funciones convexas

5/8/2018 funciones convexas - slidepdf.com

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Funciones Convexas

Una función ϕ definida sobre un intervalo abierto ( , se dice convexa si para

cada

)a b

, ( , ) x y a b∈ y cada λ , 0 1λ ≤ ≤ tenemos que

( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ). x y x yϕ λ λ λϕ λ ϕ + − ≤ + −

Si miramos el gráfico de ϕ en , esta condición puede ser formulada geométricamente,

diciendo que cada punto en la cuerda entre

2

, ( ) x xϕ ⟨ ⟩ y , ( ) y yϕ ⟨ ⟩ está arriba del gráfico

de ϕ . Una propiedad importante de las cuerdas de una función convexa está dada por el

siguiente lema, cuya demostración está dejada como ejercicio propuesto para el lector.

16. Lema: Si ϕ es convexa en ( , y si)a b x , y , ' x , son puntos de con' y ( , )a b

' ' x x y≤ < y ' x y y< ≤ , entonces la cuerda sobre ( ', ') x y tiene mayor pendiente que la

cuerda sobre ( , ) x y ; es decir,

( ) ( ) ( ') ( ')

' '

y x y x

y x y x

ϕ ϕ ϕ ϕ − −≤

− −.

Si las derivadas superiores e inferiores izquierdas y de una función D f − D f − f

son iguales y finitas en un punto x , decimos que f es diferenciable por la izquierda en

x y llamamos a este valor común la derivada izquierda en x . Similarmente, decimos que

f es diferenciable por la derecha en x si y son iguales ahí. Algunas de las

propiedades de continuidad y diferenciabilidad de funciones convexas están dadas por la

siguiente proposición.

D f + D f +

17. Proposición: Si ϕ es convexa en , entonces( , )a b ϕ es absolutamente

continua en cada subintervalo cerrado de . Las derivadas derechas e izquierdas de( , )a b

ϕ existen en cada punto de y son iguales excepto en un conjunto numerable. Las

derivadas derechas e izquierdas son funciones monótonas crecientes, y en cada punto la

derivada izquierda es menor o igual que la derivada derecha.

( , )a b

Demostración: Sea [ , . Entonces, por el Lema 16, tenemos] ( , )c d a b⊂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c a y x b d

c a y x b d

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − −≤ ≤− − −

para x , en [ , . Entonces | ( y ]c d ) ( ) | | | y x M x yϕ ϕ − ≤ − en [ , , y así ]c d ϕ es

absolutamente continua ahí.

Si 0 ( , ) x a b∈ , entonces 0[ ( ) ( )] / ( )0 x x x xϕ ϕ − − es una función creciente de x por

el Lema 16, y los límites cuando x tiende a 0 x por la derecha e izquierda existen y son



finitos. Entonces ϕ es diferenciable por la derecha y por la izquierda en cada punto, y la

derivada izquierda es menor o igual que la derivada derecha. Si0 0

x y< ,0

x y< , y

0 x y< , entonces

0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) x x y

x x y y

yϕ ϕ ϕ ϕ − −≤− − ,

y cualquiera de las dos derivadas en 0 x es menor o igual que cualquiera de las derivadas

en 0 y . Consecuentemente, cada derivada es monótona, y son iguales en un punto si una

de ellas es continua ahí. Como una función monótona sólo puede tener un número

numerable de discontinuidades, son iguales excepto en un conjunto numerable.

La siguiente proposición es un opuesto parcial a la anterior.

18. Proposición: Si ϕ es una función continua en y si una derivada

(digamos ) de

( , )a b

D+ϕ es no decreciente, entonces ϕ es convexa.

Demostración: Dado x , con y a x y b< < < , se define la función ψ en [0

como

,1]

( ) [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( )t ty t x t y t xψ ϕ ϕ = + − − − − ϕ .

