UNIVERZITET U NOVOM SADU TEHNIKI FAKULTET "MIHAJLO PUPIN" ZRENJANIN

FUNKCIONISANJE FAZI SISTEMA- seminarski rad Nastavni predmet: MEKO RAUNARSTVO

Student: Tanja Radovanov Broj dosijea: 5/08M-23 Smer: Dipl. inenjer informatike

Zrenjanin, 2009. godina UNIVERZITET U NOVOM SADU TEHNIKI FAKULTET "MIHAJLO PUPIN" ZRENJANIN

FUNKCIONISANJE FAZI SISTEMA- seminarski rad Nastavni predmet: MEKO RAUNARSTVO

Mentor: Prof. dr Petar Hotomski

Student: Tanja Radovanov Broj dosijea: 5/08M-23 Smer: Dipl. inenjer informatike

2

Zrenjanin, 2009. godina

SADRAJ1. UVOD............................................................................................................................4 1.1 Istorijat fazi sistema.................................................................................................4 2. FAZI LOGIKA I FAZI ZAKLJUIVANJE.................................................................6 2.1 FAZI RAZMILJANJE..........................................................................................6 3. TEORIJA FAZI SKUPOVA.........................................................................................7 3.1 Fazi skupovi.............................................................................................................7 3.2 Oblici fazi funkcija pripadnosti.............................................................................10 3.3 Normalnost, konveksnost i broj elemenata fazi skupa..........................................12 3.4 Operacije na fazi skupovima.................................................................................12 3.5 Poreenje i osobine fazi skupova..........................................................................14 3.6 Princip razlaganja i princip proirenja...................................................................15 3.6.1 -presek..........................................................................................................15 3.6.2 Princip razlaganja...........................................................................................15 3.6.3 Fazi broj..........................................................................................................15 3.6.4 Princip proirenja............................................................................................16 4. LINGVISTIKE PROMENLJIVE.............................................................................17 4.1 Lingvistika vrednost i lingvistika promenljiva..................................................17 4.2 Operatori modifikacije i lingvistiki modifikatori.................................................17 4.3 Fazi propozicija.....................................................................................................21 5. FAZI RELACIJA........................................................................................................22 6. FAZI ZAKLJUIVANJE............................................................................................23 6.1 Fazi zakljuivanje bazirano na fazi relaciji...........................................................23 6.2 Zakljuivanje metodom odsecanja........................................................................23 6.3 Defazifikacija.........................................................................................................24 6. IZRADA FAZI KONTROLERA................................................................................25 6.1 Fazi upravljanje ....................................................................................................26 6.2 Projektovanje fazi kontrolera ................................................................................27 6.3 Primer izrade fazi kontrolera - obrnuto klatno......................................................29 6.4 Fazi algoritam........................................................................................................30 7. PRIMENA FAZI SISTEMA.......................................................................................32 7.1 Upravljanje industrijskim procesima.....................................................................32 7.2 Primena fazi tehnologije u kunim aparatima ......................................................35 7.3 Baze podataka i inteligentno pretraivanje ...........................................................40 7.4 Primene u medicini ...............................................................................................40 8. ZAKLJUAK..............................................................................................................41 9. LITERATURA............................................................................................................42

3

"Mi moramo da koristimo nau toleranciju za nepreciznost." [] Lotfi Zadeh, zaetnik teorije fuzzy skupova, 1973. "Preciznost nije istina." [] "The future looks fuzzy." [] Henri Matisse, slikar Newsweek, May 28, 1990.

1. UVODFazi sistemi nalaze sve veu primenu u velikom broju naunih aplikacija i inenjerskih sistema. Svedoci smo naglog porasta upotrebe fazi logike u veoma raznovrsnim komercijalnim aplikacijama i industrijskim sistemima. Neki primeri kao to su ve maine, klima ureaji, usisivai, navigacioni ureaji, kao i mnogi drugi dokazuju veliku rasprostranjenost i primenu ove tehnike. Fazi tehnologija je nala i primenu u informacionim tehnologijama i ekspertskim sistemima, gde se koristi kao podrka pri odluivanju. Iako neki poistoveuju fazi logiku i verovatnosu, fazi logika operie sa deterministikim nedoreenostima i neodreenostima, dok se verovatnoa bavi verodostojnou stohastikih dogaaja i iza nje sutinski stoji eksperiment. Fazi logika ima za cilj da prevae probleme u komunikaciji vezane za razlike izmeu pravila koja nameu formalne teorije i naina razmiljanja koji opisuju ponaanje ljudskog uma, dok se verovatnoa generalno bavi fenomenom ponavljanja koji se simbolizuje sluajnou (sluajnim promenjivama i sluajnim procesima). Fazi i sluajni su dva atributa koji se razlikuju u svojoj prirodi, odnosno, oni opisuju drugaiji aspekt neodreenosti. Fazi logika pokriva subjektivnost ljudskog miljenja, oseanja, jezika, dok verovatnoa pokriva objektivnu statistiku u prirodnim naukama. Jedna od najvanijih osobina fazi logike jeste njena mogunost da izrazi stepen neodreenosti u ovekovom razmiljanju i njegovu subjektivnost. Otuda su najei sluajevi kada se posee za primenom fazi logike upravo oni sluajevi koji su okarakterisani nepostojanjem matematikog modela ili postojanjem modela koji je isuvie komplikovan za baratanje u realnom vremenu ili je komplikacija vezana za njegovo odreivanje. Tako je fazi logika nala primenu u teoriji upravljanja, prepoznavanju oblika, kvantitativnoj analizi, ekspertskim sistemima za dijagnostiku, planiranje i predikciju, informacionim sistemima itd. [] 1.1 Istorijat fazi sistema Fazi pogled na svet je u suprotnosti sa klasinom logikom, koja se oslanja na Aristotelovu binarnu logiku i njegov princip iskljuenja treeg. Retko kada se moe doneti odluka koja je potpuno ispravna ili ne. Aristotel je bio Platonov najbolji ucenik.

4

Aristotelovo delo predstavlja jedan od temelja zapadne civilizacije. U svojoj "Metafizici", Aristotel brani princip nekontradikcije i zakon iskljuenja treeg. Profesor Kosko Bart, sa Univerziteta u Junoj Kaliforniji, kae da je svet siv. Fazi razmiljanje vodi u pravcu uvaavanja "nijansi sivog", uzimajui u obzir da je u prirodi sve pitanje stepena istinitosti. Fazi sistemi su predloeni od poljskog naunika Lukaevia 1920. godine. Lukaevi je izuavao matematiki prikaz "fuzzy" pojmova (visok, star, topao...). Njegovo prouavanje je proisteklo iz tumaenja da su svi iskazi proistekli sa dve vrednosti [0,1], sluei se Aristotelovom logikom: tano ili netano (true or false). Lukaevi je proirio sistem logike, proirujui oblast tanih vjednosti za sve realne brojeve u intervalu 0 i 1. Koristei brojeve iz ovog intervala, u predstavljanju verovatnoe, da li je razmatrani izraz taan ili netaan. [] Maks Blek je 1937. godine objavio rad pod naslovom Nejasnost: Jedino vebanje iz logike analize u kome je prvi put definisano neto to nazivamo funkcijama pripadnosti. Po tradiciji, Maks Blek je koristio termin nejasnost, koji su pre njega koristili arls Pirs i Bertran Rasel. Blek je prvi koji je predloio simbole, notaciju, i predstavljanje nejasnosti i logike sa vie vrednosti, i u tome je njegov veliki znaaj. Profesor Lotfij Zadeh, sa Univerziteta u Berkliju, je "fuzzy" pojam uveo u svet nauke i tehnologije 1965. godine radom "Fazi skupovi". Ovaj rad je objavljen u prestinom asopisu Informacione nauke. Strunjak u oblasti upravljanja, profesor Zadeh je predloio kako da se sa veoma sloenim problemima izborimo. Njegovo miljenje je da umesto to idemo ka veoj preciznosti opisa i razmiljanja o pojavama, krenemo upravo ka suprotnom smeru i dozvolimo da oni budu neprecizni. Najznaajniji dogaaji iz burne istorije fazi skupova su: poetak izuavanja fazi logike u Japanu 1972. godine; razvoj prvog industrijskog fazi kontrolera od strane Mamdanija u Londonu 1974. godine, kao i prva praktina realizacija fazi kontrolera za upravljanje proizvodnjom cementa 1980. godine od strane danske kompanije F. L. Smidth. Osamdesetih godina dolo je do praktinih prodora. Poelo je istraivanje u oblasti fazi hardvera (profesor Jamakava u Japanu) i drugih oblasti, naroito na japanskim univerzitetima i u kompanijama. Pionirima fazi istraivanja u Japanu smatraju se profesor Kjodi Asai sa Univerziteta za telekomunikacije u Osaki i profesor Toiro Terano sa Tokijskog instituta za tehnologiju. Godine 1985. formirano je Meunarodno drutvo za fazi sisteme. Godine 1990. na tritu se pojavilo mnogo proizvoda sa oznakom fai to je ujedno bio poetak jo jednog, veeg fazi buma. 1992. ve je svaka domaica znala za faiureaji za kuvanje pirina ve koriste fazi logiku. Radi se intenzivno i na adaptivnim fazi sistemima, naroito klasi adaptivnih fazi neuro sistema. Danas su fazi tehnologije zastupljene u celom svetu, ali naroito u visoko industrijalizovanim zemljama: SAD, Kanadi, Nemakoj, Francuskoj, Japanu i Junoj Koreji. U Kini se puno rade teorijska istraivanja, naroito fazi matematika. U Evropi postoji niz centara i sjajnih istraivaa, a na Balkanu deluje Balkanska asocijacija za

5

fazi teoriju. U naoj zemlji je 1997. osnovano Drutvo za meko raunarstvo i inteligentne sisteme SOCOIS.

