F¡sica Experimental I 2a parte

8/9/2019 Fsica Experimental I 2a parte

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Fsica Experimental I

CAPITULO 3

LEY FSICA PARA CANTIDADES FSICAS CON

ALEATORIEDAD NO CUANTIFICADA.

El propsito de este captulo es definir, con un alto nivel de confianza, que el comportamiento

observado en el fenmeno no es el resultado de un comportamiento fortituo, es decir, se debe

tener confianza que las implicaciones que se desprendan del comportamiento observado del

fenmeno sean siempre validas en el rango analizado. Para demostrar la validez de la relacin

encontrada (lnea de mejor ajuste), se recurren a pruebas estadsticas relacionadas con la

aleatoriedad de la cantidad fsica dependiente. Recuerde que cualquier cantidad fsica que se

mide, tendr un comportamiento aleatorio representado por una funcin de distribucin

Gaussiana. Por lo tanto, si se considera que la aleatoriedad de la cantidad fsica dependiente es

pequea y que no es posible detectarla por las limitaciones del instrumental utilizado para

medir esta cantidad, entonces, se utiliza el concepto de Coeficiente de Correlacin para

definir la Ley Fsica. En caso contrario, cuando se ha detectado una aleatoriedad en la

cantidad fsica dependiente, entonces se utiliza otra tcnica estadstica que requiere de un

conocimiento mayor de la estadstica y que requiere tambin de un mayor control del proceso

de reproduccin del fenmeno, dicha tcnica ser desarrollada en el captulo 4. En la seccin

3.1 de este captulo se expone lo relacionado con el coeficiente de correlacin, su propsito y

sus limitaciones, as como el criterio utilizado para definir la ley fsica. En la seccin 3.2 se

expone una forma de generar las implicaciones de la ley fsica (caracterizacin del fenmeno),

para facilitar su comparacin con las posibles implicaciones generadas por la hiptesis

previamente planteada. En la seccin 3.3 se aplican los conceptos antes expuestos a un

fenmeno de la cinemtica de las partculas En la seccin 3.4 se expone una variante cuando

el coeficiente de correlacin no est en el rango recomendado La comparacin de resultados

cuando la ley fsica es no lineal se desarrolla en la seccin 3.5 y se utiliza en la seccin 3.6

otro fenmeno de la cinemtica para ejemplificar esta variante.

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3.1 COEFICIENTE DE CORRELACIN.

El coeficiente de correlacin (r) es una entidad que pertenece a la teora de la Probabilidad y

la

Estadstica y como tal, requiere de amplios conocimientos de estas teoras para comprender

sus propiedades. Por estar fuera del alcance de este curso, no se profundiza en estosconocimientos, pero para aquel lector que est interesado en este tema, puede consultar las

referencias (10,11). Esto no impide que se puedan utilizar las propiedades y caractersticas de

esta entidad sin necesidad de demostrar su validez. Una de estas caractersticas, es la referente

a que esta entidad se determina en el espacio de dos variables aleatorias (X,Y) donde existe

una funcin de distribucin conjunta que establece una dependencia entre las dos variables. Se

puede demostrar que si la variable aleatoria Y es directamente proporcional a la variable

aleatoria X, entonces el coeficiente de correlacin es igual a 1. Si la variable aleatoria Y es

inversamente proporcional a la variable aleatoria X, entonces el coeficiente de correlacin es

igual a -1. Tambin se puede demostrar que el inverso de estas implicaciones son validas, es

decir:

Si r = 1, entonces Y = mX + b (con m > 0)

Si r = -1, entonces Y = mX + b (con m < 0)

3.1.a) CRITERIO DE ACEPTACIN.

El comportamiento de algn fenmeno fsico es observado va la medicin de la cantidad

fsicas dependiente Y y la cantidad fsica independiente X. Es de mucha importancia

determinar si la variacin observada por la cantidad Y es atribuida a la variacin de la

cantidad X y no es debida a un proceso fortuito. El parmetro que permite conocer estos

efectos de variacin es el llamado Coeficiente de Determinacin (r2), el cual especifica la

proporcin de la variacin observada en Y que es atribuida a la variacin de X.

