ă.ro/supliment...4 Romanian Statistical Review - Supplement nr. 2 / 2016 din cadrul Universității din București în cadrul secției de ﬁ zică - matematică ﬁ nalizate în

Revista Română de Statistică

SuplimentRomanian Statistical Review

Supplement

2/2016

Institutul Naţional de StatisticăNational Institute of Statistics

www.revistadestatistică.ro/supliment

INSTITUTUL NAŢIONAL DE STATISTICĂRevista Română de StatisticăB-dul Libertăţii, nr. 16, sector 5,BucureştiTelefon/fax: 0213171110e-mail: [email protected]ă.ro/suplimentISSN 2359 – 8972

Revista Română de Statistică, indexată în bazele de date internaţionale

COLEGIUL ŞTIINŢIFIC

Research Papers in Economics

EBSCO Information Services

Directory of Open AccessJournals

Index Copernicus International

EMILIAN DOBRESCU - Academia Română

AUREL IANCU - Academia Română

MARIUS IOSIFESCU - Academia Română

LUCIAN ALBU - Academia Română

GHEORGHE ZAMAN – Prof. univ. dr., membru corespondent al Academiei Române

TUDOREL ANDREI - Prof. univ. dr., Preşedinte al Institutului Naţional de Statistică

BEATRIX GERED – Vicepreşedinte al Institutului Naţional de Statistică

ELENA MIHAELA IAGĂR – Vicepreşedinte al Institutului Naţional de Statistică

DAN GHERGUŢ - Vicepreşedinte al Institutului Naţional de Statistică

RĂZVAN GEORGE PROFIROIU - Secretar general al Institutului Naţional de Statistică

KONRAD PASENDORFER – PhD, Director General al Statistics Austria

MARIANA MIHAILOVA KOTZEVA - EUROSTAT

CONSTANTIN MITRUŢ – Prof. univ. dr., Preşedinte al Societăţii Române de Statistică

CONSTANTIN ANGHELACHE – Prof. univ. dr., Vicepreşedinte al Societăţii Române de Statistică

PAVEL NĂSTASE – Prof. univ. dr., Rector al Academiei de Studii Economice, Bucureşti

VERGIL VOINEAGU – Prof. univ. dr., Academia de Studii Economice, Bucureşti

TIBERIU POSTELNICU – Prof. univ. dr., Institutul “Gheorghe Mihoc-Caius Iacob”

BOGDAN OANCEA – Prof. univ. dr., Universitatea „Nicolae Titulescu”

GHEORGHE SĂVOIU - Conf. univ. dr., Universitatea Piteşti

IRINA-VIRGINIA DRAGULANESCU - Prof. univ. dr., University Messina, Italia

HANS J. LENZ - PhD Professor, Freie Universität Berlin

DANIELA ELENA ŞTEFĂNESCU - Conf. univ. dr., Institutul Naţional de Statistică

ELISABETA JABA – Prof. univ. dr., Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” University

EUGENIA HARJA - Prof. univ. dr., Direcţia de Statistică Bacău

ŞTEFAN-ALEXANDRU IONESCU - Universitatea Româno-Americană

Revista Română de Statistică - Supliment nr. 2 / 2016

SUMAR / CONTENTS 2/2016REVISTA ROMÂNĂ DE STATISTICĂ SUPLIMENT

„CONSTANTA MICULESCU” O DOVADĂ ELOCVENTĂ A UNEI CUNOAŞTERI STATISTICE EXPERIMENTALE PROFUNDE, ÎN ROMÂNIA FINALULUI DE SECOL AL XIX - LEA 3

THE “MICULESCU CONSTANT”, AN ELOQUENT PROOF OF DEEP EXPERIMENTAL STATISTICAL KNOWLEDGE IN LATE 19TH CENTURY ROMANIA 13

Professor habil. Gheorghe SĂVOIU, PhD. Universitatea din Piteşti

UNELE ELEMENTE PRIVIND NORMALITATEA ESTIMATORILOR BAZAŢI PE ECUAŢIE UNICĂ 23

SOME ELEMENTS ABOUT NORMALITY OF SINGLE-EQUATION ESTIMATORS 28

Prof. univ. dr. Constantin ANGHELACHE Academia de Studii Economice, Bucureşti, Universitatea „Artifex” din Bucureşti Conf. univ. dr. Mădălina Gabriela ANGHEL Universitatea „Artifex” din Bucureşti Drd. Gyorgy BODO Drd. Cristina SACALĂ Academia de Studii Economice, Bucureşti

DEFICITUL STATELOR MEMBRE ALE UNIUNII EUROPENE DIN ZONA EURO 33

THE DEFICIT OF THE EU MEMBER STATES IN THE EURO AREA 44 Drd. Adrian Amarița Ministerul Dezvoltării Regionale și Administrației Publice

SCURTĂ ISTORIE A ALGEBREI ŞI A IMPACTULUI EI STATISTIC MAXIMIZAT ÎN STATISTICA ALGEBRICĂ 54

A BRIEF HISTORICAL SURVEY OF ALGEBRA AND ITS MAXIMIZED STATISTICAL IMPACT ON ALGEBRAIC STATISTICS 65

Professor habil. Gheorghe SĂVOIU, PhD, Universitatea din Piteşti Professor MD. Sandra MATEI, Şcoala Gimnaziala Nr. 198, Bucureşti

www.revistadestatistica.ro/supliment

Romanian Statistical Review - Supplement nr. 2 / 20162

UNELE ASPECTE PRIVIND EXTENSIA TESTELOR EDGEWORTH LA RESTRICŢIILE NON-LINIARE 78

SOME ASPECTS REGARDING THE EXTENSION OF EDGEWORTH TEST TO NONLINEAR RESTRICTIONS 83

Prof. univ. dr. Constantin ANGHELACHE Academia de Studii Economice, Bucureşti, Universitatea „Artifex” din Bucureşti Prof. univ. dr. Alexandru MANOLE Universitatea „Artifex” din Bucureşti Conf. univ. dr. Mădălina Gabriela ANGHEL Universitatea „Artifex” din Bucureşti Drd. Georgiana NIŢU Academia de Studii Economice, Bucureşti

STUDIU COMPARATIV ÎN ESTIMAREA PREŢULUI VOLKSWAGEN: ARIMA VERSUS ANN 87

COMPARATIVE STUDY IN ESTIMATING VOLKSWAGEN’S PRICE: ARIMA VERSUS ANN 98 Florin Dan PIELEANU Academia de Studii Economice București

Revista Română de Statistică - Supliment nr. 2 / 2016 3

„Constanta Miculescu” o dovadă elocventă a unei cunoaşteri statistice experimentale profunde, în România fi nalului de secol

al XIX - lea Professor habil. Gheorghe SĂVOIU, PhD. Universitatea din Piteşti

Abstract Această lucrare este de fapt un omagiu adus statisticii experimentale naționale, precum și personalităților acesteia, dintre care profesorul Constantin Miculescu constituie un reprezentant cu totul aparte, care a devenit în fi nal și fondator al școlii naționale de fi zică experimentală, deținând în paralele contribuţii ştiintifi ce internaționale remarcabile privind echivalenţele dintre fenomenele mecanice şi termice. Din această abordare statistică foarte riguroasă a experimentelor s-a născut și celebra constantă ce îi poartă numele. După aproape 125 de ani, acest articol supune unei analize statistice descriptive amănunțite toate cele 31 de valori experimentale, care suțin argumetația tezei de doctorat a fi zicianului la Paris, valori care au oferit determinarea cu cea mai mare precizie a echivalentului mecanic al caloriei. Articolul constituie un pretext pentru a dezvălui în paralel cu certitudinile lui Constantin Miculescu legate de aproximarea sa estimată la nivelul celei de a treia zecimale și fundamentarea unei școli de statistică experimentală axată pe rigoare și profunzime a cunoașterii statistice. În esență gândirea sa statistică experimentală este astfel reamintită și redovedită ca fi ind una aproape fără de cusur și benfi ciind de o putere de anticipație a importanței sale științifi ce cu cel puțin o generație sau două înaintea altor abordări similare în cercetarea românească. Key words: constantă, echivalent mecanic al caloriei, abatere experimenta-lă, mediană, statistici descriptive, statistică experimentală.

INTRODUCERE Fizician român de prestigiu internațional, dar și fondator al școlii naționale de fi zică experimentală în cercetarea românească, profesorul Constantin Miculescu (1863-1937) a rămas consemnat în istoria științei pentru rezultatele sale notabile în termodinamică şi optică. Principala sa contribuție în domeniul fi zicii, așa cum apare menționată în toate enciclopediile contemporane (Wikipedia, 2015), poate fi regăsită chiar în lucrarea sa de doctorat, susţinută în 1891, unde a prezentat determinarea prin experiment cea mai riguroasă și cu cel mai înalt grad de precizie a echivalentului mecanic al caloriei. După ce a absolvit prestigiosul liceu Matei Basarab din București, unde și-a luat bacalaureatul în 1882, având drept mentori pe Constantin I. Șonțu și Emanoil Bacaloglu, remarcabili profesori de științe fi zico - chimice, pe ultimul dintre aceștia reîntâlnindu-l și în cadrul studiilor universitare, dar și cursurile Facultății de Științe


din cadrul Universității din București în cadrul secției de fi zică - matematică fi nalizate în 1886, tânărul Constantin Miculescu, a obținut o bursa la Paris unde a devenit mai întâi, în 1888, licențiat în Științe și apoi doctor în fi zică la Universitatea Sorbona. Teza sa de doctorat, publicată sub titlul Sur la determination de l’équivalent mécanique de la calorie (Marinescu, 1982) a fost coordonată științifi c de către profesorul Gabriel Lippmann (1845-1921), viitorul laureat al Premiului Nobel pentru fi zică din anul 1908. Cuantifi carea cât mai precisă a echivalentului mecanic al caloriei a constituit o preocupare esențială a fi zicienilor după 1840, iar valorile determinate anterior, chiar de mari fi zicieni ca J.M. Joule (1819-1889), E.M Lenz (1804-1865) și J.A. D’Arsouval (1851-1940), prezentau însă abateri experimentale destul de mari, mergând și până la 20% față de valoarea reală, fi ind difi cil de acceptat și ulterior de utilizat în practică. Valoarea echivalentului mecanic al caloriei descoperită de Constantin Miculescu a fost înscrisă în tabelele internaționale de constante și a devenit o constantă fundamentală a termodinamicii, după 1892 (Becquerel, 1897). În 1939, profesorul Darmois de la Sorbona menționa cu satisfacția apartenenței la aceeași instituție educațională franceză a fi zicianului român, din punctul de vedere strict al doctoratului, că metoda lui Miculescu a fost și a rămas singura metodă cunoscută care a permis realizarea a două condiții teoretice esențiale: a) sistemul experimental să producă un lucru mecanic; b) să fi e împiedicate pierderile de căldură spre exterior (Darmois, 1947). Constantin Miculescu a construit un dispozitiv special format dintr-un calorimetru cu apă în care erau rotiți cu un motor electric 4 cilindri concentrici, vasul calorimetric propriu-zis fi ind înzestrat cu trei palete longitudinale și alte trei circulare pentru ca apa să nu capete nici mișcări circulare, nici longitudinale. Diferențele de temperatură ale apei, rezultate din transformarea lucrului mecanic efectuat de motorul în căldură, au fost măsurate prin intermediul unor termocuple, etalonate în prealabil. Forța electromotoare produsă de termocuple era măsurată prin metoda compensației. După un număr de 31 de experimente considerate clasice în lucrările de termodinamică și realizate exclusiv cu acest dispozitiv, Miculescu, a calculat propria valoare, care avea să devină un reper esențial în viitor, ca fi ind de 4,184 J/cal. Această valoare este foarte apropiată de aceea utilizată în prezent, respective de 4,1855 J/cal. În anul 1950, Comitetul Internațional de Măsuri și Greutăți a adoptat valoarea găsită de Miculescu, ușor corectată, eroarea relativă de măsurare a acestei constante determinate de Miculescu fi ind de numai 0,000358 sau 0,0358 %. ARGUMENTAȚIE PROEXISTENȚIALĂ A VALOROASEI ȘCOLI DE

GÂNDIRE STATISTICĂ EXPERIMENTALĂ ÎN ROMÂNIA

Sistemele interacționează în mod general, nefi ind niciodată complet izolate și nici parametrii lor nu pot fi menținuți fi cși ca atare. Variația totală a energiei unui sistem, în valoarea medie (ΔEm) se descompune în lucru mecanic (W) și căldura absorbită (Q): Δ Em = W + Q (1)


Caloria este unitatea de căldură introdusă în fi zica și chimia secolului al XVIII-lea și menținută încă în demersul investigațional al chimiei contemporane. Variația energiei unui sistem care interacționează a fost așadar tema experimentală majoră a tezei lui Constantin Miculescu, iar variabilitatea excesivă a rezultatelor altor experimente a generat interesul pentru identifi carea constantei, cu sprijinul unei argumentații statistice necesare. Rezultatele experimentale medii și distribuția celor 31 de valori calculate de tânărul doctorand Constantin Miculescu sunt redate în fi gura 1 cu ajutorul E-Views software (Săvoiu, 2015):

Rezultatele / valorile experimentale ale celor 31 de experimenteFigura 1

Experimental results/values


426.51 426.21426.71 426.33426.60 427.09426.74 426.56427.12 426.88426.76 426.71426.56 426.31426.79 426.22426.52 426.82426.69 426.90427.00 426.41427.02 426.93426.71 426.72426.40 426.63426.80 426.81426.31 426.21

În urma analizei valorilor tendinței centrale a rezultatelor experimentale se constată că acestea dețin o valoare modală identică practic cu aceea mediană (Me = Mo = 426.71) iar abaterea între medie și modul identic cu mediana (Medie – Me = 0.04) este aceea care constituie esența abaterii fi nale a constantei Miculescu. De altfel ar fi fost practic imposibil ca distribuția valorilor experimentale să fi e una absolut simetrică, cauza fi ind de natură fi zică și strict legată de imposibilitatea existenței unui sistem perfect izolat ca mediu experimental. Datele rezultate exprimate ca abateri absolute (experimental deviations) surprind prin fenomenul de similitudine profundă a distribuțiilor, relevată atât de alura histogramelor specifi ce, cât și de curba Kernel a distribuțiilor rezultate, fi e că este vorba de abaterea față de medie (x – Medie), fi e că este analizată abaterea față de valoarea modală (Mode) sau dominantă (ni = 3) devenită prin calitatea științifi că a experimentului fi zic identică în mod practic cu mediana (x – Me = x – Mo) (Săvoiu, 2007; 2012).


Valori (x) și abateri experimentale în raport cu media (x - Mean) și mediană (x- Median), precum și frecvența de apariție a acestor abateri

la fi nal (ni)Table no. 1

No. x x - Mean | x - Mean | ni (x-Median) | x-Median| ni32. 426.51 - 0.16 0.16 1 -0.20 0.20 133. 426.71 0.04 0.04 3 0.00 0.00 334. 426.60 - 0.07 0.07 2 -0.11 0.11 235. 426.74 0.07 0.07 - 0.03 0.03 136. 427.12 0.45 0.45 2 0.41 0.41 137. 426.76 0.09 0.09 1 0.05 0.05 138. 426.56 - 0.11 0.11 2 -0.15 0.15 239. 426.79 0.12 0.12 1 0.08 0.08 240. 426.52 - 0.15 0.15 2 -0.19 0.19 141. 426.69 0.02 0.02 1 -0.02 0.02 142. 427.00 0.33 0.33 1 0.29 0.29 143. 427.02 0.35 0.35 1 0.31 0.31 244. 426.71 0.04 0.04 - 0.00 0.00 -45. 426.40 - 0.27 0.27 1 -0.31 0.31 -46. 426.80 0.13 0.13 1 0.09 0.09 147. 426.31 - 0.36 0.36 2 -0.40 0.40 248. 426.21 - 0.46 0.46 1 -0.50 0.50 149. 426.33 - 0.34 0.34 1 -0.38 0.38 250. 427.09 0.42 0.42 1 0.38 0.38 -51. 426.56 - 0.11 0.11 - -0.15 0.15 -52. 426.88 0.21 0.21 1 0.17 0.17 153. 426.71 0.04 0.04 - 0.00 0.00 -54. 426.31 - 0.36 0.36 - -0.40 0.40 -55. 426.22 - 0.45 0.45 - -0.49 0.49 156. 426.82 0.15 0.15 - 0.11 0.11 -57. 426.90 0.23 0.23 1 0.01 0.01 258. 426.41 - 0.26 0.26 2 -0.30 0.30 159. 426.93 0.26 0.26 - 0.22 0.22 160. 426.72 0.05 0.05 1 0.01 0.01 -61. 426.63 - 0.04 0.04 - -0.08 0.08 -62. 426.81 0.14 0.14 1 0.10 0.10 1

Total 0 6.28 31 -1.42 5.94 31 Sursa: Valorile experimentale x au fost preluate din lucrarea Marinescu, M., Fătulescu, Ș., (1967), Constantin Miculescu, Ed. Științifi că București iar restul calculelor din tabel au fost realizate de către autor.

Pentru a asigura vizibilitatea maximă a distribuției valorilor experimentale confruntate cu abaterile se recurge inițial la o analiză statistică descriptivă susținută de histograme care, apelând la cele trei paliere aproximate cu pachetul de programe E-Views de o manieră rezonabilă transmit o asemănare certă conform frecvențelor maxime și prin alura poligonală:


a) Valori reale sau experimentale (x)Statistica descriptivă și histograma valorilor reale sau experimentale (x)

Figura 2

b) Abateri ale valorilor reale sau experimentale de la medie (x - Mean)

Statistica descriptivă și histograma abaterilor valorilor reale sau experimentale de la medie (x - Mean)

Figura 3


c) Abateri ale valorilor reale sau experimentale de la mediană (x - Me) Statistica descriptivă și histograma abaterilor valorilor reale sau

experimentale de la mediană (x - Me)Figura 4

Se poate constata cu ajutorul aceluiași pachet de programe E-Views cu destul de mare ușurință o similitudine vizuală și între toate cele trei distribuții de tip Kernel descrise statistic anterior:

Distribuțiile de tip Kernel ale valorilor experimentale (SER x), ale abaterilor valorilor experimentale de la medie (SER x-Mean) și ale

abaterilor valorilor experimentale de la mediană (SER x-Me)Figura 5


Dincolo de asemănarea lor generală, care se apropie de similitudine completă, cele trei distribuții Kernel se remarcă prin alura specifi că a distribuției normale sau de tipul clopotului gaussian cu un contur ușor oscilant în cadrul valorilor mai mici, care alternează vizibil ca frecvențe, semnal anticipat de statistica descriptivă printr-o ușoară asimetrie negativă (skewness cuprins între -0.161 și – 0.123). Această analiză statistică descriptivă și grafi că a fost cu siguranță realizată de către tânărul doctorand care a anticipat nu numai precizia experimentelor sale, dar mai ales abaterea fi nală conform declarației sale din fi nalul tezei publicate (Marinescu, 1892): “Am obținut în acest fel pentru echivalentul mecanic al caloriei numărul de J = 426.70 în care consider exactă cifra unităților, iar cifra zecimilor 0.7 fi ind probabilă.” Această afi rmație este dovada unei cunoașteri profunde a statisticii experimentale de către tânărul fi zician doctorand Constantin Miculescu, acum mai bine de 125 de ani în plină perioadă experimentală și de redactare a tezei sale. Argumentația ce urmează probează soliditatea cunoștiințelor de statistică experimentală ale Statistica experimentală valorifi că determinările fi nale cu ajutorul unui concept denumit indicele rezultatului unui experiment, pentru a defi ni probabilitatea specifi că acestei modalități concrete de manifestare a cercetării științifi ce. Astfel, dacă se evaluează distinct și se notează cu r indicele unui anumit rezultat al unui experiment pornind de la premisa că există printre N sisteme din ansamblul statistic (conceptualizat ca mulțime compusă dintr-un număr de sisteme similare prin prisma rezultatelor atunci se determină probabilitatea de apariție a rezultatului r ca fracțiune prin relația următoare (Reif, 1983): Pr = Nr : N (unde N → ∞) (2) În măsura în care N devine tot mai mare reluarea experimentului per ansamblu statistic este de așteptat să conducă laacelași raport Pr, cu o reproductibilitate din ce ăn ce mai mare (Reif, 1983). Valorifi când abaterea calculată în raport de media valorilor experimentale de 426.67 se demonstrează justețea afi rmației lui Constantin Miculescu, un remarcabil cunoscător al statisticii experimentale și o probitate științifi că deosebită care l-au transformat în fapt acționând împreună în fondatorul școlii de fi zică experimentală de la noi. Datele de mai jos subliniază că media abaterilor este de 0.000003 sau în procente de 0.0003% iar abaterea negativă maximă este de -0.1078% iar cea pozitivă maximă de 0.1055%.


Mean -0.000300Median 0.009400Maximum 0.105500Minimum -0.107800Std. Dev. 0.059131Skewness -0.162946Kurtosis 2.197848Jarque-Bera 0.968302Probability 0.616220Sum -0.009300Sum Sq. Dev. 0.104895Observations 31 Software used: E-Views

Valorile ± 1.98 σ sunt limitele între care se regăsesc în plan teoretic circa 95 % dintre rezultatele descrise conform distribuției normale a probablităților de realizare experimentală concretizate în ±0.117079 %. Abaterile pozitive și negative maxime de la media experimentelor generează un interval mai mic inclus practic în cel descris de limitele anterioare. Intervalul real al abaterilor maxime al valorilor indicilor rezultatelor experimentului [-0.1078 %; 0.1055%] este complet inclus în limitele intervalului theoretic descris prin [- 0.117079%; 0.117079%]. La o abatere medie de 0.0003% respectiv cu un indice r = 0,9997 rezultatul experimentului valida valoarea 426.70 atât la nivelul unităților cât și la acela al zecimilor. Dar cum rigoarea fi zicianului experimantalist se împletea perfect cu cunoașterea statisticii experimentale a cercetătorului în persoana doctorandului onestitatea științifi că nu putea decât să îl oblige pe Constantin Miculescu să decidă doar în raport cu abaterea maximă experimentală. În concluzie, la o abatere maximă de 0.1078% respectiv cu un indice r al experimentului dat și o probabilitate Pr = 0,998822 rezultatul experimentului validează valoarea 426.70 numai pentru cifra unităților, iar cifra zecimilor devine cu certitudine una probabilă, adică defi nită pentru un anumit prag de semnifi cație sau altfel spus este expusă defi nitiv gândirii statistice probabilistice prin incertitudinea valorii sale. Experimentul științifi c deține gradul de onestitate maxim și prin faptul că tânărul doctorand nu a apelat la valoarea mediană. Mediana este cunoscută în primul rând prin impactul de excepție al abaterii sale de la valorile absolute individuale, abatere care însumată confi gurează permanent un minim:


Apelul la valoarea mediană ar fi certifi cat și prima zecimală în mod fals și deși seria rezultatelor este caracterizată de egalitatea medianei și modalei sau dominantei, tânărul doctorand a preferat onest să lucreze și să analizeze constanta rezultată pornind de la valoarea experimentală medie și nicidecum mediană.

CONCLUZII După susţinerea tezei, Constantin Miculescu a fost numit profesor suplinitor la Facultatea de Științe a Universității București (1891), chiar la catedra rămasă vacantă după decesul mentorului lui Emanoil Bacaloglu, apoi profesor titular de fi zică moleculară, acustică și optică (1894), post pe care l-a ocupat până la moartea sa în anul 1937. A predat datorită calității sale de fi zician cu vaste și profunde cunoștiințe de statistică experimentală şi ca profesor de fi zică moleculară la Facultatea de Medicină din București (1895-1916). În anul 1910, printr-o metodă acustică, Miculescu a determinat coefi cientul de elasticitate al corpurilor. Între anii 1923-1928, prof. dr. Constantin Miculescu a fost decan al Facultății de Științe din București. Recunoașterea meritelor sale de fi zician și statistician experimentalist de talie internațională este dovedită prin alegerea sa în anul 1904 ca membru al Consiliului de conducere a Societății franceze de fi zică și apoi în anul 1909 ca membru al Comitetului internațional însărcinat cu culegerea și publicarea constantelor din domeniul chimiei, fi zicii și tehnologiei, iar în fi nal și ca membru de onoare al Academiei de Științe din România începând cu 21 decembrie 1935. Statistica experimentală la sfârșit de secol XIX era cu certitudine dezvoltată la un nivel internațional, iar personalitatea lui Constantin Miculescu certifi că acest fapt așa cum am încercat să demonstrez în acest articol și urma să devină o știință de o mare utilitate în universul experimentelor cercetării fi zice în școala academică românească ...

BIBLIOGRAFIE 1. Marinescu, C., (1892). Sur la determination de l’équivalent mécanique de la

calorie [Echivalentul mecanic al caloriei], Journal de Physique, Paris. 2. Becquerel, H., (1897). Cours de Physique, Gauthier – Villars, Paris. 3. Darmois, (1947). Thermodynamique et Radiatione, Ed. Enseignement, Paris. 4. Marinescu, M., Fătulescu, Ș., (1967), Constantin Miculescu, Editura Științifi că

București. 5. Reif, F., (1983). Fizică statistică, vol V, Cursul de fi zică, Berkley 1965, Editura

didactică și pedagogică, București. 6. Săvoiu, G. (2007), Statistica un mod științifi c de gândire, Editura Universitară,

Bucuresti. 7. Săvoiu, G. (2012), Statistică generală cu aplicații în contabilitate, Editura Universitară,

Bucuresti. 8. Săvoiu, G. (2015), Statistical Thinking, Bucharest, University Publishing House. 9. Yulle, G., Kendall, M., (1968), An Introduction to the Theory of Statistics. 14th ed.,

rev. & enl. London, Charles Griffi n. 10. *** Constantin Miculescu, (2015). https://ro.wikipedia.org./wiki/Constantin_

Miculescu


Anexa nr. 1

No x x - Mean

1 426.51 - 0.16 -0.000375 -0.03752 426.71 0.04 0.000094 0.00943 426.60 - 0.07 -0.000174 -0.0174-4 426.74 0.07 0.000174 0.01745 427.12 0.45 0.001055 0.10556 426.76 0.09 0.000221 0.02217 426.56 - 0.11 -0.000268 -0.02688 426.79 0.12 0.000281 0.02819 426.52 - 0.15 -0.000353 -0.035310 426.69 0.02 0.000057 0.005711 427.00 0.33 0.000783 0.078312 427.02 0.35 0.000820 0.082013 426.71 0.04 0.000094 0.009414 426.40 - 0.27 -0.000733 -0.073315 426.80 0.13 0.000305 0.030516 426.31 - 0.36 -0.000844 -0.084417 426.21 - 0.46 -0.001078 -0.107818 426.33 - 0.34 -0.000797 -0.079719 427.09 0.42 0.000984 0.098420 426.56 - 0.11 -0.000268 -0.026821 426.88 0.21 0.000492 0.049222 426.71 0.04 0.000094 0.009423 426.31 - 0.36 -0.000845 -0.084524 426.22 - 0.45 -0.001055 -0.105525 426.82 0.15 0.000353 0.035326 426.90 0.23 0.000539 0.053927 426.41 - 0.26 -0.000609 -0.060928 426.93 0.26 0.000609 0.060929 426.72 0.05 0.000117 0.011730 426.63 - 0.04 -0.000094 -0.009431 426.81 0.14 0.000328 0.0328


THE “MICULESCU CONSTANT”, AN ELOQUENT PROOF OF DEEP EXPERIMENTAL STATISTICAL

KNOWLEDGE IN LATE 19TH CENTURY ROMANIA

Professor habil. Gheorghe SĂVOIU, PhD. University of Pitești

Abstract This paper is actually a tribute to national experimental statistics as well as its personalities, among whom the late Professor Constantin Miculescu is a special representative, who eventually became the founder of the national school of experimental physics, and also had outstanding international scientifi c contributions to the equivalences between mechanical and thermal phenomena. It was from this very rigorous statistical approach to the experiments that the famous constant that bears his name was born. Nearly 125 years afterwards, this article examines, through detailed descriptive statistical analysis, all the 31 experimental values that support the arguments in the physicist’s doctoral thesis, defended in Paris, which provided the best precision determination of the mechanical equivalent of the calorie. The present paper represents a pretext to reveal, alongside Constantin Miculescu’s certainties related to his approximation, estimated to the third decimal, the founding of a school of experimental statistics focused on rigor and depth of statistical knowledge. Essentially, his statistical experimental thought is thus remembered and proved anew as an almost fl awless one, which has a strength of anticipation of its scientifi c importance at least one or two generations ahead of other similar approaches in Romanian research. Keywords: constant, mechanical equivalent of the calorie, experimental de-viation, median, descriptive statistics, experimental statistics.

