BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Banyak sekali argumen-argumen yang valid, namun validasinya tak dapat kita

uji dengan hanya menggunakan metode yang telah di pelajari. Sebagai contoh, kita

tak dapat memeriksa validasi argumen berikut dengan bukti formal :

Semua kucing adalah hewan menyusui

Pupy adalah seekor kucing

Jadi Puppy adalah hewan menyusui

Validasi argumen yang demikian tergantung pada sturktur logis pernyataan

non majemuk tersebut dan pada makna yang terkandung di dalamnya. Untuk

menguji argumen yang demikian, kita harus mengembangkan suatu metode baru.

Premis kedua pada argumen diatas merupakan pernyatan tunggal (singular

proposisi). Pada pernyataan ini “Puppy” merupakan subyek, sedangkan “adalah

seekor kucing” merupakan predikat. Setiap pernyataan tunggal, masing-masing

bagiannya (subjek dan predikat) mempunyai tafsiran yang tergantung pada

hubungan antara satu bagian dengan bagian yang lainnya, misalnya bagaimana

subjek dijelaskan oleh predikatnya.

Dalam memberi simbol terhadap pernyataan tunggal, kita menggunakan huruf

kecil dari a sampai z, dan biasanya kita gunakan huruf pertama dari bagian

pernyataan yang sedang dibicarakan. Bagi ciri-ciri khusus penyataan itu sendiri

kita gunakan huruf kapital (huruf balok). Untuk argumen diatas, kita menyatakan

“Puppy “ dengan “P” sedangkan “seeokor kucing” dengan “K” dan hewan

menyusui” dengan “H”.

Untuk memberi simbol pada pernyataan tunggal, kita dapat memberi notasi

bagi predikatnya, dengan meletakkan simbol predikat ini di sebelah kiri

subyeknya.

Contoh 1 :

1. “Puppy adalah seekor kucing” dinotasikan dengan “Kp”.

2. “Puppy adalah hewan menyusui” dinotasikan dengan “Hp”.

3. “California adalah manusia” dinotasikan dengan “Mc”.

4. Misalkan “Aryanti” dilambangakan “a” , “Bram” dengan “b” dan “Chica”

dengan “c” , serta “manusia” dengan “M” . maka notasi untuk penyataan

tunggal berikut :

1

a) Aryanti adalah manusia.

b) Bram adalah manusia.

c) Chica adalah manusia.

Adalah :

a) Ma

b) Mb

c) Mc

Pada contoh ini ketiga pernyataan tunggal tersebut dilambangkan dengan dua

huruf, huruf pertama dengan “M” yang dinyatakan dengan “seorang manusia” dan

huruf kedua yakni “a” , “b” , dan “c” yang menyatakan siapa yang menjadi

manusia tesebut, yang berfungsi sebagai subjek dengan dijelaskan oleh predikat M

itu sendiri. Lambang umum untuk ketiga pernyataan tunggal ini dapat kita

nyatakan dengan ‘Mx” , dimana x adalah variabel individual yang dapat kita ganti

dengan konstanta individual. Ma, Mb, dan Mc pada contoh diatas adalah bentuk

khusus sebagai hasil sustitusi dari mx untuk x=a,x=b,x=c.

Pernyataan tunggal Ma, Mb, Mc dan sebagainya mempunyai nilai kebenaran

B (benar) atau S (salah), sedangkan “Mx” bukan pernyataan, sebab tidak benar dan

salah pun tidak. Ungkapan seperti “Hx” dinamakan fungsi proposisi” (dalam

buku ini untuk fungsi pernyataan digunakan istilah proposisi, sedangkan

pernyataan dan proposisi dianggap sama). Bentuk “Hx” akan menjadi

pernyataan jika variabel individualnya diganti dengan konstanta individual.

Suatu pernyataan tunggal dapat dianggap sebagai “substitucion instance” dari

fungsi proposisi yang diperoleh dengan cara mensubtitusikan konstanta individual

terhadap variabel-variabel individualnya dalam fungsi proposisi tersebut. Proses

untuk memperoleh sebuah pernyataan dari fungsi proposisi yang diperoleh dengan

cara mensubtitusikan sebuah konstanta individual pada variabel individualnya

dinamakan instatiasi (instantiation).

