Funcţia logaritmică

Definiţie. Fie a∈R,a>0,a≠0 şi b∈R,b>0. Se numeşte logaritm al numărului real strict pozitiv b,

exponentul la care trebuie ridicat numărul a, numit bază, pentru a obţine numărul b.

Logaritmul numărului b în baza a se notează \mathbf{\log_{a}b} .

Proprietăţile logaritmilor

a^{\log_{a}b}=b

, identitatea logaritmică fundamentală;

\log_{a}b=\log_{a}c \Rightarrow b=c, (b,c>0);

\log_{a}a=1;

\log_{a}1=0;

\log_{a}a^{c}=c;\log_{a}\frac{1}{b}=-\log_{a}b;

\log_{a}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}\log_{a}b,\;\;(b>0,n\in\mathbf{N},n\geq2);

\log_{a}b\cdot\log_{b}a=1;

\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}b} , formula de schimbare a bazei logaritmului;

\log_{a}x\cdot y=\log_{a}x+\log_{a}y, x>0,y>0;

\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y, x>0,y>0;

Definiţie. Fie a∈R,a>0,a≠0.

Funcţía f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbf{R}, f(x)=\log_{a}x se numeşte funcţia logaritmică.

Graficul funcţiei logaritmice

Proprietăţile funcţiei logaritmice

1. f(1)=0,\;\forall x\in(0,+\infty) ;

2. Dacă a>0 funcţia logaritmică este strict crescătoare;

0<a<1 funcţia logaritmică este strict descrescătoare;

3. Dacă a>0, x<1, atunci f(x)<0 ;

a>0, x>1, atunci f(x)>0 ;

0<a<1, x<1, atunci f(x)>0 ;

0<a<1, x>1, atunci f(x)<0 ;

4. Funcţia logaritmică este bijectivă;

5. Funcţia logaritmică este inversabilă şi inversa ei este funcţia exponenţială.