1

Supravodivost

Fyzika a technika nízkých teplotNFPL168 ZS 2009/2010

KFNT

2

Supravodivost1911 Heike

Kamerlingh

-

Onnes

supravodiče 1. druhu

první

měření

supravodivosti

3

1933 Meissnerův

–

Ochsenfeldův jev

supravodič

1. druhu-ideální

diamagnetikum

-levitace

magnetizace supravodiče 1. a 2. druhu

supravodivost v magnetickém poli

4

materiál Tc

(K) materiál Tc

(K)

Nb3

Sn 18,05 V3

Ga 16,5

Nb3

Ge 23,2 V3

Si 17,1

NB3

Al 17,5 Nb-Ti 9

NbN 16,0 Ti2

Co 3,44

(SN)x 0,26 La3

In 10,4

Supravodiče 2. druhu

supravodiče 2. druhu–

smíšený stavmagnetické

pole pronikádo supravodiče podél vírů

supravodiče 2. druhu v magnetickém poli

5

1957 Bardeenova

–

Cooperova

–

Schriefferova

teorie

párování

elektronů

prostřednictvím výměny virtuálního bozonu

(kmitů

mřížky)-

Cooperovy

páry –

základní

energetický stav

slabá

supravodivost -

Josephsonovy

jevyΦ0

= 2,05.10-15

Wb

SQUID –

Superconducting

Quantum

Interference Device

magnetické

pole srdce ~

5.10-11 Tmagnetické

pole mozku ~

10-12

T

6

Využití

slabé

supravodivosti

MEG -

magnetoencefalograf

model vysokofrekvenčního skvidu

jednotka skvidů

306 kanálů

–

102 jednotky (2 ortogonální

gradiometry

+ 1 magnetometr)64 kanálů

EEG

7

Využití

supravodivosti

MRI –

rezonanční

tomografie

CERN –

LHC 1296 dipólů

(Nb-Ti) B = 8,36 T; T = 1,9 K

supratekuté

LHe, chladicí

výkon 140 kW / 4,5 Kzásoba 700 m3

LHe

(87,5 t )

B = 0,5 –

1,5 T -

perzistentní

móduzavřený chladicí

okruh, autonomie ~

3 měsíce

8

Využití

supravodivosti- levitační

vlaky

2002 Šanghaj

-

komerční

trať

z letiště(450 km/h)

JR Maglev

Japonsko1996 zkušební

provoz v Mayazaki

1996 zkušební

provoz v Mayazakitrať

7 km v Yamanashi

u Tokya

rekord

581 km/h (2005)

9

Vysokoteplotní

supravodiče

1986 Müller, Bednorz, Chu

YBa3

Cu3

O7

90 KHgBa2

Ca2

Cu3

O8

134 K

10

Meissnerův

–

Ochsenfeldův jev

Uvnitř

supravodiče B

= 0 ve vnějším poli Ba

≠

0,pro nekonečně

dlouhý vzorek (bez demagnetizačního pole)

B

= Ba

+ μ0

M

= 0

→

M/Ba

= -

1 / μ0

-neplyne z nulovosti elektrického odporu-z Ohmova

zákona: E

= σj

→ je-li σ

= 0, je i E

= 0z Faradayova

indukčního zákona:rot E

= -δB / δtJe tedy δB / δt = 0 a nemůže dojít ke změně

magnetického indukčního tokupři přechodu do supravodivého stavu

Rovnice bratří

Londonů(1935 Fritz

a Heinz

Londonovi)

M. –

O. jev χ

= -1 nevysvětluje pronikání

magnetického pole do tenkých povrchových vrstevje třeba modifikovat Ohmův zákon Aj

L2

0

1λμ

−= BArot =

11

z Maxwellovy

rovnice jBrot 0μ= a aplikace operace rot 0=Bdiv

jrotBBrotrot 0μ=Δ−= plyne2L

BBλ

=Δ

v čistém supravodiči popisuje pole klesající

od povrchu dovnitř

vzorku,

řešením je rovnice

λL

–

Londonova hloubka vniku, typicky λL

~

50 nm

(z teorie BCS →

q –

náboj,n –

koncentracem –

hmotnost

v tenké

vrstvě

–

M. O. jev není

úplný-

kritické

pole Hc

je vysoké

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

L

xBxBλ

exp0 B(0)

x

2/1

2

2

4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nqmc

L πλ

B(x)

12

Měrná

tepelná

kapacita

fononový

příspěvekDebyeova

teorie:

Debyeova

teplota

pVxTQ

mc

xx ,,1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΔΔ

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ=

TNkDcl 3 ( )∫

Θ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Θ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ T

x

x

dxe

exTT

D0 2

43

13 Debyeova

funkce

VN

kv

kD

26πω==Θ −v rychlost zvuku

pro T »

Θ(Dulongova-Petitova

limita)

pro T «

Θ

11253 −−≈= molJKNkcmoll

32

215

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Θ

=TRc

moll π

elektronový příspěvekplyn vodivostních

elektronů, silně

degenerovaný

pro T «

TF

(TF

(Cu) = 7.104

K) TZME

kNTcF

el

22πγ ==

úhrnná

měrná

tepelná

kapacita c/T = γ

+ AT2

13

Schottkyho

příspěvekkvantová

soustava (diskrétní

konečné

spektrum energetických hladin)

volná

energie ∑=i

iinU ε Boltzmannovo

rozdělení∑ −

−

=

j

kT

kT

i j

i

eNen /

/

ε

ε

E

např. 2 hladiny –E/2, +E/2

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

−−= −

−

kTENEtgh

ee

eeENU kTEkTE

kTEkTE

2212

2/2/

2/2/

měrná

tepelná

kapacita⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

kTEh

kTENk

TUc

ESh 2

sec2

22

δδ

pro T «

E/2k kTESh e

kTENkc 2/

2

2−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≅

pro T »

E/2k2

2

kTNEcSh =

maximum pro E/2kT = 2,4 (cSh

)mol

= 3,64 J/mol.K

(dvouhladinové

energetické

systémy v amorfních látkách)

14

jaderná

měrná

tepelná

kapacitaSchottkyho

anomálie –

hyperjemné

interakce –

jaderná

měrná

tepelná

kapacita

vliv nezaplněných slupek atomů

přechodových prvků

feromagnetická

anomálie

systém magnetických momentů

–

v magnetickém poli B0zcela uspořádaných při T = 0 Kve vyšších teplotách -

tepelné

excitace –

spinové

vlny, magnony

energie spinové

Blochovy

vlny ħω

= α(2JSa2)k2

J –

výměnný integrál, S –

spin, a –

mřížková

konstanta, k = 2π

/ λ,λ

–

vlnová

délka magnonu

střední

energie harmonického oscilátoru

hustota stavů

v intervalu (k, k + dk) →

4πVk2dk

( )( ) 11/exp −−= kTωωε

( ) ( )∫ ∫∞ ∞−

−=

−=

0 0

42/32/322

/ 124

14 2xkT e

dxxkTJSaVdkke

VU απωπ ω2/3T

TUcmag ηδδ

==

15

Měrná

tepelná

kapacita supravodiče

přechod do supravodivého stavu –

fázový přechod 2. druhu (nulové

latentní

teplo)supravodivý stav je více uspořádaný –

nižší

entropie

entropie hliníku volná

energie hliníku

elektronový příspěvekv supravodivém stavu Ces

~

exp (-1/T)

16

Tepelná

vodivost

dxdTQ λ−= tok tepelné

energie jednotkovou plochou

eL λλλ += fononová

a elektronová

vodivost

podle kinetické

teorie plynů lvcρλ31

= c –

měrná

tepelná

kapacita,ρ

–

hustota, -

střední

rychlostnositelů

energie, l –

střední

volná

dráhav

fononová

vodivost

-

fonon

–

fononový

rozptyl → U procesy, energie řádu kΘ/2při snižování

teploty → střední

volná

dráha srovnatelná

s rozměry krystalů,l –

konstantní, c ~

T3

λLff

~ T3

-rozptyl fononů

na příměsích a poruchách

λLp

~ T-3/2

17

-

rozptyl na dislokacích λLd

~ T2/D

-

rozptyl na dvouhladinových

systémech (amorfní) λLTLS

~ T2

-rozptyl na vodivostních

elektronech-počet elektronů

~ kT/EF

→ l ~

1/T λLe

~ T2/E E = 0,2R∞

ne2Θ2

R∞

-

vysokoteplotní

tepelný odpor

elektronová

vodivost

v nízkých teplotách -

l nezávisí

na teplotě

(rozptyl na příměsích)