Kita dapat melakukan Instatiasi dari unkapan Hx, misalnya :

a) Aryanti adalah bukan manusia.

b) Bram adalah bukan manusia.

a) Chica adalah bukan manusia

Dengan simbul masing-masing : “ Ma , Mb ,Mc

2

B. Rumusan Masalah

1. Jelaskan Pengertian Kalimat Berkuantor ?

2. Jelaskan Kuantor Umum ?

3. Jelaskan Kuantor Khusus ?

4. Jelaskan Negasi Pernyataan Berkuantor ?

5. Kemukakan 4 (empat) Pernyataan dalam Logika Tradisional ?

6. Jelaskan Pernyataan yang mengandung Relasi?

7. Jelaskan Pembuktian Validitas Argumen Berkuantor ?

8. Jelaskan kekecualian pada aturan Inferensi ?

9. Jelaskan Pembuktian Invaliditas Argumen berkuantor ?

C. Tujuan Penulisan

1. Mahasiswa dapat mengetahui Pengertian Kalimat Berkuantor

2. Mahasiswa dapat mengetahui Kuantor Umum

3. Mahasiswa dapat mengetahui Kuantor Khusus

4. Mahasiswa dapat mengetahui Negasi Pernyataan Berkuantor

5. Mahasiswa dapat mengetahui 4 (empat) Pernyataan dalam Logika Tradisional

6. Mahasiswa dapat mengetahui Pernyataan yang mengandung Relasi

7. Mahasiswa dapat mengetahui Pembuktian Validitas Argumen Berkuantor

8. Mahasiswa dapat mengetahui kekecualian pada aturan Inferensi

9. Mahasiswa dapat mengetahui Pembuktian Invaliditas Argumen berkuantor

3

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. KALIMAT BERKUANTOR

Kalimat Berkuantor adalah kalimat yang memuat ekspresi kuantitas

obyek yang terlibat, misalnya : semua, ada, beberapa, tidak semua, dan lain-

lain.

2.2. KUANTOR UMUM

Pernyataan “Semua manusia adalah fana” dapat dinyatakan dengan

“untuk setiap obyek, obyek itu fana”

Kata “obyek itu” adalah sebagai ganti “obyek” sebelumnya kata ini

dinamakan variabel individual, yang dapat kita ganti dengan lambang “x” ,

sehingga kita peroleh :

“Untuk setiap x, x adalah fana”

Lebih singkat lagi sesuai dengan cara pemberian simul pada pernyataan

tunggal,, kita peroleh “

“Untuk setiap x, Mx”.

Ungkapan “Untuk setiap (semua) x” disebut Kuantor Universal atau Kuantor

Umum (Universal Quantifier), dan diberi simbul dengan “( x). Dengan simbul

baru ini kita dapat melengkapi simbulasi pernyataan umum pertama tadi

dengan notasi : ( x) Mx .

Notasi ( x) Mx, di baca “untuk setiap x, x mempunyai sifat “M”, atau

“untuk setiap x,berlaku Mx”. Akibat adanya Kuantor x, maka Mx menjadi

kalimat tertutup.

Contoh :

1. Misalkan Mx : x + 2 > 0, Maka M ( - ½ + 2 > 0 adalah pernyataan

benar (B).

2. Misalkan X adalah bilangan Real, maka ( x) [ x2 + 2 > 0 ] mempunyai

nilai kebenaran B (benar).

3. Misalkan X adalah bilangan Real, maka ( x) [ x2 + 2 = 0 ] mempunyai

nilai kebenaran salah (S).

4

2.3. KUANTOR KHUSUS

Seperti halnya dalam menyusun ungkapan pernyatan umum pada Kuantor

umum , kita dapat melakukan hal yang serupa untuk pernyataan “ sesuatu adalah

fana”, dengan “

Ada paling sedikit satu yang fana.

Ada sekurang-kurangnya satu yang fana.

Ada paling sedikit satu obyek, sedemikian rupa sehingga obyek itu adalah

fana.

Ada paling sdikit satu x, sedemikian sehingga x adalah fana.

Lebih singkat lagi , dapat di tulis :

Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga Mx.

Pernyataan “ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga” , atau “ada

sekurang-kurangnya satu x, sedemikian rupa sehingga “dinamakan “Kuantor

Khusus” atau “Kuantor Eksistensial (Existential Quantifier), dan diberi simbul “

( x) Mx.

Pernyataan “( x) Mx. Di baca : ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa

sehinnga Mx, atau beberapa x, sehingga berlaku Mx.

Contoh :

1. (x) [ x2 + 1 = 0], di baca “ada paling sedikit satu x, sehingga x2 + 2 = 1”,

nilai kebenaran pernyataan ini adalah (S)

contoh

2. (x) [2 x + 5 ≠ 2 + 2x], dibaca “ada paling sedikit satu x, sehingga

2 x + 5 ≠ 2 + 2x” , nilai kebenarannya adalah benar (B).

