FourierTransform2006-2ts.zesoi.fer.hr/materijali/FourierTransform2006-2.pdf · Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak) 29/129 Slika prikazuje uzorke spektra i njihovu

1

Fourierov spektar signala

22/1/12929

Fourierov red

Složeni periodički signal :

može se aproksimirati trigonometrijskim polinomom:

odnosno sumom eksponencijala.Za realni kompleksne amplitude su konjugirane.

)(~ tx

),(~)(~ nTtxtx += ZZ∈n

,)(~ 1ntjN

Nneatx

ω

−∑= ZZ∈nsinteza:

33/1/12929

Fourierov red (nastavak)

nn jnn

jnnnn eAaeAaaa

ϕ−ϕ− ===

** , ;

Odatle izlazi Fourierov koeficient an

)()(~ 11 ntjjntjjnn eeeeAtx nnω−ϕ−ωϕ +=

)cos(2)(~ 1 nnn ntAtx ϕ+ω=

Koeficijenti an Fourierovog reda obično se određuju tako da se gornji red pomnoži s

i integrira u osnovnom periodu T.tjne 1ω−

][)(~12/

2/

1 nXdtetxT

aT

T

tjnn == ∫

−

ω−analiza:

44/1/12929

Svojstva Fourierovog Reda

∑ ω= tjnenXtx 0][)(~

][)(~ nXtx ↔ )()(~ 0ω↔ nXtx Tπ

=ω2

0

)()()(~)(~ 00 ω+ω↔+ nbVnaUtvbtua

][][)(~)(~ nbVnaUtvbtua +↔+tjnenXtx 0][)( ω↔τ+

][)( 0 mnXetx tjm +↔ω

55/1/12929

Svojstva Fourierovog Reda (nastavak)

cirkularna konvolucija

][][)(~*)(~1)(~ nGnFtgtfT

ty ⋅↔=

)(~)(~][*][][ tgtfnGnFnY ⋅↔=

vudtvtuT

tyT

T

~*~)(~)(~1)(~2/

2/

↔ττ−⋅= ∫−

)(~)(~][*][][ tvtunVnUnY ⋅↔=

∑∫∞+

−∞=−

==n

T

T

nXdttxT

P 22/

2/

2 ][)(~1

66/1/12929

∫−

ω−ω

⎩⎨⎧

≠=

=2/

2/ ,0 ,

11

T

T

tjmtjn

nmnmT

dtee

Napisano općenito za vremenski kontinuirane i diskretne signale

∫− ⎩

⎨⎧

≠=

=ϕϕ2/

2/

*

,0 ,

)()(T

T

nmn nm

nmKdttt

Elementarni signali u Fourierovom redu su ekspo-nencijale, koje zadovoljavaju uvjet ortogonalnosti

Poopćenje Fourierovog reda

⎩⎨⎧

≠=

=ϕϕ∑−

nmnmK

kk nK

mn ,0 ,

)()(1

0

*

2

77/1/12929

Pri predstavljanju složenih signala linearnom kombinacijom elementarnih signala, često se upotrebljavaju ortogonalne funkcije.

∑=

ϕ=N

nnn tatx

0

)(~)( ∑=

ϕ=N

nnn kakx

0

][~][ili

Koeficijenti an mogu se odrediti na temelju minimalne greške aproksimacije. Pogodna karakterizacija greške je integral ili suma kvadrata greške u danom intervalu.

∑ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∑ ϕ−

−=ε

=

2

1

2

121

][][1k

k

N

nnn kakxkk

Poopćenje Fourierovog reda (nastavak)88/1/12929

Nađimo optimalne koeficijente a1 i a2 traženjem minimuma greške

0 ,021

=∂

ε∂=∂

ε∂aa

[ ]{

[ ] }222112211

2

][][

][][][2][

kaka

kakakxkxk

ϕ+ϕ+

+ϕ+ϕ−=ε ∑

Pri kvadriranju sumacije otpadaju miješani članovi zbog ortogonalnosti, tako da izlaze uvjeti ekstrema:

Poopćenje Fourierovog reda (nastavak)

