Embed Size (px)
Citation preview
О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ,
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ,
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Учебное пособие
РПК “Политехник”
Волгоград 2008
2
УДК 519.2 Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор Филиала ГОУВПО „Московский
энергетический институт (технологический университет)”
в г. Волжском Кульков В. Г.
кафедра „Прикладной математики и информатики” ВГИ (филиал) ВолГУ, к.т.н.
Ушаков А. Н. и доктор техн. наук, профессор, зав. кафедрой Мирецкий И. Ю.
Афонасенков О. В., Матвеева Т. А. Функциональные ряды, ряды и интеграл
Фурье: Учеб. пособие / ВолгГТУ. – Волгоград, 2008. – 96 с.
ISBN 5 – 230 – –
Содержит необходимый теоретический материал и примеры,
иллюстрирующие основные понятия по учебной дисциплине
″Функциональные ряды, ряды и интеграл Фурье″. Разработаны варианты
контрольных (семестровых) работ.
Рассчитано на студентов дневной и вечерней форм обучения высших
технических заведений всех специальностей и направлений.
Библиогр.: 12 названий
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета.
ISBN 5 – 230 – –
© Волгоградский государственный технический университет, 2008
3
ОГЛАВЛЕНИЕ §1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ…………………………………… 4
1.1. Основные понятия функционального ряда …………………… 4
1.2. Равномерная сходимость функционального ряда …………… 9
1.3. Основные теоремы о равномерно сходящихся рядах ………… 13
§2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ …………………………………………… 14
2.1. Сходимость степенных рядов ………………………………… 14
2.2. Свойства степенных рядов внутри интервала сходимости…… 19
2.3. Степенные ряды с комплексными членами …………………… 23
§3. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ……… 25
3.1. Ряды Тейлора и Маклорена …………………………………… 25
3.2. Разложение элементарных функций в степенные ряды ……… 27
3.3. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов … 36
§4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ ………………… 41
4.1. Основные понятия ……………………………………………… 42
4.2. Теорема о разложимости функций в ряд Фурье ……………… 43
4.3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций ………………… 45
4.4. Ряды Фурье для функций произвольного периода …………… 51
4.5. Разложение в ряд Фурье непериодической функции ………… 58
4.6. Комплексная форма ряда Фурье ……………………………… 61
§5. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ………… 64
5.1. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье………… 64
5.2. Теорема о представлении функций интегралом Фурье ……… 66
5.3. Комплексная форма интеграла Фурье ………………………… 73
5.4. Преобразование Фурье ………………………………………… 74
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ……………………………………………… 78
РАСШИРЕННАЯ ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ…………………… 95
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………… 97
4
§1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
1.1. Основные понятия функционального ряда
Определение. Если ( ){ }∞=1nn xu – последовательность функций аргумента
x, заданных на некотором множестве X числовой оси, то ряд
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ......321
1 +++++=∑∞
=xuxuxuxuxu n
nn (1.1)
называется функциональным рядом; ( )xun называется общим членом
функционального ряда.
При фиксированном Xx ∈0 функциональный ряд ( )∑∞
=10
nn xu становится
числовым, который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Определение. Частичными суммами функционального ряда ∑∞
=1
)(n
n xu
называются функции ∑=
==n
kkn nxuxS
1,...2,1),()( .
Определение. Функциональный ряд ∑∞
=1
)(n
n xu называется сходящимся в
точке 0xx = , если в этой точке сходится последовательность его
частичных сумм, то есть ∞→n
lim )( 0xSn )( 0xS= . Число )( 0xS называется
суммой ряда ∑∞
=1
)(n
n xu в точке 0x .
Определение. Областью сходимости функционального ряда
называется совокупность E ( )XE ⊂ всех значений аргумента x , при
которых ряд ∑∞
=1
)(n
n xu сходится, и тем самым на этом множестве
определена функция ( )xS , которая является суммой ряда.
5
Определение. Выражение вида )()()( xRxSxS nn =− называется
остатком функционального ряда (1.1).
В области сходимости ряда (1.1) его )(xSn частичная сумма, а также
сумма ( )xS и )(xRn остаток ряда будут функциями от x .
Поскольку при любом фиксированном Xx∈ функциональный ряд
( )∑∞
=1nn xu становится числовым, то для его исследования можно применять все
признаки сходимости числовых рядов. Из них наиболее применимыми
являются признаки Даламбера и Коши.
Признак Даламбера:
( )( ) ( )xxu
xu
n
n
nϕ=+
∞→1lim
Признак Коши:
( ) ( )xxunn
nϕ=
∞→lim
Интервал сходимости функционального ряда находим из неравенства
( ) 1<xϕ . Исследовав концы получившегося интервала на сходимость,
определяем область сходимости функционального ряда.
Пример 1.1. Найдите область сходимости функционального ряда
∑∞
= +⋅+
1
2
)4(5
1
nnn x
n.
Решение. Для исследования сходимости функционального ряда
применим признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин
членов исходного ряда, для чего найдем предел
( ) =∞→
nn
nxulim =
+⋅+
∞→n
nnn x
n
)4(5
1lim
2 ( )|4|5
11lim
|4|5
1 12
+⋅=+⋅
+⋅ ∞→ xn
xn
n.
6
Чтобы вычислить предел варианты ( ) nn
n1
2 1lim +∞→
, заменим ее более общим
выражением: ( ) =xf ( ) xx1
2 1+ , к которому уже можно применить методы
дифференциального исчисления. Предположим, что ( ) Cx xn
=+∞→
12 1lim .
Прологарифмируем данное равенство
( ) Cx xn
ln1lnlim1
2 =+∞→
или ( )
Cx
xn
ln01ln
lim2
==+∞→
, 1=⇒ C .
Действительно, последний предел равен нулю, так как логарифмическая
функция стремится к бесконечности медленнее, чем любая степенная
функция (это можно показать, например, применив правило Лопиталя).
Интервал сходимости выражается неравенством
1|4|5
1 <+⋅ x
или 5
14 >+x .
Представим неравенство в виде объединения двух неравенств:
5
14 −<+x или
5
14 >+x ,
5
21−<x или 5
19−>x
∞+
−∞−∈⇒ ;5
19
5
21; Ux – интервал сходимости функционального ряда.
Подставляя в исходный ряд 5
21−=x , получим знакочередующийся
числовой ряд ∑∞
= −+
1
2
)1(
1
nn
n, который расходится, так как не выполняется
необходимое условие сходимости ряда: ( ) ( ) ∞=+−=∞→∞→
11limlim 2na n
nn
n.
Подставим в исходный ряд 5
19−=x . Получим числовой ряд ( )∑∞
=+
1
2 1n
n ,
который расходится, так как не выполняется необходимое условие
сходимости ряда.
7
Ответ:
+∞−
−∞−= ;5
19
5
21; UE – область сходимости
функционального ряда.
Отметим известный факт из математического анализа (см. например
[4]), который удобно использовать при применении признака Коши:
1lim =∞→
n
nn
==
∞→constpnn p
n,1lim .
Пример 1.2. Найдите область сходимости ряда ( )
∑∞
=
12
3sin
33
8
n
nn
n
x.
Решение. Для исследования сходимости применим признак Коши к
ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда:
( ) =∞→
nn
nxulim
( ) ( )( ) =
⋅
⋅=
∞→∞→ 2
3
2
3
33
sin8lim
sin
33
8lim
nnn
nn
n n
x
n
x ( )33
sin8 3x⋅
.
Интервал сходимости выражается неравенством
( )
133
|sin|8 3
<⋅ x или
833
sin833 3 <<− x .
Тригонометрическое неравенство
2
3sin
2
3 <<− x
решим с помощью единичной
окружности.
ππ mxm +<<+
−
2
3arcsin
2
3arcsin ,
где Nm∈ .
Таким образом, интервалом сходимости является объединение
интервалов, заданных неравенствами ππππmxm +<<+−
33 ( )Nm∈ .
3π
3π−
8
Исследуем сходимость ряда в граничных точках полученных интервалов.
Если ππmx +−=
3 при km 2= ; ππ
mx +=3
при 12 += km ( )Nk∈ ,
то получаем знакочередующийся абсолютно сходящийся числовой ряд:
=
−⋅⋅
∑∞
=
n
n
n
n
3
12 2
31
33
8 ∑
∞
=
−
12
)1(
n
n
n,
так как ряд, составленный из абсолютных величин ∑∞
=12
1
n n, является
сходящимся рядом (ряд Дирихле), что можно показать по интегральному
признаку.
Если ππmx +−=
3 при 12 += km ; ππ
mx +=3
при km 2= ( )Nk∈ , то
получаем числовой ряд с положительными членами:
=
⋅⋅
∑∞
=
n
n
n
n
3
12 2
31
33
8 ∑
∞
=12
1
n n,
который сходится.
Ответ: ( )
∈+≤≤+−= NmmxmE ,
33ππππ
– область сходимости
функционального ряда.
Пример 1.3. Найдите область сходимости функционального ряда
( )∑∞
=−
1
2
!
21
n
nn
nx .
Решение. Для исследования сходимости данного ряда применим признак
Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного
ряда:
( )( )
( ) ( )
( ) ( )=
⋅−⋅
+⋅−=
++
∞→+
∞→ nn
nn
nn
n
n x
n
n
x
xu
xu
21
!
!1
21limlim
2
1121
9
( )( ) ( )
( )( ) =
+⋅−=
⋅−⋅
+⋅⋅−=
∞→
+
∞→ 1
21lim
21
!
1!
221lim
2
2
22
n
x
x
n
nn
xnnn
nn
n
( ) 01
1lim12 2 =
+⋅−⋅=
∞→ nx
n.
Так как ( ) 10 <=xϕ при любом значении x, то область сходимости
искомого ряда есть вся числовая ось.
Ответ: ( ){ }+∞∞−= ;E – область сходимости функционального ряда.
1.2. Равномерная сходимость функционального ряда
Введем понятие равномерно сходящегося ряда. Важность этого понятия
станет ясна из дальнейшего, когда мы придем к выяснению вопроса о том, в
каких случаях для функционального ряда, представляющего собой «сумму
бесконечного числа функций», сохраняются основные свойства суммы
конечного числа функций. Дело в том, что не всегда сумма ряда
непрерывных функций оказывается непрерывной функцией (см. пример 1.4),
не всегда интеграл от суммы ряда непрерывных функций равен сумме
интегралов от каждой из этих функций, не всегда производная от суммы ряда
дифференцируемых функций равна сумме ряда производных от каждой из
этих функций.
Пример 1.4. Найти область сходимости и сумму функционального ряда
( )∑∞
=⋅−
0
1n
nxx .
Решение. Ряд ( ) ( )( )......111 2
0+++++−=⋅−∑
∞
=
n
n
n xxxxxx определен на
множестве ( )+∞∞−= ,X .
Очевидно, что при фиксированном x ряд в скобках является рядом
состоящим из членов геометрической прогрессии со знаменателем xq = . При
10
1|| <x сумму этого ряда можно вычислить по формуле суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
q
bS
−=
11 .
Сумма ряда ( ) ( ) ( )( ) 11
111
0
=−
−=⋅−= ∑∞
= xxxxxS
n
n при 11 <<− x .
В точке 1−=x получаем числовой ряд ....2222222 −+−+−+− ,
который расходится, так как не выполняется необходимый признак
сходимости. В точке 1=x получаем числовой ряд ...0000000 +++++++ ,
который сходится к нулю.
Таким образом, область сходимости ряда ( ]1,1−=E , сумма ряда
( ) ( )
=−∈
=.1,0
,1,1,1
x
xxS
Видим, что сумма ряда ( )xS является разрывной функцией в точке 1=x ,
хотя члены ряда являются непрерывными функциями в этой точке.
Ответ: область определения ряда ( )+∞∞−= ,X , область сходимости
ряда ( ]1,1−=E , сумма ряда ( ) ( )
=−∈
=.1,0
,1,1,1
x
xxS
Определение. Функциональный ряд ∑∞
=1
)(n
n xu называется равномерно
сходящимся на множестве E , если для любого как угодно малого 0>ε
найдется такой номер N , зависящий только от ε , что при всех Nn ≥
будет выполняться неравенство ε<− |)()(| xSxS n для любого Ex∈ .
Теорема 1.1. (Достаточный признак равномерной сходимости
функционального ряда – признак Вейерштрасса).
Если члены функционального ряда ∑∞
=1
)(n
n xu удовлетворяют в области E
неравенствам nn xu α≤)( ,...)3,2,1( =n , где nα – члены сходящегося
11
положительного ряда ∑∞
=1nnα , то функциональный ряд ∑
∞
=1
)(n
n xu сходится
абсолютно и равномерно на множестве E .
Функциональный ряд (1.1) при выполнении условий теоремы
называется мажорируемым рядом.
Помимо признака Вейерштрасса существует и ряд других признаков, с
которыми можно познакомиться, например, в [ ]31− .
Пример 1.5. Докажите равномерную сходимость функционального ряда
∑∞
= −−
1 110)1(
n
nn
n
x на отрезке [ ]1;0 .
Решение. Ряд будет сходиться равномерно на отрезке [ ]1;0 , если для
любого числа 0>ε можно найти такой номер N , что, начиная с некоторого
номера, Nn ≥ будет выполняться ε<|)(| xRn для всех ∈x [ ]1;0 .
Исследуемый ряд является знакочередующимся сходящимся рядом при
∈x [ ]1;0 . Это можно показать, например, по признаку Лейбница.
Выполняются оба условия признака Лейбница:
1) 0110
lim =−∞→ n
xn
n при [ ]1;0∈x ;
2) 910110
1
+>
−
+
n
x
n
x nn
, так как ( ) 10110110
1
+−>
− n
x
n выполняется при ∈x [ ]1;0 .
Остаток сходящегося знакочередующегося ряда оценивается с помощью
неравенства |)(||)(| 1 xuxR nn +< , то есть 910
1910
|)(|1
+<
+<
+
nn
xxR
n
n .
Таким образом, получаем ε≤+
<910
1|)(|
nxRn . Из последнего
неравенства оценим номер: 9,010
1 −≥ε
N . Получили, что для любого 0>ε
можно найти номер N при ∈x [ ]1;0 , значит, равномерная сходимость
12
доказана. Например, при 01,0=ε N можно взять равным 10, при 001,0=ε
100=N .
Вывод: данный ряд сходится равномерно на промежутке [ ]1;0 .
Пример 1.6. Исследовать на равномерную сходимость ряд ( )
∑∞
=
−
+−
12
11
n
n
nx.
Решение. Замечаем, что при любом фиксированном ( )+∞∞−∈ ,x этот
ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, то есть он является условно
сходящимся на множестве ( )+∞∞−= ,E . Возьмем теперь любое 0>ε . Мы
знаем, что для суммы остатка знакочередующегося ряда справедлива оценка
( ) ( )( ) ( )1
1
1
122 ++
=++
−≤nxnx
xRn
n , ( )+∞∞−∈ ,x .
Очевидно, что ( ) nnx
11
12
<++
выполняется для всех ( )+∞∞−∈ ,x .
Рассмотрим неравенство ε<n
1. Данное неравенство выполняется при
всех n ( )Nn∈ , удовлетворяющих условию: Nn > ,
=ε1
N , где [ ]x – целая
часть числа x . Отметим, что номер
=ε1
N зависит только от ε ( N не
зависит от переменной x ). Следовательно, неравенство ( ) ε<xRn верно для
всех ( )+∞∞−∈ ,x , если только Nn > .
Вывод: данный ряд сходится равномерно на промежутке ( )+∞∞− , .
Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд ( )
∑∞
=13
cos
n n
nx.
Решение. ( )
33
1cos
nn
nx ≤ , так как ( ) 1cos ≤nx при любом x . При этом
известно, что числовой ряд ∑∞
=1
1
ntn
при 13>=t сходится, то в соответствии с
13
признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом
в любом интервале.
Вывод: данный ряд сходится равномерно на промежутке ( )+∞∞− , .
1.3. Основные теоремы о равномерно сходящихся рядах
Теорема 1.2. (О непрерывности суммы ряда). Пусть ( )xS – сумма ряда
∑∞
=1)(
nn xu , Ex∈ (1.2)
члены которого непрерывны на E . Тогда, если ряд (1.2) сходится равномерно
на E , то сумма ряда будет функцией, непрерывной на E .
Теорема 1.3. (О почленном интегрировании ряда).
Пусть члены ряда ∑∞
=1)(
nn xu , определены и непрерывны на отрезке [ ]ba, .
Тогда, если этот ряд сходится равномерно на отрезке [ ]ba, , то его можно
почленно интегрировать, то есть
∫ ∑ ∫∑∞
=
∞
==
b
a n
b
an
nn dxxudxxu
11)()( .
Если при этом верхний предел интегрирования является переменным, то
получившийся функциональный ряд ∑ ∫∞
=1
)(n
x
an dxxu будет равномерно
сходиться на [ ]ba, .
Теорема 1.4. (О почленном дифференцировании ряда).
Если члены ряда ∑∞
=1
)(n
n xu , сходящегося на отрезке [ ]ba, , представляют
собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд,
составленный из этих производных ∑∞
=′
1
)(n
n xu , сходится на этом отрезке
14
равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно
дифференцировать почленно
∑∑∞
=
∞
==
11
)()(
n
n
nn dx
xudxu
dx
d.
§2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
2.1. Сходимость степенных рядов
Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую
роль играет ряд, членами которого являются степенные функции.
Определение. Функциональный ряд вида
∑∞
=−=+−++−+−+
000
202010 )(...)(...)()(
n
nn
nn xxaxxaxxaxxaa , (2.1)
называется степенным, действительные числа ...,...,,, 10 naaa .
называются коэффициентами ряда.
Ряд (2.1), с помощью замены 0xxt −= , легко приводится к виду n
nn ta∑
∞
=0.
Теорема 2.1. (Первая теорема Абеля).
1) Если степенной ряд
∑∞
==+++++
0
2210 ......
n
nn
nn tatatataa
сходится в точке 00 ≠= tt , то он сходится (и притом абсолютно) при
всяком значении t , удовлетворяющем неравенству 0tt < ;
2) если ряд расходится при некотором значении 0t′ , то он расходится
при всяком t , для которого 0tt ′> .
15
Из теоремы Абеля следует, что для каждого степенного ряда
( )nn
n xxa 00
−∑∞
=, существует действительное неотрицательное число R, такое,
что внутри интервала ( )RxRx +− 00 ; степенной ряд сходится абсолютно, а
вне этого интервала расходится.
Интервал ( )RxRx +− 00 ; называется интервалом сходимости, а число
R ( )∞≤≤ R0 – радиусом сходимости степенного ряда.
