Sprawy organizacyjne

Jak mozna sie ze mna skontaktowacdr Barbara PrzebieraczBankowa 14, p.568barbara.przebieracz@us.edu.plwww.math.us.edu.pl/bp

10 wykładów,Zaliczenie wykładu:ocena z wykładu jest srednia oceny z cwiczen(materiałwykładów 1-5) i z egzaminu (materiał wykładów 6-10)obecnosc na wykładzie moze podwyzszyc ocene z egzaminu(10 obecnosci (w tym ostatnie 5)- 40 punktów, 9 obecnosci (wtym ostatnie 5) - 30 punktów, 8 obecnosci (w tym ostatnie 5)-20 punktów, 7 obecnosci (w tym ostatnie 5) - 10 punktów.Skala: 0-50 ndst, 50-60 dst, 60-70 dst+, 70-80 db, 80-90 db+,90-100 bdb.

Wykład 1

Plan wykładu

1. Funkcje elementarne, własnosci funkcji, złozenia funkcji,funkcja odwrotna.2. Ciagi i ich granice.3. Granica funkcji, ciagłosc funkcji.4. Pochodna funkcji i jej zastosowania.5. Całka nieoznaczona i oznaczona Riemanna.6. Liczby zespolone i elementy algebry liniowej.7. Rachunek rózniczkowy i całka Riemanna w Rn.8. Równania rózniczkowe zwyczajne.9. Rachunek prawdopodobienstwa.10. Statystyka.

Wykład 1

Zacznijmy od powtórki...

Wykład 1

Elelementy rachunku zdan. Alternatywa.

Zdanie ma wartosc logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jestfałszywe.Jesli p i q sa zdaniami, top ∨ q nazywamy alternatywa zdan p, q, czytamy: p lub q.Wartosc logiczna zdania p ∨ q zalezy od wartosci logicznychzdan p i q nastepujaco:p q p ∨ q1 1 11 0 10 1 10 0 0

Wykład 1

Elelementy rachunku zdan. Koniunkcja.

Zdanie ma wartosc logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jestfałszywe.Jesli p i q sa zdaniami, top ∧ q nazywamy koniunkcja zdan p, q, czytamy: p i q. Wartosclogiczna zdania p ∧ q zalezy od wartosci logicznych zdan p i qnastepujaco:p q p ∧ q1 1 11 0 00 1 00 0 0

Wykład 1

Elelementy rachunku zdan. Implikacja.

Zdanie ma wartosc logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jestfałszywe.Jesli p i q sa zdaniami, top ⇒ q nazywamy implikacja zdan p(poprzednik implikacji),q(nastepnik implikacji), czytamy: jezeli p, to q. Wartosclogiczna zdania p ⇒ q zalezy od wartosci logicznych zdan p i qnastepujaco:p q p ⇒ q1 1 11 0 00 1 10 0 1

Wykład 1

Elelementy rachunku zdan. Równowaznosc.

Zdanie ma wartosc logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jestfałszywe.Jesli p i q sa zdaniami, top ⇔ q nazywamy równowaznoscia zdan p, q, czytamy: pwtedy i tylko wtedy, gdy q. Wartosc logiczna zdania p ⇔ qzalezy od wartosci logicznych zdan p i q nastepujaco:p q p ⇔ q1 1 11 0 00 1 00 0 1

Wykład 1

Elelementy rachunku zdan. Negacja.

Zdanie ma wartosc logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jestfałszywe.Jesli p jest zdaniem, to∼ p nazywamy negacja zdania p, czytamy: nieprawda, ze p.Wartosc logiczna zdania ∼ p zalezy od wartosci logicznejzdania p nastepujaco:p ∼ p1 00 1

Wykład 1

Elementy rachunku zdan. Tautologie.

Tautologie, to zdania złozone, których wartosc logiczna wynosizawsze 1, niezaleznie od wartosci logicznych zdan, z którychsa złozone.

Przykłady tautologii

[∼ (p ∨ q)]⇔ [(∼ p) ∧ (∼ q)][∼ (p ∧ q)]⇔ [(∼ p) ∨ (∼ q)][∼ (p ⇒ q)]⇔ [p∧ ∼ q][p ⇔ q]⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)][p ⇒ q]⇔ [(∼ q)⇒ (∼ p)]

Wykład 1

Kwantyfikatory

∀x∈X φ(x),∧

x∈X

φ(x)

czytamy: dla kazdego x ze zbioru X zachodzi φ(x).

