FUNGSI ELEMENTER

28. FUNGSI EKSPONENESIAL

Sebelum mengetahui lebih lanjut ( bagian 13 ), disini kita definisikn fungsi

eksponensial ez dapat ditulis

( 1 ) ex=ex e iy ( z=x+iy )

Dimana rumus sebslumnya ( lihat bagian 6 )

( 2 ) e iy=cos y+i sin y

Dan gunakan y untuk mendapatkan radians. Dari sini didapat definisi bahwa ez mengurangi

ke fungsi eksponensial yang biasa dalam kalkulus dimana y=0; dan beberapa penjelasan di

kalkulus, sering ditulis exp z untuk ez.

Catatan bahwa pada saat suku ke – n positif akar n√e dari e adalah untuk menentukan

ez dimana x=1n

(n=2 ,3 , … ), pernyataan ( 1 ) menceritakan bahwa fungsi eksponensial

komplek ez adalah juga. n√e dimana x=1n

(n=2 ,3 , … ). Kecuali untuk penjelasan ( bagian 8 )

bahwa biasanya mengharuskan untuk menggantikan e1n seperti kumpulan dari suku ke – n

akar dari e.

Sesuai dengan definisi ( 1 ), ex e iy=ex+iy ; dan titik – titik keluar di bagian 13, definisi

ini mengingatkan dari penyebab sifat

ex1 e

x2=ex1+x2

ex adalah merupakan perluasan dari sifat di kalkulus,

( 3 ) z1=x1+ iy1 dan z2=x2+ iy2

Maka

ez 1ez 2=(ex1 eiy 1 ) ( ex2 eiy 2)=(e x1 ex2 ) (e iy1 eiy 2 )

Tetapi x1 dan x2 keduanya real, dan kita mengetahuinya dari bagian 7, bahwa

e iy1 e iy2=ei ( y1+ y2)

Dari sini

ez 1ez 2=e ( x1+x2) ei ( y1+ y2) ;

Dan didapat

( x1+x2)+ i ( y1+ y2 )=( x1+i y1)+ ( x1+iy 2 )=z1+ z2

The right – hand terakhir karena dari pernyataan ez 1+z 2 . sifat ( 3 ) tidak dapat di tegakkan.

Bagaimana melihat sifat ( 3 ) memungkinkan untuk menulis ez 1−z2 ez2=ez1 , atau

( 4 ) ez1

ez2=ez1−z2

Dari sini dinyatakan fakta bahwa e0=1 , ini mengikuti bahwa 1

ez=e− z

.

Ada suatu bilangan dari sifat sebelumnya bahwa ez yang diharapkan. Sesuai dengan

contoh 1 bagian 21, untuk contoh,

( 5 ) ddz

ez=ez

Masing – masing dimana pada bidang z. Catatan bahwa perbedaan dari ez untuk semua z

menceritakan bahwa ez adalah seluruhnya ( bagian 23 ). Itu benar juga bahwa

( 6 ) ez ≠ 0 untuk sembarang bilangan komplek z

Ini jelas ditulis pada definisi ( 1 ) di bentuk

ez=0 e i∅ dimana 0=ex dan ∅= y

Yang mana menceritakan bahwa

( 7 ) |ez|=ex dan arg (e z )= y+2 nπ (n=0 , ±1 , ± 2, . . . )

Pernyataan ( 6 ) maka mengikuti pengamatan dari bagian |ez| adalah selalu positif.

Sementara sifat dari ez ini, bagaimanapun, tidak diharapkan. Untuk contoh, dimisalkan

ez+2πi=ez e2 πi dan e2πi=1

Kita tentukan bahwa ez adalah berkala, dengan teory periode imajiner 2 πi :

( 8 ) ez+2πi=ez

Menurut contoh illustrasi lainnya sifat dari ez bahwa ex tidak mempunyai . yaitu , saat

ex tidak pernah negative, maka nilai dari ez ada.

Contoh. Nilai di z ada, dari contoh, tunjukkan bahwa

( 9 ) ez=−1

Untuk menentukan , kita tulis persamaan ( 9 ) ex e iy=1e iπ. Maka , pandanglah dari pernyataan

dalam yang bercetak miring diawal bagian 8 mengenai persamaan dua bilangan komplek

nonzero dalam bilangan eksponensial ,

ex=1 dan y=π+2 nπ (n=0 , ±1 , ± 2, . . . )

Jadi ¿0 , dan kita tentukan bahwa

( 10 ) z=(2 n+1 ) πi (n=0 , ±1 , ± 2, … ).