99/1/12929

Odakle izlaze optimalni koeficijenti a1 i a2

2

222

22

1

121

11

][][][

][][][

Kkkkx

a

Kkkkx

a

α=ϕ

ϕ=

α=ϕ

ϕ=

∑∑∑

∑

0][2][][2

0][2][][22222

2111

=ϕ+ϕ−

=ϕ+ϕ−

kakkx

kakkx


Kvadratna greška aproksimacije konačnom sumom do N

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α−+

−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ−ϕ+

−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ−

−=ε

∑∑∑

∑ ∑∑

∑ ∑=

nnn

nnn

k

k

k

k nnn

nnn

k

k

N

nnn

aKakxkk

kaxakxkk

kakxkk

2][1

][2][1

][][1

22

12

222

12

2

112

2

1

2

1

2

1


1111/1/12929

ako nadopunimo desne članove s

n

n

n

nnnn KK

aKa22

22 2 α−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ α+α−

n

n

K

2α+

funkcija kvadrat

n

n

n

nnn KK

Ka22 α

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α−izlazi


∑∑ α−=εn n

n

k Kkx

22 ][

odnosno zbog

∑∑ −=εN

nn

k

kKakx

1

222

1

][

kako su sumandi nenegativni može se zaključiti da s većim N greške aproksimacije su sve manje.


nnnn KaK22 / =α

Budući da za optimalne koeficijente vrijedinajmanja greška je dana snnn Ka /α=

3

1313/1/12929

∑k

kx ][2Kad N raste bez granica suma ()

konvergira sumi

∑n

nn Ka2

što predstavlja

U tom slučaju vrijedi

∑∑ ==

N

nn

K

k

Kakx1

2

1

2 ][

što je generalizirani oblik Parsevalove relacije.


energiju signala.

1414/1/12929

Ako vrijedi za neki niz x[k] kaže se da suma

∑ ϕn

nn ka ][ u prosjeku konvergira nizu x[k].


1515/1/12929

Vremenski diskretni Fourierov red (DFT)

Uzmimo periodičan niz za koji vrijedi

Kao kod kontinuiranog periodičnog signala može se razložiti na sumu periodičkih sinusoida ili eksponencijala frekvencija koje su cjelobrojni višekratnici osnovne 2π/N

],[~][~ Nrkxkx += ZZ∈r

][][][22

rNkeeekg nrNk

Nnkn

Nn +===

+ππ

1616/1/12929

Vremenski diskretni Fourierov red (DFT) (nastavak)

Budući da su eksponencijale diskretne najviša frekvencija koja se može jednoznačno predstaviti je s n=N-1. Sve ostale n≥N mogu se naći među onima iz intervala [0, N-1]. Među svim eksponencijalama perioda N mogu se dakle naći samo N različitih

110 ,,, −Nggg …

… ],[][],[][:jer 110 kgkgkgkg NN +==

1717/1/12929

Periodičan niz ][~ kx dakle se može predstavitis N diskretnih eksponencijala

∑−

=

π

=1

0

2

][~N

n

nkN

j

neakx

Optimalni koeficijenti koji osiguravaju minimum sume kvadrata greške mogu se dobiti iz općeg izraza za razlaganje signala na ortogonalne nizove.


1818/1/12929

Optimalni koeficijenti su:

N

ekx

kk

knxa

NnkN

N

nn

N

n

n

π−−

−

−

∑

∑

∑=

ϕϕ

ϕ=

21

01

0

*

1

0

* ][

][][

][][


4

1919/1/12929

Kako se vidi niz koeficijenata an je također periodičan niz tj.s periodom N:

][~ nXaa Nnn == +./2/2/2 NknjNrNnjNknj eee πππ =⋅


Koeficijent 1/N se nekad pridružuje izrazu za .

čine par izraza koji se nazivaju diskretnom Fourierovom transformacijom (DFT)

∑−

=

π

=1

0

2

][~][~N

n

nkN

jenXkx;][~1][~

21

0

NnkN

ekxN

nXπ

−−

∑=

DFT povezuje N uzoraka jednog perioda periodičkog signala s N uzoraka periodičkog spektra.

][~ kx

2020/1/12929

Suma kvadrata greški VDFR-a ili DTFT-a se može dobiti iz općeg izraza () i

⎩⎨⎧

≠=

=∑−

=

−π

mnmnN

eN

k

mnkN

j

,0 ,1

0

)(2

.0][1

0

21

0

2 ∑∑−

=

−

=

=−=εN

nn

N

kNakx


NKn =

Pogreška aproksimacije

2121/1/12929

∑∑−

=

−

=

π−==

1

0

1

0

2

][][][N

k

nkN

k

Nnkj

WkxekxnX

∑∑−

=

−−

=

π

==1

0

1

0

2

][][][N

k

nkN

k

Nnkj

WnXenXkx

.2N

jeW

π−=


2222/1/12929

Izvan područja n∈[0, N-1] se nizovi signala i spektra ne ponavljaju.Izraz [k-i]modN znači da [k-i] treba dijeliti s N i sačuvati samo ostatak.Da bi se preko cirkularne konvolucije stiglo na linearnu trebat će nadopuniti impulsima oba niza tako da period bude jednak cirkularnoj dužini konvolucije.Za slučaj dužine sekvencije M i N konvolucijaće biti dužine M+N-1.