Kuantifikasi eksistensial dalam fungsi proposisi adalah benar jika dan hanya

jika sekurang-kurangnya satu subtitution instancenya benar. Jika ( x) Mx benar,

maka (x) Mx benar pula.

2.4. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR

Perhatikan 2 pernyataan di bawah ini :

1) Beberapa mahasiswa menganggap Kalkulus sukar.

2) Tak ada mahasiswa yang suka menyontek.

Pernyataan (1) merupakan negasi dari “semua mahasiswa tak menganggap

kalkulus sukar”, sedangkan pernyataan (2) merupakan negasi dari “beberapa

mahasiswa suka menyontek”.

5

Pada pernyataan-pernyataan diatas , yakni pernyataan (2) merupakan negasi

dari “beberapa mahasiswa suka menyontek”.

Pada pernyataan-pertanyaan diatas, pertanyaan (2), yakni “tak ada mahasiswa

yang suka menyontek” sama dengan “semua mahasiswa tak suka menyontek”. Ini

berarti pernyataan (2) sebenarnya masih mempunyai bentuk Kuantor ( x) Mx.

Dari uraian di atas dapat di simpulkan bahwa negasi Kuantor mempunyai

sifat-sifat berikut :

a) Negasi dari Kuantor Universal sebuah fungsi proposisi adalah logically

equivalent dengan kuantor universal dari negasi fungsi proposisinya.

b) Negasi dari Kuantor Eksistensial sebuah fungsi proposisi adalah logically

equivalent dengan kuantor universal dari negasi funsi proposisini

Dalam bentuk lambang, dapat kita nyatakan dengan :

c) ( x) Mx (x) Mx

d) (x) Mx ( x) Mx

Contoh

Tentukan negasi dari pernyataan berikut :dari pernyataan berikut :

1. Semua bilangan Cacah adalah bukan Bilangan Real.

2. Beberapa bilangan asli adalah bilangan Rasional.

3. Tak ada bilangan prima yang genap

4. Semua mahasiswa tak suka menganggur.

5. Tak ada guru yang senang jaipongan.

6. (x) (cos x0 + sin x0 = 1)

7. ( x) [ ( x + 1)2 = x2 + 2x + 1 ]

Jawab :

1. Beberapa bilangan Cacah adalah bukan bilangan Real.

2. Semua bilangan asli adalah bukan bilangan Rasional.

3. Beberapa bilangan prima ada yang genap.

4. Ada paling sedikit satu mahasiswa (seorang mahasiswa) yang suka

menganggur.

5. Beberapa guru ada yang suka jaipongan.

6. (x) (cos x0 + sin x0 ≠ 1)

7. (x) [ ( x + 1)2 ≠ x2 + 2x + 1 ]

6

2.5. EMPAT PERNYATAAN DALAM LOGIKA TRADISIONAL

Logika Tradisional menekankan 4 tipe pernyataan yang di ilustrasikan sebagai

berikut :

A : Semua ikan paus adalah hewan menyusui.

E : Tak ada ikan paus yang termasuk hewan menyusui.

I : Beberapa ikan paus adalah hewan menyusui .

O : Beberapa ikan paus tak termasuk hewan menyusui.

Pernyataan-pernyataan A, E, I, O berturut-turut di namakan “Affirmatif

Umum” (Universal Affirmatif), Negatif Umum” (Universal Negative), Affirmatif

Khusus” (Perticular Affirmative), dan “Negatif Khusus” (Perticular Negative).

a) Affirmatif Umum (Universal Affirmatif)

Perhatikan pernyataan di bawah ini :

A : Semua ikan paus adalah hewan menyusui.

“Untuk setiap (semua) obyek, jika obyek tersebut adalah ikan paus,

maka obyek tersebut adalah hewan menyusui”.

Kata “Obyek” dan “obyek tersebut” pada pernyataan diatas mewakili

sesuatu yang sama. Oleh karena itu dapat kita ganti dengan “x” sebagai

variabel, sehingga kita peroleh:

“Untuk setiap x, jika x adalah ikan paus, maka x adalah hewan menyusui”.

Dalam logika proposisi, pernyataan seperti seperti ini dapat ditulis

dengan :

“Untuk setiap x, x adalah ikan paus, maka x adalah hewan menyusui”.

Dapat dinotasikan : (x) (Hx Mx)

b) Negatif Umum” (Universal Negative)

Perhatikan pernyataan di bawah ini :

“Semua ikan paus, tak termasuk hewan menyusui”.

