1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

Glava VIII: FOURIEROVI REDOVI, FOURIEROVI INTEGRALI I FOURIEROVA TRANSFORMACIJA

Francuski matematičar J. B. J. Fourier 1807. godine podnio je u Francuskoj akademiji Memoar, čija će kasnije objavljena verzija (u Parizu 1822., u Čikagu 1952. godine) označiti prekretnicu u razvoju matematičke fizike i njene primjene u mnogim ostalim naučnim oblastima; u kom je, između ostalog, iznio tvrdnju da se manje – više proizvoljna funkcija na konvergentnom intervalu može razviti kao suma linearne funkcije i reda sinusa oblika ∑∞

=1 sinn n lxnc π ( l je dužina posmatranog intervala). Ta

tvrdnja je naišla na opravdanu sumnju akademika. Naime, u smislu konvergencije po tačkama (tj. u smislu obične konvergencije) tvrdnja nije tačna ni u klasi neprekidnih funkcija, jer je 1876. godine Du Bois – Reymond konstruisao primjer neprekidne funkcije čiji Fourierov red divergira u tački neprekidnosti. Klasa realnih funkcija za koju je program Fourierove teorije u klasičnom smislu provodiv uveden je pet godina kasnije u radu C. Jordana: «Fourierov red analitičke funkcije konvergira svuda, a u slučaju neprekidne funkcije ta konvergencija je i uniformna». Ukoliko je modul neprekidnosti funkcije takav da ujedno pripada klasi Lipšica dobijemo i apsolutnu konvergenciju. Međutim, tek oko 1900. godine Lebesguevo uvođenje pojma mjere integrala dobijen je matematski alat primjeren potrebama Fourierove torije. Šezdeset godina kasnije Charles je dokazao Luzinovu hipotezu da Fourierov red neprekidne funkcije konvergira skoro svuda (tj. skup tačaka je Lebesgueove mjere nula). Inače, napomenimo da je prirodi fizikalnih fenomena najbliže ideja funkcije kao operatora (tzv. distribucije). Fourier vrši prva ispitivanja na realnoj funkciji jedne realne promjenljive zadane sa:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−

<<−=

.2

32

,4

,22

,4

)( πππ

πππ

x

xxy

Ta funkcija nije periodična, ali se može produžiti do periodičke funkcije ako se postavi zahtjev: y (x + 2kπ) ≡ y (x), (k = ±1, ±2, ...). Ona je po dijelovima neprekidna, a ima prvi izvod y '(x) = 0 svugdje osim u ... ,

23 ,

2ππ

±± Fourierov red te funkcije će biti red kosinusa ( y (x) = cos x – 31 cos 3x +

+51 cos 5x – ... ) koji konvergia i predstavlja tu funkciju u svakoj od tačaka njene neprekidnosti, a u

tačkama prekida je ,

40

2ππ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +y

40

2ππ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −y .

§8.1. Ortogonalan sistem funkcija Problematika u vezi s Fourierovim redovima jako je opširna i mnogi odgovori na pojedina pitanja nisu još uvijek pronađeni. Obilježimo sa H skup djelimično neprekidnih realnih funkcija posmatranih na segmentu [a, b]. Ovaj skup čine sve neprekidne funkcije na segmentu [a, b] sa isključenjem možda konačnog broja prekida prve vrste i konačnog broja tačaka otklonjivog prekida. Skup H obrazuje vektorski prostor nad poljem (R, +, ⋅ ).

2

Definicija 8.1.1. Srednje kvadratno odstupanje između funkcija f ,ϕ ∈H definirano je izrazom

d ( f, ϕ ) = [ ]∫ −b

a

dxxxf 2 )()( ϕ . (8.1.1)

Lako se provjeri da je izrazom (8.1.1) definirana metrička funkcija na H, tj. da je uređen skup (H, d ) metrički prostor, ali vodeći računa da je d ( f, ϕ ) = 0 akko je f (x) = ϕ (x), ∀x∈[a, b] sa možda isključenjem konačnog broja tačaka. Pri dokazu se može iskoristiti nejednakost Bunjakovskog:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤ ∫∫∫

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 22 ,

koja važi za realne funkcije f i ϕ jedne realne promjenljive koje pripadaju klasi integrabilnih funkcija R[a, b]. Dakle, metrički prostor H je zapravo normiran (vektorski) prostor kod kojeg je norma definirana izrazom

∫=b

a

dxxfxf 2))((||)(|| (ϕ = 0), f ∈H.

