =

∂2h

∂x2(x1, t1) ≤ 0.

Innsatt i varmelikningen (2.4) kan vi da se at

∂u

∂t(x1, t1)− α2

∂2u

∂x2(x1, t1) > 0,

og vi har en selvmotsigelse, siden (2.4) da ikke vil være oppfyllt. Altsåmå antakelsen være feil, og vi kan konkludere med at u virkelig oppnårsitt maksimum på C. Det samme resonnementet vil gi at −u oppnår sittmaksimum, som er det samme som å si at u oppnår sitt minimum på C.

Vi kan da vise entydigheten til løsningen av varmelikningen.

Proposisjon 4 La u og v være kontinuerlige løsninger av (2.4), der 0 ≤x ≤ L og 0 ≤ t <∞. Da er u = v.

Bevis. Sett w = u−v. Dette er en lineærkombinasjon av løsninger, og wvil da også være en løsning av varmelikningen. Dessuten vil w tilfredsstillew (0, t) = u (0, t) − v (0, t) = 0 og w (L, t) = u (L, t) − v (L, t) = 0. Sidenu (x, 0) = v (x, 0) = f (x) har vi w (x, 0) = u (x, 0)−v (x, 0) = f (x)−f (x) =0. Altså har vi at w = 0 på C, og lemma 3 gir da for (x, t) ∈ R, at

wmin = 0 ≤ w(x, t) ≤ wmax = 0.

Dette viser oss at w (x, t) = 0 og dermed er

u(x, t) = v(x, t)

for alle (x, t) ∈ R.


2.4 Litteratur[JF] Fourier: Analytical theory of heat

Dover publications (1955)[B/DiP] Boyce, DiPrima: Elementary differential equations and boundary value problems

John Wiley & sons, Inc. (1992); ISBN: 0-471-57019-2[TL1] Lindstrøm: Kalkulus

Universitetsforlaget AS (1995); ISBN: 82-00-22472-4[PRA] Andenæs: MNFMA219 - Reell analyse

NTNU (2000)[E/P] Edwards/Penney: Calculus with analytic geometry

Prentice Hall Inc. (1994); ISBN: 0-13-176728-3

Kapittel 3

PROBLEMENE

Som vi har sett førte Fouriers løsning av varmelikningen til at matematikernemåtte tenke nytt, og det bar noen ganger galt avsted da begrepsapparatetman på den tid var i besittelse av hverken var presist nok eller genereltnok. For å sette Fouriers teorier litt i perspektiv kan vi se på hvordannoen av begrepene man brukte da ble påvirket nettopp på denne tiden,og - i noen tilfeller - av arbeidene hans. Akkurat i hvor stor grad Fourierpåvirket utviklingen av analysen får vel være et åpent spørsmål, men atdet i hans kjølvann fulgte en presisering og omarbeiding av flere begreper erutvilsomt. Vi kan altså ikke være for strenge mot Fourier når han ikke haddedet samme begrepsapparatet som vi har i dag. Hans arbeider i varmeteoriansees fortsatt som trendsettende for vitenskaplig nøyaktighet. Fourier varførst og fremst opptatt av å gi en matematisk beskrivelse av naturen. Hanvar mindre interessert i matematisk begrepsbygning og teori.

Det som er interessant er at problemstillingene for to hundre år sidener noe av de samme som studenter ved høyere utdanning og elever vedvideregående skoler møter i dag. Både teoriene vedrørende integrasjon ogfunksjoner så vel som konvergensbegrepet måtte revideres. Disse begrepeneer jo også problematiske for de som skal lære stoffet i dag. I dette kapitletskal vi se på hvordan man ryddet opp i noen av begrepene innen analysen. Iet senere kapittel skal vi også komme litt inn på hvordan dette kan relaterestil skolematematikken i våre dager.

I 1873 kom Du Bois-Reymond1 med et eksempel på en funksjon som var2π-periodisk og kontinuerlig, og som hadde Fourierrekke som divergerte i etpunkt [TWK, s.67]. Men Fourier påsto jo at alle funksjoner kunne repre-senteres ved Fourierrekker som konvergerer mot funksjonen! Hvordan skulleman da kunne ha en ”pen” Fourierteori? Nå må vi tenke oss til holdningenFouriers samtid hadde til matematikk. Man skulle ha en helhetlig vitenskap,

1Paul Du Bois-Reymond (1831-1889), tysk matematiker, mest kjent for arbeiderinnen analyse og spesielt differensiallikninger. Han utvidet blant annet Monges resultaterom andre ordens partielle diff.likninger til orden n.

33

34 KAPITTEL 3. PROBLEMENE

og analysen skulle være generelt gyldig innenfor en passende valgt funksjon-sklasse. Med slike funksjoner som Du Bois-Reymond la fram, så det ut tilat man måtte skreddersy funksjonsklasser avhengig av hvilket problem manstuderte. Dette var en vanskelig tanke for tohundre år siden, og ble nokoppfattet som matematisk fusk. Vi kan kanskje se for oss flere veier ut avuføret:

• Funksjonsbegrepet kunne redefineres, slik at man kunne finne en klassefunksjoner som var spesielt egnet innen Fourieranalyse, og der mankunne ha ”pene” resultater. Dette må vel likevel sies å være en kunstigløsning av problemet.

• En annen løsning ville være å oppdatere selve konvergensbegrepet, altsåved å finne andre måter rekker kan konvergere på. Slik kunne mankanskje snakke om en spesiell klasse rekker som passet til problemet.

• En tredje mulighet kunne være å finne andre systemer som basis forutvikling i Fourierrekker, slik at ”skrekkeksempler” som Du Bois-Reymond fant ikke skulle forekomme.

Alle disse remediene ble (selvfølgelig) undersøkt, og de utforskes fortsatt.Vi skal i dette kapittelet se på den første muligheten, det vil si ta for osshvordan sentrale begreper som funksjon, konvergens og integral ble endretpå denne tiden. I kapittel 5 skal vi se på hvordan Fejér brukte den andreutveien, nemlig ved å finne en annen type konvergens. Den tredje utveienførte til en helt ny gren av Fourieranalysen, såkaltWavelets, som er et veldigaktuelt område i dag.

Først tar vi en kikk på utviklingen av funksjonsbegrepet.

3.1 Funksjonsbegrepet

Man begynte å debattere funksjonsbegrepet allerede før Fourier kom på ba-nen. Et av problemene som førte til en slik diskusjon var imidlertid ganskelikt Fouriers varmeledningsproblem. Problemet med den svingende stren-gen satte fart (og sinne) i diskusjonen. Problemet var: hva er egentlig enfunksjon? Hvordan skulle man presist definere en funksjon? Det er ikketvil om at enkelte hadde sterke følelser rundt dette, og at debatten varteover lang tid. Det ser vi klart fra et utsagn fra Hermite2, som i et brev tilStieltjes3 skrev (1893):

2Charles Hermite (1822-1901), fransk matematiker som arbeidet innen funksjonste-ori, blant annet med anvendelser av elliptiske funksjoner for å gi den første løsningen tilen generell femtegradslikning.

3Thomas Jan Stieltjes (1856-1894), fransk matematiker (født i Nederland). Arbeidetmye med rekketeori. Vi kjenner også til Stieltjes-intergalet fra mer avanserte analysekurs.

3.1. FUNKSJONSBEGREPET 35

”Jeg snur meg med frykt og avsky bort fra denne beklageligefarsotten av funksjoner som ikke har noen derivert.”

Hvorfor er funksjonsbegrepet så viktig? En av grunnene kan være at mani uminnelige tider har vært opptatt av hvordan ting endrer seg. Spesielt har(og er) endring i tid noe man har forsøkt å utforske. Hvordan månen (ellerandre legemer) beveger seg på himmelen er eksempel på det, så dette er altsåfunksjoner av tiden. Et slikt funksjonsbegrep er imidlertid veldig filosofisk,og ikke presist nok i en matematisk sammenheng.

3.1.1 Eulers funksjonsbegrep

Man sier gjerne at begrepet funksjon, som et grunnbegrep i den matematiskeanalysen, fødtes ved innføringen av Eulers funksjonsbegrep i 1755. Men selvom Euler kom med et funksjonsbegrep som likner vår tids definisjon, varikke den matematiske verden på den tiden like flinke til å anvende Eulersbegrep i praksis. Først Dirichlet benyttet i praksis Eulers funksjonsbegrep.

Fra kurver til funksjoner

Helt opp til 1500-tallet hadde man en oppfatning av at algebra og geometrivar omtrent samme sak. I [TL1, s.211] nevnes eksemplet med at det som vii dag ser på som en andregradslikning ble sett på som en geometrioppgavemed kvadrater og rektangler. Likninga x2− bx−ac = 0 ble oppfattet som åfinne ”det linjestykket x som er slik at arealet til et kvadrat med sider x erlik summen av arealene av rektanglene med sider på henholdsvis b og x, og aog c. En slik sammenheng sporer vi helt tilbake til de gamle grekere. Denne”geometriseringen” gjorde kanskje sitt til at generelle funksjoner som ikkevar knyttet til en fysisk tolkning ikke var så mye brukt. Først med inntogettil den analytiske geometrien begynte ting å likne på det som vi kjenner til.Selv om Leibniz etterhvert kom med sin infinitesimalregning, dreide det seglikefullt om kurver og arealer under kurvene.

Etterhvert ble det gitt ut to arbeider med en ny vinkling. Fermat4 gaut Isagoge ad locos planos et solidos isagoge (Om likningene til plan og fastelegemer; 1679), og Descartes ga ut La Géométrie (1637) som en utvidelse avhans hovedverk Discourse de la méthode5. I arbeidene til disse to storhetene

4Pierre deFermat (1601-1665), fransk matematiker, kanskje mest kjent for bl.a. åha lagt fram ”verdens beste matematiske problem”, Fermats siste sats. Påstanden er atxn + yn = zn ikke har heltallige løsninger x, y og z for n > 2. Denne likningen er forøvrig hovedtema i en bestsellende bok av Simon Singh, og tar for seg historien helt framtil Andrew Wiles beviste Fermats siste sats i 1995. Fermat arbeidet mest med tallteori,men stod også bak noen anerkjente resultater i analyse. Sammen med Pascal la han ogsågrunnlaget for sannsynlighetsteorien.

5Denne er oversatt til engelsk, og kan lastes ned gratis frahttp://ebooks.barnesandnoble.com/ms_reader/special_features/free_philos_ebooks.asp


markeres overgangen til at man beskriver en kurve kun ved hjelp av enlikning eller utsagn av typen

”en sirkel med radius r og sentrum i (a, b) er de punkt x og ysom tilfredsstiller

(x− a)2 + (y − b)2 = r2.”

Fram til midten av 1700-tallet endret nå fokus seg gradvis fra kurver tilfunksjoner.

To ankepunkter hos Euler

Euler skulle nå komme med sin funksjonsdefinisjon, og han kvitter seg medkurvebegrepet i verkene Introductio in analysis infitorum (1748) og Institu-tiones calculi differentialis (1755). Her definerer han en funksjon slik:

”En funksjon av en variable størrelse er et analytisk uttrykksom på en eller annen måte er sammensatt av denne variablestørrelsen og av tall eller konstante størrelser.” ([JL, s.7], [TL1,s.212])

Ideen til en slik definisjon hadde kommet fra Bernoulli (1718). Noenankepunkter har vi imidlertid til en slik definisjon:

• Hva han mente med analytisk uttrykk er uklart. Kun ved å se påEulers praktiske bruk av funksjoner kan vi prøve å forstå hva hanmener. Lebesgue6 ga senere det vi i dag bruker som definisjon avanalytisk uttrykk.

• Variabel størrelse er et annet begrep fra definisjonen som bør kom-menteres. Her mener Euler at de variable skal kunne anta alle kom-plekse verdier, og ikke benyttes kun på et intervall. Igjen er det ønsketom den helhetlige analysen som ligger bak. Denne tanken blir ogsågjerne kalt den variables generalitet. Euler begrenset seg riktignok tilde reelle tallene enkelte ganger, men ytterligere skjerpinger ville hannok ikke godtatt.

Innunder Eulers begrep havner forskjellige typer formler, som kunnevære sammensatt av endelig eller uendelig mange operasjoner. Vi skjønnerat det at han ikke skilte mellom divergente og konvergente rekker ville føretil selvmotsigelser. Euler så på

1

1− x= 1 + x+ x2 + x3 + · · · ,

6Henri Léon Lesbesgue (1875-1941), fransk matematiker som ble mest kjent for sinearbeider innen målteori og integrasjonsteori. Utvidet Riemanns integralkonsept bl.a. vedå introdusere begrepet målbare mengder.


som vi nå vet kun holder for |x| < 1. Euler ”definerte seg ut av problemet”ved å si at summen til en rekke er

”det uttrykket som framkommer av rekkeutviklingen til enuendelig rekke.”

Flere var skeptiske til dette, blant andre d’Alembert (og senere Abel)mente at man ikke kunne regne slik med rekker som ikke konvergerte. Ellersble også uttrykk som hadde flere y-verdier tilhørende en og samme x-verdiinkludert av Eulers funksjonsbegrep. Funksjonslikhet ble også annerledesenn hvordan vi ville ha forklart det i dag. For eksempel er to funksjonerlike hos Euler dersom han klarer å omforme den ene til den andre. Vi villeha sagt at to funksjoner f og g er like dersom de er definert på en fellesdefinisjonsmengde og g (x) = f (x) for alle x i definisjonsmengden.

Man tilla på denne tiden funksjoner mange egenskaper som vi i dag serpå som langt fra selvfølgelige. F.eks. at alle funksjoner kan utvikles i enpotensrekke. Euler skrev til og med at den faktiske utvikling av en funksjoni potensrekker ville fjerne enhver tvil man måtte ha omkring lovligheten avdette.

Fra kurve til funksjon og tilbake til kurve

Snart kom problemet med den svingende strengen i søkelyset, og følgeligdebatten om hvilke funksjoner man kunne tillate som utgangsposisjoner forstrengen (også omtalt i kapittel 1). Her hadde d’Alembert funnet en løs-ning sammensatt av analytiske uttrykk. Han brukte imidlertid Eulers førstefunksjonsbegrep. Euler mente dette begrenset klassen av mulige utgangspo-sisjoner. Men siden odde utvidelser av utgangsposisjonen inngår i løsningenmente Euler at slike odde utvidelser av funksjoner også måtte komme innun-der funksjonsdefinisjonen. Ansporet av de fysiske muligehetene i problemettillot han vilkårlige kurver som utgangsposisjon og utvidet disse i en odde,periodisk funksjon. Hans eget eksempel var en streng som ved t = 0 haddeform som en del av en sirkelperiferi. Euler sa at man finner utgangsfunksjo-nen ved å gjøre denne periferien odde og periodisk, og altså ikke følge denanalytiske fortsettelsen (som Euler uttrykte det), som er sirkelen.


Forskjellen på analytisk fortsettelse (sirkelen) og periodisk fortsettelse.

Euler gikk nå (ett år etter hans innføring av funksjonsbegrepet) tilbakepå sin egen definisjon og godtok nå også delt forskrift. Dette ble gjort iarbeidet De usu functionum discontinarium in analysi, og han kalte dissediskontinuerlige funksjoner. Altså en helt annen betydning av begrepet (dis-)kontinuerlig enn vi bruker i dag. I [JL] benyttes notasjonen E-kontinuerligfor å skille Eulers oppfatning av kontinuitet fra vår. Dette hadde selvfølgeligingenting med kontinuitet å gjøre, slik vi definerer det i dag. For eksempeler

f (x) =

½x, 0 < x < 12− x, x ≥ 1

diskontinuerlig etter Eulers definisjon, men kontinuerlig etter dagens defin-isjon. Euler kalte også funksjoner som var tegnet helt på frihånd, altsåløsrevet fra et analytisk uttrykk, for diskontinuerlige.

Nå hadde man altså før hatt et funksjonsbegrep som tilordner en kurvetil en funksjon, mens ringen nå ble sluttet ved at man fikk en korrespon-danse tilbake igjen. Altså at en vilkårlig kurve skulle kunne betegne en(muligens E-diskontinuerlig) funksjon. Striden med d’Alembert om strengenfortsatte. Nå mente d’Alembert rett og slett at det var fusk å benytte slikeutvidelser av utgangsposisjonen. Igjen ser vi at man helst hadde ønsket segat analysen hadde hatt de pene egenskapene man fant innen de analytiskeuttrykkene. En enda sterkere kritikk av Euler kom da d’Alembert viste atde E-diskontinuerlige funksjonene ikke ville tilfredsstille bølgelikningen derden andrederiverte hadde en diskontinuitet. For eksempel har funksjonen fover et knekkpunkt og vil ikke være deriverbar der.

Eulers ”nådestøt” fra Fourier

Etter at Fouriers bok om varmeteori hadde blitt utgitt i 1822, og Fouriersteorier blitt mer kjent, fikk man flere indikasjoner på at Eulers funksjons-begrep ikke var tilstrekkelig. Her kom de mest konkrete eksemplene på at


definisjonene til Euler ikke var de mest fordelaktige. Fourier hevdet at enlike funksjon kan representeres ved

f (x) =∞Xn=0

an cosnx

=∞Xn=0

(cosnx)1

π

Z π

−πf (x) cosnt dt,

og mente dette gjaldt for alle like funksjoner. Funksjonen f var her diskon-tinuerlig (trappefunksjonen vi så i kapittel 1), men uttrykket på høyre sideer jo en sum av kontinuerlige funksjoner, og denne mente man jo var kon-tinuerlig. Og det var jo veldig rart, at en funksjon som etter Eulers kon-tinuitetsbegrep var diskontinuerlig kunne skrives som et uttrykk som varkontinuerlig, fortsatt etter Eulers definisjon. Fouriers påstand i hans bok[JF, s.432] om at

”Det fins ingen funksjon f (x), eller del av funksjon, som ikkekan uttrykkes ved trigonometriske rekker”,

må altså ses på som ”riktig” ut fra hans begrepsapparat, men galt ettervåre dagers utvidelser. Denne feilen slet man imidlertid med å oppdage. Tilog med Cauchy ”beviste” jo et ugyldig teorem der han påstod en uendeligsum av kontinuerlige funksjoner selv var kontinuerlig. Det videre arbeidetmed Fourierrekker var medvirkende til at hele analysen ble revidert, ogfunksjonsbegrepet var et av de temaer som fikk en konsistent utforming.Cauchy står her sentralt. I stedet for å basere en stringent oppbyggingav analysen på algebra bygger han den nå opp rundt en presis definisjon avlimes-begrepet. I Cours d’analyse av 1821 finner vi hans funksjonsdefinisjon.Denne lyder [JL]:

”Når variable størrelser er knyttet sammen på en slik måteat den ene kan bestemmes når alle de andre er kjente, betrakterman vanligvis de forskjellige størrelsene uttrykt ved en av dem,som da kalles den uavhengige variabel. De andre størrelsene,som uttrykkes ved uavhengige variabel kaller vi funksjoner avdenne variablen.”

Cauchy delte funksjonsbegrepet opp i enkle funksjoner og sammensattefunksjoner. De enkle bestod av 11 funksjoner;

a+ x, a− x, ax,a

x, xa, Ax, logx, sinx, cosx, arcsinx, arccosx,

der A ≥ 0 og a ∈ R. De sammensatte funksjonene kan man så lage ved åsette sammen de enkle funksjonene på forskjellige måter. Nå begynner man


også for alvor å innse mangler ved de analytiske uttrykkene. Cauchy viserf.eks. at f (x) = e−1/x2 ikke kan representeres ved sin Taylorrekke i 0.

Det var også i arbeider om Fourierrekker at Eulers definisjon i praksisble byttet ut med sammenhengen av variabler. Lobachevskii7 og Dirichletgjorde dette uavhengig av hverandre (i hhv. 1834 og 1837).

3.1.2 Dirichlets funksjonsbegrep

I arbeidet av 1837 gir Dirichlet følgende definisjon av en funksjon [JL]:

Hvis hver x tilsvarer ett endelig y, slik at når x varierer fraa til b kontinuerlig, så endrer y = f (x) seg litt etter litt, kallervi y en funksjon av x.

I definisjonen ser vi Dirichlet konsentrerer seg om et intervall fra a tilb, dette var nok vanskelig å fordøye for de mest konservative som fremdelesklynget seg fast til håpet om variablens generalitet, altså at en variabel kananta alle verdier (helst alle komplekse verdier og i ”verste fall” tallinjen).Dirichlets krav om entydighet var også noe nytt her. Dirichlet påpekte aten funksjon ikke nødvendigvis bestemte et areal under grafen. En funksjonkunne i følge Dirichlet være så merkelig at man ikke kunne snakke om etareal under grafen. Som et eksempel ga Dirichlet i 1829 funksjonen

1Q (x) :=

½1, x rasjonal0, x irrasjonal

, (3.1)

nå også kjent som Dirichlet-funksjonen [B/N/B] og noen steder som denkarakteristiske funksjonen påQ. Dette er det første eksemplet på en funksjonsom ikke er tilknyttet et analytisk uttrykk og det skulle etterhvert dukkeopp en lang rekke funksjoner med egenskaper man ikke trodde funksjonerkunne ha.

Hva ”er” en funksjon i dag? En definisjon fra [TL, s. 216] / [JL, s.5]:

En funksjon f : A→ B er en mengde ordnede par (x, y) derx ∈ A og y ∈ B, og der hver x ∈ A hører med til nøyaktig ettpar.