2. FAZI LOGIKA I FAZI ZAKLJUIVANJE2.1 FAZI RAZMILJANJE Re fazi je engleskog porekla (fuzzy) i oznaava nejasan, neodreen, neprecizan, rasplinut pojam. Profesor Zadeh sa univerziteta u Berkliju 1965.god. prvi put definie ovaj pojam u radu "Fazi skupovi". Predlog je bio da se pri reavanju problema omogui da pojave budu neodreene i definisano je pravilo nekompatibilnosti: to se blie posmatra realni problem, njegovo reenje postaje sve vie fazi. [] Karakteristike fazi pristupa su: nepreciznost - sloena pojava se iskazuje samo u optem stanju i pri tome se koriste neodreeni iskazi; postepenost - neto je prisutno u izvesnoj meri, neka osobina je prisutna u izvesnom stepenu; subjektivnost - ekspertsko znanje oveka i njegovo umee se predstavlja i obrauje u raunaru u skladu sa individualnim izraavanjem ljudi. Fazi pogled na svet je u suprotnosti sa klasinom logikom koja se oslanja na Aristotelovu binarnu logiku i njegov pristup iskljuenja treeg (P i ne-P mogu da vae istovremeno). Nebo je plavo ili nije, rezervoar je pun ili prazan, ovek je srean ili nije. Profesor Bart Kosko, sa Univerziteta u Junoj Kaliforniji, kae da je svet siv, ali je u nauci sve crno ili belo. Fazi razmiljanje vodi u pravcu uvaavanja nijansi sivog, uzimajui u obzir da je u prirodi sve pitanje istinitosti. [] Mnogi pojmovi koji se koriste teko je definisati: duhovita osoba, lepa devojka, visok momak. Tanost ovih iskaza je veoma relativna jer nemaju svi ljudi isti ukus. Fazi dozvoljava da suprotnosti istovremeno postoje sa razliitim stepenom istinitosti. U prilog fazi logici govori i Aristotelov silogizam kojim se donose zakljuci samo u sluajevima stroge odreenosti pojmova, inae je neprimenljiv. Poznati Aristotelov silogizam Svaki Grk je ovek. Svaki ovek je smrtan, zakljuak je Svaki Grk je smrtan. Ne moe pomoi pri odluivanju ako su pojmovi opisani neprecizno. Ako vae pretpostavke Ako je rezervoar automobila prazan, automobil e stati. Rezervoar je skoro prazan, izvodimo zakljuak Automobil e skoro stati.

6

Jasno je da na osnovu Aristotelovog silogizma ovakvi brojni realni problemi ne mogu biti reeni jer taj silogizam koristi jasno odreene kategorije. Fazi razmiljanje omoguava veliku fleksibilnost, korienje lingvistikih promenljivih (veoma, vrlo, mnogo...) i zbog toga je blie ljudskoj logici. U istoriji nauke postoje brojni primeri koji potrvuju da pojam fazija nije nov i da su ljudi oduvek pokuavali da fazi razmiljanjem dou do odgovora na brojna pitanja iz realnog ivota. Kada je u svojoj Akademiji Platon definisao oveka kao dvonoca bez perja, jedan od njegovih studenata je sledeeg dana na predavanja doneo oupanu kokoku. [] Zen je sa gomile peska uzeo jedno zrno i postavio pitanje da li je jo uvek ostala gomila peska. Uzimajui vie zrna peska inilo se da istovremeno i ima i nema gomilu peska, i P i ne P su ipak postojali. Laljivac sa Krita je rekao da svi Kriani lau i pitao je da li on lae. Ako je lagao, onda ne lae. Ako nije lagao, onda sad lae. Izgleda da istovremeno i lae i ne lae. Hajzenberg je pokazao fiziarima da nisu sve tvrdnje tane ili netane postavljajui princip neodreenosti. Svi navedeni pradoksi ukazuju da Aristotelov princip iskljuenja treeg ne funkcionie najbolje u realnom svetu. [] Paradoksi predstavljaju nereivi problem u klasinoj logici u kojoj je sve ili tano ili netano, u kojoj su strogo odvojene suprotnosti, bez postepenog prelaza od tanog ka netanom. Fazi logika, potujui postepenost i pripadnot skupu u nekom stepenu, reava ove paradokse. U fazi logici stvari istovremeno mogu biti i tane i netane, pa je reenje paradoksa tano u sredini izmeu dve krajnosti tu je tvrenje podjednako i tano i netano. Sama filozofija fazija nije nova ali je poslednjih decenija nain fazi razmiljanja dobio na znaaju i podrci a fazi postepeno postaje nova matematika disciplina. Dananji stepen ostvarenih naunih saznanja, kao i savremene informatike tehnologije, sigurno su bili plodno tlo da ideja fazija ponovo postane atraktivna za reavanje slabo struktuiranih problema kakvi su obino realni ivotni problemi. Fazi razmiljanje potie sa Istoka, a zapadna filozofija jo uvek nije spremna da prihvati fazi razmiljanje koje se temelji na istonjakoj filozofiji. Fazi, pre svega u Japanu, doprineo je velikom napretku u konstruisanju inteligentnih maina. Fazi razmiljanje pomae prosperitet i daje nov pristup problemima, omoguava sagledavanje pojava iz nekog potpuno novog ugla i otvara vrata novom pogledu na svet. Albert Ajntajn o klasinim naunim zakonima kae: Dokle god matematiki zakoni tee realnoti, oni nisu pouzdani. I dokle god nisu pouzdani, oni ne oslikavaju realnost. Za reavanje nekih problema neophodno je opisivati pojave na novi kvalitativan nain, upotrebom rei prirodnog jezika. Ovakav pristup je mogue ostvariti u raunaru korienjem novih fazi tehnologija koje omoguavaju da se uspostavi veza izmeu numerikog naina predstavljanja u raunaru i kvalitativnog naina izraavanja koji koristi ovek. Fazi tehnologija nije samo nova tehnologija, ve i nov pristup problemima koji omoguava kvalitativno razmiljanje koje koristi ovek. []

3. TEORIJA FAZI SKUPOVA3.1 Fazi skupovi

7

Da bi uspeno predstavili i sistematki obradili nepreciznost i postepenost, naroito pomou raunara, potrebno je da razvijemo metode za to. Fazi skup je osnovni elemenat za predstavljanje i obradu nepreciznosti u fazi tehnologijama. Fazi skup predstavlja skup elemenata sa slinim svojstvima. Klasian, diskretan skup je skup elemenata sa istim svojstvima (skup mukaraca, skup crnih figura na ahovskoj tabli ili skup igraa jednog fudbalskog tima). Svaki elemenat diskretnog skupa pripada tom skupu 100%. Na skali, od 0 do 1, kaemo da svaki element diskretnog skupa pripada tom skupu sa stepenom 1. Fazi skup je skup elemenata sa slinim svojstvima. Fazi skup visokih mukaraca, fazi skup koji oznaava visoke prihode, fazi skup koji opisuje pun rezervoar, fazi skup stolica ili fazi skup automobila. Dok u diskretnom skupu svaki element pripada tom skupu sa stepenom pripadnosti 1, u fazi skupu svaki element pripada tom skupu u izvesnom stepenu. []

Slika 3.1.1 Primer klasinog u odnosu na fuzzy skup

Primer fazi skupa je fazi skup visokih mukaraca koji sadri mukarce visoke 205 cm a i mukarce visoke 185 cm. Mukarci visoki 205 cm su vii od mukaraca visokih 185 cm pa je njihov stepen pripadnosti fazi skupu visokih mukaraca vei. Kada se od 180 cm visina poveava ka 220 cm, stepen pripadnosti fazi skupu visokih mukaraca se poveava od 0 do 1. []

Slika 3.1.2 Fazi funkcija pripadnosti koja opisuje fazi skup i pojam PUN REZERVOAR

Na slici 3.1.1 vidi se fazi funkcija pripadnosti koja opisuje pun rezervoar. Na primer, rezervoar sa 15 litara benzina kome je ukupan kapacitet 30 litara je napunjen 50%, ili dopola pun.

8

Na slici 3.1.2, pojam prazan rezervoar je definisan kao suprotan pojmu pun rezervoar. to je stepen pripadnosti funkcije prazan rezervoar vei, to je stepen funkcije pun rezervoar manji, i obrnuto.

Slika 3.1.3 Fazi funkcija pripadnosti PRAZAN REZERVOAR se definie kao suprotna funkcija pripadnosti PUN REZERVOAR

Fazi funkcija pripadnosti opisuje stepen pripadnosti elemenata nekom fazi skupu.

Slika 3.1.4 Gradacija od bele do crne boje korienjem fazi skupova

Matematiki funkciju pripadnosti predstavljamo na sledei nain: Definicija. Neka je dat neprazan skup X. Fazi skup A u X se opisuje funkcijom pripadnosti: A ( u ) : X [ 0,1] (2.1) gde A ( x ) predstavlja stepen pripadnosti elementa x u fazi skupu A za svako x X . X se naziva i nadskup ili univerzalan skup. Fazi skup A se u potpunosti moe predstaviti skupom parova:

A = { ( x, A ( x ) ) , x X } .

(2.2)

9

Fazi skup je proirenje i uoptenje diskretnih skupova. Na jednostavan nain od fazi skupova moemo dobiti diskretan skup ali dolazi do gubitka informacija i nemogunosti da koristimo dobijeni skup za meko i postepeno razmiljanje. Kada definiemo skup visokih devojaka da bude diskretan skup i kaemo da su sve devojke vie od 178 cm visoke a sve nie od 178 cm nisu visoke. Kod fazi skupa, mala razlika u visini se vidi u maloj razlici u stepenima pripadnosti dok kod diskretnog skupa to nije mogue i promena stepena pripadnosti je nagla i neprirodna. [] 3.2 Oblici fazi funkcija pripadnosti Fazi funkcije pripadnosti mogu imati razliite oblike. Najee se koriste trougaona i trapezasta funkcija pripadnosti. [] 1. Trougaona funkcija pripadnosti u kontinualnom sluaju (slika 3.2.1) odreuje fazi2+x 2x + skup dat sledeom formulom: A = 2x 2x 2 00 2

Slika 3.2.1 Kontinualan sluaj trougaone funkcije pripadnosti

Ukoliko se posmatra diskretan sluaj reprezentacije fazi skupa koristi se ista formula samo na konanom domenu. Na primer, neka je domen X = {2, .5, , .5,0,0.5,1,1.5,2} tada fazi skup A1 predstavljamo na sledei 1 1 0 nain (slika 3.2.2):A1 = 0.25 0.5 0.75 1.0 0.75 0.5 0.25 + + + + + + 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

Slika 3.2.2 Diskretan sluaj trougaone funkcije pripadnosti

Veliki broj praktino realizovanih sistema koristi trougaonu funkciju pripadnosti. Ako trougaona funkcija nije simetrina potrebna su tri parametra da bi se funkcija opisala (tri temena trougla), a ako je simetrina dovoljno je da su poznata samo dva temena trougla.

10

Diskretna trougaona reprezentacija je mnogo korisnija pri prikazivanju fazi skupova iako je neto komplikovanija. []

2. Trapezoidna funkcija pripadnosti (Slika 3.2.3) data je formulom: 2 2 4 4+x 1 4x B= + + 2x x 2 2x 4 2

Slika 3.2.3 Trapezoidna funkcija pripadnosti

Trapezoidni oblik fazi skupa u nesimetrinom sluaju zahteva etiri parametra (temena trapeza), a u simetrinom sluaju tri broja za potpunu reprezentaciju (sredinju taku, duinu gornje i donje osnove). [] 3. Pravolinijska funkcija pripadnosti (deo po deo pravolinijska funkcija) (slika 3.2.4):C =0 10 20

0.1x 1 + x x 10

Slika 3.2.4 Pravolinijska funkcija pripadnosti

Broj neophodnih elemenata za opis fazi skupa zavisi od broja pravolinijskih segmenata s i iznosi 2(s+1), poto je za predstavljanje s segmenata potrebna s+1 taka. Kako su segmenti u dve dimenzije (elemenat nadskupa i stepen pripadnosti), ovaj broj se mnoi sa dva kako bi se dobio broj podataka neophodnih za opis ovog skupa. 4. Zvonasta funkcija pripadnosti (slika 3.2.5): D=(Xe 0.5 ( x 5 ) 2

)

X

11

Slika 3.2.5 Zvonasta funkcija pripadnosti

Zvonasta kriva se koristi u neuronskim mreama. U nesimetrinom sluaju potrebno je tri parametra (ploaj, nagib, parametar rasipanja), a u simetrinom sluaju dva. 3.3 Normalnost, konveksnost i broj elemenata fazi skupa Osnovne osobine fazi skupa u normalnost, konveksnost i broj elemenata fazi skupa (kardinalnost fazi skupa). Normalnost fazi skupa Fazi skup je normalan ako i samo ako je max A ( x) = 1 . xX Fazi skup koji nije normalan naziva se sub-normalan ili pod-normalan fazi skup. Normalan fazi skup ima maksimalnu vrednost funkcije pripadnosti jednaku jedinici. Sub-normalan fazi skup ima maksimalnu vrednost funkcije pripadnosti manju od jedinice. Sub-normalan fazi skup se moe jednostavno transformisati u normalan fazi skup ako se sve vrednosti stepena pripadnosti podele najveim stepenom pripadnosti za dati skup. Ova operacija se esto izvodi u praktinim primenama i naziva se operacija normalizacije. Konveksnost (ispupenost) fazi skupa. Fazi skup je konveksan ako i samo ako vai: x1 X , x 2 X , [ 0,1]

A ( x1 + (1 ) ) x 2 ) min( A ( x1 ) , A ( x 2 ) )

Broj elemenata (kardinalnost) fazi skupa. Ako je X diskretan i konaan skup, onda se kardinalnost fazi skupa izraava zbirom stepena pripadnosti pojedinih elemenata fazi skupa: A = A ( x ) .xX

3.4 Operacije na fazi skupovima Operacije preseka, unije i komplementa koje na klasinim skupovima imaju jedinstvenu definiciju, definiu se i u teoriji skupova. Zadeh je 1965. godine predloio sledee definicje za ove operacije []: Zbir dva fazi skupa je unija fazi skupova operator unije . Zbir (unija)fazi skupova A i B je fazi skup AB predstavljen pomou funkcije pripadnosti

12

A B ( X ) = A ( X ) B ( X ) = max{ A ( X ), B ( X ) } ,gde oznaava operator maksimuma.

Slika 3.4.1 Funkcija pripadnosti skupova A i B, i njhova unija

Zajedniki skup dva fazi skupa je presek fazi skupova operator preseka . Zajedniki skup (presek) dva fazi skupa A i B je fazi skup AB predstavljen pomou funkcije pripadnosti A B ( X ) = A ( X ) B ( X ) = min{ A ( X ), B ( X ) } , gde oznaava operator minimuma.

Slika 3.4.2 Funkcija pripadnosti skupova A i B, i njhov presek

Skup suprotan fazi skupu je komplement fazi skupa operator komplementiranja A . Ovde emo ovaj operator nazvati operatorom negacije. Komplement fazi skupa A je fazi skup A predstavljen pomou funkcije pripadnosti: A ( X ) =1 A ( X ) .

Slika 3.4.3 Funkcija pripadnosti skupa A , i njegov komplement

13

Operacije preseka, unije i komplementa koje smo ovde predstavili su operacije koje se najee koriste. Postoje i mnogi drugi operatori unije, preseka i komplementa u fazi teoriji, ali ih ovde neemo pominjati zbog jednostavnosti. Isto ovo vai i za operator negacije, koji se esto posebno definie. Ovde emo smatrati da je operacija negacije isto to i operacija fazi-komplementiranja. 3.5 Poreenje i osobine fazi skupova Poreenje fazi skupova vri se jednostavnim poreenjem njihovih funkcija pripadnosti. Jednakost fazi skupova. Fazi skupovi A i B su jednaki ako su im jednake funkcije pripadnosti:A = B A( X ) = B ( X ) .

Inkluzija (ukljuenje) fazi skupova. Fazi skup A se sadri u fazi skupu B ako je funkcija pripadnosti A ( X ) manja od funkcije pripadnosti B ( X ) u celom domenu X:A B A( X ) B( X ) .

Osnovne osobine fazi skupova su: 1. idemopotentnost: unija i presek fazi skupa sa samim sobom ne menjaju fazi skup. AA=A, AA=A, 2. komutativnost: unija i presek dva fazi skupa ne zavise od redosleda izvoenja operacije: AB= BA, AB= BA, 3. asocijativnost: A(BC)= (AB)C, A (BC)= (AB) C, 4. distributivnost: A(BC)=(AB) (AC), A(BC)= (AB) (AC), 5. zakon dvostruke negacije:

A= A,6. De Morganovi zakoni:A B = A B,

A B = A B .

14

~ Za diskretan skup A, zakon iskljuenja treeg, A A = X , i zakon kontradikcije ~ A A = u optem sluaju ne vae. oznaava prazan skup. Ove dve osobine su osnovna specifinost teorije fazi skupova u odnosu na klasinu teoriju kupova.

3.6 Princip razlaganja i princip proirenja Princip razlaganja je jo jedna vana veza izmeu klasine teorije skupova i teorije fazi skupova. Ovaj princip je esto upotrebljavan u fazi teoriji. 3.6.1 -presek Jak -presek je diskretan skupA = { x A ( X ) > }, [ 0,1) . A = { x A ( X ) }, [ 0,1) .

(3.1)

Slab -presek je diskretan skup

(3.2)

3.6.2 Princip razlaganja Fuzzy skup se moe predstaviti pomou unije diskretnih skupova njegovih preseka.

Slika 3.6.2.1 Princip razlaganja

Princpi razlaganja se moe jednostavno ilustrovati (Slika 3.6.2.1). Originalan kontinualan fazi skup A se moe razloiti na beskonano mnogo alfa preseka. U sluaju diskretne reprezentacije, A se moe razloiti na konaan broj alfa preseka. Na slici 3.6.2.1 su prikazani A skupovi koji se dobijaju kada se alfa presek A pomnoi sa datom vrednou . 3.6.3 Fazi broj Fazi broj A je fazi skup predstavljen funkcijom pripadnosti A(x) sa sledeim osobinama: 1. A(x) je definisana nad skupom realnih brojeva; 2. A(x) je konveksna; 3. A(x) je normalna; 4. A(x) je deo po deo neprekidna funkcija. 15

Slika 3.6.3.1 Fazi broj

Na slici 3.6.3.1 prikazana je ilustracija nekoliko fazi skupova od kojih neki nisu (C i D), a neki jesu fazi brojevi (A i B). [] 3.6.4 Princip proirenja Princip proirenja omoguava proirenje mnogih operacija sa realnim brojevima na fazi skupove. Neka je data funkcija f koja preslikava diskretan skup X u diskretan skup Y. Tada definiemo funkciju f sa skupa svih fazi podskupova A od X u skup svih fazi podskupova od Y na sledei nain []:

[ f ( A) ]( y ) = sup { A ( x ) x X , y = f ( x )}

16

4. LINGVISTIKE PROMENLJIVE4.1 Lingvistika vrednost i lingvistika promenljiva Teorija fazi skupova je namenjena predstavljanju nepreciznih informacija iz naeg okruenja i stvaranja raunarskih sistema za praktinu obradu tih informacija. Da bi se ova teorija primenila na razliite praktine problemeupotrebljavaju se lingvistiki izrazi (mlad, visok, brz) ili iskazi sa modofikacijama (veoma mlad, umereno visok, uglavnom brz). Definicija. Lingvistika promenljiva je promenljiva ije su dozvoljene vrednosti rei prirodnog jezika. Ako promenljiva Starost moe da ima vrednosti star, mlad, nije mlad, veoma mlad, manje-vie mlad, onda je Starost lingvistika promenljiva. U tom sluaju se star, mlad, nije mlad nazivaju vrednosti lingvistike promenljive ili lingvistike vrednosti. Lingvistika promenljiva se esto naziva fazi promenljivom. Veoma, manje-vie i slino se nazivaju lingvistikim modifikatorima. Vrednosti lingvistike promenljive sastoje se od: osnovnih lingvistikih vrednosti (mlad, star...) lingvistikog modifikatora (veoma, manje-vie, nije...) veznika (i, ili) Osnovne lingvistike vrednosti su najjednostavnije lingvistike vrednosti koje se mogu upotrebiti. Dodavanjem modifikatora i kombinovanjem sa veznicima mogu se dobiti sloeni lingvistiki izrazi, npr. ni veoma mlad, ni veoma star. [] 4.2 Operatori modifikacije i lingvistiki modifikatori Operatori modifikacije mogu se podeliti u dve grupe: 1. prva grupa operatora modifikacije: mnoenje skalarom, stepenovanje, normalizacija, koncentrisanje i proirenje i 2. druga grupa operatora modifikacije: pojaavanje kontrasta i fazifikacija. Neka A oznaava fazi skup sa funkcijom pripadnosti A(x); x X, gde je X nadskup, i A X. Prva grupa modifikatora se moe definisati na sledei nain: Mnoenje skalarom

Slika 4.2.1 Mnoenje skalarom

17

A(x) = A(x); (4.1) je nenegativan realan broj i je realan broj takav da i x X A(x)1. Stepenovanje

Slika 4.2.2 Stepenovanje

A ( x ) = ( A ( x ) ) , je realan broj.

(4.2)

Normalizacija

Slika 4.2.3 Normalizacija

Ako se operator normalizacije oznai sa NORM, onda se normalizacija skupa A oznaava sa NORM(A) i definie se na sledei nain:NORM

( A) =

gde je A = sup A ( x ) . x

A 0,

(4.3)

Koncentrisanje

Slika 4.2.4 Koncentrisanje

18

Ako se operator koncentrisanja oznai sa CONC, onda se koncentrisanje skupa A oznaava sa CONC(A) i definie se na sledei nain: CONC ( A) = A 2 . (4.4) Proirenje

Slika 4.2.5 Proirenje

Ako se operator proirenja oznai sa DIL, onda se proirenje skupa A oznai sa DIL(A) i definie na sledei nain: DIL ( A) = A 0.5 . (4.5) Druga grupa operatora modifikacije se moe definisati na sledei nain: Pojaavanje kontrasta:

Slika 4.2.6 Pojaavanje kontrasta

Ako se operator pojaavanja kontrasta oznai sa INT, onda se funkcija pripadnosti skupa INT(A) definie na sledei nain:

2( A ( x ) ) 2 , z a0 ( x) 0.5 I N ( TA) ( x ) = 2 1 2[ 1 A ( x) ] , z a0 . 5 ( x) 1 A

(4.6)

Fazifikacija

19

Fazifikacija fuzzy skupa A se vri pomou drugog fazi skupa K(xi) i definie se na sledei nain: SF ( A; K ) = A ( xi ) K ( xi ) . (4.7) i Ovde se fazi skup K ( xi ) naziva se jezgro fazifikacije.

Slika 4.2.7 Fazifikacija

Ispred osnovnih lingvistikih vrednosti, npr. mlad i star, esto dodajemo modifikatore, npr. veoma, vie-manje, poneto, da bismo blie opisali osnovnu lingvistiku vrednost. Izraze koji modifikuju osnovne lingvistike vrednosti i upotrebljavaju se ispred ovih vrednosti da bi ih blie objasnili nazivamo modifikatorima lingvistikih vrednosti ili lingvistikim modifikatorima. [] Modifikatorima lingvistikih vrednosti se pridruuju operatori modifikacije iz prethodnog dela. To se najee radi na sledei nain:veoma A = CON ( A ) manje vie A = DIL ( A ) poneto A = NORM ( A i ne ( veoma A ) )

tipa A = NORM ( ne CON 2 ( A) i DIL ( A ) ) prili ri A = NORM ( INT ( A ) i ne INT ( CON ( A ) ) ) izuzetno A = NORM ( INT ( A ) )

(4.1)

gde A predstavlja fazi skup. U optem sluaju, veznici i, ili i ne u lingvistikim izrazima se definiu na sledei nain:

20

A i B = A B A ili B = A B ~ ne A = A

(4.2)~

gde oznaava operaciju preseka dva fazi skupa, operaciju unije, a A komplement (operator negacije) fazi skupa A. Lingvistiki modifikatori i veznici se mogu definisati zavisno od upotrebe i namene. Zbog toga se upotrebljava veliki broj razliitih lingvistikih modifikatora i veznika. Ono to svaki od njih mora da zadovoljava je da bude konzistentan sa naim shvatanjem rei koje se upotrebljavaju u sloenijim lingivsaitkim izrazima. [] 4.3 Fazi propozicija Fazi propozicija se koristi za predstavljanje tvrenja koja sadre lingvistike vrednosti. Definicija. Ako u tvrenju P=x je A, A predstavlja fazi skup, odnosno lingvistiku vrednost kojoj se moe dodeliti fazi skup, onda je P fazi propozicija. Kada je A fazi skup, onda se mogue vrednosti promenljive x fazi skupovi. Tada se promenljiva x naziva fazi promenljiva. Kada je A lingvistika vrednost, onda su mogue vrednosti promenljive x lingvistike vrednosti. Tada se promenljiva x naziva lingvistika promenljiva. Primer. Neka je P propozicija koja opisuje starost osobe. Da bismo tu starost opisali, uvodimo lingvistiku promenljivu Starost. Za odreenu osobu pod imenom Saa znamo da je mlada. Tada moemo da piemo: Starost(Saa)=mlad. Na taj nain se moe prikazati tvrenje da je Saa mlad. Da bi lingvistika vrednost mlad mogla da se obrauje u raunaru, ona se predstavlja pomou fazi funkcije pripadnosti. [] Struktura koja definie fazi propoziciju: struct fazi_propozicija { struct ling_prom* pvar; struct ling_vred* plv; struct fazi_skup* pfs; }; //ling. promenljiva //ling. vrednost //fazi skup

21

5. FAZI RELACIJAFazi skupovi mogu imati viedimenzionalne funkcije pripadnosti. Ovi viedimenzionalni fazi skupovi predstavljaju fazi relacije. Prema [] navodi se definicija fazi relacije: N-dimenzionalna fazi relacija R na X1 x X2 x...x Xn je viedimenzionalni fazi podskup direktnog proizvoda X1 x X2 x...x Xn i zapisuje se kao: R = {R ( x1 , x 2 ,..., x n ) / ( x1 , x 2 ,.., x n ) x1 X 1 ,.., x n X n } ili u kontinualnom sluaju R = R ( x1 , x2 ,..., xn ) / ( x1 , x2 ,..., xn ) . x x x ...1 2 n

Ovakva fazi relacija predstavlja vezu meu elementima prostora Dekartovog proizvoda. Primer : Neka je zadata relacija =dobri prijatelji nad proizvodom X Y, gde je X skup devojaka, a Y skup momaka. Vrednosti stepena zadovoljenja ove relacije dati su u tabeli 5.1. Natalija Sofija Katarina Milica Simona Dejan 0.8 0.2 1 0 0 Nikola 0.2 1 0 1 1 Goran 0.6 1 0.4 0.4 0 Saa 0 0 0.2 1 0 Milo 0 0.4 0.8 0.6 0.8

Tabela 5.1Vrednosti funkcije pripadnosti

Na osnovu tabele moe se uoiti (Natalija, Dejan)=0.8, (Natalija, Nikola)=0.2 itd. To znai da su natalija i Dejan dobri prijatelji sa stepenom 0.8, a da su Natalija i Nikola dobri prijatelji sa stepenom 0.2 itd. Prema tome, vrednosti u tabeli 4.1 predstavljaju vrednosti funkcije pripadnosti ( x, y ) . Osobine fazi skupova i operacije na fazi skupovima mogu se proiriti na osobine fazi relacija i operacije na fazi relacijama. osobine, visina i podrka mogu se definisati na fazi relacijama kao i u sluaju fazi skupova. Operacije kao to su -presek, t-norme i tkonorme mogu se primeniti na fazi relacije samo kada su one definisane nad istim prostorom. Postoje dva sluaja: jedan u kome dati par zadovoljava relaciju i drugi u kome dati par ne zadovoljava relaciju. takve relacije se nazivaju diskretne ili binarne relacije. esto kaemo da izmeu nekih pojmova postoji izvesna veza, ima neke veze, postoji tesna veza. U ovim izrazima jaina veze (relacije) se izraava potepenim izrazima. ~ Fazi relacija se definie nad proizvodom X Y, oznaava se sa R , i predstavlja fazi ~ skup R u dve dimenzije: R : X Y [ 0,1] . ~

22

Stepen u kome par (x,y) zadovoljava relaciju se izraava kao broj iz intervala [0,1]. to je ovaj stepen blie jedinici, relacija je vie zadovoljena. to je ovaj broj blie nuli, relacija je manje zadovoljena.

6. FAZI ZAKLJUIVANJEU binarnoj logici uobiajen je nain zakljuivanja pod nazivom modus ponens. Ovaj nain zakljuivanja slian je Aristotelovom silogizmu. Na osnovu poznate injenice A i pravila AB (ita se ako A onda B), pokazuje se da vai zakljuak B. Ovaj postupak se moe prikazati na sledei nain: injenica: A Pravilo: AB Zakljuak: B injenice i pravila koja upotrebljavamo u svakodnevnom ivotu su neprecizni. kao to smo objasnili i kod Aristotelovog soligizma, ako se injenica i pravilo samo malo razlikuju, primenom modus ponensa ne moemo da dobijemo zakljuak. ovekov nain razmiljanja je fleksibilniji. Kada se injenica i pravilo malo razlikuju, mi uspevamo da dobijemo koristan zakljuak. To znai da mi ne posmatramo injenicu i pravilo kao proste simbole, ve kao reprezentaciju znanja koje ima dublji smisao. Na osnovu poznate injenice A` razliite od preduslova A pravila AB, izraunava se zakljuak B` koji je u optem sluaju razliit od zakljuka B pravila. Ovaj nain zakljuivanja naziva se fazi modus ponens. 6.1 Fazi zakljuivanje bazirano na fazi relaciji Za definiciju fazi zakljuivanja vani su pojmovi cilindrinog proirenja fazi skupa i projekcije fazi relacije. Definicija. Neka je A fazi skup definisan nad nadskupom U, i neka je ( u ) njegova funkcija pripadnosti. Cilindrino proirenje fazi skupa A nad proizvodom U V je fazi skup A V sa sledeom funkcijom pripadnosti: ( u , v ) = ( u ) , u U , v V . Definicija. Neka je R fazi relacija definisana nad proizvodom U V i neka je funkcija pripadnosti koja opisuje ovu relaciju R ( u , v ) . Projekcija ove fazi relacije na nadskup U se oznaava sa RU i data je funkcijom pripadnosti: RU ( u ) = V R ( u, v ) vV

6.2 Zakljuivanje metodom odsecanja Neka su A, A` i B skupovi definisani nad U i V retrospektivno i dati kao to je prikazano na slikama 6.2.1 i 6.2.2. Zakljuak B` se izraunava na osnovu zadate injenice A i pravila AB primenom metode odsecanja.

23

Slika 6.2.1 Fazi skup A i injenica A definisani nad U

Slika 6.2.2 Fazi skupB i zakljuak B definisani nad V

Korak 1. Izraunati stepen saglasnosti izmeu A i A` (slika 6.2.1)

= V { ( u ) A ( u ) } .uU

Korak 2. Na osnovu stepena saglasnosti izvriti odsecanje fazi skupa B (slika 6.2.2) B`= B 6.3 Defazifikacija Defazifikacija je poslednji korak pri izgradnji sistema za fazi zakljuivanje. Defazifikacija je proces izvodjenja tanog rezultata iz fazi skupa. Ulazna veliina procesa defazifikacije je fazi skup, a izlaz jedna, tana vrednosti iz fazi skupa. Razvijen je niz metoda za defazifikaciju. Obavezna je pri izradi kontrolera. [] U izradi fazi kontrolera preovlauju tri metoda: 1. metod centra mase; 2. metod centra maksimuma; 3. metod centra srednje vrednosti maksimuma. Neka je fazi zakljuak C definisan kao diskretan fazi skup, sa elementima C(Zk), gde je Zk element diskretnog nadskupa sa elementima Zi, a d je broj koji traimo. Prema metodu centra mase, izraz za izraunavanje je: 24

d CA (c) =

c( zk =1 n k =1

n

k

)zkk

c( z

)

Prema metodu centra maksimuma najpre se odredi skup M = {z k | c( z k ) = h(c)} gde je h(c) najvea vrednost f-je pripadnosti fazi zakljuka c. min{z k | z k M } + max{z k | z k M } d CM (c) = 2

6.3.1 Ilustracija defazifikacije

Vrednost dobijena metodom sredine maksimuma dMM(C) je srednja vrednost svih vrednosti u diskretnom skupu M definisanom pomou: Z k Z M d MM (c) = |M | gde je M broj elemenata diskretnog skupa M. []k

6. IZRADA FAZI KONTROLERA25

Erah Mamdani je 1974. godine prvi primenio fazi teoriju na probleme upravljanja. To je bio kontroler za upravljanje parnom mainom u laboratorijskim uslovima. Kae se da je to bio poetak fazi upravljanja. Do tada je najzastupljeniji nain upravljanja bio pomou PID kontrolera (skraenica je nastala od "proporcionalno-integralnodiferencijalni"). Danska firma F.L. Smidth je 1980. godine razvila kontroler za fabriku cementa. To je bila prva komercijalna upotreba fazi teorije. U sluajevima kada je objekat upravljanja sloen, ili se menja ili je njegov precizan matematiki model teko napraviti, poeljan je metod upravljanja koji ne zahteva precizan matematiki model objekta upravljanja. Ako razmiljate o metodu pomou koga bi to moglo da se ostvari, bilo bi dobro da takav metod sadri operacije upravljanja koje operater koristi kada upravlja nekim sistemom. Taj metod je fazi upravljanje. Primer je kada fudbaler igra. On je operater a lopta objekat upravljanja. Vrsta upravljanja koje fudbaler primenjuje nam je nepoznata a verovatno ni sam fudbaler ne bi mogao da nam kae kako to izvodi. Ako bi i pokuali, ne bi pisali matematike formule ve bi opisali svoju akciju. Fazi upravljanje je pokuaj da se ovakvi opisi prenesu u raunar i predstave pomou jednostavnih pravila. Na taj nain se znanje strunjaka-operatera u odreenoj oblasti koristi radi efikasnog upravljanja. [] 6.1 Fazi upravljanje Fazi upravljanje je metod upravljanja sistemima na makro nivou, korienjem kvalitativnih opisa. Osnova takvog upravljanja su fazi-lingvistika (lingvistika) pravila upravljanja. Lingvistika pravila upravljanja su pravila koja strunjak koristi u stvarnoj situaciji prilikom upravljanja objektom. Ona predstavljaju zbirno upravljako znanje (zajedno sa znanjem koje potie iz iskustva operatera), koje se izraava primenom nepreciznih, lingvistikih izraza. Tako se formiraju pravila oblika ako-onda koja se nazivaju lingvistikim pravilima. Isto kao kod fazi pravila, ako deo pravila se naziva i delom uslova pravila, i njime se definiu upravljaki uslovi. Onda deo pravila se naziva delom zakljuka pravila, i njime se definiu akcije nad upravljakim objektom. Primer je: AKO je temperatura x vea od eljene temperature r, ONDA smanjiti jainu struje kroz greja. [] Fazi upravljanje ima smisla koristiti kada je objekat ili problem upravljanja: 1. sloen, 2. takav da se ne moe precizno odrediti njegov matematiki model, 3. dinamiki, odnosno vremenski promenljiv i/ili 4. nelinearan.

6.1.1 Osnovni delovi sklopa za fazi upravljanje

26

FLR su fazi-lingvistika pravila, FZ je deo za fazi zakljuivanje. Ispred dela za fazi zakljuivanje i fazi-lingvistikih pravila nalazi se deo za fazifikaciju, a iza deo za defazifikaciju. S1, S2, S3 i S4 su faktori skaliranja koji odreuju statiko pojaanje celokupnog sklopa za fazi upravljanje. FLR i FZ obrauju fazi podatke, dok su veliine na ulazu i izlazu iz sklopa za upravljanje diskretni podaci. Pomou dela za fazifikaciju i defazifikaciju se vri pretvaranje podataka iz spoljanjeg (dikretnog, ne-fazi) oblika u unutranji (fazi) oblik, i obrnuto. Bez obzira na to da li je sistem za upravljanje fazi ili ne, postoje dva tipa upravljanja: poziciono i brzinsko. Kod sistema za fazi upravljanje ova razlika se vidi u onda delu fazi lingvistikog pravila. [] 6.2 Projektovanje fazi kontrolera Princip konstrukcije fazi pravila moe se predstaviti pomou jednostavne procedure. Konstrukcija fazi pravila za kontrolere se izvodi na sledei nain: 1. Izaberite objekat upravljanja i veliine kojima ete upravljati, i na osnovu toga definiite upravljane promenljive (promenljive nad kojim ase izvodi upravljanje tj. akcija). 2. Planer ureaja za fazi upravljanje i strunjak za dati problem zajedniki, putem razgovora, ispitivanja, ankete ili na neki drugi nainrazmatraju teme koje su vane za upravljanje. 3. Odluka o standardu za ocenjivanje rezultata upravljanja. 4.Fazi oznaavanje ulaznih i izlaznih vrednsoti u ureaju za upravljanje. 5. Konstrkcija fazi-lingvistikog pravila vri se konstrukcijom ako dela i onda dela. 6. Podeavanje upravljakih pravila prema prema rezultatima simulacije. 7. Ponavljati upotrebu pravila iz poslednjeg zahvata, izvoenjem simulacije ili eksperimenta izvriti podeavanje faktora skaliranja sve dok se ne dobiju zadovoljavajui rezultati i izvoenjem simulacije i eksperimenta izvriti podeavanje upravljakih pravila. sve dok se ne postigne uspean rezultat.

6.2.1 Struktura fuzzy kontrolera

Baza pravila sadri znanje o tome kako najbolje kontrolisati sistem, i to u formi skupa logikih (if then) pravila.

27

Interfejs je mehanizam za procenjivanje koja kontrolna pravila su relevantna za trenutno stanje sistema i odluuje logikim sklopom kakav e biti upravljaki signal, tj. ulaz u proces. Fazifikacija naprosto modifikuje signale ulaza tako da mogu biti pravilno protumaeni i uporeeni sa pravilima u bazi pravila. Crisp signal pretvaramo u adekvatan fuzzy oblik. Defazifikacija transformie zakljuak interfejsa u takav oblik signala da ovaj moe biti signal koji predstavlja ulaz u proces. Ovo je transformacija fuzzy oblika u crisp oblik signala, koji je razumljiv procesu. []

Na fuzzy kontroler treba gledati kao na vetakog donosioca odluke koji radi u sistemu sa zatvorenom spregom u realnom vremenu. On sakuplja podatke izlaza procesa, uporeuje ih sa referencom i onda na nain svojstven fuzzy logici odluje ta u tom trenutku treba da bude ulaz procesa, i to tako da se zadovolje eljene performanse i zadati ciljevi specifikacije. [] Da bi projektovali jedan fuzzy kontroler, potrebno nam je pre svega odreeno predznanje o ponaanju procesa. Heuristike informacije o tome kako najbolje upravljati nekim procesom mogu da se prikupe na dva naina. Informacije najee dobijamo od operatera koji ima dovoljno iskustvenih podataka o tome kako na najbolji nain upravljati procesom. Ree zakljuke o upravljenju procesa donose specijalno angaovani inenjeri koji, shvatajui dinamiku procesa, mogu da odrede pravila po kojima bi se procesom moglo upravljati. Ova pravila nam govore kakav bi trebao da bude ulaz procesa ako se njegov izlaz ponaa na takav i takav nain. Koliina informacija ne bi trebalo da bude manja od informacija potrebnih za dizajn nekog od konvencijalnih kontrolera. Iako nam predznanje o izgledu modela procesa nije neophodno za samo projektovanje fuzzy kontrolera, ako takvu informaciju i posedujemo, zato je ne iskoristiti? Ovo je esta zabluda pri prvom susretu sa fuzzy kontrolerom. Ako ni zbog ega drugog, model procesa e nam biti potreban za simulaciju upravljanja i ispitivanje kvaliteta kontrolera, pre eventualnog realnog putanja u rad. Ako su nam ve ti podaci dostupni onda je pametno da ih uzmemo u obzir i iskoristimo. Projektovanje fuzzy kontrolera po definiciji ne iskljuuje odsustvo potrebe za nalaenjem modela procesa. Prednost fuzzy naina se ne ogleda u tome. Pri konvencijalnom projektovanju za opisivanje dinamike sistema se koriste diferencijalne jednaine, koje se kasnije pokuavaju pojednostaviti i tako uine to razumljivije mainama. Time one postaju ujedno manje razumljive ljudima. Fuzzy pristup je drugaiji. On ljudski nain rezonovanja unosi u raunarsku logiku raunarski algoritam postaje blii ljudskom zakljuivanju i samim tim jednostavniji ljudima za shvatanje. Umesto da mi pokuavamo da mislimo na nain na koji to rade maine, omoguavamo mainama da misle na na nain. Logika pravila po kojim se vri upravljanje su realizovana u obliku if then pravila i ako je razvijena strategija upravljanja, sistem je spreman da se proveri u simulaciji. Postupak realizacije fuzzy kontrolera emo objasniti na jednostavnom primeru kontrole nivoa vode u rezervoaru putem jednog ventila. Nivo vode se zadaje a otvaranjem i zatvaranjem ventila se postie valjano upravljanje. Prvo emo odrediti koji bi mogli biti ulazi i izlazi naeg kontrolera. [] Prvi korak u projektovanju predstavlja izbor ulaza i izlaza kontrolera. Promenljive koje nose informaciju o ponaanju sistema treba da budu ulazi kontrolera. Prouavanjem sistema vidimo da moemo uzeti razliite infomacije. U naem primeru to moe biti 28

trenutni nivo vode u rezervoaru i prirataj nivoa vode, tj. tok vode. Drugi izbor za ulaze moe biti statika greka nivoa i izvod greke: e(t ) = r (t ) y (t ) , (6.1)de(t ) dt

(6.2)

gde je r(t) referentni ulaz a y(t) izlaz procesa.

Primetiemo da nas ovaj izbor podsea na PID kontroler. Naravno postoje mnoga intuitivna reenja za izbor varijabli koje nose dovoljno informacija o trenutnom stanju sistema i na kojima e se zasnivati odluka kontrolera. Sledei korak je izbor kontrolne promenjive, odnosno ulaza u proces. Kako je na primer jednostavan, kao jedini izbor se namee kontrola ventila. Ventil kakarketiu dve osobine: stepen otvorenosti i brzina kojom se ventil zatvara/otvara. Za kompleksnije sisteme izbor ulaza i izlaza kontrolera moe biti tei. Da bi kontroler mogao da donese odluku o vrednosti upravljake promenjive, mora da prima dovoljno informacija kroz signale ulaza. Ako se uspostavi da kontroler ne radi dobro svoj posao, problem je moda upravo u izboru ulaznih signala ili u nedovoljnom broju relevantnih parametara koji su uzeti u obzir. Takoe, kontroler mora imati izlaz koji e upravljati sistemom tako da ga dovede u zahtevano stanje sa eljenim performansama. U laboratorijskim i uslovima simulacije, sistemi i njihovo ponaanje su nam relativno poznati. Sistemi sa kojima se inenjeri sreu u praksi su obino vieslojno komplikovani i izbor ovih varijabli se ne sme uzeti olako. 6.3 Primer izrade fazi kontrolera - obrnuto klatno Ilustrovaemo fazi kontroler na primeru postavljanja obrnutog klatna u upravni poloaj. Ovu verziju kontrolera je izradio Takei Jamakava 1989. godine. Kontroler ima samo 7 fazi pravila i radi dobro za tapove koji nisu suvie tanki ili lagani, i u prisutvu poremeaja koji nisu prejaki. [] tap koji moe da rotira oko jednog svog kraja privren je na vozilo pomou nosaa. Upravljaki zadatak je da se ovaj tap ("obrnuto klatno") postavi u uspravan poloaj, tako to e se na pogodan nain pokretati vozilo na kome je tap privren. Tri promenljive znaajne za reenje ovog zadatka su: e - ugao izmeu trenutne pozicije tapa i vertikalne pozicije, - stepen promene promenljive e i v je proporcionalno brzini vozila w . Promenljive e i su upravljake, a v upravljana promenljiva. []

29

6.3.1 Postavljanje obrnutog klatna u uspravni poloaj pomou fazi kontrolera

Promenljiva e se direktno meri pomou senzora ugla, dok se njen izvod izraunava na osnovu uzastopnih merenja e. Kada je tap nagnut na levu stranu, usvajamo da je e negativno. Slina konvencija vai i za . Promenljiva v predstavlja pogodnu elektrinu veliinu, jainu struje ili napon. Njene vrednosti odreuju silu elektrinog motora sa servomehanizmom koja se primenjuje da bi se pokretalo vozilo. Po konvenciji, usvajamo da je ova sila negativna kada se vozilo kree na levu stranu. v se moe izraziti na odgovarajuoj skali tako da bude brojno jednako sili koja pokree vozilo. Tako se propozicije sa vmogu direktno shvatiti kao sila kojom se pokree vozilo. [] U sloenijoj verziji kontrolera koja bi imala ovakav zahtev, morali bi da ukljuimo jo dve promenljive: promenljivu koja predstavlja rastojanje izmeu trenutne pozicije vozila i eljene pozicije, i izvod ove promenljive koji predstavlja promenu poloaja (brzinu) vozila. []

6.3.2 Fazi funkcije pripadnosti koje se koristeu fazi kontroleru

U tom sluaju, imali bismo 4 upravljake promenljive. Ako bi svaka od promenljivih mogla da ima 7 lingvistikih vrednosti (slika 6.3.2) onda je mogue napraviti ukupno 74=2401 fazi pravila. Iz iskustva je poznato da je za reenje ovog zadatka dovoljno samo oko 20 pravila. [] 6.4 Fazi algoritam Fazi algoritam je ureen skup fazi instrukcija koje po izvrenju daju priblino reenje datog problema. Zbog priblinog naina predstavljanja i izraunavanja, fazi algoritam je blii ovekovom nainu razmiljanja od klasinih raunarskih algoritama.

30

Koncept fazi algoritma prvi put izneo je profesor zadeh 1973. godine. Osnove za korienje fazi algoritama ine fazi skupovi i fazi uslovni iskazi. Instrukcije u fazi algoritmu pripadaju sledeim klasama: 1) Instrukcije dodele vrednosti 2) Fazi uslovni iskazi 3) Bezuslovni iskazi. Fazi algoritme je pogodno podeliti u nekoliko osnovnih kategorija, od kojih svaka odgovara odreenom tipu primene: definicioni i identifikacioni algoritmi; generacioni algoritmi; relacioni i algoritmi ponaanja i algoritmi odluivanja. Algoritam odreenog tipa moe da sadri algoritme drugog tipa kao podalgoritme. Definicioni algoritam moe da sadri relacione i algoritme odluivanja. Definicioni algoritam se koristi za definiciju sloenog, nepotpuno definisanog fazi koncepta korienjem jednostavnih fazi koncepata, i korienjem manjeg broja fazi koncepata. Primeri takvih koncepata su: popunjenost matrice, karakteri pisani rukom, definicija nekih bolesti itd.

31

7. PRIMENA FAZI SISTEMAFazi kontroler se moze realizovati pomou programa koji se izvrava na raunaru a kada je potrebno moe se ugraditi u vidu mikroprocesora u manje ureaje. Japan i Koreja prednjae u praktinim primenama fazi logike. Primer upravljanja u industriji je sistem za upravljanje vozovima podzemne eleznice, auto industrija (sistem za koenje, sistem za ubrizgavanje goriva). U kunim uredjajima (klima, maina za pranje sudova/vea, friider, mikrotalasna, TV, ...). Kontroler je napravljen u ipu. Potreba za obradom nepreciznh informacija je razlog za primenu fazi tehnologije u bazama podataka, to omoguava da se obrada podataka izvodi na nain koji odgovara ljudskom nainu razmiljanja. U fazi baze podataka mogu se postavljati sloeniji upiti upotrebom reenica u prirodnom jeziku (fazi upiti - rezultat je pojam koji odgovara zadatom pojmu ali sa nekim stepenom tanosti). Takoe pretraivanje fazi baza podataka omoguuje pretraivanje pojmova koje osoba ne mora da poznaje. To se postie korienjem fazi tezaurusa (jednostavna matrica uz pomo koje se uspostavlja relacija izmeu srodnih pojmova). Time se postize da korisnik moe pronai neki pojam putem srodnih pojmova. Ovakav sistem pretraivanja se nalazi ugraen u internet pretraivau AltaVista kod koje se za dati pojam izbacuje link sa stranicom pored koje se nalazi stepen saglasnosti sadraja neke rei sa stranice sa unetom kljunom rei. Fleks filter Omronov fazi filter je alatka koja se nalazi u MS Excel. [] 7.1 Upravljanje industrijskim procesima Fazi kontroler je centralni deo sklopa za upravljanje industrijskim procesima. Mnoge varijante fazi kontrolera su ugraene u upravljake ureaje. Fazi kontroler se koristi za inteligentno upravljanje, tako to se znanje strunjaka - operatera koristi u upravljakom procesu. Fazi kontroler se moe ugraditi u vidu mikroprocesora u manje ureaje. Proizvod Fazi konice Firma Nissan Upotreba fazi logike Upravlja konicama u opasnim situacijama na osnovu brzine i ubrzanja vozila, i na osnovu brzine i ubrzanja tokova. Upravlja ubrizgavanjem goriva i paljenjem u zavisnosti od stanja ventila za dovod goriva, koliine kiseonika, temperature vode za hlaenje, broja obrtaja u minuti, zapremine goriva, ugla radilice, vibracija motora, i pritiska u dovodnoj cevi. Bira stepen prenosa zavisno od optereenja maine, naina vonje, i uslova na 32

Motor automobila

NOK, Nissan

Prenosni sistem u automobilu

Honda, Nissan, Subaru

Mea za hemikalije Upravljanje kretanjem vozila Upravljanje liftom Upravljanje u fabrici Zdravstveno stanje radnika Upravljanje mlinom za gvoe Pe za cement Graviranje plazmom

putu. Mea supstance na osnovu Fuji Electric stanja meaa. Podeava stanje ventila za Isuzu, Nissan, Mitsubishi dovod goriva na osnovu brzine i ubrzanja vozila. Smanjuje vreme ekanja na Fujitec, Mitsubishi Electric, osnovu vrednosti protoka Toshiba putnika. Rasporeuje zadatke i Omron odreuje strategije na linijama za sklapanje. Preko 500 fazi pravila prati Omron i procenjuje zdravstveno stanje i spremnost radnika. Mea materije na ulazu u Nipon, Steel mlin i odreuje temperaturu i vreme mlevenja. Mitsubishi Chemical Mea cement. Odreivanje vremena i Mitsubishi Electric strategije graviranja.

Tabela 7.1.1 Neki primeri industrijske primene fazi tehnologije[]

Kao primer primene fazi kontrolera u upravljanju u industriji navodimo prilino sloen primer upravljanja vozilom. To je Hitaijev sistem za upravljanje vozovima podzemne eleznice u Sendaiju (Japan), koja je putena u rad 1987. godine. Jedan deo ovog sistema je i navedeni ureaj za zaustavljanje vozila na odreenoj poziciji. [] Vaan deo ovo sistema je fazi sistem za prediktivno upravljanje na osnovu koga se predviaju vrednosti pojedinih promenljivih i na osnovu toga zakljuuje kakve upravljake akcije treba preduzeti. Kod prediktivnog upravljanja blok cilj predstavlja skup ciljeva koje elimo da postignemo; blok procena ostvarenosti cilja predstavlja blok za procenu koliko je na cilj zadovoljen; blok fazi zakljuivanje zajedno sa blokom fazi pravila za ocenu predikcije i preduzimanje akcije, na osnovu greke u odnosu na eljenu vrednost (cilj), odluuje o upravljakim akcijama koje kasnije preduzima prema objektu upravljanja koji je prikazan blokom objekat upravljanja. Predvianje se ostvaruje pomou posebnog dela za simulaciju procesa, koji je prikazan blokom simulacija. Na osnovu trenutne upravljake akcije u i stanja sistema x pomou simulacije predviamo kolika e biti vrednost signala u sledeem vremenskom trenutku. Simulator treba da bude dovoljno kvalitetan, odnosno da to vernije simulira proces koji je u pitanju, da bi dobili kvalitetno predvianje. Na osnovu cilja u bloku za procenu ostvarenosti cilja izraunavamo greku. Na osnovu ove greke i drugih vrednosti, vrimo izbor sledee upravljake akcije pomou fazi pravila. []

33

Slika 7.1.1 Plan prediktivnog fazi upravljanja

Na osnovu pretpostavljene upravljake akcije u i stanja x vrimo simulaciju koja nam za rezultat daje predvianje vrednosti promenljive stanja x. Na osnovu izmerene vrednosti y i fazi pravila datih na slici 7.1.1, vrimo procenu zadovoljenosti cilja i izbor upravljake akcije za naredni vremenski period.

Slika 7.1.2 Plan prediktivnog zakljuivanja za zaustavljanje voza

34

Na slici 7.1.2 vidi se potpuna konkretizacija prediktivnog zakljuivanja u sluaju podsistema za tano i konforno zaustavljanje voza na eljenoj poziciji. Upravljake akcije u su: poveanje pritiska na konicu za jedan zarez, odravanje postojeeg pritiska na konicu i smanjenje pritiska na konicu za jedan zarez. Kada se veo nalazi malo dalje od mesta na kome treba da se zaustavi, najjae je prvo pravilo, koje daje prednost nepromenjenom pritisku na konicu (koji je u poetku mali). Kako se voz pribliava mestu zaustavljanja, ovo pravilo ostaje na snazi. Istovremeno, drugo pravilo poinje da se aktivira intenzivnije (njegov zakljuak postaje "jai"). To je zato to simulator poinje da predvia da e u sluaju poveanog pritiska na konicu voz stati blie eljenom mestu nego ako se pritisak odri (pravilo prvo) ili ak, smanji (tree pravilo). Zbog toga se pritisak na konicu poveava ali tako da obezbedi dovoljnu ugodnost pri vonji, za ta je zaduen drugi deo preduslova pravila. Tree pravilo je predvieno da se aktivira usled eventualnih greaka do kojih moe doi prilikom predikcije. [] 7.2 Primena fazi tehnologije u kunim aparatima U tabeli 7.2.1 dajem pregled korienja fazi tehnologija u kunim aparatima. Veina je izvedena uz pomo fazi kontrolera koji su se u kasnijim varijantama pojavili sa dodacima neuronskih mrea (omoguuju automatsko podeavanje ovih sistema). Proizvod Klima ureaj Firma Hitachi, Matsushita, Mitsubihi, Sharp Upotreba fazi logike Spreava oscilacije temperature i troi manje snage pri ukljuivanju i iskljuivanju. Podeava ciklus pranja i strategije ispiranja i pranja na osnovu broja komada posua i tipa i koliine ostataka hrane na posuu. Podeava koliinu, tip tkanine i protok toplog vazduha, vremenu suenja i strategijama. Podeava vlagu na osnovu stanja vazduha u prostoriji. Postavlja i podeava snagu penice i strategije kuvanja. Postavlja vreme odmrzavanja i hlaenja u zavisnosti od upotrebe. Neuronska mrea ui navike korisnika pri korienju i prema tome podeava fazi pravila. Smanjuje promene temperature vode. Podeava boju ekrana i 35

Maina za pranje sudova

Matsushita

Sua za rublje Ovlaiva vazduha Mikrotalasna penica

Matsushita Casio Hitachi, Sanyo, Sharp, Toshiba

Friider

Sharp

Sistem za tuiranje Televizor

Matsushita (Panasonic) Goldstar, Hitachi,

Samsung, Sony Usisiva Hitachi, Matsushita, Toshiba

Maina za pranje rublja

Daewoo, Goldstar, Hitachi, Matsushita, Samsung, Sanyo, Sharp

teksturu za svaki frejm i stabilizuje volumen zavisno od poloaja gledaoca u sobi. Postavlja strategiju usisavanja na osnovu koliine praine i tipa poda. Podeava strategiju pranja na osnovu nivoa zaprljanosti, tipa tkanine, napunjenosti i koliine vode. Neki modeli koriste neuronske mree da bi podesili pravila ukusu korisnika.