Coeficiente de Determinacin = (Coeficiente deCorrelacin)2 = r2

Para algn caso cuando r2 = 0.985 indica que el 95% de la variacin mostrada por Y se le

atribuye a la variacin de X. De tal forma que, si dos cantidades X,Y estn relacionadas

linealmente como Y=mX+b, entonces: r2

= (r)2

= (1) =1, indicando que el 100% de la

variacin de Y es atribuida a la variacin de X.

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En el mundo real, al considerar un dispositivo experimental con X, Y como cantidades

fsicas

involucradas en el fenmeno y debido que est presente un proceso de medicin de X y Y y

como no existe un control absoluto en el dispositivo experimental, se observa que al construir

la grfica de dispersin con los valores medidos, estos puntos experimentales no estnperfectamente alineados. Es decir que existe una variacin en Y que no se puede explicar con

la variacin de X. Por tanto, en un proceso experimental, no es posible observar una relacin

lineal perfecta entre dos variables y en consecuencia no es posible obtener un coeficiente de

determinacin igual uno.

Por lo tanto, es recomendable aceptar que existe una relacin lineal entre dos cantidades

fsicas cuando el coeficiente de Determinacin es muy cercano a uno. La cercana a uno del

coeficiente de Determinacin depende de la aleatoriedad en Y que se espera observar en el

proceso experimental, de tal forma para nuestro caso en particular, es aceptable tener por lo

menos un coeficiente de determinacin de un valor de 0.985

CRITERIO DE ACEPTACIN:

Se acepta que existe una relacin lineal entre las variables X, Y cuando su Coeficiente de

Determinacin es de por lo menos de 0.985

Por lo tanto se dice que:

La lnea de mejor ajuste Y = m*X + b* representa adecuadamente el comportamiento

del fenmeno o se considera como unaLey Fsica si su coeficiente de Determinacin es

de por lo menos de 0.985

El Coeficiente de Determinacin se calcula con la expresin siguiente:

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PRIMERA RECOMENDACIN EN EL ANLISIS.

Para determinar una ley fsica, no se debe limitar solo al clculo del coeficiente de

Determinacin y aplicar el criterio anterior, sino que se debe realizar un anlisis conjunto enlos trminos siguientes:

ANLISIS CONJUNTO:

Primero.- Mediante una inspeccin visual a la grfica de dispersin, se debe definir la

posible tendencia de los puntos graficados. Esta puede ser lineal, parablica,

exponencial, logartmica, inversa etc.

Segundo.- Calcular el Coeficiente de Determinacin y verificar si su valor lo hace

congruente con la tendencia definida en el primer punto.

En caso de que la tendencia resulte lineal, continuar al paso siguiente:

Tercero.- Trazar la lnea de mejor ajuste sobre la grfica de dispersin y observar que

los puntos graficados muestren una ubicacin aleatoria alrededor de dicha lnea de

mejor ajuste.

Este anlisis conjunto es necesario porque se dan casos en que el coeficiente de

Determinacin es muy cercano a uno, ms sin embargo, la lnea de mejor ajuste no muestra la

representatividad de los valores experimentales. Tambin se presenta el hecho de que se

cumplen las dos primeras condiciones (l Pasa la inspeccin visual y 2o El coeficiente de

Determinacin es muy cercano a uno), ms sin embargo, se observa que los puntos graficados

presentan un pequeo patrn de comportamiento que la lnea de mejor ajuste no puede

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representar. Es decir, que los puntos graficados no estn colocados en forma aleatoria

alrededor de la lnea de mejor ajuste. Para ilustrar este aspecto observe la la figura 3.0, para

mayor informacin puede consultar el apndice B de estas notas.

