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Funções Crescentes e Funções Decrescentes
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Funções Crescentes e Funções Decrescentes
1.Funções crescentes e funções decrescentes
2.Pontos críticos e sua utilização
3.Uma aplicação: lucro, receita e custo
3
1. Funções crescentes e fun-ções decrescentes
Uma função é crescente se seu gráfico sobequando x se desloca para a direita, e édecrescente se seu gráfico desce quando x sedesloca para a direita. A definição a seguirconstitui um enunciado mais formal.
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1. Funções crescentes e fun-ções decrescentes
Definição de Função Crescente e FunçãoDecrescente
Uma função f é crescente em um intervalo se, paraqualquer x1 e x2 no intervalo,
x2 > x1 implica f(x2) > f(x1)
Uma função f é decrescente em um intervalo se,para qualquer x1 e x2 no intervalo,
x2 > x1 implica f(x2) < f(x1).
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1. Funções crescentes e fun-ções decrescentes
A função da figura a seguir é decrescenteno intervalo (-∞, a), constante no intervalo (a, b) ecrescente no intervalo (b, ∞). Na realidade, peladefinição de função crescente e funçãodecrescente, a função exibida na figura édecrescente no intervalo (-∞, a] e crescente nointervalo [b, ∞). No presente texto, entretanto,restringimos nosso estudo à determinação deintervalos abertos, nos quais a função é crescenteou decrescente em um intervalo.
Pode-se utilizar a derivada de uma funçãopara determinar se a função é crescente oudecrescente em um intervalo.
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1. Funções crescentes e fun-ções decrescentes
Teste para Funções Crescentes e FunçõesDecrescentes
1. Se f’ (x) >0 para todo x em (a, b), f é crescenteem (a, b).
2. Se f’ (x) < 0 para todo x em (a, b), f é decres-cente em (a, b).
3. Se f’ (x) = 0 para todo x em (a, b), f é constanteem (a, b).
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1. Funções crescentes e fun-ções decrescentes
Exemplo 1: Mostre que a função
é decrescente no intervalo aberto (-∞, 0) ecrescente no intervalo aberto (0, ∞).
A derivada de f é
2( )f x x=
'( ) 2f x x=
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1. Funções crescentes e fun-ções decrescentes
No intervalo aberto (-∞, 0), o fato de x sernegativo implica que f ’(x) = 2x é também negativa.Logo, pelo teste para uma função decrescente,podemos concluir que f é decrescente nesseintervalo. Analogamente, no intervalo (0, ∞), comox é positivo, também o é 2x. Logo, concluímos que fé crescente nesse intervalo, como pode serobservado na figura a seguir.
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1. Funções crescentes e fun-ções decrescentes
Exemplo 2: De 1970 a 1980, o consumo C de aves(em libras sem osso por pessoa por dia) admitecomo modelo
C = 33,5 + 0,074t 2, 0 ≤ t ≤ 20,
onde t = 0 corresponde a 1970. Mostre que oconsumo de aves cresceu de 1970 a 1980.
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1. Funções crescentes e fun-ções decrescentes
A derivada deste modelo é dC/dt = 0,148t.Para t positivo, a derivada é positiva. Portanto, afunção é crescente, o que implica que o consumo deaves aumentou de 1970 a 1980.
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
No Exemplo 1, foram dados dois intervalos –um em que a função era decrescente e um em queera crescente. Suponhamos agora que tivéssemosde determinar esses intervalos. Para isto,poderíamos ter levado em conta o fato de que,para uma função contínua, f ‘(x) só pode mudar desinal em valores de x para os quais f ‘(x) = 0 ou emvalores de x para os quais f ‘(x) não é definida,conforme mostra a figura a seguir. Esses doistipos de números são chamados pontos críticos def.
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
Definição de Ponto Crítico
Se f é definida em c, então c é um pontocrítico de f se f ’(c) = 0 ou se f ‘ não é definida em c.
Nota: Esta definição exige que o ponto crítico estejano domínio da função.
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
Diretrizes para Determinar os Intervalos deCrescimento e Decrescimento
1. Achar a derivada de f.
2. Determinar os pontos críticos de f e utilizá-lospara estabelecer os intervalos de teste; isto é,achar todos os valores de x para os quaisf ‘(x) = 0 ou f ‘(x) não é definida.
3. Testar o sinal de f ‘(x) para um valor arbitrárioem cada um dos intervalos de teste.
4. Utilizar o teste das funções crescentes oudecrescentes para decidir se é crescente oudecrescente em cada intervalo.
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
Exemplo 3: Ache os intervalos abertos em que afunção
é crescente ou decrescente.
3 23( )
2f x x x= −
20
2. Pontos críticos e sua utili-zação
Comecemos calculando a derivada de f. Emseguida, igualemos a derivada a zero e resolvamosa equação para achar os pontos críticos.
' 2
2
( ) 3 3 Diferenciando a função original
3 3 0 Igualando a zero a derivada
3( )( 1) 0 Fatorando
0, 1 Pontos críticos
f x x x
x x
x x
x x
= −− =− =
= =
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
Como não há valores de x para os quais f ‘
não seja definida, decorre que x = 0 e x = 1 são osúnicos pontos críticos. Assim, os intervalos quedevem ser testados são (-∞, 0), (0, 1) e (1, ∞). Atabela abaixo apresenta o resultado do testedesses três intervalos.