3.2 Integralbegrepet

Vi har vært inne på at et av problemene man møtte i forbindelse med Fouri-ers løsning av varmelikningen, var meningen man skulle legge i et uttrykksom Z π

−πf(x) cos kx dx.

7Nikolai Ivanovich Lobachevskii (1792-1856), russisk matematiker. Mest kjentsom en av grunnleggerne av ikke-euklidsk geometri.

3.2. INTEGRALBEGREPET 41

Holdningen blant vitenskapsmenn på denne tiden var at integrasjon var an-tiderivasjon, hverken mer eller mindre. Etter Newtons bevis for fundamen-talteoremet hadde man gradvis gått bort fra den opprinnelige definisjonenav integralet som grensen for en sum, og i stedet konsentrert seg om an-tiderivasjon. Kanskje var begeistringen over og nytten av det fantastiskefundamentalteoremet så stor at man glemte den opprinnelige ideen? Detubestemte integralet Z

f(x) cos kx dx

”var” i 1807 altså en funksjon som hadde f(x) cos kx som derivert. Ogdette ble et problem. Det er selvsagt ikke tilfelle at man alltid kan finneet eksplisitt uttrykk hvor den deriverte av denne blir det vi ønsker, f.eks.e−x2 . Med Fouriers beregninger fikk man igjen bruk for at integralet vararealet under en kurve. Noe som førte til et nytt problem; hva er et areal?(De var selvfølgelig klare over at arealer under x-aksen måtte tolkes somnegative bidrag). Man kunne vel tenke seg å definere areal som integraletav en eller annen funksjon, men da går man i ring. Vi må altså finne enannen definisjon av integralet.

En annen morsom detalj er at det var Fourier som var først til å settegrenser på integraltegnet, som f.eks.

R π−π . Tidligere hadde grensene blitt

angitt kun med ord. Faktisk var det også Fourier som introduserte tegnetPsom summasjonssymbol [JP, s.7].I Dirichlets bevis for konvergens av Fourierrekker krevde han at f måtte

være integrerbar over [−π, π] . Det at en funksjon er integrerbar forandretogså betydning etter hvert. I flere omganger fulgte nye definisjoner av in-tegralbegrepet. Cauchy i 1820-årene, Riemann8 i 1860-årene, Darboux9 i1875 og Lebesgue i 1902 ga alle slike definisjoner. Vi skal fort gå gjennomhovedtrekkene i de forskjellige epokene.

3.2.1 Cauchy-integralet

Cauchy var den første som definerte integralet som en grense for en sum[TL1, s. 380]. Ved noen revolusjonerende forelesninger ved Ecole Polytech-nique i 1820-årene la han frem sin definisjon. Integralet ble definert slik:

Definisjon 5 (Cauchy-integralet) [DMB, s.238] En funksjon f sies åvære integrerbar over intervallet [a, b] med integralverdi I hvis følgende eroppfylt:

8Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), tysk matematiker som ble kjentverden over med forelesningen Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegeni 1854. Her utviklet han ikke-Euklidsk geometri. Vi har navnet hans knyttet til foreksempel Riemann-integralet, Riemanns avbildnings-setning, Riemanns zeta-funksjon ogRiemann-hypotesen.

9Jean Gaston Darboux (1842-1917), fransk matematiker, kjent for arbeider innengeometri og integrasjonsteori.


Til gitt ε > 0 fins en δ > 0 slik at til enhver partisjon av [a, b] ,

a = x0 < x1 < · · · < xn = b,

der lengden av hvert intervall

|xi − xi−1| < δ, i ∈ {1, 2, . . . , n}

vil ¯̄̄̄¯nXi=1

f (xi−1) (xi − xi−1)− I

¯̄̄̄¯ < ε.

Verdien I av integralet betegnes da

I =

Z b

af (x) dx.

Figuren under illustrerer Cauchys ide om at vi ikke har noen valgmu-ligheter når partisjonen er gitt. Funksjonen passerer gjennom øvre venstrehjørne av hver søyle med bredde (xi − xi−1) og høyde f (xi):

Cauchy-integralet

Vi skal i neste kapittel se hvordan Dirichlet beviste konvergens av Fouri-errekker, og det var da Cauchys integralbegrep man hadde for hånden.


3.2.2 Riemann-integralet

Riemann-integralet er et noe mer fleksibelt verktøy enn Cauchys integral.Kanskje er dette også det mest kjente integralbegrepet. Han var nok inspir-ert av Cauchy, men i stedet for å være bundet til et punkt i venstresidenav partisjonsintervallet tillater Riemann funksjonen vi skal integrere skjærertoppen av søylene på partisjonsintervallene i et vilkårlig punkt i interval-let. Heldigivis er disse to integralbegrepene ekvivalente. Det er tross altsnakk om det samme arealet. En funksjon er integrerbar etter Cauchysdefinisjon av integralet hvis og bare hvis den er integrerbar etter Riemannsintegraldefinisjon, og interverdien er den samme, men det er ikke trivielt åbevise det.

Definisjon 6 (Riemann-integralet) [DMB, s.251] En funksjon er Riemann-integrerbar på [a, b] med integralverdi I dersom følgende er oppfylt: Til hvergitt ε > 0 fins en δ > 0 slik at for alle partisjoner

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

av [a, b] med intervallengde |xi − xi−1| < δ, samt ethvert valg av verdierx∗i ∈ [xi, xi+1] , så er

¯̄̄̄¯nXi=1

f¡x∗i−1

¢(xi − xi−1)− I

¯̄̄̄¯ < ε.

Verdien av integrealet betegnes

I =

Z b

af (x) dx.

Figuren under illustrerer Riemanns ide.


Riemann-integralet

Merk at Riemann ikke nødvendigvis holdt seg til midtpunktet av intervallet,slik som på figuren, men kunne velge x∗i fritt inne i det aktuelle intervallet.Vi skal se på enda en variant av integralbegrepet.

3.2.3 Darboux-integralet

Etter Riemanns definisjon av integralet, skulle også Darboux komme med etintegralbegrep (1875). Denne definisjonen var kanskje enda litt mer elegantenn Riemanns versjon. Det kan vises at vi ikke får noen utvidelser av det in-tegralbegrepet vi har definert foran, men en annen måte å definere integraletpå (Selv om Darboux-integralet er det som introduseres i mange lærebøkerkommer det kanskje ikke alltid fram at det er Darboux’ definisjon vi snakkerom)! Vi finner i [TL1, s.322ff] en gjennomgang av Darboux-integralet. Detvi trenger i Darboux’ definisjon er at funksjonen er begrenset. Det gir damening å snakke om sup og inf .

Vi lar igjen P være en partisjon

a = x0 < x1 · · · < xn = b

av [a, b] der intervallene mellom partisjonspunktene ikke nødvendigvis er likelange. Idéen til Darboux var å tilnærme funksjonen f vi ønsker å integreremed rektangler både under og over funksjonen. Ved å sette

mi := inf[xi−1,xi]

f (x)

ogMi := sup

[xi−1,xi]f (x)


får vi følgende formler for øvre sum S og nedre sum s (også kalt oversum ogundersum) for arealet under grafen,

s (f, P ) :=nXi=1

mi (xi − xi−1)

og

S (f, P ) :=nXi=1

Mi (xi − xi−1) .

Tilsvarende defineres øvreintegraletZ b

af (x) dx := inf

P{S (f, P )}

og Z b

af (x) dx := sup

P{s (f, P )} ,

der P gjennomløper alle partisjoner av [a, b] . Vi kan da gi følgende definisjon:

Definisjon 7 (Darboux-integralet) [TL1, s.324] DersomZ b

af (x) dx =Z b

af (x) dx sier vi at f er integrerbar på [a, b] , og vi definerer integralet ved

Z b

af (x) dx :=

Z b

af (x) dx =

Z b

af (x) dx.

Ser vi på eksemplet med Dirichletfunksjonen i (3.1) ser vi at denne fort-satt ikke er integrerbar. Uansett hvordan vi velger våre partisjonspunktervil alle intervall inneholde rasjonale og irrasjonale tall. SidenZ 1

01Q (x) dx = inf

PS (1Q, P ) = 1

og Z 1

01Q (x) dx = sup

Ps (1Q, P ) = 0,

uansett hvilke partisjoner P vi ser på, så er ikke 1Q integrerbar.Også denne integraldefinisjonen er ekvivalent med Riemann og Cauchys

definisjoner, men det er imidlertid ikke helt trivielt å vise dette (se for ek-sempel [TL1, s.348]).


3.2.4 Lebesgue-integralet

Selv om Riemann-integralet kanskje er det mest kjente, er likevel Lebesgue-integralet det mest brukte i avansert litteratur. Se for eksempel [R, s.77ff].Lebesgue snudde på en måte Riemann-integralet på siden. I stedet for å delearealet under en graf opp i søyler, delte han det opp i horisontale nivåer,som automatisk partisjonerer definisjonsområdet. Legg igjen merke til hvorenkel ideen er! Et eksempel fra [B/B/T, s.60f]: Tenk at du trekker mynteropp av lommen og skal telle hvor mye penger du har. Du kan gjøre det påto måter:

• Tell pengene i den rekkefølge du plukker dem opp, f.eks. 10kr + 5kr+ 1kr + 1kr + 5kr = 22kr.

• Gruppér pengene etter verdi, altså 1 tier + 2 femmere + 2 kronestykker= 22kr

Første regnemåte tilsvarer Riemanns integralmetode, mens andre måtetilsvarer Lebesgue-integralet. Lebesgues integral bygger på målteori. Veldigkort fortalt: et mål er en funksjon m : X → [0,∞), der X er en klasse avdelmengder av X. Denne funksjonen tilordner et reelt tall til en mengde iX. Dette kan ses på som en slags størrelsesmål på mengden. Ser vi igjen påeksemplet med pengene kan vi si at målene på pengene er myntverdien, 1, 5eller 10. Ved Lebesgue-integrasjon summerte vi altså hvor mange mynter vihadde av hver bestemt verdi. Dette konseptet overfører vi nå til funksjoner.

Et viktig poeng ved Lebesgue-teorien er at vi kan tillate oss å se bort fraintegralet over mengder med mål 0, som for eksempel de rasjonale tallene.Først deles den vertikale aksen opp med en partisjon

inf f ≤ y0 < y1 < · · · < yn ≤ sup f.


Lebesgue-integralet

Dernest lar vi Ek = {x : yk−1 ≤ f (x) < yk} . På figuren blir da E3 unio-nen av to halvåpne intervaller. Vi har da fått en partisjon

[a, b] = E1 ∪E2 ∪ · · · ∪En

der En er parvis disjunkte. Vi danner summene

nXk=1

ykm (Ek)

ognX

k=1

yk−1m (Ek)

som en tilnærming av arealet under grafen. Vi må da forlange at det inversebildet av f (Ek) tilhører de mengdene som vi kan anvende mål-funksjonenpå. Vi snakker da om at f er målbar. Hvis Ek-mengdene er forholdsvisenkle, som for eksempel en endelig union av intervaller, så vil situasjonenvære omtrent som i Riemann-integralet. Men Ek kan være mer komplis-erte, for eksempel trenger de ikke å inneholde noe intervall i det hele tatt,jf. Dirichlet-funkjsonen. Vi trenger en grundig gjennomgang av begrepenemålbare funksjoner og målbare mengder skulle vi fulgt Lebesgue—teorien tilbunns. Hvis vi kan få disse to summene vilkårlig nær hverandre sier vi at

f er Lebesgue-integrerbar og integraletZ b

af (x) dx er den felles grensen for


summene. Med en slik definisjon av integralet kan vi igjen ta for oss Dirich-lets funksjon i (3.1). Vi ser bort fra de mengdene som har mål 0, det vil side rasjonale tallene. Verdien av integralet blir daZ 1

01Q (x) dx = 0.

Lebesgue viste også at det fins ikke-målbare funksjoner. Disse kan da ikkeintegreres, ut fra hans definisjon av integralet. Det kan faktisk vises at detikke lar seg gjøre å lage et integralbegrep som er slik at vi kan integrere allefunksjoner med det funksjonsbegrep vi nå benytter [TL1].

3.3 Konvergens

Også her har man sett eksempler på voldsomt engasjement. Abel10 skrevsom kjent;

”Divergente rækker er i det hele noget fandenskab, og det eren skam at man vover at begrunde nogen demonstration derpå.”

De viktigste spørsmålene om Fourierrekker er (og var også på Fourierstid) når de konvergerer. Problemer dukket da naturlig nok opp, da man ikkehadde noe veletablert konvergensbegrep. I våre dager benytter vi flere typerkonvergens. Fourierrekker kan således også konvergere på forskjellige måter.Eksempler på dette er konvergens i L2-norm og i Cesaro-middel (se f.eks.[B/N/B]). De to vanligste formene for konvergens er imidlertid punktvis oguniform konvergens.

Definisjon 8 (Punktvis konvergens) En funksjonsfølge fn : [a, b] → R,n = 1, 2, 3, . . . , sies å konvergere punktvis mot f dersom lim

n→∞ fn (x) eksis-

terer for alle x ∈ [a, b] og

f (x) = limn→∞ fn (x)

for hver x ∈ [a, b]. Det vil si, til gitt ε > 0 og x ∈ [a, b] fins naturlig tallN = N (x, ε) s.a. n ≥ N impliserer

|fn (x)− f (x)| < ε.

10Niels Henrik Abel (1802-1829), norsk matematiker. Abel trenger neppe noennærmere presentasjon. Han er vår desidert mest kjente matematiker og hans navn ertilknyttet en hel mengde begreper: Abel-summasjon, Abels addisjons-teoerm, abelskgruppe, m.m.

3.3. KONVERGENS 49

Dette er en naturlig definisjon av konvergens og var nok også denneman hadde i tankene på Fouriers tid. Det høres fornuftig ut å si at enfunksjon konvergerer mot en grense dersom den konvergerer for hver x. Enstor ulempe ved punktvis konvergens er det likevel. Man kan ikke inte-grere en punktvis konvergent rekke ledd for ledd og være sikret å få sammeintegralverdi som ved å integrere grensefunksjonen. Vi husker at Fourierbenyttet seg av

Z 1

−1

∞Xm=1

am(x) dx =∞X

m=1

Z 1

−1am(x) dx

for å finne formelen for Fourierkoeffisientene. Siden en uendelig sum ergrensen for følgen av partialsummer må vi betrakte problemet som ombytteav integrasjon og grensebetraktning. Vi setter ovenfor fn (x) =

Pnm=1 am (x)

og ser på følgen (fn (x)) . Betrakt følgende klassiske eksempel, som viser at

Z 1

0limn→∞ fn (x) dx = lim

n→∞

Z 1

0fn (x) dx

ikke holder generellt:

Eksempel 9 (Heksehatten) La funksjonsfølgen fn : [0, 1]→ R være gittved

fn(x) = 2n¡1− ¯̄2n+1x− 1¯̄¢ ,

når 0 ≤ x ≤ 1

2nog fn (x) = 0 for

1

2n≤ x ≤ 1. For hver x ∈ (0, 1] kan vi

finne et naturlig tall N slik at1

2N≤ x, og da er fn (x) = 0 for alle n ≥ N.

Hvis x = 0 så har vi fn (0) = 0. Uansett har vi at fn (x) → 0 for alle x.Det vil si at fn konvergerer punktvis mot funksjonen f (x) = 0 på intervallet[0, 1] . For hver n er Z 1

0fn (x) dx =

1

2,

siden arealet under grafen til fn er1

2

1

2n(2n) =

1

2. Men vi har da

limn→∞

Z 1

0fn (x) dx =

1

26= 0 =

Z 1

0limn→∞ fn (x) dx.

Vi kan altså ikke bytte om grenseoperasjonen og integrasjonsoperasjonen.


Heksehatten

På figuren kan vi få et hint om hva som egentlig skjer. Selv om funksjons-følgen konvergerer punktvis mot grensen 0, så vil arealet holde seg konstant

lik1

2.

Man kan altså generelt ikke gjøre som Fourier. Vi synes kanskje ikkedette er så rart, med alle skrekkeksempler på hva som skjer ved uendeligeprosesser. Vi trenger strengere krav til en funksjonsfølge skal vi kunne in-tegrere den ledd for ledd. Cauchy introduserte remediet i 1826; uniformkonvergens.

Definisjon 10 (Uniform konvergens) En funksjonsfølge fn (x) sies å kon-vergere uniformt mot f (x) på [a, b] dersom det til hver gitt ε > 0 fins et

heltall N = N (ε) s.a. n ≥ N impliserer

|f (x)− fn (x)| < ε

for alle x ∈ [a, b] .

Dette er en sterk antakelse, men vi kan da vise at leddvis integrasjonholder [PRA, s.54].

Proposisjon 11 La fn (x) være en følge kontinuerlige funksjoner på [a, b] .Hvis fn (x)→ f (x) uniformt, så vil

limn→∞

Z b

afn (x) dx =

Z b

alimn→∞ fn (x) dx =

Z b

af (x) dx.

3.4. LITTERATUR 51

Bevis. La ε > 0 være gitt. Siden fn (x) → f (x) uniformt så kan N

velges slik at n ≥ N impliserer |fn (x)− f (x)| < ε

(b− a)for alle x ∈ [a, b] .

Fiksér en slik n og vi får¯̄̄̄Z b

af (x) dx−

Z b

afn (x) dx

¯̄̄̄≤

Z b

a|f (x)− fn (x)| dx

<

Z b

a

ε

2 (b− a)dx =

ε

2< ε.

Vi har med andre ord at grensen til integralet av fn (x) er lik integralet avf (x).

I forbindelse med Fourierteori ser vi også klart forskjellen på uniformog punktvis konvergens av rekker. Denne forskjellen illustreres med Gibbsfenomen i et tillegg.

3.4 Litteratur[JL] Lützen, J.: Funktionsbegrebets udvikling fra Euler til Dirichlet

NORMAT 25, 1978[TL1] Lindstrøm, T.: Kalkulus

Universitetsforlaget AS (1995); ISBN: 82-00-22472-4[R] Royden, H. L. : Real analysis

Prentice-Hall Inc. (1988) ISBN: 0-02-404151-3[B/N/B] Bachman / Narichi / Beckenstein : Fourier and wavelet analysis

Springer-Verlag New York (2000), ISBN 0-387-98899-8[PRA] Andenæs, P. R.: Reell analyse

NTNU 2000[B/B/T] Bruckner/Bruckner/Thomson: Real analysis

Prentice Hall (1997) ISBN: 0-13-458886-X[JP] Peetre, J.: Om Fouriers upptäckt av Fourierserier og Fourierintegraler

NORMAT 50, 2002


Kapittel 4

FOURIERREKKER

”Differensiallikningene for varmeteori uttrykker de mest generelleforutsetninger og reduserer de fysiske spørsmål til rene analytiskeproblemer. Dette er den riktige angrepsmåte for teori.”(Joseph Fourier [JF, s.6])

4.1 Notasjon og motivasjon

Vi så i første kapittel på den første idéen Fourier beskriver i avhandlingenesine, nemlig hvordan en påsatt temperatur stabiliserer seg over en semi-uendelig plate. Resonnementet endte opp med at man ønsket å representereen funksjon f med en rekke bestående av cosinusledd med forskjellige am-plituder og frekvenser. Vanskeligheten lå altså i når vi hadde lov til å gjøredette.

Siden de trigonometriske leddene er periodiske vil også denne represen-tasjonen være periodisk, ofte med hensyn på tid (derfor er variablen t myebrukt her). Dette innebærer at vi må lage en periodisk utvidelse av funksjo-nen vi vil finne Fourierrekke til. Men vi er altså bare interesserte i å fåutviklingen til å ”likne på f” på et bestemt intervall, hva som skjer uten-for dette intervallet trenger vi ikke å tenke på. Generelt har vi følgendedefinisjon for en periodisk funksjon:

Definisjon 12 En funksjon f : R→ C kalles periodisk hvis det fins enP > 0 slik at f(x+ P ) = f(x) for alle x ∈ R. Vi kaller da P en periode tilf.

Merk at perioden ikke er unik. Hvis P er en periode vil også kP, k ∈ Nvære perioder. Legg også merke til at en vilkårlig 2P -periodisk funksjong(t) kan gjøres 2π-periodisk ved en skalering. Hvis g (t) er 2P -periodisk

så vil g (t+ 2P ) = g (t) . Sett G (t) := g

µP

πt

¶. Denne vil da være 2π-

53

54 KAPITTEL 4. FOURIERREKKER

periodisk, siden G (t+ 2π) = g

µP

π(t+ 2π)

¶= g

µP

πt+ 2P

¶= g

µP

πt

¶=

G (t) .Dette fører til at vi kan konsentrere teorien omkring intervallet [−π, π],da et variabelskifte senere vil kunne omforme problemer definert på andreintervaller til det kjente tilfellet. Andre begreper vi støter på i Fourierteoriener følgende:

Definisjon 13 Et trigonometrisk polynom er en funksjon på formen

F (t) =a02+

NXn=1

(an cosnt+ bn sinnt) .

Vi kan også bruke en kompleks variant, ved å benytte at b0 = 0, cn =1

2(an − ibn) og c−n =

1

2(an + ibn) . Da får vi

F (t) =a02+

NXn=1

(an cosnt+ bn sinnt)

a02+

NXn=1

µan

eint + e−int

2+ bn

eint − e−int

2i

¶

=a02+

NXn=1

µ1

2ane

int − 12ibne

int +1

2ane

−int +1

2ibne

−int¶

=a02+

NXn=1

µ1

2(an − ibn) e

int +1

2(an + ibn) e

−int¶

=a02+

NXn=1

1

2(an − ibn) e

int +

+NXn=1

1

2(an + ibn) e

−int

= c0 +NXn=1

cneint +

NXn=1

c−ne−int =NX

n=−Ncne

int.