∃x∈X φ(x),∨

x∈X

φ(x)

czytamy: istnieje taki x ze zbioru X , ze zachodzi φ(x).

Przykłady praw logicznych dotyczacych kwantyfikatorów

∼ ∀x∈X φ(x)⇔ ∃x∈X ∼ φ(x)

∼ ∃x∈X φ(x)⇔ ∀x∈X ∼ φ(x)

Wykład 1

Elementy rachunku zbiorów

x ∈ A czytamy: x nalezy do zbioru A, x jest elementem zbioruA.∅- zbiór pusty.A ⊂ B: A jest podzbiorem zbioru B, czyli ∀xx ∈ A⇒ x ∈ B.Niech X bedzie pewna przestrzenia, A,B ⊂ X ,suma zbiorów: A ∪ B = {x ∈ X ; x ∈ A ∨ x ∈ B},iloczyn(przekrój, czesc wspólna) zbiorów:A ∩ B = {x ∈ X ; x ∈ A ∧ x ∈ B},róznica zbiorów: A \ B = {x ∈ X ; x ∈ A ∧ x /∈ B},dopełnienie zbioru: A′ = X \ A,iloczyn kartezjanski zbiorów: A× B = {(x , y); x ∈ A ∧ y ∈ B},zbiór potegowy: P(A) = 2A = {B ⊂ X ; B ⊂ A}.

Wykład 1

Oznaczenia

N = {1,2,3, . . .}– zbiór liczb naturalnych,N0 = {0,1,2,3, . . .}– zbiór liczb naturalnych z zerem,Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}– zbiór liczb całkowitych,Q = {p

q ; p ∈ Z,q ∈ N}– zbiór liczb wymiernych,R– zbiór liczb rzeczywistych,C– zbiór liczb zespolonych.

Wykład 1

Funkcje. Podstawowe pojecia.

f : X → Y

↗ ↖ ↖

nazwa funkcji dziedzina przeciwdziedzina

f (X ) = {f (x) ∈ Y ; x ∈ X}– zbiór wartosci funkcji. (f (X ) ⊂ Y ).Funkcja f : X → Y jest róznowartosciowa (injekcja), gdy

∀x ,y∈X x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y).

Piszemy f : X 1−1−→ Y .Funkcja f : X → Y jest na (surjekcja), gdy

f (X ) = Y .

Piszemy f : X na−→ Y .Funkcja f : X → Y jest bijekcja, gdy jest róznowartosciowa i na.

Wykład 1

Monotonicznosc

Niech X ⊂ R. Funkcja f : X → R jest (silnie) rosnaca w zbiorzeA ⊂ X , gdy

∀x ,y∈A x < y ⇒ f (x) < f (y).

Niech X ⊂ R. Funkcja f : X → R jest słabo rosnaca(niemalejaca) w zbiorze A ⊂ X , gdy

∀x ,y∈A x < y ⇒ f (x) ≤ f (y).

Niech X ⊂ R. Funkcja f : X → R jest (silnie) malejaca w zbiorzeA ⊂ X , gdy

∀x ,y∈A x < y ⇒ f (x) > f (y).

Niech X ⊂ R. Funkcja f : X → R jest słabo malejaca(nierosnaca) w zbiorze A ⊂ X , gdy

∀x ,y∈A x < y ⇒ f (x) ≥ f (y).

Wykład 1

Wypukłosc/wklesłosc

Funkcja f : (a,b)→ R jest wypukła, gdy

∀x ,y∈(a,b)∀λ∈[0,1] f ((1− λ)x + λy) ≤ (1− λ)f (x) + λf (y).

Funkcja f : (a,b)→ R jest wklesła, gdy

∀x ,y∈(a,b)∀λ∈[0,1] f ((1− λ)x + λy) ≥ (1− λ)f (x) + λf (y).

Wykład 1

Funkcja wypukła/wklesła

Wykład 1

I jeszcze kilka własnosci

Niech D ⊂ R i niech f : D → R.Mówimy, ze f jest parzysta , gdy

∀x∈D − x ∈ D ∧ f (x) = f (−x).

Mówimy, ze f jest nieparzysta , gdy

∀x∈D − x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x).

Mówimy, ze f jest okresowa o okresie T 6= 0 , gdy

∀x∈D x + T ∈ D ∧ f (x) = f (x + T ).

