View
351
Download
24
Embed Size (px)
DESCRIPTION
keren
Citation preview
Analisis Struktur II - 38
5. Frame
Frame atau portal merupakan kombinasi dari batang yang mengalami gaya aksial
desak atau tarik (rangka batang) dan batang yang mengalami momen dan gaya
geser pada joint/titik nodal (balok) baik dalam bentuk dua dimensi (bidang) atau
tiga dimensi (ruang).
1. Frame dua dimensi (plane frame system)
balok kantilever (overhang)
kolom
sendi rol jepit
Gambar. 5.1. konfigurasi frame
Y
y
i
j
X
x
Gambar 5.2. Frame (Sumber Bambang Suhendro, 2000)
Analisis Struktur II - 39
Pada sistem frame, tiap 1 titik nodal akan mengalami gaya aksial (fx), gaya lintang
(fy) dan momen lentur (mz), sedangkan displacement yang terjadi akan
bersesuaian dengan gaya yang terjadi yaitu lendutan searah sumbu x (ui), lendutan
searah sumbu y (vi) dan rotasi sudut (z), sehingga untuk 1 elemen akan
mengalami 6 macam gaya (masing-masing 3 ditiap titik nodal) dan 6 macam
displacement.
Gambar 5.3. Idealisasi balok
Gambar 5.4. Idealisasi rangka batang.
Secara matrik bentuk persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut,
j
j
j
i
i
i
zj
yj
xj
zi
yi
xi
v
u
v
u
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
E
L
EI
L
EL
AE
L
AEL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
E
L
EI
L
EL
AE
L
AE
m
f
f
m
f
f
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
22
2323
22
2323
Analisis Struktur II - 40
eee ukf …(5.1)
ef : vektor gaya koordinat lokal pada frame
ek : matrik kekakuan lokal elemen frame
eu : vektor displacement koordinat lokal
Gambar 5.5. Displacements titik nodal pada koordinat lokal dan global
Gambar 5.6. Gaya pada koordinat lokal dan global
2. Transformasi koordinat
Transformasi koordinat berguna untuk menggabungkan elemen yang berbeda
orientasi (berbeda sudut) menjadi gabungan elemen yang bersifat global.
Merupakan matrik yang menghubungkan antara matrik elemen lokal terhadap
matrik elemen global.
Analisis Struktur II - 41
a. koordinat lokal b. koordinat global
Gambar 5.7. Transformasi koordinat
y Y
Fy x
fy”
fx” Fx
fy’
X
i fx’
Gambar 5.8. Hubungan antara koordinat lokal dan global
dari gambar tersebut dapat diperoleh:
fx’=Fx cos fx”=Fy sin
fy’= Fx sin fy”=Fy cos
berdasarkan vektor perpindahannya diperoleh:
fx=fx’+fx”=Fx cos + Fy sin
fy=fy’+fy”=Fy cos - Fx sin
dan untuk momen Mz tidak mengalami perubahan, sehingga Mz=1. Mz’=1. Mz”
dalam bentuk matrik ditulis sebagai berikut:
Analisis Struktur II - 42
Mz
Fy
Fx
mz
fy
fx
100
0cossin
0sincos
Sehingga untuk balok yang selain mengalami gaya aksial juga mengalami momen
lentur, diperoleh matriks transformasi sebagai berikut (untuk 1 elemen) atau
dalam matrik sebagai berikut:
j
j
j
i
i
i
j
j
j
i
i
i
V
U
V
U
v
u
v
u
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
eee UTu
eee ukf
eeeee UTkFT
pada ruas kiri dan kanan dikalikan dengan 1eT
eeeeeee UTkTFTT
11
eeeee UTkTF
1
atau dalam bentuk yang umum ee
g
e UkF
dengan nilai eetee
g TkTk
Contoh 1.
Y P=100 kN
45o
1 1 45O
Mzb=50 kNm
1 2 2
A=6x103 mm
2
I=200x106mm
4
E=200 kN/mm2 2 A=4x10
3 mm
2
5m I=50x106 mm
4
E=200 kN/mm2
X
8m 3
Analisis Struktur II - 43
1. Elemen 1 (batang 1-2) =0o
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
Ei
L
EI
L
EiL
AE
L
AEL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
Ei
L
EI
L
EiL
AE
L
AE
k e
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
22
2323
22
2323
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
T
2
2
2
1
1
1
1
...