Definisjon 14 En trigonometrisk rekke har formen

a02+

∞Xn=1

(an cosnt+ bn sinnt) ,

eller, på kompleks form,∞X

n=−∞cne

int.

4.2. FOURIERREKKER 55

Den komplekse formen har en del regnetekniske fordeler og er også merelegant. Derfor er den mest brukt i mer avansert litteratur. Da man kanskjeikke er kjent med borti komplekse tall vil nok den reelle varianten være let-tere for de fleste ved første møte med Fourierteori. Vi skal i denne seksjonenstort sett holde oss til denne mest kjente notasjonen.

4.2 Fourierrekker

Generelt definerer vi Fourierrekker slik:

Definisjon 15 En (reell) Fourierrekke tilhørende en funksjon f : [−P,P ]→R har generelt formen

f(t) ∼a02+

∞Xn=1

µan cos

πnt

P+ bn sin

πnt

P

¶,

der

an :=1

P

Z P

−Pf (x) cos

nπx

Pdx (4.1)

og

bn :=1

P

Z P

−Pf (x) sin

nπx

Pdx. (4.2)

Disse kalles Fourierkoeffisientene.

Thildetegnet i definisjonen kan for eksempel leses ”...har Fourierrekke...”.Vi har i denne definisjonen brukt den generelle perioden 2P. Som bemerketovenfor er det mest vanlige intervallet [−π, π]. Vi skal bruke en vanlig kon-vensjon, nemlig å kalle definisjonsmengden til 2π-periodiske funksjoner forT = R/2πZ, eller sirkelen, om man vil. Andre intervaller som ofte er brukter [0, 2π], [0, 1],

£−12 , 12¤ og [−1, 1]. Vi vil i det etterfølgende bruke P = π.Da vil Fourierrekka kunne skrives på den mer kjente formen

f(t) ∼a02+

∞Xn=1

(an cosnt+ bn sinnt). (4.3)

Leddeta02kan muligens se litt merkelig ut, men grunnen til at dette brukes

i stedet for a0 er at vi i (4.1) kan oppnå en og samme formel for samtligean.

Men hvorfor var det ikke noen sinusledd i Fouriers rekkeutvikling i prob-lemet med varmeledning på platen? Ser vi på definisjonen av an og bn ser viat koeffisientene bn vil bli 0 for en like funksjon. Vi vet at produktet av en likefunksjon og en odde funksjon (sinusfunksjonen) blir en odde funksjon. Menda begge funksjonene har periode 2π vil produktet også være 2π-periodiskog integralet over en periode er da lik 0.


Det er viktig å skille mellom Fourierrekke og konvergent trigonometriskrekke.

• En Fourierrekke er en trigonometrisk rekke knyttet til en bestemtfunksjon. Denne rekka kan være konvergent (på en eller annen måte -vi husker fra forrige kapittel at vi har flere former for konvergens) ellerden kan være divergent.

• På den annen side kan vi ha konvergente trigonometriske rekker somikke er Fourierrekker. Et standard eksempel her er

∞Xn=2

sinnx

lnn. Denne

rekka konvergerer punktvis for x ∈ [−π, π], men det fins ingen inte-grerbar funksjon som har denne rekka som Fourierrekke [PRA, s.80].Imidlertid er en uniformt konvergent trigonometrisk rekke også enFourierrekke (se f.eks. [B/N/B, s.202]).

Det har hele tiden ligget i kortene at man ønsker å erstatte ”~” med”=” slik at denne rekken kan benyttes ”i stedet” for funksjonen, og det varjo også dette konvergensspørsmålet som opptok Fouriers evalueringskomite.Vi skal senere se at klassen av funksjoner f som kan utvikles i Fourierrekkersom konvergerer mot f (på en eller annen måte) er stor, men inkludererlikevel ikke alle funksjoner.

Hvis vi antar rekka i (4.3) konvergerer uniformt mot f kan vi finneformler for an og bn. Man kommer ikke unna litt regning. Vi skal forenkelthets skyld bruke perioden π og minner først om formler for cosinus tilsum og differens til vinkler:

cos (u+ v) = cosu cos v − sinu sin vog

cos (u− v) = cosu cos v + sinu sin v.

Vi kan da sette opp

cos (m− n) t+ cos (m+ n) t = cosmt cosnt+ sinmt sinnt

+cosmt cosnt− sinmt sinnt

= 2 cosmt cosnt,

slik at vi får identiteten

cosmt cosnt =cos(m− n)t+ cos(m+ n)t

2.

På tilsvarende måter får vi identitetene

sinmt cosnt =sin(m− n)t+ sin(m+ n)t

2(4.4)

4.2. FOURIERREKKER 57

og

sinmt sinnt =cos(m− n)t− cos(m+ n)t

2.

Disse gir oss for m,n ∈ N, atZ π

−πcosmt cosnt dt =

⎧⎨⎩0 hvis m 6= nπ hvis m = n 6= 02π hvis m = n = 0

, (4.5)

Z π

−πsinmt cosnt dt = 0, (4.6)

og Z π

−πsinmt sinnt dt =

½0 hvis m 6= nπ hvis m = n 6= 0 .

Vi nøyer oss med å vise (4.5). Hvis m = n = 0 får viZ π

−πcos2 0t dt =

Z π

−π1 dt = 2π.

Hvis m = n 6= 0 blir integraletZ π

−πcos2 nt dt =

Z π

−π1

2(cos 0t+ cos 2nt) dt

=

Z π

−π

µ1

2+1

2cos 2nt

¶dt

=t

2+1

2

1

2nsin 2nt

¯̄̄̄π−π

=

µπ

2+1

4nsin 2nπ

¶−µ−π2− 1

4nsin 2n (−π)

¶=

π

2+ 0 +

π

2+ 0 = π.

Og til slutt hvis m 6= n får vi:Z π

−πcosmt cosnt dt =

1

2

µ1

m− nsin (m− n) t+

1

m+ nsin (m+ n) t

¶¯̄̄̄π−π

=1

2

µ1

m− nsin (m− n)π +

1

m+ nsin (m+ n)π

¶−12

µ1

m− nsin (m− n) (−π) + 1

m+ nsin (m+ n) (−π)

¶=

1

2(0 + 0) = 0.

Vi antok uniform konvergens av rekka, så la oss nå sette

f(t) =a02+

∞Xk=1

(ak cos kt+ bk sin kt) . (4.7)


I forrige kapittel viste vi at en uniformt konvergent følge kan integreres leddfor ledd, det vil si at Fn (t)→ F (t) uniformt på [a, b] medfører atZ b

aFn (t) dt→

Z b

aF (t) dt.

I vårt tilfelle består følgen Fn (t) av partialsummer i Fourierrekka, det vil si

Fn (t) =a02+

nXk=1

(ak cos kt+ bk sin kt) .

Vi antar nå at Fn (t) konvergerer uniformt mot summen til rekka, f (t). Vihar altså at

∞Xn=1

Z b

aFn (t) dt→

Z b

a

∞Xn=1

Fn (t) dt =

Z b

af (t) dt.

Multipliserer vi (4.7) med cosnt har vi fortsatt uniform konvergens. Vi kanda integrere ledd for ledd (se også f.eks. [PRA, s.60f]).

Integrerer vi begge sider fra −π til π får vi for n > 0 atZ π

−πf(t) cosnt dt

=

Z π

−π

"a02+

∞Xk=1

(ak cos kt+ bk sin kt)

#cosnt dt

=a02

Z π

−πcosnt dt+

∞Xk=1

∙ak

Z π

−πcos kt cosnt dt+ bk

Z π

−πsin kt cosnt dt

¸= 0 + an

Z π

−πcosnt cosnt dt+ 0 = anπ.

De to siste likhetene fulgte av (4.5) og (4.6). På samme måte får viZ π

−πf(t) sinnt dt = bnπ.

Oppsummert har vi at Fourierkoeffisientene er gitt ved

an =1

π

Z π

−πf(t) cosntdt,

og

bn =1

π

Z π

−πf(t) sinnt dt,

som i definisjonen.

4.3. DIRICHLETS TEOREM 59

Vi annonserte at kompleks notasjon kan forenkle arbeidet med Fourier-rekker. Vi får

cn (f) =1

2(an − ibn)

=1

2

µ1

π

Z π

−πf(t) cosntdt− i

π

Z π

−πf(t) sinntdt

¶=

1

2π

Z π

−πf (t) (cosnt− i sinnt) dt

=1

2π

Z π

−πf (t) (cos (−nt) + i sin (−nt)) dt

=1

2π

Z π

−πf (t) e−int dt,

slik at vi kan gi følgende definisjon av Fourierkoeffisienten:

Definisjon 16 Den komplekse Fourierkoeffisienten cn er gitt ved

cn (f) :=1

2π

Z π

−πf(t)e−intdt. (4.8)

Fourierrekka har da formen

f(t) ∼∞X

n=−∞cn(f) e

int.

Når det ikke er tvil om hvilken funksjon det er snakk om, droppes somregel notasjonen cn(f) og man skriver cn.

4.3 Dirichlets teorem

Vi skal i denne seksjonen gi et bevis for at Fourierrekka til en funksjon fkonvergerer punktvis mot f under visse vilkår. Etter de nevnte mislykkedeforsøk fra Fourier, Gauss1 og Cauchy var det altså Dirichlet som kom medførste gyldige resultat angående punktvis konvergens av Fourierrekker. Hanhadde riktignok en mistanke om at hans teorem holdt for en større klassefunksjoner enn han hadde studert, men klarte ikke å vise det. Vi fikk senere,med Jordan2, en slik utvidelse av funksjonsklassen som tillater Fourierrep-resentasjoner. Her ble begrepet begrenset variasjon introdusert. La oss nå

1Johann Friedrich Carl Gauss (1777-1855), stor, tysk matematiker som også varveldig aktiv i andre vitenskaper. Vi har blant annet Gausskurve i sannsynlighetsteorieneller Gaussflate i el-lære. Kanskje har noen hørt om niårige Gauss som regnet ut 1 + 2 +· · ·+ 99 + 100 ved å sette opp 50 · 101 ?

2Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922), fransk matematiker (hankjønn tiltross for navnet) som arbeidet mest innen geometri og symmetrigrupper. Vi har mangebegrep fra Jordan, eksempel på det er Jordan-kurve, Jordan-kanonisk form og Gauss-Jordan eliminasjon.


i første omgang se på hva Dirichlet gjorde. I neste kapittel skal vi også sepå Fejers3 bevis med en annen type konvergens. Dirichlet introduserte no-tasjonen f (x± 0) for å symbolisere høyre/venstre ensidige grenseverdi forf (x) når vi nærmer oss x. Følgende variant har imidlertid blitt mer vanlig,sannsynligvis for å unngå misforståelser:

Definisjon 17 Symbolet f (x±) betyr høyre eller venstre ensidige grenseverdifor f (t) når vi nærmer oss punktet x. Altså;

f(x+) := limt→x+

f(t)

ogf(x−) := lim

t→x−f(t).

Hovedresultatet vi skal se på er beviset for Dirichlets teorem, som lyder:

La f være en begrenset, stykkevis kontinuerlig og stykkevis monotonfunksjon på [π, π]. Anta at f er 2π-periodisk og at f (x) =f (x+) + f (x−)

2for alle x. Når an, bn er Fourierkoeffisientene

til f vil rekka∞Xn=1

(an cosnx+ bn sinnx)

konvergere punktvis mot f for alle x. Vi skriver da

f (x) =∞Xn=1

(an cosnx+ bn sinnx) .

Vi minner om at stykkevis kontinuerlig / monoton betyr at f og f 0 erkontinuerlig bortsett fra i et endelig antall punkter. I tillegg må f (x+) ogf (x−) være endelig for alle x. Som vi ser er antakelsene om f mange, og viskal prøve å motivere disse underveis. Det kan kanskje se ut som om f (x) =f (x+) + f (x−)

2for alle x, er en veldig sterk antakelse, men for eksempel vil

en kontinuerlig funksjon oppfylle dette kravet. Strengt tatt trenger vi ikke å

anta dette, bare være oppmerksomme på at grensen blir1

2(f (x+) + f (x−))

der f ikke er kontinuerlig (så lenge de andre forutsetningene i teoremet eroppfyllt).

Dirichlet stilte på en måte problemstillingen på hodet. Fourier, Cauchyog Gauss hadde startet med en funksjon og prøvde å vise at man da klarteå finne an, bn slik at Fourierrekka konvergerte. Dirichlet på den annen side

3Leopold Fejér (1880-1959), ungarsk matematiker som i hovedsak studerte Fourier-rekker og deres singulariteter. Fejér ble noen få år før han kom med sine resultater settpå som så svak i matematikk at han måtte ha spesialundervisning.


sier i teoremet at Fourierrekka allerede er der, altså at vi har Fourierrekkatil f , men f må tilhøre en viss funksjonsklasse (tilfredsstille visse krav) forat rekka skal konvergere mot f .

Når vi ønsker å vise at en rekke konvergerer er det som nevnt det sammesom å vise at følgen av partialsummer i rekka konvergerer. Partialsummentil Fourierrekka til en funksjon er

sn(f, x) =nX

k=−ncke

ikx

=a02+

nXk=1

(ak cos kx+ bk sin kx) .

Vi skriver bare sn (x) når det er underforstått hvilken funksjon det dreierseg om. Dirichlet ønsket altså å vise at man til gitt ε > 0 og x ∈ (−π, π)kan finne N = N (x, ε) slik at n ≥ N medfører |f(x)− sn(x)| < ε. Vi ledestil å studere partialsummen til rekka, og det fins en hensiktsmessig måte åskrive om denne på, nemlig via den såkalte Dirichlet-kjernen.

4.3.1 Dirichlet-kjernen

Partialsummene i Fourierrekka kan skrives som

sn(x) =nX

k=−ncke

ikx

=nX

k=−n

µ1

2π

Z π

−πf(t)e−iktdt

¶eikx

=1

2π

Z π

−πf(t)

ÃnX

k=−neik(x−t)

!dt

Her er det snakk om endelig summasjon, så bytte av integrasjon og sum-masjon er tillatt. Se så på summer av en slik type som i parantesen over,

nXk=−n

eikt = ei(−n)t + ei(−n+1)t + . . .+ ei(0)t + ei(1)t + . . .+ ei(n)t.

Med Eulers formel cos kt =eikt + e−ikt

2får vi

1

2

nXk=−n

eikt =1

2ei(−n)t +

1

2ei(−n+1)t + · · ·+ 1

2ei(n)t

=eint + e−int

2+

ei(n−1)t + e−i(n−1)t

2+ · · ·+ 1

2

= cosnt+ cos (n− 1) t+ · · ·+ 12,


slik atnX

k=−neikt = 1 + 2

nXk=1

cos kt

for n ∈ {1, 2, ...} . Dermed kan vi gi følgende definisjon:

Definisjon 18 Dirichlet-kjernen av orden n er gitt ved

Dn(t) :=nX

r=−neirt =

⎧⎨⎩ 1, n = 0

1 + 2nP

k=1

cos kt, n ∈ N . (4.9)

Altså har vi at partialsummen kan skrives som

sn(x) =1

2π

Z π

−πf(t)Dn(x− t) dt. (4.10)

Av dette ser vi at konvergens av Fourierrekker også dreier seg om egenskaperved Dn(t). Noen typiske Dirichletkjerner ser slik ut (økende n gir høyere ogspissere kurve):

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -2 2 4t

Dirichlet-kjernen Dn(t) for n-verdiene 1,3 og 5.

Noen egenskaper ved denne kjernen er oppsumert i følgende lemma:

Lemma 19 (Egenskaper ved Dn) (i) For alle n ∈ N erZ π

−πDn(t) dt =

2π.


(ii) For t 6= 2mπ, m ∈ Z, er

Dn(t) =sin¡n+ 1

2

¢t

sint

2

.

(iii) For alle n ∈ N er Dn(0) = 2n+ 1.

(iv) For alle n ∈ N erZ π

2

0Dn (2t) dt =

π

2.

Bevis. (i) Definisjonen av Dn girZ π

−πDn (t) dt =

Z π

−π

Ã1 + 2

nXk=1

cos kt

!dt

=

Z π

−π1 dt+ 2

Z π

−πcos t dt+ 2

Z π

−πcos 2t dt+

+ . . .+ 2

Z π

−πcosnt dt

= 2π + 2

∙sin s+

1

2sin 2s+ · · ·+ 1

nsinns

¸π−π

= 2π + 0 + 0 + ...+ 0 = 2π.

(ii) Formelen for sinus til sum og differens av vinkler,

sin (u± v) = sinu cos v ± cosu sin v,

gir at

sin

µk +

1

2

¶t− sin

µk − 1

2

¶t

= sin kt cost

2+ cos kt sin

t

2− sin kt cos t

2+ cos kt sin

t

2

= 2 cos kt sint

2.

Da vil

nXk=1

∙sin

µk +

1

2

¶t− sin

µk − 1

2

¶t

¸=

nXk=1

2 cos kt sint

2.

Summen på venstre side inneholder kansellerende ledd, så bare første ogsiste ledd gjenstår, det vil si

sin

µn+

1

2

¶t− sin t

2= sin

t

2

nXk=1

2 cos kt.


Dette gir at

sint

2

Ã1 +

nXk=1

2 cos kt

!= sin

µn+

1

2

¶t.

Siden sint

26= 0 for t 6= 2mπ, m ∈ Z, så gir dette at

Dn (t) =sin¡n+ 1

2

¢t

sin t2

.

(iii) Direkte utregning gir

Dn (0) = 1 + 2nX

k=1

cos (k · 0) = 1 + 2nX

k=1

1 = 1 + 2n.

(iv) Definisjonen av Dirichletkjernen gir

Dn(2t) = 1 + 2 cos (2t) + 2 cos (4t) + · · ·+ 2cos (2nt) .Integrasjon ledd for ledd gir daZ π

2

0Dn (2t) dt =

Z π2

0[1 + 2 cos (2t) + 2 cos (4t) + · · ·+ 2 cos (2nt)] dt

= t+2

2sin (2t) +

2

4sin (4t) + · · ·+ 2

2nsin (2nt)

¯̄̄̄π2

0

=π

2+ 0 + 0 + · · ·+ 0 = π

2,

og alt er bevist.

4.3.2 Dirichlets angrepsmåte

Dirichlet brukte den vanlige reelle notasjonen når han regnet med Fourier-rekker, så vi skal holde oss til den videre i dette avsnittet. Han måtte takleflere problemer som Fourier hadde støtt på vinteren 1807.

Vi skal se på beviset omtrent slik Dirichlet gjorde det ([DMB, s.219ff]og [B/N/B, s.188ff]). Dette beviset er velkjent i Fourierteorien og finnes ide fleste bøker om dette emnet.

For det første fikk man bruk for den originale definisjonen av integralet.Som nevnt i forrige kapittel, måtte man gi en definisjon av

πZ−π

f (x) cosnxdx

i de tilfeller der hvor man ikke kunne finne en antiderivert. Derfor måtteman ha den første antagelsen:


(i) Funksjonen f må være integrerbar.Her menes det da integrerbar med hensyn på Cauchy-integralet (eller

ekvivalent, Riemann-integralet).Fra (4.10) har vi at n’te partialsum kan skrives

sn(x) =1

2π

Z π

−πf(t)Dn(t− x) dt.

Dette integralet deler vi i to. I første del erstatter vi t med x − 2u. Dablir dt = −2 du. Integrasjonsgrensene der t skal gå fra −π + x til x blir datil at u går fra

π

2til 0 (Vi bytter om på grensene i integrasjonen og skifter

fortegn). På tilsvarende måte settes i andre del t = x+ 2u. Partialsummenkan da skrives

sn(x) =1

2π

Z π+x

−π+xf(t)Dn(t− x) dt

=1

2π

Z x

−π+xDn(t− x) f(t) dt+

1

2π

Z π+x

xDn(t− x) f(t) dt

=1

π

Z π2

0Dn(2u) f(x− 2u) du+ 1

π

Z π2

0Dn(2u) f(x+ 2u) du.

Omskrivingen

sn(x) =1

2π

Z π+x

−π+xf(t)Dn(t− x) dt,

kan vi foreta siden integranden er 2π-periodisk. Fra definisjonen av Dn erdet opplagt at Dn har periode 2π og for at hele integranden skal være 2π-periodisk må vi sørge for at også f er det. Vi kan nemlig definere f slik vi vilutenfor intervallet (−π, π) og derfor sette f(t+ 2π) = f(t). Herfra kommeraltså neste antagelse:

(ii) Vi må ha at f må være 2π-periodisk.Vi setter i det følgende

s−n (x) :=1

π

Z π2

0Dn(2u) f(x− 2u) du

og

s+n (x) :=1

π

Z π2

0Dn(2u) f(x+ 2u) du.

Vi så allerede i kapittel 1 på en funksjon som ikke var kontinuerlig og detlå altså i problemets natur at man ønsket å finne Fourierrekker for funksjonersom ikke er kontinuerlige. Hva skjer med Fourierrekkene i diskontinuitet-spunkter? Dirichlet løste også dette problemet med sin tredje antakelse:


(iii) Dersom f ikke er kontinuerlig så må funksjonsverdien i diskon-tinuitetspunktene være middelverdien av grensen fra venstre og grensen frahøyre.