На концах интервала сходимости ряд может сходиться или расходиться.
Сходимость ряда в этих точках исследуется непосредственно подстановкой
значения Rxx ±= 0 в ряд.
Область сходимости степенного ряда никогда не является пустым
множеством, поскольку степенной ряд ( )nn
n xxa 00
−∑∞
= обязательно
сходится в точке 0x .
Если среди коэффициентов ряда ,...,...,, 21 naaa нет равных нулю, то есть
ряд содержит все целые положительные степени разности )( ax − , то
радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формулам:
1
lim+∞→
=n
n
n a
aR
nn
n aR
1lim
∞→=
x
0x
Rx −0
Rx +0
сходится
расходится расходится
16
Если ∞<< R0 , то ( )RxRx +− 00 ; интервал сходимости.
Если 0=R , то интервал сходимости вырождается в точку 0x .
Если ∞=R , то интервал сходимости совпадает со всей числовой осью, в
этом случае говорят, что степенной ряд везде сходится.
Если степенной ряд содержит не все степени x, то интервал сходимости
ряда находят, непосредственно, применяя признак Даламбера или признак
Коши к функциональному ряду, составленному из абсолютных величин
членов исходного ряда.
Пример 2.1. Найти область сходимости ряда ...!
...!3!2
32
+++++n
xxxx
n
.
Решение. Данный ряд является степенным, поэтому найдем его радиус
сходимости по формуле:
( ) ∞=+=+=+=
+
==∞→∞→∞→∞→+∞→
1lim!
)1(!lim
!
)!1(lim
)!1(
1!
1
limlim1
nn
nn
n
n
n
na
aR
nnnnn
n
n.
Так как ∞=R , то данный ряд сходится при любом значении x .
Ответ: ( ){ }+∞∞−= ,E – область сходимости ряда.
Пример 2.2. Найти область сходимости степенного ряда ( )∑∞
=−
0n
2! nxn .
Решение. Поскольку 0!≠= nan , воспользуемся формулой для
определения радиуса сходимости.
( ) 01
1lim
!1!
limlim1
=+
=+
==∞→∞→+∞→ nn
n
a
aR
nnn
n
n,
следовательно, данный ряд сходится в единственной точке 2=x .
Ответ: точка 2=x – область сходимости ряда.
17
Пример 2.3. Найти область сходимости степенного ряда ∑∞
= +−
0n 32
)1(nn
nx.
Решение. Данный ряд является степенным. Найдем радиус сходимости
1
lim+∞→
=n
n
n a
aR =
++=
+
+=++
∞→++
∞→ nn
nn
n
nn
nn
n 32
32lim
32
132
1
lim11
11
( )( )( )( )
( )3
10
103
1)32(lim
1)32(lim3
1323
1323lim
111
=++⋅=
+
+⋅
=+
+=∞→
+
∞→++
∞→ n
n
n
nnn
nn
n.
Таким образом, интервал сходимости определяется неравенством
3|1| <−x , или интервалом ( )31;31 +− , то есть ( )4;2−∈x .
Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала.
Если 2−=x , то получаем числовой знакочередующийся ряд:
...35
27
13
9
5
3
32
)3(
1
+−+−=+
−∑∞
=nnn
n
.
Этот ряд расходится, так как общий член не стремится к нулю (нарушается
необходимое условие сходимости).
Если 4=x , то получаем числовой ряд с положительными членами:
...97
81
35
27
13
9
5
3
32
3
1
++++=+
∑∞
=nnn
n
,
который расходится, так как общий член не стремится к нулю.
Ответ: ( ){ }4,2−=E – область сходимости ряда.
Пример 2.4. Исследовать на сходимость ряд ( ) kk
k
xk
k 2
1
212
1 −
++
∑∞
=.
Решение. Заданный степенной ряд неполный ( 0=na при 12 −= kn ). Для
нахождения интервала сходимости воспользуемся признаком Коши.
( ) ( ) =−⋅
++=
∞→∞→k k
k
k
kk
kx
k
kxu 22
12
1limlim
18
( ) ( ) ( )2
12
12
11lim22
12
1lim 222 ⋅−=
++⋅−=−⋅
++=
∞→∞→x
k
kxx
k
kkk
Ряд абсолютно сходится, если ( ) 12
12 2 <⋅−x или 22 <−x . Таким
образом, интервал сходимости ( )22;22 +−∈x .
Полагая 22 ±=x , получаем числовой ряд
=⋅
++
∑∞
=
kk
k k
k2
12
1
1
( ) =
+⋅+
∑∞
=
k
k k
k
1 12
21k
k k∑∞
=
++
1 12
11 .
Проверим необходимое условие сходимости числового ряда:
[ ] =
++==
++=
++
∞→∞
∞→∞→
1212
12
11lim1
12
11limlim
k
kk
k
k
kk
k kka
011limпредел
ныйзамечательвторой2112
lim≠==
=
+= +
∞→
∞→ eee
n
k
k
n
n
k
Напомним, что другим способом нахождения пределов с
неопределенностью ]1[ ∞ является формула:
( )[ ] ( ) [ ] ( )[ ] ( )xgxfxg
x
xexf⋅−∞
∞→∞→==
1lim1lim ,
поэтому, 12lim
12
11lim +
∞→∞→=
++ k
kk
k
kek
0≠= e .
Так как не выполняется необходимое условие сходимости, то степенной
ряд в точках 22 ±=x расходится.
Ответ: ( ){ }22;22 +−=E – область сходимости ряда.
Пример 2.5. Исследовать на сходимость ряд ( )
∑∞
= ⋅+
1 5
3
nn
n
n
x.
Данный ряд является степенным. Найдем радиус сходимости ряда
19
5515lim1
lim =⋅=⋅==∞→∞→
n n
nnn
nn
aR .
Находим интервал сходимости 53 <+x , получаем ( )2;8−∈x .
При 8−=x имеем ряд ( ) ( )
∑∑∞
=
∞
=
−=⋅
−
11
1
5
5
n
n
nn
n
nn, который сходится по признаку
Лейбница.
При 2=x имеем гармонический ряд ∑∑∞
=
∞
==
⋅ 11
1
5
5
nnn
n
nn.
Ответ: [ ){ }2;8−=E – область сходимости ряда.
2.2. Свойства степенных рядов внутри интервала сходимости
Теорема 2.2.
Степенной ряд сходится равномерно в любом замкнутом промежутке,
целиком лежащем в интервале сходимости.
Сформулируем без доказательства основные свойства степенных рядов.
Пусть дан степенной ряд
( )∑∞
=−
00
n
nn xxa , (2.1)
интервал сходимости которого ( )RxRxE +−= 00 ; .
Свойство 1. Внутри интервала сходимости ( )RxRx +− 00 ; сумма
степенного ряда (2.1) является непрерывной и бесконечно
дифференцируемой функцией.
Свойство 2. Степенные ряды ( )∑∞
=−
00
n
nn xxa и ( )∑
∞
=−
00
n
nn xxb , имеющие
радиусы сходимости соответственно 1R и 2R , можно почленно
складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости полученных рядов
равен наименьшему из чисел 1R и 2R .
20
Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим
операциям с их членами:
( ) ( ) ( )∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=−±=−±−
00
00
00 )(
n
nnn
n
nn
n
nn xxbaxxbxxa .
Произведение двух степенных рядов выражается формулой:
( ) ( ) ( )∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=−=−⋅−
00
00
00
n
nn
n
nn
n
nn xxсxxbxxa ,
где коэффициенты nc находятся по формуле
011110 ... babababac nnnnn ++++= −− .
Свойство 3. Деление двух степенных рядов выражается формулой:
( )
( )( )∑
∑
∑ ∞
=∞
=
∞
= −=−
−
00
00
00
n
nn
n
nn
n
nn
xxq
xxb
xxa
,
где для определения коэффициентов nq рассматриваем произведение рядов
( ) ( ) ( )∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=−=−⋅−
00
00
00
n
nn
n
nn
n
nn xxaxxbxxq , полученное из записанного выше
равенства, и решаем систему уравнений
01101
000
bqbqa
bqa
+==
0110
0211202
...
....................................
bqbqbqa
bqbqbqa
nnnn +++=
++=
−
Свойство 4. (Интегрирование степенных рядов). Степенной ряд (2.1)
можно почленно интегрировать по промежутку [ ]xa; , целиком лежащему в
интервале сходимости ( )RxRx +− 00 ; :
=−=−= ∑ ∫∫ ∑∫∞
=
∞
= 00
)()()(n
x
a
nn
x
a n
nn
x
a
dxaxadxaxadxxS
21
( ) ( )∑∞
=
++
+−−
+−=
0
10
10
11n
nn
n n
xa
n
xxa .
Радиус сходимости полученного ряда равен радиусу сходимости
исходного ряда.
Свойство 5. (Дифференцирование степенных рядов). Степенной ряд
(2.1) можно почленно дифференцировать на интервале сходимости E :
( ) ( )( ) ( ) )()(1
10
00
00 xxxanxxa
dx
dxxa
dx
dxS
n
nn
n
nn
n
nn ϕ=−=−=−=′ ∑∑∑
∞
=
−∞
=
∞
=.
При этом радиус сходимости ряда из производных равен радиусу
сходимости исходного ряда.
Свойство 6. (Вторая теорема Абеля). Если R – радиус сходимости
степенного ряда (2.1) и этот ряд сходится хотя бы условно при Rxx += 0 ,
то он сходится равномерно на отрезке [ ]Rxx +00; и его сумма непрерывна
на отрезке [ ]Rxx +00; действительной оси.
Степенной ряд в своем интервале сходимости ведет себя по отношению
к операциям дифференцирования и интегрирования так же, как и многочлен
с конечным числом членов.
Операции почленного интегрирования и дифференцирования часто
используются при вычислении сумм степенных рядов.
Пример 2.6. Найти сумму ряда ...4321 32 ++++ xxx )1||( <x ,
продифференцировав почленно ряд ...1 432 +++++ xxxx ( )1|| <x .
Решение. Воспользовавшись формулой суммы членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
−=
q
bS
11 , получаем
xxxxx
−=+++++
11
...1 432 .
Остается продифференцировать полученное равенство:
22
232
)1(
1...4321
xxxx
−=++++ .
Ответ: =++++ ...4321 32 xxx2)1(
1
x− при 1|| <x .
Пример 2.7. Найдите область сходимости и сумму ряда ∑∞
=1n
n
n
x.
Решение. Интервалом сходимости этого ряда является [ )1;1− (проверьте
это самостоятельно). Обозначим сумму ряда ( )xS . Продифференцируем
почленно:
( ) ==
=
= ∑∑∑
∞
=
−∞
=
∞
= 1
1
1
//
1
/
n
n
n
n
n
n
xn
x
n
xxS
xxxxx n
−=++++++
1
1......1 32 .
Проинтегрируем равенство ( )x
xS−
=1
1/ в пределах от 0 до x при [ )1;1−∈x :
( ) ( ) ( ) xx
dxdxxSSxS
xx
−−=−
==− ∫∫ 1ln1
000
/ ,
а поскольку ( ) 00 =S и 01 >− x при [ )1;1−∈x , то окончательно получим,
что сумма ряда ( ) ( )xxS −−= 1ln .
Заметим, что при 1−=x исходный ряд сходится условно,
следовательно,
( ) ( ) 2ln...1
1...3
1
2
11
1
1
−=+−++−+−=−∑∞
= nnn
n
n
,
причем порядок членов ряда менять нельзя. (Здесь для утверждения того,
что сумма последнего числового ряда равна 2ln− , применена вторая теорема
Абеля).
При 1=x имеем гармонический ряд ∑∞
=1
1
n n.
Следовательно, =++++ ...432
432 xxxx )1ln( x−− при [ )1;1−∈x .
23
Ответ: [ ){ }1;1−=E – область сходимости ряда; сумма ряда
( ) ( )xxS −−= 1ln при [ )1;1−∈x .
2.3. Степенные ряды с комплексными членами
Определение. Функциональный ряд, общий член которого имеет вид
( ) ( )kkk zzczu 0−= , где kc – комплексные числа, 0z – фиксированная точка
комплексной плоскости, переменная z – комплексное переменное,
называется степенным рядом с комплексными членами.
Для таких рядов существует теория, аналогичная теории степенных
рядов с действительными членами.
Теорема 2.3. (Первая теорема Абеля). Если ряд ( )∑∞
=−
00
k
kk zzc сходится
в некоторой точке 01 zz ≠ , то он абсолютно сходится в круге
010 zzzz −<− . Кроме того, в любой замкнутой подобласти (круге) вида
010 zzzz −≤≤− ρ ряд сходится равномерно.
Из этой теоремы, как и в случае степенных рядов действительной
переменной, могут быть получены важные следствия.
Следствие 1. Если ряд расходится в точке 2z , то он расходится во всех
точках внешности круга радиуса 02 zz − и с центром в 0z , то есть для z,
определенных условием 020 zzzz −>− .
Следствие 2. Для всякого степенного ряда в комплексной области
существует такое действительное число R, что внутри круга Rzz <− 0
ряд сходится, вне круга, то есть при Rzz >− 0 , ряд расходится.
Это число R называется радиусом сходимости, и из определения
следует его единственность. А круг Rzz <− 0 называют кругом сходимости
24
0z
сход. абсолютно
R
y
x
расходитс расходит
Радиус круга сходимости степенного ряда ( )∑∞
=−
00
k
kk zzc в
комплексной плоскости определяется по формулам
1
lim+∞→
=n
n
n c
cR n
nn
cR
∞→
=lim
1
Пример 2.7. Найти область сходимости степенного ряда ( )
( )∑∞
= ++−
12 1
2
n
n
nin
z.
Решение. Вычислим радиус сходимости
1
lim+∞→
=n
n
n c
cR
( ) ( )( )( ) =
+=
⋅+==
+⋅+++⋅++=
∞→ 222
2 ,
1
111lim
bac
biaс
nin
ninn
( ) ( )( ) 1lim
1
221lim
4
4
222
222
==++
++++=∞→∞→ n
n
nn
nnnnn
.
Следовательно, 1=R , а круг сходимости: 12 <−z .
Ответ: Область сходимости есть круг с центром в ( )0;2 и радиуса 1.
Формулы нахождения радиуса сходимости неприменимы, когда в
рассматриваемом ряде имеются коэффициенты со сколь угодно большими
номерами, равные нулю.
Пример 2.8. Найдите радиус и круг сходимости ряда ( )
( )( )∑∞
= −+−
0
2
14
2
nn
n
nin
iz.
25
Решение. В рассматриваемый ряд входят только члены с четными
степенями ( )iz 2− , все нечетные коэффициенты ряда равны нулю. Поэтому в
данном случае нельзя пользоваться формулами нахождения радиуса
сходимости; применим к этому ряду, например, радикальный признак Коши.
( ) ( )( )( )
=−⋅+⋅
−=∞→∞→
nn
n
nn
nn nin
izzu
14
2limlim
2
( )=
−+⋅
−=
∞→ nnnn
iz
22
2
14
2lim
4
2
2
1lim
4
222
iz
n
iznn
−=
⋅
−∞→
.
Ряд абсолютно сходится, если 14
22
<− iz
⇔ 22 <− iz , то есть 2=R .
Ответ: радиус сходимости 2=R ; область сходимости есть круг с
центром в точке ( )2;0 и радиуса 2 ( 22 <− iz ).
§3. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Задача разложения функций в степенные ряды состоит в том, чтобы по
заданной функции ( )xf найти сходящийся степенной ряд, сумма ( )xS
которого в области сходимости ряда равнялась бы значению функции ( )xf .
3.1. Ряды Тейлора и Маклорена
Для всякой функции )(xf , имеющей производные до ( )−+1n ого
порядка включительно, в окрестности точки ax = справедлива формула
Тейлора:
( ) ( )( )
( ) )(!
)(...
!2
)(
!1
)()()( 2 xRax
n
afax
afax
afafxf n
nn
+−++−′′
+−′
+= , (3.1)
где так называемый остаточный член )(xRn (в форме Лагранжа) вычисляется
по формуле
26
( )( )
( )[ ])(!1
)( 11
axafn
axxR n
n
n −++
−= ++
θ , 10 << θ .
Если функция )(xf имеет производные всех порядков в окрестности
точки ax = , то в формуле Тейлора число n можно брать сколь угодно
большим.
Допустим, что в рассматриваемой окрестности остаточный член )(xRn
стремится к нулю при ∞→n :
0)(lim =∞→
xRnn
.
Тогда, переходя в формуле (3.1) к пределу при ∞→n , получим справа
бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:
( ) ( )( )
( ) ...!
)(...
!2
)(
!1
)()()( 2 +−++−
′′+−
′+= n
n
axn
afax
afax
afafxf . (3.2)
Теорема 3.1. (Необходимое и достаточное условие представления
функции рядом Тейлора). Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в
точке ax = функция )(xf являлась суммой составленного для нее
формального ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы в каждой
точке x его интервала сходимости ( )RaRa +− ; выполнялось равенство
0)(lim =∞→
xRnn
. (3.3)
Таким образом, ряд Тейлора (3.2) представляет на интервале сходимости
( )RaRa +− ; данную функцию )(xf только тогда, когда 0)(lim =∞→
xRnn
. Если
0)(lim ≠∞→
xRnn
, то ряд не представляет данной функции, хотя может и
сходиться (к другой функции).
Если в ряде Тейлора положить 0=a , то получим частный случай ряда
Тейлора, который называют рядом Маклорена:
( )
...!
)0(...
!2
)0(
!1
)0()0()( 2 +++
′′+
′+= n
n
xn
fx
fx
ffxf . (3.4)
27
Если для какой – нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то
чтобы доказать, что написанный ряд представляет данную функцию, нужно
либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким – нибудь
иным способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции.
Отметим, что для каждой из элементарных функций существует такое a
и такое R, что в интервале ( )RaRa +− ; она разлагается в ряд Тейлора или
(если 0=a ) в ряд Маклорена.
3.2. Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды
Полезность представления )(xf в виде суммы степенного ряда
очевидна. Дело в том, что члены степенного ряда, представляющие собою
произведения постоянных коэффициентов на степенные функции nx (или
( )nax − ), Nn∈ , могут быть сравнительно легко вычислены при конкретных
значениях x , что позволяет вычислять при этих x значения функции )(xf .
Кроме того, представление функции )(xf в виде суммы степенного ряда
позволяет находить значения производных и интегралов от функции )(xf .
Это связано с тем, что легко могут быть найдены как производные, так и
интегралы от членов степенного ряда. Следует отметить еще, что при
помощи разложения функций в степенные ряды можно интегрировать
разнообразные дифференциальные уравнения.