λep

~ T/β β = r0

/L r0

–

zbytkový měrný elektrický odpor, L –

Lorentzovo

číslo

-rozptyl na fononech

l nepřímo úměrná

počtu fononů-pro T «

Θ

nf

~ T3

ce

~ T

- λef

~

αT-2

-tepelný odpor kovů

pro T «

Θ

R = Ref

+ Rep

= α´T2

+ β/T (zanedbání

fononové

vodivosti)-ve slitinách i fononový

příspěvek

18

Termodynamika supravodivého přechodu

termodynamicky vratný přechod Bc

(T)supravodič

1. typu –

úplný M.-O. jev

BBc

J

Bc

–

kvalitativně

–

rozdíl mezi SV a N stavemstabilizační

energie SV stavu –

z rozdílu měrnétepelné

kapacity

B = 0

Bex J

SV

Bex

< Bc

J

= -1/μ0

Bex

Bex

Bex

= Bc

v rovnováze

práce vykonaná

na SV při přenesení

z ∞

do místa s Bex

∫∞

−=exB

BdJW v jednotce objemu

19

exBdJTdSdU −= pro SV exexSV BdBTdSdU0

1μ

+=

pro T = 0 je TdS

= 0 → ( ) ( )0

2

20

μex

SVexSVBUBU =−

-

v normálním kovu J

= 0, vnitřní

energie nezávisí

na Bex

→

UN

(Bex

) = UN

(0)

- stabilizační

energie SV pro T = 0 ( ) ( ) ( )0

2

20

μc

SVcSVcNBUBUBU +==

- změna vnitřní

energie ( ) ( )0

2

200

μc

SVNBUUU =−=Δ

pro Al: Bc

(T = 0) = 1,05.10-2

T → ΔU = 43,9 J/m3

z experimentu ΔU ~

43 J/m3

při T >

O jsou v rovnováze volné

energie F = U -

TS

20

Energetická

mezera

z elektronového příspěvku k měrné

tepelné

kapacitě

SV-

existence energetické

mezery Eg

-z měření

absorpce mikrovlnného záření:-pro T <

Tc

-

ostrý zlom hodnoty impedance povrchu supravodiče,je-li hν

~ Eg (0,1 –

1 THz) →

0,1 –

1 meV-pro hν

> Eg je impedance SV blízká

impedanci normálního kovu

21

Izotopický jev

experimentálně

zjištěná

změna kritické

teploty SVs izotopickým složením atomů

SV

Hg: Tc

: 4,185 K →

4,1460KM : 199,5 →

203,4

odvozená

závislost konstTM c =α

experimentálně

stanovené

hodnoty α

Zn 0,45 ±

0,05 Ru 0 ±

0,05

Cd 0,32 ±

0,07 Os 0,15 ±

0,05

Sn 0,47 ±

0,02 Mo 0,33

Hg 0,50 ±

0,03 Nb3

Sn 0,08 ±

0,02

Pb 0,49 ±

0,02 Mo3

Ir 0,33 ±

0,03

Tl 0,61 ±

0,10 Zr 0,0 ±

0,05

anomální

hodnoty –

vliv pásové

strukturyz teorie BCS →

Tc

~ M-1/2

22

Teorie BCSJ. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer

1957

-

z izotopického jevu -

přitažlivá

interakce mezi elektrony zprostředkovanáintermediálním fononem

(Frölich)kritické

pole, tepelné

vlastnosti →

základní

stav oddělený energetickou mezerou od excitovaných stavů

rovnice Londonů, Meissnerův jev →

vysvětlení

hloubky vniku a koherenční

délky

→

výpočet kritické

teploty

( )FDc EUD

T 1exp14,1 −Θ= ( ) cg kTE 52,302 =⇒

D(EF

) –

hustota stavů

elektronů

na Fermiho

mezi, U –

parametr interakce elektronů

s mřížkou,ΘD

–

Debyeova

teplota

Cooperův

pár Boseho

kvazičástice

(kuperon)(2me

, 2e)

základní

stav SV –

makroskopický početsilně

se překrývajících kuperonů(délka ~

10-6

m, uvnitř

~ 106

kuperonů)

23

komplexní

makroskopická

vlnová

funkce φρ ie2/1´=Ψ ρ

–

hustota kuperonů

Schrödingerova

rovnice jednočásticového

problému

( ) Ψ+Ψ−∇=∂Ψ∂ ϕeAei

mti

e

2241 2

φ, A

-

potenciály

hustota supravodivého proudu ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=t

jdiv pρ

ρϕ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∇== Ae

mejej

epSV

2222

platí

rovněž ρvejSV 2= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∇=⇒ Ae

mv

e

22

ϕ rychlost těžiště

korelovanésoustavy kuperonů

vlnová

funkce BCS ( )∏ ++=k

kkk bvuBCS 0

b+k

–

operátor zrodu kuperonu,uk

– úměrný pravsti

obsazení

páru (k↑, -k↓)vk

–

úměrný pravsti

neobsazení

páru (k↑, -k↓) ( )∏ +=⇒k

k SuBCS 0ˆexp ∑+

+ =k k

kk

ubv

S

analogie koherentních stavů

–

kvantová

optika, HeII

24

představa o vzniku kuperonuprostřednictvím virtuálního fononu

( )( )