Vi skal senere komme fram til at

limn→∞

¡s+n (x) + s−n (x)

¢= f (x) .

La oss tenke oss hvordan Dirichlet muligens gikk fram for å komme fram tildenne betingelsen. Dette skal gjøres presist i beviset for Dirichlets teorem.Det første vi kan merke oss er at Dn (2u) har sitt første nullpunktet til høyre

når 2u =π

n+ 12

, det vil si, for u =π

2n+ 1. Se nå på s+n (x) . Vi kan dele opp

denne ved nullpunktet for Dn (2u):

s+n (x) =1

π

Z π2

0Dn(2u) f(x+ 2u) du

=1

π

Z π2n+1

0Dn (2u) f (x+ 2u) du+

1

π

Z π2

π2n+1

Dn (2u) f (x+ 2u) du.

Vi skal vise i Lemma 20, det såkalte Riemann-Lebesgues Lemma, at det sisteintegralet går mot null når n → ∞. Siden f (x+) = lim

u→0+f (x+ 2u) får vi

at f (x+ 2u) vil ligge rundt f (x+) når n → ∞ og intervallet∙0,

π

2n+ 1

¸blir mindre og mindre. Men dette burde jo nå tyde på at

s+n (x) ≈1

π

Z π2n+1

0Dn (2u) f (x+ 2u) du

≈ 1

πf (x+)

Z π2n+1

0Dn (2u) du.

Vi skal snart (via Lemma 19 (iv)) se at arealet under den første sløyfa i

Dn (2u) er omtrentπ

2, slik at

s+n (x) ≈1

π

π

2f (x+) =

1

2f (x+) .

Tilsvarende bemerkning gjelder også for s−n (x) , og vi ser da Dirichlets grunntil å prøve å bevise at

f (x) = limn→∞

¡s+n (x) + s−n (x)

¢=

f(x+) + f(x−)2

.

Ideen i beviset er at vi må vise at limn→∞ s−n (x) =

1

2f (x−) og lim

n→∞ s+n (x) =

1

2f (x+) for alle x ∈ (−π, π) . Vi viser da først at vi kan få

1

π

Z a

0f(x+ 2u)Dn(2u) du


så nærtf(x+)

2som vi ønsker ved å velge a tilstrekkelig nær 0 og n stor nok,

jf. bemerkningene foran. Dernest viser vi at vi kan få resten av integralet iuttrykket for s+n (x),

1

π

Z π2

af(x+ 2u)Dn(2u),

så lite vi vil ved å velge n stor nok. Til det første integralet må vi daha et intervall (x, x+ 2a) der f er kontinuerlig. Men selv om (et endeligantall) diskontinuitetspunkter er tillatt må de separeres av intervaller der fer kontinuerlig. Og her kommer Dirichlets neste antakelse:

(iv) Funksjonen f må være stykkevis kontinuerlig.Dirichlets siste antagelsen er derfor:(v) Vi må ha at f må være begrenset og stykkevis monoton.Denne er nok noe mer uklar, og sannsynligvis var det arbeidet med

beviset som gjorde at han ble tvinget til denne antakelsen. Dirichlet mente atden siste antakelsen ikke var nødvendig, men klarte ikke å beviset teoremetuten å bruke dette. Det var riktig at siste antakelse kan svekkes en del, menførst Jordan klarte å utvide teoremet til å gjelde for funksjoner av begrensetvariasjon. Som vi ser stilte Dirichlet ganske mange krav til en funksjon forat Fouriers rekkeutviklinger skulle være gyldige!

Vi får også bruk for en versjon av Riemann-Lebesgues lemma, også kaltMercers4 teorem i beviset. Dette lemmaet er en klassiker i Fourierteorien.Riemann lanserte dette teoremet som en anvendelse av sitt nyinnførte in-tegralbegrep i verket Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch einetrigonometrische Reihe fra 1854. Lebesgue videreførte Riemanns resultati dette lemmaet i 1903. Fra tidligere å ha sett på Riemann-integrerbarefunksjoner ble lemmaet utvidet til også å holde for Lebesgue-integrerbarefunksjoner (til og med når f ikke er begrenset).

Lemma 20 (Riemann-Lebesgue) [DMB, s.229ff ] Hvis g er monoton på[a, b] ⊆ ¡0, π2 ¤ så er

limn→∞

Z b

asin(nu) g(u) du = 0.

Bevis. Vi vet at g monoton på [a, b]medfører at g, og dermed g (u) sinnuer integrerbar ([TL1, s.326]). Vi må vise at det til ε > 0 fins et N slik atn ≥ N medfører ¯̄̄̄Z b

ag (u) sin (nu) du

¯̄̄̄< ε.

La a = u0 < u1 < · · · < um = b være en partisjon av [a, b] slik at hvert

intervall har lengde uk−uk−1 = b− a

m. Ideen er nå at vi skal tilnærme g med

4James Mercer (1883-1932), britisk matematiker som gjorde seg bemerket innenintegral-likninger og rekkeutvidelser med ortogonal basis.


g(uk−1) på intervallet (uk−1, uk). Ved dernest å la n gå mot uendelig, kanZ b

ag(uk−1) sin(nu) du gjøres så lite som ønskelig. Først deler vi integralet

ved denne partisjonen.¯̄̄̄Z b

asin (nu) g(u) du

¯̄̄̄=

¯̄̄̄¯mXk=1

Z uk

uk−1sin (nu) g(u) du

¯̄̄̄¯

=

¯̄̄̄¯mXk=1

Z uk

uk−1sin (nu) [g (uk−1)− g (uk−1) + g (u)] du

¯̄̄̄¯

≤¯̄̄̄¯mXk=1

Z uk

uk−1sin (nu) g (uk−1) du

¯̄̄̄¯

+

¯̄̄̄¯mXk=1

Z uk

uk−1sin (nu) [g(u)− g (uk−1)] du

¯̄̄̄¯

≤mXk=1

¯̄̄̄¯Z uk

uk−1sin (nu) g (uk−1) du

¯̄̄̄¯

+mXk=1

Z uk

uk−1|sin (nu) [g(u)− g(uk−1)]| du.

Siden g er monoton på det kompakte intervallet [a, b] må den også værebegrenset, vi har jo enten g (a) ≤ g (u) ≤ g (b) eller g (b) ≤ g (u) ≤ g (a) foru ∈ [a, b] . La oss uansett anta |g (u)| ≤ K for alle u ∈ [a, b] . Spesielt er da|g (uk−1)| ≤ K og¯̄̄̄Z b

asin (nu) g(u) du

¯̄̄̄≤

mXk=1

K

¯̄̄̄¯Z uk

uk−1sin (nu) du

¯̄̄̄¯

+mXk=1

Z uk

uk−1|sin (nu) [g(u)− g (uk−1)]| du.

I det første integralet foretar vi en enkel antiderivasjon. Observer for detandre integralet at |sin (nu)| ≤ 1. Her er g monoton og det gir at

|g(u)− g(uk−1)| ≤ |g (uk)− g (uk−1)| ,

når uk−1 ≤ u ≤ uk. Integralet blir da videre¯̄̄̄Z b

asin (nu) g(u) du

¯̄̄̄≤

mXk=1

K− cos (nuk) + cos (nuk−1)

n

+mXk=1

|g (uk)− g (uk−1)| (uk − uk−1) .


Siden |− cos (nuk) + cos (nuk−1)| ≤ 2, har vi atmXk=1

K− cos (nuk) + cos (nuk−1)

n≤ 2mK

n.

Vi vet også at uk − uk−1 =b− a

m, slik at

mXk=1

|g (uk)− g (uk−1)| (uk − uk−1) =b− a

m

mXk=1

|g (uk)− g (uk−1)| .

Siden g er monoton på hele [a, b] er den enten voksende eller avtakende.Hvis den er voksende, så er

mXk=1

|g (uk)− g (uk−1)| =mXk=1

g (uk)− g (uk−1) = g(b)− g(a).

Mens vi hvis g er avtakende har at

mXk=1

|g (uk)− g (uk−1)| =mXk=1

g (uk−1)− g (uk) = g(a)− g(b).

Uansett vilmXk=1

|g (uk)− g (uk−1)| = |g(b)− g(a)| ≤ 2K.

Derfor er ¯̄̄̄Z b

asin (nu) g(u) du

¯̄̄̄≤ 2mK

n+2K (b− a)

m.

Vi velger nå m slik at2K(b− a)

m<

ε

2. For en slikm velges så n s.a.

2mK

n<

ε

2. Vi får da ¯̄̄̄Z b

asin (nu) g (u) du

¯̄̄̄<

ε

2+

ε

2= ε,

som ønsket.

4.3.3 En ide fra Abel

Bonnet5 viste i 1849 en alternativ form av mellomverdisetningen. Vi fårgod bruk for denne varianten og Jordan brukte også denne setningen da hanvidereførte Dirichlets bevis. Ideen stammer fra såkalt Abelsummasjon, enlistig summasjonsmetode gjengitt i følgende teorem:

5Pierre Bonnet (1819-1892), fransk matematiker som arbeidet mest med differensial-geometri. Publiserte også arbeider innen kartografi, algebra, mekanikk og matematiskfysikk.


Teorem 21 (Abels lemma) [DMB, s.168ff ] La∞Xk=1

akbk

være en rekke derb1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ 0.

Sett

An :=nXi=1

ai.

Hvis An er begrenset, si |An| ≤ K for alle n, så er¯̄̄̄¯nX

k=1

akbk

¯̄̄̄¯ ≤ Kb1.

Bevis. Siden ai = Ai −Ai−1 har vi at¯̄̄̄¯nXi=1

aibi

¯̄̄̄¯ = |a1b1 + a2b2 + · · · anbn|

= |A1b1 + (A2 −A1) b2 + · · · (An −An−1) bn|= |(A1b1 +A2b2 + · · ·+Anbn)− (A1b2 +A2b3 + · · ·+An−1bn)|= |A1 (b1 − b2) +A2 (b2 − b3) + · · ·+An−1 (bn−1 − bn) +Anbn|

=

¯̄̄̄¯n−1Xi=1

Ai (bi − bi+1) +Anbn

¯̄̄̄¯

≤n−1Xi=1

|Ai (bi − bi+1)|+ |Anbn| .

Siden bi ≥ 0 og (bi) er avtagende har vi at bi − bi+1 ≥ 0, og det gir¯̄̄̄¯nXi=1

aibi

¯̄̄̄¯ ≤

n−1Xi=1

|Ai (bi − bi+1)|+ |Anbn|

=n−1Xi=1

Ai (bi − bi+1) + |An| bn

≤n−1Xi=1

K (bi − bi+1) +Kbn

= K (b1 − b2 + b2 − b3 + · · · bn−1 − bn + bn)

= Kb1,

som ønsket.Vi skal ikke bruke Abels lemma i det følgende, men poengterer at det er

ideen med summasjonen som er det essensielle.


4.3.4 Bonnets middelverdisetning

Etter mønster av Abels lemma, beviste Bonnet følgende setning:

Teorem 22 (Bonnets middelverdisetning) La f være integrerbar og lag være en ikke-negativ, avtakende funksjon på [a, b] . Sett

A := infx∈(a,b)

xZa

f (t) dt

og

B := supx∈(a,b)

xZa

f (t) dt.

Da er

Ag (a) ≤Z b

af (t) g (t) dt ≤ B g (b) .

Bevis. La P = {a = x0, x1, . . . , xN−1, xN = b} være en partisjon av[a, b] . Vi lar

S :=NXi=1

f (xi−1) g (xi−1) (xi − xi−1)

være en tilnærming av Cauchy-integralet6Z b

af (t) g (t) dt Sett

Fk :=kXi=1

f (xi−1) (xi − xi−1)

for k = 1, 2, ..., N. Dette blir på samme måte en tilnærming av Cauchy-

integraletZ xk

af (t) dt som vi vet oppfyller

A ≤Z xk

af (t) dt ≤ B

for x ∈ [a, b] pr. antakelse.Tilsvarende som i Abels lemma observerer vi nå at

Fi − Fi−1 = f (xi−1) (xi − xi−1) .

6Se definisjon av Cauchy-integralet i forrige kapittel. Cauchy-integralet er ikke regnetsom like anvendbart som Riemann-integralet, men kanskje dette er et av de stedene detkommer mest til sin rett?


Vi kan bruke samme triks som Abel og skrive S som

S =NXi=1

f (xi−1) g (xi−1) (xi − xi−1)

=NXi=1

(Fi − Fi−1) g (xi−1)

= g (x0)F1 + g (x1) (F2 − F1) + · · · g (xN−1) (FN − FN−1)= [g (x0)− g (x1)]F1 + [g (x1)− g (x2)]F2 + · · ·+

+ [g (xN−2)− g (xN−1)]FN−1 + g (xN−1)FN .

Det er innlysende at Fk vil avhenge av partisjonen som er brukt. Definerderfor AP := inf

k∈{1,2,...,N}Fk ogBP := sup

k∈{1,2,...,N}Fk, slik at disse vil være øvre

og nedre skranke for Fk. Det vil si AP ≤ Fk ≤ BP for alle k ∈ {1, 2, ...N} .Vi antok at g er ikke-negativ og avtakende, det vil si at g (xi)−g (xi+1) ≥ 0.Vi har da

AP g (a) = AP g (x0)

= AP {[g (x0)− g (x1)] + · · ·+ [g (xN−2)− g (xN−1)] + g (xN−1)}≤ S

≤ BP {[g (x0)− g (x1)] + g (x1) + · · ·+ [g (xN−2)− g (xN−1)] + g (xN−1)}≤ BP g (x0) = BP g (a) .

Til gitt ε > 0 et fins det nå en δ1 > 0 slik at en partisjon medb− a

N< δ1

vil gi at ¯̄̄̄Z b

af (t) g (t) dt− S

¯̄̄̄< ε. (4.11)

Det fins videre en δ2 > 0 slik at en partisjon medb− a

N< δ2 gir

¯̄̄̄Z b

af (t) dt− Fk

¯̄̄̄< ε. (4.12)

Sett δ = min {δ1, δ2} .Vi må vise at vi for hver k har

A− ε < Fk < B + ε,

da dette vil gi at

g (a) (A− ε) ≤ S ≤ g (a) (B + ε) .


Siden vårt valg av δ gir at både (4.11) og (4.12) holder, må vi også ha at¯̄̄̄Z xk

af (t) dt− Fk

¯̄̄̄< ε.

Vi kan nemlig finne en ny partisjon av [xk, b] slik at¯̄̄̄¯̄Z b

xk

f (t) dt−nX

j=k

f (xj−1) (xj − xj−1)

¯̄̄̄¯̄

kan bli så lite som ønskelig. Denne finere oppdelingen vil likevel ikke innvirkepå x1, x2, . . . , xk, så vi har fortsatt at¯̄̄̄Z b

af (t) dt− Fk

¯̄̄̄< ε.

Vi har da at AP > A− ε og BP < B + ε og det følger at

(A− ε) g (a) < AP g (a) ≤ S ≤ BP g (a) < (B + ε) g (a) .

Siden vi har ¯̄̄̄Z b

af (t) g (t) dt− S

¯̄̄̄< ε,

eller sagt på en annen måte,

S − ε <

Z b

af (t) g (t) dt < S + ε,

så følger det at

Ag (a)− ε (1 + g (a)) <

Z b

af (t) g (t) dt < Bg (a) + ε (1 + g (a)) .

Dette må holde for alle ε > 0 (og 1 + g (a) er jo et fast positivt tall) og vikan da konkludere med at

Ag (a) ≤Z b

af (t) g (t) dt ≤ Bg (a) ,

som ønsket.Resultatet vi trenger i Dirichlets teorem er imidlertid følgende korollar:

Korollar 23 La f være integrerbar og la g være en ikke-negativ voksendefunksjon på [a, b] . Da fins minst ett tall c, med a < c < b, slik atZ b

af(t) g(t) dt = g(b)

Z b

cf(t) dt.


Bevis. La f være integrerbar på [a, b] og g ikke-negativ og voksende på[a, b]. Sett φ (t) := f (a+ b− t) og γ (t) := g (a+ b− t) . Da vil γ være ikke-negativ og avtagende, og φ er integrerbar over [a, b]. De oppfyller dermedkravene i lemmaet. Variabelskiftet a+ b− t = y, dt = −dy, gir atZ x

aφ (t) dt =

Z x

af (a+ b− t) dt

= −Z a+b−x

bf (y) dy

=

Z b

a+b−xf (t) dt.

Det vil si, når

A ≤Z x

aφ (t) dt ≤ B,

for x ∈ [a, b] , så er også

A ≤Z b

xf (t) dt ≤ B.

Vi vet at f og φ er integrerbare. Siden g og γ er monotone er derfor disseogså integrerbare ([TL1, s.326]). Vi harZ b

aφ (t) γ (t) dt =

Z b

af (t) g (t) dt.

Bonnets middelverdisetning gir da at

Ag (b) ≤Z b

aφ (t) γ (t) dt ≤ Bg (b) , (4.13)

men på grunn av (4.13) har vi

Ag (b) ≤Z b

af (t) g (t) dt ≤ B g (b) .

Sett G (x) := g (b)

Z b

xf (t) dt. Nå er G (x) kontinuerlig over [a, b] og den

oppnår da sin største og minste verdi, altså Ag (b) og Bg (b) . Skjæringsset-ningen sier da at G (x) antar enhver verdi mellom Ag (b) og Bg (b) og at detda fins et tall c ∈ (a, b) slik atZ b

af(t) g(t) dt = G (c) = g(b)

Z b

cf(t) dt,

og korollaret er vist.


4.3.5 Dirichlet samler trådene

Til slutt skal vi sammenfatte de ovenstående resultatene og bevise Dirichletsteorem.

Teorem 24 (Dirichlets teorem) [DMB, s.228ff ] La f være en begrenset,stykkevis kontinuerlig og stykkevis monoton funksjon på [−π, π] . Anta f er2π-periodisk og tilfredsstiller

f(x) =f(x+) + f(x−)

2

for alle verdier av x. La an og bn være gitt ved henholdsvis (4.1) og (4.2).Da vil for hver verdi av x,

a02+

∞Xk=1

(ak cos kx+ bk sin kx)

konvergere punktvis mot f (x) og vi skriver

f (x) =a02+

∞Xk=1

(ak cos kx+ bk sin kx) .

Bevis. Grensene f (x+) og f (x−) vil eksistere siden f er stykkeviskontinuerlig og begrenset. Som vi har sett, må vi vise at¯̄̄̄

¯f (x+)2− 1

π

Z π2

0Dn(2u) f(x+ 2u) du

¯̄̄̄¯

og ¯̄̄̄¯f(x−)2

− 1π

Z π2

0Dn(2u) f(x− 2u) du

¯̄̄̄¯

kan gjøres så små vi måtte ønske for tilstrekkelig store n. Vi ser på bevisetfor den ene påstanden da den andre vil være helt tilsvarende.

La ε > 0 være gitt. Vi ønsker å vise at det fins et N slik at n ≥ Nmedfører ¯̄̄̄

¯f(x+)2− 1

π

Z π2

0Dn(2u) f(x+ 2u) du

¯̄̄̄¯ < ε. (4.14)

Punkt (iv) i lemma 19 gir atZ π2

0Dn (2u) dt =

π

2,

altså atf(x+)

2=1

π

Z π2

0Dn(2u) f(x+) du.


Setter vi inn i (4.14) ser vi at vi ønsker å vise at¯̄̄̄¯ 1πZ π

2

0Dn(2u) f(x+) du− 1

π

Z π2

0Dn (2u) f (x+ 2u) du

¯̄̄̄¯

=

¯̄̄̄¯ 1πZ π

2

0Dn (2u) [f (x+)− f (x+ 2u)] du

¯̄̄̄¯ < ε. (4.15)

Vi splitter integralet ved punktet a slik:¯̄̄̄¯ 1πZ π

2

0Dn (2u) f(x+) du− 1

π

Z π2

0Dn(2u) f(x+ 2u) du

¯̄̄̄¯

=

¯̄̄̄¯ 1πZ π

2

0Dn (2u) (f(x+)− f(x+ 2u)) du

¯̄̄̄¯

≤ 1

π

¯̄̄̄Z a

0Dn (2u) (f (x+)− f (x+ 2u)) du

¯̄̄̄+1

π

¯̄̄̄¯Z π

2

a

sin (2n+ 1)u

sinu(f (x+)− f (x+ 2u)) du

¯̄̄̄¯ ,

der a ∈³0,π

2

i. Sett nå

I1 :=1

π

¯̄̄̄Z a

0Dn (2u) (f (x+)− f (x+ 2u)) du

¯̄̄̄og

I2 :=1

π

¯̄̄̄¯Z π

2

asin (2n+ 1)u

f (x+)− f (x+ 2u)

sinudu

¯̄̄̄¯ ,

slik at ¯̄̄̄¯f(x+)2

− 1π

Z π2

0Dn(2u) f(x+ 2u) du

¯̄̄̄¯ ≤ I1 + I2.

(i) Vi ser først på I2. Vi ønsker å bruke Riemann-Lebesgues lemma for åvise at dette integralet går mot 0. Vi kan ikke bruke lemmaet direkte (som

for øvrig blir gjort i [DMB, s.235]), medf (x+)− f (x+ 2u)

sinusom g (u) .