Для разложения функции )(xf в ряд Маклорена (3.4) нужно
1. найти производные ( ) ),...(...,),(),( xfxfxf n′′′ ;
2. вычислить значения производных в точке 0=x ;
3. написать ряд (3.4) для заданной функции и найти его интервал
сходимости;
28
4. найти интервал ( )RR;− , в котором остаточный член ряда
Маклорена ( ) 0→xRn при ∞→n . Если такой интервал
существует, то в нем функция )(xf и ряд Маклорена совпадают.
Пример 3.1. Рассмотрим пример разложения функции xexf =)( в ряд
Маклорена.
1. Найдем производные функции
( ) ( ) ,...)(...,,)(,)(/ xnxxx exfexfeexf ==′′==′
2. Вычислим коэффициенты ряда Маклорена этой функции:
( ) 10 0
0===
=eef
x
x , ( )
!1
1
!1
1
!1
0
0
=⋅=′
=x
xef
, ( )
!2
1
!2
0 =′′f
,…, ( )( )
!
1
!
0
nn
f n
= , …
3. Ряд Маклорена примет вид
∑∞
==++++++
0
32
!...
!...
!3!2!11
n
nn
n
x
n
xxxx .
Найдем радиус сходимости данного ряда
( ) ( ) ∞=+=+==∞→∞→+∞→
1lim!
!1limlim
1
nn
n
a
aR
nnn
n
n.
Таким образом, степенной ряд ∑∞
=0 !n
n
n
x абсолютно сходится при всех
значениях x .
4. Остаточный член ( )xRn формулы Тейлора имеет вид ⋅xeθ( )!1
1
+
+
n
xn
,
где 10 << θ . Для всех ( )RRx ;−∈ и при любом значении θ
( )10 << θ имеем Mee Rx =≤θ . Покажем, что 0)(lim =∞→
xRnn
.
( ) =∞→
xRnnlim
∞→nlim ( ) ≤
+⋅
+
!1
1
n
xe
nxθ
( )!1lim
1
+⋅
+
∞→ n
xM
n
n ( )!1lim
1
+⋅=
+
∞→ n
xM
n
n.
29
Осталось показать, что ( ) 0!1
lim1
=+
+
→ n
xn
n. Для этого рассмотрим ряд ( )∑
∞
=
+
+0
1
!1n
n
n
x.
Так как
( )( ) ( )
( )10
2
1lim
!1
!2limlim
1
21 <=
+⋅=+⋅
+=
∞→+
+
∞→+
∞→ nx
x
n
n
x
xu
xunn
n
nn
n
n,
то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда,
в силу необходимого признака сходимости, ( ) ( ) 0!1
limlim1
=+
=+
∞→∞→ n
xxu
n
nn
n.
Следовательно, 0)(lim =∞→
xRnn
.
Вывод: функция xe разложима в ряд Маклорена (3.4) при всех
действительных числовых значениях своего аргумента и имеет вид:
∑∞
==++++++=
0
32
!...
!...
!3!2!11
n
nnx
n
x
n
xxxxe при ( )∞∞−∈ ;x .
Отметим, что в интервале сходимости степенного ряда остаточный член
стремится к нулю при ∞→n .
Разложения некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
№ разложение функций область сходимости
1 ∑∞
==++++=
0
32
!...
!3!2!11
n
nt
n
tttte ( )+∞∞−∈ ,t
2 ( ) ( )( )∑
∞
=
+
+⋅−=+−+−=
0
12753
!12
1...
!7!5!3sin
n
nn
n
tttttt ( )+∞∞−∈ ,t
3 ( ) ( )( )∑
∞
=
⋅−=+−+−=0
2642
!2
1...
!6!4!21cos
n
nn
n
ttttt ( )+∞∞−∈ ,t
4 ( ) ...!7!5!3
753
++++= tttttsh
( )∑∞
=
+
+=
0
12
!12n
n
n
t ( )+∞∞−∈ ,t
30
5 ( ) ...!6!4!2
1642
++++= ttttch
( )∑∞
==
0
2
!2n
n
n
t ( )+∞∞−∈ ,t
6
Биномиальный ряд
( ) ( )
( ) ( )...
!
1...1
...!2
1
!111 2
+⋅+−−+
++⋅−+⋅+=+
n
m
tn
nmmm
tmm
tm
t
[ ]1,1−∈t при 0≥m ;
]( 1,1−∈t при 01 <<− m ;
( )1,1−∈t при 1−≤m
6' =++++=−
...11
1 32 tttt
∑∞
=0n
nt ( )1,1−∈t
6" =+−+−=+
...11
1 32 tttt
( )∑∞
=⋅−
0
1n
nn t ( )1,1−∈t
7 ( ) =+ t1ln ...432
432
+−+− tttt
( )∑∞
=
⋅−=1
1
n
nn
n
t ]( 1,1−∈t
8 ( ) ...753
753
+−+−= tttttarctg
( )∑∞
=
+
+⋅−=
0
12
12
1
n
nn
n
t [ ]1,1−∈t
9 ...76
5
4
3
2
1
54
3
2
1
32
1arcsin
753
+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+= ttttt [ ]1,1−∈t
Выведем формулу для вычисления натуральных логарифмов любых
целых чисел. Положим в ряд (7) xt = и xt −=
( ) =+ x1ln ...432
432
+−+− xxxx ;
( ) =− x1ln ...432
432
−−−−− xxxx .
Вычтем данные ряды и получим ряд
( ) ( ) =−−+ xx 1ln1ln
++++⋅=
−+
...753
21
1ln
753 xxxx
x
x,
который сходится к данной функции на интервале 10 << x .
31
Положим далее, t
t
x
x +=−+ 1
1
1; тогда
12
1
+=
tx , при 0>t . Поэтому
( ) ( ) ( )
+
++
++
++
+⋅=
+=
−+
...127
1
125
1
123
1
12
12
1ln
1
1ln
753 ttttt
t
x
x,
откуда
10. ( )( ) ( )( )
+
+−++
++
+⋅+=+ − ...
1212
1...
123
1
12
12ln1ln
123 ntntttt , 0>t ,
причем погрешность приближенного равенства оценивается по формуле
( ) ( ) ( ) 12121122
1−+⋅+⋅⋅+
<nn
tttnR .
Пример 3.2. Вычислить 2ln с точностью до 0001,0 .
Решение. В формуле (10) для определения ( )1ln +t и неравенстве для
оценки nR полагаем 1=t :
+⋅
+⋅
+⋅
+= ...37
1
35
1
33
1
3
122ln
753;
( ) 123124
1−⋅+
<nn
nR .
Путем подбора определим n так, чтобы выполнялось неравенство
0001,0<nR .
Если 2=n , то 5401
354
132 =
⋅⋅<R ; если 3=n то
68041
374
153 =
⋅⋅<R ;
если 4=n , то 10000
178732
1
394
174 <=
⋅⋅<R .
Итак, 4=n и для определения 2ln получаем приближенное равенство
6931,000013,000165,002469,066667,037
1
35
1
33
1
3
122ln
753≈+++≈
⋅+
⋅+
⋅+≈
Ответ: 6931,02ln ≈ .
Чтобы получить десятичные логарифмы чисел, можно
воспользоваться соотношением NMN lnlg ⋅= , где 434294,0=M .
Пример 3.3. Вычислить 5lg с точностью до 001,0 .
32
Решение. Воспользуемся формулой перехода к натуральному
логарифму, затем формулой (10):
( )=+⋅=⋅= 12ln434294,05ln434294,05lg 2
+⋅
+⋅
++⋅= ...95
1
93
1
9
122ln2434294,0
53.
Путем подбора определим n так, чтобы выполнялось неравенство
001,0<nR . Если 2=n , то 1000
114580
1
954
132 <=
⋅⋅<R .
Итак, 2=n и для определения 5lg получаем приближенное равенство
≈
⋅++⋅⋅≈
393
191
26931,02434294,05lg
( ) 699,00009,02222,03862,1434294,0 ≈++⋅≈ .
Ответ: 699,05lg ≈ .
Заметим, что возможны различные способы разложения функции в
степенной ряд, но способ разложения при помощи вышеуказанных формул
(1) – (9) является самым удобным, так как позволяет быстро найти область
сходимости ряда к данной функции.
Пример 3.4. Разложить функцию )121ln()( 2 xxxf −−= в ряд Тейлора по
степеням x .
Решение. Для того чтобы воспользоваться известным разложением в
ряд Тейлора логарифмической функции
...)1(...32
)1ln( 132
+⋅−+−+−=+ +
n
ttttt
nn , 11 ≤<− t ,
(7)
разложим квадратный трехчлен на произведение линейных множителей.
Предварительно найдем корни: 0121 2 =−− xx , 3
11 −=x ,
41
2 =x .
33
Имеем ( )( )xxxxxx 41134
1
3
112121 2 −+=
−
+−=−− .
Таким образом,
=−−= )121ln()( 2 xxxf ( )( ) )41ln()31ln(4113ln xxxx −++=−+ .
Разложим каждое слагаемое в ряд Тейлора с помощью формулы (7). В
первом случае, полагая, xt 3= будем иметь
...4
3
3
3
2
33)31ln(
443322
+−+−=+ xxxxx , где 131 ≤<− x , или
3
1
3
1 ≤<− x .
Во втором случае, полагая, xt 4−= будем иметь
...4
4
3
4
2
44)41ln(
443322
−−−−−=− xxxxx , где 141 ≤−<− x , или
4
1
4
1 <≤− x .
В итоге получаем
=−−= )121ln()( 2 xxxf =−++ )41ln()31ln( xx
+
+−+−= ...
4
3
3
3
2
33
443322 xxxx =
−−−−− ...
4
4
3
4
2
44
443322 xxxx
...))4(3(
)1(...3
)43(
2
)43(
1
)43( 1333
222
+−+−+−−++−−= + nnn
n xn
xxx .
Полученный ряд будет сходиться к исходной функции в области,
которая является пересечением областей сходимости слагаемых рядов
<≤−
≤<−
4
1
4
13
1
3
1
x
x или
4
1
4
1 <≤− x .
Ответ: при 4
1
4
1 <≤− x =−− )121ln( 2 xx
...))4(3(
)1(...3
)43(
2
)43(
1
)43( 1333
222
+−+−+−−++−−= + nnn
n xn
xxx .
Пример 3.5. Вычислить интеграл ∫+
2
03 364 x
dx с точностью до 001,0 .
34
Решение. Чтобы разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена
по формуле (6), запишем ее в виде
( )( ) ( )( ) 313
3133 341
41
414
1
64
1 −+⋅=
+⋅=
+x
xx.
Положим в формуле (6) вместо →t ( )34x , 31−=m , будем иметь
( )( ) =
+⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅−=+⋅
−...
4!3373431
4!23431
4131
141
4141
9
9
6
6
3
3313 xxxx
...43!3
741
43!2
41
43
1
4
1 9103
672
34
+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅
⋅⋅⋅+⋅
⋅−= xxx .
Ряд сходится, если ( ) 141 3 <<− x или 44 <<− x . Промежуток
интегрирования содержится в интервале сходимости: [ ] [ ]4;42;0 −⊂ .
Таким образом,
∫∫ =
+⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅
⋅⋅⋅+⋅
⋅−=
+
2
0
9103
672
34
2
03 3
...43!3
741
43!2
41
43
141
64dxxxx
x
dx
=
+⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅
⋅⋅⋅+⋅
⋅−=
2
0
10
103
7
72
4
4...
1043!3
741
743!2
41
443
1
4
xxxx
...414720
7
4032
1
192
1
2
1...
1043!3
2741
743!2
241
443
2
4
2103
10
72
7
4
4
+−+−=+⋅⋅⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅⋅+⋅⋅
−=
Получили, что интеграл равен сумме сходящегося знакочередующегося
числового ряда. Вычислить интеграл приближенно с любой точностью,
можно, используя оценку остатка знакочередующегося ряда 1+< nn aR .
Так как интеграл надо вычислить с точностью до 001,0 , то 001,01 <+na .
Найдем подбором номер n начиная с которого выполняется данное условие:
001,0192
12 >=a , 001,0
4032
13 <=a , то есть 2=n .
Таким образом, чтобы вычислить интеграл с точностью до 001,0 ,
достаточно посчитать сумму первых двух членов ряда:
35
∫+
2
03 364 x
dx495,0
192
95
192
1
2
1 ≈=−≈ .
Ответ: ∫+
2
03 364 x
dx495,0≈ .
Пример 3.6. Вычислить интеграл ( )
∫+4,0
0
21lndx
x
x с точностью до 001,0 .
Решение. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд по
степеням x , для чего воспользуемся известным разложением (7), полагая в
данной формуле 2xt = , будем иметь
...2
)1(...23222
)2
1ln( 13
3
2
2
+⋅
⋅−+−⋅
+⋅
−=+ +n
nn
n
xxxxx ,
причем ряд сходится при 22 ≤<− x . Промежуток интегрирования
содержится в интервале сходимости ряда: [ ] [ ]2;24,0;0 −⊂ .
( )∫
+4,0
0
21lndx
x
x =
+
⋅⋅−+−
⋅+
⋅−⋅= ∫
+ dxn
xxxx
x n
nn
4,0
0
13
3
2
2
...2
)1(...23222
1
=
+
⋅⋅−+−
⋅+
⋅−= ∫
−+dx
n
xxxn
nn4,0
0
11
3
2
2...
2
)1(...
23222
1
=
−⋅
⋅+⋅
⋅−= |5
2
0
3
3
2
2...
332
1
222
1
2
xxx...
54
1
53
1
52
1
5
1423222
+⋅
−⋅
+⋅
− .
Получили, что интеграл равен сумме сходящегося знакочередуюшегося
числового ряда. Вычисляем приближенно интеграл, используя оценку
остатка знакочередующегося ряда
1+< nn aR .
Найдем подбором номер n начиная с которого выполняется условие
001,01 <+na : 001,0100
12 >=a , 001,0
1125
1
1259
13 <=
⋅=a , то есть 2=n .
Таким образом, чтобы вычислить интеграл с заданной точностью,
достаточно посчитать сумму первых двух членов ряда:
36
( )∫
+4,0
0
21lndx
x
x22 52
1
5
1
⋅−≈ 190,0
100
19
100
1
5
1 ==−= .
Ответ: ( )
∫+4,0
0
21lndx
x
x190,0≈ .
Пример 3.7. Разложить в ряд по степеням ( )2−x функцию
4
sinxπ
.
Решение. Чтобы использовать известные разложения в ряд Маклорена (в
окрестности точки 0=t ), сделаем замену 2−= xt .
( )
=
+=
+=+=−=
=
4cos
24sin
42
sin2
2
4sin
ttt
tx
xtx πππππ.
Для разложения косинуса используем формулу (3), где ( ) 4tt π→ .
( ) ( ) =+
⋅⋅−+−
⋅+
⋅−=
...4!2
11...
4!4
1
4!2
11
4cos
242 nn t
n
ttt ππππ
( )( )
=−==+⋅⋅
⋅−+−⋅⋅
+⋅⋅
−= 2...4!2
1...4!44!2
1 22
24
4
42
2
2
xttn
tt nn
nn πππ
( ) ( ) ( )( )
( ) ...24!2
1...2
4!42
4!21 2
2
24
4
42
2
2
+−⋅⋅⋅−+−−⋅
⋅+−⋅
⋅−= n
n
nn
xn
xxπππ
.
Ответ: при ( )∞∞−∈ ;x
( ) ( ) ( )( )
( ) ...24!2
1...2
4!42
4!21
4sin 2
2
24
4
42
2
2
+−⋅⋅⋅−+−−⋅
⋅+−⋅
⋅−=
nn
nn
xn
xxx ππππ
.
3.3. Решение дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов
С помощью степенных рядов можно интегрировать дифференциальные
уравнения.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:
)()(...)()( )2(2
)1(1
)( xfyxpyxpyxpy nnnn =++++ −− ,
где ( )xy - искомая функция, ( ) ( )xfxpk , - известные функции.
37
Если все коэффициенты ( )xpk и правая часть ( )xf этого уравнения
разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то
существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности точки
0=x , удовлетворяющее начальным условиям в этой точке.
Это решение можно представить степенным рядом:
...33
2210 ++++= xcxcxccy
Для нахождения решения дифференциального уравнения остается
определить неизвестные постоянные nc .
Эта задача решается методом сравнения неопределенных
коэффициентов.
Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное
дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия
со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание,
умножение и прочее).
Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в
левой и правой частях уравнения. В результате, с учетом начальных условий,
получим систему уравнений, из которой последовательно определяем
неизвестные коэффициенты nc .
Отметим, что этот метод применим и к нелинейным
дифференциальным уравнениям.
Пример 3.8. Найти решение уравнения yyxy 42 +′=′′ c начальными
условиями 0)0( =y , 1)0( =′y .
Решение. Решение уравнения будем искать в виде степенного ряда
...2210 +++= xcxccy .
Найдем производные искомой функции первого и второго порядка
......432 134
2321 ++++++=′ −n
nxncxcxcxccy ;
( ) ...1...4534232 235
2432 +−⋅++⋅+⋅+⋅+=′′ −n
nxcnnxcxcxccy .
38
Применяя начальные условия ( )( )
=′=
,10
,00
y
y
получаем ( )
==
⇒
=+⋅+⋅+=′=++⋅+=
.1
,0
,1...03020
,0...00)0(
1
0
321
10
с
с
сccy
ссy
Подставим в исходное уравнение разложения ( ) ( ) ( )xyxyxy ′′′ ,,
( ) =+⋅−⋅++⋅+⋅+⋅+ − ...1...4534232 235
2432
nnxcnnxcxcxcc
( ) ( )......4......43212 22
134
232 +++++++++++⋅= − n
nn
n xcxcxxncxcxcxcx .
Или ( )( ) =+++++⋅+⋅+⋅+ + ...12...4534232 23
52
432n
n xcnnxcxcxcc
( ) ...42...1086 33
22 ++++++= n
nxcnxcxcx .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и
правой частях уравнения и определяем коэффициенты nc :
02 2 =с ⇒ 02 =с , 66 3 =⋅ с ⇒ 13 =с ,
24 834 сс =⋅ ⇒ 04 =с ,
35 1045 сс =⋅ ⇒ !2
15 =с ,
46 1256 сс =⋅ ⇒ 06 =с ,
57 1467 сс =⋅ ⇒ !3
17 =с ,
………….. ……
( )( ) ( ) nn cncnn 4212 2 +=++ + ⇒ 1
22 +
=+ n
cс n
n .