Definicija 8.1.2. Skalarni proizvod ( f ; ϕ ) funkcija f ,ϕ ∈H definira se izrazom:

( f ; ϕ ) = ∫b

a

dxxxf )()( ϕ .

Definicija 8.1.3. Za funkcije f ,ϕ ∈H kažemo da su ortogonalne na segmentu [a, b] ako im je skalarni proizvod jednak nuli. Definicija 8.1.4. Za niz

(ϕ n), ϕ n∈H, ∀n∈N (8.1.2)

kažemo da je ortogonalan na segmentu [a, b] ako je

⎩⎨⎧

==≠=≠

=⋅∫ ,...).2,1( , ,0||||,...),2,1,( , ,0

)()( 2 jijjiji

dxxxi

b

aji ϕ

ϕϕ

Definicija 8.1.5. Za ortogonalan niz dat sa (8.1.2) kažemo da je ortonormiran ako svaki od njegovih članova ima normu jednaku jedan, tj. ||ϕ n || = 1, ∀n∈N. Tvrdnja 8.1.1. Svaki ortogonalni niz može se transformirati u ortonormiran.

Dokaz: Neka je niz dat sa (8.1.2) ortogonalan na segmentu [a, b]. Formirajmo niz (ψ i) čiji su članovi definirani sa

ψ i(x) = ||||)(

i

i xϕ

ϕ , ∀i∈N.

Lako se vidi da ψ i ∈H, te da imamo

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===

=≠=⋅⋅

=⋅

∫

∫∫

,...).2,1( , ,1)(||||

1

,...),2,1,( , ,0)()(||||||||

1

)()(2

2 jijdxx

jijidxxxdxxx b

ai

i

b

aji

jib

aji

ϕϕ

ϕϕϕϕ

ψψ

Otuda slijedi da je niz (ψ i) ortonormiran.

3

§8.2. Fourierovi redovi Definicija 8.2.1. Fourierovim redom funkcije f∈H po ortonormiranom nizu

(ϕ i) (ϕ i ∈H), ∀i∈N (8.2.1) nazivamo funkcionalni red oblika

( )⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑∞

=

)()()( )( 22111

xcxcxcxc nni

ii ϕϕϕϕ (8.2.2)

u kojem su koeficijenti c1, c2, ..., cn, ... definirani izrazom cn = ∫b

an dxxxf )()( ϕ , ∀n∈N. Ove

koeficijente nazivamo Fourierovim koeficijentima funkcije f∈H po ortonormiranom nizu (8.2.1). Iz navedene definicije 8.2.1. pojma Fourierovog reda slijedi da se funkciji f∈H može pridružiti Fourierov red oblika (8.2.2) po ortonormiranom nizu (8.2.1), što simbolički pišemo

f (x) ∼ ∑∞

=1)(

nnn xc ϕ . (8.2.3)

Navedeno pridruživanje ne daje nam pravo o zaključivanju konvergencije pridruženog Fourierovog reda funkciji f ka toj funkciji f, tako da je potrebno dodatno analizirati pitanja konvergencije Fourierovog reda. Napomenimo da ako pretpostavimo da na segmentu [a, b] važi:

f (x) = ∑∞

=1)(

nnn xc ϕ (8.2.4)

i da pri tome red dat na desnoj strani (8.2.4) zadovoljava uslove o integraciji funkcionalnog reda član po član, tada množenjem jednakosti (8.2.4) sa funkcijom ϕ n(x), ∀n∈N i integriranjem dobijene jednakosti u granicama a, b član po član dobijemo

n

b

an cdxxxf =∫ )()( ϕ ,

jer je po pretpostavci niz (8.2.1) ortonormiran i to predstavlja formalno opravdanje za formulisanje Fourierovih koeficijenata.