Figura 3.0.- Puntos graficados con una tendencia diferente a la lineal

Por tanto, surge una contradiccin, puesto que se observa que la lnea de mejor ajuste no sigue

la tendencia que los valores experimentales graficados. Esta contradiccin invita a realizar

otra prueba estadstica para comprobar la linealidad o la no-linealidad entre las cantidades

fsicas involucradas. Una de estas pruebas, que se expondr en las siguientes secciones, es la

referente a la determinacin del exponente de la variable independiente utilizando el mtodo

de la Transformacin Z.

3.2.- COMPARACIN DE RESULTADOS CUANDO LA LEY FSICA ES LINEAL.

En esta seccin se aborda el ltimo paso del proceso de experimentacin, el cual consiste en

determinar si la hiptesis planteada es falsa o verdadera. Esta determinacin se logra

comparando a la Ley Fsica y con lo expresado en la hiptesis planteada.

Pero debido a que la Ley Fsica es una expresin matemtica y la hiptesis en una expresin

textual, se hace necesario interpretar a la ley fsica en los mismos trminos utilizados en la

hiptesis y de esta forma tener la posibilidad de realizar una comparacin y determinar la

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similitud entre ambas partes (Hiptesis Verdadera) o la contradiccin en las partes

(Hiptesis Falsa). Una forma de generar implicaciones o de interpretar la Ley Fsica, consiste

en caracterizar al fenmeno, utilizando conceptos ya conocidos y aceptados.

3.2.a.- CARACTERIZACIN DEL FENMENO.La Ley Fsica define la existencia de una relacin entre dos cantidades fsicas ( X,Y ) que se

considera vlida en las condiciones en que se realiz el proceso de experimentacin y dentro

del rango de variacin de la variable independiente. En consecuencia, esta Ley Fsica puede

ser utilizada para caracterizar o interpretar una cierta faceta del fenmeno estudiado. Por

ejemplo, en el caso del fenmeno anterior, se considera a:

Cantidad fsica independiente X tiempo ( seg).

Cantidad fsica dependiente YMagnitud del vector desplazamiento(D).

Ley FsicaD = m* t + b*

Esta Ley Fsica establece la magnitud ms probable del vector desplazamiento de un mvil

(deslizador) que se mueve sobre una lnea recta (riel de colchn de aire) para cualquier tiempo

t que se encuentra dentro de su rango de variacin.

La figura 3.1 muestra la grfica de la ley fsica que representa adecuadamente las

caractersticas del movimiento de la partcula.

Figura 3.1.- Grfica de la Ley Fsica.

Considere un punto de coordenadas (t1,D1) sobre la lnea recta, entonces: D1 = m*t1+b* Y

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el punto de coordenadas (t2,D2 ) tambin est sobre la lnea recta: D 2 = m * t 2+ b

De la figura 3.1 se observa que la razn de cambio del desplazamiento con respecto al

tiempo

para dos instantes de tiempo t1, t2:

La ecuacin anterior significa que el cambio del desplazamiento con respecto al tiempo es m*.

Esta relacin es vlida para dos instantes de tiempo cualesquiera (ver figura 3.1).

A esta razn de cambio se le llama Rapidez Media (v), cuyas unidades son [v] = L/T.

Donde el smbolo [ W ] significa las unidades de referencia de la cantidad fsica W y donde L

indica unidades de Longitud tales como: Metros, centmetros, Kilmetros, pulgadas, etc. Y la

literal T indica unidades de tiempo tales como: Segundo, hora, minuto, etc. Entonces se dice

que la partcula desarrolla un movimiento con rapidez media constante. Es importante

observar que el valor de la rapidez media de la partcula no depende del valor b*, el cual se

puede interpretar al considerar un tiempo inicial t0 = 0 seg, que significa que las mediciones

de tiempo se inician con los relojes ajustados a 0.0 seg. Si este tiempo se sustituye en la ley

fsica obtenida, se tiene que el desplazamiento Inicial Do es: Do = m*(0)+b* = b*, lo que

indica que el parmetro b* de la ley fsica, representa el desplazamiento que tiene la partcula

con respecto al sistema de referencia cuando se inicia el anlisis del movimiento de la

partcula.