INTRODUCTION Professor Constantin Miculescu (1863-1937) was a Romanian physicist of international fame, who came to be the founder of the national school of experimental physics in Romanian, and has remained recorded in the history of science for his notable achievements in thermodynamics and optics. His main contribution to physics, as is mentioned in all encyclopedias contemporary (e.g. Wikipedia, 2015), can be found in his very doctoral dissertation, which he defended in 1891, where he presented the most rigorous determination by experiment, at the highest degree of precision, of the mechanical equivalent of the calorie. After graduating from the prestigious high school Matei Basarab in Bucharest, where he obtained his baccalaureate degree in 1882, with Constantin I. Şonţu and Emanoil Bacaloglu, as mentors, both remarkable teachers of physics and chemistry (he would meet the latter during his academic studies), and the Faculty of Science of the


University of Bucharest, taking courses in the department of physics and mathematics, which he completed in 1886, the young Constantin Miculescu won a scholarship to Paris, where he fi rst got his Bachelor of Science degree, in 1888, and then became a Doctor in physics at the Sorbonne. His doctoral thesis, published under the title Sur la détermination de l’équivalent mécanique de la calorie (Marinescu, 1982), was coordinated by Professor Gabriel Lippmann (1845-1921), the future Nobel laureate for physics in 1908. Quantifying the mechanical equivalent of the calorie as accurately as possible was a key concern of physicists after 1840, and previously determined values, even by such great physicists as J. M. Joule (1819-1889), E. M. Lenz (1804-1865) and J. A. D’Arsouval (1851-1940), continued to show some experimental deviations, which seemed rather large, as much as 20% of the real value, which made them diffi cult to accept, and subsequently use in practice. The value of the mechanical equivalent of the calorie, discovered by Constantin Miculescu, was included in the international tables of constants and became a fundamental constant of thermodynamics after 1892 (Becquerel 1897). In 1939, Professor Darmois of the Sorbonne noted, with the understandable satisfaction due to the fact that the Romanian physicist belonged to the same French educational institution, in the strict terms of his doctorate, that Miculescu’s method was, and remained the only known method that allowed two essential theoretical conditions: a) the experimental system produced mechanical work; b) heat loss to the outside was prevented (Darmois, 1947). Constantin Miculescu built a special device made up of a calorimeter fi lled with water, in which four concentric cylinders were rotated by an electric motor, and the calorimetric vessel itself was provided with three longitudinal blades and another three circular ones, so that water moved neither circularly, nor longitudinally. The differences in water temperature, resulting from the conversion of the mechanical work performed by the engine into heat, were measured by means of a set of thermocouples, which had been calibrated in advance. The electromotive force produced by the thermocouples was measured by the compensation method. After a total of 31 experiments, considered classic in the studies of thermodynamics and made exclusively with this device, Miculescu calculated his own value, which would become an essential reference in the future, as of 4.184 J/cal. This value is very close to that used currently, i.e. 4.1855 J/cal. In 1950, the International Committee of Weights and Measures adopted the value found by Miculescu, slightly corrected, the relative error of measurement of this constant, as determined by Miculescu, being only 0.000358, or 0.0358%. PRO-EXISTENTIAL ARGUMENT FOR THE VALUABLE SCHOOL

OF EXPERIMENTAL STATISTICAL THOUGHT IN ROMANIA Systems interact in general, and they are never completely isolated, nor can their parameters be kept fi xed as such. The total energy variation of a system, in mean value (ΔEm), decomposes into mechanical work (W) and the heat absorbed (Q): Δ Em = W + Q (1) A calorie is the unit of heat introduced into the physics and chemistry of the eighteenth century, and it is still used in the investigational approach of contemporary


chemistry. The energy variation of a system that interacts was therefore the major experimental thesis topic of Constantin Miculescu, and the excessive variability in the results of other experiments generated interest in the identifi cation of the constant, with the support of the necessary statistical argument. The average experimental results and the distribution of the 31 values calculated by the young PhD candidate Constantin Miculescu are shown in Figure 1, using E-Views software (Săvoiu, 2015):

Results / experimental values of the 31 experimentsFigure 1



426.51 426.21426.71 426.33426.60 427.09426.74 426.56427.12 426.88426.76 426.71426.56 426.31426.79 426.22426.52 426.82426.69 426.90427.00 426.41427.02 426.93426.71 426.72426.40 426.63426.80 426.81426.31 426.21

Following the analysis of the values of the central tendency of the experimental results, they were found to have a modal value practically identical to the median one (Me = Mo = 426.71), and the deviation between the average and the module identical to the median (Average – Me = 0.04) is what constitutes the essence of fi nal deviation of Miculescu’s constant. In fact, it would have been practically impossible for the distribution of experimental values to be absolutely symmetrical, the cause being of a physical nature and strictly related to the impossibility of a system perfectly isolated as an experimental environment. The resulting data, expressed as absolute experimental deviations, are surprising on account of the phenomenon of profound similarity of the distributions, revealed both the allure of the specifi c histograms, and the curve Kernel of the resulting distributions, whether it be the deviation from the mean (x – Avg), or the analysis of the the deviation from the modal value (Mode) or dominant (ni = 3), which became, through the scientifi c quality of the physical experiment, practically identical to the median (x – Me = x – Mo) (Săvoiu, 2007; 2012).


Values (x) and experimental deviations in relation to the mean value (x - Mean) and the median (x - Median), and the frequency of the

emergence of these deviations in the end fi nal (ni)Table no. 1

No. x x - Mean | x - Mean | ni (x-Median) | x-Median| ni1. 426.51 - 0.16 0.16 1 -0.20 0.20 12. 426.71 0.04 0.04 3 0.00 0.00 33. 426.60 - 0.07 0.07 2 -0.11 0.11 24. 426.74 0.07 0.07 - 0.03 0.03 15. 427.12 0.45 0.45 2 0.41 0.41 16. 426.76 0.09 0.09 1 0.05 0.05 17. 426.56 - 0.11 0.11 2 -0.15 0.15 28. 426.79 0.12 0.12 1 0.08 0.08 29. 426.52 - 0.15 0.15 2 -0.19 0.19 110. 426.69 0.02 0.02 1 -0.02 0.02 111. 427.00 0.33 0.33 1 0.29 0.29 112. 427.02 0.35 0.35 1 0.31 0.31 213. 426.71 0.04 0.04 - 0.00 0.00 -14. 426.40 - 0.27 0.27 1 -0.31 0.31 -15. 426.80 0.13 0.13 1 0.09 0.09 116. 426.31 - 0.36 0.36 2 -0.40 0.40 217. 426.21 - 0.46 0.46 1 -0.50 0.50 118. 426.33 - 0.34 0.34 1 -0.38 0.38 219. 427.09 0.42 0.42 1 0.38 0.38 -20. 426.56 - 0.11 0.11 - -0.15 0.15 -21. 426.88 0.21 0.21 1 0.17 0.17 122. 426.71 0.04 0.04 - 0.00 0.00 -23. 426.31 - 0.36 0.36 - -0.40 0.40 -24. 426.22 - 0.45 0.45 - -0.49 0.49 125. 426.82 0.15 0.15 - 0.11 0.11 -26. 426.90 0.23 0.23 1 0.01 0.01 227. 426.41 - 0.26 0.26 2 -0.30 0.30 128. 426.93 0.26 0.26 - 0.22 0.22 129. 426.72 0.05 0.05 1 0.01 0.01 -30. 426.63 - 0.04 0.04 - -0.08 0.08 -31. 426.81 0.14 0.14 1 0.10 0.10 1

Total 0 6.28 31 -1.42 5.94 31Source: The experimental values x were taken from a Marinescu, M., Fătulescu, Ș. (1967), Constantin Miculescu, Scientifi c Publishers, Bucharest, and the rest of the table calculations were done by the author.

To ensure maximum visibility for the distribution of experimental values confronted with the deviations, a descriptive statistical analysis is initially made use of, supported by histograms that, using the three levels approximated the the software package E-Views in a reasonable manner, convey a defi nite resemblance according to the maximum frequencies and by their polygonal allure:


a) Real or experimental values (x)Descriptive statistics and histogram of real or experimental values (x)

Figure 2

b) Deviations of the real or experimental values from the mean (x – Mean)

Descriptive statistics and histogram of the deviations of real or experimental values from the mean (x – Mean)

Figure 3


c) Deviations of the real or experimental values from the median (x – Me)

The descriptive statistics and the histogram of the deviations of the real or experimental values from the median (x – Me)

Figure 4

Using the same software package Eviews, one can quite easily notice a visual similarity between all three Kernel type distributions statistically described above:

The Kernel type distributions of the experimental values (SER x) of the deviations of the experimental values from the mean (SER x-Mean) and

of the deviations of experimental values from the median (SER x-Me)Figure 5


Beyond their general likeness, which approaches complete similarity, the three Kernel distributions are distinguished by the specifi c allure of their normal distribution, or the Gaussian bell type, whose contour is slightly oscillating within the lower values, which visibly alternate in point of frequency, a signal anticipated by the descriptive statistics by a slight negative asymmetry (skewness between -0.161 and - 0.123). This descriptive and graphical statistical analysis was certainly made by the young doctoral student, who anticipated not only the accuracy of his experiments, but also – and especially – the fi nal deviation, as suggested by the sentence at end of his published thesis (Marinescu, 1892): “We thus obtained, as a mechanical equivalent of the calorie, the number J = 426.70, where we consider the number of units as accurate, while the decimal 0.7 is probable.” This is evidence of a deep knowledge of experimental statistics by the young PhD candidate physicist Constantin Miculescu PhD, over 125 years ago, in the midst of the experimental and drafting period of his thesis. The following set of arguments proves the solidity of his knowledge of experimental statistics. Experimental statistics exploits fi nal determinations using a concept called index of the result of an experiment to defi ne the specifi c probability of this concrete manifestation of scientifi c research. Thus, if one assesses separately, noting it by r, the index of a particular outcome of an experiment on the assumption that it exists among N systems in the statistical ensemble (conceptualized as a set composed of a number of similar systems based on those results, then the probability of r occurring as a result is determined as part through the following relationship (Reif, 1983): Pr = Nr : N (where N → ∞) (2) As N becomes ever larger, resuming the experiment per the statistical overall set is expected to lead to the same Pr ratio, in an ever increasing reproducibility (Reif, 1983). Making use of the deviation calculated according to the mean of the experimental values, which is 426.67, one demonstrates the correctness of Constantin Miculescu’s claim: so, he was a remarkable expert in experimental statistics and had a notable scientifi c integrity, which, together, made him become the founder of the school of experimental physics in this country. The data below point out that the average deviation is 0.000003, or 0.0003% as a percentage, and the maximum negative deviation is -0.1078%, and the maximum positive deviation is 0.1055%.


Mean -0.000300Median 0.009400Maximum 0.105500Minimum -0.107800Std. Dev. 0.059131Skewness -0.162946Kurtosis 2.197848Jarque-Bera 0.968302Probability 0.616220Sum -0.009300Sum Sq. Dev. 0.104895Observations 31 Software used: E-Views

The values ± 1.98 σ are the limits within which about 95% of the results are found theoretically, described according to the normal distribution of the probabilities of experimental achievement embodied ± 0.117079%. The maximum positive and negative deviations from the mean of the experiments generate a smaller interval, virtually included within the one described by the limits above. The actual interval of the maximum deviations of the values of the indices of the results of the experiment [-0.1078 %; 0.1055%] is completely included within the range described theoretically by [- 0.117079%; 0.117079%]. For an average deviation of 0.0003%, that is with an index r = 0.9997, the result of the experiment validated the value 426.70 for both integers and decimals. Yet, as the rigorous accuracy of the experimental physicist perfectly combined with the knowledge of experimental statistics of the researcher, embodied by the doctoral candidate, scientifi c honesty could only oblige Constantin Miculescu to decide in relation to the experimental maximum deviation. In conclusion, at a maximum deviation of 0.1078%, i.e. a given index r of the experiment and a probability Pr = 0.998822, the result of the experiment validates the value 426.70 only for the digit of the integers, and the fi gure ef the decimals is certainly a probable one, that is defi ned for a given threshold of signifi cation, or otherwise permanently exposed to probabilistic statistical thinking through the uncertainty of its value. Also, the scientifi c experiment has the maximum degree of honesty through the fact that the young doctoral student did not appeal to the median. The median is known primarily through the exceptional impact of its deviation from the individual absolute values, a deviation which, if summed up, permanently confi gures a minimum:

Having recourse to the median would have certifi ed the fi rst decimal, too, in


a false manner, and although the series of the results is characterized by the equality of the median and the modal or dominant, the young PhD candidate honestly preferred to work and analyze the resulting constant based on the average experimental value rather than the median one.

CONCLUSIONS After successfully defending his PhD thesis, Constantin Miculescu was appointed substitute lecturer at the Faculty of Science of the University in Bucharest (1891), at the very chair left vacant after the demise of his mentor Emanoil Bacaloglu, then tenured professor of molecular physics, acoustics and optics (1894), a position that he held until his death in 1937. He taught physics, thanks to his qualities as a physicist also endowed with vast and profound knowledge of statistical experimental, and did it, as well, as a molecular physics professor at the Faculty of Medicine in Bucharest (1895-1916). In 1910, Miculescu managed, through an acoustic method, to determine the modulus of elasticity of bodies. Between 1923 and 1928, professor Constantin Miculescu was Dean of the Faculty of Sciences in Bucharest. The recognition of his merits as a physicist and experimentalist statistician of international stature was proven by his 1904 election as a member of the Board of the French Society of Physics, and then, in 1909, as a member of the International Committee appointed to collect and publish the constants in chemistry, physics and technology, and fi nally as an honorary member of the Academy of Sciences of Romania since 21 December 1935. Experimental statistics at the turn of the 19th century was certainly developed at an international level, and the personality of Constantin Miculescu certifi es this, as we tried to demonstrate in this paper, and would become a science of great utility in the world of experimental physics research in the academic school in Romania…

REFERENCES 1. Marinescu, C., (1892). Sur la determination de l’équivalent mécanique de la

calorie [Echivalentul mecanic al caloriei], Journal de Physique, Paris. 2. Becquerel, H., (1897). Cours de Physique, Gauthier – Villars, Paris. 3. Darmois, (1947). Thermodynamique et Radiatione, Ed. Enseignement, Paris. 4. Marinescu, M., Fătulescu, Ș., (1967), Constantin Miculescu, Editura Științifi că

București. 5. Reif, F., (1983). Fizică statistică, vol V, Cursul de fi zică, Berkley 1965, Editura

didactică și pedagogică, București. 6. Săvoiu, G. (2007), Statistica un mod științifi c de gândire, Editura Universitară,

Bucuresti. 7. Săvoiu, G. (2012), Statistică generală cu aplicații în contabilitate, Editura Universitară,

Bucuresti. 8. Săvoiu, G. (2015), Statistical Thinking, Bucharest, University Publishing House. 9. Yulle, G., Kendall, M., (1968), An Introduction to the Theory of Statistics. 14th ed.,

rev. & enl. London, Charles Griffi n. 10. *** Constantin Miculescu, (2015). https://ro.wikipedia.org./wiki/Constantin_

Miculescu


Appendix no. 1

No x x - Mean1 426.51 - 0.16 -0.000375 -0.03752 426.71 0.04 0.000094 0.00943 426.60 - 0.07 -0.000174 -0.01744 426.74 0.07 0.000174 0.01745 427.12 0.45 0.001055 0.10556 426.76 0.09 0.000221 0.02217 426.56 - 0.11 -0.000268 -0.02688 426.79 0.12 0.000281 0.02819 426.52 - 0.15 -0.000353 -0.035310 426.69 0.02 0.000057 0.005711 427.00 0.33 0.000783 0.078312 427.02 0.35 0.000820 0.082013 426.71 0.04 0.000094 0.009414 426.40 - 0.27 -0.000733 -0.073315 426.80 0.13 0.000305 0.030516 426.31 - 0.36 -0.000844 -0.084417 426.21 - 0.46 -0.001078 -0.107818 426.33 - 0.34 -0.000797 -0.079719 427.09 0.42 0.000984 0.098420 426.56 - 0.11 -0.000268 -0.026821 426.88 0.21 0.000492 0.049222 426.71 0.04 0.000094 0.009423 426.31 - 0.36 -0.000845 -0.084524 426.22 - 0.45 -0.001055 -0.105525 426.82 0.15 0.000353 0.035326 426.90 0.23 0.000539 0.053927 426.41 - 0.26 -0.000609 -0.060928 426.93 0.26 0.000609 0.060929 426.72 0.05 0.000117 0.011730 426.63 - 0.04 -0.000094 -0.009431 426.81 0.14 0.000328 0.0328


Unele elemente privind normalitatea estimatorilor bazaţi pe ecuaţie unică

Prof. univ. dr. Constantin ANGHELACHE Academia de Studii Economice, Bucureşti, Universitatea „Artifex” din Bucureşti Conf. univ. dr. Mădălina Gabriela ANGHEL Universitatea „Artifex” din Bucureşti Drd. Gyorgy BODO Drd. Cristina SACALĂ Academia de Studii Economice, Bucureşti

Abstract În acest articol, autorii se concentrează asupra normalităţii asimptotice a estimatorului LIML, a LIML proiectat de Fuller şi pe ajustarea 2-stage a celor mai mici pătrate (B2SLS). Sunt prezentate şi discutate ipotezele corespunzătoare, apoi sunt defi nite teoremele pentru estimatori. Cuvinte cheie: ecuatie, instrument, normalitate, estimator, cele mai mici pătrate

Introducere Anghelache şi Prodan (2013) se preocupă de utilizarea regresiei simple în studii la nivel macroeconomic, în timp ce Anghel şi Anghelache (2015) au în vedere aplicarea modelelor neliniare. Anghelache şi Popovici (2015) studiază testele de semnifi caţie bazate pe variabile instrumentale. Pagliacci, Anghelache şi Mitruţ descriu utilitatea modelelor statistico-econometrice, ca instrumente de analiză economică. In acest articol se incearca extinderea rezultatelor prezentate de Stock si Yogo (2003a) prin extinderea rezultatelor de normalitate asimptotica pentru estimatorul LIML(limited information maximum likelihood), modifi carea LIML a lui Fuller (FLIML) si pentru ajustarea tendineti (bias-adjusted) a estimatorilor celor mai mici patrate in doua etape (B2SLS) la cazul in care slabiciunea instrumentului este astfel incat rata de crestere a parametrului de concentrare rn este mai inceata decat cea a numarului de instrumente Kn, dar in asa fel incat Astfel, vom obtine rezultate cu normalitate asimptotica, in situatii cu instrumente mai slabe decat au fost considerate in alte lucrari.Notatii folosite :

> 0 – precizia pozitiva cand se aplica matricei

- denota limita superioara a secventei

- matricea care se proiecteaza ortogonal in spatiu gama de X si


Model si presupuneri Se considera modelul cu doua ecuatii simultane (SEM):

(1)

, (2)

unde, si sunt vectorii ai observatiilor celor doua variabile endogene ale sistemului.

este o matrice a observatiilor variabilelor exogene J, incluse in ecuatia (1)

este o matrice a observatiilor asupra varialiabilelor instumentale , sau a variabilelor exogene excluse din ecuatia (1)

si sunt vectori ai perturbantei aleatoare. Fie , unde sunt component I a vectorilor aleatori

, respectiv . Se fac urmatoarele ipoteze.

Ipoteza 1

pentru unele secvente de numere pozitive secventiale

, nedescrescatoare in n, si pentru unele secvente non aleatoare, parametrul vectorilor .

Ipoteza 2

Fie o multime triunghiulara pe variabile aleatoare de prim rang, unde cu aratand randul i din matricile , respectiv . Presupunem ca

a) si astfel incat , pentru o constanta ce satisface conditia

b) Fie , si presupunem ca exista constantele si , cu

astfel incat

aproape sigur (3)

si

aproape sigur (4)

unde


c) Exista sirul de numere pozitive reale {m2n}, nedescrescatoare in n, si , astfel incat si (5)

(6)

Ipoteza 3 si sunt independente pentru orice i si n. Ipoteza 4 (a) si

(a) cu , astfel incat

(c) . Ipoteza 5 Se defi neste raportul Presupunem ca

astfel incat , dar

(i) Ipotezele 1 si 2 sunt la fel ca cele facute de Chao si Swanson (2002). (ii) Ipoteza 4 (c) impune o simetrie a distributiei perturbatiilor modelului cu

ecuatii simultane date de ecuatiile (1) si (2). (iii) Ipoteza 5 isi concentreaza atentia asupra cazului in care parametrul de

concentrare creste la o rata mai lenta decat numarul de instrumente , dar la o rata mai rapida decat .

(iv) Ipotezele impun un compromis al conditiilor relative la Donald si Newey (2001) si Stock si Yogo (2003). Ipotezele noastre asupra variabilelor exogene sunt mai slabe decat cele facute de Donald si Newey (2001) si Stock si Yogo (2003). Pe de alta parte, facem ipoteze mai stricte asupra momentelor de distributii de eroare.

Ipoteza 4(b) presupune ca distributiile de eoare sa aiba opt moment fi nite, pe cand cele defi nite de Donald si Newey (2001) si Stock si Yogo (2003) au doar patru. De asemenea, ipoteza 2(a) presupune o conditie mai putin stricta asupra ratei de crestere a numarului de instrumente fata de cea impusa de Donald si Newey (2001) si Stock si Yogo (2003).

Normalitatea asimptotica a esitmatorilor ecuatiei singulare Ne concentram atentia asupra a trei estimatori: 1. Estimator LIML (Limited information maximum likelihood)

(7)

unde este radacina cea mai mica a ecuatiei determinante


(8)

2. Estimatorul LIML modifi cat Fuller (FLIML)

(9)

unde = , pentru o constanta pozitiva

3. Estimatorul B2SLS (Bias – corrected two-stage least-squares)

(10)

Toti acesti 3 estimatori sunt cazuri speciale a estimatorului de clasa k defi nit prin:

(11)

Urmatoarele teoreme prezinta principalele rezultatele asimptotice ale acestei lucrari: Teorema 1 (LIML) Fie defi nit ca in ecuatia (7). Atunci

sub ipotezele 1-5 avem ( , unde

Teorema 2 (FLIML) Fie defi nit ca in ecuatia (9). Atunci sub

ipotezele 1-5 avem ( ,

Teorema 3 (B2SLS) Fie defi nit ca in ecuatia (10). Atunci sub

ipotezele 1-5 avem ( ,

Teorema 4 Presupunem ca ipotezele 1 –5 se indeplinesc si

pentru o constanta pozitiva si Atunci

exista un numar intreg pozitiv N astfel incat pentru orice


Concluzii Am derivat limitele distributiilor estimatorilor LIML, FLIML si B2SLS printr-o confi gurare a unor instrumente slabe in care convergenta parametrului se presupune ca va creste cu o rata mai slaba decat a numarului de instrumente , dar la o rata mai rapida decat . Asadar, am obtinut rezultate asimptotice normale a acestor estimatori in situatii cu instrumente mai slabe decat in lucrarile precedente care au folosit cadrul cu innstrumente slabe. In contextual nostru, ambele rate cea de convergenta si cea de varianta sunt diferite de cazurile cu instrumente puternice, cazuri in care instrumentele cresc cu aceeasi rata sau mai mare decat . Am gasit, de asemenea, ca estimatorul BSLS nu este asimptotic echivalent cu LIML si FLIML sub scenariul instrumentelor slabe.

Bibliografi e 1. Anghelache C., Prodan L. (2013) – „The Use of Simple Regression in Macroeconomic

Analysis”, Knowledge Horizons – Economics, Volume (Year): 5 (2013), Issue (Month): 4 (December), pp. 168-172

2. Anghelache C., Popovici M. (2015) – „Theoretical Elements Regarding the Tests of Signifi cance Based on Instrumental Variables”, Romanian Statistical Review Supplement, Volume (Year): 63 (2015), Issue (Month): 9 (September), pp. 82-90

3. Anghelache C., Anghel M.G. (2015) – „Main aspects regarding some non-linear models used in economic analyses”, Romanian Statistical Review Supplement, Volume (Year): 63 (2015), Issue (Month): 9 (September), pp. 7-10

4. Donald S.G., Newey W.K. (2001) – „Choosing the number of instruments”, Econometrica, Vol. 69, No. 5 (Sep., 2001), pp. 1161-1191

5. Pagliacci M., Anghelache C., Mitruţ C. (2014) – „Economic Analysis through the Use of Statistical - Econometric Models”, Romanian Statistical Review Supplement, Volume (Year): 62 (2014), Issue (Month): 4 (April), pp. 32-43

6. Stock J.H., Yogo M. (2003) – „Asymptotic Distributions of Instrumental Variables Statistics with Many weak Instruments”, working paper, Harvard University


SOME ELEMENTS ABOUT NORMALITY OF SINGLE-EQUATION ESTIMATORS

Prof. Constantin ANGHELACHE PhD. Bucharest University of Economic Studies, „Artifex” University of Bucharest Assoc. Prof. Mădălina Gabriela ANGHEL PhD. „Artifex” University of Bucharest Gyorgy BODO PhD. Student Cristina SACALĂ PhD. Student Bucharest University of Economic Studies

Abstract In this paper, the authors focus on the asymptotic normality of the LIML estimator, the LIML designed by Fuller and on the trend adjustment of 2-stage least squares (B2SLS). The corresponding hypotheses are presented and discussed, then the theorems for the estimators are defi ned. Key words: equation, instrument, normality, estimator, least squares

Introduction Anghelache and Prodan (2013) focus on the use of simple regression in studies at macroeconomic level,while Anghel and Anghelache (2015) review the application of non-linear models. Anghelache and Popovici (2015) study the signifi cance tests, based on instrumental variables. Pagliacci, Anghelache and Mitruţ describe the utility of statistic-econometric models, as instruments of economic analysis. In this paper we attempt to extend the results presented by Stock and Yogo (2003) by extending the results of asymptotic normality for LIML estimator (limited information maximum likelihood), FULLER’s LIML modifi cation (FLIML) and for the bias–adjusted of the smallest squares estimators in two phases (B2SLS) for the case in which the instrument weakness is in such a way that the increase rate of the concentration parameter rn is slower than the one of the number of instruments Kn, but in such a way that for Thus, we will obtain results with asymptotic normality, in situations with weaker instruments than they were considered in other research.Notations used: Tr ( ) – matrix trace >0 – positive precission when matrix is applied n→ n–denotes the superior limit of the sequence {an}

Px = X (X’X)’ X’–the matrix that is orthogonal projected in gama(X) and Mx= 1-Px


Model and assumptions It is given the model with two simultaneous equations (SEM):

where, y1n and y2n arethe vectors n x 1 of the two endogene variables observations of the system. Xn is an x J matrix of J exogene variables observations, included in (1) equation Zn is an x kn matrix of observations upon Kn’ instrumental variables or of exogene variables excluded from (2) equation. un and vn are n x 1vectors of random perturbation.

Be ƞi = (ui, vi)’, where ui and vi are I component of random vectors un’ and vn. The following hypotheses are made. Hypothesis 1 = n= for some sequences of sequential positive numbers{bn}, un-decreasing numbers in n, and for some non random sequences kn x 1 the vectors’ parameter{cn}.

Hypothesis 2

Be { i,n : i = 1,…,n; n≥1} a triangular set on RKn+J fi rst range random variables, where i,n= (Z’ i,n , X’ i,n)’ with Z’ i,n , X’ i,n showing i row from Zn and Xn matrix. Supposing that

a) Kn→ and n→ so that →á, for an á constant which satisfi es the condition 0≤á<1

b) Be m1n ,n → and we suppose that exist the following constants

ëand ë, with 0< ë≤ ë< , so that

almost certain (3) and

almost certain (4)

where n= (Zn, Xn)


c) There is a range of positive real numbers {m2n}, undecreasingin n, and 0< c≤ c< , so that (5)

(6)

Hypothesis 3 are independent for any i and n. Hypothesis 4 (a) , where and

(b) there is a constant , when

(c)

Hypothesis 5 We have the defi nition for . Suppose that

such that , but .

(i) Hypothesis 1 and 2 are similar to those of Chao and Swanson (2002). (ii) Hypothesis 4 (c) requires a symmetry of model disturbance distribution

regarding simultaneous equations given by equations (1) and (2). (iii) H ypothesis 5 focuses on concentration parameter increasing at a slower

rate than the number of instruments Kn, prevailing a more rapid rate

than . (iv) Hypotheses require a compromise with regard to the conditions relative to

Donald and Newey (2001) and Stock and Yogo (2003a). Our hypothesis regarding exogenous variables are weaker than those of Donald and Newey and Stock and Yogo. On the other hand, we build more strict hypotheses with regard to the moments of error distributions.

Hypothesis 4(b) considers that the error distributions have eight fi nite moments, while the defi nite moments of Donald and Newey and Stock and Yogo have only four. Also, hypothesis 2(a) considers a less strict condition on the increasing rate of the number of instruments confronted with the one imposed by Donald and Newey and Stock and Yogo.

The asymptotic normality of the singular equation estimators We focus on three estimators: 1. Estimator LIML (Limited information maximum likelyhood)

(7) where is the smallest root of the determinant equation.


(8)

Estimator LIML modifi ed Fuller FLIML

(9)

where for a positive constant a.

Estimator B2SLS (Bias – corrected two stage least-squares)

(10)

All these three estimators are special cases of an estimator of k class defi ned by:

(11)

The following theorems present the main asymptotic results of this paper:

Theorem 1 (LIML) Let be defi ned as in equation 7. Under hypotheses 1 –5, we have

Theorem 2 (FLIML) Let be defi ned as in equation 9. Under hypotheses 1 – 5, we have

Theorem 3 (B2SLS) Let be defi ned as in equation 10. Under hypotheses 1 –5, we have

Theorem 4 Suppose that hypotheses 1 - 5 are performed and where for a positive constant ô and E2(0, è). Then, there is a positive whole number N such that n N.


Conclusions We derived the limits of the distributions of estimators LIML and B2SLS by confi gurating some weak instruments for which convergence parameter is supposed to increase at a weaker rate than the number of Kn instruments, but at a more rapid rate

than As a conclusion, we obtained normal asymptotic results of these estimators with regard to weaker instruments than in the other papers that used a weaker instruments framework. Regarding our paper, both rates, the convergent and the variance one, they are different from the cases with strong instruments, which are cases when the instruments increase at the same or bigger rate than Kn. Also, we found that estimator B2SLS is not asymptotic equivalent with LIML and FLIML under weaker instruments use.