Teorema 8.2.1. Od svih linearnih kombinacija datih sa ψ n (x) = ∑=

n

iii xk

1)(ϕ (∀k∈R, ∀n∈N,

i = 1, 2, ..., n) najmanje srednje kvadratno odstupanje od f∈H ima n – ta parcijalna suma Fourierovog reda funkcije f (∈H ) po ortonormiranom nizu (8.2.1). Dokaz: Kako je

d 2( f, ψ n ) = [ ] ( ) ( )∫∫∫∫ +−=−b

an

b

an

b

a

b

an dxxdxxxfdxxfdxxxf 222 )()()(2)( )()( ψψψ

i kako je

∑∫∑∫==

==n

iii

c

b

ai

n

ii

b

an ckdxxxfkdxxxf

i

11)()()()(44 344 21

ϕψ i ( ) ∑∫ ∑∫==

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

n

ii

b

a

n

iii

b

an kdxxkdxx

1

22

1

2 )()( ϕψ ,

to je

d 2( f, ψ n ) = ( )∫b

a

dxxf 2)( – 2∑=

n

iiick

1+ ∑

=

n

iik

1

2 .

Ako sada s desne strane dodamo i oduzmemo ∑=

n

iic

1

2 imamo :

d 2( f, ψ n ) = ( )∫b

a

dxxf 2)( + ∑=

−n

iii kc

1

2)( –∑=

n

iic

1

2 ,

4

a odavde slijedi da d 2( f, ψ n ) ima najmanju vrijednost ako je ki = ci (∀i = 1, ..., n), tj. kada je ψ n(x) jednaka n – toj parcijalnoj sumi Fourierovog reda funkcije f po ortonormiranom nizu (8.2.1). Posljedica 8.2.1. Važi jednakost:

d 2( f, ∑=

n

iiic

1ϕ ) = ( )∫

b

a

dxxf 2)( –∑=

n

iic

1

2 . (8.2.5)

Iz jednakosti (8.2.5) slijedi da važi nejednakost:

∑=

n

iic

1

2 ≤ ( )∫b

a

dxxf 2)( , ∀n∈N.

Odavde slijedi da red ∑∞

=1

2

iic konvergira i važi

∑∞

=1

2

iic ≤ ( )∫

b

a

dxxf 2)( . (8.2.6)

Nejednakost (8.2.6) poznata je kao Besselova nejednakost.

Iz konvergencije reda ∑∞

=1

2

iic slijedi da niz (ci) Fourierovih koeficijenata konvergira ka nuli.

Napomenimo da je potreban uslov za konvergenciju reda da opšti član teži nuli. Definicija 8.2.2. Za niz

( fn) funkcija fn∈H (∀n∈N) (8.2.7) kažemo da konvergira u srednjem ka funkciji f∈H na segmentu [a, b] ako za ∀ε > 0 postoji prirodan broj N = N (ε) takav da je

[ ]∫ −b

an dxxfxf 2 )()( < ε, za ∀n > N(ε),

što je ekvivalentno sa

[ ] 0 )()(lim 2 =−∫∞→

b

ann

dxxfxf .

Definiranu konvergenciju kratko pišemo u obliku: )()(

sr.xfxfn → , (x∈[a, b]).

Napomenimo da ova konvergencija predstavlja specijalan slučaj konvergencije u metričkom prostoru. Tvrdnja 8.2.1. Ako niz ( fn) funkcija fn∈H (∀n∈N) konvergira u srednjem ka funkcijama f i F na segmentu [a, b] onda važi f (x) = F(x), ∀x∈[a, b] s isključenjem možda konačnog broja tačaka. Dokaz: Zaista, tačnost tvrdnje 8.2.2. slijedi iz poznate nejednakosti

d ( f ; F ) ≤ d ( f ; fn) + d ( fn ; F ) i definicije pojma srednjeg kvadratnog odstupanja. Teorema 8.2.2. Ako niz funkcija dat sa (8.2.7) ravnomjerno konvergira ka funkciji f na segmentu [a, b], onda on konvergira i u srednjem na segmentu [a, b]. Dokaz: Iz pretpostavke da niz ( fn) uniformno konvergira ka funkciji f na segmentu [a, b], slijedi da je funkcija f i integrabilna na segmentu [a, b]. Uzmimo proizvoljno ε > 0. Tada iz uniformne konvergencije niza ( fn) ka funkciji f na segmentu [a, b] slijedi da postoji N = N (ε) tako da vrijedi nejednakost

)(2)()(

abxfxfn −

<−ε , za ∀n > N(ε), ∀x∈[a, b].