En el clculo de la rapidez media es suficiente saber los valores iniciales y finales del

movimiento rectilneo de la partcula, sin importar como fue el movimiento entre dichos

puntos. Con el propsito de conocer con mayor detalle la forma de movimiento de la partcula

a lo largo de todo su movimiento, consideremos dos instantes de tiempo t1 y t2 muy cercanos,

es decir, que el intervalo de tiempo t = t2 - t1 sea muy pequeo. Para este caso se observa

que la razn de cambio del Desplazamiento con respecto a este intervalo de tiempo es m*,

debido a que la pendiente de la lnea recta permanece constante. Este proceso de considerar

punto muy cercanos se representa de la forma siguiente:

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Esta expresin se conoce, en clculo diferencial, como Derivada del Desplazamiento con

respecto al tiempo y denota como y como se refiere a la rapidez en un intervalo de

tiempo muy pequeo, sta se le conoce como Rapidez Instantnea (v). Utilizando las reglas de

derivacin y la expresin de la ley fsica, se obtiene:

Rapidez Instantnea = v =

Tambin se sabe de la cinemtica que:

Aceleracin Instantnea = a =

Por lo tanto, se obtiene la expresin que representa el movimiento rectilneo con rapidez

(instantnea) constante, tambin conocido como Movimiento rectilneo Uniforme.

D = vt + Do ..............................ec.3.2

HIPTESIS FALSA o VERDADERA.

Se ha concluido que el objeto efecta un movimiento rectilneo con velocidad constante, por

lo tanto, se puede decir que si la hiptesis planteada fue:

a) "El objeto se mueve con velocidad constante" Hiptesis Verdadera

b)"El objeto recorre distancias iguales en tiempos iguales" Hipteis Verdadera.

(ver figura 3.1)

c) "El objeto efecta un movimiento acelerado" Hiptesis Falsa.

Por otra parte, si se hace coincidir la direccin del desplazamiento de la partcula con el eje

positivo de las "X", entonces se puede representar cualquier desplazamiento como un vector

horizontal de la forma siguiente:

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Fsica Experimental i

Donde D es el vector desplazamiento

D es la magnitud del vector desplazamiento

i es un vector con direccin del eje positivo de las X y de magnitud unitaria

Por tal motivo, la ecuacin ec.3.2 se puede expresar como: V =t

DD 0- y como los

desplazamientos son cantidades vectoriales, entonces se tiene:

....................................................................................... ec.3.3

Cuando el origen de referencia se ubica en el punto de inicio del movimiento de la partcula,

entonces Do = 0, de tal forma que la ecuacin ec.3.3 resulta:

................................................................................................ ec.3.4

De la ec.3.4 se desprende que la cantidad v es una cantidad vectorial porque resulta de

multiplicar al vectorD por una cantidad escalar 1/t, con la misma direccin y el mismo

sentido que el vectorDpero de magnitud v = (l/t)D.

3.2.b.- EVALUACIN DEL EXPERIMENTO.Para evaluar un experimento se recurre a la comparacin de resultados obtenidos en la

caracterizacin del fenmeno con los resultados de aplicar al fenmeno fsico los conceptos

tericos. Es decir, es posible comparar las implicaciones de la ley Fsica mediante la

determinacin de un Valor Experimental (Vexp) con el clculo del valor Terico (Vteo), de la

manera siguiente:

Error Experimental Eexp

Otra forma de comparar los resultados experimentales con implicaciones tericas es

utilizando expresiones tericas que resulten semejantes con la relacin obtenida como Ley

Fsica. Por ejemplo:

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Expresin experimental: D = m*t + b*