...
...
...
...
...
10000075,1805000075,180
75,180047,0075,180047,00
0075,00075,0
5000075,18010000075,180
75,180047,0075,180047,00
0075,00075,0
200
v
u
v
u
k
Sudut =0o maka matrik transformasi merupakan matrik identitas, sehingga
11
gkk
Analisis Struktur II - 44
2. Elemen 2 (batang 2-3) =270o
3
3
3
2
2
2
2
...
...
...
...
...
...
4000012020000120
120048,00120048,00
008,0008,0
200012040000120
120048,00120048,00
008,0008,0
200
v
u
v
u
k
sudut =270o diperoleh matrik transformasi
3
3
3
2
2
2
...
...
...
...
...
...
100000
001000
010000
000100
000001
000010
v
u
v
u
T
matrik transformasi yang ditranspose
3
3
3
2
2
2
2
...
...
...
...
...
...
100000
001000
010000
000100
000001
000010
v
u
v
u
TT
2222 TkTkT
g
3
3
3
2
2
2
2
...
...
...
...
...
...
4000001220000012
08,0008,00
1200048,01200048,0
2000001240000012
08,0008,00
1200048,01200048,0
200
v
u
v
u
k g
Analisis Struktur II - 45
3. Overall stiffness matrix
4000001220000012000
08,0008,00000
1200048,01200048,0000
2000001214000075,18125000075,180
08,0075,188047,0075,180047,00
1200048,01207548,00075,0
0005000075,18010000075,180
00075,180047,0075,180047,00
0000075,00075,0
200
333222111
gk
vuvuvu
4. Boundary condition (kondisi batas)
u1=v1=1=u3=v3=3=0 (tumpuan terjepit)
u2=v2=2=? (titik nodal, displacement yang akan dicari)
ee
g
e UkF
2
2
2
14000075,1812
75,188047,00
1207548,0
200
50000
71068,70
71068,70
v
u
diperoleh displacement di titik nodal 2
rad
mm
mm
v
u
00169,0
39989,0
44147,0
2
2
2
5. Gaya batang elemen 1
eeeeee UTkukf
1111 UTkf
10000075,1805000075,180
75,180047,0075,180047,00
0075,00075,0
5000075,18010000075,180
75,180047,0075,180047,00
0075,00075,0
200
2
2
2
1
1
1
z
y
x
z
y
x
m
f
f
m
f
f
Analisis Struktur II - 46
00169,0
39989,0
44147,0
0
0
0
100000
010000
001000
000100
000010
000001
kNmm
kN
kN
kNmm
kN
kN
931,35385
729,6
221,66
756,18442
729,6
221,66
6. Gaya batang elemen 2
eeeeee UTkukf
2222 UTkf
4000012020000120
120048,00120048,00
008,0008,0
200012040000120
120048,00120048,00
008,0008,0
200
3
3
3
2
2
2
x
y
x
z
y
x
m
f
f
m
f
f
0
0
0
00169,0
39989,0
44147,0
100000
001000
010000
000100
000001
000010
kNmm
kN
kN
kNmm
kN
kN
789,7836
490,4
982,63
069,14614
490,4
982,63
-18442,756 kNmm 35385,931 kNmm
-14614,06 kNmm
7836,78 kNmm
Gambar 5.9. Bending Momen Diagram (BMD)
Analisis Struktur II - 47
Contoh 2.
B C
2
A=6x103 mm
2
I=200x106mm
4
1 E=200 kN/mm2 3 A=4x10
3 mm
2
5m I=50x106 mm
4
E=200 kN/mm2
(data untuk kolom)
A 8m D
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
E
L
EI
L
EL
AE
L
AEL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
Ei
L
EI
L
EiL
AE
L
AE
k e
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
22
2323
22
2323
Gambar 5.10. Gaya
Geser/Lintang
Gambar 5.11. Gaya Aksial
66,21 kN (tarik)
-63,98 kN (tekan)
6,729 kN
4,49 kN
Analisis Struktur II - 48
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
T
Elemen 1 (batang a-b) =90o
b
b
b
a
a
a
ab
v
u
v
u
k
...
...
...
...