5

Slijedi da vrijedi

[ ] εε<≤−∫ 2

)()( 2b

an dxxfxf , ∀n > N(ε),

pa zaključujemo da )()(

sr.xfxfn → , (x∈[a, b]).

Ovim je dokaz teoreme 8.2.2. završen. Teorema 8.2.3. Potreban i dovoljan uslov da bi Fourierov red funkcije f∈H po ortonormiranom nizu (8.2.1) konvergirao u srednjem ka funkciji f na segmentu [a, b] dat je sa jednakošću :

∑∞

=1

2

iic = ( )∫

b

a

dxxf 2)( ,

gdje su c1, c2, ..., cn, ... Fourierovi koeficijenti funkcije f po ortonormiranom sistemu (8.2.1).

Posljednja jednakost naziva se Parsevalova jednakost. Dokaz: Iz (8.2.5.) imamo:

d 2(Sn, f ) = ( )∫b

a

dxxf 2)( –∑=

n

iic

1

2 , ∀n∈N,

pri čemu je Sn n – ta parcijalna suma Fourierovog reda po sistemu (8.2.1). Tačnost teoreme 8.2.3.

slijedi zbog ∞→n

lim d (Sn, f ) = 0 akko je ( )∫b

a

dxxf 2)( =∑∞

=1

2

iic .

§8.3. Zatvoreni ortonormirani sistemi funkcija

Definicija 8.3.1. Za ortonormirani sistem (niz) (ϕ n) (ϕ n ∈H, ∀n∈N) kažemo da je zatvoren u skupu djelomično neprekidnih funkcija H ako Fourierov red proizvoljne funkcije f∈H po tom ortonormiranom nizu konvergira u srednjem ka funkciji f . Iz date definicije 8.3.1. i teoreme 8.2.3. o potrebnom i dovoljnom uslovu za konvergenciju u srednjem Fourierovog reda funkcije f∈H po ortonormiranom sistemu (8.2.1) slijedi tačnost sljedeće tvrdnje: Tvrdnja 8.3.1. Parsevalova jednakost predstavlja potreban i dovoljan uslov da bi ortonormirani sistem dat sa (8.2.1) bio zatvoren u skupu H. Za zatvoreni ortonormirani niz (8.2.1) važi sljedeća teorema:

Teorema 8.3.1. Ako je funkcija f∈H ortogonalna funkcija u zatvorenom sistemu (ϕ n) (ϕ n ∈H, ∀n∈N), onda je f (x) = 0 na segmentu [a, b] sa isključenjem, eventualno, konačnog broja tačaka.

Dokaz: Iz pretpostavke teoreme slijedi da za ∀n∈N je

∫=b

ann dxxxfc )()( ϕ ,

pa iz jednakosti Parsevala imamo da vrijedi:

( )∫b

a

dxxf 2)( = 02 =∑ nc .

Iz posljednje jednakosti slijedi tačnost teoreme 8.3.1. Teorema 8.3.2. Ako funkcije f i F ∈H imaju isti Fourierov red na zatvorenom ortonormiranom sistemu, onda je f (x) =F (x) na segmentu [a, b] sa isključenjem končano mnogo tačaka.

6

Dokaz: Ako funkcije f (x) i F(x) imaju isti Fourierov red, onda niz (Sn) parcijalnih suma tog reda konvergira u srednjem ka tim funkcijama, pa tačnost tvrdnje slijedi iz

∞→nlim d ( f, Sn) = 0,

∞→nlim d ( F, Sn) = 0;

434214342143421000

)()(

),(),(),(

nn

FSdSfdFfd nn

→→≥

+≤ , ∀n∈N.