Dapat dinotasikan : (x) (Hx Mx)

c) Affirmatif Khusus” (Perticular Affirmative)

Perhatikan pernyataan berikut ini :

Beberapa ikan paus adalah hewan menyusui

Dapat dinyatakan dengan : “Paling sedikit ada satu obyek, sedemikian rupa

sehingga obyek tersebut adalah ikan paus dan termasuk hewan menyusui”.

Kata suatu obyek atau obyek ganti dengan variabel x :

7

“Paling sedikit ada satu x, sedemikian rupa sehingga x tersebut adalah ikan

paus dan termasuk hewan menyusui”.

Dapat dinotasikan dengan : (x) (Hx Mx)

d) Negatif Khusus” (Perticular Negative)

Perhatikan pernyataan berikut ini :

Beberapa ikan paus tak termasuk hewan menyusui

“Paling sedikit ada satu x, sedemikian rupa sehingga x tersebut adalah ikan

paus x tak termasuk hewan menyusui”. Dapat dinotasikan sebagai berikut

: (x) (Hx Mx).

2.6. PERNYATAAN YANG MENGANDUNG RELASI

Peryataan-pernyataan yang sanagt sulit untuk dinyatakan dengan bentuk

lambang secara tepat adalah pernyataan-pernyataan yang mengandung beberapa

relasi antara 2 obyek atau lebih.

Perhatikanlah pernyataan yang mengandung relasi tunggal berikut:

“Mahmud mencintai karlina”.

Atau

“Karlina mencintai Mahmud”.

Jika kita misalkan “a” sebagai lambing untuk “Mahmud”, “b” sebagai

lambing untuk “Karlina”, sedangkan “P” menyatakan relasi “mencintai”, maka kita

dapat membuat notasi untuk pernyataan diatas, yaitu Pab, dan yang mengandung

dengan Pba.

Beberapa pernyataan yang lebih rumit, perhatikan pernyataan-pernyataan yang

dinyatakan dengan:

(a) Mahmud mencintai semua gadis, da

(b) Semua gadis mencintai Mahmud.

Misalkan:

Qx : x adalah seorang gadis.

Maka pernyataan-pernyataan diatas dapat dilambnagkan dengan

(a) ( ∀x ) (Qx ∋ Pax), dan yang kedua dengan

(b) ( ∀x ) (Qx ∋ Pxa).

Catatan: jika penulisan x dan a tertukar, maka artinya akan berbeda pula.

Pernyataan-pernyataan yang jauh lebih rumit dan cara membuat lambangnya:

(a) Semua pria mencintai wanita;

(b) Semua wanita mencintai semua pria;

8

(c) Beberapa pria mencintai beberapa wanita;

(d) Beberapa wanita mencintai beberapa wanita.

Misalkan Rx : x adalah pria, dan Qy : y adalah wanita.

Maka kita dapat membuat lambing keempat pernyataan di atas sebagai berikut:

(a) ( ∀ x) ( ∀ y) [ (Rx ∩ Qy) ∋ (Pxy)];

(b) ( ∀ x) ( ∀ y) [ (Rx ∩ Qy) ∋ (Pyx)];

(c) ( ∃ x) (∃ y) (Rx ∩ Qy ∩ Pxy);

(d) ( ∃ x) (∃ y) (Rx ∩ Qy ∩ Pyx).

Ada pernyataan-pernyataan yang hamper mirip dengan pernyataan di atas, yakni:

(a) Semua pria mencintai beberapa wanita;

(b) Beberapa pria mencintai semua wanita.

Pernyataan (a) mengandung arti “paling sedikt ada seorang wanita, sedemikian

rupa sehingga setiap pria mencintainya”. Pernyataan ini dilambangkan dengan:

( ∃ x) [Qx ∩ ( ∀ y) (Ry ∋ Pyx)].

Namun pernyataan ini mengandung arti yang sama pula dengan “Semua pria

mencintai paling sedikit seorang gadis”, yang justru simbulnya:

( ∀ x) [Ry ∋ ( ∃ x) (Qx ∩ Pyx)].

Dengan cara yang sejenis, beberapa pria mencintai semua wanita” pada

pernyataan (b), mengandung arti yang sama dengan “Ada paling sedikit seorang pria

sedemikian rupa sehingga mencintai semua wanita”, yang simbulnya:

( ∃ y) [Ry ∩ ( ∀ x) (Qx ∋ Pyx)].

Pernyataan ini dapat pula ditafsirkan “Semua wanita adalah sedemikian rupa

sehingga beberapa pria mencintainya”, yang diberi lambang:

( ∀ x) [Qx ∋ ( ∃ y) (Ry ∩ Pyx)].

Tipe pernyataan yang mengandung arti ganda (ambiguity) ini sangat penting kita

ketahui, agar kita dapat membubuhkan kuantor pada sebuah pernyataan sekaligus.

Untuk memperjelas cara penulisan kuantor pernyataan biasa dan pernyataan yang

berelasi, perhatikan table dibawah ini:

No Bentuk pernyataan Notasi1.2.3.4.5.6.7.8.

Semua P adalah QSemua P dan Q atau RSemua P dan Q adalah R atau STak ada P yang merupakan QBeberapa P adalah QBeberapa P tak merupakan Qa berelasi dengan bb berelasi dengan a

(∀ x) (Px ∋ Qx)(∀ x) [Px ∋ (Qx ∪ Rx)](∀ x) [(Px ∩ Qx) ∋ (Rx ∪ Sx)](∀ x) (Px ∋ Qx)(∃ x) (Px ∩ Qx)(∃ x) (Px ∩ Qx)RabRba

9

9.10.11.12.13.14.15.

16.

a berelasi dengna semua PSemua P berelasi dengan semua QSemua P berelasi dengan aSemua Q berelasi dengan semua PBeberapa P berelasi dengan beberapa QBeberapa Q berelasi dengan beberapa PSemua P berelasi dengan beberapa Q

Beberapa P berelasi dengan semua Q

(∀ x) (Px ∋ Rax)(∀ x) (∀ y) [(Px ∩ Qy) ∋ Rxy](∀ x) (Px ∋ Rxa)(∀ x) (∀ y) [(Px ∩ Qy) ∋ Ryx](∃ x) (∃ y) (Px ∩ Qy ∩ Rxy)(∃ x) (∃ y) (Px ∩ Qy ∩ Ryx)(∀ x) [Px ∋ (∃ x) (Qy ∩ Rxy)]atau:(∃ y) [Qy ∩ (∀ x) (Px ∋Rxy)](∃ y) [Px ∩ (∀ y) (Qy ∋Rxy)]atau:(∀ x) [Qx ∋ (∃ y) (Py ∩ Rxy)]

2.7. PEMBUKTIAN VALIDITAS ARGUMEN BERKUANTOR

Untuk menyusun bukti langsung validitas sebuah argument yang mengandung

kuantor dan fungsi proposisi, kita memerlukan aturan tambahan yang baru, yaitu:

(1) Universal Instation (UI)

Kuantor Umum sebuah fungsi proposisi hanya benar jika dan hanya jika semua

substation instance fungsi proposisinya benar. Dapat menyatakan aturan ini dengan

notasi:

(∀ x ) Mx∴Ma

di mana a adalah lambing individual

Contoh:

Perhatikanlah bukti langsung pembuktian validitas argument berikut:

Semua kucing adalah hewan menyusui.

Puppy adalah seekor kucing.

Jadi, Puppy adalah hewan menyusui.

Pembuktiannya dapat dilakukan sebagai berikut:

1. ( ∀ x) (Kx ∋ Hx)2. Kp / ∴ Hp.3. Kp ∋ Hp 1, UI.4. Hp 3, 2, MP.

(Pada contoh ini dimisalkan Kx : x adalah seekor kucing dan Hx : x adalah hewan

menyusui, sedangkan “p” sebagai wakil dari Puppy).

(2) Universeral Generelitation (UG)

Dalam rumus (aturan) Universeral Generelitation (UG), kita dapat menarik

konklusi generalisasi secara umum. Dengan demikian, jika “a” sebagai lambing

individual, maka “Ma” yang benar akan mengakibatkan adanya Mx yang benar pula.

10

Dalam bentuk lambing, UG dinotasikan dengan:

Ma∴ (∀ x ) Mx

(a adalah lambing individual)

Contoh:

Perhatikanlah argument di bawah ini.

Semua mahasiswa Matematika adalah manusia.

Tak ada manusia yang hidup seribu tahun.

Jadi, tak ada manusia Matematika yang hidup seribu tahun.

Penyusunan bukti formalnya dapat dilakukan sebagai berikut:

Misalkan Ax : x adalah orang mahasiswa matematika,

Bx : x adalah manusia,

Cx : x hidup seribu tahun.

1. ( ∀ x) (Ax ∋ Bx) Pr.2. ( ∀ x) (Bx ∋ Cx) Pr./∴ ( ∀ x) (Ax ∋ Cx).3. Aa ∋ Ba 1, UI.4. Ba ∋ Ca 2, UI.5. Aa ∋ Ca 3, 4, HS.6. ( ∀ x) (Ax ∋ Cx) 5, UG.

