Fourierov spektar signala - ts.zesoi.fer.hrts.zesoi.fer.hr/materijali/FourierTransform2007-2.pdf · Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak) 29/100 Slika prikazuje

1

Fourierov spektar signala

22/100/100

Fourierov red

Složeni periodički signal :

može se aproksimirati trigonometrijskim polinomom:

odnosno sumom eksponencijala.Za realni kompleksne amplitude su konjugirane.

)(~ tx

),(~)(~ nTtxtx += ZZ∈n

,)(~ 1ntjN

Nneatx

ω

−∑= ZZ∈nsinteza:

33/100/100

Fourierov red (nastavak)

nn jnn

jnnnn eAaeAaaa

ϕ−ϕ− ===

** , ;

Odatle izlazi Fourierov koeficient an

)()(~ 11 ntjjntjjnn eeeeAtx nnω−ϕ−ωϕ +=

)cos(2)(~ 1 nnn ntAtx ϕ+ω=

Koeficijenti an Fourierovog reda obično se određuju tako da se gornji red pomnoži s

i integrira u osnovnom periodu T.tjne 1ω−

][)(~12/

2/

1 nXdtetxT

aT

T

tjnn == ∫

−

ω−analiza:

44/100/100

Svojstva Fourierovog Reda

∑ ω= tjnenXtx 0][)(~

][)(~ nXtx ↔ )()(~ 0ω↔ nXtx Tπ

=ω2

0

)()()(~)(~ 00 ω+ω↔+ nbVnaUtvbtua

][][)(~)(~ nbVnaUtvbtua +↔+0( ) [ ] jnx t X n e ω ττ+ ↔

][)( 0 mnXetx tjm +↔ω

55/100/100

Svojstva Fourierovog Reda (nastavak)

cirkularna konvolucija

][][)(~*)(~1)(~ nGnFtgtfT

ty ⋅↔=

)(~)(~][*][][ tgtfnGnFnY ⋅↔=

vudtvtuT

tyT

T

~*~)(~)(~1)(~2/

2/

↔ττ−⋅= ∫−

)(~)(~][*][][ tvtunVnUnY ⋅↔=

∑∫∞+

−∞=−

==n

T

T

nXdttxT

P 22/

2/

2 ][)(~1

66/100/100

∫−

ω−ω

⎩⎨⎧

≠=

=2/

2/ ,0 ,

11

T

T

tjmtjn

nmnmT

dtee

Napisano općenito za vremenski kontinuirane i diskretne signale / 2

*

/ 2

, ( ) ( )

0,

T

n mT

T m nt t dt

m nϕ ϕ

−

=⎧= ⎨ ≠⎩

∫

Elementarni signali u Fourierovom redu su ekspo-nencijale, koje zadovoljavaju uvjet ortogonalnosti

Poopćenje Fourierovog reda

⎩⎨⎧

≠=

=ϕϕ∑−

nmnmK

kk nK

mn ,0 ,

)()(1

0

*

2

77/100/100

Pri predstavljanju složenih signala linearnom kombinacijom elementarnih signala, često se upotrebljavaju ortogonalne funkcije.

∑=

ϕ=N

nnn tatx

0

)(~)( ∑=

ϕ=N

nnn kakx

0

][~][ili

Koeficijenti an mogu se odrediti na temelju minimalne greške aproksimacije. Pogodna karakterizacija greške je integral ili suma kvadrata greške u danom intervalu.

∑ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∑ ϕ−

−=ε

=

2

1

2

121

][][1k

k

N

nnn kakxkk

Poopćenje Fourierovog reda (nastavak)88/100/100

Nađimo optimalne koeficijente a1 i a2 traženjem minimuma greške

0 ,021

=∂ε∂=

∂ε∂

aa[ ]{

[ ] }222112211

2

][][

][][][2][

kaka

kakakxkxk

ϕ+ϕ+

+ϕ+ϕ−=ε ∑

Pri kvadriranju sumacije otpadaju miješani članovi zbog ortogonalnosti, tako da izlaze uvjeti ekstrema:

Poopćenje Fourierovog reda (nastavak)