29. FUNGSI LOGARITMA

Alasan untuk definisi dari fungsi logaritma adalah dasar memecahkan persamaan

ew=z (1)

Untuk w , dimana z adalah bilangan kompleks tidak nol, dengan ini dicatat dimana z dan w

dapat ditulis z=r e iθ (−π<θ ≤ π ) dan w=u+iv , persamaan (1) menjadi :

eu eiv=r e iθ

Pada pernyataan Italy di bagian 8 memiliki persamaan pada dua bilangan kompleks yang tepat

pada bentuk eksponen :

eu=r dan v=θ+2nπ

Dimana n adalah integer, dari persamaan ru=r adalah sama pada u=ln r, itu mengikuti

persamaan (1) adalah sesuai jika hanya jika w bernilai 1.

w=lnr+ (θ+2nπ ) n=(0 , ±1 , ± 2, … )

Sehingga dapat ditulis

log z=lnr+ (θ+2 nπ ) n=(0 , ±1 , ± 2, … ) (2)

Memiliki hubungan sederhana,

e log z=z z≠ 0 (3)

Dengan alasan yang sesuai pada persamaan (2) pada definisi (multiple-value) fungsi logaritma

dari bilangan kompleks tidak nol z=r e iθ.

Contoh 1.

Jika z=−1−√3 i , makar=2 danθ=−2π3

oleh karena itu,

log (−1−√3 i )=ln 2+ i(−2 π3

+2nπ )

¿ ln 2+2(n−13 ) πi n=(0 , ±1 , ± 2, … )

Jika diperjelas lebih lanjut hal itu adalah tidak benar pada ruas kanan dari persamaan (3)

dengan urutan dari eksponen dan fungsi logaritma mereduksi z, sangat jelas dipersamaan (2)

bisa ditulis :

log z=ln|z|+ iarg z

Dari bagian 28

|ez|=ex dan arg (e z )= y+2nπ n=(0 , ±1 , ± 2, … )

Dimana z=x+iy diketahui bahwa

log ( ez ) ln|ez|+ iarg (ez )=ln ( ex)+ i ( y+2 nπ )= (x+iy )+2 nπi

[n=(0 , ±1 , ±2 , … ) ]

Lalu,

log ( ez )=z+2nπi n=(0 , ±1 , ± 2, … ) (4)

Dengan nilai utama dari log z adalah nilai yang diperoleh dari persaman (2) saat n=0

ada dan ditandai dengan log z. Sehingga

log z , lalu,log z= lnr+ iθ (5)

Dengan catatan log z terdefinisi dengan baik dan single – value (nilai tunggal) dimana z≠ 0

dan kemudian,

log z=log z+2 nπi n=(0 , ±1 , ± 2, … ) (6)

Hal ini mengulang kembali sifat logaritma pada kalkulus dimana z adalah bilangan real positif

z=r dapat dilihat ini satu – satunya yang ditulis z=r e iθ yang mana dari persamaan (5)

menjadi

log z=lnr , kemudian log r=ln r

Contoh 2.

Dari pernyataan (2), ditemukan

log 1=ln 1+ i (0+2nπ )

¿2 nπi n=(0 , ±1 , ± 2, … )

Yng mana, log 1=0

Pada contoh terakhir ini mengingatkan kembali, walaupun tidak digunakan untuk

menemukan logaritma bilangan real negative pada kalkulus, kita dapat menggunakannya saat

ini.

Contoh 3

Diamati bahwa,

log (−1 )=ln 1+ i ( π+2nπ )

¿ (2 n+1 ) πi n=(0 , ±1 , ± 2, … )

Dan

log (−1 )=πi

31. Beberapa Ciri-Ciri Logaritma

Seperti hubungan dari persamaan (3) dan (4) dari subbab 29, seperti pada Latihan 3,

4, dan 5 pada subbab 30, beberapa identitas dari logaritma pada kalkulus kepada analisis

komplek dan beberapa lainnya yang bukan. Pada bab ini, akan kita turunkan beberapa

diantaranya. Pada subbab 32 dapat mengacu kepada hasil yang dibutuhkan.