Так как получается, что ненулевыми коэффициентами являются
коэффициенты при нечетных n , то обозначим 12 += kn , тогда
11 =c , 13 =с , !2
15 =с ,
!3
17 =с ,
!4
19 =с ,
!5
111 =с , …,
!
112 k
с k =+ , ....
Подставляя найденные коэффициенты в разложение )(xy , получаем
частное решение дифференциального уравнения
39
2...
!4!3!2!11...
!4!3!2!1
86429753xex
xxxxx
xxxxxy ⋅=
+++++=+++++= .
Ответ: 2xexy ⋅= .
Пример 3.9. Найти решение уравнения 0=−′′ xyy c начальными
условиями ( ) 10 =y , ( ) 00 =′y .
Решение. Решение уравнения будем искать в виде ...2210 +++= xcxccy .
Тогда ......432 134
2321 ++++++=′ −n
nxncxcxcxccy .
( ) ...1...4534232 235
2432 +−⋅++⋅+⋅+⋅+=′′ −n
nxcnnxcxcxccy .
Применяя начальные условия, находим 10 =c , 01 =c . Подставляем
полученные разложения ( ) ( ) ( )xyxyxy ′′′ ,, в исходное уравнение:
( )( ) =+++++⋅+⋅+⋅+ ++ ...23...4534232 1
33
52
432n
n xcnnxcxcxcc
...... 143
32 +++++= +n
nxcxcxcx .
Откуда следует: 02 2 =c ⇒ 02 =с ,
0123 3 =−⋅ c ⇒ !123
13 ⋅⋅
=с ,
034 14 =−⋅ cc ⇒ 04 =с , 045 25 =−⋅ cc ⇒ 05 =с ,
056 36 =−⋅ cc ⇒ !356
16 ⋅⋅
=с ,
……………… ………….
( )( ) nn ccnn =++ +323 ⇒ ( )( )233 ++=+ nn
cc n
n .
Таким образом,
;0;0;!3
1;0;0;1 543210 ====== cccccc
;!6
4
!356
16 =
⋅⋅=c 07 =с ; 08 =с ;
!9
741
!6
4
89
19
⋅⋅=⋅⋅
=с ; ...,
полагая nk =− 33 , где ...)5,4,3,2( =k , имеем ( )
( ) !33
53741
−−⋅⋅⋅⋅⋅=
k
kсk .
40
Ответ: ( )
( )33
2
63
!33
537411...
!6
4
6
11 −
∞
=∑ −
−⋅⋅⋅⋅⋅+=+++= k
k
xk
kxxy .
Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с
помощью рядов. Он носит название метода последовательного
дифференцирования.
Пример 3.10. Рассмотрим другой способ решения этого примера.
Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения
неизвестной функции в ряд Маклорена
...!3
)0(
!2
)0(
!1
)0()0( 32 +
′′′+
′′+
′+= x
yx
yx
yyy .
Если заданные начальные условия ( ) 10 =y , ( ) 00 =′y подставить в
исходное дифференциальное уравнение, получим, что .0)0( =′′y
Далее запишем дифференциальное уравнение в виде xyy =′′ и будем
последовательно дифференцировать его по x
;0)0(;
;1)0()0(;
=′′+′+′=
==′′′′+=′′′IVIV yyxyyy
yyyxyy
..........................................................
;4)0(;3
;0)0(;2
=+′′′+′′′=
=′′′+′′+′′=VIIVVI
VV
yxyyyy
yyxyyy
После подстановки полученных значений в ряд Маклорена получаем
тот же ответ: ...1806
163
+++= xxy .
Пример 3.11. Методом последовательного дифференцирования найти
три первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения
22 yxy −=′ , при 0)0( =y .
Решение. Будем искать решение дифференциального уравнения в виде
( ) ( ) ( ) ( ) ( )...
!4
0
!3
0
!2
0
!1
00 4
)4(32 ++
′′′+
′′+
′+= x
yx
yx
yx
yyy .
41
Из начального условия 0)0( =y . Подставив 0=x в исходное уравнение,
находим ( ) 0000 22 =−=′y . Для нахождения следующих коэффициентов
дифференцируем исходное дифференциальное уравнение
yyxy ′−=′′ 22 , ( ) 0002020 =⋅⋅−⋅=′′y ;
( )yyyy ′′+′−=′′′ 222 , ( ) ( ) 2000220 2 =⋅+−=′′′y ;
yyyyyyyyyyy ′′′−′′′−=′′′−′′′−′′′−= 26224)4( , ( ) 002060)4( =⋅−⋅−=y ;
)4(2)5( 286 yyyyyy −′′′′−′′−= , ( ) 00208060)5( =⋅−⋅−⋅−=y ;
)5()4()6( 21020 yyyyyyy −′−′′′′′−= , ( ) 0020100200)6( =⋅−⋅−⋅−=y ;
)6()5()4(2)7( 2123020 yyyyyyyy −′−′′−′′′−= ,
( ) 80020120302200 2)7( −=⋅−⋅−⋅−⋅−=y ;
)7()6()5()4()8( 2144270 yyyyyyyyy −′−′′−′′′−= , ( ) 00)8( =y ;
)8()7()6()5(2)4()9( 2165611270 yyyyyyyyyy −′−′′−′′′−−= , ( ) 00)9( =y ;
)9()8()7()6()5()4()10( 21872168252 yyyyyyyyyyy −′−′′−′′′−−= , ( ) 00)10( =y ;
)10()9()8()7()3()6()4(2)5()11( 22090240420252 yyyyyyyyyyyy −′−′′−−−−= ...,
( ) ( ) 3840002020090802240042002520)11( =⋅−⋅−⋅−−⋅⋅−⋅−⋅−=y .
Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим:
−+−=−+−= 11731173
2079
2
63
1
3
1...
!11
38400
!7
80
!3
2xxxxxxy ….
Ответ: −+−= 1173
2079
2
63
1
3
1xxxy … .
§4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
Аппарат рядов Фурье широко используется в различных областях
математики (например, при решении уравнений математической физики), в
приложениях к физике, нейрофизиологии, сейсмологии, медицине и др.
Снимая кардиограмму, энцефалограмму, проходя обследование на аппарате
42
УЗИ, мы пользуемся тем математическим аппаратом, основу которого
составляет гармонический анализ – теория рядов Фурье.
Основные понятия
Определение. Тригонометрическим рядом называется
функциональный ряд вида:
...)sincos(...)2sin2cos()sincos(2 22110 ++++++++ nxbnxaxbxaxbxa
ann ,
или, короче, ∑∞
=++
1
0 ).sincos(2 n
nn nxbnxaa
Действительные числа 0a , na , nb
( ,...2,1=n ) называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма
представляет собой периодическую функцию с периодом π2 , так как
функции xsin и xcos также периодические функции с периодом 2π.
Определение. Рядом Фурье функции ( )xf , определенной на
промежутке [ ]ππ ,− , называется тригонометрический ряд
( ) ( ) ( )[ ]∑∞
=⋅+⋅+=
1
0 sincos2 k
kk kxbkxaa
xS , (4.1)
коэффициенты которого определяются формулами
( )dxxfa ∫−
=π
ππ1
0 ; ( ) ( )dxkxxfak cos1 ⋅= ∫
−
π
ππ; ( ) ( )dxkxxfbk sin
1 ⋅= ∫−
π
ππ (4.2)
и называются коэффициентами Фурье для функции )(xf .
Заметим, что значения коэффициентов ряда Фурье определяются, если
использовать свойство ортогональности системы тригонометрических
функций на отрезке [ ]ππ ;− . Это свойство лежит в основе всей теории
тригонометрических рядов.
43
Определение. Две функции ( )xf и ( )xg называются взаимно
ортогональными на промежутке [ ]ba; , если
( ) ( ) 0=⋅∫ dxxgxfb
a
.
Теорема 2.1. (Об ортогональности тригонометрической системы).
Любые две функции системы
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),...sin,cos,...,2sin,2cos,sin,cos,1 nxnxxxxx
взаимно ортогональны на промежутке [ ]ππ ;− и в силу периодичности они
также ортогональны на любом промежутке длины π2 .
Если ряд Фурье функции )(xf сходится к значению функции во всех ее
точках непрерывности, то говорят, что функция )(xf разлагается в ряд
Фурье и записывают
∑∞
=++=
1
0 ).sincos(2
)(n
nn nxbnxaa
xf
Из определения ряда Фурье отнюдь не следует, что функция )(xf
должна разлагаться в свой ряд Фурье. Ряд Фурье может расходиться для всех
x , он может сходится, но не к функции )(xf ; существуют ряды Фурье,
которые не сходятся ни для одного x . Связь ряда Фурье с функцией )(xf ,
его породившей, в общем случае мы будем записывать так:
)(xf ~ ∑∞
=++
1
0 )sincos(2 n
nn nxbnxaa
,
избегая знака равенства.
Теорема о разложимости функций в ряд Фурье
Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие
разложимости функции в ряд Фурье.
44
Теорема 4.1. (Теорема Дирихле). Если функция )(xf имеет период
π2 и на отрезке [ ]ππ ;− непрерывна или имеет конечное число точек
разрыва первого рода, и отрезок [ ]ππ ;− можно разбить на конечное число
отрезков так, что внутри каждого из них функция )(xf монотонна, то ряд
Фурье для функции )(xf сходится на этом отрезке и при этом:
1) в точках непрерывности функции )(xf его сумма равна )(xf , а в
каждой точке 0x разрыва функции сумма ряда равна
( )2
)0()0( 000
++−= xfxfxS ,
то есть среднему арифметическому предельных значений слева и справа;
2) в точках π−=x и π=x (на концах отрезка) сумма ряда равна
( ) ( )2
)0()0( −++−==− ππππ ffSS .
При этом ряд Фурье функции )(xf сходится равномерно на любом
отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции )(xf .
Функция )(xf , для которой выполняются условия теоремы Дирихле,
называется кусочно-монотонной на отрезке [ ]ππ ;− .
Таким образом, если функция )(xf удовлетворяет условиям Дирихле, то
на отрезке [ ]ππ ;− имеет место разложение
( ) ( )( )∑∞
=++=
1
0 sincos2
)(n
nn nxbnxaa
xf , (4.3)
причем коэффициенты вычисляются по формулам (4.2). Это равенство может
нарушаться только в точках разрыва функции и на концах отрезка [ ]ππ ;− .
В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье
указанное разложение может быть получено во всей области определения
функции.
45
Если функция )(xf с периодом π2 на отрезке [ ]π2;0 удовлетворяет
условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение (4.3), где
коэффициенты вычисляются по формулам ( ,...3,2,1=n )
∫=π
π
2
00 )(
1dxxfa ,
∫ ⋅=π
π
2
0
)cos()(1
dxnxxfan , (4.4)
∫ ⋅=π
π
2
0
)sin()(1
dxnxxfbn .
( ∫−
π
πdxxf )( и ∫
π2
0
)( dxxf равны в силу свойства периодической функции).
Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, которые
встречаются в математике и ее приложениях. Существуют функции, не
удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом разложимые в ряд Фурье,
то есть теорема Дирихле, дает лишь достаточное условие разложимости, но
не является необходимым.
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
1)
−
−=
∫∫
− четная;)(,)(2
нечетная,)(,0
)(
0
xfdxxf
xf
dxxf aa
a
2) произведение двух четных (нечетных) функций есть четная функция;
3) произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана, исходя из
определения четности и нечетности функций.
46
Если )(xf – четная периодическая функция с периодом 2π,
удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:
( ) ( ) ( )∫∫ =−
==−
ππ
π ππ 0
cos)(2
функциячетная
cos)(cos)(
1dxnxxf
nxxfdxnxxfan ,...)2,1,0( =n
( ) ( ),...)2,1(;0
функциянечетная
sin)(sin)(
1 ==−
== ∫−
nnxxf
dxnxxfbn
π
ππ
Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:
( )∑∞
=+=
1
0 cos2
)(n
n nxaa
xf ,
( ) ,...)2,1,0(cos)(2
0
== ∫ ndxnxxfan
π
π (4.5)
Аналогично имеем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:
( )∑∞
==
1
sin)(n
n nxbxf ,
( ) ,...)2,1(sin)(2
0
== ∫ ndxnxxfbn
π
π. (4.6)
Отметим еще один частный случай:
( ) ( ) Cxhxf += , где ( )xh – нечетная функция, =C const.
Тогда Ca
=20 , 0=na ,...)2,1( =n , ( )∫=
π
π 0
sin)(2
dxnxxfbn ,...)2,1( =n
и разложение в ряд Фурье примет вид
( )∑∞
=+=
1
sin)(n
n nxbCxf .
Обобщим результаты разложения π2 - периодической функции в ряд
Фурье и частные случаи разложений.
47
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ 2π-ПЕРИОДИЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Теорема Дирихле: Если π2 - периодическая функция ( )xf на [ ]ππ ,−
1) непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва I рода;
2) кусочно-монотонна.
Тогда ряд Фурье функции ( )xf сходится на [ ]ππ ,− и при этом:
1) в точках непрерывности сумма ряда ( ) ( )xfxS = ;
2) в каждой точке 0x разрыва функции ( ) ( ) ( )2
00 000
++−= xfxfxS .
В точках π±=x сумма ряда ( ) ( ) ( ) ( )2
00 −++−==− ππππ ffSS .
Ряд Фурье функции ( )xf , определенной на промежутке [ ]ππ ,− ,
( ) ( ) ( )[ ]∑∞
=⋅+⋅+=
1
0 sincos2 k
kk kxbkxaa
xS , где ( )dxxfa ∫−
=π
ππ1
0 ;
( ) ( ) ,...2,1,cos1 =⋅= ∫
−kdxkxxfak
π
ππ; ( ) ( ) ,...2,1,sin
1 =⋅= ∫−
kdxkxxfbk
π
ππ
Частные случаи ряда Фурье
Если ( )xf четная на [ ]ππ ,− , то ее ряд Фурье имеет вид
( ) ( )∑∞
=⋅+=
1
0 cos2 k
k kxaa
xf ,
( ) ( ) ,...2,1,0,cos2
0
=⋅= ∫ kdxkxxfak
π
π
Если ( )xf нечетная на [ ]ππ ,− , то ее ряд Фурье имеет вид
( ) ( )∑∞
=⋅=
1
sink
k kxbxf ,
( ) ( ) ,...2,1,sin2
0
=⋅= ∫ kdxkxxfbk
π
π
Если ( ) ( ) Cxhxf += , где ( )xh – нечетная функция, C – const,
то ее ряд Фурье имеет вид
( )∑∞
=+=
1
sin)(n
n nxbCxf , где ( ) ...,2,1,sin)(2
0
== ∫ ndxnxxfbn
π
π
48
Пример 4.1. Разложить в ряд Фурье функцию )(xf периода π2 ,
заданную на отрезке [ ]ππ ;− формулой
<≤−−≤≤
=0,
0,2)(
xприx
xприxxf
ππ
.
Решение. На рисунке изображен график функции )(xf .
Данная функция определена на [ ]ππ ;− , кусочно-монотонна и имеет
конечное число точек разрыва I рода, следовательно, она удовлетворяет
условиям Дирихле и разложима в ряд Фурье. Найдем коэффициенты ряда по
формулам (4.2)
== ∫−
π
ππdxxfa )(
10 ( ) +−∫
−
01
ππdxx =
⋅+−=
−∫
π
π
π
ππ0
202
0 22
2
12
1 xxdxx
2
3π.
=⋅= ∫−
π
ππdxnxxfan )cos()(
1 ( ) +⋅−∫−
0
)cos(1
ππdxnxx =⋅∫
π
π 0
)cos(21
dxnxx
( ) ( )nxn
vdxnxdv
dxduxu
sin1
,cos
,
==
=== ( ) ( ) +
+−=−−||0
2
0cos
1sin
1
πππnx
nnx
n
x
( ) ( ) =
++ ||0
20
cos1
sin2 ππ
πnx
nnx
n
x ( )( ) ( )( ) =−⋅
+−⋅
− 1cos2
cos11
22n
nn
nπ
ππ
π
( )( )n
n11
32
−−⋅
−=π
.
Аналогично вычисляются
=⋅= ∫−
π
ππdxnxxfbn )sin()(
1 ( ) +⋅−∫−
0
)sin(1
ππdxnxx =⋅∫
π
π 0
)sin(21
dxnxx( )
n
n 11 +−= .
π2
π3
π
y
π2 π2−
49
Учитывая, что функция )(xf непрерывна во всех внутренних точках
отрезка [ ]ππ ;− , то, согласно теореме Дирихле, для всех этих точек имеем
равенство )(xf ( )( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=
+
−+−−⋅
−+=1
1
2sin
1cos11
3
4
3
n
nn nx
nnx
nππ
.
В точках π±=x сумма ряда равна 2
3
2
2
2
)0()0( πππππ =+=−++− ff.
График суммы ряда Фурье показан на рисунке
Ответ: )(xf ( )( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=
+
−+−−⋅
−+=1
1
2sin
1cos11
3
4
3
n
nn nx
nnx
nππ
.
Пример 4.2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию 3)( xxf =
с периодом π2=T на отрезке [ ]ππ ;− .
Решение. Данная функция определена на всей оси, непрерывна и
монотонна на отрезке[ ]ππ ;− , значит, она удовлетворяет условиям Дирихле.
Так как заданная функция является нечетной, то коэффициенты Фурье
находим по формулам (4.6):
( ) ,...)2,1(sin)(2
0
== ∫ ndxnxxfbn
π
π
( )( )
( ) =−==
==== ∫
n
nxvdxxdu
dxnxdvxudxnxxbn cos
;3
sin;sin
22
3
0
3π
π
( ) ( ) =
+−= ∫
ππ
π 0
2
0
3
cos3cos2
dxnxxnn
nxx( )
( ) ===
==
n
nxvdxxdu
dxnxdvxu
sin;2
cos;2
y
π2
π
π2 π3 π2−
50
( ) ( ) ( ) =
−+−= ∫
πππππ 00
23 sin2sin3cos2dx
n
nxx
n
nxx
nn
n
( ) ( )( )
( ) =−==
===
−−= ∫
n
nxvdxdu
dxnxdvxudxnxx
nn
ncos
;
sin;sin
6cos2
02
3 ππππ
( ) ( ) ( ) =
+−−−= ∫
πππππ 00
2
3 coscos6cos2dx
n
nx
n
nxx
nn
n
( ) ( ) =
−+−=
ππππππ 0
33
3 sin6cos6cos2
n
nx
nnn
n
( ) ( )
−−=+−=
nnn
n
n
n n2
33
2 212)1(
cos12cos2 ππππ.
Таким образом, ряд Фурье примет вид
( ) ( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
−−==
1
2
31
sin212
)1(sinn
n
nn nx
nnnxbxS
π.