2/12

10 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ

ΔcT

TTteplotní

závislost šířky zakázaného pásu

obsazení

elektronových stavův normálním kovu a v supravodiči

25

Koherenční

délka

-míra vzdálenosti, na níž

se šířka energetické

mezery nemůže v prostorově

proměnném magnetickém poli významně

měnit→ míra minimální

tloušťky přechodové

vrstvy mezi normálním kovem a supravodičem

při T = 0 porovnání

rovinné

vlny

se silně

modulovanou vlnovou funkcí

( ) xkiex =ψ

( ) ( )[ ]xkixqki eex += +

21ϕ

rovinná

vlna: hustota pravděpodobnosti –

v prostoru homogenní

1* == − xkixki eeψψ kinetická

energie mkE

2

22

=

modulovaná

vlna: ( )[ ] ( )[ ] ( ) qxeeeeee qxiqxilxxqkiikxxqki cos1221

21* +=++=++= −+−+−ϕϕ

→ kinetická

energie ( )[ ]∫ +≈++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− kq

mk

mkqk

mdxd

mdx

22221

2

22

222

2

2

22* ϕϕ pro q <<

k

→

přírůstek energie spojený s modulací kqm2

2

je-li větší

než

šířka energetické

mezery Eg

,supravodivost bude potlačena

26

→

kritická

hodnota q0

vlnového vektoru modulace gF Eqk

m=0

2

2

definice vlastní

koherenční

délky 0

01q

=ξ

g

F

g

F

Ev

Ek

m 22

2

0 ==ξ→ VF

–

rychlost elektronů

na Fermiho

mezi

z teorie BCS →g

F

Ev

πξ 2

0 =

závislost na střední

volnédráze elektronů

l v normálním stavu

27

Ginzburgovy

–

Landauovy

rovnice

fenomenologická

teorie -

umožňuje popsat smíšený stav (supravodiče 2. druhu) 1950(teorie BCS –

předpokládá

energetickou mezeru konstantní

v prostoru)

-popis změny SV stavu v prostoru

-1959 Gorkov

dokázal, že GL rovnice jsou limitním případem teorie BCS

--

zavedení

parametru pořádku Ψ

--

efektivní

vlnová

funkce supravodivých elektronů

( ) ( )rnr SV=Ψ 2

Gibbsův

potenciál –

z Landauovy

teorie fázových přechodů

2. druhu 1937koeficienty α(T), β(T) –

analytické

funkce teploty

hustota Gibbsova

potenciálu ( ) ( ) ...2

42 +Ψ+Ψ+=TTgg nSV

βα

koeficienty splňují

podmínky:a)

α(T) <

0 pro T <

Tc

, α(Tc

) = 0. protože gSV

(Tc

) = gn

(Tc

)

b)

pro T → Tc

je dα(T)/dT

konečná

c)

pro minimum volné

energie β(T) >

0, β(T) ~

β(Tc

)

( ) ( )cT

c dTdTTT αα −= pro T <

Tc

28

ke Gibbsovu

potenciálu přidána kinetická

energie (pro změnu parametru pořádku v prostoru) Ψ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −Ψ