Nuestra meta es mostrar que ψ es no positiva en [0 . Ahora,1] ψ es continua, y

(0) (1) 0ψ ψ = = . Además,

( ) ( ) ( D y x D yψ ϕ ϕ + += − − + ) xϕ ,

y entonces D ψ +es no decreciente en [0 .,1)

Sea γ un punto donde ψ alcanza su máximo en [0 . Si,1] 1γ = , entonces

( ) (1) 0t ψ ≤ = en [0 . Entonces supongamos que,1] [0,1)γ ∈ .ψ

Como ψ tiene un máximo local en γ , tenemos que ( ) 0 D ψ γ + ≤ . Sin embargo,

D ψ +era no decreciente, y entonces 0 D ψ + ≤ en [0, ]γ . Consecuentemente, ψ es no

creciente en [0, ]γ , y entonces ( ) (0) 0ψ γ ψ ≤ = . El máximo de ψ en [0 entonces es no

positivo, y

,1]

0ψ ≤ en [0 . ,1]

19. Corolario: Sea ϕ tal que tiene segunda derivada en cada punto de ( , .

Entonces

)a b

ϕ es convexa en si y sólo si( , )a b ( ) 0 xϕ ′′ ≥ para cada ( , ) x a b∈ .



Sea ϕ una función convexa en y( , )a b 0 ( , ) x a b∈ . La recta 0 0( ) ( ) y m x x xϕ = − +

que pasa por 0 0, ( ) x xϕ ⟨ ⟩ se llama una recta de apoyo en 0 x si siempre está debajo del

gráfico de ϕ , o sea si

0 0( ) ( ) ( ) x m x x xϕ ϕ ≥ − + .

Sigue del Lema 16 que tal recta es una recta de apoyo si y sólo si su pendiente está

entre las derivadas izquierdas y derechas en

m

0 x . Entonces, en particular, siempre hay por

lo menos una recta de apoyo en cada punto. Este concepto nos permite dar una

demostración corta para la siguiente proposición:

20. Proposición (Desigualdad de Jensen): Sea ϕ una función convexa en

, y( ,−∞ ∞) f una función integrable en [0 . Entonces ,1]

( ( )) ( ) f t dt f t dt ϕ ϕ ⎡ ⎤≥ ⎣ ⎦∫ ∫ .

Demostración: Sea ( ) f t dt α = ∫ , y sea ( ) ( y m x )α ϕ α = − + la ecuación de una

recta de apoyo en α . Entonces

( ( )) ( ( ) ) ( ) f t m f t ϕ α ϕ α ≥ − + .

Integrando los dos lados con respecto a nos da la proposición. t

Esta desigualdad tiene una interpretación geométrica que vale la pena mencionar.

Como el punto 1 (1 ) 2 x xλ λ + − es el centroide de masas λ y (1 )λ − en 1 x y 2 x , podemosdecir que una función es convexa si su valor en el centroide de una masa de dos puntos es

menor que el promedio ponderado de sus valores en los dos puntos. Las desigualdad de

Jensen es una generalización de este hecho: Si definimos una distribución de masa μ en

la recta, poniendo ( , ] { : ( ) }a b m t a f t bμ = < < , entonces ( ) f t dt ∫ es el centroide de esta

masa y ( ( )) ( ) f t dt x d ϕ ϕ =∫ ∫ μ es el promedio ponderado de ϕ .

Una aplicación importante de la desigualdad de Jensen se obtiene tomando para

nuestra función convexa ϕ la función definida por expexp x x e= . La desigualdad

entonces llega a ser una generalización de la desigualdad entre el promedio aritmético y

geométrico:

21. Corolario: Sea f una función integrable en [0 . Entonces ,1]

exp( ( )) exp ( ) f t dt f t dt ⎡ ⎤≥ ⎣ ⎦∫ ∫ .



Concluimos esta sección con dos definiciones más. Decimos que una función ϕ

es estrictamente convexa si

( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) x y x yϕ λ λ λϕ λ ϕ + − < + −

para todo , ( , ) x y a b∈ y para todo (0,1)λ ∈ .A veces decimos que una función ϕ es cóncava para decir que ϕ − es convexa.

Las únicas funciones que son convexas y cóncavas son las funciones lineales.

Si I es cualquier intervalo, abierto, cerrado, o una combinación de los dos,

decimos que ϕ es convexa en I si ϕ es continua en I y convexa en el interior.

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