References 1. Anghelache C., Prodan L. (2013) – „The Use of Simple Regression in Macroeconomic

Analysis”, Knowledge Horizons – Economics, Volume (Year): 5 (2013), Issue (Month): 4 (December), pp. 168-172

2. Anghelache C., Popovici M. (2015) – „Theoretical Elements Regarding the Tests of Signifi cance Based on Instrumental Variables”, Romanian Statistical Review Supplement, Volume (Year): 63 (2015), Issue (Month): 9 (September), pp. 82-90

3. Anghelache C., Anghel M.G. (2015) – „Main aspects regarding some non-linear models used in economic analyses”, Romanian Statistical Review Supplement, Volume (Year): 63 (2015), Issue (Month): 9 (September), pp. 7-10

1. Donald S.G., Newey W.K. (2001) – „Choosing the number of instruments”, Econometrica, Vol. 69, No. 5 (Sep., 2001), pp. 1161-1191

4. Pagliacci M., Anghelache C., Mitruţ C. (2014) – „Economic Analysis through the Use of Statistical - Econometric Models”, Romanian Statistical Review Supplement, Volume (Year): 62 (2014), Issue (Month): 4 (April), pp. 32-43

5. Stock J.H., Yogo M. (2003) – „Asymptotic Distributions of Instrumental Variables Statistics with Many weak Instruments”, working paper, Harvard University


Defi citul statelor membre ale Uniunii Europene din zona euro

Drd. Adrian AMARIȚA Ministerul Dezvoltării Regionale și Administrației Publice

Abstract Tratatul privind stabilitatea, coordonarea şi guvernanţa a fost semnat în data de 02.03.2012 la Bruxelles de către 25 de şefi de state membre ale Uniunii Europene, excepţiile constituindu-le Marea Britanie şi Cehia. Principalul obiectiv al Tratatului îl constituie consolidarea fi scală. Conform dispozițiile acestuia, limita defi citului bugetar structural este de 0,5%. În cazul în care nivelul datoriei publice este mult sub 60% şi nu există riscuri privind sustenabilitatea pe termen lung a fi nanţelor publice, defi citul structural poate ajunge la 1% din Produsul Intern Brut. Defi citul admis este de maxim 3% din valoarea P.I.B. Din analiza efectuată pentru perioada 2010 – 2013 asupra impactului Tratatului privind stabilitatea, coordonarea și guvernanța în ceea ce privește statele membre ale Uniunii Europene din zona euro, rezultă că defi citul se situează în limitele admise de prevederile legale doar în trei state: Luxemburg, Germania și Estonia. Cuvinte cheie: Uniunea Europeană, defi cit, zona euro

Tratatul privind stabilitatea, coordonarea şi guvernanţa în cadrul Uniunii Economice şi Monetare a fost semnat în data de 02.03.2012 la Bruxelles de către 25 de şefi de state membre ale Uniunii Europene, excepţiile constituindu-le Marea Britanie şi Cehia1. Tratatul are ca obiectiv consolidarea fi scală în următoarea perioadă. Conform prevederilor tratatului, limita defi citului bugetar structural este de 0,5%. În cazul în care nivelul datoriei publice este mult sub 60% şi nu sunt riscuri privind sustenabilitatea pe termen lung a fi nanţelor publice, defi citul structural poate ajunge la 1% din Produsul Intern Brut. Defi citul admis este de maxim 3% din valoarea P.I.B. Tratatul fi scal introduce reguli care să asigure efi cientizarea disciplinei bugetare în rândul statelor membre ale Uniunii Europene. Regulile tratatului au fost acceptate de către cele 18 state membre ale zonei euro. Regulile au fost acceptate şi de celelalte state membre ale U.E., cu excepţia Marii Britanii şi Cehiei. Abaterile înregistrate de la obiectivul tratatului atrag declanşarea mecanismului de corecţie, conform căruia statul membru are obligaţia aplicării măsurilor în scopul încadrării în limitele stabilite. Sancţiunile fi nanciare trebuie să fi e de maxim 0,1% din P.I.B. Tratatul prevede că nu numai statele membre semnatare pot fi benefi ciare ale fondurilor din Mecanismul European de Stabilitate. Dispoziţiile tratatului au fost denumite în literatura de specialitate “reguli de aur” privind echilibrul bugetar. Principalele reguli

1. Alina Neagu, HotNews.ro, 02 martie 2012


constau în impunerea unui defi cit de maxim 3% din Produsul Intern Brut şi a unei datorii publice de maxim 60%, cu mecanisme automate de conformare şi sancţionare. Guvernanţa fi nanciară şi bugetară a preocupat în mod constant marii economişti ai lumii. Criza datoriilor suverane a dezvăluit defi cienţele Uniunii Economice şi Monetare, cu precădere absenţa unui dispozitiv de management al crizelor1. Articolul pune accent pe eşecul mecanismelor de supraveghere. Un tratat stabileşte Mecanismul Economic de Stabilitate (M.E.S.) care are drept obiectiv asigurarea continuităţii Fondului European de Stabilitate Financiară. Cel de-al doilea este Tratatul privind stabilitatea, coordonarea, şi guvernanţa (T.S.C.G.), cu obietivul principal de consolidare a politicilor bugetare ale statelor din zona euro. Ambele tratate au ca bază solidaritatea fi nanciară impusă de către Mecanismul European de Stabilitate Financiară între statele membre ale zonei euro, cu accent pe disciplina bugetară la care sunt expuse statele acestei zone. Adoptarea T.S.C.G. de către Consiliul European a atras critici numeroase. Parlamentul European aprecia la data de 18 ianuarie 2012 că dispoziţiile de supraveghere bugetară au fost prezentate pe larg în textele adoptate anterior. Astfel, Jaques Delors, fost preşedinte al Comisiei Europene, a califi cat tratatul drept ”uzină cu gaz”. C.E.S., care în trecut a aprobat toate tratatele europene, a declarat opoziţia faţă de acest tratat. Având în vedere că tratatul nu este european, ci interguvernamental, parlamentele naţionale sunt suverane să se pronunţe legal asupra deciziilor guvernelor. Totuşi, criticile de natură juridică nu descalifi că T.S.C.G.-ul ca text politic, dar apare compromisul dintre un embrion de solidaritate fi nanciară între state şi un control mai strict al datoriilor şi defi citelor publice. Criticile aduse T.S.C.G. se referă, în principal, la regulile stabilite prin acesta, cu referire atât la conţinutul, cât şi la impactul lor. Pragurile prevăzute nu au justifi care economică a priori şi nu garantează satisfacerea pieţelor fi nanciare. Autorii precizează că regulile din tratat nu pot fi puse în aplicare în toate situaţiile, ceea ce s-a şi demonstrat de la începutul anilor 2000, în momentul încetinirii creşterii. Într-o perioadă de recesiune economică, reducerea defi citelor şi a datoriilor se realizează mai greu şi poate fi riscantă dacă se au în vedere efectele negative ale reducerii cererii publice, în special în momentul în care aceasta se produce în toate statele în acelaşi timp. Autorii subliniază că norma unui echilibru al fi nanţelor publice pe termen mediu nu are justifi care economică. Conform art. 3.1 din T.S.C.G., “situaţia bugetară a administraţiei publice este în echilibru sau în excedent”. Interpretarea textului conduce la concluzia că statul nu are niciun rol în stimularea cererii sau în fi nanţarea investiţiilor. Se face menţiunea că noţiunea de defi cit structural, prin care Comisia apreciază defi citul excesiv este, de fapt, contestabilă. Noile reguli conduc la pierderea autonomiei bugetare şi limitează defi citul şi datoria, deoarece, prin impunerea ţărilor “prea împovărate” a unei întoarceri rapide la echilibru, se creează un “mecanism mecanic”. Pentru un stat afl at în situaţie de recesiune sau încetinire a economiei, reducerea defi citului şi a datoriei amplifi că efectele recesive. În consecinţă, atingerea obiectivelor bugetare devine mai greu de realizat şi, totodată, cresc temerile în ceea ce priveşte sustenabilitatea fi nanţelor publice. Creşterea ratelor dobânzilor are drept efect creşterea cheltuielilor cu dobânzile, iar aceasta contribuie la mărirea 1. Annie Jolivet şi Catherine Sauviant: Guvernanţa fi nanciară şi bugetară europeană, Cronica internaţională a IRES – Probleme economice


defi citului şi a datoriei. Creşterea datoriei are drept consecinţă degradarea ratei îndatorării publice. Regulile tratatului nu garantează scăderea defi citelor publice, deoarece scăderea simultană în mai multe state a cheltuielilor publice poate genera agravarea defi citelor iniţiale. Trebuie subliniată şi poziţia fermă şi fără precedent a Confederaţiei europene împotriva T.S.C.G. Conform acesteia, noul tratat va obliga statele membre să aibă politici fi scale pro-ciclice prejudiciabile care dau o prioritate absolută regulilor economice rigide într-o epocă în care majoritatea economiilor sunt slabe şi în care rata şomajului atinge niveluri intolerabil de ridicate. Aceasta va duce la o presiune asupra scăderii salariilor şi a condiţiilor de muncă, la un control mai strict şi la sancţiuni. T.S.C.G. întăreşte şi aplică norme rigide de supraveghere a datoriei şi a defi citelor publice, ceea ce diminuează substanţial autonomia politicilor bugetare naţionale, cu precădere posibilităţile guvernelor de a alege reformele structurale. Controlul exclusiv numeric şi mecanic nu poate fi apreciat drept un progres în coordonarea politicilor economice ale Uniunii Europene, deoarece exclude creşterea economică, utilizarea forţei de muncă şi coeziunea socială. Acest proces interguvernamental în ritm impus s-a realizat prin creşterea puterii Comisiei Europene în domeniul bugetar şi economic, fără modifi carea bugetului U.E. şi atribuţiilor B.C.E. Progresul a avut loc în contextul agravării crizei datoriilor suverane şi al unei recesiuni severe pentru multe state. Bogdan Drăgoi, Ministrul Finanțelor Publice la data semnării Tratatului privind stabilitatea, coordonarea și guvernanța în Uniunea Economică și Monetară, a declarat : “Semnarea Tratatului pentru stabilitate, coordonare și guvernanță în cadrul Uniunii Economice și Monetare certifi că angajamentele României de a consolida sustenabilitatea fi nanțelor publice și de a aplica politici economice prudente și sănătoase, România fi ind una dintre puținele țări UE care au adoptat deja de câțiva ani măsuri menționate în Pact”1. Se menționează că în România s-a înregistrat o creștere economică semnifi cativă în perioada anterioară crizei, dar această oportunitate nu s-a refl ectat în sustenabilitatea fi nanțelor publice, situație care nu se va mai repeta având în vedere că defi citul structural va fi limitat la 0,5% din PIB. Primele măsuri întreprinse de România s-au concretizat în sensul reducerii defi citului structural de la 7% din Produsul Intern Brut în anul 2009 la 4,4% în anul 2011. Ministrul Finanțelor Publice a precizat că măsurile luate de țara noastră au sporit credibilitatea acesteia la nivel european și internațional. Aplicarea Tratatului va contribui la stimularea implementării de politici economice avansate și va stimula procesul de reducere a decalajelor de dezvoltare comparativ cu celelalte state membre prin intermediul schimbului de experiență cu statele performante. Măsurile care derivă din prevederile Tratatului vor asigura creșterea gradului de transparență în implementarea politicilor de către statele membre ale Uniunii Europene. Aceste măsuri constituie, în

1.Bogdan Drăgoi: Tratatul privind stabilitatea, coordonarea și guvernanța în UEM vizează întărirea disciplinei fi scale în www.curierulfi scal.ro


același timp, un prilej de sancționare rapidă a disfuncționalităților de la o politică fi scală armonioasă. Principalul obiectiv al Tratatului pentru Stabilitate, Coordonare și Guvernanță îl reprezintă întărirea disciplinei fi scale. În acest sens, principalele elemente sunt: “ - politica bugetară trebuie să fi e echilibrată sau în excedent. Această regulă se consideră a fi respectată dacă soldul structural anual respectă obiectivul bugetar pe termen mediu și nu depășește 0,5% din PIB; - defi citul structural poate avea o valoare mai mare decât cea specifi cată mai sus, până la maxim 1% din PIB, dacă nivelul datoriei publice este semnifi cativ sub 60% din PIB și riscurile pentru sustenabilitatea fi nanțelor publice pe termen lung sunt reduse; - regula bugetară se introduce prin dispoziții naționale cu forță juridică obligatorie și caracter permanent, de preferință Constituționale sau respectiv prin alt nivel care să garanteze respectarea în integralitate în cadrul procesului bugetar național. Regulile menționate trebuie să fi e în vigoare în legislația națională în termen de 1 an de la intrarea în vigoare a Tratatului; - statele care fac obiectul unei proceduri de defi cit excesiv instituie programe de parteneriat bugetar și economic cu caracter obligatoriu monitorizate de către Comisia Europeană și Consiliul UE; - părțile la Tratat asigură discutarea ex-ante a reformelor structurale majore pe care intenționează să le adopte și, dacă este cazul, să se coordoneze în acest sens.” Referitor la acest tratat, economistul Mircea Coșea a declarat că cel mai important pentru țara noastră este să prevadă consecințele, adică sacrifi ciile foarte mari și abandonarea prognozelor economice, astfel încât România să ajungă la o convergență reală cu Uniunea Europeană, având în vedere decalajele care ne separă de cele mai dezvoltate state ale acestei zone1. Pentru atenuarea decalajelor este necesară, în viziunea analistului, o creștere economică dublă comparativ cu aceea a Uniunii Europene, ceea ce are drept consecință un defi cit mai mare : “Defi citul la care ne obligă tratatul de guvernanță fi scală nu ne oferă prea multe orizonturi, ci doar posibilitatea de a plăti datoria externă, nicidecum o creștere economică”. Analistul economic apreciază că statul nostru nu se poate angaja la împrumuturi mai mari sau la investiții pentru a nu depăși defi citul stabilit prin prevederile tratatului. Economistul consideră că singura soluție este capitalizarea internă a capitalului, dar care este greu aplicabilă țării noastre. În opinia sa, nu sunt decât două variante: fondurile europene și creșterea investițiilor străine. Tratatul trebuia renegociat, iar pentru statele mai slab dezvoltate din Uniunea Europeană era necesar să se acorde anumite facilități: decalarea termenelor, recalcularea prognozelor și accesul pe piața muncii din Uniunea Europeană. Mircea Coșea afi rmă: ”Un asemenea tratat poate fi pus în aplicare fără niciun fel de sacrifi cii de țări precum Germania, însă pentru state precum România este extrem de greu”. Marele avantaj al României este acela că implementează o disciplină bugetară efi cientă. Analistul economic Ilie Șerbănescu apreciază că problema esențială pentru România ce derivă din prevederile tratatului o reprezintă costurile, iar consecința este o recesiune prelungită pentru majoritatea statelor europene. Analistul consideră că: „Ne este rău că va trebui să trecem la

1.Tratatul fi scal înseamnă prelungirea recesiunii pentru România - Analiști în www.business.24.ro


disciplina fi nanciară, însă România nu va fi capabilă să facă acest lucru, iar dacă va reuși o va face cu prețul unei scăderi economice, un lucru foarte ușor de atins, pentru că oricum suntem pe muchie de cuțit”. Șerbănescu apreciază că aplicarea tratatului este nedreaptă, deoarece statele dezvoltate au folosit defi citul pentru creștere economică o perioadă lungă, iar în prezent sunt sancționate statele mai puțin dezvoltate. În ceea ce privește aderarea la prevederile tratatului, aceasta s-a făcut de către toate statele membre, cu excepția Marii Britanii și Cehiei. În Marea Britanie, membrii conservatori au acuzat faptul că tratatul înăsprește legile fi scale ale zonei euro și “dăunează intereselor naționale ale Marii Britanii”. Prim – ministrul ceh Petr Necas a prezentat cele trei obiecții majore ale Cehiei în ceea ce privește semnarea tratatului: accesul limitat la summit – urile zonei euro al statelor care nu utilizează moneda euro, eșecul în rezolvarea crizei datoriilor europene și procesul foarte complicat și nesigur de ratifi care. Situația defi citului statelor din zona euro în perioada 2010 – 2013 se prezintă astfel:1

2010 2011 2012 2013Austria -4.5 -2.6 -2.3 -1.5Belgia -4 -3.9 -4.1 -2.9Cipru -4.8 -5.8 -5.8 -4.9Estonia 0.2 1 -0.3 -0.5Finlanda -2.6 -1 -2.1 -2.4Franța -6.8 -5.1 -4.9 -4.1Germania -4.1 -0.9 0.1 0.1Grecia -11.1 -10.1 -8.6 -12.2Irlanda -32.4 -12.6 -8 -5.7Italia -4.2 -3.5 -3 -2.8Letonia -8.2 -3.4 -0.8 -0.9Lituania -6.9 -9 -3.2 -2.6Luxemburg -0.6 0.3 0.1 0.6Malta -3.3 -2.6 -3.7 -2.7Olanda -5 -4.3 -4 -2.3Portugalia -11.2 -7.4 -5.5 -4.9Slovacia -7.5 -4.1 -4.2 -2.6Slovenia -5.7 -6.2 -3.7 -14.6Spania -9.4 -9.4 -10.3 -6.8

1 http://ec.europa.eu/eurostat




Din datele prezentate în perioada de referință 2010 – 2013 la nivel de state din zona euro, situația se prezintă astfel: - Austria a înregistrat o tendință de scădere constantă de la - 4,5% în anul

2010 până la – 1,5% în anul 2013; - Belgia prezintă o ușoară scădere a defi citului de la – 4% înregistrat în anul

2010 până la – 2,9% în anul 2013; - Cipru a înregistrat o creștere a defi citului în anii 2011 și 2012 (- 5,8%)

comparativ cu anul 2010 (- 4,8%), apoi o scădere a acestuia în anul 2013 (- 4,9%), dar evoluția acestuia raportată la dispozițiile Tratatului poate fi apreciată ca negativă;

- Estonia a avut valori pozitive în anii 2010 (+ 0,2%) și 2011 (+ 1%) și valori negative în anii 2012 (- 0,3%) și 2013 (- 0,5%), dar valorile defi citului realizat de acest stat se încadrează în limitele impuse de prevederile Tratatului pentru Stabilitate, Coordonare și Guvernanță;

- Finlanda a realizat o scădere a defi citului de la – 2,6% în anul 2010 la – 1% în anul 2011, dar ulterior acesta a crescut la -2,1% în 2011 și -2,4% în anul 2013;

- Defi citul Franței a scăzut în mod constant de la – 6,8% în anul 2010 până la – 4,1% în anul 2013, dar acest stat de referință nu se încadrează în plafonul impus de prevederile Tratatului;

- Germania a înregistrat un progres semnifi cativ în ceea ce privește defi citul de la – 4,1% în anul 2010 la + 0,1 în anul 2013;

- Grecia a avut un defi cit mare în toată perioada supusă analizei, iar dacă în anii 2011 (- 10,1%) și 2012 (- 8,6%) se poate vorbi despre o ușoară


redresare compatativ cu anul 2010 (- 11,1%), în ultimul an al perioadei de referință acesta a atins – 12,2%;

- Irlanda a avut cel mai mare defi cit dintre toate statele din zona euro în anul 2010 (- 32,4%), dar ulterior situația s-a îmbunătățit: - 12,6% în anul 2011, - 8% în anul 2012 și – 5,7 % în 2013, statul fi ind în continuare într-o situație critică;

- Italia a înregistrat progrese în ceea ce privește defi citul de la – 4,2% în anul 2010, la – 3,5% în anul 2011, - 3% în 2012 și – 2,8% în 2013;

- Letonia a avut un progres semnifi cativ de la – 8,2% în anul 2010 la – 3,4% în 2011, - 0,8% în 2012 și – 0,9% în anul 2013;

- Lituania a avut, de asemenea, o scădere spectaculoasă a defi citului de la – 6,9% în anul 2010, la – 2,6% în anul 2013;

- Luxemburg a înregistrat, cu excepția anului 2010 (- 0,6%), valori pozitive: + 0,3% în 2011, + 0,1% în 2012 și + 0,6% în anul 2013;

- Malta a înregistrat un ușor progres de la – 3,3% în anul 2010 până la – 2,7% în anul 2013, dar pentru încadrarea în limita impusă de prevederile Tratatului trebuie să efi cientizeze activitatea economică;

- Olanda a îmbunătățit în mod constant defi citul, valorile acestuia scăzând de la – 5% în anul 2010 la – 2,3% în 2013;

- Portugalia a depus eforturi mari pentru diminuarea defi citului, eforturi concretizate în scăderea acestuia de la – 11,2% realizat în anul 2010 la – 7,4% în 2011, - 5,5% în 2012 și – 4,9% în anul 2013, dar acest stat trebuie să continue strategia economică utilizată pentru a avea un defi cit care să permită încadrarea acestei țări în baremul impus de prevederile Tratatului;

- Slovacia a realizat progrese în mod constant în această direcție, defi citul scăzând de la – 7,5% în anul 2010 la – 2,6% în anul 2013;

- Evoluția Sloveniei a fost fl uctuantă, defi citul crescând de la – 5,7% în 2010 la – 6,2% în anul 2011, apoi a înregistrat o scădere la – 3,7% în 2012 și o creștere foarte mare a acestuia în anul 2013 de – 14,6%;

- Spania a înregistrat o scădere a defi citului de la – 9,4% în anul 2010 la – 6,8% în anul 2013, dar acest stat trebuie să ia în continuare măsuri pentru redresarea economiei naționale și, implicit, reducerea defi citului, astfel încât să nu fi e supus sancțiunilor prevăzute de Tratatul pentru Stabilitate, Coordonare și Guvernanță.

Având în vedere defi citul statelor din zona euro în anul 2013, acestea pot fi clasifi cate în patru grupe:


a) state care se încadrează în limita impusă de prevederile Tratatului (- 0,5%): - Luxemburg + 0,6%; - Germania + 0,1%; - Estonia – 0,5%

b) state cu defi cit până la – 2%: - Letonia – 0,9%; - Austria – 1,5%


c) state cu defi cit între – 2% și – 5%: - Olanda – 2,3%; - Finlanda – 2,4%; - Lituania – 2,6%; - Slovacia – 2,6%; - Malta – 2,7%; - Italia – 2,8%;- Belgia – 2,9%; - Franța – 4,1%; - Cipru – 4,9%, - Portugalia – 4,9%

d) state cu defi cit mai mare de – 5%: - Irlanda – 5,7%; - Spania – 6,8%; - Grecia – 12,2%;- Slovenia – 14,6%

BIBLIOGRAFIE

1. Drăgoi Bogdan - “Tratatul privind stabilitatea, coordonarea și guvernanța în UEM vizează întărirea disciplinei fi scale” în www.curierulfi scal.ro

2. Jolivet Annie și Sauviant - “Guvernanța fi nanciară și bugetară europeană, Cronica internațională a IRES – Probleme economice”

3. Neagu Alina - “Tratatul privind guvernanța fi scală în UE” în www.hotnews.ro, 2 martie 2012

4. “Tratatul fi scal înseamnă prelungirea recesiunii pentru România – Analiști” în www.business.24.ro

5. http://ec.europa.eu/eurostat


THE DEFICIT OF THE EU MEMBER STATES IN THE EURO AREA

PhD. Candidate Adrian AMARIȚA Ministry of Regional Development and Public Administration

Abstract The Treaty on Stability, Coordination and Governance was signed on 02.03.2012 in Brussels by the 25 heads of the European Union Member States, exceptions being the UK and the Czech Republic. The main objective of the Treaty is fi scal consolidation. Under its provisions, the limit of the structural budget defi cit is 0,5%. If the debt level is below 60% and there are no risks regarding the long term sustainability of the public fi nances, the structural defi cit could reach 1% of GDP. The defi cit is allowed a maximum of 3% of GDP. From the analysis for the period 2010 – 2013 on the impact of the Treaty on Stability, Coordination and Governance in the European Union member states of the euro area, that defi cit is within the limits allowed by the law in only three states: Luxembourg, Germany and Estonia. Key Words: Euro, Treaty on Stability, Coordination and Governance, member states, European Union, structural defi cit, Gross Domestic Product, penalty payment, derogation. JEL Classifi cation: E 23, E 42, E 52, F 15, F 33, F 45, H 62

The Treaty on Stability, Coordination and Governance in the Economic and Monetary Union was signed on 02.03.2012 in Brussels by the 25 heads of European Union member states, exceptions for this are the UK and the Czech Republic, and entered into force on 01.01.2013. The Treaty aims to strengthen member states’ tax in the next period. Under the treaty, the limit structural budget defi cit is 0,5%. If the public debt is below 60% and there are risks to the long- term sustainability of public fi nances, the structural defi cit could reach 1% of GDP. The defi cit is allowed a maximum of 3% of GDP. The Fiscal Treaty introduces rules to ensure effi cient budgetary discipline in the member states of the European Union. The treaty rules were accepted by the 18 euro area member states The rules were accepted by other EU member states, except Great Britain and the Czech Republic. Deviations since the objective of the Treaty trigger the correction mechanism whereby member state shall aplly the measures in order to comply with the limits set. Penalties must be within 0,1% of GDP. The treaty provides that not only signatory member states can be recipients of funds from the European Stability Mechanism. The provisions of the treaty were called in the literature „golden rules” on the budget balance. The main rules consist


of imposing a maximum defi cit of 3% of GDP and a public debt exceeding 60% with automatic mechanisms and sanctions compliance. Great economists of the world have been constatly concerned about the budgetary and fi nancial governance. The sovereign debt crisis has revealed the weaknesses of EMU, notably the absence of a crisis management device. The article focuses on supervisory failures. A treaty establishes the Economic Stability Mechanism (ESM) which aims to ensure the continuity of the European Financial Stability Fund. The second is the Treaty on Stability, Coordination and Governance (TSCG) which has as main objective the building and the continuity of budgetary policies in the euro area. Both treaties are based on fi nancial solidarity imposed by the European Financial Stability Mechanism between euro area member s tates, focusing on budgetary discipline facing the countries of this region. The adoption of the T.S.C.G. by the European Council has drawn many critics. The European Parliament appreciated on January 18, 2012 that the provisions of the budgetary surveillance were detailed in previously adopted texts. Thus, Jacques Delors, former European Commission president, described the treaty as a „gas factory”. The C.ES., which in the past has approved all the European treaties, showed opposition to the treaty. Since the treaty is not European, but intergovernmental, national parliaments are sovereign to decide on the legal decisions of the governments. However, legal criticism of the TSCG does not disqualify it as political text, but the compromise appears between an embryo of fi nancial solidarity among the states and a stricter control of debt and defi cits. Criticism towards the T.S.C.G. refers, primarily, to the rules set out therein, with respect to both the content and their impact. The thresholds are not a priori economic justifi cation and does not guarantee fi nancial markets satisfying. It states that the treaty rules can not be implemented in all situations, which was actually demonstrated in the early 2000s, at the moment of the slowdown. At a time of economic downturn, reducing defi cits and debt is becoming more diffi cult and can be risky if we take into account the negative effects of reduced public demand, especially when it occurs in all states simultaneously. The authors point out that the rule of balancing public fi nances in the medium term has no economic justifi cation. According to art.3.1 of the TSCG, ”the government budgetary position is in balance or in surplus.” The interpretation of the text leads to the conclusion that the state has no role in boosting demand in fi nancing investment. It shall be noted that the concept of structural defi cit, through which the Commission considers the excessive defi cit is , actually, questionable. The new rules lead to loss of autonomy and limited budget defi cit and debt, because, by imposing ”too burdensome” countries a rapid return to balance, creates a ”mechanical device”. For a country in a situation of recession or slowdown of the economy, reducing the defi cit and debt amplifi es the effects of recession. Therefore, the budgetary target becomes more diffi cult and also increases fears regarding the sustainability of public fi nances. Higher interest rates results in higher interest costs, and it contributes to increasing defi cit and debt. The growth rate debt results in the degradation of the public debt. Treaty rules do not guarantee lowering public defi cits,


because in several states simultaneous lowering public spending could generate initial worsening defi cits. It should be underlined unprecedented and fi rm position against the European Confederation T.S.C.G. under this new Treaty requires member states to pro-cyclical fi scal policies that give priority to harmful rigid economic rules in an era when most economies are weak and the unemployment rate reaches intolerable high levels. This will result in a downward pressure on wages and working conditions and also to a stricter control and sanctions. The T.S.C.G. strenghtens surveillance and applies rigid rules of debt and public defi cits, which substantially reduces the autonomy of national budgetary policies, particularly the possibilities of governments to choose structural reforms. Digital and mechanical control can only be described as a breakthrough in the EU economic policy coordination, because it excludes growth, labor utilization and social cohesion. This intergovernmental process on an imposed pace was achieved by increasing the power of the European Commission in the budgetary and economic, area without changing the EU budget and the powers of the B.C.E. The progress took place in the context of the worsening of the sovereign debt crisis and a severe recession for many states. Bogdan Drăgoi, the Finance Minister at the time of signing the Treaty on Stability, Coordination and Governance in the Economic and Monetary Union, said: “The signing of the Treaty for Stability, Coordination and Governance in the Economic and Monetary Union certifi es Romania’s commitments to strengthen sustainability of the public fi nances to apply prudent and sound economic policies, Romania being one of the few EU countries that have already adopted the measures referred to in the Pact for a few years.” It notes that Romania has registered signifi cant economic growth before the crisis, but this opportunity was not refl ected in the sustainability of the public fi nances, a situation that will not recur given that the structural defi cit will be limited to 0,5% of GDP. The fi rst measures taken by Romania have resulted in the reducing of the structural defi cit from 7% of GDP in 2009 to 4,4% in 2011. The Finance Minister said that measures taken by our country increased its credibility at international and European level. The application of the Treaty will help stimulate the implementation of advanced economic policies and stimulate the process of reducing the development gap compared with other member states through the exchange of experience with performing states. The measures arising from the provisions of the Treaty will ensure increased transparency in policy implementation by member states of the European Union. These measures are, at the same time, an opportunity to quickly sanction failures to a harmonious fi scal policy. The main objective of the Treaty for Stability, Coordination and Governance is to strengthen fi scal discipline. In this respect, the main elements are: “ – Budgetary policy should be balanced or in surplus. This rule shall be


deemed to be respected if the annual structural balance in the medium term budgetary objective respects and does not exceed 0,5% of GDP; - Structural defi cit may have a higher value than specifi ed above, to a maximum of 1% of GDP if the debt level is signifi cantly below 60% of GDP and risks to long-term sustainability of public fi nances are low; - Fiscal rule is introduced through national provisions legally binding and permanent character, preferably constitutional, or otherwise that level that ensures compliance in full in the national budget process. The rules set should be in force in national legislation within one year of the entry into force of the Treaty; - The countries subject to the excessive defi cit procedure establish budgetary and economic partnership programs with binding monitored by the European Commission and the EU Council; - Parties to the treaty ensure ex-ante discussion of major structural reforms which they intend to adopt and, if necessary, to coordinate in this regard.” Regarding this treaty, the economist Mircea Coșea said that the most important for our country is to foresee the consequences, which means very large sacrifi ces and abondoning economic forecasts, so that Romania will reach a real convergence with the European Union, given the gaps that separate us from the most developed contries of the area. In order to alleviate disparities it is necessary, according to the analyst, a double economic growth as compared with that of the European Union, which results in a higher defi cit: “The defi cit in the fi scal governance treaty obliges us not give too many horizons, but only the capability to pay foreign debt, not economic growth.” The economic analyst believes that our state can not commit to larger loans or investment in order not to overcome the defi cit established by the Treaty. The economist believes that the only solution is internal capital capitalization, but that is hardly applicable to our country. In his view, there are only two alternatives: European funds and increased foreign investment. The treaty should have beent renegotiated and for the less developed countries of the European Union it had been necessary to grant certain facilities: shifting deadlines, recalculate forecasts and labor market access in the European Union. Mircea Coșea states: “A treaty can also be implemented without any sacrifi ces by countries like Germany, but for countries like Romania it is extremely diffi cult.” The big advantage is that Romania implements effective budgetary discipline. Economic analyst Ilie Șerbănescu says that the key issue for Romania deriving from the Treaty provisions is the costs, and the consequence is a prolonged recession for most European countries. The analyst states: “We are sorry that we have to go to fi nancial discipline, but Romania will not be able to do this, and if it succeeds, it will be at the cost of economic downturn, which is very easy to achieve, because anyway we are on the edge.” Șerbănescu considers that the application of the treaty is unfair because developed countries have used defi cit for growth for a long period and now the less developed states are penalized. Regarding accession to the Treaty, this was done by all member states, except Great Britain and the Czech Republic. In Great Britain, the Conservative members


accused that the treaty tightens tax laws of the euro area and “damages national interests of Great Britain.” Prime Minister Petr Necas introduced three major objections of the Czech Republic regarding the Treaty: the limited access to the summits of euro area countries not using the euro, the failure in solving the European debt crisis and the very complicated and uncertain ratifi cation. The situation in the euro area defi cit in the period 2010-2013 is presented as follows:

2010 2011 2012 2013Austria -4.5 -2.6 -2.3 -1.5Belgium -4 -3.9 -4.1 -2.9Cyprus -4.8 -5.8 -5.8 -4.9Estonia 0.2 1 -0.3 -0.5Finland -2.6 -1 -2.1 -2.4France -6.8 -5.1 -4.9 -4.1Germany -4.1 -0.9 0.1 0.1Greece -11.1 -10.1 -8.6 -12.2Ireland -32.4 -12.6 -8 -5.7Italy -4.2 -3.5 -3 -2.8Latvia -8.2 -3.4 -0.8 -0.9Lithuania -6.9 -9 -3.2 -2.6Luxembourg -0.6 0.3 0.1 0.6Malta -3.3 -2.6 -3.7 -2.7Netherlands -5 -4.3 -4 -2.3Portugal -11.2 -7.4 -5.5 -4.9Slovakia -7.5 -4.1 -4.2 -2.6Slovenia -5.7 -6.2 -3.7 -14.6Spain -9.4 -9.4 -10.3 -6.8




From the data presented in the reference period 2010 – 2013 of euro area countries, the situation is as follows: - Austria has a steady downward trend from – 4,5% in 2010 to – 1,5% in

2013; - Belgium shows a slight decrease in the defi cit from – 4% in 2010 to -2,9% in 2013; - Cyprus recorded an increase in the defi cit in 2011 and 2012 (-5,8%)

compared with 2010 (-4,8%), and its decrease in 2013 (-4,9%), but its evolution reported in the Treaty can be regarded as negative;

- Estonia was positive in 2010 (+0,2%) and 2011 (+1%) and negative in 2012 (-0,3%) and 2013 (-0,5%), but the values achieved defi cit. This state is within the limits imposed by the provisions of the Treaty for Stability, Coordination and Governance;

- Finland has achieved a decrease in the defi cit from -2,6% in 2010 to -1% in 2011, but later it increased to -2,1% in 2012 and -2,4% in 2013;

- France’s defi cit steadily decreased from -6,8% in 2010 to -4,1% in 2013, but the reference state is not within the ceiling imposed by the Treaty;

- Germany has made signifi cant progress in terms of defi cit -4,1% in 2010 to +0,1 in 2013;

- Greece has a large defi cit throughout the period under review, and if in 2011 (-10,1%) and 2012 (-8,6%) we can talk about a slight recovery comparative with 2010 (-11,1%) in the last year of the reference period it has achieved -12,2%;

- Ireland had the highest defi cit of all euro area countries in 2010 (-32,4%), but then the situation improved: - 12,6% in 2011 – 8% in 2012 -5,7% in 2013, the state is still in a critical situation;

- Italy has made progress in terms of defi cit -4,2% in 2010 to -3,5% in 2011 -3% in 2012 and -2,8% in 2013;

- Latvia has made signifi cant progress from – 8,2% in 2010 to -3,4% in 2011 -0,8% in 2012 and – 0,9% in 2013;

- Lithuania has also had a dramatic decrease in the defi cit -6,9% in 2010 to -2,6% in 2013;

- Luxembourg registered ,with the exception of 2010 (-0,6%), positive values: +0,3% in 2011, +0,1% in 2012 and +0,6% in 2013;

- Malta has seen a slight improvement from -3,3% in 2010 to -2,7% in 2013, but to hire limit imposed by the provisions of the Treaty must streamline the economic activity;


- Holland’s defi cit improved steadily, falling from its values -5% in 2010 to -2,3% in 2013;

- Portugal has made great efforts to reduce the defi cit, embodied in lowering its efforts to -11,2% achieved in 2010 to -7,4% in 2011, -5,5% in 2012 and -4,9% in year 2013, but the country needs to continue economic strategy used before in order to have a defi cit which allows this country the classifi cation in the scale required by the Treaty;

- Slovakia has progressed steadily in that direction, the defi cit decreased from -7,5% in 2010 to -2,6% in 2013;

- Evolution of Slovenia was fl uctuating, the defi cit increased from -5,7% in 2010 to -6,2% in 2011, then decreased to -3,7% in 2012 and then a large increase of its defi cit followed in 2013 – 14,6%;

- Spain’s defi cit decreased from -9,4% in 2010 to -6,8% in 2013, but the state must take further measures to improve the national economy and thus reduce the defi cit, in order not to be subject to the penalties provided for by the Treaty for Stability, Coordination and Governance.

Given the euro area defi cit in 2013, the states may be classifi ed into four groups: a) states which fall within the limit imposed by the provisions of the Treaty (- 0,5%): - Luxembourg + 0,6%; - Germany + 0,1%; - Estonia – 0,5%

b) states with defi cit up to – 2%: - Latvia – 0,9%; - Austria – 1,5%


c) states with defi cit between – 2% și – 5%: - Netherlands – 2,3%; - Finland – 2,4%; - Lithuania – 2,6%;- Slovakia – 2,6%; - Malta – 2,7%; - Italy – 2,8%; - Belgium – 2,9%; - France – 4,1%; - Cyprus – 4,9%; - Portugal–4,9%

d) states with defi cit more than – 5%: - Ireland – 5,7%; - Spain – 6,8%; - Greece – 12,2%; - Slovenia – 14,6%

REFERENCES 1. Drăgoi Bogdan - Treaty on Stability, Coordination and Governance in the Economic

and Monetary Union aims at strengthening fi scal discipline in www.curierulfi scal.ro

2. Jolivet Annie/Catherine Sauviant - European budgetary and fi nancial governance, international Chronicle IRES – Economic Issues

3. Neagu Alina - Treaty on European Union fi scal governance in HotNews.ro, March 2, Tax Treaty for Romania means prolonging the recession – Analysts in www.business.24.ro

4. http://ec.europa.eu/eurostat


Scurtă istorie a algebrei şi a impactului ei statistic maximizat în statistica algebrică

Professor habil. Gheorghe SĂVOIU, PhD, Universitatea din Piteşti Professor MD. Sandra MATEI, Şcoala Gimnaziala Nr. 198, Bucureşti

Abstract Această lucrare este redactată de un statistician și un matematician, ambii pasionați de algebra clasică și evoluția ei istorică. Dincolo de enumerarea unor momente importante și de evidențierea unor școli legate de gândirea specifi că a algebrei, ținta articolului rămâne impactul unor evoluții comune posibile și mai ales reale concretizând conviețuirea algebrei cu statistica în conținutul unei noi soluții interdisciplinare plasate interstitial și denumite fi resc algebraic statistics. Key words: algebră, statistica, istoria gândirii algebrice, algebraic statis-tics.

INTRODUCERE Algebra contemporană este un concept științifi c, plasat între disciplină independentă și știință componentă a spațiului larg al matematicii. Algebra este defi nită atât independent ca teorie a operațiilor privind numerele reale (pozitive ori negative) sau complexe, rezolvare a ecuațiilor, axată pe substituirea valorilor numerice cu litere și identifi care a formulei generale de calcul numeric particular, cât și dependent sau structural ca ramură a matematicii, algebra ocupându-se în acest caz cu studiul operațiilor aritmetice independent de valorile lor numerice sau cu generalizările operațiilor aritmetice (DEX, 2012). Algebra constituie o componentă structurală indispensabilă a matematicii moderne derivată din aritmetică, ca generalizare sau extensie a acesteia din urmă și deține ca domeniu de studiu predilect regulile operațiilor și relațiilor matematice, a conceptelor derivate din acestea, de la polinoame, la ecuații, de la structuri algebrice, la numere cu proprietăți speciale. În demersul ei milenar, algebra a apelat permanent la numere contextualizând inițial matematica absolut elementară. Toate calculele și conceptele matematicii absolut elementare au fost și sunt încă guvernate de unicul act al numărătorii cu unu, capabile să genereze primele numere naturale. Valorifi carea semnelor algebrice este un proces difi cil și lent deși cu siguranță că cifrele au apărut cu mult înaintea sa alfabetului, sistemele hexagesimal (babilonian) și sistemul zecimal (chinez) constituind primii pași esențiali ai algebrei cu o vechime de peste patru sau cinci milenii. Acum mai bine de 1200 de ani, arabii vor realiza unifi carea cifrelor cunoscute astăzi, iar celebra cifră zero (0) va călători pe drumul mătăsii secole de-a rândul devenind zephir la greci pentru a intra defi nitiv în calcule matematice în Europa abia acum un mileniu. Semnul egalității (=) a apărut acum 500 de ani alături


de semnul plus (+), spre deosebire de numerele negative, care apar în jurul anului 600, dar se utilizează clar și pe scară largă după o mie de ani aproape, toate împreună pregătind o geometrie analitică pe la 1650. Abia în secolul al XII-lea oamenii au înțeles că nașterea numerelor prin numărare sau adăugarea lui 1 a însemnat crearea lucrurilor (Thierry de Chartres), iar după alte patru sau cinci secole fenomenul a fost de nestăvilit odată cu saltul realizat de la simpla numărare 0 → (0 + 1) → [(0 + 1) + 1] → ... la identitatea exponențială vitală xy × xz = x (y + z) care a produs explozia exponențială și logaritmică a revoluției științifi ce din secolul al XVII-lea (Berlinski, 2013). Algebra este o operă colectivă, întinsă pe milenii, este opera negustorilor și a oamenilor simpli, opera bancherilor și contabililor, opera matematicienilor și a nematicienilor (statisticieni sau logicieni) deopotrivă. Exagerarea izvorului aritmetic și impactului numerologic, conceptualizează algebra ca știință a numerelor întregului univers (Rees, 2008) are ca implicație majoră faptul că atât cosmosul, cât și microcosmosul pot fi redefi nite cu ajutorul unei sinteze algebrice, alcătuite tot din numere cu specifi carea că este vorba de numai șase numere semnifi cative: a) două dintre ele N și ε cu referire la forțele fundamentale ale fi zicii și chimiei universului (N = 1036 sau intensitatea forțelor electrice care mențin atomii împreună și ε = 0.007 care arată cât de puternic sunt legate între ele nucleele atomilor și cum s-au format atomii pe Terra); b) alte două Ω și λ stabilind dimensiunea și structura universului vital și precizând continuitatea existenței acestuia (Ω sau un număr în proces de diminuare care descrie raportul dintre densitatea reală și densitatea critică,considerat inițial aproape egal cu unitatea și care are o valoare actuală de numai 0.04 și în acest fel evaluează cantitatea de materie din galaxii, gaz rarefi at, inclusiv materie “întunecată” și λ sau valoarea antigravitației consemnată într-un număr foarte mic care tinde spre zero); c) ultimele două Q și D caracterizând proprietățile spațiului însuși (Q = 1/100000 sau raportul a două energii fundamentale care la limită pot conduce fi e la un univers inert și fără structură, fi e la un univers violent, în care nu ar putea supraviețui nimic și D = 3 sau numărul de dimensiuni spațiale ale lumii noastre). Capacitatea de a sintetiza prin numere universul exterior și talentul de a gândi prin numere și a substitui realități prin numere sunt cele care au delimitat primele contribuții majore ale algebrei în istoria științei moderne. Împreună cu geometria, analiza matematică combinatorica și teoria numerelor, algebra a constituit una dintre ramurile principale ale matematicii pure. Algebra rămâne unul din multiplele areale ale matematicii moderne împreună cu topologia, logica matematică, analiza numerică (valorifi când computerele) și mathematica discretă.

PRECURSORI ȘI REPERE GEOGRAFICE, TEMPORALE SAU PRINCIPIALE ALE ALGEBREI MODERNE

Universul spațio – temporal al algebrei a descins din preocupările civilizațiilor și ale oamenilor obișnuiți poziția acestei științe nefi ind contra mundum milenii de-a rândul. Probleme simple și-au găsit soluții aparent la fel de simple în


mulțimea numerelor naturale sau întregi pozitive de o manieră amiabilă (Berlinski, 2013), în timp ce primele numere negative și fracțiile au plasat matematicianul în confl ict deschis cu lumea fi zică. Așa a început algebra să conviețuiască cu realitatea, identifi când operațiuni cu fi nal necompensat și inacceptabil în practica unor cămătari rămași cu împrumuturi parțial achitate sau rotunjind brutarului soluțiile de secționare a pâinii în n părți. Principalele areale spațio – tempoarale care au dezvoltat algebra și au adus-o la nivel de știință componentă a matematicii moderne sunt sintetizate în caseta nr. 1.

Precursori și repere geografi co - temporale ale algebrei moderneCaseta nr. 1

Algebra clasică are o vechime de peste patru milenii, cu două milenii înainte de Hristos, babilonienii fi ind aceia care au utilizat formule algebrice pentru a rezolva problemele, în timp ce grecii și chinezii foloseau numai metode geometrice în aceleași scopuri. Aceiași babilonieni nu pot fi numiți inventatori ai algebrei deși au fost precursori importanți, deoarece nu au avut timpul necesar pentru a rafi na procedurile lor și nici capacitatea de a le generaliza și transmite moștenire, cu toate că puteau rezolva ecuatii cu un număr de patru variabile un număr de patru variabile necunoscute. În aceeași perioada, egiptenii și caldeenii erau capabili să rezolve ecuaţiile de gradul întâi şi al doilea prin indicarea verbală a operaţiilor atestate cu documente care s-au păstrat încă (Berlin papyrus din 1300 î. Hr.). În paralel și vechii greci erau familiarizați cu aplicarea unor identităţi, exprimate sub formă geometrică dovedindu-se capabili să soluționeze grafi c unele ecuaţii de gradul al treilea şi chiar al patrulea prin intersecţii de conice. În persoana lui Diofant sau Diophantus, autorul primei lucrări matematice asumate Aritmetica, care a trăit in vechea Alexandria în jurul anului 200 d. Hr., se poate identifi ca primul precursor al algebrei moderne (supranumit părintele algebrei). Deși nu a formulat o metodă de rezolvare unică pentru ecuații algebrice, Diophantus a utilizat pentru prima dată litere speciale pentru operaţii şi numere, fi ind și iniţiatorul notaţiile simbolice (algebrice), precum și părintele ecuaţiilor nedeterminate (ecuaţii diofantice). În persoana Hypatiei tot cultura și știința greacă oferă prima femeie matematician a antichităţii care a scris un comentariu asupra operei lui Diophantus și chiar a extins-o devenind mama algebrei moderne. Contribuțiile indiene in algebră sunt remarcabile, Tratatul lui Brahmagupta (598 - 660) constituind o aplicarea practică a matematicii în care autorul său a dezvoltat mai multe formule algebrice majore, inclusiv ecuația liniară, ecuația de gradul al doilea și ecuații nedeterminate generând pentru prima oară și introducând în universul rezultatelor reale numerele negative. Cu referire strictă la delimitarea conceptuală, Brahmagupta este confi rmat ca predecesorul major al defi nirii algebrei ca știință de către Muhammad Al-Khwarizimi (780 - 850) sau Al-Horezmi (latinizat Algoritmi). Precursor esențial al gândirii algebrice în matematica arabă, acesta reușește în două dintre memorabilele sale lucrări pentru istoria algebrei, prima apărută în 825 și intitulată Cartea adunării și scăderii după metodele indiene (Kitab al-jam’wal tafriq bi hisab al-Hindi) ca și în cea de- a doua din 830Tratat asupra calculului prin completare și compensare (Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala) să devină părintele algoritmului algebric, prin soluțiile de calcul generalizat oferite (de la numele lui ușor deformat prin pronunțare se pare că a apărut și algoritmul ca un concept matematic), cât și primul matematician care a folosit algebra ca termen distinctiv. Algebra reunește la Al-Horezmi procesul al-jabr de eliminare a unităților negative, rădăcini și pătrate din ecuația prin artifi cii de adăugare a unor valori identice de fi ecare parte a egalității nodale (de exemplu ecuația x2 = 40x − 4x2 este redusă la 5x2 = 40x), valorifi când în același timp și al-muqabala prin transferul / aducerea unor


cantități de același tip de aceeași parte a ecuației (de exemplu x2 + 14 = x + 5 este redusă la x2 + 9 = x). Dixit Algoritmi ca apreciere a calculului riguros și metodic al lui Al-Horezmi a constituit un reper temporal major, latinizând și eternizând algebric numele autorului în algoritm, ca artă de a opera cu cifre aparent arabe, dar de fapt hinduse la origini, răspândind sistemul numeral hindus-arab în întregul Orientul Mijlociu și Europa, care acoperea practic un sistem unifi cat de rezolvare a problemelor generalizate (opus abordării particularizate a lui Diophantus). Metodele și chiar soluțiile algebrice ale lui Al-Khwarizimi vor fi folosite cu succes și în algebra modernă, din ele fi ind deduse cu claritate contribuțiile matematicienilor moderni, cum ar fi Gottfriend Leibniz sau George Boole, fondatorii algebrei booleene. Nu trebuie omisă din această succintă istorie a apariției algebrei contribuția sistemului sistemul numeric zecimal chinezesc, aşa-numitul rod numerals, în care erau folosite simboluri distincte pentru numere între 1 şi 10 şi alte simboluri pentru puteri ale lui 10, folosit deja cu câteva secole î.Hr. şi cu mult înainte de dezvoltarea sistemului numeric indian. Acest prolifi c sistem zecimal permitea reprezentarea numerelor mari şi calculele puteau fi făcute prin intermediul numărătorii chinezeşti (suan pan). Dintr-o imaginară frescă a Școlii algerice preclasice nu pot lipsi Diophantus, Hypathia, Brahmagupta, Al-Khwarizimi, cu toți sub sigla suan pan. (Stokes-Brown, 2011). Algebra preclasică și chiar clasică reunește în cele din urmă o compilație de reguli, alături de demonstrații, cu scopul de a identifi ca soluții ale unor ecuatii liniare și pătratice, inițial prin argumente geometrice intuitive, iar la fi nal cu sprijinul notației abstracte asociate cu subiectul practic.Algebra modernă readuce personalități ale matematicii arabe în discuție la începutul mileniului al doilea. Astfel Al-Karaji a oferit în tratatul său Al-Fakhri prima demonstrație care folosește principiul inducției matematice pentru a demonstra teorema binomială, Ibn al-Haytham a dezvoltat teoria numerelor accentuând importanța numerelor perfecte și inițiind conexiuni între algebră și geometrie, Omar Khayyam a devenit unul din fondatorii reali ai geometriei algebrice, anticipând memorabila contribuție și uimitorul efort al lui Decartes, Nasir al–Din Tusi a dezvoltat conceptul de funcție algebrică, iar efortului lor multisecular li se alătură Mahavira Bhaskara II, matematician indian, Al-Karaji, matematician persan și Zhu Shijie, matematician chinez, toți aceștia deținând contribuții importante la rezolvarea de ecuații cubice, cuartice, cuintice prin metode numerice. Renaşterea a amplifi cat exponențial dezvoltarea matematicii, a valorifi cat cifrele arabe și a generalizat notaţia simbolică algebrică. Scipione del Ferro și Niccolò Fontana Tartaglia au descoperit soluțiile pentru ecuațiile cubice, iar Gerolamo Cardano în cartea sa, Ars Magna, apărută in 1543, a publicat soluțiile pentru ecuațiile de gradul al patrulea, descoperite de studentul său Lodovico Ferrari. Algebra modernă standardizează treptat orizontul cantitativ exterior. François Viète (1540-1603) apelând la formule literale descrie în formule devenite celebre relaţiile dintre rădăcini şi coefi cienţi, John Neper (1550-1617) inventează conceptul de logaritm, John Wallis (1616-1703) pe acela de limită a unui șir de numere raționale, Isaac Newton (1642-1727) extinde formula binomului pentru exponenţi raţionali și oferă o metodă de calcul prin aproximaţie a rădăcinilor iraţionale, von Leibniz (1646-1716) enunță criteriul de convergenţă al seriilor numerice alternante, Michel Rolle (1652- 719) oferă soluția de separare a rădăcinilor ecuaţiilor algebrice, James Stirling (1696-1770) conceptualizează factorialul (n!), Gabriel Cramer (1704-1752) determinanţii, Leonhard Euler (1707-1783) extinde și introduce determinantul ortogonal, Étienne Bézout (1730-1783) elimină necunoscuta între două ecuaţii, Eduard Waring (1734-1798) identifi că interpolarea prin polinoame, Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) stabilește proprietățile determinanţilor, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) sintetizează teoria ecuaţiilor algebrice, Pierre-Simon Laplace (1749-1827) creează regula dezvoltării determinanților după minori de diferite ordine, Carl Friedrich


Gauss (1777-1855) formulează teorema fundamentală a algebrei și oferă reprezentarea numerelor complexe în plan, William Rowan Hamilton (1805-1865) dezvoltă algebra necomutativă și teoria abstractă a operaţiilor, De Morgan (1806-1871) generează logica formală a operaţiilor, Kummer (1810-1893) creează numerele ideale, iar Clifford (1845-1879) numerele duale, Cauchy (1789 - 1857) și van der Waerden (1903 - 1996) descriu regulile de calcul matricial etc. (MathWiki, Algebra, 2015). Anul 1830 este unul defi nitoriu pentru maturizarea deplină a algebrei, personalitatea lui Évariste Galois (1811-1832) și teoria acestuia marcând delimitarea clară a condițiilor necesare și sufi ciente pentru ca o ecuație să fi e rezolvată apelând la radicali (Năstăsescu, Niță, 1979). Algebra modernă după Galois pare a fi deplin conturată, comunicarea, ierarhiile și reperele geografi co-temporale sunt la o primă analiză relativ încheiate (confl icte de genul întâietate Kowa Seki Leibniz asupra paternalității asupra determinanților pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare își pierd rațiunea în patrimoniul mondial algebric)

Sources: MathWiki, Algebra, (2015) available at: http://ro.math.wikia.com/wiki/Algebră, Stokes-Brown, 2011 și (Năstăsescu, Niță, 1979).

Reperele principiale ale algebrei moderne sunt datorate aproape integral lui René Descartes (1596-1650) care a abstractizat și generalizat calculul algebric la semnifi caţia lui modernă, oferind algebrei și iubitorilor acesteia satisfacția limitării numărului rădăcinilor pozitive ale unei ecuaţii. În 1637, Rene Descartes a introdus notația algebrică modernă odată cu apariția lucrării La Géométrie, care inventa geometria analitică. Principiile algebrei au fost surprinse în maniera cea mai elegantă de către Descartes, în celebra sa lucrare Discours de la methode, încă din 1637. Cele patru axiome principiale aparent pur personale, așa cum au fost ele redactate de către Decartes par a satisface și logica și geometria, dar, mai ales, algebra de îndată ce le plasăm în orientarea contra mundum a matematicianului profund care: 1. Va accepta ca adevărat doar ceea ce nu poate fi pus la îndoială sau

demonstrația validată algebric este prioritară în raport cu demonstrabilitatea potențială contradictorie.

2. Va împărți fi ecare problemă în tot atâtea părți câte vor fi necesare pentru a o rezolva în mod corect sau descompunerea algebrică sa face conform necesității dictate de corectitudinea soluțiilor agregate fi nale.

3. Își va prezenta ideile de la cele mai simple la cele mai complicate sau demersul de souționare algebrică este unul ascendent de la simplu la complex, de la singular la general, de la caz particular la regulă (formulă, teoremă, teorie).

4. Va enumera toate conceptele, astfel încât nimic pertinent să nu fi e omis sau completitudinea ipotezelor conceptuale asigură generalitatea demersului demonstrației algebrice (Decartes, 1637).

Moralitatea abordată ca respectare a legilor (teoriei algebrei) și cultivarea rațiunii și raționalității aplicării (algebrei), împreună cu cugetarea ca demers existențial nu numai fi losofi c dar și algebric (cogito, ergo sum) sunt derivatele conceptuale majore ale principialității carteziene.Istoria algebrei în România este mult mai recentă, mai didactică și mai ales expusă


unei vremelnicii nefaste și teritorialități represive și chiar neprincipiale. Prima atestare a utilizării algebrei, ca noțiune în sine, apare la 1729, în volumul Satire al lui Antioh Cantemir, fi ul domnitorului Dimitrie Cantemir: Antioh Cantemir ar fi tradus în rusă o carte referitoare la Newton și ar fi scris chiar o algebră, tot în rusă, rămasă în manuscris (Marcelle, 1938):

Satira I (extras) “Noi n-avem vro nevoie de-a lui Euclid știință, Ca să-mpărțim pământul în fi rte și bucăți, Și știm făr-de algebră câți bani sunt într-un leu. Silvan iubește numai știința aceea care Venitul înmulțește și scade cheltuiala; De nu se-ngroașă punga nu vede vrun folos, Ci numai nebunie pentru societăți...” Source: http://ro.wikisource.org/wiki/Antioh_Cantemir:_Satira_I O mare parte a opiniilor apărute la noi susțin că primul manual de algebră ar fi aparținut lui Gheorghe Asachi care a scris, redactat şi publicat personal mai multe lucrări cu caracter didactic în registrul matematic (Babără, 2005): Elemente de matematică, partea I, Aritmetică (1836), partea a II-a, Algebra (1837), partea a III-a, Geometrie elementară (1838), Elemente de matematică (1843), Elemente de aritmetică (1848). În 1870 apare în România, în traducere, Cursu elementaru de algebra al lui Franz Mocnik, iar în 1900, B. Ionescu publică Tratatul de algebra elementara pen-tru scolele secundare dupa noua programa, iar Al. Manicatide Manualul de algebra elementara, ca manual alternativ. Atât ca fond, cât și ca tematică manualul lui Al. Manicatide nu diferă semnifi cativ de acela al lui Franz Mocnik fi ind reeditat până în 1941, când apare versiunea lui N. Abramescu, pentru a face loc în 1950, altui manual de algebră, tradus din rusă și nesemnat, în care drept unică mare noutate, apare analiza combinatorie. Simptomele paradigmei algebrice in metodica predarii matematicii in stil sovietic pierd legătura cu esența algebrei clasice și moderne prin: anistoricizarea (extragerea algebrei din contextul ei istoric), izolarea disciplinara, abstractizarea si formalizarea excesivă, mecanicizarea procesului de rezolvare a problemelor de al-gebră conform criteriului mai mult si mai repede se identifi că practic cu mai bun în algebră (Diaconu, 2006). Marii matematicieni și academicieni români s-au implicat semnifi cativ în sprijinul predării matematicilor în învăţământul gimnazial şi mediu, deși o mare parte dintre aceștia prin specializarea iminentă nu au publicat cărți destinate elevi-lor sau manauale didactice Astfel, un exemplu aparte îl constituie Traian Lalescu (1882-1929) care a publicat valoroase lucrări cu caracter didactic, printre care, în anul 1924, Calculul algebric sau Grigore Moisil (1906-1973) prin lucrarea Introducere in algebră din 1954 etc. Gheorghe Țițeica (1873-1939) un alt matematician exemplar a


înfi ințat împreună cu Dimitrie Pompeiu (1873-1954) revista Mathematica și a par-ticipat alături de Ion Ionescu, Andrei Ioachimescu si Vasile Cristescu la fondarea și dezvoltarea prestigioasei reviste românești Gazeta matematică din 1895. Primul manual de analiză și implicit algebră modernă ceva mai realist, ca apariție postbelică, este semnalat abia în anul 1968, ascunzând sufi cientă algebră sub titlul Elemente de analiza matematică si mecanică și având ca autor pe academicianul Caius Iacob (1912-1992), redenumit Elemente de analiza matematica, pentru anul IV de liceu din 1974, manual școlar axat și pe algebră care asigura pentru prima oară o sincronizare relativă cu demersul pedagogic al matematicii europene, confi rmând totodată și o sciziune între matematica si stiintele fi zice în România. Abordarea struc-turală și de impact a algebrei lui Gheorghe Asachi se regăsește însă și după un secol și jumătate, în 1989, algebra fi ind predată cu aritmetica împreună în același manual în clasa a VI de gimnaziu. Algebra contemporană a devenit tot mai extinsă și reunește: i) algebra elementară/clasică, unde expunerea proprietăților numerelor reale

apelează la simboluri identifi când diferit constante și variabile, accentuând studiul expresiilor matematice și ecuațiilor;

ii) algebra abstractă/modernă, în care se studiază structuri algebrice (gru-puri, inele, corpuri);

iii) algebra liniară dedicată spațiilor vectoriale și matricilor; iv) algebra universală care analizează proprietăți comune tuturor structurilor

algebrice); v) teoria algebrică a numerelor, care studiază proprietățile numerelor și apli-

că rezultate din teoria numerelor; vi) geometria algebrică sau aplicații ale algebrei în geometrie. vii) algebra combinatorică, reunind metodele algebrei abstracte aplicate în

chestiuni legate de analiza combinatorie etc.; vii) algebra logicii sau algebra lingvistică în care cele trei operații de bază

ale acesteia sunt și, sau, non inventată practic de George Boole (1815-1864) etc.