99/100/100

Odakle izlaze optimalni koeficijenti a1 i a2

2

222

22

1

121

11

][][][

][][][

Kkkkx

a

Kkkkx

a

α=ϕϕ

=

α=

ϕϕ

=

∑∑∑∑

0][2][][2

0][2][][22222

2111

=ϕ+ϕ−

=ϕ+ϕ−

kakkx

kakkx


Kvadratna greška aproksimacije konačnom sumom do N

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α−+

−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ−ϕ+

−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ−

−=ε

∑∑∑

∑ ∑∑

∑ ∑=

nnn

nnn

k

k

k

k nnn

nnn

k

k

N

nnn

aKakxkk

kaxakxkk

kakxkk

2][1

][2][1

][][1

22

12

222

12

2

112

2

1

2

1

2

1


1111/100/100

ako nadopunimo desne članove s

n

n

n

nnnn KK

aKa22

22 2 α−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ α+α−

n

n

K

2α+

funkcija kvadrat

n

n

n

nnn KK

Ka22 α

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α−izlazi


∑∑ α−=εn n

n

k Kkx

22 ][

odnosno zbog

∑∑ −=εN

nn

k

k

Kakx1

222

1

][

kako su sumandi nenegativni može se zaključiti da s većim N greške aproksimacije su sve manje.


nnnn KaK22 / =α

Budući da za optimalne koeficijente vrijedinajmanja greška je dana snnn Ka /α=

3

1313/100/100

∑k

kx ][2Kad N raste bez granica suma ()

konvergira sumi

∑n

nn Ka2

što predstavlja

U tom slučaju vrijedi

∑∑ ==

N

nn

K

k

Kakx1

2

1

2 ][

što je generalizirani oblik Parsevalove relacije.


energiju signala.

1414/100/100

Ako vrijedi za neki niz x[k] kaže se da suma

∑ ϕn

nn ka ][ u prosjeku konvergira nizu x[k].


1515/100/100

Vremenski diskretni Fourierov red (DFT)

Uzmimo periodičan niz za koji vrijedi

Kao kod kontinuiranog periodičnog signala može se razložiti na sumu periodičkih sinusoida ili eksponencijala frekvencija koje su cjelobrojni višekratnici osnovne 2π/N

],[~][~ Nrkxkx += ZZ∈r

2 2 [ ][ ] [ ]

nj kn j k rNN N

n ng k e e g k rNπ π

+= = = +

1616/100/100

Vremenski diskretni Fourierov red (DFT) (nastavak)

Budući da su eksponencijale diskretne najviša frekvencija koja se može jednoznačno predstaviti je s n=N-1. Sve ostale n≥N mogu se naći među onima iz intervala [0, N-1]. Među svim eksponencijalama perioda N mogu se dakle naći samo N različitih

110 ,,, −Nggg K

K ],[][],[][:jer 110 kgkgkgkg NN +==

1717/100/100

Periodičan niz ][~ kx dakle se može predstavitis N diskretnih eksponencijala

∑−

=

π

=1

0

2

][~N

n

nkN

j

neakx

Optimalni koeficijenti koji osiguravaju minimum sume kvadrata greške mogu se dobiti iz općeg izraza za razlaganje signala na ortogonalne nizove.


1818/100/100

Optimalni koeficijenti su:

21 1*

0 01

*

0

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

nkN N jN

n

n N

n n

x n k x k ea X n

Nk k

π

ϕ

ϕ ϕ

− − −

−= = =∑ ∑

∑%


4

1919/100/100

Kako se vidi niz koeficijenata an je također periodičan niz tj.s periodom N:

][~ nXaa Nnn == +2 / 2 / 2 / .j kn N j krN N j kn Ne e eπ π π⋅ =


Koeficijent 1/N se nekad pridružuje izrazu za .

čine par izraza koji se nazivaju diskretnom Fourierovom transformacijom (DFT)

∑−

=

π

=1

0

2

][~][~N

n

nkN

jenXkx

21

0

1[ ] [ ] ;nkN j

NX n x k eN

π− −= ∑% %

DFT povezuje N uzoraka jednog perioda periodičkog signala s N uzoraka periodičkog spektra.

][~ kx

2020/100/100

Suma kvadrata greški VDFR-a ili DTFT-a se može dobiti iz općeg izraza () i

⎩⎨⎧

≠=

=∑−

=

−π

mnmnN

eN

k

mnkN

j

,0 ,1

0

)(2

.0][1

0

21

0

2 ∑∑−

=

−

=

=−=εN

nn

N

kNakx


NKn =

Pogreška aproksimacije

2121/100/100

∑∑−

=

−

=

π−==

1

0

1

0

2

][][][N

k

nkN

k

Nnkj

WkxekxnX

21 1

0 0

[ ] [ ] [ ]nkN Nj nkN

n n

x k X n e X n Wπ− −

−

= =

= =∑ ∑

.2N

jeW

π−=


2222/100/100

Izvan područja n∈[0, N-1] se nizovi signala i spektra ponavljaju.Izraz [k-i]modN znači da [k-i] treba dijeliti s N i sačuvati samo ostatak.Da bi se preko cirkularne konvolucije stiglo na linearnu trebat će nadopuniti impulsima oba niza tako da period bude jednak dužini linearnekonvolucije.Za slučaj dužine sekvencije M i N linearnakonvolucija će biti dužine M+N-1.

Periodičnost niza i periodičnost spektra

2323/100/100

Odziv sustava kao linearna konvolucija traži više multiplikacija nego pretvorba u spektar oba signala pobude i odziva na uzorak množenjem spektara i inverzijom.

Periodičnost niza i periodičnost spektra (nastavak)2424/100/100

Linearnost

Svojstva DTFS (DFT)

Nkij

enXNikxπ−

↔−2

][~}mod][~{Posmak

][~][~]}[~][~{DTFS nVbnUakvbkua +=+

Konvolucija cirkularna

][~][~][~mod][~1

0

nVnUivNikuN

i

⋅↔−∑−

=

∑∑−

=

−

=

=1

0

21

0

2 ][~][~N

n

N

k

nXkx

Parseval

5

2525/100/100

Vremenski diskretna Fourierovatransformacija

Jednostavan prijelaz iz Fourierovih redova u transformaciju može se dobiti prikazom aperiodičkog signala kao graničnog slučaja periodičkog signala kad period ponavljanja teži u beskonačnost.

2626/100/100

Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak)

⎩⎨⎧

≥

≤≤=

KkKkKkx

kx ,0

- ],[~][

Pretpostavimo da je aperiodički signal dan jed-nim periodom signala , koji je periodičan s N.

][kx][~ kx

12 += KN

2727/100/100

][~lim][ kxkxK ∞→

=

Kad K raste, razmak između sekcija signala se povećava, te za K→∞ replike se udaljavaju u beskonačnost.

Vremenski Diskretni Fourierov red periodičkog niza je:][~ kx

∑−=

π

=K

Kn

Nknj

enXkx2

][~][~21[ ] [ ]

knK jN

k K

X n x k eN

π−

=−

= ∑% %


2828/100/100

2

2

1[ ] [ ]

1 [ ]

nkK jN

k K

nkjN

k

X n x k eN

x k eN

π

π

−

=−

∞ −

=−∞

= =

=

∑

∑

Budući da je za iza izlazi

KkK ≤≤−][~][ kxkx =Kk >0][ =kx

je periodičan s N. Spektralni uzorci su s razmakom

][nX0/2 ω=π N


2929/100/100

Slika prikazuje uzorke spektra i njihovu ovojnicu, koja je periodična s 2π. Za veći N uzorci postaju sve gušći.


3030/100/100

∑∞

−∞=

ω−ω

ω=ω

ω

=

=

k

kjj

nj

ekxeX

eXN

nX

][)(

)(1][0

Zamislimo da tom nizu uzoraka na slici spektra odredimo normiranu ovojnicu kontinuiranu periodičku funkciju, tako da vrijedi

∑∞

−∞=

ω−

ω=ω

ω =k

kjnn

j ekxeX 00

][)(


6

3131/100/100

nkjK

Kn

nj

nkjK

Kn

nj

eeXkx

eeXN

kx

00

00

)(2

][

)(1][~

0 ω+

−=

ω

ω+

−=

ω

∑

∑

πω

=

=

Sad se periodički spektar može izraziti s normiranom ovojnicom

Utjecaj graničnog prijelaza N→∞ je da smanjuje razmak ω0 između komponenti spektra


./20 Nπ=ω

3232/100/100

U sumaciji imamo vrijednosti množene sa širinom . Sumacija je pravokutna aproksimacija integrala.

kjkj eeX 00 )( ωω ⋅N/20 π=ω

∫π

π−

ωω ω⋅π

= deeXkx kjj )(21][

Kad , a suma prelazi u integral

00 ,,, ω=ωω=ω∞→ dkKN


3333/100/100

∑∞

−∞=

ω−ω ⋅=k

kjj ekxeX ][)(

pa zajedno sa integralom čini par koji se naziva vremenski diskretnom Fourierovom transfor-macijom VDFT (engl. Discrete Time FourierTransform DTFT).