...
...
4000012020000120
120048,00120048,00
008,0008,0
2000012040000120
120048,00120048,00
008,0008,0
200
b
b
b
a
a
a
ab
v
u
v
u
T
...
...
...
...
...
...
100000
001000
010000
000100
000001
000010
b
b
b
a
a
a
Tab
v
u
v
u
T
...
...
...
...
...
...
100000
001000
010000
000100
000001
000010
ababTabab
g TkTk
b
b
b
a
a
a
ab
g
v
u
v
u
k
...
...
...
...
...
...
4000001220000012
08,0008,00
1200048,01200048,0
2000001240000012
08,0008,00
1200048,01200048,0
200
Analisis Struktur II - 49
Elemen 2 (batang b-c) =0o
c
c
c
b
b
b
bc
v
u
v
u
k
...
...
...
...
...
...
10000075,1805000075,180
75,1800469,0075,1800469,00
0075,00075,0
5000075,18010000075,180
75,1800469,0075,1800469,00
0075,00075,0
200
c
c
c
b
b
b
bc
v
u
v
u
T
...
...
...
...
...
...
100000
010000
001000
000100
000010
000001
Karena matrik transformasi merupakan matrik identitas maka bc
g
bc kk
ababTabab
g TkTk
Elemen 3 (batang c-d) =270o
d
d
d
c
c
c
cd
v
u
v
u
k
...
...
...
...
...
...
4000012020000120
120048,00120048,00
008,0008,0
2000012040000120
120048,00120048,00
008,0008,0
200
d
d
d
c
c
c
cd
v
u
v
u
T
...
...
...
...
...
...
100000
001000
010000
000100
000001
000010
Analisis Struktur II - 50
cdcdTcdcd
g TkTk
d
d
d
c
c
c
ab
g
v
u
v
u
k
...
...
...
...
...
...
4000001220000012
08,0008,00
1200048,01200048,0
2000001240000012
08,0008,00
1200048,01200048,0
200
Overall stiffness matrix
ua va a ub vb b uc vc c ud vd d
0,0048 0 -12 -0,0048 0 -12 0 0 0 0 0 0 ua
0 0,8 0 0 -0,8 0 0 0 0 0 0 0 va
-12 0 40000 12 0 20000 0 0 0 0 0 0 a
-0,0048 0 12 0,7548 0 12 -0,75 0 0 0 0 0 ub
0 -0,8 0 0 0,80469 18,75 0 -0,00469 18,75 0 0 0 vb
[Kg]=200 -12 0 20000 12 18,75 140000 0 -18,75 50000 0 0 0 b
0 0 0 -0,75 0 0 0,7548 0 12 -0,0048 0 12 uc
0 0 0 0 -0,00469 -18,75 0 0,80469 -18,75 0 -0,8 0 vc
0 0 0 0 18,75 50000 12 -18,75 140000 -12 0 20000 c
0 0 0 0 0 0 -0,0048 0 -12 0,0048 0 -12 ud
0 0 0 0 0 0 0 -0,8 0 0 0,8 0 vd
0 0 0 0 0 0 12 0 20000 -12 0 40000 d
Kasus 1
Pada elemen b-c terdapat beban terbagi merata sebesar 2 kN/m
2kN/m
B C
A=6x10
3 mm
2 2
I=200x106mm
4
E=200 kN/mm2 1 1 3 A=4x10
3 mm
2
5m I=50x106 mm
4
E=200 kN/mm2
(data kolom)
A D
8m
pada titik nodal b terdapat momen sebesar Mzb=-10,667.103 kNmm dan
Fyb= -8 kN Fxb=0
Analisis Struktur II - 51
pada titik nodal c terdapat momen Mzc=10,667.103 kNmm dan Fyc= -8 kN
Fxc=0
pada titik nodal a dan d kondisi batasnya adalah ua=va=a=ud=vd=d=0
(terjepit)
Gambar 5.11. Reaksi gaya lintang dan momen pada beban terbagi merata
Gambar 5.12. Reaksi gaya lintang dan momen pada beban terpusat
Gambar 5.13. Reaksi gaya lintang dan momen pada beban terpusat
di tengah bentang
Gambar 5.14. Reaksi gaya lintang dan momen akibat momen
Gambar 5.15. Reaksi gaya lintang dan momen akibat defleksi
Analisis Struktur II - 52
a. tanpa mengabaikan deformasi aksial