Noile tehnologii, calculatoarele și pachetele de programe de calcul specia-lizate au amplifi cat implicarea în cercetare și în algebra modernă și mai ales au sim-plifi cat metode și au redus etape. Ca urmare fi rească, noi domenii ale matematicii și algebrei s-au dezvoltat permanent, câteva exemple relativ la îndemână fi ind teoria calculabilității a lui Alan Turing, teoria complexităţii, teoria informației inițiată de Claude Shannon, teoria de procesare a semnalului, data mining şi optimizare etc. Viteza incredibil de mare de prelucrare a datelor şi performanțele ieșite din predicții temporale ale calculatoarelor au permis o nouă abordare a unor probleme de algebră restricționate de volumul lor imens de date, în trecut incapabile de a oferi prompt soluții, dar devenite astăzi fi rești ca realizare în timp real a calculelor generând noi domenii algebrice de studiu, cum ar fi analiza numerică și calculul simbolic...


CONVIEȚUIREA ȘI ASOCIEREA CONTEMPORANĂ DINTRE ALGEBRĂ ȘI STATISTICĂ

Pornind de la însușirea de informații pe principiul reducerii informațiilor utile ca pondere în explozia informațională contemporană, dar și de la nevoia de cunoaștere inter- și transdisciplinară, autorii articolului au identifi cat cel puțin zece argumente ale unei noi conviețuiri a statisticii cu algebra, mult mai complexe și mai adaptate la cerințele realității moderne (economice, sociale, educaționale, culturale etc.): I. Variabila specifi că simultan algebrică și statistică (discretă, continuă etc.)

inclusiv variantele și variația caracteristică; II. Grupuri și grupări similare; III. Coincidența unora dintre condițiile lui Yule și Kendall pentru indicatorii

medii și selectarea lor simultană algebrică și statistică în analize descriptive și algebrice (algoritm de calcul rapid si ușor, existența unei formule de calcul algebric și condiția să se preteze la calcule algebrice, defi nire algebrică tot mai clară și precisă):

IV. Universul în expansiune al grafi celor carteziene si diagramelor algebrice și statistice;

V. Dispersia și regula de adunare a dispersiilor ca punct de plecare în analize dispersionale și de determinație pur algebrice;

VI. Rapiditatea și simplitatea transferului variabilelor clasice în variabile binare și apelul la media și dispesia variabilelei binare (booleană)

VII. Regresia, corelația și asocierea variabilelor (simultan algebrică și statistică)

VIII. Extrapolarea în seria cronologică și tipologia progresiilor algebrice clasice

IX. Sondajele nealeatoare (ex: pe cote, stratifi cate etc.) și aleatoare comparativ cu algoritmi algebrici de calcul

X. Metode de ierarhizare și mulțimi algebrice de numere asociate etc.

Câteva tendințe recente din curriculumul universitatilor din SUA identifi că o tendință de accelerare a preferinței pentru algebră și statistică în același timp. Curentul în sine poartă denumirea de “Algebra for all” & “Statistics for all” (Zalsman Usiskin, 2015) și aduc tot mai aproape între ele și în centrul curriculumului statistica și algebra conform opțiunii studenților și presiunilor realității cauzate de creșterea volumului de date necesare pentru a lua decizii, a înțelege, a diagnostica, a preda, a testa, a valida, a evalua, a concura, a crea, a inova, a construi, a substitui, etc. Relațiile dintre statistică, matematică (subliniind algebra) și a altor subiecte în cadrul curriculumului academic pot fi redate sintetic într-un grafi c asambalat sau agregat al principalelor domenii de învățământ universitar (fi gura 1)


Asocierea și centrarea pe statistică și calcul algebric solicitată de studenții din universitățile americane

Fig. 1

Sources: (Zalsman Usiskin, 1995; 2015

Tot mai mulţi dintre studenţii din SUA au preferat şi promovat examenul de statistică şi calcul algebric într-o gamă tot mai extinsă de universități în ansamblul invățământului academic american, ceea ce impune prezenta statisticii in K12 – curriculum (cauza majoră dedusă fi ind fenomenul big data). Datele statistice (Zalsman Usiskin, 2015) arată că între 1999 și 2013 numărul studenților care au solicitat statistica și calculul algebric în curriculumul personal, exprimat în mii persoane a crescut în SUA, de la 25 la 170 (statistics) respectiv de la 30 la 104 (algebra or algebric calculus). Premisele identifi cate rămân pentru ambele domenii disciplinare aceleași: a) aplicabilitate modernă în aproape toate domeniile de activitate umană dominate de fenomenul big data; b) ideile fundamentale ale statisticii, inclusiv variabilitatea, dezordinea, legile probabilității, etc., sunt accesibile aproape tuturor studenților și absolvenților; c) nevoia ca fi ecare absolvent de liceu, student și absolvent de facultate să poată utiliza raționamente statistice solide axate pe calcule algebrice riguroase pentru a face față în mod inteligent cerințelor asigurării unei vieți sănătoase, satisfăcute și productive. De aici apare o coexistență implicită a statisticii cu algebra, defi nită prin reciprocitate sau concret prin inter-, trans- și crossdisciplinaritate și abordare practică prin aplicare multidisciplinară. Consecințele sunt logice și imediate, fi ind deja puse în practică. Cercetarea în statistică are un impact asupra algebrei si analizei la fel de mare ca inovațiile datorate teoriei probabilităților, în timp ce algebra si analiza conduc la îmbunătățirea metodelor statistice (Pons, 2012). Multidisciplinaritatea unifi catoare a algebrei și statisticii conduc la apariția unei noi științe: algebraic statistics. Aceasta


există și constă din utilizarea algebrei în a statistici avansate. Algebra a fost și rămâne utilă pentru design-ul experimental, estimarea parametrilor și testarea ipotezelor. În mod tradițional, statistica algebrică a fost asociată cu designul experimentelor și ana-liza multivariată (mai ales a seriilor de timp sau cronologice). În ultimii ani, termenul “statistică algebrică” a fost uneori limitat, alteori extins, fi ind folosit și pentru a defi ni utilizarea geometriei algebrice si algebrei comutative în statistică. De altfel existau și unele tradiții în valorifi carea statisticilor algebrice destul de vechi sau aproape secula-re. În trecut, statisticienii au folosit algebra pentru statistici avansate în cercetare. Sir RA Fisher care a folosit grupuri abeliene pentru design experimental și Karl Pearson a folosit algebra polinomială pentru a studia modelele gaussiene... Două mari direcții defi nesc stimulii sau motivatiile majore în statistica alge-brică, apărută și dezvoltată în ultimele două decenii. Prima directie a fost descrisă în lucrarea semnată de Pistone și Wynn (1996) folosind idei pentru baze de date specifi ce problematicii designului experimental. Această lucrare a fost doar impulsul din care s-a născut o întreagă linie de cercetare care a condus în cele din urmă la publicarea unei cărți privind statistica algebrică semnată de Pistone, Riccomagno, și Wynn (2001), care abordează ansamblul problemelor din designul experimental. Cealaltă direcție a fost data de lucrarea lui Diaconis și Sturmfels (1998) privind metodele algebrice de distribuții de familii exponențiale discrete. Această lucrare a infl uențat activitatea statistică și a dus la volumul editat de Pachter și Sturmfels (2005), care s-a axat pe legăturile dintre statistica algebrică și biologia computatională... Ca urmare statistica algebrică a conturat o știință distinctă sau mai curând o nouă disciplină în ultimii 15-20 de ani. Descoperirile recente in statistici algebrice i-au extins domeniul dincolo de sta-tisticile “tradiționale algebrice” care s-au axat pe design experimental, în cinci direcții:

Cele cinci domenii “tradiționale” ale statisticii algebrice Tabel 1

1. Studiul de modele gaussiene a devenit o parte importantă a statisticilor algebrice.2. Aspectele sale de calcul (computationale) se bazează pe geometria algebrica numerică și avansează întrebări statistice cruciale pentru valabilitatea inferenței statistice.3. În teoria statisticii algebrice de învățare se permite să se studieze statisticile asimptotice pentru modelele cu variabile ascunse.4. Stabilirea de modele statistice identifi cabile devine o parte integrantă a statisticilor alge-brice. 5. Există un puternic accent pus pe aplicații ale acestor metode în fi logenetică, masini de învățare, rețele de reacție biochimică, științe sociale, economie și inferență ecologică.Sursa: The Journal of Algebraic Statistics, prima publicație a noii stiinte deja apărute în ultimii cinci ani, available at: http://library.iit.edu/jalgstat/ Cele două discipline clasice cu una dintre cele mai lungi istorii din istoria stiințelor moderne se reunesc in mod aparent neasteptat pentru a forma una dintre cele mai noi discipline multidisciplinare din taxonomia recentă a secolului XXI.


IN LOC DE CONCLUZII SAU PARAFRAZA COMPORTAMENTAL DEFINITORIE A STATISTICII ALGEBRICE

O lungă perioadă de timp algebra a fost cunoscută numai de oamenii pasionați, dedicați științei (savanți) și astfel a devenit proverbial atunci când se vorbea despre un lucru difi cil și necunoscut de cineva, sa se foloseasca expresia: asta este algebră pentru el. Analog statistica a fost nuanțată ca iminent și necesar morală, respectiv a fost identifi cată cu o metodă sau un ansamblu de metode care arată ce trebuie văzut și ascund ceea ce trebuie ascuns din punct de vedere moral, social economic, politic etc. Devine acum clar că statistica algebrică a devenit deja o nouă moralitate a oamenilor de știință în fața fenomenului exploziei informaționale denumit simplu big data.

BIBLIOGRAFIE 1. Babără, O., (2005). Gheorghe Asachi, editor de manuale şcolare, Revista Limba

Română, nr 11, anul XV. 2. Berlinski, D., (2013). One, Two, Three.Absolutely Elementary Mathematics, Ed.

Humanitas, București. 3. Descartes, R., (1637). Discours de la methode, Paris. 4. Diaconu, B., (2006). De ce nu ne place matematica, Revista 22, Nr. 856 / 1-7 au-

gust, 2006. available at: http://www.romaniaculturala.ro/articol.php?cod=8646. 5. Fienberg, E. (2007), Expanding the Statistical Toolkit with Algebraic Statistics,

Statistica Sinica 17, pp. 1261-1272. 6. Fienberg, S. E. and Rinaldo, A. (2007). Three centuries of categorical data analysis:

log-linear models and maximum likelihood estimation. J. Statist. Plann. Inference 137, 3430-3445.

7. Fienberg, S. E. and Slavkovic, A. B. (2005). Preserving the confi dentiality of ca-tegorical databases when releasing information for association rules. Data Min. Knowl. Discov. 11, 155-180.

8. Franklin, C. (2000). Are our teachers prepared to provide instruction in statis-tics at the K-12 levels? National Council of Teachers of Mathematics Education Dialogues, 10. [Online: http://www.nctm.org/resources/content.aspx?id=1776 ]

9. Gibilisco, P., Riccomagno, E., Rogantin, M.P., Wynn, H.P. (2009). Algebraic and Geometric Methods in Statistics, Cambridge University Press, Cambridge.

10. Marcelle, E., (1938). Le prince Cantemir à Paris (1738-1744), Annales de l’Univ. de Lyon. Sér. 3. Lettres, Paris: Editura Belles Lettres

11. Năstăsescu, C., Niță, C., (1979). Teoria calitativă a ecuațiilor algebrice, Editura Tehnică, București.

12. Pachter, L. and Sturmfels, B., eds. (2005). Algebraic Statistics for Computational Biology. Cambridge University Press, New York.

13. Pistone, G. and Wynn, H. P. (1996). Generalised confounding with Gröbner ba-ses. Biometrika, 83, 653-666.

14. Pistone, G., Riccomagno, E. and Wynn, H. P. (2001). Algebraic Statistics: Computational Commutative Algebra in Statistics, Chapman and Hall, New York.

15. Pons, O.M.-T., (2012). Interactions of statistics and probability with algebra and analysis, Asia Pacifi c Mathematics Newsletter, Vol. 2, No 3, pp. 11-14.

16. Rees, M., (2008). Just six numbers. The deep forces that shape the universe, Orion Publishing Group, trad. Ed. Humanitas, Bucuresti.


17. Săvoiu G, Jaško O, Dulanović Ž, Čudanov M& Craciuneanu V, (2008), The Value of General Methods, Quantitative Techniques and Management Models in Professionalizing Management. Management – Journal for Management Theory and Practice, Vol. 13, No. 49-50, pp. 5-11

18. Săvoiu, G. and Dinu, V., (2012). Solutions for the Statistical Analysis of the Economic Phenomena Described as Opposed, Partially of Entirely Compensated Fluxes: A Case Study on the Exports and Imports of Romania and the Baltic States. Transformations in Business & Economics, Vol. 11, No. 1 (25), pp. 54-71.

19. Stokes-Brown, C., (2011). Istoria lumii de la Big Bang până in prezent (Google eBook), MintRight Inc, Sep 30, 2011

20. Zalsman Usiskin, (2015). The Relationships Between Statistics and Other Subjects in the K–12 Curriculum, available at http://chance.amstat.org/category/articles/

21. Zalsman Usiskin, (1995). Why is algebra important to learn? American Educator, vol. 19(1), 30–37.

22. *** MathWiki, Algebra, (2015). available at: http://ro.math.wikia.com/wiki/Algebră

23. *** The History of Mathematics, available al http://www.sfu.ca/~rpyke/presenta-tions.html

24. *** Journal of Algebraic Statistics, available at http://library.iit.edu/jalgstat/ 25. *** DEX, (2012). available at: https://dexonline.ro/defi nitie/algebr%C4%83 26. *** Enciclopedia Britannica, (2014). available at: http://www.britannica.com/

biography/al-Khwarizmi


A BRIEF HISTORICAL SURVEY OF ALGEBRA AND ITS MAXIMIZED

STATISTICAL IMPACT ON ALGEBRAIC STATISTICS

Professor habil. Gheorghe SĂVOIU, PhD University of Pitești Professor Sandra MATEI, MA Secondary School no. 198, Bucharest

Abstract This paper is written by a statistician and a mathematician, both enthusiasts of classical algebra and its historical evolution. Beyond the listing of some important moments, and the highlighting of a number of schools relating to the thought specifi c to algebra, the aim of the paper remains the impact of possible, and especially actual, joint development, exemplifying the coexistence of algebra and statistics, in the content of a new interdisciplinary solution, located interstitially, and naturally and called algebraic statistics. Key words: algebra, statistics, history of algebraic thought, algebraic statis-tics.

INTRODUCTION Contemporary algebra is a scientifi c concept placed between the status of an independent discipline and that of a component science within the broader range of mathematics. Algebra is defi ned both independently, as a theory of operations concerning real (both positive and negative) or complex numbers, solving equations, focused on substituting numerical values by letters and identifying the general formula of particular numerical calculus, and dependently or structurally, as a branch of mathematics, in which case algebra deals with the study of arithmetic operations independent of their numerical values, or with the generalizations of arithmetic operations (DEX, 2012). Algebra is an essential, indispensable structural component of modern mathematics derived from arithmetic, as a generalization or extension of the latter, and its choice fi eld of study is comprised of the rules of mathematical operations and relations, the concepts derived from them, from polynomials to equations, from algebraic structures to numbers with special properties. In its millennial approach, algebra permanently had recourse to numbers, initially contextualizing absolutely elementary mathematics. All calculations and concepts of absolutely elementary mathematics were, and still are, governed by the sole act of counting with one, capable of generating the fi rst positive integers. Exploiting algebraic signs is a diffi cult and slow process, although fi gures certainly appeared long before the alphabet, as the hexagesimal (Babylonian) systems and the decimal (Chinese) systems were the fi rst


essential steps of algebra, over four or fi ve millennia old. More than 1,200 years ago, the Arabs managed to achieve the unifi cation of fi gures as we known them today, and the famous fi gure zero or nought (0) would travel along the Silk Road for centuries on end, becoming zephir with the Greeks and defi nitively entering mathematical calculus in Europe as late as one millennium ago. The sign of equality (=) appeared 500 years ago, along with the plus sign (+), whereas negative numbers appear around the year 600, used clearly and widely nearly one thousand years afterwards; all of them paved the way for an analytical geometry around 1650. It was not until the twelfth century that people understood that the birth of numbers by counting, or adding 1, actually meant creating things (Thierry de Chartres), and after four or fi ve centuries the phenomenon was unstoppable, with the huge leap taken from simple counting 0 → (0 + 1) → [(0 + 1) + 1] → … to the vital exponential identity xy × xz = x (y + z) that produced the exponential and logarithmic explosion of the scientifi c revolution in the seventeenth century (Berlinski, 2013). Algebra is a collective work, spanning over millennia, as the work of traders and common people, the work of bankers and accountants, of both mathematicians and non-mathematicians (statisticians or logicians). Exaggerating the arithmetic source and the numerologic impact,conceptualizes algebra as a science of the numbers in the entire universe (Rees, 2008), the major implication is that both the cosmos and the microcosm can be defi ned using a algebraic synthesis, made up of numbers as well, with the sole specifi cation that only six signifi cant numbers are concerned: a) two of them, N and ε, referring to the fundamental forces of physics and chemistry of the universe (N = 1036, i.e. the intensity of the electrical forces that keep the atoms together, and ε = 0.007, which shows how strong the nuclei are interconnected, and how atoms formed on the Earth); b) another two, Ω and λ, determine the size and structure of the vital universe, indicating the continuity of its existence (Ω, or a decreasing number, which describes the process of the ratio of the actual density and the critical density, initially considered almost equal to the unity, and having a current value of only 0.04, which thus estimates the amount of matter in galaxies, rarefi ed gas, including “dark” matter, and λ or the value of antigravity, recorded in a small number approaching zero); c) the last two, Q and D, characterizing the properties of space itself (Q = 1/100000, or the ratio of two fundamental energies that can liminally lead to either an inert, structureless universe, or a violent universe, in which nothing could survive, and D = 3, or the number of spatial dimensions of our world). The ability to synthesize outer world through numbers, and the talent to think through numbers and substitute realities for numbers, are the main elements that defi ned the fi rst major contributions of algebra to the history of modern science. Together with geometry, mathematical analysis, combinatorics and number theory, algebra was one of the main branches of pure mathematics. Algebra remains one of the multiple areas of modern mathematics together with topology, mathematical logic, numerical analysis (using computers) and discrete mathematics.


FORERUNNERS OF MODERN ALGEBRA, AND ITS GEOGRAPHIC, TIME OR PRINCIPLE LANDMARKS

The universe of space-time in algebra was generated by the needs and concerns of civilizations and ordinary people; the position of this science was by no means contra mundum for millennia on end. Simple problems found equally (and seemingly) simple solutions within the set of natural numbers or positive integers, in an amiable manner (Berlinski, 2013), while the fi rst negative numbers and fractions placed mathematicians in open confl ict with the physical world. It was in this way that algebra began to live with reality, identifying operations with an uncompensated end, unacceptable in the practice of some money lenders left with loans partially paid, or rounded the baker’s solutions for slicinga loaf of bread in n parts. The main space-time areas that developed algebra and brought it to the level of a science that is part and parcel of modern mathematics are summarized in Box. 1

Forerunners, and geographic-temporal landmarks of modern algebraBox 1

Classical algebra has existed for over four millennia, being born two millennia BC; the Babylonians were the fi rst to use algebraic formulas to solve problems, while the Greeks and the Chinese used for the same purposes only geometric methods. However, the Babylonians cannot be called the inventors of algebra, though they were certainly important precursors, because they did not have suffi cient time to refi ne their procedures, or the ability to gener-alize them and transmit the legacy, although four could solve no less than four unknown variables. In the same period, Egyptians and Chaldeans were able to solve equations of fi rst and second degree through verbal operations, which are attested by documents that were preserved (Berlin papyrus from 1300 BC.). In parallel, ancient Greeks were familiar with the application of identities, expressed in a geometric forms, proving able to graphically solve some equations of the third, and even the fourth degrees, through conical intersections. It is Diophantus, author of Arithmetic, the fi rst mathematical book that was assumed, a character who lived in ancient Alexandria around 200 AD, than can be identifi ed as fi rst precursor of modern algebra (he was rightly called the father of algebra). Although he did not formulate a sole method of solving algebraic equations, Diophantus used for the fi rst time special letters for operations and numbers, being the initiator of symbolic (algebraic) notation, as well as the father of indeterminate equations (or Diophantine equations). In the person of Hypatia, the same Greek culture and science introduces the fi rst woman mathematician of antiquity: she wrote a commentary on Diophantus’s work, and even extended it, thus becoming the mother of modern algebra. The contributions of the Indians to algebra are remarkable: the Treatise authored by Brahmagupta (598-660) was a practical application of mathematics, in which its author developed several major algebraic formulas, including the linear equation, the equation of the second degree and undetermined equations, for the fi rst time generating negative numbers, introducing them into the world of real results. Strictly referring to the conceptual delimitation, Brahmagupta was confi rmedly as the major predecessor of defi ning algebra as a science, which was done by Muhammad Al-Khwarizimi (780-850), or Al-Hor-ezmi (whose name was Latinized as Algorithmi). An essential precursor of algebraic think-ing in Arabic mathematics, he managed, in two of his books that remaind memorable in the


history of algebra, the fi rst published in 825 and entitled The Book of Addition and Subtrac-tion by the Indian Methods (Kitab al-jam’wal tafriq bi hisab al-Hindi), and the second one, published in 830, Treatise of the Calculation by Completing and Compensation (Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala), to become the father of algebraic algorithms, through the solutions of generalized computing provided (as his name, slightly deformed in pronouncing, apparently led to the emergence of the algorithm as a mathematical concept), as well as the fi rst mathematician who used algebra as a distinctive term. Algebra combines, through Al-Horezmi, the al-Jabr process of eliminating the negative units, roots and squares from the equation, by means of artifi cial addition of identical values on each side of the nodal equality (e.g. equation x2 = 40x − 4x2 is reduced to 5x2 = 40x), at the same time also using the al-muqabala through the transfer / bringing quantities of the same type on the same side of the equation (e.g. x2 + 14 = x + 5 is reduced to x2 + 9 = x). Dixit Algoritmi, as an assessment of Al-Horezmi’s rigorous and methodical calculation, was a major time landmark, Latiniz-ing and algebraically preserving for eternity the author’s name in the algorithm, as an art to operate with apparently Arab fi gures, which in fact has Hindu origins, spreading the Hindu-Arabic numeral system throughout the Middle East and Europe; it thus virtually covered a unifi ed system of solving generalized problems (unlike Diophantus’s customized approach). Al-Khwarizimi’s algebraic methods, nay even algebraic solutions, would be successfully used in modern algebra, as well; it is from them that the contributions of modern math-ematicians were clearly deduced, e.g. Gottfried Leibniz’s and George Boole’s, founders of Boolean algebra. One should not leave out, from this brief historical survey of the emergence of algebra, the contribution of the Chinese decimal numerical system, the so-called rod nu-merals, which used distinct symbols for numbers between 1 and 10, and other symbols for powers of 10, which was already used a few centuries BC, and long before the develop-ment of the Indian numerical system. This prolifi c decimal system allowed representing large numbers, and calculations could be made through the Chinese counting system (suan pan). Therefore, from an imaginary fresco of the School of preclassical algebra Diophantus, Hypathia, Brahmagupta, and Al-Khwarizimi cannot be absent, all under the logo of suan pan. (Stokes-Brown, 2011). Preclassical algebra, and even classical algebra, fi nally brought together a compilation of rules, along with demonstrations, in order to identify solutions to some linear and quadratic equations, initially via intuitive geometric arguments, and fi nally with the help of abstract notation associated with the practical subject. Modern algebra brought into debate again a number of personalities of Arab mathematics at the beginning of the second millennium. Thus, Al-Karaji provided, in his treatise Al-Fakhri, the fi rst demonstration that used the principle of mathematical induction to prove the bino-mial theorem, Ibn al-Haytham developed number theory, emphasizing the importance of perfect numbers and initiating connections between algebra and geometry, Omar Khayyam became one of the actual founders of algebraic geometry, anticipating Descartes’s memo-rable contribution and amazing effort, Nasir al-Din Tusi developed the concept of algebraic function, and to their centuries-old efforts were added those of Mahavira Bhaskara II, Indian mathematician, Al-Karaji, Persian mathematician, and Zhu Shijie, Chinese mathematician, all having important contributions to solving cubic, quartic, quintic equations by means of numerical methods. The Renaissance exponentially amplifi ed the development of mathemat-ics, used Arabic numerals and generalized symbolic algebraic notation. Scipione del Ferro and Niccolò Fontana Tartaglia found the solutions to cubic equations, Gerolamo Cardano, in his book Ars Magna, published in 1543, made public the solutions to the equations of the fourth degree, discovered by his student Lodovico Ferrari. Modern algebra gradually stan-


dardized the outer quantitative horizon. François Viète (1540-1603) made use of literal for-mulas to describe, in what became famous formulas, the relations between roots and coeffi -cients, John Neper (1550-1617) invented the concept of logarithm, John Wallis (1616-1703) invented the concept of a string of rational numbers, Isaac Newton (1642-1727) extended the binomial formula for rational exponents and provided a method for calculating the ap-proximate values of irrational roots, G. von Leibniz (1646-1716) set out the convergence criterion of numerical alternating series, Michel Rolle (1652-1719) provided the solution for the separation of the roots of algebraic equations, James Stirling (1696-1770) conceptualized the factorial (n!), Gabriel Cramer (1704-1752) invented the determinants, Leonhard Euler (1707-1783) expanded them and introduced the orthogonal determinant, Étienne Bézout (1730-1783) eliminated the unknown between two equations, Edward Waring (1734-1798) identifi ed the polynomial interpolation, Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) es-tablished the properties of determinants, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) summarized the theory of algebraic equations, Pierre-Simon Laplace (1749-1827) created the rule of developing determinants in keeping with minors of various orders, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) formulated the fundamental theorem of algebra and provided the representation of complex numbers in the plane, William Rowan Hamilton (1805-1865) developed non-commutative algebra and the abstract theory of operations, De Morgan (1806-1871) gener-ated the formal logic of operations, Kummer (1810-1893) created the ideal numbers, and Clifford (1845-1879) the dual numbers, Cauchy (1789-1857) and van der Waerden (1903-1996) described the rules of matrix calculation, etc. (MathWiki, Algebra, 2015). The year 1830 is the landmark of the complete maturation of algebra: Évariste Galois’s personality (1811-1832) and his theory marked the clear delineation of necessary and suffi cient condi-tions for an equation to be solved by resorting to radical (Năstăsescu, Niță, 1979). Modern algebra after Galois seems seemed to be fully delineated, as communication, hierarchies and geographical and time landmarks were, at fi rst sight, relatively well concluded (confl icts of precedence like the Kowa Seki – Leibniz on the paternity of the determinants in solving systems of linear equations lose their reason in the algebraic world heritage)…

Sources: MathWiki, Algebra, (2015) available at: http://ro.math.wikia.com/wiki/Algebră (Stokes-Brown, 2011) and (Năstăsescu, Niță, 1979).

The main landmarks of modern algebra are almost entirely due to René Descartes (1596-1650), who abstracted and generalized algebraic calculation into its modern signifi cance, offering algebra and its devotees the satisfaction of limiting the number of positive roots for an equation. In 1637 René Descartes introduced modern algebraic notation in his published paper titled La Géométrie, which represented the advent of analytic geometry. The principles of algebra were captured in the most elegant manner by Descartes in his famous Discours de la méthode, as early as 1637. The four principle axioms, which are apparently purely personal, as they were drafted by Descartes, seem to meet the requirements of both logic and geometry, but especially of algebra, once we place them in the profound mathematician’s contra mundum orientation, which: 1. will accept as true only that which cannot be questioned, i.e. algebraic

proof or demonstration, validated algebraically, is prioritized over the potentially contradictory demonstrability.