Time smo dobili aperiodički niz kao superpoziciju eksponencijala ili sinusoida. Težinska funkcija je spektar

][kx


3434/100/100

Uvjet da aperiodički niz ima DTFT je da njegova sumacija apsolutno konvergira

.][ ∞

7

3737/100/100

Fourierova transformacija

Upotrebljava se za predstavljanje aperiodskih signala superpozicijom eksponencijala ili sinusoida.Može se izvesti iz Fourierovog reda, tako da se aperiodski signal dobije kao granični slučaj periodičnog signala, čiji period ide u beskonačnost. Slično kao kod DTFT

⎩⎨⎧

>

≤≤=

2/ ,02/2/- ),(~

)(Tt

TtTtxtx )(~lim)( txtx

T ∞→=

3838/100/100

Fourierova transformacija (nastavak)

Harmonijske komponente postaju guste,pa dobivamo iz sume integral:

∫

∫∞

∞−

ω−

∞

∞−

ω

⋅=ω

ω⋅ωπ

=

dtetxjX

dejXtx

tj

tj

)()(

)(21)(

3939/100/100

Fourierov spektar signalaSpektar signala napisan u pravokutnom obliku sa svojim realnim i imaginarnim dijelom

)()()( ω+ω=ω jjXjXjX ir

napisan u polarnom obliku sa svojim amplitudnim i faznim spektrom

)()()( ωϕω=ω jejXjX

)(sin)()( ,)()()(

)(cos)()( ),()(

ωϕω=ωωω

=ωϕ

ωϕω=ωω=ω

AXXXarctg

AXAjX

ir

i

r

4040/100/100

Da bi signal imao Fourierovu transformaciju mora zadovoljavati neke uvjete:

∞

<=

2/ za ,02/ za ,1

)(TtTt

trC

=ω

=⋅==ω−

ω−

−

ω−∞+

∞−

ω− ∫∫2/

2/

2/

2/

1)()(T

T

tjT

T

tjtjCC j

edtedtetrR

/ 2 / 2 sin( / 2) sinc ( / 2)( / 2)

j T j Te e TT T Tj T

ω ω ω ωω ω

− −= = =

Fourierov spektar signala (nastavak)

8

4343/100/100

Trokutni puls:

⎩⎨⎧

>

≤−=

TtTtTtt

tur za ,0 za ,/

)( )2/( sinc)( 2 TTTR ω=ω

Fourierov spektar signala (nastavak)4444/100/100

Tada je:

Simetrija FT među varijablama t i omogućuju lagano određivanje odnosa između signala i spektra.Ako je:

ω

↔ )()( ωjXtx

↔ )(2)( ω−πxjtX

Dokaz slijedi iz izraza za i zamjenom )(tx −∞→t

Fourierov spektar signala (nastavak)

4545/100/100

Kako smo ranije rekli sustav je skup operacija na ulaznom signalu da bi se dobio izlazni signal.Na temelju dosadašnjeg zaključujemo da se integralno vladanje sustava može odrediti iz njegovog odziva na impuls (KS) ili uzorak (DS) ili pak iz frekvencijske karakteristike.Prema tome za linearne sustave imamo jošdva matematička modela.

Prolaz signala kroz linearan sustav4646/100/100

Za razliku od mjerenja parametara sustava opisanog diferencijalnim jednadžbama, mjerenje impulsnog odziva ili frekvencijske karakteristike je dosta jednostavno.