Jika z1 dan z2 merupakan sembarang nilai komplek yang tidak nol, secara tidak

langsung menunjukkan bahwa

log ( z1 z2 )=log z1+ log z2

Pernyataan ini meliputi sebuah fungsi perkalian nilai, dengan jalan yang sama dengan

menggunakan pernyataan

arg ( z1 z2 )=arg z1+arg z2

Pada subbab. 7. Jika dua nilai pada tiga logaritma yang spesifik, maka ada nilai ke-tiga

logaritma sedemikian sehingga persamaan (1) dapat dijadikan acuan.

Pembuktian dari persamaan (1) dapat menjadi dasar persamaan (2). Karena

|z1 z2|=|z1|∨z2∨¿ dan karena moduli adalah semua nilai real positif, kita ketahui sebelumnya

dengan logaritma pada nilai-nilai dalam kalkulus

ln|z1 z2|=ln|z1|+ln∨z2∨¿

Persamaan diatas mengikuti dari persamaan (2), sehingga diperoleh

ln|z1 z2|+i arg ( z1 z2 )=( ln|z1|+iarg z1 )+¿

Akhirnya, karena dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (3) seperti persamaan (1).

Contoh.

Gambarkan persamaan (1), tulis z1=z2=−1 dan catat bahwa z1 z2=1. jika nilai

lo g z1=πi dan log z2=−πi, persamaan (1) memenuhi ketika nilai log ( z1 z2 )=0.

Amati bahwa, untuk nilai yang sama z1 dan z2,

(1)

(2)

(3)

log ( z1 z2 )=0 dan log z1+ log z2=2 πi

Verifikasi persamaan

log( z1

z2)=log z1−log z2 ,

Yang ditunjukkan pada persamaan (1).

Meliputi dua kelengkapan lainnya untuk log z pada Subbab. 32. Jika z adalah nilai komplek

tidak nol, maka

zn=en log z(n=0 , ± 1 ,± 2 , …)

Untuk sembarang nilai log z. Ketika n=1, berkurang, tentu, hubungan (3), subbab. 29.

Persamaan (5) dapat ditulis z=r e iθ dan masing-masing sisi menjadi rn e inθ.

Hal ini juga berlaku ketika z≠ 0

z1/n=exp ( 1n

log z) (n=1 ,2 , …) .

Dan nilai akar ke-n pada z. kita tulis z=r exp (iΘ), dimana Θ adalah nilai principal untuk arg

z. maka

exp ( 1n

log z)=exp[ 1n

ln r+i(Θ+2kπ )

n ] ,Dimana k=0 , ±1 , ± 2,… maka

exp ( 1n

log z)=n√r exp[ i(Θn

+ 2kπn )] (k=0 , ±1 , ±2 ,…) .

Karena exp ( i 2 kπn

) diperoleh nilai berbeda ketika k=0 ,1 ,... , n−1, pada persamaan (7) hanya

nilai n. sebuah gambaran untuk akar ke-n pada z, dan dapat ditulis z1/n. Dibangunnya

kelengkapan persamaan (6), benar-benar sah ketika n adalah negative integer juga.

(4)

(5)

(6)

(7)

32. Eksponen kompleks

Ketika zc ≠ 0 dan eksponen c adalah beberapa bilangan kompleks, fungsi zcdigambarkan dengan persamaan

zc¿ec log z

Ketika log z dinotasikan hasil perkalian fungsi logaritma. Persamaan (1) melengkapi definisi yang bersesusaian darizc di dalam pengertian bahwa hal ini telah diketahui menjadi benar.

(lihat bagian 31) ketika c=n(n=0 , ±1 , ±2 , …) dan c=1n

(n=± 1 , ±2 , …) definisi (1) ada, pada

kenyataannya mengusulkan dengan keterangan pilihan c

Contoh 1 . kuasa z ada, secara umum,hasil kalil, sebagai ilustrasi dengan menulis

i−21=exp ¿

Dan

log i=ln1+i( π2+2 nπ )=i(2n+ 1

2 ) π (n=0 , ±1 , ± 2, …)

Ini menunjukkan bahwa

i−21=exp ( 4n+1 ) π (n=0 ,± 1 , ±2 , …)

Perhatiakn bahwa hasil dari adalah semua bilangan real. Karena fungsi eksponensialnya mempunyai sifat, sekali lagi kita dapat memperlihatkan bahwa