Intervalo (-∞∞∞∞, 0) (0, 1) (1, ∞∞∞∞)
Valor de teste x = -1 x = ½ x = 2
Sinal de f ‘(x) f ‘(-1) = 6 >>>> 0 f ‘(½) = -¾ <<<< 0 f ‘(2) = 6 >>>> 0
Conclusão Crescente Decrescente Crescente
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
A função do Exemplo 3 não somente écontínua em toda a reta real, mas tambémdiferenciável ali. Para tais funções, os únicospontos críticos são aqueles para os quais f ‘(x) = 0.O próximo exemplo considera uma função contínuaque tem ambos os tipos de ponto crítico – osnúmeros para os quais f ‘(x) = 0 e os que f ‘(x) não édefinida.
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
Exemplo 4: Determine os intervalos abertos emque a função
é crescente ou decrescente.
( )22 3( ) 4f x x= −
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
Comecemos achando a derivada da função.
Vemos que a derivada é zero quando x = 0 eque não é definida para x = ± 2. Assim, os pontoscríticos são
x = -2, x = 0 e x = 2. Pontos críticos
( )
( )
1' 2 3
12 3
2( ) 4 (2 ) Diferenciar
34
Simplificar3 4
f x x x
x
x
−= −
=−
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
Isto implica que os intervalos de teste são
(-∞, -2), (-2, 0), (0, 2) e (2, ∞) Intervalos de teste
A tabela abaixo resume os resultados doteste nesses quatro intervalos; a figura a seguirexibe o gráfico da função.
Intervalo (-∞∞∞∞, -2) (-2, 0) (0, 2) (2, ∞∞∞∞)
Valor de teste x = -3 x = -1 x = 1 x = 3
Sinal de f ‘(x) f ‘(-3) <<<< 0 f ‘(-1) >>>> 0 f ‘(1) <<<< 0 f ‘(3) >>>> 0
Conclusão Decrescente Crescente Decrescente Crescente
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
Nota: Na tabela anterior, não é necessário calcularf ‘(x) para os valores de teste – basta determinarseu sinal. Assim é que podemos determinar o sinalde f ‘(-3) como segue:
'13
4( 3)( 3)
3(9 4)
negativof negativo
positivo−− = = =−
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
As funções nos Exemplos 1 a 4 são contínuasem toda a reta real. Se há valores isolados de xpara os quais a função não seja contínua, taisvalores devem ser utilizados, juntamente com ospontos críticos, para determinar os intervalos deteste.
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
Por exemplo, a função
não é contínua quando x = 0. Como a derivada de f,
é zero quando x = ± 1, devemos tomar os seguintesvalores para determinar os intervalos de teste:
x = -1, x = 1 (Pontos críticos)
x = 0 (Descontinuidade)
4
2
1( )
xf x
x+=
4
3
2( 1)'( )
xf x
x−=
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
Intervalo (-∞∞∞∞, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, ∞∞∞∞)
Valor de teste x = -2 x = -½ x = ½ x = 2
Sinal de f ‘(x) f ‘(-2) <<<< 0 f ‘(-½) >>>> 0 f ‘(½) <<<< 0 f ‘(2) >>>> 0
Conclusão Decrescente Crescente Decrescente Crescente
Após testar f ‘(x), constatamos que a funçãoé decrescente nos intervalos (-∞, -1) e (0, 1), ecrescente nos intervalos (-1, 0) e (1, ∞), conformemostra a figura a seguir.
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
Exemplo 5: Mostre que a função f(x) = x3 – 3x2 +3x é crescente em toda a reta real.
Pela derivada de f,
f ‘(x) = 3x2 – 6x + 3 = 3(x – 1)2,
podemos ver que o único ponto crítico é x = 1.Assim, os intervalos de teste são (-∞, 1) e (1, ∞). Atabela a seguir resume o teste nesses doisintervalos. Pela figura a seguir, vemos que f écrescente em toda a reta real – mesmo quef ‘(1) = 0.
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2. Pontos críticos e sua utili-zação
Intervalo (-∞∞∞∞, 1) (1, ∞∞∞∞)
Valor de teste x = 0 x = 2
Sinal de f ‘(x) f ‘(0) = 3(0-1)2 >>>> 0 f ‘(2) = 3(2-1)2 >>>> 0
Conclusão Crescente Crescente
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3. Uma aplicação: lucro, recei-ta e custo
Exemplo 6: Um distribuidor nacional de brinquedosestabelece os seguintes modelos de custo ereceita para um de seus jogos.
C = 2,4x – 0,0002x2, 0 ≤ x ≤ 6.000
R = 7,2x – 0,001x2, 0 ≤ x ≤ 6.000
Determine o intervalo em que a função lucroé crescente.
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3. Uma aplicação: lucro, recei-ta e custo
O lucro na produção de x unidades é
P = R – C
= (7,2x – 0,001x2) – (2,4x – 0,0002x2)
= 4,8x – 0,0008x2.
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3. Uma aplicação: lucro, recei-ta e custo
Para achar o intervalo em que o lucro écrescente, façamos o lucro marginal P ’ igual a zeroe resolvamos em relação a x.
'
'
4,8 0,0016 Diferenciando a função lucro
4,8 0,0016 0 Fazendo P igual a 0.
0,0016 4,8 Subtraindo 4,8 de ambos os me
P x
x
x
= −− =− = − mbros
4,8 Dividindo ambos os membros por -0,0016
0,0016 3.000 unidades Simplificando
x
x
−=−
=