Teorema 8.3.3. Ako Fourierov red funkcije f∈H po zatvorenom ortonormiranom sistemu (8.2.1) uniformno konvergira na segmentu [a, b] ka funkciji f, onda je njegova suma jednaka funkciji f, tj.

)()(1

xfxci

ii =∑∞

=

ϕ , ∀x∈[a, b] sa isključenjem možda konačnog broja tačaka.

Dokaz: Neka niz parcijalnih suma (Sn) Fourierovog reda funkcije f ravnomjerno konvergira ka funkciji F. Kako posmatrani niz parcijalnih suma konvergira u srednjem ka funkciji f, to prema teoremi 8.3.2. slijedi da je f (x) = F(x), ∀x∈[a, b] sa isključenjem možda konačnog broja tačaka. Ako su funkcije datog ortonormiranog sistema (ϕ n) (ϕ n ∈H, ∀n∈N) i funkcija f∈H neprekidne i ako Fourierov red ravnomjerno konvergira na segmentu [a, b], onda je njegova suma jednaka f na posmatranom segmentu [a, b]. Ovim je dokaz teoreme 8.3.3. završen. Napomenimom da teorema 8.3.3. daje dovoljan uslov pri kojem se funkcija f∈H može razviti u Fourierov red po funkcijama ϕ n (ϕ n ∈H ) zatvorenog ortonormiranog sistema (ϕ n). Vrijedi sljedeća teorema koju navodimo bez dokaza:

Teorema 8.3.4. Trigonometrijski sistem funkcija je zatvoren u skupu djelomično neprekidnih funkcija.

§8.4. Trigonometrijski Fourierovi redovi Posebno mjesto među Fourierovim redovima zauzimaju tzv. trigonometrijski Fourierovi redovi. U mnogim problemima fizike, hemije, matematike itd. nameće se pitanje da se periodična funkcija f : R → R osnovnog perioda 2π prikaže u obliku trigonometrijskog polinoma ili, opštije, trigonometrijskog reda. Neka je funkcija f periodična sa osnovnim periodom T. Svakoj djelimično neprekidnoj funkciji f na posmatranom razmaku odgovara Fourierov red

f (x) ∼ ∑∞

=

++1

0 )2sin2cos(2 n

nn xTnbx

Tnaa ππ ,

koji se često naziva trigonometrijski Fourierov red. Brojevi an i bn se zovu Fourierovi koeficijenti i određuju se pomoću sljedećih formula:

∫=b

an xdx

Tnxf

Ta π2cos)(2 , (n = 1, 2, ...); ∫=

b

a

dxxfT

a )(20 ,

∫=b

an xdx

Tnxf

Tb π2sin)(2 , (n = 1, 2, ...).

Ako je segment [a, b] simetričan oko ishodišta, odnosno ako je [a, b] = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2,

2TT , onda se u

sljedeća dva slučaja računanje Fourierovih koeficijenata može znatno pojednostaviti:

1° ako je f (x) parna funkcija, tj. ako je f (– x ) = f (x), onda je ∫∫ =−

2/

0

2/

2/

)(2)(TT

T

dxxfdxxf , pa

Fourierove koeficijente možemo računati na sljedeći način:

7

∫=2/

0

2cos)(4 T

n xdxTnxf

Ta π za n = 0, 1, 2, ... i bn = 0 za n = 1, 2, ...;

2° ako je f (x) neparna funkcija, tj. ako je f (– x ) = – f (x), onda vrijedi da je 0)(2/

2/

=∫−

T

T

dxxf ,

pa Fourierove koeficijente možemo računati na sljedeći način:

an = 0 za n = 0, 1, 2, ... i ∫=2/

0

2sin)(4 T

n xdxTnxf

Tb π za n = 1, 2, ... .