Grunnen til det er at vi ikke har noen garanti for at g (u) er monoton, som

forlangt i lemmaet. Vi vet at sinu er monotont voksende påha,π

2

i, men

hvis f (x+) − f (x+ 2u) også er monotont voksende kan vi ikke si noe om

monotoni-egenskapene tilf (x+)− f (x+ 2u)

sinu. Vi bruker heller at

1

sinuer


begrenset slik at

I2 =1

π

¯̄̄̄¯Z π

2

a

sin (2n+ 1)u

sinu(f (x+)− f (x+ 2u)) du

¯̄̄̄¯

≤ 1

πsup

y∈[a,π2 ]

¯̄̄̄1

sin y

¯̄̄̄ ¯̄̄̄¯Z π

2

asin (2n+ 1)u (f (x+)− f (x+ 2u)) du

¯̄̄̄¯

≤ 1

π sin a

¯̄̄̄¯Z π

2

asin (2n+ 1)u (f (x+)− f (x+ 2u)) du

¯̄̄̄¯ .

Nå vet vi at f (x+) − f (x+ 2u) er monton og Riemann-Lebesgues lemmagir nå at når dette a er bestemt, kan vi få I2 så lite som ønskelig ved å velgen stor nok. Vi velger derfor a liten nok til at |f(x+)− f (x+ 2u)| i I1 erliten når 0 < u < a. Dette kan vi gjøre når vi vet f(x+) er grensen fra høyrefor f(x+ 2u).

(ii) Se så på I1. Vi ønsker å gjøre

I1 =1

π

¯̄̄̄Z a

0Dn (2u) (f(x+)− f(x+ 2u)) du

¯̄̄̄lite, men hvordan vet vi at valget av a ikke avhenger av n? Hvis det gjørdet, faller argumentet sammen. I det andre integralet vil valget av n væreavhengig av a og i det første vil a avhenge av n. Vi kan i stedet bruke korol-laret til Bonnets mellomverdisetning. Vi må ha at a må være tilstrekkelignær 0 slik at f(x+ 2u) er kontinuerlig og monoton på (0, a]. Sett

g(u) :=

½ |f(x+)− f(x+ 2u)| , 0 < u ≤ a0, u = 0

.

Siden f (x+)− f (x+ 2u) er monoton på (0, a] og går mot 0 når u går mot0 fra høyre, så er den enten ≥ 0 for alle u ∈ (0, a] eller den er ≤ 0 for alleu ∈ (0, a]. Uansett vil g(u) være positiv og monoton over [0, a] . Derfor er

I1 =1

π

¯̄̄̄Z a

0Dn (2u) [f(x+)− f (x+ 2u)] du

¯̄̄̄=1

π

¯̄̄̄Z a

0Dn(2u) g(u) du

¯̄̄̄.

Nå kan vi bruke korollaret til Bonnets mellomverdisetning med Dn (2u) ogg (u):

I1 =1

πg(a)

¯̄̄̄Z a

cDn (2u) du

¯̄̄̄=

1

π|f (x+)− f (x+ 2a)|

¯̄̄̄Z a

cDn (2u) du

¯̄̄̄Så skal vi se at for 0 ≤ c < a ≤ π

2så er¯̄̄̄Z a

cDn (2u) du

¯̄̄̄=

¯̄̄̄Z a

c

sin [(2n+ 1) u]

sinudu

¯̄̄̄


begrenset. Integranden ser slik ut:

Arealene minker når vi beveger oss mot høyre

Hvis A1 > 0 og (An) er en alternerende følge som avtar i absoluttverdiså vil A1 + A2 + · · · + Ak ≤ A1. Det vil si at arealet inne i første sløyfe erstørre eller lik det totale arealet mellom Dn (2u) og u-aksen. Nullpunktene

for Dn (2u) finner vi for u =kπ

2n+ 1, og det første til høyre når k = 1. Altså

er ¯̄̄̄Z a

cDn (2u) du

¯̄̄̄≤Z π

2n+1

0Dn (2u) du,

for 0 ≤ c < a ≤ π

2. Men første sløyfe ligger inne i rektangelet med bredde

π

2n+ 1og høyde 2n+ 1 (se lemma 19), slik at

Z π2n+1

0Dn (2u) du ≤ (2n+ 1)

µπ

2n+ 1

¶= π.

Nå velger vi a tilstrekkelig nær 0 til at |f (x+)− f (x+ 2a)| < ε

2. Da følger

det at

I2 =1

π|f (x+)− f (x+ 2u)|

¯̄̄̄Z a

cDn (2u) du

¯̄̄̄<1

π

ε

2π =

ε

2.

Når a er valgt kan vi velge en N (avhengig av a) som er slik at n ≥ Nmedfører

I2 <ε

2.

Vi kan da konkludere med at

1

π

¯̄̄̄¯Z π

2

0Dn (2u) [f (x+)− f (x+ 2u)] du

¯̄̄̄¯ ≤ 1

π(I1 + I2) <

ε

2+

ε

2= ε.

som ønsket i (4.15) og alt er bevist.

4.4. LITTERATUR 79

Merknad 25 Kriteriene i Dirichlets teorem kalles ofte Dirichlets kri-terier. Som nevnt mente han at de holdt for en videre klasse funksjoner,eller også at kriteriene i teoremet er unødvendig strenge. Jordan utvidetsenere resultatet om punktvis konvergens av Fourierrekker, og slo fast atFourierrekken til en funksjon f av begrenset variasjon konvergerte punktvis

motf (x+) + f (x−)

2for alle x.

4.4 Litteratur[DMB] Bressoud, D. M.: A radical approach to real analysis

The Mathematical Association of America (1993); ISBN: 0883857014[B/N/B] Bachman/Narici/Beckenstein: Fourier and Wavelet analysis

Springer Verlag New York 2000. ISBN: 0-387-98899-8[JF] Fourier, J.: Analytical theory of heat

Dover publications (1955)[D/McK] Dym, McKean: Fourier series and integrals

Academic press ltd (1972)[PRA] Andenæs, P. R.: MNFMA219 - Reell analyse

NTNU (2000)[B/B/T] Bruckner/Bruckner/Thomson: Real Analysis

Prentice Hall int.inc.(1997); ISBN: 0-13-606708-5


Kapittel 5

FEJÉRS TEOREM

Denne seksjonen tar for seg resultater parallelle til de i forrige seksjon, mende er også en slags utvidelse av det konvergensbegrepet Dirichlet brukte.Vi skal ikke være så omstendelige som i forrige kapittel, og bruker nå denkomplekse utgaven av Fourierrekkene. At Fejérs teorem er et viktig resultatser vi av et utsagn fra [TWK], der forfatteren mener dette er essensen iFourieranalysen og en forståelse av Fejérs teorem fører til at ”the readermay browse freely through this book...”.

Fejér kjente til problemet om at ikke alle funksjoner kunne utvikles iFourierrekker som konvergerte punktvis mot denne funksjonen. I stedet forå finne den best egnede funksjonsklassen (som Lebesgue gjorde med sine L2-funksjoner) fant han heller en annen type konvergens som kunne benyttes.

5.1 Fejér-kjernen

Vi så i forrige kapittel at det tok tid før problemet med punktvis konvergensav Fourierrekker ble løst. Faktisk har Kolmogorov1 vist at Fourierrekka tilen integrerbar funksjon kan divergere overalt [B/N/B, s.211ff].

Fejér oppdaget i 1899 (i en alder av 19 år!) at selv om en følge ikkeoppførte seg så pent i seg selv, så kunne middelverdien av partialsummenetil følgen gjøre det. Altså; selv om ikke følgen av partialsummer

sn(f, t) =nX

k=−ncke

ikt

konvergerer så kan følgen av middelverdier av partialsummene konvergere(på en eller annen måte).

For å se hva det dreier seg om, kan vi se på følgende resultat:

1Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987), russisk matematiker som blantannet arbeidet med planetbevegelser, turbulens i jet-motorer og dynamiske systemer.

81

82 KAPITTEL 5. FEJÉRS TEOREM

Lemma 26 Hvis sn → s så vil også

1

n+ 1

nXk=0

sk → s.

Bevis. Siden følgen sn konvergerer mot s, så kan vi til gitt ε > 0 finneN (ε) slik at vi for n > N har |sn − s| < ε

2. For n > N har vi da¯̄̄̄

¯Ã

1

n+ 1

nXk=0

sk

!− s

¯̄̄̄¯ =

¯̄̄̄¯ 1

n+ 1

ÃnX

k=0

(sk − s)

!¯̄̄̄¯

=1

n+ 1

¯̄̄̄¯nX

k=0

(sk − s)

¯̄̄̄¯

≤ 1

n+ 1

nXk=0

|sk − s|

=1

n+ 1

ÃNXk=0

|sk − s|+nX

k=N+1

|sk − s|!

<1

n+ 1

ÃNXk=0

|sk − s|+ (n−N)ε

2

!.

Nå er summenNPk=0

|sk − s| en konstant, la oss si S :=NPk=0

|sk − s| . Vi kan

da velge en M > N slik at M >2S

ε. For n > M vil da S < M

ε

2< n

ε

2<

(n+ 1)ε

2. Da får vi¯̄̄̄¯Ã

1

n+ 1

nXk=0

sk

!− s

¯̄̄̄¯ <

1

n+ 1

³(n+ 1)

ε

2+ (n+ 1)

ε

2

´= ε.

Det vil si, når limn→∞ sn eksisterer, eksisterer også lim

n→∞1

n+ 1

nPk=0

sk , og de

har samme verdi.Motsatt har vi ikke det samme resultatet, noe følgende enkle eksempel

demonstrerer.

Eksempel 27 Se på følgen sn = (−1)n . Da vil opplagt ikke sn konvergere,siden den alternerer mellom verdiene ±1. Vi har¯̄̄̄

¯ 1

n+ 1

nXk=0

sk

¯̄̄̄¯ = 1

n+ 1

¯̄̄̄¯nX

k=0

sk

¯̄̄̄¯ ≤ 1

n+ 1.

5.1. FEJÉR-KJERNEN 83

Siden følgen1

n+ 1→ 0, vil også

1

n+ 1

nPk=0

sk → 0. Følgen av middelverdier

av partialsummene konvergerer altså, selv om følgen opprinnelig ikke gjørdet.

Dette var altså hovedidèen til Fejér, en enkel observasjon, men med ut-strakt anvendbarhet. Vi husker fra forrige kapittel at Dirihclet-kjernen vardefinert ved

Dk (t) =kX

j=−keikt =

⎧⎨⎩1, j = 0

1 + 2kP

j=1cos jt, j ∈ N .

På denne måten kunne Dirichlet skrive partialsummen i Fourierrekka som

sk(x) =1

2π

Z π

−πf(t)Dk(x− t)dt.

Fejér brukte en tilsvarende omskriving, der han tok middelverdien av den + 1 første partialsummene. Middelverdien av partialsummene har ogsåsitt eget navn:

Definisjon 28 Vi skriver middelet av de n+ 1 første partialsummene som

σn(f, t) :=1

n+ 1

nXk=0

sk(f, t). (5.1)

Dette kalles også Cesàro-middelet2 av Fourierrekka, og metoden med åsummere i utgangspunktet divergente rekker på denne måten, kalles Cesàro-summasjon.

σn (f, t) =1

n+ 1

nXk=0

sk (f, x) =1

n+ 1

nXk=0

1

2π

Z π

−πf (t) Dk (x− t) dt

=1

2π

Z π

−πf (t)

"1

n+ 1

nXk=0

Dk (x− t)

#dt.

Vi bruker så følgende definisjon:

Definisjon 29 Fejér-kjernen Kn av orden n defineres ved

Kn (s) :=1

n+ 1

nXk=0

Dk (s) .

2Ernesto Cesàro (1859-1906), italiensk matematiker. Cesàro er mest kjent for sinearbeider innen differensial-geometri.


Det er også en annen måte å skrive Fejér-kjernen3 på. En omforming avCesaro-summen gir

σn(f, t) =1

n+ 1

nXj=0

sj(f, t) =1

n+ 1

nXj=0

jXr=−j

creirt

=1

n+ 1[c0 +

¡c−1e−it + c0 + c1e

it¢+

+¡c−2e−2it + c−1e−it + c0 + c1e

it + c2e2it¢+ · · ·+

+¡c−ne−int + · · ·+ c−1e−it + c0 + c1e

it + · · ·+ cneint¢]

=1

n+ 1

nXr=−n

(n+ 1− |r|) creirt

=nX

r=−n

n+ 1− |r|n+ 1

µ1

2π

Z π

−πf(x)e−irxdx

¶eirt

=1

2π

Z π

−πf(x)

nXr=−n

n+ 1− |r|n+ 1

eir(t−x) dx. (5.2)

Her innfører vi da den andre skrivemåten for Fejér-kjernen:

Definisjon 30 Fejér-kjernen Kn av orden n er gitt ved

Kn(s) :=nX

r=−n

n+ 1− |r|n+ 1

eirs. (5.3)

Vi kan da skrive (5.2) slik:

σn (f, t) =1

2π

Z π

−πf(x)

nXr=−n

n+ 1− |r|n+ 1

eir(t−x) dx

=1

2π

Z π

−πf (x) Kn (t− x) dx. (5.4)

Fejérs teorem sier at Cesaro-summen σn (f, t) konvergerer (på en eller annenmåte) mot f , uavhengig av om sn (f, t) gjør det.

La oss danne oss et bilde av hvordan Kn ser ut.

3Enkelte bøker velger å bruke Fn for å symbolisere Fejér-kjernen. Grunnen til at detteikke er vanlig konvensjon er sannsynligvis at dette ofte betegner den såkalte Fourier-kjernen, definert ved sinωt

t.


s

Fejér-kjernen Kn(s) for n-verdier 2,4 og 8.

Noen egenskaper ved Kn er oppsummert i følgende lemma.

Lemma 31 (Egenskaper ved Fejér-kjernen) (i) For s 6= 0 er

Kn(s) =1

n+ 1

⎛⎜⎝sin n+ 12 s

sins

2

⎞⎟⎠2

.

(ii) Kn(0) = n+ 1.(iii) Kn(s) ≥ 0 for alle s ∈ [−π, π].(iv) Kn(s) → 0 uniformt utenfor [−δ, δ] for hver fastholdt δ > 0 når

n→∞.

(v)1

2π

Z π

−πKn(s) ds = 1.

Bevis. (i) I forrige kapittel viste vi at Dirichlet-kjernen Dk (s) kanskrives

Dk (s) =sin¡k + 1

2

¢s

sin s2

.

Siden Féjer-kjernen Kn kan skrives

Kn (s) =1

n+ 1

nXk=0

Dk (s) ,

så er

Kn (s) =1

n+ 1

nXk=0

sin¡k + 1

2

¢s

sin s2

.


Da får vi ³sin

s

2

´(n+ 1)Kn(s) =

nXk=0

sin

µk +

1

2

¶s.

Siden Im³ei(k+

12)s´= sin

¡k + 1

2

¢s får vi

³sin

s

2

´(n+ 1)Kn(s) =

nXk=0

Im³ei(k+

12)s´

Vi vet at Im {zx} = x Im z når z ∈ C og x ∈ R. Derfor er³sin

s

2

´(n+ 1)Kn(s) = Im

Ãei

s2

nXk=0

eiks

!

Vi bruker nå summeformelen for en geometrisk rekke:

nXk=0

xk = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn =xn+1 − 1x− 1 , (5.5)

når x 6= 1, for å få³sin

s

2

´(n+ 1)Kn(s) = Im

Ãei

s2ei(n+1)s − 1(eis − 1)

!

= Im

Ãei

n+12

s ein+1

2s − e−i

n+12

s

eis2 − e−i

s2

!.

Minner nå om formelen

eiα − e−iα

2i= sinα,

som gir

³sin

s

2

´(n+ 1)Kn(s) = Im

⎛⎝ein+12

ssin n+1

2s

2isin s

22i

⎞⎠

=

µsin2

n+ 1

2s

¶sin

s

2

.

Altså kan Kn (s) skrives

Kn (s) =1

n+ 1

Ãsin n+1

2 s

sin s2

!2,


for s 6= 0.(ii) Vi vet at summen av de n første oddetallene er n2. Videre har vi fra

lemma 19 at Dk (0) = 2k + 1. Fra (5.3) følger det da at

Kn(0) =1

n+ 1

nXk=0

Dk (0) =1

n+ 1

nXk=0

(2k + 1)

=1

n+ 1(n+ 1)2 = n+ 1.

(iii) Innlysende, siden Fejér-kjernen er kvadratet av et reellt uttrykkmultiplisert med en positiv konstant (se (i)).

(iv) Vi vet at

¯̄̄̄sin

n+ 1

2s

¯̄̄̄≤ 1. Fiksér en δ ∈ (0, π]. Når δ ≤ |s| ≤ π så

er sins

2≥ sin δ

2. Vi har da for δ ≤ |s| ≤ π at

Kn(s) =1

n+ 1

⎛⎜⎜⎝sinµn+ 1

2

¶s

sins

2

⎞⎟⎟⎠2

≤ 1

n+ 1

⎛⎝ 1

sin2s

2

⎞⎠ ≤ 1

n+ 1

⎛⎜⎝ 1

sin2δ

2

⎞⎟⎠ .

Til gitt ε > 0 kan vi da finne et naturlig tall N slik at n ≥ N medfører

|Kn (s)| ≤ 1

n+ 1

⎛⎜⎝ 1

sin2δ

2

⎞⎟⎠ < ε

for alle s med δ ≤ |s| ≤ π. Med andre ord, Kn (s) → 0 uniformt utenfor[−δ, δ] .

(v) En enkel antiderivasjon gir atZ π

−πeirsds =

½0, r 6= 02π, r = 0

. Da

følger det fra definisjonen av Fejér-kjernen at

1

2π

Z π

−πKn(s)ds =

1

2π

Z π

−π

nXr=−n

n+ 1− |r|n+ 1

eirsds

=nX

r=−n

n+ 1− |r|n+ 1

1

2π

Z π

−πeirsds

=n+ 1

n+ 1

1

2π

Z π

−π1 ds = 1.

Og alt er bevist.


5.2 Fejérs teorem

Etter Lemma 31 kan vi nå bevise Fejérs teorem. Teoremet sier at σn (f, t0)for funksjoner f : T → C konvergerer punktvis mot f (t0) dersom f erkontinuerlig i t0. Hvis f derimot er kontinuerlig for alle t, så vil σn (f, t)konvergere uniformt mot f (t) . Vi kan nå ved hjelp av det vi vet om Kn

forestille oss hvordan vi skal bevise Fejérs teorem. Først må vi skrive om(5.4). Substitusjonen y = t− x gir

σn (f, t) =1

2π

Z π

−πf (x) Kn (t− x) dx = − 1

2π

Z t−π

t+πf (t− y) Kn (y) dy

=1

2π

Z t+π

t−πf (t− y) Kn (y) dy =

1

2π

Z π

−πf (t− y) Kn (y) dy,(5.6)

siden både f og Kn er 2π-periodiske. Vi velger nå en stor n og ser da fragrafen til Kn at mesteparten av arealet under Kn ligger i et lite intervallrundt 0, si [−δ, δ] . La oss nå si at f er kontinuerlig i et punkt t0. Denvil da ha små variasjoner over det lille intervallet [t0 − δ, t0 + δ] . Derfor erf (t0 − y) ≈ f (t0) så lenge y ∈ [−δ, δ] . Tar vi utgangspunkt i (5.6) har viderfor

σn (f, t0) =1

2π

Z π

−πf (x) Kn (t0 − x) dx =

1

2π

Z π

−πf (t0 − y) Kn (y) dy

≈ 1

2π

Z π

−πf (t0) Kn (y) dy ≈ 1

2π

Z δ

−δf (t0) Kn (y) dy

= f (t0)1

2π

Z δ

−δKn (y) dy ≈ f (t0)

1

2π

Z π

−πKn (y) dy.

Egenskap (v) i Lemma 31 gir så at σn (f, t0) ≈ f (t0) når n er stor. La ossstille opp dette presist.

Teorem 32 (Fejérs teorem) [TWK, s.6] (i) Hvis f : T→ C er Riemann-integrerbar og kontinuerlig i punktet t = t0 så vil

limn→∞σn(f, t0) = f(t0).

(ii) Hvis f : T→ C er 2π-periodisk, Riemann-integrerbar og kontinuerlig såvil

limn→∞σn(f, t) = f(t)

uniformt.

Bevis. (i) Siden1

2π

Z π

−πKn(s) ds = 1 så er

f (t0) = f (t0)1

2π

Z π

−πKn (s) ds =

1

2π

Z π

−πf (t0) Kn (s) ds.

5.2. FEJÉRS TEOREM 89

Vi har da

|σn(f, t0)− f(t0)| =

¯̄̄̄1

2π

Z π

−πf(t0 − s)Kn(s)ds− 1

2π

Z π

−πf(t0)Kn(s) ds

¯̄̄̄=

¯̄̄̄1

2π

Z π

−π[f(t0 − s)− f(t0)]Kn(s) ds

¯̄̄̄≤

¯̄̄̄1

2π

Z δ

−δ[f(t0 − s)− f(t0)]Kn(s) ds

¯̄̄̄+

¯̄̄̄¯ 12π

Zs/∈[−δ,δ]

[f(t0 − s)− f(t0)]Kn(s) ds

¯̄̄̄¯

Sett

I1 :=

¯̄̄̄1

2π

Z δ

−δ[f(t0 − s)− f(t0)]Kn(s) ds

¯̄̄̄og

I2 :=

¯̄̄̄¯ 12π

Zs/∈[−δ,δ]

[f(t0 − s)− f(t0)]Kn(s) ds

¯̄̄̄¯ .

