Función matemática

Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una.

En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada

que cumple con las siguientes dos condiciones:

1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir,

2. Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si

Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento

con un (y sólo un) se denota .

Conceptos básicos

Para toda función podemos definir:

Dominio

El dominio de es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Es el conjunto de

todos los objetos que puede transformar, se denota o bien .

Recorrido o codominio

El recorrido o conjunto de llegada de es el conjunto y se denota

o bien

Rango

El rango de está formada por los valores que alcanza la misma. Es

el conjunto de todos los objetos transformados, se denota o bien

.

Preimagen

Una preimagen de un es algún tal que

Note que , y que algunos elementos del recorrido pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. En efecto, puede darse

que tal que

Representación de funciones

Las funciones se pueden representar de distintas maneras:

Como expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x), que permiten representar el comportamiento de la función a lo largo de todo su dominio.

Ejemplo: y=x+2. Como tabulación: tabla que permite representar algunos

valores discretos de la función.

Ejemplo: X| -2 -1 0 1 2 3 Y| 0 1 2 3 4 5

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)} Como proposición: una descripción por comprensión de lo que

hace la función.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

Como gráfica: permite visualizar tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5 X

4 X

3 X

2 X

1 X

0 X

y / x -2 -1 0 1 2 3

Funciones según tipo de aplicación

Dados dos conjuntos X, Y, y todas las posibles aplicaciones que pueden formarse entre estos dos conjuntos, se pueden diferenciar los siguientes casos:

Si a cada imagen le corresponde un único origen, inyectiva. Si la aplicación es sobre todo el conjunto final, sobreyectiva.

Además de estos dos casos característicos, una aplicación puede ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, que se denominan biyectiva, o ninguna de ellas en cuyo caso no tiene un nombre especifico.

Resumen

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva

BiyectivaNo sobreyectiva,

no inyectiva

Álgebra de las funciones

Composición de funciones

Dadas dos funciones f: A → B y g: B → C, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): A → C como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

Función identidad

Dado un conjunto , la función que asigna a cada de el mismo de se denomina función identidad o función unitaria.

Dada cualquier función , es claro que es igual

a y que es también igual a , puesto que para todo

y también

Función inversa

Dada una función , se denomina función inversa de ,

a la función que cumple la siguiente condición:

Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa

función es única. Eso justifica la notación , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición

necesaria y suficiente para la existencia de es que sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones

Existe función inversa de y es biyectiva

son lógicamente equivalentes.

El grupo de las funciones biyectivas

Considerando todas las funciones biyectivas , las conclusiones del apartado anterior pueden resumirse en:

1. Dadas tres funciones la operación de composición es asociativa:

2. tal que tenemos

3.

Estas tres condiciones determinan un grupo. El conjunto de las funciones biyectivas es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones y recibe el nombre de grupo simétrico de .

Funciones en Rn según su número de variables

Siempre es posible restringir tanto el dominio como la imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, es

completamente válido restringir al dominio de los números naturales, para que el conjunto imagen tome así los valores comprendidos en el intervalo [0,+∞).

Además, el dominio y la imagen pueden tener cualquier número de variables. Dicho número permite clasificar a las funciones como sigue:

Función escalar : Función del tipo Campo escalar : Función del tipo Función vectorial : Función del tipo Campo vectorial : Función del tipo

Funciones reales de variable real

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones , o funciones reales de variable real son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. A continuación se detallan algunas propiedades y definiciones de interés referidas a las funciones definidas o entre conjuntos de números ( ).

Funciones reales y funciones discretas

Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Funciones acotadas

Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente.

Por ejemplo, f("x")=|x| tiene por conjunto imagen , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

Funciones monótonas

1. La función f es estrictamente creciente en

2. f es estrictamente decreciente en

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

1. f es creciente en

2. f es decreciente en

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monotona.

Funciones periódicas

Una función es periódica si se cumple: donde es el período.

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple:

. Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.

Funciones cóncavas y convexas

Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones concava hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Funciones matemáticas

Funciones Elementales

Funciones polinómicas : Son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos). Ejemplo: 4.5x3 − x.

o Función constante : f(x)= ao Función lineal : f(x)= ax + b es un binomio del primer

gradoo Función cuadrática : F(x)= ax² + bx + c es un trinomio del

segundo grado. Ejemplo: 3x2 − 5x + 1

Función racional : Son funciones obtenidas al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula.

Ejemplo: Función raíz

Funciones trascendentales

Cualquier función que no se puede expresar como una solución de una ecuación polinómica se le llama función trascendental.

Función exponencial

Funciones exponenciales para a = e (rojo), a = 10 (verde) y a = 1,7 (violeta).