Periodičnost niza i periodičnost spektra

2323/1/12929

Odziv sustava kao linearna konvolucija traži više multiplikacija nego pretvorba u spektar oba signala pobude i odziva na uzorak množenjem spektara i inverzijom.

Periodičnost niza i periodičnost spektra (nastavak)2424/1/12929

Linearnost

Svojstva DTFS (DFT)

Nkij

enXNikxπ−

↔−2

][~}mod][~{Posmak

][~][~]}[~][~{DTFS nVbnUakvbkua +=+

Konvolucija cirkularna

][~][~][~mod][~1

0

nVnUivNikuN

i

⋅↔−∑−

=

∑∑−

=

−

=

=1

0

21

0

2 ][~][~N

n

N

k

nXkx

Parseval

5

2525/1/12929

Vremenski diskretna Fourierova transformacija

Jednostavan prijelaz iz Fourierovih redova u transformaciju može se dobiti prikazom aperiodičkog signala kao graničnog slučaja periodičkog signala kad period ponavljanja teži u beskonačnost.

2626/1/12929

Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak)

⎩⎨⎧

≥

≤≤=

KkKkKkx

kx ,0

- ],[~][

Pretpostavimo da je aperiodički signal dan jed-nim periodom signala , koji je periodičan s N.

][kx][~ kx

12 += KN

2727/1/12929

][~lim][ kxkxK ∞→

=

Kad K raste, razmak između sekcija signala se povećava, te za K→∞ replike se udaljavaju u beskonačnost.

Vremenski Diskretni Fourierov red periodičkog niza je:][~ kx

∑−=

π

=K

Kn

Nknj

enXkx2

][~][~ ∑−=

π−=

K

Kn

Nknj

ekxN

nX2

][~1][~


2828/1/12929

∑

∑∞

−∞=

π−

−=

π−

=

==

n

Nnkj

K

Kn

Nnkj

ekxN

ekxN

nX

2

2

][1

][1][

Budući da je za iza izlazi

KkK ≤≤−][~][ kxkx =Kk >0][ =kx

je periodičan s N. Spektralni uzorci su s razmakom

][nX0/2 ω=π N


2929/1/12929

Slika prikazuje uzorke spektra i njihovu ovojnicu, koja je periodična s 2π. Za veći N uzorci postaju sve gušći.


3030/1/12929

∑∞

−∞=

ω−ω

ω=ω

ω

=

=

k

kjj

nj

ekxeX

eXN

nX

][)(

)(1][0

Zamislimo da tom nizu uzoraka na slici spektra odredimo normiranu ovojnicu kontinuiranu periodičku funkciju, tako da vrijedi

∑∞

−∞=

ω−

ω=ω

ω =k

kjnn

j ekxeX 00

][)(


6

3131/1/12929

nkjK

Kn

nj

nkjK

Kn

nj

eeXkx

eeXN

kx

00

00

)(2

][

)(1][~

0 ω+

−=

ω

ω+

−=

ω

∑

∑

πω

=

=

Sad se periodički spektar može izraziti s normiranom ovojnicom

Utjecaj graničnog prijelaza N→∞ je da smanjuje razmak ω0 između komponenti spektra


./20 Nπ=ω

3232/1/12929

U sumaciji imamo vrijednosti množene sa širinom . Sumacija je pravokutna aproksimacija integrala.

kjkj eeX 00 )( ωω ⋅N/20 π=ω

∫π

π−

ωω ω⋅π

= deeXkx kjj )(21][

Kad , a suma prelazi u integral

00 ,,, ω=ωω=ω∞→ dkKN


3333/1/12929

∑∞

−∞=

ω−ω ⋅=k

kjj ekxeX ][)(

pa zajedno sa integralom čini par koji se naziva vremenski diskretnom Fourierovom transfor-macijom VDFT (engl. Discrete Time FourierTransform DTFT).

Time smo dobili aperiodički niz kao superpoziciju eksponencijala ili sinusoida. Težinska funkcija je spektar

][kx


3434/1/12929

Uvjet da aperiodički niz ima DTFT je da njegova sumacija apsolutno konvergira

.][ ∞

7

3737/1/12929

Fourierova transformacija

Upotrebljava se za predstavljanje aperiodskih signala superpozicijom eksponencijala ili sinusoida.Može se izvesti iz Fourierovog reda, tako da se aperiodski signal dobije kao granični slučaj periodičnog signala, čiji period ide u beskonačnost. Slično kao kod DTFT

⎩⎨⎧

>

≤≤=

2/ ,02/2/- ),(~

)(Tt

TtTtxtx )(~lim)( txtx

T ∞→=

3838/1/12929

Fourierova transformacija (nastavak)

Harmonijske komponente postaju guste,pa dobivamo iz sume integral:

∫

∫∞

∞−

ω−

∞

∞−

ω

⋅=ω

ω⋅ωπ

=

dtetxjX

dejXtx

tj

tj

)()(

)(21)(

3939/1/12929

Fourierov spektar signalaSpektar signala napisan u pravokutnom obliku sa svojim realnim i imaginarnim dijelom

)()()( ω+ω=ω jjXjXjX ir

napisan u polarnom obliku sa svojim amplitudnim i faznim spektrom

)()()( ωϕω=ω jejXjX

)(sin)()( ,)()()(

)(cos)()( ),()(

ωϕω=ωωω=ωϕ

ωϕω=ωω=ω

AXXXarctg

AXAjX

ir

i

r

4040/1/12929

Da bi frekvencija signala imala Fourierovutransformaciju mora zadovoljavati neke uvjete:

∞

<=

2/ za ,02/ za ,1

)(TtTt

trC

=ω

=⋅==ω−

ω−

−

ω−∞+

∞−

ω− ∫∫2/

2/

2/

2/

1)()(T

T

tjT

T

tjtjCC j

edtedtetrR

)2/( sinc)2/(

)2/sin(2/2/ TTT

TTtjee TjTj

ω=ω

ω=

ω−

=ωω−

Fourierov spektar signala (nastavak)

8

4343/1/12929

Trokutni puls:

⎩⎨⎧

>

≤−=

TtTtTtt

tur za ,0 za ,/

)( )2/( sinc)( 2 TTTR ω=ω

Fourierov spektar signala (nastavak)4444/1/12929

Tada je:

Simetrija FT među varijablama t i omogućuju lagano određivanje odnosa između signala i spektra.Ako je:

ω

↔ )()( ωjXtx

↔ )(2)( ω−πxjtX

Dokaz slijedi iz izraza za i zamjenom )(tx −∞→t

Fourierov spektar signala (nastavak)

4545/1/12929

Kako smo ranije rekli sustav je skup operacija na ulaznom signalu da bi se dobio izlazni signal.Na temelju dosadašnjeg zaključujemo da se integralno vladanje sustava može odrediti iz njegovog odziva na impuls (KS) ili uzorak (DS) ili pak iz frekvencijske karakteristike.Prema tome za linearne sustave imamo jošdva matematička modela.

Prolaz signala kroz linearan sustav4646/1/12929

Za razliku od mjerenja parametara sustava opisanog diferencijalnim jednadžbama, mjerenje impulsnog odziva ili frekvencijske karakteristike je dosta jednostavno.

Odziv na impuls ili na sinus pobudu

4747/1/12929

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω=

aX

aatx 1)(

)()( ω↔ Xtx

)(2)( ω−π↔ xtX)()()()( ω+ω↔+ bVaUtbvtau

0)()( 0tjeXttx ω−ω↔−

)()( ω↔ Xtx

)()( ω↔ Hth)()(* ω⋅ω↔ HXhx)(*)( ωω↔⋅ HXhx

vrem. domena frekv. domena

linearnost FT

simetrija

kompresija expom

konvolucija u VD

konvolucija u FD

vremenski pomak

Svojstva FT:4848/1/12929

)()( ωω↔ Xjdt

xd nn

n

ωω

↔−d

dXtjtx )()(

∫∞+

∞−

ΘΘ↔−

dXjttx )()(

)()( 00 ω−ω↔ω Xetx tj

vrem. domena frekv. domena

frekvencijski pomak

vremenska derivacija

)()0()()( ωδπ+ωω

↔ττ∫∞+

∞−

Xj

Xdxvremenska integracija

frekvencijska derivacija

frekvencijska integracija

)()( ω−↔− Xtxvremenska inverzija

Svojstva FT (nastavak):