(3) Existensial Generalization (EG)

Kuantor Eksistensial sebuah fungsi proposisi adalah jika dan hanya jika fungsi

proposisi tersebut mempunyai paling sedikit sebuah substitution instance yang benar.

Inferensi dari suatu substitution instance yang benar yang menghasilkan Kuantor

Eksistensial sebuah fungsi proposisi yang benar pula. Aturan ini dinamakan

Existensial Generalization (EG), dan ditulis dengan:

Ma∴ (∃ x ) Mx

( a adalah lambing individual)

Dari uraian di atas kita dapat menarik kesimpulan, bahwa sebuah hasil substitusi

yang benar mengakibatkan adanya subuah fungsi proposisi yang benar pula dengan

melewati proses Generalisasi Khusus.

Contoh:

Perhatikan sebuah argument di bawah ini.

Setiap bilangan prima adalah bilangan asli.

Jadi, jika 2 adalah bilangan prima, maka beberapa bilangan prima adalah bilangan

asli.

Misalkan: Px : x adalah bilangan prima;

11

Ax : x adalah bilangan asli;

dan “2” dilambangkan dengan “d”,

maka validitas argumen di atas dapat disusun sebagai berikut:

1. ( ∀ x) (Px ∋ Ax) Pr./∴ Pd ∋ ( ∃ x) (Px ∩ Ax).2. Pd /∴ ( ∃ x) (Px ∩ Ax) (CP).3. Pd ∋ Ad 1, UI.4. Ad 3, 2, MP.5. Pd ∩ Ad 2, 4, Conj.6. ( ∃ x) (Px ∩ Ax) 5, EG.

(4) Existential Instantiation (EI)

Pada sebuah Kuantor Eksistensial sebuah fungsi proposisi paling sedikit ada

sebuah substitusi tertentu yang dapat menggantikan variable “x” pada fungsi

proposisi tersebut, yang akan menghasilkan sebuah substitution instance. Aturan yang

digunakan di dalamnya yaitu:

(∃ x ) Mx∴My

(y adalah sebuah konstanta individual selain “a” yang tak pernah muncul dalam

pembuktian yang sedang kita lakukan).

Aturan ini dikenal dengan nama Existential Instantiation (EI).

Contoh:

Perhatikan argumen berikut:

Semua mahasiswa pemenang bea siswa adalah mahasiswa yang berprestasi.

Beberapa mahasiswa matematika adalah pemenang beasiswa.

Jadi, beberapa mahasiswa Matematika adalah mahasiswa yang berprestasi.

Dalam lambang, pembuktian argumen ini dapat disajikan seperti berikut:

1. ( ∀ x) (Px ∋ Bx) Pr2. ( ∃ x) (Mx ∩ Px) Pr./∴ ( ∃ x) (Mx ∩ Bx) 3. My ∩ Py 2, EI.4. Py ∋ By 1, UI.5. Py ∩ My 3, Comm.6. Py 5, Simp.7. By 4, 6, MP.8. My 3, Simp.9. My ∩ By 8, 7, Conj.10. ( ∃ x) (Mx ∩ Bx) 9, EI.

12

2.8. KEKECUALIAN PADA ATURAN INFERENSI

Ada syarat-syarat tertentu yang harus diperhatikan pada saat menggunakan aturan

kuantor eksistensial (EI). Perhatikan 2 pernyataan berikut :

Ada beberapa orang Babakan Ciparay yang pernah berenang di danau Saguling.

Ada beberapa orang Babakan Ciparay yang belum pernah berenang di danau

Saguling.

Misalkan pernyataan tersebut dinyatakan dengan lambang seperti di bawah ini :

1. (∃ x ¿(B x∧S x)

2. (∃ x )(B x∧∼S x)

3. Ba ∧ Sa 1, EI.

4. Ba ∧∼ Sa 2, EI.

5. Sa ∧ Ba 3, Comm.

6. Sa 5, Simp.

7. Ba ∧∼ Sa∧ Sa 4,6, Conj.

8. (∃ x )(B x∧∼S x∧S x ) 7, EG.

Konklusi pada baris kedelapan di atas jelas keliru, sebab dari premis-premis yang

benar yakni ”Ada beberapa orang Babakan Ciparay yang pernah berenang di danau

Saguling” dan ”Ada beberapa orang Babakan Ciparay yang belum pernah berenang di

danau Saguling” telah ditarik sebuah konklusi lanjutan yang keliru, yaitu sebuah

kontradiksi (∃ x )(B x∧∼S x∧S x ).

