Podemos observar que: Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J Gráfica de la función inversa Las gráficas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M ´(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M´ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes. Las tangentes en M y M´ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1. Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f 1 − que cumple que: Si f(a) = b, entonces f 1 − (b) = a. El dominio de f 1 − es el recorrido de f . El recorrido de f 1 − es el dominio de f . Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa. Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad . ( f o f 1 − ) (x) = ( f 1 − o f ) ( x ) = x Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Hay que distinguir entre la función inversa , f 1 − (x), y la inversa de una función , . Cálculo de la función inversa 1 Se escribe la ecuación de la función con x e y. 2 Se despeja la variable x en función de la variable y. 3 Se intercambian las variables. Calcular la función inversa de:
Grfica de la funcin inversaLasgrficasque representanfygson
simtricas con relacin a la primera diagonal, es decir, la recta
:y=x. En efecto, esta simetra enva un punto cualquieraM(x,y) sobre
el puntoM(y,x).Mpertenece a la curva defsi y slo siM pertenece a la
deg, porque la primera condicin se escribey=f(x) y la segundax=g(y)
y son por definicin equivalentes. Podemos observar que: Ejemplo de
una funcin f y de su recproca g, donde los respectivos dominios de
definicin son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.Las tangentes enMyM
tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetra anterior, y
es la ilustracin geomtrica de la relacin ya vistag'(y)f'(x) = 1.Se
llamafuncin inversa o reciproca defa otra funcinf1que cumple que:
Si f(a) = b, entoncesf1(b) = a.
El dominio def1es el recorrido def.El recorrido def1es el
dominio def.Si queremos hallar el recorrido de una funcin tenemos
que hallar el dominio de su funcin inversa. Si
dosfuncionessoninversassucomposicines lafuncin identidad.(fof1) (x)
= (f1of) (x) = x Las grficas de f y f-1son simtricas respecto de la
bisectriz del primer y tercer cuadrante.Hay que distinguir entre
lafuncin inversa,f1(x), y lainversa de una funcin,.Clculo de la
funcin inversa1Se escribe la ecuacin de la funcin con x e y.2Se
despeja la variable x en funcin de la variable y.3Se intercambian
las variables.Calcular lafuncin inversade:
