Föreläsning 5: Geometri•Geometri i skolan•Grundläggande begrepp•Former i omvärlden•Plangeometriska figurer•Symmetri och tessellering•Tredimensionell geometri och geometriska kroppar•Omkrets, area, volym •Längdskala•(enheter och enhetsomvandlingar)

”GEOMETRI” från grekiska: geo = "jord", metria = "mäta")

3-K: Kultur

Kommunikation Kreativitet

Varför undervisar vi i geometri?

Geometri, kultur och kommunikation: Med vilka former konstruerar människan sin fysiska värld? Med vilka begrepp kan den fysiska världens former beskrivas? Vilka är relationerna mellan begreppen?

Bron mellan Replot och fastlandet

Bro över Zambezi-floden

Cameroon, västra Central-Afrika

Rätblock

Kvadrat

Rektangel

Cirkel

Cylinder

Former i vardagen

Former i naturen?

A. Plangeometri (planimetri)

Behandlar geometriska egenskaper hos figurer i två dimensioner dvs. i ett plan

1. Punkt, sträcka, linje, stråle, normal

2. Polygoner (månghörningar); Omkrets. Area.

3. Vinklar; Bisektris. Vinkelsumma i triangel och fyrhörning

4. Cirkeln; radie, diameter, omkrets (periferi), korda, medelpunkt, tangent, sekant, sektor

5. Kongruens. Avbildning.

6. Symmetri. Mönster. Tessellering.

7. Koordinatsystem. Koordinataxlar. Spegling i axlar. Koordinater.

8. Likformighet; Skala (längdskala)

9. Omkrets och area av oregelbundna figurer

5. Kongruens och avbildning

I kongruenta figurer är sträckor, areor och vinklar lika stora. De har samma form (likformiga) och samma storlek .

Avbildning (ändring) i skala 1:1 ger kongruenta figurer (symmetriska)

- spegling i linje och i punkt- vridning- parallellförskjutning

Spegling i en linje (reflektion)Motsvarande punkters vinkelräta avstånd till linjen är lika

Vridning (rotation) kring en punkt

Alla punkter i figuren vrids lika mycket runt en fixpunkt

fixpunkt

Spegling i en punkt dåvridningen är 180°

Parallellförskjutning (translation): Alla punkter i figuren flyttas lika långt i samma riktning

6. Symmetri. Mönster. Tessellering

Mönster med symmetri är upprepning av kongruenta figurer, bilden kan inte urskiljas från originalet.

Höger och vänster halva är varandras spegelbilder

TesselleringNär samma figur upprepas så att ett heltäckande mönster bildas. Figuren tessellerar.

(Jämför: Palindromiska tal ex. 1991; palindromiska ord och texter ex. oro)

Symmetrilinjer

Exempel på tesselleringar:

4* 90° = 360°6*60°=360°

3*120°=360°Vid plana tesselleringar 360° i mötespunkterna

Tessellering med en sk pentomino-bit

Arabiskt mönster

Escher 1

Escher 2

Escher 3

8. Likformighet och skala

Längdskala. Kartskalor

Förstoring. Förminskning

Rita i skala. Figurerna likformiga: har samma form

Orienteringskartans skala 1 : 15 000

1cm ? 7 cm? i verkligheten? Hur lång är banan fågel-vägen?

12

3

Sträckan motsvarar 360 km i verkligheten

Skalan? Kortaste avståndet Utsjoki –Helsingfors?

Skalan anges somförhållandet mellan bild och verklighet.

B. Rymdgeometri (stereometri)

Behandlar geometriska egenskaper hos geometriska kroppar

10. Polyedrar (sidoytorna är månghörningar). Prisma. Rätblock. Kub. Pyramid.

11. De fem platonska kropparna (regelbundna polyedrar): Tetraeder. Kub (Hexader). Oktaeder. Dodekaeder. Ikosaeder.

12. Cylinder. Kon. Klot.

13. Avbildningar. Perspektivritning

14. Volym

10. Polyeder

Är en geometrisk kropp som begränsas av ett ändligt antal månghörningar som kallas sidoytor.

Hos rätblock, kub, prisma och pyramid brukar man skilja mellan basyta och sidoytor.

11. Platonska kropparna

Är regelbundna polyedrar: sidoytorna är kongruenta regelbundna månghörningar

Tetraedern

Kuben; Hexaedern

Oktaedern

Dodekaedern

Ikosaedern

Antal sidoytor: Sidoytornabegränsas av regelbundna:

Liksidig pyramid; Tetraeder 4 trianglar

Kub; Hexaeder 6 kvadrater

Oktaeder 8 trianglar

Dodekaeder 12 femhörningar

Ikosaeder 20 trianglar

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/Hexahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Octahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Dodecahedron.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Icosahedron.gif

Varför finns inte fler än dessa fem??

Några väsentliga lärandemål för längd, omkrets, area och volym

•skilja mellan begreppen längd, omkrets, område, yta, area och volym

•uppskatta och beräkna både omkrets och area av följande typer av områden: trianglar och fyrhörningar (kvadrat, romb, rektangel, parallellogram)

•uppskatta och beräkna både begränsningsarea och volym för rätblock och (specialfallet) kub

•skilja mellan längdenhet, areaenhet och volymenhet, klara av enhetsbyten med dessa enheter samt välja lämpliga enheter

Eleverna skall kunna:

• uppskatta och mäta längd

•Vilka är nödvändiga färdigheter och aritmetiska förkunskaper?

•Vad är relevanta tillämpningar?

•Vilken är relationen mellan skolgeometrin och elevernas vardag och kulturella miljö?

•Valet av arbetssätt

Läraren bör begrunda

ENHETER

SI-enheter (Système International d’Unités).

Totalt sju grundenheter varav meter, kilogram och sekundingår i F-6.

Längd: mil, km, (hm, dam), m, dm, cm, mm

Area: km2, ha, a, m2, dm2, cm2, mm2

Volym: m3, dm3, cm3, mm3 (kl), hl, (dal), l, dl, cl, ml

Massa: t, kg, hg, (dag), g, (dg, cg), mg

Tid: a, mån, d, h, min, s

Storheter Enheter

Viktigt att kunna:

mätredskap

olika enheter

samband mellan enheter; relationstal, enhetsbyten

uppskattningar; tillämpningar

Gamla enheter:

Kroppsenheter; famn, fot, tum, aln, spann

1 famn = 3 alnar = 1,781 m

1 fot = 12 tum = 29,69 cm

1 tum = 2, 54 cm

1 spann = 1/4 aln = 148,4505 mm.

1 tunnland = 4936,5 m2

Anglosaxiska enheter: inch, foot, mile, ounce, pound ....