ee
g
e UkF
vektor gaya
kNmm
kN
kN
kNmm
kN
kN
m
f
f
m
f
f
zc
yc
xc
zb
yb
xb
3
3
10.667,10
8
0
10.667,10
8
0
c
c
c
b
b
b
v
u
v
u
14000075,18125000075,80
75,1880469,0075,1800469,00
1207548,00075,0
500075,801400075,1812
75,1800469,0075,1880469,00
0075,01207548,0
200
10.667,10
8
0
10.667,10
8
0
3
3
diperoleh nilai displacement di titik b dan c
rad
mm
mm
rad
mm
mm
v
u
v
u
c
c
c
b
b
b
000593,0
050000,0
004731,0
000593,0
050000,0
004731,0
Gambar 5.16. Deformasi akibat beban terbagi merata 2 kN/m
Analisis Struktur II - 53
b. dengan mengabaikan deformasi aksial
Akibat mengabaikan deformasi aksial maka vb=vc=0 (batang tidak mengalami
perpendekan atau perpanjangan) dan akibat frame simetris maka ub=uc
c
c
b
b
zb
xc
zb
xb
u
u
m
f
m
f
14000012500000
127548,0075,0
50000014000012
075,0127548,0
200
Dengan bentuk beban simetris maka b=-c dan ub=uc=0 (akibat deformasi aksial
diabaikan dan frame yang simetris)
c
c
b
b
zb
xc
zb
xb
u
u
m
f
m
f
14000012500000
120048,000
50000014000012
00120048,0
200
disederhanakan menjadi
c
b
zc
zb
m
m
14000050000
50000140000200
diperoleh displacement di titik b rad
rad
c
b
000593,0
000593,0
(bandingkan hasilnya dengan tanpa mengabaikan deformasi aksial)
Gambar 4.17. Gambar BMD dan SFD akibat beban terbagi merata 2kN/m
a. Bending Moment diagram
2,3 kNm
4,7 kNm
-4,7 kNm
8 kN
1,42 kN
b. Shear Force Diagram
Analisis Struktur II - 54
Kasus 2
Ada beban horisontal pada titik nodal b dan c sebesar 2,5 kN
a. tanpa mengabaikan deformasi aksial
B C
2,5 kN
2,5 kN
2
A=6x103 mm
2
I=200x106mm
4 1
E=200 kN/mm2 1 5m 3 A=4x10
3 mm
2
I=50x106 mm
4
a E=200 kN/mm2
A D
8m
ee
g
e UkF
c
c
c
b
b
b
v
u
v
u
14000075,18125000075,80
75,1880469,0075,1800469,00
1207548,00075,0
500075,801400075,1812
75,1800469,0075,1880469,00
0075,01207548,0
200
0
0
5,2
0
0
5,2
diperoleh nilai displacement di titik b dan c
rad
mm
mm
rad
mm
mm
v
u
v
u
c
c
c
b
b
b
000197,0
009149,0
097808,3
000197,0
009149,0
097808,3
b. dengan mengabaikan deformasi aksial
kondisi batas dengan mengabaikan deformasi aksial (vb=vc=0, ub=uc, b=c)
c
c
b
b
u
u
14000012500000
127548,0075,0
50000014000012
075,0127548,0
200
0
5,2
0
5,2
Analisis Struktur II - 55
c
c
b
b
u
u
14000012500000
120048,000
50000014000012
00120048,0
200
0
5,2
0
5,2
karena ub=uc, b=c maka nilai untuk baris dan kolom untuk b
=140.000+50.000=190.000
b
bu
19000012
120048,0200
0
5,2
Diperoleh displacement di titik b rad
mmu
b
b
000195,0
092447,3
nilai displacement ub=uc dan b=c (hasil yang diperoleh tidak jauh berbeda
dengan asumsi tanpa mengabaikan deformasi aksial)
Gambar 5.18. Deformasi akibat 2,5 kN di titik B dan C searah bumbu X global
Kasus 3
Gabungan kasus 1 dan 2
a. tanpa mengabaikan deformasi aksial
jika beban horisontal ke kanan akan diperoleh:
2kN/m