2. will divide every issue in as many parts as will be needed to resolve it correctly, i.e. algebraic decomposition is done according to necessity dictated by the accuracy of the fi nal aggregate solutions.

3. will present its ideas from the simplest to the most complicated ones, i.e. the algebraic solving approach follows an ascending order, from simple to complex, from the singular to the general, from the particular case to the rule (formula, theorem, theory).

4. will list all the concepts, so that nothing pertinent is omitted, i.e. the completeness of conceptual assumptions ensures the generality of the approach of algebraic demonstration (Descartes, 1637).

Morality, addressed as compliance to laws (algebra theory) and cultivation of reason and rationality in application of algebra, along with thought and meditation as an existential approach, not only philosophical, but also algebraic (cogito, ergo sum) are the major conceptual derivatives of Cartesian principle-based orientation. The history of algebra in Romania is much more recent, more didactic, and especially subject to adverse temporality and impermanence, as well as repressive, nay even unprincipled territoriality. The fi rst evidence of the use of algebra, and the concept itself, occurred in the 1729 volume Satire authored by Antioh Cantemir, the son of Prince Dimitrie Cantemir: Antioh Cantemir allegedly translated a book on Newton into Russian, and even wrote an algebra book, again in Russian, which was left in manuscript form (Marcelle, 1938):

Satire I (excerpt) “We don’t have any need for Euclid’s science, To divide the land into portions and lots, And can go without algebra to know how many farthings go in a leu. Sylvan loves only that knowledge which Multiplies the income, as th’expense decreases; If the money purse doesn’t get any bigger, then there is no use in all that, But only foolishness to society…”

Most of the opinions published in this country claim that the fi rst algebra textbook would have been authored by Gheorghe Asachi, who wrote, edited and pu-blished several didactic books in the mathematical register (Babără, 2005): Elements of Mathematics, Part I, Arithmetic (1836), Part II, Algebra (1837), Part III, Basic Geometry (1838), Elements of Mathematics (1843), Elements of Arithmetic (1848). In 1870 the translation of Cursu elementaru de algebră (A Coursebook in Elementary Algebra) appears in Romania, authored by Franz Mocnik, and in 1900 B. Ionescu published Tratatul de algebră elementară pentru școalele secundare după noua programă (An elementary Algebra Treatise for Secondary Schools in keeping with the New Curriculum), and Al. Manicatide published his Manualul de algebră elementară (A Handbook of Elementary Algebra), as an alternative manual. In both its substance and its topics, Al. Manicatide’s textbook did not signifi cantly differ from that of Franz Mocnik, and it kept being reprinted until 1941, when N. Abramescu’s


version appeared, to be replaced, in 1950, by another algebra textbook, translated from Russian and unsigned, where the single major point of novelty was the intro-duction of combinatorial analysis. The symptoms of the paradigm of algebra in the methodology of teaching mathematics in the Soviet style were mainly that algebra lost its connection with the essence of classical and modern algebra by: its a-historical character (removing algebra from its historical context), discipline-wise confi nement, excessive abstraction and formalization, mechanization of the process of solving al-gebra problems, according to the criterion More and faster, virtually identifi ed with better in algebra (Diaconu, 2006). The great Romanian mathematicians and acade-mics were signifi cantly involved in supporting teaching mathematics in secondary and high-school education, though many of them, due to their inherent specialization, only published books for students or textbooks. Thus, a particular example is that of Traian Lalescu (1882-1929), who pu-blished valuable didactic books, among which, in 1924, Calculul algebric (Algebraic Calculation), or Grigore Moisil (1906-1973), in his 1954 book Introducere în algebră (Introduction to Algebra), etc. Gheorghe Ţiţeica (1873-1939), another exemplary ma-thematician, founded, together with Dimitrie Pompeiu (1873-1954), the Mathematica journal, and participated, with Ion Ionescu, Andrei Ioachimescu and Vasile Cristescu, to the founding (in 1895) and development of the prestigious Romanian journal Gazeta matematică (Mathematical Gazette). The fi rst more realistic textbook in ana-lysis, and therefore in modern algebra, in the postwar period, was published as late as 1968, disclosing enough algebra under the title Elemente de analiză matematică si mecanică (Elements of Mathematical Analysis and Mechanics), by academician Caius Iacob (1912-1992), renamed Elemente de analiză matematică – pentru anul IV de liceu (Elements of Mathematical Analysis, for the Fourth Year of High School) in 1974, a book that alaso focused on algebra and, for the fi rst time, provided a relative synchronisation with the pedagogical approach of European mathematics, and confi r-med a split between mathematics and physical sciences in Romania. The structural, impactive approach attempted by Gheorghe Asachi’s algebra can still be detected, however, after a century and a half, in 1989, when they taught algebra together with arithmetic in the same manual for the sixth grade of the middle school. Contemporary algebra has become increasingly extensive, and brings toge-ther: i) elementary / classic algebra, where the presentation of the properties of

real numbers resorts to symbols, identifying differently constants and vari-ables, while emphasizing the study of mathematical expressions and equa-tions;

ii) abstract / modern algebra, which studies algebraic structures (groups, rings, bodies);

iii) linear algebra, devoted to vector spaces and matrixes; iv) universal algebra, analyzing properties that are common to all algebraic

structures); v) algebraic number theory, which studies the properties of numbers and

applies results from number theory;


vi) algebraic geometry or applications of algebra in geometry. vii) combinatorial algebra, bringing together the methods of abstract alge-

bra, applied to matters of combinatorial analysis, etc.; viii) algebra of logic, or linguistic algebra, where the three basic operations

are and, or and non, which was practically invented by George Boole (1815-1864), etc.

The new technologies, computers and specialized computer software packages have amplifi ed, in modern algebra, too, its involvement in research, and especially simpli-fi ed its methods and reduced its stages. As a natural consequence, new areas of mathema-tics and algebra were constantly developed; some relatively handy examples are the theory of calculability of Alan Turing, the complexity theory, the information theory, initiated by Claude Shannon, the theory of signal processing, data mining and optimization, etc. The incredibly high speed of data processing and the performance resulting from time predictions by computers have enabled a new approach to problems of algebra otherwise restricted by their huge amount of data, which used to be impossible to solve promptly, and yet are today but natural in point of real-time calculation, and thus new algebraic areas of study were generated, such as numerical analysis and symbolic computation…

CONTEMPORARY COEXISTENCE AND ASSOCIATION OF ALGEBRA AND STATISTICS

Based on the process of acquiring information on the principle of reducing information that are useful with regard to theri share, in the context of today’s infor-mation explosion, and also on the need for inter- and transdisciplinary knowledge, the authors have identifi ed at least ten arguments for a new cohabitation or coexistence of statistics and algebra, more complex and adapted to the needs of modern reality (be they economic, or social, educational, cultural, etc.): I. The specifi c variable, simultaneously algebraic and statistical (discrete,

continuous, etc.), including variables and characteristic variation; II. Similar sets, groups and associations; III. Coincidence of some of the conditions posed by Yule and Kendall for

average indicators and their simultaneously algebraic and statistical selection in descriptive and algebraic analyses (algorithm of quick and easy calculation, existence of a formula of algebraic calculus and the condition for it to lend itself to algebraic calculations, and an increasingly clear and accurate algebraic defi nition);

IV. The expanding universe of Cartesian graphs and algebraic and statistical charts;

V. Dispersion and the rule of adding dispersions as a starting point in dispersion or variance and in purely algebraic analyses of determination;

VI. The quick and easy transfer of classical variables into binary variables, and resorting to the mean value and the (Boolean) dispersion of binary variables;

VII. Regression, correlation and association of variables (which is


simultaneous algebraic and statistical); VIII. Extrapolation in the time series and the typology of classical algebraic

progressions; IX. Non-random surveys (e.g. quotas, layered, etc.) and random surveys,

compared to algebraic calculation algorithms; X. Ranking methods and algebraic sets of associated numbers, etc.

Some recent trends in the curriculum of US universities identify an accelerating trend of preference for algebra and statistics at the same time. The tendency itself is called “Algebra for all” & “Statistics for all” (Zalsman Usiskin, 2015) and get closer, between them and to the center of the curriculum, statistics and algebra, in accordance with the choice of the students and the pressures of reality caused by the increased volume of data required to make decisions, to understand, diagnose, teach, test, validate, evaluate, compete, create, innovate, build, substitute, etc. The relationships between statistics, mathematics (underlying algebra) and a lot of other subjects in the academic curriculum can be synthetically described, or at least suggested, through a graph, assembled or aggregated, of the main fi elds of academic education (Figure 1)

Association and and focus on statistics and algebraic calculus, as demanded by students in American universities

Fig. 1

Sources: (Zalsman Usiskin, 1995; 2015 A growing number of US students chose and passed the examination of statistics


and algebraic calculus in a growing range of universities all over the academic education in the US, which requires the presence of the discipline of statistics in K12 – curriculum (the major cause that can be deduced is the Big Data phenomenon). The statistics (Zalsman Usiskin, 2015) show that between 1999 and 2013 the number of students who have applied for statistics and algebraic calculation in their personal curriculum, expressed in thousands, rose, in the US, from 25 to 170 (statistics), and from 30 to 104 (algebra or algebraic calculus). The premisses that could be identifi ed for both subject areas remain the same: a) modern application in almost all fi elds of human activity dominated by the Big Data phenomenon; b) the fundamental ideas of statistics, including variability, disorder, the laws of probability, etc., are available to almost all students and graduates; c) the need for every high-school student, undergraduate and college graduate to be able to use sound statistical reasoning focused on rigorous algebraic calculations in order to intelligently cope with the requirements to ensure a healthy, satisfi ed and productive life. Hence the implicite coexistence of statistics and algebra, defi ned by reciprocity or, in a concrete manner, by inter-, trans- and cross-disciplinarity, and practically, through the multidisciplinary approach. The consequences are logical and immediate, and they have already been put into practice. Research in statistics has an impact on algebra and mathematical analysis, whi-ch is as notable as the innovations due to the probability theory, while algebra and analy-sis conduce to improved statistical methods (Pons, 2012). The unifying multidisciplina-rity of algebra and statistics lead to the emergence of a new science: algebraic statistics. It already exists, and consists in using algebra for advanced statistics. Algebra has been, and remains useful for experimental design, parameter estimation and hypothesis testing. Traditionally, algebraic statistics was associated with experimental design and multivariate analysis (especially that of time series or chronological series). In recent years, the sense of the term algebraic statistics was sometimes limited, and at other times expanded, being also used to defi ne the use of algebraic geometry and commutative algebra in statistics. Moreover, there had been some traditions in using algebraic statistics, going back a fairly logn way in time, some nearly century-old. In the past, statisticians used algebra to amke advanced statistics in research, e.g. Sir R.A. Fisher, who used Abelian groups for experimental design, and Karl Pearson, who used polynomial algebra to study Gaussian models… Two main directions defi ne the major stimuli or motivations in algebraic statistics, which emerged and developed in the last two decades. The fi rst one was described in a book by Pistone and Wynn (1996), using ideas for databases specifi c to the range of issues of experimental design. This book was only the impulse that generated a whole line of research, which eventually led to the publication of a book on algebraic statistics authored by Pistone, Riccomagno and Wynn (2001), addressing all the issues of experimental design. The other direction was traced by the book of Diaconis and Sturmfels (1998) on algebraic methods of distribution of discrete expo-nential families. This work infl uenced statistical work and led to the volume edited by Pachter and Sturmfels (2005), which focused on the relationships between algebraic statistics and computational biology… Consequently, algebraic statistics outlined a distinct science, or rather a new discipline in the last 15-20 years.


Recent advances in algebraic statistics have extended its fi eld beyond the fi eld of the ‘traditional Algebraic Statistics’, which focused on experimental design, in fi ve areas:

The fi ve ‘traditional’ areas of the Algebraic StatisticsTable no. 1

1. The study of Gaussian models has become an important part of algebraic statistics.2. Its aspects of computing (i.e. computational aspects) are based on numerical algebraic geo-metry and put forth statistical questions crucial to the validity of statistical inference.3. In the theory of learning algebraic statistics it is permitted to study asymptotic statistics for models with hidden variables.4. Establishing identifi able statistical models becomes an integral part of algebraic statistics.5. There is a strong emphasis on applications of these methods to phylogenetics, learning and teaching machines, biochemical reaction networks, social sciences, economics and ecological inference.Source: The Journal of Algebraic Statistics, the fi rst publication of the new science, already appeared in the last fi ve years, available at: http://library.iit.edu/jalgstat/

The two classical disciplines having seen one of the longest histories in the his-tory of modern science come together, in an apparently unexpected manner, to form one of the newest multidisciplinary disciplines in the recent taxonomy of the 21st century.

INSTEAD OF CONCLUSIONS, OR A PARAPHRASE FOR DEFINING THE BEHAVIOUR OF ALGEBRAIC STATISTICS

Algebra was long known only by devotees, or people dedicated to science (i.e. scholars), and thus it became a by-word: when talking about something diffi cult and unknown to anyone, one would use the idiom this is algebra to him. Analogously, the scientifi c discipline of statistics was nuanced as imminently and necessarily moral, i.e. it was identifi ed with a method or a combination of methods that show what must be seen and what should be concealed from a moral, social, economic, political, etc. point of view. It now becomes clear that algebraic statistics has already become a new morality of scientists faced to the phenomenon of information explosion, called simply big data.

REFERENCES 1. Babără, O., (2005). Gheorghe Asachi, editor de manuale şcolare, Revista Limba

Română, nr. 11, anul XV. 2. Berlinski, D., (2013). One, Two, Three.Absolutely Elementary Mathematics, Ed.

Humanitas, București. 3. Descartes, R., (1637). Discours de la methode, Paris. 4. Diaconu, B., (2006). De ce nu ne place matematica, Revista 22, Nr. 856 / 1-7 au-

gust, 2006. available at: http://www.romaniaculturala.ro/articol.php?cod=8646. 5. Fienberg, E. (2007), Expanding the Statistical Toolkit with Algebraic Statistics,

Statistica Sinica 17, pp. 1261-1272.


6. Fienberg, S. E. and Rinaldo, A. (2007). Three centuries of categorical data analysis: log-linear models and maximum likelihood estimation. J. Statist. Plann. Inference 137, 3430-3445.

7. Fienberg, S. E. and Slavkovic, A. B. (2005). Preserving the confi dentiality of ca-tegorical databases when releasing information for association rules. Data Min. Knowl. Discov. 11, 155-180.

8. Franklin, C. (2000). Are our teachers prepared to provide instruction in statis-tics at the K-12 levels? National Council of Teachers of Mathematics Education Dialogues, 10. [Online: http://www.nctm.org/resources/content.aspx?id=1776 ]

9. Gibilisco, P., Riccomagno, E., Rogantin, M.P., Wynn, H.P. (2009). Algebraic and Geometric Methods in Statistics, Cambridge University Press, Cambridge.

10. Marcelle, E., (1938). Le prince Cantemir à Paris (1738-1744), Annales de l’Univ. de Lyon. Sér. 3. Lettres, Paris: Editura Belles Lettres

11. Năstăsescu, C., Niță, C., (1979). Teoria calitativă a ecuațiilor algebrice, Editura Tehnică, București.

12. Pachter, L. and Sturmfels, B., eds. (2005). Algebraic Statistics for Computational Biology. Cambridge University Press, New York.

13. Pistone, G. and Wynn, H. P. (1996). Generalised confounding with Gröbner ba-ses. Biometrika, 83, 653-666.

14. Pistone, G., Riccomagno, E. and Wynn, H. P. (2001). Algebraic Statistics: Computational Commutative Algebra in Statistics, Chapman and Hall, New York.

15. Pons, O.M.-T., (2012). Interactions of statistics and probability with algebra and analysis, Asia Pacifi c Mathematics Newsletter, Vol. 2, No 3, pp. 11-14.

16. Rees, M., (2008). Just six numbers. The deep forces that shape the universe, Orion Publishing Group, trad. Ed. Humanitas, Bucuresti.

17. Săvoiu G, Jaško O, Dulanović Ž, Čudanov M& Craciuneanu V, (2008), The Value of General Methods, Quantitative Techniques and Management Models in Professionalizing Management. Management – Journal for Management Theory and Practice, Vol. 13, No. 49-50, pp. 5-11

18. Săvoiu, G. and Dinu, V., (2012). Solutions for the Statistical Analysis of the Economic Phenomena Described as Opposed, Partially of Entirely Compensated Fluxes: A Case Study on the Exports and Imports of Romania and the Baltic States. Transformations in Business & Economics, Vol. 11, No. 1 (25), pp. 54-71.

19. Stokes-Brown, C., (2011). Istoria lumii de la Big Bang până in prezent (Google eBook), MintRight Inc, Sep 30, 2011

20. Zalsman Usiskin, (2015). The Relationships Between Statistics and Other Subjects in the K–12 Curriculum, available at http://chance.amstat.org/category/articles/

21. Zalsman Usiskin, (1995). Why is algebra important to learn? American Educator, vol. 19(1), 30–37.

22. *** MathWiki, Algebra, (2015). available at: http://ro.math.wikia.com/wiki/Algebră

23. *** The History of Mathematics, available al http://www.sfu.ca/~rpyke/presenta-tions.html

24. *** Journal of Algebraic Statistics, available at http://library.iit.edu/jalgstat/ 25. *** DEX, (2012). available at: https://dexonline.ro/defi nitie/algebr%C4%83 26. *** Enciclopedia Britannica, (2014). available at: http://www.britannica.com/

biography/al-Khwarizmi


Unele aspecte privind extensia testelor Edgeworth la restricţiile non-liniare

Prof. univ. dr. Constantin ANGHELACHE Academia de Studii Economice, Bucureşti, Universitatea „Artifex” din Bucureşti Prof. univ. dr. Alexandru MANOLE Universitatea „Artifex” din Bucureşti Conf. univ. dr. Mădălina Gabriela ANGHEL Universitatea „Artifex” din Bucureşti Drd. Georgiana NIŢU Academia de Studii Economice, Bucureşti

Abstract Acest articol prezintă unele elemente referitoare la aplicarea testelor Edgeworth asupra restricţiilor non-lineare. Autorii se concentrează asupra regresiei lineare cu ipoteze non-liniare, alegerea variantei şi a matricei de ponderi. Se are în vedere faptul că popularitatea testelor Wald este contrabalansată de lipsa de invarianţă la modelarea ipotezelor. Cuvinte cheie : teste Edgeworth, linear, ipoteză, restricţie, model

Introducere Testul Wald este un test popular, mai ales datorita faptului ca este usor de calculat. Insa, s-a demonstrat ca testul Walt nu reprezinta cea mai buna alegere in cazul testarii ipotezelor neliniare, cel mai frecvent motiv mentionat fi nd acela ca statistica Walt nu este invarianta la formularea algebrica a ipotezei. Anghelache et. al. (2013), Anghelache şi Anghel (2015) se preocupă de aplicarea regresiei în analize economice. Diferite aspecte referitoare la testele Wald au fost studiate şi de Kejriwal et. al. (2013), Qihui şi Yu (2013). Park si Philips (1988) au demonstrat ca, coefi cientii de expansiune Edgeworth a statisticii Wald depind de formulare. Pe de alta parte, Newey si West (1987) au propus metoda generalizata de momente (GMM) a distantei pentru ipoteze nonliniare. Astfel, in contextul regresiei liniare, statistica lor este functia GMM evaluata la estimari restranse. Iar cand ipoteza este o restricitie liniara asupra parametrilor, atunci testul lor corespunde statisticii Wald. Cand ipoteza este nonlineara cele doua statistici difera. Statistica de distanta GMM este invarianta la formularea algebrica a ipotezei si este robusta la hereroscedasticitate, contrar ratei de probabilitate. Nu se cunosc foarte multe despre comportamentul statisticii GMM iar acest capitol incearca sa aduca mai multe informatii prin extinderea statisticii GMM in cazul considerat de Park si Philips (1988), prin utilizarea matricii explicite la extinderi Edgeworth initiate de Park si Philips (1988), impingand abordarea lor mai departe, utilizand formulele de matrice explicite pentru toate expresiile noastre, ceea ce va permite realizarea de comparatii intre statistici.


Rezultatul gasit este acela ca extinderea Edgeworth pentru statistica GMM este o simplifi care stricta a statisticii Wald.

Regresia liniara cu ipoteza nonliniara Modelul este o regresie liniara de forma:

Fie

valoarea reala a lui

Obiectivul este testarea ipotezei nonliniare, prin testarea ipotezei H0 fata de H1

unde (1)

Fie estimatorul lui calculat prin metoda celor mai mici patrate (OLS) si

(2) estimatorul covariantei matricei , unde – estimator al .

Testul statistic pentru H0 este testul Wald, insa principala slabiciune a acestui test o reprezinta faptul ca nu este invariant la formularea ipotezei g. Alt test aplicat este functia criteriu GMM pentru modelul de regresie:

Estimatorul nerestrictiv GMM minimizeaza , , adica

â si este identic cu estimatorul OLS.

Estimatorul GMM minimizeaza in functie de conditia (1).

Testul statistic de distanta Newey-West este reprezentat de

(4)

Acest test are mai multe avantaje fata de testul Wald, printre care si faptul ca este invariant la formularea ipotezei (1).


Alegerea variantei si a matricei de ponderi Statisticile depind de alegerea lui . Statistica Wald este calculata din estimarile nerestrictive ale lui O alegere pentru este estimatorul Eicker-White

(5)

= . O alegere alternativa este estimatroul OLS

(6)

care este valida sub presupunerea conditiei de heteroscedasticitate.

. O alta alternativa ar fi calcularea matricii de greutati sub ipoteza nula, ceea ce presupunea GMM reiterat.

Extinderi Edgeworth Obiectivul acestei sectiuni este acela de a utiliza argumentul extinderii pentru a demonstra ca statistica GMM are o aproximare Edgeworth la distributia chi-patrat superioara statisticii Wald. Pornind de la Park si Philips (1988), derivam extinderea presupunand ca

si , asadar . Presupunem ca este de trei ori continuu diferentiabila

, , ,

Fie , si Defi nim matricele de proiectie

Acestea sunt defi nite daca , conditie standard pentru testarea ipotezei.

Fie functia de distributie cumulativa (CDF-cumulative distribution

function) a lui W, si fi e functia lui DM si F functia CDF a distributiei .


Teorema 1 Extinderea asimptotica a lui W cand este data de

(7)unde

si

Teorema 2 Extinderea asimptotica a lui DM cand este data de

, (8)

unde este defi nit in Teorema 1. Expresia (7) ofera un set de expresii mai compact pentru coefi cientii , ,

care permite o comparatie directa cu expesia statisticii GMM. Expresia (8) pentru DM pare sa fi e noua. Implicatii ale teoremelor 1.1 si 1.2. - Extinderea statisticii GMM este o simplifi care stricta a statisticii Wald.

extinderea statisticii GMM este mai putin distorsionata fata de chi-patrat, decat este fara de statistica Wald.

- Expresia (8) arata ca este necesara doar o ajustare pentru a atinge aproximarea la distributia chi-patrat.

- Invarianta a formularii (1) este in general adevarata.

Concluzie Am extins abordarea matricei explicite la extinderile Edgeworth dezvoltate de Park si Philips (1988), am extins expansiunea Edgeworth pentru statistica Wald si am dezvoltat o noua extindere pentru statistica GMM. Limitarea rezultatelor o reprezinta faptul ca au fost calculate pentru stabilirea restrictive a regresiei normale cu eroare stiuta a variantei. Raportul simularii a aratat o performanta aproape perfecta a statisticii

.

Bibliografi e 1. Anghelache C., Anghel M.G. (2015) – „Main aspects regarding some non-linear

models used in economic analyses”, Romanian Statistical Review Supplement, Volume (Year): 63 (2015), Issue (Month): 9 (September), pp. 7-10

2. Anghelache G.V., Anghelache C., Baltac A.G., Prodan L. (2013) - „Non-linear Regression used in Economic Analysis”, Romanian Statistical Review, Supplement no. 1/2013, pp. 7-18

3. Kejriwal, M. et. al. (2013) – „Wald Tests For Detecting Multiple Structural Changes In Persistence”, Econometric Theory, Volume (Year): 29 (2013), Issue (Month): 02 (April), pp. 289-323


4. Newey W.K., West K.D. (1987) – „Hypothesis Testing with Effi cient Method of Moments Estimation”,International Economic Review, Volume (Year): 28 (1987), Issue (Month): 3 (October), pp. 777-87

5. Newey W.K., McFadden D. (1986) – „Large sample estimation and hypothesis testing”, in R. F. Engle & D. McFadden (ed.), 1986. “Handbook of Econometrics,” Handbook of Econometrics, Elsevier, edition 1, volume 4, number 4, September.

6. Phillips P. C. B., Park Joon Y. (1988) – “On the Formulation of Wald Tests of Nonlinear Restrictions”, Econometrica, Vol. 56, No. 5 (Sep., 1988), pp. 1065-1083

7. Qihui C., Yu R. (2013) – “Improvement in fi nite-sample properties of GMM-based Wald tests”, Computational Statistics, Volume (Year): 28 (2013), Issue (Month): 2 (April), pp. 735-749


SOME ASPECTS REGARDING THE EXTENSION OF EDGEWORTH TEST TO

NONLINEAR RESTRICTIONS Prof. Constantin ANGHELACHE PhD. Bucharest University of Economic Studies, „Artifex” University of Bucharest Prof. Alexandru MANOLE PhD. „Artifex” University of Bucharest Assoc. Prof. Mădălina Gabriela ANGHEL PhD. „Artifex” University of Bucharest Georgiana NIŢU PhD. Student Bucharest University of Economic Studies

Abstract This paper presents the most important elements of the Edgeworth tests applied to non-linear restrictions. Following a brief introduction, the authors develop on the linear regression with non-linear hypothesis, the variant choice and weight matrix. The authors take into consideration the fact that the popularity of the Wald test is counterbalanced by is lack of invariance to hypothesis modeling. Key words: Edgeworth test, linear, hypothesis, restriction, model

Introduction Wald test is a popular one, especially due to the fact that is easy to calculate. But, it was proven that Wald test does not represent the best choice in case of non-linear hypotheses, the most frequent mentioned motive being that Walt statistics is not invariant to the algebraic formulation of hypothesis. Anghelache et. al. (2013), Anghelache and Anghel (2015) develop on the application of regression in economic analyses. Various aspects of Wald tests were studied by Kejriwal et. al. (2013), Qihui and Yu (2013). Park and Philips (1988) have demonstrated that Edgeworth expansion coeffi cients of Walt statistics depend on formulation. On the other way, Newey and West (1987) have suggested the generalized method of moments (GMM) for the distance of non-linear hypotheses. Thus, in the context of linear regression, their statistics is GMM function evaluated to restrained hypotheses. And when the hypothesis is a linear restriction over parameters, then their test corresponds to Walt statistics. When the hypothesis is non-linear, the two statistics are different. Statistics of distance generalized method of moments is invariant to the algebraic formulation of hypothesis and is robust to heteroskedasticity, contrary to probability rate. There is little known about the GMM statistics behavior and this chapter tries to bring more information by GMM statistics extension in the case considered by Park and Philips (1988), by using explicit matrix to Edgeworth extensions initiated by Park and Philips (1988), pushing forward their approach, using explicit matrix formula for all our expressions, which allows comparisons between statistics.


The result is that the extension of Edgeworth for GMM statistics is strictly simplifying Wald statistics.

Linear regression with non-linear hypothesis The model is a linear regression of the following form: yi= x’iβ + ei E (xi ei )= (), i =1,…,n, where xiand β are each Kx1. Be β0the real value of β The objective is testing the non-linear hypothesis, by testing hypothesis H0versus H1: H0:g(β)=0 H1:g(β)≠0, where g:Rk→R (1)

Be the estimator of β calculated using the method of the smallest squares (OLS)

= (X’ X)-1(X’ Y) and Vn= (X’ X)-1Ωn (X’ Y)-1 (2)

which is the estimator of covariant matrix, where Ωn– estimator of E (xix’iei

2). The statistic test for H0 is Wald test, but the main weakness of this test is that is not invariant to g hypothesis formulation. Other applied test is GMM criteria function for the regression model: J (β) = (Y-Xβ)’ XΩn

-1X’ (Y- Xβ) The non-restrictive estimator GMM minimizes J (β), β Rk, that is

=argmin J (β) = (X’X)-1(X’Y) β Rk

and is identical to estimator OLS. J( = 0 GMM estimator minimizes J (β) regarding condition(1).

= argmin J (β) g(β)=0

Newey-West statistics of distance test is represented by DM = J ( ) - J ( ) (4) This test has more advantages than Wald test, among which, the fact that is invariant to hypothesis formulation (1).

The variant choice and weight matrix Statistics depend on Ωnchoice. Wald statistics is calculated from unrestricted estimations of A choice for Ωn is Eicker-White estimator:

(5)

= .


An alternative choice is OLS estimator

(6)

which is valid under the assumption of heteroscedasticity condition.

.

Another option would be the calculation of matrix of weights under null hypothesis, which implies a reiterated GMM.

Edgeworth expansions The objective of this presentation is to use the argument of expansion in order to demonstrate that GMM statistics has Edgeworth approximation for of Wald superior statistics. Starting from Park and Philips (1998), we derive the expansion assuming that and , therefore Ωn=nIn So Ωn=nIn We assume that g(β) is three times continuum differentiable

, ,

,

Let us assume that

, And

We defi ne the projection matrixes by the relation:

These are defi ned if G’G>0, standard condition for testing the hypothesis. Let us consider FW, the cumulative distribution function of W, and FDM the function of DM and F the CDF function of χ2 distribution. The asymptotic expansion of W when n →∞ is given by

(7)

Where


and

(8)

The asymptotic expansion of DM when n →∞ is given by Where 1 is defi ned in Theorem 1. Relation (7) offers a set of a more compact relations, for coeffi cients 1, 2,

3 which allow a direct comparison with GMM statistics expression. Relation (8) for DM has a new signifi cance: - The expansion of GMM statistics is a strict simplifi cation of Wald

statistics. O(n-1) the expansion of GMM statistics is less modifi ed than χ2 in comparison to Wald statistics

- Relation (8) shows that just an adjustment is necessary to reach the approximation O2(n-1) at χ2 distribution

- The invariant 1 of formulation (1) is generally true.