9

4949/1/12929

)]()([cos 00 ω+ωδ+ω−ωδπ↔ωt

1)( ↔δ tvrem. domena frekv. domenaTransformacije:

)(21 ωπδ↔

)]()([sin 00 ω−ωδ−ω+ωδπ↔ω jt

π↔

jt 2sgn

ω+ωπδ↔

jtu 1)()(

∑∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

ω ω−ωδπ↔=n

nn

tjnn nXeXtx )(2)( 11

5050/1/12929vrem. domena frekv. domena

)(2 00 ω−ωπδ↔ω tje

∑∑ ω−ωδω↔−δnk

nkTt )()( 00T/20 π=ω

nn jt )()()( ω↔δ

22

ω−↔t

)(2 )( ωδπ↔ nnn jt

Transformacije

(nastavak):

5151/1/12929periodički signal

∑∞

−∞=

ω=n

tjnenXtx 0~

][)(

aperiodički signalFourierov red Fourierova transformacija

∫ ω−= Ttjn dtetx

TnX 0

~)(1][

x(t) ima period TTπ=ω 2~0

VD

FD

Vremenski diskretan Fourierov red Vremenski diskretna Fourierovatransformacija

diskretni spektar kontinuirani spektarVD-vremenska domena FD-frekvencijska domena

Četiri oblika Fourier-ovog predstavljanja signala

kont

inui

rani

sig

nali

disk

retn

i sig

nali

aper

iodičk

ispe

ktar

perio

dičk

i spe

ktar∑

=

ω=Nn

kjnenXkx 0][][

∑=

ω−=Nk

kjnN ekxnX 0][][ 1

x(k) i X[n] imaju period N N

π=ω 20 X(ejω) ima period 2π

∫∞

∞−

ω ωωπ

= ~)~(21)( ~ dejXtx tj

∫∞

∞−

ω−=ω dtetxjX tj~)()~(

∫π

π−

ωω ωπ

= deeXkx kjj )(21][

∑∞

−∞=

ω−ω =k

kjj ekxeX ][)(

VDFD

VDFD

Papoulis

5353/1/12929 5454/1/12929

10

5555/1/12929 5656/1/12929

5757/1/12929 5858/1/12929

5959/1/12929 6060/1/12929

11

6161/1/12929 6262/1/12929

6363/1/12929 6464/1/12929

6565/1/12929 6666/1/12929

12

6767/1/12929 6868/1/12929

6969/1/12929 7070/1/12929

7171/1/12929 7272/1/12929

13

7373/1/12929 7474/1/12929

7575/1/12929 7676/1/12929

7777/1/12929 7878/1/12929

14

7979/1/12929 8080/1/12929

8181/1/12929 8282/1/12929

8383/1/12929 8484/1/12929

15

8585/1/12929 8686/1/12929

8787/1/12929 8888/1/12929

8989/1/12929 9090/1/12929

16

9191/1/12929 9292/1/12929

9393/1/12929 9494/1/12929

9595/1/12929 9696/1/12929

17

9797/1/12929 9898/1/12929

9999/1/12929 100100/1/12929

101101/1/12929

Možemo to interpretirati kao modulaciju impulsnog niza funkcijom f

Vremenska diskretizacija tipkanjem kontinuiranog signala

Postupak uzimanja uzoraka ili tipkanja kontinuiranog signala f možemo matematički modelirati kao pridruživanje funkciji f niza impulsa f *, čiji intenzitet je proporcionalan trenutnim vrijednostima kontinuiranog signala.

f *(t) = ST{f(t)}

∑+∞

−∞=

−=k

T ktt )T()( δδ

102102/1/12929


∑+∞

∞−

−= )T()()(* kttftf δ

t

f *

t

f (t)

t

δT

× f (t)

δT

f *

18

103103/1/12929


Zbog svojstva delta funkcije da vadi vrijednost kontinuirane funkcije f(t) na mjestu diskontinuiteta t − kT = 0, tj. tk = kT, može se napisati i u obliku:

.)T()T()(* ∑+∞

−∞=

−=k

ktkftf δ

104104/1/12929

Uvjete ekvivalencije kontinuiranog i diskretnogsignala dobivenog postupkom otipkavanja najlakše je pratiti preko njihovih spektara. Neka signal f ima spektar:

.)()( ∫∞

∞−

−= dtetfF tjωω

Iz spektra F se može doći do same funkcije finverznim Fourierovim integralom:

.)(21)( ∫

∞

∞−

= ωωπ

ω deFtf tj


105105/1/12929

Periodičan niz δT nastao ponavljanjem delta funkcije svakih T, kao svaka periodična funkcijase dade predstaviti Fourierovim redom, gdje suamplitude dane s:

.T2 ,

T1)(

T1 2/T

2/T0

0∫−

− ===πωδ ω dtetF tjnn

Odatle: ∑+∞

−∞=

=n

tjnnT eFt 0)(

ωδ .T1

0∑+∞

−∞=

=n

tjne ω


106106/1/12929

Spektar otipkanog signala f * dan je s:

∫∞

∞−

−= dtetfF tjωω )()( ** .T

)( 0∫ ∑+∞

∞−

+∞

−∞=

−=n

tjtjn dtee1tf ωω

Zamjenom redoslijeda sumacije i integracijedobivamo:

.)( T1)( )(* 0∑ ∫

+∞

−∞=

−−+∞

∞−

=n

tnj dtetfF ωωω

Integral je spektar funkcije f, ali pomaknut zanω0, pa izlazi:

.)(T1)( 0

* ∑+∞

−∞=

−=n

nFF ωωω


107107/1/12929

Spektar F* otipkanog signala f * je periodičnoponavljani spektar F kontinuiranog signala.Pretpostavimo da je spektar F frekvencijskiograničen

F(ω) = 0 za |ω| > ωg.Različite frekvencije tipkanja signala ω0 = 2π/T mogu u spektru F*(ω) izazvati različiterezultate zavisno od toga da li je ω0 − ωg > ωg iliω0 − ωg < ωg odnosno:

ω0 > 2 ωg, ω0 < 2 ωg.


108108/1/12929

⏐F*(ω)⏐

ω →0 ωg

ω0 > 2ωg

ω0

ω0 2

ω →0 ωg

ω0 < 2ωg

ω0

⏐F*(ω)⏐

ω0 2

Preklapanje sekcija spektra (engl. “aliasing”).


19

109109/1/12929

Zaključak

Diskretni se signal može smatratiekvivalentnim kontinuiranom samo ako jemoguće rekonstruirati izvorni signal f izotipkanog f *, odnosno ako se iz spektra F*može dobiti originalni F. Postupakrekonstrukcije pretpostavlja izdvajanje osnovnesekcije spektra filtriranjem. To će biti moguće načiniti bez pogreške samoako je spektar F ograničen na ωg, te ako jefrekvencija otipkavanja ω0 > 2 ωg.

110110/1/12929

Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog signala iz diskretnogPeriodični spektar F* može se dobiti i iz

,)T()T()(* ∑+∞

−∞=

−=k

ktkftf δ

∫ ∑+∞

∞−

+∞

−∞=

−−=k

tj dtektkfF ωδω )T()T()(* .)T( T∑+∞

−∞=

−=k

kjekf ω

U dobivenom izrazu se može prepoznatiFourierov red za periodični spektar F*.

⏐F*(ω)⏐

ω →0 ωg

ω0 > 2ωg

ω0

111111/1/12929

⏐F*(ω)⏐

ω →0 ωg

ω0 >2 ωg

ω0

Hr(ω)

Da bi se dobila osnovna sekcija spektra Fcodnosno po mogućnosti F, potrebno je izvršiti filtraciju F* s filtrom frekvencijske karakteristike Hr ,

Fc(ω) = F*(ω) Hr(ω).

Obnavljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog signala iz diskretnog

112112/1/12929

Pretpostavimo za Hr idealan filter

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<=

2/ 0

2/ 1)(

0

0

ωω

ωωωrH

Impulsni odziv je ∫+∞

∞−

= ωωπ

ω deHth tjrr )(21)( .

2/2/sin

T 00

tt1

ωω

⋅=

Neka je frekvencija otipkavanja ω0 > 2ωg, takoda unutar pojasa ponavljanja (−ω0/2, ω0/2), nema preklapanja sekcija spektra.Tada je: ).(

T1)()(* ωωω FHF r =


0ω

Hr(ω)

ω0 / 2

1

113113/1/12929

.F1)ef(kHk

kjr )(T

T)( T ωω ω =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∑+∞

−∞=

−

Inverznom Fourierovom transformacijomspektra F dobivamo:

∫+∞

∞−

= ωωπ

ω deFtf tj)(21)( .)T()(

2T T∫ ∑

+∞

∞−

+∞

−∞=

− ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ωω

πωω deekfH tj

k

kjr

,)T(2T)(

2/

2/

)T(0

0

∫∑−

−+∞

−∞=

=ω

ω

ω ωπ

dekftf ktjk

.T/)T(

T/)T(sin)T()( ∑+∞

−∞= −−

=k kt

ktkftfπ

π


114114/1/12929

Vidimo da je f(t) dobiven iz uzoraka f(kT) interpolacijom s funkcijom: .