Kesalahan ini muncul karena menggunakan lambang ”a” bagi pernyataan

pertama dan sekaligus juga pada pernyataan kedua. Untuk menghindari inferensi

yang keliru seperti ini, pemberian lambang individual khusus harus digunakan jika

menggunakan aplikasi EI berturut-turut. Hal ini berarti perlunya menambahkan

sebuah lambang individual seperti ”y” yang tak pernah muncul sebelumnya, seperti

yang telah dinyatakan pada aturan EI.

Karena kekecualian ini tak berlaku bagi kuantor universal (UI), maka perlunya

menggunakan EI sebelum UI, jika penggunaan EI dan UI dilakukan secara bersama-

sama dalam penarikan validitas sebuah argumen.

Untuk mengetahui kekecualian selanjutnya perhatikan beberapa penarikan

kesimpulan seperti di bawah ini :

Beberapa fungsi kuadrat adalah fungsi yang kontinu pada selang (−∞ , ∞ ) .

Semua fungsi kuadrat yang grafiknya berbentuk parabola adalah kontinu pada

selang (−∞ , ∞ ) .

Jadi, tak ada fungsi kuadrat yang grafik fungsinya berbentuk parabola.

13

Argumen ini jelas merupakan argumen invalid.

Perhatikan pembuktian di bawah ini :

1. (∃ x ¿(F x∧K x ) Pr.

2. (∃ x ¿ (F x∧P x )⊃K x Pr./∴ (∀ x¿ (F x∧P x ).

3. Fa ∧∼ Ka 1, EI.

4. (Fa ∧Pa)⊃Ka 2, UI.

5. ∼ Ka∧ Fa 3, Comm.

6. ∼ Ka 5, Simp.

7. ∼ Ka ⊃∼(Fa∧Pa) 4, Trans.

8. ∼(Fa∧Pa) 6, 7, MP.

9. (∀ x¿ (F x∧P x ) 8, UG.

Ternyata diperoleh sebuah konklusi yang merupakan sebuah kontradiksi karena

terdapat kesalahan yakni menggunakan aturan UG dari baris (8) yang menghasilkan

baris (9), padahal baris (8) diperoleh dari baris-baris sebelumnya yang menggunakan

aturan EI.

2.9. PEMBUKTIAN INVALIDITAS ARGUMEN BERKUANTOR

Jika sebuah argumen tidak valid, maka tidaklah mungkin untuk membentuk

langkah pembuktian seperti pada argumen yang valid. Untuk membuktikan

invaliditas sebuah argumen, dikembangkanlah suatu metode khusus bagi pernyataan

berkuantor yang termasuk dalam sebuah argumen invalid.

Jika dalam fungsi proposisi berikut ada individu ”a”, maka :

(∀ x )F x dan (∃ x ) F x keduanya ekuivalen dengan Fa.

(∀ x ) (∃ y )(F x∧G y ) ekuivalen dengan Fa∧Ga.

(∃ x ) (∀ y ) (∃ z )[F x⊃ (G y∧H z )] ekuivalen dengan Fa ⊃ (Ga∧Ha ).

Jika 3 individu a, b dan c disubstitusikan pada fungsi proposisi Fx, maka :

(∀ x )F x ekuivalen dengan Fa ∧ Fb ∧ Fc.

(∃ x ) F x ekuivalen dengan Fa ∨ Fb ∨ Fc.

Prinsip ini dapat diperluas menjadi :

(∀ x )F x ekuivalen dengan F(1) ∧ F(2) ∧ … ∧F(n).

(∃ x ) F x ekuivalen dengan F(1) ∨ F(2) ∨ … ∨F(n).

Selanjutnya, (∀ x ) (∃ y )(F x∧G y ) mempunyai arti ”Bagi setiap x, maka ada

beberapa y, sedemikian rupa sehingga berlaku F x∧G y”. Jika 2 individu ”a” dan ”b”

disubstitusikan pada fungsi proposisi ini, maka diperoleh kesamaan

(∀ x ) (∃ y ) (F x∧G y )≡ (∃ y )(Fa∧G y)∧ (∃ y )(Fb∧G y)

14

≡¿

Sebuah argumen yang mengandung pernyataan berkuantor adalah invalid jika

dalam fungsi proposisinya ada paling sedikit satu individu sedemikian rupa sehingga

premisnya dapat dinyatakan dengan nilai kebenaran benar (B), sedangkan

konklusinya dengan kebenaran salah (S), maka akan muncul suatu hal yang

kontradiktif (suatu hal yang mustahil terjadi) jika argumen yang diperiksa

invaliditasnya merupakan argumen valid. Sebaliknya, jika argumen yang dibuktikan

merupakan argumen invalid maka tidak muncul hal-hal yang kontradiktif.