Conclusion I extended the approach of explicit matrix to Edgeworth extensions developed by Park and Philips (1998), I extended the Edgeworth expansion for Wald statistics and I developed a new expansion for GMM statistics. The results limitation is represented by the fact that they were calculated for the restrictive solution of normal regression with a known error of the variant. The simulation report showed an almost perfect performance of DMnull statistics.

References 1. Anghelache C., Anghel M.G. (2015) – „Main aspects regarding some non-linear

models used in economic analyses”, Romanian Statistical Review Supplement, Volume (Year): 63 (2015), Issue (Month): 9 (September), pp. 7-10

2. Anghelache G.V., Anghelache C., Baltac A.G., Prodan L. (2013) - „Non-linear Regression used in Economic Analysis”, Romanian Statistical Review, Supplement no. 1/2013, pp. 7-18

3. Kejriwal, M. et. al. (2013) – „Wald Tests For Detecting Multiple Structural Changes In Persistence”, Econometric Theory, Volume (Year): 29 (2013), Issue (Month): 02 (April), pp. 289-323

4. Newey W.K., West K.D. (1987) – „Hypothesis Testing with Effi cient Method of Moments Estimation”,International Economic Review, Volume (Year): 28 (1987), Issue (Month): 3 (October), pp. 777-87

5. Newey W.K., McFadden D. (1986) – „Large sample estimation and hypothesis testing”, in R. F. Engle & D. McFadden (ed.), 1986. “Handbook of Econometrics,” Handbook of Econometrics, Elsevier, edition 1, volume 4, number 4, September.

6. Phillips P. C. B., Park Joon Y. (1988) – “On the Formulation of Wald Tests of Nonlinear Restrictions”, Econometrica, Vol. 56, No. 5 (Sep., 1988), pp. 1065-1083

7. Qihui C., Yu R. (2013) – “Improvement in fi nite-sample properties of GMM-based Wald tests”, Computational Statistics, Volume (Year): 28 (2013), Issue (Month): 2 (April), pp. 735-749


Studiu comparativ în estimarea preţului Volkswagen: ARIMA versus ANN

Florin Dan PIELEANU Academia de Studii Economice București

Abstract Tehnicile multiple utilizate în încercarea de predicție a prețurilor viitoare ale titlurilor fi nanciare se împart în general în două categorii: tehnici statistice și tehnici de “soft computing”. În prima categorie, sunt incluse modelele ARIMA (autoregressive integrated moving average) și GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity), iar cel dintâi va fi folosit în articolul de față. Cele mai importante modele din categoria secundă sunt rețelele neurale artifi ciale - ANN, iar un astfel de model va fi comparat cu ARIMA, pentru a vedea care dintre cele două performează mai bine în dorința de a estima cursul viitor al companiei Volkswagen. Este notoriu faptul că această companie a fost implicată recent într-un scandal care i-a afectat valoarea acțiunilor. Datele utilizate sunt cursuri zilnice pe un interval de 4,5 ani, iar obiectivul principal al articolului este încercarea de previzionare a cursului companiei pentru următorul semestru (al doilea al anului 2015). Ulterior se poate observa care dintre modele a fost mai exact, prin comparația cu prețurile reale. Concluzia va confi rma sau infi rma superioritatea unuia dintre modele asupra celuilalt. Cuvinte-cheie: ARIMA, ANN, estimare, comparativ, technică

Introducere Tehnicile principale utilizate în încercările de predicţie a cursurilor titlurilor fi nanciare de pe diverse şi multiple pieţe se împart în mod general în două categorii: tehnici statistice şi tehnici de “soft computing”. Cele din urmă sunt metode care folosesc soluţii inexacte pentru a încerca să rezolve probleme pentru care nu există un algoritm cunoscut. Ele tolerează aproximările, incertitudinea şi adevărurile parţiale. Câteva exemple de astfel de tehnici sunt: reţelele neurale (neural networks), fuzzy logic, support vector machines şi altele. Soluţiile oferite de acestea sunt impredictibile şi se pretează foarte bine în cazurile în care nu există sufi ciente informaţii despre problema de rezolvat. Tehnicile statistice includ procese de tip ARIMA (autoregressive integrated moving average) sau GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity). ARIMA (cunoscut deasemenea sub numele de modelul Box-Jenkins) este destul de utilizat în diverse tentative de previzionare, fi ind considerata una dintre cele mai efi ciente tehnici în acest sens. Ea se bazează pe valorile din trecut ale seriei, şi pe valorile ei reziduale, şi nu presupune vreo relaţie de bază, precum alte modele. ARIMA se dovedeşte un model robust, cu rezultate satisfăcătoare, în principal pe termen scurt şi mediu. Reţelele neurale artifi ciale (ANN – artifi cial neural networks) reprezintă o tehnică de “soft computing” considerată deasemenea foarte efi cientă pentru


previzionarea valorilor unei variabile, fi e că aceasta ţine de probleme sociale, de inginerie, de fi nanţe, de economie sau de schimb valutar. Câteva atribute, precum independenţa faţă de multe ipoteze, capacitatea mare de adaptare şi gradul bun de generalizare, fac din ANN o metodă atractivă pentru practicieni sau cercetători. În acelaşi timp, ANN se dovedeşte capabil de a furniza soluţii pentru probleme non-liniare (precum cele din lumea reală), în opoziţie cu modelele tradiţionale (printre care şi ARIMA), care presupun că seriile sunt generate din procese liniare. Acest articol studiază şi compară performanţele celor două tehnici efi ciente diferite – ARIMA şi ANN – într-un caz particular de predicţie a valorii acţiunilor unei companii (în speţă Volkswagen), pentru a infi rma sau confi rma opiniile contradictorii care susţin superioritatea unuia dintre cele două modele asupra celuilalt. Recent, grupul auto german a fost acuzat că a utilizat un soft care i-a permis să manipuleze testele de emisii, pentru a raporta cifre mai mici decât cele reale. Ca urmare a acestui scandal, preţul acţiunilor Volkswagen a cunoscut o scădere semnifi cativă în perioada august-septembrie 2015, după ce înregistrase la începutul aceluiaşi an o creştere faţă de anii precedenţi. Restul articolului est organizat după cum urmează: secţiunea 2 prezintă câteva articole înrudite, în timp ce secţiunea 3 pune în evidenţă metodologia utilizată în analiza de faţă. Secţiunea 4 cumulează şi discută rezultatele obţinute, în timp ce secţiunea 5 prezintă concluziile desprinse.

Studii înrudite

Studiile care au urmărit acelaşi demers au găsit în general rezultate favorabile ambelor metode, iar în continuare vor fi enumerate doar câteva dintre acestea: • Studiul [13] a comparat performanţele ARIMA şi ANN pe piaţa de capital

din Korea, iar cel dintâi a fost mai precis, mai ales pe termen mediu • Studiul [14] a luat în considerare piaţa din India, unde ARIMA a fost din

nou mai exact decât ANN • Studiul [15] a găsit ambele modele ca fi ind adecvate pentru predicţia

consumului de apă, cu ARIMA dovedindu-se mai peformant în situaţia seriilor liniare, iar ANN în cea a seriilor neliniare

• Studiul [17] a analizat bursa din Malaezia, unde ANN a obţinut rezultate mai bune decât ARIMA

• Studiul [20] a comparat performanţa celor două modele pe piaţa din Indonezia, unde deasemenea ANN a fost modelul mai precis în predicţie

• În încercarea de a prevedea concentraţiile maxime de ozon, studiul [19] a oferit întâietate modelului ANN

Alte studii de aceeaşi esenţă sunt cele enumerate, [21-29]. Fiindcă rezultatele sunt împărţite şi diferite, studiul de faţă încearcă să clarifi ce situaţia, şi să tragă o concluzie valabilă evident numai în condiţiile prezentate.


Metodologie Date folosite S-au folosit soft-urile EViews şi Matlab pentru cele două modele: primul pentru ARIMA, iar cel de-al doilea pentru ANN. Datele utilizate sunt înregistrări ale cursului zilnic pentru fi rma Volkswagen, cu valori de deschidere, de închidere, minimă, maximă, plus volumul tranzacţiilor, pe o perioadă de 4,5 ani, de la 21.12.2010 la 30.06.2015, cu un număr total de 1177 de observaţii. Valoarea de deschidere reprezintă cursul la începutul zilei, cea de închidere este dată de cursul înregistrat la închiderea pieţei, iar cele minimă şi maximă sunt date de cel mai mic, respectiv cel mai mare curs în timpul zilei. Pentru previziune a fost ales preţul de închidere, fi incă refl ectă mai bine activităţile din data respectivă. Obiectivul principal este cel de a previziona cursul zilnic al acţiunilor Volkswagen pe o perioadă de 6 luni (al doilea semestru al anului 2015) pe baza datelor disponibile în decursul a 4,5 ani, şi de a vedea care dintre cele două modele a performat mai bine în acest sens, evident prin comparaţie cu cursurile reale înregistrate în intervalul 1.07.2015 – 21.12.2015.

Modelul ARIMA pentru acţiunile Volkswagen Pentru a observa dacă seria este sau nu staţionară, utilizăm grafi cul ei, corelograma, şi testul Dickey-Fuller. Cele 3 prezintă următoarea situaţie:


, care demonstrează non-staţionaritatea seriei. Pentru a asigura staţionaritatea seriei, se utilizează prima diferenţă, care duce la următoarea situaţie:

Se poate vedea că seria a devenit staţionară. Pasul următor va fi reprezentat de determinarea ordinelor p şi q. Criteriile pentru acest obiectiv sunt reprezentate de: indicatori Akaike, Schwarz şi S.E (standard error) de valoare relativ mică, indicator R2 ajustat de valoare relativ mare.


Tabelul următor pune în evidenţă rezultatele obţinute pentru diverşi parametri p şi q, în ceea ce priveşte criteriile stabilite mai sus:

ARIMA Akaike Schwarz R2 ajustat S.E(1,0,0)* 5,495 5,500 -0,0002 3,775(1,0,1) 5,494 5,503 0,0016 3,771

(0,0,1)* 5,496 5,501 -0,0002 3,777(2,0,0)* 5,492 5,501 -0,0008 3,767(0,0,2)* 5,498 5,506 -0,0006 3,778(1,1,0)* 5,497 5,505 -0,0007 3,776(0,1,1)* 5,498 5,506 -0,0007 3,778(2,0,1)* 5,494 5,507 -0,017 3,769(0,1,2)* 5,499 5,512 -0,011 3,778(2,1,0)* 5,493 5,507 -0,0012 3,768(1,0,2) 5,495 5,508 0,0019 3,770

* au unul sau mai mulţi parametri statistic nesemnifi cativi

Alegerea se va face astfel dintre modelele ARIMA(1,0,1) şi ARIMA(1,0,2), după criteriile menţionate anterior. Pentru ambele, corelograma şi Q-statistics nu arată niciun şablon rămas în cadrul funcţiilor de autocorelaţie, ceea ce înseamnă că variabilele reziduale corespunzătoare lor reprezintă „zgomot alb”, iar compararea valorilor teoretice cu cele empirice ale autocorelaţiei şi autocorelaţiei parţiale este adecvată:


, în cazul modelului (1,0,1) şi:

, în cazul modelului (1,0,2). Adiţional, se poate observa că modelul secund prezintă o valoare mai ridicată pentru R2 ajustat, dar primul model prezintă indicatori Akaike şi Schwarz mai mici, cu S.E fi ind aproape egale. Astfel, va fi utilizat modelul ARIMA(1,0,1), cu forma:

Ŷt = ϕ1Yt-1 - θ1et-1+ξt

Modelul ANN pentru acţiunile Volkswagen Acesta are următoarea formă: Yt = w0 + Σwj*g(woj + Σwij*yt-1) + εt şi j=1….q, iar i=1….p unde: p = numărul de noduri de input; q = numărul de noduri ascunse; wj şi wij = ponderi de conexiune Pentru model au fost utilizate 6 variabile de input: preţul de deschidere, cel minim, cel maxim, cel de închidere, cel ajustat de închidere şi volumul tranzacţiilor, toate valabile pentru ziua respectivă. Crearea în sine a modelului predictiv în Matlab presupune respectarea următorilor paşi:


- tipul modelului: unul care anticipează valori viitoare ale unei variabile, pe baza unor valori din trecut ale acesteia:

- topologia modelului: implică selectarea numărului de variabile input, numărul de neuroni ascunşi şi numărul de neuroni output

- selectarea tipului de training al reţelei (în acest caz procedeul LM), selectarea procentelor de training, validare şi testare, selectarea funcţiei de performanţă ( MSE - mean squared error)

Rezultate şi discuţii

Rezultatele modelului ARIMA Modelul ARIMA(1,0,1) oferă rezultate pentru previziunea cursului Volkswagen pe o perioadă de 6 luni, ce sunt prezentate mai jos:

Data Curs estimat (Ce)

Curs real (Cr) Diferenţă Data Curs estimat

(Ce)Curs real

(Cr) Diferenţă

18.12.2015 218,03 140,2 -0,55513552 24.09.2015 242,3 118,9 -1,0378469317.12.2015 213,28 139,15 -0,53273445 23.09.2015 236,99 118,9 -0,9931875516.12.2015 213,03 134,9 -0,57916975 22.09.2015 236,99 111,2 -1,1312050315.12.2015 209,03 134,3 -0,55644080 21.09.2015 240,6 133,7 -0,7995512314.12.2015 209,03 131,7 -0,58716780 18.09.2015 247,8 161,35 -0,5357917511.12.2015 211,53 137,6 -0,53728197 17.09.2015 249,65 167,4 -0,4913381110.12.2015 211,53 139,6 -0,5152578 16.09.2015 248,95 167,5 -0,4862686509.12.2015 212,53 140,4 -0,51374643 15.09.2015 250,55 166,85 -0,5016481808.12.2015 212,53 132,5 -0,604000 14.09.2015 254,87 165,5 -0,54000007.12.2015 212,53 136,05 -0,5621462 11.09.2015 254,15 166,25 -0,5287218004.12.2015 221,53 137,3 -0,61347414 10.09.2015 259,75 166,9 -0,5563211503.12.2015 221,53 136,75 -0,61996343 09.09.2015 256,7 169,6 -0,5135613202.12.2015 218,78 137,85 -0,58708741 08.09.2015 247,44 165,4 -0,4960096701.12.2015 218,78 139,65 -0,56663086 07.09.2015 248,3 161,15 -0,5408004930.11.2015 215,53 141,3 -0,52533616 04.09.2015 255,55 159,95 -0,5976867727.11.2015 215,53 134,25 -0,60543761 03.09.2015 254,8 164,4 -0,5498783426.11.2015 215,53 134,55 -0,60185804 02.09.2015 258,6 159,95 -0,6167552325.11.2015 213,53 130,45 -0,63687236 01.09.2015 255,1 164,4 -0,5517031624.11.2015 213,53 127,15 -0,67935509 31.08.2015 260,8 159,5 -0,6351097123.11.2015 224,03 124,65 -0,79727236 28.08.2015 259,65 161,95 -0,6032726120.11.2015 226,78 123,9 -0,83034705 27.08.2015 258,55 166,7 -0,5509898019.11.2015 225,53 125,3 -0,79992019 26.08.2015 262,3 170,5 -0,5384164218.11.2015 228,53 120 -0,90441666 25.08.2015 262,8 171,15 -0,5354951817.11.2015 237,53 117 -1,0301709 24.08.2015 258,8 165,95 -0,5595058716.11.2015 242,53 116,8 -1,07645547 21.08.2015 257,5 167,8 -0,5345649513.11.2015 242,54 118,45 -1,04761502 20.08.2015 251,55 158,55 -0,5865657512.11.2015 244,3 117,2 -1,0844709 19.08.2015 247,95 165 -0,5027272711.11.2015 247,5 118,15 -1,09479475 18.08.2015 245,25 168,05 -0,4593870810.11.2015 239,3 119,75 -0,99832985 17.08.2015 239,55 171 -0,4008771909.11.2015 236,05 120,1 -0,96544546 14.08.2015 231,8 175,2 -0,3230593606.11.2015 233,55 121,9 -0,91591468 13.08.2015 224,55 178,05 -0,2611625905.11.2015 233,55 120,1 -0,94462947 12.08.2015 220,3 180 -0,2238888804.11.2015 233,55 117,15 -0,99359795 11.08.2015 209,55 180,45 -0,1612635003.11.2015 233,8 124,1 -0,88396454 10.08.2015 217,55 177,75 -0,2239099802.11.2015 233,8 126,75 -0,84457593 07.08.2015 212,29 186,2 -0,1401181530.10.2015 230,75 126,1 -0,82989690 06.08.2015 219,59 194,15 -0,1310327029.10.2015 229,05 125,4 -0,82655502 05.08.2015 225,3 191,55 -0,1761942028.10.2015 229,05 124,05 -0,8464328 04.08.2015 225,3 190 -0,1857894727.10.2015 231,54 121,8 -0,90098522 03.08.2015 217,81 192,4 -0,1320686026.10.2015 228,55 125 -0,8284000 31.07.2015 217,55 186 -0,1696236523.10.2015 221,55 121,85 -0,81821912 30.07.2015 206,8 185,75 -0,1133243622.10.2015 221,55 123,9 -0,78813559 29.07.2015 202,68 184,05 -0,1012224921.10.2015 223,55 119,95 -0,86369320 28.07.2015 199,66 185,55 -0,0760441920.10.2015 226,05 116,25 -0,94451612 27.07.2015 202,15 185,9 -0,0874125819.10.2015 226,05 118,6 -0,90598650 24.07.2015 209,55 190,6 -0,0994228716.10.2015 233,6 121,2 -0,92739273 23.07.2015 207,8 185,45 -0,1205176615.10.2015 235,55 123,8 -0,90266559 22.07.2015 207,8 189,55 -0,0962806614.10.2015 235,25 128,6 -0,82931570 21.07.2015 213,82 198,5 -0,0771788413.10.2015 232,3 130,6 -0,77871362 20.07.2015 213,24 196,1 -0,08740438


12.10.2015 233,56 132,45 -0,76338240 17.07.2015 215,15 198,9 -0,0816993409.10.2015 232,55 125,9 -0,84710087 16.07.2015 215,15 201 -0,0703980108.10.2015 232,55 116,2 -1,00129087 15.07.2015 212,2 202,7 -0,0468672907.10.2015 237,91 114,9 -1,07058311 14.07.2015 200,75 203,15 0,0118139306.10.2015 234,3 106,9 -1,19176800 13.07.2015 200,75 199,15 -0,0080341405.10.2015 234,8 102,8 -1,28404669 10.07.2015 200,75 201,5 0,0037220802.10.2015 237,34 101,15 -1,34641621 09.07.2015 197,03 205,75 0,0423815301.10.2015 229,8 105,05 -1,18752974 08.07.2015 192,95 203,4 0,0513765930.09.2015 231,3 104,95 -1,20390662 07.07.2015 197,3 203,45 0,0302285529.09.2015 235,8 103,3 -1,28267183 06.07.2015 203,3 197,5 -0,0293670828.09.2015 235,8 107,1 -1,20168067 03.07.2015 209,05 202,95 -0,0300566625.09.2015 242,3 115,55 -1,09692773 02.07.2015 210,3 208,25 -0,00984393

Grafi cul comun al celor două serii, cea a cursului estimat şi a celui real, evidenţiază următoarea situaţie:

Se poate vedea că modelul ARIMA a previzionat o creştere a cursului acţiunilor Volkswagen, în realitate acesta cunoscând o scădere destul de accentuată. Desigur că responsabil pentru scădere este scandalul în care a fost implicată compania, eveniment ce nu putea fi anticipat, evident, de modelul în cauză. ARIMA a anticipat o creştere continuă a cursului, pe baza datelor istorice care indicau o astfel de evoluţie faţă de ultimii ani.

Rezultatele modelului ANN După diverse încercări, utilizând diferite arhitecturi ale reţelei bazate pe algoritmul ANN, am ales structura care a oferit cea mai bună acurateţe de previziune, pe baza datelor de testare. Dedesubt sunt prezentate rezultatele obţinute, care sunt previziuni zilnice pentru al doilea semestru al anului 2015:


Data Curs estimat (Ce)

Curs real (Cr) Diferenţă Data Curs estimat

(Ce)Curs real

(Cr) Diferenţă18.12.2015 133,02 140,2 0,051212553 24.09.2015 131,4 118,9 -0,1051303617.12.2015 132,96 139,15 0,044484369 23.09.2015 125,68 118,9 -0,0570227016.12.2015 126,46 134,9 0,062564863 22.09.2015 123,65 111,2 -0,1119604315.12.2015 126,75 134,3 0,056217424 21.09.2015 126,01 133,7 0,0575168214.12.2015 123,88 131,7 0,059377373 18.09.2015 128,95 161,35 0,2008057011.12.2015 133,68 137,6 0,028488372 17.09.2015 127,18 167,4 0,2402628410.12.2015 124,98 139,6 0,104727794 16.09.2015 126,17 167,5 0,2467462609.12.2015 123,42 140,4 0,120940171 15.09.2015 128,23 166,85 0,2314653808.12.2015 129,31 132,5 0,024075472 14.09.2015 128,79 165,5 0,2218126807.12.2015 124,24 136,05 0,086806321 11.09.2015 125,68 166,25 0,2440300704.12.2015 129,88 137,3 0,054042243 10.09.2015 131,43 166,9 0,2125224603.12.2015 123,34 136,75 0,098062157 09.09.2015 134,05 169,6 0,2096108402.12.2015 130,66 137,85 0,052158143 08.09.2015 130,27 165,4 0,2123941901.12.2015 128,7 139,65 0,078410311 07.09.2015 125,31 161,15 0,2224014830.11.2015 130,37 141,3 0,077353149 04.09.2015 125,67 159,95 0,2143169727.11.2015 134,39 134,25 -0,00104283 03.09.2015 126,69 164,4 0,2293795626.11.2015 128 134,55 0,04868078 02.09.2015 124,54 159,95 0,2213816825.11.2015 137,01 130,45 -0,05028746 01.09.2015 125,75 164,4 0,2350973224.11.2015 129,62 127,15 -0,01942587 31.08.2015 126,8 159,5 0,2050156723.11.2015 125,7 124,65 -0,00842358 28.08.2015 127,24 161,95 0,2143254020.11.2015 124,19 123,9 -0,00234059 27.08.2015 124,87 166,7 0,2509298119.11.2015 124,54 125,3 0,006065443 26.08.2015 124,7 170,5 0,2686217018.11.2015 127,49 120 -0,06241666 25.08.2015 126,88 171,15 0,2586619917.11.2015 128,57 117 -0,09888888 24.08.2015 136,15 165,95 0,1795721616.11.2015 125,43 116,8 -0,07388698 21.08.2015 120,59 167,8 0,2813468413.11.2015 125,45 118,45 -0,05909666 20.08.2015 124,76 158,55 0,2131188912.11.2015 134,31 117,2 -0,14598976 19.08.2015 128,67 165 0,2201818111.11.2015 133,11 118,15 -0,12661870 18.08.2015 128,16 168,05 0,2373698310.11.2015 122,65 119,75 -0,02421711 17.08.2015 127,49 171 0,2544444409.11.2015 124,58 120,1 -0,03730224 14.08.2015 134,52 175,2 0,2321917806.11.2015 127,92 121,9 -0,04938474 13.08.2015 129,29 178,05 0,2738556505.11.2015 127,18 120,1 -0,05895087 12.08.2015 132,06 180 0,266333304.11.2015 129,95 117,15 -0,10926163 11.08.2015 134,58 180,45 0,2541978303.11.2015 135,25 124,1 -0,08984689 10.08.2015 132,63 177,75 0,2538396602.11.2015 125,14 126,75 0,01270217 07.08.2015 132,17 186,2 0,2901718530.10.2015 135,24 126,1 -0,07248215 06.08.2015 133,32 194,15 0,3133144429.10.2015 130,82 125,4 -0,04322169 05.08.2015 131,75 191,55 0,3121900228.10.2015 131,05 124,05 -0,05642885 04.08.2015 133,19 190 0,29900027.10.2015 132,54 121,8 -0,08817734 03.08.2015 136,61 192,4 0,2899688126.10.2015 126,62 125 -0,0129600 31.07.2015 133,7 186 0,2811827923.10.2015 135,89 121,85 -0,11522363 13.08.2015 129,29 178,05 0,2738556522.10.2015 126,43 123,9 -0,02041969 12.08.2015 132,06 180 0,2663333321.10.2015 135,45 119,95 -0,12922050 11.08.2015 134,58 180,45 0,2541978320.10.2015 121,29 116,25 -0,04335483 10.08.2015 132,63 177,75 0,2538396619.10.2015 125,72 118,6 -0,06003372 07.08.2015 132,17 186,2 0,2901718516.10.2015 123,99 121,2 -0,02301980 06.08.2015 133,32 194,15 0,3133144415.10.2015 130,25 123,8 -0,05210016 05.08.2015 131,75 191,55 0,3121900214.10.2015 126,62 128,6 0,015396579 04.08.2015 133,19 190 0,299000013.10.2015 130,04 130,6 0,004287902 03.08.2015 136,61 192,4 0,2899688112.10.2015 129,4 132,45 0,023027558 31.07.2015 133,7 186 0,2811827909.10.2015 125,54 125,9 0,002859412 16.07.2015 130,72 201 0,3496517408.10.2015 127,4 116,2 -0,09638554 15.07.2015 133,14 202,7 0,3431672407.10.2015 132,71 114,9 -0,15500435 14.07.2015 137,07 203,15 0,3252768806.10.2015 131,23 106,9 -0,22759588 13.07.2015 132,13 199,15 0,3365302505.10.2015 121,93 102,8 -0,1860894 10.07.2015 127,08 201,5 0,3693300202.10.2015 126,68 101,15 -0,25239743 09.07.2015 128,42 205,75 0,3758444701.10.2015 123,64 105,05 -0,17696335 08.07.2015 128,78 203,4 0,3668633230.09.2015 128,3 104,95 -0,22248689 07.07.2015 138,49 203,45 0,3192922029.09.2015 126,24 103,3 -0,22207163 06.07.2015 132,33 197,5 0,3299746828.09.2015 123,18 107,1 -0,15014005 03.07.2015 134,54 202,95 0,3370780925.09.2015 124,41 115,55 -0,07667676 02.07.2015 125,17 208,25 0,39894357

Iar grafi cul comun al celor două serii arată astfel:


Modelul ANN propune un curs destul de stabil pentru perioada avută în vedere, care se apropie mult de cel real în a doua jumătate a intervalului de timp. În prima jumătate, ANN nu prezice corect evoluţia cursului, dar apoi se apropie foarte mult de valorile înregistrate de companie în urma scandalului în care a fost implicată.

Concluzii Studiul de faţă cuprinde rezultatele empirice ale performanţelor modelelor ARIMA şi ANN în estimarea evoluţiei cursului acţiunilor fi rmei Volkswagen. Comparaţia a fost făcută pentru a pune în evidenţă care dintre cele două metode este mai precisă în contextul prezentat. Concluziile arată că modelul secund (ANN) pare mai potrivit în condiţiile de faţă, deoarece a realizat o predicţie mai bună, apropiindu-se de cursul real în jumătate din perioada de timp studiată, în timp ce ARIMA a propus estimări ce s-au dovedit departe de valorile reale pe întreg intervalul analizat. Faptul este însă datorat în mare parte unui factor exogen, imposibil de previzionat, anume scăderea importantă a cursului Volkswagen, din cauza disputei în care a fost implicată compania. Rezultatele nu pot fi considerate ca şi repere absolute, fi ind valabile doar în condiţiile aplicabile contextului curent. Viitoare cercetări pot clarifi ca şi mai în detaliu problemele supuse studiului.