Expresin Terica de la cinemtica de las partculas: D = vt+ Do

Por simple comparacin de las expresiones anteriores se puede establecer que:

v = m*; Do = b*

3.3.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO.1.- Considere una vez ms el fenmeno del Movimiento Rectilneo del deslizador sobre el riel

de colchn de aire en un plano horizontal que se realiz en la seccin 2.6.a y formule una

hiptesis referente al tipo de movimiento que desarrolla el deslizador. Por ejemplo puede

seleccionar alguna de las hiptesis siguientes:

" El deslizador se mueve con velocidad constante"

" El deslizador tiene desplazamientos iguales en tiempos iguales"

" El deslizador se mueve con aceleracin constante diferente de cero"

2.- Considere la tabla de resultados y la lnea de mejor ajuste que se obtuvo en la seccin

2.6.a. Determine el valor del coeficiente de Determinacin con la ecuacin 3.1 y obtenga la

ley fsica cuando as sea considerado y contine con el inciso siguiente. En caso contrario

termine.

3.- Determine los valores caractersticos del movimiento del deslizador y compare estos

valores con la o las implicaciones de la hiptesis planteada. Finalice especificando la Validez

o Falsedad de la hiptesis planteada.

3.4.- LEY FSICA NO LINEAL

El aceptar que la lnea de mejor ajuste represente adecuadamente el comportamiento de las

variables fsicas involucradas, bajo cierto nivel de confianza, es aceptar que la relacin entre

dichas cantidades fsicas es de tipo lineal. Esta relacin lineal es posible observarla en la

grfica de dispersin de las cantidades fsicas, pero en muchos casos, la grfica de dispersin

muestra una relacin, que est muy lejos de ser lineal (ver figura 3.2).

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Figura 3.2 .- Grfica de Dispersin

Con el propsito de encontrar el tipo de relacin entre las cantidades fsicas originales (X,Y) y

seguir aplicando el mismo criterio de aceptacin, se proceder a aplicar un mtodo

matemtico, que llamaremos Transformacin Z, el cual consiste en demostrar que existe unarelacin lineal entre cantidades modificadas (W,Z) que involucren a las cantidades fsicas

originales (X,Y), para despus proceder a una transformacin inversa y as obtener la relacin

entre las cantidades fsicas originales. El aplicar este mtodo no quiere decir que se transforma

el fenmeno fsico que dio origen a los datos graficados, solo es un artificio matemtico para

encontrar la relacin entre las cantidades fsicas originales (X,Y).

3.4.a.- TRANSFORMACIN ZETA(Z)

En esta seccin se expone el procedimiento para determinar los parmetros de la lnea de

mejor ajuste entre variables modificadas cuando la lnea de mejor ajuste entre las variables

originales no satisface el criterio de aceptacin. Este procedimiento consiste en modificar (o

Transformar) los valores de las cantidades originales de forma tal que se observe, al graficar

dichos valores y se compruebe, al calcular el coeficiente de Determinacin, que existe una

relacin lineal entre ellos. El tipo de la transformacin depende de la tendencia mostrada en la

grfica de dispersin de las cantidades originales. En la figura 3.3 se muestran varias

tendencias y las transformaciones Z que son requeridas, en algunas de ellas solo basta con

transformar la variable dependiente o solo la variable independiente o ambas.

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G r f i c a de D i s p e r s i n .


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Figura 3.3.- Grfica de las tendencias ms comunes

El anlisis de los valores que dan origen a la grfica mostrada en la figura 3.2, se inicia con el

clculo del coeficiente de Determinacin, cuyo valor esta fuera del rango requerido para

aceptar como lineal la relacin existente entre las cantidades graficadas. Esta conclusin es

congruente con lo mostrado por dicha figura 3.2. En dado caso se procede a la bsqueda del

tipo de relacin no lineal mostrada por las cantidades involucradas, para ello se procede de la

manera siguiente:

1.- En base a la tendencia mostrada por los datos originales X,Y se selecciona un

transformacin Z. Es conveniente aclarar que es posible utilizar otras transformaciones que

alcancen el mismo objetivo. Para el caso de la tendencia mostrada en la figura 3.2 se tiene

que:

Transformacin seleccionada Z = "V/X

Esta transformacin modificar los valores de las ordenadas, quedando las abscisas sin

modificacin

2.- Se aplica la transformacin Z=Y/X a cada uno de los datos, obtenindose valores de Z

para cada pareja de valores de (x,y), como se muestra en la 4a

columna de la tabla 3.1.