Wykład 1

I jeszcze kilka własnosci

Niech D ⊂ R i niech f : D → R.Mówimy, ze f jest parzysta , gdy

∀x∈D − x ∈ D ∧ f (x) = f (−x).

Mówimy, ze f jest nieparzysta , gdy

∀x∈D − x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x).

Mówimy, ze f jest okresowa o okresie T 6= 0 , gdy

∀x∈D x + T ∈ D ∧ f (x) = f (x + T ).

Wykład 1

I jeszcze kilka własnosci

Niech D ⊂ R i niech f : D → R.Mówimy, ze f jest parzysta , gdy

∀x∈D − x ∈ D ∧ f (x) = f (−x).

Mówimy, ze f jest nieparzysta , gdy

∀x∈D − x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x).

Mówimy, ze f jest okresowa o okresie T 6= 0 , gdy

∀x∈D x + T ∈ D ∧ f (x) = f (x + T ).

Wykład 1

I jeszcze kilka własnosci

Niech D ⊂ R i niech f : D → R.Mówimy, ze f jest parzysta , gdy

∀x∈D − x ∈ D ∧ f (x) = f (−x).

Mówimy, ze f jest nieparzysta , gdy

∀x∈D − x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x).

Mówimy, ze f jest okresowa o okresie T 6= 0 , gdy

∀x∈D x + T ∈ D ∧ f (x) = f (x + T ).

Wykład 1

Funkcja parzysta

Wykład 1

Funkcja nieparzysta

Wykład 1

Funkcja okresowa

Wykład 1

Złozenie funkcji

definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.

Przykład 1

Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).

Przykład 2

Funkcja f (x) =√

3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =

√x , tj. f = h ◦ g.

Wykład 1

Złozenie funkcji

definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.

Przykład 1

Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).

Przykład 2

Funkcja f (x) =√

3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =

√x , tj. f = h ◦ g.

Wykład 1

Złozenie funkcji

definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.

Przykład 1

Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).

Przykład 2

Funkcja f (x) =√

3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =

√x , tj. f = h ◦ g.

Wykład 1

Złozenie funkcji

definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.

Przykład 1

Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).

Przykład 2

Funkcja f (x) =√

3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =

√x , tj. f = h ◦ g.

Wykład 1

Złozenie funkcji

definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.

Przykład 1

Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).

Przykład 2

Funkcja f (x) =√

3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =

√x , tj. f = h ◦ g.

Wykład 1

Złozenie funkcji

definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.

Przykład 1

Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).

Przykład 2

Funkcja f (x) =√

3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =

√x , tj. f = h ◦ g.

Wykład 1

Złozenie funkcji

definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.

Przykład 1

Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).

Przykład 2

Funkcja f (x) =√

3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =

√x , tj. f = h ◦ g.

Wykład 1

Funkcja odwrotna

Niech f : X 1−1−→ Y . Funkcje f−1 : f (X )→ X okreslonanastepujaco:

f−1(y) = x ⇔ f (x) = y ,

nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f .

Wykład 1

Funkcje elementarne. Wielomiany

Wielomianem stopnia n, n ∈ N0, nazywamy funkcje W : R→ Rpostaci W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0, gdziean 6= 0. Funkcje W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym.

Przykładywielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe):W (x) = a0, a0 6= 0wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe):W (x) = ax + b, a 6= 0wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe):W (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0wielomiany wyzszych stopni, np. W (x) = x3 − x ,W (x) = (x2 − 4)(x3 − 3x2 + x − 3)

Wykład 1

Funkcje elementarne. Wielomiany

Wielomianem stopnia n, n ∈ N0, nazywamy funkcje W : R→ Rpostaci W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0, gdziean 6= 0. Funkcje W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym.

Przykładywielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe):W (x) = a0, a0 6= 0wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe):W (x) = ax + b, a 6= 0wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe):W (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0wielomiany wyzszych stopni, np. W (x) = x3 − x ,W (x) = (x2 − 4)(x3 − 3x2 + x − 3)

Wykład 1

Funkcje elementarne. Wielomiany

Wielomianem stopnia n, n ∈ N0, nazywamy funkcje W : R→ Rpostaci W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0, gdziean 6= 0. Funkcje W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym.

Przykładywielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe):W (x) = a0, a0 6= 0wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe):W (x) = ax + b, a 6= 0wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe):W (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0wielomiany wyzszych stopni, np. W (x) = x3 − x ,W (x) = (x2 − 4)(x3 − 3x2 + x − 3)

Wykład 1

Funkcje elementarne. Wielomiany

Wielomianem stopnia n, n ∈ N0, nazywamy funkcje W : R→ Rpostaci W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0, gdziean 6= 0. Funkcje W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym.

Przykładywielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe):W (x) = a0, a0 6= 0wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe):W (x) = ax + b, a 6= 0wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe):W (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0wielomiany wyzszych stopni, np. W (x) = x3 − x ,W (x) = (x2 − 4)(x3 − 3x2 + x − 3)

Wykład 1

Funkcje elementarne. Wielomiany

Wielomianem stopnia n, n ∈ N0, nazywamy funkcje W : R→ Rpostaci W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0, gdziean 6= 0. Funkcje W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym.

Przykładywielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe):W (x) = a0, a0 6= 0wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe):W (x) = ax + b, a 6= 0wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe):W (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0wielomiany wyzszych stopni, np. W (x) = x3 − x ,W (x) = (x2 − 4)(x3 − 3x2 + x − 3)

Wykład 1

Funkcje stałe

Wykład 1

Funkcje liniowe

Wykład 1

Funkcje kwadratowe

Wykład 1

Wielomiany wyzszych stopni

Wykład 1

Wielomiany wyzszych stopni

Wykład 1

Wielomiany wyzszych stopni

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcje wymierne.

Niech P,Q : R→ R, beda wielomianami, Q 6= 0. OznaczmyZ = {x ∈ R : Q(x) = 0}.Funkcje R(x) = P(x)

Q(x) okreslona dla x ∈ R \ Z , nazywamyfunkcja wymierna.W szczególnosci, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj.P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d , przy czym ad − bc 6= 0, takafunkcje wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcjihomograficznej R(x) = ax+b

cx+d , gdy c 6= 0 jest hiperbola.

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcje wymierne.

Niech P,Q : R→ R, beda wielomianami, Q 6= 0. OznaczmyZ = {x ∈ R : Q(x) = 0}.Funkcje R(x) = P(x)

Q(x) okreslona dla x ∈ R \ Z , nazywamyfunkcja wymierna.W szczególnosci, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj.P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d , przy czym ad − bc 6= 0, takafunkcje wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcjihomograficznej R(x) = ax+b

cx+d , gdy c 6= 0 jest hiperbola.

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcje wymierne.

Niech P,Q : R→ R, beda wielomianami, Q 6= 0. OznaczmyZ = {x ∈ R : Q(x) = 0}.Funkcje R(x) = P(x)

Q(x) okreslona dla x ∈ R \ Z , nazywamyfunkcja wymierna.W szczególnosci, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj.P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d , przy czym ad − bc 6= 0, takafunkcje wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcjihomograficznej R(x) = ax+b

cx+d , gdy c 6= 0 jest hiperbola.

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcje wymierne.

Niech P,Q : R→ R, beda wielomianami, Q 6= 0. OznaczmyZ = {x ∈ R : Q(x) = 0}.Funkcje R(x) = P(x)

Q(x) okreslona dla x ∈ R \ Z , nazywamyfunkcja wymierna.W szczególnosci, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj.P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d , przy czym ad − bc 6= 0, takafunkcje wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcjihomograficznej R(x) = ax+b

cx+d , gdy c 6= 0 jest hiperbola.

Wykład 1

Funkcja homograficzna

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.

Definicja potegi o wykładniku wymiernym.

Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1

an , dla n ∈ N,

apq := q

√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.

Własnosciax · ay = ax+y

ax : ay = ax−y

(ax)y = axy

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.

Definicja potegi o wykładniku wymiernym.

Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1

an , dla n ∈ N,

apq := q

√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.

Własnosciax · ay = ax+y

ax : ay = ax−y

(ax)y = axy

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.

Definicja potegi o wykładniku wymiernym.

Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1

an , dla n ∈ N,

apq := q

√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.

Własnosciax · ay = ax+y

ax : ay = ax−y

(ax)y = axy

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.

Definicja potegi o wykładniku wymiernym.

Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1

an , dla n ∈ N,

apq := q

√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.

Własnosciax · ay = ax+y

ax : ay = ax−y

(ax)y = axy

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.

Definicja potegi o wykładniku wymiernym.

Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1

an , dla n ∈ N,

apq := q

√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.

Własnosciax · ay = ax+y

ax : ay = ax−y

(ax)y = axy

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.

Definicja potegi o wykładniku wymiernym.

Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1

an , dla n ∈ N,

apq := q

√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.

Własnosciax · ay = ax+y

ax : ay = ax−y

(ax)y = axy

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.

Definicja potegi o wykładniku wymiernym.

Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1

an , dla n ∈ N,

apq := q

√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.

Własnosciax · ay = ax+y

ax : ay = ax−y

(ax)y = axy

Wykład 1

Funkcja wykładnicza

TwierdzenieJesli funkcja f : R→ R spełnia równanie

f (x)f (y) = f (x + y) dla x , y ∈ R

oraz a := f (1) 6= 0, to f (r) = ar dla r ∈ Q.

TwierdzenieDla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcjarosnaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.Dla dowolnego a ∈ (0,1) istnieje dokładnie jedna funkcjamalejaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.

ax := fa(x), dla a ∈ (0,1) ∪ (1,∞), x ∈ R

Wykład 1

Funkcja wykładnicza

TwierdzenieJesli funkcja f : R→ R spełnia równanie

f (x)f (y) = f (x + y) dla x , y ∈ R

oraz a := f (1) 6= 0, to f (r) = ar dla r ∈ Q.

TwierdzenieDla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcjarosnaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.Dla dowolnego a ∈ (0,1) istnieje dokładnie jedna funkcjamalejaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.

ax := fa(x), dla a ∈ (0,1) ∪ (1,∞), x ∈ R

Wykład 1

Funkcja wykładnicza

TwierdzenieJesli funkcja f : R→ R spełnia równanie

f (x)f (y) = f (x + y) dla x , y ∈ R

oraz a := f (1) 6= 0, to f (r) = ar dla r ∈ Q.

TwierdzenieDla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcjarosnaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.Dla dowolnego a ∈ (0,1) istnieje dokładnie jedna funkcjamalejaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.

ax := fa(x), dla a ∈ (0,1) ∪ (1,∞), x ∈ R

Wykład 1

Funkcja wykładnicza

TwierdzenieJesli funkcja f : R→ R spełnia równanie

f (x)f (y) = f (x + y) dla x , y ∈ R

oraz a := f (1) 6= 0, to f (r) = ar dla r ∈ Q.

TwierdzenieDla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcjarosnaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.Dla dowolnego a ∈ (0,1) istnieje dokładnie jedna funkcjamalejaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.

ax := fa(x), dla a ∈ (0,1) ∪ (1,∞), x ∈ R

Wykład 1

Wykład 1

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcja logarytmiczna.

przypomnienie

Jesli funkcja f : X → Y jest róznowartosciowa, to funkcjef−1 : f (X )→ X zdefiniowana przez warunek

f−1(y) = x ⇔ f (x) = y

nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f .

Funkcja logarytmiczna

Funkcje odwrotna do funkcji wykładniczej f (x) = ax nazywamyfunkcja logarytmiczna o podstawie a i oznaczamy loga.To znaczy

loga y = x ⇔ ax = y .

Bezposrednio z definicji otrzymujemy tez:

loga ax = x , dla x ∈ R, aloga x = x , dla x ∈ (0,∞).

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcja logarytmiczna.

przypomnienie

Jesli funkcja f : X → Y jest róznowartosciowa, to funkcjef−1 : f (X )→ X zdefiniowana przez warunek

f−1(y) = x ⇔ f (x) = y

nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f .

Funkcja logarytmiczna

Funkcje odwrotna do funkcji wykładniczej f (x) = ax nazywamyfunkcja logarytmiczna o podstawie a i oznaczamy loga.To znaczy

loga y = x ⇔ ax = y .

Bezposrednio z definicji otrzymujemy tez:

loga ax = x , dla x ∈ R, aloga x = x , dla x ∈ (0,∞).

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcja logarytmiczna.

przypomnienie

Jesli funkcja f : X → Y jest róznowartosciowa, to funkcjef−1 : f (X )→ X zdefiniowana przez warunek

f−1(y) = x ⇔ f (x) = y

nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f .

Funkcja logarytmiczna

Funkcje odwrotna do funkcji wykładniczej f (x) = ax nazywamyfunkcja logarytmiczna o podstawie a i oznaczamy loga.To znaczy

loga y = x ⇔ ax = y .

Bezposrednio z definicji otrzymujemy tez:

loga ax = x , dla x ∈ R, aloga x = x , dla x ∈ (0,∞).