T/ T/ sin)(

ttthr π

π=

Iz gornjega izvoda slijedi da je kontinuiranafunkcija f, koja ima frekvencijski omeđenspektar (F(ω) = 0 za |ω | > ω0/2), jednoznačnoodređena svojim trenutnim vrijednostima u jednoliko raspoređenim trenucima tk = kT = 2π k / ω0.

Interpolacijska funkcija predstavljaimpulsni odziv idealnog filtra.


20

115115/1/12929

hr(t)

t

Filtar ima nekauzalan odziv i prema tome je neostvariv.

116116/1/12929

T

hr(t)

t

Interpolator nultog reda

117117/1/12929

Interpolator prvog reda

t

hr(t)

118118/1/12929

Antialiasing filtri

Greška uslijed aliasinga .)(22/

2

0

∫∞

=ω

ωωε dF

Konstantna amplituda: Butherworth, Chebyshev, Cauer.Linearna faza: Bessel.

Vremenski diskretni sustav

Interpol.filtar

Pred filtar

u v v* y* y

Tipkalo za uzimanje uzoraka

119119/1/12929

Diskretizacija spektra kontinuiranog signalaAnalognim pristupom može se provestidiskretizacija kontinuranog spektra nekogsignala Fd(ω ) = SΩ{F(ω )},

F F ndn

( ) ( ) ( )ω ω δ ω= −=−∞

+∞

∑ Ω .)()(∑+∞

−∞=

Ω−Ω=n

nnF ωδ

Signal u vremenu fd koji odgovara otipkanomspektru, dan je s

.2t,)t(1)( 00 Ω=+

Ω= ∑

+∞

∞−

πktftfdOtipkavanje spektra daje fd periodičnoponavljanu funkciju f .

120120/1/12929

Ako je funkcija f takva da je njeno trajanje 2tg < t0 nećenastupiti preklapanje (aliasing) u vremenu.

Izvorni signal moći će se dobiti pomoću vremenskog otvora množenjemfd s idealnim vremenskim otvorom f(t) = fd(t) w(t)

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<=

2/t 0

2/t 1)(

0

0

t

ttw .

2/t2/tsint)(

0

0

ωωω ⋅= 0W

F(ω) se može jednoznačno dobiti iz svojih uzoraka F(nΩ), interpolacijom

( ) ./)(

/)(sin)(ΩΩ−

ΩΩ−Ω= ∑

+∞

−∞= nnFF

ωπωπω n

nKontinuirani spektar signala konačnog trajanja(f(t) = 0 za |t| > t0/2) jednoznačno je određen svojim uzorcima nafrekvencijama ωn = nΩ.

Diskretizacija spektra kontinuiranog signala

21

121121/1/12929

Dimenzionalnost signala

Otipkavanje signala → ponavljanje spektra s Ωp = ω0.(aliasing u FD)

Otipkavanje spektra → ponavljanje signala s Tp = t0.(aliasing u VD)

ε

ω ω

ω ωFD

F d

F d

p=

∞

∞

∫

∫

2

2

2

2

2

0

( )

( )

/Ω

relativna greška u FD

εVDT

f t dt

f t dt

p=

∞

∞

∫

∫

2

2

2

2

2

0

( )

( )

/

relativna greška u VDGreške se mogu ocijeniti poznavanjem brzine opadanjasignala i spektra za t > Tp / 2 odnosno ω > Ωp / 2.

122122/1/12929

potreban brojuzoraka u VD ,2

TN2NTTN ppT

pTpT π

π Ω=

Ω==

potreban brojuzoraka u FD ,2

TΩN

T2NΩΩN ppΩ

pΩpΩ π

π===

dimenzijasignala

.T2ΩT

NN pppp

ΩT F=== πDimenzionalnost signala je važna u teoriji, a imadirektnu primjenu u diskretnoj Fourierovojtransformaciji.