1

zc= 1

exp¿¿¿

Dan , dalm kenyataan ini bahwa 1

i2 i=i−2 i

berdasarkan persamaan (2) , kemudian

1

i2 i=exp ( 4n+1 ) π (n=0 ,± 1 , ±2 ,…)

Jika z=r e iθdan αadalah bilangan real, cabang

log z=lnr+ iθr>0 , α <θ<α+2π

Dari fungsi logaritma adalah hasil satu-satunya dan analitik di daerah asal ditunjukkan (bagian 30). Ketika cabang itu digunakan, hal ini manunjukkan bahwa fungsi z=exp ( c log z )adalah satu-satunya hasil dan analitik di beberapa daerah asal yang sama. Turunan seperti cabang dari zc didirikan dengann terlebih dahulu menggunakan aturan rantai untuk menuliskan

ddz

zc= ddz

exp ¿

Dan kemudian memanggil kembali (bagian 29) identitasz=exp ( log z ). Hasil iut mengakibatkan

ddz

zc= ddz

exp ¿

Atau

ddz

zc=czc−1(|z|>0 , α <arg z<α+2 π )

Hasil utama dari zc terjadi ketika diganti dengan log zpada definisi (1)

P .V . zc¿ec log z

Persamaan (5) juga dapat mendefinisikan cabang utama dari funngsi zc di daerah asal .

Contoh 2. Hasil utama dari (−i)iadalah

exp¿¿

Itu adalah

P .V .(−i)i=expπ2

Contoh 3. Cabang utama dari dapat ditulis

exp¿¿

Lalu

P .V . z23=

3√r2 cos23+ 3√r2

sin23

Fungsi ini adalah analitik di daerah asal r>0 ,−π<¿ π dapat dilihat secara langsung dari teorema di bagian 22.

Berdasarkan definisi (1) fungsi eksponensial dengan pusat c, dimana c adalah bilangan bukan non konstanta kompleks, ditulis

P .V . z23=

3√r2 cos23+ 3√r2

sin23

Harus diperhatikan bahwa meskipun ezada, secara umum hasil kali berdasarkan definsi (8),

penafsiran secara umum dariez terjadi ketika hasil utama dari logaritma taken. Untuk hasil utama dari kesatuan

Ketiak hasil dari log c zseluruh fungsi z pada kenyataannya

ddz

c z= ddz

e z logc ¿ez log c log c

Dan ini menunjukan bahwa

ddz

c z=c z log c

33. Fungsi Trigonometri

Persamaan (sec.6) menjelaskan bahwa

e ix=cos x+i sin x dan e−ix=cos x−isin x

Pada setiap bilangan rill x, dan diikuti dari pertanyaan bahwa

e ix−e−ix=2i sin x dan e ix+e−ix=2cos x

Sehingga,

sin x= e ix−e−ix

2 i dancos x= e ix+e−ix

2

Oleh karena itu, secara alamiah untuk menetapkan sinus itu dan fugsi cosinus dari suatu

variabel kompleks z seperti berikut :

(1) sin z= e iz−e−iz

2i , cos z= e iz−e−iz

2

Fungsi itu adalah keseluruhan saat menggabungkan garis-garis lurus (latihan 3, bagian.24)

dari keseluruhan fungsi eiz

dan e−iz

. Diketahui turunannya dari fugsi eksponensial itu,

ditemukan dari pertanyaan (1) bahwa

(2)

ddz

sin z=cos z ,

ddz

cos z=−sin z .

Itu adalah mudah dengan melihat dari defenisi (1) bahwa

(3) −sin(−z )=−sin z dan cos (−z )=cos z

Dan suatu variasi identitas yang lain dari trigonometri adalah benar pada variabel kompleks.