Wykład 1

wykres funkcji logarytmicznej i wykładniczej

Wykład 1

Własnosci funkcji logarytmicznej

Wykład 1

Oznaczenie: log x := log10 x , ln x := loge x .

własnosci logarytmów

loga b + loga c = loga(bc),loga b − loga c = loga(b : c),loga bc = c loga b,logab c = 1

b loga c,

loga b =logc blogc a ,

loga b = 1logb a .

Wykład 1

Oznaczenie: log x := log10 x , ln x := loge x .

własnosci logarytmów

loga b + loga c = loga(bc),loga b − loga c = loga(b : c),loga bc = c loga b,logab c = 1

b loga c,

loga b =logc blogc a ,

loga b = 1logb a .

Wykład 1

Oznaczenie: log x := log10 x , ln x := loge x .

własnosci logarytmów

loga b + loga c = loga(bc),loga b − loga c = loga(b : c),loga bc = c loga b,logab c = 1

b loga c,

loga b =logc blogc a ,

loga b = 1logb a .

Wykład 1

Oznaczenie: log x := log10 x , ln x := loge x .

własnosci logarytmów

loga b + loga c = loga(bc),loga b − loga c = loga(b : c),loga bc = c loga b,logab c = 1

b loga c,

loga b =logc blogc a ,

loga b = 1logb a .

Wykład 1

Oznaczenie: log x := log10 x , ln x := loge x .

własnosci logarytmów

loga b + loga c = loga(bc),loga b − loga c = loga(b : c),loga bc = c loga b,logab c = 1

b loga c,

loga b =logc blogc a ,

loga b = 1logb a .

Wykład 1

Oznaczenie: log x := log10 x , ln x := loge x .

własnosci logarytmów

loga b + loga c = loga(bc),loga b − loga c = loga(b : c),loga bc = c loga b,logab c = 1

b loga c,

loga b =logc blogc a ,

loga b = 1logb a .

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcje trygonometryczne.

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne.

Definicja

arc sin x := (sin |[−π2 ,π2 ])

−1(x)

arc cos x := (cos |[0,π])−1(x)

arctg x := (tg |(−π2 ,π2 ))

−1(x)

arcctg x := (ctg |(0,π))−1(x)

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne.

Definicja

arc sin x := (sin |[−π2 ,π2 ])

−1(x)

arc cos x := (cos |[0,π])−1(x)

arctg x := (tg |(−π2 ,π2 ))

−1(x)

arcctg x := (ctg |(0,π))−1(x)

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne.

Definicja

arc sin x := (sin |[−π2 ,π2 ])

−1(x)

arc cos x := (cos |[0,π])−1(x)

arctg x := (tg |(−π2 ,π2 ))

−1(x)

arcctg x := (ctg |(0,π))−1(x)

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne.

Definicja

arc sin x := (sin |[−π2 ,π2 ])

−1(x)

arc cos x := (cos |[0,π])−1(x)

arctg x := (tg |(−π2 ,π2 ))

−1(x)

arcctg x := (ctg |(0,π))−1(x)

Wykład 1

Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne.

Definicja

arc sin x := (sin |[−π2 ,π2 ])

−1(x)

arc cos x := (cos |[0,π])−1(x)

arctg x := (tg |(−π2 ,π2 ))

−1(x)

arcctg x := (ctg |(0,π))−1(x)

Wykład 1

Funkcje cyklometryczne. Arcsin.

Wykład 1

Funkcje cyklometryczne. Arccos.

Wykład 1

Funkcje cyklometryczne. Arctg.

Wykład 1

Funkcje cyklometryczne. Arcctg.

Wykład 1

Przekształcenia wykresów funkcji

g(x) = f (x) + b

(x , y) ∈ grf ⇔ (x , y + b) ∈ grg

Wykład 1

Przekształcenia wykresów funkcji

g(x) = f (x − a)

(x , y) ∈ grf ⇔ (x + a, y) ∈ grg

Wykład 1

Przekształcenia wykresów funkcji

g(x) = f (−x)

(x , y) ∈ grf ⇔ (−x , y) ∈ grg

Wykład 1

Przekształcenia wykresów funkcji

g(x) = −f (x)

(x , y) ∈ grf ⇔ (x ,−y) ∈ grg

Wykład 1

Przekształcenia wykresów funkcji

g(x) = f (kx)

(x , y) ∈ grf ⇔ ( 1k x , y) ∈ grg

Wykład 1

Przekształcenia wykresów funkcji

g(x) = kf (x)

(x , y) ∈ grf ⇔ (x , ky) ∈ grg

Wykład 1