La nå ε > 0 være gitt.Se først på I1. Siden f er kontinuerlig i t0 kan vi finne δ = δ (t0, ε) s.a.

|(t0 − s)− t0| = |−s| = s < δ medfører |f (t0 − s)− f (t0)| ≤ ε

2. Fiksér en

slik δ. Da får vi

I1 ≤ ε

2

1

2π

¯̄̄̄Z δ

−δKn (s) ds

¯̄̄̄.

Vi vet, siden Kn (s) ≥ 0, at¯̄̄̄Z δ

−δKn (s) ds

¯̄̄̄=

Z δ

−δKn (s) ds ≤

Z π

−πKn (s) ds = 2π.

Det vil si, I1 ≤ ε

2

1

2π2π =

ε

2.

Se så på I2. Vi antok at f er Riemann-integrerbar og den må derfor værebegrenset. Da kan vi sette |f(s)| ≤M , og da er spesielt |f (t0 − s)| ≤M og|f (t0)| ≤M. Det følger at |f (t0 − s)− f (t0)| ≤ 2M.

Altså har vi for det andre integralet at

I2 ≤ 2M2π

Zs∈[−δ,δ]

|Kn (s) ds| .

På grunn av egenskap (iv) i lemma 31 kan vi finne et naturlig tall N =

N (δ) = N (t0, ε) s.a. |Kn(s)| < ε

4Mfor alle δ ≤ |s| ≤ π når n ≥ N. Da får

vi

I2 <2M

2π

Zs/∈[−δ,δ]

ε

4Mds ≤ 2M

2π

ε

4M2π =

ε

2.


Dette gir|σn(f, t0)− f(t0)| ≤ I1 + I2 <

ε

2+

ε

2= ε.

(ii) Som over har vi

|σn(f, t)− f(t)| ≤¯̄̄̄1

2π

Z δ

−δ[f(t− s)− f(t)]Kn(s) ds

¯̄̄̄+

¯̄̄̄¯ 12π

Zs/∈[−δ,δ]

[f(t− s)− f(t)]Kn(s) ds

¯̄̄̄¯ .

La ε > 0 være gitt. Siden f nå er kontinuerlig kan vi da finne δ = δ (ε) > 0

slik at |f(s)− f(t)| ≤ ε

2for |s− t| < δ. Fiksér en slik δ. Siden f er Riemann-

integrerbar har vi |f(s)| ≤M for alle s, slik at |f (t− s)− f (t)| ≤ 2M. Daer

|σn(f, t)− f(t)| <ε

2

1

2π

¯̄̄̄Z δ

−δKn(s) ds

¯̄̄̄+2M

2π

Zs/∈[−δ,δ]

|Kn(s)| ds

=ε

2

1

2π2π +

2M

2π2π

ε

4M=

ε

2+

ε

2= ε,

som påstått.

5.3 Litteratur[TWK] Körner: Fourier Analysis

Cambridge university press (1988); 0-521-25120-6[D/McK] Dym, McKean: Fourier analysis and Fourier series

Academic press ltd (1972)[B/N/B] Bachman, Narici, Beckenstein: Fourier and Wavelet analysis

Springer Verlag New York 2000. ISBN: 0-387-98899-8

Kapittel 6

FOURIERINTEGRALER

Etter at Fouriers banebrytende ideer hadde sett dagens lys, er det ikkevanskelig å forstå at det kun dreide seg om tid før disse ble videre utforsket.Man kan vel også tenke seg flere retninger utforskningen av Fourieranalysenkunne følge:

• Finnes det andre måter å konstruere Fourierrekker på, enn ved å brukede trigonometriske funksjonene? Hva er så spesielt med sinus og cosi-nus at de gjør jobben med å rekonstruere andre funksjoner så bra? Tilog med diskontinuerlige funksjoner kan jo, som vi aå allerede i Fouriersførste eksempel, tilnærmes ganske bra, og vi har via Gibbs fenomenkontroll på feilen som blir gjort.

• Hva med flere dimensjoner? Kunne man tenke seg flerdimensjonaleFourierrekker? Dette kunne jo i såfall være hensiktsmessig dersom manskulle finne en Fourier-representasjon for flerdimensjonale funksjoner.Eksempel på dette er fotografier, som kan beskrives via en matrise derfunksjonsverdien i hver celle svarer til fargen i denne cellen.

• Hva skjedde dersom lederen i varmelikningen var uendelig lang? Derman før hadde snakket om periodiske funksjoner, kunne man benytteen periode som var uendelig?

Det første punktet utviklet seg til en helt ny matematisk gren kaltWavelets. Det ble sagt (av van Vleck) om denne teknikken at den ”(...)førte til en helt ny tenkemåte”. Det andre punktet kan vi også se behandletflere steder. I [D/McK] finner vi for eksempel en del om flerdimensjonaleFourierrekker på en standard torus.

Siste punkt tok imidlertid Fourier selv også for seg. Vi skal derfor se littpå dette i denne seksjonen. Vi er nå i den siste delen av Fouriers bok fra1822 ([JF]), og dette er altså noe av det han hadde lagt til etter at hansoriginale utgave kom ut i 1807.

91

92 KAPITTEL 6. FOURIERINTEGRALER

Trigonometrisk form Da vi startet i kapittel 1 så vi at Fourier omar-beidet problemet fra å dreie seg om varmeledning til å omhandle hvilkefunksjoner som kunne representeres ved konvergente trigonometriske rekker.Spesielt måtte vi finne en Fourierrekke som på en eller annen måte kunnerepresentere f (x) = 1 på [−1, 1] . Intuitivt sett skulle man kanskje tro atman kunne erstatte dette intervallet med hele tallinjen. Helt enkelt er detlikevel ikke. Tar man i betraktning alt som kan skje når man lar noe gåmot uendelig, ser vi at vi bør være forsiktige. Som regel lever vi i den mis-forståelse at våre erfaringer fra den endelige verden kan overføres til denuendelige. Vi minner her om Cauchys ”bevis” for at en uendelig sum avkontinuerlige funksjoner også er kontinuerlig. Vi finner også følgende mottoi [TWK, s.221]:

”Try to argue about Fourier transforms in the same way asabout Fourier series but do not expect your arguments to holdevery time”.

Fouriertransformasjoner er mye brukt i anvendelser, men det er ikke allebøker som tar for seg bevis for at transformen gjør det den skal, kanskjenettopp på grunn av at anvendelsene er så viktige. Vi så i kapittel 4 aten tilstrekkelig glatt (i betydningen at den oppfyller Dirichlet-kriteriene, vikaller ofte noe upresist slike funksjoner for ”tilstrekkelig pene”) 2P -periodiskfunksjon f generelt kunne uttrykkes ved sin Fourierrekke slik:

f (x) =a02+

∞Xn=1

³an cos

nπx

P+ bn sin

nπx

P

´=

1

2P

Z P

−Pf (t) dt+

+1

P

∞Xn=1

µcos

nπx

P

Z P

−Pf (t) cos

nπt

Pdt+ sin

nπx

P

Z P

−Pf (t) sin

nπt

Pdt

¶.

Vi vet nå at Fourierrekka til en slik funksjon konvergerer punktvis motfunksjonen, bortsett fra i diskontinuitetspunkter, der rekka konvergerer motmiddelverdien av høyre og venstre grenseverdi ved diskontinuiteten. Hvis vinå bruker at

cosnπ

P(t− x) = cos

nπt

Pcos

nπx

P+ sin

nπt

Psin

nπx

P

kan vi skrive

f (x) =1

2P

Z P

−Pf (t) dt+

1

P

∞Xn=1

Z P

−Pf (t) cos

nπ

P(t− x) dt. (6.1)

Ved å la P →∞ burde man kunne få noe som tilsvarer Fourierrekker pået uendelig intervall. Vi ønsker altså å finne ut hva som skjer med (f.eks.)

93

temperaturfordeling i en lang leder. Dette er med andre ord en naturligvidereføring av Fourierrekker. Fourier selv skrev i boken sin [JF, s. 433] (Xer her integrasjonsområdet):

”Hvis vi antar X er uendelig, vil leddene i rekka bli differ-ensialer, og summen betegnet ved

Pvil bli et bestemt integral

(...). Grensene er helt vilkårlige konstanter”.

Vi kan selvfølgelig ikke bare sette P = ∞ da dette ikke vil gi noen

mening. Vi må undersøke grenseprosessen. Leddet1

2P

Z P

−Pf (t) dt vil gå

mot null når P vokser, vel å merke hvis integraletZ ∞

−∞f (t) dt eksisterer.

Her kommer begrepet integrerbarhet igjen inn i bildet. Integrerbarhet blirda det første kravet på f.

Definisjon 33 La f : [a,∞)→ R være kontinuerlig.

(i) [TL1, s.421] Dersom limb→∞

Z b

af (x) dx eksisterer og er endelig sier vi

at Z ∞

af (x) dx

konvergerer.

(ii) [TL1, s.423] På samme måte: Dersom limc→−∞

Z a

cf (x) dx eksisterer

og er endelig sier vi at Z a

−∞f (x) dx

konvergerer.

(iii) [TL1, s.423] La f : R→ R være kontinuerlig. DersomZ 0

−∞f (x) dx

ogZ ∞

0f (x) dx konvergerer definerer vi

Z ∞

−∞f (x) dx =

Z 0

−∞f (x) dx+

Z ∞

0f (x) dx.

For å illustrere konseptet integrerbarhet kan vi se på et par enkle eksem-pler:

Eksempel 34 Funksjonen f : R→ R gitt ved

f (x) =1

1 + x2


er integrerbar. Utregning girZ ∞

−∞|f (x)| dx =

Z ∞

−∞

¯̄̄̄1

1 + x2

¯̄̄̄dx =

Z ∞

−∞1

1 + x2dx

= arctan (x)|∞−∞ =π

2− −π

2= π <∞.

Eksempel 35 Funksjonen f : R→ R gitt ved

f (x) =x

1 + x2

er ikke integrerbar. Her får viZ ∞

−∞

¯̄̄̄x

1 + x2

¯̄̄̄dx = 2

Z ∞

0

x

1 + x2dx = ln

¡1 + x2

¢¯̄∞0=∞− 0 =∞.

Ideen er nå videre at andre ledd på av høyresiden av (6.1) minner om en

Riemann-sum med maskeviddeπ

P. For å se dette setter vi ωn :=

nπ

P, slik

at ∆ωn = ωn+1 − ωn =(n+ 1)π

P− nπ

P=

π

P. Da får vi

1

π

∞Xn=1

∆ωn

Z P

−Pf (t) cos [ωn (t− x)] dt. (6.2)

Hvis vi nå setter

g (ω) :=1

π

Z P

−Pf (t) cosω (t− x) dt,

kan andre leddet på høyresiden i (6.1) skrives

∞Xn=1

g (ωn) ∆ωn.

Etterhvert som P →∞ vil∆ω → 0. Dette minner jo da om en Riemann-sumfor g (ω) , og forhåpentligvis vil (6.2) konvergere mot

1

π

Z ∞

0

Z ∞

−∞f (t) cosω (t− x) dt dω.

Vi ser også at dette integralet ikke trenger å gi mening. Hvis f for eksempeler en periodisk funksjon vil jo ikke integralet nødvendigvis konvergere. Menideen er klar, vi kan kanskje finne en integralrepresentasjon for f dersomfunksjonen er ”pen” nok.

Definisjon 36 (Fourierintegralet) Fourierintegralet til f er definert ved

1

π

∞Z0

⎡⎣ ∞Z−∞

f (t) cosω (t− x) dt

⎤⎦ dω.

95

Vi ser tydelig analogien til vanlige Fourierrekker; en kontinuerlig variabel

ω i stedet for indeksen vi hadde tidligere,Z ∞

0i stedet for

X∞n=1

, ogZ ∞

−∞

i stedet forZ P

−P. Forhåpentligvis kan vi vise at Fourierintegralet for f

konvergerer mot f for alle x.På samme måte som vi har en kompleks versjon av Fourierrekkene har vi

det også for integralformelen, bedre kjent som Fouriertransformasjon. Detteer et veldig nyttig verktøy i anvendt matematikk, og er så godt som uun-nværlig i fysikk og informatikk. Vi skal holde oss til Fouriers trigonometri-versjon, og nevner bare litt om den eksponensielle formen her.

Eksponensiell form Denne kan oppnås på samme måte, vi skriveropp den generelle Fourierrekka, og lar perioden gå mot uendelig. Vi minnerher om at vi generelt har den komplekse Fourierkoeffisienten gitt ved

cn (f) =1

2P

Z P

−Pf (t) e−

inπtP dt.

Og igjen, hvis funksjonen er tilstrekkelig glatt (oppfyller Dirichlets krav),vil Fourierrekka til f

∞Xn=−∞

cn (f) einπxP ,

konvergere punktvis mot f (x) der denne er kontinuerlig. Hvis grensen ek-sisterer, får vi

limP→∞

∞Xn=−∞

cn (f) einπxP

= limP→∞

∞Xn=−∞

∙1

2P

Z P

−Pf (t) e−

inπtP dt

¸einπxP .

Igjen setter vi ωn :=nπ

P, slik at ∆ωn =

π

P. Vi får

limP→∞

1

2π

∞Xn=−∞

∙∆ωn

Z P

−Pf (t) e−iωnt dt

¸eiωnx.

La oss igjen sette

g (ω) :=

Z P

−Pf (t) e−iωt dt.

Da ender vi opp med

limP→∞

1

2π

∞Xn=−∞

g (ωn) eiωnx∆ωn.


Igjen likner dette på en Riemann-sum, slik at det kan se ut om at vi kanuttrykke f (x) slik:

f (x) =1

2π

∞Z−∞

⎡⎣ ∞Z−∞

f (t) e−iωt dt

⎤⎦ eiωxdω.

Definisjon 37 Hvis integraletZ ∞

−∞f (t) e−iωt dt

eksisterer, definerer vi Fouriertransformen av f til å være

bf (ω) := Z ∞

−∞f (t) e−iωt dt.

Den inverse Fouriertransformen er

1

2π

Z ∞

−∞bf (ω) eiωx dω.

Det kan altså vises at den inverse Fouriertransformen rekonstruerer fslik at

f (x) =1

2π

Z ∞

−∞bf (ω) eiωx dω.

Dette forklarer at faktoren1

2πnoen ganger dukker opp i transformasjons-

formelen, og andre ganger i den inverse transformasjonsformelen. I noen

bøker finner vi også at det står1√2π

i begge formlene, sannsynligvis for å

framstille formelsettet mer symmetrisk. Andre notasjoner for Fouriertrans-formen er F (f) eller f. Vi merker oss også likheten mellom Fouriertransfor-men og komplekse Fourierkoeffisienter. Vi kunne skrevet

c (t) =

Z ∞

−∞f (x) e−itx dx

og

f (x) =

Z ∞

−∞c (t) eitx dt.

Her transformerer vi først f (x) og får c (t) . Så bruker vi den inverse trans-formeren for å få tilbake f (x) . På samme måte som vi finner Fourierkoeff-isienter for så å summere Fourierrekken for å rekonstruere f.

Det er for øvrig på grunn av nytteverdien i sammenhenger med elektron-ikk og e-lære at mange foretrekker å benytte ω som variabel (symbolisererfrekvens) i stedet for den tidligere mer vanlige t (symboliserer tid). Det er

97

også en hel mengde andre anvendelser av Fouriertransformen. Det fins foreksempel en sammennheng mellom posisjonen og impulsen til en partikkelvia denne transformen. Man har kanskje hørt om Heisenbergs usikkerhet-sprinsipp, som slår fast at vi bare kan kjenne til en av størrelsene fart ogposisjon nøyaktig på samme tid. I tillegg brukes jo både Fourierrekker ogFouriertransformen for å løse diff.likninger.

Følger vi for eksempel framstillingen i [B/C] ser vi at veien til et bevisfor at en integralrepresentasjon er gyldig er veldig lik den for Fourierrekker,dog litt mer avansert. Det er altså en analogi, selv om denne ikke kan følgeshelt til bunns.

For tredje gang skal vi innom Riemann-Lebesgues lemma. Vi tar nåskrittet fra å la grensen gå over N, til å gå kontinuerlig over R.

Lemma 38 (Utvidet Riemann-Lebesgue) La g (u) være stykkevis kon-tinuerlig på [0, c] . Da er

limr→∞

Z c

0g (u) sin ru du = 0.

Bevis. Vi antar g (u) er kontinuerlig på [a, b] , der a, b ∈ [0, c] , og viserat

limr→∞

Z b

ag (u) sin ru du = 0.

Lemmaet vil da følge ved en endelig sum av slike grenseverdier. Men hvisg (u) er kontinuerlig på [a, b] må den også være uniformt kontinuerlig der,siden [a, b] er en kompakt mengde [PRA, s.34]. La ε > 0 være gitt. Velg såen δ > 0 slik at når

|u− v| < δ

så er|g (u)− g (v)| < ε

2 (b− a).

Vi deler så intervallet [a, b] i N delintervaller

a = u0 < u1 < · · · < uN−1 < uN = b,

der N er stor nok til atb− a

N< δ. Vi har

Z b

ag (u) sin ru du =

NXn=1

Z un

un−1g (u) sin ru du

=NXn=1

Z un

un−1[g (u)− g (un)] sin ru du

+NXn=1

g (un)

Z un

un−1sin ru du.


Tar vi absoluttverdi får vi¯̄̄̄Z b

ag (u) sin ru du

¯̄̄̄≤

NXn=1

Z n

un−1|g (u)− g (un)| |sin ru| du+

NXn=1

|g (un)|¯̄̄̄¯Z un

un−1sin ru du

¯̄̄̄¯ .

Siden |sin ru| ≤ 1 og |g (u)− g (v)| < ε

2 (b− a)får vi i det første integralet

at Z un

un−1|g (u)− g (un)| |sin ru| du <

ε

2 (b− a)

b− a

N.

Antiderivasjon i det andre integralet gir¯̄̄̄Z un

un−asin ru du

¯̄̄̄≤ |cos run|+ |cos run−1|

r≤ 2

r.

Vi har også at g (u) er kontinuerlig på det lukkede og begrensede intervallet[a, b] og dermed er g (u) også begrenset på dette intervallet, la oss si |g (u)| ≤K, og da er ¯̄̄̄Z b

ag (u) sin ru du

¯̄̄̄< N

ε

2N+2KN

r.

Når r >4KN

εfår vi

2KN

r<

ε

2og dermed er¯̄̄̄Z b

ag (u) sin ru du

¯̄̄̄<

ε

2+

ε

2= ε,

som ønsket.Så trenger viDirichlets integral, som spiller tilsvarende rolle som Dirichlet-

kjernen i forrige kapittel. Verdien var kjent også for Fourier, og han skrevselv:

”Undersøk først det bestemte integraletZ ∞

0dxsinx

x, som vi

vet er lik1

2π [JF, s. 426].”

og tidligere (om det samme integralet)

”Denne verdien har vært kjent en tid [JF, s. 346].”

La oss først beregne dette integralet. Vi får da bruk for følgende begrep:

Definisjon 39 (Ensidig deriverte) Vi definerer de ensidig deriverte frahøyre og venstre henholdsvis ved

g0H (y) := limx→y+

g (x)− g (y+)

x− y

99

og

g0V (y) := limx→y−

g (x)− g (y−)x− y

,

dersom disse grensene eksisterer.

Lemma 40 (Dirichlets integral)Z ∞

0

sinx

xdx =

π

2.

Bevis. Vi viser først at integralet konvergerer. Siden både sinx og x

er kontinuerlige overalt, ersinx

xkontinuerlig overalt hvor den er definert.

Integranden er ikke definert i 0, men vi vet at limx→0

sinx

x= 1 (se f.eks. [TG,

s.106] for en enkel utledning), så denne grensen eksisterer. Dermed vet viat integranden er stykkevis kontinuerlig på alle intervaller på formen [0, k] .Da kan vi sette oppZ ∞

0

sinx

xdx = lim

k→∞

Z k

0

sinx

xdx

=

Z 1

0

sinx

xdx+ lim

k→∞

Z k

1

sinx

xdx.

Delvis integrasjon i det andre ledd girZ k

1

sinx

xdx =

∙−1xcosx

¸k1

−Z k

1− 1x2cosxdx

= −cos kk

+ cos 1−Z k

1

cosx

x2dx.

Siden k er positiv er

¯̄̄̄cos k

k

¯̄̄̄≤ 1

kog da er lim

k→∞cos k

k= 0. Videre har vi at¯̄̄cosx

x2

¯̄̄≤ 1

x2. Nå vet vi atZ ∞

1

1

x2dx = lim

k→∞

Z k

1

1

x2dx = lim

k→∞

∙−1x

¸k1

= limk→∞

µ−1k+ 1

¶= 1.

Dermed vet vi at integraletZ ∞

1

cosx

x2dx = lim

k→∞

Z k

1

cosx

x2dx

er konvergent. Det følger da atZ ∞

0

sinx

xdx konvergerer, la oss si mot I.

Det vil si

limk→∞

Z k

0

sinx

xdx = I.


Vi oppnår samme grense når telleren går over N, altså

limn→∞

Z (2n+1)π2

0

sinx

xdx = I.

Substitusjonen x =(2n+ 1)u

2gir dx =

2n+ 1

2du slik at

I = limn→∞

Z (2n+1)π2

0

sinx

xdx = lim

n→∞

Z π

0

sin (2n+1)u2(2n+1)u

2

2n+ 1

2du

= limn→∞

Z π

0

sin (2n+1)u2

udu.

Vi undersøker så limn→∞

Z π

0

sin (2n+1)u2

udu. Minner da om at Dirichlet-kjernen

kan skrives

Dn(u) =sin¡n+ 1

2

¢u

sinu

2

.

Sett

g (u) :=sin u

2u2

og vi får

I = limn→∞

Z π

0

sin u2

uDn (u) du = lim

n→∞1

2

Z π

0g (u)Dn (u) du.

Funksjonen g (u) er stykkevis kontinuerlig på intervallet 0 < u < π. Vi vetat g (0+) = 1. Vi kan da vise at den ensidig deriverte fra høyre eksisterer:

g0H (0) = limu→0+

g (u)− g (0+)

u= lim

u→0+g (u)− 1

u.

L’Hopitals regel tre ganger gir nå at

g0H (0) = limu→0+

g0 (u) = limu→0+

Ãu cos u2 − sin u

212u2

!

= limu→0+

Ãcos u2 − 1

2u sinu2 − 1

2 cosu2

u

!

= limu→0+

µ−12sin

u

2− 12

µsin

u

2+ u

1

2cos

u

2

¶+1

4sin

u

2

¶= 0,

101

og dermed eksisterer g0H (0) . Vi kan nå dele opp integralet slik:Z π

0g (u)Dn (u) du

=

Z π

0[g (u)− g (0+)] Dn (u) du+

Z π

0g (0+) Dn (u) du

=

Z π

0

g (u)− g (0+)

sin u2

sin

µn+

1

2

¶u

+g (0+)

Z π

0Dn (u) du.

I det siste integralet har vi fra avsnittet omDirichlet-kjernen atZ π

−πDn (u) du =

2π. På grunn av symmetri ser vi atZ π

0Dn (u) du = π. Sett

h (u) :=g (u)− g (0+)

sin u2

i det første integralet. Denne funksjonen er også stykkevis kontinuerlig på0 < u < π. Vi har

h (0+) = limu→0+

h (u) = limu→0+

g (u)− g (0+)12 (u− 0)

limu→0+

u2

sin u2

= g0H (0) · 1 = g0H (0) .

Siden vi viste at g0H (0) eksisterer, eksisterer også h (0+). Riemann-Lebesgueslemma gir at.

limn→∞

Z π

0[g (u)− g (0+)] Dn (u) du = 0.

Altså har vi da at

limn→∞

1

2

Z π

0g (u) Dn (u) du = 0 +

1

2g (0+) (0 + π) =

π

2g (0+) ,

og vi kan konkludere med atZ ∞

0

sinx

xdx =

π

2,

som vi ønsket å vise.

Lemma 41 Anta g (u) er stykkevis kontinuerlig på [a, b] ⊂ [0,∞) og at denensidig deriverte fra høyre g0H (0) eksisterer. Hvis det uekte integraletZ ∞

0|g (u)| du


konvergerer så er

limr→∞

Z ∞

0g (u)

sin ru

udu =

π

2g (0+) .

Bevis. Siden både g (u) ogsin ru

uer stykkevis kontinuerlige på [a, b],

er også g (u)sin ru

ustykkevis kontinuerlig her. For u ≥ 1 har vi også¯̄̄̄

g (u)sin ru

u

¯̄̄̄≤ |g (u)| . Siden

Z ∞

0|g (u)| du er konvergent så vil også

Z ∞

0g (u)

sin ru

udu

være konvergent.La oss først se på et begrenset intervall [0, k] der g (u) er stykkevis kon-

tinuerlig, og der g0H (0) eksisterer. Integralet blir daZ k

0g (u)

sin ru

udu =

Z k

0

g (u)− g (0+)

usin ru du+

Z k

0

sin ru

ug (0+) du.

Sett

h (u) :=g (u)− g (0+)

u

Denne er stykkevis kontinuerlig på [0, k] og det følger av Riemann-Lebesgueslemma at første ledd går mot null, det vil si

limr→∞

Z k

0

g (u)− g (0+)

usin ru du

= limr→∞

Z k

0h (u) sin ru du = 0.

I det andre leddet foretar vi substitusjonen x = ru som gir

limr→∞

Z k

0

sin ru

ug (0+) du = g (0+) lim

r→∞

Z kr

0

sinx

xdx.

MenZ ∞

0

sinx

xdx er jo Dirichlets integral, og da er

limr→∞

Z k

0

sin ru

ug (0+) du = g (0+)

π

2.

La nå ε > 0 være gitt. Da kan vi finne r stor nok til at¯̄̄̄Z k

0g (u)

sin ru

udu− π

2g (0+)

¯̄̄̄<

ε

2.

6.1. FOURIERS INTEGRALTEOREM 103

Vi merker oss nå at¯̄̄̄Z ∞

kg (u)

sin ru

udu

¯̄̄̄≤Z ∞

k

¯̄̄̄g (u)

sin ru

u

¯̄̄̄du ≤

Z ∞

k

¯̄̄̄g (u)

u

¯̄̄̄du.

Antar vi nå at k ≥ 1 så er dette mindre ennZ ∞

k|g (u)| du. Vi kan da velge

k så stor atZ ∞

k|g (u)| du <

ε

2.¯̄̄̄Z ∞

0g (u)

sin ru

udu− π

2g (0+)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄Z k

0g (u)

sin ru

udu+

Z ∞

kg (u)

sin ru

udu− π

2g (0+)

¯̄̄̄≤

¯̄̄̄Z k

0g (u)

sin ru

udu− π

2g (0+)

¯̄̄̄+

¯̄̄̄Z ∞

kg (u)

sin ru

udu

¯̄̄̄≤ ε

2+

ε

2= ε,

som var det vi ønsket å vise.

6.1 Fouriers integralteorem

Teorem 42 (Fouriers integralteorem) [B/C, s.211] La f være stykkeviskontinuerlig på ethvert begrenset intervall på x-aksen, og antaZ ∞

−∞|f (x)| dx

konvergerer. Da vil Fourierintegralet

1

π

∞Z0

⎡⎣ ∞Z−∞


⎤⎦ dω

konvergere til middelverdien

f (x+) + f (x−)2

der begge de ensidige deriverte f 0H (x) og f0V (x) eksisterer.

Bevis. Minner om atZ ∞

0f (t) dt = lim

k→∞

Z k

0f (t) dt pr. def.

1

π

∞Z0

⎡⎣ ∞Z−∞


⎤⎦ dω = limr→∞

1

π

Z r

0

Z ∞

−∞f (t) cosω (t− x) dt dω

= limr→∞

1

π

Z r

0

Z ∞

xf (t) cosω (t− x) dt dω

+ limr→∞

1

π

Z r

0

Z x



Sett

I1 :=

Z r

0

Z ∞

xf (t) cosω (t− x) dt dω

og

I2 :=

Z r

0

Z x


(i) Se først på I1. Vi bruker her substutisjonen u = t− x, du = dt, som gir

I1 =

Z r

0

Z ∞

xf (t) cosω (t− x) dt dω =

Z r

0

Z ∞

0f (x+ u) cosωudu dω.

Vi vil vise at det innerste integralet konvergerer uniformt. Vi ser at

|f (x+ u) cosωu| ≤ |f (x+ u)| .Siden u = t− x har viZ ∞

0|f (x+ u)| du =

Z ∞

x|f (t)| dt ≤

Z ∞

−∞|f (t)| dt,

og Weierstrass1 M-test gir da atZ ∞

0f (x+ u) cosωudu konvergerer uni-

formt med hensyn på ω på grunn av antakelsen i teoremet. Dermed vil ogsåI1 eksistere, og vi kan integrere i den rekkefølge vi vil (jf. appendix C).Dermed får vi

I1 =

Z ∞

0

Z r

0f (x+ u) cosωudω du =

Z ∞

0f (x+ u)

sin ru

udu.

Lemma 41 gir dalimr→∞ I1 =

π

2f (x+) .

(ii) Se så på I2. Her bruker vi substitusjonen u = x− t, du = −dt for åfå

I2 =

Z r

0

Z ∞

0f (x− u) cosωudu dω =

Z ∞

0f (x− u)

sin ru

udu.

Igjen gir lemma 41 atlimr→∞ I2 =

π

2f (x−) .

Vi har altså vist at

1

π

Z ∞

0

Z ∞

−∞f (t) cosω (t− x) dt dω =

1

πI1 +

1

πI2 =

f (x+) + f (x−)2

,

som ønsket.1Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-97), tysk matematiker som ble spesielt

kjent for arbeider innen reell og kompleks funksjonsteori. Oppdaget f.eks. en kontinuerligkurve uten tangent i et eneste punkt. Også opptatt av å innføre mer presisjon i matem-atikken.

6.2. LITTERATUR 105

6.2 Litteratur[TWK] Körner: Fourier analysis

Cambridge university press (1988); 0-521-25120-6[D/McK] Dym, McKean: Fourier series and integrals

Academic press ltd (1972)[B/C] Brown, Churchill: Fourier series and boundary value problems 6 th ed.

McGraw-Hill Higher education (2001)[JM] Mason: Thinking mathematically

Addison Wesley Publishing Company (1982); ISBN: 0201102382[PRA] Andenæs: MNFMA219 Reell analyse

NTNU[TL1] Lindstrøm: Kalkulus

Universitetsforlaget AS (1995); ISBN: 82-00-22472-4[JF] Fourier: The analytical theory of heat

Dover publications (1955)[TG] Gulliksen: Matematikk i praksis

Universitetsforlaget AS (1996); ISBN: 82-00-22548-8


Kapittel 7

PARALLELL TILUNDERVISNING

I Læreplanen finner vi følgende:

”Matematikk har lange historiske tradisjoner og har alltidvært en viktig del av vår kultur. (...) Opplæringen i faget harsom mål at elevene utvikler innsikt i matematikkens historie ogfagets rolle i kultur og vitenskap.”

Dette utdraget fra læreplanen viser at matematikkens historie står sterkerei skolematematikken enn på lenge. Vi aner kanskje en sammenheng mellomFouriers problemer og det elever sliter med i skolematematikken, både i denvideregående skolen og på høgere nivå. Vi skal nå se en gang til på dissebegrepene i dagens skole.

Et par pedagogiske begrep som står sentralt i den forbindelse:

• Assimilering - Det vil se hvordan man setter gammel kunnskap i sam-menhenge med ny kunnskap. Altså hvordan man binder sammen detman vet fra før, med det man skal lære.

• Skjematenkning - Begrepet skjema betegner det mentale bildet hverenkelt danner seg av et bestemt lærestoff.

I boken Thinking mathematically [JM], som er brukt i lærerutdanningen,trekkes det opp retningslinjer for hvordan matematiske problemer kan løses.Flere begreper som blir drøftet i denne boken passer godt inn i forløpet tilproblemet med konvergens av Fourierrekker.

• Getting involved, er et aspekt ved å tenke matematisk. Fourier selvvar jo i høyeste grad veldig inne i vitenskapen. Det var nøye under-søkelse av eksperimenter med varmelære som gjorde at han utvikletnye matematiske ideer.

107

108 KAPITTEL 7. PARALLELL TIL UNDERVISNING

• Et annet begrep er mulling, som symboliserer at man ikke helt lar etproblem slippe unna tankene, selv om man ikke har fokus 100% på dethele tiden.

• Til slutt oppnår man forhåpentligvis insight, noe man også godt kunnekalt A-ha-opplevelsen. En slik kunne for eksempel være å oppdagesammenhengen mellom Fourier-koeffisientene og arealet under funksjo-nen man skulle utvikle.

• Kanskje det beste eksemplet på at Fourierteorien følger mønsteret iløsningen av et standardproblem er begrepet stuck. Som det blir sagti [JM]: ”Being STUCK is a great state!”. Hva menes med dette? Jo,forfatteren mener at det å være stuck er en veldig viktig del av denkreative prosessen. Poenget er at det er da man virkelig har mulighetentil å lære noe nytt! Slik er det nok også med elevene i skolen i dag.Når de står virkelig fast, har de en gylden mulighet til å tilegne seg nykunnskap.

Har vi i dag noe hjelpemiddel for å hjelpe elever og studenter gjennomen slik fase? Et virkemiddel som Fouriers samtid iallfall ikke var i besittelseav var datamaskiner. Datamaskiner i undervisningen er ofte uglesett avmange. En kritikk man med rette kan anvende, er at man ikke er i stand tilå bevise noenting ved hjelp av en datamaskin. Men som en pekepinn på veitil et resultat kan de være av uvurderlig hjelp.

I appendixet finner vi en seksjon om Gibbs fenomen. Dette fenomenet blejo oppdaget nettopp på grunn av at Michelson hadde matet en maskin meden datamengde han mente var tilstrekkelig for å få resultatet han ønsket.Men når han senere studerte partialsummene i Fourierrekka han undersøkte,ble han ikke kvitt de ”hattene” som vi nå altså kjenner som Gibbs fenomen- og som vi vet skyldes forskjellen mellom punktvis konvergens og uniformkonvergens.

7.1 Funksjonsbegrepet

Her kunne gjerne situasjonen for elever og studenter vært en annen. Eleveri videregående skole kommer gjerne til høgere utdanning med forestillingenat en funksjon er en kurve i planet (eller som mange elever tror; en strekpå papiret), og framstillingen man etterhvert kom til, nemlig at det dreideseg om sammenhenger mellom variable, kunne vært klarere. Studenter iNTNU-faget MNFMA001 (for mange det første møte med flerdimensjonalanalyse) møter for eksempel funksjoner som beskriver temperatur i rommet,kanskje er de av typen T (x, y, z, ) = x2 + y2 + z2. Hvordan skal man kunneassimilere et slikt begrep hvis man er fastlåst til sine gamle begreper? Oghvem fikk vel høre i 2MX / 3MX at det fins funksjoner av typen 1Q (x) som


nevnt tidligere? Man kan vel innvende at slike funksjoner ikke står sentralti videregående skoles matematikk-pensum, men det må vel ligge et poeng iå vite at de fins? I alle fall bør lærere være klar over situasjonen.

En måte å illustrere en slik sammenheng, og som kan forstås tidlig, er en”funksjonsmaskin”. For å vise at man ikke er fastlåst til et enkelt uttrykk,kan man demonstrere med en mystisk maskin som produserer f (x) etterhvert som den blir matet med x. Og at f bare er navnet på maskinen. En slikPetter Smart-maskin viser på en fin måte at det dreier seg om samhørendeverdier (x, y) og at man ikke nødvendigvis har en formel.

En slik tenkemåte, eller skjema om en vil, er også fruktbart med tanke påsenere anvendelser i programmering av datamaskiner. Da skal man gjernefinne et uttrykk som tilsynelatende ikke har med grafer å gjøre, men snareresammenhenger mellom input og output.

7.2 Integralbegrepet

Ved høgere utdanning ergrer man seg ofte over nye studenters oppfatningav integralbegrepet. Tendensen har i lang tid vært at elever i videregåendeskoler sitter med oppfatningen at integrasjon er nøyaktig det samme somantiderivasjon. Selv om hverken lærere eller skolebøker legger fram akku-rat denne påstanden, så burde kanskje situasjonen blitt klarere framstilt.At en slik oppfatning er uheldig også med tanke på videre studium er op-plagt og velkjent. En elev som makter å løse de integralene han/hun blirpresentert for i videregående skoles matematikk blir lett litt oppgitt når enpå universitet og høgskoler begynner å lage Riemann-summer. Lang tidbrukes for å få fundamentalteoremet etablert. ”Hva er vitsen med å gjøredet så tungvint?” (Hva slags skole har man havnet på hvis man ikke vetat det er bare å antiderivere?) Ergrelsen er vel heller ikke så vanskelig åforstå. På en måte kan man si at mange elever har det samme problemetmatematikerne hadde på Fouriers tid med at man hadde sett seg blind påfundamentalteoremet.

Selv om grensebegrepet er vanskelig, ville det ikke være mer nærliggendefor skoleelever å tenke seg integralet som en sum av tynne biter enn som enantiderivert?

Et eksempel fra virkeligheten: En skoleklasse (3MX) på 11 elever fikkspørsmålet ”hva er et integral?” Ti av elevene svarte ”antiderivasjon”.

Kanskje er også skolebøkene for uklare på dette området. Det trengskanskje ikke så mye for å pensle elevene inn på rett spor heller. Se på deførste linjene i en eldre utgave av boken 2MN [S/Ø].

”I dette kapitlet skal vi lære å integrere funksjoner. Det skriver vi slik:Rf (x) dx. Vi kan tolke integrasjonen geometrisk som å finne arealet mel-

lom grafen til en funksjon og x-aksen.”


Figur for å illustrere Leibniz’ ”uendelige sum av uendelig tynne rektangler”

Leser man litt videre i denne introduksjonen kommer man straks innpåLeibniz’ tanker om at integrasjon var å summere ”alle tynne linjer” underen graf. Da kan vel ikke veien være særlig lang til å skjønne hovedideen?Riktignok nevnes ikke at integralet av en funksjon som ligger under x-aksenkommer ut som negativt og dermed vanskelig kan ses på som et areal, mendette kommer man inn på litt senere.

En måte å takle dette problemet på i undervisningen er for eksempel åta i bruk IKT-hjelpemidler. Programvare til bruk i undervisningen er gjerneuglesett både av lærere og pedagoger, men akkurat i tilfellet innføring avintegrasjonsbegrepet kan de etter min mening så absolutt finne sin plass. Etkjent pedagogisk prinsipp er at elever må presenteres for mange eksemplerinnenfor en kort tidsperiode for å lære et nytt begrep. Riemann-summer tarimidlertid ganske lang tid å illustrere om man skal tegne og regne på et stortantall søyler for hånd. Etter å ha prøvd det ett par ganger for hånd kanman gjerne overlate til et dataprogram å ytterligere få klarhet i begrepet.Med IKT kan man på kort tid presentere mange situasjoner som illustrererkonseptet med arealet under en graf som grensen for en sum. Figuren under(og tidligere i teksten her) er hentet fra programmet Graf-X-pert ( c° JosteinVåge), som er utviklet spesielt med tanke på undervisning :


Illustrasjon av trapes-metoden.

Selve eksperimentet blir det samme, men med slike hjelpemiddel kanelever selv forandre antallet søyler til praktisk talt så mange de vil. Mantrenger ikke tenke på de regnetekniske vanskelighetene i første omgang, menbare studere selve egenskapen til integralbegrepet. Funksjonen kan selvføl-gelig raskt endres, integrasjonsmetoden likeså (Simpsons metode, trapesme-toden, osv).

Nå når matematikkens historie stadig blir mer vektlagt i skolen (L97)kan man kanskje se langt bak i tiden for å få noen gjennomførbare ideermed tanke på innføring av integralet. Hvordan startet det hele? Det ernesten ikke grenser for hvor langt tilbake man kan spore selv integrasjon-sideen. Ideen er jo enkel; ”mange bekker små blir en stor å”. AlleredeArkimedes1 hadde en slags integralteknikk. Et kjent eksempel er måten hanfant arealet av en sirkel på. La oss se på hvordan han kunne finne et sliktareal ved å anvende en tenkemåte lik den vi prøver å overføre til elevene[TL2]. Arkimedes ville regne ut arealet av en sirkelen og ideen hans var åtilnærme dette arealet med arealer han behersket utregningen av. Han lageten omskreven og en innskreven mangekant i sirkelen, og denne delte da oppsirkelen i innskrevne og omskrevne trekanter (For øvrig kan alle mangekan-ter deles opp i trekanter - et viktig poeng i ungdomsskolen!). Jf., Darboux’sideer. Se figuren under.

1Arkimedes (287 - 212 f.Kr.), gresk filosof og matematiker. Mest kjent for sine plan-geometriske arbeider, men arbeidet også med mekanikk og hydrostatikk. Vi kjenner tilArkimedes’ lov, Uttømmingsmetoden Arkimedes’ aksiom, m.m.


Innskreven mangekant

Omskreven mangekant

Ved hjelp av formelen sin 2x = 2cosx sinx får vi da at arealene av dissemangekantene er

Ainnskrevet = n1

22 r

µsin180

n

¶r

µcos

180

n

¶=

n

2r2 sin

360

nog

Aomskrevet = n1

22r tan

180

nr

= nr2 tan180

n.

7.3. KONVERGENSBEGREPET 113

Arealet til sirkelen må ligge mellom disse to verdiene, altså

n

2

µsin360

n

¶r2 < πr2 < n

µtan

180

n

¶r2

n

2sin360

n< π < n tan

180

n.

Dermed kunne han bestemme π så nøyaktig han bare hadde tid til ved åøke n. Som vi ser bygger vårt integralbegrep egentlig på nøyaktig samme idesom Arkimedes’ arealberegning.

I [TL1, s.339] er det forresten en fin konklusjon med et forslag til hvordanstudenter skal forstå integralbegrepet:

”Hva blir så konklusjonen på dette avsnittet? At man børtenke på integralet på to forskjellige måter: Når det gjelder denteoretiske definisjonen og de praktiske anvendelsene bør mantenke på integralet som en grense av trappesummer, men nårdet gjelder utregningen av integraler, er det mye mer effektiv åtenke på antiderivasjon. Analysens fundamentalteorem sier atdisse to tenkemåtene stemmer overens.”