Dimenzionalnost signala

Uz specificiranu dozvoljenu grešku aliasinga u FD i VD dobivamo Tp i Ωp − trajanje i širinu pojasa signala

123123/1/12929

Diskretna Fourierova transformacija

DFT se koristi za numeričko određivanje spektrasignala. Signal i njegov spektar treba predstaviti uzorcimaodnosno otipkati. To s druge strane znači da će se otipkani signal i njegov otipkani spektar periodički produžiti.Uzmimo signal f i ponovimo ga periodički svakih Tp i predstavimo ga Fourierovim redom

∑+∞

−∞=

−=m

mtftf )T()(~ p .T2 , )(~

p

π=Ω= ∑

+∞

−∞=

Ω

n

tjnneFtf

124124/1/12929

Otipkavanje tog signala može se provesti nizom delta funkcija .)T()( ∑

+∞

−∞=

−=k

T ktt δδ

,)T()()(~ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑

+∞

−∞=

+∞

−∞=

Ω

kn

tjnnT kteFttf δδ

)T()T()(~ kteFktkTfn

tjnn −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=− ∑

+∞

−∞=

Ω δδ . )T(T∑+∞

−∞=

Ω −=n

kjnn kteF δ

Odakle iz jednakosti 2π / T = NΩ slijedi:

.,)T(~ N2

Z∈= ∑+∞

−∞=

keFkfn

knj

n

π


125125/1/12929

Budući da je eksponencijala periodična funkcija,N

2N

)(2 knjklNnjee

ππ

=+

mogu se skupiti komponente, koje množi istaeksponencijala.

( ) .N2

NN

2

NN

knj

lln

knj

lnnn eFeFFFππ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=++++ ∑

+∞

−∞=+++ ……

Uvođenjem ∑+∞

−∞=+=

llnn FF N

~

izlazi .1N,~~N

N -k0eF(kT)f1

0n

nk2j

n ≤≤= ∑−

=

π

Beskonačna suma se može prikazati sumom od samo N različitih eksponencijala.

Diskretna Fourierova transformacija126126/1/12929

Odnos između uzoraka iu potpunosti je određen tzv. diskretnom

Fourierovom transformacijom (DFT).

~ ~( )F F nn = )(~)T(~ kfkf =

1N0,)(~)(~1N

0

N2

−≤≤= ∑−

=

kenFkfn

knπj

Potrebni broj uzoraka N u bilo kojoj od domena je dandimenzionalnošću signala.


U se nalaze zrcaljene amplitude svih komponentiizvan pojasa Ωp = NΩ i zbrajaju s onim unutar pojasa.

nF~

su dakle uzorci periodički produženog spektra (Ωp) jednog periodički produženog signala (Τp).

nF~

22

127127/1/12929

∑∑∑−

=

−

=

−−

=

−=

1N

0

1N

0

N21N

0

N2 ~~

k n

j

k

j r)k(nkr

(n)eF(k)efππ

Uzorci spektra slijede također iz sumacije, kojumožemo dobiti ako izvorni izraz pomnožimo s

i sumiramo preko N vremenskih uzorakaN/2 rkje π−

~( )F n

.)(~1N

0

1N

0

)(N2

∑ ∑−

=

−

=

−=

n k

krnjenF

π

Suma eksponencijala po k daje za n = r + mN iznos N a inače 0, kako se može zaključiti iz izraza za sumugeometrijskog reda

).(~N)N(N)(~)(~1N

0

1N

0

N2

rFmrnnFekfnk

kr

∑∑−

=

−

=

−=−−= δ

π

Diskretna Fourierova transformacija128128/1/12929

Može se napisati konačno DFT par

,10,)(~1)(~1

0

2

−≤≤= ∑−

=

−Nnekf

NnF

N

k

Nknj π

.10,)(~)(~1

0

2

−≤≤= ∑−

=

NkenFkfN

n

Nknj π

Koeficijent 1/N se nekada pridružuje drugoj sumaciji koja se naziva inverznom DFT. Izrazi dajujednoznačnu vezu između nizova i periodičnih s periodom N.

{ }~( )F n{ }~( )f k


129129/1/12929

DFT je numerički postupak.Koliko točno postupak predstavlja Fourierovutransformaciju izvornog kontinuiranog signala f u spektar F, zavisi kako je pokazano ranije odizabranog Tp i Ωp , te brzine opadanja signala i spektra za t > Tp / 2 i ω > Ωp / 2.


Documents

FourierTransform2006-2ts.zesoi.fer.hr/materijali/FourierTransform2006-2.pdf · Vremenski diskretna Fourierova transformacija (nastavak) 29/129 Slika prikazuje uzorke spektra i njihovu