Так как ряд Фурье совпадает с функцией ( )xf в точках непрерывности,
и учитывая периодичность функции и ряда Фурье, получаем
( ) 3)( xxfxS == при ( ) Ζ∈++−∈ kkkx ,2;2 ππππ .
В точках ( )Ζ∈+±= kkxk ππ 2 сумма ряда равна
( ) 022
)0()0( 33
=+−=−++−= ππππ ffxS k .
На чертеже построены графики на отрезке [ ]ππ ;− заданной функции
3)( xxf = (непрерывной линией) и ее разложения в ряд Фурье, ограничиваясь
первыми четырьмя членами ряда (точечной линией) и ограничиваясь
первыми десятью членами ряда (пунктирной линией). Мы видим, что чем
больше в частичной сумме членов, тем точнее она представляет заданную
функцию.
51
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
30
20
10
10
20
30
Ответ: ( )∑∞
=
−−=
1
2
33 sin
212)1(
n
n nxnn
xπ
, ( ) Ζ∈++−∈ kkkx ,2;2 ππππ .
Ряды Фурье для функций произвольного периода
Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с
произвольным периодом lT 2= отличным от числа π2 .
Пусть функция )(xf , определенная на отрезке [ ]ll ,− , имеет период
lT 2= , то есть )()2( xflxf =+ , где l – произвольное положительное число,
и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.
Сделав подстановку π
tlx
⋅= , данную функцию преобразуем в функцию
( )
⋅=π
ϕ tlft , которая определена на [ ]ππ ;− и имеет период π2=T .
Разложение функции ( )tϕ в ряд Фурье на отрезке ];[ ππ− имеет вид
( ) ( ) ( )[ ]∑∞
=⋅+⋅+=
1
0 sincos2 k
kk tkbtkaa
tϕ ,
где ( ) ( ) ( ),...2,1,0,cos1 =⋅= ∫
−ktdtktak
π
πϕ
π; ( ) ( ) ( ),...2,1,sin
1 =⋅= ∫−
ktdtktbk
π
πϕ
π.
52
Возвращаясь к переменной x, и, заметив, что l
xt
⋅= π, dx
ldt ⋅= π
,
получим разложение функции ( )xf в ряд Фурье на отрезке [ ]ll ,−
∑∞
=
+
+=1
0 sincos2
)(n
nn l
xnb
l
xna
axS
ππ, (4.7)
где ,...2,1,0,cos)(1 =
= ∫−
ndxl
xnxf
la
l
ln
π, (4.8)
,...2,1,sin)(1 =
= ∫−
ndxl
xnxf
lb
l
ln
π. (4.9)
Все теоремы, имеющее место для рядов Фурье π2 - периодических
функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которых
lT 2= . В частности, если ( )xf на отрезке [ ]ll ,− четная функция, то ее ряд
Фурье имеет вид:
∑∞
=
+=1
0 cos2
)(n
n l
xna
axf
π, (4.10)
...,2,1,0,cos)(2
0
=
= ∫ ndxl
xnxf
la
l
nπ
, (4.11)
если ( )xf на отрезке [ ]ll ,− нечетная функция, то
∑∞
=
=1
sin)(n
n l
xnbxf
π, (4.12)
,...2,1,sin)(2
0
=
= ∫ ndxl
xnxf
lb
l
nπ
(4.13)
В случае, когда функция ( )xf задана первоначально только в
промежутке [ ]l,0 , ее можно продолжить на промежутке [ )0,l− по желанию
либо как четную, либо как нечетную. Соответственно этому такую функцию
можно представить в промежутке [ ]l,0 как рядом косинусов (4.10) – (4.11),
так и рядом синусов (4.12) – (4.13).
53
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Ряд Фурье ( )xf , определенной на промежутке [ ]ll ,− с периодом lT 2= и
удовлетворяющей на этом промежутке условиям Дирихле
( ) ( ) ( )[ ]∑∞
=⋅+⋅+=
1
0 sincos2 k
kkkk xbxaa
xS ωω , где l
kk
πω = ,
( ) ( ) ,...2,1,cos1 =⋅= ∫
−kdxxxf
la k
l
lk ω ; ( ) ( ) ,...2,1,sin
1 =⋅= ∫−
kdxxxfl
b k
l
lk ω
Частные случаи ряда Фурье
Если ( )xf четная на [ ]ll ,− , то ее ряд Фурье имеет вид
( ) ( )∑∞
=⋅+=
1
0 cos2 k
kk xaa
xf ω ,
( ) ( ) ,...2,1,0,cos2
0
=⋅= ∫ kdxxxfl
a k
l
k ω
Если ( )xf нечетная на [ ]ll ,− , то ее ряд Фурье имеет вид
( ) ( )∑∞
=⋅=
1
sink
kk xbxf ω ,
( ) ( ) ,...2,1,sin2
0
=⋅= ∫ kdxxxfl
b k
l
k ω
Если ( ) ( ) Cxhxf += , где ( )xh – нечетная на [ ]ll ,− , C – const,
то ее ряд Фурье имеет вид
( ) ( )∑∞
=⋅+=
1sin
kkk xbСxf ω , ( ) ( ) ,...2,1,sin
2
0
=⋅= ∫ kdxxxfl
b k
l
k ω .
Ряд Фурье функции ( )xf , определенной на промежутке [ ]l,0 ,
удовлетворяющей условиям Дирихле и продолженной на [ )0,l− четным (ряд
по косинусам) или нечетным образом (ряд по синусам), имеет вид
( ) ( )∑∞
=⋅+=
1
0 cos2 k
kk xaa
xf ω ,
( ) ( ) ,...2,1,0,cos2
0
=⋅= ∫ kdxxxfl
a k
l
k ω
( ) ( )∑∞
=⋅=
1
sink
kk xbxf ω ,
( ) ( ) ,...2,1,sin2
0
=⋅= ∫ kdxxxfl
b k
l
k ω
54
Пример 4.3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию )(xf
периода 4=T , заданную в интервале ( )2;2− :
<<<<−
=.20при,3
,02при,1)(
x
xxf
Решение. Эта функция на интервале ( )2;2− удовлетворяет условиям
Дирихле. Вычисляем коэффициенты разложения (4.7) по формулам (4.8) и
(4.9), полагая 2=l :
( ) ( ) ( ) 43322
13
2
131
2
11 30
02
0
2
2
00 =⋅+=+=
+== −
−−∫ ∫∫ xxdxdxdxxf
la
l
l
,
( ) =
⋅+
⋅=
⋅= ∫ ∫∫−−
0
2
2
0 2cos3
2cos1
2
1
2cos
1dx
xndx
xndx
xnxf
la
l
ln
πππ
02
sin2
32
sin2
2
10
2
0
2
=
⋅⋅+
⋅=−−
xn
n
xn
n
ππ
ππ
,
( ) =
⋅+
⋅=
⋅= ∫ ∫∫−−
0
2
2
0 2sin3
2sin1
2
1
2sin
1dx
xndx
xndx
xnxf
lb
l
ln
πππ
=
−⋅+
−=−
2
0
0
22
cos23
2cos
2
2
1 xn
n
xn
n
ππ
ππ
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1112
1cos1cos3
cos11 +−+=−==+−++−= nn
nnn
nn
n πππ
ππ
π.
Замечаем, что 0=nb при четных n , а при нечетных n n
bn π4= . Делая
замену индекса 12 −= kn ( )...,2,1=k и подставляя найденные коэффициенты
в (4.7), получаем искомое разложение
( ) ( )
−⋅−
⋅+= ∑∞
= 2
12sin
12
142
1
xk
kxS
k
ππ
.
Сумма ряда Фурье )(xS в точках непрерывности совпадает с функцией
)(xf , в точках разрыва 2)( =xS .
55
На рисунке изображена сумма ряда Фурье заданной функции.
Ответ: при ( ) ( )mmmmx 42,44,42 ++−∈ U ( )Zm∈
( ) ( ) ( )2
12sin
12
142
1
xk
kxSxf
k
ππ
−⋅−
+== ∑∞
=;
при mx 20 += ( )Zm∈ 2)( =xS .
Пример 4.4. Разложить в ряд Фурье функцию xxf −=)( на отрезке
[ ]0;π− , продолжив ее )a четным; )b нечетным образом на отрезок [ ]π;0 .
Решение. )a вычисляем коэффициенты ряда Фурье для доопределенной
четным образом функции ( )
∈−∈−
=];0(,
]0;[,
ππ
xx
xxxf
ππππ πππ
=−=−==−−−
∫∫ |0
200
012
)(2
xxdxdxxfa ,
=−== ∫∫−−
00
cos2
cos)(2
ππ ππnxdxxnxdxxfan
=
+−=−
0
2cos
2sin2
πππnx
nn
nxx ( ) ( )( )ππ
π22
112cos12
nn
n n −−=−− .
При kn 2= имеем 02 =ka , при 12 −= kn : ( ) π212
12
4
−−=−
ka k ( ),...2,1=k .
Получаем искомое разложение
( )( )∑
∞
= −−⋅−=−
1212
12cos4
2 k k
xkx
ππ
, при 0≤≤− xπ .
y
x 1
2
3
-2 2 4 -4
56
На рисунке изображен график суммы ( )xS ряда Фурье функции )(xf .
Эта сумма является периодической функцией с периодом π2 и совпадает с
функцией )(xf на промежутке [ ]0;π− .
)b определяем коэффициенты ряда Фурье для доопределенной
нечетным образом функции xxf −=)( на промежутке π<< x0
∫=π
π 0
sin)(2
nxdxxfbn =−= ∫π
π 0
sin2
nxdxx
==
+−−=n
n
n
xn
n
nxx ππ
πcos2sincos2
02 n
n)1(2 −.
Искомое разложение принимает вид:
( )
∑∞
=
−⋅=−1
sin12
n
n
n
nxx при 0≤≤− xπ .
Ниже приведен график суммы ( )xS ряда Фурье. Эта сумма является
периодической функцией ( )π2=T и совпадает с )(xf на интервале ( )0;π− .
Ответ: )a ( )
( )∑∞
= −−−=−
1212
12cos4
2 k k
xkx
ππ
, при 0≤≤− xπ ;
)b ( )
∑∞
=
−=−1
sin12
n
n
n
nxx , при 0≤<− xπ .
π
π−
y
π2− π π2
π
π− π π2 π2− π4
y
57
Пример 4.5. Разложить в ряд Фурье функцию ( ) 2
2
1xxxf −= , заданную
на полупериоде в промежутке [ ]2;0 .
Решение. Приведем два наиболее важных варианта разложения.
1. Доопределим функцию ( )xf на промежутке [ ]0;2− четным образом.
Тогда 2=l , 0=nb ( ),...3,2,1=n и находим
( )3
2
6
1
22
1
2
2 |2
0
322
0
22
00 =
−=
−=⋅= ∫∫ xx
dxxxdxxfa .
Для вычисления коэффициентов nа используем расширенную таблицу
интегралов (№ 14), которая приведена в конце пособия:
( ) =
−=
⋅= ∫∫ dxxn
xxdxxn
xfan 2cos
2
1
2cos
2
2 2
0
22
0
ππ
( ) =
⋅⋅
+⋅
+−+
⋅⋅+−=2
033
222
22 2sin
81
42
1
2cos
41 xn
n
nxx
xn
n
x ππ
πππ
2222
4cos
4
ππ
π nn
n−−= ( )[ ]
( )...,2,1
,2,2
8
,12,0
114
2222
=
=−
−==−+−= m
mnm
mn
nn
ππ .
Окончательно получаем при ( )20 ≤≤ x :
( ) ( )( )
+++−=−= ∑∞
=...3cos
6
12cos
4
1cos
2
18
3
1
2
cos8
3
12222
122
xxxn
xnxf
n
ππππ
ππ
.
График суммы ряда Фурье ( )xS , который изображен выше, совпадает на
отрезке [ ]2;0 с графиком функции ( )xf .
-4 -2 0 2 4
1/2
y
58
2. Доопределим функцию ( )xf на сегменте [ ]0;2− нечетным образом.
Тогда 2=l , 0=na ( ),...2,1,0=n и находим, используя формулу (15) из
расширенной таблицы интегралов:
( ) =
−=
= ∫∫ dxxn
xxdxxn
xfbn 2sin
2
1
2sin
2
2 2
0
22
0
ππ
( ) =
⋅⋅
+⋅
+−−
⋅⋅+−=2
033
222
22 2cos
81
42
1
2sin
41 xn
n
nxx
xn
n
x ππ
πππ
=+−=3333
8cos
8
ππ
π nn
n( )[ ]
( )
−=−
==−−= ,12,
12
16,2,0
118
3333 mn
m
mn
n
n
ππ...,2,1=m
Окончательно получаем:
( )( )
( )∑∞
=
−−
=1
33 2
12sin
12
116
m
xm
mxf
ππ
при ( )20 ≤≤ x .
График суммы ряда Фурье ( )xS также будет совпадать на отрезке [ ]2;0 с
графиком функции ( )xf .
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Пусть )(xfy = – непериодическая функция, заданная на всей числовой
оси ( )∞∞− ; . Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, так как
сумма ряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, не может
быть равна )(xf для всех x .
-4 -2 0 2 4
1/2
y
59
Однако непериодическая функция )(xf может быть представлена рядом
Фурье на любом конечном отрезке [ ]ba; , на котором она удовлетворяет
условиям Дирихле. Для этого можно поместить начало координат в середину
отрезка [ ]ba; и построить )(1 xf периода ablT −== 2 такую, что
)()(1 xfxf = при lxl ≤≤− . На рисунке приведена иллюстрация построения
функции )(1 xf .
Разлагаем функцию )(1 xf в ряд Фурье на промежутке [ ]ll ,− .
Ряд Фурье функции )(xf на отрезке ];[ ba имеет вид
∑∞
=
+
+=1
0 sincos2
)(n
nn l
xnb
l
xna
axS
ππ, ( ) 22 abTl −==
,...2,1,0,cos)(1 =
= ∫ ndxl
xnxf
la
b
an
π, ,...2,1,sin)(
1 =
= ∫ ndxl
xnxf
lb
b
an
π
Сумма этого ряда Фурье во всех точках отрезка ];[ ba (кроме точек
разрыва) совпадает с заданной функцией )(xf . Вне этого промежутка сумма
ряда и )(xf являются совершенно различными функциями.
Пример 4.6. Разложить в ряд Фурье функцию 128)( 2 −+−= xxxf ,
заданную на отрезке [ ]6;2 .
Решение. Здесь 2=a , 6=b , период 4=−= abТ , ( ) 22 =−= abl .
Находим коэффициенты искомого разложения
( )3
16124
32
1128
2
1 |6
2
236
2
20 =
−+−=−+−= ∫ xx
xdxxxa ,
y 1y
a x
l− l
)(1 xf
b
60
( ) ==
−+−= ∫14№
интеграловтаблицу
юрасширеннусм.
2cos128
21 6
2
2 dxxn
xxanπ
( ) ( ) =
⋅
+⋅−+−+
⋅+−=6
233
222
22 2sin
82
4
128
2cos
482
2
1 xn
n
nxxxn
n
x ππ
πππ
( ) ( )( ) ( )2
1
222
116cos43cos4
2
nnn
n
n+−⋅=−−=π
πππ
,
аналогично находим ( ) =
−+−= ∫6
2
2
2sin128
2
1dx
xnxxbn
π
( ) ( ) =
⋅
+⋅−+−−
⋅+−=6
233
222
22 2cos
82
4
128
2sin
482
2
1 xn
n
nxxxn
n
x ππ
πππ
( ) ( )( ) 0cos23cos24
33=−⋅−= nn
nππ
π.
Разложение в ряд Фурье примет вид
( ) ( )
⋅−⋅+= ∑∞
=
+
2cos
116
3
8
12
1
2
xn
nxS
n
n ππ
.
На чертеже построены графики заданной функции 128)( 2 −+−= xxxf
и ее разложение в ряд Фурье, ограничиваясь первыми тремя членами ряда.
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
1
2
3
4
Ответ: =−+− 1282 xx( )
−⋅+ ∑∞
=
+
2cos
116
3
8
12
1
2
xn
nn
n ππ
, при [ ]6;2∈x .
61
Комплексная форма ряда Фурье
Ряды Фурье часто применяются в комплексной форме записи.
Преобразуем ряд Фурье (4.1) и его коэффициенты (4.2) к комплексной
форме. Для этого используем формулы Эйлера, выражающие косинус и
синус через показательную функцию:
( )2
cosinxinx ee
nx−+= , ( )
i
eenx
inxinx
2sin
−−= .
Подставив эти выражения в ряд (4.1), находим:
∑∞
=
−−=
−⋅++⋅+=1
0
222)(
n
inxinx
n
inxinx
n i
eeb
eea
axf
∑∞
=
−−=
−⋅−+⋅+=1
0
222 n
inxinx
n
inxinx
nee
biee
aa
( ) ( )∑∞
=
−
⋅++
⋅−+=
1
0
222 n
inxnn
inxnn eibaeibaa ( )∑
∞
=
−−++=
1
0
2 n
inxn
inxn ecec
a,
где обозначено 2
nnn
ibac
−= , 2
nnn
ibac
+=− .
Найдем выражения для комплексных коэффициентов nc и nc− ,
используя выражения коэффициентов na и nb :
( ) ( ) =
−= ∫∫
−−
π
π
π
π ππdxnxxfidxnxxfcn sin)(
1cos)(
1
2
1
( ) ( )( ) ∫∫−
−
−=−=
π
π
π
π ππdxexfdxnxinxxf inx)(
2
1sincos)(
2
1;
∫−
==π
ππdxxf
ac )(
2
1
20
0 ;
( ) ( ) =
+= ∫∫
−−−
π
π
π
π ππdxnxxfidxnxxfc n sin)(
1cos)(
1
2
1
( ) ( )( ) ∫∫−−
=+=π
π
π
π ππdxexfdxnxinxxf inx)(
2
1sincos)(
2
1.
62
Таким образом,
( )∑∞
=
−−++=
10)(
n
inxn
inxn ececсxf , или ∑
∞
−∞=⋅=
n
inxn ecxf )( , (4.14)
где ∫−
−=π
ππdxexfc inx
n )(21
( )...,3,2,1,0 ±±±=n . (4.15)
Определение. Равенство (4.14) называется комплексной формой ряда
Фурье функции )(xf , а числа nc , найденные по формуле (4.15), –
комплексными коэффициентами ряда Фурье.