Bibliografi e 1. H. Al-Qaheri, A. E. Hassanien, A. Abraham - “Discovering stock price prediction

rules using rough sets”, Neural Network World, vol. 18, no. 3, pag. 181–198, 2008 2. G.Ardali, M. Khashei, M. Bijari – „Improvement of auto-regressive integrated

moving average models using fuzzy logic and artifi cial neural networks (ANNs)”, Neurocomputing, vol. 72, no. 4–6, pag. 956–967, 2009

3. S. Atsalakis and K. P. Valavanis - “Forecasting stock market short-term trends using a neuro-fuzzy based methodology”, Expert Systems with Applications, vol. 36, no. 7, pag. 10696–10707, 2009


4. M. Bijari, M. Khashei - “An artifi cial neural network (p, d, q) model for timeseries forecasting”, Expert Systems with Applications, vol. 37, no. 1, pag. 479–489, 2010

5. O. Choya, P. Tsanga, P. Kwoka - “Design and implementation of NN5 for Hong stock price forecasting”, Journal of Engineering Applications of Artifi cial Intelligence, vol. 20, no. 4, pag. 453–461, 2007

6. G. Finnie, B. Vanstone - “An empirical methodology for developing stockmarket trading systems using artifi cial neural networks”, Expert Systems with Applications, vol. 36, no. 3, pag. 6668–6680, 2009

7. A. Ghanbari, E. Hadavandi, H. Shavandi - “Integration of genetic fuzzy systems and artifi cial neural networks for stock price forecasting”, Knowledge-Based Systems, vol. 23, no. 8, pag. 800–808, 2010

8. K. Hilovska, J. Sterba - “The implementation of hybrid ARIMA neural network prediction model for aggregate water consumption prediction”, Aplimat—Journal of Applied Mathematics, vol. 3, no. 3, pag. 123–131, 2010

9. K. Huarng, H. Yu - “A neural network-based fuzzy time series model to improve forecasting”, Expert Systems with Applications, vol. 37, no. 4, pag. 3366–3372, 2010

10. E. Khan - “Neural fuzzy based intelligent systems and applications”, Fusion of Neural Networks, Fuzzy Systems, and Genetic Algorithms Industrial Application, pag. 107–139, CRC Press, New York, USA, 2000

11. C. Lee, Y. Sehwan, J. Jongdae - “Neural network model versus SARIMA model in forecasting Korean stock price index (KOSPI)”, Issues in Information System, vol. 8, no. 2, pag. 372–378, 2007

12. N. Merh, V. P. Saxena, R. Pardasani - “A comparison between hybrid approaches of ANN and ARIMA for Indian stock trend forecasting”, Journal of Business Intelligence, vol. 3, no. 2, pag. 23–43, 2010

13. K.Mitra - “Optimal combination of trading rules using neural networks”, International Business Research, vol. 2, no. 1, pag. 86–99, 2009

14. M. Mostafa – „Forecasting stock exchange movements using neural networks: empirical evidence from Kuwait”, Expert Systems with Applications, vol. 37, no. 9, pag. 6302–6309, 2010

15. A. Napitupulu, B. Wijaya, S. Kom - “Stock price prediction: Comparison of Arima and artifi cial neural network methods—an Indonesia stock’s case”, Proceedings of the 2nd International Conference on Advances in Computing, Control and Telecommunication Technologies, pag. 176–179, December 2010

16. L. Poh, T.Yao, C. Tan - “Neural networks for technical analysis: a study on KLCI,” International Journal of Theoretical and Applied Finance, vol. 2, no. 2, pag. 221–241, 1999

17. V. Prybutok, J. Yi, D. Mitchell - “Comparison of neural network models with ARIMA and regression models for prediction of Houston’s daily maximum ozone concentrations”, European Journal of Operational Research, vol. 122, no. 1, pp. 31–40, 2000

18. H. Roh - “Forecasting the volatility of stock price index”, Expert Systems with Applications, vol. 33, no. 4, pag. 916–922, 2007

19. G. Zhang, B. Patuwo, Y. Hu - “Forecasting with artifi cial neural networks: the state of the art”, International Journal of Forecasting, vol. 14, no. 1, pag. 35–62, 1998


COMPARATIVE STUDY IN ESTIMATING VOLKSWAGEN’S PRICE:

ARIMA VERSUS ANN Florin Dan PIELEANU Academy of Economic Studies Bucharest

Abstract The multiple techniques used for trying to predict the future prices of securities usually fall in two categories: statistical techniques and soft computing techniques. In the fi rst category one can fi nd ARIMA (autoregressive integrated moving average) or GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) models, and the former will be used in the present article. From the second category, the most important models are the artifi cial neural networks – ANN, and such a model will be compaired to ARIMA in order to see which one performs better in the goal of estimating Volkswagen’s future prices. It is widely known that this company was recently involved in a scandal which affected the company’s shares. Data used is comprised of daily prices for a period of 4,5 years, and the article’s main objective is to try and foresee the price for the next 6 months (the second semester of 2015). After this step, it can be observed which of the two models was more accurate, through comparison with the actual prices. The conclusion will confi rm or will refute the superiority of a model over the other, in the mentioned context. Keywords: ARIMA, ANN, estimation, comparative, technique

Introduction The main techniques used in trying to predict the future prices of different securities from various markets fall usually in two categories: statistical techniques and soft computing techniques. The latter use inexact solutions to try to solve problems without a known algorithm. They tolerate approximations, uncertainty and partial truth. Some examples include: artifi cial neural networks, fuzzy logic, support vector machines and others. The solutions provided by them are unpredictable and are performing well when there is not enough information about the problem to be solved. Statistical techniques include ARIMA (autoregressive integrated moving average) models and GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) models. ARIMA (also known as Box-Jenkins model) is highly used in this direction, being considered as pretty effective for such purposes. The model relies on past values of the series and on its residual values, and it does not require previous relations like other models. So, ARIMA proves to be a sturdy model, with good results, mainly on short and medium terms. The artifi cial neural networks – ANN - are soft computing techniques, which are also considered as really effi cient for predicting the values of variables, regardless of the domain: social, fi nance, exchange rate, engineering or other issues [2, 4, 10, 19]. Some of their attributes, like the independence from certain assumptions, good


adjusting capacity and a fair generalization potential, make the ANN an attractive method for researchers and practitioners. In the same time, ANN can offer solutions for nonlinear problems (like the real ones), opposed to traditional models (like ARIMA), who are implying that the time series are generated from linear processes. The present article analyzes and compares the performances of ARIMA and ANN, in the particular case of future price estimation for the shares of Volkswagen company, in order to confi rm or refute the reviews which assert the superiority of one model over the other. Recently, the german auto producer was accused of using a soft that permitted the manipulation of emission tests, in order to report smaller fi gures. As a consequence, the price of Volkswagen’s shares plummeted from August 2015, after it was rising at the beginning of the year. The rest of the article is organized as follows: section 2 lists some related work, section 3 highlights the used methodology, section 4 summarizes and discusses the results, while section 5 draws the conclusions.

Related Work

The studies who purchased the same goal found proofs favoring both models, and below are listed only a few: - [11] compared ARIMA and ANN on Korean market, and the fi rst was more

accurate, especially on medium term - [12] considered the Indian market, and ARIMA was again more precise

than ANN - [8] found both models as adequate for predicting water consumption, with

ARIMA performing better for linear data, and ANN for nonlinear data - [16] analyzed market in Malaysia, and ANN was better than ARIMA - [15] made a comparison on the market in Indonesia, where ANN predicted

more exactly - Trying to forecast the maximum ozone concentrations, [17] proved the

priority of ANN

More studies in the same direction are [1, 3, 5, 6, 7, 9, 13, 14, 18]. Due to split results, this article wants to clarify the matter and to fi nd a result obviously valid only in the presented context.

METHODOLOGY Used data EViews software and Matlab Neural Network were used for ARIMA and ANN models, respectively. The data used in this research are historical daily stock prices for Volkswagen, consisting of open price, lowest price, highest price, close price and volume traded, on a 4,5 years period, starting from 21.12.2010 until 30.06.2015, with 1177 total observations. The open price is the opening price of the shares at the


start of the training day, the lowest price represents the minimum price during the trading day, the highest price represents the maximum price of the day, and the closing price shows the shares’ price when the market closes. For this article, the closing price is chosen to represent the predicted value, because it refl ects all the activities of the day. The main goal of the study is to forecast the future price of Volkswagen’s shares on a 6 months horizon (the second semester of year 2015), based on available data, and to observe which one of the ARIMA and ANN models behaved better, by comparison with the real values for the 1.07.2015 – 21.12.2015 period.

ARIMA model in Volkswagen’s case In order to see if the time series is stationary or not, its graphic, correlogram and Dickey-Fuller test are studied. The following situation occurs:

Graph of Volkswagen’s price time series Figure 1

Correlogram of Volkswagen’s price time series Figure 2


DF test for Volkswagen’s price time series Figure 3

, which proves that the series isn’t stationary. For making it so, the fi rst difference will be approached. After it, the changes show:

Graph of Volkswagen’s price time series (fi rst difference) Figure 4

Correlogram of Volkswagen’s price time series (fi rst difference) Figure 5

l f V lk ’ i i i (fi


DF test for Volkswagen’s price time series (fi rst difference) Figure 6

And the stationarity of the series can now be observed. Next step is to determine the ARIMA’s orders p and q. The criteria for this are: relatively small Akaike, Schwarz and S.E (standard error) values, relatively high adjusted R2 value. The following table highlights the obtained results for various p and q parameters, criteria-wise:

Different ARIMA models and their values for chose criteriaTable 1

ARIMA Akaike Schwarz Adjusted R2 S.E(1,0,0)* 5,495 5,500 -0,0002 3,775(1,0,1) 5,494 5,503 0,0016 3,771(0,0,1)* 5,496 5,501 -0,0002 3,777(2,0,0)* 5,492 5,501 -0,0008 3,767(0,0,2)* 5,498 5,506 -0,0006 3,778(1,1,0)* 5,497 5,505 -0,0007 3,776(0,1,1)* 5,498 5,506 -0,0007 3,778(2,0,1)* 5,494 5,507 -0,017 3,769(0,1,2)* 5,499 5,512 -0,011 3,778(2,1,0)* 5,493 5,507 -0,0012 3,768(1,0,2) 5,495 5,508 0,0019 3,770

* one or more parameters are not statistically signifi cant

So the choice will be made between the ARIMA(1,0,1) and ARIMA(1,0,2) models, on the basis of above-mentioned criteria. For both, the Q-statistics show no pattern left in the autocorrelation (ACF) and partial autocorrelation (PACF) functions of the residuals, which implies that the residuals represent only white noise. Also the comparison of theoretical and empirical autocorrelation and partial autocorrelation values shows adequacy:


Q-statistics Figure 7

Actual vs. theoretical ACF and PACF Figure 8

, for ARIMA(1,0,1) and:Q-statistics

Figure 9


Actual vs. theoretical ACF and PACF Figure 10

,for ARIMA(1,0,2).

Additional, it can be seen that the second model has a higher adjusted R2 value, and the fi rst one has smaller Akaike and Schwarz values, with S.E being almost equal. As a result, the ARIMA(1,0,1) model will be chosen, being expressed, in the forecast form, as:

Ŷt = ϕ1Yt-1 - θ1et-1+ξt

ANN model in Volkswagen’s case It has the below-presented form: Yt = w0 + Σwj*g(woj + Σwij*yt-1) + εt with j=1….q, and i=1….p , where: p = the number of input nodes; q = the number of hidden nodes; wj and wij = connection weights

Six input variables were supplied into the model: opening price, lowest price, highest price, closing price, adjusted closing price and trading volume. The creation of the ANN predictive model with Matlab requires the following steps: - selecting model type: one that can forecast the future values of a variable,

based on past values of it - creating the network topology: the number of input variables, hidden

neurons and output neurons must be selected - selecting training method for the network (in this case the LM method),

selecting training, validation and testing percentages, selecting performance function (in this case the MSE - mean squared error function)


Results and Discussions ARIMA model’s results The ARIMA(1,0,1) model offers results for estimating Volkswagen’s shares prices on a 6-month period, results that are presented below:

Date Estimated price (Ep)

Real price (Rp) Difference Date Estimated

price (Ep)Real price

(Rp) Difference

18.12.2015 218,03 140,2 -0,55513552 24.09.2015 242,3 118,9 -1,0378469317.12.2015 213,28 139,15 -0,53273445 23.09.2015 236,99 118,9 -0,9931875516.12.2015 213,03 134,9 -0,57916975 22.09.2015 236,99 111,2 -1,1312050315.12.2015 209,03 134,3 -0,55644080 21.09.2015 240,6 133,7 -0,7995512314.12.2015 209,03 131,7 -0,58716780 18.09.2015 247,8 161,35 -0,5357917511.12.2015 211,53 137,6 -0,53728197 17.09.2015 249,65 167,4 -0,4913381110.12.2015 211,53 139,6 -0,5152578 16.09.2015 248,95 167,5 -0,4862686509.12.2015 212,53 140,4 -0,51374643 15.09.2015 250,55 166,85 -0,5016481808.12.2015 212,53 132,5 -0,604000 14.09.2015 254,87 165,5 -0,54000007.12.2015 212,53 136,05 -0,5621462 11.09.2015 254,15 166,25 -0,5287218004.12.2015 221,53 137,3 -0,61347414 10.09.2015 259,75 166,9 -0,5563211503.12.2015 221,53 136,75 -0,61996343 09.09.2015 256,7 169,6 -0,5135613202.12.2015 218,78 137,85 -0,58708741 08.09.2015 247,44 165,4 -0,4960096701.12.2015 218,78 139,65 -0,56663086 07.09.2015 248,3 161,15 -0,5408004930.11.2015 215,53 141,3 -0,52533616 04.09.2015 255,55 159,95 -0,5976867727.11.2015 215,53 134,25 -0,60543761 03.09.2015 254,8 164,4 -0,5498783426.11.2015 215,53 134,55 -0,60185804 02.09.2015 258,6 159,95 -0,6167552325.11.2015 213,53 130,45 -0,63687236 01.09.2015 255,1 164,4 -0,5517031624.11.2015 213,53 127,15 -0,67935509 31.08.2015 260,8 159,5 -0,6351097123.11.2015 224,03 124,65 -0,79727236 28.08.2015 259,65 161,95 -0,6032726120.11.2015 226,78 123,9 -0,83034705 27.08.2015 258,55 166,7 -0,5509898019.11.2015 225,53 125,3 -0,79992019 26.08.2015 262,3 170,5 -0,5384164218.11.2015 228,53 120 -0,90441666 25.08.2015 262,8 171,15 -0,5354951817.11.2015 237,53 117 -1,0301709 24.08.2015 258,8 165,95 -0,5595058716.11.2015 242,53 116,8 -1,07645547 21.08.2015 257,5 167,8 -0,5345649513.11.2015 242,54 118,45 -1,04761502 20.08.2015 251,55 158,55 -0,5865657512.11.2015 244,3 117,2 -1,0844709 19.08.2015 247,95 165 -0,5027272711.11.2015 247,5 118,15 -1,09479475 18.08.2015 245,25 168,05 -0,4593870810.11.2015 239,3 119,75 -0,99832985 17.08.2015 239,55 171 -0,4008771909.11.2015 236,05 120,1 -0,96544546 14.08.2015 231,8 175,2 -0,3230593606.11.2015 233,55 121,9 -0,91591468 13.08.2015 224,55 178,05 -0,2611625905.11.2015 233,55 120,1 -0,94462947 12.08.2015 220,3 180 -0,2238888804.11.2015 233,55 117,15 -0,99359795 11.08.2015 209,55 180,45 -0,1612635003.11.2015 233,8 124,1 -0,88396454 10.08.2015 217,55 177,75 -0,2239099802.11.2015 233,8 126,75 -0,84457593 07.08.2015 212,29 186,2 -0,1401181530.10.2015 230,75 126,1 -0,82989690 06.08.2015 219,59 194,15 -0,1310327029.10.2015 229,05 125,4 -0,82655502 05.08.2015 225,3 191,55 -0,1761942028.10.2015 229,05 124,05 -0,8464328 04.08.2015 225,3 190 -0,1857894727.10.2015 231,54 121,8 -0,90098522 03.08.2015 217,81 192,4 -0,1320686026.10.2015 228,55 125 -0,8284000 31.07.2015 217,55 186 -0,1696236523.10.2015 221,55 121,85 -0,81821912 30.07.2015 206,8 185,75 -0,1133243622.10.2015 221,55 123,9 -0,78813559 29.07.2015 202,68 184,05 -0,1012224921.10.2015 223,55 119,95 -0,86369320 28.07.2015 199,66 185,55 -0,0760441920.10.2015 226,05 116,25 -0,94451612 27.07.2015 202,15 185,9 -0,0874125819.10.2015 226,05 118,6 -0,90598650 24.07.2015 209,55 190,6 -0,0994228716.10.2015 233,6 121,2 -0,92739273 23.07.2015 207,8 185,45 -0,1205176615.10.2015 235,55 123,8 -0,90266559 22.07.2015 207,8 189,55 -0,0962806614.10.2015 235,25 128,6 -0,82931570 21.07.2015 213,82 198,5 -0,0771788413.10.2015 232,3 130,6 -0,77871362 20.07.2015 213,24 196,1 -0,0874043812.10.2015 233,56 132,45 -0,76338240 17.07.2015 215,15 198,9 -0,0816993409.10.2015 232,55 125,9 -0,84710087 16.07.2015 215,15 201 -0,0703980108.10.2015 232,55 116,2 -1,00129087 15.07.2015 212,2 202,7 -0,0468672907.10.2015 237,91 114,9 -1,07058311 14.07.2015 200,75 203,15 0,0118139306.10.2015 234,3 106,9 -1,19176800 13.07.2015 200,75 199,15 -0,0080341405.10.2015 234,8 102,8 -1,28404669 10.07.2015 200,75 201,5 0,0037220802.10.2015 237,34 101,15 -1,34641621 09.07.2015 197,03 205,75 0,0423815301.10.2015 229,8 105,05 -1,18752974 08.07.2015 192,95 203,4 0,0513765930.09.2015 231,3 104,95 -1,20390662 07.07.2015 197,3 203,45 0,0302285529.09.2015 235,8 103,3 -1,28267183 06.07.2015 203,3 197,5 -0,0293670828.09.2015 235,8 107,1 -1,20168067 03.07.2015 209,05 202,95 -0,0300566625.09.2015 242,3 115,55 -1,09692773 02.07.2015 210,3 208,25 -0,00984393


The common graphic for both series, the predicted and the real price, looks like this:

Actual vs. predicted price - ARIMA Figure 11

ARIMA forecasted a rise in the shares’ price, compared to the real price, which actually plummeted. Surely that the scandal in which the company was involved was responsible for the drop, but this event could not be anticipated by our model. ARIMA just estimated a continuous increase, based on historical data, which indicated such an evolution over the last years.

ANN model’s results After several trials, using different network architectures based on the ANN algorithm, the chosen structure was the one that gave the best accuracy in prediction and the smallest MSE, based on testing data. Below are the ANN results, as predicted daily prices for the second semester of year 2015:


DateEstimated price (Ep)

Real price (Rp)

Difference DateEstimated price (Ep)

Real price (Rp)

Difference

18.12.2015 133,02 140,2 0,051212553 24.09.2015 131,4 118,9 -0,1051303617.12.2015 132,96 139,15 0,044484369 23.09.2015 125,68 118,9 -0,0570227016.12.2015 126,46 134,9 0,062564863 22.09.2015 123,65 111,2 -0,1119604315.12.2015 126,75 134,3 0,056217424 21.09.2015 126,01 133,7 0,0575168214.12.2015 123,88 131,7 0,059377373 18.09.2015 128,95 161,35 0,2008057011.12.2015 133,68 137,6 0,028488372 17.09.2015 127,18 167,4 0,2402628410.12.2015 124,98 139,6 0,104727794 16.09.2015 126,17 167,5 0,2467462609.12.2015 123,42 140,4 0,120940171 15.09.2015 128,23 166,85 0,2314653808.12.2015 129,31 132,5 0,024075472 14.09.2015 128,79 165,5 0,2218126807.12.2015 124,24 136,05 0,086806321 11.09.2015 125,68 166,25 0,2440300704.12.2015 129,88 137,3 0,054042243 10.09.2015 131,43 166,9 0,2125224603.12.2015 123,34 136,75 0,098062157 09.09.2015 134,05 169,6 0,2096108402.12.2015 130,66 137,85 0,052158143 08.09.2015 130,27 165,4 0,2123941901.12.2015 128,7 139,65 0,078410311 07.09.2015 125,31 161,15 0,2224014830.11.2015 130,37 141,3 0,077353149 04.09.2015 125,67 159,95 0,2143169727.11.2015 134,39 134,25 -0,00104283 03.09.2015 126,69 164,4 0,2293795626.11.2015 128 134,55 0,04868078 02.09.2015 124,54 159,95 0,2213816825.11.2015 137,01 130,45 -0,05028746 01.09.2015 125,75 164,4 0,2350973224.11.2015 129,62 127,15 -0,01942587 31.08.2015 126,8 159,5 0,2050156723.11.2015 125,7 124,65 -0,00842358 28.08.2015 127,24 161,95 0,2143254020.11.2015 124,19 123,9 -0,00234059 27.08.2015 124,87 166,7 0,2509298119.11.2015 124,54 125,3 0,006065443 26.08.2015 124,7 170,5 0,2686217018.11.2015 127,49 120 -0,06241666 25.08.2015 126,88 171,15 0,2586619917.11.2015 128,57 117 -0,09888888 24.08.2015 136,15 165,95 0,1795721616.11.2015 125,43 116,8 -0,07388698 21.08.2015 120,59 167,8 0,2813468413.11.2015 125,45 118,45 -0,05909666 20.08.2015 124,76 158,55 0,2131188912.11.2015 134,31 117,2 -0,14598976 19.08.2015 128,67 165 0,2201818111.11.2015 133,11 118,15 -0,12661870 18.08.2015 128,16 168,05 0,2373698310.11.2015 122,65 119,75 -0,02421711 17.08.2015 127,49 171 0,2544444409.11.2015 124,58 120,1 -0,03730224 14.08.2015 134,52 175,2 0,2321917806.11.2015 127,92 121,9 -0,04938474 13.08.2015 129,29 178,05 0,2738556505.11.2015 127,18 120,1 -0,05895087 12.08.2015 132,06 180 0,266333304.11.2015 129,95 117,15 -0,10926163 11.08.2015 134,58 180,45 0,2541978303.11.2015 135,25 124,1 -0,08984689 10.08.2015 132,63 177,75 0,2538396602.11.2015 125,14 126,75 0,01270217 07.08.2015 132,17 186,2 0,2901718530.10.2015 135,24 126,1 -0,07248215 06.08.2015 133,32 194,15 0,3133144429.10.2015 130,82 125,4 -0,04322169 05.08.2015 131,75 191,55 0,3121900228.10.2015 131,05 124,05 -0,05642885 04.08.2015 133,19 190 0,29900027.10.2015 132,54 121,8 -0,08817734 03.08.2015 136,61 192,4 0,2899688126.10.2015 126,62 125 -0,0129600 31.07.2015 133,7 186 0,2811827923.10.2015 135,89 121,85 -0,11522363 13.08.2015 129,29 178,05 0,2738556522.10.2015 126,43 123,9 -0,02041969 12.08.2015 132,06 180 0,2663333321.10.2015 135,45 119,95 -0,12922050 11.08.2015 134,58 180,45 0,2541978320.10.2015 121,29 116,25 -0,04335483 10.08.2015 132,63 177,75 0,2538396619.10.2015 125,72 118,6 -0,06003372 07.08.2015 132,17 186,2 0,2901718516.10.2015 123,99 121,2 -0,02301980 06.08.2015 133,32 194,15 0,3133144415.10.2015 130,25 123,8 -0,05210016 05.08.2015 131,75 191,55 0,3121900214.10.2015 126,62 128,6 0,015396579 04.08.2015 133,19 190 0,299000013.10.2015 130,04 130,6 0,004287902 03.08.2015 136,61 192,4 0,2899688112.10.2015 129,4 132,45 0,023027558 31.07.2015 133,7 186 0,2811827909.10.2015 125,54 125,9 0,002859412 16.07.2015 130,72 201 0,3496517408.10.2015 127,4 116,2 -0,09638554 15.07.2015 133,14 202,7 0,3431672407.10.2015 132,71 114,9 -0,15500435 14.07.2015 137,07 203,15 0,3252768806.10.2015 131,23 106,9 -0,22759588 13.07.2015 132,13 199,15 0,3365302505.10.2015 121,93 102,8 -0,1860894 10.07.2015 127,08 201,5 0,3693300202.10.2015 126,68 101,15 -0,25239743 09.07.2015 128,42 205,75 0,3758444701.10.2015 123,64 105,05 -0,17696335 08.07.2015 128,78 203,4 0,3668633230.09.2015 128,3 104,95 -0,22248689 07.07.2015 138,49 203,45 0,3192922029.09.2015 126,24 103,3 -0,22207163 06.07.2015 132,33 197,5 0,3299746828.09.2015 123,18 107,1 -0,15014005 03.07.2015 134,54 202,95 0,3370780925.09.2015 124,41 115,55 -0,07667676 02.07.2015 125,17 208,25 0,39894357


The commom plot for predicted and real price series looks like below:Actual vs. predicted price - ANN

Figure 12

ANN proposes a fairly stable price for the studied period, and this tends much towards the real one in the second half of the interval. For the fi rst half, ANN is not accurate in forecasting, but then performs quite good, by closing in to the real values triggered by the Volkswagen scandal.

Conclusions The present study comprehends the empirical results of compairing ARIMA and ANN models for estimating the future price of Volkswagen’ shares. This head-to-head was employed in order to highlight which one is more accurate in the chosen context. The conclusions show that ANN looks more appropriate for this goal, since it performed better, being quite close to the real values in half of the studied time period, while ARIMA proposed estimations that are far from them in the whole interval. But this fact happens because of the dispute that involved Volkswagen. So the results can’t be considered as absolute benchmarks, being valid only in the presented conditions. Future research can surely clarify the problem in more depth.

REFERENCES 1. H. Al-Qaheri, A. E. Hassanien, A. Abraham - “Discovering stock price prediction

rules using rough sets”, Neural Network World, vol. 18, no. 3, pag. 181–198, 2008 2. G.Ardali, M. Khashei, M. Bijari – „Improvement of auto-regressive integrated

moving average models using fuzzy logic and artifi cial neural networks (ANNs)”, Neurocomputing, vol. 72, no. 4–6, pag. 956–967, 2009

3. S. Atsalakis and K. P. Valavanis - “Forecasting stock market short-term trends using a neuro-fuzzy based methodology”, Expert Systems with Applications, vol. 36, no. 7, pag. 10696–10707, 2009

4. M. Bijari, M. Khashei - “An artifi cial neural network (p, d, q) model for timeseries


forecasting”, Expert Systems with Applications, vol. 37, no. 1, pag. 479–489, 2010 5. O. Choya, P. Tsanga, P. Kwoka - “Design and implementation of NN5 for

Hong stock price forecasting”, Journal of Engineering Applications of Artifi cial Intelligence, vol. 20, no. 4, pag. 453–461, 2007

6. G. Finnie, B. Vanstone - “An empirical methodology for developing stockmarket trading systems using artifi cial neural networks”, Expert Systems with Applications, vol. 36, no. 3, pag. 6668–6680, 2009

7. A. Ghanbari, E. Hadavandi, H. Shavandi - “Integration of genetic fuzzy systems and artifi cial neural networks for stock price forecasting”, Knowledge-Based Systems, vol. 23, no. 8, pag. 800–808, 2010

8. K. Hilovska, J. Sterba - “The implementation of hybrid ARIMA neural network prediction model for aggregate water consumption prediction”, Aplimat—Journal of Applied Mathematics, vol. 3, no. 3, pag. 123–131, 2010

9. K. Huarng, H. Yu - “A neural network-based fuzzy time series model to improve forecasting”, Expert Systems with Applications, vol. 37, no. 4, pag. 3366–3372, 2010

10. E. Khan - “Neural fuzzy based intelligent systems and applications”, Fusion of Neural Networks, Fuzzy Systems, and Genetic Algorithms Industrial Application, pag. 107–139, CRC Press, New York, USA, 2000

11. C. Lee, Y. Sehwan, J. Jongdae - “Neural network model versus SARIMA model in forecasting Korean stock price index (KOSPI)”, Issues in Information System, vol. 8, no. 2, pag. 372–378, 2007

12. N. Merh, V. P. Saxena, R. Pardasani - “A comparison between hybrid approaches of ANN and ARIMA for Indian stock trend forecasting”, Journal of Business Intelligence, vol. 3, no. 2, pag. 23–43, 2010

13. K.Mitra - “Optimal combination of trading rules using neural networks”, International Business Research, vol. 2, no. 1, pag. 86–99, 2009

14. M. Mostafa – „Forecasting stock exchange movements using neural networks: empirical evidence from Kuwait”, Expert Systems with Applications, vol. 37, no. 9, pag. 6302–6309, 2010

15. A. Napitupulu, B. Wijaya, S. Kom - “Stock price prediction: Comparison of Arima and artifi cial neural network methods—an Indonesia stock’s case”, Proceedings of the 2nd International Conference on Advances in Computing, Control and Telecommunication Technologies, pag. 176–179, December 2010

16. L. Poh, T.Yao, C. Tan - “Neural networks for technical analysis: a study on KLCI,” International Journal of Theoretical and Applied Finance, vol. 2, no. 2, pag. 221–241, 1999

17. V. Prybutok, J. Yi, D. Mitchell - “Comparison of neural network models with ARIMA and regression models for prediction of Houston’s daily maximum ozone concentrations”, European Journal of Operational Research, vol. 122, no. 1, pp. 31–40, 2000

18. H. Roh - “Forecasting the volatility of stock price index”, Expert Systems with Applications, vol. 33, no. 4, pag. 916–922, 2007

19. G. Zhang, B. Patuwo, Y. Hu - “Forecasting with artifi cial neural networks: the state of the art”, International Journal of Forecasting, vol. 14, no. 1, pag. 35–62, 1998


Condiţii pentru prezentarea materialelor spre publicare

Lucrările ştiinţifi ce sau tehnice, originale, se pot prezenta redacţiei spre publicare fi e sub formă de articole, fi e sub formă de scurte comunicări în limba română şi în limba engleză (traducere integrală). Precizările privind condiţiile tehnice pentru predarea materialelor se afl ă pe site-ul www.revistadestatistica.ro, secţiunea „Procesul de recenzare”.

Conditions for the articles designated for the Romanian Statistical Review

The original scientifi c or technical works can be sent to be published either under article form or short communications in Romanian and English (complete translation). The technical conditions for the articles to be presented can be found at www.revistadestatistica.ro in the “Peer review” section.

ISSN 1018-046X

Reproducerea conţinutului articolelor fără acordul Institutului Naţional de Statistică este interzisă, iar utilizarea conţinutului acestei publicaţii, cu titlul explicativ sau justifi cativ, în diferite lucrări este autorizată numai cu precizarea clară a sursei.

Se precizează că punctele de vedere, datele şi informaţiile cuprinse în articolele publicate aparţin autorilor şi nu angajează răspunderea Institutului Naţional de Statistică

Documents

ă.ro/supliment...4 Romanian Statistical Review - Supplement nr. 2 / 2016 din cadrul Universității din București în cadrul secției de ﬁ zică - matematică ﬁ nalizate în