Contoh. Tunjukkan bahwa

(4) 2 sin z1 cos z2=sin ( z1+z2)+sin ( z1+z2) ,

Gunakan defenisi (1) dan baik dari fungsi ekspoesial, pertama ditulis

2 sin z1 cos z2=2( e iz1−e−iz 1

2 i)( eiz 2−e−iz2

2)

Kemudian dilakukan perkalian untuk menghilangkan di sebelah kanan

( ei( z 1+z 2)−e−i( z 1+z 2)

2 i+ ei( z 1−z 2)−e−i( z1−iz2 )

2 i

Atau

sin( z1+z2 )+sin( z1+z2 );

Dan identik (4) yang tidak bisa dipungkiri

Idetik (4) dipelajari pada identitas (lihat latihan 3 dan 4)

(5) sin( z1+z2 )=sin z1cos z2+cos z1sin z2 ,

(6) cos ( z1+z2)=cos z1cos z2−sin z1sin z2 ,

Dan dari persamaan diatas ditujukkan bahwa

(7) sin2 z+cos2 z=1 ,

(8)sin 2 z=2sin z cos z , cos2 z=cos2 z−sin2 z ,

(9) sin( z+ π

2)=cos z , sin( z− π

2)=−cos z .

Ketika y adalah suatu bilangan rill, pertama dapat digiakan defenisi (1) dan fungsi hiperbola

sinh y= e y−e− y

2 dan cosh y= e y−e− y

2

Pada kalkulus dituliskan

(10) sin( iy )=i sinh y dan cos ( iy )=cosh y

Merupakan rill dan bagian imajiner dari sin z dan cos z kemudian diperlihatkan dengan mudah

degan menulis z1=x dan z2=iy pada identitas (5) dan (6):

(11) sin z=sin x cosh y+i cos x sinh y ,

(12) cos z=cos xcosh y−i sin x sinh y ,

Dimana z=x+iy .

Suatu bilangan dibutuhkan benar dari sin z dan cos z dengan mendekati dari ekspresi (11) dan

(12).sifat berkala dari fungsi itu, sebagai contoh, adalah jelas :

(13) sin( z+2 π )=sin z , sin( z+π )=−sin z ,

(14) cos ( z+2 π )=cos z , cos ( z+π )=−cos z .

Juga (lihat latihan 9)

(15) |sin z|2=sin2 x+sinh2 y ,

(16) |cos z|2=cos2 x+sinh2 y

Karena sinh y tak terbatas, ini benar dari dua persamaan sin z dan cos z adalah tidak

berbatas pada bidang kompleks, di mana nilai mutlak dari sin x dan cos x adalah kecil atau

sama dengan semua nilai pada x.(lihat definisi dari batas pada akhir bagian 17).

Nilai nol pada sebuah fungsi f ( z )merupakan nilai dari z0 sedemikian sehingga

f ( z0 )=0.karen a sin z merupakan fungsi sinus biasa dalam kalkulus di mana z adalah real,

diketahui bahwa nilai real z=nπ (n=0 ,± 1 , ±2 ,…) semuaqnya bernilai nol pada sin z. Untuk

menunjukkan bahwa tidak ada nilai nol yang lain, diasumsikan bahwa sin z=0 dan caranya

mengikuti dari persamaan (15) bahwa

sin2 x+sinh2 y=0

Jadi,

sin x=0dan sinh y=0

Dengan jelas, dimana x=nπ (n=0 ,± 1 , ±2 , …) dan y=0, sehingga

(17) sin z=0 jika dan hanya jika z=nπ (n=0 ,± 1 , ±2 ,…)

Karena

cos z=−sin(z− π2 )

Berdasarkan identitas (9) yang ke 2

(18) cos z=0 jika dan hanya jika z=π2+nπ (n=0 ,± 1 , ±2 ,…)

Jadi, ini merupakan keadaan yang sebenarnya dengan sin z, nilai nol pada cos z

semuanya real.

Empat fungsi trigonometri lainnya menegaskan hubungan dari fungsi sinus dan

cosinus dengan hubungan-hubungan:

(19) tan z= sin zcos z

,cot z=¿ cos zsin z

¿

(20) sec z= 1cos z

, csc z= 1sin z

Selidiki bahwa persamaan tan z dan sec z adalah analitik di mana-mana kecuali pada

keistimewaan (bagian 23)

z=π2+nπ (n=0 ,± 1 , ±2 ,…)

Di mana nilai nol pada cos z. Demikian juga, cot z dan csc z mempunyai

keistimewaan pada nol dari sin z, yakni

z=nπ (n=0 , ±1 , ± 2 ,… )

Dengan menurunkan persamaan sebelah kanan (19) dan (20), didapatkan rumus

turunan

(21) ddz

tan z=sec2 z ,ddz

cot z=−csc 2 z

(22) ddz

sec z=sec z tan z ,ddz

csc z=−csc zcot z

Kadangkala tiap fungsi trigonometri ditegaskan dengan persamaan (19) dan (20) ikut

dijelaskan dari persamaan (13) dan (14). Untuk contoh:

(23) tan (z+π )=tan z

Pemetaan properties dari transformasi w=sin z adalah sangat penting untuk aplikasi

selanjutnya. Saat belajar memilih properties cukup dengan membaca bagian 89 (chap 8), di

mana pemetaan tersebut didiskusikan.