2**

*ˆˆ

21 Aepm

z BCS eemm 2,2 ** ==

provede se minimalizační

procedurana celkovou hustota Gibbsova

potenciálu.integrace přes celý prostor a minimalizacevzhledem k Ψ

a B

( ) ( )0

242

2ˆ2ˆ

41

2 μβα BAep

mTTgg nSV +−Ψ+Ψ+Ψ+=

okrajová

podmínka: složka proudu kolmá

k povrchu je nulová 0ˆ2ˆ =Ψ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

n

Aep

z existence minima δG = 0 vyplynou G –

L rovnice

( ) ( ) 0ˆ2ˆ21 2

2 =Ψ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+ΨΨ+Ψ Aep

mTT βα

( )( ) 22

** 22

Ψ−ΨΨ∇−Ψ∇Ψ= Ame

miej

hustota supravodivého proudu jje součtem volných i povrchových proudů

G –

L rovnice mají

2 triviální

řešení

Ψ

= 0. což

je normální

stav

0,20 =−=Ψ A

βα

supravodivý stav s úplným M –

O jevem

a Ψ

= Ψ0

2. řešení

má

menší

volnou energii (α

<

0 pro T <

Tc

29

0

22

22 μβα cB

=→

rozdíl volných energií

je →

souvislost s kritickým polem Bc

ve slabých polích se parametr pořádku Ψ

mění

pomalu kolem rovnovážné

hodnoty Ψ0

z 2. G –

L rovnice plyne Amej 2

0

22Ψ−=

což

je rovnice bratří

Londonů 20

20

2

2 Ψ=

em

μλ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=TT

TTc

c20

2 λλ

30

Kvantování

magnetického tokuv supravodivém prstenci

topologicky –

dvojnásobně

souvislá

oblast-

makroskopické

kvantové

jevy, existence makroskopické

vlnové

funkce

( )( ) 22

** 22

Ψ−ΨΨ∇−Ψ∇Ψ−= Ame

miej

( )( )riϕexp0Ψ=Ψ

2. G –

L rovnice

dosazení

a integrace po uzavřené

křivce uvnitř

supravodičemagnetický indukční

tok v dutině

∫ ∫∫ ∇=+ lde

ldjldA ϕλ2

22

02

0

2

2 Ψ=

em

μλkde

magnetický indukční

tok ∫=Φ ldA nemusí

být roven nule, jednoznačnost vlnové

funkce→

fáze vlnové

funkce se změní

o 2π

při oběhu po uzavřené

křivceintegrace uvnitř

SV, kde je stínící

proud j = 0→

kvantování

magnetického indukčního toku v otvoru Φ

= n ħ/2e = nΦ0

,

Φ0

= ħ/2e = 2,07.10-15

Wb

je elementární

kvantum magnetického indukčního toku

víry válcového tvaru v SV

2. druhu v poli B >

Bc1

fluxoid

31

Josephsonovy

jevyB. D. Josephson

1962

2 supravodiče oddělené

nesupravodivou bariérou (dielektrikum, můstek, jev blízkosti)

tunelování

kuperonů, překryv vlnových funkcí, vznik fázového rozdílu

A -

stejnosměrný J. jev

–

supravodivý proud bariérouB -

střídavý J. jev

– vznik střídavého proudu při vloženém napětí, elmag

vlna

vázané

Schrödingerovy

rovnice

pro slabě

interagující

SV, koeficient vazby K

1222

2111

Ψ+Ψ=∂Ψ∂

Ψ+Ψ=∂Ψ∂

KEt

i

KEt

i E1

, E2

-

energie základního stavu SV

( )2,12/1

2,12,1 exp ϕρ i=Ψ

A -

pro E1

= E2

, K ≠

0, V = 0, A

= 0 ϕρρρ∇=

∂∂

−=∂∂ sin221 K

tt21 ϕϕϕ −=∇

ϕϕρρ∇=∇=

∂∂

= sinsin42 01

cSVSV iveKt

evi

32

B –

E1

= E2

, K ≠

0, V = V0

. A

= o

( )

( ) 12022

21011

Ψ+Ψ−=∂Ψ∂

Ψ+Ψ+=∂Ψ∂

KeVEt

i

KeVEt

i→ 0

2 Vet

==∂∂∇ ωϕ

střídavý J. jev V0

= 1 μV → f = ω/2π

= 483,6 MHz

vyzáření

nebo pohlcení

fotonu s energií

ħω

= 2eV0

detektory, směšovače, generátory vf

signálu

-

napěťový etalon

33

SQUID –

Superconducting

Quantum

Interference Device

střídavý RF skvid

–

1 Josephsonův přechodstejnosměrný DC skvid

–

2 Josephsonovy

přechody

DC skvid

–

napětí

na skvidu

–

periodická

funkce magnetického toku v prstencizpětnovazební

obvod –

stabilizace pracovního bodu, modulace magnetického toku

Φ

U

34

RF skvid

–

induktivně

navázaný LC rezonanční

obvodmagnetický tok v prstenci

schodovitá

charakteristika Vvf

= f(Ivf

)trojúhelníková

charakteristika Vvf

= f(Φex

)- zpětná

vazba –

stabilizace

pracovního bodu

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ΦΦ−Φ=Φ

02sin πcex LI

Φ

35

Některé

typy střídavých skvidů

Josephsonvy

přechody