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Medicin X Y Z=Y/X

1 x , Y, Z 1= Y 1 /X 1

2 x2Y2 Z2= Y2/ X2

3 x3 Y3 Z3=Y 3/X3

; ;

N Xn Yn Zn= Yn/ Xn

TAB LA 3.1.- Tabla de valores originales y valores transformados.

Con la tabla 3.1 se procede a desarrollar los pasos del proceso de experimentaci n

considerando las parejas de valores de (X, Z)

3o.- Construir la grfica de dispersin de las pareja de valores X,Z

4o.- Determinar los valores de los parmetros de la lnea de mejor ajuste Z = m**X + b**.

Se denota m* * y b** los parmetros de la lnea de mejor ajuste para diferenciarlos de los

parmetros de la lnea de mejor ajuste para los datos originales X,Y.

5.- Determinar el coeficiente de Determinacin para los valores X,Z y aplicar el criterio de

aceptacin para aceptar o rechazar la relacin lineal entre Xy Z.

En el caso que el coeficiente satisfaga el criterio de aceptacin, esto indica que existe una

relacin lineal entre X y Z, bajo un cierto nivel de confianza. De tal forma que se puede decir

que Z =m**X + b** es una relacin vlida, por tanto, como Z = Y/X, se tiene:

Y/X = m**X+b** Despejando se tiene: Y = m** X2

+ b** X

La expresin anterior resulta ser la buscada ley fsica del tipo cuadrtica. En el caso contrario

de no satisfacer el criterio de aceptacin, es posible que no se haya utilizado la transformacin

correcta o que simplemente que los valores originales X, Y no presentan ninguna tendencia

que pueda tener un nivel de confianza aceptable y por lo tanto no es posible definir unarelacin que represente adecuadamente el comportamiento del fenmeno.

SEGUNDA RECOMENDACIN EN EL A NLISIS

Cuando ex iste duda sobre la linealidad entre los valores graficados, se recomienda hacer una

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anlisis adicional para determinar el valor del exponente de la variable independiente y

conocer si este es muy cercano a 1.0 (relacin lineal) o es ms cercano a 2.0 (relacin

cuadrtica).

ANLISIS ADICIONAL.Este anlisis consiste en aplicar el mtodo de la transformacin en ambas variables de la

forma siguiente:

W = Ln(x) , Z = Ln(Y)

Se espera que el coeficiente de determinacin para las variables transformadas (rW,Z) sea

mayor que el coeficiente de determinacin para las variables originales (rW,Z) y aumenta la

representatividad de la lnea de mejor ajuste de las variables transformadas, por tanto se

acepta la existencia de una relacin lineal entre las variables transformadas de la forma:

Z = m**W+b**

Pero se sabe que: W = Ln(X) y Z = Kn(Y), entonces se tiene:

Ln(Y) = m**Ln(X)+b**

Aplicando las propiedades de los logaritmos:

Ln(Y) = Ln(X)m** +b**

Si consideramos que : b * * =Ln(b)

Ln(Y) = Ln(X)m** + Ln(b) = Ln(bXm**)

Aplicando la exp onencial a ambos lados de la ecuacin, se tiene :

Esta ltima expresin muestra, con un nivel de confianza mayor, el tipo de relacin que existe

entre las variables originales, de tal forma que si el parmetros m** es muy cercano a 1.0,

entonces la relacin entre las variables es lineal, pero si m** es muy cercano a 2.0 entonces la

relacin entre las variables es del tipo Cuadrtica.

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