34. Fungsi Hiperboliks

Fungsi hiperbolik sinus dan hiperbolik kosinus dari suatu variabel kompleks didifinisikan

sebagai dengan suatu variabel riil ; yaitu

(1)sinh z= ez−e−z

2, cosh z= ez+e−z

2

Karena ez dan e− zadalah fungsi lengkap, berdasarkan dari definisi ( 1) sinh z dan cosh z

adalah fungsi lengkap. Sedemikian sehingga,

(2) ddz

=sinh z=cosh z ,ddz

cosh z=sinh z

Karena cara yang digunakan oleh fungsi eksponensial ada pada definisi ( 1) dan dari definisi

( Bagian 33), maka

sin z= e iz−e−iz

2 i, cos z= e iz+e−iz

2

Dari sin z dan cos z, fungsi hiperbolik sinus dan fungsi kosinus saling berhubungan dengan

fungsi trigonometri, sehingga

(3)

(4)

−i sinh (iz )=sin z , cosh ( iz )=cos z ,

−i sin (iz )=sinh z , cos (iz )=cosh z .

Beberapa dari persamaan yang sering digunakan yang selalu menyertakan fungsi

hiperbolik sinus dan fungsi kosinus yaitu

(5) sinh (−z )=−sinh z , cosh (−z )=cosh z ,

(6) cosh2 z−sinh2 z=1 ,

(7) sinh ( z1+z2)=sinh z1cosh z2+cosh z1 sinh z2 ,

(8) cosh ( z1+z2 )=cosh z1 cosh z2+sinh z1sinh z2 ,

dan

(9) sinh z=sinh x cos y+i cosh x sin y ,

(10) cosh z=cosh xcos y+i sinh x sin y ,

(11) |sinh z|2=sinh2 x+sin2 y ,

(12) |cosh z|2=sinh2 x+cos2 y ,

dimana z=x+iy. Ketika persamaan ini mengikuti secara langsung dari definisi ( 1), dengan

mudah diperoleh dari hubungan persamaan trigonometri, dengan bantuan dari persamaan (3)

dan (4).

contoh

Untuk menggambarkan cara dari pembuktian yang tepat, misalkan dengan menggunakan

persamaan (11). Berdasarkan persamaan (4), |sinh z|2=|sin ( iz )|2. Yaitu

(13) |sinh z|2=|sin (− y+ix )|2 ,

Dimana z=x+iy. Dari persamaan (15), pada bagian 33, kita ketahui bahwa

|sin ( x+iy )|2=sin2 x+sinh2 y ;

dan ini memungkinkan kita untuk menuliskan persamaan (13) ke dalam bentuk persamaan

(11).

Maksud dari sin z dan cos z , mengikuti hubungan persamaan (4) bahwa sinh z dan

cosh z adalah periodik dengan periode 2 πi. Persamaan (4) juga menyatakan bahwa

(14) sinh z=0 jika dan hanya jika z=nπi (n=0 ,± 1 , ±2 ,⋯ ) .

dan

(15)cosh z=0 jika dan hanya jika z=( π

2+nπ ) i (n=0 , ±1 , ±2 ,⋯ ) .

Fungsi hiperbolik tangen dari z didefinisikan oleh persamaan

(16) tanh z= sinh zcosh z

dan analitik di setiap daerah di mana cosh z≠ 0. Fungsi coth z , sech z , dan csch z adalah

kebalikan dari tanh z , cosh z , dan sinh z. Secara langsung mengikuti rumus turunan, yang

mana sama dengan yang ditetapkan pada Kalkulus dari fungsi yang bersesuaian dengan

variabel riil :

(17) ddz

tanh z=sech2 z ,ddz

coth z=−csch2 z ,

(18) ddz

sech z=−sech z tan z ,ddz

csch z=−csch z coth z .