Если функция )(xf задана на отрезке [ ]ll ;− , то комплексная форма ее
ряда Фурье имеет вид
∑∞
−∞=⋅=
n
xin
necxf ω)( , l
nn
πω = , (4.16)
∫−
−⋅=l
l
xin dxexf
lc nω)(
2
1 ( ),...2,1,0 ±±=n . (4.17)
В электротехнике и радиотехнике члены ряда (4.16)
xin
nec ω⋅ называются гармониками.
Коэффициенты nc , вычисляемые по формуле (4.17) называются
комплексными амплитудами гармоник, а числа l
nn
πω = ( ),...2,1,0 ±±=n –
волновыми числами функции ∑∞
−∞=⋅=
n
xin
necxf ω)( .
Совокупность величин { },...,...,,, 321 ncccc называется амплитудным
спектром. Графически амплитудный спектр изображается в виде
вертикальных отрезков длиной nc , расположенных в точках l
nn
πω =
числовой оси.
63
Пример 4.7. Построить ряд Фурье в комплексной форме для
периодической функции ( )2=T ( ) [ )[ ]
∈−∈
=.1,0,1
,0,1,0
x
xxf
Решение. Данная функция удовлетворяет условиям Дирихле на
промежутке ( )1,1− . По формулам (4.17) находим коэффициенты ( )12 == Tl :
( )=−−=−== −−
−∫ 1
2
1
22
1 |1
0
1
0
ππ
πππ
nixin
xinn e
inin
edxec
( )1sincos2
−−= πππ
ninn
i ( )i
n
n
π2
11 −−= , 0≠n ; 21
21 1
00 == ∫dxc .
Следовательно, ряд Фурье функции ( )xf имеет вид
( ) ( )
( )
++++−=−−+=
−−∞
≠∞−=
∑ ...332
1
2
11
2
1 33
0πππππ
πππππ
xixixixi
nn
xnin eeee
ien
ixS .
Изобразим график суммы )(xS ряда Фурье. Функция )(xS является
периодической ( )2=T , совпадает с функцией )(xf во всех точках
непрерывности )(xf и в точках разрыва 2
1)( =xS .
Ответ: ( ) ( )
( )
∑∞
≠−∞=
⋅−−⋅+=
0
11
22
1
nn
xinn
en
ixf π
π, ( ) Zkkkx ∈++∈ ,1,0 .
y
1
x
-1 1 2 3
64
§5. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Если для функции, заданной на конечном промежутке вещественной оси,
важное значение имеет разложение ее в ряд Фурье, то для непериодической
функции, заданной на всей оси, аналогичную роль играет представление
функции интегралом Фурье.
Необходимость представления функции интегралом Фурье возникает во
многих задачах математического анализа и его приложений. Так, интеграл
Фурье играет фундаментальную роль во многих проблемах электрических
цепей, физики, техники, в некоторых метеорологических и астрономических
задачах.
5.1. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье
В предыдущих параграфах были сформулированы условия, при которых
периодическая функция может быть разложена в сходящийся рад Фурье. В
случае, когда функция ( )xf задана на всей бесконечной прямой и не является
периодической, эта функция при довольно общих дополнительных условиях
может быть на всей оси представлена так называемым интегралом Фурье,
являющимся аналогом ряда Фурье для всей оси.
Пусть функция ( )xf на каждом конечном промежутке ];[ ll−
удовлетворяет условиям, обеспечивающим разложимость ее на этом
промежутке в ряд Фурье (условия Дирихле)
+
+= ∑∞
= l
xnb
l
xna
axf
nnn
ππ1
0 sincos2
)( . (5.1)
Подставляя в (5.1) вместо коэффициентов nn baa ,,0 их выражения
∫−
=l
l
dttfl
a )(1
0 , ∫−
=l
ln dt
t
tntf
la
πcos)(
1, ∫
−
=l
ln dt
t
tntf
la
πsin)(
1,
65
получим
( ) += ∫−
l
l
dttfl
xf )(2
1
=
⋅
+
⋅
+ ∫∑ ∫−
∞
= − l
xndt
l
tntf
ll
xndt
l
tntf
l
l
ln
l
l
ππππsinsin)(
1coscos)(
1
1
=
⋅
+
⋅
+= ∑ ∫∫∞
= −− l
xn
l
tn
l
xn
l
tntf
ldttf
l n
l
l
l
l
ππππsinsincoscos)(
1)(
2
1
1
( )∑ ∫∫∞
= −−
−+=1
cos)(1
)(2
1
n
l
l
l
l
dtl
xtntf
ldttf
l
π (5.2)
Дополним предположения о функции ( )xf ещё одним: пусть эта
функция абсолютно интегрируема на всей числовой прямой, то есть
+∞<=∫∞
∞−Mdxxf |)(| (5.3)
Переходя теперь в равенстве (5.2) к пределу при ∞→l , попытаемся
установить «предельную форму» этого разложения.
Оценим первое слагаемое в правой части равенства (5.2), используя
(5.3),
Ml
dttfl
dttfl
dttfl
l
l
l
l
⋅≤≤≤ ∫∫∫∞+
∞−−− 2
1)(
2
1)(
2
1)(
2
1,
которое при ∞→l стремится к нулю.
Обращаясь же к бесконечному ряду в (5.2), мы можем рассматривать
множители l
nπ под знаком косинуса как дискретные значения
l
πλ =1 , l
πλ 22= ,
l
nn
πλ =
66
некоторой переменной λ , непрерывно меняющейся от 0 до ∞+ ; при
этом приращения lnnnπλλλ =−=∆ +1 , очевидно, стремятся к нулю при
∞→l .
В этих обозначениях ряд (5.2) перепишется так
( ) =
−⋅∑ ∫∞
= −1
cos)(1
n
l
l
dtxtl
ntf
l
πππ
( )∑ ∫∞
= −−⋅⋅∆
1
)(cos)(1
n
l
lnn dtxttf λλ
π.
Он напоминает интегральную сумму ( ) nn
n λλϕπ
∆⋅∑∞
=1
1 для функции
( ) ( )∫−
−⋅=l
ln dtxttf )(cos)(
1 λπ
λϕ
от λ в промежутке )[ ∞+;0 . Поэтому переход в (5.2) к пределу при ∞→l
приведет к равенству
( ) ( )∫∫+∞
∞−
+∞−⋅= dtxttfdxf )(cos)(
1
0
λλπ
. (5.4)
Это и есть искомая интегральная формула Фурье.
Мы получили формулу интеграла Фурье (5.4) с помощью предельного
перехода.
5.2. Теорема о представлении функций интегралом Фурье
Теорема 5.1. Если функция ( )xf абсолютно интегрируема на всей
прямой, удовлетворяет условиям Дирихле в каждом конечном
промежутке этой прямой, то функция ( )xf во всех точках
непрерывности этой функции допускает представление в форме
интеграла Фурье:
( ) ( )∫∫+∞
∞−
+∞−⋅= dtxttfdxf )(cos)(
1
0
λλπ
, (5.5)
67
во всякой точке разрыва 0x функции ( )xf интеграл Фурье (5.5)
принимает значение
=++−
2
)0()0( 00 xfxf ( )∫∫+∞
∞−
+∞−⋅ dtxttfd )(cos)(
1
0
λλπ
.
Раскрывая выражение косинуса разности, и введя обозначения
( ) dtttfa ∫+∞
∞−⋅= λ
πλ cos)(
1)( , ( ) dtttfb ∫
+∞
∞−⋅= λ
πλ sin)(
1)( , (5.6)
формулу (5.5) можно представить в виде
( )( ( )) λλλλλ dxbxaxf sin)(cos)()(0
⋅+⋅= ∫+∞
. (5.7)
Здесь явно обнаруживается аналогия с тригонометрическим
разложением: лишь параметр n, пробегающий ряд натуральных значений,
заменён в (5.7) непрерывно изменяющимся параметром λ , а бесконечный ряд –
интегралом. Коэффициенты )(λa и )(λb также по своей структуре напоминают
коэффициенты ряда Фурье.
Отметим частные случаи интеграла Фурье (аналогия с частными случаями
ряда Фурье), используя свойство: интеграл от нечетной функции по
симметричному промежутку интегрирования равен нулю.
1. Если функция ( )xf четная, то ( ) 0sin)(1
)( =⋅= ∫+∞
∞−dtttfb λ
πλ , так как
( )ttf λsin)( ⋅ нечетна, как произведение четной и нечетной функций.
2. Если функция ( )xf нечетная, то ( ) 0cos)(1
)( =⋅= ∫+∞
∞−dtttfa λ
πλ , так как
( )ttf λcos)( ⋅ нечетна, как произведение нечетной и четной функций.
Если функция ( )xf задана лишь в интервале [ )+∞,0 , то, продолжая ее
четным или нечетным образом в интервале ( ]0,∞− , получим представление
функции ( )xf интегралом Фурье в любой точке непрерывности интервала
68
( )∞+,0 . Представление интегралом Фурье имеет место и в точке 0=x для
четного продолжения, а для нечетного продолжения справедливо только в
том случае, когда ( ) 00 =f .
Обобщим полученные результаты в таблицу.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ФОРМЕ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
Если функция ( )xf : 1) заданна на всей числовой оси OX ; 2) кусочно-монотонна и имеет конечное число точек разрыва I рода на любом конечном промежутке; 3) абсолютно интегрируема на всей числовой оси OX , то есть
несобственный интеграл dxxf∫∞
∞−|)(| сходится,
то при всех значениях x функция ( )xf представима интегралом Фурье
( )∫∫+∞
∞−
+∞−⋅ dtxttfd )(cos)(
1
0
λλπ
,
причем во всех точках непрерывности функции значения интеграла Фурье равны соответствующим значениям функции ( )xf :
( ) ( )∫∫+∞
∞−
+∞−⋅= dtxttfdxf )(cos)(
1
0
λλπ
,
а в каждой точке 0x разрыва функции значения интеграла равны полусумме односторонних пределов функции в этих точках, то есть
( ) ( )=
++−2
00 00 xfxf ( )∫∫+∞
∞−
+∞−⋅ dtxttfd )(cos)(
1
0
λλπ
.
Представление интегралом Фурье
( )( ( )) λλλλλ dxbxa sin)(cos)(0
⋅+⋅∫+∞
,
коэффициенты которого определяются по формулам:
( ) dtttfa ∫+∞
∞−⋅= λ
πλ cos)(
1)( ; ( ) dtttfb ∫
+∞
∞−⋅= λ
πλ sin)(
1)(
Если функция ( )xf четная на ( )∞+∞− , , то ее представление интегралом Фурье имеет вид
Если функция ( )xf нечетная на ( )∞+∞− , , то ее представление интегралом Фурье имеет вид
69
( ) ( ) λλλ dxa∫+∞
⋅0
cos ,
где ( ) dtttfa ∫+∞
⋅=0
cos)(2
)( λπ
λ
( ) ( ) λλλ dxb∫+∞
⋅0
sin ,
где ( ) dtttfb ∫+∞
⋅=0
sin)(2
)( λπ
λ
Пример 5.1. Представить в форме интеграла Фурье функцию
>≤
=.1||,0
,1||,)(
x
xxxf
Решение. Данная функция определена на всей числовой оси, кусочно-
монотонна и имеет две точки разрыва I рода, абсолютна интегрируема, так как
несобственный интеграл 12|)(|1
0
1
0
21
1
==== ∫∫∫−
∞
∞−xdxxdxxdxxf сходится.
Следовательно, эта функция представима интегралом Фурье. Данная функция
( )xf нечетная, поэтому 0)( =λa . Вычислим коэффициент
( ) ( ) =⋅=⋅= ∫∫+∞
dtttdtttfb λπ
λπ
λ sin2
sin)(2
)(1
00
( ) ( ) ( ) =−===
===
∫ λλλλ t
dttvdttdv
dtdutu
cossinsin
( ) ( ) ( )
).cos(sin2
sin1cos2
sin1cos2
cos1cos2
22
1
02
1
0
1
0
λλλπλ
λλλ
λπ
λλλ
λπ
λλλ
λπ
−=
+−=
=
+−=
⋅+−= ∫ tdtt
tt
Таким образом, 0)( =λa , )cos(sin2
)(2
λλλπλ
λ −=b и, следовательно,
интеграл Фурье примет вид ( ) λλλλλλπ
dx∫+∞
⋅−0
2sin)cos(sin
12.
В точках непрерывности функции значение интеграла Фурье совпадает с
соответствующим значением функции, то есть
70
при 1±≠x ( ) ( ) λλλλλλπ
dxxf ∫+∞
⋅−=0
2sin)cos(sin
12,
а в точках разрыва 1±=x ( ) =⋅−∫+∞
λλλλλλπ
dx0
2sin)cos(sin
12
2
1
2
10 =+.
Пример 5.2. Представить в форме интеграла Фурье функцию
[ ]
∉
==
<<
=
.1,0,0
,1,0,2
1
,10,1
)(
x
xx
x
xf
Решение. Данная функция определена на всей оси, кусочно-монотонна и
имеет конечное число точек разрыва I рода, абсолютна интегрируема, так как
несобственный интеграл 1010|)(|0
0
10
1
1̀
0
0
===++= ∫∫∫∫∫+∞
∞−
∞
∞−xdxxdxdxdxdxxf
сходится. Следовательно, эта функция представима интегралом Фурье. Данная
функция ( )xf общего вида, поэтому вычислим коэффициенты )(λa и )(λb :
( ) ( ) ( )λ
λπλ
λπ
λπ
λπ
λ sin1sin1cos1
1cos)(
1)(
1
0
1
0
⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫∞+
∞−
tdttdtttfa ,
( ) ( ) ( )λ
λπλ
λπ
λπ
λπ
λ cos11cos1sin1
1sin)(
1)(
1
0
1
0
−⋅=⋅−=⋅=⋅= ∫∫∞+
∞−
tdttdtttfb .
Следовательно, интеграл Фурье примет вид
( )( ( )) =⋅+⋅∫+∞
λλλλλ dxbxa sin)(cos)(0
( )( ( )) =⋅−+⋅= ∫+∞
λλλλλλ
πd
xx sin)cos1(cossin1
0
( )( ( ) ( )) =+⋅−⋅= ∫+∞
λλλλλλλ
πd
xxx sinsincoscossin1
0
( )( ( ))λλλλ
πλλλλλ
πdxd
xx
−⋅
=+−= ∫∫+∞+∞
2
)21(cos
2sin
2sinsin
1
00
.
71
Последний интеграл равен функции ( )xf в точках непрерывности. В точках
0=x и 1=x , где данная функция терпит разрыв, полученное представление
сохраняется, так как в этих точках ( ) ( ) ( )xf
xfxf ==++−2
1
2
00.
Таким образом, при ( )∞+∞−∈ ,x
( )λλλλ
πdx
xf
−⋅
= ∫+∞
2
)21(cos
2sin
2
0
.
Можно использовать представление функций интегралом Фурье для
вычисления некоторых видов несобственных интегралов.
Продемонстрируем вычисление несобственного интеграла dxx
x∫
+∞
0
sin,
для которого первообразная не выражается в элементарных функциях.
Используем результат примера 5.2.:
λλλλ
πdx
−⋅
∫
+∞
2
)21(cos
2sin
2
0
( )[ ]
∉
==
<<
==
.1,0,0
,1,0,2
1
,10,1
x
xx
x
xf
В частности, при 0=x
( ) λλ
λπλ
λλλπ
dd
f ∫∫+∞+∞
=
⋅
==00
sin1
2cos
2sin
2
2
10 ,
откуда следует, что
2
sin
0
π=∫+∞
dxx
x.
Пример 5.3. Представить интегралом Фурье функцию 0,)( ≥= − xexf x .
Решение. Для представления данной функции интегралом Фурье
продолжим её для значений 0<x четным образом, то есть
<
≥=
−∗
.0,
,0,)(
xe
xexf
x
x
72
Введенная функция )(xf ∗ удовлетворяет всем условиям
представимости функции интегралом Фурье, а именно: 1) она определена на
всей числовой оси; 2) кусочно-монотонна и непрерывна; 3) абсолютно
интегрируема, так как
222|)(|0
0
=⋅−==∞+−
+∞−
∞
∞−
∗∫∫
xx edxedxxf .
Вычислим коэффициенты интеграла Фурье
( ) 0=λb , ( ) =⋅= ∫+∞
dtttfa0
cos)(2
)( λπ
λ ( ) dtte t∫
+∞− ⋅
0
cos2 λπ
.
Последний интеграл можно вычислить, применяя дважды
интегрирование по частям, или воспользоваться первообразной (см.
расширенную таблицу интегралов: № 18).
( ) ( ) ( )( ) ( )20
2 1
2sincos
1
2
λπλλλ
λπλ
+=+−
+⋅=
∞+−tt
ea
t
.
В итоге получаем интеграл Фурье
( ) ( ) ( ) λλλ
πλλλ d
xdxa ∫∫
+∞+∞
+=⋅
02
0 1
cos2cos ,
который при всех значениях x равен функции ( )xf ∗ в силу непрерывности
функции.
Таким образом,
( )0,
1
cos2)(
02
≥+
== ∫+∞
− xdx
exf x λλλ
π.
Придавая разные значения переменной x , можно вычислить
несобственный интеграл вида ( )
dxx
xk∫
+∞
+021
cos (интеграл Лапласа).
Например,
73
при 0=x ( ) λλπ
df ∫+∞
+==
021
0cos21)0(
2102
π=+
⇒ ∫+∞
x
dx;
при 1=x ( ) λλλ
πdef ∫
+∞−
+==
02
1
1
cos2)1(
( )e
dx
x
21
cos
02
πλ =+
⇒ ∫+∞
.
5.3. Комплексная форма интеграла Фурье
В интегральной формуле Фурье (5.5) внутренний интеграл представляет
собой чётную функцию от x , что позволяет записать эту формулу в виде
( ) ( )∫∫+∞
∞−
+∞
∞−−⋅= dtxttfdxf )(cos)(
2
1 λλπ
. (5.8)
Далее, из абсолютной интегрируемости функции ( )xf следует, что
интеграл ( )∫+∞
∞−−⋅ dtxttf )(sin)( λ существует и представляет собой нечётную
функцию от λ . Поэтому
( ) 0)(sin)(21 =−⋅∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−dtxttfd λλ
π. (5.9)
Прибавив к (5.8) равенство (5.9), умноженное на ( )i− , получим
( ) ( )∫∫+∞
∞−
+∞
∞−−⋅= dtxttfdxf )(cos)(
2
1 λλπ
( ) =−⋅− ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−dtxttfdi )(sin)(
2
1 λλπ
∫∫∞+
∞−
−−∞+
∞−⋅=
+=dtetfd
iexti
i)()(
2
1
sincos
Эйлераформулуиспользуем λϕ λ
πϕϕ. (5.10)
Это равенство называют комплексной формой интеграла Фурье для
функции ( )xf . В этом виде формула впервые была представлена Коши.