La función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática, que aparece además en muchas ecuaciones de la física. Esta función exponencial se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función son iguales al valor de la propia función (siendo la función exponencial la única función con esta propiedad). Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como:

Donde e es la base de los logaritmos naturales.

En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma

siendo números reales. Se observa en los gráficos que si a > 1 la curva será creciente.

Propiedades

Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama (función) exponencial la función definida sobre los reales por x →ex.

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.

La exponencial transforma una suma en una constante de la forma intrínseca del vertice de las siguientes ecuaciones:

Relación adición-multiplicación:

Sus límites en son

Inversa del logaritmo:

La tangente en x = 1, T1, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T0, pasa por el punto (-1, 0).

La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación:

.

Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo. Más generalmente:

Función logarítmica

Representación gráfica de logaritmos en varias bases:el rojo representa el logaritmo en base e,el verde corresponde a la base 10,y el púrpura al de la base 1,7.

Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos (b, 1) para la base b, debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.

En matemática, el logaritmo es una función matemática inversa de la función exponencial.

Introducción

Dado un número real (argumento), la función logaritmo asigna el exponente (o potencia) a la que un número fijo (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial x = bn, que permite obtener n. Esta función se escribe como: n = logb x. Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2. Por ejemplo:

El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en bn = x, puede encontrarse b con radicales, n con logaritmos y x con exponenciación.

Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e de un número.

Definición analítica

En la imagen se puede ver la representación gráfica del logaritmo neperiano, como también la representación de las rectas tangentes a la función en x = e (Te) y en x = 1 (T1).

Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas observaciones:

1. La derivada de la función es . Al dividir ambos lados de la expresión por "n" y observar el resultado, se

puede afirmar que una primitiva de es (con ).

2. Este cálculo obviamente no es válido cuando m = − 1, porque

no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia".

3. Sin embargo, la función es continua sobre el rango lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este

intervalo, y también sobre .

A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos convencionalmente como:

Propiedades

La función definida anteriormente es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva

Tiene límites infinitos en y en . La tangente Te que pasa por el punto de abscisa e de la curva,

pasa también por el origen. La tangente T1 que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva,

tiene como ecuación: y = x − 1.

La derivada de segundo orden es , siempre negativa., por lo tanto la función es cóncava, es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T1 y Te.

Uso de logaritmos

La función logb(x) = a está definida donde quiera que x es un número real positivo y b es un número real positivo diferente a 1. Véase identidades logarítmicas para diversas reglas relacionadas a las funciones logarítmicas. También es posible definir logaritmos para argumentos complejos.

Para enteros b y x, el número logb(x) es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o x tiene un factor primo que el otro no tiene.

Logaritmo natural

En análisis matemático se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de la función:

que toma el valor 1 cuando la variable x es igual a 1, es decir:

para x > 0.

También se llama así al logaritmo obtenido tomando como base el valor del número trascendental "e" (aproximadamente igual a 2,718 281 828...).

La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial:

.

Números reales

El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sin embargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos sólo puede hacerse introduciendo números complejos.

Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de logaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la más frecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.

Números complejos

El logaritmo natural de un número complejo z es otro número complejo b = ln(z) que sea solución de la ecuación:

(*)

Sin embargo trabajando con números complejos aparece una dificultad que no aparecía con los números reales positivos, y es que la ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de soluciones, aunque todas ellas son fáciles de encontrar. Dado un número complejo z escrito en forma polar una solución posible de la ecuación (*) es b0:

Puede comprobarse que esta no es la única solución, sino que para cualquier valor resulta que el número complejo bk, definido a continuación, también es solución:

De hecho cada valor particular de k define una superficie de Riemann.

Matrices

Una matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A:

A diferencia de la exponenciación de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre.

En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo esté definido para todos y cada uno de los autovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz está definido y es una matriz real. Para una matriz real, tal que el

logaritmo no está definido sobre el espectro o conjunto de autovalores entonces al igual que sucedía con los números reales negativos y los complejos aun así es posible definir una matriz logaritmo aunque esta no está definida unívocamente.

En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya que requiere encontrar la forma canónica de Jordan de la matriz.

Identidades logarítmicas

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

Logaritmo en base b (cambio de base)

Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):

en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como

, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución.

Logaritmo en base imaginaria

Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:

Dónde z es cualquier número complejo excepto 0.

Funciones trigonométricas

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Razones trigonométricas recíprocas

Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

y es igual al seno de x, la función inversa:

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

y es igual al coseno de x, la función inversa:

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

y es igual al tangente de x, la función inversa:

x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.