7.3 Konvergensbegrepet

Begrepene uendelig og konvergens viser seg - i likhet med grensebegrepet -erfaringsmessig å være tunge å fordøye for skoleelever. I [S] har vi en morsomformulering forfatterens lærer benyttet seg av:

”...you can get as close to the limit as damned it!”

Fourierrekker viste seg å være en morsom måte for elever (på 2MX-nivå) å få rekkebegrepet innført på. Igjen er det Fouriers aller første ogaller enkleste eksempel som er et flott eksempel med gode og pedagogiskepoenger. Vi minner om trappefunksjonen fra kapittel 1, der vi på intervallet(−1, 1) kan skrive

1 =4

π

∙cos

πx

2− 13cos

3πx

2+1

5cos

5πx

2− 17cos

7πx

2+ · · ·

¸.

Vi nevnte ikke noe om hvordan man skulle finne koeffisientene (integralbe-grepet innføres jo ikke før i 3MX). Elever i videregående skoler i dag hartilgjengelig grafisk kalkulator, og kan bruke den til lett å justere hvor mangeledd de skal ta med i summen. Elevene fikk altså trent seg i mange aspekterved å plotte partialsummer på kalkulatoren.

• De fikk oppgitt de første ledd i rekka og skulle gjette de følgende selv.


• De forsøkte å plotte partialsummene både ved å skrive inn ledd forledd, og senere ved å bruke summe-notasjonen på kalkulatoren

• Man kunne observere hvordan man kunne legge sammen funksjoner,der man hadde forskjellige frekvenser i cosinus-leddene, for å produsereandre funksjoner.

• Man så at summene nærmet seg en trappefunksjon, og til og medGibbs fenomen kunne observeres etterhvert.

Det virket iallfall som om elevene kunne ane viktigheten av uendelig-begrepet, og spørsmålene de stilte skulle tyde på at de hadde fått med segflere viktige poeng:

• Hvor mange ledd må man ha før det blir helt riktig?

• Når forsvinner de små hattene på kantene?

Avslutningsvis vil jeg nevne et prosjekt ved Transnational college ofLEX. Der [LEX] har man brukt Fourieranalysen som utgangspunkt for åoppnå grunnlag for å analysere stemmebruk. Under dette prosjektet, somman kalte The Fourier adventure, handler det like mye om læringspros-essen som om Fourier og hans matematikk. Etterhvert som man kom lengerinn i Fourieranalysen åpenbarte det seg nye aspekter som elevene kunnestudere. Blant temane finner vi egenskaper ved trigonometriske funksjoner,derivasjon for å finne fart og akselerasjon til objekter, integrasjon for åfinne tilbakelagt distanse for et objekt, komplekse tall, eksponensialfunksjo-nen, vektorer m.m. De vanskeligste temaene i forbindelse med konver-gens og intrikate deler av bevisene er naturlig nok utelatt. Kanskje kunneet tilsvarende tema vært velegnet for valgfag i matematikk i den norskevideregående skole også?

7.4. LITTERATUR 115

7.4 Litteratur[S/Ø] Sandvold/ Øgrim: 2MN

[JM] Thinking mathematicallyAddison Wesley Publishing Company (1982); ISBN: 0201102382

[TL2] Lindstrøm: Tilnærming til integralbegrepetArtikkel i ”Nye og gamle emner i matematikk”Hefte utgitt i fb.m. Faglig-pedagogisk dag 19.11.1999

[S] Skemp: The psychology of learning mathematicsPenguin Books (1993); ISBN: 0140136193

[TL1] Lindstrøm: KalkulusUniversitetsforlaget AS (1995); ISBN: 82-00-22472-4

[LEX] Transnational College of LES: Who is Fourier?Language research foundation (2000); ISBN: 0-9643504-0-8

7.5 Dataverktøy

Graf-X-pertCabri


Tillegg A

Varmelikningen ogdivergensteoremet

Vi har (kap. 2) utledet varmelikningen ut fra fysiske betraktninger i endimensjon. En annen måte er å benytte Gauss’ divergensteorem. Dette erskissert i [E/P2, s.956], og det skal vi se litt på nå. Varmelikningen i tredimensjoner er

∂u

∂t= α2∇2u, (A.1)

der

∇2u = ∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2. (A.2)

Denne kalles Laplaceoperatoren. La oss først stille opp divergensteoremet forreferansens skyld:

Teorem 43 (Divergensteoremet) [E/P2] Anta S er en lukket, stykkevisglatt flate som avgrenser det romlige området B. La F = P i+Qj+Rk væreet vektorfelt der komponentfunksjonene P,Q og R har kontinuerlige førsteordens partielle deriverte på B. La n være den ytre normale enhetsvektorentil S. Da er ZZ

SF · n dS =

ZZZB∇ · F dV.

der

∇ =∂

∂xi+

∂

∂yj+

∂

∂zk.

Vi skal nå se på hvordan vi, på en litt mer moderne måte enn Fourier,kan komme fram til at en temperatur u(x, y, z, t) i punktet (x, y, z) ved tident måtte tilfredsstille likningen

α2µ∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

¶=

∂u

∂t

117

118 TILLEGG A. VARMELIKNINGEN OG DIVERGENSTEOREMET

Anta vi har et vilkårlig legeme B med flate S. Som før lar vi ρ væretettheten, c spesifikk varmekapasitet og u = u (x, y, z, t) temperaturen vedtiden t i posisjonen (x, y, z) i legemet. Varmemengden i et volumelementdV i et homogent legeme er da ρcu dV. Varmemengden (eng.: heat content)H (t) i legemet B ved tiden t er derfor

H (t) = ρc

ZZZB

u (x, y, z, t) dV.

Raten varmemengden endres med ved tiden t er

H 0 (t) = ρc

ZZZB

∂u

∂tdV. (A.3)

Den eneste måten varmemengden inne i B kan forandres på (når vi ser bortfra at den øker eller avtar på grunn av kjemiske reaksjoner) er at varmeen-dringen skjer på grunn av strømning gjennom flaten S. Som i det endimen-sjonale tilfelle er varmestrømmen proporsjonal med størrelsen til gradientenog flyter i negativ retning. Det vil si at vektoren −κ∇u gir orientering ogstørrelse av varmeoverføring per tidsenhet. Her er fortsatt κ termisk kon-duktivitet. Hvis vi da ser på et flateelement dS med normalvektor n, så er−κ∇u · n dS strømmen av varme inn eller ut gjennom denne flaten. Totalvarmemengde pr. tidsenhet ved tiden t, som når fram til B gjennom flatenS er da ZZ

S

κ∇u · n dS. (A.4)

Uttrykket i (A.3) må være lik det i (A.4), altså

ρc

ZZZB

∂u

∂tdV = κ

ZZS

∇u · n dS.

Divergensteoremet gir at

κ

ZZS

∇u · n dS = κ

ZZZB

∇ ·∇u dV

= κ

ZZZB

∇2udV.

Det vil si

ρc

ZZZB

∂u

∂tdV = κ

ZZZB∇2udV,

som gir ZZZB

µ∂u

∂t− κ

ρc∇2u

¶dV = 0.

119

Volumet B var tilfeldig valgt og temperaturen u er antatt å være glatt. Skalinteralet være 0 må da integranden være eksakt lik 0. Altså

∂u

∂t− κ

ρc∇2u = 0,

eller∂u

∂t=

κ

ρc∇2u = κ

ρc

µ∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

¶.

120 TILLEGG A. VARMELIKNINGEN OG DIVERGENSTEOREMET

Tillegg B

Fubinis teorem

Vi fikk i forbindelse med Fourierintegralet bruk for å kunne integrere ihvilken rekkefølge som helst. Det er ikke lenger snakk om en diskret sum avintegraler, men om dobbelt-integraler, eller itererte integraler. Vi må ha lovtil å bytte på integrasjonsrekkefølgen, men er det alltid tillatt? Bortsett franumeriske metoder, har vi ikke så mange andre måter å løse slike itererteintegraler på. Se på følgende eksempler:

Eksempel 44∞Z1

⎛⎝∞Z1

x2 − y2

(x2 + y2)2dy

⎞⎠ dx = −π4.

Med F (y) =y

x2 + y2, så er

F 0 (y) =1¡x2 + y2

¢− 2y (y)(x2 + y2)2

=x2 − y2

(x2 + y2)2,

slik at integralet blirZ ∞

1

µZ ∞

1

x2 − y2

(x2 + y2)2dy

¶dx =

Z ∞

1

∙y

x2 + y2

¸y=∞y=1

dx

=

Z ∞

1

µµlimk→∞

k

x2 + k2

¶− 1

1 + x2

¶dx

=

Z ∞

1

ÃÃlimk→∞

kk2

x2

k2+ 1

!− 1

1 + x2

!dx

=

Z ∞

10− 1

1 + x2dx

= −Z ∞

1

1

1 + x2dx = − [arctanx]∞1 = −

³π2− π

4

´= −π

4.

121

122 TILLEGG B. FUBINIS TEOREM

Eksempel 45 Z ∞

1

µZ ∞

1

x2 − y2

(x2 + y2)2dx

¶dy =

π

4.

Med F (x) = − x

x2 + y2, så er

F 0 (x) = −"1¡x2 + y2

¢− 2x (x)(x2 + y2)2

#= − y2 − x2

(x2 + y2)2=

x2 − y2

(x2 + y2)2,

og i dette tilfellet blir integraletZ ∞

1

µZ ∞

1

x2 − y2

(x2 + y2)2dx

¶dy =

Z ∞

1

∙− x

x2 + y2

¸∞1

dy

=

Z ∞

1

µµlimk→∞

k

y2 + k2

¶+

1

1 + y2

¶dy

=

Z ∞

1

ÃÃlimk→∞

kk2

x2

k2 + 1

!+

1

1 + y2

!dy

=

Z ∞

10 +

1

1 + y2dy

=

Z ∞

1

1

1 + y2dy = [arctan y]∞1 =

³π2− π

4

´=

π

4.

Som vi ser av ovenstående eksempel må vi enkelte ganger være forsiktigmed å bytte om på integrasjonsrekkefølgen i itererte integraler. Vi er altsåikke alltid garantert samme verdi for integralet når vi integrerer i forskjelligrekkefølge.

Remediet kom først med Lebesgue (som gjorde mesteparten av arbei-det), og siden fra to italienske matematikere, Fubini1 og Tonelli, som videre-førte Lebesgues arbeid. Fubinis bevis var ikke komplett og Tonelli utvidetLebesgues ideer fra begrensete funksjoner til det generelle tilfellet. Igjen erdet kanskje litt urettferdig at det er Fubinis navn som gjerne henger veddette resultatet.

Teorem 46 (Fubini) La f (x, y) : R2 → C være kontinuerlig og la(i) Z ∞

−∞|f (x, y)| dy

være kontinuerlig m.h.p x.(ii) Z ∞

−∞|f (x, y)| dx

1Guido Fubini (1879-1943), italiensk matematiker som blant annet arbeidet medintegral-likninger, gruppeteori og projektiv geometri.

B.1. LITTERATUR 123

være kontinuerlig m.h.p. y.Hvis da(iii) Z ∞

−∞

µZ ∞

−∞|f (x, y)| dx

¶dy

konvergerer, så vil Z ∞

−∞

µZ ∞

−∞f (x, y) dx

¶dy

og Z ∞

−∞

µZ ∞

−∞f (x, y) dy

¶dx

konvergere ogZ ∞

−∞

µZ ∞

−∞f (x, y) dx

¶dy =

Z ∞

−∞

µZ ∞

−∞f (x, y) dy

¶dx.

Beviset for Fubinis teorem kan finnes i bøker om videregående analyse,f.eks. i [B], men er ganske avansert. En målteoretisk utgave av teoremetfinnes i [R] der man får bruk for

B.1 Litteratur[B] Buck

[R] Royden: Real Analysis

124 TILLEGG B. FUBINIS TEOREM

Tillegg C

Gibbs’ fenomen

Vi har brukt en del tid på å vise hvordan Fourier-rekker konvergerer. Nå erdet på tide å vise at de ikke konvergerer så bra i alle tenkelige situasjoner.La oss se på Gibbs’ fenomen1 som er en betegnelse på hva som skjer medFourierrekker rundt diskontinuiteter.

Michelson2 konstruerte en maskin som kunne finne en funksjon ut fradens Fourierkoeffisienter. Etter å matet 80 koeffisienter inn i maskinen for-ventet Michelson å få ut en sagblad-funksjon, men fikk en utgave med tosmå ”hatter” nær diskontinuitetspunktene. Denne egenskapen er kanskjeenda lettere å observere når vi ser på Fourierrekka brukt i forbindelse medden tynne platen. Vi plotter s35, den 35’te partialsummen i Fourierrekka,og får følgende graf:

1Josiah Williard Gibbs (1839-1903), amerikansk teoretisk fysiker og kjemiker, op-prinnelig ingeniør. Kjent også for arbeider innen vektoranalyse og statistisk mekanikk

2Albert Abraham Michelson (1852-1931), polskfødt fysiker, flyttet til New Yorksom treåring. Den første amerikaner som vant Nobelprisen i fysikk (1907). Michelsonkom fra til oppsiktsvekkende resultater angående måling av lysfarten, som var hans storebesettelse.

125

126 TILLEGG C. GIBBS’ FENOMEN

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1x

Illustrasjon av Gibbs’ fenomen

Michelson var kjent som ekstremt dyktig med slike maskiner og bare bereg-ninger for hånd fikk overbevist han om at slike hatter faktisk eksisterte i par-tialsummen for en Fourierrekke. Man skulle tro at disse hattene forsvinneetter hvert som man beregnet flere og flere ledd (og det trodde nok Michel-son også), siden alt så ut til å konvergere. Men uansett hvor mange leddman beregnet, var fortsatt den totale feilen (altså feilen over funksjonen forx ≥ 0 pluss feilen under funksjonen for x < 0) på 17-18%.

Problemet ble omtalt av Gibbs i to brev han skrev til Nature i 1899.Hatten like til høyre for 0 er litt høyere enn grensen til funksjonen når vinærmer oss 0 fra høyre. Verdien vi skulle ønske rekka hadde er 1, men denser ut til å være nærmere 1.2. Det samme fenomenet inntreffer på undersidenav grafen når vi nærmer oss 0 fra venstre. Selv om vi hadde plottet mangeflere ledd i partialsummen, hadde ikke disse sup- og inf-verdiene til partial-summen ligget noe nærmere grafen. Dette til tross for at vi har punktviskonvergens på [−π, π]. Slik er dette også en god demonstrasjon på forskjellenmellom uniform og punktvis konvergens. Slike fenomener inntrer ikke veduniform konvergens. En snodig detalj oppi det hele; Igjen er det kanskje feilmann som har fått navnet sitt hengende ved begrepet. Henry Wilbrahamhadde nemlig gjordt de samme observasjoner over 50 år tidligere. I tilleggkom litt senere (1906) Maxime Bôcher mye lenger i sine analyser, nemligved å vise at en feil på 9% er en generell egenskap ved Fourierrekker nærdiskontinuitetspunkter. Så Gibbs kom ikke først med resultatet, ga ikke utnoe bevis og begrenset seg til et spesialtilfelle. Likevel kalles dette i dagGibbs’ fenomen.

Som et eksempel [B/N/B, s.481f] ser vi på funksjonen

f (t) :=

½ −1, −π ≤ t < 01, 0 ≤ t ≤ π

.

127

Vi skal vise at partialsummens feil er ca. 9% av størrelsen til diskontinu-iteten, nåde over og under grafen til denne funksjonen. Vi regner først utFourierrekka til f (t):

Først finner vi at

am =1

π

Z π

−πf (x) cosmxdx =

1

π

Z 0

−π− cosmxdx+

1

π

Z π

0cosmxdx

=1

π

∙sinmx

m

¸0−π+1

π

∙− sinmx

m

¸π0

= 0.

Dette kunne vi jo også lett forutsagt ved å merket oss at f (t) er en oddefunksjon. Vi finner også

bm =1

π

Z π

−πf (x) sinmxdx =

1

π

Z 0

−π− sinmxdx+

1

π

Z π

0sinmxdx

=1

π

hcosmx

m

i0−π+1

π

∙− cosmx

m

¸π0

=1

mπ(1− cos (−mπ)) +

1

mπ(− cos (mπ) + 1)

=1

mπ(2− cos (−mπ)− cos (mπ)) =

2− 2 (−1)mmπ

=2

π

(1− (−1)n)m

.

Altså er

bm =

(0, m like4

mπ, m odde

.

Vi setter derfor m = 2n− 1, slik at b2n−1 = 4

π (2n− 1) for n ∈ N. Fourier-rekka blir da

f (t) ∼ a02+

∞Xm=1

(an cosmt+ bm sinmt)

=4

π

∞Xn=1

sin (2n− 1) t2n− 1 .

Vi vet nå, etter Dirichlets bevis, at denne konvergerer mot f (t) , bortsettfra der vi har diskontinuitetspunkter. Det har vi i t = 0, og det er hervi skal observere Gibbs’ fenomen. Vi lar sn betegne n’te partialsum tilFourierrekka,

sn (t) :=4

π

nXk=1

sin (2k − 1) t2k − 1 .


Vi bruker som vanlig derivasjon for å undersøke ekstremalverdier. Derivasjonav partialsummen gir

s0n (t) =4

π

nXk=1

cos (2k − 1) t. (C.1)

Viser først atnX

k=1

cos (2k − 1) t = sin 2nt

2 sin t

Anta t 6= ±kπ, k ∈ N. Multilpliser så rekka med 2 sin t. Igjen trenger vi dentrigonometriske identiteten

sinx cos y =sin(x− y) + sin(x+ y)

2.

Vi får da

2 (sin t)nX

k=1

cos (2k − 1) t = 2 [(cos t+ cos 3t+ cos 5t+ · · ·+ cos (2n− 1) t)] sin t

= 2 (cos t sin t+ cos 3t sin t+ · · · cos (2n− 1) t sin t)= 2

µsin 0t− sin 2t

2+sin 2t+ sin 4t

2+ · · ·+ sin (2n− 2) t+ sin 2nt

2

¶= sin 2nt.

Altså ers0n (t) =

4

π

sin 2nt

2 sin t=2 sin 2nt

π sin t.

Kritiske punkt for f (t) er da 2nt = ±π,±2π, · · · ,± (2n− 1)π. Det gir atde nærmeste kritiske punkt ligger på t = ± π

2n. Derivasjon en gang til gir

s00n (t) =2

π

2n cos 2nt sin t− cos t sin 2ntsin2 t

Når vi setter inn for t = ± π

2nfår vi

s00n³± π

2n

´=

2

π

2n cos 2n¡± π

2n

¢sin¡± π

2n

¢− cos ¡± π2n

¢sin 2n

¡± π2n

¢sin2 π

2n

=2

π

2n cos (±π) sin ¡± π2n

¢sin2

¡± π2n

¢= − 2

π2n sin

³± π

2n

´Det vil si;

s00n³ π

2n

´= −4n

πsin³ π

2n

´< 0,

129

og

s00n³− π

2n

´= −4n

πsin³− π

2n

´> 0,

og vi har da topp for t = +π

2nog bunn for t = − π

2n. Vi konsentrer oss om

høyresiden av 0, da venstre side har tilsvarende argument. Plasseringen tildisse toppene vil nærme seg 0 både fra høyre og venstre hver for seg når ngår mot uendelig. Ved å sette inn for t finner vi

sn

³ π

2n

´=

4

π

nXk=1

sin¡(2k − 1) π

2n

¢2k − 1

=2

π

nXk=1

sin³(2k−1)π2n

´(2k−1)π2n

π

n.

Den siste summen er en Riemann-sum forsin t

tpå intervallet [0, π] med

maskevidde ∆t =π

n. Når n→∞ vil derfor denne summen konvergere mot

Riemann-integralet2

π

Z π

0

sin t

tdt,

slik at

limn→∞ sn

³ π

2n

´=2

π

Z π

0

sin t

tdt.

Dette er et kjent integral og verdien finnes i tabeller. Denne verdien er omlag1.179. Vi kan også tilnærme verdien ved Taylorpolynomet til sin t nær 0,

t− t3

3!+

t5

5!− t7

7!+ · · · ,

som gir

limn→∞ sn

³ π

2n

´=

2

π

Z π

0

sin t

tdt

=2

π

Z π

0

t− t3

3! +t5

5! − t7

7! + · · ·t

dt

=2

π

Z π

01− t2

3!+

t4

5!− t6

7!+ · · · dt

=2

π

∙t− t3

(3) 3!+

t5

(5) 5!− t7

(7) 7!+ · · ·

¸π0

=2

π

µπ − π3

(3) 3!+

π5

(5) 5!− π7

(7) 7!+ · · ·

¶= 2− π2

9+

π4

300− π6

17640+ · · · .


En tilnærmelse med to desimaler her blir 1.18. Derfor har vi

limn→∞ sn

³ π

2n

´' 1.18,

altså er verdien til partialsummen når vi nærmer oss 0 fra høyre omtrent9% større enn størrelsen på diskontinuiteten. Generelt kan vi si

limn→∞ sn

³ π

2n

´' s (0+) + 0.09 [s (0+)− s (0−)]

oglimn→∞ sn

³− π

2n

´' s (0−)− 0.09 [s (0+)− s (0−)] .

Documents

Fourieranalysen