Интегральную формулу (5.10) можно переписать в симметричном виде
( ) ∫∫+∞
∞−
−+∞
∞−⋅= dtetfdexf tixi λλ λ
π)(
2
1,
74
или (по аналогии с формулами (5.6), (5.7)) интеграл Фурье в комплексной
форме запишется в виде
( ) ( )∫+∞
∞−⋅= λλ
πλ deсxf xi
2
1, где ( ) ∫
+∞
∞−
−⋅= dtetfс ti λλ )( .
5.4. Преобразование Фурье
Интеграл Фурье в комплексной форме имеет вид
( ) ∫∫+∞
∞−
−+∞
∞−⋅= dtetfdexf tixi λλ λ
π)(
2
1.
Эту формулу можно представить как суперпозицию двух формул
( ) ∫+∞
∞−
−⋅= tdetfF ti λ
πλ )(
2
1, (5.11)
( ) ∫+∞
∞−⋅= λλ
πλ deFxf xi)(
2
1. (5.12)
Функция )(λF , сопоставляемая по формуле (5.11) функции ( )xf
называется её преобразованием Фурье. В свою очередь, найденная по
формуле (5.12) функция ( )xf является обратным преобразованием Фурье
для )(λF .
Равенство (5.11), где функция )(λF дана, можно рассматривать как
интегральное уравнение относительно неизвестной функции ( )xf , стоящей
под знаком интеграла. Решение интегрального уравнения доставляется
формулой (5.12).
Если функция ( )xf задана на интервале [ )+∞,0 , то к ней можно
применить косинус - преобразование ( )λcF или синус - преобразование
( )λsF Фурье:
75
( ) ( )∫+∞
⋅=0
cos)(2 λλλπ
dxFxf с , где ( ) ( )∫+∞
⋅=0
cos)(2
tdttfFc λπ
λ ;
( ) ( )∫+∞
⋅=0
sin)(2 λλλπ
dxFxf s , где ( ) ( )∫+∞
⋅=0
sin)(2
tdttfFs λπ
λ .
Преобразование Фурье в случае четной функции совпадает с
косинус - преобразованием: )()( λλ сFF = .
Преобразование Фурье в случае нечетной функции есть синус -
преобразование умноженное на ( )i− : )()( λλ sFiF ⋅−= .
Пример 5.4. Найти преобразование Фурье функции ||)( xaexf −= , 0>a .
Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле, абсолютно
интегрируема на промежутке ( )∞+∞− , :
( )02
22|)(|00
>=−
===+∞−∞+
−∞
∞−
−∞
∞−∫∫∫ a
aa
edxedxedxxf
xaxaxa .
Имеем
( ) =⋅=⋅= ∫∫+∞
∞−
−−+∞
∞−
− xdeexdexfF xixaxi λλ
ππλ
2
1)(
2
1
( ) ( )( ) =−= ∫+∞
∞−
− xdxixe xa λλπ
sincos2
1
( ) ( ) =
⋅−⋅= ∫∫
∞+
∞−
−∞+
∞−
− xdxeixdxe xaxa λλπ
sincos2
1
( ) =⋅= ∫+∞
−
0
cos2
2xdxe xa λ
π 22
2
λπ +⋅a
a.
Последний интеграл вычислялся с помощью двукратного
интегрирования по частям.
Пример 5.5. Найти преобразование Фурье функции
≤≤
=.||,0
,||,1)(
ax
axxf
76
Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле, абсолютно
интегрируема на промежутке ( )∞+∞− , : adxdxxfa
a
2|)(| == ∫∫−
∞
∞−.
Данная функция четная, поэтому к ней применим косинус –
преобразование Фурье, которое совпадает с преобразованием Фурье:
( ) ( ) ( ) ( ) ==⋅== ∫∫+∞ a
c tdttdttfFF00
cos2
cos)(2 λ
πλ
πλλ
( ) ( ).
sin2sin2
0 λλ
πλλ
πat
a
⋅=⋅=
Заметим, что преобразование Фурье )(λF вещественной функции
( )xf может быть и комплекснозначной функцией.
Пример 5.6. Найти преобразование Фурье функции
≤≤
=.||,0
,||,sin)(
ππ
x
xxxf
Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле, абсолютно
интегрируема на промежутке ( )∞+∞− , :
( ) 4112cos2sin2sin|)(|0
0
=−−⋅−=−=== ∫∫∫−
∞
∞−
πππ
πxdxxdxxdxxf .
Данная функция нечетная, поэтому преобразование Фурье равно синус –
преобразованию Фурье, умноженному на i− :
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ =⋅⋅−=⋅⋅−=⋅−=+∞ π
λπ
λπ
λλ00
sinsin2
sin)(2
xdxxixdxxfiFiF s
( ) ( )( ) =+−−⋅− ∫π
λλπ 0
1cos1cos2
1xdxxi
( ) ( ) =
++−
−−⋅−=
π
λλ
λλ
π 01
1sin
1
1sin
2
xxi ( ) ( ) =
++−
−−⋅−
λλππ
λλππ
π 1
sin
1
sin
2
i
77
( ) =
+−
−⋅−=
λλλπ
π 1
1
1
1sin
2
i ( )1,
1
sin22
±≠−
⋅− λλλπ
πλi .
Если 1=λ , то ( ) =λF222
2sin
2 0
ππππ
π
iix
xi −=⋅−=
−⋅−= .
Если 1−=λ , то ( ) =λF222
2sin
2 0
ππππ
π
ii
xxi =⋅=
−⋅−= .
78
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Задание 1. Докажите равномерную сходимость функциональных рядов
на отрезке ]1;0[ .
1. ( )117
11n −
−∑∞
= n
xnn . 2. ( )
741
1n −−∑
∞
= n
xnn .
3. ( )32
11n −
−∑∞
= n
xnn . 4. ( )
3 31n 198
1−
−∑∞
= n
xnn .
5. ( )159
11n −
−∑∞
= n
xnn . 6. ( )
951
1n −−∑
∞
= n
xnn .
7. ( )3 3
1n 2181
−−∑
∞
= n
xnn . 8. ( )
3 31n 6
1−
−∑∞
= n
xnn .
9. ( )118
11n −
−∑∞
= n
xnn . 10. ( )
861
1n −−∑
∞
= n
xnn .
11. ( )106
11n −
−∑∞
= n
xnn . 12. ( )
541
1n −−∑
∞
= n
xnn .
13. ( )107
11n −
−∑∞
= n
xnn . 14. ( )
3 31n 7
1−
−∑∞
= n
xnn .
15. ( )53
11n −
−∑∞
= n
xnn . 16. ( )
4 41n 2
1−
−∑∞
= n
xnn .
17. ( )85
11n −
−∑∞
= n
xnn . 18. ( )
641
1n −−∑
∞
= n
xnn .
19. ( )116
11n −
−∑∞
= n
xnn . 20. ( )
3 31n 3
1−
−∑∞
= n
xnn .
21. ( )137
11n −
−∑∞
= n
xnn . 22. ( )
3 31n 5
1−
−∑∞
= n
xnn .
23. ( )76
11n −
−∑∞
= n
xnn . 24. ( )
651
1n −−∑
∞
= n
xnn .
25. ( )3 3
1n 21
−−∑
∞
= n
xnn . 26. ( )
981
1n −−∑
∞
= n
xnn .
79
27. ( )75
11n −
−∑∞
= n
xnn . 28. ( )
12101
1n −−∑
∞
= n
xnn .
29. ( )3 3
1n 1281
−−∑
∞
= n
xnn . 30. ( )
1111
1n +−∑
∞
= n
xnn .
Задание 2. Найдите область сходимости функциональных рядов.
1. )a ∑∞
=1
!
nnx
n, )b ( )∑
∞
= +−1 2 136
5
nn
n
xxn.
2. )a ∑∞
=+−+11)5)(83(
1
nnxn
, )b ( )x
n
n nn−
∞
=∑ +
4
1
21
1.
3. )a ∑∞
=+−+11)5)(83(
1
nnxn
, )b ( )∑∞
= +−1 2 105
4
nn
n
xxn.
4. )a ∑∞
= ++
125)1(
32
nnxn
n, )b 1
1
31
1 −∞
=∑
+ x
nn
n n.
5. )a ∑∞
= −⋅12)1(9
1
nnn xn
, )b( )
∑∞
= ++
1
ln
n
n
en
ex.
6. )a ∑∞
= −⋅−−
1 )3(5)1(
)1(
nnn
n
xn, )b ( )n
nn
xxn
643
1 2
1+−+
∑∞
=.
7. )a ∑∞
=
⋅⋅1
3
48
n
nn
n
xtgx , )b
( )∑∞
= ++−
12
2
)1(4
126
nn
n
n
xx.
8. )a ∑∞
=
⋅⋅1
33
n
nn
n
xtgx , )b
( )( )∑
∞
= ++
1
2
12
1
nn
n
n
x.
9. )a ∑∞
=++⋅−11)5(4)12(
1
nnn xn
, )b ∑∞
=
−
1
cos
n
x
n
en .
80
10. )a ∑∞
=+⋅−11242 )52(
1
nnn xnn
, )b ( )∑∞
= +1 22 2
3
nn
n
xn.
11. )a ∑∞
=
⋅1
334
n
n
n
xtg
n, )b ∑
∞
=
−
1
35n
x
n
n .
12. )a ∑∞
= −⋅⋅+1 )2(2)13(
1
nnn xn
, )b ( )∑∞
= +−1 22 54
2
nn
n
xxn.
13. )a ( )∑∞
=⋅
1 8
1
n
n
nxtg
n, )b ∑
∞
=
−
1
241
n
x
n
n.
14. )a ∑∞
= −⋅⋅12)1(9
1
nnn xn
, )b ( )∑∞
= +−1 23 74
4
nn
n
xxn.
15. )a ( )∑∞
=⋅
12
1
n
n xtgn
, )b( )
∑∞
= −−
1
ln
n
n
en
ex.
16. )a ∑∞
=
⋅⋅1
33 arcsin16
n
nn
n
xx , )b
( )∑∞
= ++−
12
2
)5(5
115
nn
n
n
xx.
17. )a ( )∑∞
=⋅
13
21
n
n xtgn
, )b ∑∞
=122
ln
nn
n
n
x.
18. )a ∑∞
=
⋅⋅1
3
3arcsin2
n
nn
n
xx , )b ( )∑
∞
= +−1 23 74
4
nn
n
xxn.
19. )a ∑∞
=
+⋅⋅
1
3
322
n
nn
n
xarctgx , )b xn
n
en
sin
1
1∑∞
=.
20. )a ∑∞
=
⋅⋅1
5 arcsin32n
nn
n
xx , )b
( )∑∞
= ++−
12
2
)2(2
22
nn
n
n
xx.
21. )a ( )∑∞
=⋅
⋅1 3
1
n
n
nxtg
n, )b ∑
∞
=
−
1
sin
n
xnne .
81
22. )a ∑∞
=
+⋅⋅
1 1
22
n
nn
n
xarctgx , )b ( )∑
∞
= +−1 2 32
3
nn
n
xxn.
23. )a ∑∞
= −⋅+
1
3
)2(3
1
nnn x
n, )b ( )xtg
nn
n
n
23
1
2
∑∞
=.
24. )a ∑∞
=
+⋅⋅
1
3
32
327
n
nn
n
xarctgx , )b
( ) n
n
n
x
x
n
+−
−−
∑∞
= 1
1
12
1
1.
25. )a ( )∑∞
=⋅
1
32
sin8
n
nn
xn
, )bn
n x
x
n
n
++∑∞
= 1211
.
26. )a ∑∞
= +⋅+⋅−22 )2ln()2()3(
1
nn nnx
, )b( )
( )n
n x
x
n
n
+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
∑∞
=2
1 1
2
242
1231.
27. )a ( )∑∞
=⋅⋅
1
32 sin9n
nn xn , )b ∑∞
= −1 1nn
n
x
x.
28. )a ∑∞
=⋅
1
2 )2(sin2
n
nn
xn
, )b ∑∞
= +121nn
n
x
x.
29. )a ∑∞
=⋅
1
23
n
nn
xtgn
, )b( ) n
n n
nxx∑∞
=
+1
.
30. )a )3(sin2
14∑
∞
=⋅
n
nn
xn
, )b ∑∞
= +⋅⋅⋅++12 )1()1)(1(n
n
n
xxx
x.
Задание 3. Найдите область сходимости степенных рядов.
1. ∑∞
=
+
1
2)4(
nn
n
n
x. 2. ∑
∞
= +++⋅−
0 12)3(
)1()1(
n
nn
nn
x.
3. n
nn
x )1(3
sin1
+⋅
∑∞
=
π. 4. ∑
∞
=
−
12
2
4
)2(
n n
nx.
82
5. ∑∞
=
+
1
)1(!
nn
n
n
xn. 6. ∑
∞
= ⋅+−+
1 3)32(
)2)(1(
nn
n
n
xn.
7. ∑∞
=
+
⋅−−
12
1
2
)4()1(
nn
nn
n
x. 8. ∑
∞
= ++
03)1(
)3(2
n
nn
n
x.
9. ∑∞
= ⋅+−
0 3)1(
)2(
nn
n
n
x. 10. ∑
∞
= +⋅++−
02 )4ln()32(
)2()1(
n
nn
nn
x.
11. ∑∞
= +⋅+−−
02 )3ln()2(
)2()1(
n
nn
nn
x. 12. ∑
∞
= +−
03)2(
)3(4
n
nn
n
x.
13. ∑∞
= ⋅++
0 4)32(
)2(
nn
n
n
x. 14. ∑
∞
= ⋅−−
12 4
)4()1(
nn
nn
n
x.
15. ∑∞
= +⋅+−−
0 2)12(
)3()1(
n
nn
nn
x. 16. ∑
∞
= ⋅+++
0 4)12(
)4)(2(
nn
n
n
xn.
17. n
nn
x )4(2
sin1
+⋅
∑∞
=
π. 18. ∑
∞
= +⋅+−−
0 32)1(
)2()1(
n
nn
nn
x.
19. ∑∞
=
+
1
)3(!
nn
n
n
xn. 20. ∑
∞
= ⋅++
1 2)23(
)1(
nn
n
n
x.
21. ∑∞
=
+−
0
2)1()1(
nn
nn
n
x. 22. ∑
∞
= +⋅+−−
02 )2ln()12(
)3()1(
n
nn
nn
x.
23. ∑∞
=
−
12
2
2
)3(
n n
nx. 24. ∑
∞
= ++⋅
03)3(
)3(32
n
nn
n
x.
25. ∑∞
=
+
⋅−−
12
1
4
)1()1(
nn
nn
n
x. 26. ∑
∞
=+⋅
1
)2(4
sinn
nn
xπ
.
27. ∑∞
= +⋅+−
1
2
)4ln()4(
)5(
n
n
nn
x. 28. ∑
∞
=
−
1
)4(!
nn
n
n
xn.
29. ∑∞
=
−−
1
2
)2()1(
nn
nn
n
x. 30. ∑
∞
=
+
12
2
3
)1(
nn
nx.
83
Задание 4. Разложите функции в ряд Тейлора по степеням x и укажите
их область сходимости.
1. 2
3)(
xxxf
+= . 2. 3 227
)(x
xxf
−= .
3. ( )26
5
xxxf
−−= . 4. x
xxf
+=
3)( .
5. xx
xxf −
⋅=2
sin2)( 2 . 6. ( )x
exf
x−= 1.
7. ( ) ( )2821ln xxxf −+= . 8. )121ln()( 2xxxf −+= .
9. ( )212
7
xxxf
−−= . 10. x
xarctgxf
)()( = .
11. ( )22
7
xxxf
−−= . 12. 228
6)(
xxxf
−+= .
13. 1arcsin
)( −=x
x x f . 14. 26
5)(
xxxf
−+= .
15. xxxxf −⋅= )2(cos2)( 2 . 16. )201ln()( 2xxxf −−= .
17. ( ) ( )261ln xxxf −+= . 18. ( ) xxxf 342 −⋅= .
19. ( )212
7
xxxf
−+= . 20. )3cos(
)3sin()( x
x
xxf −= .
21. )61ln()( 2xxxf −−= . 22. 3 227)( xxxf −⋅= .
23. ( )x
xxf
54
2
−= . 24. 4 316
1)(
xxf
−= .
25. ( )220
9
xxxf
−−= . 26. 2
2
1)(
x
xxf
+=
27. 26)1()( xexxf −⋅−= . 28. ( ) 4 516 xxf −= .
84
29. 25
1)(
xxxf
−= . 30. 2
1)3()(
x
xchxf
−= .
Задание 5. Вычислить значение интеграла с точностью до 001,0 .
1. dxx
x∫
+1,0
0
)21ln( . 2. ∫
+
5,0
03 31 x
dx.
3. ∫+
5,2
03 3125 x
dx. 4. ∫
−4,0
0
4
3 2
dxex
.
5. ∫−
1,0
0
6 2dxe x . 6. ∫
5,0
0
2)4sin( dxx .
7. ∫+
2
04 4256 x
dx. 8. ∫
+
5,1
04 481 x
dx.
9. ∫1,0
0
2)10(cos dxx . 10. ∫2,0
0
2 )25(cos dxx .
11. ∫+
5,2
04 4625 x
dx. 12. ∫
4,0
0
2
2
5sin dx
x.
13. ∫−−4,0
0
21dx
x
ex
. 14. ∫−
3,0
0
2 2dxe x .
15. ( )
dxx
x∫
−5,0
0
22 1ch . 16.
( )∫
+1,0
0
2lndx
x
x.
17. ∫2,0
0
2)25sin( dxx . 18. dxx
e x
∫−−2,0
0
1.
19. ∫5,0
0
2)4cos( dxx . 20. ∫+
1,0
04 416 x
dx.
21. ∫+
5,1
03 327 x
dx. 22. ∫
−5,0
0
25
3 2
dxex
.
85
23. ( )
dxx
x∫
+1
0
51ln . 24. ∫
1
0
2)cos( dxx .
25. ∫1
0
2sin dxx . 26. ∫+
5,0
04 41 x
dx.
27. ∫−
1,0
0
3 2dxe x . 28. ∫
1,0
0
2)100sin( dxx .
29. ∫+
1
03 38 x
dx. 30. ∫
+
2
04 4256 x
dx.
Задание 6. Вычислить приближенно значение величин с точностью
001,0=ε .
1. o10sin . 2. o15sin .
3. o18cos . 4. 6 65
1
5. 3
1
e. 6. 5
1
e.