2,5 kN B C 2,5 kN
A=6x103 mm
2 2
I=200x106mm
4
E=200 kN/mm2 1 1 3 A=4x10
3 mm
2
5m I=50x106 mm
4
E=200 kN/mm2
(data kolom)
A D
8m
Analisis Struktur II - 56
kNmm
kN
kN
kNmm
kN
kN
m
f
f
m
f
f
zc
yc
xc
zb
yb
xb
3
3
10.667,10
8
5,2
10.667,10
8
5,2
c
c
c
b
b
b
v
u
v
u
E
E
14000075,18125000075,80
75,1880469,0075,1800469,00
1207548,00075,0
500075,801400075,1812
75,1800469,0075,1880469,00
0075,01207548,0
200
040667,1
8
5,2
040667,1
8
5,2
diperoleh nilai displacement di titik b dan c
rad
mm
mm
rad
mm
mm
v
u
v
u
c
c
c
b
b
b
0008,0
0591,0
1025,3
0004,0
0409,0
0931,3
Gambar 5.18. Deformasi akibat beban 2,5 kN di titik B dan C
searah bumbu X global dan beban terbagi merata di balok B-C
Analisis Struktur II - 57
Gambar 4.19. Gambar BMD dan SFD akibat beban 2,5 kN di titik B dan C
searah bumbu X global dan beban terbagi merata di balok B-C
Kasus 4
Jika beban Fxb=2,5 kN (ke kanan) dan Fxc=-2,5 kN (ke kiri)
2kN/m
2,5 kN B C 2,5 kN
A=6x103 mm
2 2
I=200x106mm
4
E=200 kN/mm2 1 1 3 A=4x10
3 mm
2
5m I=50x106 mm
4
E=200 kN/mm2
(data kolom)
A D
8m
kNmm
kN
kN
kNmm
kN
kN
m
f
f
m
f
f
zc
yc
xc
zb
yb
xb
3
3
10.667,10
8
5,2
10.667,10
8
5,2
a. Bending moment diagram a. Shear force diagram
Analisis Struktur II - 58
c
c
c
b
b
b
v
u
v
u
E
E
14000075,18125000075,80
75,1880469,0075,1800469,00
1207548,00075,0
500075,801400075,1812
75,1800469,0075,1880469,00
0075,01207548,0
200
040667,1
8
5,2
040667,1
8
5,2
diperoleh nilai displacement di titik b dan c
rad
mm
mm
rad
mm
mm
v
u
v
u
c
c
c
b
b
b
00059,0
05000,0
00358,0
00059,0
05000,0
00358,0
Gambar 5.20. Deformasi akibat beban 2,5 kN di titik B (searah) dan C (tidak
searah) bumbu X global dan beban terbagi merata di balok B-C
Gambar 4.21. Gambar BMD dan SFD akibat beban 2,5 kN di titik B (searah) dan
C (tidak searah) bumbu X global dan beban terbagi merata di balok B-C
a. Bending moment diagram a. Shear force diagram
Analisis Struktur II - 59
Soal Tambahan
Struktur tangga diidealisasikan secara sederhana sebagai berikut.
q=150 kg/m
2m
3m 2m
Tebal plat 10 cm (lebar 100cm), bahan beton
q1=50 kg/m
100 kg
4m
q2=100 kg/m
150 kg
4m
6m
Dimensi kolom 40/40 (cm), balok 40/60 (cm), bahan beton
Analisis Struktur II - 60
50 kg/m
1m
4m
2x5m
Kolom wf 200.100, gable frame wf 200.100 tebal 10mm (sayap dan badan)
c 300 kg/m2
b
a
Tebal plat 10 cm (lebar 100cm), bahan beton
Daftar Pustaka
West, Harry H., 1989., Analysis of Structure ( an Integrated of Cassical and
Modern Methods), 2nd
edition., John Wiley and sons, Canada
Gere, JM., Weaver., WJR., 1965., Analysis of Framed Structures, Chapter 4, Van
Nostrand., Princeton., NY.
M. Guire.W., Gallagher.RH, 1979., Matrix structural analysis., Chapter 3-5
Wiley and Sons., NY
Suhendro, Bambang., 2004., Analisa Struktur Metoda Matrix., Beta Offset,
Yogyakarta