Untuk membuktikan invaliditas argumen yang memuat pernyataan berkuantor,

perhatikan argumen di bawah ini :

Semua fungsi kosinus termasuk fungsi yang dapat diturunkan.

Ada beberapa fungsi yang dapat diturunkan tapi tidak termasuk fungsi sinus.

Jadi, ada beberapa fungsi kosinus yang tidak termasuk fungsi sinus.

Argumen-argumen di atas dapat dinotasikan dengan :

(∀ x ) (K x⊃D x )

(∃ x ) (D x∧∼S x ) /∴ (∃ x ) (K x∧∼S x ) .

Jika disubstitusikan sebuah individu ”a”, maka akan diperoleh :

Ka ⊃ Da

Da ∧∼Sa /∴ Ka∧∼Sa.

Jika ditetapkan nilai kebenaran Ka dengan S, Da dan Sa dengan B maka akan

tercipta premis yang benar, serta konklusi yang salah. Ternyata dengan menciptakan

premis dan konklusi yang demikian, tidak mengakibatkan munculnya hal-hal yang

sifatnya kontradiktif. Hal ini berarti argumen yang dibuktikan merupakan argumen

invalid.

Agar memperoleh sebuah fungsi proposisi yang tepat dalam sebuah argumen

dengan pernyataan berkuantor, harus menguji dengan mensubstitusikan satu individu,

yang dilanjutkan dengan dua individu sehingga memunculkan hal-hal yang

kontradiktif, jika memang argumen tersebut valid. Sebaliknya, jika argumen yang

diperiksa tidak menampakkan hal tersebut, dapat disimpulkan bahwa argumen yang

dibuktikan adalah invalid.

15

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

1. Kalimat Berkuantor adalah kalimat yang memuat ekspresi kuantitas obyek

yang terlibat, misalnya : semua, ada, beberapa, tidak semua, dan lain-lain.

2. Kalimat berkuantor terbagi 2 macam, yaitu Kuantor Umum simbolnya ()

dan Kuantor Khusus simbolnya ().

3. Untuk menyusun bukti langsung validitas sebuah argument yang

mengandung kuantor dan fungsi proposisi, kita memerlukan aturan tambahan

yang baru, yaitu:

Universal Instation (UI)

Kuantor Umum sebuah fungsi proposisi hanya benar jika dan hanya

jika semua substation instance fungsi proposisinya benar. Dapat

menyatakan aturan ini dengan notasi:

(∀ x ) Mx∴Ma

di mana a adalah lambing individual

Universeral Generelitation (UG)

Dalam rumus (aturan) Universeral Generelitation (UG), kita dapat

menarik konklusi generalisasi secara umum. Dengan demikian, jika “a”

sebagai lambing individual, maka “Ma” yang benar akan mengakibatkan

adanya Mx yang benar pula.

Dalam bentuk lambing, UG dinotasikan dengan:

Ma∴ (∀ x ) Mx

(a adalah lambing individual)

Existensial Generalization (EG)

Kuantor Eksistensial sebuah fungsi proposisi adalah jika dan

hanya jika fungsi proposisi tersebut mempunyai paling sedikit sebuah

substitution instance yang benar. Inferensi dari suatu substitution instance

yang benar yang menghasilkan Kuantor Eksistensial sebuah fungsi

proposisi yang benar pula. Aturan ini dinamakan Existensial

Generalization (EG), dan ditulis dengan:

Ma∴ (∃ x ) Mx

( a adalah lambing individual)

16

Existential Instantiation (EI)

Pada sebuah Kuantor Eksistensial sebuah fungsi proposisi paling

sedikit ada sebuah substitusi tertentu yang dapat menggantikan variable

“x” pada fungsi proposisi tersebut, yang akan menghasilkan sebuah

substitution instance. Aturan yang digunakan di dalamnya yaitu:

(∃ x ) Mx∴My

(y adalah sebuah konstanta individual selain “a” yang tak pernah

muncul dalam pembuktian yang sedang kita lakukan).

B. SARAN – SARAN

Penulis menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini masih banyak

terdapat kekurangan, oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari

dosen pembimbing dan teman-teman.

17

DAFTAR PUSTAKA

Kusumah, Yaya S. Logika Matematika Elementer. Tarsito, Bandung. 1986.

Theresia M H. Tirta Seputro. 1992. Pengantar Dasar Matematika (Logika dan Teori

Himpunan). Jakarta : Erlannga.

18