Odziv na impuls ili na sinus pobudu

4747/100/100

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω=

aX

aatx 1)(

)()( ω↔ Xtx

)(2)( ω−π↔ xtX)()()()( ω+ω↔+ bVaUtbvtau

0)()( 0tjeXttx ω−ω↔−

)()( ω↔ Xtx

)()( ω↔Hth)()(* ω⋅ω↔ HXhx)(*)( ωω↔⋅ HXhx

vrem. domena frekv. domena

linearnost FT

simetrija

kompresija expom

konvolucija u VD

konvolucija u FD

vremenski pomak

Svojstva FT:4848/100/100

)()( ωω↔ Xjdt

xd nn

n

ωω

↔−d

dXtjtx )()(

∫∞+

∞−

ΘΘ↔−

dXjttx )()(

)()( 00 ω−ω↔ω Xetx tj

vrem. domena frekv. domena

frekvencijski pomak

vremenska derivacija

)()0()()( ωδπ+ωω↔ττ∫

∞+

∞−

Xj

Xdxvremenska integracija

frekvencijska derivacija

frekvencijska integracija

)()( ω−↔− Xtxvremenska inverzija

Svojstva FT (nastavak):

9

4949/100/100

)]()([cos 00 ω+ωδ+ω−ωδπ↔ωt

1)( ↔δ tvrem. domena frekv. domenaTransformacije:

)(21 ωπδ↔

)]()([sin 00 ω−ωδ−ω+ωδπ↔ω jt

π↔

jt 2sgn

ω+ωπδ↔

jtu 1)()(

∑∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

ω ω−ωδπ↔=n

nn

tjnn nXeXtx )(2)( 11

5050/100/100vrem. domena frekv. domena

)(2 00 ω−ωπδ↔ω tje

∑∑ ω−ωδω↔−δnk

nkTt )()( 00T/20 π=ω

nn jt )()()( ω↔δ

22ω

−↔t

)(2 )( ωδπ↔ nnn jt

Transformacije

(nastavak):

5151/100/100periodički signal

∑∞

−∞=

ω=n

tjnenXtx 0~

][)(

aperiodički signalFourierov red Fourierova transformacija

∫ ω−= Ttjn dtetx

TnX 0

~)(1][

x(t) ima period T Tπ=ω 2~ 0

VD

FD

Vremenski diskretan Fourierov red Vremenski diskretna Fourierovatransformacija

diskretni spektar kontinuirani spektarVD-vremenska domena FD-frekvencijska domena

Četiri oblika Fourier-ovog predstavljanja signala

kont

inui

rani

sig

nali

disk

retn

i sig

nali

aper

iodičk

ispe

ktar

perio

dičk

i spe

ktar∑

=

ω=Nn

kjnenXkx 0][][

∑=

ω−=Nk

kjnN ekxnX 0][][ 1

x(k) i X[n] imaju period N N

π=ω 20 X(ejω) ima period 2π

∫∞

∞−

ω ωωπ

= ~)~(21)( ~ dejXtx tj

∫∞

∞−

ω−=ω dtetxjX tj~)()~(

∫π

π−

ωω ωπ

= deeXkx kjj )(21][

∑∞

−∞=

ω−ω =k

kjj ekxeX ][)(

VDFD

VDFD

Papoulis

5353/100/100 5454/100/100

10

5555/100/100 5656/100/100

5757/100/100 5858/100/100

5959/100/100 6060/100/100

11

6161/100/100

( )N

H21

1ω

ω+

=

6262/100/100

( ) ( )Na 21log10 ωω +−=

6363/100/100 6464/100/100

6565/100/100

( )N

geH2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= ωω

ω

6666/100/100

( )N

g

a2

43,020 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−=ωωω

12

6767/100/100 6868/100/100

6969/100/100 7070/100/100

7171/100/100 7272/100/100

13

7373/100/100 7474/100/100

7575/100/100 7676/100/100

7777/100/100 7878/100/100

14

7979/100/100 8080/100/100

8181/100/100 8282/100/100

8383/100/100 8484/100/100

-1 -0.5 0 0.5 1-3

-2

-1

0

1

2

3θ

gωω

15

8585/100/100 8686/100/100

8787/100/100 8888/100/100

8989/100/100 9090/100/100

16

9191/100/100 9292/100/100

9393/100/100 9494/100/100

9595/100/100 9696/100/100

17

9797/100/100 9898/100/100

9999/100/100 100100/100/100

Documents

Fourierov spektar signala - ts.zesoi.fer.hrts.zesoi.fer.hr/materijali/FourierTransform2007-2.pdf · Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak) 29/100 Slika prikazuje