Tabela 7.2.1 Neki primeri primene fazi tehnologije kod kunih aparata []

Ujutro, kada kreete na posao, kolu ili negde drugde, obino pitate nekoga od svojih ko je malo pre bio van kue:Kakvo je vreme napolju?. Pitanje je postavljeno sa nameroma da odaberete odeu tako da se prilagodite vremenu. Posmatrajui problem izbora odee malo apstraktnije, moe se primeniti sledei nain zakljuivanja: ako je hladno treba uzeti toplu zimsku jaknu, a ako je toplo uzeti majicu kratkih rukava. Da li ste zadovoljni ovakvim savetom? A ta ako je napolju prijatno vreme koje zahteva umerenu odeu, recimo laku prolenu jaknu? Oigledno da opis vremenskih prilika oznakama toplo i hladno nije dovoljan. Potrebna je nekakva finija logika da bi savet stvarno bio koristan.Uvoenje oznaka jako hladno, srednje hladno, malo hladnije, umereno hladno, malo toplije, srednje toplo, vrue i jako vrue moe da pomogne u ovakvoj situaciji jer ete na osnovu preciznijeg opisa lake odabrati odeu. Ovakav pristup postepenosti i laganih prelaza (prepoznavanja situacije) odgovara nainu kako fazi logika pristupa problemima i kako ih reava. [] U oblasti automatike se moe primeniti slian algoritam. Neka je zadatak regulacija temperature.

Slika 7.3.1 Primer regulacije temperature vode u posudi

Na slici 7.3.1 je prikaz sistema upravljanja (greja, termometar, posuda sa vodom, mikrokontroler - koji su povezani u jednu celinu). Malim slovima su oznaene sledee

36

veliine: r je referentna vrednost temperature (proizvoljno je odabrano 40C), c je stvarna temperatura vode u posudi, e je razlika referentne i stvarne vrednosti i naziva se greka upravljanja (e=r-c), u je upravljaka promenljiva i predstavlja snagu grejaa. Sistem regulacije funkcionie tako to se na osnovu referentne vrednosti (r) i izmerene temperature (c) odredi kolikom snagom grejaa (u) treba grejati da bi se postigla i odravala zadata temperatura. Pravougaoni blok predstavlja regulator-mikrokontroler koji upravlja procesom. U sintezi regulatora polazi se prvo od procesa koji se moe kratko opisati: posudu sa vodom greje greja promenljive snage (upravljaka promenljiva u je iz intervala 0-Pmax). Dakle, snaga grejaa se moe menjati to utie na brzinu zagrevanja vode. Regulator kao celinu ini mikrokontroler sa programom u kome je sadran algoritam upravljanja koji je opisan funkcijom F(e) koja izraunava upravljanje (snagu grejaa odnosno poloaj komutatora). Funkcija F(e) predstavlja sutinu upravljanja, ili u prenesenom znaenju inteligenciju. Ne ulazei u detalje hardvera i softvera, ovde se eli pokazati vrlo jednostavno fazi zakljuivanje koje se moe iskoristiti kod regulacije temperature. Poenta je u tome kako dozirati (algoritam) dovoenje i odvoenje toplotne energije dok je tehnika realizacija sekundarni problem, odnosno merenje i fiziki smisao upravljanja u praksi su podposlovi koji zahtevaju ire objanjenje. Naime, termometar za merenje i otpornici koji utiu na struju kroz greja (slika 7.3.1) se trebaju shvatiti slikovito. Promena temperature u vremenu je prikazana na slici 7.3.2 []

Slika 8.3.2 Dijagram temperatura - vreme

Na poetku, temperatura je najudaljenija od zadate, ali se vremenom ta razlika treba smanjiti na nulu. Dvopoloajni algoritam upravljanja se reima moe opisati: ako je stvarna temperatura (npr. 8C ) manja od zadane (40C) neka je snaga grejaa maksimalna. Dakle, greja greje svom snagom sve dok se ne postigne zadata temperatura. Bilo bi lepo kada okolina nebi uticala na temperaturu vode u posudi jer tada vie nebi bilo potrebno nikakvo grejanje. Ali ako je temperatura okoline na primer 15C tada e ona tako delovati na posudu sa vodom da se voda poinje hladiti. Zbog toga je potrebno dalje odravati temperaturu vode na sledei nain: ako je temperatura manja od 39C snaga grejaa max. ako je temperatura vea od 41C snaga grejaa je 0. Gornji nain regulacije je poznat kao dvopoloajni regulator sa histerezisom i upotrebljava se kada se ne zahteva visok kvalitet regulacije pri emu treba teiti da se dobije to jeftiniji regulator. [] 37

Slika 7.3.3 Dvopoloajni regulator sa histerezisom

Postavlja se pitanje da li takav nain regulacije ima smisla primenjivati ako se za regulaciju koriste mikrokontroleri? Za njegovu relizaciju su dovoljne analogne elektronske komponente (komparatori, pojaavai itd.) ime se postie nia cena (bimetal je tipian primer) nego ako se koristi mikrokontroler ije su memorije za skladitenje programa reda desetina kilobajta i namenjene za sloenije algoritme upravljanja. Fazi pristup celom problemu je malo finiji. Iskreno reeno ono to sledi nije pravo fazilogiko zakljuivanje ali se radi boljeg razumevanja moe smatrati kao da jeste. Sledee pitanje, koje je posledica konstrukcije samog sistema upravljanja, jeste: kako iskoristiti promenljivu snagu grejaa? Nekako logino izgleda sledee intuitivno zakljuivanje: ako je temperatura mnogo manja od zadane onda je snaga grejaa maksimalna ako je temperatura manja od zadane onda je snaga grejaa malo manja od maksimalne ako je temperatura malo manja od zadane onda je snaga grejaa puno manja od max. ako je temperatura priblina zadanoj onda je snaga grejaa 0. U gornjem primeru postoje 4 fazi pravila. Fazi pravilo na razumljiv nain opisuje akciju (kolika treba da bude snaga grejaa) na osnovu poznatog podatka (trenutna vrednost temperature). []

Slika 8.3.4 Pseudo - fazi ili etvoropoloajni regulator

38

Broj fazi pravila se moe menjati kao i upravljaka akcija kolikom snagom treba grejati na osnovu poznavanja realnog sistema. Snaga grejaa se izraunava po formuli P=(U/(RG+R))2 *R (R je ili R1 ili R2), gde je U mreni napon od 220V, RG je otpornost grejaa, a R je otpornost otpornika vezanog na red iji je zadatak da kontrolie struju kroz kolo. Otpornici su tako podeeni da se dobije odgovarajua snaga na grejau. Maksimalna snaga je Pmax=U2/RG (poloaj 1), a minimalna je 0 (poloaj 2). Postoje jo dve vrednosti snage (U/(RG+R1))2 *R1=0.6Pmax i (U/(RG+R2))2 *R2=0.3Pmax (poloaji 2 i 3 respektivno), gde je R1=0.28RG i R2=0.85RG. Prethodni raun je naveden radi ilustracije, naime, disipacija energije na otpornicima drastino rui iskoritenje elektrine energije pa se ovakav nain regulacije obino ne primenjuje. Zbog toga se u praksi primenjuje impulsno irinska modulacija (PWM - Pulse Width Modulation), a ne otpornici na red koji su samo posluili za ilustraciju kako se podeava promenljiva snaga grejaa. PWM je posebna tema koja zahteva malo detaljnija objanjenja i ovde se ne analizira. Zbog ega je uvedena opisna podela stvarne temperature? Zato to se na taj nain reima obinog jezika finije opisuju upravljake akcije. Ako se prikupljanje informacija o vrednosti temperature ogranii samo na to da li je stvarna temperatura vea od zadane ili ne, tada se ne moe porei siromatvo takve informacije. Koliina i jo vie kvalitet informacija koje postoje u fazi logici su mnogo vei pa je i kvalitet akcije kao odgovor na informaciju mnogo efikasniji. I sam ovek kada preduzima odreenu akciju sa nekim ciljem lake e se odluiti ako zna prave informacije i ako ih zna protumaiti. Naravno, potrebno je pronai takav kompromis jer oveku previe informacija moe biti smetnja. Tako i u sluaju fazi pravila treba odabrati optimalan broj koji jo uvek jasno sadri logiku koja se moe razumeti. [] Kako na kraju izgleda taj veoma, veoma pojednostavljeni fazi regulator temperature. Prevodei pravila koja su izraena reima na inenjerski jezik, postupak regulacije temperature izgleda ovako:izmeri se stvarna vrednost temperature c(0) izrauna se greka e(0)=r-c(0) to je maksimalna greka emax=e(0) k=1 labela1 meri se stvarna temperatura c(k) izrauna se e(k)=r-c(k) izrauna se relativna greka erel=e(k)/emax ako je: erel > 0.8 onda je u=Pmax erel > 0.6 I erel 0.1 I erel