7. 15,1ln . 8. 2,0arctg .
9. ( )31arctg . 10. e1 .
11. o18sin . 12. 3,1ln .
13. o9sin . 14. ( )9sin π .
15. o12cos . 16. o15cos .
17. 05,1ln . 18. 25
1
e.
19. 1,0arctg . 20. 5,0arctg .
21. 2,1ln . 22. 25,1ln .
23. o12sin . 24. 25,0arctg .
25. e
1. 26. 4 100
1
27. 4 82
1. 28. o6cos .
86
29. 4
1
e. 30. ocos9 .
Задание 7. Найдите три первых отличных от нуля члена разложения в
степенной ряд частных решений дифференциальных уравнений,
удовлетворяющих заданным начальным условиям.
1. 0=+′+′′ yyyy , 1)0( =y , 0)0( =′y .
2. 02 =−′+′′ yyy , 0)0( =y , 0)0( =′y .
3. 02)1( 2 =′−′′+ yxyx , 0)0( =y , 3)0( =′y .
4. yyxy 42 +′=′′ , 0)0( =y , 1)0( =′y .
5. xyyy +′=′′ 2)( , 1)1( =y , 0)1( =′y .
6. yxyy ′+=′′ , 1)0( =y , 1)0( =′y .
7. 2
2)(1 2 xyyy +′′=′+ , 1)1( =y , 0)1( =′y .
8. )sin(xyy =′′ , 1)0( =y , 1)0( =′y .
9. 0)1( 2 =−′+′′+ yyxyx , 1)0( =y , 0)0( =′y .
10. 2xyyy −′=′′ , 1)0( =y , 1)0( =′y .
11. yxyyy 4cos −−′=′′ , 0)0( =y , 1)0( =′y .
12. yxy 2=′′ , 1)0( =y , 1)0( =′y .
13. yxyy ′=′′ , 1)0( =y , 1)0( =′y .
14. yxy ′=′′ sin , 0)1( =y , 2)1( π=′y .
15. 122 =+′+′′ xyyxy , 0)0( =y , 0)0( =′y .
16. x
yy
1
4−
′=′′ , 1)1( =y , 0)1( =′y .
17. 0=+′′ xyy , 1)0( =y , 0)0( =′y .
87
18. yyxy 2+′=′′ , 0)0( =y , 1)0( =′y .
19. xyy 2−=′′ , 1)0( =y , 1)0( =′y .
20. yxy ′=′′ sin , 0)1( =y , 2)0( π=′y .
21. 1=+′+′′ yyxy , 0)0( =y , 0)0( =′y .
22. 0)( 2 =++′′ yyxy , 1)1( =y , 1)1( =′y .
23. 2yxy +=′′ , 0)0( =y , 1)0( =′y .
24. xyyxy =+′−′′ , 0)0( =y , 0)0( =′y .
25. 02 =−′′ xyy , 1)0( =y , 1)0( =′y .
26. 0)1( 2 =−′++′′ yyxxy , 1)0( =y , 1)0( =′y .
27. 3sin xyy +′=′′ , 0)0( =y , 6)0( π=′y .
28. 0)1()( 2 =−′+′−′′ yyyy , 0)0( =y , 2)0( =′y .
29. xy
yy
1−′
=′′ , 1)1( =y , 0)1( =′y .
30. xexyyy −−′=′′ 2 , 1)0( =y , 0)0( =′y .
Задание 8. Разложите функции, определенные в интервале ( )ba; , в ряд
Фурье. Сделать чертеж суммы ряда.
1 , 1)( 2 += xxf ( )ππ ;− . 2 2
)(x
xf−= π
, ( )ππ ;− .
3
≤<−≤≤
=πxπ ,
πx ,xf
22
03)( . 4
≤≤<≤−
=π
πx
xxf
0 , 2
0 , 1)( .
5
≤≤<≤−
=π
πx
xxf
0,1
0,2)( . 6
≤≤<≤−
=π
πxx
xxf
0,
0,0)( .
7 ||)( xxf = , ( )ππ ;− . 8 1)( −= xxf , 11 <<− x .
88
9 ,1)( += xxf ( )ππ ;− . 10 ||)( xxf = , 22 <<− x .
11 |1|)( xxf −= , ( )2;0 . 12 , 1||)( −= xxf ( );11− .
13
≤≤<≤
=21 , 1
10 , )(
x
xxxf . 14
≤≤<≤−+
=10 , 1
01 , 1)(
x
xxxf .
15 ( )
≤<≤<−
=.20,2
02,0
xx
xxf 16 ( )
≤<≤<−
=.20,1
02,
x
xxxf
17
<<−<≤
=01, 1
10 , )(
x
xxxf . 18
≤≤−−<≤−−
=05,0 , 0
5,01 , 1)(
x
xxf .
19 ( )
<<≤<
=.21,2
10,
x
xxxf 20 ( )
<<−≤<
=.32,3
21,1
xx
xxf
21 ( )
<<≤<−−
=.0,1
0,1
ππ
x
xxf 22 ( )
<<≤<−−
=.10,
01,2
xx
xxxf
23
≤≤<≤
=21 , 3
10 , 2)(
xx
xxxf . 24
≤≤−−<≤−
=02,
2,0)(
xx
xxf
πππ
.
25
≤≤−<≤
=21 , 2
10 , )(
xx
xxxf . 26 ( )
<<≤<−−
=.0,0
0,4
ππ
x
xxxf
27 ( )
<<≤<−
=.0,1
0,sin
ππ
x
xxxf 28 ( )
<<≤<−−
=.20,
02,12 xx
xxf
29
≤≤<≤
=ππ
πx
xxf
2,1
20,2)( . 30
≤≤−<≤
=πxπ ,
πx ,xf
22
03)( .
Задание 9. Разложить функции в ряд Фурье. Сделать чертеж ( )xS .
( ) 1−= xexf на интервале ( )π2,0 по синусам; 1.
, )( 2xxf = [ )π;0 по косинусам.
89
( ) 22xxf = на интервале ( )π,0 по синусам; 2.
1)( −= xxf , 10 << x по косинусам.
( ) π+= xxf 2 на интервале ( )ππ 2,3 −− по синусам; 3.
, 1)( 2 += xxf 10 << x по косинусам.
( ) 12 −= xxf на интервале ( )π,0 по синусам; 4.
12)( −= xxf на интервале ( )0,π− по косинусам.
( ) 32 −= xexf на интервале ( )π2,0 по синусам; 5.
, )( 2xxf = [ )π2;0∈x по косинусам.
( ) ( )xxxf −⋅= 2π на интервале ( )2,0 π по синусам; 6.
, 1)( 2 += xxf 20 << x по косинусам.
( ) ( )xxf 2cos= на интервале ( )0,4π− по синусам; 7.
, 1)( += xxf π<< x0 по косинусам.
( ) xxf −= 4 на интервале ( )6,2 по синусам; 8.
, ||)( xxf = 30 <≤ x по косинусам.
( ) 3xxf = на интервале ( )π,0 по синусам; 9.
( ) 2=xf на интервале ( )0,π− по косинусам.
( )24
xxf −= π
на интервале ( )π,0 по синусам; 10.
( ) xxf 3= на интервале ( )π,0 по косинусам.
( ) 13 −= xxf на интервале ( )0,π− по синусам; 11.
( ) 12 −= xxf на интервале ( )π,0 по косинусам.
( ) 2+= xexf на интервале ( )0,2π− по синусам; 12.
( ) xxf = на интервале ( )0,π− по косинусам.
( ) 12 −= xxf на интервале ( )2,0 π по синусам; 13.
( ) 12 += xxf на интервале ( )π,0 по косинусам.
14. ( ) 5+= xxf на интервале ( )ππ 2,3 −− по синусам;
90
, 1)( −= xxf 03 <<− x по косинусам.
( ) 1−= xexf на интервале ( )π2,0 по косинусам. 15.
( ) 22 += xxf на интервале ( )π,0 по синусам.
( ) 13 2 += xxf на интервале ( )0,π− по синусам; 16.
( ) 2xxf = на интервале ( )π,0 по косинусам.
( ) π2+= xxf на интервале ( )0,2π− по косинусам; 17.
, )( xexf = 2ln0 << x по синусам.
( ) ( )22π−= xxf на интервале ( )ππ 3, по синусам; 18.
( ) xxf −=1 на интервале ( )2,0 π по косинусам.
( ) ( )xxf 3sin2= на интервале ( )0,π− по косинусам;
19. ( )
<<−≤<
=ππππ
54,1
43,1
x
xxf по синусам;
( ) π42 −= xxf на интервале ( )ππ 5,4 по косинусам; 20.
( ) xxf = на интервале ( )1;0 по синусам;
( ) π2+= xxf на интервале ( )0,3π− по синусам; 21.
( ) xxf 4−= на интервале ( )0,π− по косинусам.
( ) ( )π+= xxxf на интервале ( )0,π− по синусам; 22.
( ) 4=xf на интервале ( )0,π− по косинусам.
( ) 12 += xxf на интервале ( )0,1− по синусам; 23.
( ) xxf sin−= на интервале ( )π,0 по косинусам.
( ) 12 2 += xxf на интервале ( )1,0 по синусам; 24.
( ) xxf −= на интервале ( )1,0 по косинусам.
( ) π4−= xxf на интервале ( )ππ 5,4 по синусам; 25.
( ) 2+= xxf на интервале ( )4,0 по косинусам.
( ) xxf 21−= на интервале ( )π,0 по синусам; 26.
( ) xxf = на интервале ( )4,2 по косинусам.
91
( ) ( )xxf 2cos1−= на интервале ( )π,0 по косинусам;
27.
≤≤<≤
=ππ
πx
xxf
2,1
20,2)( по синусам.
( )
<<−≤<−
=21,1
10,1
xx
xxxf по косинусам;
28.
( ) 32 2 += xxf на интервале ( )1,0 по синусам.
( )
≤<−≤<
=.21,2
10,
xx
xxxf по косинусам;
29.
( ) xxf −=2
π на интервале ( )π,0 по синусам;
( ) xxf −=2
π на интервале ( )π,0 по косинусам;
30.
≤≤−<≤
=πxπ ,
πx ,xf
22
03)( по синусам;
Задание 10.
1. ( )
<<<<−−
=.10,
;01,2
xx
xxxf Представить интегралом Фурье.
2. ( )
<<−<<−
=.10,2
;01,
xx
xxxf Представить интегралом Фурье.
3. ( )
><<+
=.1,0
;10,52
x
xxxf Найти cos-преобразование Фурье.
4. ( )
<<+−<<−−−
=. ,20,2
;02,2
xx
xxxf Представить интегралом Фурье.
92
5. ( )
<>
=.2,0
;2,2
x
xxxf Представить интегралом Фурье.
6. ( )
><<
=.,0
;0,sin
ππ
x
xxxf Найти sin-преобразование Фурье.
7. ( )
><<−
=.1,0
;10,5
x
xxxf Найти cos-преобразование Фурье.
8. ( )
><
=.,0
;,sin
ππ
x
xxxf Найти sin-преобразование Фурье.
9. ( )
><<−
=.32,0
;320,32
x
xxxf Найти sin-преобразование Фурье.
10. ( ) ( )
><
=.2,0
;2,2sin
ππ
x
xxxf Представить интегралом Фурье.
11. ( )
><<+
=.1,0
;10,23
x
xxxf Найти sin-преобразование Фурье.
12. ( )
><<−
=.1,2
;10,15
x
xxxf Найти cos-преобразование Фурье.
13. ( )
><<−
=.1,0
;10,1
x
xxxf Найти cos-преобразование Фурье.
93
14. ( )
<<<<−−=
.10,1
;01,
x
xexf
x
Представить интегралом Фурье.
15. ( )
><−
=.2,0
;2,21
x
xxxf Представить интегралом Фурье.
16. ( )
><<−
=.2,0
;20,2
x
xxxf Найти cos-преобразование Фурье.
17. ( )
><
=.1,0
;1,1
x
xxf Представить интегралом Фурье.
18. ( )
<<<<−
=.10,
;01,1
xx
xxf Представить интегралом Фурье.
19. ( )
><<<<−−
=.1,0
,10,1;01,1
x
xx
xf Представить интегралом Фурье.
20. ( )
<<−<<−+
=.20,2
;02,2
xx
xxxf Представить интегралом Фурье.
21. ( )
<<+<<−
=.10,1
;01,2
xx
xxxf Представить интегралом Фурье.
22. ( ) ( ) ;2,2sin π<= xxxf Представить интегралом Фурье.
94
23. ( ) ( ) ;,2cos π≤= xxxf Найти преобразование Фурье.
24. ( )
≤≤<<−−≤≤−−
=.121,1
;2121,0
;211,1
x
x
x
xf Найти sin-преобразование Фурье.
25. ( )
≤≤<<−−≤≤−−
=.121,1
;2121,0
;211,1
x
x
x
xf Найти cos-преобразование Фурье.
26. ( ) xxf 2= , [ ]2,0∈x Представить интегралом Фурье.
27. ( )
>≤≤−
=;1,0
;11,1
x
xxf Представить интегралом Фурье.
28. ( )
><≤≤
=.,0,0
;0,sin
ππ
xx
xxxf Представить интегралом Фурье.
29. ( )
><<−
=.,0
;,sin
πππ
x
xxxf Представить интегралом Фурье.
30. ( )
><<−
=.1,0
;10,1
x
xxxf Найти sin-преобразование Фурье.
95
РАСШИРЕННАЯ ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
1 ( ) ( )C
a
axdxax +=∫
sincos , 0≠a ;
2 ( ) ( )C
a
axdxax +−=∫
cossin , 0≠a ;
3 ( ) ( )C
a
axxdxax ++=∫ 4
2sin
2cos2 , 0≠a ;
4 ( ) ( )C
a
axxdxax +−=∫ 4
2sin
2sin2 , 0≠a ;
5 ( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( ) C
ba
xba
ba
xbadxbxax +
++−
−−=⋅∫ 2
cos
2
cossincos , ( 22 ba ≠ );
6 ( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( ) C
ba
xba
ba
xbadxbxax +
+++
−−=⋅∫ 2
sin
2
sincoscos , ( 22 ba ≠ );
7 ( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( ) C
ba
xba
ba
xbadxbxax +
++−
−−=⋅∫ 2
sin
2
sinsinsin , ( 22 ba ≠ );
8 ( ) ( ) ( )C
a
ax
a
axxdxaxx ++⋅=⋅∫ 2
cossincos , 0≠a ;
9 ( ) ( ) ( )C
a
ax
a
axxdxaxx ++⋅−=⋅∫ 2
sincossin , 0≠a ;
10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C
k
kxa
k
kxbaxdxkxbax +⋅+⋅+=⋅+∫ 2
cossincos , 0≠k ;
11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C
k
kxa
k
kxbaxdxkxbax +⋅+⋅+−=⋅+∫ 2
sincossin , 0≠k ;
12 ( ) ( ) ( ) ( )C
a
axax
a
axxdxaxx +⋅−−⋅=⋅∫ 3
222
2 sin2
cos2cos , 0≠a ;
13 ( ) ( ) ( ) ( )C
a
axax
a
axxdxaxx +⋅−−⋅=⋅∫ 3
222
2 cos2
sin2sin , 0≠a ;
96
14
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( );0,
sin2
cos2
cos
322
2
2
≠+⋅−⋅+++⋅+=
=⋅++∫
kCk
kxakcbxax
k
kxbax
dxkxcbxax
15
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( );0,
cos2
sin2
sin
322
2
2
≠+⋅−⋅++−⋅+=
=⋅++∫
kCk
kxakcbxax
k
kxbax
dxkxcbxax
16 Ca
edxe
axax +=∫ , 0≠a ;
17 ( ) ( ) ( )( ) Cbxbbxaba
edxbxe
axax +−⋅
+=⋅∫ cossinsin
22, ( 22 ba ≠ );
18 ( ) ( ) ( )( ) Cbxbbxaba
edxbxe
axax ++⋅
+=⋅∫ sincoscos
22, ( 22 ba ≠ );
19 ( ) Ca
eaxdxex
axax +⋅−=∫ 2
1 , 0≠a ;
20 ( ) Ca
eaxxadxex
axax +⋅+−=∫ 3
222 22 , 0≠a ;
21 ( ) Ca
eaxxaxadxex
axax +⋅−+−=∫ 4
22333 663 , 0≠a ;
22 ( ) ( ) ( )C
xxxxdxxx +−−=∫ 8
2cos
4
2sin
4sin
22 ;
23 ( ) ( ) ( )C
xxxxdxxx +++=∫ 8
2cos
4
2sin
4cos
22 ;
24 ( ) ( ) ( ) ( )C
xxxx
xdxxx +−⋅−−=∫ 4
2cos
8
2sin12
6sin 2
322 ;
25 ( ) ( ) ( ) ( )C
xxxx
xdxxx ++⋅−+=∫ 4
2cos
8
2sin12
6cos 2
322 .
97
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Т.1. Дифференциальное и интегральное
исчисление. – М.: 1980, 432 с.
2. Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И., Шумов А. С. Краткий курс высшей
математики. – М.: Высшая школа: 1976, т.2 – 328 с.
3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для
втузов. – М.: Наука, 1985, т.2 – 560 с.
4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. – М.: Наука, 1970, т.1 – 608 с.
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. – М.: Наука, 1970, т.2 – 800 с.
6. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука,
1989, – 736 с.
7. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.: Айрис
Пресс, 2004, – 603 с.
8. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа: 1980, ч.2 – 365 с.
9. Сборник задач по математике для втузов (под ред. Ефимова А. В. и
Демидовича Б. П.). Т.2. Специальные разделы математического анализа. –
М.: Наука, 1986, 366 с.
10. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (под
редакцией Демидовича Б. П.). – М.: Наука, 1976, 479 с.
11. Задачник-практикум по высшей математике. Ч. III: Ряды. Теория функций
комплексного переменного. Ряды и интеграл Фурье. (Под редакцией
Волкова В. А.). – СПб.: СПбГУ., 1997, 266 с.
12. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. – М.: Высшая
школа, 1983, 174 с.
98
Олег Владимирович Афонасенков Татьяна Александровна Матвеева
Функциональные ряды,
ряды и интеграл Фурье
Учебное пособие
Редактор О. П. Чеботарева Темплан 2008, поз. №
Лицензия ИД № 04790 от 18.05.2001
Подписано в печать _________________. Формат 60x84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Усл.печ.л. ______ Уч.-изд.л. ______ Тираж 150. Заказ ____. Волгоградский государственный технический университет. 400131 Волгоград, пр. Ленина, 28. РПК ”Политехник”. Волгоградского государственного технического университета. 400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