Slično kao i kod Taylorovog reda funkcije i ovdje se postavljaju dva pitanja:

1. Da li Fourierov red funkcije f (x) konvergira? 2. Ako Fourierov red konvergira u tački x∈R ka broju S(x), da li je onda S(x) = f (x), tj. da li

konvergentan red predstavlja funkciju f ? Problematika sa konvergencijom opštih Fourierovih redova je jako opširna i na mnoga pitanja još uvijek nisu dati odgovori. Pitanja 1. i 2. su riješeni Dirichletovom teoremom. Teorema 8.4.1. Pretpostavke za funkciju f : [–π, π] → R su (tzv. Dirichletovi uslovi):

(i) postoji konačan skup A⊂[–π, π] tako da je f neprekidna funkcija u svakoj tački skupa [–π, π]\ A. Ukoliko je A≠∅, onda u svakoj tački skupa A funkcija f ima skok prve vrste ;

(ii) postoji podjela (subdivizija) –π = x0 < ... < xi – 1 < xi < ... < xn = π

segmenta [–π, π] na konačno mnogo dijelova takva da je funkcija f monotona na svakom segmentu [xi – 1 , xi ] (i = 1, ..., n).

Zaključak: (i) Fourierov red funkcije f konvergira za svaki realni broj x. Neka je S : R → R funkcija

koju taj red definira. (ii) Ako je f neprekidna u tački x∈(–π, π), onda je f (x) = S(x). (iii) Ako funkcija f ima prekid u x∈(–π, π), onda je

S(x) = 2

)0()0( −++ xfxf .

(iv) Na krajevima intervala je S(–π) = S(π) =

2)()( −+ +− ππ ff .

Ako funkcija f nije periodična, onda se njena restrikcija ili sama ta funkcija može periodički produžiti do funkcije f * definirane na skupu realnih brojeva. Neka je funkcija f periodična sa osnovnim periodom 2π, te neka su funkcija f i njen prvi izvod f ' djelomično neprekidni na [–π, π]. Tada se dokazuje da vrijedi:

Teorema 8.4.2. Ako su periodična funkcija f (sa osnovnim periodom 2π ) i njen izvod f '(x) djelomično neprekidni, onda za ∀x∈R važi

2)0()0( −++ xfxf = ∑

∞

=

++1

0 )2sin2cos(2 n

nn xTnbx

Tnaa ππ ,

∫+

=π

π

2

cos)(1 a

an nxdxxfa , (n = 0, 1, 2, ...); ∫

+

=π

π

2

sin)(1 a

an nxdxxfb , (n = 1, 2, ...).

Teorema 8.4.2. daje dovoljne uslove za razvoj funkcije u Fourierov red. Ako je uz navedene uslove f još i neprekidna funkcija u R, onda vrijedi :

2)0()0( −++ xfxf = f (x), ∀x∈R.

8

Primjer 8.4.1. Stepenasta funkcija y = f *(x) je 2π - periodičko proširenje fukcije y = f (x) definirane formulom:

f (x) = ( ]⎪

⎩

⎪⎨

⎧

∈=

−∈−

,,0 za ,1 ,0 za ,0

),0,( za ,1

π

π

xxx

kao na slici: Fourierov red te funkcije je red funkcija:

∑∞

=

−−

=++++1

)12sin(12

14...)7sin715sin

513sin

31(sin4

nxn

nxxxx

ππ.

Zaista, budući da je y = f *(x) neparna funkcija, to je

an = 0 za n = 0, 1, 2, ... i ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=⋅== ∫∫paran, za ,0

neparan, za ,4)cos1(2sin122sin)(4

0

2/

0 n

nnnnxdxxdx

Tnxf

Tb

T

n ππππ

π π

za n = 1, 2, ... . Primjer 8.4.2. Pilasta funkcija je 2π - periodičko proširenje fukcije y = f (x) zadane formulom

f (x) = ⎩⎨⎧

=−∈

, ,0),,( ,

πππ

kxxx

kao na slici: Fourierov red pilaste funkcije je red funkcija

∑∞

=

−−=+−+−

1

1

sin)1(2...)4sin413sin

312sin

21(sin2

n

n

nxn

xxxx .

y y = f (x) 1 –π 0 π x – 1

y y = f (x) 1 – π 0 π x – 1